Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian b Metric mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ HẢI CHÂU

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY
TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THỊ HẢI CHÂU

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY
TRÊN KHƠNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - 2020


Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Các tài liệu trong luận văn là
trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong
các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ
nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Người viết luận văn

Phạm Thị Hải Châu

i


Lời cảm ơn
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Tôi xin
cảm ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tơi trong
suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy
và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.

Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Người viết luận văn

Phạm Thị Hải Châu

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian b–metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian b-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian b-metric mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu
Geraghty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1. Định lý điểm bất động của Geraghty cho ánh xạ trên không gian
metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Trường hợp không gian b-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3. Trường hợp không gian b-metric mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

iii


Lời mở đầu
Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của toán học. Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là
nguyên lý ánh xạ co Banach trên lớp các khơng gian metric đầy đủ. Về sau
có rất nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này với các điều kiện khác nhau về
không gian và ánh xạ. Vào năm 1973, nhà toán học Michael A. Geraghty đã
chứng minh một dạng định lý điểm bất động cho một lớp ánh xạ đặc biệt
(thường gọi là ánh xạ kiểu Geraghty), là một mở rộng tự nhiên của nguyên
lí ánh xạ co Banach. Trong vài năm trở lại đây, một số nhà Toán học đã
nghiên cứu các trường hợp của định lý này trong các lớp không gian khác

nhau, đồng thời mở rộng được một số kết quả của A. Geraghty.
Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến
khái niệm, tính chất và một số định lý điểm bất động trong không gian

b-metric, b-metric mở rộng, tơi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình
với tên gọi là: "Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty
trên không gian b-metric mở rộng".
Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương:

• Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tơi trình bày
lại một số khái niệm, ví dụ về các khơng gian metric, b-metric, b-metric mở
rộng; Các tính chất về sự hội tụ, một số tính chất khác của các khơng gian
này.

• Chương 2: Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty.
Đây là phần trọng tâm của luận văn, trong phần này trước tiên tôi sẽ giới
thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được nhà tốn học Geraghty
cơng bố vào năm 1973, đây được xem như định lý gốc, cổ điển để so sánh
1


với các kết quả công bố trong một số năm gần đây của các nhà tốn học.
Sau đó chúng tơi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ
kiểu Geraghty trên lớp không gian b-metric, đã được các tác giả, đặc biệt là
A.Aghajani, M.ABBAS, J.R. Roshan ([1]) và Hamid Faraji, Dragana Savic,
Stojan Radenovic ([3]) công bố vào các năm 2014, 2019. Đồng thời, chúng
tôi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty
trên lớp không gian b-metric mở rộng, đã được các tác giả Vahid Parvaneh,
Zoran Kadelburg, R. J. Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh ([5]) và một số tác
giả khác công bố trong những năm gần đây.

Tôi đã cố gắng chọn lọc và sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn
và phù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn có hạn nên
chắc rằng trong quá trình nghiên cứu khơng thể tránh khỏi những thiếu sót
nhất định. Chính vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía
các thầy cơ giảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học
để luận văn được hồn thiện hơn.
Trong q trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng
dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương. Tôi xin chân thành
gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới
Ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ giáo và anh chị học viên lớp Cao
học Toán K26B trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan
tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tơi hồn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020
Tác giả

Phạm Thị Hải Châu

2


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm, đưa ra một số ví dụ
cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian
metric, không gian b-metric, không gian b-metric mở rộng, được tham khảo
từ các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] để làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2.

1.1. Khơng gian b–metric
1.1.1. Khơng gian metric

Định nghĩa 1.1.1. (Không gian metric) Cho X là một tập khác rỗng, trên

X ta trang bị một hàm số
d:X ×X →R
(x, y) → d (x, y)
thỏa mãn các điều kiện sau:
1.

d (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X ; d (x, y) = 0 ⇔ x = y ;

2.

d (x, y) = d (y, x) với mọi x, y ∈ X ;

3.

