Đề cương ôn tập giữa kì 2 nguyễn tất thành 1920

TRƯỜNG THCS – THPT
NGUYỄN TẤT THÀNH

ĐỀ CƯƠNG
GIỮA KỲ 2 – LỚP 11
NĂM HỌC 2019-2020
MƠN: TỐN

Đại số và Giải tích. Giới hạn chương trình từ bài cấp số cộng đến hết bài giới hạn của hàm số. Học
sinh cần nắm vững các kết quả liên quan đến cấp số cộng và cấp số nhân. Một số dạng toán về giới
hạn của dãy số: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực. Một số dạng toán về giới hạn của hàm số: giới hạn
hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn tại vơ cực, giới hạn một phía.
Hình học: Giới hạn chương trình từ bài véc tơ trong khơng gian đến hết bài đường thẳng vng góc
với mặt phẳng. Học sinh cần nắm vững quy tắc cộng hai véc tơ, quy tắc trừ hai véc tơ, quy tắc hình
bình hành, tích vơ hướng của hai véc tơ, quy tắc hình hộp, các khái niệm: ba véc tơ đồng phẳng, góc
giữa hai đường thẳng trong không gian, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Học sinh có thể tham khảo một số câu hỏi lí thuyết và một số bài tập sau đây.
PHẦN I. CÂU HỎI NGẮN
Câu 1. Phát biểu khái niệm cấp số cộng, công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng, tính
chất của các số hạng của cấp số cộng, công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
Câu 2. Phát biểu khái niệm cấp số nhân, công thức xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, tính
chất của các số hạng của cấp số nhân, cơng thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
Câu 3. Phát biểu một số giới hạn đặc biệt liên quan đến giới hạn 0 và giới hạn vơ cực.
Câu 4. Phát biểu định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số và hàm số.
Câu 5. Phát biểu định lí về giới hạn 0 và giới hạn vô cực của dãy số.
Câu 6. Phát biểu một vài quy tắc về giới hạn vô cực của hàm số.
Câu 7. Phát biểu các khái niệm: góc giữa hai đường thẳng trong không gian, hai đường thẳng song
song, hai đường thẳng vng góc.
Câu 8. Phát biểu các khái niệm: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt
phẳng.

Câu 9. Phát biểu liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đường thẳng và mặt
phẳng.
Câu 10. Phát biểu định lí 3 đường vng góc.
PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn u1  4, u3  10. Công sai của cấp số cộng bằng


B. 6.

A. 6.

D. 3.

C. 3.

Câu 12. Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn u1  3, u5  48. Công bội của cấp số nhân bằng
B. 2.

A. 16.

D. 2.

C. 2.

Câu 13. Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng 0
n

3
A.  an  , an    n 
2

C.  un  , un 

n2
n 
n3

*

n
n 
n 1

.

B.  bn  , bn 

.

D.  vn  , vn 

*

1
n 
n

*

*

.

.

Câu 14. Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng 0
n

n

5
A.  an  , an    n 
7

.

9
B.  bn  , bn    n 
8

.

D.  vn  , vn  n n 

*

C.  un  , un  n  1 n 

*

*

*

.

.

Câu 15. Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng dương vơ cực
A.  an  , an   0, 6  n 
n

C.  un  , un 

1
n 
n

*

*

B.  bn  , bn  n 2 n 

.

*

D.  vn  , vn  n n 

.

.

*

.

Câu 16. Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng âm vô cực
A.  an  , an  2n  1 n 
C.  un  , un 

1
n 
n

*

*

B.  bn  , bn 

.

1
n 
n2

*

D.  vn  , vn   n n 

.

.
*

.

n
 1 1 1
 1  
Câu 17. Giới hạn lim 1     ...     bằng
n
 3  
 3 9 27

B. .

A. .

3
C. .
2

D.

3
.
4

C. 2.

D.

1
.
2

C. .

5
3

D.

2
.
3

4
C. .
5

D.

9
.
11

Câu 18. Giới hạn lim 2n bằng
n

B. .

A. .
Câu 19. Giới hạn lim

n

5
A. .
7

B.

Câu 20. Giới hạn lim

x 

A. .

2n  5
bằng
3n  7

2
.
7

4x  9
bằng
5 x  11

B. .


2x  7
bằng
x  13x  4

Câu 21. Giới hạn lim
A.

2
.
13

Câu 22. Giới hạn

A.

B. .
lim

 11 
x 

 2 

1
.
2
x  3

D.

C. .

D. .

x4
bằng
2 x  11

B.

Câu 23. Giới hạn lim 
A. 1.



7
.
4

C. .

4
.

11

x2
bằng
x3

B. .

C.

2
.
3

D. .

 x 2 khi x  1
. Nếu lim  f  x   lim  f  x  thì
Câu 24. Cho hàm số f ( x)  
x  1
x  1
mx  2 khi x  1

A. m  1.

B. m  1.

D. m  3.

C. m  3.

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA=SB=AB. Góc giữa SA và CD bằng
A. 300.

