SKKN-Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (200.84 KB, 34 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Lời nói đầu

Dng toỏn Gii bi tốn bằng cách lập ph“ ơng trình” ở chơng trình
đại số các lớp 8 và 9 ở trờng trung học cơ sở là một dạng tốn tơng đối khó
đối với học sinh. Do đặc trng của loại này thờng là loại tốn có đề bài bằng
lời văn và thờng đợc xen trộn nhièu dạng ngôn ngữ (ngôn ngữ thông thờng,
ngôn ngữ tốn học, vật lý).

Hầu hết các bài tốn có các dự kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời
văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt mới tìm đợc sự liên quan giữa các đại
lợng dẫn đến việc lập phơng trình hoặc hệ phơng trình mà thực chất các vấn
đề khoa học giải toán là giải phơng trình.

Trong phân phối chơng trình tốn ở trờng trung học cơ sở thì đến lớp
8 học sinh mới đợc học về khái niệm phơng trình và các phép biến đổi tơng
đơng các phơng trình. Nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình
tốn từ lớp 1 với mức độ và yêu cầu tuỳ theo từng đối tợng học sinh.

ở lớp 1, 2 phơng trình đợc cho dới dạng: Điền số thích hợp vào ơ
trống:  - 2 = 5

ở lớp 3 đợc nâng dần dới dạng: x + 3 – 2 = 10
ở lớp 4, 5, 6 cho dới dạng phức tạp hơn nh:
x : 3 = 4 : 2

x . 3 + 5 = 11; (x – 15). 7 = 21

ë líp 7, 8, 9 ngoài những mối liên hệ nh trên bài toán còn cho dới
dạng lời văn có các dữ kiện kèm theo.

Vì vậy muốn giải đợc loại tốn này học sinh phải suy nghĩa để thiết lập

mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình (hệ phơng trình).

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến lúng túng
trong việc giải loại toán này.

Chính vì vậy, muốn giải bài tốn bằng các lập phơng trình hay hệ 
ph-ơng trình thì điều quan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ cho
trong bài thành những quan hệ toán học. Do vậy, nhiệm vụ của ngời thầy giáo
không phải là giải bài tập cho học sinh mà vấn đề đặt ra là ngời thầy phải
dạy cho học sinh cách giải bài tập. Do đó khi hớng dẫn cho học sinh giải loại
tốn dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt...)
làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng, dẫn đến lập đợc phơng trình dễ
dàng. Đây là bớc quan trọng và khó khăn đối với học sinh.

Trong thời gian giảng dạy ở trờng trung học cơ sở, qua học hỏi kinh
nghiệm của các thầy giáo lớp trớc và các đồng nghiệp trong nhóm là đề tài
này. Đợc sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Trịnh Khang Thành, tôi mạnh
dạn viết đề tài này với mong muốn đợc trao đổi cùng với đồng nghiệp những
kinh nghiệm trong q trình giảng dạy về dạng tốn Gii bi toỏn bng

cách lập phơng trình .

Ni dung chớnh của đề tài gồm:

Ch

¬ng I : Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu về giải một bài toán.
Ch

ơng II : Phân loại các bài toán và các giai đoạn giải bài toán bằng

cách lập phơng trình.

Ch

ơng III : Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải.
Ch

ơng IV : Phần thực nghiệm.

Do trỡnh cú hạn nên đề tài này không tránh đợc những sai sót rất
mong các thầy giáo lợng thứ và chỉ bảo để bản thân tôi rút đợc kinh nghiệm
trong giảng dạy v ỏp dng.

Thái Bình, ngày tháng năm 
200

Tác giả

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chơng I

Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán

I. Phơng pháp nghiên cứu:

Da vo phân phối chơng trình chung của Bộ giáo dụ - đào tạo ban
hành về chơng trình tốn bậc THCS ở lớp 8 có tất cả 25 tiết nghiên cứu về
ph-ơng trình bậc nhất một ẩn và giải bài tốn bằng cách lập phph-ơng trình. ở lớp 9
có 36 tiết nghiên cứu về phơng trình bậc hai một ẩn. Trong chơng trình sách
giáo khoa ở cả hai lớp trên có 74 bi tp.

Một trong các phơng pháp hớng dẫn học sinh giải loại toán trên là dựa
vào quy tắc chung: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình. Nội dung quy tắc
gồm các bớc:

Bớc 1: Lập phơng trình (gồm các c«ng viƯc)

- Chọn ẩn số, chú ý ghi rõ đơn vị và đặt điều kiện cho ẩn.

- Dùng ẩn số và các số đã biết, đã cho trong bài toán để biểu thị số liệu
khác nhau có liên quan, diễn giải các bộ phận hình thành phơng trình (hệ
ph-ơng trỡnh).

Bớc 2: Giải phơng trình (hệ phơng trình)

Tuỳ thuộc vào từng dạng phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp
và ngắn gọn.

Bc 3: Nhn nh kt qu, th li và trả lời.

- Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp khơng?
sau đó trả lời kết quả (có kèm theo đơn vị).

Mặc dù đã có quy tắc trên xong ngời giáo viên trong q trình hớng dẫn
giải loại tốn này cần cho học sinh vận dùng theo sát yêu cầu về giải một bi
toỏn núi chung.

II. Yêu cầu về giải một bài toán.
1. Yêu cầu 1:

Lời giải không phạm sai lầm và không cã sai sãt mỈc dï nhá.

