Ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính toán quá độ trong hệ thống nối đất

Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
--------------------

NGUYỄN HỮU VINH

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG
THÁI TÍNH TOÁN QUÁ ĐỘ TRONG HỆ
THỐNG NỐI ĐẤT
Chuyên ngành : Thiết bị, Mạng và Nhà máy điện

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2008


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học 1: TS. Hoàng Việt

Cán bộ hướng dẫn khoa học 2: TS. Vũ Phan Tú

Cán bộ chấm nhận xét 1 :

Cán bộ chấm nhận xét 2 :

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại:
HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Ngày . . . . . tháng . . . . năm 2008


TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp. HCM, ngày 30 tháng 11 năm 2008
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: NGUYỄN HỮU VINH
Phái: Nam
Ngày, tháng, năm sinh: 30/10/1979
Nơi sinh: Đồng Tháp
Chuyên ngành: Thiết bị, Mạng và Nhà máy điện
MSHV: 01804521
I- TÊN ĐỀ TÀI:
« ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN TRẠNG THÁI TÍNH TỐN Q ĐỘ
TRONG HỆ THỐNG NỐI ĐẤT »
II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Tìm hiểu biến trạng thái và phương trình biến trạng thái. Áp dụng phương
pháp biến trạng thái giải các bài toán quá độ.
- Áp dụng phương pháp biến trạng thái tính tốn q độ trong thanh nối đất,
lưới nối đất.
- So sánh kết quả thu được từ việc mô phỏng dùng phương pháp biến trạng thái
và các kết quả thu được từ phương pháp số khác (phương pháp sai phân hữu
hạn).
III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 01/08/2008
IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2008

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
+ Cán bộ hướng dẫn 1 : TS. HOÀNG VIỆT
+ Cán bộ hướng dẫn 2 : TS. VŨ PHAN TÚ
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2

TS. HOÀNG VIỆT

TS. VŨ PHAN TÚ

CN BỘ MÔN
QL CHUYÊN NGÀNH

Nội dung và đề cương luận văn thạc sĩ đã được Hội đồng chun ngành thơng qua.
TRƯỞNG PHỊNG ĐT – SĐH

Ngày
tháng
năm
TRƯỞNG KHOA QL NGÀNH


LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập, nghiên cứu tại Trường Đại học Bách Khoa
TpHCM, tôi đã được các Thầy, Cô trang bị và truyền đạt những kiến thức và
kinh nghiệm q báu. Đặc biệt là trong suốt q trình tham gia học sau đại
học tại trường, tôi đã được củng cố và nâng cao kiến thức của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn:

- Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Bách Khoa Tp.HCM.
- Phòng Đào tạo Sau Đại Học
- Khoa Điện – Điện tử, Bộ Môn Hệ thống điện.
- Thầy TS. Hồng Việt và TS. Vũ Phan Tú
- Q thầy, cơ Bộ mơn Hệ Thống Điện
- Lãnh đạo Phịng Kỹ thuật, Phịng TCCB & ĐT Cơng ty Điện lực
TpHCM và các đồng nghiệp tại Phịng Kỹ thuật Cơng ty Điện lực
TpHCM
Đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và tạo nhiều điều kiện thuận
lợi để tơi hồn thành chương trình sau đại học và hồn tất tốt luận văn này.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 11 năm 2008
NGUYỄN HỮU VINH


TÓM TẮT LUẬN VĂN
Hệ thống nối đất, là phần tử chính của hệ thống điện. Hệ thống nối đất bảo vệ
các thiết bị đang vận hành và hệ thống trong điều kiện vận hành bình thường và cả
trường hợp có xảy ra sự cố. Nó cũng đảm bảo an tồn khơng bị số điện đối với người
nếu có sự cố trong các trạm biến áp hoặc nhà máy điện. Do đó, việc nghiên cứu hệ
thống nối đất trong thời gian xảy ra sự cố là bài tốn tương thích điện từ trong trạm và
nhà máy điện và việc tính tốn điện áp trên bề mặt của đất, điện áp bước và điện áp
tiếp xúc là rất quan trọng trong việc thiết kế bảo vệ an tòan trong vận hành hệ thống
điện và bảo vệ an toàn người.
Ngày nay, với sự phát triển khơng ngừng của máy tính, các thiết bị công nghệ
cao, con người đã làm ra những phần mềm mơ phỏng hỗ trợ mơ phỏng và tính tốn
những bài tốn về phương pháp số một cách nhanh chóng với độ chính xác cao, đã
giúp cho việc nghiên cứu các phương pháp số có một khả năng tính tốn nhanh và
chính xác cao.
Trong phạm vi luận văn này trình bày về phương pháp biến trạng thái, một trong
những phương pháp số, được các nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu và phát triển.

Đồng thời, trình bày kết quả ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính tốn q độ
trong hệ thống nối đất.
Từ việc ứng dụng phương pháp biến trạng thái tính tốn q độ trong hệ thống
nối đất, ta nhận thấy kết thu được hoàn toàn phù hợp với các kết luận trên lý thuyết và
những kết quả mô phỏng từ các phương pháp khác.


