Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2020

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (462.98 KB, 61 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỤC LỤC

1 TST Đại học Vinh ngày 1 năm học 2019-2020 5

2 TST Đại học Vinh ngày 2 năm học 2019-2020 6

3 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày 1 năm học 2019-2020 7

4 TST Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa ngày 2 năm học 2019-2020 8

5 TST Bình Phước năm học 2019-2020 9

6 TST Hải Phịng ngày 1 năm học 2019-2020 10

7 TST Hải Phòng, ngày 2, năm học 2019-2020 11

8 TST Hà Tĩnh Ngày 1 năm học 2019-2020 12

9 TST Hà Tĩnh ngày 2 năm học 2019-2020 13

10 TST Phú Thọ ngày 1 năm học 2019-2020 14

11 TST Phú Thọ ngày 2 năm học 2019-2020 15

12 TST Quảng Trị ngày 1 năm học 2019-2020 16

13 TST Quảng Trị ngày 2 năm học 2019-2020 17

14 TST Thành phố HCM ngày 1 năm học 2019-2020 18

15 TST Thành phố HCM ngày 2 năm học 2019-2020 19

16 TST PTNK năm học 2019-2020 20

17 TST PTNK - ngày 2 năm học 2019-2020 21

18 TST Bắc Giang năm học 2019-2020 22

19 TST Gia Lai năm học 2019-2020 23

20 TST Hải Dương năm học 2019-2020 24

21 TST Bình Thuận năm học 2019-2020 25

22 TST Khánh Hòa ngày 1 năm học 2019-2020 26

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

23 TST Khánh Hòa ngày 2 năm học 2019-2020 27

24 TST Thanh Hóa ngày 1 năm học 2019-2020 28

25 TST Thanh Hóa ngày 2 năm học 2019-2020 29

26 TST Quảng Nam năm học 2019-2020 30

27 TST Quảng Ninh ngày 1 năm học 2019-2020 31

28 TST Quảng Ninh ngày 2 năm học 2019-2020 32

29 TST Thái Bình ngày 2 năm học 2019-2020 33

30 TST An Giang ngày 1 năm học 2019-2020 34

31 TST An Giang ngày 2 năm học 2019-2020 35

32 TST ĐakLak ngày 1 năm học 2019-2020 36

33 TST ĐakLak ngày 2 năm học 2019-2020 37

34 TST Ninh Bình ngày 1 năm học 2019-2020 38

35 TST Ninh Bình ngày 2 năm học 2019-2020 39

36 TST THPT Chuyên Lào Cai năm học 2019-2020 40

37 TST Vĩnh Phúc năm học 2019-2020 41

38 TST Bến Tre năm học 2019-2020 42

39 TST Sóc Trăng ngày 1 năm học 2019-2020 43

40 TST Sóc Trăng ngày 2 năm học 2019-2020 44

41 TST Hưng Yên ngày 1 năm học 2019-2020 45

42 TST Hưng Yên ngày 2 năm học 2019-2020 46

43 TST Đồng Tháp năm học 2019-2020 47

44 TST Kon Tum ngày 1 năm học 2019-2020 48

45 TST Lâm Đồng năm học 2019-2020 49

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

46 TST Quảng Bình ngày 1 năm học 2019-2020 50

47 TST Quảng Bình ngày 2, năm học 2019-2020 51

48 TST Quãng Ngãi ngày 1 năm học 2019-2020 52

49 TST Quảng Ngãi ngày 2 năm học 2019-2020 53

50 TST Bắc Ninh ngày 1 năm học 2019-2020 54

51 TST Bắc Ninh ngày 2 năm học 2019-2020 55

52 TST Ninh Bình năm học 2019-2020 56

53 TST Nam Định Ngày 1 năm học 2019-2020 57

54 TST Nam Định ngày 2 năm học 2019-2020 58

55 Trường Đơng Tốn học Bắc Trung Bộ ngày 1 năm học 2019-2020 59

56 Trường Đơng Tốn học Bắc Trung Bộ ngày 2 năm học 2019-2020 60

57 Trường Đơng Tốn Học Nam Trung Bộ năm học 2019-2020 61

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TST CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ, ĐẠI

HỌC 2019-2020

BÀI

1.

TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Với mỗin∈ N∗,xét hàm số fn(x) =x2n+sin 2xvớix ∈R.

1 Chứng minh rằng hàm fn(x)đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểmxn duy nhất.

2 Gọi un là giá trị nhỏ nhất của hàm fn(x). Chứng minh rằng dãy(un) có giới hạn hữu

hạn.

Bài 2. Tìm tất cả các đa thức hệ số thựcP(x)thoả mãnP(1) = 1

2 và

xP(x)P(1−x) ≤x5,

với mọi số thựcx.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Đường
tròn(I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi Mlà trung
điểmAH, đường thẳng DMcắt(I)tại điểm thứ hai làP.

1 GọiTlà giao điểm củaEFvàBC. Chứng minh rằng÷TPD =90◦.

2 Đường thẳng đi qua Ivà vng góc vớiMDcắtBCtạiN. Kẻ hai tiếp tuyếnNR, NSđến
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC(R, Slà tiếp điểm). Chứng minh rằng các điểmR,
P, D,Scùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4. Có16học sinh tham gia làm một bài thi trắc nghiệm. Đề thi chung cho tất cả học sinh
và cóncâu hỏi, mỗi câu hỏi có4phương án trả lời. Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy với
mỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng1phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất

1câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.

1 Vớin =2, hãy chỉ ra một số ví dụ về phương án trả lời câu hỏi của16học sinh.

2 Chứng minh rằngn ≤5.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BÀI

2.

TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f: (0;+∞)→(0;+∞)thỏa mãn

f (f(xy) +2xy) = 3x f(y) +3y f(x), (1)
với mọix,y∈ (0;+∞).

Bài 2. Cho tam giác ABCnhọn khơng cân nội tiếp đường trịn(O)có các đường cao BE,CF
cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Tia I H cắt(O) tại T. Trên đường thẳng EF lấy
điểmDsao cho HD k BC.

1 Chứng minh rằngDTtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácHEF.

2 Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với các đường trịn (IBT), (ICT) thỏa mãn M
khác phíaEđối vớiFvàNkhác phíaFđối vớiE. GọiPlà giao điểm thứ hai của AHvới

(O). Chứng minh rằngBM,CN,TPđồng quy.

Bài 3. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương(x;y;z)thoả mãn1+2x =3y+2·4z.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

BÀI

3.

TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 1 NĂM HỌC

2019-2020

Bài 1. Cho dãy(xn)xác định bởi:







x1 =α, α ∈ R
xn+1 =

1+ 1

n+1 −
2

(n+1)2

xn + 8

(n+1)2, ∀n≥1.

Tìm số hạng tổng quát của dãy(xn), từ đó tìmαđể dãy(xn)có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. Tìm tất cả các cặp đa thức(P, Q)với hệ số thực thỏa mãn:

P(x+Q(y)) =Q(x+P(y))

với mọi số thựcxvày.

Bài 3. Cho tam giácABCcóAC > AB. Trên các cạnh AB, AClần lượt lấy hai điểmP,Qsao
choPQsong song với BC. GọiOlà giao điểm của hai đoạn thẳngBQvàCP. Gọi A0 là điểm

đối xứng củaAquaBC. ĐoạnA0Ocắt đường tròn ngoại tiếp(C)của tam giác APQtạiS.

1 GọiX là giao điểm thứ hai của đường thẳng qua Avà song song vớiBCvà đường tròn

(C).Chứng minh ba điểmX,O, A0thẳng hàng.

2 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácBCStiếp xúc với đường tròn(C).

Bài 4. Một điểmMthực hiện các lần di chuyển trên mặt phẳng tọa độ bắt đầu từ điểmO(0; 0).

Mỗi lần di chuyển sẽ đến một điểm có toạ độ là số hữu tỉ và cách điểm trước đó đúng1đơn
vị.

1 Chứng tỏ rằng điểm Mcó thể di chuyển đến điểm có tọa độ

1
5;
16
13

.

2 ĐiểmMcó thể di chuyển đến điểm có tọa độ

1
2019;
1
2020

khơng? Tại sao?

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

BÀI

4.

TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 2 NĂM HỌC

2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f: R→R, liên tục trênRvà thỏa mãn điều kiện:
f(xy) + f(x+y) = f(xy+x) + f(y)

với mọi số thựcxvày.

Bài 2. Cho đường tròn(O;R)và một điểm I cố định, khácO ở trong đường trịn đó, đường
thẳng quaI vng góc vớiOI cắt đường tròn tạiCvàD;Alà một điểm nằm trên đường tròn,
tia đối xứng với tia I A qua đường thẳngCD cắt đường tròn tại B. Gọi Mlà trung điểm của
AB.

1 Chứng minh đường thẳng AB đi qua một điểm cố định L khi A thay đổi trên đường
tròn(O;R).

2 Gọi N, P là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn(O;R); điểm N nằm trên
cung ˙ADB. Đường thẳngCN vàDPcắt nhau ởQ. Chứng minh rằng các điểmQ,N lần
lượt là tâm của đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giácCMD.

Bài 3. Tìm bộ ba các số nguyên dương(p,n,k)thỏa mãn plà số nguyên tố Fermat và
pn+n= (n+1)k

(số nguyên tố Fermat là số nguyên tố có dạng22x+1với xlà số tự nhiên).

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

BÀI

5.

TST BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho các số thựcx,y ∈ (1, 2). Chứng minh rằng:

x2+xy+1

√

2019

+y2+xy+1

√

2019
<

x3+y3
x+y

√

2019

+ (3xy+2)

√

2019

Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm
củaBC, AMcắtOH tạiG. Chứng minh rằng Gnằm trên trục đẳng phương của đường tròn
ngoại tiếp tam giácBOCvà đường trònEulercủa tam giác ABC.

Bài 3. Chox,ylà các số nguyên dương. Nếu với mọi số nguyên dươngnta đều cóxϕ(n)−1

chia hết cho(ny)2+1thìx = 1(với ϕ(n)là số các ước nguyên dương nhỏ hơn nvà nguyên
tố cùng nhau vớin).

Bài 4. ChoSlà một bội nguyên dương của tất cả các số từ2đến2019vànsố nguyên dương
a1,a2,a3,. . ., an thuộc M:={1, 2, . . . , 2019}có tổng bằng2S. Chứng minh rằng ta có thể chọn

ra một vài số trongnsố này mà có tổng bằngS.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

BÀI

6.

TST HẢI PHỊNG NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f: R→Rsao cho

f (f(x)−(x−y)f(y)) =4x−2(x−y)f(y), ∀x,y ∈R.

Bài 2. Cho số thựcakhông âm và dãy(un)xác định như sau

u0 =a,un+1 = 1

2
n+

4un+1, ∀n ∈N.

Tìmađể dãy(un)có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Bài 3. Cho một dãy gồm100ơ vng. Trong mỗi ô vuông ta điền một trong bốn chữ chữ số

2,0,1,9. Hỏi có bao nhiêu cách điền sao cho tổng các số trong100ô vuông là một số chia hết
cho4.

Bài 4. Cho ABC là tam giác nhọn (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn(I). D,E,Flần lượt là
các tiếp điểm của đường tròn(I) vớiBC,CA,AB. ADcắt đường tròn(I)tạiQ(Q 6= D). Tiếp
tuyến tạiQcủa đường tròn(I)cắtEFtạiS.

