Phân tích động lực học bài toán đàn hồi 2d bằng phương pháp không lưới (meshless)

Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

--------------------

NGUYỄN THÀNH QUỐC

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI 2D
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI (MESHLESS)

Chuyên nghành: Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp
Mã số nghành:

23.04.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. HỒ CHÍ MINH, tháng 11 năm 2008


CÔNG TRÌNH ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Kiến Quốc

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. Hoàng Nam

Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. Nguyễn Trọng Phước

Luận văn thạc só được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN
THẠC SĨ – TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 06 tháng 02 năm 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-----------------

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc

---oOo---

Tp. HCM, ngày 04 tháng 12 năm 2008

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên:

NGUYỄN THÀNH QUỐC Giới tính: Nam 6 / Nữ …

Ngày, tháng, năm sinh:

04 -10- 1977

Chuyên nghành:

Xây dựng Dân dụng và Công Nghiệp

Khóa (Năm trúng tuyển):

K16 (2005)

Nơi sinh: Bình Định

1 - TÊN ĐỀ TÀI:

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI 2D
BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI (MESHLESS)
2 - NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

Trình bày lý thuyết phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG),
áp dụng phương pháp tính toán các bài toán đàn hồi 2D thông qua các ví dụ cụ
thể, ứng dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để giải các ví dụ đó. So sánh kết quả
với các lời giải khác như SAP2000, ANSYS hoặc các phương pháp khác (nếu có)
và rút ra các kết luận về phương pháp Element Free Galerkin.
3 - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

15-06-2008

4 - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

30-11-2008

5 - HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

PGS. TS ĐỖ KIẾN QUỐC

Nội dung và đề cương Luận văn thạc só đã được Hội Đồng Chuyên Nghành thông qua.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

PGS. TS ĐỖ KIẾN QUỐC

TRƯỞNG BAN
QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH


i

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả thầy cô giáo trường Đại Học Bách Khoa
TPHCM đã truyền đạt cho tôi nhiều kiến thức quý giá trong thời gian qua.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phó giáo sư Tiến sỹ Đỗ Kiến Quốc, người đã tận
tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Chính những kiến
thức mà tôi có được từ sự truyền đạt hướng dẫn nhiệt tình của thầy đã giúp tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Tiến sỹ Nguyễn Hoài Sơn, giảng viên Trường
Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh, người đã có nhiều góp ý
quý báu trong suốt quá trình làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn những người bạn đã động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, xin được cảm ơn những người thân trong gia đình đã luôn luôn
quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.


ii

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN

Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán mà không xấp xỉ trên phần tử như

phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), từ đó phương pháp không lưới (Meshless
hoặc Meshfree) được xây dựng dựa trên các hàm xấp xỉ như phương pháp nhân
chất điểm (The Kernel Particle Method), phương pháp bình phương cực tiểu
động (The Moving Least Squares Approximation- MLS), phương pháp nội suy
Kriging (Kriging Interpolation)….. Trong luận văn này một trong những phương
pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG) với xấp xỉ MLS được áp dụng để
phân tích động lực học bài toán đàn hồi 2D. Tuy nhiên việc xây dựng hàm dạng
dựa trên MLS không thỏa mãn điều kiện Delta Kronecker tức là không thể áp
đăït điều kiện biên chính như trong FEM. Do đó, trong luận văn này, hai phương
pháp hàm nhân tử Lagrange và hàm phạt được sử dụng để khắc phục những hạn
chế vừa nêu. đây, bài toán dao động tự do (Free Vibration) được nghiên cứu
theo cả hai phương pháp, tuy nhiên bài toán đáp ứng động lực học chỉ dùng
phương pháp hàm phạt. Phần áp dụng luận văn này chúng tôi đề nghị khảo sát
vào một số bài toán cụ thể, qua đó các kết quả sẽ được so sánh, đánh giá sai số
với các chương trình tính toán khác như SAP2000, ANSYS.


iii

ABSTRACT

From the main idea of approximation on nodes of problem instead of
approximation on elements used in the finite element method (FEM), Meshless
method is established using approximation funtions such as The Kernel Particle
Method, The Moving Least Squares (MLS), Kriging Interpolation, etc. In this
thesis, one of the Meshless mothods called Element Free Galerkin method
(EFG) using MLS is used to analyze the two dimensional elastic dynamic.
However, the shape function established by using MLS is not adopted to Delta
Kroneckers’ condition. That means the essential boundary conditions can not be
assigned as in FEM. Therefore, two EFG methods called EFG with Lagrange

multipliers funtion and EFG with penalty funtion are used in this thesis to cover
limitations mentioned above. These two methods are used to solve the free
vibration problems, but only the EFG method with penalty funtion is used to
solve the dynamic response problems. In case study, we would like to introduce
some typical numerical examples in order to compare the results and errors to
other programmes such as SAP2000 and ANSYS.