ABSTRACT
The grounding system is one of main elements of power systems. It can insure
correct operation of equipment and power systems in the normal and fault conditions
by enabling ground faults can be detected. It also insures the protection of personnel
against electrical shocks by limiting the overvoltages which are appeared due to the
ground faults in substations and generating stations. Therefore the investigation of
grounding systems during a fault is one of electromagnetic compatibility problems in
substation and power plants and the calculation of the earth surface potential, step and
touch voltages is very necessary for designing the safety and protection of power
systems operation and personnel.
In recent years, with the continuous development of computer, a lot of programs
and software were written which helped scientist and researcher a lot. It also helps
scientist and researcher solving the practice problems by using numerical methods with
high accuracy.
In this paper, the author introduces a little general theory about numerical
methods which are researched and developed by scientists and researchers. Beside that,
he presents some results about transients in grounding system by using state variable
method.
With the results of transients in grounding system by using state variable
method, he gives some comment about state variable method and compare with another
methods.

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU ..........................................................................................1
CHƯƠNG 2: BIẾN TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI ..........3
2.1 Biểu diễn phương trình vi phân ở dạng phương trình trạng thái:..............................3
2.2 Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân:.............................7
2.3 Ma trận chuyển trạng thái:.........................................................................................8
2.4 Tính ma trận chuyển trạng thái dùng Định lý Caley-Hamilton: ...............................9
2.5 Phương pháp Runge-Kutta: .....................................................................................11
2.6 Dùng phương pháp biến trạng thái giải bài toán quá độ: ........................................18
2.7 Nhận xét:..................................................................................................................28
CHƯƠNG 3: QUÁ ĐỘ TRONG CỰC NỐI ĐẤT....................................................29
3.1 Tổng quan về sét:.....................................................................................................29
3.2 Tổng quan về nối đất trong hệ thống điện:..............................................................32
3.3 Mơ hình thay thế của cực nối đất: ...........................................................................33
3.4 Áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ cực nối đất: ..................35
3.5 Các kết quả thu được khi áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ
cực nối đất: ....................................................................................................................37
3.6 Đánh giá kết quả thu được:......................................................................................39


CHƯƠNG 4: QUÁ ĐỘ TRONG LƯỚI NỐI ĐẤT ..................................................43
4.1 Mô hình thay thế của lưới nối đất: ..........................................................................43
4.2 Áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ lưới nối đất:..................46
4.3 Các kết quả thu được khi áp dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá độ
lưới nối đất:....................................................................................................................49
4.4 Khảo sát ảnh hưởng của các thông số mô phỏng đối với đáp ứng quá độ của hệ
thống nối đất: .................................................................................................................67
CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN...........................................................................................70

Chương 1: Giới thiệu

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU
Hệ thống nối đất trạm là một phần tử quan trọng trong hệ thống điện cũng như
các cơng trình cơng nghiệp khác. Trong hệ thống điện, việc thi công một hệ thống nối
đất là yêu cầu đặc biệt quan trọng, do việc phân bố lưới nối đất và giá trị điện trở của
hệ thống nối đất ảnh hưởng rất nhiều đến độ tin cậy của các thiết bị (Máy biến thế,
máy cắt, dao cách ly, biến điện áp, biến dòng điện, các rơle bảo vệ vv…) đồng thời là
yếu tố để đảm bảo an toàn cho con người khi làm việc trong phạm vi của hệ thống
điện.
Hệ thống nối đất bảo vệ các thiết bị đang vận hành, bảo vệ hệ thống trong điều
kiện vận hành bình thường và cả trường hợp có sự cố xảy ra. Nó cũng đảm bảo an tồn
khơng bị sốc điện cho con người nếu có sự cố xảy ra trong các trạm biến áp hoặc nhà
máy điện.
Việc nghiên cứu hệ thống nối đất trong trường hợp sự cố là một bài toán điện từ
trong trạm biến áp, nhà máy điện và việc tính tốn điện áp mặt đất, điện áp bước, điện
áp tiếp xúc là rất cần thiết khi tính tốn thiết kế bảo vệ an tịan trong vận hành cho
người và thiết bị.
Một trong những hiện tượng gây ra việc q điện áp chính là sự phóng điện của
sét. Sét ln là mối đe doạ cho tính mạng cũng như các cơng trình của con người. Mỗi
lần phóng điện có thể giải phóng một lượng rất lớn năng lượng làm hư hỏng nhà cửa,
hệ thống điện, hệ thống thơng tin liên lạc và có thể làm chết người.
Để có thể hạn chế đến mức tối thiểu các thiệt hại trên thì cần phải có các thiết bị
thu sét và hệ thống nối đất. Khi thiết bị thu sét có chất lượng tốt và hệ thống nối đất tốt
sẽ đảm bảo tản dòng sét nhanh xuống đất và tránh hiện tượng phóng điện ngược lại các
phần tử được bảo vệ. Chính vì vậy, hệ thống nối đất ln là một phần quan trong trong
bất kỳ cơng trình chống sét nào.
Điện trở tản xung và điện áp lan truyền trên hệ thống nối đất là hai yêu cầu cơ
bản nhất để đánh giá được độ an toàn của hệ thống nối đất.

Đối với hệ thống nối đất tập trung, điện trở tản xung và quá điện áp gây ra bởi
dịng sét có thể được dự đốn thơng qua các cơng thức giải tích chính xác. Tuy nhiên,
đối với các hệ thống nối đất kéo dài, hệ thống nối đất rộng lớn (như trạm biến áp cao
thế…) thì việc dự đốn q điện áp gây ra bởi dịng sét lại gặp nhiều khó khăn.
Do đó, để có thể khảo sát được sự lan truyền của quá điện áp trong hệ thống nối
đất nhanh chóng và hiệu quả, người ta sử dụng các phương pháp số để tìm ra lời giải
có thể chấp nhận được.

