Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGUYỄN HẢI NGUYÊN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT

Hà Nội, 2010


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

NGUYỄN HẢI NGUYÊN

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ NHIỀU VẬT
TRONG LÂN CẬN ĐIỂM KỲ DỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGÀNH CƠ HỌC KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS ĐINH VĂN PHONG

Hà Nội, 2010

Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

MỤC LỤC
MỤC LỤC .............................................................................................................. 1
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................ 4
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. 5
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH ............................................. 6
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ .......................................................... 7
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................... 9
CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN ......................................................... 10
1. Bài tốn phân tích động lực học hệ nhiều vật .............................................. 10
2. Mục đích của luận văn ................................................................................. 11
3. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 11
CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ ................................... 12
1. Phương trình vi phân đại số ......................................................................... 12
2. Chỉ số hệ DAE ............................................................................................. 16
3. Hạ bậc cho phương trình vi phân đại số ...................................................... 19
4. Ổn định hóa phương trình đã hạ bậc ............................................................ 20
4.1. Ổn định hóa Baumgarte ........................................................................ 20
4.1. Phương pháp chiếu ................................................................................ 21
CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG, ĐIỀU KHIỂN HỆ NHIỀU VẬT ............................ 23
1. Sơ lược về hệ nhiều vật ................................................................................ 23
2. Các dạng thức của hệ nhiều vật ................................................................... 24
Nguyễn Hải Nguyên

-1-

Luận văn Thạc sỹ cơ học

Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
2.1. Dạng thức Lagrange nhân tử (LMF) ..................................................... 24
a. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 25
b. Ổn định hóa liên kết ............................................................................. 27
2.2. Dạng thức Lagrange tổ hợp (ALF) ....................................................... 30
a. Dạng thức bù ........................................................................................ 30
b. Dạng thức Lagrange tổ hợp.................................................................. 32
2.3. Dạng thức Udwadia – Kalaba ............................................................... 34
a. Dạng thức Udwadia - Kalaba ............................................................... 34
b. Ổn định hóa dạng thức Udwadia-Kalaba ............................................. 36
2.3. Dạng thức của nguyên lý phù hợp ........................................................ 37
a. Nguyên lý phù hợp ............................................................................... 37
b. Dạng thức của nguyên lý phù hợp (CPF) ............................................ 38
CHƯƠNG 4: VỀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ ......................................... 42
1. Con lắc toán học ........................................................................................... 42
2. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 47
3. So sánh các phương pháp ............................................................................. 51
a. So sánh thời gian tính tốn các phương pháp ...................................... 51
b. Sai số phương pháp theo bước thời gian.............................................. 53
3. Điều khiển robot SCARA (RRTR) .......................................................... 55
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 61
PHỤ LỤC ............................................................................................................. 65
Nguyễn Hải Nguyên

-2-

Luận văn Thạc sỹ cơ học

Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
1. Cấu trúc chương trình .................................................................................. 65
a. Chương trình chính............................................................................... 66
b. Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 68
c. Dạng thức Udwadia – Kalaba .............................................................. 70
d. Dạng thức bù ........................................................................................ 72
e. Dạng thức Nguyên lý phù hợp ............................................................. 74
2. Con lắc toán học ........................................................................................... 79
3. Cơ cấu tay quay con trượt ............................................................................ 79
4. Robot SCARA .............................................................................................. 80

Nguyễn Hải Nguyên

-3-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hồn thành luận văn này, tơi đã nhận được
sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cơ cũng như sự động viên, góp ý
của các bạn đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. Với lịng kính trọng và biết ơn sâu
sắc tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:
Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, Bộ môn Cơ học ứng dụng trường
Đại Học Bách Khoa Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi trong q
trình học tập và hoàn thành luận văn.
PGS. TS. Đinh Văn Phong, người thầy kính mến đã hết lịng giúp đỡ, dạy
bảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt q trình học tập

và hồn thành luận văn tốt nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã cho tơi
những đóng góp quý báu để hoàn chỉnh luận văn này.
Các anh chị em trong phòng Cơ điện tử, Viện Cơ học đã nhiệt tình giúp đỡ
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu của tôi.
Nhân đây, tôi cũng xin gửi lới cảm ơn tới bạn bè, các anh chị em trong lớp
Cơ học kỹ thuật 2008 đã động viên và giúp đỡ tơi trong những lúc tơi gặp khó
khăn. Đặc biệt, con cũng xin chân thành cảm ơn bố mẹ đã luôn ở bên cạnh động
viên và giúp đỡ con học tập, làm việc và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Hải Nguyên