d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Khi đó d được gọi là một metric hay khoảng cách trên X . Cặp (X, d)
gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm,

d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X .
3


Ví dụ 1.1.2. Cho X = R hoặc X = C, ta xác định metric trên X như sau:

d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X .
Theo định nghĩa trên, (X, d) là không gian metric.
Định nghĩa 1.1.3. (Sự hội tụ trong không gian metric) Trong không gian

metric (X, d), {xn } là một dãy các phần tử của X , ta nói {xn } hội tụ đến

x0 ∈ X nếu:
lim d (xn , x0 ) = 0.

n→∞

Khi đó ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞. Phần tử x0 gọi là
n→∞

giới hạn của dãy {xn }.
1. Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
2. Nếu lim xn = a; lim yn = b thì lim d (xn , yn ) = d (x, y). Tức là hàm
n→∞

n→∞

n→∞

khoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y .
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn } các
phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản ) nếu:

lim d (xm , xn ) = 0.

m,n→∞

Nghĩa là, với mọi ε > 0, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao cho với mọi m, n ≥ n0
ta ln có:

d (xm , xn ) < ε.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric X gọi là không gian metric đầy đủ
nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (X, d) là không gian metric, x0 ∈ X và r > 0.
Tập

B (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r}
gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính r.
4


Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (X, d), T là một ánh xạ từ
tập X vào chính nó. Ánh xạ T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại

x0 ∈ X : T x0 = x0 . Nếu X là khơng gian metric đầy đủ thì điểm bất động
là duy nhất.
Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ T từ khơng gian metric (X, d) vào chính nó
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho:

d (T x, T y) ≤ αd (x, y) ,
với mọi x, y ∈ X .
Định lý 1.1.9. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là không gian
metric đầy đủ và T co trên X , tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho:

d (T x, T y) ≤ αd (x, y)
với mọi x, y ∈ X . T có duy nhất điểm bất động và với x0 ∈ X bất kì, dãy

{T n (x0 )} hội tụ đến điểm bất động.

1.1.2. Không gian b-metric

Định nghĩa 1.1.10. (Xem [3]) (Định nghĩa không gian b-metric)
Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1 là số thực cho trước. Hàm

d : X × X → [0; +∞)
được gọi là b-metric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiện sau đây
được thỏa mãn:
1.

d (x, y) = 0 ⇔ x = y ;

2.

d (x, y) = d (y, x);

3.

d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác).

Khi đó, tập X cùng với một b-metric trên X được gọi là không gian

b-metric với tham số s, nói gọn là khơng gian b-metric và được kí hiệu bởi
(X, d) hoặc X .
5


Chú ý: 1) Từ nay về sau, khi nói tới khơng gian b-metric ta ln hiểu
tham số của nó là s ≥ 1.
2) Từ định nghĩa không gian metric và không gian b-metric ta thấy rằng
không gian metric là trường hợp đặc biệt của không gian b-metric khi s = 1.
Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các khơng gian b-metric thực sự rộng

hơn lớp các khơng gian metric.
Ví dụ 1.1.11. 1) Giả sử (X, ρ) là không gian metric và d : X × X →

[0; +∞) là hàm được cho bởi:
d (x, y) = (ρ (x, y))2 , ∀x, y ∈ X .
Khi đó d là b-metric với s = 2.
2) Giả sử X = R và trên R ta xét metric thông thường. Ta xác định hàm

d : R × R → [0; +∞) bởi:
d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R.
Khi đó d là b-metric với s = 2 (theo 1) nhưng khơng là metric trên R vì

d (1, −2) = 9 > 5 = d (1, 0) + d (0, −2) .
Định nghĩa 1.1.12. (Xem [7]) Cho (X, d) là không gian b-metric. Khi đó
dãy {xn } ∈ X được gọi là
a)

b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệu bởi xn → x

hoặc lim xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi
n→∞

n ≥ n0 , ta có d (xn , x) < ε. Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi
d (xn , x) → 0 khi n → ∞.
b)

dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi

n, m ≥ n0 ta có, d (xn , xm ) < ε.
c)

Không gian b-metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong

nó đều hội tụ.