iv

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ................................................................................................................i
Tóm tắt luận văn ....................................................................................................ii
Abstract ................................................................................................................. iii
Mục lục ...................................................................................................................iv
Các ký hiệu............................................................................................................vii
Danh mục hình .......................................................................................................ix
Chương I: Giới thiệu..............................................................................................1
1.1 Đặt vấn đề..................................................................................................1
1.2 Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới ..........................1
1.3 Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại Việt Nam.........................3
1.4 Mục tiêu của luận văn ...............................................................................4
1.5 Phạm vi nghiên cứu....................................................................................4
Chương II: Cơ sở lý thuyết đàn hồi phẳng..........................................................5
2.1 Ứng suất và biến dạng ...............................................................................5
2.2 Các phương trình cơ bản ............................................................................6
2.3 Phương trình cân bằng................................................................................8
Chương III: Lý thuyết phương pháp Element Free Galerkin (EFG)...............9
3.1 Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) .........................................9
3.2 Hàm trọng số ............................................................................................13

3.3 Dao động tự do (Free Vibration)...............................................................15
3.3.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange...................................15
3.3.1.1 Phương pháp Lagrange Multipliers ........................................15
3.3.1.2 Dạng yếu Galerkin với nhân tử Lagrange.............................15
3.3.1.3 Xây dựng Phương pháp EFG với nhân tử Lagrange ..............17
3.3.2 Phương pháp EFG với hàm phạt ........................................................24
3.3.2.1 Phương pháp hàm phạt ...........................................................24
3.3.2.2 Dạng yếu Galerkin với hàm phạt ...........................................24
3.3.2.3 Xây dựng phương pháp EFG với hàm phạt ............................26
3.4 Lưới nền trong phương pháp EFG............................................................29
3.5 Tích phân Gauss (phép cầu phương Gauss) .............................................30
3.5.1 Tích phân Gauss một chiều ......................................................30
3.5.2 Tích phân Gauss hai chiều........................................................30
3.6 Trình tự phân tích và tính toán bài toán ...................................................31
3.7 Thiết lập sơ đồ khối .................................................................................32


v

3.7.1 Phương pháp EFG với nhân tử Lagrange ..........................................32
3.7.2 Phương pháp EFG với hàm phạt ........................................................34
3.8 Đáp ứng động lực học (Dynamic Response) ............................................35
3.8.1 Xây dựng phương pháp EFG với hàm phạt .......................................35
3.8.2 Phương pháp Newmark-β .....................................................................37
3.8.3 Phân tích đáp ứng theo thời gian........................................................38
Chương IV: Các ví dụ tính toán .........................................................................39
4.1 Dao động tự do (Free Vibration) ............................................................39
4.1.1 Ví dụ 1................................................................................................39
4.1.1.1 Trường hợp chia 63 nút (nxxny = 20x2).......................................40
4.1.1.1.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange................40

4.1.1.1.2 Phương pháp EFG với hàm phạt ....................................40
4.1.1.2 Trường hợp chia 306 nút (nxxny = 50x5) .....................................41
4.1.1.2.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange................41
4.1.1.2.2 Phương pháp EFG với hàm phạt .....................................41
4.1.1.3 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút....44
4.1.1.3.1 Mode 1 ............................................................................44
4.1.1.3.2 Mode 2 ............................................................................46
4.1.1.3.3 Mode 3 ............................................................................49
4.1.2 Ví dụ 2................................................................................................51
4.1.2.1 Trường hợp chia 85 nút (nxxny = 16x4).......................................52
4.1.2.1.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange................52
4.1.2.1.2 Phương pháp EFG với hàm phạt .....................................52
4.1.2.2 Trường hợp chia 297 nút (nxxny = 32x8) .....................................53
4.1.2.2.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange................53
4.1.2.2.2 Phương pháp EFG với hàm phạt .....................................53
4.1.2.3 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút.....56
4.1.2.3.1 Mode 1 .............................................................................56
4.1.2.3.2 Mode 2 .............................................................................58
4.1.2.3.3 Mode 3 .............................................................................61
4.1.3 Ví dụ 3................................................................................................63
4.1.3.1 Trường hợp chia 528 nút (nxxny = 18x32) ...................................65
4.1.3.1.1 Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange................65
4.1.3.1.2 Phương pháp EFG với hàm phạt .....................................65


vi

4.1.3.2 Khảo sát sự hội tụ và sai số của 3 mode đầu tiên theo số nút67
4.1.3.2.1 Mode 1 ............................................................................67
4.1.3.2.2 Mode 2 ............................................................................69