1 Chứng minh bốn điểmS,D,B,C thẳng hàng và theo thứ tự lập thành hàng điểm điều
hoà.

2 GọiKlà giao điểm củaEFvàDI. AKcắtBCtạiM. KẻCH ⊥ AB(H ∈ AB). Chứng minh
MHtiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giácSHD.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

BÀI

7.

TST HẢI PHÒNG, NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Xác định các đa thứcP(x),Q(x)hệ số thực thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

(i) Q(x)khác đa thức không vàdegQ(x) <2.

(ii) P(x3−1)−x3P(x−1)[P(x+1) +4] = x6Q(x), ∀x ∈R.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC); các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
Đường thẳngEF cắt các đường thẳng AH, BC lần lượt tại L vàG. Gọi M là trung điểm của

BC; AMcắtGHtại I; LI cắtAGtạiK.

1 Chứng minh bốn điểm E,K, F, Icùng thuộc một đường tròn.

2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác LIDcắtGHtạiJ(J 6= I). Chứng minhJnằm trên đường
trung trực củaLD.

Bài 3.

1 Tìm tất cả các số tự nhiênathoả mãn3a+1và4a+1đều là những số chính phương.

2 Chứng minh nếu số tự nhiênathoả mãn3a+1và4a+1đều là những số chính phương
thìa(a−4)...13.

Bài 4.

ChoX là một bát giác đều tâmO. Gọi Alà tập tất cả các đỉnh
củaXvà các giao điểm của hai đường chéo bất kì củaX. GọiB
là tập8điểm thuộc Akhơng trùngOvà gầnOnhất (hình vẽ).
GọiY là tập tất cả các cạnh của X và các đoạn thẳng nối hai
điểm thuộc Akề nhau trên một đường chéo bất kì của X. Mỗi
điểm thuộcAđược tơ bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Có
tất cả26điểm đỏ. Biết rằngOđược tô đỏ, hai trong số những
điểm đỏ là đỉnh của X, ba trong số những điểm đỏ thuộc B.
Các đoạn thẳng thuộcY được tô màu theo quy tắc: nếu đoạn
thẳng có hai đầu mút đỏ thì nó được tơ màu đỏ, nếu hai đầu
mút xanh thì nó được tô màu xanh, nếu một đầu mút đỏ và
một đầu mút xanh thì nó được tơ màu vàng. Biết rằng có20

đoạn thẳng trongY màu vàng. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng

trongYmàu xanh?

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

BÀI

8.

TST HÀ TĨNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho các dãy số (un); (vn) (n = 1, 2, . . .) thỏa mãn limunn = 2; limvnn = 3; với mọi

n=1, 2, . . .thìun 6=1vàvn 6=1.
1 Chứng minhlimun =1.
2 Tìmlim

2un+3vn

n
.

Bài 2. Cho hàm số f(x) = x(x+1)(x+2), xét 2019số thực không âm x1;x2; . . . ;x2019 thay

đổi thỏa mãn: x1+x2+· · ·+x2019 =1. Vớii,j∈ {1; 2; . . . ; 2019}, đặt

F =

∑

1≤i≤j≤2019

maxf (xi); f xj .

Tìm giá trị nhỏ nhất củaF.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn không cân. Các đường cao AA1, BB1 của tam giác ABC cắt

nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C

tạiN (khácC). GọiMlà trung điểm AB,Klà giao điểm củaCN vàAB. Đường thẳngCM cắt
đường tròn ngoại tiếp tam giácCA1B1tại điểm thứ haiP, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABCtại điểm thứ haiQ.

1 Chứng minhK,H,Pthẳng hàng.

2 Chứng minh AQ=BP.

Bài 4. Cho bảng ơ vng2019×2019, ta điền vào các ô vuông đơn vị của bảng các số0,1xen
kẻ nhau. Biết bốn ơ vng ở bốn góc của bảng đều được điền số1. Tìm sốknhỏ nhất các hình
chữL(hình vng2×2bỏ đi một ơ vng bất kỳ) sao cho có thể phủ tất cả các ơ vng chứa
số1bởikhình chữ Lkhơng chồng lên nhau.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

BÀI

9.

TST HÀ TĨNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho đa thức f(x) = x3+14x2−2x+1.

1 Chứng minh rằng với x, ynguyên dương thì f(x)− f(y)chia hết cho101khi và chỉ khi
x−ychia hết cho101.

2 Chứng minh tồn tại số nguyên dương nthỏa mãn fn(x)−xchia hết cho101với mọi x

nguyên, với fn(x) = f(f(. . . f(x). . .))cóncặp dấu ngoặc đơn.

Bài 2. Cho tam giác ABCnhọn với AB< ACvà Mlà trung điểmBC. H là hình chiếu củaB
lên AM. Lấy điểmQtrên tia đối của tia AMsao cho AQ=4MH, gọiDlà giao điểm của AC
vàBQ.

1 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DBCđi qua trung điểm AQ.

2 Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQnằm trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác DBC.

Bài 3. Cho một số viên bi có khối lượng khác nhau đơi một và một cái cân thăng bằng. Biết
rằng chiếc cân này khơng cho phép đo chính xác khối lượng của viên bi mà mỗi lần cân chỉ
cho phép so sánh khối lượng của hai viên bi bất kỳ. Mục tiêu cuối cùng là có thể sắp xếp các
viên bi này theo thứ tự khối lượng tăng dần bằng một số lần cân hữu hạn.

1 Chứng minh rằng với4viên bi bất kỳ thì chỉ cần sử dụng5lần cân.

2 Chứng minh rằng với2n viên bi bất kỳ thì chỉ cần sử dụng(n−1)2n +1lần cân (n =2,

3,. . .).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

BÀI

10.

TST PHÚ THỌ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1.

1 Cho hàm số f(x)liên tục trênR. Chứng minh rằng hàm số f2(x)liên tục trênR.

2 Tồn tại hay không hàm số f(x)gián đoạn tại mọix ∈Rmà hàm số f2(x)liên tục tại mọi
x ∈R?

Bài 2. Cho các số nguyên dươngk,n(k <n) và bảng ơ vng2×nnhư hình vẽ.
. . .

. . .

Tính số cách chọnkơ vng sao cho khơng có hai ơ vng nào chung đỉnh.

Bài 3. Cho ba số thựca,b,ckhác0, đôi một phân biệt và thỏa mãn
a3+2

a =

b3+2

b =

c3+2

c .
Chứng minh rằnga2+b2+c2 >6.

Bài 4. Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên(m;n;k)thỏa mãn5m+7n =k3.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

BÀI

11.

TST PHÚ THỌ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho tam giác ABCcó AB = AC > BC và I là tâm đường tròn nội tiếp. GọiD là giao
điểm củaBIvàAC,Jlà điểm đối xứng của IquaAC.Đường tròn ngoại tiếp tam giácBDJcắt
đoạn thẳngAItạiE.

a) Chứng minh rằngEDsong song với I J.

b) Chứng minh rằng AE

AI ≥

8
9.

Bài 2. Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp khơng quen nhau có đúng hai người quen
chung, cịn mỗi cặp quen nhau thì khơng có người quen chung. Chứng minh rằng số người
quen của mỗi người là như nhau.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f :R→Rthỏa mãn

f(y)cos(x−y)≤ f(x), ∀x,y ∈R.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

BÀI

12.

TST QUẢNG TRỊ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình





q

2x(x−y) +

2y(4y−x) = x+2y

(x+2y+3)p5−2y+ (3x−4−9)√2x−1+√x=p2y.

Bài 2. Cho dãy số(an)với a1=

3 vàan+1=

4 +

24an+9

256 −
9

48 với mọi số nguyên dương

n. ĐặtSn =
n

∑

k=1

ak. TínhlimSn.

Bài 3. Cho đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC lần lượt tại
B và C. Đường thẳng (d) cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Đường thẳng (d) cắt

đường thẳng tròn(O) tại(P) và(Q). Đường thẳng đi qua Dvà song song với ACcắt BCtại
M, đường thẳng đi quaEvà song song vớiABcắtBC tạiN.

1 Chứng minh rằng bốn điểmM, N,QvàPnằm trên một đường tròn.

2 Chứng minh rằng đường tròn đi qua bốn điểm M, N, Q, P tiếp xúc với đường thẳng
DM.

Bài 4. Cho bảng kẻ ô vuông2019hàng và2019cột, trong mỗi ô vuông ta ghi số1hoặc số−1.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dươngk để ta có thể chọn đượck hàng vàkcột sao cho
tổng củak2số tại các ô giao củakhàng vàkcột được chọn có giá trị tuyệt đối lớn hơn1000.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

BÀI

13.

TST QUẢNG TRỊ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Với các số thực dươngx,y,zcho trước, hãy xác định hằng sốCnhỏ nhất (phụ thuộcx,
y,z), sao cho với mọinnguyên dương, ta ln có

xn+yn

2 +

yn+zn

2 +

zn+xn

2 ≤C.

Bài 2. Chon là số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu2n2 là hiệu của hai số lập phương
chẵn liên tiếp nào đó, thìn−1là số chính phương.

Bài 3. Cho tam giácABCkhông cân. Trên cạnhBC, lấy các điểmDvàEsao choDAB÷ =÷EAC.
Đường trung trực của đoạn thẳngDEcắt các đường thẳngAB,AClần lượt tạiFvàG. Chứng
minh rằng 4 điểm hình chiếu của F vàG trên các đường thẳng AD,AE cùng nằm trên một
đường tròn.

Bài 4. Cho dãy sốa1,a2, ...,an, vớiai ∈ {−1, 1} ∀i = 1,n.Kí hiệu Flà thuật tốn đổi dấu một

số các số hạng liền nhau của dãy. Hỏi phải sử dụng thuật tốnFít nhất bao nhiêu lần, sao cho
ta có thể chuyển dãy ban đầu về dãy gồm tồn những số1, bất kể giá trị ban đầu của các số
hạnga1,a2, ...,an?

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

BÀI

14.

TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1.

1 Cho dãy số(un) xác định bởi:u1 = −

3;un+1 =

un +1

p
u2

n+1

−1với n = 1, 2, 3, . . .Chứng
minh dãy số(un)có giới hạn hữu hạn khi n→+∞và tìm giới hạn đó.

2 Cho các số dươnga,b,c,dthỏa mãna2+b2+c2+d2 =1. Chứng minh rằng

4(1−a)(1−b) ≥(c+d)2.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f :R→Rliên tục tại0thoả mãn:
f(2018x) + f(2019x) =2020x,∀x ∈R.

Bài 3. Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, nội tiếp đường trịnO, có trực tâm HvàAB< AC.
Lấy điểmT 6= Atrên đường trònOsao cho ATsong song với BC. Giả sử AHcắtBC tạiKvà
TH cắtOtại điểmDthuộc cũng nhỏBC. GọiLlà trung điểm của HT.

1 Chứng minh các điểmA,L,O,K,Dcùng nằm trên một đường tròn.

2 GọiP là giao điểm thứ hai của AO vớiO. Đường thẳng đi qua Hvà song song với BC
cắt đường thẳngPDtạiX. Chứng minh XAlà tiếp tuyến của đường trònO.