Trang 1


Chương 1: Giới thiệu

Nội dung luận văn “Ứng dụng phương pháp biến trạng thái nghiên cứu quá
trình quá độ trong hệ thống nối đất” bao gồm các nội dung chính sau:
-

Biến trạng thái và phương trình biến trạng thái. Áp dụng phương pháp biến
trạng thái giải các bài toán quá độ.

-

Áp dụng phương pháp biến trạng thái cho bài toán quá độ trong thanh nối
đất, lưới nối đất.

-

So sánh kết quả thu được từ việc mô phỏng dùng phương pháp biến trạng
thái và các kết quả thu được từ phương pháp số khác (phương pháp sai phân
hữu hạn).

Với các nội dung nghiên cứu trên, bố cục luận văn được phân chia thành các
phần như sau:
-

Chương 1: Giới thiệu

-

Chương 2: Biến trạng thái và phương pháp biến trạng thái
Chương này giới thiệu biến trạng thái và phương trình trạng thái và các ứng
dụng của nó trong phân tích hệ thống. Giới thiệu ma trận trạng thái và các
bước chuyển không gian trạng thái.

-

Chương 3: Quá độ trong cực nối đất
Chương này trình bày tổng quan về nguồn sét, hệ thống nối đất, xây dựng
mơ hình thay thế của cực nối đất; đồng thồi thời tiến hành khảo sát quá độ
trong cực nối đất bằng phương pháp biến trạng thái và các kết quả thu được
từ việc mô phỏng.

-

Chương 4: Quá độ trong lưới nối đất
Chương này trình bày mơ hình thay thế lưới nối đất, kết quả ứng dụng
phương pháp biến trạng thái và các kết quả mô phỏng thu được; đồng thời
khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số cấu trúc lưới nối đất, môi trường
của lưới nối đất.

-

Chương 5: Kết luận, nhận xét và các hướng mở của đề tài.

Trang 2


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

CHƯƠNG 2: BIẾN TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH
TRẠNG THÁI
Chương này giới thiệu biến trạng thái và phương trình trạng thái và các ứng
dụng của nó trong phân tích hệ thống. Giới thiệu ma trận trạng thái và các bước
chuyển không gian trạng thái.
2.1.

Biểu diễn phương trình vi phân ở dạng phương trình trạng thái:

Như đã biết, chúng ta dùng các định luật Kirchhoff cho dịng và áp trong một hệ
thống có chứa các phần tử tích trữ năng lượng, ta thu được các phương trình vi tích
phân. Đối với các hệ thống chỉ có một phần tử tích trữ năng lượng (tụ điện hoặc cuộn
dây) gọi là hệ thống bậc 1. Nếu mạch có chứa 02 phần tử gọi là hệ thống bậc 2.
Phương trình vi cấp 1 theo biến thời gian được biểu diễn như sau:
a1

dy
+ a 0 y (t ) = x(t )
dt

(2.1)

Đối với hệ thống bậc 2 được biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc 2 có dạng
tương tự như (2.1) gọi là đạo hàm cấp 2.
Phương trình vi phân cấp n có thể giải được thơng qua việc đặt các biến phụ để
đưa về hệ phương trình vi phân cấp 1, các biến phụ được gọi là biến trạng thái. Hệ
phương trình vi phân cấp 1 này được gọi là hệ phương trình khơng gian trạng thái hoặc
phương trình trạng thái. Hệ phương trình này có thể thu được từ phương trình vi phân
cấp n hoặc trực tiếp từ hệ thống, miễn là biến trạng thái được chọn phù hợp.
Nghiệm của hệ phương trình trạng thái có thể được xác định thơng qua các
phương pháp số như khai triển Taylor, phương pháp Runge-Kutta…hoặc thông qua
việc xác định ma trận chuyển trạng thái dùng định lý Cayley-Hamilton.
Phương pháp biến trạng thái có thể được áp dụng để giải các bài tốn có các
phần tử phi tuyến và thay đổi thời gian. Tuy nhiên, ở đây giới hạn trong phạm vi các
phần tử tuyến tính và thời gian không đổi và chỉ giới thiệu hai trong số các cách giải
hệ phương trình trạng thái là xác định ma trận chuyển trạng thái dùng định lý CayleyHamilton và phương pháp Runge-Kutta.
Phương pháp biến trạng thái được minh hoạ thông qua các ví vụ điển hình sau:
Ví dụ 2.1:
Xét một hệ thống RLC nối tiếp được nối với nguồn là:

[v (t ) = e ]
jω t

(2.2)

s

Được mô tả bằng phương trình vi-tích phân sau:

di 1
Ri + L +

dt C

t

∫ idt = e

i ωt

−∞

Trang 3

(2.3)


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

R

L

i
C

vs

Hình 2.1: mạch điện ví dụ 2.1
Đạo hàm hai vế phương trình (2.3) và chia cho L, ta được:

hay

d 2 t R di
1
1
+
+
i
=
jωe jωt
2
L dt LC
L
dt

(2.4)

d 2t
R di
1
1
=
−
−
i
+
jωe jωt
2
L dt LC
L
dt

(2.5)

