Lý thuyết và bài tập xử lý tín hiệu số ấn bản dành cho sinh viên tống văn on (chủ biên)

Tống Văn On
HỒ Trung Mỹ

Hiện đính

'S'

í

Iuứí ?، ‫]؛‬AJ

٠/٠

/

ĩ
ỆN
VRANG
THU VIEN DH NHA TRANG

٠

1

ò ỏ õ õ

1 9

6

7

ẨN BÁN DÀNH CHO

3

1000019673
.٠;

I

SINH VIÊN


M 1 Tống V ăn O n Chù biên
Ü

H ồ T ru n g M ỹ Hiệu ٥ ‫؛‬nh.

Lý thuyết
٤bà!tập

XỬ LÝ
TIN HIỆU SỔ
■

ÃN BÁN DÀNH C H .

SINH VIÊN

NHÀ XltẤT BẢN LAO BỘNG XÃ HỘt

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ
NHÀ XUẤT BẢN LAO ĐỘNG - XÃ HỘI
4 1 B L ý T h á i T ô - H à N ội - T el: 8 .2 4 1 7 0 6 - F ax: 9 .3 4 8 2 8 3

Chịu trách nhiệm xuất bản: N G U Y Ê N Đ ÌN H T H IÊ M
Chịu trách nhiệm nội dung: N G U Y Ê N BÁ N G Ọ C
Biên soạn: TỐ N G V Ả N O N - HOÀNG ĐỨC H Ả I
Sửa bản in: NG Ọ C AN
_____________________ Trình bày bìa: H U Ỳ N H THẢO
_______________
Thực hiện liên doanh: Công ty TNHH Minh Khai S.G
E-m ail: Website: www.minhkhai.com.vn

Tổng phát hành
❖

Nhà sách Minh Khai: 249 Nguyễn Thị Minh Khai - Quận 1 - TP.HCM
ĐT: (08) 9.250.590 - 9.250.591 - Fax: (08) 8.331.124

❖

Nhà sách Minh Châu: Nhà 30 - Ngõ 22 - Tạ Quang Bửu - Bách Khoa - Hà Nội
ĐT: (04) 8.692.785 - Fax: (04) 8.683.995

Đại lý các khu vực
٠> Nhà sách Huy Hồng: 95 Núi Trúc - Kim Mã - Ba Đình - Hà Nội

ĐT: (04) 7.365.859
❖ Cty cổ phần sách thiết bị trường học Đà Năng: 78 Bạch Đằng - Đà Nẵng
ĐT: 0511.837100
٠> Nhà sách Chánh Trí: 116A Nguyễn Chí Thanh - Đà Nầng
ĐT: 0511.820129
❖ Cty phát hành sách Khánh Hòa:
>

Nhà sách p.nagar: 73 Thống Nhất - Nha Trang - Khánh Hòa
ĐT: 058.822636

>

Siêu Thị Sách Tân Tiến: 11 Lê Thành Phương - Nha Trang - Khánh Hòa
ĐT: 058.827303

❖ Nhà sách Năm Hiền: 79/6 Xô Viết Nghệ Tĩnh - TP.Cần Thơ
ĐT: 071. 821668
In 4 .0 0 0 cuôn, khổ 21 X 29 cm, tại Xí nghiệp in Machinco
Sơ' 21 Bùi Thị Xn, Quận 1, Thành phơ' Hồ Chí Minh.
42 —90
S ố đăng ký k ế hoach xuất bản; 434-2006/CXB/42.90/LĐXH - Mã số
------٥ ٠^
·
2 3 -5
In xong và nộp lưu chiểu tháng 9 năm 2006.


LỜI MỞ ĐẦU

sm

LỜI MỞ Đ Ầ U
Nội dung quyển sách này trình bày các vấn đề cơ bản của xử lý tín hiệu số và người đọc có thể sử dụng quyển sách này theo
hai cách :
1. Xem quyển sách như tài liệu tự học mơn xử lý tín hiệu sơ' theo phương pháp học thơng qua các thí dụ.
2.

Xem quyển sách như tài liệu tham khảo cho môn xử lý tín hiệu số trong đó có nhiều thí dụ và bài tập có lời giải.

Quyển sách này bao gồm 9 chương, mỗi chương được trình bày theo mơ hình tóm tắt lý thuyết kèm theo các thí dụ và phần
bài tập có lời giải.
Chương 1 : Giới thiệu các vấn đề thuộc nền tảng của xử lý tín hiệu số bao gồm việc mơ tả và đặc trưng hóa các tín hiệu và hệ
thống thời gian rời rạc. phép chập và các phương trình sai phân tuyến tính hệ sô' hằng.
Chương 2 : Khảo sát việc biểu diễn các tín hiệu thời gian rời rạc trong m iền tần số. Cụ thể chương này đề cập đến biến đổi
Fourier thời gian rời rạc (DTFT), một sơ' tính chất của DTFT và xem xét cách sử dụng DTFT để giải các phương
trình sai phân và thực hiện phép chập.
Chương 3 : Bao gồm các vấh đề quan trọng liên quan đến việc lấy mẫu các tín hiệu thời gian liên tục, trong đó có định lý lấy
mẫu và hiện tượng aliasing.
Chương 4 : Trình bày biến đổi z١ m ột cơng cụ tốn học dùng trong việc khảo sát các tín hiệu và hệ thơ'ng thời gian rời rạc,
cơng cụ này tương đương với biến đổi Laplace đô'i với các từi hiệu và hệ thốhg thời gian liên tục.
Chương 5 : Khảo sát hàm hệ thống, đây là biến đổi z của đáp ứng xung đơn vị của hệ thô'ng tuyến tính và bất biến, chương
này cũng giới thiệu một sô' loại hệ thống như bộ lọc cho qua mọi tần sơ', các bộ lọc có pha tuyến tính và pha tốì
thiểu, các hệ thơng có hồi tiếp.
Hai chương kế liên quan đến biến đổi Fourier rời rạc (DFT).
Chương 6 : Giới thiệu DFT, một sơ' tính chất của DFT. Ý tưdng chính trong chương này là việc nhân các DFT của hai chuỗi
tương tương với phép chập vồng trong m iền thời gian.
Chương 7 : Khai triển một sô' giải thuật có hiệu quả để tính DFT của m ột chuỗi có chiều dài hữu hạn. Các giải thuật này.
trong trường hợp tổng quát, được gọi là các biến đổi Fourier nhanh (FFT).
Sau cùng, hai chương cuối khảo sát việc thiết k ế và thực hiện một hệ thô'ng thời gian rời rạc, tuyến tính và bất biến.

Chương 8 : Giới thiệu các phương pháp khác nhau để thực hiện một hệ thơ'ng thời gian rời rạc, tuyến tính và bâ't biến, khảo
sát độ nhạy của các thực hiện đơ'i với việc lượng tử hóa các hệ sơ' của bộ lọc. Chương này cịn phân tích việc
truyền nhiểu làm tròn trong việc thực hiện dạng dấu chấm cố định các hệ thơ'ng.
Chương 9 : Trình bày các kỹ thuật th iết k ế các bộ lọc bâ't biến và tuyến tính, FIR và IIR. Mặc dù trọng tâin của chương này
là thiết k ế các bộ lọc thông thấp, các kỹ thuật thiết k ế các bộ lọc chọn lọc tần số khác như các bộ lọc thông cao,
dải thỏng và dải chận cũng được khảo sát.
Đối tượng của quyển sách này là các sinh viên thuộc các chuyên ngành điện, điện tử, viễn thông, công nghệ thông tin. của các
trường đại học và cao đẳng.
Rất mong quyển sách này mang lại nhiều tiện lợi cho người đọc trong nghiên cứu và học tập. Chúc các bạn thành công và
mong nhận được những ý kiến đóng gốp, phê bình cho những sai sót cịn tồn tại.
M K . PƯB

www.minhkhai.com.vn


THƯ NGỎ
K in h tHưa qu‫ ?؛‬B ạn đọc gân occU
Trưởc hết, Ban xuất bản xin bầy tỏ lOng biết ơn và niềm vinh hạnh được áông dảo Bạn dọc nhiệt
tin h ủng hộ tủ sắch MK.PUB.
Trung thởi ^ a n qua chUng tôi rấ t vui và cảm ơn cấc Bạn dã gửi e-ma‫ ل‬l ddng gốp nhiều ý kiến quý
bàu c h . tủ sdch.
Mục tiêu và phương châm phục của vụ chUng tôi lầ:
٠

Lan dộng khoa học nghiem túc.

٠

Chdt luqng υά ngày chng chát tượng h i .

٠

Tốt cà υΐ Bqn dọc.

M ột lầ n n ữ ., B an x u ấ t bản MK.PUB à
ch ú n g tô i đê’ n ăn g cao c h ấ t lượng s ấ , Cụ thể:

kinh mbi quý B qn d ọ c tìế p tq c th a ,n g ia cù n g

Trong quấ trin h sử dụng sấch, xin quý Bạn ghi chứ lại các sai sót [dù nhỏ, ằ ) của cuốn sấch hoặc
các n h ậ n xẻt của riêng Bạn. Sau đố xin gửi về dịa chỉ:
l i É . m k.b ookH nhkhai.com .nn \iokc m k.pub^tnhkhnt.com .nn
Hoác Ể về: N hà sách M inh Khai
249 Nguyễn Thị Minh Khai, Q.I, Гр. Hồ Chi Minh
Nếu bạn ghi chu trực tiếp lên cuốn sách, rồi gửi cuốn sấch đố cho chUng tơi thi chUng tơi xin hồn lại
cước phi b ‫ ا‬л ‫ ل‬diện và gửi trà lại Bạn cuốn sấch khấc.
Ngoầi ra, chUng tơi cịn gửi tặng Bạn một cuốn sách khấc trong tủ sách MK.PƯB. Bạn cd th ỉ chọn
cuốn sdch này theo danh mục thích hợp sẽ gửi tdi Bạn.
Vdi mục dích ngằy càng nầng cao chất lượng tU shch MK.PƯB, chUng tồi rấ t mong nhận dược 8ự hợp
tốc n h iệ t tin h cUa quý Bạn dọc gần xa.
I K P U B cùng Bạn đọc đồng hành'* dể nâng cao chất lượng sách.
Một lần nữa chUng tơi xin chân thành càm ơn.
M ÍP U B


m

M ỤC L ự c

MỤC LỤC

LỜI MƠ ĐẢƯ
LỜI NGỞ
MỤC L ực
Chương 1. TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
1.1 Mở đầu
1.2 Tín hiệu thời gian rời rạc
1.2.1 Chuỗi phức
1.2.2 Các chuỗi cơ bản
1.2.3 Khống thời gian c.ia tín hiệu
1.2.4 Chuỗi tuần hồn và khơng tuần hồn
1.2.5 Chuỗi đị.i xứng
1.2.6 Các thao tác trên tín hiệu
1.2.7 Phàn râ tín hiệu
1.3 Các hệ thống thời gian rời rạc
1.3.1 Các tính chất ciia hệ thống
1.4 Phép chập
1.4.1 Các tính chất cúa phép chập
1.4.2 Thực hiện phép chập
1.5 Phương trình sai phân
Chương 2. PHÀN TÍCH FOURIER
2.1 Mớ đầu
2.2 ĐÁP ƯNG TẲN s ố
2.3 CÁC BỘ LỌC
2.4 LIÊN KỂT NỐI CAC HỆ THỐNG
2.5 BIỂN ĐỐI FOURIER THỜI GIAN RỜI RẠC
2.6 CÁC TĨNH CHẤT CUA DTFT
2.7 CÁC ƯNG DỤNG
2.7.1 Các hệ thống tuyến tính—bất biến và các phương trình sai phàn tuyến tính hệ sị hằng
2.7.2 Thực hiện phép chập
2.7.3 Giải phương trình sai phân

2.7.4 Hệ thống khả đảo
Bài tập
CÁC BỘ LỌC
Chương 3. LẤY MẪU
3.1 MỞ ĐẲU
3.2 BIẾN ĐỔI TƯƠNG Tự THÀNH số
3.2.1 Lấy mẫu tuần hoàn
3.2.2 Lượng tử hóa và mả hóa
3.3 BIẾN đ Ịi s ố THÀNH TƯƠNG Tự
3.4 XỬ LÝ CÁC TÍN HIỆU TƯƠNG T ự THEO THỜI GIAN RỜI RẠC

3.5 BIẾN ĐỔI TỐC Độ LẤY MẪU
3.5.1 Giảm tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số nguyên
3.5.2 Tăng tốc độ lây mẫu bởi một thừa số nguyên
3.5.3 Biến đổi tốc độ lấy mẫu bởi thừa số hữli tỉ
BÀI TẬP
Chương 4. BIỂN ĐỔI z
4.1 MỚ ĐẨU
4.2 ĐỊNH NGHĨA BIẾN Đổl z
4.3 CÁC TÍNH CHẤT
4.4 BIỂN ĐỔI z NGHỊCH
4.4.1 Khai triển thành các phân thức đơn giản
4.4.2 Chuỗi lũy thừa
4.4.3 Tích phân đường
4.5 BIẾN ĐỔI z M.ỘT PHÍA
BÀI TẬP
Chương 5. PHÂN TÍCH HỆ THỐNG s ử DỤNG BIẾN Đ ổl z
5.1 Mở đầu
5.2 HÀM HỆ THỐNG
5.2.1 Tính ốn định và nhân quả

5.2.2. Các hệ thống nghịch đảo
5.2.3 Đáp ứng xung đơn vị ciía các hàm hệ thống hữu tỉ
5.2.4 Đáp ứng tần số của các hàm hệ thống hữu ti
5.3 HỆ THỐNG CĨ PHA TUYẾN TÍNH

3
4
5
7
7
7
7
7
8

8
8
8

9
10
10
12
12

13
14
31
31
31

32
33,
33
34
35
35
36
36
36
37
38
50
50
50
50
51
52
53
54
54
55
55
57
68
68
68

70
71
71

72
72
72
73
84
84
84
84
85
86
86

87


m
5.4 B ộ LỌC CHO QUA MỌI TẦN s ố
5.5 HẸ THỐNG CÓ PHA TỐI THIỂU
5.6 HỆ THỐNG CÓ HỔI TIẾP
BÀI TẬP
Chương 6. BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
6.1 MỞ ĐẢU
6.2 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC
6.3 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC
6.4 CÁC TÍNH CHẤT CỬA DFT
6.5 LẤY MẪU DTFT
6.6 CHẬP TUYẾN TÍNH SỬ DỤNG DFT
BÀI TẬP
Chương 7. BIẾN Đ ổl FOURIER NHANH
7.1MỞĐẲU

7.2 CÁC GIẢI THUẬT FFT c ơ s ố 2
7.2.1 FFT phân chia theo thời gian
7.2.2 FFT phân chia theo tần sô
7.3 GIẢI THUẬT FFT Đ ốl VỚI N PHỨC HỢP
7.4 FFT THỬA SỐ NGUYÊN Tố
BÀI TẬP
Chương 8. THựC HIỆN HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC
8.1 MỞ ĐẲƯ
8.2 MẠNG SỐ
8.3 CÁC CẤU TRÚC CỦA HỆ THỐNG FIR
8.3.1 Dạng trực tiêp
8.3.3 Bộ lọc có pha tuyến tính
8.3.4 Lấv mẩu tần số
8.4 CÁC CẤU TRÚC CÚA HỆ THỔNG IIR
8.4.1 Dạng trực tiếp
8.4.2 Cấu trúc ghép nối tầng
8.4.3 Cấu trúc song song
8.4.4 Cấu trúc chuyến vi (transposed structure)
8.4.5 Các bộ lọc cho qua mọi tần số
8.5 CÁC B ộ LỌC DÀN
8.5.1 Các bộ lọc dàn FIR
8.5.2 Các bộ lọc dàn chi cỏ cực
8.5.3 Các bộ lọc dàn ĨIR
8.6 CÁC ẢNH HỨỞNG CỦA CHIỂU DÀI TỬ HỮU HẠN
8.6.1 Biểu diễn sô' dưới dạng nhị phân
8.6.2 Lượng tử hóa các hệ số cua bộ lọc
8.6.3 Nhiễu làm tròn
8.6.4 Ghép cặp và sắp thứ tự
8.6.5 Tràn
BÀI TẬP

Chương 9^THIẾT KẾ Bộ LỌC số
9.1 MỞ ĐẦU
9.2 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA BỘ LỌC
9.3 THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR
9.3.1 Thiết kế bộ lọc FIR có pha tuyến tính sử dụng các cửa sổ
9.3.2 Thiết kế bộ lọc lấy mẩu tần số
9.3.3 Bộ lọc có pha tuyến tính đồng độ gạn
9.4 THIẾT KẾ BỘ LỌC IIR
9.4.1 Cấu mẫu bộ lọc tương tự thông thấp
9.4.2 Thiết kế các bộ lọc IIR từ các bộ lọc tương tự
9.4.3 Các phép biến đổi tần số
9.5 THIẾT ĩ ắ BỘ LỌC DựA TRÊN PHƯƠNG PHÁP CÁC BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT
9.5.1 Xấp xỉ Padé
9.5.2 Phương pháp Prony
9.5.3 Nghịch đảo các bình phương nhỏ nhất FIR
BÀI TẬP

MỤC LỤC
88

89
90
90
100
100
100

101
101

104
104
106
117
117
117
117
119
120

123
124
133
133
133
133
134
134
135
135
135
136
136
137
137
137
137
139
140
140

140
141
142
144
144
144
166
166
166
166
166
168
169
170
171
173
175
175
176
176
177
177


Chương 1 : T in h iệ u và h ệ th ố n g

I

Chương 1

T ÍN H IỆ U VÀ H Ệ T H Ố N G
1.1 MỞ DẦU
Trong chương này ta sẽ bắt đầu tdiảo sát việc xứ lý tín hiệu sỏ' (digital signal processing) bằng cách mở rộng khái niệm về tín hiệu
thời gian rờỉ rạc (discrete-tim e signal) và hệ thống thời gian rời rạc (discrete-tim e system). Ta sẽ tập trung giải quyết các vấn đề
liên quan đến : cách biểu diền tín hiệu, các thao tác trên tín hiệu, các tính chất của tín hiệu, phân loại hệ thơng và các tính chât của
hệ thông. Trước tiên trong mục 1.2, ta định nghĩa một cách chính xác tín hiệu thời gian rời rạc là gì, kế đến sẽ trình bày một sơ'
phép tốn cơ bán nhưng quan trọng sẽ được thực hiện trên các tín hiệu thời gian rời rạc.
Trong mục 1.3, hệ thơhg thời gian rời rạc được khảo sát. các khái niệm đặc biệt quan trọng được đề cập đến bao gồm: tuyến tính
(linearity), bất biên (invariance), nhân quả (causality), ổn định (stability) và khả đảo (invertibility). Chương này cũng trình bày vân
dề quan trọng sau : nếu các hệ thông là tuyến tính và bát biến, tín hiệu ngõ vào và tín hiệu ngõ ra của hệ thơ'ng sẽ quan hệ với nhau
bằng một tổng chập (convolution sum). Các tính chất của tổng chập và các phương pháp dùng đế’ thực hiện phép chập (convolution)
được đề cập đến trong mục 1.4,
Sau cùng trong mục 1.5, ta sẽ khẩo sát các hệ thống thời gian rời rạc được mô tả dưới dạng phương trình sai phán (difference
equation).
x(n)

1.2

TÍN HIỆU THỜI GIAN RỜI RẠC

Tin hiệu thời gian rời rạc là một chuồi có chi sỏ''(dược định chi sô)
các sO' thực hoặc số phức. Như vậy tin hiệu thời gian rời rạc la
hàm cUa biẻ.n cỏ gia trị n^iyên n (biến nguyên n), ta ký hiệu la
x(n). Mặc đù biẻ'n dộc lập n khOng nhâ't thlè't phai biểu diễn “thời
gian" (n. thi dụ. cO thế' tương ứng với tọa độ trong khOng gian hoặc
khoáng cách), một cách tổng quát. x(n) thường dược hiểu la ham
theo thời gian. Tin hiệu thơi gian rời rạc khOng dược dinh nghĩa
dỏl với các blè.n n khOng phải la biê'n nguyên. Do vặy một tin hiệu
cO gia trị thực x(n) sè dược biểu điền bằng đổ thị ơ dạng gián dồ
lollipop như dược trinh bầy trong hinh 1.1.