-4-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là cơng trình khoa học của tơi. Các số liệu trong luận văn
là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng. Các kết quả của luận văn chưa
từng được cơng bố trong bất cứ cơng trình khoa học nào.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Hải Nguyên

-5-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TIẾNG ANH
ODEs

Ordinary Differential Equations

DAEs

Differential Algebraic Equations

SVD

Singular Value Decomposition

BDF

Backward Differentiation Formulas

RK

Runge-Kutta methods

LMF

Lagrangian Multiplier Formulation

PF

Penalty Formulation

ALF

Augmented Lagrangian Formulation

UKF

Udwadia-Kalaba Formulation

CPF

Compatibility Principle Formulation

Nguyễn Hải Nguyên

-6-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ
Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong quá trình mơ phỏng......................... 14

Hình 1.2. Mơ phỏng con lắc tốn học có ổn định hóa ......................................... 14
Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]........................................... 15
Hình 4.1. Con lắc tốn học ................................................................................... 42
Hình 4.2. Quỹ đạo nghiệm con lắc tốn học của các phương pháp ..................... 44
Hình 4.3. Sai lệch liên kết cấp vị trí ..................................................................... 45
Hình 4.4. Sai lệch liên kết cấp vận tốc ................................................................. 45
Hình 4.5. Sai lệch so với nghiệm tham chiếu ...................................................... 45
Hình 4.6. Sai số phương pháp Baumgarte ( 200,200 ) ......................................... 47
Hình 4.7. Cơ cấu tay quay con trượt [7] .............................................................. 47
Hình 4.8. Nghiệm số hệ có kỳ dị động học trong khoảng (0;2)s ......................... 49
Hình 4.9. Nghiệm hệ khơng có kỳ dị động học trong khoảng (0;10)s ................ 49
Hình 4.10. Nghiệm khơng ổn định hóa cho sai số 0.001 ..................................... 50
Hình 4.11. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte (3,3) cho sai số 1.57e-7 ................. 50
Hình 4.12. Nghiệm ổn định hóa Baumgarte cải tiến cho sai số 1.8e-9 .............. 50
Hình 4.13. Đồ thị thời gian tính tốn theo bước tích phân cho con lắc tốn hoc

t = [0,1]s ............................................................................................................... 51
Hình 4.14. Đồ thị thời gian tính tốn theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,1]s ............................................................................................... 52

Nguyễn Hải Nguyên

-7-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hình 4.15. Đồ thị thời gian tính tốn theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay
con trượt t = [0,10]s ............................................................................................. 52

Hình 4.16. Đồ thị sai số tính tốn theo bước tích phân cho con lắc tốn hoc
t = [0,1]s ............................................................................................................... 53

Hình 4.17. Đồ thị sai số tính tốn theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,1]s ...................................................................................................... 54
Hình 4.18. Đồ thị sai số tính tốn theo bước tích phân cho cơ cấu tay quay con
trượt t = [0,10]s .................................................................................................... 54
Hình 4.19. Robot SCARA (RRTR) ..................................................................... 55
Hình 4.20. Lực điều khiển robot SCARA............................................................ 59
Hình 4.22. Đồ thị vận tốc khớp robot SCARA .................................................... 59

Nguyễn Hải Nguyên

-8-

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 4.1. Sai số phương pháp Baumgarte với các tham số khác nhau ............... 46
Bảng 4.2: Tham số Denavit-Hartenberg robot Scara RRTR ............................. 55
Bảng 4.3: Bảng thông số động lực của Robot Scara RRTR ................................ 56