Bài 4. Cho đa thức hệ số thựcP(x)có bậc2019và hệ số bậc cao nhất bằng1. Biết rằngP(x)có
đúng2019nghiệm thực phân biệt khơng phải là số nguyên. Giả sử mỗi đa thứcP(2x2−4x)

vàP(4x−2x2)đều có đúng2692nghiệm thực phân biệt.

1 Hỏi có bao nhiêu nghiệm củaP(x)thuộc khoảng(−2; 2)?

2 Chứng minh rằng tồn tại 3 đa thức cùng bậc A(x),B(x),C(x) có hệ số thực sao cho
A(x)B(x)C(x) = P(x),∀x∈ RvàB(x)6= A(x)C(x),∀x∈ (−1; 1).

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

BÀI

15.

TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1.

a) Cho đa thức hai biếnP(x,y)với hệ số thực. Chứng minh rằng tồn tại các đa thức một biến
S(x),T(x)với hệ số thực sao cho

P(x,y)≡S(x)y+T(x) (mod x2+y2+1).

b) Tồn tại hay không một đa thức hai biếnP(x,y)với hệ số thực sao choP2(x,y) +1chia hết
chox2+y2+1.

Bài 2. Vớin ≥2,hoán vị(a1,a2, . . . ,an)của(1, 2, . . . ,n)được gọi là “chuẩn”nếuai+1 ≥ai−1

vớii=1, 2, . . . ,n−1. Tìm số các hốn vị “chuẩn”của(1, 2, . . . ,n).

Bài 3. Cho hai đường tròn(O), (O0) cố định, cắt nhau tại hai điểm B, C sao choO,O0 nằm
cùng một phía đối với đường thẳngBC (điểmO0 gầnBChơn). Điểm Athay đổi trên(O)sao
cho tam giácABCnhọn không cân và các đoạn thẳngAB, ACcắt(O0)lần lượt tạiF,E.BEcắt
CFtạiI, AI cắtBCtạiD, IBcắtDFtại MvàICcắtDEtạiN.

a) TiaO0I cắt đường tròn(O)tạiR. Chứng minh rằng AR, MN, BCđồng quy.

b) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên (O) thì đường phân giác trong và đường cao qua
đỉnh Icủa tam giác I MN lần lượt đi qua các điểm cố định.

Bài 4. Số nguyên dươngnđược gọi là số “đẹp ”nếu nó thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) nlà số chính phương khơng chia hết cho3.

(ii) Với mỗi ướcm≥15củanthìm+15= pk với pnguyên tố vàk∈ N
a) Chứng minh rằng nếunlà số “đẹp ”và có ước ngun tố lẻ pthì p=7.
b) Tìm tất cả các số “đẹp ”(chú ýn =1là số “đẹp ”).

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

BÀI

16.

TST PTNK NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Số thựcαđược gọi là điểm tụ của dãy số (un) nếu tồn tại một dãy con của(un)hội tụ

đếnα.

1 Hãy chỉ ra một dãy số có vơ hạn điểm tụ.

2 Chứng minh rằng nếu một dãy số có mọi dãy con hội tụ thì nó cũng hội tụ.

3 GọiSlà tập hợp tất cả các số chính phương dương. Dãy số(an)xác định bởi

an = 1

n nếun ∈Svàan =

n2 nếun6∈S.

Đặtbn =
n

∑

k=1

ak. Xét tính hội tụ của các dãy số của(an)và(bn).

Bài 2. Tìm tất cả các hợp số dươngnsao cho n·σ(n) ≡2(modϕ(n)), trong đó kí hiệuσ(n),
ϕ(n)là hàm tổng các ước củanvà hàm Euler.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f: R→Rthỏa mãn

f (f(x) +y) + f(x)f (f(y)) = x f(y) +x+y
với mọi số thựcx,y.

Bài 4. Cho tam giácABCkhông cân nội tiếp trong đường tròn(O)với BCcố định và Athay
đổi trên cung lớnBC. Các đường trịn bàng tiếp gócA,B,Clần lượt tiếp xúc với các cạnhBC,
CA, ABtại D, E, F. Gọi L, M, N lần lượt là giao điểm khác A, B, C của các cặp đường trịn

(ABE),(ACF);(BCF),(BAD);(CAD),(CBE).

a) Chứng minh rằngALln đi qua điểm cố định khi Athay đổi.

b) GọiK, I, Jlần lượt là trung điểm củaAD,BE,CF. Chứng minh rằngKL, I M, JNđồng quy.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

BÀI

17.

TST PTNK - NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Choa,b,clà các số thực dương thỏa mãn8 a2+b2+c2

=9(ab+bc+ca). Tìm giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT = a+b

c +
b+c

a +
c+a

b .

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: Z+ →Z+thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) m f(m) +n f(n) +2m f(n)là số chính phương với mọim,n;
ii) f(mn) = f(m)f(n)với mọim,nnguyên dương;

iii) Với mọi số nguyên tố p, f(p)không chia hết cho p2.

Bài 3. Một trường phổ thơng cón học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộngm câu lạc
bộ là A1,A2, . . . ,Am.

a) Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có4học sinh và hai học sinh bất kỳ tham gia chung
nhất một câu lạc bộ thìm≤ n(n−1)

12 .

b) Giả sử tồn tạik>0sao cho hai câu lạc bộ bất kỳ có chung nhaukthành viên và tồn tại một
câu lạc bộAt cókthành viên. Chứng minh rằngm≤n.

Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các
cạnhBC,CA,ABlần lượt tạiD,E,F. Gọi J là tâm bàng tiếp góc Acủa tam giác ABC vàH là
hình chiếu củaDlênEF.

a) Chứng minh rằng giao điểm củaAH,JDthì thuộc đường thẳngOI.

b) Giả sửDH cắt lại(I) ởKvà IKcắt lại đường tròn ngoại tiếp(IEF)ởL. Chứng minh rằng
AD,LHcắt nhau tại một điểm nằm trên(IEF).

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

BÀI

18.

TST BẮC GIANG NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm các hàm số liên tục f: R→Rthỏa mãn

f(x+y)· f(x−y) = f2(x)· f2(y),∀x,y∈ R. (1)

Bài 2. Cho đa thức P(x) = 1+4x+4x2+· · ·+4x2n−1+4x2n với n là số lẻ,n ≥ 3. Chứng
minh rằngP(x)khơng thể là bình phương của một đa thức khác.

Bài 3. Người ta dùng4màu để tô các đỉnh của một đa giác lồi có2019đỉnh sao cho mỗi đỉnh
được tô bởi một màu và hai đỉnh kề nhau được tô bởi hai màu khác nhau. Hai cách tô màu
được gọi là khác nhau nếu tồn tại một đỉnh của đa giác đó có màu được tơ khác nhau trong
hai cách. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách tơ màu?

Bài 4. Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn(O) vàH là trực tâm tam giác ABC. Gọi Mlà
điểm chính giữa cung˙BHCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giácBHC.BMgiao ACtạiE,CM
giao ABtạiF. Kẻ phân giác trong ADcủa góc÷BAC. GọiT là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AFE.

a) Chứng minhTD ⊥BC.

b) Chứng minh rằng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEFbằngOD.

Bài 5. Tìm tất cả các số ngun dươngn > 1có tính chất: nếua,b là các ước ngun dương
củanvà(a,b) =1thìa+b−1cũng là ước củan.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

BÀI

19.

TST GIA LAI NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Xétg(x) = a2020x2020+a2019x2019+· · ·+a1x+a0là một đa thức bậc2020bất kỳ nhận
x =2020làm nghiệm và giả sử rằngg(x) = (x−2020).f (x)với

f (x) = b2019x2019+b2018x2018+· · ·+b1x+b0.

ĐặtA=max{|a0|;|a1|; . . . ;|a2020|}vàB=max{|b0|;|b1|; . . . ;|b2019|}.Chứng minhA ≥B.
Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho
BM = CN. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
AMNtại hai điểm AvàK.

a) Chứng minh rằngKlà điểm chính giữa của cungBACcủa đường trịn ngoại tiếp∆ABC.
b) Gọi Ivà Jlần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABNvàACM. Chứng minh

rằng bốn điểm A,K, I, Jcùng nằm trên một đường tròn.

Bài 3. Cho trước sốabcde f có sáu chữ số. Chứng minh rằng ta có thể sắp xếp lại các chữ số của
số đã cho sao cho hiệu giữa tổng ba chữ số đầu tiên và ba chữ số cuối cùng nằm giữa0và9(tức
là sắp xếp lại các chữ số của số đã cho thành sốxyztuvsao cho0 ≤x+y+z−t−u−v ≤9).

Bài 4. Tìm tất cả hàm số f :N→Nthoả mãn f(0) =1 và
f(n) =2f hn

+3f h n

,∀n∈ N∗.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

BÀI

20.

TST HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số {xn}n≥1 thỏa mãn x1 = 2019, xn+1 = 1+ln

xn(x2n+3)

3x2
n+1

, ∀n ≥ 1. Chứng
minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 2.

a) Cho tam giác ABCnội tiếp đường trịn(O). Xét đường tròn(O0)tiếp xúc với các cạnh AB,
AClần lượt tạiP,Qvà tiếp xúc trong với đường tròn(O)tạiS. GọiDlà giao điểm củaAS
vàPQ. Chứng minh rằng BP

CQ =
BS

CS và∠BDP=∠CDQ.

b) Cho tam giácABCngoại tiếp đường tròn(I)vàD1, E1lần lượt là tiếp điểm của(I)với các

cạnhBC,CA. Lấy các điểmD2, E2lần lượt nằm trên các cạnhBC,CAsao choBD1 =CD2,
AE1 =CE2. GọiPlà giao điểm của AD2vàBE2, gọiQ, Rlà các giao điểm của AD2và(I)

(Qnằm giữaAvàR). Chứng minh rằng AQ=D2P.

Bài 3. Tìm các bộ số nguyên dương(a,p,n)với pnguyên tố thỏa mãnap+1= (a+1)n.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f : R→Rthoả mãn

f(x2+2y f(x)) + f(y2) = f2(x+y),∀x,y ∈R.

Bài 5. Với một tập X, ta nói X được phân hoạch thành các tập X1, X2, · · ·, Xk nếu X =
k

i=1
Xi và

Xi∩Xj = ∅, ∀(i;j),1 ≤ i 6= j ≤ k. Với hai đoạn ABvàCD, ta gọi ABcắt ngangCDnếu tồn tại
một điểmI khác A,B, CvàDmà Ithuộc cả hai đoạn ABvàCD.

Cho S là tập hợp tất cả các đoạn thẳng là các đường chéo của đa giác lồi 2019 cạnh. Phân
hoạchS thành k tập khác rỗng S1, S2, · · ·, Sk sao cho với mọi cặp chỉ số (i;j), 1 ≤ i, j ≤ k,

i 6= j, tồn tại ít nhất một đoạn trong Si và một đoạn trongSjcắt ngang nhau. Tìm giá trị lớn

nhất củak.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

BÀI

21.

TST BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải phương trìnhx3−x2−10x−2 =√3 7x2+23x+12.

Bài 2. Cho hàm số f(x) : R → R thỏa mãn f x3+y+f(y)

= 2y+x2f(x), ∀x,y ∈ R.
Chứng minh rằng f(x)cộng tính.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Lấy điểmP trong tam giác ABCsao cho
’

APB = ÷APC. Gọi R,Qlần lượt là điểm đối xứng củaP qua AB,AC. Giả sử đường trịn qua
ba điểmA,P,HcắtBCtại điểm T (Tkhơng trùng H). Chứng minh rằngT,R,Qthẳng hàng.