D. 900.

C. 600.

B. 450.

Câu 26: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P là trung điểm của AB, BC, CD. Biết góc MNP bằng 1200.
Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A. 600.

B. 450.

C. 1200.

Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là vng cạnh a, SA

D. 300.

a 3, SA

( ABCD). Góc giữa

đường thẳng SB và mp(ABCD) bằng
A. 300.

C. 600.

B. 450.

D. 900.

Câu 28. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Bộ ba véc tơ nào sau
đây đồng phẳng?
A. MN , AB, CD.

B. MN , AC, BD.

C. MN , AD, BC.

D. MN , AC, AD.

Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc tia DD’ thỏa mãn DM  a 6.
Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là
A. 300

B. 450

C. 750

D. 600

Câu 30: Cho hình chóp S.ABC. Góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng (ABC) bằng
nhau. Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC
B. Trực tâm của tam giác ABC
C. Trọng tâm của tam giác ABC

D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC


Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật và CAD  400. Số đo góc
giữa hai đường thẳng AC và B’D’ là
A. 200

C. 400

B. 800

D. 500

Câu 32: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì vng góc với nhau
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì khơng vng góc với nhau
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có 4 mặt là tam giác đều. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 300.

D. 900.

C. 600.

B. 450.

Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA

( ABCD). Khẳng định nào sau đây

đúng?
C. CD  SB.

B. BC  SB.

A. AB  SB.

Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, SA
đúng? A. SC  AC.

D. SA  SB.
( ABCD). Khẳng định nào sau đây

D. SC  BD.

C. SC  AD.

B. SC  AB.

PHẦN III. TỰ LUẬN
Câu 36. Tìm các số x, y biết rằng các số x 1, y 1, x
đồng thời các số y,3x

y

2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng,

2 y,3x 8 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Câu 37. Tìm giới hạn của dãy số  un  trong các trường hợp sau
sin n
2n
*

n

N
.
u

n  N * .
b)
n
3n  4
n2

a) un 

4n  1
3n  n2  n
*
n  N . d) un 
c) un 
n  N * .
2
6n  2
2n  n  1

e) un  n 2  5n  1  n n  N * . f) un   4n  5

g) un  n2  n  1 n  N *.





n2  2n  3  n  1 n  N *.

h) un  4n2  5n  2 n  N *.

Câu 38. Tìm các giới hạn sau
x2  2 x

a) lim

x 4
2

x 2

e) lim

x  2 

i) lim
x 1



3x  7

,
x2

,

x2  4 x  3

b) lim

x 9
2

x 3

f) lim

x  2 



,

3x  5
,
x2

3
1 x 1
3x  1  x  3
k

)
lim
.
,
2
x 0
x 1
x

Câu 39. Tìm các giới hạn sau

c) lim

2x  3
,
x 1

d) lim

g) lim

4 x  11
,
x 3

h) lim

x 1

x 3

x 1

x 3

2x  3
,
x 1
4 x  13
,
x 3




c) lim



f ) lim

a) lim

x2  2 x  3  5x
.
3x  10

b) lim



9 x 2  x  9  3x .

d ) lim

x2  6x  1  2 x
.
4x  5

e) lim



4 x2  x  5  2 x .

x 

x 

x 

x 

x 

e) lim  2 x3  4 x2  5x 1 .

f ) lim  6 x3  7 x2  x  2  .

h) lim  5x3  2 x2  3x 1 .

i) lim  2 x 4  4 x 2  1 .

x 

x 

x 

x 





9 x 2  4  3x  2 x  1 .



9 x 2  4  3x  2 x  3 .

x 



g ) lim  4 x3  9 x2  2 x  3 .
x 

k ) lim   x4  2 x2  3 .
x 

Câu 40. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng 3. Các điểm M, N lần lượt thuộc các
cạnh CD và BB ' thỏa mãn BN  DM  1. Đặt AB  a, AD  b, AA '  c. Phân tích các véc tơ AC ', MN
theo a, b, c và chứng minh AC '  MN .
Câu 41. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. AC
cắt BD tại O.
a) Chứng minh rằng SO  ( ABCD), SA  BD, SB  AC.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD.

c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Câu 42. Cho tứ diện SABC có ASB  BSC  CSA  900. H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng
a) SH  ( ABC ).

b)

1
1
1
1
.
 2 2
2
SH
SA SB SC 2

c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  .
2

2

2

2

Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a. Gọi O
là hình chiếu vng góc của S lên (ABC).
a) Chứng minh rằng OA=OB=OC.

b) Tính cơ sin của góc giữa đường thẳng SA và mp(ABC).

Câu 44. Cho tứ diện S.ABC có SA   ABC  , gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC.
Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy.

b) SC   BHK 

c) HK   SBC  .

Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng tâm O, SA   ABCD  . Gọi H, I, K lần lượt
là hình chiếu vng góc của A lên SB, SC, SD. Chứng minh:a) HK  ( SAC ), b) HK  AI .
Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có ABC  900 , SA  ( ABC ), SA  AB  3a, BC  4a.
Tính cơ sin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.
1

Câu 47. Chứng minh rằng: lim  x sin   0.
x 0
x


Câu 48. Tìm các giới hạn

a) lim
x 2

x3  2 x  14
, b) lim
x 4
x2

1  4x  3 1  6x
x  5  3 5x  7
.
c) lim
x 0
x
x4

Câu 49. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng cắt các đường thẳng AA’, BC, C’D’ lần
lượt tại M, N, P sao cho NM  2 NP. Tính

MA
.
MA '

Câu 50. Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AB  BD, PA  k PB, QC  kQD  k  1 . Chứng minh AB  PQ.


GIẢI CHI TIẾT
PHẦN II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 11. Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn u1  4, u3  10. Công sai của cấp số cộng bằng
B. 6.

A. 6.

D. 3.

C. 3.
Lời giải

Chọn C
Gọi d là công sai của cấp số cộng  un  .
u1  4
u  4
 1
Ta có u1  4, u3  10 suy ra 
.
d  3
u1  2d  10

Vậy công sai của cấp số cộng  un  là d  3.
Câu 12. Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn u1  3, u5  48. Công bội của cấp số nhân bằng
B. 2.

A. 16.

D. 2.

C. 2.
Lời giải

Chọn D

Gọi q là công bội của cấp số nhân  un  .
u1  3
u1  3
u  3
 4
 1
Với u1  3, u5  48 suy ra  4
.
q  2
u1.q  48 q  16

Vậy công bội của cấp số nhân  un  là q  2.
Câu 13 . Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng 0?
n

3
A.  an  , an    n 
2

n2
C.  un  , un 
n 
n3

.

B.  bn  , bn 

n
n 

n 1

*

D.  vn  , vn 

1
n 
n

*

.

*

*

.

.

Lời giải
Chọn D
1
Ta có lim vn  lim  0 .
n

Câu 14 . Dãy số nào trong các dãy số sau đây có giới hạn bằng 0?
n

n

5
A.  an  , an    n 
7

C.  un  , un  n  1 n 

.

9
B.  bn  , bn    n 
8

*

D.  vn  , vn  n n 

*

.

Lời giải
Chọn A

*

*

.

.


n

Vì q 

5
5
 1 nên lim an  lim    0 .
7
7

n
 1 1 1
 1  
Câu 17. Giới hạn lim 1     ...     bằng
n
 3  
 3 9 27

A.  .

B.  .

C.

3

.
2

D.

3
.
4

Lời giải
Chọn D
n
 1 1 1
 1  
Đặt S  1     ...     .
 3  
 3 9 27

u
3
1
Nhận thấy S là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1; q   . Khi đó S  1 
1 q 4
3

.
n
 1 1 1
 1   3
Vậy lim 1     ...      .

n
 3   4
 3 9 27

Câu 18. Giới hạn lim 2n bằng
n

A.  .

B.  .

D.

1
.
2

5
..
3

D.

2
.
3

4
.
5

D.

9
.
11

C. 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có lim q n   (q  1) . Với q  2 ta được lim q n   .
n 

2n  5
bằng
n 3n  7

Câu 19. Giới hạn lim
A.

5
.
7

B.

2
..
7

C.
Lời giải

Chọn D
5
5


n2  
2 

2n  5
n
n 2
lim
 lim 
 lim 

n  3n  7
n  
n

7
7 3

n3 
3 
n
n




4x  9
bằng
x  5 x  11

Câu 20. Giới hạn lim
A. .

B. .

C.
Lời giải

Chọn C


9

9
x4  
4
4x  9
x
x 4
lim
 lim 
 lim
x  5 x  11

x  
x

11 5
11 
5
x5  
x
x

2x  7
bằng
x  13x  4

Câu 21. Giới hạn lim
A.

2
.
13

B.  .

C.  .

D.

7
.
4

Lời giải
Chọn A
7
2
2x  7
x  2 (vì lim 7  lim 4  0 ).
Ta có: lim
 lim
x  13 x  4
x 
x  x
x  x
4 13
13 
x

Câu 22. Giới hạn

x4
bằng

 11  2 x  11
x   
lim

 2

A.

1
.
2

B.  .

C.  .

D. 

4
.
11

Lời giải
Chọn C

 lim x  4   19  0

  11  
2
x   
  2

x4

 lim 
  .
Ta có:  lim   2 x  11  0
 11 

 11  2 x  11
x


x


  2 


 2



 x    11   x   11  2 x  11  0



2
 2

Câu 23. Giới hạn lim 
x  3

A. 1.

x2
bằng
x3

B.  .

C.