Nguyễn Hải Nguyên

-9-

Luận văn Thạc sỹ cơ học

Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU TỔNG QUAN
1. Bài tốn phân tích động lực học hệ nhiều vật
Bài tốn phân tích động lực học hệ nhiều vật, hay cịn gọi là mơ phỏng hệ
nhiều vật có vai trị ngày càng tăng trong nhiều lĩnh vực như: công nghiệp ô tô,
hàng không vũ trụ, công nghiệp robot, máy… Việc giải bài tốn phân tích động
lực học hệ nhiều vật về mặt tốn học là tìm nghiệm phương trình chuyển động
của hệ.
Phương trình mơ tả chuyển động của hệ nhiều vật chịu liên kết nói chung
được cho dưới dạng các phương trình vi phân đại số , thường là chỉ số 3 (hệ chịu
liên kết phi honolom tương ứng chỉ số 2). Với các hệ này, các phương pháp tính
trực tiếp đã được phát triển, tuy nhiên khá khó ứng dụng và kiểm soát các vấn đề
với các nhà kỹ thuật. Các phương pháp hạ bậc được chú trọng phát triển hơn, do
tính dễ ứng dụng. Tuy nhiên, việc đạo hàm trực tiếp các phương trình liên kết có
thể làm mất đi tính ổn định của hệ phương trình khi tính tốn số. Do đó, song
song với việc hạ bậc, các kỹ thuật ổn định khác cũng cần phải được sử dụng.
Một phương pháp ổn định hóa phương trình hạ bậc được sử dụng phổ biến là kỹ
thuật ổn định hóa Baumgarte. Tuy nhiên, khó khăn trong việc lựa chọn các tham
số Baumgarte cũng như sự thiếu đi một đảm bảo toán học chắc chắn cho sự tồn
tại các tham số để hệ mô phỏng ổn định đã làm phương pháp trở nên thiếu tin
cậy.
Gần đây, cùng với sự phát triển của các hệ thống robot công nghiệp, dáng
người… các yếu tố liên kết động học càng trở lên phức tạp. Khái niệm liên kết
khơng chỉ bó hẹp trong phạm vi các quan hệ hình học, mà cịn mở rộng ra các
yêu cầu thao tác, các điều khiển chu trình hay các điều kiện tối ưu. Đồng thời,

Nguyễn Hải Nguyên

- 10 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
hiện tượng suy biến, hay các điểm kỳ dị trong cấu trúc và vùng lân cận nó cũng
ngày càng được quan tâm khảo sát.
2. Mục đích của luận văn
Luận văn tập trung vào bài tốn phân tích động lực học và mô phỏng hệ
nhiều vật. Việc giải quyết bài toán này gắn chặt với việc giải các hệ phương trình
vi phân và vi phân đại số. Việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số ban đầu
được đặt ra cho các nhà kỹ thuật, hiện nay đã thu được sự quan tâm ngày càng
nhiều của các nhà toán học. Tuy nhiên, luận văn này đi sâu nghiên cứu DAEs
dưới góc độ kỹ thuật, tập trung làm rõ các vấn đề chính của DAE, xây dựng các
giải thuật để có thể áp dụng trực tiếp cho các bài toán thực tế, cân bằng giữa việc
ứng dụng giải thuật dễ dàng và đảm bảo sai số chấp nhận được. Luận văn đi sâu
vào việc dạng thức hóa nguyên lý phù hợp, bổ sung các ổn định hóa đồng thời
minh chứng khả năng vượt qua các điểm kỳ dị của nguyên lý này, trên cơ sở so
sánh với các phương pháp vượt qua điểm kỳ dị hiện hành.
3. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm bốn chương. Chương đầu giới thiệu sơ lược mục tiêu của
luận văn. Chương 2, luận văn đi sâu vào làm rõ sự khác biệt giữa DAEs và
ODEs, và chỉ ra giới hạn khảo sát của luận văn. Chương 3 là một số các dạng
thức thường dùng trong việc phân tích động lực học hệ nhiều vật, đồng thời giới
thiệu một vài mở rộng của nguyên lý phù hợp. Chương 4, hiện thực hóa các dạng
thức này qua hai ví dụ, từ đó làm cơ sở cho tính đúng đắn cũng như so sánh giữa
các phương pháp.