Bài 4. Cho bảng ô vng kích thước2019×2019. Tơ đenSơ vng của bảng sao cho khơng
có 4 ơ đen nào tạo thành 4 góc của một hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng ô
vuông. Chứng minh rằngS ≤95266.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

BÀI

22.

TST KHÁNH HÒA NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình

















x3+4x+2= 3

y−4 +4

6−2y
y3+4y+2= 4

z−4 +4

√

6−2z
z3+4z+2= 3

x−4+4

√

6−2x.

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên
dương(a;b)sao chon = 1

2(a+b−1)(a+b−2) +a.

Bài 3. Cho dãy số xác định bởiu1 =5,un+1=un+ 1

,∀n≥1. Tìm phần ngun củau209.
Bài 4. Một nhóm phượt cónthành viên. Năm2018, họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi
chuyến có đúng5thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau khơng
q2thành viên. Tìm giá trị nhỏ nhất củan.

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác
trongAD. Qua điểmNthuộc đoạnAD(Nkhơng trùng vớiAvàD), kẻNPvng góc vớiAB
(Pthuộc cạnh AB). Đường thẳng qua Pvng góc với ADcắt đoạn thẳngAMtại Q. Chứng
minh rằngQNvng góc vớiBC.

Bài 6. Chox,y,zlà các số thực dương thỏa mãnxy+yz+zx=xyz(x+y+z). Chứng minh
rằng

1
2x+1+

1
2y+1+

2z+1 ≥1.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

BÀI

23.

TST KHÁNH HỊA NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f: R→Rthỏa mãn điều kiện

f (x− f(y)) =3f(x)−2x− f(y),∀x,y∈ R. (1)

Bài 2. Cho dãy các đa thứcPn(x)xác định bởi

P1(x) = x2−1,P2(x) =2x3−2x,Pn+1(x)Pn−1(x) = [Pn(x)]2−(x2−1)2, ∀n≥2.
1 Gọian là tổng các giá trị tuyệt đối của hệ số của Pn(x). Chứng minhan+1=2an+an−1.
2 Tìm lũy thừa lớn nhất của2sao cho lũy thừa này chia hết choan.

Bài 3.

1 Cho 4 số thực đôi một khác nhau a1 < a2 < a3 < a4. Xét các hoán vị của 4 số này là
ai1,ai2,ai3,ai4

, tìm một hốn vị mà S = ∑3
k=1

aik−aik+1

+ ai4−ai1

đạt giá trị nhỏ
nhất.

2 Cho n(n ≥ 4) số thực đôi một khác nhaua1,a2, . . . ,an. Xét các hoán vị củan số này là

ai1,ai2, . . . ,ain

, tìm một hốn vị màS = n∑−1
k=1

aik−aik+1

+ ain−ai1

đạt giá trị nhỏ
nhất.

Bài 4. Cho tam giácABCnhọn không cân nội tiếp đường trịn(O), có các đường cao AD,BE,
CF. GọiMlà trung điểm của cạnhBCvàIlà giao điểm củaEFvới BC.

1 Đường cao ADcắt đường tròn (O) tại L. Chứng minh rằng bốn điểm A, I, L, M cùng
thuộc một đường tròn.

2 QuaDkẻ đường thẳng song song vớiEF, cắt các đường thẳng AB, AClần lượt tạiR,S.
Chứng minh rằng DM·DI =DR·DS.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

BÀI

24.

TST THANH HÓA NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Với mỗi số thựca, xét dãy số(un)xác định bởi:

(

u1 =a

un+1 =3u3n−7u2n+5un,∀n∈ N∗.

Tìm tất cả các giá trị của ađể dãy số (un) có giới hạn hữu hạn khin → +∞ và tìm giới hạn

của dãy(un)trong các trường hợp đó.

Bài 2. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho tồn tại vô hạn số nguyên n để
P(P(n) +n)là một số nguyên tố.

Bài 3. Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi. Phía ngồi tam giác
ABC dựng hình vng BCFG và hai tam giác ABD, ACE là các tam giác vuông cân tại A.
Dựng tam giác XABvuông cân tại X (X khác phía vớiDđối với đường thẳng AB), tam giác
YACvng cân tạiY(Ykhác phía với Eđối với đường thẳngAC). Các đường thẳngDY,EX
cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng APluôn đi qua một điểm cố định khi A thay
đổi.

Bài 4. Một cuộc thi đấu của các cặp đôi được tổ chức như sau: Mỗi đấu thủ có thể thi đấu cho

một hoặc hai cặp. Hai cặp bất kỳ có thể thi đấu với nhau nhiều nhất là1trận, nhưng nếu hai
cặp nào có cầu thủ chung thì sẽ khơng đấu với nhau. Cho tập hợpS ={6, 12, 18, 24}, hãy tìm
số lượng bé nhất các đẩu thủ để trong cuộc thi đấu này người ta có thể sắp xếp các đấu thủ
theo cặp và tham gia cuộc thi thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) Số trận đấu mà mỗi đấ thủ tham gia phải là một trong các sốathuộc tậpS;

(ii) Với mọi sốbthuộc tậpScho trước, có thể tìm được ít nhất một đấu thủ đã tham gia đúng
btrận đấu.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

BÀI

25.

TST THANH HÓA NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho p > 0, q > 0, p+q = 1 và dãy an không âm, thỏa mãn an+2 ≤ pan+1+qan,

n∈ N∗. Chứng minh rằng dãy{an}có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm f: R+ −→R+thỏa mãn

x f x2 f(f(y)) + f(y f(x)) = f(xy)ff x2+ f f y2 (1)

với mọix,ylà các số thực dương.

Bài 3. Cho đa thứcP(x) = 4x2+5x+1−a, vớix ∈Rvàalà số nguyên cho trước. Đặt
P2(x) = P(P(x)) =4(P(x))2+5P(x) +1−a, Pk+1(x) = P(Pk(x)),∀k∈ N,k >1.

Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyênnsao chon = P101(n) thìalà một số chính phương

lẻ.

Bài 4. Choolà số nguyên tố sao chop ≡1 (mod 4). Hãy tính

p−1

∑

k=1

2k2
p

−2

k2
p

,

trong đóbaclà kí hiệu số ngun lớn nhất khơng vượt q số thựca.

Bài 5. Chom,n(m>n>4) là các số nguyên dương vàAlà một tập hợp con có đúngnphần
tử của tập hợpS ={1; 2; 3; . . . ;m}. Chứng minh rằng nếu

m>(n−1)

n
2

+

n

3

+

n
4

thì ta luôn chọn được n phần tử đôi một phân biệt x1,x2, . . . ,xn ∈ S sao cho các tập hợp

Ai ={x+y+xi | x ∈ A,y ∈ A},i=1,nthỏa mãn Aj∩Ak =∅với mọij6=k, j,k =1,n.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

BÀI

26.

TST QUẢNG NAM NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải phương trìnhx3−2x−3 =p3

3(x+1).

Bài 2. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dươngnthì phương trình
xn+xn−1+· · ·+x =2

ln có một nghiệm dương duy nhất. Ký hiệu nghiệm dương đó làxn, chứng minh rằng dãy

số(xn)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 3. Cho tam giác ABCnhọn, không cân nội tiếp đường tròn tâmO. Điểm Mdi động trên
cạnhBC (M 6= B, M 6= C). Gọi(X), (Y)lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MAB
vàMAC. Lấy điểmSthuộc(X)sao cho MS song song vớiAB; lấy điểmT thuộc(Y)sao cho
MTsong song vớiAC.

1 Chứng minh rằng các điểmA,O,T,Snằm trên một đường tròn.

2 GọiE là giao điểm khác A của(X) và AC, F là giao điểm khác A của(Y) và AB. Các
đường thẳngBEvàCFcắt nhau tạiN. Chứng minh rằng đường thẳng MNđi quaOkhi
và chỉ khiAMđi qua tâm đường tròn Euler của tam giác ABC.

Bài 4. Cho p là một số nguyên tố, p > 2 và các số nguyên a1;a2; . . . ;ap theo thứ tự đó lập

thành một cấp số cộng có cơng sai khơng chia hết cho p. Chứng minh rằng tồn tại một chỉ số
kthuộc tập{1; 2; . . . ;p}sao choa1a2· · ·ap+akchia hết chop2.

Bài 5. Tìm tất cả các đa thứcP(x)hệ số thực thỏa mãn điều kiện

[P(x)]3−3[P(x)]2 =P(x3)−3P(−x)

với mọix∈ R.

Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiênnvớin≥2sao cho trên mặt phẳng tồn tạinđiểm phân biệt,
mỗi điểm được gán một số thực dương mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng
bằng tổng hai số được gán ở hai điểm đó.

Bài 7. Cho các số thực dươngx,y, zthỏa mãnxy+yz+zx=3. Chứng minh rằng
x3+y3+z3+7xyz≥10.

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

BÀI

27.

TST QUẢNG NINH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số(un)xác định bởiu1 =1,un+1 =

u1+u2+· · ·+un,

∀n≥1. Chứng minh
rằng tồn tạin ∈N∗sao chou1+u2+· · ·+un >2020.

Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, đường cao AD, trực tâm H. Dựng đường tròn
tâm M đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AE,AF tới đường tròn (M) (E,F là các tiếp
điểm). Các đường thẳngEFvàBCcắt nhau tại N. GọiIlà trung điểm AH. Đường thẳng qua
D vng góc với I Mcắt các đường thẳng AB,AC lần lượt tại PvàQ. Chứng minh các điểm
M,N,P,Qcùng nằm trên một đường tròn.

Bài 3. Cho đa thứcPm(x) = x4−(2m+4)x2+ (m−2)2 với mlà tham số. Tìm tất cả các giá

trị nguyên dương củam đểPm(x) viết được thành tích của hai đa thức hệ số nguyên có bậc

lớn hơn hoặc bằng1.

Bài 4. Cho phương trình x+1
y +

y+1

x =3với x,ylà các số nguyên dương.
a) Tìm các nghiệm(x,y)của phương trình sao chox,ynguyên tố cùng nhau.
b) Chứng minh phương trình đã cho có vơ số nghiệm.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

BÀI

28.

TST QUẢNG NINH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Choa,b,clà các số thực thỏa mãna+b2>0,b+c2 >0,c+a2>0. Chứng minh rằng:

3a2+1

b+c2 +

3b2+1

c+a2 +

3c2+1

a+b2 ≥6.

Bài 2. Tìm tất cả các hàm f: R→Rthỏa mãn:

x f (x+xy) = x f(x) + f x2 f(y) ∀x,y∈ R. (1)

Bài 3. Cho tam giácABCnhọn nội tiếp đường tròn(O), các tiếp tuyến tạiBvàCcủa(O)cắt
nhau tại M, các tiếp tuyến tạiAvàCcủa(O)cắt nhau tại N. Các đường thẳng AMvàBC cắt
nhau tạiD. Các đường thẳng BNvàCA cắt nhau tạiE. Các điểm I, J lần lượt là trung điểm
củaAD, BE.

