Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động xét đến khối lượng vật di độngtheo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.24 MB, 102 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
NGUYỄN ĐĂNG PHONG
PHÂN TÍCH DẦM ĐƠN GIẢN CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU
HÒA DI ĐỘNG XÉT ĐẾN KHỐI LƯỢNG VẬT DI ĐỘNG
THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƯỢT BẬC CAO
CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CƠNG NGHIỆP
LUẬN VĂN THẠC SĨ
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 07 NĂM 2009
CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS. TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS. TS. NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Cán bộ chấm nhận xét 2 : PGS. TS. CHU QUỐC THẮNG
(Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị và chữ ký)
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 29 tháng 08 năm 2009.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
----------------
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHIÃ VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc
---oOo--Tp. HCM, ngày 13 tháng 07 năm 2009
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: NGUYỄN ĐĂNG PHONG
Giới tính : Nam
Ngày, tháng, năm sinh : 04/12/1984
Nơi sinh : Thừa Thiên - Huế
Chuyên ngành : Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
Khố (Năm trúng tuyển) : 2007
1- TÊN ĐỀ TÀI:
PHÂN TÍCH DẦM ĐƠN GIẢN CHỊU TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA ĐI ĐỘNG
XÉT ĐẾN KHỐI LƯỢNG VẬT DI ĐỘNG THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG
TRƯỢT BẬC CAO
2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:
- Tổng quan các lý thuyết tính tốn dầm, các mơ hình vật liệu.
- Nghiên cứu lý thuyết Biến dạng trượt bậc cao, mơ hình Kelvin-Voigt.
- Thiết lập các bài tốn phân tích phản ứng dầm chịu tải trọng điều hịa đi động khơng
xét và có xét ảnh hưởng của khối lượng vật đi động và với các điều kiện ban đầu thay
đổi.
- Lập trình bằng ngơn ngữ Matlab cho bài tốn phân tích phản ứng dầm chịu tải trọng
điều hịa đi động có xét và khơng xét ảnh hưởng của khối lượng vật đi động và với các
điều kiện ban đầu thay đổi.
3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 19/02/2009
4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 03/07/2009
5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Họ tên và chữ ký)
PGS. TS. ĐỖ KIẾN QUỐC
TRƯỞNG BAN
QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH
(Họ tên và chữ ký)
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
LỜI CẢM ƠN
Q trình hồn thành luận văn này là một chặng đường dài, cùng với sự nỗ
lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ đẫn của rất nhiều người. Mở
đầu luận văn của mình tơi mong muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến
PGS.TS. Đỗ Kiến Quốc, người thầy đã tận tình chỉ bảo giảng giải cho chúng tơi rất
nhiều điều từ lúc cịn là một sinh viên đại học và bây giờ là người trực tiếp hướng
dẫn tơi hình thành ý tưởng, tìm tịi, khám phá và hồn thành luận văn cao học này.
Tơi cũng xin gởi lời cảm ơn đến toàn thể quý thầy cô, các học viên cao học
chuyên ngành Xây dựng công trình đân dụng và cơng nghiệp Khóa 2007. Họ là
những người thầy, người bạn người anh, là những đồng nghiệp đã cùng tôi trải qua
một quãng thời gian đáng nhớ. Chúng tôi đã cùng làm việc cởi mở, thảo luận
nghiêm túc, nghiên cứu sâu sắc về tất cả các vấn đề trong ngành học. Tôi xin gởi
lời cảm ơn chân thành của mình đến tất cả.
Lời cảm ơn cuối cùng, tơi xin dành cho gia đình, bạn bè của mình. Đó là
những người ln bên tơi, động viên, giúp đỡ và cùng tơi vượt qua những khó khăn
trong cuộc sống. Chính họ là nguồn động lực mạnh mẽ giúp tơi trong suốt q trình
học tập và hồn thành luận văn.
TP. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2009
Nguyễn Đăng Phong
i
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
ACKNOLEDGMENTS
The progress of this final thesis to its accomplishment is a long way with
difficulties and challenges. Besides the personal efforts, I would like to deeply
express my grateful and thankful to many people. To open up the thesis, my first
appreciation is for all that Prof. Do Kien Quoc has done for me. He is the very first
teacher who guided me to the civil engineering field while I was an undergraduate
student and now he is my trustful supervisor in this graduation dissertation form the
beginning to its very end point.
I also would like to thank all of my teachers, and my classmates of the
academic year 2007 Master program. They are all my trustful supervisors, advisors
and seniors that accompanied me over an unforgettable period. We were working
with open-minded, discussing with disciplines and deeply looking into every detail
issue within the curriculum. Thank you for all you have done for me.
My last words are for my family and my beloved friends. They are always
beside me and help me overcome the difficulties that I am facing in real life. They
are my encouragements, and they are all with me in my every steps of motivation.