Nguyễn Hải Nguyên

- 11 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
Sự vận động của các hệ cơ học nói riêng, và các hệ động lực nói chung
được mơ tả qua các hệ phương trình vi phân, tương ứng với các bài toán điều
kiện đầu, điều kiện biên. Việc xây dựng các hệ phương trình này thường dựa trên
một vài thông tin, như tổng năng lượng của hệ hay sự trao đổi điện trong hệ bảo
tồn trong q trình vận động. Tuy nhiên trong thực tế, các yếu tố khác như các
quan hệ động học giữa các bộ phận trong hệ nhiều vật, hay sự tập trung các
thành phần không âm trong các phản ứng hóa học… cũng cần được kể đến, và
chúng thường là các quan hệ đại số. Khi đó để mơ tả đầy đủ hệ, ta có được một
hệ hỗn hợp gồm các phương trình vi phân và đại số, ta thu được hệ phương trình
vi phân đại số.
1. Phương trình vi phân đại số
Trong những thập kỷ gần đây, cùng với sự phát triển của hệ nhiều vật,
phương trình vi phân đại số cũng thu được sự quan tâm của các nhà toán học
cũng như kỹ thuật [1,3]. Việc mô tả hệ động lực, ở dạng tổng qt có thể thu
được phương trình vi phân dạng ẩn như sau:
F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) = 0

(2.1)

trong đó F ( t , x ( t ) , x′ ( t ) ) là hàm liên tục trên R 2 n+1 . Khi đó nếu

Fz ( t , x, z ) = ∂∂Fz ( t , x, z ) không suy biến tại điểm ( t , x, z ) , thì theo đình lý về hàm

ẩn, (2.1) tương đương với một hệ phương trình vi phân tại lân cận điểm đó. Nếu
Fz ( t , x, z ) suy biến với mọi ( t , x, z ) trong một vùng nào đó, thì (2.1) là hệ

phương trình vi phân đại số.

Nguyễn Hải Nguyên

- 12 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Phương trình vi phân đại số về bản chất là khác với phương trình vi phân
thường (dạng hiển). Nói chung việc tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đại
số với điều kiện đầu nào đó là không phải khi nào cũng xác định. Không phải
mọi bài tốn điều kiện đầu của phương trình vi phân đại số đều có nghiệm, thậm
chí là hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng số. Để có nghiệm,
điều kiện đầu phải tương thích [19], phải thỏa mãn một vài phương trình đại số
nào đó. Về mặt phương pháp số, phương trình vi phân đại số là khá yếu (ill
condition – ill posed problem), và cần rất chú ý khi rời rạc hóa. Mức độ khó khi
làm việc với phương trình vi phân đại số có thể được đo bằng chỉ số, chỉ số càng
cao, càng khó ứng dụng. Mặc dù, có một số phương pháp giải trực tiếp, và một
số code chương trình được xây dựng như RADAU II, RKSTAB... nhưng việc
ứng dụng và kiểm soát sai số là khá phức tạp, hơn nữa tính ổn định của phương
pháp phụ thuộc các bài toán cụ thể. Do đó, với các hệ có chỉ số cao, một số kỹ
thuật giảm chỉ số (hạ bậc) thường được áp dụng trước khi rời rạc hóa. Tuy nhiên,
việc này dẫn đến một hiện tượng đặc trưng là nghiệm số rời xa đa tạp bất biến

tạo bởi các phương trình liên kết, sai lệch khỏi đặc trưng vật lý của hệ.
Để khắc phục hiện tượng này, một loạt các phương pháp được đề xuất [5]
để đảm bảo nghiệm của phương trình đã giảm chỉ số vẫn nằm trên đa tạp bất
biến tạo bởi các phương trình liên kết. Năm 1972, Baumgarte [6] giới thiệu một
phương pháp ổn định hóa trên quan điểm điều khiển nhằm giảm hiện tượng này.
Về bản chất, kỹ thuật ổn định hóa của Baumgarte là cấu trúc lại hệ phương trình
thành hệ phương trình vi phân phường mà đa tạp bất biến của nó ổn định tiệm
cận. Tuy nhiên, mặc dù phương pháp của Baumgarte rất phổ dụng trong các bài
tốn ứng dụng, nhưng sự khó khăn trong việc chọn các tham số khiến phương
pháp trở nên bất ổn định. Hình 1.1 dưới đây mơ tả hiện tượng vi phạm các liên
kết vị trí khi mơ phỏng con lắc tốn học. Hình 1.2, mơ phỏng hệ con lắc tốn học
có bổ sung ổn định hóa.
Nguyễn Hải Ngun

- 13 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

Hình 1.1. Hiện tượng phá vỡ liên kết trong q trình mơ phỏng

Hình 1.2. Mơ phỏng con lắc tốn học có ổn định hóa
Với một số hệ, như hệ Andrew [7], hiện tượng vi phạm các liên kết xảy ra
với tất cả các bộ tham số từ 0 đến 100, Hình 1.3. Các phương pháp chiếu, bù
(ALF)... cho một số kết quả tốt với các bài toán thực hiện, tuy nhiên lại phải trả
Nguyễn Hải Nguyên

- 14 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
bằng số lượng tính tốn rất lớn, do cần bổ sung các vòng lặp trong và việc thực
hiện khơng hề đơn giản.