1 Chứng minh ’ABI =BAJ’.

2 Tính tỉ số các cạnh của tam giácABCđể góc ’ABIcó số đo lớn nhất.

Bài 4. Cho số nguyên dương n ≥ 2. Tìm số các tập con của tập Sn = {1; 2; 3; . . . ;n} chứa

đúng hai số nguyên dương liên tiếp.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

BÀI

29.

TST THÁI BÌNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Hãy xác định tất cả các hàm số f: R−→Rthỏa mãn điều kiện

f (f(x−y)) = f(x)f(y)− f(x) + f(y)−xy, ∀x,y ∈R.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dươngnta đặtxn =5n+2n.

1 Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thỏa mãn xn là số nguyên tố, thì n là lũy

thừa đúng của2.

2 Tìm tất cả các số nguyên dươngnđểxn chia hết chox3.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC. Một đường trịn(J)bất kì quaB,Ccắt AC, ABlần lượt tạiE
vàF. Gọi K, T lần lượt là hình chiếu vng góc của A trênEF, BC. Gọi M, N theo thứ tự là
trung điểm củaCF, BE.

1 Chứng minh K, Tđối xứng nhau quaMN.

2 GọiLlà trực tâm tam giácKMN, Ilà trung điểm củaBC. Chứng minhLI song song với
AK.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độOxyxét các bát giác lồi thỏa mãn: có tất cả các góc bằng nhau,
các đỉnh có tọa độ nguyên, tồn tại cạnh song song với trụcOx, trên biên của bát giác có đúng

16điểm ngun kể cả đỉnh. Tìm diện tích lớn nhất của bát giác lồi thỏa mãn điều kiện trên.

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

BÀI

30.

TST AN GIANG NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm các nghiệm nguyên của phương trìnhx6+4x4+x2−6=0.

Bài 2. Cho tậpX =1; 2; . . . ;ncó n số nguyên dương.

1 Tìm số các tập con AcủaX(n≥4) có chứa ba phần tử sao cho chỉ có đúng hai phần tử
là hai số nguyên liên tiếp.

2 Tìm số các tập con A 6= ∅củaX mà trong mỗi tập Akhông chứa hai phần tử là hai số

nguyên liên tiếp.

Bài 3. Cho hàm sốy= f(x)thỏa mãn biểu thức sau đây vớix 6=1

f(x) +2f((x+2018)

(x−1) ) =4040−x.

Tính giá trị của f(2020).

Bài 4. Cho lăng trụABC.A0B0C0có chiều cao bằngavà đáy là tam giác đều cạnha. GọiM,N,
P,Q, Rlần lượt là tâm của các mặt ABB0A0; ACC0A0;BCC0B0; ABCvàA0B0C0. Tính theo a thể
tích khối đa diện lồi có các đỉnh làM, N,P,Q, R.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

BÀI

31.

TST AN GIANG NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình

(

(x+y)3+8xy= (16+2xy)(x+y)

x+y=x2−y.

Bài 2. Cho đa thức f(x)bậcncónnghiệm thực phân biệt.

a) Chứng minh rằng hàm sốg(x)giảm trên từng khoảng xác định vớig(x) = f

0(x)

f(x)

b) Tính tổng độ dài các khoảng (độ dài khoảng(a;b) được hiểu làb−a)là tập hợp nghiệm
của bất phương trình f

0(x)

f(x) >mVớimlà một số thực dương cho trước.
Bài 3. Cho dãy sốx1;x2; . . . ;x1010thỏax1+x2+x3+· · ·+x1010 =5052và

x1
x1+1

= x2

x2+3

= x3

x3+5

=· · · = x1010

x1010+2019.

Tìmx1010.

Bài 4. Chonsố thực phân biệta1;a2;a3; . . . ;an(n≥4)thỏa điều kiện

a1+a2+· · ·+an =0 và a21+a22+· · ·+a2n =1.

Chứng minh rằng tồn tại bốn sốx;y;z;tthuộcnsố đã cho sao cho
x+y+z+nxyz≤

∑

i=1

a3i ≤x+y+z+nxy.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

BÀI

32.

TST ĐAKLAK NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình






3y9y2+3x2=x4x2+3

2020xp3y−2x+5−x+1=4040.

Bài 2. Tìm hàm số f liên tục trênRthỏa mãn f(x+1) +3x2+5x = f(2x+1);∀x∈ R.

Bài 3. Cho tam giácABCcóA“=60◦,AB> AC,Hlà giao điểm của hai đường caoBEvàCF.
GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC. Trên các đoạn thẳngBHvàHFlần lượt lấy
hai điểmM,Nsao choBM =CN. Tính MH+NH

OH .

Bài 4. ChoMlà tập hợp gồmnđiểm trên mặt phẳng thỏa mãn
(1) Tồn tại7điểm thuộcMlà7đỉnh của một thất giác lồi;

(2) Với5điểm bất kì thuộc Mlà5đỉnh của một ngũ giác lồi, tồn tại một điểm thuộc Mmà
nó nằm ở miền trong ngũ giác đó.

Tìm giá trị nhỏ nhất củan.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

BÀI

33.

TST ĐAKLAK NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số(xn)xác định bởi

xn =

1+ 1

n2 1+

· · ·1+ n

Tínhlim(lnxn).

Bài 2. Cho đa thứcP(x)có tất cả các hệ số đều là số nguyên dương và đa thức

Q(x) = 1+x+x2+x3+x4.

Chứng minh rằng: nếu đa thức P x3

chia hết cho đa thức Q(x) thì đa thức P x2019
cũng
chia hết cho đa thứcQ(x).

Bài 3. Cho trước plà một số nguyên tố lớn hơn2. Tìm tất cả các số nguyên dươngk sao cho
p

k2−2pkcũng là số nguyên dương.

Bài 4. Cho tam giácABCnhọn, khơng cân, có các đường caoBM, CNvà phân giác AD. Các
điểmE, Flần lượt là hình chiếu củaDtrênAB, AC. Chứng minh rằng các đường thẳng MN,
EFvàBC đồng quy.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

BÀI

34.

TST NINH BÌNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìmx,y,znguyên thỏa mãn hệ phương trình:








x3−4x2−16x+60=y
y3−4y2−16y+60=z
z3−4z2−16z+60= x

Bài 2. Xét phương trìnhxn =x2+x+1,n ∈N,n>2.

a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiênn lớn hơn 2 phương trình trên có đúng nghiệm
dương lớn nhất.

b) Gọixn là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tínhlimxn.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD(DthuộcBC) và hai điểm M,Nlần lượt nằm
trên các cạnh AB,AC sao cho MN song song với BC. Điểm Pchuyển động trên đoạn thẳng
MN. Lấy các điể,E,Fsao choEP⊥ AC,EC ⊥BC, FP⊥ AB, FB⊥BC.

a) GọiIlà giao điểm củaEFvàAD. Chứng minh rằngIcố định khiPchuyển động trên đoạn
MN.

b) Đường thẳng qua Avng góc với EFcắt BC tại Q. Chứng minh rằng đường trung trực
của đoạn thẳngBCđi qua trung điểm của đoạn thẳngPQ.

Bài 4. Cho số nguyên dươngntập hợpS= {1; 2; . . . ;n}. Tìm số các tập con của tậpSkhông
chứa hai số nguyên dương liên tiếp.

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

BÀI

35.

TST NINH BÌNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Choa,b,clà3số thực sao cho(a−b)(b−c)(c−a) 6=0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

P = (a2+b2+c2+ab+bc+ca)

(a−b)2 +

(b−c)2 +

(c−a)2

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số liên tục f: R→Rthỏa mãn điều kiện:
f(xy) = f

x2+y2

+ (x−y)2, ∀x,y ∈R.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc
với các cạnh BC,CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường phân giác trong của góc ÷BAC cắt các
đường thẳngDE,DFlần lượt tạiX,Y. GọiS, Tlà các điểm nằm trên đường thẳng BCsao cho

’

XSY =÷XTY =90◦. Chứng minh rằng:
a) ÷AXB =90◦.

b) Đường trịn ngoại tiếp các tam giácABC, AST tiếp xúc với nhau.

Bài 4. Cho dãy số(un)thỏa mãn

(

u1 =2,u2 =20,u3=56

un+3 =7un+2−11un+1+5un−3·2n, ∀n∈ N∗.

Tìm số dư khi chiau2019cho2019.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

BÀI

36.

TST THPT CHUYÊN LÀO CAI NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho hai dãy số(an),(bn)thỏa mãn











ao =1;a1 =

1
2

bn = 1

3 +2an+1,∀n ∈N
2bn+1=2bn−an,∀n∈ N.

Với mỗin ∈N,đặtcn = 1

2n+1
n

∑

i=0
bi

ai.

Tìmlimcn
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f :R→Rthỏa mãn

f f(x)−y2 = f x2+y2f(y)−2f(xy), ∀x,y∈ R.

Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với các đường cao AD,BE,CF đồng quy
tạiH; AA0là đường kính của đường trịn(O). Các đường thẳngA0B,A0Ccắt các đường thẳng
AC,ABtương ứng tại M,N. Các điềmP,Qthuộc đường thẳngEFsao choPB,QCvng góc
với BC. Đường thẳng qua A vng góc với QN và PM lần lượt cắt đường trịn (O) tại các
điểmX,Y. Các tiếp tuyến với đường tròn(0)tạiX,Ycắt nhau tại J.

a) GọiSlà trung điểm của đoạnAH. Chứng minh rằngSBk AY.
b) Chứng minh rằngJ A0 ⊥BC.

Bài 4. Cho dãy số (an) xác định bởi a1 = 34, an+1 = 4a8n −104a2n −107an với mọi số n

nguyên dương. Tìm tất cả các số nguyên tố pthỏa mãn điều kiệnp ≡3 (mod 4) vàa2020+1

chia hết chop.

Bài 5. Một cuộc thi giải Toán gồm2vịng, vịng1và vịng2với tổng cộng28bài tốn. Mỗi thí
sinh giải được đúng7bài và số thí sinh giải được mỗi bài là như nhau. Với hai bài tốn bất kì,

có đúng2thí sinh giải được cả hai bài đó.

a) Hỏi có tất cả bao nhiêu thí sinh tham dự cuộc thi?

b) Chứng minh rằng ở vịng1có một thí sinh hoặc khơng giải được bài nào hoặc giải được ít
nhất4bài tốn.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

BÀI

37.

TST VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho hàm số f: R−→ R. Giả sử rằng f là một hàm số đơn điệu và f + f ◦ f ◦ f là một
hàm liên tục. Chứng minh rằng f cũng là một hàm số liên tục.

Bài 2. Cho100số thực không âm x1,x2, . . . ,x100 sao cho

x1+x2+x3≤1,x2+x3+x4≤1, . . . ,x99+x100+x1≤1,x100+x1+x2 ≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcS=x1x3+x2x4+· · ·+x99x1+x100x2.

Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). D, E là hai điểm thuộc cung BC không
chứaAsao choDEk BCvàDnằm trên cungBE.Xlà giao điểm củaBDvàCE.

1 Đường thẳng quaC song song với AD cắt đường thẳng quaBsong song với AEtạiY.
Chứng minh rằng AXvàAYđẳng giác trong∠BAC.

2 GọiK,Llần lượt là các điểm trênAC, ABsao choOK k AD,OLk AE. Chứng minh rằng
Xnằm trên trục đẳng phương của các đường tròn đường kínhBK vàCL.

