Chuyên đề vận dụng cao phương trình và hệ phương trình chứa căn

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TỐN VD–VDC

VẤN ĐỀ 1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG THAM SỐ
Các phương pháp được dùng đến gồm:
 Phương pháp thế
 Phương pháp đặt ẩn phụ
 Phương pháp ép tích
 Phương pháp đánh giá
Email:
Email:
Câu 1.

 y − 3x + 4 + y + 5 x + 4 =
4
Biết hệ phương trình: 
với x, y ∈  có hai nghiệm
 5 y + 3 − 7 x − 2 = 2 x − 1 − 4 y
S
( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) . Tính =
A.

27
.
32

3 x1 + 4 y2 .
B.

13

.
4

C.

27 + 6 17
.
32

D.

33 + 6 17
.
32

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích,Tên FB: Bich Nguyen
Chọn B
 y − 3x + 4 ≥ 0
 y + 5x + 4 ≥ 0


2
Điều kiện xác định : 
x≥
7


3
 y≥−

5

Ta có:

y − 3x + 4 − y + 5 x + 4 =

y − 3x + 4 − y − 5 x − 4
−8 x
=
= −2 x
4
y − 3x + 4 + y + 5 x + 4

 y − 3x + 4 + y + 5 x + 4 =
4
⇒ 2 y − 3x + 4 = 4 − 2 x
thu được hệ 
 y − 3x + 4 − y + 5 x + 4 =−2 x
x ≤ 2
⇔
.
y x2 − x
=
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

1


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TỐN VD–VDC

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được
5x2 − 5x + 3 − 7 x − 2 + 4 x2 − 6 x + 1 =
0 (điều kiện

⇔

(

)

2
≤ x≤2)
7

5 x 2 − 5 x + 3 − ( x + 1) + (2 x − 7 x − 2) + 4 x 2 − 7 x + 2 =
0


1
⇔ 4x2 − 7 x + 2 
+
 5 x 2 − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x +

1
2
+
Do ≤ x ≤ 2 nên
2

7
5 x − 5 x + 3 + ( x + 1) 2 x +

(

)

Suy ra 4 x 2 − 7 x + 2 = 0 ⇔ x =


1
+ 1 =
0

7x − 2

1
+1 > 0
7x − 2

7 ± 17
(TM) .
8

Với
=
x

7 + 17
5 + 3 17

(TM).
=
⇒y
8
32

Với
=
x

7 − 17
5 − 3 17
(TM).
=
⇒y
8
32

 7 + 17 5 + 3 17 
 7 − 17 5 − 3 17 
;
;
Hệ phương trình có hai nghiệm 
 và 
 .
8
32
8
32 




13
Vậy S =3 x1 + 4 y2 = .
4

Câu 2.

 y 3 − x3 + 3 x 2 = 6 y 2 − 16 y + 7 x + 11
Hệ phương trình 
có bao nhiêu nghiệm thực?
2
0
( y + 2) x + 4 + ( x + 9) 2 y − x + 9 + x + 9 y + 1 =
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Phu,Tên FB: Nguyễn Văn Phu
Chọn A

 x ≥ −4
(*)
ĐK 
2 y − x + 9 ≥ 0

Cách 1 ( Lớp 10) PT thứ nhất tương đương với ( y − 2)3 + 4( y − 2) = ( x − 1)3 + 4( x − 1) (1)
⇔ ( y − x − 1)[ ( y − 2) 2 + ( y − 2)( x − 1) + ( x − 1) 2 + 4] =0 ⇔ y =x + 1

≥0

Cách 2 ( Lớp 12) Xét hàm số f (t ) = t 3 + 4t ⇒ f '(t ) = 3t 2 + 4 > 0, ∀t ∈ 
Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên  . PT (1) có dạng
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

2


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

f ( y − 2) = f ( x − 1) ⇔ y − 2 = x − 1 ⇔ y = x + 1

0
Thay vào phương trình thứ hai ta được: ( x + 3) x + 4 + ( x + 9) x + 11 + x 2 + 9 x + 10 =
0
⇔ ( x + 3)( x + 4 − 3) + ( x + 9)( x + 11 − 4) + x 2 + 2 x − 35 =
⇔ ( x − 5)[

x+3
x+9
0
+
+ ( x + 7)] =
x

4
3
x
11
4
+
+
+
+



x+3
x+9
⇔ ( x − 5)[ (
+ 1) +
+ ( x + 6)] = 0 ⇔ x = 5
4
3
11
4
x
+
+
x
+
+




> 0,∀x ≥−4

Với x = 5 ⇒ y = 6 . (t/m đk (*). Vậy HPT có 1 cặp nghiệm ( x0 ; y0 ) = (5;6)
Email:
Câu 3.

m
 x + 1 + y + 1 =
Số giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình 
có nghiệm là :
 x + y = 2 m + 1
A. 4 .

B. 3 .

D. 1 .

C. 2 .
Lời giải

Tác giả:Mai Ngọc Thi,Tên FB: Mai Ngọc Thi
Chọn B
Điều kiện : x ≥ −1 ; y ≥ −1 .
=
u
Đặt 
v
=

x +1

y +1

, u , v ≥ 0 khi đó ta có hệ phương trình

m
u + v =
m
u + v =
m
u + v =

⇔
⇔
 2 2
m2 − 2m − 3
2
u
+
v
−
2
=
2
m
+
1
+
−
=
+

u
v
uv
m
2
2
3
=
uv
(
)




2

 S= u + v
Đặt 
, S 2 ≥ 4 P khi đó ta có hệ
 P = uv

S = m


m2 − 2m − 3
P
=



2

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

3


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC


m ≥ 0
S ≥ 0
 2
m ≥ 3

 m − 2m − 3
⇔ 2
Theo yêu cầu bài toán :  P ≥ 0 ⇔ 
⇔ 3 ≤ m ≤ 2 + 10
≥0
2
m − 4 m − 6 ≤ 0
S 2 ≥ 4 P


 2
m2 − 2m − 3
≥

m
4.


2

Vậy ta có 3 ≤ m ≤ 2 + 10 và m ∈ ⇒ m ∈ {3,4,5} .
Email:
Câu 4.