Hình 1.3. Sai lệch với các bộ tham số khác nhau [7]
Mặc dù phương trình vi phân đại số hồn tồn khơng phải là phương trình
vi phân thường, tuy nhiên mọi người thường có xu hướng gắn các khái niệm
DAEs với ODEs theo nghĩa nào đó. Ví dụ như, người ta thường định nghĩa chỉ
số đạo hàm (differential index) của hệ DAEs là số tối tiểu các đạo hàm phương
trình liên kết để hệ DAEs có thể chuyển thành hệ ODEs. Tương tự như hệ ODEs,
việc khảo sát DAEs cũng quan tâm chủ yếu đến các khía cạnh như sự tồn tại và
duy nhất nghiệm, tính chất ổn định, ổn định tiệm cận của nghiệm…[18,19]. Như
vậy việc giải các DAEs nói chung là dựa trên các kết quả của phương trình
ODEs. Tuy nhiên, các phương pháp số truyền thống cho các phương trình ODEs
cứng như BDF và RK ẩn sử dụng cho DAEs không phải khi nào cũng hiệu quả.
Điều này khiến ta cần xem xét lại để tìm ra sự khác biệt thực sự giữa DAEs và
ODEs, từ đó tìm ra cách tích phân hiệu quả hơn.

Nguyễn Hải Nguyên

- 15 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

Sau đây, ta lần lượt xem xét một vài vấn đề quan trọng của phương trình vi
phân đại số.
2. Chỉ số hệ DAE
Khảo sát một hệ DAEs phi tuyến:
F ( t , x, x′ ) = 0

(2.2)

với F ( t , x, x′ ) = 0 liên tục trong miền Ω ⊂ R 2 n+1 . Nghiệm x ( t ) của (2.2)
trong khoảng I được định nghĩa như một hàm khả vi liên tục trên miền I thỏa
mãn (2.2) với mọi t ∈ I . Như đã biết, ODEs thỏa mãn điều kiện Lipschitz sẽ có
nghiệm duy nhất tương ứng với 1 điều kiện đầu đã cho. Thực tế, tính liên tục của
hàm vế phải của một ODE là đủ cho sự tồn tại nghiệm nghiệm cho bài tốn điều
kiện đầu. Tuy nhiên, với DAEs thì khơng chỉ tính trơn của vế phải mà cả cấu
trúc đại số của nó quyết định sự tồn tại nghiệm.
Ví dụ như hệ DAE tuyến tính hệ số hằng số sau:
Ax′ ( t ) + Bx ( t ) + f ( t ) =
0 , x ( 0) = 0

(2.3)

với
 x1 
1 0
1 1
,
,
x
=
A=

B
=
x 

0 0
0 0


 2

Khi đó, nếu

f = ( 0 0)

T

thì (2.3) sẽ có vơ số nghiệm dạng

t

x1 ( t ) = ∫ eτ −tξ (τ ) dτ , x2 ( t ) = ξ ( t ) với ξ ( t ) có thể là bất kỳ hàm khả vi liên tục
0

nào thỏa mãn ξ ( 0 ) = 0 . Khi f = ( 0 1) , thì (2.3) lại hồn tồn khơng có
T

nghiệm. Do đó cả thành phần khơng đồng nhất f và cấu trúc của ma trận A , B

Nguyễn Hải Nguyên

- 16 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
đều đóng vai trị trong sự tồn tại nghiệm của hệ. Từ đây hình thành khái niệm,
tính khả tích của hệ DAEs (solvability).
Định nghĩa 2.1: Cho một khoảng I ∈ R , miền Ω ∈ R 2 n+1 và hàm khả tích
F : I → R n . Khi đó DAEs (2.2) được gọi là khả tích trên I nếu có một họ nghiệm

,Ω
 ⊂ R r sao cho:
φ ( t , c ) xác định trên I × Ω
.
1. φ ( t , c ) xác định trên I với mỗi c ∈ Ω

2.