6


Ví dụ 1.1.13. Giả sử X = {1, 2, 3, 4} và d : X × X → [0, +∞) là hàm
được cho bởi

d (x, y) = d (y, x), ∀x, y ∈ X ;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y ;
5
d (1, 2) = d (1, 4) = 1, d (2, 4) = ;
2
9
d (1, 3) = d (2, 3) = d (3, 4) = .
4
5
Khi đó d là b-metric trên X với s = và (X, d) là không gian b-metric đầy
4
đủ.
Bổ đề 1.1.14. Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-metric (X, d) và

xn → x ∈ X. Khi đó,
1)

{xn } là dãy Cauchy;

2)

x là duy nhất;

1
d (x, y) ≤ lim inf d (xn , y) ≤ lim sup d (xn , y) ≤ sd (x, y) với mọi
n→∞
s
n→∞
y ∈ X.

3)

Chứng minh. 1) Vì xn → x nên với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao
cho

d (xn , x) <

ε
, ∀n ≥ n0 .
2s

Từ đó suy ra

d (xn , xm ) ≤ s [d (xn , x) + d (xm , x)] < ε, ∀n, m ≥ n0 .
Do đó {xn } là dãy Cauchy.
2) Giả sử xn → x và xn → y . Khi đó, d (xn , x) → 0 và d (xn , y) → 0 khi

n → ∞. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
d (x, y) ≤ s [d (xn , x) + d (xn , y)] ,

n = 1, 2,...

Cho n → ∞ ta được

0 ≤ d (x, y) ≤ s lim d (xn , x) + lim d (xn , y) = 0.
n→∞

n→∞

7


Do đó d (x, y) = 0 hay x = y . Vậy x là duy nhất.
3) Với mọi y ∈ X ta có:

d (x, y) ≤ s [d (x, xn ) + d (xn , y)] ,

∀n = 1, 2, ...

Từ đó suy ra
1
d (x, y) − d (x, xn ) ≤ d (xn , y) ≤ s [d (xn , x) + d (x, y)] ,
s
với mọi n = 1, 2, ....
Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞ và sử dụng lim d (xn , x) = 0 ta
n→∞

được

1
d (x, y) ≤ lim inf d (xn , y) ≤ lim sup d (xn , y) ≤ sd (x, y) .
n→∞
s
n→∞
Vậy đẳng thức 3) được chứng minh.
Bổ đề 1.1.15. (Xem [7]) Cho (X, d) là không gian b-metric với s ≥ 1 và
giả sử rằng {xn } và {yn } lần lượt hội tụ tới x và y . Khi đó

1
d (x, y) ≤ lim inf d (xn , yn ) ≤ lim sup d (xn , yn ) ≤ s2 d (x, y) .
2
n→∞
s
n→∞
Hơn nữa, với mỗi z ∈ X , ta có:

1
d (x, z) ≤ lim inf d (xn , z) ≤ lim sup d (xn , z) ≤ sd (x, z) .
n→∞
s
n→∞
Định nghĩa 1.1.16. Cho (X, d) là không gian b-metric và ánh xạ T : X →

X . Ta nói rằng T liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn } trong X ,
xn → x0 khi n → ∞ thì T xn → T x0 khi n → ∞. Nếu T liên tục tại mỗi
điểm x0 ∈ X thì ta nói T liên tục trên X .
Bổ đề 1.1.17. Cho (X, d) là không gian b-metric với tham số s và

{xn } ⊂ X sao cho xn → x và xn → y . Khi đó x = y .

Bổ đề 1.1.18. Cho (X, d) là không gian b-metric với tham số s và

{xk }n0 ⊂ X. Khi đó:
d (xn , x0 ) ≤ sd (x0 , x1 ) + ... + sn−1 d (xn−2 , xn−1 ) + sn d (xn−1 , xn ) .