Tiếp theo, ta đặt các biến trạng thái là x1 và x2 như sau:
x1 = i

(2.6)
di dx1
=
= x1
dt
dt

và

x2 =

Khi đó,

d 2i
x2 = 2
dt

(2.7)
(2.8)

Trong đó, x k được hiểu là vi phân của x k .
Từ các phương trình (2.5) đến (2.8), ta thu được hệ phương trình trạng thái:
x1 = x 2

1
1
R
x2 −
x1 + jωe jωt
L
LC
L
Viết lại hệ phươg trình (2.9) ở dạng ma trận:
1 ⎤⎡x ⎤ ⎡
0
⎤
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0
1
1
R
1
⎢
⎥
⎢
=
+
jωt ⎥ u
⎢ ⎥
⎢x ⎥
−
−
j
e
ω

x
⎥⎦
⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ LC
L ⎥⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎢⎣ L
Ta viết lại hệ phương trình (2.10) ở dạng thu gọn như sau:
x2 = −

x = Ax + bu

(2.9)

(2.10)
(2.11)

Trong đó,
⎡ 0
⎡x ⎤
x = ⎢ 1 ⎥, A = ⎢ 1
⎢⎣− LC
⎣ x2 ⎦

1 ⎤
R⎥
− ⎥
L⎦

0
⎡
⎡ x1 ⎤
1

x = ⎢ ⎥,b = ⎢
⎢⎣ L j ω e
⎣ x2 ⎦

⎤
jω t ⎥
⎥⎦

và u là ngõ vào bất kỳ.
Ngõ ra y(t) được biểu diễn theo dạng sau:
Trang 4

(2.12)


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

y = Cx + du

(2.13)

Từ đó, ta có thể biểu diễn dạng tổng quát của hệ phương trình trạng thái như sau:
x = Ax + bu
y = Cx + du

(2.14)

Sơ đồ khối biểu diễn quan hệ của phương trình trạng thái (2.14) như sau:

Hình 2.2: Sơ đồ khối biểu diễn quan hệ của hệ phương trình trạng thái

Ví dụ 2.2:
Xét một hệ thống được mơ tả bằng phương trình vi phân bậc cao như sau:
d4y
d3y
d2y
dy
+ a3 3 + a 2 2 + a1
+ a 0 y (t ) = u (t )
4
dt
dt
dt
dt

(2.15)

Trong đó, ngõ ra y(t) có thể là điện áp hoặc dòng điện trong hệ thống, và u(t) là
ngõ vào. Phương trình (2.15) được viết lại dưới dạng hệ phương trình trạng thái bằng
cách đặt các biến trạng thái x1, x2, x3, x4 như sau:
x1 = y (t ),

x2 =

dy
,
dt

x3 =

d2y

,
dt 2

⎧ x1 = x2
⎪
Ỵ ⎨ x 2 = x3
⎪x = x
4
⎩ 3

x4 =

d3y
dt 3

(2.16)

(2.17)

d4y
= x 4 = − a 0 x1 − a1 x 2 − a 2 x3 − a3 x 4 + u (t )
dt 4

Viết lại ở dạng ma trận:
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0
⎢x ⎥ ⎢ 0
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢ x3 ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎣ x 4 ⎦ ⎣− a 0

1

0

0

1

0
− a1

0
− a2

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢⎢0⎥
+ ⎥u (t )
1 ⎥ ⎢ x 3 ⎥ ⎢0 ⎥
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
− a3 ⎦ ⎣ x 4 ⎦ ⎣1⎦

(2.18)

ở dạng thu gọn, hệ phương trình (2.18) được viết lại như sau:
x = Ax + bu

(2.19)

Trang 5

Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

Trong đó,

⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
x = ⎢ 2 ⎥,
⎢ x3 ⎥
⎢ ⎥
⎣ x4 ⎦
⎡ x1 ⎤
⎢
⎥
x2 ⎥
⎢
x=
,
⎢ x3 ⎥
⎢
⎥
⎣ x 4⎦

1
0
⎡ 0
⎢ 0
0
1

A=⎢
⎢ 0
0
0
⎢
⎣− a 0 − a1 − a 2
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
b = ⎢ ⎥ và u=u(t)
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
⎣1 ⎦

0 ⎤
0 ⎥⎥
1 ⎥
⎥
− a3 ⎦

Ta cũng có thể thu được hệ phương trình trạng thái trực tiếp từ việc chọn các
biến trạng thái là dòng điện chạy qua cuộn dây và điện áp trên tụ điện. Nói cách khác,
ta đặt biến trạng thái cho các phần tử tích trữ năng lượng. Điều này được mơ tả thơng
qua ví dụ sau:
Ví dụ 2.3:
Viết phương trình trạng thái cho mạch điện như hình 2.2, vC(0-)= 0.

Hình 2.3: Mạch điện RC ví dụ 2.3
Trong mạch trên chỉ chứa phần tử tích trữ năng lượng là tụ điện C. Do đó, ta chỉ
cần đặt một biến trạng thái, và chọn biến trạng thái để biểu diễn điện áp đặt trên tụ
điện. Ngõ ra là điện áp đặt trên tụ điện.