4.1.3.2.3 Mode 3 ............................................................................70
4.1.4 Nhận xét và kết luận .........................................................................72
4.2 Đáp ứng động lực học (Dynamic Response)..........................................72
4.2.1 Ví dụ 1 ................................................................................................72
4.2.1.1 Trường hợp chia 63 nút (nxxny = 20x2), ∆t = 0.002 (s) ................73
4.2.1.2 Trường hợp chia 63 nút với các bước thời gian khác nhau
(nxxny= 20x2), ∆t = 0.001 (s), ∆t = 0.002 (s) ...............................74
4.2.2 Ví dụ 2.................................................................................................75
4.2.2.1 Trường hợp chia 297 nút (nxxny = 32x8), ∆t = 0.005 (s) ..............76
4.2.2.2 Trường hợp chia 637 nút (nxxny = 48x12), ∆t = 0.005 (s) ............77
4.2.2.3 Trường hợp chia 297 nút với các bước thời gian khác
nhau (nxxny= 32x8), ∆t = 0.002 (s), ∆t = 0.005 (s) ......................78
4.2.3 Nhaän xét và kết luận ..........................................................................78
Chương V: Kết luận và kiến nghị .......................................................................79
5.1 Nhận xét và kết luận.................................................................................79
5.2 Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo........................................................80
Tài liệu tham khảo................................................................................................81
Phụ lục ...................................................................................................................83


vii

CÁC KÝ HIỆU
EFG

Element free Galerkin

EFG(Lagrange)

Phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange

EFG(Ham phat)

Phương pháp EFG với hàm phạt

FEM

Phương pháp phần tử hữu hạn

MLPG

Phương pháp không lưới Petrov-Galerkin

MLS

Bình phương cực tiểu động

PT

Hàm cơ sở đơn thức

1-D

Một chiều

2-D

Hai chiều

3-D

Ba chiều

A,B

Các ma trận trong phép nội suy MLS của hàm cơ sở, hàm trọng
số

E

Modul đàn hồi

ρ

Khối lượng riêng vật liệu

ν

Hệ số Poisson

(),i

Đạo hàm δ ( ) / δxi

W

Hàm trọng số

Φ

Hàm dạng của phép xấp xỉ MLS

di

Khoảng cách từ nút xi đấn nút x

dmax

Khoảng cách xa nhất của miền con theo các phương

∆x

Khoảng cách giữa 2 nút

ui

Giá trị chuyển vị giả định tại nút i


viii

Γ

Biên của miền tổng thể

Γu

Biên chính

Γt

Biên tự nhiên

α

Tham số phạt

∆

Ma trận vi phân

BI

Ma trận tính biến dạng cho nút I

λ

Nhân tử Lagrange

KIJ

Ma trận cứng của nút

K

Ma trận cứng tổng thể

U

Vectơ tham số chuyển vị tổng thể

F

Vectơ tải tổng thể

fi

Vectơ tải tại nút

G

Ma trận chuyển vị trên biên

q

Ma trận tải trên biên

δij

Kronecker delta

Ω

Miền tính toán


ix

DANH MỤC HÌNH
Hình 2.1 Bài toán đàn hồi 2D

Hình 2.2 Bài toán ứng suất phẳng
Hình 2.3 Bài toán biến dạng phẳng
Hình 3.1 Miền ảnh hưởng của nút và miền xác định của phép xấp xỉ MLS tại
điểm x
Hình 3.2 Sự khác biệt giữa uh(xi) và ui
Hình 3.3 Biên chính Γu và biên tự nhiên Γt
Hình 3.4 Thể hiện ô lưới nền trong phương pháp EFG
Hình 3.5 Biên chính và biên tự nhiên
Dao động tự do (Free Vibration)
Ví dụ 1
Hình 4.1 Sơ đồ tính toán ví dụ 1
Hình 4.2 mode 1
Hình 4.3 mode 2
Hình 4.4 mode 3
Hình 4.5 mode 4
Hình 4.6 mode 5
Hình 4.7 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode1 theo số nút
Hình 4.8 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)– Sap2000 của mode 1 theo số nút
Hình 4.9 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys, EFG(Hàm
phạt)–Ansys của mode 1 theo số nút
Hình 4.10 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode 2 theo số nút
Hình 4.11 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)–Sap2000 của mode 2 theo số nút
Hình 4.12 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys, EFG(Hàm
phạt)–Ansys của mode 2 theo số nút
Hình 4.13 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode 3 theo số nút
Hình 4.14 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)–Sap2000 của mode 3 theo số nút
Hình 4.15 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys, EFG(Hàm

phạt)–Ansys của mode 3 theo số nút


x

Ví dụ 2
Hình 4.16
Hình 4.17
Hình 4.18
Hình 4.19
Hình 4.20
Hình 4.21
Hình 4.22
Hình 4.23