2
.
3

D.  .

Lời giải
Chọn B

x   3  x  3  x  3  0 
x2
 lim 
 

lim   x  2   3  2  1  0  x 3 x  3
x  3


 x 2 khi x  1
Câu 24. Cho hàm số f ( x)  
. Nếu lim  f  x   lim  f  x  thì
x  1
x  1
mx  2 khi x  1

B. m  1 .

A. m  1.

C. m  3 .

D. m  3 .

Lời giải
Chọn A
lim  f  x   lim   mx  2   m  2 .

x  1

x  1

lim  f  x   lim  x 2  1 .

x  1

x  1

 lim  f  x   lim  f  x   m  2  1  m  1
x  1

x 1

Câu 25. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA  SB  AB . Góc giữa SA và CD
bằng
A. 300 .

B. 450 .

C. 600 .

D. 900 .

Lời giải
Chọn C

Vì ABCD là hình vng nên AB // CD nên góc giữa SA và CD bằng góc giữa SA và AB
và bằng SAB hoặc 1800  SAB .
Ta có SA  SB  AB nên SAB đều  SAB  600.  900
Vậy góc giữa SA và CD bằng SAB  600.
Câu 26. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N , P là trung điểm AB, BC , CD . Biết góc MNP bằng 1200 .
Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A. 600 .

B. 450 .

C. 1200 .
Lời giải

D. 300 .


Chọn A
Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN // AC
N , P lần lượt là trung điểm của CB, CD nên NP // BD .

Do đó góc giữa đường thẳng AC và BD bằng góc giữa hai đường thẳng MN và NP và
bằng MNP hoặc 1800  MNP .
Từ giả thiết ta có MNP  1200  900 nên góc đường thẳng AC và BD bằng 600 .
Câu 27. Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là vng cạnh a, SA  a 3, SA  ( ABCD). Góc giữa
đường thẳng SB và mp  ABCD  bằng
A. 300 .

B. 450 .

D. 900 .

C. 600 .
Lời giải

Chọn C

Do SA  ( ABCD) nên góc giữa đường thẳng SB và mp  ABCD  bằng góc SBA .
Xét tam giác vng SBA vng tại A ta có: tan SBA 

SA a 3

 3  SBA  600
AB
a

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mp  ABCD  bằng 600 .


Câu 28. Cho hình tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC . Bộ ba véc tơ nào
sau đây đồng phẳng?

A. MN , AB, CD .

B. MN , AC, BD .

C. MN , AD, BC .

D. MN , AC, AD .

Lời giải
Chọn C

Dựng hình bình hành BCED . Theo tính chất đường trung bình ta có MN / / BC và
BC / / DE . Suy ra MN / / DE và MN / /  ADE  . Do đó ba vectơ MN , AD, BC đồng phẳng vì

có giá cùng song song hoặc nằm trong mặt phẳng  ADE  .
Câu 29. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' cạnh a . Điểm M thuộc tia DD ' thỏa mãn
DM  a 6 . Góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD  là.

A. 30o .

B. 45o .

C. 75o .

D. 60o .

Lời giải
Chọn D

Dễ thấy đường thẳng BD là hình chiếu vng góc của đường thẳng BM lên mặt phẳng

 ABCD  .


Suy ra góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD  là góc giữa hai đường thẳng BM
và BD .
Ta có MDB vng tại D , DM  a 6 , BD  a 2 ( đường chéo hình vng cạnh a ).
Suy ra góc giữa hai đường thẳng BM và BD là góc MBD .
tan MBD 

MD a 6

 3 . Vậy góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng  ABCD  là 60o
BD a 2

.
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC. Góc giữa các đường thẳng SA, SB, SC và mặt phẳng (ABC) bằng
nhau. Hình chiếu vng góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
B. Trực tâm của tam giác ABC.
C. Trọng tâm của tam giác ABC.
D. Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
Lời giải
Chọn A

S

C
B
H

A
Gọi H là hình chiếu của S xuống mp  ABC  .
SBH  SCH  SAH .  gt 

Xét SHB, SHC, SHA có 

SH chung

, do đó SHB  SHC  SHA .

Suy ra HB  HC  HA .Vậy H là tâm đường tròng ngoại tiếp của tam giác ABC.
Câu 31 . Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật và CAD  400. Số đo góc
giữa hai
A. 200 .

đường thẳng AC và B ' D ' là
B. 800 .

C. 400 .
Lời giải

Chọn B

D. 500 .


Gọi O là giao điểm của BD và AC



 



Vì B ' D ' BD nên B ' D ', AC  BD, AC   , với 00    900
Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên OA  OD hay OAD cân tại O
Do đó ODA  OAD  400. Suy ra AOD  1000.

