Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

Phạm Thị Thảo

CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------

Phạm Thị Thảo

CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI
FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số: 9460112.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn
2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2019




ầ ặ

è ĩ ề
ẹ ể ề Ý Ð
Ị ØỊ Ị ịỊ
Ù
Ø
×
Ị
Ị
˺ ÌËÃÀº È Đ Ã Ị Ú È Ëº Ì˺ Ỉ ÙÝõỊ Å Ị ÌÙ Ịº
ÕÙ
ÐÙ Ị Ị Ð Đ Ú
Ø Ị

Ị ØƯĨỊ Ø
Ị ØỊ Ị Ĩ
º
Ỉ ịỊ
Ù × Ị

È ĐÌ Ì Ĩ

ặ

ẻ ỉ ỉ
é ề ụỉ ề × Ù ×

ĐøỊ ¸ Ø Ü Ị
Ð
Đ Ị
ơỊ Ị Ø Ý Ị ùỊ ¸ ˺ ÌËÃÀº È Đ Ã Ị Ú È Ëº Ì˺
Ỉ ÙÝõỊ Å Ị ÌÙ Ịº Ì Đ Ý Đ Ị
Ð Đ Ị ịỊ
Ù × Ị
×
Ị Ị
˺ ÌËÃÀº È Đ Ã Ị ¸ Ị Ø ݹỊ
Ĩ
Ð Ị
Đ Ø ÐÙ Ị ùỊ ØƯ Ị º ÌƯĨỊ ×Ù Ø ÕÙ ØỊ Ị ịỊ
Ù ể ề ỉ ữề
é ề ềá ỉ é ề ề ề
ì ỉệ ễ ỉ á ì
û Ĩ Ú
Ị Ị
Ø Ị ØøỊ ¸
Ø
Ì ݺ Ì Đ Ý Đ Ị
Ð Đ
ØƯ
Ø Ý Ø ¸

È Ëº Ì˺ Ỉ ÙÝõỊ Å Ị ÌÙ Ị¸ Ø Ị Ị Ị Ý Ù Ø ịỊ Ø
Ị Ð
× Ị Ú ũề
á ỉ é ẹ
é ề ỉ ỉ ề ữễá ệ × Ù Ð ÐÙ Ị
Ú Ị Ì
× Ú ×Ù Ø Ị Ị Ị Đ Ø Ị Ø Ð ề ũề
ì ề
ẹ
ề
ể èể ề
è ề
á ØƯ Ị
à Ĩ
Ì Ị ịỊ À
Ỉ º Ị
Ị Đ Ị Рݸ Ø ØƯ Ị Ø Ị ỉệểề
ỉ ễá ỉệểề
ề ữ
ề ũề
ể
ề ì ứ ỉá ì
ỷ íá ì ề
ũề ự
éữ
è ݺ
Ì Ü Ị Ð
Đ Ị
Ị Ø Ị ơỊ

Ø Ý
¸

Ị
Ø Ị
Ú ịỊ
Ë Đ Ị Ư
× Ơ Ị ØỊ Ú Ơ Ị Ø Ù
Đ Ị ÌĨ Ị
ÌùỊ ØĨ Ị Ú ÌĨ Ị Ị Ị ¸ ØƯ Ị
à Ĩ
Ì Ị ịỊ¸
ẫ
ặ ậ ẹ ề ệ
ỉự
ì

ễ ề ễ ễ
ỉể ề ì
ễ á ỉệ Ị
à Ĩ
Ì Ị ịỊ¸
ÉÙ


ặ è

ệ ỉ ề ú ỉệểề ì ỉ ế ỉệứề ỉ ẹ
ậ ẹ ề ệá
ữỉ Ị Ị Ị

ơỊ Ị Ơ Ú ØƯ Ĩ
Ĩ
ØƯĨỊ
Ị Ị ÐỊ Ø ØỊ Ý Ĩ
Ĩ Ø
Ë Đ Ị Ư¸ Ø Đ
Ø ư Ĩ Ị
Ø Ị Ò ÐÙ Ò Ò Ò Ýº
Ì
Ò Ü Ò Ð
Đ Ị
Ị Ø Ị Ø

Ị
Đ Ị ịỊ
Ù × Ị
ÙÝịỊ ề ề èể ề ề ề á ắẳẵạắẳẵ ú ề ề
ỉệ á
ì ễ ỉệểề
ỉ ễá ỉệểề
ề ữ

ề ề ỉệểề

× Ị º
Ì Ü Ị
Đ Ị Ị Đ ÷Ù ØƯ Ị
à ơỊ ØƯ
À Ỉ
ĨØ

Ø Ơ Ú Ị ịỊ
Ù¸
Đ Ị

Ị
Đ Ị
Ị ÷Ơ
Ị Ø
Ø
Đ Ị ÌĨ Ị¸ ØƯ Ị
à ơỊ ØƯ
À Ỉ
ÐÙ Ị Ø Ĩ Đ óÙ ÷Ị Ø Ù Ị Ð
Ĩ Ø ØƯĨỊ ×Ù Ø Ø
ỊØ ÐĐ
Ị ịỊ
Ù × Ị º
Ù
Ị ¸ Ø ĐÙ Ị Ý Ø Ð Ị Ị Ú Ị ơỊ
øỊ
ĐøỊ ¸ Ị Ị Ị ÐÙ ề íũ ỉ ề ề
ỉ ú ữề
ữỉá Ø ĐÙ Ị
Đ Ị
Ị Ø ¸ ề é ề
ẹ ỉ ề á ì ề ×ð Ị Ị
Ị
Ị Ø ¸ ØƯ Ø ØƯĨỊ ×Ù Ø Ị Ị Ị Đ Ø Ị ÕÙ ư Ø

Ø ư Ĩ Ị Ø Ị ÐÙ Ị Ị Ò Ýº



é

ẹ ểề

ẹ ề
ề

ữ


ẵ ụề ỉ

ề
ẵẵ

ì é ỉ íụỉ ẹ ệ
ÐØ º º º º º º º º º º º º º º
½º½º½ Ị Ị ú Đ Ö
ÐØ º º º º º º º
ẵẵắ
ỉựề
ỉ
ẹ ệ
éỉ
ẵắ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º º º º º º º º º º º º º º º

ẵắẵ ề ề ỳ ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ
ẵắắ ẩ ễ ỉựề ØĨ Ị Ø Ø Ị ÕÙ Ø º º º
ẵắ ụề
ểệ Ư Ơ Ị Ø ØƯĨỊ Đ Ø Ơ Ị Ø
Ị¹ØỊ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½º¿
Ị Ð Øù
Ú
Ơ Ð ịỊ Ú ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị
Ø ºººººººººººººººººººººººººººººº
½º Ị Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ẵ

ẵẵ

ẵẵ
ẵẵ
ẵ
ẵ
ẵ
ắẵ

ắ
ắ
ắ


½º º½ Ä

Ị õÙ ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º º º º º º ắ
ẵ ắ
ỉ ỉệểề ẹ úề ểệ Ư Ơ Ị Ø º º º º º º
ẵ í ẹ
ễ
ỉựề ữ º º º º º º º º º º

ắ



ắẵ

ễ é ũề ụỉ

ễ
ắẵẵ
ắẵắ
ắẵ
ắắ
ễ
ắ
ễ
ệẹ ỉ
ắẵ
ắắ
ắ
ắ

ề

ẵ

ụề

ểệ ệ ễ Ị Ø

Ị
Đ ØƯ Ị º º º
Ị Ð
Ơ ºººººº
ØùỊ
Ø
Ị º º
Ø Ị Ø
ĨÙỊ Ú
Đ ØƯ Ị Ị
ƯƠ º
Đ ØƯ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị
ººººººººººººº
Ị Ð
Ơ ºººº
ØùỊ
Ø
Ị º º
Ị ĐỊ º º º º º º º
Ø Ò Ø

Ơ Ị

Ị

ººººººººººº
ººººººººººº
ººººººººººº
× Ï ỊƯ ººº
ººººººººººº
ơỊ Đ Ù×× Ú
ººººººººººº
ººººººººººº
ººººººººººº
ººººººººººº
ĨÙỊ º º º º º º º

Ð Ơ Ơ Ị ØỊ Øù
Ơ Ị Ị
Ơ º º º
¿º½º½
Ơ ề ỉệứề ỉự
ễ ề ề
ễ
ẵắ ẩ Ị ØỊ Øù
Ơ Ị Ú Ị Ị À ƯĐ ỉ
ắ í ẹ
ễ
ỉựề ữ
ỉề
Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º º º º º º º º º º º º º
ắẵ ề é é í ẹ º º º º º º º º º º º
¿º¾º¾ Å Ơ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º

¿º¿ Ä
Ị Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º º º º º
¿º¿º½ Ä
Ị Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ắ

















ẹ

ề ỉệểề






ắ

ắ
ắ




ẳ

ẳ
ẳ


¿º¿º¾ Å Ơ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

à ÐÙ Ị
ÐÙ Ị Ị

¾

Ị Đ



Ị ØỊ Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ÐÙ Ị Ị
Ì Ð ÷Ù Ø Ñ

Ó

¿


ề
N
Z
R
FT
F RF T
LCD
WD
(x)
Hn (x)
n (x)
(x)
(x)
(x)
n(x)
Lp(R)

.

p

ữ

è ễ

ì ỉ Ị ịỊ
Ì Ơ

× Ị ÙÝịỊ
ÌƠ

× Ø
ơỊ
ĨÙƯ Ư
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ơỊ
ùỊ Ø
ØÙÝơỊ ØùỊ
È ỊƠ Ï Ị Ư
À Đ Ư
ÐØ ´ Đ ÜÙỊ Ị Ú µ
Ø
À ƯĐ Ø
n Hn(x) = (−1)n ex dxd e−x Ú n ∈ N
À Đ À ƯĐ Ø
n φn(x) = e− Hn(x)
À Ñ ei(x−ax )

À Ñ ei(−x−ax )
À Ñ e− x −iax
À Đ e−i2ax φn(x)
à Ị Ị

Đ × f : R → C : |f (x)|p dx < +∞¸
2

n

2

n

x2
2

2

2

1 2
2

2

2

Øù
Ơ Ị Ð Ý Ø Ĩ

Ù Ị ỉệểề
ề

R

ể ì 1 p < +à
ề Lp(R) f p = R |f (x)|pdx

1/p

º


Å Ù
½º Ì Ị ÕÙ Ị Úó Ú Ị ó Ị ịỊ
Ù Ú Ð Ĩ
Ị ó Ø

Ỉ Ị ơỊ Ø
Ị Ù Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ỉº Ï Ị Ư Ø ÷Ù ÐỊ Ù Ø ịỊ Ú Ĩ Ị ẹ ẵ ắ
ề ẹ ỉ
ỉ ũề Ơ ĨỊ ØƯĨỊ Ị ịỊ
Ù Úó ơỊ Ị Ý Ơ ư ơỊ Ð Àº Ï ÝÐ
Ị Đ ½ ẳá ểề ểề ề ẹ ẵ á ể ệ ề ẹ ẵ á ẩ ề ề
ề ẹ ẵ á ẩ ỉỉ ệìểề ề ẹ ẵ á ẻ ệ ẹ ềề ề ẹ ẵ ẵá
ệ ề
ề ẹ ẵ ấ ậ ệ ề ẹ ẵ á
ề ề ú ỉ

èí ề ũềá
ễ ỉ ề ẹ ẵ ẳá Ú Đ
ù
ÕÙÝ

ØĨ Ị Ơ Ị ØỊ Ú
Ơ Ị Ú Ơ Ị ØỊ Ĩ Đ Ư ũề ỉệểề

é ề ỉ á ẻ ặ Đ ×
Ø Ù Ị ịỊ
Ù Ð Đ Ø

÷ Ø Ị Úó ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị ỉ
ắ ề ỉệểề ỉ
ề á ề ỉể ề
º º Å
Ư Ú º
Àº à ƯƯ ¾ ℄ Ø ơƠ Ø
Ơ Ø ØƯ ưỊ Ú Ĩ Ị Ø ÷Ị

ÕÙ Ị Ý
ẻ
ặ ẹ ì
ỉ
ẻ ặ ẹ ìá º º Å
Ư Ú º Àº à ƯƯ Ị
û
Ư Ị Ị ú

Ù Ị
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ị Ð × Ø Ị
ÕÙ Ø
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ø Ị Ø Ị Đ
Ị Ơ Ø ØƯ ưỊ

Ơ Ơ
ØùỊ ØĨ Ị Ø
Ĩ ơỊ Ị Ý Ị Ø Ị Ị Ị ư
ÕÙÝ

Ú Ị ó ØƯĨỊ

Ð Ị Ø º ËÙ Ø Ị Ị Ị Đ ẵ ẳá ẹ ỉ é ề é ề

ề ịỊ
Ù Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ ØĨ Ị Ø ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø

Ư ư
ÕÙÝ

Ú Ị ó ØƯĨỊ Ü Ð ØùỊ ÷Ù Ú ÕÙ Ị
ẵá ắá ắ á ắ á ắ


Ì
ơỊ Ị ݸ Ị
ØƯ Ø Ị Đ Ø Đ Ø

Ị
Ư Ø ÷Ù ÕÙ ØƯĨỊ
Ü Ð

ỉựề ữ
ỉề ì ễ ỉ
Ø
Ị Ú Ü Ð

ØùỊ ÷Ù
ÕÙ Ị
º Ỉ óÙ Ị ịỊ
Ù ØƯịỊ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø

Ø
÷Ị Ị Đ ÕÙÝ

ØĨ ề ề ề ỉệểề ế ề
á ĩ
é ỉựề ữá ÷ Ị Ð

¸ ÕÙ ØỊ Ị Ị Ị ũề ặ ề ề ẹ ề íá
ụề ề í
Ị
Ơ Ị Ư Ị Ư ØƯĨỊ Ị óÙ ÐúỊ Ú

Ị Ù
Ị Ư Ư¸ Û Ø ƯĐ Ư Ị ¸ Ị Ị Ị Đ Ù¸ Đ Ø Đ ¸ ơỊ Û Ú Ð Ø Ú
Đ Ị ề ệểề á ẵẵá ẵ á á ẻ ÷

Ị ịỊ
Ù

ơỊ Ơ Ị Ø
Đ Ư Ị óÙ ØƯ ưỊ Ú Ị ØƯĨỊ Ơ ề ỉự
ĩ é ỉựề ữ
ề ì Ư
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú

Ị ÷Đ
Ð ịỊ ÕÙ Ị¸

ØùỊ
Ø Ú Ị Ị
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ø Ị Ø Ị
Ý
Ø ư Ü Đ Ð ØƯ Ị Ơ
֯
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º ÌƯĨỊ
Ị Ị Ơ ĐÚ ẹ

ề ữẹ ẹ úề ỉ
ềá ẹ úề ỉề ×
×
Ị¸
× Ø ỊØ
Ị Ị
Ĩ × Đ Ư Ị Ú Ø Ị ÕÙ Ø

Ị
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º Ỉ Ĩ Ư ¸ Úø ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ð Đ Ø
ØƯ Ị Ơ
֯
ơỊ
ùỊ ỉ
ỉíụề ỉựề èàá

ụỉ
ế

Ĩ ơỊ Ị Ý
Ø ư
ÙÝưỊ Úó Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ø Ĩ
Đ ØỊ ú Ị Ĩ º
Ỉ Ð Đ Ư Ị
ơỊ
ĨÙƯ Ư¸

Ð Ø ÙÝ
Ð ịỊ ÕÙ Ị
Ị
Ơ Ø ØƯ ưỊ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ĩ Đ Ð Ø ÙÝ
Ơº
Ị Ø

Ø ư Ð ÷Ø ị

ĨØ ĨØ Ø Ø
Ị ĺ º ÐĐ
¿℄¸ º Áº Ý
℄¸ º Ị
ề ì ẵá ẽ
ề ì ắá
ề í ề ỉ ậ ề Ú Êº Ë Ü Ị ¿ ℄¸ ØƯĨỊ


Ị Ø

Ơ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ị Ị ú
Ý ØƯĨỊ
Ị
Ị L1(R) Ú
× Ï Ị Ưº
Ị Ð
Ơ Ị Ý
Ü Đ Ð Đ Ư Ị

Ị Ð
Ơ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư¸ Ĩ
Ị óÙ Ø ù

Ô ö


Ị

Ị
ØƯĨỊ

ØĨ Ị Ð Ø ÙÝ
Ị Ị Ø
Ị º
ØƯịỊ
Ị Ị ÕÙ
Úó
Ơ
ơỊ
ĨÙƯ Ư¸

Ø
Ø Ơ ØỨỊ
Ü Ý Ị


Ơ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú Ị Ị
Ị Ú Ĩ
ØƯĨỊ

ØĨ Ị Ü Ð ØùỊ ÷Ù Ị Ø ơ Ð

¸ Ð Ý Đ
ễ
ỉựề ữ èí ề ũềá ìể Ð Ø ÙÝ
Ơ
ÜÝ Ị
Ĩ
ơỊ
ĨÙƯ Ư¸

ÕÙ

Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị ỉ
ỉ
ì ì ì
ề á
ì ẽ ề ệ
ề
ề

ú
ễ
èệểề ĩ é ỉựề ữá Ị ݸ Ð Ø ÙÝ Úó Ð Ý Đ Ù
Ĩ Ð Ơ ØùỊ ÷Ù

ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ị Ị
× ÕÙ Ị Ø Đ
Ị óÙ Ø
¸

Đ Ư Ị Ú Ơ Ø ØƯ ưỊ Ø Ĩ

ề ỉ ụễ
ề
ề ẵá ½ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿ ¸ ¿¸ ¸ ℄º Ị Ð Ð Ý Đ Ù
Ĩ Ð Ơ

ØùỊ
÷Ù Ị Ý
℄
Ị Đ Ị ÐỊ Ù Ø ịỊ Ị

Ơ Ị Øù
ØùỊ
÷Ù
ØỊ
Ị Ø Ĩ Ị ú ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ø Ị Øù

Đ Ø
Đ
ƯƠ Ú Đ Ø ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị Ø Ĩ Ị ú Ø Ị Ø Ị ¸
Ø
Ơ Ị ề é é í ẹ ậ ềềểềạặíế ìỉ è ụễ á ề ẹ ẵ á
í ệ

ệ ụỉ ế Đ
Ĩ Ị Ð Ð Ý Đ Ù ØƯĨỊ
Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú Ơ Ơ

Ị Đ Ị × Ị ơỊ À Ð Ừº
à ÕÙ ề í ì
ề ẹ ỉ
ỉệểề ẵ ℄ Đ Ư Ị
Ĩ ơỊ
ùỊ Ø
ỉíụề ỉựề èà ặ ẹ ắẳẳ á ậ ệẹ ¿ ℄ ØỊ Ý

Ị ịỊ
Ù Úó Ị ÕÙ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ØùỊ ÷Ù ØÙỊ Ĩ Ị

ØỊ
Ị Ø Ĩ Ị ú ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º Ì ¸ Ø

Ị
ĐỊ
Ị Ð Ð ÝĐ ÙÚ
Ơ

Ĩ Ð Ơ ỉựề ữ ề í èệểề á
è ể
Ị × Ø Ơ ØỨỊ Ø Ĩ ÐÙ Ị Úó Ú ÷
Ð Ý Đ Ù Ú Ø Ð÷ Ð Ý Đ Ù
Ĩ ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º Ã ÕÙ
Ø Ị Ø
Ị

Ơ Ø ØƯ ưỊ
Ĩ ơỊ
ùỊ Ø
ØÙÝơỊ ØùỊ ½¿℄º


Ỉ Ĩ Ư ¸ ØƯĨỊ ¿ ℄ ËØ ƯỊ
Ị Đ Ư Ị Ị Ð Ð Ý Đ Ù

Ĩ
Đ óỊ
ùỊ Ø
ØÙÝơỊ ØùỊ º ÌƯĨỊ ¿℄¸

Ø
× Ị Ị Ø Ị
ÕÙ Ø
Ị Ø
È Ư× Ú Ð
Ĩ
Ù ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ư
Ư ĐØ


Ị ĐỊ

Ĩ Ị Ð Ð Ý Đ Ù Ị Ë ỊỊĨỊ
ØùỊ ÷Ù

ØỊ

Ị Ø Ĩ Ị ú ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º
Ø
Ị Ø
û Ư Ư Ị
Ị Ø
Ð Ý Đ Ù Ị Ý Ð Đ Ø ØƯ ề ễ
ữỉ
ề
ỉ
ẩ ệì é
Ĩ
Ù ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º
Ỵ ÷
Đ Ư Ị Ú Ơ Ø ØƯ ưỊ Ð Ø ÙÝ
Ơ Ð ịỊ Ú ơỊ
ĨÙƯ Ư
Ơ Ị Ø
Ø ư Đ ơỊ Ị óÙ Ð ù
ØƯĨỊ Ị ịỊ
Ù Ð Ý Đ Ù Ú
Ơ
ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸
Ị Ị
Ø ơ Ð
Ị õÙ ØƯĨỊ Đ óỊ Ị ݺ Ĩ ¸
Ị Ø Ð
Ị ó Ø
Ị ịỊ

Ù
Ơ Ð ịỊ Ú ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú Ị Ị º

¾º Å
ù
Ú Ơ ẹ ề ũề

ã

ã

ã


ự
ễ ềỉ
ẹ ỉì
Ĩ Ø
Ơ
ØùỊ
ĨÙƯ Ư Ơ

Ý Ị Ú Ị ịỊ
Ù


Ơ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư

Ø Ð Ơ Ø Ị Ø
ĨÙỊ
Ú


Ơ Ị Ý ØƯĨỊ
Ị Ị Đ
Ø ư Ị Ị


ƠÜ Ý Ị

ơ Ð
ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú
ØĨ Ị
÷Ù
Ĩ Ð Ơ

ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ
ỊØ º

Ø Ị
Ơ Ị
Đ ØƯ Ị ¸
Ơ
Đ ØƯ Ị Ị
ƯƠ
Ú

Ơ
Đ ØƯ Ị Ð ịỊ ÕÙ Ị ơỊ Đ Ù×× Ú Đ À ƯĐ Ø
Ĩ
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ØĨ Ị
Ơ
ØùỊ ÷Ù Ø Đ Ù óÙ
Ĩ

ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ØĨ Ị Ø ơ Ð
Ị Ị ØƯĨỊ Đ óỊ Ị ݺ
È Đ Ú Ị ịỊ
Ù

ơỊ

ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸
Ơ Ð ịỊ Ú


ụề
ểệ ệ ễ ề ỉ á ỉựề ữ
ỉề
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸ Ð
Ị õÙ ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º

¿º È
•

•

•

º

Ị Ơ Ơ Ị ịỊ
Ù

ÄÙ Ị Ị × Ị

Ơ Ị Ơ Ơ
ơỊ
и Ð Ø ÙÝ ØĨ Ị Ø Ú Ð Ø íụỉ
ễ

ỉự
ễ ềá

ỉự

ề ề ì ề

Ơ Ị Ơ Ơ ØƯĨỊ Ü Ð ØùỊ ÷Ù Đ È Ị
Øù
ØùỊ ÷Ù ØƯĨỊ Đ óỊ Ø

Ị ØỊ ×
ÚĨƠ ỊƠ ỊỊ
Ð Ị Ï Ị Ư¸ Ð Ý Đ Ù óÙ Ú ÕÙÝ ØỊ
Ơ
Ð ØùỊ ÷Ù Ø
Đ ú
ỉ ề ữẹ ì

ỉệ

é Ị Ị

Ð Ơ ØỊ ØƯịỊ Ơ Ị ĐóĐ Å ỉé

ặ ề
é ề ềá ề ể ễ Ị Đ Ù Ú Ơ Ị ÐÙ Ị¸ Đ

Ị
Ị ½ ØỊ
Ý

ơỊ Ø
ỊóỊ Ø Ị
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị
Ø
Ĩ Đ Ị Ị ú ¸

ØùỊ
Ø Ú Ơ Ơ ØùỊ ØĨ Ị Ø Ø Ị Õ٠ظ

õỊ ØƯĨỊ ẹ ỉ ễ ề ỉ
ềạỉề ì ẹ ế ề ÷ Ú Ơ Ị
Ơ Ï Ị Ư¸

Úù Đ Ị
º ÌƯĨỊ
Ị Ị ݸ ÐÙ Ị Ị
Ị ØỊ
Ý Đ Ø × Ị Ị
ơỊ Ị Ý ØƯĨỊ Ü Ð ØùỊ ÷Ù Ĩ Đ Ä
ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸ Ð Ý Đ Ù Ú
Ơ
ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị ØƯĨỊ Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø º
Ị ¾ Ü Ý Ị


Ơ Đ
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ĩ
Đ
Ơ Ị
ØƯ Ị ¸


Ơ Ú Đ ØƯ Ị Ị
ƯƠ¸

Ơ
Ú Đ ØƯ Ị Ị Ù×× Ĩ
ệẹ ỉ ề ề ỉ éữ
ệễá
Ơ Ø Ị
ÕÙ Ø
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú ơỊ Ị
Ú Đ ØƯ Ị


À ƯĐ Ø º ÌƯĨỊ
Ị Ị ݸ ÐÙ Ò Ò
Ò ØÖøÒ Ý

ØùÒ
Ø
ề
ể


ễ ề íá ìể × Ị Ú


Ơ
Ị Ø × Ị


Ơ

Đ ó ÜÙ Ø ư
Ị Đ Ị Ø Ị Ø

Ơ Ị ĨÙỊ Ú Ü Ý Ị
Ù ØƯ
× Ó Ó Ò
Ó Ò Ò Ò
L1(R)º
Ò ¿ Ị
Ị


Ơ Đ ØƯĨỊ Ú ÷

Ị Đ Ị ØùỊ

Ú
Ư
Ị Ø
Ị ÷Đ ưỊ
Ĩ

Ơ Ị ØỊ Øù
Ơ Ị Ị
Ơ Ú Ơ Ị ØỊ Øù
Ơ Ị Ú Ị Ị À ƯĐ Ø ¸
ÙỊ
ễ ự ẹ ề
èệểề
ề ề íá ì ề

ề é
ễ
ề ắá
ề Ø
Ð ÝĐ ÙÚ
Ơ

Ĩ ØùỊ ÷Ù
ØỊ
Ị Ø Ĩ Ị ú ĨÙƯ Ư
Ơ ỊØ

Ị ĐỊ Ú ĐỊ
ÕÙ Úù
Ð
Ị Ị ØƯĨỊ
Đ óỊ ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ü Ý Ị Ø Ị ÕÙ
Ơ ØƯĨỊ Đ óỊ Ø
Ị
Ị Úù Đ Ị
Ú ×Ĩ × Ị Ø
Ị ØùỊ ØĨ Ị Ú
Ð
ỉ ề
ỉ ề

ẵẳ

ề ẵ

ụề ỉ


ề

èệểề
ề ề íá
Ị Ø ØỊ Ý Đ Ø × ơỊ Ø

Ù Ị
Ĩ
Đ Ị Ị ú ¸

ØùỊ
Ø Ú

Ơ Ơ ØùỊ ØĨ Ị Ø
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸

ÕÙ
Úó
Ơ Ð ịỊ Ú ụề
ểệ ệ
ễ ề ỉ á ẹ ỉ ì ề ề
ụề ề í ỉệểề ĩ é ỉựề ữ

ẵẵ
ặ

ì é Ø ÙÝ Đ Ư
ÐØ
ÙỊ
Đ
Ị í

ẵẵẵ

ỉ ẹ

ề ề ỳ

ể ỉệểề ỉ é ữ ẵắ

ẹ ệ
éỉ

ề ề ỳ ẵẵẵ ề

ề ậ
ệỉị S(R)
Ị Ị ú Ð
Ị
Ị

Đ f : R → C Ú Ú Ò ÐÒ Ú xαDβ f (x) → 0 x → ∞
Ú Đ

Ơ
û × α, β ∈ Nº Ø
f

α,β

= sup xα Dβ f .
R

½½


í ẹ {fk }k=1

ỉ ụề ẹ f ỉệểề
fk f

S(R)

ềụ
ẵẵà

k .

,

ẵẵẵ ẻ p(x) é ỉ
ỉ á ẹ p(x)e−x Ø Ù

Đ Đ Ị Ị S(R)º
Ã Ò Ò

Ñ Ñ Ò Ò Ë
Û ỪÞ ØƯ Đ Ø ØƯĨỊ
À Ð Ừ L2(R)º

Ị

Ị

Ị

Ị

Ị Ị ú ½º½º¾º È ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ Ð ịỊ Ø
T : S(R) C



2

ẻự

ề ề ỳ é ẹ ìí Ư Ị ØƯịỊ Rº Ã Ị Ị Ú
Ø

ẹ ìí ệ ề
ự ữ S (R) Ỉ T, ϕ
÷Ù ØƯ

T Ø
Ị ÐịỊ ϕ
Ø ø Ý {Tk }∞k=1 Ø ơỊ T ØƯĨỊ S (R) ềụ




ẹ

Tk , T,

ẻự

S(R).

ẵẵắ È ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ Ð ịỊ Ø
Ư
ÐØ

δ


Ó

δ : ϕ ∈ S(R) → δ(ϕ) := ϕ(0) ∈ C

Ð Đ Ø Đ ×ÙÝ Ư Ị º
Ì ể ề é ử ỉ ấ ìị ỉ ẹ ể ẵắá ỉệ ề àá ẹ ễ ụẹ
ẹ ỉíụề ỉựề Ð ịỊ Ø
T ØƯịỊ Ị Ị À Ð Ừ L2(R)¸ Ø Ị Ø ÙÝ

Ị Ø Đ Ø Đ × f Ø Ù
L2(R) ö
T, ϕ =

∞
−∞

f (x)ϕ(x)dx

ẹ

L2(R).

ễ ề ề é ử ỉ ấ ìị Ú Ơ ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ Ð ịỊ Ø
á
ỉ ề ỉ í ề ỉ ẹ ỉ ẹ ì δ∗ ∈ L2(R) × Ĩ
Ĩ
δ, ϕ =

∞
−∞

δ ∗ (x)(x)dx.

ẵắ


Ĩ ¸ Ø Ị Ý ØƯ ¸
Ị Ø ó
Ơ ơỊ Đ Ư

ÐØ δ Ø ø Ị
Ð Đ δ∗ ∈ L2(R) Ø Ị Ị Ú Ơ ơĐ Đ ØÙÝơỊ ØùỊ δº
ÌƯĨỊ ÐúỊ Ú
ĩ é ỉựề ữá ẹ ệ
éỉ ỉ ề
é ẹ
ĩề ề

ẵẵắ
ã

ỉựề
ỉ

èự
Ơ Ị

Đ Ư
ÐØ

Đ Ư
ÐØ
∞
−∞
∞
−∞

•

ÌùỊ

ỉ

ĩề

ã

èựề
ỉ ỉ éữ

(x)dx = 1,
(x x0)f (x)dx = f (x0).

δ(−x) = −δ(x)

δ(ax) =

ØƯĨỊ
•

a = 0º

º
δ(x)
,
|a|

ÌùỊ
Ø Đ Ơ
δ (x − xn)
,

′
n |f (xn )|

δ(f (x)) =

ØƯĨỊ

Ð Ị ÷Đ
Ơ Ị ØỊ f (x) = 0 Ú
Ø Ư Ị
f (xn) = 0º
Ị Ø Ø Ù
ØùỊ
Ø
Ý Ị Đ Ø ÷ ÕÙ
xn

′

∞

g(x)δ(f (x))dx =



ã


(x

y)(y a)dy = (y a)

ẵ

g(xn )
.

n |f (xn )|


•

À Đ Ư
ÐØ Ð
δ(x), ØƯĨỊ
Ĩ Đ

•

Ĩ Đ

Đ

H(x) =

1
x
1+
.
2

|x|

Đ Ư
ÐØ
∞
−∞
∞
−∞

Ị Ý À Ú×

′

dH
=
dx

′

δ (x − x0) f (x)dx = −f (a),
′

xδ (x)dx = −1,

′

xδ (x) = −δ(x),
∞

−∞

δ (n) (x − x0)f (x)dx = (−1)n f (n) (x0).

ẵẵ èựề ỉự
ễ ề

ẻự






ể



ẻự



ậ



(x3 x)ex dx.

ề ỉựề
Ø Đ Ơ
δ(x3 − x) = δ(x) +

Đ Ư
ÐØ ¸
Ị Ø Ø Ù

δ(x + 1) δ(x − 1)
+
.
4
2

δ(x3 − x)e−xdx
∞

∞

1
=
δ(x)e dx +
4
−∞
1
e
=1+ + .
4 2e

1
δ(x + 1)e dx +
2
−∞

−x

−x

½º½º º ÌùỊ Øù
Ơ Ị
4
−4

2

e−(x−2) δ

1
1
dx.
− x+
3
2

′

½

∞
−∞

δ(x − 1)e−xdx

Ë Ị Ơ Ơ
ÐØ ¸
Ị Ø Ø Ù
Ä

ơỊ Ú
Ị Ø
Ĩ Đ Đ Ư

º

4

2

e−(x−2) δ

−4

9/6

=

1
1
dx
− x+
3
2

′

1 2

e−(3t+ 2 ) δ (t) 3dt
′

−5/6

=2×3×3× 0+

1
2

× e1/4 = 9e1/4.

ẵẵ èựề ỉự
ễ ề

ẻự








2

ex (3) (x − 1)dx.

Ø f (x) = e−x ¸ Ø
2

2

′

f (x) = −2xe−x

2

′′

2

f (x) = 4x2e−x − 2e−x
2

2

2

f (3) (x) = 8xe−x − 8x3e−x + 4xe−x .

Ĩ ¸

∞

4
2
e−x δ (3) (x 1)dx = (1)3 f (3) (1) = .
e


ẵắ

ụề

ẵắẵ

ề Ị ú

ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
ơỊ

ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø

ÌƯ
ơỊ Ị Ị ú
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸ ơỊ
ơỊ Ị Ð Đ Ø Đ Ư ề
ụề
ểệ ệá
ề ỉ ì ỉ
 ề Ú ÷
Ị

Ð
Ị Ø

ơỊ
ĨÙƯ Ư Ú ơỊ Ị
½



Ĩ

Ý ¼℄
∞

1
g(u) = √
2π

−∞

1
f (x) = √
2π

ØƯĨỊ
Ị Ø
ẵắà ỉ ề
ỉ
ẵà é ụề
ểệ ệ ề

ỉ

ụỉ é ề ì





ụề

F

ẵà

g(u)eiuxdu,



ĩ ẹ é ơỊ
º ÙÝưỊ × Ị

1
F π2 [f ] (u) = √
2π
− 2

ẵắà

f (x)eiuxdx,

ểệ ệ ề
ề ỉể ề ỉ á
ề
ẵ à

f (x)eiuxdx,




1
[f ] (u) =
2

ểệ ệ ề ề

ẹ ệẹ ỉ
ỉệ ệ ũề ein á

ẵ à

f (x)eiuxdx.



n (x) é

ữ ẹ ệ ũề ỉ ề ề

2

ẵ µ

π

F π2 [φn ] (x) = e−in 2 φn (x),

ØƯĨỊ

Đ À ƯĐ Ø

φn (x)

Ú

n∈N


Ĩ

Ị Ø

x2

φn (x) = e− 2 Hn (x),

Ú

Hn (x) = (−1)n ex

2

Å ƯỊ Ơ


Ð Ø
ệẹ ỉ
n
ẹ ệ ũề ẵ à ỉ ẹ ì é ũề ỉ
á ỉ ỉ

dn x2
e
dxn

ề ỉệứề

ẵ à

F [n ] (x) = ein φn (x).

ÌĨ Ị Ø Ø Ị ÕÙ Ø Fα
Ø ư õỊ
A=−

Ị

e−iαA

1 d2
1 2 1
+
x − ,
2 dx2 2
2

Ị Ị ú Ð ØĨ Ị Ø ĨÙƯ Ư ễ ề ỉ
ẵ


ẵ à




ØùỊ
Ø
Ý
ØĨ Ị Ø ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Đ Ị ØƯĨỊ
Ị Ị Đ Đ Ị Ị Ë
Û ỪÞ ´Ø Đ
Ị Ị L2(R) ´Ø Đ Ĩ ắ à
ẵ F

bk fk (u) =
k

k

ắ (F)1 = F

ụề

Fα+β = FαFβ ´ØùÒ
º Fβ Fα = FαFβ ´ØùÒ

bk Fα [fk (u)] ỉựề ỉíụề ỉựề

ề


ề
ể ắ à

à

à

à

ề
ỷì

ể ể ề à

F (F F) = (Fγ Fβ )Fα ´ØùỊ

º Fα [φn] (x) = e−inαφn(x) ´



Ơ µº

Đ Ư ịỊ

µº

Ị ØĨ Ị Ø Đ
Ù Ị ØƯĨỊ Ị ịỊ
Ù Ð Ø ÙÝ Ị Ị
Ừ
ư × Ị Ú Ĩ ØùỊ ØĨ Ịº ư
Ø
ØƯ ÷Ø ư ơỊ Đ ¸
ØĨ Ị Ø Ị Ý
Ị
õỊ Ð
Ị Øù
Ơ Ịº ưỊ õỊ
Ị Øù
Ơ Ị
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ø
Ỵº Ỉ Đ × Ü Ý Ị
ÐỊ Ù Ø ịỊ ØƯĨỊ
Ĩ ¾ ℄ Ú Ø ơƠ Ø

Ị ịỊ
Ù Đ Ư Ị
Ø
º Å
Ư Ú º Ã ƯƯ ¾ ℄º ư Ø Ù
õỊ Ị
Øù
Ơ Ị
Ĩ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ¸ ỉệểề ắ á ỉ
ĩ ỉ ễ ỉ
ỉ ễ Ị ØỊ Đ Ư ịỊ
Fα [φn ](x) = e−inα φn (x),

Ĩ Ø Ý

Đ À ƯĐ Ø Ð ÷ Đ Ư ịỊ
ØĨ Ị Ø Fα Ú
ØƯ
Ư ịỊ e−inαº Å Đ øỊ Ơ Ị
Øù
f óÙ
ØƯ ưỊ
Ø Ị
ÕÙ ÷ Đ Ị Ý ∞n=0 anφn(x) Ú
1
an = n √
2 n! π

+∞

−∞

½

x2

Hn (x)e− 2 f (x)dx.


Ì
Ị ØĨ Ị Ø

Fα

ÐịỊ Đ f Ø

fα := Fα [f ] = Fα

∞



an φn =

n=0

∞
n=0

an Fα [φn ] =

∞

an e−inαφn .

n=0

ơỊ ݸ
Ị Ø
Ị Ị ú
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ị
Ù ¸ Ø ơƠ Ø
Ø Ý an ØƯĨỊ
Ù
õỊ Øù
Ơ Ị Ø Ø Ù

fα (p) =

∞

1
√
2nn! π

n=0
+∞

=
−∞

+∞

φn (x)f (x)dx e−inα φn (p)

−∞

e−inα Hn (p)Hn(x) −(x2 +p2 )/2
√
e
f (x)dx
n=0
2nn! π
∞

1
=√ √
π 1 − e−2iα
∞

exp

−∞

ØƯĨỊ

2xpe−iα − e−2iα x2 + p2
1 e2i

ụề

ì

einHn (p)Hn(x)

=
n=0
2n n!

ỉệểề

ề ử ừềá
Ò Ø ×

exp

2xpe−iα −e−2iα (x2 +p2 )
1−e−2iα

√ √
π 1 − e−2iα

.

Ị

Ị Ø
× Ù

2xpe−iα
= −ixp csc α, ØƯĨỊ
1 − e−2iα
i π
e− 2 ( 2 α−α)
1
=
,
√ √
π 1 − e−2iα
2π |sin α|
e−2iα
1
i
+ = − cot α,
−2iα
1−e
2
2
α = sgn(sin α).

f (x)dx,

Ị
Ị Ø
Å Ð Ư ℄

∞

ư Ị

x 2 + p2
exp −
2

csc α =

1
,
sin α

Ä Ù Ư Ị

Ò Ø
Ò Ý
û Ò ØƯĨỊ
½


ØƯ Ị

Ơ sin α = 0¸ Ø
Ð

α∈
/ πZº

e− 2 ( 2 α−α) e 2 p
i

fα (p) = (Fα f ) (p) =

π

i 2

−∞

Ð

cot α

2π |sin α|

∞

×

ØƯĨỊ
ÌƯĨỊ

õỊ Øù
Ô Ò Ø Ù

exp −i

i
xp
+ x2 cot α f (x)dx,

sin α 2

Ú 0 < |α| < πº
Ị ØĨ Ị Ø ¸ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ị Ị ú
(Fα f ) (p) = f (p) Ị α = 0 Ú (Fα f ) (p) = f (−p) Ị α = ±π º óÙ
Ị Ý Ú Ị Ị Ú õỊ Øù
Ơ Ị Ú ØøĐ
Úø Ø

ØƯ Ị ݸ
lim fα+ε = fα . Ĩ ¸ Ú ØùỊ
Ø
Ị Ị ݸ Ø
Ø ư Ø Ư Ị
ε→0
õỊ Øù
Ơ Ị Ị ØƯịỊ ØĨ Ị Ĩ Ị |α| ≤ πº ÌƯ Ị Ơ |α| > π
Ø ư Úó ØƯ Ị Ơ ØƯĨỊ Ĩ ề [, ]
= sgn(sin )

ề ề ỳ ẵắẵ ụề

ểệ Ư Ơ Ị Ø

Ị Øù
Ơ Ị Ị × Ù

Fα [f ] (p) =

ØƯĨỊ

Ị Ị

ơỊ

Ð

∞

α∈
/ πZ Kα (x, p) = (x p)

+ 2Z

ẵ à

f (x)K(x, p)dx.

−∞

ixp
i(x2 + p2)
Kα (x, p) = cα exp −
+
sin α
2

Ú

Ú

Ò Ò ú

Ú

½

α ∈ 2πZ

, cα =

Ú

1 − i cot α
2π

Kα (x, p) = δ (x + p)


Ỉ Ị

ơỊ

Kα (x, p) =

ØƯĨỊ
a(α) =

Øư

Ú Ð Ị × Ù


c(α)


√ exp ia(α) x2 + p2 − 2b(α)xp

2π






Ị α Ị Ð



Ị α Ð



δ (x − p),








δ (x + p),

cot α
,
2



Ị α + π Ð

b(α) = sec α,

c(α) =

π

2π


√

,

2π,

1 i cot .

ẵẵẳà

íũề ì ỉ é ề ềá ử Ò Ò ¸ a(α)¸ b(α) Ú c(α) ÐÒ Ð Ø
ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø
Ị Ị ú Ú
÷Ù Ð a¸ b Ú cº Å
Đ α Ø
Ị Ị Ĩ ØùỊ ØÙỊ Ĩ Ị


Đ Ð Ị
Ð ịỊ ÕÙ Ị
Ð Ý ØƯịỊ ể ề [, ] ẻ = 0á ụề
ềũề ỉệ

αØ Ị
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ØƯ Ø Ị ØĨ Ò Ø Ò Ò Ø (F0f ) (p) = f (p)¸ Ú
α = ±π ¸ Ị ØƯ Ø Ị ØĨ Ò Ø
Ò Ðð (Fπ f ) (p) = f (−p)º Ỵ α = π/2
Ú α = −π/2 ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø ÐỊ Ð Ø ØƯ Ø Ị ơỊ
ĨÙƯ Ư Ú ĨÙƯ Ư Ị
º Ỉ ịỊ
Ù
ÐÙ Ị Ị
Ị ØƯĨỊ
ØƯ Ị Ơ ơỊ
ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ú
α Ị Ð
πº ơỊ

ĨÙƯ Ư Ơ Ị Ø Ø Ị Ø ØƯĨỊ
Ị óÙ ÷Ị ơỊ
ĨÙƯ Ư Ø Ị
Ø ´Ø Đ Ĩ à
íá
ề ỉ
ỉ ữ

ỉựề
ỉ
ề
ề ề K

ề é ẵắẵ ặụ K(p, x) Ð
½º Kα (p, x) = Kα (x, p) ´

Ị

Ị

Ü ề
ểà

ắ K (p, x) = K (p, x) é ũề

ễễ

ắẳ

à

ụề

ểệ ệ ễ

ềỉ

ỉ ứ