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

điều kiện của ẩn đã hợp lý cha.

VÝ dơ 1: (Tµi liƯu «n thi tèt nghiƯp 1995 – 1996)

Tû sè gi÷a ti em và tuổi anh bằng 0,5. Sau 3 năm nữa tỷ số sẽ tăng
thêm 0,1. Hỏi tuổi anh và em hiƯn nay?

NÕu gäi ti em lµ x(x > 0, x N). Nếu tuổi em là x thì tuổi anh là 2x
(phân tích).

Theo bài ra ta có phơng trình: x +3

2 x +3=0,5+0,1=0,6

<=> x + 3 = 0,6 (2x + 3)

<=> x = 6 (thoả mãn điều kiện đã đặt)
=> Tuổi em hiện nay là 6, tuổi anh là 12.
2. Yêu cầu 2:

Lời giải bài toán lập luận phải có căn cứ chính xác. Trong q trình
thực hiện từng bớc có logic chặt chẽ với nhau, có cơ sở lý luận chặt chẽ, đặc
biệt phải chú ý đến việc thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Xác định ẩn
khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho làm nổi bật đợc ý phải tìm.
Nhờ mối tơng quan giữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình
(hệ phơng trình) từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn vậy giáo viên cần làm
cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn số? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? điều
kiện có đủ để xác định đợc ẩn khơng? Từ đó mà xác định đợc hớng đi, xây
dựng đợc cách giải.

Ví dụ 2: (Toán phát triển đại số 9 – 1996 – Nguyễn Ngọc Đạm – Tr
ơng Công Thành – NXB Giáo dục).

Hai cạnh của một khu đất hình chữ nhật hơn kém nhau 4m. Tính chu vi
của khu đất đó nếu biết diện tích của nó bằng 1200m2.

Hớng dẫn: ở đây bài tốn hỏi chu vi của hình chữ nhật, học sinh thờng
có xu thế bài tốn hỏi gì thứ gọi đó là ẩn số. Nếu gọi chu vi của hình chữ nhật
là ẩn số thì bài tốn đi vào bế tắc khó có lời giải. Giáo viên cần hớng dẫn học
sinh phát triển sâu trong khả năng suy diễn để từ đó đặt vấn đề. Muốn tính
chu vi hình chữ nhật ta cần gì? => (cạnh hình chữ nhật). Từ đó gọi chiều rộng
khu đất hình chữ nhật là x (x> 0). Từ đó ta có phơng trình.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Gi¶i phơng trình ta có: x1 = 30

x2 = -34

Giỏo viên giúp học sinh từ điều kiện để loại nghiệm x2 chỉ lấy x1 = 30

=> chiỊu dµi lµ 30 + 4 = 34 vµ chu vi lµ: 2(30 + 34) = 128m

(ở bài toán này nghiệm x2 = - 34 có giá trị tuyệt đối bằng chiều dài hình

chữ nhật, học sinh dễ mắc sai sót coi đó cũng là kết quả của bài toán.
3. Yêu cầu 3:

Lời giải phải đầy đủ và mang tính tồn diện. Hớng dẫn học sinh khơng
đợc bỏ sót khả năng chi tiết nào, không thừa nhng cũng không thiếu. Rèn cho
học sinh cách kiểm tra lại lời giải đã đầy đủ cha? Kết quả của bài toán đã là

đại diện phù hợp với mọi cái nói chung. Nếu thay đổii điều kiện bài tốn rơi
vào trờng hợp đặc biệt thì kết quả vẫn luụn luụn ỳng.

Ví dụ 3: (Bài ôn luyện toán 9 – NXB Hµ Néi)

Một tam giác có chiều cao bằng ắ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm
3dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính

chiều cao và cạnh đáy.

Lu ý học sinh: Dù có thay đổi chiều cao, cạnh đáy của tam giác thì diện
tích (S) của nó ln đợc tính theo cơng thức:

S = 1

2 (cạnh đáy . chiều cao)

Từ đó gọi chiều dài cạnh đáy (lúc đầu) là x(x > 0, dm) thì chiều cao s

là 3

4 x (lúc đầu).

=> S lúc đầu là 1

2 x .
3
4 x

=> S sau lµ: 1

2 (x-2) . (
3

4 x + 3)

Theo bµi ra ta có phơng trình: 1

2(x 2).

(

3
4x +3

)

Gii phng trỡnh ta tóm đợc: x = 20 thoả mãn điều kiện => chiu cao

của tam giác là 3

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

4. Yêu cầu 4:

Li gii bi toỏn phi n gin

Bi gii phải đảm bảo đợc 3 yêu cầu trên. Không sai sót, có lập luận,
mang tính tồn diện và phù hợp kiến thức, trình độ học sinh, đại đa số học
sinh hiu v lm c.

Ví dụ 4: (Bài toán cổ)
Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có mấy gà, mấy chó?

Với bài toán này nếu giải nh sau:

Gọi số gà là x(x>0), x N) thì số chó là 36x x.

Gà có 2 chân => Số chân gàn là 2x chân

Chó có 4 chân => Số chân chó là 4(36 x) chân
Theo bài ra ta có phơng trình: 2x + 4(36 x) = 100

Giải ra ta cã: x = 22 => gµ = 22 con => sè chã cã lµ 36 – 22 = 14 con
Thì bài toán ngắn gọn dễ hiểu. Nhng học sinh giải theo cách dùng 2 ẩn
(x, y) hoặc gọi số chân gàn là x => số chân chó là 100 x.

