Download Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (141.14 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

n
c nă

ONTHIONLINE.NET

Trường thpt cẩm thuỷ i

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường

Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008

Mơn thi: Tốn

(Thời gian làm bài: 180 phút

)

Bài 1(5 điểm)

a) Giải phương trình: cos cos ( 2 ) sin (2 3 ) 1
2

2
2







 x x

x  

b) Cho a,bR. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau phải có ít nhất một phương trình có

nghiệm:

b
x
a

x cos 

sin
2008

b
x

a

x cot 2.
tan

2008  

Bài 2 ( 5 điểm)

a) Dãy số u1,u2,u3,...,un được xác định như sau:

1
,...,

1
,

0 2 1 3 2 1

1  u u  u u  un un 

u

Chứng minh rằng: 2

1
)
...
(

1u  un 

u

n .

b) Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát:

2
...
2
2

2
...

2
2

2
.
2
2









n

u

Bài 3 (5 điểm)

a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1A2...An. Xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của
đa giác T. Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều khơng phải là ba
cạnh của đa giác T?

b) Tìm các giá trị nguyên dương của x thoả mãn

x
k

k

k C C C

C
C

C ... ... 0 2008.2

1
2007
2008
2007

2008
2008
2005

2006
2
2008
2006

2007
1

2008
2007

2008
0

2008        

Bài 4 (5 điểm)

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1.

a) Hãy tìm điểm M trên đường chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đường chéo CD1 của
mặt bên CDD1C1 sao cho MN//AC1.

b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của A1D1 vµ B1B. Chứng minh rằng IJ AC1.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Trường thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008

Đề thi chính thức

đáp án – hướng dẫn chấm mơn Tốn

(Thời gian làm bài: 180 phút

)

Câu Nội dung điểm

Câu 1 5 điểm

Giải phương trình: cos cos ( 2 ) sin (2 3 ) 1
2

2
2







 x x

x  

(1)

2 điểm

+) Ta có (1)  cos2 xcos2 2xcos23x1 (2)

+) Đặt t cos2 x, điều kiện t

 

0;1 (*) 0.5

+) Khi đó (2) trở thành: 


















4
3
2
1
0
0

)
3
10
8
( 2

t
t
t
t

t

t 0.5

+) Giải tìm nghiệm x 0.5

+) Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:

Z
m
m
x

Z
l
l
x

Z
k
k

x        , 

6
;

,
2
4
;

2 




 0.5

b) 3 điểm

*) Có hai trường hợp xảy ra:

+) Trường hợp 1: 20082 a2 b2 thì (1) có nghiệm 0.5

+) Trường hợp 2: 20082 a2 b2

Ta có 











0
sin

)
3
(
0
tan

.
2
tan

2008
)

( 2

x

a
x
b

x 0.5

Nhận xét: (2) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm tanx0 0.5

Ta có: *) (b 2)2  4a.20082(a2 20082  2a.2008)2(a 2008)2 0

*) 2008 0



b

S

(luôn đúng, do có 20082 a2 b2 nên b0

Do đó (3) có nghiệm khác 0

+) Kết luận: 0.5

Câu 2 5 điểm

a) 2 điểm

Ta chọn số un1 sao cho un1 un 1
Khi đó ta có:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

n
c nă

( 1) 2 1

...
...
...
...
...
1

2
)
1
(
1
2
)
1
(
0
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
1
2
2
2
1


















 n n n

n u u u

u
u
u
u
u
u
u
u
u

u
1
Suy ra:
2
1
)
...
(
1
)
...
(
2
)
...
(
2
...
...
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1

2
2
3
2
2
2
1
2
1
2
3
2
2
2
1


































n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
n
n

n
u
u
u
u
u
n
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
0.5

+) Kết luận: 0.25

b) Ta có:

1
3
2
2
cos

2
2
2
...
2
2
...
...
...
...
...
2
cos
2
8
cos
2
2
2
2
cos
2
4
cos
2
2












n





0.75

(Chứng minh bằng quy nạp) 0.5

Ta có
1
1
1
4
3
2
2
sin
2
2
sin
2

sin
2
2
cos
1
....
2
cos
1
.
2
cos
1
.
2
cos
1






 n n

n
n
n
n
u 






 1

2
)
2
2
sin
.
2
(
lim
lim
1
1 












n
n
n
n

n u 0.75

Câu 3 5 điểm

a) 2 điểm

+) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh là 3 trong các đỉnh của đa giác T là C103 120 0.5
+) ứng với mỗi cạnh của đa giác T sẽ có 8 cách chọn các đỉnh còn lại để tạo thành
một tam giác chứa cạnh này. Suy ra số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa
giác T là 80 (tam giác).

0.5
+) Trong 80 tam giác trên có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác T được lặp

lại hai lần. 0.5

+) Kết luận: Số các tam giác cần tìm là (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác) 0.5
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x thoả mãn

x
k

k

k C C C

C
C
C
C
C
C

C ... ... 0 2008.2

1
2007
2008
2007
2008
2008
2005
2006
2
2008
2006
2007
1
2008
2007
2008
0

2008       



</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

+) Ta có

k
k

k

k C

k
k
k

k
C

C 2007 2007

2008

2008 2008

)!
2007
(

!
)

2008
(
.
)!
2008
(
!

!
2008










 1

+) Do đó

)
/
(
2007

2
...

2
.
2008
)

...
(

2008

2
.
2008
...

...

2007

2007
2007
2

2007
1

2007
0

2007

2007
2007
2

2007
1

2007
0

2007

0
1
2007
2008
2007

2008
2008
2005

2006
2

2008
2006

2007
1

2008
2007

2008
0
2008

m
t
x

C
C

C

C
C

C

x

x
k

k
k
































 

+) Kết luận:

0.75
0.75

0.5

Câu 4 5 điểm

a) 3 điểm

Đặt ABa, ADb, AA1 c . Ta có AC1 abc

Vì MN//AC1 nenkR*:MN kAC1 hay MN kakbkc (1)

Mặt khác ta có:

)
2
(
)

1
(
)
(
)

(
)

(

c
m
b
n
a

m
n
a
c
m
b
b
a
n

CD
m
BC
DB
n
CN
BC

MB
MN



















0.75

Từ (1) và (2) ta suy ra 





























3
2
3
1
3
1
1

n
m
k

k
m

k
n

k
m
n

0.75

A B

D
A

1

B
1

C
C
1
D1

M

N
I

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Vậy với 3 1

1
3

CD
CN

va
DB

MB 

thì MN//AC1 0.5

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của A1D1 vµ B1B. Chứng minh rằng IJ AC1. 2 điểm

+) AC1 abc 0.5

+) IJ a b 2c

1
2
1




 0.5

+) 2 )( ) 0

1
2
1
(

.AC1  a b c abc 

IJ 0.75

</div>

Download Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 11

<b>Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường</b>

<b> Mơn thi: Tốn</b>

<b> (Thời gian làm bài: 180 phút</b>

)

<b>đáp án – hướng dẫn chấm mơn Tốn</b>

<b>(Thời gian làm bài: 180 phút</b>

)

 

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về