Bài 4. Người ta viết vào mỗi ơ của một bảng vng 4×4 một số ngun dương sao cho
tổng hai số nằm trong hai ơ vng có chung cạnh bất kì thì ln là một số giai thừa. Chứng
minh rằng có một số xuất hiện ít nhất 4 lần trong bảng (Một số giai thừa là một số dạng

n·(n−1)· · ·2·1vớinlà một số nguyên dương nào đó).

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

BÀI

38.

TST BẾN TRE NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1.

1 Giải phương trìnhx3+x2−3x−2=2√x+2trên[−2; 2].

2 Giải hệ phương trình trên tập số thực





x2−2y2 =1
2y2−3z2 =1

xy+yz+zx =1.

Bài 2. Sắp xếp1650học sinh thành22hàng ngang và75hàng dọc. Biết rằng với hai hàng dọc
bất kì, số lần xảy ra hai học sinh trong cùng hàng ngang có cùng giới tính khơng vượt q11.
Chứng minh rằng số học sinh nam khơng vượt q998em.

Bài 3. Tìm số nguyên nhỏ nhất n sao cho với n số thực phân biệt a1,a2. . . ,an lấy từ đoạn
[1; 1000]luôn tồn tạiai,ajthỏa0<ai−aj <1+3√3 aiajvớii,j∈ {1; 2; . . . ;n}.

Bài 4. Gọi I, H lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, trực tâm của tam giác nhọn ABC; B1,C1

lần lượt là trung điểm củaAC, AB; tiaB1Icắt các cạnh ABtạiB2, tiaC1Icắt phần kéo dài của
AC tại C2, B2C2 cắt BC tại K, A1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC. Chứng minh

rằng: ba điểmI, A, A1thẳng hàng khi và chỉ khiS4BKB2 =S4CKC2.

Bài 5. Tìm tất cả các hàm f : R→Rsao cho

f(f(x) +y) = fx2−y+4f(x)y (∀x,y ∈R)

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

BÀI

39.

TST SÓC TRĂNG NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:






q

y2+1−2xy=0 (1)
q

y2+1−2xy+x2+√y =p

x−y+x2. (2)

Bài 2. Cho dãy số(un)thỏa mãn:

(

u1=2020

2020un+1=2019un +u2n,∀n ∈N∗.

Tính lim

n→+∞

∑

k=1
uk

uk+1−1

Bài 3. Cho hình vngABCD nội tiếp đường trịn(O). Gọi Elà điểm nằm trên cạnh AB(E
không trùng vớiAhoặcB), tiaCBcắt tiaDEtạiF, Glà giao điểm củaCEvàAF. Chứng minh
giao điểmHcủaBGvàDEnằm trên đường tròn (O).

Bài 4. Cho đa thứcP(x) = x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0thỏa mãn các điều kiện:

i. P(1−x) = P(x);
ii. P

1
x

= 1

x6P(x);

iii. P(−1) = −1.

1 Hãy tìm đa thức P(x).

2 Giả sử P(x)có một nghiệm làα. Hãy tìm tất cả các nghiệm cịn lại của P(x).

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

BÀI

40.

TST SÓC TRĂNG NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1.

1 Một lớp học gồm35học sinh được xếp thành một hàng ngang. Giáo viên phụ trách lớp
cần chọn5đội để tham gia một trị chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi đội
gồm3học sinh đứng liền kề nhau trong hàng ngang ban đầu?

2 Có12học sinh được xếp thành một hàng ngang. Giáo viên phụ trách cần chia các học
sinh trên thành các nhóm sao cho mỗi nhóm là1học sinh hoặc là2học sinh đứng liền
kề nhau trong hàng đầu. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm như trên?

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC(AB< AC) nội tiếp đường trịn(O). Tia phân giác củBAC
cắt đường trịn(O)tại điểmDkhác A. GọiElà hình chiếu của Dtrên đường thẳng AC, Flà
điểm đối xứng vớiCquaE. Đường thẳngBFcắt đường tròn (O) tạiG khácB. Gọi I là điểm
đối xứng vớiDquaO.

1 Chứng minh rằngE, F,Gthẳng hàng.

2 Đường thẳng qua C song song với AG cắt DG tại M. FM∩BC = N, IF∩(O) = P.
Chứng minhB, F, N,Pcùng nằm trên một đường trịn được.

Bài 3.

1 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:x2 =y2+2020.

2 Cho dãy số(an)xác định như sau:

(

a1=5; a2=13
an+2=5an+1−6an.

Chứng minh rằng vớiknguyên dương bất kỳ, nếuplà một ước nguyên tố củaa2k+2·6k

thìpcũng là một ước nguyên tố củaa2k+1+5·6k.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

BÀI

41.

TST HƯNG YÊN NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số(an) xác định bởi a1 =

2 vàan+1 =

(an−1)2

2−an ,

∀n ≥1. Với mỗi số nguyên
dươngn, chứng minh rằng a1+a2+· · ·+an

n ≥1−

√

2
2 .

Bài 2. Chom,nlà các số nguyên dương,n <mvàa1,a2, . . . ,am là các số thực phân biệt. Tìm

tất cả các đa thứcP(x)với hệ số thực và có bậc nhỏ hơn hoặc bằngnthỏa mãn điều kiện: Với
mọi1≤i< j≤m, ta có|P(ai)−P(aj)|=|ai−aj|.

Bài 3. Cho đường tròn(O) cố định ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi Dlà trung điểm của
cạnhBC. Trên AB, AClần lượt lấy các điểmE,Fsao choDE ⊥ ACvàDF ⊥ AB.

1 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF thuộc một đường tròn cố định
khi điểm Adi động vàB, Ccố định trên đường tròn (O).

2 Đường tròn ngoại tiếp tam giácDEFcắt cạnhBCtạiG; đường thẳngAGcắt đường tròn

(O) tại M; đường cao đỉnh A của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại N (N khác A).
Các tiếp tuyến tại M, N của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Các tiếp tuyến tại B của
đường tròn ngoại tiếp tam giácBGMvà tiếp tuyến tạiCcủa đường tròn ngoại tiếp tam
giác CGMcắt nhau tạiQ. Chứng minh giao điểm của PQvà ADnằm trên đường tròn

(O).

Bài 4. Tập hợpXkhác rỗng được chia thành các tập con đôi một không giao nhauA1, A2,. . .,
An và đồng thời cũng được chia thành các tập con đôi một không giao nhau B1, B2, . . ., Bn.

Biết rằng hợp của hai tập con bất kì khơng giao nhau Ai, Bj (1 ≤ i,j ≤n)chứa khơng ít hơn

nphần tử. Chứng minh rằng số phần tử của tập Xkhông nhỏ hơn n

2 . Khi số phần tử của tập

Xbằng n

2 , hãy chỉ ra cách chia tậpXthỏa mãn bài toán.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

BÀI

42.

TST HƯNG YÊN NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f: R→Rthỏa mãn

f (x+y f(x)) = f (x f(y))−x+ f(y+ f (x)), ∀x,y ∈R.

Bài 2. Cho tam giácABCnội tiếp đường tròn(O). Đường thẳnglđối xứng với đường thẳng
AC qua đường thẳngBC, l cắtBO tạiX. Điểm Etùy ý trên đoạn BO, đường tròn ngoại tiếp
tam giácXAEcắt đường thẳngltạiQkhácX. Đường thẳngQEcắt đường thẳngOCtạiY.

1 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AYEđi qua điểm cố định khiE thay
đổi trênBO.

2 Gọi Mlà điểm chính giữa cung AEkhơng chứaY của đường trịn ngoại tiếp tam giác
AYE và CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AYE tại một điểm K khác M. Chứng
minh khiEdi chuyển thì đường thẳngKEln đi qua một điểm cố định.

Bài 3. Tìm các bộ số nguyên(a,b,c) vớic ≥ 0sao chob2n+c chia hết choan +2n với mọin
nguyên dương.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

BÀI

43.

TST ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số thực dương(xn)xác định bởi công thức

xn =2

1− 1

2n2+√4n4+1

, ∀n≥1.

ĐặtSn =

√
x1+

√

x2+· · ·+

√

xn (n ≥1).
1 TínhS20.

2 Chứng minh rằng tồn tại vơ số số nguyên dươngnsao choSn nhận giá trị nguyên.

Bài 2. Giải hệ phương trình











x = 2+

2y2+4y+4
y

y = 2+

√

2x2+4x+4

x .

Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) sao cho M = a4+10a2+2b là số chính
phương.

Bài 4. Choa,b, clà các số thực thỏa mãna+b+c =3. Chứng minh rằng

(ab+bc+ca)2+9≥18abc.

Bài 5. Cho đương tròn(O)và dây cungBCcố định. ĐiểmAkhác vớiB,Cdi động trên đường
tròn sao cho AB 6= AC. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C của tam giác
ABC. Đường thẳngEFcắt(O)tạiPvàQ. Chứng minh rằng

1 Đường tròn ngoại tiếp tam giácPQDđi qua một điểm cố định;

2 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácPQDchạy trên một đường trịn cố định.

Bài 6. Xét bảng ơ vng kích thước5×n,n ∈ N∗ (bảng gồm5hàng vàncột). Hỏi vớinnào
thì có thể lát được bảng bởi các viên gạch có dạng như hình bên dưới (hình có thể xoay theo
hướng bất kì).

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

BÀI

44.

TST KON TUM NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho dãy số(an)được xác định bởia1 =2019vàan+1 =

a2n
a2

n −an+1

, n∈ N∗.

1 Chứng minh rằng dãy số(an)là dãy số giảm và bị chặn dưới. Tìmliman.
2 Tính giới hạn dãy số(Sn)vớiSn =

∑

k=1
ak.

Bài 2. Choa,b,clà các số dương sao choa+b+c =abc, chứng minh rằng
r

1+ 1

a2 +
r

1+ 1

b2 +
r

1+ 1

c2 ≥2

√

Bài 3. Cho đường tròn (O;R) cố định, tam giác ABC là tam giác nhọn thay đổi và nội tiếp
trong đường tròn(O).

1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức m2a +m2b +m2c với ma, mb, mc lần lượt là độ dài các

đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A,B,Ccủa tam giác ABC.

2 Cho điểm H là trực tâm của tam giác ABC và Mlà trung điểm của BC. Điểm Pthuộc
đường thẳng HMsao cho APlà đường phân giác trong của góc ÷BAC. Đường thẳngd
quaHvà vng góc với APcắt các đường thẳngAB, AClần lượt tạiE,F. GọiNlà giao
điểm của hai đường thẳng AOvàEF. Chứng minh rằngPH =PNvà tứ giác AEPFnội
tiếp.

Bài 4.

1 Viết số20192020thành tổng củansố nguyên dương một các tùy ý như sau

20192020 =
n

∑

k=1
ak.

Tìm số dư khi chia

∑

k=1

a7k cho7.

2 Đặtan =2019n+1vớinlà số nguyên dương. Tìm các số nguyên tốpthỏa mãnap... p.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

BÀI

45.

TST LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho số thựcavà dãy số thực(un)xác định bởi

(

u1 =a

un+1 =ln(8+cosun+sinun) +2019,∀n=1, 2, 3, . . .

Chứng minh rằng dãy số(un)có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: R⇒Rthỏa mãn:

f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy),∀x,y∈ R.

Bài 3. Tìm tất cả các đa thứcP(x)với hệ số thực thỏa mãn

Px2+x+3P(3x+1) = P6x3+7x2+16x+3,∀x∈ R.