Hình 2.4: Mạch điện RC với biến trạng thái là x = vC(t)
Từ mạch trên, ta có các phương trình sau:
dvC
= Cx
dt
v R (t ) = Ri + RCx

i R = i = iC = C

Và
Từ định luật Kirchhoff:

v R (t ) + vC (t ) = v S u 0 (t )

Hoặc

RCx + x = v s u 0 (t )

Ta viết lại các phương trình trên, ta thu được hệ phương trình trạng thái như
sau:
Trang 6


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

x=−
y=x

1

x + v s u 0 (t )
RC

(2.20)

Ví dụ 2.4:
Viết phương trình trạng thái cho mạch điện như hình 2.4, giả sử iL(0-)=0, và
ngõ ra là y=i(t)

Hình 2.5: Mạch điện RL ví dụ 2.4
Trong mạch này có phần tử tích trữ năng lượng là cuộn dây L, vì vậy ta chỉ cần
đặt một biến trạng thái. Việc chọn biến trạng thái để xác định dòng điện qua cuộn dây
L được biểu diễn trên hình 2.5.

Hình 2.6: Mạch điện RL với biến trạng thái x = i(t)
Theo định luật Kirchhoff, ta có:
Hoặc

v R + v L = v s u 0 (t )
di
Ri + L = v s u 0 (t )
dt
Rx + Lx = v s u 0 (t )

Và hệ phương trình trạng thái được viết lại như sau:
x=−

y=x

2.2.

R
1
x + v s u (t )
L
L

(2.21)

Cách thành lập phương trình trạng thái từ phương trình vi phân:
Hệ thống được mơ tả bởi phương trình vi phân:
a0

d n c(t )
d n −1c(t )
a
+
+
1
dt n
dt n −1

+ an−1

dc(t )
+ a n c(t ) = b0 r (t )
dt

Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
• Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x1(t) = c(t)

• Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm biến thứ i-:

Trang 7

(2.22)


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

x1 (t ) = xc(t )
x 2 (t ) = x1 (t )
x3 (t ) = x 2 (t )
x n (t ) = x n −1 (t )
⎧ x(t ) = Ax(t ) + br (t )
Ỵ Phương trình trạng thái: ⎨
⎩ y = Cx

Ví dụ 2.5:
Xây dựng phương trình trạng thái cho hệ mơ tả cho bởi phương trình sau:
2

d 3 c(t ) d 2 c(t )
dc(t )
+5
+6
+ 10c(t ) = r (t )
3
2
dt
dt

dt

Đặt các biến trạng thái:
⎧ x1 = c(t )
⎪
⎨ x 2 = x1 (t )
⎪ x = x (t )
2
⎩ 3
⎧ x(t ) = Ax(t ) + br (t )
⎨
⎩ y = Cx

Trong đó,
⎡
⎢ 0
A=⎢ 0
⎢ a
⎢− 3
⎣⎢ a 0

1
0
a
− 2
a0

⎤
0 ⎥ ⎡0
1

0 ⎤
⎢
⎥
1 =⎢ 0
0
1 ⎥⎥
⎥
a
− 1 ⎥ ⎢⎣− 5 − 3 − 2.5⎥⎦
a 0 ⎦⎥

⎡ ⎤
⎢0⎥ ⎡0⎤
b = ⎢ 0 ⎥ = ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ; C = [1 0 0]
⎢b ⎥
⎢ 0 ⎥ ⎢⎣0.5⎥⎦
⎣⎢ a 0 ⎦⎥

2.3.

Ma trận chuyển trạng thái:
Trong phần trên, ta định nghĩa hệ phương trình trạng thái có dạng:
x = Ax + bu
y = Cx + du

(2.23)

Với A, C là các ma trận vuông và b, d là các ma trận cột được xác định từ các
hằng số của phương trình vi phân.
Trong phần này giới thiệu nghiệm của phương trình biến trạng thái và ma trận

chuyển trạng thái eAt. Để giải phương trình trạng thái (2.22) trên, ta xét hàm mũ ma
trận eAt:

e

At

∞
1 2 2
1
= I + At + A t + .. = ∑ Ai t i
2!
i = 0 i!

I là ma trận đơn vị
Hàm mũ ma trận eAt có các tính chất sau:
Trang 8

(2.24)


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

eA0=I,
eAte-At=I,
eAueAv=eA(u+v)

d At
e = Ae At = e At A
dt

(2.25)

Biến đổi Laplace của eAt là (sI-A)-1 nên:
∞
∞
∞
Ai
1 2 2
1 i i
1 i i!
At
L(e ) = L( I + At + A t + ..) = ∑ A L(t ) = ∑ A i +1 = ∑ i +1
2!
s
i = 0 i!
i = 0 i!
i =0 s
i

∞
A
Ai +1
− ∑ i +1 = I
∑
i
s
i =0
i =0 s
∞

∞

Ai
( sI − A)∑ i +1 = I
i =0 s
Từ phương trình:

dx
= Ax + bu , nhân hai vế với e-At và chuyển vế:
dt
dx
e − At
− e − At Ax = e − At Bu
dt

(2.26)

Dùng tính chất đạo hàm:
d − At
(e x) = e − At Bu
dt

(2.27)

Lấy tích phân hai vế:
t

t

d − Aτ
− Aτ
∫0 dτ (e x)dτ = ∫0 e Bu(τ )dτ

(2.28)

Ta được kết quả nghiệm của phương trình trạng thái (2.23) là:
t

x(t ) = e At x(0) + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ

(2.29)

0

t
⎡ At
⎤
y (t ) = C ⎢e x(0) + ∫ e A( t −τ ) Bu (τ )dτ ⎥ + Du
0
⎣
⎦

2.4.