Sơ đồ tính toán ví dụ 2
mode 1
mode 2
mode 3
mode 4
mode 5
Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode1 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000,
phạt)–Sap2000 của mode 1 theo số nút
Hình 4.24 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys,
phạt)–Ansys của mode 1 theo số nút
Hình 4.25 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode2 theo số nút
Hình 4.26 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000,
phạt)–Sap2000 của mode 2 theo số nút
Hình 4.27 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys,

phạt)–Ansys của mode 2 theo số nút
Hình 4.28 Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode3 theo số nút
Hình 4.29 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000,
phạt)–Sap2000 của mode 3 theo số nút
Hình 4.30 Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Ansys,
phạt)–Ansys của mode 3 theo số nút
Ví dụ 3
Hình 4.31
Hình 4.32
Hình 4.33
Hình 4.34
Hình 4.35
Hình 4.36
Hình 4.37
Hình 4.38
Hình 4.39
Hình 4.40

EFG(Hàm
EFG(Hàm

EFG(Hàm
EFG(Hàm

EFG(Hàm
EFG(Hàm

Sơ đồ tính toán ví dụ 3
mode 1
mode 2

mode 3
Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode1 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)–Sap2000 của mode 1 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode2 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)–Sap2000 của mode 2 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự hội tụ tần số mode3 theo số nút
Đồ thị khảo sát sự sai số giữa EFG(Lagrange)–Sap2000, EFG(Hàm
phạt)–Sap2000 của mode 3 theo số nút


xi

Đáp ứng động lực học (Dynamic Response)
Ví dụ 1
Hình 4.41 Sơ đồ tính toán ví dụ 1
Hình 4.42 Chuyển vị theo phương y trường hợp 63 nút, ∆t = 0.002 (s)
Hình 4.43 Vận tốc theo phương y trường hợp 63 nút, ∆t = 0.002 (s)
Hình 4.44 Chuyển vị theo phương y với các bước thời gian khác nhau trường hợp
63 nút, ∆t = 0.001 (s), ∆t = 0.002 (s)
Ví dụ 2
Hình 4.45 Sơ đồ tính toán ví dụ 2
Hình 4.46 Chuyển vị theo phương y trường hợp 297 nút, ∆t = 0.005 (s)
Hình 4.47 Vận tốc theo phương y trường hợp 297 nút, ∆t = 0.005 (s)
Hình 4.48 Chuyển vị theo phương y trường hợp 637 nút, ∆t = 0.005 (s)
Hình 4.49 Vận tốc theo phương y trường hợp 637 nút, ∆t = 0.005 (s)
Hình 4.50 Chuyển vị theo phương y với các bước thời gian khác nhau trường hợp
297 nuùt, ∆t = 0.002 (s), ∆t = 0.005 (s)