8


Chứng minh. Ta có:

d (xn , x0 ) ≤ s [d (x0 , x1 ) + d (x1 , xn )] = sd (x0 , x1 ) + sd (x1 , xn )
≤ sd (x0 , x1 ) + s2 [d (x1 , x2 ) + d (x2 , xn )]
= sd (x0 , x1 ) + s2 d (x1 , x2 ) + s2 d (x2 , xn )
...
≤ sd (x0 , x1 ) + ... + sn−1 d (xn−2 , xn−1 ) + sn d (xn−1 , xn ) .
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.19. Cho {xn } là dãy trong không gian b-metric (X, d) với tham
số s sao cho:

d (xn , xn+1 ) ≤ αd (xn−1 , xn )
với 0 < α <

1
với mỗi n ∈ N. Khi đó {xn } là dãy Cauchy trong X .
s

Định lý 1.1.20. (Định lí Banach trong khơng gian b-metric)
Cho (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với tham số s và T : X → X là
1
ánh xạ sao cho với 0 < α < ,

s

d (T x, T y) ≤ αd (x, y)
với mọi x, y ∈ X . Khi đó T có duy nhất điểm bất động r và với mỗi x0 ∈ X ,
dãy {T n x0 } hội tụ đến r.
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X bất kì và kí hiệu yn = T n x0 . Khi đó:

d (yn , yn+1 ) = d (T yn−1 , T yn ) ≤ αd (yn−1 , yn )
với mỗi n = 1, 2, ....
Theo Bổ đề 1.1.19, {yn } là dãy Cauchy mà (X, d) đầy đủ nên tồn tại r ∈ X
sao cho {yn } → r khi n → ∞. Khi đó:

d (T r, r) ≤ s [d (T r, T yn ) + d (yn+1 , r)]
≤ s [αd (r, yn ) + d (yn+1 , r)] → 0

9


khi n → ∞. Do đó d (T r, r) = 0 hay T r = r.
Vậy điểm bất động của T là r.
Tiếp theo ta đi chứng minh r là duy nhất. Thật vậy, nếu r1 là một điểm
bất động của T . Khi đó T r1 = r1 , ta có:

d (r, r1 ) = d (T r, T r1 ) ≤ αd (r, r1 ) .
1
Với 0 < α < , điều này xảy ra khi và chỉ khi d (r, r1 ) = 0 hay r = r1 .
s
Vậy r là điểm bất động duy nhất của T .
Định lý 1.1.21. (Xem [2]) Cho (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với
tham số s ≥ 1 và giả sử T : X → X thỏa mãn

d (T x, T y) ≤ ϕ (d (x, y))

(1.1)

với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) là tăng và

lim ϕn (t) = 0 với mọi t ≥ 0.

n→∞

Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ X và lim T n (x) = x∗ với
n→∞

mỗi x ∈ X .
Định nghĩa 1.1.22. Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X được gọi là quan
hệ thứ tự (từng phần) nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối
xứng và bắc cầu. Kí hiệu quan hệ thứ tự bởi

và nếu a

b hoặc b

a thì

ta nói hai phần tử a và b là so sánh được với nhau. Tập X khác rỗng mà
trên đó có một quan hệ thứ tự từng phần được gọi là tập sắp thứ tự từng
phần. Kí hiệu là (X, ).
Định nghĩa 1.1.23. Cho X là tập khác rỗng. Khi đó (X, d, ) được gọi là
không gian b-metric sắp thứ tự từng phần nếu và chỉ nếu d là một b-metric

trên tập sắp thứ tự từng phần (X, ).
Tập con K của tập sắp thứ tự từng phần X được gọi là sắp thứ tự tốt
nếu hai phần tử bất kì của K so sánh được.
Định nghĩa 1.1.24. (Phần tử bé nhất) Giả sử X là một tập hợp sắp thứ
tự. Một phần tử a ∈ X gọi là phần tử bé nhất của X nếu với mọi x ∈ X ,
ta có a

x.
10


Định nghĩa 1.1.25. (Tập sắp thứ tự tốt) Một tập hợp được gọi là sắp thứ
tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và mọi bộ phận khác rỗng của nó đều có một
phần tử bé nhất.
Định nghĩa 1.1.26. Cho (X, ) là tập sắp thứ tự từng phần và T : X →

X . Ta nói rằng T là ánh xạ không giảm nếu với x, y ∈ X ,
x

y ⇒ Tx

T y.