Tính ma trận chuyển trạng thái dùng Định lý Caley-Hamilton:
Theo định lý Cayley-Hamilton, ma trận chuyển trạng thái biểu thị dưới dạng
eAt =a0I +a1A+…+ an-1 An-1

(2.30)

Trong đó các hệ số ai được xác định như sau:
• Tìm các nghiệp riêng λk của A từ phương trình đặc trưng det[A- λI]=0
• Trường hợp các trị riêng λk độc lập ( λ1 ≠ λ2 ≠ … ≠ λn ), các hệ số ai của ma
trận chuyển trạng thái là nghiệm của hệ phương trình sau:

a0 + a1λ1 + a2 λ12 + … + an−1λ1n−1 = e λ1t
a0 + a1λ2 + a2 λ22 + … + an−1λn2−1 = e λ2t
(2.31)

a0 + a1λn + a2 λ2n + … + an−1λnn−1 = e λnt
Trang 9


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

• Trương hợp có nghiệm bội m ( λ1 = λ2 = … = λm , λm +1 ,..., λn ), các hệ số ai của
ma trận chuyển trạng thái là nghiệm của hệ phương trình sau:
a 0 + a1λ1 + a 2 λ12 + … + a n −1λ1n −1 = e λ t
d
d λ
(
a 0 + a1λ1 + a 2 λ12 + … + a n −1λ1n −1 ) =
e t
dλ1
dλ1
1

1

(

)

d2
d 2 λ1
2
n −1
a
+
a
λ
+
a
λ
+
…
+
a
λ
=
e t
0
1 1
2 1
n −1 1
dλ 2 1
dλ 2 1
…
m −1

(

)

m −1

d
d
a 0 + a1λ1 + a 2 λ12 + … + a n −1λ1n −1 = m −1 e λ1 t
m −1
dλ 1
dλ 1
λ m +1
2
n −1
a 0 + a1λ m +1 + a 2 λ m +1 + … + a n −1λ m +1 = e t
…
a 0 + a1λ n + a 2 λ2n1 + … + a n −1λnn1−1 = e λn t

Ví dụ sau đây sẽ mơ tả việc tính ma trận chuyển trạng thái.
Ví dụ 2.6:
Cho ma trận:
⎡ − 2 2 − 3⎤
A = ⎢⎢ 2
1 − 6⎥⎥
⎢⎣ − 1 − 2 0 ⎥⎦

Nghiệm riêng là λ1=-3 bội 2 và λ3=5
f(A) = eAt=a0I +a1A +a2A2

f(λ) = eλt=a0 +a1λ +a2λ2
Đạo hàm phương trình trên theo λ ta được:
teλt= a1 +2a2λ
Thay các giá trị nghiệm riêng, ta được hệ các phương trình sau:
e-3t = a0 –3a1+ 9a2
te-3t = a1- 6a2
e5t = a0 +5a1+ 25a2
Giải ba phương trình trên ta được:
9 5t
5
e − e −3t (−5t + )
64
64
3
1
3
a1 = e 5t − e −3t (− t + )
32
4 32
1 5t
a2 =
e − e −3t (8t + 1)
64
a0 =

[

]

Trang 10

(2.32)


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

2.5.

Phương pháp Runge-Kutta:

Phần này giới thiệu cách tìm nghiệm của hệ phương trình trạng thái bằng
phường pháp Runge-Kutta. Trong phương pháp Runge- Kutta, sự thay đổi giá trị của
biến phụ thuộc là tính tốn từ các cơng thức đã cho, biểu diễn trong điều kiện ước
lượng đạo hàm tại những điểm định trước.
Nội dung của Phương pháp Runge-Kutta là chia vùng khảo sát của hệ thống
y = f ( y, t )

(2.33)

thành σ đoạn bởi các đoạn chia là ti = t0+ih, trong đó h = (tn – t0)/σ; và tính xấp xỉ yn+1
theo yn theo công thức sau:
i −1
⎛
⎞
k i = f ⎜⎜ y n + h∑ aij k j , t i + ci h ⎟⎟ , i=1…σ
j =1
⎝
⎠

σ

y n +1 = y n + h∑ b j k j

(2.34)
(2.35)

j =1

Và công thức này cũng được biểu diễn dưới dạng sau:
k1 = f ( y n , t n )
k 2 = f ( y n + ha 21 k1 , t n + c3 h)
k 3 = f ( y n + h(a 31 k1 + a32 k 2 ), t n + c3 h)
kσ = f ( y n + h(aσ 1 k1 + ... + aσ ,σ −1 kσ −1 ), t n + cσ h)
y = y n + h(b1 k1 + ... + bσ tσ )

Trong đó, các k1, k2, ..., kσ là hệ số ước tính. Các thơng số nội suy ci, i∈ (2,...,σ)
nằm trong [0,1] sao cho 0 ≤ ci ≤ 1 và tăng dần, nghĩa là: 0 ≤ c1 ≤...≤ ci≤...≤ cσ ≤ 1. Các
trọng số ở giai đoạn thứ i được biểu diễn bởi aij , i∈ (2,...,σ), j∈ (1,...,i) và thoả công
thức:
i −1

∑a
j =1

ij

= ci ≤ 1

Các trọng số bi trong biểu thức tính yn+1 được chọn sao cho thoả điều kiện sau:

∑

σ
i =1

b =1

Các hệ số aij, bi, ci được biểu diễn dưới dạng dãy Butcher như sau:

Trang 11


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

Ta đặt ma trận A, các vec tơ b, c như sau:
⎛ 0
⎜
⎜ a 21
A = ⎜ a 31
⎜
⎜
⎜a
⎝ σ1

0

0

0

0

aσ 2

aσ ,σ −1

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
⎟
0 ⎟⎠

⎛ b1 ⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ b2 ⎟
⎜ c2 ⎟
b = ⎜ b3 ⎟ ; và c = ⎜ c3 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ bσ ⎠
⎝ cσ ⎠

Khi đó, dãy Butcher được viết lại là:

Từ dạng tổng quát trên, ta khảo sát các xấp xỉ bậc 2, bậc 4 của phương pháp
Runge-Kutte:
a. Runge-Kutta xấp xỉ bậc 2:
y1 = y0 + a1k1 + a2k2

(2.36)

⎧k 1 = f(x 0 ,y 0 )h
⎨
⎩k 2 = f ( x0 + b1 h, y 0 + b2 k1 )h

với

Các hệ số a1, a2, b1, b2 là chính xác.
Khai triển f ( x0 + b1 h, y 0 + b2 k1 ) trong chuổi Taylor tại (x0,y0), ta được:
⎧⎪
∂f
k 2 = ⎨ f ( x0 , y 0 ) + b1
∂x
⎪⎩

h + b2 k 1
x0

∂f
∂y

y0

⎫⎪
+ .....⎬h
⎪⎭

(2.37)

Thay thế hai điều kiện k1, k2 vào (2.36), ta thu được :
y = y 0 + (a1 + a 2 ) f ( x0 , y 0 )h + a 2 b1

∂f
∂x

h 2 + a 2 b2
x0

∂f
∂y

h2

(2.38)

y0

Khai triển Taylor của y tại (x0,y0), ta được :
dy
y1 = y 0 +
dx

dy
Từ
dx

x0 , y 0

d2y
h+ 2
dx
x0

d2y
= f ( x0 , y 0 ) và
dx 2

=
x0 , y 0

∂f
∂x

x0

h2
+ ...
2

+
x0

∂f
∂y

Phương trình (2.39) trở thành:

Trang 12

(2.39)
f ( x0 , y 0 )

y0


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 )h +

∂f
∂x

x0

h 2 ∂f
+
2 ∂y

f ( x0 , y 0 )
y0

h2

+ ...
2

(2.40)

Cân bằng các hệ số của hai phương trình (2.38) và (2.40), ta được:
⎧
⎪a1 + a 2 = 1
⎪
1
⎪
⎨a 2 b1 =
2
⎪
1
⎪
⎪⎩a 2 b2 = 2
1
1
Lựa chọn a1 = Î a 2 = ; b1 = 1; b2 = 1
2
2

Ư Cơng thức gần đúng bậc 2 Runge-Kutte là:
y1 = y 0 + 1 k1 + 1 k 2
2
2
k1 = f (x, 0 y 0 )h

k 2 = f ( x 0 + h, y 0 + k1 )h

(2.41)

b. Runge-Kutta xấp xỉ bậc 4:
Tổng quát công thức xấp xỉ bậc 4 là:
y1 = y 0 + a1 k1 + a 2 k 2 + a3 k 3 + a 4 k 4

Với

⎧k1 =
⎪k =
⎪ 2
⎨
⎪k 3 =
⎪⎩k 4 =

(2.42)

f ( x0 , y 0 )h
f ( x 0 + b1 h, y 0 + b2 k1 )h
f ( x0 + b3 h, y 0 + b4 k 2 )h
f ( x 0 + b5 h, y 0 + b6 k 3 )h

Thực hiện các bước giống xấp xỉ bậc 2, ta được các hệ số trong phương trình
(2.42) là:
1
1
2
2
a1 = ; a 2 = ; a3 = ; a 4 = .

6
6
6
6
1
1
1
1
b1 = ; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 = 1; b6 = 1
2
2
2
2

Ư Cơng thức xấp xỉ bậc 4 Runge-Kutta có dạng:
y1 = y 0 + 1 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
6
k1 = f ( x 0 , y 0 ) h
k
h
k 2 = f ( x + , y + 1 )h
2
2
k
h
k 3 = f ( x + , y + 2 )h
2
2
k 4 = f ( x 0 + h, y 0 + k 3 )h

(2.43)

Công thức xấp xỉ bậc 4 Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương
trình vi phân (hệ phương trình vi phân):

Trang 13


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

dy
= f ( x, y , z )
dx
dz
= g ( x, y , z )
dx

Ta có:

(2.44)

y1 = y 0 + 1 6 (k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
z1 = z 0 + 1 6 (l1 + 2l 2 + 2l3 + l 4 )

(2.45)

Với:
⎧k1 =
⎪
⎪k 2 =

⎪
⎨
⎪k =
⎪ 3
⎪k =
⎩ 4

f ( x0 , y 0 , z 0 )h
k
l
h
f ( x0 + , y 0 + 1 z 0 + 1 )h
2
2
2
k
l
h
f ( x0 + , y 0 + 2 z 0 + 2 )h
2
2
2
f ( x0 + h, y 0 + k 3 , z 0 + l 3 )h