Hệ phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm

 x3 − y 3 + 3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 =
0

2
( x + 1) y + 1 + ( x + 6 ) y + 6 = x − 5 x + 12 y

B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

(1)
( 2)
D. 3 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phượng,Tên FB:Nguyễn Thị Phượng

Chọn B
Lớp 10
Phương trình (1) của hệ tương đương với

( x + 1)

3

+ 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y

⇔ ( x + 1 − y ) ( x + 1) + ( x + 1) y + y 2 + 3 =0


2

 x + 1 − y =0
 x + 1 =y
⇔
⇔
⇔ y = x +1
 2
2
2
2
0
0
( x + 1) + ( x + 1) y + y + 3 =
x + (2 + y) x + y + y + 4 =
( phương trình dưới vơ nghiệm do có ∆ = ( 2 + y ) − 4 ( y 2 + y + 4 ) = −3 y 2 − 12 < 0, ∀y )
2

Thế vào pt ( 2 ) của hệ ta được:

( x + 1)

x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7 x + 12

⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2x − 8

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

4


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
 = ( x − 2 )( x + 4 )
x+7 +3
 x+2+2
0
x − 2 =

⇔
 x +1 + x + 6 =
x+4
x+7 +3
 x + 2 + 2

x = 2

⇔
− ( x + 2)

2


(

x+2
x+2+2

)

− ( x + 6)
2

(

x + 7 +1
x+7 +3

)

−

1
=
0
x+2+2

Phương trình dưới vơ nghiệm do vế trái ln âm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất=
x 2;=
y 3.
Lớp 12.
Phương trình (1) của hệ tương đương với

( x + 1)

3

+ 3 ( x + 1) = y 3 + 3 y

Xét hàm số f ( t )= t 3 + 3t trên  .
f ′ ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t nên hàm số đồng biến trên  .

Suy ra phương trình (1) ⇔ x + 1 =y
Thế vào pt ( 2 ) của hệ ta được:

( x + 1)

x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 = x 2 + 7 x + 12

⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2x − 8

x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
 = ( x − 2 )( x + 4 )
x+7 +3

 x+2+2
0
x − 2 =

⇔
 x +1 + x + 6 =
x+4
 x + 2 + 2
x+7 +3

x = 2

⇔
− ( x + 2)

2


(

x+2
x+2+2

)

− ( x + 6)
2

(

x + 7 +1
x+7 +3

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

)

−

1
=
0
x+2+2

5


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TỐN VD–VDC

Phương trình dưới vơ nghiệm do vế trái ln âm. Vậy hệ có nghiệm duy nhất=
x 2;=
y 3.
( có thể dùng máy tính để chứng minh phương trình dưới vơ nghiệm).
Email:

Câu 5.

 x x 2 + y + y= x 4 + x3 + x

(1)

Biết hệ phương trình 
( x, y ∈  ) có nghiệm
9
 x + y + x − 1 + y ( x − 1) = ( 2 )
2

a+c
các phân số tối giản. Tính
.
b+d
A.

25
.
16

B.

25
.
8

C.

5
4

D.

c
a
a c 
và
là
 ;  , với
d
b
b d 

25
.
4

Lời giải
Tác giả:

Nguyễn Đắc Tuấn,Tên FB: Đỗ Đại Học

Chọn A

x ≥ 1
Điều kiện: 
y ≥ 0
(1) ⇔ x x 2 + y +=
y x x 2 + x + x ⇔ x( x 2 + y − x 2 + x) + ( y − x=
) 0
⇔x

y−x
x +y+ x +x
2

2

⇔ y=
x (Vì

+ ( y − x ) = 0 ⇔ ( y − x)( x 2 + y + x 2 + x + x) = 0

x 2 + y + x 2 + x + x > 0, ∀x ≥ 1; y ≥ 0)

9
Thay vào phương trình (2), ta có: x + x + x − 1 + x( x − 1) =
2

Đặt t =

x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t 2 = 2 x − 1 + 2 x( x − 1)

t = 2 ( tm )
Phương trình trở thành: t 2 + 1 + 2t = 9 ⇔ t 2 + 2t − 8 = 0 ⇔ 
t = −4 ( l )

Với t = 2, ta có:

5

25

x ≤
⇔x=
2
x − 1 + x =2 ⇔ 2 x( x − 1) = 5 − 2 x ⇔ 
16
4 x 2 − 4 x = 25 − 20 x + 4 x 2


a + c 2.25 25
 25 25 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất là:  ;  . Suy ra: = =
.
b + d 2.16 16
 16 16 

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

6


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Phản biện :Với cách hỏi như trên, học sinh dễ dàng nhận ra hệ pt có nghiệm duy nhất và sử dụng
máy tính cho kết quả nhanh chứ không cần giải, nên thay đổi câu hỏi như : Số nghiệm của hệ là….
Email:

Câu 6.


3
3
4
( x + y + 2020) + x + y + 2020 =
Biết rằng hệ phương trình: 
có hai nghiệm ( x1; y1 ) và ( x2 ; y2 ) .

2
2
0
 x + ( y + 2018) + ( y + 2016) x + 1 =
Khi đó, giá trị của biểu thức x1.x2 bằng:
B. −8 .

A. 0 .

D. −2 .

C. 4 .

Tác giả: Đỗ Thị Hồng Anh,Tên FB: Hong Anh
Lời giải
Chọn B


3
3
4
(1)

( x + y + 2020) + x + y + 2020 =


2
2
0 (2)
 x + ( y + 2018) + ( y + 2016) x + 1 =
Đặt t = x + y + 2020 , phương trình (1) trở thành: t 3 +

3
t4 + 3
=4⇔
= 4 . Suy ra t > 0 .
t
t

111
3
1 1 1
Áp dụng AM-GM cho 4 số dương t 3; ; ; , ta có: t 3 + = t 3 + + + ≥ 4
t
t t t
t t t
Nên pt (1) ⇔ t 3 =

1
⇔ t = 1. Do đó: x + y + 2020 =1 ⇔ y =− x − 2019 .
t

Thay y =− x − 2019 vào pt (2), ta có: x2 + 3x + 1 − ( x + 3) x2 + 1 =0 .

Đặt t =

x2 + 1, t ≥ 1 , ta có phương trình: t 2 − ( x + 3)t + 3x = 0 ⇔ t = x ∨ t = 3 .

t= x ⇔ x2 + 1= x ⇔ x ∈∅
t = 3 ⇔ x2 + 1 = 3 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2 2
Vậy, x1.x2 = −8 .
Email:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

7


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Câu 7.