B'

C'

A'

D'

B

C
O

A

D

Vậy   800.
Câu 32. Khẳng định nào trong các khẳng định sau là khẳng định đúng?
A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì vng góc với
nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì khơng vng góc
với nhau.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Lời giải
Chọn D
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có 4 mặt là tam giác đều. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 300.

B. 450.

C. 600.
Lời giải

Chọn D

D. 900.


Ta có tứ diện ABCD là tứ diện đều. Gọi M là trung điểm của CD , khi đó
 AM  CD
 BM  CD

 CD   ABM   CD  AB
 AM  BM  M

 AM ; BM   ABM 

Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 900.
Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA

( ABCD). Khẳng định nào sau đây

đúng?
A. AB  SB.

B. BC  SB.

C. CD  SB.

D. SA  SB.

Lời giải
Chọn B
Ta có: BC  AB (1)
SA  ( ABCD) 
  BC  SA (2)
BC  ( ABCD ) 
AB  SA  A (3)

S

A

B

D

C

Từ (1), (2) và (3)  BC  (SAB) mà SB  (SAB) suy ra BC  SB

Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, SA

( ABCD). Khẳng định nào sau đây

đúng?
A. SC  AC.

B. SC  AB.

C. SC  AD.

D. SC  BD.

Lời giải
:
Chọn D


S

A

D

O
B

C

Gọi AC  BD  O

Ta có: BD  AC  O do tính chất hình thoi (1)
SA  ( ABCD) 
  BD  SA (2)
BD  ( ABCD) 
AC  SA  A (3)

Từ (1), (2) và (3)  BD  (SAC ) mà SC  (SAC ) suy ra BD  SC
PHẦN III. TỰ LUẬN
Câu 36. Tìm các số x, y biết rằng các số x  1, y  1, x  y  2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng,
đồng thời các số y,3x  2 y,3x  8 y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Lời giải
Các số x  1, y  1, x  y  2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
y 1 

 x  1   x  y  2  2 x  y  1  0
2

 y  2 x  11 .

Các số y,3x  2 y,3x  8 y theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi

 3x  2 y 

2

 y  3 x  8 y  2  .

Thay 1 và  2  ta được:  7 x  2    2 x  119 x  8 
2

 11x 2  7 x  4  0

x  1

x   4
7


Với x  1 suy ra y  3 .


Với x  

3
4
suy ra y  .
11
11

Câu 37. Tìm giới hạn của dãy số  un  trong các trường hợp sau
a) un 

sin n
n 
n2

*

4n  1
c) un 

n 
6n  2

b) un 

.
*

d) un 

.

e) un  n 2  5n  1  n n  N * .

2n
n 
3n  4
3n  n 2  n
2n  n  1

f) un   4n  5

Lời giải
sin n
n 
n2

Ta có: un 

.

sin n
1
 2 với mọi n 
2
n
n

Mặt khác lim
b. un 

*

*

.

1
 0 do đó lim un  0 .
n2

2n
n 
3n  4

*

.
n

2
 
n
2
3
Ta có: lim un  lim n
 lim   n .
3 4
1
1  4.  
3
n

n

2
1
Do lim    0, lim    0 nên lim un  1 .
3
 3

c. un 

4n  1
n 
6n  2

*

.

1
4
4n  1
n
 lim
Ta có: lim un  lim
2
6n  2
6
n

1
4 2
Do lim  0 nên lim un   .
n
6 3

d. un 

3n  n 2  n
2n  n  1
2

n 



.

n 

*

.

*

.

1
n
 lim
Ta có: lim un  lim
2
1
2n  n  1
2  1
n
3n  n 2  n

3  1



n2  2n  3  n  1 n  N *.

h) un  4n2  5n  2 n  N *.

g) un  n2  n  1 n  N *.