Bài 4. Cho tam giácABCkhông cân. Gọi E,Flần lượt là các điểm thuộc các cạnhAC, ABsao
choEFsong song vớiBC. Các tiếp tuyến tạiE, Fcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFcắt
đường thẳng BC lần lượt tại Mvà N. Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳng FN tại K và
đường thẳngCFcắt đường thẳngEMtại L.

a) Chứng minh rằng∠KAB=∠LAC.

b) Giả sử đường thẳng BE cắt đường thẳngCF tại X và đường thẳng EN cắt đường thẳng

FMtạiY. Chứng minh rằng đường thẳngXY luôn đi qua điểm cố định khiE, Fthay đổi.

Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên(m,n)vớim,n ≥3để tồn tại vô hạn các số nguyên dương
xsao cho x

m+x−1

xn+x2−1 là một số ngun dương.

Bài 6. Tìm số hốn vị(a1,a1, . . . ,a2020) của 2020số nguyên dương đầu tiên thỏa mãn đồng

thời hai điều kiện sau:

i) ai+1−ai ≤1với mọii =1, 2, 3, . . . , 2019.

ii) Tồn tại đúng hai chỉ sốivàjvới1 ≤i <j ≤2020sao choai =ivàaj = j.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

BÀI

46.

TST QUẢNG BÌNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho hai dãy số thực(an), (bn)thỏa mãn

(

a1 =2

an =2(n+an−1), ∀n≥2

;





b1 =2
bn = n

n−1(b1+b2+· · ·+bn−1), ∀n ≥2.

1 Chứng minh rằngan <2n+2với mọin∈ N∗.
2 Tính giới hạn:lim2(bn+n+2) +an

6n .

Bài 2. Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn (O). Đường tròn (I) nội tiếp tam
giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA vàAB lần lượt tại D, E vàF. Gọi Plà giao điểm thứ
hai (khác A) của đường trịn(O)với đường trịn đường kính AI.

1 Chứng minh rằngPDđi qua điểm chính giữa của cung BCkhơng chứa A.

2 GọiX là giao điểm của AD vàBE; Qlà điểm đối xứng với X quaEF; H là hình chiếu
vng góc củaDlênEF.Chứng minh rằng ba điểmA,H,Qthẳng hàng.

Bài 3. Cho n là số nguyên dương có dạng n = 22p−1 (trong đó p > 3 là số ngun tố).
Chứng minh rằngn|2n−8vàncó ít nhất ba ước nguyên tố phân biệt.

Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương(m,n) sao cho với mọi đa thức P(x) bậcmcó hệ
số thực ln tồn tại đa thứcQ(x)bậcncó hệ số thực màQ(P(x))chia hết choQ(x).

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

BÀI

47.

TST QUẢNG BÌNH NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : N∗ →N∗thỏa mãn điều kiện

(n−1)2 < f(n)· f(f(n)) <n2+n,∀n ∈N∗.

Bài 2. Cho tam giácABCnhọn, nội tiếp đường trịn(O)và có trực tâm H. GọiM,N lần lượt
là trung điểm củaBC,OH vàE, Flần lượt là hình chiếu vng góc củaN lên AC, AB. Gọi L
là điểm đối xứng vớiBquaACvàKlà điểm đối xứng vớiCquaAB.

a) Chứng minh rằng các đường thẳngKF,ELvàAMđồng qui.

b) Gọi Jlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácOBC. Chứng minh rằng AJvng góc vớiKL.

Bài 3. Cho số nguyên dươngn ≥2, xét2nđiểm phân biệt trong mặt phẳng sao cho khơng có

3điểm nào thẳng hàng. Nốin2+1cặp điểm trong số đó. Chứng minh rằng:
a) Có ít nhất1tam giác tạo thành.

b) Có ít nhấtntam giác tạo thành.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

BÀI

48.

TST QUÃNG NGÃI NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình


















1
xy =
x+z

yz =
y+x

zx =
z+y

y .

Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: R→Rthoả mãn

f (f(x+y)f(x−y)) = x2−y f(y), ∀x,y∈ R.

Bài 3. Cho ABC là tam giác nhọn, có AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABCvàMlà trung điểmBC. Đường thẳng đi qua Avng góc với AIcắt tiếp tuyến vẽ từ M
của đường tròn nội tiếp tam giác ABC (khác đường BC) tại điểm P. Gọi D là điểm tiếp xúc
củaBCvới đường trịn(I).

1 Gọi(Q)là đường trịn bàng tiếp gócAcủa tam giácABC,Elà điểm tiếp xúc củaBCvới

(Q),D0là điểm đối xứng vớiDqua I. Chứng minh rằng ba điểm A,E, D0 thẳng hàng.

2 Chứng minh rằngAI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MIP.

Bài 4.
1

Có thể đánh số các ơ vng của một bảng ô vuông4×4bởi các số
tự nhiên từ1đến16(mỗi ô chỉ viết một số, mỗi số chỉ viết một lần)
sao cho tổng4 số ở mọi phần của bảng ơ vng có dạng như hình
chữ T ở hình vẽ bên (có thể xoay về mọi phía) đều chia hết cho4hay
khơng?

2 Cho tập hợp gồm 2019 phần tử sau: {1; 2; 3; . . . ; 2019}. Cần loại bỏ ít nhất bao nhiêu
phần tử khỏi tập hợp trên, để tập hợp gồm các phần tử cịn lại có tính chất: với ba phần
tử bất kỳ, khơng có phần tử nào bằng tích hai phần tử còn lại?

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

BÀI

49.

TST QUẢNG NGÃI NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số(un)biết:





u1=

1
2;u2 =

2023
3 ;

(n+3)un+2−2(n+2)2un+1+ (n+2)(n+1)2un =0, n ∈N,n≥1.

Bài 2.

a. Cho n là một số ngun dương có ít nhất 6 ước nguyên dương. Giả sử các ước nguyên
dương củanđược sắp theo thứ tự sau1=d1 <d2 <· · · <dk =nvớik ≥6. Tìm tất cả các

số nguyên dươngnsao chon =d25+d26.

b. Choplà số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyênx,y,z,n, với0<n< pthỏa
mãnx2+y2+z2−np =0.

Bài 3. Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O). Một đường tròn(I) bất kỳ đi quaB,C và
lần lượt cắt các cạnhCA, ABtại D, E. BDcắtCEtại FvàGlà hình chiếu vng góc của I lên
đường thẳngAF.

1 Chứng minh rằng bốn điểmD,E,G,I cùng nằm trên một đường tròn vàGAlà tia phân
giác của góc ÷DGE.

2 BD cắt GE tại H, CE cắt GD tại K. Đường thẳng DE cắt đường tròn (O)tại hai điểm
M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giácGHK tiếp xúc với đường tròn
ngoại tiếp tam giácGMN.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

BÀI

50.

TST BẮC NINH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho hai dãy số(un), (vn), xác định như sau: u0 = a, v0 = b với hằng số thực a, bcho

trước thỏa mãn0<a <bvàun+1 =

un+vn

2 ,vn+1 =

√

un+1vn với mọi số tự nhiênn.

Chứng tỏ rằng hai dãy trên hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
Tìm giới hạn đó theoa,b.

Bài 2. Cho số nguyên tốp. Chứng minh rằng tồn tại vô số tự nhiênnthỏa mãn điều kiện

2020n+2019 ≡n+2018(mod p).

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi H, O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC, D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam giác
ABC. Các đường thẳngODvàBEcắt nhau tạiK, các đường thẳngOEvà ADcắt nhau tại L.
Gọi Mlà trung điểm cạnh AB. Chứng minh ba điểmK, L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn

điểmC, D,O, Hcùng nằm trên một đường trịn.

Bài 4. Tìm tất cả các đa thức f(x)hệ số thực, có bậc là số tự nhiên lẻ sao cho
f(x2−1) = f2(x)−1,∀x∈ R.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

BÀI

51.

TST BẮC NINH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 5. Tìm tất cả các hàm f: R→Rthảo mãn điều kiện

f(xy−1) +f(x)f(y) =2xy−1 (1)

với mọix, y ∈R.

Bài 6. Cho tam giác nhọnABC,Dlà một điểm bất kì trên cạnhBC.Trên cạnhAC,ABlần lượt
lấy các điểmE, Fsao cho ED =EC, FD = FB. Gọi I, J,K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
các tam giácABC, BDF,CDE.

1 Gọi Hlà trực tâm của tam giác JDK. Chứng minh rằng I JHKnội tiếp.

2 Chứng minh rằng khiDchuyển động trênBC,đường trịn ngoại tiếp tam giácI JK ln
đi qua một điểm cố định khác I.

Bài 7. Cho một đa giác đều A1A2· · ·A20 có10đỉnh của đa giác được tơ màu xanh,10đỉnh

cịn lại được tơ màu đỏ. Ta nối các đỉnh với nhau.

1 Gọialà số các đoạn thẳng nối hai đỉnh đỏ liên tiếp,b là số các đoạn thẳng nối hai đỉnh
xanh liên tiếp. Chứng minh a=b.

2 Xét tập hợp Sgồm đường chéo A1A4 và tất cả các đường chéo khác của đa giác mà có

cùng độ dài với nó. Chứng minh trong tập hợp đó, số đường chéo có hai đầu là màu đỏ
bằng với số đường chéo có hai đầu là màu xanh. Gọi k là số đường chéo có hai đầu là
màu xanh trongS, tìm tất cả các giá trị có thể có củak.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

BÀI

52.

TST NINH BÌNH NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn a2+1

b2+1

c2+1

= 8. Tìm giá trị lớn
nhất củaP=ab+bc+ca.

Bài 2. Cho số nguyên dươngnvà hàm số f liên tục trênRsao cho nhận cả giá trị âm và giá
trị dương. Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộnga1,a2, . . . ,an thỏa mãn:

f (a1) + f(a2) +· · ·+ f (an) =0.

Bài 3. Cho tam giácABCcóAB< AC, đường tròn(I)nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh
BC,CA,ABlần lượt tạiD,E,F. ĐiểmMthay đổi trên đoạn thẳngFD, đường thẳng quaMvà
song song BC cắtEF tại Kvà cắt DEtại P. Kẻ tiếp tuyếnKH với đường tròn ngoại tiếp tam
giácMEFvới Hlà tiếp điểm. Đường trung trực củaMFcắtAI tạiN vàHD cắt ME tạiG.
a) Chứng minhF,G,Pthẳng hàng.

b) Chứng minh rằng khi M thay đổi trênDF thì đường thẳngGN ln đi qua một điểm cố
định.

Bài 4. Tìm tất cả các bộ số(x,n,p)với x,nlà nguyên dương và pnguyên tố sao cho:
x3+3x+14=2pn.

Bài 5. Cho lưới ô vuông 2021×2021, trên mỗi ơ có một bóng đèn. Một ơ vng được gọi
là “xấu” nếu có một số chẵn ơ kề nó chứa bóng đèn tắt (2 ơ vng kề nhau là 2 ơ vng có
chung cạnh). Hỏi có thể bật, tắt các bóng đèn sao cho khơng cịn ơ vuông “xấu” trên bảng hay
không?

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

BÀI

53.

TST NAM ĐỊNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Giải hệ phương trình








(y+1)2+y
q

y2+1=x+3

(x−2y−1) +px2−2x+5=2qy2+1.