Ho Chi Minh City, June 2009
Nguyen Dang Phong
ii
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
TÓM TẮT NỘI DUNG
Tên đề tài luận văn: “Phân tích dầm đơn giản chịu tải trọng điều hòa di động
xét đến khối lượng vật di động theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao”
Nội dụng của luận văn sẽ nghiên cứu phản ứng động của dầm đơn giản khi
chịu một tải trọng điều hòa di động có xét đến khối lượng của vật di động, cũng là
tác nhân gây ra dao động điều hòa. Lý thuyết sử dụng để phân tích dầm là lý thuyết
biến dạng trượt bậc cao (Higher Order Shear Deformation Theory – HOSDT). Vật
liệu làm dầm được sử dụng theo mơ hình vật liệu Kelvin-Voigt. Các điều kiện liên
kết của các gối tựa được đưa vào q trình tính tốn bằng cách sử dụng các hệ số
nhân Lagrange. Bằng cách sử dụng các phương trình Lagrange, bài tốn sẽ được
suy giảm thành các phương trình vi phân và được giải bằng cách sử dụng phương
pháp tích phân trực tiếp của Newmark. Sau đó chuyển vị, vận tốc và gia tốc của dầm
tại một điểm xác định sẽ được xác định.
Tiến hành xây dựng thuật tốn tính tốn trong Matlab và áp dụng, kiểm tra
bằng các số liệu cụ thể về dầm và với các giá trị tải trọng khác nhau.
iii
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
ABSTRACT
Thesis title: “Dynamic Analysis of single span damped beam under moving
harmonic load concerned with moving mass using higher order shear
deformation theory”
The thesis will focus on dynamic responses of a single supported beam
impacted by a moving harmonic load with moving mass concerned. The moving
mass, therefore, is the source of harmonic vibration. The author will apply the
Higher Order Shear Deformation Theory – HOSDT for the analysis. Beam material
will follow the Kelvin – Voigt parameter. Boundary conditions are put into the
calculation by using the Lagrange multipliers. By using Lagrange equations, the
problem is then reduced in to differential equations and then solved by the
Newmark direct integration. Deflections, velocities and accelerations of a specific
point in beam are then determined.
Matlab programming language is used to setup the solving algorithm of the
problem. Real parameters are then applied in various cases to varify.
iv
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
MỤC LỤC
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN ............................................................................................... 1
1.1.
Tổng quan về vấn đề nghiên cứu ......................................................................... 1
1.2.
Các lý thuyết tính tốn dầm ................................................................................. 3
1.3.
Tổng quan về tính cản của hệ động học .............................................................. 3
1.4.
Các mơ hình vật liệu ............................................................................................. 4
CHƢƠNG 2: MƠ HÌNH VÀ CÁC LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU ................................. 8
2.1.
Thiết lập mơ hình .................................................................................................. 8
2.2.
Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao ....................................................................... 8
2.3.
Mơ hình Kelvin – Voigt....................................................................................... 12
2.4.
Phân tích năng lƣợng .......................................................................................... 13
CHƢƠNG 3: THIẾT LẬP CƠNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN ............................... 19
3.1.
Phƣơng trình cân bằng động học....................................................................... 19
3.2.
Ma trận độ cứng và ma trận cản ....................................................................... 20
3.3.
Ma trận khối lƣợng ............................................................................................. 22
3.4.
Vector tải trọng suy rộng.................................................................................... 23
CHƢƠNG 4: GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ......................................................................... 25
4.1.
Giải phƣơng trình chuyển động bằng phƣơng pháp tích phân trực tiếp....... 25
4.2.
Kỹ thuật lập trình sử dụng ngơn ngữ Matlab .................................................. 30
CHƢƠNG 5: VÍ DỤ MINH HỌA .................................................................................... 39
5.1.
Bài tốn 1 ............................................................................................................. 39
5.2.
Bài toán 2 ............................................................................................................. 51
5.3.
Bài toán 3 ............................................................................................................. 61
CHƢƠNG 6: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................... 64
6.1.
Kết luận về các kết quả đã nghiên cứu .............................................................. 64
6.2.
Kết luận và kiến nghị chung............................................................................... 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 66
PHỤ LỤC............................................................................................................................ 69
v
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN
1.1.
Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Trong thực tế các cơng trình xây dựng, đặc biệt là xây dựng cơng nghiệp, có
rất nhiều các kết cấu dầm đơn giản chịu tải trọng động hoặc tải trọng di động ví dụ
như các dầm cầu trục nhà công nghiệp chịu tải trọng xe cẩu hay các dầm cầu chịu
tải trọng của các phương tiện giao thơng di chuyển trên nó.
Vấn đề nghiên cứu phản ứng động của dầm chịu nhiều tác nhân chuyển động
bên ngoài đã được đề cập nhiều trong khoảng 20 năm trở lại đây. Theo trình tự thời
gian có thể liệt kê một số cơng trình nghiên cứu tiêu biểu như đề cập ở phần dưới
đây.