( t ,φ ( t , c ) ,φ ′ ( t , c ) ) ∈ Ω với ( t , c ) ∈ I × Ω .

3. Nếu ψ ( t ) là một nghiệm nào đó với

( t ,ψ ( t ) ,ψ ′ ( t ) ) ∈ Ω ,

thì

.
ψ ( t ) = φ ( t , c ) với giá trị nào đó c ∈ Ω

4. ϕ (t , c) là đa tạp (r + 1) chiều.
Theo định nghĩa này, hệ DAEs (2.3) là khơng khả tích. Tuy nhiên, cho hệ
DAEs tổng quát (2.2), thì tiêu chuẩn này khơng phải khi nào cũng có thể xác
định một cách dễ dàng, và thường được quy về giả thiết tồn tại hạng cố định[17]:
rank ( Dz F ( t , x=
, z ) ) const < n

(2.4)

Với Dz F là ký hiệu danh nghĩa đạo hàm.
DΦ ( t , ξ 0 , ξ1 ,..., ξl +1 )=

∂Φ ∂Φ
∂Φ
+
ξ1 + ... +
ξl +1
∂t ∂ξ 0
∂ξl

(2.5)

Khi đó chỉ số (chỉ số đạo hàm – differential index) của DAE (2.2) được định
nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.2: Chỉ số của DAE (2.2) là số ngun khơng âm nhỏ nhất sao cho
hàm F có liên tiếp m đạo hàm và hệ các phương trình đạo hàm phi tuyến:

Nguyễn Hải Nguyên

- 17 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
F ( t , x0 , x1 ) = 0
DF ( t , x0 , x1 , x 2 ) = 0

(2.6)

...
D mF ( t , x0 , x1 , x 2 ,..., x m+1 ) = 0

có nghiệm trên khoảng I : x 1 = φ ( t , x0 ) .
Để tham khảo thêm ta đưa ra định nghĩa của chỉ số nhiễu (perturbation
index), thường được dùng để khảo sát các hệ cơ học. Chỉ số nhiễu chỉ ra sai số
làm trịn của tính tốn có thể ảnh hưởng nhiều đến chừng nào với sai số của
nghiệm được tính bằng phương pháp số.
Định nghĩa 2.3: Phương trình (2.2) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm x trên
đoạn [ 0,t ] , nếu m là số nguyên nhỏ nhất sao cho với mọi hàm số xˆ có sai số:
F ( t , xˆ , xˆ ′ ) = δ ( t )

(2.7)

sẽ tồn tại một ước lượng trên [ 0,t ] :

(

xˆ ( t ) − x ( t ) ≤ C xˆ ( 0 ) − x ( 0 ) + max δ (ξ ) + ... + max δ m−1 (ξ )
0≤ξ ≤t

0≤ξ ≤t

)

(2.8)

với các giá trị bên phải là đủ nhỏ. C là hằng số không phụ thuộc vào nhiễu δ
mà chỉ phụ thuộc vào hàm số F và khoảng tích phân.
Chỉ số đạo hàm và chỉ số nhiễu là bằng nhau khi hệ DAEs có dạng sau:
Bx′ = F1 ( t , x )

(2.9)

với B là ma trận hằng số. Còn lại nói chung là chúng thỏa mãn liên hệ sau:
Chỉ số đạo hàm ≤ Chỉ số nhiễu ≤ Chỉ số đạo hàm + 1

Nguyễn Hải Nguyên

- 18 -

(2.10)

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
3. Hạ bậc cho phương trình vi phân đại số
DAE chỉ số cao là khá yếu, do đó hệ thường được hạ bậc trước khi tích
phâm. Dưới đây giới thiệu một số hệ DAE hay được quan tâm. Đây là các hệ

DAE bán ẩn dạng Hessenberg [18].
Hệ chỉ số 1:
x′ = f ( x, y )

0 = g ( x, y )

(2.11)

với g y =
∂g / ∂y có khả nghịch trong lân cận nghiệm (hay trong vùng khảo sát).
Điều kiện đầu ( x0 , y 0 ) là tương thích, thỏa mãn g ( x0 , y 0 ) = 0 .
Hệ chỉ số 2:
x′ = f ( x, y )

0 = g ( x )

(2.12)

trong đó g xf y khả nghịch. Điều kiện đầu tương thích g ( x0 ) = 0 và
g x ( x0 ) f ( x0 , y 0 ) = 0 .