1

CHƯƠNG I

GIỚI THIỆU
1.1 Đặt vấn đề
Trong nhiều thập niên qua sự ra đời của phương pháp phần tử hữu hạn
(FEM) với ý tưởng thay thế hàm liên tục đã cho bởi xấp xỉ các phần tử dùng các
đa thức, giúp giải quyết thành công nhiều bài toán cơ học, nó trở thành một
phương pháp phát triển rộng rãi. Tuy nhiên vẫn còn một số khó khăn trong
phương pháp phần tử hữu hạn như thay đổi về hình học, các bài toán biến dạng
lớn, các bài toán vết nứt…..thường thì trong tính toán phương pháp FEM phải chia
lại lưới cho bài toán, nhưng việc chia lại lưới phải đảm bảo tính liên tục cho bài
toán, thường thì việc kết nối nút cho phần tử trong tính toán thường bị thiếu sót.
Từ ý tưởng xấp xỉ trên nút của bài toán, mà không xấp xỉ trên phần tử, từ
đó các nhà khoa học đưa ra một phương pháp gọi là phương pháp không lưới
(Meshless hoặc Meshfree). Đây là một phương pháp tính gần đúng, phương pháp
này giải quyết hiệu quả các bài toán trị biên. Đặc điểm của phương pháp này chỉ
yêu cầu xây dựng một hệ các điểm nút cùng các miền ảnh hưởng của nút, từ đó
xây dựng lời giải xấp xỉ mà không phụ thuộc vào sự kết nối, hay ràng buộc giữa
các nút, trái ngược với phương pháp phần tử hữu hạn, ở chỗ là không cần kết nối
phần tử. Hơn nữa việc thêm bớt các nút được thực hiện dễ dàng trên miền phân
tích. Vì vậy phương pháp này tiện lợi và linh hoạt trong sử dụng. Với những ưu
điểm đó mà phương pháp này ngày càng được ưa chuộng trong tính toán các bài
toán cơ học.
1.2 Tình hình phát triển của phương pháp EFG trên thế giới
Trong những năm gần đây phương pháp không lưới trở nên phổ biến và
được nhiều tác giả phổ biến theo nhiều hướng khác nhau như The Smooth
Particle Hydronamics (SHP), The Diffuse Element Method (DEM), The HpClouds, Meshless Local Petrov Galerkin, The Element Free Galerkin (EFG) ……

tất cả các phương pháp này điều có chung một đặc điểm là chỉ cần xây dựng các
điểm nút, các điểm nút được xác định trong miền xấp xỉ mà không cần tìm cả
miền, chỗ khác nhau giữa các phương pháp này là kỹ thuật nội suy. Nhìn chung
có nhiều cách nội suy như phương pháp nhân chất điểm (The Kernel Method),
xấp xỉ bình phương cực tiểu động (The Moving Least Quares Approximation) và
phương pháp phân chia động nhất (The Partition of Unity), phương pháp noäi suy
Kriging (Kriging Interpolation).


2

Mặc dù phương pháp không lưới được phổ biến trong những năm gần đây
nhưng ý tưởng của nó đã có vào năm 1970. Lucky (1977) giới thiệu The Smooth
Particle Hydronamics (SHP). Khi mô phỏng các hiện tượng vật lý. Monaghan
(1982) đã xây dựng cơ sở lý thuyết từ ý tưởng của SHP bởi chấp nhận khái niệm
hàm nhân tử, hàm nhân tư này cho phép xây dựng hàm thử cho bài toán.
Libersky và Petcheck (1991) ứng dụng phương pháp này để giải quyết một
số vấn đề trong bài toán cơ kỹ thuật tuy nhiên nó ít chính xác.
Nayroles, Touzot và Villon (1992) sử dụng phép xấp xỉ bình phương cực
tiểu động (MLS) trong phương pháp Galerkin và cơ sở của phương pháp này đã
được phát triển bởi Lancaster và Salkauskas (1981).
Belytschko, Liu và Gu (1994) đã đưa hàm nhân tử Lagrangevào phép biến
đổi tích phân trong phương pháp DEM và sử dụng phép cầu phương trên lưới nền
cơ bản, việc điều chỉnh này làm tăng sự chính xác cho kết quả tính toán so với
phương pháp ban đầu và gọi là phương pháp Element Free Galerkin (EFG).
Belytschko, Liu , Gu và M.Tabbara (1995) ứng dụng phương pháp Element
Free Galerkin (EFG) cho bài toán tónh và động cơ phá hủy.
Duarta, Oden (1996) và Melenk, Babuska (1996) đưa ra phương pháp the
Hp-clouds và The Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM) cả hai
phương pháp này cùng sử dụng sự phân chia đồng nhất để xây dựng hàm xấp xỉ

không lưới. Đã thừa nhận phương pháp bình phương cự tiểu động là trường hợp
riêng của sự phân chia đồng nhất những phương pháp này là cơ sở ngoài nhằm
tăng cường cho việc giải quyết bài toán. Sự giống nhau của các phương pháp
không lưới trên được tóm tắt tổng kết lại bởi Belytschko cùng một số tác giả
khác.
N.sukumar, B.moran, T.black, Belytschko (1997) ứng dụng phương pháp
EFG vào tính toán cơ phá hủy ba chiều.
Atluri và Zhu (1998) giới thiệu phương pháp không lưới mà phương pháp
không yêu cầu lưới rõ ràng cho phép nội suy của việc giải quyết các biến, nền
tảng cơ bản của phương pháp này là dạng yếu đối xứng cục bộ kết hợp với phép
xấp xỉ bình phương cực tiểu động và được gọi là phương pháp không lưới cục bộ
Petrov-Galerkin (The Meshless Local Petrov Galerkin Method (MLPG)).
Bouillardand Suleau (1998) đã ứng dụng phương pháp không lưới xây dựng
vấn đề âm học cho kết quả khá tốt.
Onate và Idelsohn (1998) đưa ra phương pháp không lưới Finite point
method cơ bản trên phép nội suy bình phương trọng số nhỏ nhất với sự sắp xếp
nút và ứng dụng trong bài toán cơ lưu chất.
Atluri và một số tác giả khác (1998) đã tìm ra được hàm kiểm tra như các
hàm cơ sở cho việc kiểm tra bài toán trong phương pháp MLPG, dẫn tới ma trận