Năm 1990, Lin và Tretheway [34] lần đầu tiên đưa ra phương pháp phân tích
động cho dầm đàn hồi chịu tải trọng di động bất kỳ bằng phương pháp phần tử hữu
hạn sử dụng hệ thống các phương trình vi phân bậc hai với các hệ số thay đổi theo
thời gian.
Năm 1994, Lee [8] tiến hành nghiên cứu phản ứng của dầm với gối tựa tức
thời chịu tải trọng di động sử dụng lý thuyết dầm Euler và phương pháp phân tích
mode.
Năm 1997, Henchi, Fafard, Dhatt và Talbot [11] nghiên cứu ứng xử động
của dầm nhiều nhịp chịu một đồn tải trọng di động sử dụng mơ hình động và phát
triển thuật tốn biến đổi nhanh Fourier (FFT algorithm). Các tần số và mode dao
động được tính tốn chính xác bằng thuật tốn của Wittrick và Williams. Cùng lúc
đó, Wang [22] thuộc Đại học quốc gia Cheng Kung, Đài Loan lại phân tích ứng xử
của dầm Timoshenko nhiều nhịp chịu một tải trọng di động để so sánh kết quả với
một dầm Euler-Bernoulli nhiều nhịp.
Năm 1998, Zheng, Cheung, Au và Cheng [4] thuộc Đại học Hong Kong đã
dựa trên nguyên lý Hamilton, tiến hành phân tích dao động của của dầm nhiều nhịp
tiến diện thay đổi chịu tải trọng đi động bằng cách sử đụng các hàm dao động dầm
cải tiến thỏa mãn các điều kiện độ võng bằng 0 tại các gối tức thời cũng như điều
kiện biên tại hai đầu dầm.
Năm 2000, Abu-Hilal và Mohsen [15] đã nghiên cứu đao động của dầm đơn
với các điều kiện biên như các gối tựa đơn, ngàm, một gối tựa đơn gối kia là ngàm
1
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
hay dạng dầm console chịu một tải trọng điều hịa đi động. Lời giải kín (closed
form) được dùng để tính tốn phản ứng của dầm trong các điều kiện chuyển động có
gia tốc hay chuyển động bất thường của tải trọng. Cùng trong thời gian này Chan,
Law và Yung đã thực hiện điều ngược lại của hầu hết tất cả các nghiên cứu là đưa ra
một lý thuyết tính tốn để xác định tải trọng động trên một dầm cầu dự ứng lực dựa
trên các thông số về phản ứng của dầm [26] đồng thời kiểm chứng bằng cách tiến
hành đo đạc hiện trường trên một cơng trình dầm cầu dự ứng lực để ước tính và
định vị được tải trọng động ở trên dầm [27]. Zhu và Law [31] đồng thời đã phát
triển lý thuyết xác định tải trọng di động nhưng cho loại dầm cầu liên tục nhiều
nhịp.
Năm 2001, Chen, Huang và Shih [33] nghiên cứu phản ứng của một dầm
Timoshenko dài vô hạn đặt trên một nền đàn hồi chịu tải trọng điều hịa di động.
Cơng trình này có ý nghĩa liên hệ thực tiễn rất lớn khi mô phỏng gần dúng mơ hình
đường ray xe lửa chịu tải trọng động. Một nghiên cứu khác được đưa ra trong cùng
thời gian này của Michaltsos [7] để cập đến ảnh hưởng của tải trọng di động với vận
tốc thay đổi đến ứng xử của dầm đơn giản một nhịp.
Năm 2002, Dungush và Eisenberger phát triển kết quả của Wang [22] khi
phân tích dầm liên tục tiết diện thay đổi chịu tải trọng di động nhưng lại dùng lý
thuyết dầm Euler-Bernoulli.
Năm 2004, Hamed và Frostig [6] đề cập đến một vấn đề thực tiễn khi tìm
hiểu về dao động tự do của dầm dự ứng lực đã bị nứt. Từ đó đưa đến kết luận, vết
nứt sẽ ảnh hưởng rất lớn đến tần số dao động riêng của dầm.
Năm 2008, Bakhshandeh và Saranjam [12] lại quan tâm đến ảnh hưởng của
điều kiện biên đến ứng xử động của dầm thẳng composite đẳng hướng chịu tải trọng
di động. Trong nghiên cứu này cũng đề cập đến ảnh hưởng của các thơng số như
hình dáng và loại vật liệu dầm đến hệ số phóng đại động học (dynamic
magnifiaction factor). Và kết quả là hệ số phóng đại động học chịu ảnh hưởng lớn
nhất từ các điều kiện biên.