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC


1− y
x
−
+x+ y =
1
(1)

1 + 1 − x 1 + y
Hệ 


1 3 2
 2
8 x + 7 x + 20 y − 13 = 1 + 1 − y  3 x − 2




có bao nhiêu nghiệm thực?

(2)

B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

D.Vô số.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Minh ĐăngTên FB: Johnson Do
Chọn B

0 ≤ x ≤ 1
+ Điều kiện: 
0 ≤ y < 1

1− y
x

+x
+1− y .
+ (1) ⇔ =
1+ 1− x
1 + 1 − (1 − y )
+ Xét hàm=
số f (t )
1
=
+ Ta có f '(t ) 2

t
+ t trên [ 0;1] .
1+ 1− t

(1 + 1 − t ) + 2
t
(1 + 1 − t )
2

t
1 − t + 1 > 0, ∀t ∈ 0;1 . Suy ra hàm số đồng biến trên 0;1 .
( )
( )

 f (t ) > f (0)
, ∀t ∈ ( 0;1) . Suy ra hàm số đồng biến trên [ 0;1] .
Mà 
 f (t ) < f (1)
+ Mặt khác f (=

x) f (1 − y ) . Suy ra nghiệm duy nhất của (1) là x =1 − y ⇔ y =1 − x .
 1
+ Khi đó (2) ⇔ 8 x 2 − 13 x + 7 = 1 +  3 3 x 2 − 2
 x

+ Với x ∈ ( 0;1] thì
(2) ⇔ 8 x3 − 13 x 2 + 7 x =

( x + 1) 3 3x 2 − 2 ⇔ ( 2 x − 1)

u 2x −1
=
+ Đặt 
Ta có hệ
3
=
3x 2 − 2
v

u 3 − ( x 2 − x − 1) =

 3
2
v − ( x − x − 1) =

3

− ( x 2 − x − 1) =

( x + 1) v

. Trừ vế theo vế của hệ ta được:
( x + 1) u

u = v

( u − v ) ( u 2 + uv + v 2 + x + 1) = 0 ⇔ 

2
2
u + uv + v + x + 1 =0 (*)

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

( x + 1) 3 ( x + 1)( 2 x − 1) + ( x 2 − x − 1)

.

8


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

+ Nhận xét thấy ∆ v =u 2 − 4u 2 − 4 x − 4 =−3 ( 2 x − 1) − 4 x − 4 =−12 x 2 + 8 x − 7 < 0, ∀x ∈  . Suy ra
2

2

v 3


phương trình (*) vô nghiệm.( Cách 2: VT(*) =  u +  + v 2 + x + 1 > 0, ∀x ∈ ( 0;1] . Suy ra (*) vô
2 4

nghiệm.)
+ u = v ⇔ 2x −1 =

3

1

x = − (l )

3 x − 2 ⇔ 8 x − 15 x + 6 x + 1 = 0 ⇔
8

 x = 1 ( n)
2

3

2

+ Với x =1 ⇒ y =0 .
+ Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;0 )
Cách 2 để giải phương trình (2): Với x ∈ ( 0;1] thì
(2) ⇔ 8 x 3 − 13 x 2 + 7 x =( x + 1) 3 3 x 2 − 2 ⇔ 8 x 3 − 10 x 2 + 7 x − 2 =( x + 1) 3 3 x 2 − 2 + 3 x 2 − 2

⇔ ( 2 x − 1) + ( x + 1)( 2 x − 1) =
3

( x + 1) 3 3x 2 − 2 + ( 3x 2 − 2 )

2

⇔ ( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2  ( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3 3 x 2 − 2 +



( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2 =
0
⇔ 
2
3
2
( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3 x − 2 +
VT(*)=

(

3

3x 2 − 2

1
2
( 2 x − 1) − ( 2 x − 1) 3 3x 2 − 2 +
4

(

3

(

3

3x 2 − 2

) + ( x + 1) =0
2

) + ( x + 1) =0 (*)
2

3x 2 − 2

) + 34 ( 2 x − 1) + ( x + 1)
2

2

2

2
1
 3
VT(*) =
= ( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2  + ( 2 x − 1) + ( x + 1) > 0, ∀x ∈ ( 0;1] . Suy ra (*) vô nghiệm.
2

 4

Vậy ( 2 x − 1) − 3 3 x 2 − 2 =
0 ( Trở lại giải như trên)
Email:

Câu 8.

 x + y 2 − x 2 =12 − y
Giải hệ phương trình 
ta được hai nghiệm ( x1 ; y1 ) và ( x2 ; y2 ) . Tính giá trị biểu
2
2
12
 x y − x =
thức T = x12 + x22 − y12 .
A. T = −25 .

B. T = 0 .

C. T = 25 .

D. T = 50 .

Lời giải
Tác giả:: Lê Anh Dũng,Tên FB: Dũng Lê.
Chọn B
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

9

Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Điều kiện y 2 ≥ x 2 .
Từ phương trình
x + y 2 − x 2 = 12 − y ⇒ x 2 + 2 x y 2 − x 2 + y 2 − x 2 = 144 − 24 y + y 2 ⇔ x y 2 − x 2 = 144 − 24 y . (1)

Thay x y 2 − x 2 =
12 vào phương trình (1) ta được: y = 5 .
Thay y = 5 vào phương trình x y 2 − x 2 =
12 và giải ra ta được x = 3 hoặc x = 4 .
Thử lại điều kiện ta được tập nghiệm của hệ là {(3;5), (4;5)} .
Ta có T = 32 + 42 − 52 = 0 .
Email:

Câu 9.

Gọi ( x0 ; y0 )

 32 x − x 2 − 2 y 2 + 1 − 2 =y 2
với y0 > 0 là nghiệm của hệ phương trình 
. Gọi m là
 3 48 x 2 − 2 x3 + 20 y 2 + 1 − 60 =2 y 2

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =t 2 − x0t + y0 với t ∈  . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m  1;1 .

B. m  15; 12 .

C. m  62; 60 .

D. m  98; 95 .

Lời giải
Tác giả:: Nguyễn Lương Thành,Tên FB: Luong Thanh Nguyen
Chọn C
Điều kiện: x ∈ [ 0;32] .
 32 x − x 2 − 2 y 2 + 1 − 2 =y 2

Ta có: 
2 y2
 3 48 x 2 − 2 x 3 + 20 y 2 + 1 − 60 =

(1)
( 2)

Lấy (1) + ( 2 ) ta được:
32 x − x 2 + 3 48 x 2 − 2 x 3 + 18 y 2 + 1 − 62 =
3y2 .