=> Phơng trình: x

100 x
4 =36

Kt qu cũng là gàn 22 con, chó 14 con nhng đã vơ tình biến bài giải
khó hiểu hơn hay khơng hợp vi trỡnh ca hc sinh.

5. Yêu cầu 5:

Lời giải phải trình bày khoa học.

ú l lu ý n mi liên hệ giữa các bớc giải trong bài toán phải logic,
chặt chẽ với nhau, các bớc sau đợc suy ra từ các bớc trớc nó, đã đợc kiểm

nghiệm, chứng minh là đúng, hoặc những điều đã biết từ trớc.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Thành NXB Giáo dục 1996).

Chiu cao ca mt tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh huyền thành
2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác.

Theo h×nh vÏ ta cã:

Bài tốn u cầu tìm độ dài BC khi đã biết AH.

Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức
h2 =b’.c’ <=> AH2 = BH . HC.

Để từ đó: Gọi BH có độ dài là x(x > 0) => HC có độ dài là x + 5, 6.
Theo cơng thức (đã biết ở phần hình học) ta có phng trỡnh:

x (x + 5, 6) = (9,6)2

Giải phơng trình ta có x = 7, 2 = 20m
6. Yêu cầu 6:

Lời giải bài tốn phải rõ ràng đầy đủ (có thể nên thử lại).

Lu ý đến việc giải các bớc lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau,
phủ định lẫn nhau, kết quả phải đúng. Muốn vậy cần rèn cho học sinh có thói
quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài tốn,
tránh bỏ sót, nhất là đối với phơng trình bậc 2, hệ phơng trình.

Ví dụ 6: (Tốn phát triển đại 9 – Nguyễn Ngọc Đạm – Trơng Công

Thành – NXB Giáo dục 1996).

Độ dài cạnh huyền của một tam giác vng là 25, cịn tổng độ dài hai
cạnh góc vng là 35. Tìm độ dài mỗi cạnh góc vng của tam giác?

Hớng dẫn: Gọi độ dài các cạnh góc vng của tam giác là x, y (x,y > 0).
Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 (1)

x2 + y2 = 252 = 625 (2)

Rót y tõ ph¬ng trình (1) thay vào phơng trình (2) ta có phơng tr×nh: x2

35x + 330 = 0.

Giải phơng trình bậc 2 này ta tìm đợc x1 = 20; x2 = 15

A
h

b'’ H C

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Đến đây học sinh hay hoang mang và ra hái kết quả (thực chất trong bài
toán tam giác vuông này là 1) không biết lấy kết quả nào?

Giỏo viờn cn xõy dng cho hc sinh cú thói quen đối chiếu kết quả với
điều kiện đầu bài nếu đảm bảo thì các nghiệm đều hợp lý. Một bài tốn khơng
nhất thiết chỉ có duy nhất một kết quả và đợc kiểm chứng lại bằng việc thử lại
tất cả các kết quả đó với yêu cầu của bài toỏn.

Chơng II: Phân loại bài toán

Giải toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn giải một bài toán

I. Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.

Trong 74 bài tập ở lớp 8 và lớp 9 giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình có thể phân loại nh sau:

1. Loại tốn về chuyển động

2. Loại tốn có liên quan đến số học.

3. Loại toán về năng suất lao động (tỷ số phần trăm).

4. Loại tốn về cơng việc làm chung, làm riêng (toán quy về đơn vị).
5. Loại toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiu, t s
ca chỳng).

6. Loại toán có liên quan hình học.
7. Loại toán có chứa tham số.

8. Loại toán có nội dung vật lý, hoá học.

II. Các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình.

1. Phần giai đoạn:

- Vi bi toỏn bc nht mt n số: Là dạng bài tốn sau khi xây dựng

phơng trình, biến đổi tơng đơng về dạng.

ax + b = 0 (a ≠ 0)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng đa về dạng:
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

- Với bài toán: Giải bài toán bằng hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn là dạng
sau khi xây dựng biến đổi tơng đơng về dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng:

ax + by = c
a’x + b’y = c’

Trong đó a, b, a’, b’ khơng đồng thời bằng 0.

Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và 3 bớc trong quy tắc giải
bài tốn bằng cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đã trình bày thì
giải bài tốn loại này có thể chia thành 7 giai đoạn cụ thể rõ hơn 3 bớc trong
quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình ( hệ phơng trình).

* Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết kết luận của bài

toán giúp học sinh hiểu bài toán cho những dữ kiện gì? cần tìm gì? (có thể mơ
tả bằng hình vẽ đợc khơng?)

* Giai đoạn 2: Nêu rõ các vấn đề liên quan để lập phơng trình. Tức l

chọn ẩn số thế nào cho phù hợp, điều kiện thế nào của ẩn cho thoả mÃn.

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào các quan hệ giữa ẩn số và các

i lng ó bit, a vo cỏc cụng thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến
đổi tơng đơng để đa phơng trình đã xây dựng về phơng trỡnh dng ó bit,
ó gii c.

* Giai đoạn 4: Giải phơng trình (bớc 2). Vận dụng các kỹ năng gi¶i ph

ơng trình đã biết để tìm nghiệm của phơng trình.

* Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của phơng trình xỏc nh li gii

của bài toán, với thực tiễn xem có phù hợp không?

* Giai đoạn 6: Trả lời bài toán, kết luận nghiệm của bài toán xem có

my nghim, sau khi ó th li.

* Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải. Phần này thờng mở rộng

cho học sinh tơng đối khá, giỏi. Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh
biến đổi bài tốn đã cho thành bài tốn khác, ta có thể:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Giải bài toán bằng cách khác tìm cách giải hay nhất.

2. Ví dụ minh hoạ cho các giai đoạn giải bài toán bằng cách lập ph
ơng trình.

Vớ d 1: (Đại số lớp 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB Giáo dục 1995)
Nhà bác Điền thu hoạch đợc 480 kg cà chua và khoai tay khối lợng
khoai gấp 3 lần khối lợng cà chua. Tính khối lợng mỗi loại.

Híng dẫn giải:

* Giai đoạn 1:

Giả thiết Khoai + cà chua = 480
Khoai = 3 lần cà chua

* Giai on 2: Thờng là điều cha biết đợc gọi là ẩn số. ở bài này cả số l
ợng cà chua và số lợng khoai đều cha biết nên có thể coi một trong hai loại
(hoặc cả 2 loại).

Cơ thĨ: Gäi sè lợng khoai là x(x > 0kg) thì số lợng cà chua là 480 x
(hoặc số lợng cà chua là y) => x + y = 480

* Giai đoạn 3: Lập phơng trình

Vỡ s lng khoai bng 3 ln s lợng cà chua. Do đó mối quan hệ sẽ là
khoai = 3. cà chua. Ta có phơng trình:

x = 3(480 – x) (*)

hc x = 3y

x + y = 489 (**)
* Giai đoạn 4: Giải phơng trình:

Tip theo cỏch lp phơng trình dẫn đến giải phơng trình bậc nhất (*)
hay hệ phơng trình (**).

Giải (*) ta đợc x = 360kg

Giải (**) ta cũng đợc x = 360kg, y = 120kg bằng cách thay x = 3y vào
x + y = 480.

* Giai đoạn 5: Đối chiếu nghiệm đã giải với điều kiện đã ra xem mức
độ thoả mãn hay không thoả mãn. ở đây x = 360 > 0 nên thoả mãn.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Thư l¹i: Sè khoai : 360kg

Số cà chua : 120kg => Khoai = 3 cà chua (đúng)
* Giai đoạn 6: Trả loài và đáp số.

Vậy số lợng khoai đã thu là 360kg.
Số lợng cà chua đã thu là 120kg.

* Giai đoạn 7: Nên cho học sinh nhiều cách giải khác nhau do việc
chọn ẩn số khác nhau đã đến xây dựng phơng trình khác nhau, từ đó tìm cách
giải hay nhất, ngắn gọn nhất. Nh đã trình bày ở trên, từ việc đặt ẩn số khác
nhau đến xây dựng phơng trình khi là phơng trình bậc nhất một ẩn, khi là hệ
phơng trình bậc nhất hai ẩn. Nhng có thể lu ý cho học sinh tốt nhất là đa về
phơng trình đơn giản nhất, dễ gii nht.

- Có thể từ bài toán này xây dựng hoặc giải các bài toán tơng tự.
Ví dụ:

+ Thay lời văn và tình tiết bài tốn: giữ ngun số liệu, ta có bài tốn
mới “Một phân số có tổng tử và mẫu số là 480. Biết rằng mẫu gấp 3 lần tử.
Tìm phân số đó”.

+ Thay sè liƯu gi÷ nguyên lời văn.

+ Thay kết luận thành giả thiết và ngợc lại ta có bài toán Tuổi cha gấp 3
lần tuổi con, biết rằng tuổi của con là 12. Tìm tỉng sè ti cua cha vµ con.

Bằng cách đó có thể xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp các
dạng bài toán tơng tự và cách giải tơng tự. Đến khi gặp bài tốn học sinh sẽ
nhanh chóng tỡm ra cỏch gii.

Chơng III: Những loại toán và hớng dẫn học sinh giải
Phân loại dạng toán

I. Dng toỏn chuyn ng:

Bài toán 1: (Sách ôn thi tốt nghiệm NXB Gi¸o dơ 1990)

Nhà Nam và Lan cùng nằm trên đờng quốc lộ và ở cách nhau 7m. Nếu
Nam và Lan đi xe đạp cùng lúc và ngợc chiều nhau thì sau 1/4 giờ họ gặp
nhau. Tính vận tốc của mỗi ngời? Biết rằng vận tốc của Lan bằng 3/4 vận tốc
của Nam.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

gặp nhau tại M tức là 2 ngời đã đi hết quãng đờng AB = 7m. Mà vận tốc của
Lan bằng 3/4 vận tốc của Nam, nh vậy có mối quan hệ nh thế nào với cả 2 ng
ời trong khi thời gian đi của cả 2 ngời nh nhau => học sinh sẽ hiểu đề bài và
tự đặt đợc ẩn số và lập phơng trình về mối tơng quan giữa ẩn số và một đại l
ợng khác.