Như vậy, trong một khoảng thời gian dài đã có rất nhiều vấn đề liên quan
đến phân tích dầm đặc biệt là ứng xử của dầm đối với tải trọng động. Thành phần
“động” của tải trọng thường bao gồm một trong hai trường hợp: tải trọng di động
hoặc là tải trọng điều hòa hoặc cả hai. Tuy nhiên, tất cả các nghiêng cứu trước đây
đều chỉ quan tâm đến tác dụng của lực lên dầm và chỉ phân tích ảnh hưởng của bản
thân lực đó lên dầm mà thơi. Nhưng trong thực tế tất cả các ngoại lực tác động lên
dầm dù dưới bất cứ hình thức nào cũng phải có tác nhân gây ra nó. Tác nhân gây ra
2
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
lực di chuyển trên dầm ln có khối lượng bản thân, nếu kể đến thành phần khối
lượng này thì ma trận tổng khối lượng khi phân tích dầm theo Phần tử hữu hạn là
thay đổi theo thời gian và đây cũng là vấn đề mà luận án đề cập đến.
1.2.
Các lý thuyết tính tốn dầm
Các nghiên cứu về phản ứng dầm khị chịu các loại tải trọng thường thường
dựa trên các lý thuyết dầm khác nhau từ lý thuyết dầm đơn giản nhất của EulerBernoulli đến đến lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của Timoshenko và cuối cùng
là lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Reddy và Brickford [3]. Trong đó hai lý
thuyết sau cùng đề cập đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang của dầm mà trong
lý thuyết của Euler-Bernoulli xem như khơng có.
Hiện nay, lý thuyết dầm Timoshenko vẫn được sử dụng rộng rãi nhất do hệ
thống phương trình đơn giản và tính chính xác của kết quả tính tốn là chấp nhận
được. Tuy nhiên, nếu q trình mơ phỏng địi hỏi tính chính xác cao người ta sẽ sử
dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (HOSDT). Lý thuyết này chính là lý thuyết
mở rộng của lý thuyết dầm Reddy và Brickford.
Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao hiện nay chủ yếu dùng để phân tích ứng
xử của các phần tấm, vỏ hay tấm composite, đối với các mô phỏng cho dầm đây vẫn
còn là một lý thuyết tương đối mới. Một số ứng dụng cho tấm vỏ có thể kể đến như,
năm 2004, lần đầu tiên Latheswary [24] đã đưa lý thuyết này vào phân tích ứng xử
của các tấm Laminate composite chịu tải trọng tĩnh khi thay đổi các lớp vật liệu và
tỷ số bề dày tấm so với chiều dài cạnh. Sau đó một năm, Ferreira [1] giới thiệu lý
thuyết HOSDT để phân tích tấm giật bậc tựa đơn chịu tải trọng tĩnh theo phương
pháp không chia lưới. Gần đây nhất, năm 2007, Nguyen Dang Quy [20] cũng có
một nghiên cứu về phần tử vỏ đặc trong các kết cấu laminate để tăng cường khả
năng chịu cắt sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bâc cao.
Chi tiết các lý thuyết phân tích dầm và phát triển công thức sẽ được đề cập
trong mục 2.2 của tài liệu này.
1.3.
Tổng quan về tính cản của hệ động học
Trong lý thuyết đàn hồi cổ điển, khơng có khoảng thời gian trễ giữa một lực
tác dụng biến dạng do nó gây ra. Tuy nhiên, trong thực tế của rất nhiều vật liệu,
người ta phát hiện cịn có thêm một biến dạng phụ thuộc thời gian và được gọi là
biến dạng đàn nhớt (viscoelastic deformation).
3
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Khi một tải trọng bên ngoài tác dụng vào vật liệu làm cho vật liệu đó phản
ứng đàn hồi tức thời nhưng biến dạng đó vẫn tiếp tục phát triển theo thời gian. Tính
đàn nhớt đóng vai trị như hệ thống giảm chấn cho vật liệu hay cịn gọi là tính cản
(damping) của vật liệu.
Tính cản của vật liệu, theo [21] được phát triển từ khái niệm lưu biến
(rheology) của chất lỏng. Theo đó, lưu biến nghiên cứu đến dòng chảy của vật liệu
chủ yếu trong chất lỏng và một số chất rắn với điều kiện tính chảy của nó co xu
hướng lớn hơn biến dạng đàn hồi.
1.4.
Các mơ hình vật liệu
Dựa trên các hiểu biết về tính đàn nhớt của vật liệu, ứng xử lưu biến có thể
được mơ phỏng theo tốn học bằng những cấu trúc được kết hợp từ các phần tử lý
tưởng thể hiện tính đàn hồi (elastic) và tính nhớt (viscous). Các mơ hình vật liệu đó
được gọi là các mơ hình lưu biến (rheological models) [30].