Trong nhiều bài toán cUng như nhiều ứng dụng, đế thuận lợi ta xem x(n) như la một vector. Các gia trị từ x(0) dê'n x (N -l) cUa chuỗi
thương dược khao sát như la các phần tư cUa một vector cột như sau :

X = [x(0). x ( l) ١..., x(N - l)]T

ThOng thường ta nhận dược các tin hiệu thời gian rời rạc từ việc lấy mầu một tin hiệu thời gian liên tục (continuous-time signal)
(chắng hạn tiẻ.ng nói) kê't hợp với bộ biẻ'n dổi tương tự-sơ' ADC (analog to d is ta l converter). Thi dụ tin hiệu thơi gian liên tục Xft(t)
dược lảy mầu với tần số lấy mầu la fg : l/Tg tnghĩa la trong 1 sec ta cO fg mầu) dế tạo ra tin hiệu dược lấy mầu (thơi gian rời rạc)
x(n). x(n) quan hệ vơi Xa(t) như sau : x(n) = XgínTg)
Tuy nhiên khOng phải tất cả cấc tin hiệu thời gian rời rạc dều có dược theo cách trên. M ột,sỗ't٤n hiệu dược khảo sát la các chuỗi xuất
hiện một cách tự nhiên theo thơi gian rời rạc mà khOng cần dê'n bộ biê'n dổi tương tự-sô' ADC dể b٤ê'n dổi tin hiệu tương tự thanh
tin hiệu thời gian rơi rạc. Các thi dụ cho tỉn hiệu loại 'nay bao gồm ^ a cả hang ngầy trên thị trương cổ phiê'u, thống kê dân số, kiểm
kê kho hang va cấc sỗ' vệt den ở bề mặt cUa mặt trơi.

1.2.1 C huồi p h ứ c
Một cách tơ.ng quát, tin
các tin hiệu phức phát
(imaginary part), z(n) =
pha (phase). z(n) =

hiệu thời gian rời rạc cO thế có giá trị phức. Thật vậy,trong một số I^g dụng quan trọng như thông tin số,
sinh một cách tự nhiẻn. Tin hiệu phức có thể dươc biểu điền bằng các phần thực (real part) va phần ảo
a(n) + jb(n) = Relz(n)l + jlm(z(n)J hoặc dược biểu điển ở dạng cực ( polar form) theo biên độ (amplitude) va
lz(n)!expũarg!z(n)íl. Biên độ có thể dược suy ra tư các phần thực va phần ảo như sau :

I z (n ) ‫ ا‬2 ‫ ت‬Re2{z(n)} + Im2(z(n)}, trong khi do pha dươc tinh theo cOng thức arg{z(n)} = tan ‫ ل‬Im{z(.p)Ị .
Reíz(n),
Nếu z(r،) la một chuỗi phức. Hên hợp phức (complex conjugate) ký hiệu la z*(n) dược .thanh lập bằng cấch thay dổi dấu trong phần ảo
cUa z(n١-: z*(n) = R ejz(n)‫ ؛‬- jlm {z(n)í = Iz(n) 1exp [-jarg|z(n )ỉ]

1.2.2 Các ch u ỗ i cơ b ản
Mặc du hầu hê't các tin hiệ‘u mang thOng tin trong thực tế la các hàm phức tạp theo thời gian (complicated functions of time), ta có
ba tin hiệu thời gian rời rạc tuy dơn giản nhưng quan trọng và thường dược sứ dụng dể biểu điền va mô tả cấc tin hiệu phức tạp hơn.
Các tin hiệu thời gian rời rạc cơ bản này la : xung dơn vị (unit sample), nấc dơn vị (unit step) vả hàm mU (exponential). Tin hiệu
1
n =0
xung d^n vị. ky hiệu la ỗ(n), d.ược định nghĩa như sau : ỏ(n) =
0
các trường hợp khấc
Tin hiệu xung dơn vi trong xừ lý tin hiệu thời gian rời rạc cO cUng vai trơ với tin hiệu xung dơn vị trong xử ly tin hiệu thời ^ a n liên
1
n>0
tục. TÍR hiệu nấc dơn vị, ký hiệu la u(n), dược định nghĩa như sau : u(n)
٠
các trương hợp khấc
n
Ta có quan hệ giữa tin hiệu xung dơn vl và tin hiệu nác dơn vị như sau : u(n)= l ỗ(k)
k = -x


‫ا‬

Chương 1 : T in h iệ u và h ệ ،h ố n g

8

Tương tự. một xung đơn vị có thể dược viết thành sai biệt cUa hai tin hiệu nầ.c dơn V‫ ؛‬: ^(n) = u(n) - u(n - 1)
Sau cUng, chuồi ham mủ dược định nghĩa bơi x(n) : a" trong

do a

là sỡ' thực hoặc sò' phức. Chuỗi hàm mU có tầm quan trọng dặc biệt

khi a = ‫ 'اﻻوج‬với ( ١٠‫ ا‬là một sỏ' thực. Trong trường hợp nồy, x(n) la một hàm mU phức. ‫'وج‬١'‫ = 'ا'د‬cos(n(٠jọ) + jsin(n،٠)()l
Như ta sẽ thấy trong chương kế tiếp, các hàm mU phức rất hl^j ích trong phàn rà Fourior (Fourier decomposition) các tin hi^u.

1.2.3 K h o ả n g ،h ờ i g ia n củ a ،ín h iệ u
Dế dược thuận lợi. ta cố thè' phân loại các tin hiệu thơi gian rời rạc dựa vào khống thời gian (hay cịn gọi là kích thước) cUa chUng.
Thi dụ. một chuồi thời gian rời rạc dược gọi la chuồi cO chiều dài hữu hạn (finite len ^ h sequence) nẽ'u chuồi nàv bằng ٠ đòi với mọi
gia trị cUa n nằm ngoai khodng hữu hạn [N ỉ. N 2 ]. Các tin hiệu có chiều dài không hửu hạn. chẳng hạn tin hiệu ná'c dơn ٣ ‫ ؛‬và hầm
mủ phức, dược gọi la cắc chuồi cO chiều dài vỏ hạn (infinite length sequence). Thèm vào do. các chuồi có chiều dài vO hạn cOn dược
phân loại thành chuồi hướiìg bên phải (right-sided sequence), chuỗi hướng bên trái (left-sided sequence.) và chuỗi hai hương (twosided sequence). Chuỗi hướng bèn phai la một chuồi cO chiều dài vô hạn nhưng bằng 0 do'1 với mọi giá tr‫ ا‬cUa n < ‫ ا (اا‬vơi II() la một sỏ
nguyên bá't ky (ta cOn gọi la chuOi bị chận trái). Tin hiệu nả'c dơn vị la một thi dụ cua chuồi hương bên phai. Tương tự một chuồi có
chiều dài vô hạn xtn) dược gọi la hướng bên trái (hay bị chận phai) nếu với một sò' nguyên no nào dó١ x(n) = 0 với mọi n > n‫)؛‬. Một
thi du cho chuỗi hướng bên trái la : x(n) :: u(n,-) - n ) : ]

“ ٥
n>n٥

0‫إ‬

Chuỗi này la tin hiệu na'c dơn vỊ bị dao ngược thời gian và bị trl hoãn. Tin hiệu cO chieu dai vỗ hạn mà không bị chận trái cUng như
khOng bị chận phai. chẮng hạn như tin hiệu hàm mU phức, dược gọi la chuồi hai hướng.

1.2.4 C h u ỗi tu ầ n h o à n và khOng tu ầ n h oàn
Các tin hiệu thời gian rời rạc luOn luOn có thế dược phân loại thành chuồị tuần hồn (periodic) hoặc chuỗi khOng tuần hoàn
(aperiodic). Tin hiệu x(n) dược gọi la tuần hoàn nê'u với một sỏ' n ^ ê n dương N ١ ta cO x(n) = x(n + N)
(1.1)
với mọi n. Diều này cOn cO. nghĩa la chuối tự lặp lại sau mỗi N mẫu. Nê'u một tin hiệu la tuần hoàn vỢi chu kỳ N. tin hiệu này cUng
tuần hoàn VỚI chu ky 2N. 3N va. mọi bội sô' nguyèn khác cUa N. Chu ky cơ ban. nià ta ký hiệu la N, la sỏ nguvèn dương nhO nhả.t

thOa phương trinh ( 1. l ٠. Nẽ'u phương trinli (1.1) khOng thOa với bất ky sO nguyên N nao. x(.n) dược gọi la tin hiệu khOng tuần hoàn.
T hl du 1.2.1 : Các tin hiệư

n>0

Xj(n) = a"u(n) =

11 < 0

dó tin h iệu ‫ﺀل‬:‫لﺀا‬١‫ب‬: ‫ح‬٠
‫ل‬

và X2ín ) = cos(n'^) là các tín h iệu k h ơ n g tuần h oàn , tr o n g khi

là tin h iệu tuần h ồn và. có chu ky cơ bản N = 16.

Nếu X iín) la chuồi tuần hoàn cO chu ky la Ni và X‘2 (n) la chuỗi tuần hoàn khác cơ chu ky la N 2 . tống
x(n)

= X ì ( n ) + X2 ( n )

luOn ln tuần hồn và có chu ky cơ ban la N

NiN'2
gcd(Ni.N^)

(1.2)

= —

trong dó gcd (Nj. N 2 ) la ước số chung lớn nhâ't (^ e a te st common divisor) cUa N ١ và N 2 . Diều này cùng dUng vơi tích cUa hai tin hiệu
tuần hoàn‫ ؛‬nghĩa la x(n) : Xi(n)x2(n) cUng la tin hiệu tuần hồn có chu ky N cho bớl phương trinh (1.2), tuy nhiên chu kỳ cơ ban cO
the’ nhO hơn.
Cho một chuồi bà't ky x(.n), một tin hiệu tuần hoàn ln luOn c ó ' thế dược thành lập bàng cách lặp lại x(n) như sau :
X.

y (n )‫ح‬

1.2.5

x(n - kN) trong dó N la một sỗ' nguyên dương va y(n) la tin hiệu tuần hoàn cO chu ky la N.

C h u ỗi đ ô i x ứ n g

Thông thường một tin hiệu thời ^ an rời rạc sẽ bao gồm một dạng dối xứng (form of symmetry) nào do mà ta có the' khai thác khi
giải cấc bài tốn. Hai dạng dối xứng quan trọng dược trình bay dưới dây.
Đ ịnh n g h ĩa ‫ ؛‬Một tin hiệu có giá tri thực dược gọi la chẵn (even) nê'u với mọi n. x(n) = x(-n) trong khi do một tin hiệu dược
gọi la le (odd) nê'u với mọi n, x(n) = -x (-n )
Một tin hiệu bất ky x(n) cơ thể dược phân rà thanh tổng của phần chẵn Xg(n) và phần le x٥(n) như sau :
x( n )

Đế' tlm phần chãn cUa x(n)

ta thành lập tổng

=

Xg( n )

+

x٠ ( n )

Xe(n) = i[x (n ) + x (-n )l. và dẻ' tim phần lẻ

(1.3)

cUa x(n) ta thành lập

hiệu

x٥(n) = ‫ ي‬lx(n) ‫ ﺀ‬x(-n)l . Với các chuỗi phức, các dạng dối xứng quan trọng có khác một ít.
Đ ịn h n g h ĩa ‫ ؛‬Một tỉn hiệu phức dược gọi

la dOi xứng liên

hợp (conjugate symmetric) nê'u vơi mọi n, x(n) = x^(-n)

và một tin hiệu dược gọi la phản dối xứng liên hợp (conjugate antisymmetric) nếu với mọi n, x(n) = - x^(-n)
Một tin hiệu phức bả't ky luôn luôn dược phàn rả thanh tOng cUa tin hiệu dOi xứng liên hợp và tin hiệu phản dOi xưng liên hợp.

1.2.6

C ác th a o ta c ،r ê n tin h iệ u

Trong khi khao sat các tin hiệu và hệ thOng thơi gian rời rạc, ta sẽ phải liên hệ dê'n các thao tác trên tin
các thao tác này la kết hợp cUa một vài phép biến dổi cơ ban trên tin hiệu. Các phép biê'n
dổi này cO thế'

hiệu. Một cách

dược phân loại

tống q
thanh


Chương 1 : T ín h iệ u và h ệ th ố n g

9

‫ا‬

phep biến đối theo b‫إ‬ẻ'n dộc lập n hoậc thành các phep biẻ.n dô'i theo biên độ CLÌa x(n) (nghĩa la biẽ.n phụ thuộc). Trong hai mục nhO
sau dâv t.a sè xem xet vắn tắt hai loại phép biè.n dối này va liệt kẽ các phép biẻ.n dOi thường gặp nhâ't trong các ứng dụngC ác p h é p b iến d ổ i th e o bỉê'n d ộ c lập
ThOng thường cắc chuồi dược biê.n dổi và dược thao tac bằng cdch sưa dồi chi sô' n như sau : y(n) = x(hn)). trong dO ٢(n) la một hàm
nào dO cUa n. Ne'u có một giá trị nào dO cUa n làm cho f(n) khOng phai la một sO nguyên. y(n) = x(٢(n)) khOng xác định. Việc xác định
anh hương cUa việc sứa dổl. chỉ số n luOn luOn cO thế' thực hiện dược bằng cách sư dụng phương phap liệt ke dạng bang dơn gian, với
mỗi một g‫؛‬á trị cUa n ta tinh giá trị cUa f{n) và kè' dè'n thiet lặp y(n) = x(fín)).
Tuy nhiên với nhiều phép biến dổi chl sO. diều này khOng cần thiẻ.t và chuồi có thè' dược xác định hoặc vè dồ .thị trực tiê'p. cac phép
biè'n dối thOng dụng nhất bao gồm dịch, dảo ngược va lặp ti lệ dược định nghla dưới dây.
T ịnh tiê'n (dịch) (shiftin g) : dày la phép biến dối dược xác định bơi fĩn) = n - n٠). ^è'u y(n) = x(n - na), x(n) dược dịch sang phai
lìn

mầu nẻ'u n.) dương (tương ứng với một trl hoàn>. và x(n) dược dịch sang trái n،. mầu nếu n.,) àm (tương ứng với một tiến tớl).

D ảo ngược (re v ersa l) ‫ ذ‬phep bie'n dỏ'l này dược cho bơi f(n) = - n va dơn thuần bao gồm việc hốn dổi tin hiệu x(n) tương
ơng vơi chl sơ' n.
Lập tí lệ thời gia n (tim e sc a lin g ) : phép biẻ'i١ dOl này dược xác định bới f(n) = Mn hoặc f(n) = n ^ trong đó M và N la các
sỏ' nguyên dương. Trong trường hợp fin) = Mn. chuOi xí^lnỉ dược thành lập bang cách trích lây các mầu thứ M cUa x(i١٠ ‫ ؛‬thao
tac này cOn dược gọi la lâ'y mầu xuOng [down-sampling). Với fín) = n ^ . chuỗi y(n) = x(f(n)) dược xác định như sau :

0‫ ﺗ ﺎ ل‬. ± N .

y ( n ) : ‫؛‬x [ N j
٧

2N.

Thao tác này còn được gọi là lây mầu lén [up-sampling].

các trường hợp khác

(^ac thl dụ cho cdc ^hép bièn dổi : dỊch. dao ngược va lap tl lệ thời gian cho một tin hiệu dược minh họa ơ hinh 1.2.
(١ac thao tác dịch, dao ngược va lập ti lệ thời gian la cac t.hao tác phụ thuộc vào thứ tụ. Do vậy. ta cần phải cẩn thản trong việc tinh
toan cắc kèt hợp cua cãc thao tac này. tTinh 1.3 la một thi dụ cho ta thay hai hệ thOng, một hẹ bao gồm khâu trl hoán dứng ti.ước
khau d ‫؛‬١o ngược cOn hệ kia cO khâu trl hoàn dưng sau khau dao ngược. Như ta da tha'y trơn hinh vẽ. các tin hiệu ngO ra cUa hai hệ
t.hỏng nêu trơn khơng giỏ.ng nhau.
C ộng, n h â n và lập tĩ lệ. Các phép biê'n dổi b ièn độ thư ờng dUng nhả.t là
cộn g, lìh â n và lập ti lộ. V iệc thực h iện cắc phơp tốn n ày k h ơ n g phức
xirv

tạp và chi bao gồm chc p hép toắn trên từ ng đ iểm cda tin hiệu.
C ộng : tong ciía hai tin hiệu vin) = Xiín) + X2{ii)
-/< !!< '/
hiện bằng cách cộng từng điếm các gia ti٠ị cUa các tin hiệu.

‫ب‬3

dươc thực

2

^ â n : tích c‫اا‬a hai tin hiệu y(n) = x١(n)x٠
^(n)
-■/ < n < + Í dược thực
hitn bang chch nhan tlmg điểm các
trị cUa cơc tin hiệu.

ỉ

‫ذ‬
1 2

2 -1

Lập tỉ lộ : lạp t.i lệ t.heo bièn độ cUa một tin hiệu x('n) bơi một hàng số'
c dược thực hiện bang cách nhân mồi một gia trị cUa tin hiệu với c,
y(n) = cx(n)
< n <‫ ز‬. Phep toan này cOn dược khảo sat
như la tích cua hal tin hiệu. x(n) và fin) = c.

3

ệ
8

►

a) Tin hiệu thời gian rời rạc

x í fì>

X‫ ؛‬H - 2)

3

."3

1 2

.-2

T

■1
.2 -1

1

2

3

4

5

6

I I
7 8

‫لط‬

‫ل‬

►

-8 -7 -6

٠"
‫ﻤﻟﻢ ﺪ‬

- 5 - 4 - 3 - 2 -1
-1

‫ﻤ‬

l

‫ﺗﻢ ﺑ‬

2

‫ ا‬c ‫ ر‬Đảo ngiíợc t.hơi gian

(b) Tri hoán bơi n, = 2

،K .\-0 ‫ أ‬/ 2 )
"3 .

.((í2n)

-‫ﻵ‬
n
‫ب‬
•2 -1

4

-l—i — ệ
5 6 7

1 2
3 4 5 6 7 8
(d) Lây mẫu xng bởi thừa sị' bằng 2

- 2 -1

٠٠
٠

١

-1
T
. ٠! ٠
1 2 3 4

V

٠
T
٠

5 6 ٦ % 9
(:e) Lâ'y mẫu lèn bơi thưa số bằng 2

‫ا‬

٠

‫ر‬

10 11

Ilìn h 1.2 : M inh họạ các ph،‫؛‬p biơ'n dổi : d ịch , diio ngược và lập ti lệ
1 .2 .7

P h ả n r ã t in h i ệ u

Xung đ(ơn vỊ có thế dược sư dụng dể phân rả một tin hiệu ngẫu nhiên \(n ) thành tổng cUa các xung dơn vỊ bị dịch và có trọng sỏ' như
sau : xí(n)= . . , + x(-l)ơ(n + 1) + x(0)cS(n) + x(l)ồ(n - 1) + xf2)(٩(ii - 2 ) 1


Chương 1 ; T ín h iệ u và h ệ th ố n g

H lO
Phân rà này có thê được viết một cách ngắ
gọn như sau:
x(n) = ^ x(k).ò(n

k - >٢

k)

x(n - rỤ

x(n)
Tn^

x (-n - n^)
Tr

W

(1.4)
(a) Trì hỗn 7٦n٠theo sau bởi đảo ngược thời gianTj.

trong đó mỗi một số hạng của tổng,
x(k)6(n-k), là một tín hiệu có biên độ
là x(k) ỏ thời điểm n = k và có giá trị
0 với mọi giá trị khác của n. Phân rả
này là phiên bản rời rạc của tính chât
dịch đơ.i với các tín hiệu thời gian liên
tục và được sử dụng trong phép lây
đạo hàm một tổng chập.

x(~n +

x (- n)

x(n)
T

Tn„

(b) Đ ảo ngược thời gian Trđược theo sau bởi trì h ỗn TĩĨQ
H ình 1.3 : Thí dụ m inh họa các th a o tá c trì hoăn và đảo ngược khơng giao hốn

1.3 CÁC HỆ THỐNG THỜI GIAN RỜI RẠC
Một hệ thống thời gian rời rạc là một toán tử toán học hoặc
y(n ) = T[x(n)]
phép ánh xạ biến đổi một tín hiệu (ngõ vào) thành một tín hiệu
٠►
khác (ngò ra) dựa vào một tập cố định các qui luật hoặc các phép
tốn. Ký hiệu T[.ì được dùng để biểu diền một hệ thống tổng
quát như được trình bày trong hình 1.4, trong hình này tín hiệu
ngõ vào x(n) được biến đối thành tín hiệu ngõ ra y(n) thòng qua ĩĐ nh 1.4: Biểu diễn hệ thống thời gian rời rạc như là phép biến
đổi T[.] ánh xạ tín hiệu ngỏ vào x(n) thành tín hiệu ngỏ ra y (n ).
phép biến đối T[.]. Các tính chât vào-ra cúa một hệ thống có thế
được chỉ ra theo một trong nhiều cách khác nhau.
lyiối quan hệ giữa tín hiệu ngõ vào và tín hiệu ngõ ra١ thí dụ, có thế được biểu thị nhờ vào một qui luật toán học hoặc một hàm toán
học, chẳng hạn như : y(n) = x“(n) hoặc y(n )= 0.5y(n - 1) + x(n)
Tuy nhiên ta cịn có thế mị tả một hệ thống bằng một giái thuật, giái thuật này cung cấp một chuồi các lệnh hoặc chuồi các phép
toán áp dụng trèn tín hiệu ngõ vào. chắng hạn như là
yi(n) 0.5 =‫؛‬yj(n - lì + 0.25x(n)
y 2Ín) = 0.25y'An - 1) + 0.5x(n.
y.'i(n) = 0.4y3Ín - 1) + o.õxín)
y(ní = yi(n) + y>(n) + y;‫(؛‬n)
Trong một sô. trường hợp. đẽ thuận lợi, một hệ thống có thế dược xác định băng một báng, bạng này định nghĩa tất cã các cặp tín
hiệu vào-ra mà ta quan tám.

Các hệ thống thời gian rời rạc có thề được phán loại dựa vào các tính chất mà hệ thống cỏ được. Các tính chất quan trọng thường dùng
nhất là tuyến tính, bất biến, ỉìhân quả, ổn định và khả đáo. Các tính chất này. cùng với một vài tính chất khác được mơ tả trong mục sau.

1.3.1 C ác tín h c h ấ t củ a hệ th ố n g

،٠

H ệ th ố n g k h ơ n g nhd. T ín h c h ấ t đầu tiè n này liê n quan đ ến m ột h ệ th ố n g có h oặc k h ơn g có bộ nhớ.
Đ ịn h n g h ĩa : Một hệ thống được gọi là không nhớ (memoryless system) nẽu tín hiệu ngõ ra ỡ thời điểm n = n‫ )؛‬bát kỳ chi
phụ thuộc vào tín hiệu ngõ vào ớ thời điếm n = noNói cách khác, một hệ thống khơng nhớ nếu với n.) bất kỳ. ta có khả náng xác định giá trị y(no) mà chí nhờ vào giá trị x(no) cho trước.
T h í du 1.3.1 : H ệ th ố n g : y (n ) = x‫(^؛‬n) là hệ thống khơng nhớ vì y(no) chỉ phụ thuộc vào giá trị ciia xín) ở thời điểm no■
Hệ thô.ng y(n) = x(n) + x(n “ 1) ngược lại không phải là hệ thống không nhđ do bdi tín hiệu ngõ ra ớ thời điếm no phụ thuộcvào
giá trị của tín hiệu ngõ vào ớ cá hai thời điểm no và no - 1.
T ính ch ấ t c ộ n g

١

Một hệ thống có tính chất cộng là hệ thống mà đáp ứng đơì vdi tổng của các tín hiệu ngỏ vào bằng với tống cúa các đáp ứng đơ.i với
từng tín hiệu ngõ vào riêng rè.
D ịnh n g h ĩa : Một hệ thông được gọi là hệ thơng có tính chất cộng (additivity) nếu T[xi(n) + X2(n)] = T[xi(n)] + T(x2(n)]
với Xi(n) và X2Ín) là các tín hiệu bát kỳ.
T ính th u ầ n nhâ't
Một hệ thống được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu việc lập tỉ lệ cho tín hiệu ngõ vào bới một hằng số dẫn đến việc lập tỉ lệ cho
tín hiệu ngõ ra bới cùng một hằng số.
Đ ịnh n g h ĩa : Một hệ thông được gọi là thuần nhát nếu T[cx(n)] = cT(x(n)] với c là hằng số phức bất kỳ và x(n) là chuỗi ngõ
vào bât kỳ.
Thí du 1.3.2 ; Hệ thơhg định nghĩa bởi y(n) =

T[xt(n)] + TíxoCn)] =

x‫ ( ؛‬n )
'

Xọ(n)

X i(n -l)

h iệu ngõ ra là T[cx(n)l
có tín h ch ấ t cộn g v ì

X 2 (n -1 )

(cx(n))^

c x ( n - l)

(Xi(n) + X2(n))^
x^(n)
khơng có tính chất cộng bởi vì T[x|(n) + X.2 (n)l =
x(n -1 )
X l(n -1 ) + X 2(n -Í)

k h ác với

. Tuy n h iê n , h ê thơ.ng n ày có tín h th u ầ n n h ấ t do bởi với tín h iê u ngõ vào cx(n), tín
x٠^(n)
= cT (x(n)l. H ệ th ố n g được đ ịn h n g h ĩa bởi phương tr ìn h y (n ) = x(n ) + x*(n ٠٠ 1)
x ( n -l)

[Xi(n) + X2(n)l + (xj(n - 1 ) + X2 (n -1 )] = [xj(n) + Xj(n -1)1 + [x 2 (n) + x ‫( ؛‬n ~ 1)] . T uy n h iê n , h ệ th ô n g n ày

k hôn g có tín h thuần n h ấ t vì đáp ứng đối với cx(n) là T[cx(n)] = cx(n) + c*x*(n - 1) khác với cT[x(n)] = cx(n) + cx*(n - 1)


11 I

Chương 1 : T in h iệ u và h ệ th ố n g
Hệ thông tu y ế n tin h
Một hệ thong có tínli chất cộng và tinh thuần nhất dược gọi là hệ thống tuyến tinh (linear system).

Đ ịnh n g h ĩa ‫ ؛‬Một h ệ th O n g dược 'gọi là t u y ế n t in h n ế u T [ a iX i( n ) + a 2X2( n ) l = a iT [ x i(n ) ,l + a 2T [ x 2{n )ì với X Ị(n ), X2(n ) là các t in
٩

^iệu n g õ vào b ấ t kỳ và a i . a ‘2 lả các h ằ n g số phức b ấ t ky.

Tinh tu./ến tinh cUa hệ thô.ng làm dơn giản rất nhíều việc tinh tốn dáp ứng cUa một hệ thống dối vdl t.ín hiệu ngO vầo cho trước.
Thi dụ, bằng cách sứ dụng phân rả x(n) cho trong phương trinh (1-4) và sư dụng tinh chat cộng, tin hiệu ngO ra y(n) có thể dược viết
‫ﺀ‬

lại như sau y(n) = T[x(n)] = T' l

٦

x(k)0(n - k)

٠kr -7

X

:

‫ل‬

z

T f x ( k ) ổ ( n k ) l. Do các hệ số x(k) là các hằng số, ta có thể sử dụng tinh chat

k‫ ؛؛‬- X

thuần nhất đế' dược : y(n)= z T [x(k )ồ(n -k )!= z x(k)Tl،٩( n - k ) !
k-.z
k: X

(1.5)

N ếu ta đ ịn h n g h ĩa hỉt(n) là dap ứ n g cUa h ệ th ố n g dối với x u n g dơn v ị ở th ờ i đ iể m n = k ,-h k (n )= , T[ồ(n - k))
Phương trinh (1.5) trơ th àn h : y(n)^^ z
k

x(k)h^(n)

(1.6)

‫م‬

Phương trinh (1.6) còn dược gọi la tOng chồng chập (superposition summation).
T inh bất biê'n. Khi một hệ thOng cO tinh châ.t la sự tri hoàn ơ tin hiệu ngồ vảo bởi n() dẫn dê'n tin hiệu ngỏ ra cUng bị trl hoàn bới
‫ل‬١‫ا‬,). hệ thOng dược gọi la hệ thOng có tinh bất biến hay hệ thOng bất biến (shift-invariant system).
Đ ịnh n gh la : Gọi y(n) la dáp ứng cUa hệ thOng đối với tin hiệu ngô vào ngẫu nhiên x(n). Hệ thOng dược gọi la bat bíến nếu, với
một trl hồn no bà't ky. dap ứng dối với x(n - no) la y(n - n{)). Một hệ thống khOng bất biến dược gọi la hệ thống thav dổi.
Trẻn thực tè٠, một hệ thOng sè bà't bia'n nẻ.u cắc tinh chat hoặc các dặc trưng cUa hệ thOng khOng thay dổi theo thời gian. Dể kiể'm tra

tinh bat biê.n. ta cần so sánh y(n

n.j) với T[x(n - no.1. Nếu kết ٩uả gio'ng nhau vớ٤ tin hiệu ngO vào x(n) bá't ky va với mọi tri hoản

‫ﻟﻞ‬0‫ ا‬hệ thOng có tinh bâ't biẻ'n.
T h i du 1.3.3 :

Một hệ thỏ.ng dược định nghĩa bơi yín. = x٩ n) la hệ thOng bất biến, điều này dược chứng minh như sau. K hi y(n) = x٩ n) la dap ứng cUa
hệ thống đối với tin hiệu ngỡ vào x(n), dap ứng cUa hệ thô.ng dối với tin hiệu x ٩n) = x(n - n )) la y'(n) = tx'(n)l^ = x٩ n - n٥)
Do y'(n) = y(n - m١) nèn hệ thOng cO tinh bâ't b٤ến. Tuy nhièn, hệ thống dược mị ta bới phươiìg trình y(n) = xín) + x(-n) la hệ thống thay
dồi. Đế thấy dược diều này, ta cần lưu y la dấp ứng cUa hệ thOng dOi với t٤n hiệu ngO vào x(n) = ^n) la yín) = 6(n) + ^ -n ) = 2ỗ(n) trong khi
dáp ứng dOi với x (n - ! ) = ^ n - 1) la y'(n) = ^ n -1 ) + ^ -n - 1) khác với y(n _ ! ) = 2^n - 1). Vậy hệ thống khOng cO tinh bất biến.
Hệ thô.ng tu y ế n tin h v à b ấ t b iế n
Một hệ thỏ.ng vừa cO tinh tuyẽ'n tinh vừa có tinh bat biẻ'n dược gọi la hệ thố.ng tuyẻ'n tinh và bat biẻ'n LSI (linear shift-invariant
system ‫ا‬. Nê'u h(n) la-dáp ứng cUa hệ thOng LSI dOi với xung dơn vị ơ(nJ. dáp ứng dối với 6( n - k) se la h(n - k). Như vậy tổng chồng
٠
1
chập chf) ơ phương trinh (1.6), hk(n) = h(n-k) dược viê.t như sau y(n) ‫ ت‬z x(k)h(n - k)
(1.7)

k ،
Phương trinh (1.7), còn dược gọi la tỏ'ng chập) dược viẽ.t thành y(n) = x(n) ‫ ب‬h(n) trong dó ‫ ب‬la toán tư chập (convolution operator).
Chuồi h(n), dáp.ứng dỗ'i với xung dơn vị (unit sample response), cho ta một dặc trưng dầy dU cUa hệ thỏ'ng LSI. Nói cách khác, dáp
ứng cUa hệ thOng dô٤ với tin hiệu ngO vào bâ't ky x(n) sè dược biết một khi ta biẽ't dược h(n).
T inh n h â n quả
Tinh nhân quá la một dặc tinh quan trọng cUa một hệ thOng trong các ứng dụng thời gian thực, tinh nhân quá dược d‫ ا‬nh nghía như sau :
Đ ịnh n g h la ‫ ذ‬Một hệ thOng dược gọi la nhan quá nếu với n . bà't kỳ, dáp ựng cUa hệ thó.ng ở thơi điểm no chi phụ thuộc vào
tin hiệu ngỏ vào cho dến thời điểm n = n٠,
Với một hệ thống nhân quả, việc thay dổi ở tin hiệu ngO ra không thể xảy trước sự thay dối ơ tin hiệu ngõ vào. Nếu Xi(n) = X2(n) với
n < n(). y^(n) phải bằng y 2(n) với n < n٥. Như vậy, các hệ thOng nhân quả có thế' dược xem như la hệ thỗ'ng khOng trước ky hạn

(nonanticipatory). Hệ thống LSI sẽ cO tinh nhân qud nếư và chi nếu h(n) bằng ٠ với n < 0.
Thl du Ị 3 .4 : Hệ thô.ng dược mỗ tá bơi phương trinh y(n) = x(n) + x(n - 1) có tinh nhân qưả do giá trị cda tin hiệu ngỏ ra ở thơi
điểm n = no bat kỳ chỉ phụ thuộc vầo tin hiệu ngO vào x(n) ở thời điểm n٥ và ớ thờỉ điểm (no - 1). Ngược lại hệ thOng 'dược mỗ tả
bới phương trinh y(n) = x(n) + x(n + 1) khOng có tinh nhân quá do tin hiệu ngõ ra ơ thời điểm n = no phụ thuộc vào giá trị cUa tin
hiệu ngO vào ơ thời điểm (no + 1).
T in h ổ n á ịn h
Trong nhiều ưng dụng, diều quan trọng dối với một hệ thOng la dáp ứng y(n) cUa hệ thỗ.ng phải có biên độ dược ^ ớ i hạn mỗi khi biên
độ tin hiệu ngõ vảo bị gĩới hạn. Một hệ thOng có tinh chat này dược gọi la hệ thồ'ng ổn dinh theo nghĩa ngơ vào giới hạn va ngơ ra
giới hạn BIBO (bounded-input-bounded output).
Đ ịnh n g h la ĩ Một hệ thô'ng dược gọi la ổn định theo nghĩa BIBO nẽ'u với một tin hiệu ngõ vầo bị ^ ớ i hạn bất ky, lx(n)l < A
< oo, ngõ ra sẽ bị ^ ớì hạn, 1yixì) I < B < 00


Chương 1 : T ín h iệ u và h ệ th ố n g

S l2

Với một hệ thống tuyến tính và bất biến, tính ổn định được đám bảo nếu đáp ứng đôi với xung đơn vị của hệ thơng là khả tống tuyệt

Ị hCn)l < X

đối :

(1.8)

11 '
Thí dư 1.3.5 ; Hệ thống LSI có đáp ứng xung dơn vỊ h(n) =u(n) sẽ ốn định với mọi la l < 1 do bởi
٢ Ih (n )! = ٢ i a !٠١ = —
„ ,‫؛‬
٠:í)

l - ‫؛‬al

I a k 1.

Ngươc lai hê thơng đươc mơ tá bới phương

trình y(n) = nx(n) khơng ốn đinh do đáp

ứng đơ1 với tín hiệu nác đơn vị x(n) = u(n) là y(n) = n.u(n) khơng bị giới hạn.
T ính k h ả đ ảo

Tính khá đáo là một tính chất quan trọng của hệ thống đơì với các ứng dụng như cân bằng kènh và giái chập. Một hệ thống được gọi
là khá đáo nếu tín hiệu ớ ngị vào cúa hệ thơng có thề được xác định một cách duy nhất từ tín hiệu ngõ ra. Đê cho
một hệ thỏhg
tính kha đáo. điều cần thiết là các tín hiệu ngõ ra phân biệt được tạo ra từ các tín hiệu ngõ vào phân biệt. Nói cách
khác, vớihai t
hiệu ngõ vào bất kỳ XỊÍn) và X9(n) mà Xi(n) 5‫ ؛‬X9(n)١
các tín hiệu ngõ ra tương ứng y\ín) và yọín) phải khác nhau. y i(n ) 5‫ ؛‬yi(n>.
Thi du 1.3.6 : Hệ thống xác dinh bởi y(n. = x(n)g(n) là k h ả đảo nếu và chỉ nếu g(n) 5 0 ‫ ؛‬với m ọi n. Cụ th ể , với v ín ) cho trước
và g(n) ^ 0 với m oi n ١ x(n) có th ế đươc k h ơi phuc từ y (n ) n h ư sau : xín) -

g(n)

1.4 PH ÉP CHẬP
Đối với một hệ thống tuyến tính và bâ.t biến, quan hệ giừa tín hiệu ngõ vào x(n) và tín hiệu ngõ ra y(n) được cho bới tịng ch،ập.
x(n L h ín )= ^ x(k>h(n
k /

k)

Vì phép chập về cơ bản dùng đề phân tích và mơ tá các hệ thống LSI. trong mục này ta xem xét cơ chế thực hiện phép chập. Ta sẽ bắt
đầu bằng cách liệt kê một số tính chất của phép chập, các tỉnh chất này có thè được sử dụng đè đơn gián hóa việc tính tốn tống chập.

1.4.1 Các tín h c h ấ t củ a p h é p ch ậ p
Phép chập ỉà một toán tứ tuyến tính và. do vậy. có một sỏ tính chất quan trọng bao gồm giao hốn, kết hợp và phán bị’.‘· Các định
nghía và các chú giái cúa các tính chát này được tóm tắt dưới đáy.
T inh g ỉa o hốn
Tính giao hốn (commutative property) phát biếu rằng trật tự mà hai chuồi chập với nhau không quan trọng, về mật tốn học, tính
giao hốn được định nghĩa : x(n) ■
‫؛‬. h(n) = h(n) ٥ x(n).
Từ quan diểm hệ thông, tính chất này
phát biếu ráng một hệ thống có đáp ứng
xung dơn vỊ h(n. và tín hiệu ngị vào
x(n) hoạt động một cách chính xác giỏhg
như là một hệ thống có đáp ứng xung
đơn vỊ là x(n) và tín hiệu ngơ vào h(n).
Điều này được mình họa ớ hình 1.5(a).

(a) Tính giao hốn

T ính k ế t hợp

(b) Tính kết hợp

Tốn tứ chập thỏa tính kết hợp
(associative property) như sau ;
[xín)

hiín)] > h9(n) = xín) ٠‫؛‬٠[hi(n) ٠ h 2Ín)

Từ quan điếm cùa hệ thơng, tính kết
hợp phát biếu rằng nếu hai hệ thơng
có các đáp ứng xung đơn vị là hi(n) và
hn) được ghép nối tầng như trình
bày trong hình 1.5(b), hệ thơng tương
đương là hệ thống có đáp ứng xung
đơn vị bằng với chập của hj(n) và
h 2(n) : hpq(n) = hi(n) ٠ h 2Ín)

(c) Tính phân bơ
H ình 1.5: Chú giải các tính chất của phép ch ậ p th e o quan điểm hệ thơng

T ính p h â n bố.
Tính phân bố (distributive property) của tốn tử chập phát biểu rằng : x(n) ^ [hiín) + h 2(n)] = x(n) ^ h i(n ) + x(n) ٠ h 2(n)
Từ quan điếm cúa hệ thống, tính chất này phát biếu rằng nếu hai hệ thơng có dáp ứng xung đơn vỊ là hi(n) và h 2Ín) được kẽt nơi,
song song, như được minh họa ớ hình 1.5ÍC), hệ thỏhg tương đương là hệ thống có đáp ứng xung đơn vị bằng tống cLÌa hi(n) và h 2(n) ;
heq(n) = h i(n ) + h 2 (n)


Chương 1 : T ín h iệ u v à h ệ th ố n g

13 0

1.4.2 T hự c h iệ n p h é p c h ậ p
ơ phần trên ta vừa kháo sát một số tính chất cúa toán tứ chập, trong phần này ta sè xem xét các cơ chẽ thực hiện phép chập. Có
nhiều phương pháp khác nhau có thế sứ dụng được và phương pháp dễ dàng nhất sẽ phu thuộc vào dạng và loại cúa các chuồi mà ta
sẽ thực hiện phép chập trên chúng.
T ín h to á n trự c tiế p
Khi các chuồi mà ta sè thực hiện phép chập trẽn chúng được mò tá bằng các biếu thức tốn học có dạng dơn giản, phép chập thường
dễ dàng được thực hiện bằng cách tính tốn trực tiếp tổng đả cho ớ phương trình (1.7). Khi thực hiện phép chập một cách trực tiếp,

thông thường điều cần thiết để tính tốn các tổng hữu hạn hoặc vơ hạn sẽ kéo theo các số hạng có dạng (í٠٦ hoặc na". Các biếu thức
có dạng đơn giản được liệt kê trong bảng 1.1 cho một sô chuỗi thường gặp nhất.

N1
1 .N
ỳ a " i - ١- -a :
‫) د‬
l a

ỳ a" -t - 1 .rT)
1 -a

‫ب‬
n ( N - l ) a -١' ‫ل؛\ل ا‬٠١‫ ل‬t a
y na :‫ ﻋﺎ‬٠—
.‫ — ز‬- _ ‫ذ‬
٠‫ا ت‬
( 1 - ‫ت‬١‫ﻏﺎ‬
N !
1
‫ ت ; ئ‬٠ \(‫\ﻟﻢ‬
n0
2

y na ''
٠‫ا ت‬

‫ا‬3 ‫ا <ا‬

‫ أ‬( ‫ ﻻ‬، ٦ )‫ي‬

N 1

‫ا‬

un

6

ỉa l< l

1.)

Báng 1 1 : Các biểu thức của các chuối thường gặp
T hi du 1 .4 .1 : Ta h ãy thực h iện p hép ch ặp hai tín h iệu : x(n) - a''u(n)

ếp tống chập ta Un‫ ؛‬tháy ; y(n ‫ ؛‬- ٠h(n) ■: ^

x(k)hín

k

(

x

(

n
، k

n :‫)(ب‬
và h(n) = u(n)
0- 0

,n
‫ ؛‬a‫؛‬
.■

(

١u(k١u(n - k
k

Vì ư.k. = 0 với k < 0 và u(n - k) bằng 0 với k > n. khi n < u. khịng có sơ hạng nào khịug bằng 0 trong tòng và y(n) = u
Ngưi.;c lại. nt٠٠u n ' 0,

yín)

1

ỵ ak
k 0

la )'
Do vậy ta dưưc ; y(n) r- - - ٥
'
l-a

■ ị'\

l-a

u(n

P h ư ơ n g p h áp d ồ thị
CUng với phươiig pháp triíc t.iẻp vừa néu lĩ.èn. phep chậ{) cUng cO thẻ' dược thực h‫ ؛ ؛‬ií bhng dồ thl. Cdc bươc cần thực hiện khi s١.'f dụng
phương phap dỏ thị lìhư sau :
1. ve hai chuồĩ x‫؛‬k) và h(k) như là cdc hám cua k.
2. Chọn ٠nỌt trong hai chuố٤, thi (1‫ اا‬h٠k ٠. và đào ngược thơi gian cUa chuOi I١ày de’ hlnh thành chuOi h (- k ٠
3. Dịch chuồi đ،à dược dao ngược thờ٤ gian bơl n [ I .ẳ ý : n،‫؛‬٠u n > ợ. d‫؛‬ẻu nãy tương ứng vơi phép dịch sang phái (tri hoàn),
trong khi nèu n < 0. di،‘u này. tương ứỉig VỚI phép dịch sang trdi (tiê.n ‫ ىا‬٤‫أا‬
4. Nhản hai chuOi x(k) và h(n - k) và lay tOng các tích dOi vơi mọi giá trị cUa k. Giá trị kè't quá sè la gia tri cUa y(n). Qua
trinh nàv dược lặp lại đỏ'i với mọi n cO thể có.
Thi du 1.2‫ ا‬: Dê minh họa phương phap dồ thl thực hiện phép chập, ta hãy tinh y(n) = x(n) ٠ h(.n) trong
dược trinh bày trong hinh l.G(a) và 1.6(b).
.‫'ار('ا‬,
h ík ■
." 3

3f

٠_2
‫ ل‬.1

2 -1

.'2
-.1

ĩ.1 2ĩ ỉ3. 4. .‫■ج‬6 .7 .‫ ة‬. * j

- 2 -1

1

(ai

-2 -1

،

‫ ﺀاا‬1

-3

‫ﺀ‬3

٠2

- 2 ١‫ا‬
-1

-If
ĩ
1

٠

٠

.

.

‫ة ذ ة ة‬
‫؛‬
‫ا‬‫ا‬

3

-'b.

،ị h '- k )

٠

2

.

.
‫ة‬

.
s

‫ر‬

-2 Ĩ

7

1
id)

4

5

6

7

3

do x(n)

va h(n) la các chuOl


Chương 1 : T ín h iệ u và Ibệ th ố n g

0 1 4

٠

h (2 -k )

h (-l-k )

- 3 .٠

3
ị'

-2

-í- 2
l

٢
-2 -Ì

٠

1
y(n)

>

3

4

5

6

7

8

^

- 2 -1

3

(e)

4

õ

6

(f)

6 ٠4 ٠-

2

3

4

6

7

H ình 1.6:

8

T ính tốn phép chập bằng phương pháp đồ thị

‫؛‬g)
Đế thực hiện phẻp chập, ta tiến hành các bước đă liệt kê ớ trên :

1. Vì x(k) và h(k) dã được vè như là các hàm của k ở các hình 1.6(a) và 1.6(b). ta chọn một trong hai chuồi này để đáo ngược
thời gian. Trong thí dụ này ta sè đảo ngược thời gian chuồi h(k) và chuồi h(-k) được vẽ ớ hình 1.6(0,
2. Thực hiện phép nhàn x(k)h(-k} và láy tổng trên k, ta tìm thấy y(0) - 1.
3- Dịch h(k) sang phải bời 1 để có chuỗi h (l - k) vẽ ớ hình 1.6(d). Thực hiện phép nhân x(k)h‫ ؛‬l - k) và lấy tống trên k, ta
tìm thấy y( 1) = 3.
4. Dịch h (l - k) sang phái lần nữa đế có chuỗi h(2 - k) vè ớ hình 1.6(e). Thực hiện phép nhán x(k)h(2 - k) và lây tố n g trên k,
ta tìm thảy y{2) = 6.
5. Tiếp tục theo cách trẽn ta tìm tháy y(3) = 5. y(4) - 3 và yín) = 0 với n > 4.
6. Tiếp theo ta lấy h(-k) và dịch chuồi này sang trái bứi 1 đế có h { -l - k) vèớ hình
với mọi k. ta tim tháy y(-l> = 0. Thực tê, y(n) = 0 với mọi n < 0.

1.6íf). Do tích x(k)h(-l - k) bằng 0

Hình 1.6{g) trình bày kết quả phép chập với mọi n.
Một thực tế thường gập cần ghi nhớ trong việc thực hiện phép chập hai chuồi có chiều dài hừu hạiì là : nếu xín) là chuỗi có c.hiều dài
Lị và h(n) là chuỗi có chiều dài L2 . y(n) = x(n) Ýh(n) sẽ cỏ chiều dài bằng ; L = Li -٠- L.2 - 1
Ngoài ra. nếu các giá trị khác 0 cúa x(n) được chứa trong khoáng [Mx. Nxl. và các giá trị khác 0 cụa h(n) được chứa trong khoáng [Mh١
NhJ. các giá trị khác 0 cúa y(n) sẽ bị giới hạn trong khoảng [Mji + Mh. Nx + NhJ.
Thí du 1.4.3 : Kháo sát phép chập chuồi x(n)

T
0

10. . í.
và chuồi
các trường hợp khác

٠ / ١ [n
h(n) .
[0

-5 < n < 5
các trường hợp khác

Vì x(n) bằng 0 à ngồi khống [10, 20] và h(n) bằng 0 ớ ngoài khoảng [-5 . 5], các giá trỊ khác 0 của phép chập, y(n) = x(n) ،‫■؛‬h(n)
sẽ được chứa trong khoảng [5, 251-

Phương pháp qui luật trượt
Một phương pháp khác cùng được sứ dụng để thực hiện phép chập, ta gọi là phương pháp qui luật trượt (sìide rule method), dậc biệt
thuận lợi khi cả hai chuỗi x(n) và h(n) đều là các chuồi hữu hạn và tổn tại trong khoảng thời gian ngắn.
Các bước để thực hiện phương pháp qui luật trượt
như sau :
1. Ghi các giá trị cúa x(k) dọc theo đỉnh của
một tờ giây và các giá trị của h(-k) dọc theo
đỉnh của một tờ giây khác như được minh
họa ở hình 1.7.
2. Xếp thẵng hàng các giá trị XÍO) và h(0)
của hai chuỗi, nhân từng cặp số^ và cộng các
tích để có giá trị y(0).

x f-2 j

x ị~ l)

x(0)

x (ì)

Xị2)

h(2)

h (l)

hiO)

h ( - ỉ)

h(~2)

H ình 1.7: Tính tốn phép chặp bằng phương pháp qui luật trượt

3.
Trượt tờ giây có chuỗi h (-k) về phía phải bởi 1, nhân từng cặp sơ\ lấy tổng của các tích để có giá trị y (l) và lặp lại
trượt này về phía phải bởi n > 0. Cũng thực hiện tương tự như vậy về phía trái đế tìm các giá trị y{n) vđi n < 0.
ớ chương 2 ta sẽ xem xét một phương pháp khác để thực hiện phép chập, phương pháp này được dùng trong phép biến đổi F‫؛‬ourier.

1.5 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Tổng chập biểu diễn tín hiệu ngõ ra của một hệ thống tuyến tính và bât biến theo một tổ hợp tuyến tính các giá trị của tín Ihiệu ngõ

X

vào x(n). Thí dụ, một hệ thơng có đáp ứng xung đơn vị h(n) =

u(n) được mơ tả bởi phương trình : y(n) = ^ a^x(n - k)
k=0

(1.9)


‫ا‬5 ‫ا‬

Chương 1 ; T ín h iệ u v à h ệ th ố n g

Mặc dù phương trình này cho phép ta tính tốn tín hiệu ngõ ra y(n) địì với tín hiệu ngõ vào x(n) ngầu nhiên, theo quaụ điểm tính
tốn, việc biểu diễn này khơng có hiệu quả lắm. Trong nhiều trường hợp ta có thè biểu diễn một cách có hiệu q hơn tín hiệu ngõ ra
nhờ vào các giá trị trước đó của tín hiệu ngò ra cùng với các giá trị hiện tại và trước đó cúa tín hiệu ngơ vào. Hệ thồhg ơ trên, thí dụ,
có thể được mơ tá một cách ngắn gọn hơn như sau ; y(n) = (xy(n - 1) + x(n)
(1.10)
Phương trình (1.10) là trường hợp đặc biệt cùa một phương trình có tên là phương trình sai phân tun
tuyến tính hệ sị
số háng
hằng {linear constant
q

p

coefficient difference equation) gọi tắt là LCCDE. Dạng tống quát của LCCDE là y(n) - ٤ ] b(k)x(n - k) a(k)y(n - k)
k^o
k 1

(

1. 11 )

trong do các hệ số a(k) và b(k) la các hằng số xác định hệ thỏ.ng. Nê'u phương trinh sai phân này cO một hoặc nhiều thành phần a(k)
khác 0, phương trinh sai phản dược gọi la đệ qui (recursive). Nói cách khác, nếu tất cả các hệ sO a(k) dều bằng 0, phương trinh sai
phân dược gọi la không đệ qui (nonrecursive). Như vậy, phương trinh (1.10) là một thi dụ cUa phương trinh sai phân bậc 1 đệ qui
trong khi đó phương trinh (1.9) là phương trinh sai phân khOng đệ qui cO bậc vồ hạn.
Các phươíig trinh sai phân cho ta một phương pháp đế' tinh toán dap ứng cUa một hệ thống. y(n). đối vơi một tin hiệu ngO vào ngầu
nhiên x(n). Tuy nhièn, trước khi giai các phương trinh này ta cần phai xác định 1.0 tập các diều kiện ban dầu. Thi dụ. vơi tin hiệu
ngO vào x<n> bắt dầu ơ thời điểm n = 0. lời giải cUa phương trinh (1.11) ơ thời điểm n = 0 phụ thuộc vào cac giá trị y (-l),.... y(-p). Do
vậy các diều kiện ban dầu này phai dược xác định rO trưức khi lơi giai vơi n > 0 dược tlm thà'y. Khi các diều kiện ban dầu này bằng 0.
hệ thOng dược gọi là ban dầu ơ trạng thai nghi (initial rest).
Với một hệ thỏ.ng LSI dược mỏ ta bỡi phương trinh sai phân, dáp ưng xung dơn vị hín) dược tim tha.y bang cdch giai phương trinh
sai phân VỚI x(n) = ò(n) vơi gia thiẻ.t hệ thOng baiì dầu 0 trạng thai nghi, vơi một hệ thở.ng khOng dẹ qui. a(k) = 0. phương trinh sal
‫؛‬١
phân trớ thành : y(n)=^ ‫ ع‬b(k)x(.n k)
(1.12)
k ‫'بﺀا‬
va tíiỉ hiệu ngơ ra dơn thuần la một tOng cO trọiig sỏ' cua các giá trị hiện tại va truOc do cOa tin hiệu ligO vào x(n). Dáp ứng xung dơn
.1
vị đơn thưần la h(n) = I b(k)0(n -k>
k ‫)ا‬

Như vậy h(ĩì) cO chiểu dai hưu hạn va hệ thỏi١g dư(íc g(.)i la hệ thong co dOp úTỉig xung hưu ‫؛‬١:.‫ ااأ‬KÍR ‫'ا‬٤lí ‫'ااا‬٤٠.٠leιỉgtlì impulse response).
Tuy nhièn nếu a(k) ị 0. trong trương hợp tOng quat. clap ứng xung dơi١ vị cO chiẻu dài vO hạn va hệ thOiig dược gọi la hệ thOng cO dap
dng xung vO hạn IIR (inhnite-length impulse !.espouse), Thi dụ, nèu y(n) = ayín

1

■

1) + x(n) dílp ưng xung dơn vị la hín) = a"u(n)

CO vai phương phap khac Ithau cO t.hẻ sứ dụng đè giai cac LCCDE dOi với tin hiệu ngơ vào x(n) tOng q٧at. Với phương phap dầu t.iẻn
ta chi dơn thuần thiẻ't lập một bang cac gia trị cUa tííi hiệu ngơ vao va tin hiệu ngơ ra. tinh toán phương trinh sai phân với từng gia
trị cUa n. Phương phap này thích hợp nơ'cj chi cO một vai gia trị cUa tin hiệu ngơ ra cần dược xác định. Phương phap khác la sứ dụng
phép biè.r، do'! z, phương phap này sè dược dề cập dè.n ơ chương .1. Phương phap thư ba la phương phílp cO diến. ta di tlm các lời giai
thuần nhát và rièng, mà t.a sẽ mơ ta sau dày.
Vơi mOt 1 1 9 ‫ﺗﺔ ﺣﺪ‬£ cho trước, lời giai tOng q٧at la tong cha ‫ ة‬lời giai y(n) = yhUi) + Vj)(n), trong do Yh(n) la lcíi gian thu3n J١ha't va y^j(n)
la lời giai riêng. Lời giai thuần nhá't la dap ứng cila hẹ thOng vOi các diều kiện ban dầu. gia sư rang tin hiệu ngơ vào x(n) = 0. Lời
giai rièĩig la dap líng cUa hệ thỏ.ng dơ'i vOi tin hiệu ngơ vào xín). gia sứ rằng diều kiện ban đầu bằng khOng.
í.
Lời giái thn nhất dược tìm thấy bàng cách giái phương trinh sai phán thuần nhất : y(n) ^

a(k)y(n - k) : 0

(1.13)

k -!
Lời giâi cúa phương trình (1.13) có thế được tini thấy hằng cách giá sứ một lời giải có dạng : yh(n) =
p

Thay th ế lời giải này vào phương trinh (1,13) ta nhận được phương trình đa thức : z" + ^ a(k)z" ^
١
k-■I
hoặc

2 ‫' ا‬. p (z P f a ( l ) z P

‫ إ‬I a ( 2 ) z P 2 + . ..

0

a ( p : i ) z + a ( p ) j ٠: 0

Đa thứíc trong 2 dâu móc được gọi là đa thức đặc trưng (characterìstic polynomial). Do đa thức có bậc là p. đa thức sẽ có p nghiệm,
các nghiêm này hoặc thực hoặc phức. Nếu các hệ số a(k) là số thực, các nghiêm này sẽ hiện hừu dưới dạng các cặp liên hợp phức
(nghĩa là với mỗi nghiệm phức z‫ ؛‬sẽ có một nghiệm khác bằng với z. ). Nếu p nghiệm Zị là phán biệt, Zị í Zk nếu k

ĩ, lời giải tổng

p
quát cú‫؛‬a phương trình sai phân thuần nhất là ; Yhín) =

A...Z‫!؛‬
k^١

(1.14)

trong <ìó các hằng sơ" Aỵ dược chọn sao cho thỏa các điều kiện ban đầu. Với các nghiêm lặp lại, lời giải phải được sửa đổi như sau ;
nếu Z\ là một nghiệm bội bậc m còn (p - m) nghiêm còn lại là các nghiêm phân biệt, lời giái thuần nhât trớ thành.
yh(n) = ( A i iA 2 n + ...iA m n m i>zl ·

‫ غ‬A^z‫؛‬
kni.1

(1.15)

Với lời giải riêng, ta cần tìm chuồi yp{n) thóa phưcing trình sai phân đơl với tín hiệu ngơ vào x(n) cho trước. Trong trường hợp tống

quát, đỉiều này đòi hỏi sự sáng tạo và sâu sắc. Tuy nhiên, vứi nhiều tín hiệu ngõ vào điển hình mà ta thường quan tám đến, lời giải
sẽ có diạng tương tự như tín hiệu ngỏ vào. Bảng 1.2 liệt kê lời giải riêng đóì với một sơ. tín hiệu ngõ vào thường gặp. Thí dụ nếu
x(n) = ‫؛‬a”u(n>, lời giải riêng sè có dạng : yp(n) = Ca٠٦u(n)


Chương 1 : T in h iệ u và hệ th ô n g

iiB

Với a khOng pha‫! ؛‬à nghiệiTi cua phương ‫؛‬:riiih đặc tiu ìig . Hằng sỏ' c được tìin thâ'y bằng cách thay th ê' ‫ ذؤا‬giải vào phương trinh sa‫؛‬
phản, Lưu ý là với x(n) = Cổ(n). lời giai rieiìg hằng 0. Do x(n) = 0 vơi n > 0, dáp ứng xung dơn vị chỉ ánh hương dến diều kiện ban
đầu cUa y(n).
Sô' h ạn g t ìo n g x(n)

Lời g iả i r iên g

c

c.

Cn

c^n + 0 ‫ي‬

Ca’i

Cia"

Ccos(no)o)

Ci.cos(i)(2()) + C-?.sin(n،‫؛‬a٠)

C.sin(ncap)

Cì.cosín(.)()) + C-^.sinín(.)())

(7a’١.cos(nc)i١)

Cia".cos(n('j١))

+

C.ja'٦.s‫؛‬i)(nc)(ì)
Cơ( n)

I^hỏng

sang 1.2 : Lời g ia i riơng cua LCCDE dỏ'‫ ؛‬vơi một vài t ‫؛‬n hiệu ngồ vào
Th ‫ ؛‬du 1.5.1 : Ta hay tlm lời giai cua phương trinh sa ‫( ؛‬phân y(n) - ư.2Sy(n - 2) = x(n

(1.16)

với x(n) = u(n) và các d ‫؛‬ều kiện han dấu y(--2) = ũ va .v (-l ) = 1 .
Trước tiẻn ta tiin lời giai riẽng. Từ bíing 1.2 ta thâ'y với x(n) = u(n٠. ‫ (اا'ؤ‬Ci = 0 ٠
1

Tha.y thẻ lơi gia ‫ ؛‬nàv vào phương trinh sa ‫ ؛‬-- : —

4

: phan, ta tim dược : C] - ().25 (:) = 1 hav Cj

Đê tiin lời giai thuần nhat. ta d á t .١'‫ ار? ت اال(ار‬và từ dơ ta CÍJ phương trinh dặc trUng : ?2 - 0.25 = 0 hoặc (z + 0.5. (z - 0 ,5 . = 0
Do vậy IỜJ gia ‫ ؛‬thuần lìhât cơ dpng . >-‫ = ااا(أإ‬.-'‫(اا‬0.5 )‫ اا‬+ ٨ .‫_(ر‬0 ,5 .‫ا‬٦
4
٩٧at la : y(n t;ời gihi tOng) ; ٠‫ ؛‬f ٨ ‫ (ا‬A ' ''<0.5 -،‫ (؛‬0,5 ‫ﻻ؛‬

n

0

(1.17)

pha ;L١ac hằi١g sỏ. Ai và A٠‫ ؛‬đươc Miri thhy sao cho lờ‫ ؛‬g ‫؛‬a ‫ ؛‬٩ưat thoíi didu kiện ban dầu da cho y ( - l) = 1 và
y(-2) = 0. Do lơi tổng
gia ‫ ؛‬ơ phương trinh (1.17) chi áp (long vớ‫ ؛‬11 ‫ ي‬0 ‫ ا‬ta phai bắt ddu từ tap các d ‫؛‬ẻu kiện ban ddu tương dương dơ'i với v(íl،-và ‫)!(؟‬.
Tínli tốn phương trinh ( 1 ‫ ﺀﺟﺎ‬ơ n = 0 và n = 1 ta cơ : y(0) - 0.25 y(-2) : x، 0 ) ‫ ت‬l : y (l) - 0 .2 5 y (-l) = x (l) = l
Thay the chc d ‫؛‬ddu dưiíc suv tlièn nàv vào phương trinh ( l ều kiện bai١. 17 ‫ ا‬ta cơ : vto ) = ‫ ﻟﺢ‬+ Aj + A^J
.‫إ‬

Ta tlin tha'.v Aj : .‫ﻟﺢ‬

A

và^ = ‫ إ‬. Lời gtai tOng quát la : y(n ) . ‫؛‬

(0.5 )‫ ل اا‬-t ‫ (ﻟﺢ‬- n

1 ‫؛‬

y( l ) = } ٣ ‫ ﻟﺢ‬Aj
d

2

‫ا‬A ^ ‫ ذ‬1

2

'

"(0.5 ‫ ة‬0

Mặc díi ta da tập trung kha nhiều vao
vho pliuơng
pliương trinh sai phan tuvơ.n tínla
tínli co hệ sỏ' hằng,
hằng. khỏ]
khOng pha ‫ ؛‬tất ca các hệ thOng c،ng như chc
phưttng trinh sai phân dều tuyèn tinh
tíiah v.à
va cUng khOng
khOiag pha
pha‫ ؛؛‬tà't ca dểu cơ hệ sỏ' la hằng số'. ‫ة‬Một hệ thổ'ng tinh toán lượng trung binh
hoat dOng cUa tin hiêu x(n) trơn khoang 10. nl. thi du. dươc xác d‫؛‬nh bơi. y(n)

‫؛‬

.‫ا‬

ỵ
x(k)
n -lk o

n > 0

Hộ thống này được biểu diễn bới phương trinh sai phàn có các hệ sò thay đỏi theo thời gian : y(n) = — —y(n ' 1) + x(n)
n +1

n

0

Các phương trình sai phân khơng tuyến tính hơạc các phương trình sai phản có các hệ sò thay đổi theo thời gian tuy pằức tạp hơn
và khó khán hơn khi giải nhưng lại quan trọng và thường gặp trong nhiều ứng dụng.
BÀI TẬP
TÍN HIỆU THỜI GIAN RỜI RẠC

1.1

Hảy xác định xem các tín hiệu dưới đáy có tính tuần hồn hay khơng và với mỗi tín hiệu tuần hồn, hảy xác định chu kỳ cơ bán,

(a) x(n) = cos(0.1257in)

(b) x(n» = Re[

١2 ] + Iin [

(c) x(n) = sin(π + 0.2n)

(d) x(n) ‫ ت‬e 16 co.s(n7ĩ/17)

]

(a) Vì 0.125^ = :x/8 và C0S‫ ا‬- n ‫ ي‬c o s ! ‫ ج‬n f 2 tĩ ‫ ا‬: cơ.sl '--(n + 16 ) ‫ ا‬x(n) tuần liồii VƠI claai kỳ ìà N = 16.
‫ ؛‬rẻ

( b) ơ dảy ta cỏ tổng ctia hai tin
\‫أ‬

‫خ‬٢
‫ا‬

‫ﺀ‬٠
‫ت‬٠ : ٠ ٠ : ٠ ٠ :

j

‫ا‬-‫ﻻح؛ذ‬

;

8 .:

1

8

tuán ầoàn : x(n> = cos In:t/12) + sin(nny’18 ) (:‫ ) ا ا ا‬ky cua t ‫؛‬n hiệu thai nhat la N ị = 24 và chu kỳ cUa tin hệu thư hai la
١٠

N2 = 86. Như vậy ch‫ ا‬ι ky cua tỏng 1‫ ; ة‬iN ·:

N iN o

‫ا ل‬- ‫ خ‬- ‫ا‬

- --

k7cd(Ni,N2)

(2 4 )(3 6 )

Kc٠d ( 2 4 ,3 6 >

_ ( 2 4 ) ( . ' ‫ؤ‬6

‫ت‬

12

‫ا‬

- .-72

(c) Dè cho chuỗi này tuần hoàn, ca phai tin) dược giá trị clia N sao cho s‫؛‬n(^ + 0.2n ٠‫ ﺀ‬sinlTt + 0.2(11 +N)). Hàm sin ỉà hàm tuần hoàn với cha ky la 2^, do
vậy 0.2N phải la bội nguyèn cua 2^. Tuy nlìién do 7Ĩ la sO vó ta (irrational number., khbng cO giá trị nguyen nâo của N hiện hửu dể thOa dang thức trên.
Như vậy chuỗi da cho là chuồi klaOng iu:‫؛‬n l،oàn.

Chương 1 : T ín h iệ u và h ệ th ố n g

17

m

(d) ơ dây ta có tích cua hai chuỗi tuần hồn, các chuồi này có chu kỳ là N ị = 3 2 ‫ ؛‬và N 2 = 34. Do đó, chu kỳ cơ bản là

(32)(34)
(32)(34)
N ^ ---- 7 '
.=
= 544
^cd(32١34)
2
1.2

Tim p h ả n c h ẩ n và p h ầ n lẻ

CLÌa các

Phần rhần cùa tín hiệu xín) được cho bởi

tín h iệ u sau :

(b) x ( n ) - a^ u (n )

X p(n) = -■[x(n. + x( ٠n )Ị ■

:1

Với xía) = n) ta có X yln) “ - ( u ( n )

(a) x (n ) = u (n )

"=٥

u( -n)l = < I

,

1

2

1

,,

x٥) = ‫ ؛‬+ (ịử ( n
^
2 2

n )H a y

n ;، 0

.. 1
Do vậy phần chăn cua tín hiệu nấc đơn vị là chuỗi có giá trị là hàng số “ với mọi n trừ n = 0, với n = 0 chuỗi có giá trị là 1.

.1

2
Phần lé cua tín hiệu x(n. được cho bởi hiệu x ٠( n ) - “ ( x in )

2

Tương tư

x٧(n l -

٠, Ịa'‫؛‬u(n) - a ”u(■ n

x(- n ) |

VỚI x(n) = u(n). x،j(n) trờ th à n h x ٥(n ) = ١ 0

n >0

T a "
‫؛‬2

n <0

1

n = 0 hay X(j
1
2

|T a■ '

’2
i
a " u ( n ) + a “ư( n)Ị - ;1

ị lì

n >0

n =0

hav x،١٠n) =: 2

n <0

6( n)

f 111
sgn(n)

1.3 Nếu xiUi) chán và x-2(n) lé. ta kết luận gì cho y(ii) = Xi(n)xj(n)
y (-n ) = Xị(٠ n)X 2( - n .

Nẻu y،n) = XldDX^Ín)

Do XỊÍn) chẩn va X2٠n) le, Xj(n) = X2(-٠n) và X2(n) = - X20 ■‫؛‬،. Do đó : y٠- n. = '-XỊ(n).X2(n) = -y (-n )

y(n) le,

1.4 Nếu x(n) = 0 với n < 0. hãy suy ra một biếu thức cho x(n) dựa vào phần chẵn cúa x(n). và bàng cách sứ dụng biếu thức này, hãv tìm
x(n) khi Xp(n) - (0,9)'’‫؛‬٠u(n) . Hày xác định xem ta có thê suy ra một biếu thức tương tự cho x(n) hay không dựa vào phần lé cùa x(n).

Do x،,ín) “ “ Ị x ( ii) ٣ xí. n)] và x „ (n ) = i [ x ( n ) ٠ x ( -n ١l lưu ý lã khi x(n) = 0 với n < 0

Xp(n ) = ‫ ؛‬xíiií

n > 0 và

x ٥(n ) = x(n)

n =0

Từ đó x(n) có thè được phuc hồi từ phấn chẩn của xínỉ như sau , x (n ) =

.(n)

٠

Ỉ2 x jn )

Thí dụ VỚI x،١(n ) ·‫( ؛‬u 9) ‫؛‬٠١‫؛‬u{ii) . ta có x(n> - ó(n) + 2(0.9)'"'u(n

n -0
n>0

1). Kkòng giống với trường hợp khi ta chi biết phần chần cùa chuỗi, nêu chi biết phần

lẻ cua chuối ta không thè khôi phục lại x{n). Vấn đé là giá tn cua x(0) khi ta khôi phục chuỗi- Do Xo(0) ln ln bằng 0, ta khơng có thõng tin nào vẻ
giá trị cùa x(0) trong phân lé cua x(n). Tuy nhiên, nếu ta biết được x(0) cùng VỚI phần lẻ, ta có thể khơi phục được x(n) với mọi n,

1.5

Nêu Xg(n) là p h ầ n đ ối x ứ n g li ê n h ợ p cú a m ộ t ch u ồ i xin), c á c p h ầ n th ự c v à p h ầ n ả o cú a x (n ) sè b a o gồm c á c đ òi x ứ n g n à o .

Phần đối xứng liên hợp cúa x(n) là ; Xg(n) = - ٠[x(n) + x"(-n)j

Khi biểu diễn x(n) nhờ vào phấn thực và phần ảo, ta có : X p(n) = —[x٢(n) + jx١(n) + Ịxj.(-n) + jx‫“(؛‬n)j ]

x،.(n) ■ --[x ٢(n ) + j x ‫(؛‬n ) + Xj.(” n ) “ j x ‫؛‬í-n )]
Như vậy phần thực của

X p (n )

,ín) = —(x (n) + x ٢(-n)] + ỉ j[x‫(؛‬n) - X :(-n )l
2
2

là chẩn và phần ảo của x٠(n ) là lẻ.

1.6 Tìm phần đối x ứ n g ỉìẽ n hợp cúa chuỗi : x (n ) =
P hẩn đối xứng liên hơp của xin) là

Xp(n) = — (x(n) + x*{-n)l = —(

1 = 0 . Như vậy chuồi này là chuỏỊ phảrt“’d w 'x ứ n 4 ‫ ؟‬١«n٠d١ợp

1.7 Cho chuỗi x(n) = (6 - n)[u(n) - u(n - 6)], hãy vẽ
(a )
(a)

y i(n ) = x(4 - n); (b) y 2(n) = x{2n - 3);

íc) ys(n) = x(8 - 3n);

(d) y 4Ín ) = x(n^ - 2 n + 1)

Chuỗi x(n), như được m inh họa ơ hình 1.8(a), là một chuồi giám dần tuyến tín h băt đầu ở chì số n = 0 và kết thúc ờ chỉ số n = 5. Chuồi đầu tiên

được p h á t họa: >٠](n) = x(4 - n). được tìm thấy bằng cách địch x(n) bơ'. 4 và dào ngyíợc thời gian. Quan s á t ta th â y ở chỉ số n = 4, yi(n) bằng với x(0). Do


Chương 1 : Tin b iệ n và h ệ thổ'ng

18

vậy y ٤(n) ٠٥giá trị bàng 6 ở n 4 ‫ ﺀ‬vồ giảm dần tuyến tinh về phía trối (theo chiều glÀm giá trị cUa n) cho dê'n n

٩

,1- ‫ﺀ‬uắ trị số nầy yi(n) 0 ‫ﺀ‬- Chuồi

yj(n) dược trinh bầy ở hình l.s(b).
(b) Chuồi thứ hai, ygín) ‫ ﺀ‬x(2n - 3), dược thầnh ỉập thông qua kết hợp dịch th ٥‫ ؛‬gian và (ấy mẫu xuống. Do vậy y 2 (n) dược ١٠ê bầng cdch t^ ở c tiên dlch
x(n) vồ phía phài bỏi 3 (trì hôn) như trình bầy ở hlnh I.8(c). Kế dến chu ٥i y 2 (n) dược thầnh lập bàng cdch lấy mâu xuống bỏi thừa số bàng 2 (nghla jà
chỉ giữ lại cốc thầnh phần chỉ sốchẩn dược chỉ ra bdi cổc vbng trbn tô dậm trong hlnh 1.8(cl). Phất họa cUa y 2(n) dược trinh bày ‫ ؤ‬hình I.8(d).
(c) Chuỗi thứ ba, ygín) ‫ ﺀ‬x(8 - 3n), dược thành lập thOng qua kết hợp d ‫؛‬ch thời gian, lấy mẩu xuOng và dào ngược thd‫ ؛‬gian. Dể phat họa ygín) ta sè bắt
dầu bkng cách vè x(8 - n), tin hiệu này dược thầnh lập bàng cách dịch x(n) sang trấi bởi 8 (tiến tói) và dào ngược thời gian như dược trinh bầy ở hlnh l,8(e).
Kế dến ygín) dược tim thấy bằng cách trích ra mồi một mẫu thứ ba cUa x(8 - n), như dược chỉ rỗ bằng cấc vbng trbn tô dậm, yg(n) dược vẽ ‫ ؤ‬hinh 1.8(D.
(d) Sau cUng, y4(n) = x(n2 - 2n + l ۶ dược thanh lập bỏi phốp biến dổi khOng tuyê.n tỉnh cUa biến thởi gian n. Chuỗí nầy có thể dễ dang dược phát họa
bằng cách liột kê cốch ma chỉ 8Ố n dược anh xạ. Trước tiền cần lưu ý la nê'u n 4 ‫ ة‬hoặc n 2-

‫ة‬,

n - 2n +1

va do vậy, y^ínl = 0. Với -1

‫ة‬

n

٤

3 ta cố

y4d)٠=x(0) = 6

y4(ũ)=y4(2) = x(l) = 5

y 4(-l) = y4(3) = x(4) = 2

‫و ة‬

Chi y 4Ín) được phát họa ờ hình 1.8(g).
x(4 - n)

.ư
x (8 - „ ‫ر‬

—0 — 0·

-2 - Í

،،

6 ..

6.

4 --

4

2 ..

2.
·o—o — L
1 ‫ة‬
3 4
(e)

١٠
٢

5

6

7

8

9

10

.2 -1

1

5

2

‫ج‬

7

8

9

10

(f)

Hình 1.8: Thực hiện các thao tác trên tín hiệu
1.8 Ký hiệu x((n»N dược dùng dể định nghĩa chuối dược thanh lập như sau : x((n»N = x(n modulo N) trong dó (n modulo N) lì số
ngun dương trong tầm ٤٠, N - 11, số nguyên dương nầy la dư số của phép chia n cho N.
x((n).)3
Thi dụ ((3))3 = 3,. ((I2))s= 4 va ((-6))4 2 ‫ت‬,

Nếu x(n)

‫ت‬

[‫]ث‬

‫اﻟﻤﺄ‬2

sin(nre/2)u(n), hãy vẽ ; (a) x((n)h i (b) x((n - 2)1

(a) ChUng ta bát dầu bầng cồch lau ý la ((n))3 ٠ v٥ i gia trị bất kỳ cUa n, luôn luOn la
số nguyên ở trong tầm 10, 21.
Như vậy, do ((n )>3 = ((n + 3k))g v٥ i k bất ky, x((n)Í3 = x((n + 3k»3 . Do vệy. x((ní)3
tuẩn hoan v٥i chu ky N 3 ‫ﺀ‬. vạy thl x((nl)3 dược thanh lập bằng cấch lập lại một
c4ch tưẩn hoan ba giá trị dẩu tiên cUa x(n) như dược minh hợa trong hình dưới dầy :
(b) Chuối x((n - 2 3

‫ﻵ‬

cUng tuẩn hoần vdi chu ky N = 3, ngoại trừ tin hiệu nảy bị

dịch sang phải bdi n . = 2 30 vdi chuỗi tuẳn hoần trong càu (a). Chuỗi nảy dược
trinh bầy ở hlnh dưởi dầy :

-3 -2 -1

1 ,2

3

4

5 6

7 8


Chương 1 : Tín h iệu và hệ thơng

1 9 Ì

Cơng s.t tro n g m ộ t tín hiệu thực x(ii) đươc định n g h ĩa là tổ n g của 1.9
(b ìn h phương các g iá tr ị của chuỗi : p -

x “(n
r - -،1
١ ‫؛"؛‬

f l

G íả sừ chuỗi x(n) có p h ầ n c h ăn x ،١( | - n) b ă n g ; x،.(n) = j
V2 ý
N ếu còng su ấ t tro n g x(n) là p = 5, hãy tìm cơng su ấ t tro n g p h ầ n lẻ, x،j(n ) ١ .(cùa x(n
,Vấn đề này đò ، hỏi ta phài tim mối quan hệ giửa công suất trong x(n) và công suất trong các phần chẳn và phần lê cúa x(n) Theo định nghĩa
n))x(n) = x،،(n) + x٧
Do vậy p -

x“ín ) n * ../

٤ ] [Xpín) + x,,(n)l^

ì\

‫ ؟‬١ “ X Xg(n)+ ٤ ] n )+ ^

r

lì- r - x

n

2x }x٧،‫((؛‬n)x،,(n

٠

■r

x

l>ưu ỹ là x ‫؛‬٠( n) là tích cua 1 chuỏi chÃn và một chi lé nõn tích này ló- Do tống dói VỚI mọí n của một chuỗi lè băng u ;

^

2x)n)x٠٠‫؛‬،(n )n)x٠ ) = 0
·JC

ông suất cùa x.n) là : p

^
1،

x٠ ') ( x "(n) . nói lèn rằng cịng suất trong x(n. hăng tổng cua còng .suất trong
'

ỉ‫؛‬،. Khi tính cơng st trong phãn chần cua

K háo s á t chuỗi ; x ( n 1.10 ) -

^.n ١ ‫)؛‬han chÀn vá cõng suất trong phần

■

1،

X( n ٠ ta

thấy ; p‫؛؛‬

( \ ' “‫'؛‬٠‫؛‬

^

^

-

٠- I

'
1 ١’ ‫ ؛؛‬5
" " ^ ٠ X I ٠' = -

Oo vậy vđi p = 5 la co

py - 5 - p٠. =

10
—

(^3١١١
; ‫ ؛ ؛‬،u( n

2 j■

/

í

(a) T ìm giá trị bàng sơ cúa A -

x(n) ;

^
II

(b) H ây tín h cơng su át trong xin) ; p = X x "(n )

'

'

1، - X

c) Nèu x in ) là tín hiệu ngõ vào cua m ọt hè thòng thời g ia n th a y dổi (khỏng b à t biến) đ ịn h n ghĩa bới v(n) = nx(n), hãy tìm cịng su à t )
(tro n g tín hiệu ngõ ra {nghĩa là đ án h giá tống)

p = X v "(n
n

-r

y١ 3 / ^
(· ' a) Dày là một ứng dụng Lr،;c tíèp cua các chuồi cáp số nhãn : A - X I “
y،
٤ ^■! n -0 ^ 2 ''

Bằng cách thay thê n báng -n ta co ; A

" X
1،

٠

0 .3٦
li(-n ) - X I

Ị2/ /
،، \ 2 ·, -/
١٠^٠٧٠ ^'•٠^‫ ؟‬٤١^١ .^‘ấp số nhàn la có A'■، .b٧٥ - ——- = 3
1- “

■

3
0

I

(Hi) = X,

/ 3

١

p = X x٠
n=-xV2 '

— Ị^b. Đế lim công suàt trong x(n> ta phãi tinli tống

n ٠

X / \
X / 2 ١١^٠١
1
9
Thay thế n bởi - n và sử dung chuỗi cấp sỏ nhàn, tống trên trở thành ; p = V 1 “ Ị
· X Ị“
=‫ ~~~~ ؛‬- T
،r
٠oUJ-tr:oV 2'
5

9
ar
( — C) D é

tìm cõng suất trong y(n)

nx(n) ta

=

J )h à i

tính tổng

p =

*

X ín x (n )r

n=-c

=

^

í' 4 y١
nị

(1.18)

n =0

.f

= ”Từ bàng 11 ta có được biểu thức cho lổng ^ n a -------- I a
(n.o
(1 -a

^1< 1

(1.19)

X

nhiừig không có biểu thức cho ^ n^a” . Tuy nhiên, ta có thể suy ra biểu thức cho tổng này như sau. hấy vi phán cả 2 vế cua phương trinh (1.19) đối với

i.ta c O ;

٠ a'r
‫ر‬

ị)

na

_2_ti-i
=

‫ﺗ ﺬ‬

d

‫؛‬

d a (l-a )2

a

=^

l

(l-a )3

.-

٠١
(r
2_n a (l + a
Do dó ta cỏ tổng ; > n a

nto&,

(1 - 3 )3
4 ٧ ‫ا‬3

Sử dụng biểu thức này để tinh phương trình (1.18) ta tìm được : f* - X
n=0

í —ì
^

9)

- ‫^·؛؛‬---- ^

fs]3

125

9

1.11 Biểu diễn chuỗi : x(n)

1
2
3
0

n =0
n=1
thành tổng của các tin hiệu nấc dơn vị dược lập tl lệ vả dược dịch.
n -2
các trường hợp khác


20

Chương 1 : Tín h iệ u và hệ th ô n g

ờ bài toán này, ta muốn thực hiện việc phán rà tín hiệu khi biểu diễn x(n) thành tổng của các tín hiệu nấc đím vỊ dược lập tỉ lệ và được dịch. Có vài phương
pháp để suy ra phân rà này. Một phương pháp là biếu diễn x(nl thành tơng các xung đơn vị có trọng số và bị dịch, x(n) s ô(n) + 2Ỗ(n - 1) + 36{n - 2)
và sử đụng sự kiện là xung đơn vị có thể dược viết thành hiệu của 2 tin hiệu nấc đơn vị như sau : ô(n) = u(n) - u(n - 1)
Do đỏ : x(n) = u(n) - u(n - 1) + 2 (u(n - 1) - u(n - 2)] + 3[uín - 2) ~ uín - 3)J. Ta suy ra phán rà : x(n) =‫ ؛‬u(n) + u(n “ 1)+ u(n - 2) - 3u(n ~3)

Một phương pháp khác suy ra phân rả trèn một cách trực tiếp hơn như sau. Trước tiên ta lưu ý rằng phân rà cần được bắt đầu bầng tin hiệu nấc đcm vị,
tin hiệu này tạo ra giá trị 1 tại chỉ số n = 0. Do x(n) tàng đến giá trị bằng 2 tại n = 1, ta phải cộng thẻm một tín hiệu nấc dơn vị bị trì hoàn u(n - 1). Tại
n = 2, x(n) lại tảng bièn dộ bời 1, do vậy ta cộng thêm tín hiệu nấc đơn vị bị trì hồn u(n - 2). Tại điểm này ta có

Ịl
n) + u(n - l) + u(n - 2) = 12
[3

n =0
n =1
n >2

Đến đây, tá.t cả những gì cịn lại cần làm là mang chuỗi này trờ về giá trị 0 với n > 3. Điều này có thể thực hiện được bằng cách trừ cho tin hiệu nấc dưn
vị bị trì hồn 3u(n “ 3), ta có kết quả phân rà như dà tìm thấy bằng phương pháp thứ nhất.
H Ệ T H Ố N G T H Ờ I GIAN R Ờ I RẠC

1.12 Với mồi một hệ thống dưới đây, x(n) là tín hiệu ngõ vào và y(n) là tín hiệu ngỏ ra. Hăy xác định hệ thông nào thuần nhất, hệ
thống nào có tính chất cộng và hệ thống nào tuyến tính.
(a)

y(n ) =‫ ؛‬log(x(n)); (b) y (n ) =6 ‫؛‬x (n + 2 ) + 4 x (n + 1) + 2 x ín ) + 1; (c) y(n ) = 6 x (n ) + tx(n + l) x (n - l)]/x (n ) ; (d) y (n ) = x(n)sin(nTĩ /2 );

(e) y(n) = Re[x(n)]; (f) y(n) =: ị [x(n) + x*(-n)l

(a) Nếu hệ thống có tính thuần nhất, y(n) =: T[cx(n)l = cT[x(n)l với tín hiệu ngõ vào xín) bâ.t kỳ và với mọi hằng số c phức. Hệ thống y(n) = log{x(n))
khơng thuần nhất vì đáp ١Jfr١g của hệ thống dối với Xi(n} = cx(n. lã ; yi(n) = log(xi(n)l = logícxln)) = logc + log{x(n)>
Kết qua này khơng băng clog(x(n)). Với hệ thịng có tính chất cộng, nếu yi(n) và y 2٠n) là các đáp ứng đối với các tín hiệu ngõ vào Xj(n) và X9(n٠. đáp ứng
đối vớ» x(n) = XỊÍn) + X2(ri) phái là y(n) = yi(n) + .V2(n). Với hệ thống này ta có : Tlxi(n. + X2(n)l = log (xi(n) + X2(n)J * log

[xi(n)l + log (X2(n)l

Như vậy hệ thống này khơng có tính chà.t cộng. (١uối cùng do hẽ thống khơng cỏ tinh thn nhất cùng khơng có tính chất cộng nén đày là hệ thống phi
tuyến
(b) Lưu ý là nếu y(n) là đáp ứng đối với x(n)

y(n) ٥ 6x{n + 2) + 4x(n + 1) + 2x('n) + l

Dáp ứng dối với XỊÍn) = cx(n) là : yi(n) = 6xi(n ■f 2) + 4xj(n + 1) + 2xj(n) + 1

١٠i(n) s c{6x(n + 2)+ 4x(n + 1) + 2x(n)|+ 1

Tuy nhĩỏn : cy(n) = c{6x(n 1. 2) + 4x(n + 1) + 2x(n) + II
Kết qua này không giống với yi(n), do đó hệ thống này khơng có tính thuần nhất. Tương tự, dáp ứng đối với : x(n) = Xi.n) + X2Ín) là
y(n) = 6x(n + 2) + 4x(n + 1) + 2x(n) •٠٠ 1

y(n) = 6Ịxi(n + 2 ‫ ؛‬+ .X2Ín + 2)1 + 4[xi(n + 1) ■h X2Ín + 1)1 + 2[xi(n) ■٠٠ X2‫؛‬،١)i ■١٠'

>3n. = v.i.n) •٠٠y 2،n)- 1

n) khóng bằng yiín ) 4- y2(n). Hệ thống này khơng có tính chát cộng cho nèn đảy là hệthống khịng tuyến tính.
(c) Hệ thống này có tính thuần nhất vì đáp ứng của hệ thống đối với \ \ - cx(n) là :

y|(n) = 6xi(n) +

(n + l)x١(n - 1)
Xi(n)

yj(n) = c 6x(n)-f

x(n -٠- l) x ( n - 1)
x(n)

cy(n)

Tuy nhiên hệ thống này rò ràng khơng có tính chất cộng và do vậy là hệ thống khồng tuyến tính.
(d)

Đật yi(n) và y 2،n) là các đáp ứng QÙa hệ thơng đối với các tín hiệu ngị vào XỊÍn) và X2(n), Đáp ứng đối với tín hiệu ngô vào : x(n) - axj(n) -٠٠bx 2(n)

y(n) = a x i(n )sin ^ ^ j + bx2 (n)sin^“ j = ayi(n) -٠■by2 (n)

là : y(n) = x(n)sin| — I= [ax‫(؛‬n) + bxi^(n)]sinỊ^ —

(1.2Ơ)

Như vậy hệ thống trèn có tính tuyến tính, nghĩa là cùng có tính thuần nhất và tính chất cộng.
(e) Vì phần thực cùa tổng hai số là tống cua các phần thưc. nếu yi(n) là đáp ứng cùa hệ thống đối với Xj{n) và y 2Ín) là dápứngđối vớ١X2(n), đáp

ứng đối

với x(n) s Xi(n) •٠٠X2(n) là : y(n) = Re (xi(n) ■٠■X2(n)l = Re (xi(n)l -٠- Re[x2(n)l = yi(n) ٠►y 2Ín)
Như vậy hệ thống có tính chất cộng. Hệ thống này khơng thuần nhất vì : Re(cx(n)l ‫؛‬، cRe[x(n)l
trừ khi c là số thực. Như vậy hệ thống khơng tuyến tinh.
(0 Với tín hiệu ngơ vào x(n), hệ thống này tạo ra tín hiệu ngõ ra là phần đối xứng liên hợp của x(n). Nếu c là một hằng số phức và nếu tín hiệu ngỏ vào

cùa hệ thống là Xi(n) = cxín), tín hiệu ngõ ra là : Ỵ iín ) = -‫ ^؛‬íx iín ) + x ‫ ( ؛‬- n ) l = ■‫ ؛‬ícx(n ) + c X ( - n ) l ?‫ ؛‬cy(n )
Do vậy hệ thống khơng có tính thuần nhất. Tuy nhiên hệ thống này có tính chát cộng vì :

T[xj(n) + X2 (n)] = ỉ|[ x i( n ) + X2 Ín)] + [x i(-n ) + X2 (-n)]

I

T[xi(n) + X2 (n)] = ÌỊ[xj(n) + xJ(-n)] + [x 2(n) + x‫( ؛‬-n )]‫؛‬

T[xi(n) + Xgín)] = T[xi(n)] + T[x 2(n)]
1.13

Hệ thống tuyến tính là hệ thống có cả hai tính chất, tính thuần nhất và tính chất cộng.

(a) Hày cho một thí dụ về hệ thống thuần nhất nhưng khơng có tính chất cộng.
(b) Hăy cho một thí dụ về hệ thống có tính chất cộng nhưng không thuần nhất.


21 @

Chương 1 : Tín h iệ u và hệ th ốn g

Có nhiều hệ thống khác nhau hoặc có tinh thuấn nhất hoẠc có tính chất cộng nhưng khơng có cà hai tính chất này. Sau dây là một thí dụ cho hệ thơng

xín - l)x(n)
x(n +1)

có tinh thn nhất nhưng khơng có tính chất cộng : y (n )

^ ٠ ١ ٠

٠ ٠
٠
٠
.٠ ، ٠
. . . . . . .
١.
/ ١ ٠x ( n -l)x (n )
(c x ( n - l ) c x ( n
Ta đâc biệt lưu ý là nèu x(n) đươc nhân với mơt hđng í‫; =؛‬ị phức c, dáp ứng ngỗ ra sẽ là : yvn -------- ;------ r— = c ------ ;------- r—
cx(n + 1)
x (n + 1 )
nghỉa là bằng c lần cùa dáp ứng đôi với x(n), do vậy hệ thống có tính thn nhất. Mật khác, rõ ràng ta thấy hệ thống này khơng có tính chất cộng ,
^

.
.١
( x i (n - 1) + Xo(n - 1)} Ịx. (n )+ x ،X i ( n - l ) x . ( n )
,Trong trường hợp tổng quát--------V;— -· /
“ '
■'------- A— ^
Xị í i i + I ) + X 2(n+1)
x^(n + l )

Xr)(n - l)xr٠
—
X2(n + 1 )

í'

١ín)Ị ( (n

^

!(Một thí dụ cho hệ thơng có tính chất cộng nhưng khơng thuẲn nhất là ; n) = Imịxín
Hệ thống này có tính châ.t cộng vì phần ào cùa một tống các sô phức bàng tổng các phấn ao cùa các số phức. Tuy nhiên hệ thống khơng có tính thuần
nhất do bởi : y(n) = [mljx(n )١ ٥ |(jlm |x(n
: H ã y xác đ ịn h có h a y k h ơ n g có tín h bất b iến đối với từ ng hệ th ố n g sau đây 1.14
n
a) y (n ) = x{n) + x (n - 1) + x (n - 2); tb) y (a ) = x{n)Li(nì; (c) y (n ) =

(e) y (n ) = x((n))N

x { k ) : (d) y ín ) = x (n ) ‫)؛؛‬
k =-x

(n g h ĩa là y (ii) = x(ii m odulo N ) như đã đề cậ p tro n g bài tậ p 1.8); {D y (n ) = x ( - n )

a> Goi y،n. là đáp ứng cua hệ thơng dịi vỡi tin hiơu ngờ vao tùy ỹ xln). Đé kiểm tra tinh bât biến ta cần so sánh đãp ửng đà được địch y(n - no) vđi đáp)
ưng cua hộ thịng đơi vỡi tín hiệu ngõ vào đã dược dich xx(n - no) + xín - no - 1) + X، n - no = (.n - n٠ - 2 )
^)áp ưng cua hệ thống đối với Xj{n١ = .٠f XỊÍn -1 ، + Xj(n - 2)

Vi(n) = x(n - no> + x(n -- no -- 1. + x(n - no
Do v(n - no ‫ ؛= ؛‬,yi،n) nòn hè thòng này bất biến
(tbi llệ thõng này là một trường hợp đẠc biệt cua một hệ thòng tỏng qt hơn có mơ tã ngỏ vào-ngõ ra cho bới : y(n) = x(n)fín
trong clõ f(n) là độ lợi dịch thay đổi {shíft varvmg gain). ('ác hè thống có dạng này ln luỏn có độ lợi dịch thay đổi f(n) khơng phai la hàng .sị Bổ chimg
lo dieii này ta già sư f(n) không phâi là hầng số và goi n ‫ ؛‬nn 2 >- Với tin hiệư ngô vào XỊÍn» = ị(n - n]), hãy lưu ý đáj) ،; (và nọ là hai chi sô sao cho fĩn٤
ưng ,VỊ(n) la ■> {(n) = f(n١, )٥‫ ؛‬u - nỊí. Mật khác, nếu tín hiịu ngị vào là xọ(n) = ٥(n - n2 ). đáp ứng là : V2(n> = f(n9)ồ(n - H2 )
MẠc dù Xị(n) và X2‫؛‬,n) chỉ khác nhau về độ dịch, dáp ứng VỊÍn) và Y2(n) lại khác nhau về độ dịch và biên dộ. Do vậy hệ thơng khơng có tính bất biến

n
c) C،‫؛‬ỌI y ( n )‫ ^ =؛‬x (k ) . là đáp ihìg cua hệ ihỏhg địì với tín hiệu ngỏ vào tùy ý x(n). Đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu ngơ vào được dịch

XỊÍn) = x(n - np) là : y j ( n ) =

n
n
٠١
^ X ị{k ) = ٤ x(k - n ٠٦) = ٤ .x (k ) . Do yi(n) bằng với y(n k -x
k ·'
k --x

aq)

nên hệ thống có tính bất biến

d) Hộ thống này khịng có tính bất biến, điồu nky dược chửng lõ qua một thí dụ đơn gian, Lưu ý rhng nếu x{n) = Ơ(n), dáp rmg sị U y(n) = ịín). Tuy)
nhiơn nếu Xi(n) = õ(n - 2). đáp ứng sè là yp n ) - XỊÍn^t =: í(n “ ~ 2) = 0, y iín ) 5، yín - 2) nẻn hệ thịng khơng có Lính bất biến ,
(« ٠ lưu ý ràng dơi với tín hiẽu ngõ vào Xj(n> = x(n - N), đáp ứng sẽ là : yi(n) = x((n - N) ị١j ,Vơi y(n) ỉầ đáp ứng đối vơi x(n١ ‫ ؛؛‬x((n ))]١;
.Vịínỉ cũng lầ đáp ứng đỏ.í với x(n). Do yi(n) * y(n - N), trong trường hợp tổng qt hệ thống này khơng có tính bất biến
Dẻ dàng chứng minh được hệ thống nảy khơng có tinh bà’t biến thơng qua một thí dụ. Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng phương pháp trực tiếp và 0 .
dặt xtn. là tín hiệu ngỏ vào. y(n) = x(-n) là đáp ưng. Nếu ta kháo sát tín hiệu ngô vào được dịch Xi(n ) ‫ =؛‬x(n - no) ta thấy đáp ứng sẽ là
(yi(n) = X ií- n) s x(-n - no
y(n - nọ) = x(-(n - n o Nêu ta dịch y(n) bới no١>١ = x(-n + n o ) ‫؟‬٠‫ ؛‬.yi(n). Do vậy hệ thống khơng có tính bất biến
n ) của hậ th ố n g đối với tín h iệu x u n g đơn vỊ tri h ồn ơ(n)،1 .1 5 M ột h ệ th ố n g th ờ i g ia n rời rạc tu y ến tín h được đặc trư n g bởĩ đáp ứng h١
.k). Với m ồi m ộ t h ệ th ố n g tu yến tín h được d in h n gh ĩa sau đ ây, h ả y xác đ ịn h t ỉn h b ấ t b iế n của từ ng h ệ t h ố n g a) h ٠) ‫ ( ؛‬n ) ‫ ( =؛‬n - k)u(n - k); (b) hj‫ ( ؛‬n ) = 5(2n - k); íc) hj‫ ( ؛‬n ) =

^
[ 5u(n - k )

٧ ٥ * ٤٤
vớ i k lẻ

Lưu ý rằng hỊ la ١‫ ( ؛‬n ) là hàm theo (n - k). Điều này gợi ý rÀng hệ thống này có tính bất biến. Để chứng minh ta hây gọi y(n) là đáp ứng của hệ thống
hỊdối vớĩ x ín ): y ( n ) = ‫ ( ؛‬y ( n ) =

(n - k )u (n - k )x (k ) =

k = -x

(n - k )x (k
k=-x

n )x (k ); )
k =-x

Đáp ưng đơ.i vđi tín hiệu ngõ vào được dịch x(n - no) là :
X

٠

k=-x

n

X

y i(n )= ٤ x(k - no)h|‫(؛‬n) =
k

(n - k)u(n - k)x(k

- Hq)

- ·X

(n -k )x (k -n o )
k = -x

n - n„

Bằng cách thay th ế 1 = k - no١ yi(n) trờ thành : y ٤( n ) =

y i(n )=

^

u-x

(n - n ٥ - 1) x (l)


hỊ

@ 22

Chương 1 : Tín h iệu và hệ th ôn g
،١ ■‫·؛؛؛‬,

Từ biổu thức của y(n) ờ phươnj١‫ ؛‬ụ

ir in h '

y ln

ỉ١o ) =

^

n،) - k )x(k ) = Yị (n) . Như vậy hệ thống này có tính bất biến،1 J1 1 t،i ít١.
/:

hì

(b) Vở١ hệ thống thứ hai, h|‫ ( ؛‬n ١ khí.ng Ị.hài là liàni theo (n - k. nên ta sẽ kỳ vọng r^ng hệ thống này khơng có tính bất biến. Ta hày tìm một th í dụ đê
chứng tỏ rằng đây là một hệ thơng khịng l١ãl hièn. Vứi tin hiệu ngõ vào x(nì = c‫{؛‬n), đáp ứng sè ià ;
v(n) - h٥(n) -

ỏ(2n) =

I^
lo

các trường hợp k h ác

Nếu ta trì hoãn x(n) bời 1, dáp ứng dõi Vvn X‫؛‬in ٠ = (5(n - 1) là ; y i(n) = h ;(n) = ò(2n - 1) = 0. Do y I<n> ?‫ ؛‬n - 11. hệ thống khơng bất biến,
(c) Với hệ thống sau cùng ta tháy rang niãc du h‫(^؛‬n) là hãm theo (n - k) vỡi k chÀn hoẠc lõ, h ‫؛؛‬ín ) ^ h ‫ ؛؛‬j(n “ 1) . Nói cách khác, đáp ứng cùa hệ
thống đối với ỏ(n - k - 1) không hằng VỠI dáp ứng aia hệ thịng đối VỨI ị(n - k) được trì hỗn bời 1. Do vậy hệ ihỏhg khõng có tính bất biến.

1.16 Đ ặ t T[.l là m ộ t h ệ thống luyén tinh nlumg không n h ấ t th iế t phái có tín h b ất b iến và hệ th ố n g n à y có đ áp ứ n g h|‫( ؛‬n ) đối với tín

h iệu ngõ vào 6{n - k). Hãy chứng niiiih rÀng băng cách kiêm tra hỊ.(nl ta có th è xác định được hệ th ố n g có ốn đ ịn h h a y k h ơ n g , hệ
th ốn g có tín h n h â n quá hay khong.
(a) Dáp L٠fng cúa m ột hệ thõng luvón lính d ١i! vỡ. un hiộu ngô vào x(n ‫ ؛‬là : y ( n ) -- ٤ h ‫( (؛؛‬ii)x ( k
k A
١au : Ị v (n ) i " 1‫(^؛‬n ‫؛‬x (k ) 1
^■=Ik . '
I

h . Do vậy tín hiệu ngỏ ra cỏ thị' dư،rc giứi han nlur

^ |h|^(n)Ịịx(k )‫؛‬
k

r

Nêu x(n >có giới han, Ixín) i . ‫ ؛‬A < '

( 1 . 22 )

f

1 V. n ٠I : A ^

I hj^ {n 11 Như vãy nêu

^ Ị h j .( n ‫| ؛‬
^ k

B < ^٠ với mọi n

(1.23)

١u kiện dù ta sẽ)tín hiệu ngỏ .ra được giới hạn và hi' thịng f>n dinh Phư.íng trinh n 23، la duHi kiịn càn de h،■. thịng có tinh ơn dinh Dõ’ ih iè t lập đi
thày một lín hiéu ngo vao có giứi hạn nhưng dáp ứng ngo ra cua hệ thống khơng cổ giới h ạ n chímg tị răng nơu tổng này khịng h'iii han iH c'ó ih.‘ tin٦.
( ١húng La hây gia th iết ràng h ‫؛‬,( i ،‫ ' ؛‬n giơi han dỏi vdt nìui k và n Ingư (‫؛‬،■ lai họ thống sẽ không ổn dinh (lu Ỉ>ƠI dáp ưng d(H vứi tin hiộu ngõ vào cổ giới
hạn ị(n - k. sẽ khơng có gií.h hanl VVn li ( n . co g.ni han

Đạt x(n) = Sgn(h٠‫(؛‬n٠)h١ J nghía ia x(ii)

, h

VỚI

moi k và n, gia ihiốl ráng tổng ớ (1.23) khịng có gi(j‫؛‬i han

VỬI

giá trị nào đó của n gọi là np

0‫ (؛‬n ،٠) = 0 -

l,١( u٠) )< 0
/■

/

Vởi tín hiệu ngỏ vão nãy. đãp ứng ờ ihf٢i diòm n - no là : y(n٠j)= ‫ ( ؛‬n ،١)í ( x ( k
/ k /.

)

= ^

x

hỊ.(n٥ ‫؛‬gn{h^(n.,)} k- í

| h ‫؛‬٤( | ( n٠j
k

yíno», thoo già thíỏt, khơng có giới han l١o \ A\' l.õ ihỗng không ổn dịnh và la Ị.hái ihièt lập diều kièn dù dưưc cho bơi ( 1.231
(b) Bây giờ ta khào .‫؟‬át tính nhàu pua. V(h un hi(Hi ngõ vào xín), dáp I.mg dược cho như (‫ ؛‬phương trình n.22)- Dế một hệ thịng cỏ tính nhân (l. tin
hiệu ngơ ra y(n) ờ thời điểm n ‫ )؛‬khịng tlìà p‫؛‬١u thuộc vào tin hiệu ngò váo x.n ‫ ؛‬V()| n > np. Do vậy phv/ơng trinh Í1 22) phai cỏ dang

y(n )= ٤ h ‫؛‬.((n)x(k
k

<

Điéu này sê đúng vđi x(n) bât k> n(١u va chi nêu liị.(u) =‫ )' ؛‬vdi n < k. Dáy là diều ta cần kiểm tra dể xãc đinh tính nhàn quà cũa hệ thống.

1.17 Với các hệ thống đă định Iiglìia trong bài tập l.lõ . Hày xác dinh hệ thống nào ổn định, hệ thống nào không ổn định. Hãy xác
định hệ thống nào nhân q, hè thịng nào khơng nhán quả.
(a)

Với hệ thống đầu tiên, hỊ‫( ؛‬n) = (n - k ‫؛‬u(n - k), lưu ý ràng hị‫( ؛‬n ) tAng tuyến tính theo n. Như vậy hệ thống này khỏng ổn dinh. Thí dụ nếu x(n) a ồ(n),

tín hiệu ngõ ra sẽ ià : yin) = hon) = nn. khíing có giới hạn. Ta cũng có thể sừ dụng viộc kiểm tra đà được chiírig minh ờ bài tập i.l6 để kiểm tra tính ổn
r

dinh. Do ;

n

Ị

!hj‫ ( ؛‬n ) Ị - X
l‫؛‬.‫·— ؛‬r

h | = ٤ | k | = X‫ ؛‬. hệ thống này không ổn dinh, Mạt khác do h ‫(؛؛‬n) = 0 với n < k, hệ thông này có tính nhân q.
L·—
،1
k=<)

k cí

X

(b) Vđi hệ thống thứ hai, hj‫(؛‬n) - ị(2n

k). liru ý ràng hị‫( ؛‬n) có một giá trị khác 0 vá giá trị khác 0 nàv bÀng 1. Như vậy

٤ ^ I h ٠^(n) I < 1 . vớí

\■ -ưi
mọi n và hệ thống này ổn dinh Tuy nhién hệ thơng khơng có tinh nhán quà. Đè'chứng tò điều này. ỉưu ý rÀng nêu x(n) = ٥(٠n - 2). đáp ứng là

y(n) s h 2Ín) = ỏ{2n - 2) = ờ(n - 1) Do hộ thông lao ra đáp ứng trước khi tin hiệu ngõ vào xuất hiện, hệ thống này khõng nhân quả.
(c) Với hệ thống sau cùng, luu ý răng

^ | h^(n)ị= ^
-k =

~ x

. k=->:
k chẩn

lhj ‫ (؛‬n )| + ٤ lh ‫؛‬٠(lhj n)| <‫ (؛‬n)l
k=

X
k k■

k = -x
k 1،،

٤ ] I \\ (n) I =

k=-^

5u(n - k) = ٤ 5
k 1«

k=-x

k !٠■


Chương 1 : Tin hỉệu và hệ thống

23

K ét quà này không dược giđi hạn. do vậy hệ thô'ng không ổn định. Cuố‫؛‬
cung, do hk(n) = 0 vdi n < k, la cO hệ thOng n h ân qud.

1.18 Khảo sất một hệ thống tuyê'n tinh cổ dáp ứng dồ'l với tin
hiệu nấc dơn vị dược tri hoân cho hở‫ ؛‬: s^(n) = kÔ(n - k),
nghĩa là Sk(n) lả dáp itng của hệ thô'ng dối với tin hiệu ngO
vầo x(n) = u(n - k). Hảy tỉm dấp ứng cUa hệ thống nầy dối vói
tin hiệu ngõ vảo Χ(η1 = d(n - k). trong dó k là số nguyên tủy ý
và hày xác định xem hệ thOng có tinh bất biến, ổn định vả
nhân quả hay không.
Do hệ thô.ng tuyến tinh, ta có thể tim thay dáp ứng, hjt(nl, đơ'‫ ؛‬với tin
hiệu ngò vào ỗ(n - k) nhu sau. ١-'ớ11)0 ‫ ؛‬- k) = u(n
k) ٠ u(n - k - t).
tin h tuyến 'tinh dẳn dẻn : hk(n') = Sk<n) - S k.i(n) = kỗ(n - k) -- (k + 1>
0(n - k - ‫ ا )إ‬va dược trinh hay trong hình dưới day ( tran g kè').
Từ dồ th ị nay ta thả.y ràng 1‫ ؤاا‬thồ.ng khOng cO tinh bat biè.n (lo bơ‫ ؛‬đap ứng của hệ thOng dối vdi tin hiệu xung đơn vị có biẽn độ thay dổi k h ‫ ؛‬tin hiệu
xung dơn vị b‫ ؛‬dịch trdi hoặc dịch phdi. Tuy- n h ٤ẻn do hk(n) = ،) với n < k, hệ thống cO tinh nhần quả. Sau cùng do hkín) khõngcO giơ‫ ؛‬hạn (hit(n) la ham
theo kl, hệ thOng khOng ốn dinh. Một cdch cụ thể, ta lưu ý việc kiểm tra tinh ốn định da dược chứng m inh ở bai tập 1.16 yẽu cầu,

1
! 1 ١к ( п ) I

max Σ
π

к

‫ ك‬В < ■X

X

‫د‬

Vơi hệ thồ.ng nay Σ Ι٤ι‫(<؛‬η )| = ! 2η ‫ ا‬. Ta dể dang có dược dồ thị
k--r
,hkín) theo n nhiídược minh họa ơ hình vẽ dưới da.y
Do tổng trẻn khOng th،'l bị giơ. hạn bơi một ‫؛؛؛‬ố hửu hạn B. hệ thOng nay
Ta củng cO th ể tim tha -khOng ổn dịi١١٦'‫ ’؛‬một tin hiệu ngỏ vảo dược g ‫؛‬ới
١h(')ng tao ra dap ،ĩng khOng giớ hạn ma hệ‫ ؛‬hạn. Một t ‫؛‬n h ‫؛‬ộu như vậy

cOdang sau xí n) ■
‫ت‬Σ ٥(η ١2k)
k .،)

Dáp líng sê la : y(n ١ = n(--D'^n١:

y(n» rO rang khỏng có ^ơ ỉ hạn.

1
1.1‫ و‬K hảo .sát m ột bệ thOng m à tin hiệu ngO ra y(n) vầ tin hiệu ngO vầo x(n) có quan h ệ n h ư sa u , y (n ) = Σ

x(k )x (n

k)

k --x

H ãy xác d in h tin h tuyê.n tin h , b ấ t biCn, ổn đ ịn h va n h a n quả của h ệ thống.
(a) Dl(١u trước t‫؛‬ẻn ta cán (juan sat doi với y{n> la y(n) dược thanh lập từ tổng các tích của x(n) vớĩ các phiền
y ío ) ‫ ت‬Σ x^(k)
‫ئ‬

bản dượcdịch của

x(n). Thi dụ.

Do vặy chiing ta kỳ vọng rẳng hệ thfi'ng khỗng tuyến tinh. Ta hảy khắng định diều nầy qua mộ

‫د‬

χ(η٠ = ồ ín ١. vin) : ị (n ) . Tuy nh.ẻn nếu x i n 2 ‫ ﺀ ؛‬Ồ(nỉ, yln) = 4δ(η). Như vậy hệ thống nầy khồngcơ tinh thuẩn nhất va kê't qua la hệ thống không tuyê'n tinh.

;
Cb، vơi tinh ١)a't b١ến. ta cản so sổnh y(n - n ٥ ) ‫ ﺀ‬Σ

У і(п)= Σ

x(k )x (n - n ٥ + k ) , vơi dáp ứng cUa hệ thOng dối vơ‫ ؛‬Xiín) = x(n - n .l. ta gọi la Уі(п)

Xj(k)xi(n + k)

У і(п > : Σ

x ( k - ٠ ٥ )x(n + k - n ٥)

У і(п )=

Σ

х ( к ')х (и + к ')

k '= - t

k :--r .

trong do d^ng thức sau cUng có dược bằng cá^ -th ay th ế k' ‫ ﺀ‬k - no· Do bởi Уі(п1 ٠ y(n - no) nên hệ thống khOng cơ tinh bạt.biến.
(c. Với tinh ổn định ta 1‫ ﻟﻌﺎ‬ý rằng nấu x،n) la tin hiộu nấc dcm vl, y(0) khơng cơ giđi hạn‫ ؛‬như vậy hệ thỗ.ng khơng ổn định.
(di ‫ا‬:‫ ﻻ‬0‫ ذ‬cUng, VỚI tinh nhan quá. lưu ý la tin h‫؛‬ệu ngơ ra phụ thuộc v a . cốc gia trị cửa xln) vơi mọi n. Thỉ dự y(0١ la tdng cUacấc binh phương
vơi mọi k. Nhu vậy hệ thống khơng nhân quÁ.

cua xlk)

1.20 Cho xln) la tin hiệu ngO vầo vầ y(n) la tin hiệu ngO ra cUa hệ thống. H ệ th ố n g nầo tro n g cấc h ệ th ố n g sau dây cố tin h n h ầ n quẩ :
(a) y(n) = χ2(η)ιι(η)‫؛‬

(b) y(n) = x( ( n ! )‫؛‬

(d) y(n) = x(n) -- x(n^ - n);

(e)y(n)

(c) y(n) == x(n) + x(n - 3) + x(n - 10)‫؛‬

N

ĨỊx C n -k );
‫اﺀي‬

(٠ y (n )= ٤ x ( n - k )
k:ĩl

(a ١ Hệ thỏ'ng y(n) = x^(n)u(n> la hệ thOng không nhớ (memoryless) ỉnghỉa la dap ứng của hệ thống. ٥ ،hơ‫ ؛‬điểm n chỉ phụ thuộc vầo tin h ٤ộu ngơ vầo ơ
thơi điểm n, không phụ thuộc vầo giá trị nằo khấc cUa tin hiệu ngơ vầol. Như vậy hộ thơng nầy cơ tinh nhan quả.

(b. Hệ thơ'ng >'(η) = xí ‫ ا‬η ‫ ) ا‬la một thl dụ cho hệ thdng khỗng nhan quả. Diều nằy cơ thể thấy dược bàng cách k h ẩ . sốt tin
hiộu
ngơ ra khi n < 0.Cụ th
tạ lưu ý ràng y(-l» = xll). Như vậy tin hiệu ngỗ ra ơ thơi dlểm n = -1 phụ thuộc vầo gia trị cUa tin hiệu ngơ vảo ở một thơi điếm trong tương lai.
(c) vơi hệ thOng nầy. dể tinh toán tin hiệu ngơ ra yln) ‫ ؤ‬thơ‫ ؛‬d‫؛‬ểm n, tất cả n h ^ g g‫ ؛‬ta cần la biết dược giá trị cửa tin hiệu ngơ vằo xfn) ơ cấc thơiđiểm
n. n - d và 11 - 10- Như vậy hệ thõ.ng phả‫ ؛‬cơ tinh nhan quả.
(d’ Hệ thống na.y khOng nhan quả. d‫؛‬ều nầy cơ. thể tha'y dược bầng cấch tinh yln) vơi n < ٥ . Thi dụ, y l-1) = x("٠l) - x(2)
D. ٠v (-l) phụ thưộc vảo gia trỊ x 2 ‫ )؛‬xảy ra ở thơi điếm sau thơi điểm n ‫ ﺀ‬- 1‫ ا‬hộ thốngkhơng nhan quả.


^ 24

Chương l· : Tin h iện và hệ thốsig

(o. Ngỏ ra ciia hn Lhô.ng nàv ừ thời điểm n ІЙ ti'th của СЙС gia trỊ cUa tin hiệu ngỏ vào x(n) ờ các thờ‫ ؛‬điểm n-1,.,-, n
chi Ịíhụ thuộc ٧ao cdc giá t r ‫ ؛‬trước do cUa tin hiệu ngO váo. hệ thOng cO tinh n h ản quà.

N, Như vậy, do 1‫ ذﻗﺮ‬tin hiệu ngO) ra

/

0

(0 Hệ thOng na)- khOng n h an quả, d ٤ều này dẻ dang thày dược nOu ta v‫؛‬ê't ‫؛‬ại 'định nghĩa của hệ thOng như sau : y(n) = Σ xCn - k) = Σ x(٤)
k=٠i

U /

Như vậy Iln h،ệu ngO \٠
ao pha‫ ؛‬dược biết ơ mọ‫ ؛‬thOi điểm n á ( ) dể có th ể xác định dược tin h ٤ệu ngõ ra ‫ ق‬thoi d‫؛‬ểm n. Thi dụ dể tim >··ί-5 ) ta phai biiết
χ(ϋ ), χ<- 1 ١, xí - 2 í.

Vậy hệ thỏ.ng khOng cO tinh nhan q٧a.

1.21 Hệ thOiig nào trong cdc hệ thống sau dây có tinh On. định :
(a)y(n٠= x٩ ní:

( b ) y ( n ) = e* ("’ x ( n - l ) ;

(cí y(n) = C 03(x(n))

( d ) y ( n l = ^ x ( k ٠:
V ‫ﺀ‬

(e) y(n) = ^ogd + lx(n)l );

(f) y(n) = x(n) - 0θ5(ηπ/δ٠

'

2

.‫د‬

(a .. (١٥‫ ؛‬χ(η٠ b at ky cO giOi hạn v(.h lx(n،l < M, Như vậy tin h là mỌt tin hiệu ngO \-a٥ ‫؛‬X ín) dược giO = ệu ngO ra y(n١‫ ؛‬hạn bới f..y(n)l = lx(n)l “
2

1)0 ١-.ạy hộ thỏ.ng On d in h
ưng cUa hệ thOng (lo tb) Hệ tho'ng nay rO rang khOng On định. Thi dụ іа'ІіЛ! S' .'ang dáỊ١'‫ ؛‬vOi tin hiệu xung đơn VỊ x‫ ؛‬ηΐ la vO hạn VỚI mụi gia trỊ tcda = n٠>0
n ngoai trư n = 1
((') 1) ‫ اﺀ‬lcosíx.l < 1 \-‫ ا؛ا‬mọi

X

nOn hệ thOng ổn d Ịnh ,

(،1‫ ر‬thOng nav lifting l'fng vrtí mót bộ tJch phan sO'(digitat m tt.gralori và khOng On d 110‫؛‬nh. Thi (І1.1 hay khao sdt dãp dng nO'c ciia h(ỉ thOng. Vdi x(n ) = ‫ل(اﻻ‬١‫ر‬

1
ta c ó v ớ !n > u

y ti(k) ‫ ( ^ ؛‬n

y ( n ) -‫ذ‬
k

+ l) .M ạ c d iii( n h iO ،f n g O v a o c O g ‫؛‬ớ ‫ ؛‬hạn. lx(n،l ‫ ؛‬l.d a p ư n g c u a h O th O lìg k h O n g c O g iư ih ạ ii .

,

' ٠,٠ng ηΟ.ν On (lỊnh Ị>ang ca،:h)I*. Ta cO thO chitng to d،fơc liO th ‫؛ ؛أغ‬lung bat dẳng thức sau : logd + x . ‫ة‬

Cu ihO. n(>Lix،n'(lươcg ‫؛‬I l

X

VƠI

‫ ة‬0'

X

٠gi 1 + (x (n )l,l < 1 + l .x ( n ، l < l + M . N h ư \ - ạ \ t í n l )ới han, lx ( n ٠ l< ^ l

Iv.n.l ،‫؛‬0 u n g O ra c ،J g ‫؛‬ơ ‫ ؛‬hán\-ah،)tl١i٠u١g0ndi ^

٠!') ihOng nav khOng On (lỊnh t 110)‫ ؛‬Ou nky cO tliO ‫؛‬.hOy ،lươt ،‫؛‬Ang cách khao sãl rin h ‫؛‬ộu ngo vAo có gidi han x .n ) = ‫ذا"ا‬.٠‫ل(ي‬١.‫آ‬.''«>. CiỊ lliO ta ΙιΛί
h ‫؛‬ộu ligo ra cua hi. iliijng if ihời diOriì η = о la : v(ơ) .

٠

у

к‫ ت‬/

x ( k ) l i l 'k ) -

у

к‫ ث‬,

C.I.S‫ ؛‬- - )،:،IS

‫ أ‬8٧ ,‫ل‬

V

rAng t ‫؛‬n

ηπ١ι
٩۶■
‫ = إ‬, .‫ةي‬١. ‫^ا ﻻ ا ﻻ ا‬. ‫ة‬η‫ﺀ‬π: ,
^ ٧ '

к

‫ﺗﻢ‬

١
-((‫ اد‬la gia ‫ﺀا‬-‫ ا‬khong giiJi h an . CUng do quan hệ g ‫؛‬ừa tin h ،(‫؛‬u ‫؛‬Igo vao vá tin hiệu ngO ra la m ột p h ٠
‫؛‬،j chạ!', tlAy la inOt hộ thO ng tuyOn Iin ،١،)at Ιη.'.η νόι
flajj 1'fng xiing don vl la

1ϊ(‫ ؛‬ΐ > ---- C 0 s | — ١ . Ho mOt hO thOng tu'O'n lin h va l)at biOn chỉ On định ηι.41

ì)h ) ‫ا‬

‫ا ئ‬٠

< '‫ ر‬. ta tliAy lAng ho tho'ng khung On d ‫؛‬n t١

Hệ thOng Iiho troiig cac hệ thOng sau dily cO tilth kha ddo 1,22 :

<a ‫ ؛‬v(n، = 2x‫ ؛‬n >',

( b ) ٧(‫ = ) اا‬l i x i l l )‫؛‬

(c) y(n) = x(i'i) - x(n - 1):

(d) y(i١l

‫غ‬

(e)v (ii ، ‫ ؛‬R‫{‘؛‬x<،Hl

xlkl:

HO k ‫؛‬0m tra linh kha dao. ta cO th ế chứng minh rằng mOt ho ihOng la kha dao bAng cách thiOt ko' một hộ thOng nghỊcti dao (I,١\ ٠t‘rs ،‫ ؛‬.system , ch ‫ ؛‬، lơn
ihuAn khOi ị.huc t ‫؛‬١٠ao tư tin h n h.ộu ngO‫؛‬ộu ngO ra hoặc ta cO thO chiíng m inh rAng một hệ thô'ng la kliOng kha ،lao bAng cach tlm hai tin h ‫)<؛‬0u ngO 4 à
kliAc nhau nhimg lại tạo ra cting m ột tin hiệu ngO ra. Ta sO stí dung một trong hai phương Jjhap пАу do ki،‫؛‬.m tr a tinh kl١a dao cUa cAc hộ thOng
a، Hệ tho'ng nay rO rang kha dao do hơi vdi tin h ،‫؛‬ệu ngO ra cho trước y(n) ta có thế khOi phục tin hiệu ngO vao hAng cAch sử dpng x(n٠ : ().í٠».١-(ni
h. Hệ thOng пАу khOng kha dào ν١) ơ thOi dlOm n : 0 khOng th ể dược phục hổi từ gia trỊ cUa x(n٠ ٧( Thi' dụ (lAp tmg cila ho thỏ.ng do ,η٠'‫ ؛‬VỞI x.n) vA ،lo'‫؛‬
vơi xj،n> = x(n، + «0،n ‫ ؛‬sO giohg nhau vdi o bat ky.
٠،-) Ho tin h ‫؛‬ệu ngO ra la sai b٤ệt ^ữa hai gia tr ‫ ؛‬líOn tiO.p nhau cUa tin hiệu ngO vào, hệ thOng khOng kha da», bưu ý la cAc. tin h ‫؛‬ngỏ va 0٧،' \ ‫ ااﻻ‬va
.x(n) + c sO tạo ra cOng mỌt tin hiệu ngO ra vơi c bat k y
di Hệ thồ.ng nav tương ưng vớ)‫ ؛‬một bộ tích phan vA cO tinh kha dao. Đổ ch i^ g minh diều пАу ta cO thể cAu tạo mỌt hệ thOng nghịch dao, hệ thOng nay
‫د‬
η-Ι

la : χ(η) = ν(η ‫ ا‬-- ν(η - 1 >. Đn chứng minli rAng day la hệ thõ.ng nghjch dảo, ta liAi ý : y ln ) - y(n - ! ) =

Σ

x (k ) - Σ

k --. ‫ﺗﻢ‬

x(k) = Χ( 11 )

к- /

،‫ اج‬Tinh khả da،) pha، đUng với cac tin hiệu cO gia trỊ thực cUng như vơ‫ ؛‬các tin hiệu có gia trl phức. Như vậy hệ tho'ng này khOng co' tinh kha dao do bơi
Tuy nhíOn la cO thể phat biOu ràng hệ thỏ.ng пАу khả dảo trèn.tập các t .hệ tho'ng loạ، bO phAn ao cUa x (n ١‫؛‬n h ‫؛‬.ệu cO giá trị thực

K hảo s á t hai hệ thỏ.ng g h é p nối tầ n g Si vA S 2.1 .23 ,
(a) Neti cả 1‫ ﻓﺔا‬hệ th ố n g Sj và S-Z ỉà tuyến tin h , b ấ t b iến , ổn định
vA n h à n quả, có phdi cả hộ th ố n g g h ép nồi tầ n g ctìng sẽ tuyến
.tin h , b â t biến, ổn đ ịn h vả n h â n q u ả
Ib) N ếu cả ha^ hệ thOng Si vA

‫ ج‬dều

k hơng tu.n tin h , có p h ả i hệ th ố n g ghOp nỗi tầ n g cUng sẽ khOng tu v ế n t in h 2

Nếu cả hai hệ thOng Si v à (c ١ ‫ ج‬dều k hông b ấ t b iến , cO p h ẩi hệ thô'ng ghép nối tầ n g ctìng sẽ k h ơ n g bà't b iế n 2
a. Ta dề dAng chứng minh ،lược rAng tinh tuyến tinh, bất biCn, ổn d)‫؛‬nh vA nhân quẩ dược bảo toAn trong một hệ thOng ghOp nO'‫ ؛‬tầng. Thi dụ dáp ưng
cUa Sj dOl vơi η'η hiệu ngO vAo axỊ ‫ ؛‬n) + bx 2(n) sO lA aw ĩ ‫ ؛‬n» + bw 2(n) do tinh tuyOn tỉnh cUa Sl· CUng vơi t ‫؛‬n h ‫؛‬ộu ngO ra пАу ta dưa dẽ.n hệ thô'ng ‫ ة‬2‫ ا‬dap
Ьу2(п + ling sẻ la ауі(п ٠) ،‫ ا‬tinh tuyê'n tinh cUa 0 ‫ ة‬Như vậy nOU cả hai hệ thô.ng Sj vA .2 ،‫ ﻻ‬đều tuyê'n tinh, hệ thOng ghOp nồ 2'‫ ؛‬.tầng sO tuyến tinh
Tương tự VƠI tinh bẴ't biè'n, ηό'υ χ(η - η٥1 ΙΑ tin hiệu ngO vAo cUa 8 ‫ ا‬٠ ThOm vAo do do s.) la hệ thô'ng bat b .١v(n - np) sO la y.n - 0(١‫ ا‬. Như vậy dap ứng của hệ tho'ng nô'‫ ؛‬tầng do'‫ ؛‬vA hệ thở.ng ηό'ι tẳng cO tinh bâ't b với xin - n .) sẽ lA y(n - n٧١‫؛‬n '0.