A M B
* Lêi gi¶i:

Cách 1: Gọi vận tốc của Nam là x(x > 0,km/h) thì vận tốc của Lan là
3/4x. Nh vậy Au 1/4h Nam đi đợc quãng đờng là 1/4x. Sau 1/4h Lan đi đợc
quãng đờng là 3/4x . 1/4h cả 2 ngời đi đợc qng đờng AB. Vậy ta có phơng
trình:

1
4x+

3
4.

4 x=7 (1)

<=> 1

4x+
3

16 x =7 <=> 7x = 7 . 16 <=> x = 16

x tho¶ mÃn điều kiện của bài toán và phơng trình (1)

Cỏch 2: Gọi quãng đờng của Nam đi sau 1/4h là x(km, 0< x < 7).
Quãng đờng của Lan đi sau 1/4h là y(km, 0 < y < 7).

Theo bµi ra ta cã: x + y = 7 (1)
VËn tèc cđa Nam sÏ lµ: x : 1/4 = 4x
VËn tèc cđa Lan sÏ lµ: y : 1/4 = 4y

Theo bµi ra ta cã: 4 x

4 y=
1

3 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình: x + y = 7 (1)

x
y=

3 (2)

Giải hệ phơng trình ta tìm đợc x = 4, y = 3 thoả mãn điều kiện và phơng
trình (1).

VËn tèc cđa Nam lµ: 4 : 1

4=16 km /h
3 :1

4=12 km/h

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Mét tµu thủ chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi lẫn vỊ mÊt 8h20’.
TÝnh vËn tèc cđa tµu thủ khi níc yên lặng. Biết rằng vận tốc của dòng nớc là
4km/h.

* Hớng dẫn học sinh: Trong bài này cần lu ý học sinh xác định vận tốc
thực của tàu thuỷ khi ngc dũng v xuụi dũng khỏc nhau.

- Khi tàu xuôi dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực + vận tốc dòng n
ớc.

- Khi tàu ngợc dòng vận tốc của tàu bằng vận tốc thực vận tốc dòng
nớc.

* Lời giải:

Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng và x(x > 4, km/h). Do vậy
khi xuôi dòng vận tốc của tàu là x + 4, khi ngợc dòng vận tốc của tàu là x 4.
Thời gian tàu đi từ A -> B xuôi dòng là 80/x+ 4

Thời gian tàu đi từ B -> A ngợc dòng là 80/x 4.

Thời gian tàu xuôi (đi) và ngợc (về) mÊt 8h20’ ¿8 .1

3h=
25

3 h . VËy ta

cã ph¬ng tr×nh:

x +4+

x − 4=

3 <=> 5x2 – 96x – 80 = 0

Giải phơng trình bậc 2 ta có: = 2 . 704 = (52)2 =>

√Δ'=25

=> x1 = 20, x2 = - 0,8 (lo¹i)

Vậy x = 20 thoả mãn đề bài và phơng trình. Vậy vận tốc của tàu thuỷ
khi yên lặng là 20km/h.

Tóm lại: Với 3 lời giải trên giáo viên đã hình thành cho học sinh làm
quen với việc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình. ở đây
mới cố gắng nêu 2 cách giải đại diện cho các dạng phơng trình bậc nhất, ph
ơng trình bậc 2 và hệ phơng trình.

+ Trong dạng toán chuyển động, học sinh cần nhớ và nắm chắc các đại
cơng quãng đờng, vận tốc và thời gian liên quan với công thức S = vt. Do đó
khi giải nên chọn 1 trong 3 đại lợng trên là ẩn số và điều kiện ln ln dơng.
Sau đó áp dụng công thức S = vt hoặc điều kiện của bài tốn để xây dựng ph
ơng trình (hệ phơng trỡnh).

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

nhỏ và cần lu ý.

- Nu chuyn động trên cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian
có tỷ lệ nghịch với nhau.

- Nếu thời gian chuyển động đến chậm hơn dự định (bài 9 – sách đại 8
– Nguyễn Duy Thuận) thì cách lập phơng trình nh sau:

Thời gian dự định đi với vận tốc ban đầu + thời gian đến chậm = Thời
gian của chuyển động sau khi giảm vận tốc + thời gian chuyển động đi với
vận tốc ban đầu.

- Nếu thời gian của chuyển động đến nhanh hơn dự định (bài 2 sách đã
dẫn) thì cách lập phơng trình làm ngợc lại phần trên.

+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A => B rồi từ B => A
biết tổng thời gian thực tế của chuyển động (ví dụ chơng 3) thì cách lập phơng
trình nh bài tốn đã trình bày. Nghĩa là tổng thời gian của chuyển động về.

+ Nếu hai chuyển động ngợc chiều nhau (Ví dụ 1 chơng 3) sau một thời
gian hai chuyển động nhau thì có thể lập phơng trình S = S1 + S2 + ...

II. Dạng toán có liên quan số học:

Bi 1: (Bài 1 – trang 80 – sách đại 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB
Giáo dục 1995).

Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3. Nếu tăng cả tử và
mẫu thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đã cho?

+ Hớng dẫn học sinh:

- Để tìm một phân số tức là ta phải tìm những thành phần nào? (tử,
mẫu?)

- Bit tử số ta có thể tìm đợc mẫu số khơng? và ngợc lại.
- Sau khi tăng cả tử và mẫu 2 đơn vị ta có phân số mới nào?

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Thật vậy: Gọi tử số của phân số đã cho là x(x ≠ 0) thì mẫu số của phân
số l x + 3.