Hệ chỉ số 3:
x′ = f ( x, y )

 y ′ = h ( x, y , z )

0 = g ( x )

(2.13)

trong đó g xf y h x khả nghịch. Các hệ nhiều vật chịu liên kết thường được mơ tả ở
dạng hệ có chỉ số 3 này. Điều kiện đầu ( x0 , y 0 , z 0 ) để đảm bảo tương thích cần
phải

thỏa

mãn

phương

trình

g ( x0 ) = 0 ,

g x ( x0 ) f ( x0 , y 0 ) = 0

và

g xxff + g xf xf + g xf y h =
0 tại ( x0 , y 0 , z 0 ) .

Nguyễn Hải Nguyên

- 19 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Việc tích phân số hệ DAE chỉ số cao thường bao gồm ba bước: hạ bậc hệ

chỉ số cao, ổn định hóa (stabilization) hay chính quy hóa (regularization) hệ
DAE và rời rạc hóa hệ DAE đó. Trong luận văn này tập trung khảo sát hệ DAE
mô tả chuyển động hệ nhiều vật chịu liên kết:
M
=
( p ) p′′ f ( p, v, t ) − GT ( p ) λ

0 = g ( p )

(2.14)

Hạ bậc bằng phép đạo hàm:
Nếu ta thay hệ (2.14) bằng hệ:
M
=
( p ) p′′ f ( p, v, t ) − GT ( p ) λ


d2
0
g =
p G p ( v, v ) + G ( f − G T λ )
=
2 ( )
dt


(2.15)

khi đó hệ (2.15) là hệ DAE chỉ số 1. Về mặt toán học, hệ (2.15) và (2.14) là

tương đương nhau [3] nếu điều kiện đầu được giữ tương thích. Tuy nhiên trong
q trình tính số, việc xuất hiện các sai số làm trịn, tính tốn số là đương nhiên,
do đó hệ (2.15) có xu hướng phá vỡ các ràng buộc liên kết, dẫn đến các sai số
không thể chấp nhận được[5, 6, 7, 8]. Từ đó, các kỹ thuật đảm bảo tính đúng đắn
của liên kết được đề xuất, tổng kết các kỹ thuật đó được nêu khá chi tiết trong
[5]. Tuy nhiên, chỉ hai phương pháp hay sử dụng, và có liên quan trực tiếp tới
các tính toán trong luận văn được đề cập dưới đây.
4. Ổn định hóa phương trình đã hạ bậc
4.1. Ổn định hóa Baumgarte
Từ nhận xét phương trình (2.15) 2 có trị riêng kép bằng khơng, do đó có
nghiệm tổng qt là đa thức tăng dần khi t → ∞ . Điều này làm cho nghiệm đi xa

Nguyễn Hải Nguyên

- 20 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
khỏi đa tạp bất biến tạo bởi các phương trình liên kết, khi xuất hiện các sai số khi
tích phân số. Để giảm hiện tượng này, Baumgarte[6] đã sử dụng hệ:
M
=
( p ) p′′ f ( p, v, t ) − GT ( p ) λ


d2
d
0 = 2 g ( p ) + γ 1 g ( p ) + γ 2 g ( p )

dt
dt


(2.16)