⇔

3
32 x − x 2 + 3 48 x 2 − 2 x=
3 ( y 2 + 1) − 18 y 2 + 1 + 59

⇔

32 x − x 2 + 3 48 x 2 − =
2 x3 3

(

)

2

y 2 + 1 − 3 + 32 ( I )

Vì:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

10


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn
2
32 x − x=

+

+

3

x3

48 x 2 − 2=

x ( 32 − x ) ≤

3

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x + 32 − x
= 16
2

x.x. ( 48 − 2 x ) ≤

x + x + 48 − 2 x
= 16
3

nên: VT ( I ) ≤ 32 và dấu “=” xảy ra khi x = 16 .
Mặt khác: 3

(

)

2

y 2 + 1 − 3 + 32 ≥ 32 nên VP ( I ) ≥ 32 và dấu bằng xảy ra khi

y2 +1 =

3.

 x = 16
 x = 16
Do đó: ( I ) ⇔  2
.
⇔ 2
3 y = 8
 y + 1 =
Thay vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.
Suy ra
=
x0 16,
=
y0 2 2 và P= t 2 − 16t + 2 2=

( t − 8)

2

− 64 + 2 2 ≥ −64 + 2 2

⇒m=
−64 + 2 2 .

Vậy m ∈ ( −62; −60 ) .
* Cách khác:
Đặt a=

 32 x − x 2 = a 2 − 2a + 1

(1)

y + 1 ≥ 1 . Khi đó hệ phương trình trở thành: 
 3 48 x 2 − 2 x3 = 2a 2 − 20a + 58 ( 2 )
2

+1
(1) ⇔ a 2 − 2a=

x ( 32 − x ) ≤

58
( 2 ) ⇔ 2a 2 − 20a +=

3

x + 32 − x
= 16 ⇔ a ∈ [ −5;3] .
2

x.x ( 48 − 2 x ) ≤

x + x + 48 − 2 x
= 16 ⇔ a ∈ [3;7 ]
3

a = 3
 x = 16
⇒
Suy ra: 

.
 x = 16  y = 2 2
Do đó:
=
x0 16,
=
y0 2 2 và P= t 2 − 16t + 2 2=

( t − 8)

2

− 64 + 2 2 ≥ −64 + 2 2

⇒m=
−64 + 2 2 .

Vậy m ∈ ( −62; −60 ) .
Email:

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

11


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2 xy − y + x + y =

5
Câu 10. Giả sử ( x; y ) là nghiệm của hệ phương trình 
.Khi đó giá trị của biểu thức
1
 5 − x + 1 − y =
=
P y x 2 + 1 − x y 2 + 1 − xy + 2x thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (−17; −15) .

B. (−3; −1) .

C. (4;6) .

D. (18; 20) .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc DiệpTên FB: Nguyễn Ngọc Diệp
Chọn C
Điều kiện của hpt: x ≤ 5, y ≤ 1, xy − y ≥ 0 .
Xét 2 trường hợp:

x < 1
1 − x > 0
⇔
.
TH1 : Nếu 
 y < 0 − y > 0
Khí đó: 2 xy − y + x + y =5 ⇔ − x − 2 xy − y − y =−5 ⇔ 1 − x − 2 (− y)(1 − x) + (− y) =−4
⇔ ( 1 − x − − y )2 =−4 < 0 ⇒ Hệ pt đã cho vô nghiệm.

x ≥ 1
x −1 ≥ 0
⇔
. Khí đó:
TH 2 : Nếu 
y ≥ 0 y ≥ 0

2 xy − y + =
x + y 5 ( x − 1) + 2 ( x − 1)=
y+y 4
⇔

1− y 1
1− y 1
 5 − x +=
 5 − x +=

( x − 1 +
 x −=
y )2 4
1+ y 2
=
⇔
⇔
1 − y 1  5 − x + =
1− y 1
 5 − x + =
 x − 1 = 2 − y
 x = 5 − 4 y + y

⇔
⇒
⇒ 1− y + 2 y =
1 ⇔ 4 y − y2 =−3y
 5 − x =1 − 1 − y − x =−3 − 2 1 − y − y

−3y ≥ 0
⇔
⇔ y=
0 . Với y = 0 ⇒ x = 5 . Thử lại với=
x 5,=
y 0 vào hpt đã cho thấy thõa mãn.
2
9y2
16(y − y ) =
x =5, y = 0 ⇒ P = 5 . Chọn câu C.
Email:
Ý kiến phản biện: các giải trên quá dài, nếu ta để ý khi bình phương phương trình thứ hai của hệ
ta sẽ có được biểu thức của phương trình thứ nhất, nên ta biến đổi
5 − x + 1− y =
1⇔

(

5 − x + 1− y

)

2

= 1 ⇔ 5 − x − y + 2 (5 − x)(1 − y) = 0

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

12


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 xy = y
 x 5;=
=
y 0
⇔ 2 xy − y + 2 (5 − x)(1 − y) = 0 ⇔ 
⇔
0
 x= y= 1(loai )
(5 − x)(1 − y) =

 x + 1 + ( x + 1)( y − 2 ) + x + 5 = 2 y + y − 2

Câu 11. Biết rằng hệ phương trình  ( x − 8 )( y + 1)
( x, y ∈  ) có hai
= ( y − 2) x + 1 − 3
 2
 x − 4x + 7

(

)

a+ b
trong đó a, c là các số nguyêndương, b
nghiệm ( x1; y1 ) , ( x2 ; y2 ) với x1 < x2 . Biểu diễn x2 + y1 =
c
là số nguyên tố. Khi đó, a + b + c =
?
B. 36 .

A. 42.

C. 41 .

D. 48 .

Lời giải
Tác giả: Ngô Gia Khánh,Tên FB: Khánh Ngô Gia

 x + 1 + ( x + 1)( y − 2 ) + x + 5 = 2 y + y − 2

 ( x − 8 )( y + 1)
= ( y − 2) x + 1 − 3
 2
 x − 4x + 7

(

)

(1)
(2)

Điều kiện x ≥ −1; y ≥ 2 .
Đặt

x +=
1 u; y −=
2 v ( u , v ≥ 0 ) , khi đó (1) trở thành:

2
u + uv + u 2 − 1 +=
5 2 ( v 2 + 2 ) + v ⇔ u − v + uv − v 2 + u 2 − v=
0

⇔ ( u − v )(1 + 2u + v ) =
0
⇔u=
v (do u , v ≥ 0 ⇒ 1 + 2u + v > 0 )

⇒ x +1 =

y−2 ⇔ y = x+3 .