3

cứng đối xứng và đã mở rộng phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động bằng cách
kết hợp đạo hàm các biến vào trong phép nội suy để có thể đạt được kết quả xấp
xỉ phương trình vi phân cấp 4.
Atluri và Zhu (2000)[1] giải bài toán đàn hồi tónh học bằng phương pháp
MLPG. Đã kiểm tra độ chính xác và hội tụ bằng các thí nghiệm số. Trong
phương pháp MLPG ứng suất và biến dạng được tính toán biến thiên phù hợp
trong vật thể. Những kết quả bằng số cho thấy phương pháp này cho kết quả tốt

đối với vật liệu không nén (incompressible materials).
Kim và Atluri (2000) đã chứng minh cách dùng nút thứ cấp kết hợp với
MLPG cho phép tính toán sẽ dễ dàng cho việc thêm nút trong miền tính toán và
đạt được độ chính xác cao.
M.H.Karganonin, H.E.Toussi, S.J.Faiborz (2004) với phương pháp Element
Free Galerkin (EFG) cho vấn đề Elasto-plastic.
IV Singh (2004) ứng dụng phương pháp Element Free Galerkin (EFG) trong
bài toán cơ lưu chất
Một số tác giả khác kết hợp giữa phương pháp khác và phương pháp không
lưới để đưa ra nhiều phương pháp có lợi hơn như phương pháp Finite Volume kết
hợp với phương pháp không lưới MLPG.

1.3 Tình hình phát triển của phương pháp EFG tại Việt Nam [7][17]
Phạm Tiến Cường (2005) luận văn cao học tại trường Đại Học Bách Khoa
Thành Phố Hồ Chí Minh với đề tài ứng dụng phương pháp không lưới PetrovGalerkin giải bài toán dầm chịu uốn.
Dương Quốc Hùng (2006) luận văn cao học tại trường Đại Học Bách Khoa
Thành Phố Hồ Chí Minh với đề tài ứng dụng phương pháp Element Free
Galerkin (EFG) giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi.
Nguyễn Hoài Sơn (2000) tại hội nghị khoa học quốc tế Nha Trang trình
bày phương pháp hàm điều chỉnh nhân tử (Reproduccing Kernel Particle Method
(RKPM)) là một trong những phương pháp không lưới.
Bùi Quốc Tính, Ngô Thành Phong (2005). Tạp Chí Phát Triển & Công
Nghệ vơi nghiên cứu p dụng phương pháp meshless cho bài toán ứng suất
phẳng.
Trương Tích Thiện, Nguyễn Ngọc Minh, Hà Long Vân, trường Đại Học
Bách Khoa với nghiên cứu giải quyết bài toán đàn hồi trường hợp ứng suất
phẳng bằng phương pháp meshless.


4

Nguyễn Nhật Tân (2007) Luận văn cao học chương trình EMMC với đề
tài A meshless Kriging methods for thin plate bending.

1.4 Mục tiêu luận văn
Nghiên cứu lý thuyết phương pháp Element free Galerkin (EFG)
p dụng phương pháp EFG tìm trị riêng và phân tích động lực học bài toán
đàn hồi 2D với các ví dụ tính toán cụ thể, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab.
Từ kết quả đánh giá độ chính xác, hiệu quả của phương pháp EFG so với
các phương pháp khác như Sap2000, Ansys ……
Nhận xét đánh giá phương pháp EFG trong phạm vi nghiên cứu của luận
văn và hướng phát triển tiếp theo.
1.5 Phạm vi nghiên cứu
Sử dụng hai phương pháp EFG với hàm nhân tử Lagrange và phương pháp
EFG với hàm phạt khảo sát trị riêng sau đó so sánh kết quả với các phương pháp
khác như Sap2000, Ansys……
Sử dụng phương pháp EFG với hàm phạt khảo sát chuyển vị của bài toán
phân tích động lực học sau đó so sánh kết quả với phương phaùp Sap2000.