Một lị xo (Hình 1.1) mơ phỏng chính xác một chất rắn đàn hồi lý tưởng, ứng
xử này được thể hiện như sau:
ee
Fe
Ke
(1.1)
Trong đó, ee là biến dạng dài của lị xo, Fe là lực tác dụng lên lò xo và Ke là độ cứng
lị xo.
Một bộ giảm chấn (dashpot) (Hình 1.1) sẽ mơ phỏng chính xác một vật liệu
nhớt lý tưởng, ứng xử này được thể hiện như sau :
ev
dev Fv
dt K v
(1.2)
Trong đó, ev là độ thay đổi chiều dài của giảm chấn, Fv là lực tác động và Kv là hằng
số của bộ giảm chấn.
4
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Hình 1.1. Các phần tử lưu biến
Khi kết hợp các phần tử lưu biến lại theo các cách khác nhau chúng ta sẽ có
được các mơ hình vật liệu. Mơ hình Maxwell [30] bao gồm một lò xo và một bộ
giảm chấn mắc nối tiếp (Hình 1.2) và có phương trình ứng xử như sau:
e ee e v
F Ft
Ke Kv
(1.3)
Trong đó, các đại lượng e và F (khơng có chỉ số) lần lượt là tổng biến dạng
dài và ngoại lực tác dụng. Khi đó, biến dạng tương ứng với lực tác dụng được mơ tả
như đồ thị (Hình 1.2), tức là khi có lực tức thời tác động, lị xo sẽ chịu tồn bộ lực
đó và bị kéo giãn đàn hồi tức thời. Sau đó lực sẽ truyền dần sang bộ giảm chấn làm
cho tổng chiều dài của toàn hệ thay đổi tuyến tính.
Hình 1.2. Mơ hình nối tiếp Maxwell
5
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Mơ hình vật liệu Kelvin-Voigt hay cịn gọi là mơ hình Voigt [30] bao gồm
một lò xo và một bộ giảm chấn mắc song song (Hình 1.3). Đối với mơ hình này ta
có:
F Fe Fv
(1.4)
e ee ev
(1.5)
Khi có lực tức thời tác động, cả hai phần tử sẽ chịu đồng thời lực đó. Lúc này
đường biến dạng của hệ có dạng hàm mũ và tiệm cận với giá trị elà biến dạng dài
lớn nhất khi t = (Hình 1.3).
Hình 1.3. Mơ hình song song Voigt
Vì cả hai mơ hình Voigt và Maxwell đều khơng thể hiện đầy đủ cả hai q
trình chùng biến dạng và chùng ứng suất nên một mô hình vật liệu thứ ba tốt hơn là
mơ hình hỗn hợp hay cịn gọi là mơ hình Voigt-Maxwell [30] được đề xuất. Mơ hình
này bao gồm một hệ Voigt mắc nối tiếp với một lị xo (Hình 1.4).
6
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Hình 1.4. Mơ hình hỗn hợp Voigt-Maxwell
Ngồi ra cịn có một số mơ hình vật liệu phức tạp khác nữa như sử dụng
nhiều phần tử lò xo và nhiều bộ giảm chấn hay là dùng các phần tử trên với ứng xử
phi tuyến.
7
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
CHƢƠNG 2
MƠ HÌNH VÀ CÁC LÝ THUYẾT NGHIÊN CỨU
2.1.
Thiết lập mơ hình
Bài tốn nghiên cứu là một dầm đơn giản, gối tựa đơn hai đầu, chiều dài nhịp
L, tiết diện ngang b h . Một vật có khối lượng tĩnh Q, di động trên dầm với vận tốc
, đồng thời gây ra dao động điều hịa P0 sin t lên dầm trong q trình di chuyển.
Mơ hình phân tích phẳng (Hình 2.1) được đặt trong hệ tọa độ Descartes
vng góc (xOz) với gốc tọa độ O ở chính giữa dầm như sau:
Hình 2.1. Mơ hình phẳng của bài tốn nghiên cứu
Hàm tải trọng điều hịa được mơ tả theo quy luật sau:
P t Q P0 sin t
(2.1)
Hàm vị trí của vật di động:
xP t t L / 2
(2.2)
Các điều kiện biện:
t1 0 t L / t2
(2.3)
và
L / 2 xP t L / 2
(2.4)
2.2.
Lý thuyết biến dạng trƣợt bậc cao
Lịch sử phát triển của lý thuyết tính tốn dầm như các phần trên đã trình bày
đi qua ba lý thuyết tính tốn dầm chính và được phát triển theo hướng độ chính xác
8
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
của lý thuyết sau cao hơn lý thuyết trước. Có thể liệt kê ba lý thuyết đó theo độ
chính xác của kết quả tính như sau: lý thuyết dầm Euler – Bernoulli; lý thuyết dầm
Timoshenko; lý thuyết biến dạng trược bậc cao hay còn gọi là lý thuyết dầm Reddy.