Thế vào (2) ta được:

( x − 8)( x + 4 )
x2 − 4x + 7

=

( x + 1) (

x = 8
⇔  x+4

=
 x 2 − 4 x + 7

)

x +1 − 3 ⇔

( x − 8)( x + 4 ) ( x + 1)( x − 8)
x2 − 4x + 7

=

x +1 + 3

x +1
( 3)
x +1 + 3

+ x =8 ⇒ y =11 ( thỏa mãn điều kiện)
+

( 3) ⇔ (

)

x + 1 + 3 ( x + 4) =

( x + 1) ( x 2 − 4 x + 7 )

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

13


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

⇔

(

)(

x +1 + 3 


x +1

)

2

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2
+ 3= ( x − 2 ) + 3 . ( x − 2 ) + 3 (4)




Xét hàm số f ( t ) =
( t + 3) ( t 2 + 3) với t ∈ 
Có f ' ( t=
) 3 ( t + 1) ≥ 0 ∀t ∈  nên f ( t ) đồng biến trên  .
2

Do đó ( 4 ) ⇔ f

(

x ≥ 2
x + 1 = f ( x − 2) ⇔ x + 1 = x − 2 ⇔ 
2
x +1= x − 4x + 4

)

x ≥ 2
5 + 13
( thỏa mãn điều kiện)
⇔ 2
⇔x=
2
0

 x − 5x + 3 =

 5 + 13 11 + 13 
Hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) là ( 8;11) và 
;

2
 2


Theo giả thiết x2= 8; y1=

11 + 13
27 + 13
⇒ x2 + y1=
.Chọn A
2
2

Email:
Câu 12. Gọi ( x0 ; y0 ) =
( a + b c ; d + e c ) (với c là số nguyên tố) là nghiệm của hệ phương trình
3
3
2
2
0
 x + 2 y + x ( y + 1) + 2 y ( x + 1) =
 2
 y =(1 − x + 3 y )( x + 3 y − 2 y + 2)

(1)

.

(2)

Tính gía trị của biểu thức P = a + b − e.
A. P = −16.

B. P =−6 ⋅

C. P = −2 ⋅

D. P = 1.

Lời giải
Tác giả: Hồ Minh TườngTên FB:Hồ Minh Tường
Chọn C

x + 3y ≥ 0
Điều kiện: 
.
y ≥ 0
 x2 + y2 + 1 =
0
Ta có (1) <=> x 2 ( x + 2 y ) + y 2 ( x + 2 y ) + ( x + 2 y ) = 0 <=> ( x + 2 y )( x 2 + y 2 + 1) = 0 <=> 
 x = −2 y
* Xét x 2 + y 2 + 1 =
0 vô nghiệm.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

14


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC
2

 y 
y
+2
* Xét x = −2 y thế vào (2) ta được y = (1 − y )( y − 2 y + 2) <=> 
 =
−
−
1
y
1
y


2

( y = 1 không là nghiệm)
 y
 1 − y = −1 <=> y − y + 1 = 0 (vn)


<=> 
 y =−1 − 3 (vn)
y

= 2 <=> 
1 − y
 y =−1 + 3 => y0 =4 − 2 3 → x0 =4 3 − 8 → P =−2


Chọn C
Email:

( x + y ) x − y + 2 = x + 3 y + 2
(1)
Câu 13. Cho hệ phương trình 
( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2 ( 2 )
Biết hệ trên có nghiệm duy nhất ( x0 ; y0 ) khi đó tổng x0 + y0 bằng
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Fb: Lê hoA.
Lời giải.
Chon C

x − y + 2 ≥ 0 x ≥ y − 2

⇔
( *) .
x
+
y
−
2
≥
0
x
+
y
≥
2



Điều kiện: 
Ta có

(1) ⇔ ( x + y ) (

)

x− y+2 −2 =
−x + y + 2 ⇔ ( x + y)

x− y−2
=
− ( x − y − 2)

x− y+2+2



x+ y
0
⇔ ( x − y − 2 ) 
+ 1 =
2
2
x
−
y
+
+



⇔ x = y + 2 (do

x+ y
+ 1 > 0 ∀x, y thoả mãn (*)).
x− y+2+2

Thay vào (2) ta được=
:4

( 2 y + 3)

2 y . Đặt

=
t

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

2 y ≥ 0 , ta có
15


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

4 = t 3 + 3t ⇔ ( t − 1) ( t 2 + t + 4 ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ 2 y = 1 ⇔ y =

1
5
⇒x= .
2
2

5 1
2 2

Vậy hệ có nghiệm  ;  . Ta có x0 + y0 =
3 suy ra chọn C
Email:
Câu 14. ( đã xóa do trùng bài)
Câu 15. ( đã xóa do trùng bài)
Email:

 1 + x1 + 1 + x2 +  + 1 + x2018 =2018.2019
a a
a 
Câu 16. Biết rằng hệ 
có một nghiệm là  1 ; 2 ;..; 2018  với
b2018 
 b1 b2
 1 − x1 + 1 − x2 +  + 1 − x2018 =2017.2018
a
a
a a
các i , i = 1, 2018 là các phân số tối giản. Tính tổng S = 1 + 2 +  + 2018 ?
b1 b2
b2018
bi
A. S = 0 .