Sau khi tăng tử số sẽ là: x + 2

Sau khi tăng mẫu số sẽ là: x + S + 2 = x + 5

Theo bµi ra ta có phơng trình x +2

x +5=

2 (1) (§K x ≠ - 5)

=> 2(x + 2) = x + 5 => x = 1

Thoả mÃn điều kiện của bài và của phơng trình (1)

Vy phõn s ó cho là: 1

1+3=
1

Bài 2: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1995)
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số lớn cho 5 và số nhỏ cho 7
thì đợc thơng thứ nhất hơn thơng thứ 2 là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.

+ Híng dÉn häc sinh:

Với loại tốn này học sinh lúng túng cách biểu diễn thơng. Nhiều em
coi thơng thứ nhất là thơng của số nhỏ và 7, thơng thứ 2 là thơng của số lớn và
5, dn n kt qu sai.

+ Lời giải: Theo 4 cách ở bảng sau:

Cách Quá trình Số lớn Số nhỏ Phơng trình xây dựng

1 Cha tính thơng
Tính thơng

x

x 12

x 12

x

5

x −12

7 =4 (*)

2 Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng

x + 12

x

x x −12

5 −

x

7=4

3 Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
x
x

5
y
y
5

x – y = 12 (1)

x

5−

y

5=4 (2)

4 Cha tÝnh th¬ng
TÝnh th¬ng
y
y
5
x
x
5

y – x = 12 (1)

y

5−

x

7=4 (2)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

qu¶. Giải phơng trình.

Ta c: => 7x 5x + 60 = 140
=> 2x + 60 = 140

=> x = 40 thoả mÃn điều kiện bài toán
Vậy số lớn là 40 sè nhá lµ 40 – 12 = 28

Bài 3: (Bài 2 – sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1989)
Tìm 2 số biết tổng là 17 và tổng các bình phơng của chúng là 157.
* Hớng dẫn học sinh:

Đây là bài toán đa về phơng trình bậc 2. Cũng có thể có 2 cách giải
theo t n khỏc nhau:

* Lời giải: Theo bảng sau:

Cách Quá trình Số thứ nhất Số thứ hai Phơng trình xây dựng

1 Cha bình phơng
Bình phơng

x(x 0)
x2

(17

x)2

x2 + (17 – x)2 = 157

()

2 Cha bình phơng
Bình phơng

x(x 0)
x2

y(y ≠ 0)
y2

x + y = 17
x2 + y2 = 157

Gi¶i phơng trình (*) ta có <=> 2x2 34 + 132 = 0

<=> x2 – 17x + 66 = 0

 = 25, √Δ = 5 => x1 = 11; x2 = 6

Cả 2 nghiệm x1, x2 đều thoả món iu kin bi toỏn. Vy s th nht

phải tìm lµ 11, sè thø hai lµ 6.

Chú ý: Với dạng tốn có liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu
mối quan hệ giữa các đại lợng đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng
trăm... biểu diễn dới dạng chính tắc của nó.

ab=1 a+b
abc=100 a+10 b+c

Khi đổi chỗ vị trí các chữ số hàng trăm, chục, đơn vị ta cũng biểu diễn
tơng tự nh vậy. Dựa vào đó đặt điều kiện cho ẩn số phải phù hợp.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ 1: (Ôn thi tốt nghiệp THCS NXB Gi¸o dơc 1990)

Trong 2 tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, trong tháng sau tổ
1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15% nên cả 2 tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy.
Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.

* Híng dÉn häc sinh:

- Đã biết năng suất chung của 2 tổ trong tháng đầu đợc 400 chi tiết
máy. Nếu biết 1 trong 2 tổ sẽ tính đợc đợc tổ kia (chọn ẩn).

- Giả sử đã biết năng suất của tháng đầu có thể tính đợc tổng chi tiết
máy sản xuất trong tháng sau.

- Tính năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng phát triển.
* Lời gii:

Cách 1: Gọi x là số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu (x Z+

x < 400, x > 0). Nh vậy tổ 2 sản xuất đợc 400 – x chi tiết máy.

Tháng sau tổ 1 đã làm đợc 10

100 x chi tiÕt m¸y.

Tổ 2 đã làm đợc (400 – x). 15

100 chi tiÕt m¸y

Do đó cả 2 tổ đã vợt 48 chi tiết máy.
Theo bài ra ta có phơng trình:

x .10

100+(400 − x ).
15
100=48

<=> 10x + 6000 – 15x = 4800
<=> 5x = 1200 <=> x = 240

Thoả mãn điều kiện đề ra. Vậy tháng dần tổ 1 sản xuất đợc 240 chi tiết
máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy.

Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất đợc trong tháng đầu là x(xZ,
0 < x < 400)

Số chi tiết máy tổ 2 sản xuất trong tháng đầu là y(y  Z, 0 < y < 400).
Do đó ta có x + y = 400 (1)

Trong tháng sau tổ 1 làm đợc x10

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Tổ 2 làm đợc y15

100 chi tiÕt m¸y.

Do đó ta có phơng trình:

x10

100+y
15

100=48 (2)

Từ đó ta có hệ phơng trình: x + y = 400 (1)

10 x
100 +

15 y

100 =48 (2)

Giải hệ phơng trình ta có: x = 240; y = 160
Thoả mãn điều kiện đề bài => kết luận

VÝ dô 2: (Bài 2 - Đại 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều NXB Giáo
dục 1996).

