BÀI tập ÁNH xạ TUYẾN TÍNH (bài tập đại số TUYẾN TÍNH)

BÀI TẬP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH


ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
f: U V là axtt nếu
i) f(x+y) = f(x) + f(y), x, yU
ii)f(x) = f(x), x U,   K
* f(M) = {f(x)/ x M}
* f − 1(N) = {x/ f(x)  N}
* Imf = f(U)

: ảnh của f

* Kerf = f −1(0) : nhân của f


Một số tính chất cần nhớ
f : U  V tt:

i.

Nếu M  U thì f(M)  V

ii. M  U, M = < S>  f(M) = < f(S)>

Chú ý
1. Tìm cơ sở của Imf là tìm cơ sở của f(S), với S là tập
sinh hoặc cơ sở của U.
2. Tìm Kerf là tìm khơng gian nghiệm hệ pt f(x) = 0
3. dimImf + dimKerf = dimU

CÁCH CHO ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. Cho bởi biểu thức tường minh:

f  x1 , x2 , x3    x1  x2  3x3 , 2 x1  2 x2 
2. Cho thông qua ảnh của cơ sở
Cho {e1, …, en} là cơ sở của U, {f1, …, fn} là hệ vector
tùy ý trong V.
Khi đó tồn tại duy nhất axtt f: U V sao cho f(ei) = fi, i
= 1, 2, …, n
Với x = 1e1 +…+ nen V: f(x) = 1f1 +…+ nfn


Cách cho axtt
1. Tìm axtt f: R2  R3 xác định bởi
f (1,1) = (1,−2,0), f (2, − 3) = (1,2,3)
2. Cho axtt f: R3  R3 xác định bởi :
f  1,1,2    1,2,3 ; f  0,3,1   1,1,1 ; f  2,1, 2    0,3,4 
Tìm f(2,0,1)


Cách cho axtt

1. Cho f: R3  R3,

f  x1 , x2 , x3   ( x1  x2  2 x3 ,2 x1  x3 ,3 x1  x2  x3 )
Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.
2. f: R4  R3,

f  x, y, z , t   ( x  2 z  t , 2 x  5 y  z  3t ,  2 x  y  5 z  3t )

Xác định cơ sở cà chiều của Imf và Kerf.


Cách cho axtt
3. Cho axtt f: R3  R3 xác định bởi :

f  1,1,2    1,2,3 ; f  0,3,1   1,1,1 ; f  2,1, 2    0,3,4 
Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf
4. Cho axtt f: R3  R3 xác định bởi :

f  1,0, 1   1,2,3 ; f  1,1, 1   1,1,1 ; f  2,1,2    0,3,4 
Tìm m để u =(1,-2,m) thuộc về Kerf


Cách cho axtt
5. Tìm cơ sở và chiều của Kerf, Imf nếu f cho bởi
f: R3  R3 : f(1,1,1) = (1,2,1),
f(1,1,2) = (2,1,-1), f(1,2,1)= (5,4,-1)


MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
f : U  V tuyến tính, dimU = n, dim V = m
E = {e1, …, en}, F = {f1, …, fm} là cơ sở của U và V

A  f E 
F

  fe   fe 
1 F

2 F

...

 fen  F 

A gọi là ma trận của f trong 2 cơ sở E, F.

 f ( x)  F   f  E  x  E
F


Ma trận axtt

1. Cho f : R3  R2, f(x,y,z) = (x+y-z, x+z)
a. Xác định ma trận của f trong các cơ sở chính tắc
của R3 và R2.
b. Xác định ma trận của f trong các cơ sở
E = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} và F = {(2,1), (1,-1)}


Ma trận axtt
2. Cho f : R3  R3,
f(x, y, z) = (x+y − z, y+z, 3x+y)
a. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E của R3 .
b. Xác định ma trận của f trong cơ sở chính tắc E và
cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.
c. Xác định ma trận của f trong cơ sở E’ = {(1,1,1), (1,1,0),
(1,0,0)}.

Ma trận axtt
3. Cho axtt

f : R3 � R3 Có ma trận trong 2 cơ sở

E    1,1,0  ,  2,1, 1 ,  1,1, 1 
F    1,1, 1 ,  1,1, 2  ,  1, 2,1 
là:

3 1 1 �
�
�
�
A  2 2 2
�
�
�1 1 3 �
�
�

a) Tìm f(2,0,-1)
b) Tìm 1 cơ sở của Imf, Kerf


Ma trận axtt
4. Cho axtt

f : R3 � R3 Có ma trận trong cơ sở

E    1,1,0  ,  2,1, 1 ,  1,1, 1 
là:

�0 2 2 �
�
�
A  1 1 1
�
�
�
�

1
1
3
�
�

a) Tìm f(2,0,-1)
b) Tìm m để (m, 2, 0) thuộc về Kerf