5

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI PHẲNG
2.1 Ứng suất và biến dạng
Xét bài toán đàn hồi 2D trong miền Ω và biên Γ chịu tác dụng của lực khối b và
lực mặt t, với Γ = Γu ∪ Γt trong đó:
Γu : biên chính
Γt : biên tự nhiên

Γt

y

t

b

x

Γ
Ω

Γu

Hình 2.1 Bài toán đàn hồi 2D
Các thành phần ứng suất tại một điểm bất kỳ trong bài toán phẳng:
⎧σ xx ⎫
{σ } = ⎪⎨σ yy ⎪⎬
⎪σ ⎪
⎩ xy ⎭

(2.1)

Có 3 thành phần biến dạng tương ứng:
⎧ε xx ⎫
⎪ ⎪
{ε } = ⎨ε yy ⎬
⎪ε ⎪

⎩ xy ⎭

Trong đó:

(2.2)


6

∂u
∂x
∂v
ε yy =
∂y
∂u ∂v
ε xy = +
∂x ∂y

ε xx =

Với u, v là 2 thành phần chuyển vị tương ứng theo phương x và phương y. Mối
quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị viết dưới dạng ma trận như sau:
(2.3)

{ε } = {Δ}{u}

Trong đó:
u: vector chuyển vị
⎧u ⎫
{u} = ⎨ ⎬

⎩v ⎭

{Δ} : ma trận vi phân
⎡∂
⎢
⎢ ∂x
⎢
{Δ} = ⎢ 0
⎢
⎢∂
⎢
⎣⎢ ∂y

⎤
0⎥
⎥
∂⎥
∂y ⎥⎥
∂⎥
⎥
∂x ⎦⎥

2.2 Các phương trình cơ bản:
Định luật Hooke cho bài toán phẳng có dạng ma trận như sau:
{σ } = {c}{ε }

(2.4)

Trong đó:
{c} là ma trận hằng số vật liệu, với vật liệu đẳng hướng ma trận {c} có hai dạng

như sau:
Với bài toán ứng suất phaúng:


7

⎡
⎤
⎢1 υ
0 ⎥
⎥
E ⎢
υ 1
0 ⎥
{c} =
2 ⎢
1 −υ ⎢
1 −υ ⎥
⎢0 0
⎥
⎣
2 ⎦

(2.5)

Với bài toán biến dạng phẳng:
⎡
⎢ 1
⎢
E (1 − υ ) ⎢ υ

{c} =
(1 + υ )(1 − 2υ ) ⎢1 − υ
⎢
⎢ 0
⎢⎣

υ
1−υ
1
0

⎤
⎥
⎥
0 ⎥⎥
⎥
1 − 2υ ⎥
2(1 − υ ) ⎥⎦
0

Với : E – Mô đun đàn hồi
υ - hệ số Poisson

Hình 2.2 Bài toán ứng suất phẳng

Hình 2.3 Bài toán biến dạng phẳng

(2.6)

8

2.3 Phương trình cân bằng:
Phương trình cân bằng cho bài toán động có dạng như sau:
∂σ xx ∂σ yx
+
+ bx = ρ u&&
∂x
∂y
∂σ xy ∂σ yy
+
+ by = ρ v&&
∂x
∂y

(2.7)

Phương trình cân bằng viết rút gọn như sau:
{Δ}T {σ } + {b} = ρ {u&&}

(2.8)

⎧bx ⎫

Trong đó: {b} là ngoại lực {b} = ⎨ ⎬
b
⎩ y⎭

Với bài toán tónh, phương trình cân bằng có dạng như sau:
T

{Δ} σ + {b} = 0

(2.9)


9

CHƯƠNG III

LÝ THUYẾT PHƯƠNG PHÁP
ELEMENT FREE GALERKIN (EFG)
3.1 Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) [2][4][5][15][16]
Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) bắt nguồn từ các nhà toán
học từ việc xây dựng bề mặt và kết nối dữ liệu và ứng dụng nó vào tính toán kỹ
thuật. Ngày nay phép MLS được sử dụng rộng rãi trong việc xây dựng các hàm
dạng trong các phương pháp không lưới.
Trong phương pháp không lưới Element Free Galerkin (EFG) hàm chuyển
vị u(x) thì được xấp xỉ bởi kỹ thuật bình phương cực tiểu động, phép xấp xỉ này
dựa trên ba thông số cơ bản sau:
+ Hàm trọng số của miền ảnh hưởng liên quan đến mỗi nút.
+ Ma trận các đơn thức hoàn chỉnh.
+ Các hệ số phụ thuộc vào vị trí điểm x ( điểm cần xấp xỉ ).