Định nghĩa 1.1.27. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T :

X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I nếu tồn tại β ∈ B
sao cho

d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)

(1.2)

với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó:

M (x, y) = max{d (x, y) ,

d (x, T x) d (y, T y) d (x, T x) d (y, T y)
,
}.
1 + d (x, y)
1 + d (T x, T y)

Định nghĩa 1.1.28. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T :

X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại II nếu tồn tại
β ∈ B sao cho
d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)

(1.3)

với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó

d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x)
,
1 + s [d (x, T x) + d (y, T y)]
d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x)
}.
1 + d (x, T y) + d (y, T x)

M (x, y) = max{d (x, y) ,

Định nghĩa 1.1.29. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T :

X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III nếu tồn tại
β ∈ B sao cho:
d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)
11

(1.4)


với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó:

d (x, T x) d (y, T y)
,
1 + s [d (x, y) + d (x, T y) + d (y, T x)]
d (x, T y) d (x, y)
}.
1 + sd (x, T x) + s3 [d (y, T x) + d (y, T y)]

M (x, y) = max{d (x, y) ,

1.2. Không gian b-metric mở rộng
Định nghĩa 1.2.1. (Xem [5]) Cho X là tập khác rỗng. Hàm

d : X × X → [0; ∞)
được gọi là b-metric mở rộng nếu tồn tại hàm liên tục tăng ngặt Ω : [0; ∞) →

[0; ∞) với Ω−1 (t) ≤ t ≤ Ω (t) với mọi t ≥ 0 và Ω−1 (0) = 0 = Ω (0) sao cho
với mọi x, y, z ∈ X , các điều kiện sau thỏa mãn:

1.

d (x, y) = 0 ⇔ x = y ;

2.

d (x, y) = d (y, x);

3.

d (x, z) ≤ Ω [d (x, y) + d (y, z)] (bất đẳng thức tam giác).

Khi đó, cặp (X, d) được gọi là không gian b-metric mở rộng.
Không gian b-metric là một trường hợp riêng của không gian b-metric
mở rộng với Ω (t) = s (t) với mọi s ≥ 1 (khi hàm tham số là hằng số).
Định nghĩa 1.2.2. (Xem [5]) Cho (X, d) là khơng gian b-metric mở rộng.
Khi đó dãy {xn } trong X được gọi là
1)

hội tụ nếu tồn tại x ∈ X sao cho d (xn , x) → 0 khi n → ∞. Ta viết

lim xn = x;

n→∞

2)

dãy Cauchy nếu d (xn , xm ) → 0 khi n, m → ∞.

3)

Không gian b-metric mở rộng (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi

dãy Cauchy trong X đều hội tụ.

12


Bổ đề 1.2.3. (Xem [5]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng với hàm

Ω và giả sử rằng {xn } và {yn } lần lượt hội tụ tới x, y . Khi đó, ta có
Ω2

−1

(d (x, y)) ≤ lim inf d (xn , yn ) ≤ lim sup d (xn , yn ) ≤ Ω2 (d (x, y)) .
n→∞

n→∞

(1.5)
Đặc biệt, nếu x = y thì lim d (xn , yn ) = 0. Hơn nữa, với mỗi z ∈ X , ta có:
n→∞

Ω−1 (d (x, z)) ≤ lim inf d (xn , z) ≤ lim sup d (xn , z) ≤ Ω (d (x, z)) .
n→∞

n→∞

Định nghĩa 1.2.4. (Xem [6]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng.

1)

Một tập con A của X được gọi là tập mở nếu với a ∈ A bất kì, tồn

tại ε > 0 sao cho B (a, r) ⊂ A ;
2)

Một tập con C của X được gọi là tập đóng nếu với dãy {xn } bất

kì trong C sao cho lim xn = x với mọi n thì x ∈ C ;
n→∞

Định nghĩa 1.2.5. (Xem [6]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng
và C là tập con của X . Khi đó C là tập compact nếu mọi dãy các phần tử
của C đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử của C .
Định nghĩa 1.2.6. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng
sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng
hữu tỉ loại I nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho:

Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)
với mọi x, y ∈ X và x

(1.6)

y , trong đó:

M (x, y) = max d (x, y) ,

d (x, T x) d (y, T y) d (x, T x) d (y, T y)
,

.
1 + d (x, y)
1 + d (T x, T y)

Không gian b-metric mở rộng sắp thứ tự từng phần (X, d, ) được gọi
là có tính chất so sánh giới hạn dãy (tính chất s.l.c) nếu với mỗi dãy không
giảm {xn } trong X , {xn } hội tụ tới x ∈ X thì xn

13

x với mọi n ∈ N.


