đề thi HSG huỵen vòng 2

TRƯỜNG THCS THANH THUỶ
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN
Môn: Toán 9
Bài 1 (2 điểm)
Cho biểu thức P =
1
a a
a a a a
+
+ + +
a) Tìm điều kiện có nghĩa của P và rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P.
Bài 2 (2 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 1 1 2.2008
...
2009
1.2008 2.2007 2007.2 2008.1
+ + + + >
Bài 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số
chính phương.
b) Tìm các số nguyên dương x, y, z thoả mãn bất đẳng thức:

2 2 2
3 2 3x y z xy y z+ + < + + −
Bài 4 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng
α
và đường cao thuộc cạnh bên
bằng

h
. Chứng minh rằng:
2
4sin . os
ABC
h
S
c
α α
=
.
Bài 5 (2,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua trung điểm N của OA vẽ dây CD
vuông góc với AB. Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại M,
đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia MC tại E. Chứng minh rằng khi A
di chuyển trên đường tròn thì:
a) AM.BN = BM.AN
b) Điểm E di chuyển trên một đường tròn cố định.