a. un 

2

*


1
2
Do lim  0 nên lim un  .
n
3

e) Ta có: lim

 lim



n  5n  1  n
2

n 2  5n  1  n 2



n 2  5n  1  n






 lim

 lim

n 2  5n  1  n





n 2  5n  1  n

n 2  5n  1  n





1
5
n
 lim


 2
5 1

n 2  5n  1  n
 1   2  1
n n


5

5n  1





f) Ta có:
lim  4n  5




n  2n  3  n  1  lim  4n  5 








2

  4n  5  n2  2n  3   n  12  

   lim
 lim 


n 2  2n  3  n  1














2  4n  5 



n 2  2n  3  n  1

5

2 4  

n

 lim
4

2 3
1
 1  2 1 
n n
n


g) Ta có: lim  n 2  n  1  lim n 2 1  


1
n

1 
  
n2 

h) Ta có: lim  4n 2  5n  2   lim n 2  4  


5
n

2 
  

n2 

Câu38. Tìm các giới hạn sau
x2  2x

a) lim
c) lim
x1

x  2 

g) lim
x3



x2  9

x 3

2x  3
x 1

e) lim

x2  4x  3

b) lim

x2  4

x 2

d) lim
x1

3x  7
x2

f) lim

2x  3
x 1

x  2 

4 x  11
x 3

h) lim
x3

3x  1  x  3
i) lim
x1
x2 1



k) lim

x 0

3x  5
x2

4 x  13
x 3
3

1 x 1
x

Lời giải
a) Ta có: lim
x 2

x2  2x
x2  4

 lim
x 2



n 2  2n  3  n  1 


2
n  2n  3  n  1



n 2  2n  3  n  1

x2  2x
x( x  2)
x
1
 lim
 lim

2
x  4 x2 ( x  2)( x  2) x2 x  2 2




x2  4 x  3

b) Ta có: lim

 lim

x 9
2

x3

2x  3
 

x 1

d) Ta có: lim

2x  3
 
x 1

x1

e) Ta có: lim

x 2 

f) Ta có: lim

x 2 





x 9
2

x3

c) Ta có: lim
x1

  x 2  4 x  3

3x  5
 
x2

4 x  11
 
x 3

h) Ta có: lim

4 x  13
 
x 3

i) Ta có: lim

3x  1  x  3
 lim
x1
x2 1

x3

x1

 lim
x1

 x  1 x  1 
3
x0

 lim



2( x  1)

k) Ta có: lim

3x  1  x  3

1  x 1
 lim
x0
x
x
1



x0 3

x3

  x  1 x  3
1 x
1

 lim

 x  3 x  3 x3 x  3 3

3x  7
 
x2

g) Ta có: lim
x3

 lim



(1  x)2  3 1  x  1





3x  1  x  3

x



2

 1

 lim
x1





3x  1  x  3

3x  1  x  3

 x  1 

2
3x  1  x  3

x
3










(1  x)2  3 1  x  1

1
1
 .
111 3

Câu 38. Tìm các giới hạn sau
x2  2x

a) lim

x2  4

x 2

c) lim
x1

x  2 

g) lim
x3



x2  9

x 3

2x  3

x 1

e) lim

x2  4x  3

b) lim
d) lim
x1

3x  7
x2

f) lim

2x  3
x 1

x  2 

4 x  11
x 3

h) lim
x3

3x  1  x  3
i) lim
x1
x2 1



4 x  13
x 3
3

k) lim

x 0

3x  5
x2

1 x 1
x

Lời giải
a) Ta có: lim
x 2

x2  2x
x2  4

 lim
x 2

x2  2x
x( x  2)
x

1
 lim
 lim

2
x  4 x2 ( x  2)( x  2) x2 x  2 2

2
1
 .
2. 2  2  4


x2  4 x  3

b) Ta có: lim

x 9
2

x3

 lim

  x 2  4 x  3
x 9
2

x3

 lim
x3

  x  1 x  3
1 x
1
 lim

 x  3 x  3 x3 x  3 3

x  1)  0, x  1  0 x  1 . Do đó: lim
x  3)  5 , lim(
c) Ta có: lim(2


x1

x1

x1

2x  3
 
x 1
2x  3
 
x 1

x  1)  0, x  1  0 x  1 . Do đó: lim
x  3)  1 , lim(

d) Ta có: lim(2


x1

x1

x1

e) Ta có: lim  (3x  7)  1 , lim  ( x  2)  0, x  2  0 x  2 . Do đó:

lim 

x 2 

x( 2)

x( 2)

f) Ta có: lim  (3x  5)  1 , lim  ( x  2)  0, x  2  0 x  2 . Do đó:

lim 

x 2 

x( 2)

x( 2)

x  3)  0, x  3  0 x  3 . Do đó: lim

x  11)  1 , lim(
g) Ta có: lim(4


x 3

x3

x3

i) Ta có: lim
x1

x3

 x  1 x  1 

x1

3

k) Ta có: lim
x0





2( x  1)