B. S = 1 .

C. S = 2018 .

D. S = 2019 .

Lời giải
Tác giả:: Nguyễn Thanh Dũng,Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Chọn B
Điều kiện −1 ≤ xi ≤ 1, i =1, 2018 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
+)

2018.2019 =

(

1 + x1 + 1 + x2 +  + 1 + x2018

)

2

≤ (1 + 1 +  + 1)(1 + x1 + 1 + x2 +  + 1 + x2018 )
⇔ 2018.2019 ≤ 2018 ( 2018 + x1 + x2 +  + x2018 )

⇔ x1 + x2 +  + x2018 ≥ 1 (1)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 + x1 = 1 + x2 =  = 1 + x2018 ⇔ x1 = x2 =  = x2018
+)

2017.2018 =

(

1 − x1 + 1 − x2 +  + 1 − x2018

)

2

≤ (1 + 1 +  + 1)(1 − x1 + 1 − x2 +  + 1 − x2018 )
⇔ 2017.2018 ≤ 2018  2018 − ( x1 + x2 +  + x2018 ) 

⇔ x1 + x2 +  + x2018 ≤ 1 (2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 − x1 = 1 − x2 =  = 1 − x2018 ⇔ x1 = x2 =  = x2018
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

16


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Từ (1) và (2) cho ta x1 + x2 +  + x2018 =
1 . Do đó hệ đã cho tương đương với hệ sau

1
 x1 + x2 +  + x2018 =
1
⇔ x1 = x2 =  = x2018 =

x=
= x2018

2018
1
2
 x=
Vậy S = 1 .
Ý kiến phản biện: Với câu hỏi như trên không nhất thiết phải giải bước cuối tìm nghiệm. mặt khác
trong chương trình lớp 10 khơng trình bày BĐT Bunhia tổng quát

GV: PHẠM HỮU ĐẢO - FB: Hữu Hữu Đảo

)(

(

)

 x + x2 + 1 2 y + 4 y 2 + 1 =
1 (1)

Câu 17. Cho hệ phương trình: 
có 2 cặp nghiệm ( x1 ; y1 ) và ( x2 ; y2 ) . Tính
 x 2 − 6 x − 2 = 8 − 2 y
(2)
T = x1 + x2 + y1 + y2 .
A. T =

12 + 3 5 − 41
4

B. T =

12 + 3 5 + 41
4

C. T =

12 − 3 5 − 41
4

D. T =

12 − 3 5 + 41
4

LG:ĐK y ≤ 4

(x +

)(

)

1
1 ⇔ x + x2 + 1 =
x2 + 1 2 y + 4 y 2 + 1 =
2 y + 4 y2 +1

⇔ x + x +1 =
2

(

4 y2 +1 − 2 y
4 y2 +1 + 2 y

⇔ x + x 2 + 1 =( −2 y ) +

)(

( −2 y )

2

4 y2 +1 − 2 y

)

+1

Đặt: t=-2y
Ta được ⇔ x + x 2 + 1 = t + t 2 + 1
CáCh 1: (Lớp 10)

x + x2 + 1 = t + t 2 + 1 ⇔ ( x − t ) +

(

)

x2 + 1 − t 2 + 1 = 0





x2 − t 2
x+t
⇔ (x −t) + 

=0 ⇔ ( x − t ) 1 +

 =0
2
2
x2 + 1 + t 2 + 1 
 x +1 + t +1 

 ( x 2 + 1 + x) + ( t 2 + 1 + t ) 
⇔ (x −t)
0
=
x2 + 1 + t 2 + 1


=
⇔x t

( do

x 2 + 1 > x ≥ x ∀x ∈ R ⇒ x 2 + 1 + x > 0; TT : t 2 + 1 + t > 0)

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

17


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

x =⇔
t
x=
−2 y .

CáCh 2: (Lớp 12)
x + x 2 + 1 = t + t 2 + 1 ⇔ f ( x) = f (t )

Xét hàm số: f(z)= z + z 2 + 1

z
f '(z)= 1 +=
2
z +1

z2 +1 + z
z2 +1

> 0 ∀z ∈ R . Suy ra hàm số f(z) đồng biến trên R

do đó: f ( x) =f (t ) ⇔ x =⇔
t
x=
−2 y
x
Thay: y = − vào pt(2) ta được
2

x2 − 6x − 2 =

x + 8 (*)

CáCh 1: Casio dùng shift solve 2 lần nhẩm 2 nghiệm và gán vào 2 biến, Tính y theo x.
CáCh 2: x 2 − 6 x − 2 =

x + 8 (*)

⇔ ( x 2 − 5 x − 4) − ( x − 2) + x + 8  =
0
Xét: để nhân liên hợp
 x ≥ 2
( x − 2) − x + 8 = 0 ⇔ x + 8 = x − 2 ⇔ 
 x + 8 =

( x − 2)

2

x ≥ 2
5 + 41
⇔ 2
⇔x=
2
0
 x − 5x − 4 =

Thử vào phương trình (*) khơng thỏa mãn.

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

18


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TỐN VD–VDC

5 + 41
thì trình (*)
2
( x − 2) + x + 8  ( x − 2) − x + 8 

=
2
⇔ ( x − 5 x − 4) − 
0
( x − 2) − x + 8

Xét: ( x − 2) − x + 8 ≠ 0 ⇔ x ≠

⇔ ( x 2 − 5 x − 4) −

x2 − 5x − 4
=
0
( x − 2) − x + 8




1
⇔ ( x 2 − 5 x − 4) 1 −
0
=
 ( x − 2) − x + 8 
 x −3− x +8 
⇔ ( x 2 − 5 x − 4) 
0
=
 ( x − 2) − x + 8 

5 − 41
5 − 41
5 + 41
⇒ y1 =
−
(loai x =
)
2
 x1 =
 x − 5x − 4 =
0
2
4
2

⇔
⇔

0

7+3 5
7+3 5
 x − 3 − x + 8 =
⇒ y2 =
−
 x2 =

2
4
T=

12 + 3 5 − 41
chọn đáp án A
4

Ý kiến phản biện: Các trình bày trên q dài, có thể trình bày liên hợp ngược cho đơn giản

⇔ ( x 2 − 5 x − 4) − ( x − 2) + x + 8  =
0 ⇔ ( x − 2) 2 − ( x + 8)  − ( x − 2) + x + 8  =
0
 x +8 = 2− x
⇔
 x + 8 = x − 3 …………
Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Nga
Email:

FB: nguyennga

 x + y − xy =
1

Câu 18. Tìm số nghiệm của hệ phương trình 
2
2
4
 x + 3 + y + 3 =
A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Lời giải
ĐK xy ≥ 0 , ta thấy từ pt thứ nhất ⇒ x + y > 0 , do đó x ≥ 0, y ≥ 0 . Từ đó ta đặt
u = x ≥ 0, v =

y ≥ 0 thay vào hệ ta được

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

19


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2
u 2 + v 2 − uv =

1
1 + 3uv
( u + v ) =
⇔
 4
4
4
 u + 3 + v + 3 =
u 4 + v 4 + 6 + 2 3u 4 + 3v 4 + u 4 v 4 + 9 =
16