Dân số cđa thµnh phè Hµ Néi sau 2 năm tăng từ 2.000.000 lên
2.048.288 ngời. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần
trăm.

* Hớng dÉn häc sinh:

Đã biết số ngời của năm đầu và 2 năm sau, học sinh dễ nhầm lẫn lấy số
sau trừ đi số trớc, sau đó chia cho 2 năm lấy trung bình từ đó tính phần trăm
dẫn đến kết qu sai.

* Lời giải:

Gọi số phần trăm dân số tăng mỗi năm của Hà Nội và x% (x > 0). Dân

số năm đầu của Hà Nội tăng là: 2.000.000. x

100=20. 000 x

Sau năm đầu dân số Hà Nội là:

2.000.000 + 20.000x = 20.000 (x + 100)
Năm thứ hai dân số Hà Nội tăng là:

20.000 (x + 100). x

100=200(x+100)

Theo bài ra ta có phơng trình:

20.000 (x + 100) + 200(x + 100) = 2.048.288

<=> x2 + 200x – 241,44 = 0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình của Hà Nội 1,2%.

Túm li: Vi dng toán liên quan đến tỷ số phần trăm học sinh thờng
ngại và khó giải, giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất
của logic và nội dung bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phơng trình
và giải nh các dạng tốn khác.

IV. Dạng tốn về cơng việc làm chung, làm riêng.
(Tốn qui về đơn vị)

Bài 1: (Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THCS, Sở GD ĐT Hải Hng 1996)
Hai máy xúc đất, nếu làm chung thì mất 6 ngày sẽ làm xong cơng việc
đợc giao. Nếu làm riêng thì máy 1 phải làm lâu hơn máy 2 là 5 ngày. Hỏi mỗi
máy nếu làm riêng thì mất bao nhiêu ngày sẽ hồn thành cơng việc đã đợc
giao.

* Lêi gi¶i:

Gọi x là số ngày mà máy 1 phải làm một mình để hon thnh cụng
trỡnh (x > 5).

Máy 2 làm riêng mất sè ngµy lµ x – 5.

Mỗi ngày máy 1 làm c 1

x công việc, máy 2 làm

x 5 c«ng viƯc.

Cả 2 máy trong một ngày đợc 1

6 công việc.

Theo bài ra ta có cách giải sau:

Cách Quá trình Máy 1 Máy 2 Phơng trình xây

dựng

1 Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong 1ngày

x( x > 5)

x

x 5

x 5

x+

x 5=

1
6

(*)

2 Làm riêng xong công việc
Phần công việc trong 1ngày

x( x > 5)

x

y( y > 5)

y

x y = 5

1
x+

1
y=
1
6

Giải phơng trình (*) ta cã x2 – 17x + 30 = 0

<=> x1 = 15, x2 = 2 (loại)

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Bài 2: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS Sở GD-ĐT Hải Hng 1996)
Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể không có nớc trong 12 giờ thì đầy bể.
Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 6 giờ thì đầy

5 bể. Hỏi mỗi vòi nếu chảy một mình thì phải mất bao lâu mới đầy bể.

* Lời giải:

Gọi x là thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể (x > 0)
y là thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể (y >0)

Sau mỗi giờ vòi 1 chảy là 1

x vòi 2 chảy là

y

=> 1

x +

y =

12 (1)

Trong 4h vòi 1 chảy 1

x , vòi 2 chảy

y =>

x+

y=

5 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:

x +

y =

1
12
4

x+

y=

2
5

Giải hệ phơng trình ta đợc x = 20, y = 30 thoả mãn điều kiện đã nêu.
Vậy vòi 1 chảy riêng hết 20h, vòi 2 chảy riêng hết 30h.

ở bài toán này mấu chốt là cho học sinh hiểu đầu bài biết đặt đúng ẩn,
từ đó tính thời gian của 1h và lập đợc phơng trình.

V. Dạng toán về tỷ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, gi¶m, tỉng hiƯu, tû sè
cđa chóng).

Bài 1: (Bài 5 sách đại số 8 – Nguyễn Duy Thuận – NXB giáo dục
1995)

HTX Hồng Châu có 2 kho thóc. Kho thứ nhất nhiều hơn kho thứ hai
100 tấn. Nừu chuyển từ kho thứ nhất sang kho thứ 2 60 tấn thì lúc đó số thóc

ë kho thø nhÊt 12

13 sè thóc ở kho thứ hai. Tính số thóc ở mỗi kho lúc đầu.

* Lời giải: Hớng dẫn học sinh theo bảng sau:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

1 Cha chuyển
ĐÃ chuyển

x + 100
x + 40

x(x > 0)

x + 60 x + 40 =

13 (x + 60) (*)

2 Cha chun
§· chuyÓn

x(x > 0)
x - 60

y (y > 0)
y + 60

x – y = 100

x – 60 = 12

13 (y + 60)

Giải phơng trình (*) ta có x = 200 thoả mÃn.
Vởy kho 2 lúc đầu có 200 tấn thóc.

Kho 1 lúc đầu có 300 tấn thóc.

Bi 2: (Bi 5 – Sách đại số 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục – 1996)

Một đội xe cần phải chuyên chở 120 tấn hàng khi làm việc cho 2 xe
phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn hàng. Hỏi đội xe có
bao nhiêu xe.