Định nghĩa 1.2.7. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng
sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng
hữu tỉ loại II nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho:

Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)
với mọi x, y ∈ X và x

(1.7)

y , trong đó:

d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x)
,
1 + Ω [d (x, T x) + d (y, T y)]
d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x)
}.
1 + d (x, T y) + d (y, T x)

M (x, y) = max{d (x, y) ,

Định nghĩa 1.2.8. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng
sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng
hữu tỉ loại III nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho:

Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y)
với mọi x, y ∈ X và x

y , trong đó:

d (x, T x) d (y, T y)
,
1 + Ω [d (x, y) + d (x, T y) + d (y, T x)]
d (x, T y) d (x, y)
}.
1 + Ω (d (x, T x)) + Ω3 [d (y, T x) + d (y, T y)]

M (x, y) = max{d (x, y) ,

14

(1.8)


Chương 2
Một số định lý điểm bất động của
ánh xạ kiểu Geraghty
Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động

của Geraghty và trình bày một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu
Geraghty trên không gian b-metric và b-metric mở rộng. Nội dung trong
chương này được trích dẫn chủ yếu từ các nguồn tài liệu tham khảo [3], [4],
[5] và [7].

2.1. Định lý điểm bất động của Geraghty cho ánh xạ
trên không gian metric
Trước tiên chúng tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được
công bố vào năm 1973, đây được xem như định lý gốc, cổ điển để so sánh
với các kết quả công bố trong một số năm gần đây của các nhà tốn học.
Ta kí hiệu như sau. Cho bất kì cặp dãy xn và yn trong X với xn = yn ,
ta viết:

dn = d(xn , yn ) và ∆n = d(T (xn ), T (yn ))/dn .
Định lý 2.1.1. (Xem [4]) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ. Cho

T : X → X với d(T (x), T (y)) < d(x, y) với mọi x, y ∈ X . Lấy x0 ∈ X và
xây dựng dãy {xn }: xn = T (xn−1 ) với n = 1, 2, ..... Nếu và chỉ nếu với hai
dãy con bất kì xhn và xkn với xhn = xkn , ta có:

∆n → 1 chỉ nếu dn → 0.
15


Khi đó: xn → a trong X với a là điểm bất động duy nhất của T .
Chứng minh. Trước tiên giả sử rằng xn → a trong X và xhn và xkn là hai
dãy con bất kì. Do đó rõ ràng dn = d(xhn , xkn ) → 0 nên điều kiện trên được
thỏa mãn.
Tiếp theo, giả sử điều kiện đã được thỏa mãn cho điểm ban đầu x0 ∈ X .
Do đó dn = d(xn , xn+1 ) là một dãy giảm của các số không âm và tiến tới

ε ≥ 0. Giả sử ε > 0, đặt hn = n và kn = n + 1, ta có:
dn → ε > 0 khi ∆n → 1 ( Vi phạm điều kiện trên).
Do đó d(xn , xn+1 ) → 0.
Bây giờ giả sử dãy lặp {xn } không phải là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại
một số ε > 0 sao cho với mỗi đuôi {xn }n≥N của dãy có đường kính

DN = supn,m≥N d(xn , xm ) > ε.
Căn cứ vào ε, chúng tôi sẽ xây dựng cặp dãy con vi phạm điều kiện.
Cho bất kì n > 0, giả sử Nn đủ lớn để d(xm , xm+1 ) <