Hiện nay, cả ba lý thuyết tính này vẫn đang được sử dụng rộng rãi tùy theo u cầu
về độ chính xác của bài tốn hay mức độ quan trọng của cơng trình nghiên cứu.
Để tìm hiểu về các lý thuyết dầm, chọn hệ trục tọa độ với trục x dọc theo
chiều dài dầm, trục z hướng xuống theo chiều cao dầm và trục y hướng theo chiều
rộng dầm. Trong một lý thuyết dầm tổng quát, mọi tải trọng ngoài đều gây ra ba
thành phần chuyển vị (u,v,w) theo ba phương (x,y,z). Khi giới hạn nghiên cứu trong
bài toán phẳng, chuyển vị theo phương y được lược bỏ. Như vậy, các hàm chuyển vị
chỉ còn phụ thuộc vào hai biến x và z.
Lý thuyết dầm đơn giản nhất là lý thuyết dầm Euler-Bernoulli [3] dựa trên
trường chuyển vị được mơ tả như sau (Hình 2.2):
dw0E
dx
(2.5)
wE x, z w0E x
(2.6)
u E x, z z
Trong đó, w0 là độ võng của dầm tại một điểm có tọa độ (x,0) trên trục trung hòa.
Trường chuyển vị trên cho thấy rằng đường thẳng vng góc với trục trung hịa
trước và sau khi dầm bị uốn vẫn tiếp tục thẳng và vuông góc với trục trung hịa.
Hình 2.2. Mơ hình dầm Euler – Bernoulli
9
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Lý thuyết tiếp theo là lý thuyết dầm Timoshenko [3], dựa trên trường chuyển
vị sau (Hình 2.3):
uT x, z z T x
(2.7)
wT x, z w0T x
(2.8)
Trong đó, là góc xoay của mặt cắt ngang. Lý thuyết dầm Timoshenko đã bỏ đi các
giả định về sự vng góc trong lý thuyết dầm Euler-Bernoulli đồng thời giả định
ứng suất và biến dạng trượt ngang không đổi theo bề dày dầm. Cũng vì giả định đó
nên lý thuyết này đòi hỏi các hệ số hiệu chỉnh cắt để bù trừ vào các sai số. Các hệ số
hiệu chỉnh cắt này phụ thuộc vào vật liệu, các thông số hình học, tải trọng ngồi và
các điều kiện biên.
Hình 2.3. Mơ hình dầm Timoshenko
Trong các lý thuyết bậc cao, giả định về các mặt cắt ngang phẳng của các lý
thuyết trước đều bị loại bỏ. Theo J.N. Reddy [3] một lý thuyết bậc hai với dầm
không bị biến dạng theo phương ngang được cho theo trường chuyển vị sau:
u x, z z x z 2 x
(2.9)
w x, z w0 x
(2.10)
Trong đó biểu diễn độ dốc u / x tại vị trí z 0 của đường biến dạng, được thể hiệ
trực quan ở Hình 2.4:
10
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Hình 2.4. Mơ hình dầm Reddy theo lý thuyết HOSDT
Trường chuyển vị bậc ba sau đây đã được sử dụng trong các cơng trình
nghiên cứu của J.N. Reddy [3] và M. Levinson [16] và còn được gọi là lý thuyết
dầm Reddy:
dwR
u R x, z z R x z 3 R 0
dx
(2.11)
wR x, z w0R x
(2.12)
4 / 3h2
(2.13)
Ứng dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao vào bài toán:
Lý thuyết dầm Reddy khi áp dụng vào bài toán đã nêu, sẽ được bổ sung thêm
biến thời gian t và được viết lại như sau:
w x, t
u x, z, t z x, t z 3 x, t 0
x
(2.14)
w x, z, t w0 x, t
(2.15)
Trong đó, w0 x, t là chuyển vị đứng (theo phương z) của một điểm có vị trí x trên
trục trung hòa theo thời gian ở thời gian t.
11
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Từ đó, theo quan hệ ứng suất biến dạng của cơ học môi trường liên tục ta
tính được biến dạng dọc và biến dạng góc (góc trượt) như sau:
2.3.