Bài 2. Cho dãy số(un)xác định bởi





u1 =

1
2

un+1 =1+un−u2n,∀n∈ N∗.
1 Chứng minh rằng 1

2 ≤un ≤
5

4,∀n ∈ N

∗.

2 Chứng minh dãy(un)có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Bài 3. Cho hàm số f : R→Rthỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) f(3x) =3f(x),∀x ∈ R.
ii) |f(x)−x| ≤1,∀x ∈R.

Chứng minh rằng f(x) = x,∀x ∈R.

Bài 4. Cho tam giác ABC khơng cân nội tiếp đường trịnO, đường phân giác của góc ÷BAC
cắt đường trịn(O)tại điểmDkhác A. GọiElà điểm đối xứng vớiBquaAD;Plà một điểm di
chuyển trên đoạnAE(Pkhông trùng với các điểmA,E). Các đường thẳngBE,BPcắt đường
tròn(O)tại các điểm thứ hai lần lượt là F,Q. Đường thẳng quaC, song song với AQcắt FD
tại điểmG.

1 GọiHlà giao điểm củaEGvàBC. Chứng minh rằng các điểmB,P,E,Hcùng thuộc một
đường trịn, gọi đường trịn đó là(K).

2 Đường tròn (K) cắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai là L. Gọi T là trung điểm của PE.
Chứng minh rằng LPluôn đi qua một điểm cố địnhSkhi Pdi chuyển và đường thẳng
quaTsong song với LSđi qua trung điểm của đoạnAF.

Bài 5.

1 Cho tậpX={1; 2; 3; . . . ; 2019}. Có bao nhiêu cách chọn10số phân biệt từ tậpXsao cho
trong10số đó có ít nhất hai số liên tiếp?

2 Mỗi cạnh của đồ thịK5được tô bởi1trong2màu, giả sử không tồn tại tam giác đơn sắc

(tam giác có 3 cạnh cùng màu). Chứng minh tồn tại2chu trình đơn sắc có độ dài5.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

BÀI

54.

TST NAM ĐỊNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho các số thực dươngx,ythoả mãn điều kiệnx+y+1=3xy. Chứng minh rằng

3x
y(x+1) +

3y
x(y+1) +

x+y ≤

x2 +

y2 +

3
2.

Bài 2. Đa thứcP(x)với các hệ số nguyên được gọi là “đẹp” nếu nó có biểu diễn dạng

P(x) = xn+pαn−1

n−1x
n−1+

pαn−2

n−2x

n−2+· · ·+
pα1

1 x+p

α0

0 ,

trong đón là số nguyên dương lớn hơn 1; pn−1,pn−2, . . . ,p0 làn số nguyên tố đôi một phân

biệt;αn−1,αn−2, . . . ,α0là nsố nguyên dương và đồng thời P(x) cónnghiệm ngun (khơng

nhất thiết phân biệt).

1 Chứng minh rằng mọi đa thức “đẹp” đều chia hết chox+1.

2 Tìm tất cả các giá trị có thể có của bậc của đa thức “đẹp”.

Bài 3. Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn(O). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABCvàAIcắtBCtạiD. Một đường thẳng thay đổi quaAcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
IBCtạiP,Qsao cho(P)nằm giữa AvàQ.

1 Chứng minh rằng tíchDP·DQln khơng đổi khiP,Qdi chuyển.

2 Giả sử đoạnPQcắt đoạn thẳngBD. Trên đoạn DBlấy điểmMsao choDP = DM. Gọi
Rlà điểm đối xứng vớiMqua trung điểm củaBC. Đường tròn ngoại tiếp tam giácADR
cắt đường tròn ngọai tiếp tam giácIBCtạiS,T. Các đường thẳngSTvàBCcắt nhau tại
N. Chứng minh rằng tam giácDNQcân.

Bài 4. Tồn tại hay không sáu số hữu tỉx,y,z,a,b,cthỏa mãn đồng thời các điều kiện
a2+b2+c2 =1, x2+y2+z2 =7, ax+by+cz =0.

Bài 5. Cónthành phố mà các con đường nối các thành phố với nhau đều là đường một chiều
và 2 thành phố bất kì được nối với nhau bởi đúng 1 con đường. Chứng minh tồn tại 1 thành
phố sao cho mỗi thành phố khác có thể có con đường đến trực tiếp thành phố này hoặc thông
qua đúng 1 thành phố khác.

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

BÀI

55.

TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC BẮC TRUNG BỘ NGÀY 1

NĂM HỌC 2019-2020

Bài 1. Cho số nguyên dươngk.Giả sửP(x) ∈ R[x]là đa thức bậc hai có hai nghiệm thực phân
biệt, đồng thời với mọi số thực avàb thỏa mãn|a|, |b| ≥ kthì P(a2+b2) ≥ P(2ab). Chứng
minh rằngP(x)có ít nhất một nghiệm âm.

Bài 2. Cho số thựcavà dãy số(un)xác định bởi

u1 = 3

4, u2=
1

2, un+2 =

u3n+1+2u3n+a

4 , n=1, 2, . . .

Tìm giá trị lớn nhất củaađể dãy(un)có giới hạn hữu hạn. Khi đó tìmlimun.

Bài 3. Trong một kỳ thi vấn đáp, có64thí sinh và6vị giám khảo. Mỗi thí sinh sẽ phải trả lời
với từng giám khảo và sẽ nhận được một trong hai kết quả: “đạt – trượt”. Biết rằng với hai thí
sinh bất kỳ, ln có một vị giám khảo đánh giá thí sinh này đạt, cịn thí sinh kia trượt. Sau kỳ
thi, hai thí sinh có kết quả khác nhau ở đúng một giám khảo nào đó thì sẽ kết bạn với nhau
(giả sử trước kỳ thi, chưa có ai là bạn bè của nhau cả).

1 Hỏi có tất cả bao nhiêu cặp là bạn bè của nhau?

2 Chứng minh rằng có thể xếp tất cả các thí sinh ngồi lên bàn trịn mà hai thí sinh ngồi

cạnh nhau là bạn bè của nhau.

Bài 4. Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp(O)và ngoại tiếp (I). GọiD, E, F là các
tiếp điểm của các đường trịn bàng tiếp gócA, B, Ctương ứng vớiBC, ACvàAB. Các đường
tròn(BDF)và(CDE)cắt nhau tại điểmJkhác D.

1 Chứng minh rằngOlà trung điểm của I J.

2 GọiX, Y, Zlà tâm của các đường tròn(AEF), (BDF), (CDE)vàKlà tâm đường tròn

(XYZ).Chứng minh rằngKlà trung điểm củaOJ.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

BÀI

56.

TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC BẮC TRUNG BỘ NGÀY 2

NĂM HỌC 2019-2020

Bài 5. Xét hàm số f : R+ →R+thỏa mãn đồng thời các điều kiện

i) f(x+f(x+y)) = f(2x) + f(y);

ii) Không tồn tại các số dươngx, ysao chox <y<2xmà f(x) = f(y).
a) Chứng minh rằng f là hàm số đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn khơng cân nội tiếp đường trịn(O) có trực tâm H; chân các
đường cao đỉnhA, B,Clần lượt là D, E, F; trung điểm các cạnhBC,CA, ABlần lượt là M, N,
P. Các đường thẳngAM, BN,CPcắt đường tròn(DEF)tại I, J,K(khác M,N, P). Các đường
tròn(AID),(BJE),(CKF)cắt(O)theo thứ tự tạiX,Y,Z(khác A, B,C).

a) Chứng minh rằngAX, BY,CZđồng quy trên đường thẳngOH.

b) GọiA0,B0,C0là điểm đối xứng củaX,Y,ZquaM,N,Ptương ứng. Chứng minh rằngAA0,
BB0,CC0đồng quy.

Bài 7. Tồn tại hay không các số nguyên phân biệtx,y,zvà các số nguyên dươngm,n(m <n)

thỏa mãn đẳng thức

(2x−1)n = (2y−1)m(2z−1)n−m.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

BÀI

57.

TRƯỜNG ĐƠNG TỐN HỌC NAM TRUNG BỘ NĂM

HỌC 2019-2020

Bài 1. Tìm tất cả các số thựccsao cho tồn tại hàm số f : R→Rthỏa
f(f(x) + f(y)) +cxy= f(x−y)

với mọi số thựcxvày.

Bài 2. Xác định tất cả các cặp số nguyên dương(a;b)thỏaan−na|bn−nb với mọi số nguyên
dươngnmàan 6=na.

Bài 3. Cho2019đống sỏi, đống thứ icóiviên sỏi (i = 1,2,. . . , 2019). Mỗi bước, ta chọn một
số đống đã chọn một số lượng sỏi khác0và bằng nhau (số sỏi lấy ở mỗi đống trong các bước
khác nhau không nhất thiết bằng nhau). Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để lấy được hết sỏi
trong2019đống?

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn. Một đường trịn (K) thay đổi ln đi qua B, C cắt lại đoạn
thẳngCA, ABtheo thứ tự tạiE, F, BEcắtCFtại H.

1 Chứng minh rằng các tiếp tuyến quaE,Fcủa(K)cắt nhau tại một điểmPnằm trênAH.

2 Trên BE, CFlần lượt lấy các điểmM,N sao choPM k AB,PN k AC. Chứng minh rằng
sáu điểmP,E,F,M,N,Kcùng nằm trên một đường trịn. Kí hiệu đường trịn này là(L).

3 Gọi(O)là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ALcắtOKtại J. Chứng minh rằng BK
là phân giác gócOBJ’.

</div>

Tuyển tập Đề thi tuyển chọn đội tuyển dự thi VMO cả nước năm 2020

<b>MỤC LỤC</b>

<b>TUYỂN TẬP ĐỀ THI TST CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ, ĐẠI</b>

<b>HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>1.</b>

<b>TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>2.</b>

<b>TST ĐẠI HỌC VINH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>3.</b>

<b>TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 1 NĂM HỌC</b>

<b>2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>4.</b>

<b>TST CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NGÀY 2 NĂM HỌC</b>

<b>2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>5.</b>

<b>TST BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>6.</b>

<b>TST HẢI PHỊNG NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>7.</b>

<b>TST HẢI PHÒNG, NGÀY 2, NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>8.</b>

<b>TST HÀ TĨNH NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

∑

<b>BÀI</b>

<b>9.</b>

<b>TST HÀ TĨNH NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>10.</b>

<b>TST PHÚ THỌ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>11.</b>

<b>TST PHÚ THỌ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>12.</b>

<b>TST QUẢNG TRỊ NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

∑

<b>BÀI</b>

<b>13.</b>

<b>TST QUẢNG TRỊ NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>14.</b>

<b>TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>15.</b>

<b>TST THÀNH PHỐ HCM NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>16.</b>

<b>TST PTNK NĂM HỌC 2019-2020</b>

∑

<b>BÀI</b>

<b>17.</b>

<b>TST PTNK - NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>18.</b>

<b>TST BẮC GIANG NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>19.</b>

<b>TST GIA LAI NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>20.</b>

<b>TST HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>21.</b>

<b>TST BÌNH THUẬN NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>22.</b>

<b>TST KHÁNH HÒA NGÀY 1 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>23.</b>

<b>TST KHÁNH HỊA NGÀY 2 NĂM HỌC 2019-2020</b>

<b>BÀI</b>

<b>24.</b>