( u + v )2 =
1 + 3uv

⇔
2
2
2
2
10
 ( u + v ) − 2uv  − 2u 2 v 2 + 2 u 4 v 4 + 3 ( u + v ) − 2uv  − 6u 2 v 2 + 9 =




Đặt t = uv ⇒ 0 ≤ t ≤ 1 (vì 1 + 3uv = ( u + v ) ≥ 4uv ⇒ uv ≤ 1 ). Thế từ phương trình thứ nhất của hệ trên
2

vào phương trình thứ hai ta được

(

) (

4 t 4 − 3t 2 + 6t + 12 = t 2 − 2t + 9
2 t − 3t + 6t + 12 = t − 2t + 9 ⇔ 
t 2 − 2t + 9 ≥ 0
4

2

2

(

)

2

)

⇔ 3t 4 + 4t 3 − 34t 2 + 60t − 33 = 0 ⇔ ( t − 1) 3t 3 + 7t 2 − 27t + 33 = 0 .

+v 2 =
u=
u 1 =
x 1
⇔
⇔
+) Nếu t =1 ⇔ uv =1 ta có 

=
uv 1 =
v 1=
y 1
+) Nếu 3t 3 + 7t 2 − 27t + 33 =0 ⇔ 3t 3 + 7t 2 + 6 + 27 (1 − t ) =0 vơ lí vì 0 ≤ t ≤ 1
Kết luận nghiệm của hệ là ( x; y ) = (1;1)
Câu 19. ( đã xóa do trùng bài)
Họ tên: Đinh Thị Duy Phương

Email:

FB : Đinh Thị Duy Phương

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) =
12 (1)

Câu 20. Tìm số nghiệm của hệ phương trình: 
.
 x3 − 8 x −=
1 2 y−2
( 2)
A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Lời giải

Chọn A

2 ≤ y ≤ 12

Điều kiện: 

2
0 ≤ 12 − x ≤ 12

(1)

⇒ 12 − y (12 − x 2 ) ≥ 0 ⇒ x ≥ 0

Khi đó

(1) ⇔ 12 ( x 2 + y ) − 2 x 2 y + 2

x 2 y 144 − 12 ( x 2 + y ) + x 2 y  =
144

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

20


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

2


u
x + y =
2

x y = v

Đặt 

Ta có:

12u − 2v + 2 v (144 − 12u + v ) =
144
⇔ v (144 − 12u + v ) = 72 − 6u + v
⇔ 144v − 12uv + v 2 =722 + 36u 2 + v 2 − 72.12u − 12uv + 144v với 72 − 6u + v ≥ 0 (* )
⇔ 36u 2 − 72.12u + 722 =
0
⇔ u 2 − 24u + 144 = 0 ⇔ u = 12 (thỏa (*))

y 12 − x 2
Khi đó =

( 2 ) ⇔ x3 − 8 x −=1

2 10 − x 2

1) 2
⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3 x +=

(

)

10 − x 2 − 1

 9 − x2 
2
⇔ ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 1) =

2
 10 − x + 1 

2 ( x + 3) 
⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 +
 =0
2
10
1
x
−
+


x = 3

⇔ 2
2 ( x + 3)
x + 3x + 1 +
= 0 ( VN do x ≥ 0 )


10 − x 2 + 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( 3; 3) .
Ý kiến phản biện: Phương trình (1) có thể dùng đánh giá cho gọn

12
= x 12 − y + y (12 − x 2 ) ≤

x 2 + 12 − y y + 12 − x 2
+
= 12 ⇒ y = 12 − x 2
2
2

Email:
Câu 21. Cho Parabol ( P ) : y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

21


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

 f (1 + 4 y ) = f ( 5 − 8 x )
a
a
Biết ( x° , y° ) là một nghiệm của hệ phương trình 
và x° + y° =, a ∈ ; b ∈ * ;

b
b
 2 x + 3 y = 2 x + y
tối giản. Giá trị của biểu thức P= a + b bằng
A. P = 1 .

B. P = 2 .

D. P = 4 .

C. P = 3 .
Lời giải
Tác giả:

Hà Việt Hòa,Tên FB: Ha Viet Hoa

Chọn C
 f (1 + 4 y ) = f ( 5 − 8 x )(1)
+ 
 2 x + 3 y = 2 x + y ( 2 )
2 x + y ≥ 0 (*)
2x + 3y = 2x + y ⇔ 
2
2
2 x + 3 y = 4 x + 4 xy + y ( 3)

0 phương trình có nghiệm x nếu
+ ( 3) ⇔ 4 x 2 + 2 ( 2 y − 1) x + y 2 − 3 y =
1
′ 4 y 2 − 4 y + 1 − 4 y 2 + 12 y ≥ 0 ⇔ 1 + 8 y ≥ 0 ⇔ 1 + 4 y ≥ .

∆=
1
2

0 phương trình có nghiệm y nếu
+ ( 3) ⇔ y 2 + ( 4 x − 3) y + 4 x 2 − 2 x =
1
∆=
16 x 2 − 24 x + 9 − 16 x 2 + 8 x ≥ 0 ⇔ −16 x + 9 ≥ 0 ⇔ 5 − 8 x ≥ .
2
2

1

+ Xét hàm số y = f ( t ) là hàm số liên tục trên  ; +∞  và đồng biến trên
2


1

 ; +∞ 
2


⇒ f (1 + 4 y ) = f ( 5 − 8 x ) ⇔ y =1 − 2 x

( 2) ⇔

1
3 − 4 x =1 ⇔ x = ⇒ y = 0 (TM *) ⇒ a + b = 3 .

2

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

22


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

Ý kiến phản biện: Bài giải hơi phức tạp, có thể giải quyết bài tốn ngắn gọn hơn bằng cách sử dụng tính
đối xứng của (P)

1 + 4 y =5 − 8x
Ta có: f (1 + 4 y ) = f ( 5 − 8 x ) ⇔ 
….Sử dụng phương pháp thế giải hệ bình thường
1 + 4 y =−5 + 8x
Câu 22. ( đã xóa do trùng bài)
Email:
 x 2 + x − 1 + 2 y ( x − 5)= y 2 + 2 y
Câu 23. Cho hệ phương trình 
 x + 2 y ( x − 4)= 2 x − 1
Biết hệ có 2 nghiệm phân biệt ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) . Tính giá trị của biểu thức B = x1 + x2 + y1 + y2 .
A. B = 7 .