 lim

 lim

x3

3x  1  x  3
 lim
x1
x2 1

3x  1  x  3

1  x 1
 lim
x0
x
x
1

x0 3



(1  x)2  3 1  x  1





3x  1  x  3

x



2

 1

 lim
x1





3x  1  x  3

3x  1  x  3

 x  1 

2
3x  1  x  3

x
3





3x  5
 
x2

4 x  11
 
x 3

x  3)  0, x  3  0 x  3 . Do đó: lim
x  13)  1 , lim(
h) Ta có: lim(4


x3

3x  7
 
x2

4 x  13
 
x 3




2

1
 .
2. 2  2  4



(1  x)2  3 1  x  1

1
1
 .
111 3

Câu 39. Tìm các giới hạn sau
x2  2 x  3  5x
3x  10

a) lim

x


e) lim 
c) lim

x

x

b) lim

x



9 x 2  4  3x  2 x  1
4 x2  x  5  2 x





9 x 2  x  9  3x

x2  6 x  1  2 x
4x  5

d) lim

x

f) lim

x







9 x 2  4  3 x  2 x  3 

g) lim  2 x3  4 x2  5x 1

h) lim  6 x3  7 x2  x  2

i) lim  4 x3  9 x2  2 x  3

k) lim  5x3  2 x2  3x 1

x

x





l) lim 2 x4  4 x2  1 .
x

x

x





m) lim  x4  2 x2  3 .
x

Lời giải


 2 3
2 3
x 2 1   2   5 x
x 1   2  5x
x
x


x x
 lim
x

3x  10
3x  10

x  2 x  3  5x
 lim
x
3x  10
2

a) lim

x

2 3
2 3
x 1   2  5x
1  2  5
1 5
x x
x x
 lim
 lim

2
x 
x

10
3x  10
3
3
x

Chú thích: Do
b) lim

x



x  

nên



do đó

x0

x x

9 x2  x  9  9 x2

9 x 2  x  9  3x  lim

x

9 x  x  9  3x
2

 lim

x

x9
1 9 

x 2  9   2   3x
x x 


9
1
x9
x9
1
x
 lim
 lim
 lim

x 
x 
x 
6
1 9
1 9
1 9
x 9   2  3x
x 9   2  3x
9  2 3
x x
x x
x x

Chú thích: Do
c) lim

x



x  

9 x  4  3x
2



nên

x0

do đó

9x
 2 x  1  lim
x

x x
2

 4  9 x 2   2 x  1
9 x  4  3x
2

 lim

x

8x  4

4

x 2  9  2   3x
x 


4
8
8x  4
8x  4
8
x
 lim
 lim
 lim

x 
x 
x
3
4
4
4
x 9  2  3x
x 9  2  3x
9 2 3
x
x
x

Chú thích: Do

x  

nên

x0

x  6x  1  2x
 lim
x
4x  5
2

d) lim

x

do đó

x x

 6 1
6 1
x 2 1   2   2 x
x 1   2  2x
 x x 
x x
 lim
x


4x  5
4x  5

6 1
6 1
x 1   2  2x
 1  2  2
1  2 1
x x
x x
 lim
 lim


x 
x 
5
4x  5
4
4
4
x

Chú thích: Vì x   nên
e) lim

x



4 x2  x  5  2 x



x0

do đó

x  x .



 lim

4x2  x  5  2x



4x2  x  5  2x

4x  x  5  2x

x

  lim 
x

2

4x2  x  5

  4x
2

2

 4x  x  5 
x2 
  2x
x2


2

 lim

x

x5
1 5
x 4   2  2x
x x

5
1 
x5
x5
1
x

 lim
 lim
 lim
 .
x 
x

x

4


1 5
1 5
1 5
x 4   2  2x
4  2 2
 x  4   2  2 
x x
x x
x x



Chú thích: Vì
f) lim

x



x  

9 x  4  3x
2



nên

x0

do đó

x  x .

9x
 2 x  3  lim
x

2

 4  9 x 2   2 x  3
9 x 2  4  3x

 lim

x

12

8
8 x  12
8 x  12
8
x
 lim
 lim
 lim

x 
x
x
3
4
4
4
x 9  2  3x
 x 9  2  3x
9 2 3
x
x
x

Chú thích: Vì

x  

nên

x0

do đó

x  x .

 
4 5 1 
g) Ta có lim  2 x3  4 x 2  5 x  1  lim  x3  2   2  3     .
x
x
x x x 
 

 lim x3  
 x
Do 
.
4 5 1

lim
2




2
 x 

x x 2 x3 



 
7 1 2 
h) Ta có lim  6 x3  7 x 2  x  2   lim  x3  6   2  3     .
x
x
x x x 
 

 lim x3  
 x
Do 
.
7 1 2

6  2  3   6
 xlim

x x x 
  
 
9 2 3 
i) Ta có lim  4 x3  9 x 2  2 x  3  lim  x3  4   2  3     .
x
x
x x
x 
 

 lim x3  

 x
Do 
.
9 2 3

4   2  3   4
 xlim

x x x 
  
 
2 3 1 
k) Ta có lim  5 x3  2 x 2  3x  1  lim  x3  5   2  3     .
x
x
x x x 
 

8 x  12
4

x 2  9  2   3x
x 



 lim x3  
 x
Do 
.

2 3 1

lim

5





5
 x 

x x 2 x3 


 
4 1 
l) Ta có lim  2 x 4  4 x 2  1  lim  x 4  2  2  4     .
x
x
x x 
 

 lim x 4  
 x
Do 
.
4 1


lim
2



2
 x 

x2 x4 


 
2 3 
m) Ta có lim   x 4  2 x 2  3  lim  x 4  1  2  4     .
x
x
x x 
 

 lim x 4  
 x
Do 
.
2 3

1  2  4   1
 xlim

x x 
  

Câu 40. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng 3. Các điểm M , N lần lượt thuộc các
cạnh CD và BB thỏa mãn BN  DM  1. Đặt AB  a, AD  b, AA  c. Phân tích các véc tơ
AC, MN theo a, b, c và chứng minh AC  MN .