xx
2 w0
u
z
z3
2
x
x
x x
(2.16)
xz
w
u w
1 3 z 2 0
z x
x
(2.17)
Mơ hình Kelvin – Voigt
Mơ hình Kelvin-Voigt chính tắc [18], trong trường hợp đặc biệt của bài toán
này được cho dưới dạng như sau:
b0 xx b1 xx b2xx
(2.18)
b0 1, b1 E, b2 cb E1
(2.19)
Trong đó, E là module đàn hồi, cb là hệ số cản nội tại và 1 là hằng số tỷ lệ của sức
cản nội tại của dầm khi chịu uốn. Từ đó, thay (2.19) vào (2.18), ứng suất xx được
viết lại như sau:
xx xxe xxd E xx cbxx E xx 1xx
(2.20)
Trong đó xx là đạo hàm của xx theo thời gian. Từ đây, tiến hành ký hiệu là đạo hàm
của một hàm bất kỳ theo thời gian. Từ (2.16) rút ra:
2 w
3
xx z z 20
x
x x
(2.21)
Tương tự, ứng suất tiếp xz được tính theo cơng thức sau:
xz xze xzd G xz csxz G xz 2xz
(2.22)
Trong đó, G là module đàn hồi trượt, cs là hệ số cản nội tại và 2 là hằng số tỷ lệ
của sức cản nội tại của dầm khi chịu cắt. Từ (2.17) rút ra:
xz 1 3 z 2
w 0
x
(2.23)
Khi xem ảnh hưởng của sức cản nội tại của dầm trong quá trình chịu uốn và
cắt là như nhau thì có thể lấy lấy 1 2 [17] trong q trình tính tốn.
12
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
2.4.
Phân tích năng lƣợng
Q tình phân tích năng lượng trong dầm là q trình đi tìm cơng biến dạng
U của dầm, hàm phân tán năng lượng R và động năng tức thời Ke và thế năng tức
thời V của hệ.
Công biến dạng U của dầm trong hệ tọa độ vng góc Descartes bao gồm hai
thành phần: công biến dạng do ứng suất pháp xx và công biến dạng do ứng suất tiếp
xz với chú ý chỉ số e (elastic) – chỉ xét đến biến dạng đàn hồi:
L /2
1
U xxe xx xze xz dAdx
2 L /2 A
(2.24)
Từ (2.20) và (2.22), biểu thức (2.24) được viết lại như sau:
L /2
1
U E xx2 G xz2 dAdx
2 L /2 A
(2.25)
Sau đó, thay (2.16) và (2.17) vào (2.25) ta được:
2
2
L /2
2 w0
w0
1
3
2
U E z
z
G 1 3 z
dAdx
2
2 L /2 A x
x
x x
2
2
2 w0
2 w0
2
4
2 6
E z 2 z
z
2
2
L /2
x
x
x
x
x
x
1
dAdx
2
2 L /2 A
w
w
2
2 4
2
0
0
G 1 6 z 9 z 2
x x
2
2
2 w0
2 w0
2
Dxx 2 Fxx
2
H xx
L /2
x x x 2
x
x x
1
U
dx
2
2 L /2
w0 w0
2
2
Axz 6 Dxz 9 Fxz 2 x x
(2.26)
Trong đó:
Dxx E z 2 dA ; Fxx E z 4 dA ; H xx E z 6dA
(2.27)
Axz G dA ; Dxz G z 2 dA ; Fxz G z 4dA
(2.28)
A
A
A
A
A
A
13
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
được gọi là các hệ số độ cứng mặt cắt ngang (cross-sectional stiffness coefficients)
[17].
Do tính cản nội tại trong dầm (damping), một phần năng lượng sẽ được
chuyển hóa thành nhiệt năng và được thể hiện bằng bằng hàm phân tán năng lượng
hay còn được gọi là hàm phân tán Rayleigh, ký hiệu là R:
R
L /2
1
xxd xx xzd xz dAdx
2 L/2 A
(2.29)
Tương tự, trong cơng thức (2.29) ta cũng có thành phần phân tán của ứng
suất pháp và thành phần phân tán của ứng suất tiếp. Hàm phân tán Rayleigh là một
dạng hàm phân tán được dùng trong các dạng vật chất có tính nhớt (bao gồm cả chất
lỏng), ngồi ra cịn có một dạng hàm phân tán khác là hàm phân tán do ma sát. Hàm
phân tán sẽ được sử dụng trong phương trình Lagrange.
Từ (2.20) và (2.22), biểu thức (2.29) được viết lại như sau:
R
L /2
1
Exx2 Gxz2 dAdx
2 L /2 A
(2.30)
Thay (2.21) và (2.23) vào (2.30) ta được:
2
2
L /2
2 w
w 0
1
3
2
0
R E z
z
G 1 3 z
dAdx
2
2 L /2 A x
x
x x
2
2 w
2 w 2
2
4
2 6
0
0
E z 2 z
z
2
2
L /2
x
x
x
x
x
x
1
dAdx
2
2 L /2 A
w 0 w 0
2
2 4
2
G 1 6 z 9 z 2
x x
2
2
2 w0
2 w0
2
Dxx 2 Fxx
2
H xx
L /2
x x x 2
x
x x
1
R
dx
2
2 L /2
w
w
2
2
0
0
Axz 6 Dxz 9 Fxz 2 x x
(2.31)
Từ (2.14) và (2.15), tính được các thành phần vận tốc (tức thời) tại một điểm
bất kì theo các phương như sau:
14
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
x u z z 3
w 0
x
(2.32)
z w w 0
(2.33)
Động năng tức thời được tính như sau:
L /2
1
K e x2 z2 dAdx
2 L /2 A
(2.34)
Trong đó, là khối lượng riêng của vật liệu dầm. Thay (2.32) và (2.33) vào (2.34)
ta được:
2
L /2
w 0
1
3
2
K e z z
w
0 dAdx
2 L /2 A
x
2
w
w 0 z 22 2 z 4 0
L /2
x
1
dAdx
2
2 L /2 A 2 6 2
w 0 w 0
z 2
x x
L /2
w
1
K e I A w 02 I D2 2 I F 0 2 I H
2 L /2
x
2
2
w 0 w 0
2
dx
x x
(2.35)
Trong đó:
I A dA ; I D z 2 dA ; I F z 4 dA ; I H z 6 dA
A
A
A
(2.36)
A
được gọi là các hệ số quán tính mặt cắt ngang (cross-sectional inertial coefficients)
[17].