1
n

với mọi m ≥ Nn ,

từ đó d(xm , xm+1 ) → 0. Giả sử hn ≥ Nn là số nguyên thấp nhất sao cho với
mỗi kn > hn , d(xhn , xkn ) > ε. Tồn tại những cặp với điều kiện đường kính
ở trên. Tiếp theo chọn kn để được số nguyên bé nhất hn . Do đó
hoặc kn − 1 = hn hoặc d(xhn , xkn −1 ) ≤ ε.
Trong cả hai trường hợp chúng ta có ε ≤ dn = d(xhn , xkn ) < ε +

1
.
n

Ngoài ra, dùng bất đẳng thức tam giác, ta có:

d(T (xhn ), T (xkn )) dn − n2
1 ≥ ∆n =

≥
.
dn
dn
Nên ∆n → 1 khi dn → ε > 0. Điều này lại vi phạm điều kiện.
Nên {xn } là dãy Cauchy trong X và X đầy đủ nên ta có xn → a với mỗi

a ∈ X . Do đó bằng agument thơng thường, a là điểm bất động duy nhất
của T và định lý được chứng minh.

16


2.2. Trường hợp không gian b-metric
Cho s ≥ 1 và gọi B là tập tất cả các hàm β : [0, ∞) → 0, 1s thỏa mãn các
1
điều kiện lim sup β(tn ) = tức là tn → 0 khi n → ∞.
s
n→∞
Định lý 2.2.1. (Xem [3]) Cho (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với
tham số s ≥ 1. Cho T : X → X là ánh xạ thỏa mãn:

d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) , x, y ∈ X,

(2.1)

trong đó

M (x, y) = max{d (x, y) , d (x, T x) , d (y, T y) ,
1

(d (x, T y) + d (y, T x))}
2s
và β ∈ B . Khi đó T có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Cho x0 ∈ X tùy ý. Xét dãy {xn }, trong đó:

xn = T xn−1 = T n x0 ,

n ∈ N.

Nếu tồn tại n ∈ N sao cho xn+1 = xn thì khi đó xn là một điểm bất động
của T và định lí được chứng minh.
Ngược lại, ta có d (xn+1 , xn ) > 0 với mọi n ∈ N. Vì điều kiện (2.1), với
mọi n ∈ N, ta có:

d (xn , xn+1 ) = d (T xn−1 , T xn ) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn ) ,
trong đó:

M (xn−1 , xn ) = max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , T xn−1 ) , d (xn , T xn ) ,
d (xn−1 , T xn ) + d (xn , T xn−1 )
}
2s
= max{d (xn−1 , xn ) , d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 ) ,
d (xn−1 , xn+1 ) + d (xn , xn )
}
2s
≤ max{d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 ) ,
17

(2.2)

s (d (xn−1 , xn ) + d (xn , xn+1 ))
}
2s
= max {d (xn−1 , xn ) , d (xn , xn+1 )} .
Nếu d (xn−1 , xn ) ≤ d (xn , xn+1 ) thì M (xn−1 , xn ) = d (xn , xn+1 ). Từ (2.2),
ta có:

d (xn , xn+1 ) ≤ β (M (xn−1 , xn )) M (xn−1 , xn )
1
≤ d (xn , xn+1 ) , n ∈ N.
s
Điều này mâu thuẫn. Do đó, ta có:

M (xn−1 , xn ) = d (xn−1 , xn ) .
Khi đó từ điều kiện (2.2), ta có:

d (xn , xn+1 ) ≤ β (M (xn−1 , xn )) d (xn−1 , xn )
< d (xn−1 , xn ) ,

n ∈ N.

(2.3)

Nên {d (xn−1 , xn )} là dãy giảm các số thực khơng âm. Vì vậy, tồn tại r ≥ 0
sao cho d (xn−1 , xn ) → r khi n → ∞.
Chúng ta khẳng định r = 0. Giả sử ngược lại r > 0, từ điều kiện (2.3), ta
có:

r ≤ lim sup β(M (xn−1 , xn ))r.

n→∞

Do đó:

1
1
≤ 1 ≤ lim sup β(M (xn−1 , xn )) ≤ .
s
s
n→∞
Vì β ∈ B nên lim M (xn−1 , xn ) = 0. Do đó, lim d (xn−1 , xn ) = 0. (Điều
n→∞

n→∞

này mâu thuẫn). Vậy r = 0.
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng {xn } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {xn } khơng
là dãy Cauchy. Khi đó tồn tại ε > 0 mà ta có thể tìm dãy con xm(k) và

xn(k) của {xn } sao cho n(k) là chỉ số nhỏ nhất mà n(k) > m(k) > k ,
d xm(k) , xn(k) ≥ ε,

18

(2.4)


và

d xm(k) , xn(k)−1 < ε.