C. B = 6 .

B. B = 8 .

D. B = 9 .

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Thị Hồng Nhung.,Tên FB: Hongnhung Nguyen.
Chọn B.
ĐK: x ≥ 1; y ≥ 0 .
 x 2 + x − 1 + 2 y ( x − 5)= y 2 + 2 y
 x 2 − y 2 + x − 1 + 2 y ( x − 5) =2 y
Ta có 
⇔
 x + 2 y ( x − 4)= 2 x − 1
 x + 2 y ( x − 4)= 2 x − 1

 x 2 − ( y + 1) 2= 2 y − 2 x − 1
⇔
 x + 2 y ( x − 4)= 2 x − 1

(1)
.
( 2)

Nhận xét ( x; y ) = (1;0 ) không là nghiệm nên: (1) ⇔ ( x − y − 1)( x + y + 1 +

⇔ x − y − 1 =0 . (vì x + y + 1 +

2
y + x −1

2
y + x −1

) =0 .

>0)

Thay y= x − 1 vào (2), ta được: 2 x 2 − 9 x + =
8 2 x −1 .
Đặt t = x − 1, (t ≥ 0) .
Ta có: 2t 4 − 5t 2 − 2t + 1 =0 ⇔ (t + 1) 2 (2t 2 − 4t + 1) =0 ⇔ 2t 2 − 4t + 1 =0 .
2
B = x1 + x2 + y1 + y2 = ( t12 + 1) + ( t2 2 + 1) + t12 + t2 2 = 2 ( t1 + t2 ) − 2t1t2  + 2 = 8 .



Email:
Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

23


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TỐN VD–VDC

Câu 24. ( đã xóa do trùng bài)

2
2
1 2( xy − x + y )
 x + y +=

Câu 25. Gọi ( xo ; yo ) là một nghiệm của hệ phương trình  3
2
 x + 3 y + 5 x − 12 = (12 − y ) 3 − x

Giá trị của biểu thức xo + yo =a + b c (a, b, c ∈ Z ) . Tính T=a+b+c.
A.13

B. 14

C. 15

D. 16

Lời giải
Đk: x ≤ 3
Từ Pt (1) ta có

y=x+1.

Thay vào phương trình (2) : x 3 + 3 x 2 + 11x − 9 = (11 − x) 3 − x

⇔ ( x + 1)3 + 5( x + 1)= ( 3 − x + 1)3 + 5( 3 − x + 1)(3)
Đặt a = x + 1; b = 3 − x + 1 , Phương trình ( 3) trở thành



b
3b 2
a 3 + 5a = b3 + 5b ⇔ (a − b) (a + ) 2 +
+ 5 = 0 ⇔ a = b

2
4


x ≥ 0
−1 + 13
⇔ x +1 = 3 − x +1 ⇔ 3 − x = x ⇔  2
⇔x=
2
0
x + x − 3 =
Vậy hệ có nghiệm ( xo ; yo ) và tổng của chúng bằng 13= 0 + 1. 13 ⇒ a + b + c =
14 . Chọn B
C2. Có thể dùng hàm đặc trưng ngay từ pt ( 3)
C3.

Từ phương trình x 3 + 3 x 2 + 11x − 9 = (11 − x) 3 − x

⇔ x3 + 3 x 2 + 11x − 9 =

[(3 − x) + 8]

⇔ x3 + 3 x 2 + 11x − 9 = t 3 + 8t (t =

3− x
3− x)

⇔ x3 + 3 x 2 + 11x − 9 + 3(3 − x) = t 3 + 8t + 3t 2
⇔ x3 + 3 x 2 + 8 x =t 3 + 3t 2 + 8t
Từ đó suy ra x=t , làm tương tự như trên

Email:
Câu 26. Gọi ( x0 ; y0 ) , ( 0 < x0 < 1) là một nghiệm của hệ phương trình

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

24


Sản phẩm lần 3- Vận Dụng Cao PT-HPT Chứa Căn

Group FB: Strong Team TOÁN VD–VDC

(

( x 2 + 3) y y − 2 x ( 2 x3 + 5 x )= y 2 y − x 2 2 xy − 2 x


 x 2 − y + 3 + ( x + 1) . ( y + 1) + 5 =32 y
( 2)
Biết x0 =

)

(1)

a− b
a
, ( a, b, c nguyên dương và
tối giản ). Tính giá trị biểu thức P = a + b + c ?
c

c

B. P = 122 .

A. P = 120 .

C. P = 124 .

D. P = 126 .

Lời giải
Tác giả : Chu Thị Thơm,Tên FB: Thom Chu
Chọn B

x ≥ 0

+/ Điều kiện:  y ≥ 0
 x2 − y + 3 ≥ 0

+/ Ta có (1) ⇔ x 2 y y − 2 x3 2 x − y 2 y + 2 xy 2 x + 3 y y − 6 x 2 x =
0

(

) (

) (

)

⇔ x2 y y − 2x 2x − y y y − 2x 2x + 3 y y − 2x 2x =
0
 y y − 2x 2x =
0
⇔ y y − 2 x 2 x . ( x 2 − y + 3) =
0⇔
2
0
 x − y + 3 =

(

)

+/ Xét y y − 2 x 2 x =
0⇔
x2 − 2 x + 3 +

( y) =
( 2x )
3

3

2 x thế vào ( 2 ) được
⇔ y=

( x + 1)( 2 x + 1) + 5 =64 x ⇔

x 2 − 2 x + 3 + 2 x 2 + 3x + 6 =

8 x

( 3)

*/ x = 0 không là nghiệm của ( 3)
*/ x > 0 : ( 3) ⇔
Đặt t =

x+

x2 − 2 x + 3
2 x 2 + 3x + 6
3
6
+
=
8 ⇔ x + − 2 + 2x + + 3 =
8 ( 4)
x
x
x
x

3
8
− 2, t ≥ 0 ta được ( 4 ) trở thành t + 2t 2 + 7 =
x

( 5)

Giải ( 5 ) bằng cách bình phương 2 vế hoặc nhận xét vế trái đồng biến trên [ 0; +∞ ) được nghiệm

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

25