⎧l1 = g ( x0 , y 0 , z 0 )
⎪
⎪l 2 = g ( x0 + h , y 0 + k1 z 0 + l1 )h
⎪
2
2

2
⎨
⎪l = g ( x + h , y + k 2 z + l 2 )h
0
0
0
⎪3
2
2
2
⎪l = g ( x + h, y + k , z + l )h
0
0
3
0
3
⎩4

(2.46)

(2.47)

Việc áp dụng phương pháp Runge-Kutta để giải các bài tốn thơng qua các ví
dụ dưới đây.
Ví dụ 2.7:
Giải bài tốn mạch điện RC của ví dụ 2.3, với C=10µF, R=1.0kΩ, vS=10 và
vC(0-) = 0:

Hình 2.7: Mạch điện ví dụ 2.7
Ta có phương trình vi phân mơ tả mạch từ định luật Kirchhoff:

dv0 (t ) v0 (t ) − VS
+
=0
dt
R
dv0 (t ) VS v0 (t )
=
−
= 100 − 10v0 (t )
dt
CR CR

C

Nghiệm chính xác của phương trình trên là:
t
−
⎛
⎞
v0 (t ) = 10⎜⎜1 − e CR ⎟⎟
⎝
⎠

Từ ví dụ 2.3, ta có phương trình trạng thái của mạch điện trên như sau
Trang 14


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

x=−

y=x

1
x + v s u 0 (t )
RC

Trong matlab có các hàm giải phương trình vi phân sử dụng phương pháp
Runge-Kutte. Điển hình là hàm ode23 sử dụng xấp xỉ bậc 2 và hàm ode45 sử dụng xấp
xỉ bậc 4 của phương pháp Runge-Kutta. Ta áp dụng hàm ode45 để giải nhanh ví dụ
này. Kết quả được biểu diễn ở hình sau:
State Variable Approach
Capacitor Voltage, V

10

5

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12
Time, s

0.14

0.16

0.18

0.2

0.16

0.18

0.2

(a) Phương pháp biến trạng thái
Analytical Approach
Capacitor Voltage, V

10

5

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1
0.12
Time, s

0.14

(b) Phương pháp giải tích
Hình 2.8: Kết quả khảo sát điện áp trên tụ C trong hai trường hợp giải bằng phương
pháp biến trạng thái và phương pháp giải tích
Sai số lớn nhất giữa hai phương pháp là 0.0012
Ví dụ 2.8:
Giải bài tốn mạch điện RL của ví dụ 2.4 với L = 0.5H, R = 20Ω, i(0-)= 0.

Hình 2.9: Mạch điện ví dụ hình 2.8
Theo định luật Kirchhoff, ta có:
Trang 15


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

v R + v L = v s u 0 (t )
di
Ri + L = v s u 0 (t )

dt

Ỵ

V
Phương trình này có nghiệm là: i(t ) = s
R

⎛ Rt ⎞
⎛
−⎜ ⎟ ⎞
⎜1 − e ⎝ L ⎠ ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

Từ ví dụ 2.4, ta có phương trình trạng thái của mạch RL được biểu diễn như sau:
x=−
y=x

R
1
x + v s u (t )
L
L
State Variable Approach

Inductance Current, i

0.8
0.6
0.4
0.2
0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1
0.12
Time, s

0.14

0.16

0.18

0.2

0.16

0.18

0.2

(a) Phương pháp biến trạng thái
Analytical Approach
Inductance Current, i

0.8
0.6
0.4
0.2
0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1
0.12
Time, s

0.14

(b) Phương pháp giải tích
Hình 2.10: Kết quả khảo sát dòng điện qua cuộn dây L trong hai trường hợp giải bằng
phương pháp biến trạng thái và phương pháp giải tích
Sai số lớn nhất giữa hai phương pháp là 0.0015.
Ví dụ 2.9:
Giải bài tốn mạch RLC là: R = 3Ω, L = 1H, C = 0.5F và giá trị đầu iL(0-) = 0,
vC(0-) = 0.

Hình 2.11: Mạch điện ví dụ 2.9
Trang 16


Chương 2: Biến trạng thái và phương trình trạng thái

Từ định luật Kirchhoff cho điện áp, ta có phương trình sau:
Ri L + L

di L
+ vC = u 0 (t )
dt

Với các giá trị R, L, C, ta viết lại phương trình trên như sau:
1 di L
= (−1)i L − vC + 1
4 dt
di L
= −4i L − 4vC + 4
dt

Hay:

Đặt các biến trạng thái:
x1 = iL ; x2 = vC
ta được
di L
dt
dvC
x2 =
dt
dv
iL = C C
dt
dv
4
x1 = i L C C = Cx 2 = x 2
3
dt
3
x 2 = x1
4
x1 =

Ỵ

Hệ phương trình trạng thái của mạch trên như sau:
x1 = −4 x1 − 4 x 2 + 4
x2 =

3
x1

4

Viết dưới dạng ma trận:
⎡ x1 ⎤ ⎡ − 4 − 4⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡4⎤
⎢ x ⎥ = ⎢3 4 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥u 0 (t )
⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2⎦ ⎣

Giải hệ trên ta được x1 và x2
⎤
⎡ x1 ⎤ ⎡
e − t − e −3 t
=
⎢x ⎥ ⎢
−t
− 3t ⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣1 − 0.75e + 0.25e ⎦
x1 = i L = e − t − e −3t

x 2 = vC = 1 − 0.75e −t + 0.25e −3t

Trang 17