Lời giải
* Theo quy tắc hình hộp, ta có AC  AB  AD  AA  a  b  c
1
1
2
1
* Ta có MN  MD  DB  BN   DC  AB  AD  BB  a  b  c
3
3
3
3

* Do ABCD. ABCD là hình lập phương ta có: a  b  c  3, c.a  c.b  a.b  0





1 
2
 AC .MN  a  b  c .  a  b  c 
3 
3
2
2 2

1
2
1
2
1 2
 a  a.b  a.c  a.b  b  b.c  c.a  c.b  c  0
3
3
3
3
3
3


 AC  MN.

Câu 41 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vng, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . AC
cắt BD tại O .
a) Chứng minh rằng SO  ( ABCD), SA  BD, SB  AC.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD .
c) Tính góc đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABCD) .
Lời giải

a) Do SBD và SAC cân tại S nên :
SO  AC 
  SO  ( ABCD) .
SO  BD 

Ta lại có :
BD  AC 

  BD  (SAC)  BD  SA .
BD  SO 

Tương tự :
AC  BD 
  AC  (SBD)  AC  SB .
AC  SO 

b) Do CD / / AB nên ( SA, CD)  ( SA, AB)  SAB  600 ( SAB đều) .
c) Vì O là hình chiếu của S xuống ( ABCD) nên  SA,( ABCD)   SAO
a
OA
1
cos SAO 
 2 
 SAO  450 .
SA
a
2

Vậy  SA,( ABCD )   450 .


Câu 42. Cho tứ diện SABC có ASB  BSC  CSA  900. H là trực tâm của ABC. Chứng minh rằng:
a) SH  ( ABC ). b)

c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  .

1
1

1
1
.
 2 2
2
SH
SA SB SC 2

2

2

2

Lời giải

a) SH  ( ABC ).
Trong ABC vẽ AI  BC tại I (1) .
Ta có: SA  SB và SA  SC , suy ra SA  mp(SBC )  SA  BC (2) .
Từ (1) và (2), suy ra BC  mp(SAI )  BC  SH .
Tương tự, ta cũng chứng minh được AC  SH .
Từ đó, suy ra SH  mp( ABC ).
b)

1
1
1
1
.
 2 2

2
SH
SA SB SC 2

Ta có AS  SI (vì SA  mp( SBC ) ), suy ra ASI vuông tại S .
BC  SI (vì BC  mp( SAI ) ), suy ra SI là đường cao của SBC ( vng tại S ).

Vì SH là đường cao của   SAI và SI là đường cao của SBC nên suy ra:
1
1
1
1
1
1
.
 2  2 và 2  2 
2
SH
SI
SB SC 2
SA SI

Từ đó, suy ra

1
1
1
1
(đpcm).
 2 2

2
SH
SA SB SC 2

c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  .
2

2

2

2

Ta có SI 2  IH .IA (*) . Nhân 2 vế của (*) với

1
BC 2 , ta được
4

2

1
2
1
 1
 BC.SI   IH .BC. IA.BC   SSBC   S HBC .S ABC
2
2
2


Tương tự, ta cũng có:  S SCA   S HCA .S ABC và  S SAB   S HAB .S ABC .
2

2

2


Cộng vế theo vế ta được  S ABC    S SBC    S SCA    S SAB  (đpcm).
2

2

2

2

Câu 43. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều, các cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . Gọi
O là hình chiếu vng góc của S lên  ABC  .

a) Chứng minh rằng OA  OB  OC .
b) Tính cơ-sin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  .
Lời giải

a) Xét các tam giác SOA , SOB , SOC cùng vuông tại O . Ta có:
SA  SB  SC  a (giả thiết); SO là cạnh chung.

Suy ra SOA  SOB  SOC .
Do đó OA  OB  OC (đpcm).

b) Theo chứng minh trên ta suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
2 a 3 a 3
Suy ra AO  .
.

3 2
3

Vì OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng  ABC  nên ta có:

 SA,  ABC    SA, OA  SAO .
Trong tam giác SOA vng tại O ta có: cos SAO 

AO
3

.
SA
3

Vậy cơ-sin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng

3
.
3

Câu 44. Cho tứ diện S . ABC có SA   ABC  . Gọi H , K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC
và SBC . Chứng minh rằng:
a) AH , SK , BC đồng quy.

b) SC   BHK  .
Lời giải

a) Gọi I  AH  BC .
+) Từ giả thiết SA   ABC   SA  BC .

c) HK   SBC  .