Thế năng tức thời của ngoại lực tác dụng tại thời điểm t, được cho như sau:
V P t w0 xP t , t c t t1 c t t2
(2.37)
Trong đó:
1, 0 t
c t
0, 0 t
(2.38)
15
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
P t Q P0 sin t như (2.1).
c được gọi là hàm bậc thang đơn vị, t1 là thời điểm tải trọng bắt đầu đi vào dầm và t2
là thời điểm tải trọng đi ra khỏi dầm, xp(t) theo (2.2) là hàm vị trí của vật di động và
w0 x, t theo quy ước là chuyển vị đứng (theo phương z) của một điểm có vị trí x
trên trục trung hòa theo thời gian ở thời gian t.
Phiếm hàm của bài toán:
I Ke U V
(2.39)
Để áp có thể áp dụng được các phương trình Lagrange, các hàm cơ sở
0 1 2
N-1
w0 x, t và x, t được xấp xỉ dưới dạng đa thức của biến vị trí x , x , x , … , x :
N
w0 x, t an t x n 1
(2.40)
n 1
N
x, t bn t x n1
(2.41)
n 1
Trong đó, an(t) và bn(t) là các tọa độ suy rộng theo thời gian.
Thay (2.40) và (2.41) vào (2.26), công biến dạng U của dầm được viết lại
theo các tọa độ suy rộng theo thời gian an và bn như sau:
2
2
bn x n 1
bn x n 1
bn x n 1 an x n 1
D
2
F
2
F
xx
xx
xx x
x
x
x
2
2
2
2
n 1
n 1
n 1
n 1
2 H bn x 2 2 H bn x an x 2 H an x
xx
xx
xx
x 2
x 2
x
x
2
n
1
n
1
L /2
an x
an x
1
n 1 2
n 1
Axz
U Axz bn x 2 Axz bn x
dx
2 L /2
x
x
2
an x n 1
an x n 1
2
6 Dxz
6 Dxz bn x n 1 12 Dxz bn x n 1
x
x
2
n 1
n 1
an x
an x
2
9 2 Fxz bn x n 1 18 2 Fxz bn x n 1
9 2 Fxz
x
x
16
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
(2.42)
Tương tự, thay (2.40) và (2.41) vào (2.35), động năng tức thời Ke được viết
lại theo các tọa độ suy rộng theo thời gian an và bn như sau:
2
2
n 1
n 1
a x n 1 2
b
x
b
x
n
n
n
I
I
2
I
D
F
A
t
t
t
2
n
1
2
n
1
n
1
L /2
bn x an x
bn x
1
2
IH
dx
K e 2 I F
2 L /2
t
t
xt
2
bn x n 1 2 an x n 1
2 an x n 1
2IH
2 2 I H
t
xt
xt
(2.43)
Thay (2.40) vào (2.37), thế năng tức thời V được viết lại theo các tọa độ suy
rộng theo thời gian an như sau:
V P t an xPn1 c t t1 c t t2
(2.44)
Các điều kiện ràng buộc tại gối được thỏa mãn bằng các hệ số nhân
Lagrange. Do chuyển vị tại các đầu dầm bằng 0, các điều kiện ràng buộc của dầm
được cho như sau:
(2.45)
(2.46)
w0 xS A , t 0
w0 xSB , t 0
Trong đó xSA và xSB xác định vị trí của các gối tựa. Thiết lập hệ số nhân
Lagrange của bài tốn địi hỏi việc xây dựng phiếm hàm Lagrange như sau:
J I A w xS A , t B w xSB , t
(2.45)
Trong đó, A và B là các hệ số nhân Lagrange, cũng là các phản lực gối tựa của bài
toán. Thay (2.40) và (2.41) vào (2.45), phiếm hàm Lagrange được viết lại như sau:
J Ke U V A an xSnA1 B an xSnB1
(2.46)
Đặt:
qn an , n 1, 2,..., N
(2.47)
17