(2.5)

Từ điều kiện (2.5) và sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

ε ≤ d xm(k) , xn(k) ≤ s d xm(k) , xm(k)+1 + d xm(k)+1 , xn(k)

.

Khi đó ta có:

ε
≤ lim sup d xm(k)+1 , xn(k) .
s
k→∞

(2.6)

Do đó

lim sup M (xm(k) ,xn(k)−1 ) = lim sup max{d xm(k) , xn(k)−1 , d xm(k) , T xm(k) ,
k→∞

k→∞

d xm(k) , T xn(k)−1 + d xn(k)−1 , T xm(k)
}
2s
= lim sup max{d xm(k) , xn(k)−1 , d xm(k) , xm(k)+1 ,
d xn(k)−1 , T xn(k)−1 ,

k→∞

d xm(k) , xn(k) + d xn(k)−1 , xm(k)+1
}
2s
≤ lim sup max{d xm(k) , xn(k)−1 , d xm(k) , xm(k)+1 ,
d xn(k)−1 , xn(k) ,
k→∞

sd xm(k) , xn(k)−1 + sd xn(k)−1 , xn(k)
2s
sd xn(k)−1 , xm(k) + sd xm(k) , xm(k)+1
+
}
2s
≤ ε.
d xn(k)−1 , xn(k) ,

Từ điều kiện (2.6) và điều kiện (2.1) ta có:

ε
≤ lim sup d xm(k)+1 , xn(k)
s
k→∞
≤ lim sup β M (xm(k) , xn(k)−1 ) M (xm(k) , xn(k)−1 )
k→∞

≤ ε lim sup β M (xm(k) , xn(k)−1 ) .
k→∞

Khi đó,

1
1
≤ lim sup β M (xm(k) , xn(k)−1 ) ≤ .
s
s
k→∞
19


Vì β ∈ B nên M (xm(k) , xn(k)−1 ) → 0. Do vậy, d(xm(k) , xn(k)−1 ) → 0.
Từ điều kiện (2.4) và sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

ε ≤ d(xm(k) , xn(k) ) ≤ s d(xm(k) , xn(k)−1 ) + d(xn(k)−1 , xn(k) ) .
Do đó

lim d(xm(k) , xn(k) ) = 0.

k→∞

Điều này mâu thuẫn với điều kiện (2.4). Vậy {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy
đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho xn → u. Chúng ta chỉ ra rằng u là điểm bất
động của T . Theo bất đẳng thức tam giác và điều kiện (2.1), ta có:

d(u, T u) ≤ s (d (u, T xn ) + d (T xn , T u))
≤ sd (u, T xn ) + sβ (M (xn , u)) M (xn , u) .
Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞, ta được:

d(u, T u) ≤ s lim sup d (u, xn+1 ) + s lim sup β(M (xn , u)) lim sup M (xn , u),

n→∞

n→∞

n→∞

(2.7)
trong đó

lim sup M (xn , u) = lim sup max{d(xn , u), d(xn , T xn ), d(u, T u),
n→∞

n→∞

1
(d(xn , T u) + d(u, T xn ))}
2s
≤ lim sup max{d(xn , u), d(xn , xn+1 ), d(u, T u),
n→∞

1
(sd(xn , u) + sd(u, T u) + d(u, xn+1 ))}
2s
≤ d(u, T u).
Kết hợp với điều kiện (2.7), ta có:

d(u, T u) ≤ s lim sup β(M (xn , u))d(u, T u).
n→∞

Vậy

1
1
≤ lim sup β(M (xn , u)) ≤ .
s
s
n→∞
20