Hình 3.1 Miền ảnh hưởng của nút và miền xác định của phép
xấp xỉ MLS tại điểm x
Xét miền con Ωx chứa điểm x và những điểm lân cận x, gọi là miền xác
định của phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động (MLS) cho hàm thử tại điểm x.
Để xấp xỉ hàm u(x) trong miền Ωx tại các nút với i =1,2,….,n

10

n: số nút chứa trong miền Ωx.
Phép xấp xỉ bình phương cực tiểu động uh(x) của u(x), ∀ x ∈ Ωx có thể
định nghóa như sau:
uh(x) =

m

∑p

j

( x)a j ( x) ≡ p T ( x)a ( x)

(3.1)

j

Trong đó a(x) là vectơ các tham số hay vectơ các tọa độ tổng quát aj(x), j =
0,1,2…..,m là hàm thể hiện không gian tọa độ x=[x,y,z]T như sau:
aT(x) = [a0(x) a1(x) ………..am(x)]
pT(x) là cơ sở đơn thức hoàn chỉnh, m là số phần tử trong phần cơ sở.
pT(x) = [p0(x) p1(x) ………..pm(x)]
Gọi t là bậc cao nhất của đa thức tại các điểm cơ sở thì mối quan hệ t và m
là:
+ Bài toán 2-D
m=

(t + 1)(t + 2) (t + 1)(t + 2)

=
1x 2
2

+ Bài toán 3-D
m=

(t + 1)(t + 2)(t + 3) (t + 1)(t + 2)(t + 3)
=
1x 2 x3
6

+ Bài toán l chiều
m=

(t + 1)(t + 2).....(t + l )
1x 2 x....xl

Ta có thể chọn như sau:
+ Bài toán 1-D
pT(x) = [1, x]
m=2, t=1 (xấp xỉ tuyến tính)
T
2
p (x) = [1, x, x ]
m=3, t=2 (xấp xỉ bậc 2)
+ Bài toán 2-D
m=3, t=1 (xấp xỉ tuyến tính)
pT(x) = [1, x, y]
T

2
2
p (x) = [1, x, y, xy, x , y ] m=6, t=2 (xấp xỉ bậc 2)
+ Bài toán 3-D
pT(x) = [1, x, y, z]
m=4, t=1 (xấp xỉ tuyến tính)
T
p (x) = [1, x, y, z, xy, yx, xz, x2, y2, z2]
m=10, t=2(xấp xỉ bậc 2)
Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng
hình học, như vậy các đa thức xấp xỉ mới độc lập với hệ tọa độ phần tử.
Các dạng đa thức cơ bản được chọn từ tam giác Palcal cho bài toán 2 chiều
và từ tháp Palcal cho bài toán 3 chiều.
Vectơ a(x) được xác định bằng cách cực tiểu hoá chuẩn sai số L2 có trọng


11

J(a(x)) =

n

∑W ( x)[ p
i =1

i

T

( xi )a ( x) − ui ]2

(3.2)

Hay

J(a(x)) = [ p.a ( x) − u ]T W [ p.a ( x) − u ]
(3.3)
Trong đó: xi biểu diễn vị trí nút i
Wi(x) = W(x-xi) là hàm trọng số của nút I với Wi(x) >0 với mọi x nằm
trong miền ảnh hưởng của Wi(x).
n: số nút lân cận của x trong miền Ωx với hàm trọng số Wi(x) >0
Ma trận P và W được định nghóa nhö sau:
⎡ p T ( x1 ) ⎤
⎥
⎢ T
p ( x2 )⎥
⎢
(nxm) ma traän
P=
⎢ ........... ⎥
⎥
⎢ T
⎢⎣ p ( x n )⎥⎦
0 ⎤
⎡ w1 ( x) L
⎢
O
M ⎥⎥ (nxn) ma traän
W =⎢ M
⎢⎣ 0

L wn ( x)⎥⎦

u T = [u1 , u2 ,L , un ]

(1xn) ma trận

ui, với i = 1,2,……,n là giá trị giả định của nút i, nó không phải là giá trị nút của
hàm thử uh(x). xem hình vẽ cho sự khác biệt giữa ui và uh(xi)

Hình 3.2 Sự khác biệt giữa uh(xi) và ui
Công thức (3.3) có thể được viết lại như sau: