Đề thi HSG Toán (vòng 2)

PHÒNG GD & ĐT TRẢNG BOM
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2008 – 2009
ĐỀ THI MÔN : TOÁN (vòng 2)
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2,0 điểm)
a. Chứng minh rằng x
2
– 6x + 11 > 0 với mọi số thực x .
b. Chứng minh rằng phân số
12n 1
30n 2
+
+
là phân số tối giản với mọi số nguyên n.
Câu 2. (2,5 điểm)
a. Cho A(3; 5); B(-1; -7); C (1; -1). Chứng minh rằng ba điểm A; B; C thẳng hàng.
b. Giải phương trình
4x 1 3x 4 1+ − + =
Câu 3. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình :
x my 1
mx 3my 2m 3



+ =
− = +
(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình khi m = 1.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
Câu 4. (2,0 điểm)

Gọi I và O lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn
ABC. Tia AI cắt đường tròn (O) tại K (K khác A). Gọi J là điểm đối xứng của I qua K, Q là
điểm đối xứng của O qua BC.
a. Chứng minh tam giác KBI cân tại K và tam giác IBJ vuông tại B.
b. Chứng minh nếu
·
BAC
= 60
0
thì điểm Q thuộc đường tròn (O).
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = 3AB.
Đường thẳng vuông góc với CD tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại A ở điểm E. Gọi I
và N lần lượt là trung điểm của AD và CE. Chứng minh :
a. NI
⊥
AD.
b. Tam giác BED là tam giác cân.
---------- HẾT----------
Đề thi chính thức vòng 2