để thay thế hệ (2.15). Kỹ thuật này của Baumgarte đã được sử dụng một cách
rộng rãi cho các ứng dụng tính toán bởi sự dễ hiểu, đơn giản trong thực hiện và
tận dụng được các bộ tích phân ODE khác.Tất nhiên, ở mỗi bước thời gian, cần
giải phương trình phi tuyến để xác định hàm vế phải. Với các hệ không cứng thì
phương pháp tích phân này có thể thực hiệu quả với các thuật tốn dạng hiển.
Vấn đề chính của ổn định hóa Baumgarte nằm ở việc lựa chọn tham số γ i . Nói
chung là khơng có một khẳng định rõ ràng, đâu là giá trị phù hợp nhất trong tính
tốn. Về mặt giải tích, với γ i dương bất kỳ, hệ ODE (2.16) 2 sẽ ổn định tiệm cận,
g ( x ) → 0 khi t → ∞ . Như thế, về mặt toán học, giá trị γ i càng lớn, thì g tắt

càng nhanh khi t → ∞ . Nhưng trong q trình tích phân số, giá trị γ i lớn có thể
làm cho hệ trở nên cứng. Cho đến nay, khơng có một cơng thức chung nào cho
việc lựa chọn tham số phù hợp và cũng chưa có gì đảm bảo là ta ln tìm được
một tham số Baumgarte sai số liên kết đạt được sai số nhỏ mong muốn.
4.1. Phương pháp chiếu
Một kỹ thuật khác đảm bảo sự thỏa mãn liên kết tốt hơn bằng cách bổ sung thêm
nhân tử µ . Khi đó, hệ DAE có thể được viết lại như sau:
p′= v − G T µ

Mv′= f − G T λ

0 = Gv
0 = g


Nguyễn Hải Nguyên

(2.17)

- 21 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị
Hệ (2.17) là một hệ DAE chỉ số 2 cho ( p, v, λ , µ ) . Nghiệm chính xác cho µ là

µ ≡ 0 , khi đó (2.17) và (2.15) là tương đương. Tuy nhiên với phương trình
(2.11), nghiệm sẽ thỏa mãn cả các liên kết vị trí và vận tốc. Tuy nhiên số lượng
tính toán sẽ tăng lên rất nhiều do việc phải sử dụng các giải thuật ẩn, và do kích
thước của hệ DAE cũng tăng lên.

Nguyễn Hải Nguyên

- 22 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học


Phân tích động lực học hệ nhiều vật trong lân cận điểm kỳ dị

CHƯƠNG 3: MÔ PHỎNG, ĐIỀU KHIỂN HỆ NHIỀU VẬT
1. Sơ lược về hệ nhiều vật
Hệ nhiều vật là một dạng mơ hình thường được dùng để mơ tả các ứng xử

động lực của một hệ các vật rắn hay vật thể biến dạng gắn kết, tương tác qua lại
với nhau mà các phần thử này thường tham gia các di chuyển tương đối lớn.
Việc nghiên cứu một cách hệ thống các ứng xử động lực này đã cho ra đời một
loạt các nguyên lý, phương trình và dạng thức trong lĩnh vực cơ học. Những
phần tử cơ bản nhất của hệ nhiều vật từ lâu đã được nghiên cứu bởi Newton
(chất điểm) và Euler (vật rắn). Euler cũng đã thiết lập được các lực tương tác
giữa các vật rắn. Sau đó một loạt các nguyên lý như d’Alembert, cơng ảo,
Jourdan, Gauss [1]… hay phương trình Lagrange I, II, Kane, Gibbs-Appel [3],
Maggie [25]… liên tục ra đời. Cùng với sự phát triển của khoa học máy tính, các
dạng thức đơn giản, thích hợp cho áp dụng các thuật giải cũng được chú trọng
phát triển, dạng thức nguyên lý d’Alembert, Jourdan, Gauss, Lagrange loại 2,
Lagrange tổ hợp [4]… hay gần đây có dạng thức Udwadia-Kalaba [22].
Phương trình chuyển động có thể được thiết lập bởi các dạng thức, nguyên
lý khác nhau, do đó có dạng khác nhau, nhưng đều cùng phản ánh một bản chất
vật lý của hệ. Các dạng phương trình khác nhau thường được dùng cho các mục
đích riêng biệt, như trình bày phần sau này các dạng thức thích hợp cho hệ có
các kỳ dị động học.
Thơng thường, để thiết lập phương trình chuyển động hệ ta hay dùng
phương trình Newton – Euler hoặc Lagrange loại 2. Trong đó phương trình
Lagrange loại 2 cho số phương trình tối thiểu với hệ các tọa độ suy rộng đủ. Tuy
nhiên trong phạm vi luận văn này tác giả chỉ giới thiệu các dạng thức được xây

Nguyễn Hải Nguyên

- 23 -

Luận văn Thạc sỹ cơ học