* Lêi gi¶i:

Gọi x là số xe của đội lúc đầu ( x  z+). Theo dự định mỗi xe phải chở

120

x tÊn hµng. Nhng khi lµm viÖc chØ cã (x – 2) xe chë. Thùc tÕ mỗi xe

phải chở 120

x 2 tấn hàng.

Theo bài ra ta có phơng trình:

120

x 2 -

120

x = 16 <=> x2 – 2x – 15 = 0

Giải ra ta đợc x1 = 15, x2 = - 3 (loại)

Vậy đội có 5 xe ơ tơ lúc đầu.

VI. Dạng toán có liên quan hình học

Bi 1: (Bi 2 – Sách đại số – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục 1996)

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m. Ngời ta làm một lối đi
xung quanh vờn (thuộc đất của vờn) rộng 2m, diện tích đất cịn lại để trồng

trọt là 4256m2. Tính kích thớc của vờn?

* Híng dÉn häc sinh:

Đối với dạng tốn có liên quan đến hình học để học sinh dễ hiểu cần vẽ

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

hình và vận dụng kiến thức hình học để tìm lời giải.

Qua h×nh vÏ ta thÊy nöa chu vi AB + BC = 140m

Nếu vẽ lại hình (hình a) thành (hình b) bài tốn dễ nhìn hơn. Ta thấy
diện tích phần lối đi đã đợc vẽ chuyển về một phía. Nếu vẽ thêm chuyển phần
diện tích MECN sang BB’C’E ta thấy ngay.

AB’ nưa chu vi – 4m = 140 – 4 = 136
Vµ AD’ = 4m

Vậy có thể tìm ra diện tích lối đi.
* Lời giải:

Theo hình vẽ ta thấy:

Diện tích lối đi là 136 . 4 = 544m2

Gọi một cạnh ban đầu của hình chữ nhật là x(x > 0), m) thì cạnh thứ hai
là 140 x.

Theo bài ra ta có phơng trình:
x(140 – x) = 4256 + 544 = 4800
<=> x2 – 140x + 4800 = 0

Giải phơng trình ta có x1 = 80, x2 = 60 thoả mÃn điều kiện bài toán.

Vậy một cạnh ban đầu của hình chữ nhật là 60m, một cạnh là 80m.
Bài 2: (Bài 2 trang 68 - Đại số 9 Ngô Hữu Dũng Trần Kiều
NXB Giáo dục 1996).

Cho một tam giác vuông nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2cm, 3cm thì
diện tích tam giác sẽ tăng thêm 50cm2. Tính 2 cạnh góc vuông của tam giác.

* Lời giải:

Gọi 2 cạnh của tam giác cuông là x(cm), y(cm) (x, y > 0) th× diƯn tÝch

A B

A B B’

C’
D’

E
4m
M

C
D

C D N

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

của tam giác là 1

2 xy. Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
1

2(x +2)( y+3)
1

2xy=50
1

2xy 
1

2(x 2)( y − 2)=32

<=> 3x + 2y = 94
2x + 2y = 68

Gi¶i ra ta cã x = 26, y = 8 thoả mÃn điều kiện của bài.
Vậy 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông là 26cm và 8cm.

Bi 3: (Bài 7 – Sách đại 9 – Ngô Hữu Dũng – Trần Kiều – NXB
Giáo dục 1996).

Cho 2 đờng tròn đồng tâm. Tìm bán kính của mỗi đờng trịn. Biết rằng
khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trên 2 đờng tròn đồng tâm bằng 18cm và
khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm trên 2 đờng trịn đó bằng 10cm.

* Híng dÉn häc sinh:

Cần phân tích cho học sinh hiểu đợc khoảng cách giữa 2 điểm lớn trên
2 đờng tròn đồng tâm là tổng 2 bán kính của 2 đờng trịn đó. Khoảng cách
giữa 2 điểm nhỏ nhất là hiệu của 2 bán kính của 2 đờng trịn đó.

Híng dÉn häc sinh vẽ hình => M, O, N, M thẳng hàng.

* Lời giải: Theo bảng sau ta giải phơng trình (2) ta tìm M, O, N, M’ đợc
x = 14cm.

Bán kính của đờng trịn nhỏ là 18 – 14 = 4cm M

Cách Quá trình B.kính

Đ.tròn lớn

B.kính
Đ.tròn nhỏ

Phơng trình xây
dựng

1 Khoảng cách lớn nhất
Khoảng cách nhá nhÊt

x
x(x > 0)

y
y(y > 0)

x + y = 18 (1)
x y = 10

2 Khoảng cách lớn nhất
Khoảng cách nhá nhÊt

x
x

18 – x
X - 10

18 – x = x – 10
(2)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

thành thạo. Từ đó mới thiết lập các mối liên hệ để xây dựng phơng trình.
Trong hình học cần lu ý đến điều kiện của ẩn luụn dng (din tớch, chu vi,
cnh...)

VII. Dạng toán có chứa tham sè.

Bài 1: (Ôn luyện thi tốt nghiệp THCS – Sở GD- ĐT Hải Hng – 1996)
Thả một vật rơi tự do, không vận tốc ban đầu từ một tháp cao xuống
đất. Ngời ta ghi đợc quãng đờng rơi S của một vật theo thời gian t trong bảng
sau:

t(gi©y) 1 2 3 4 5

S(m) 5 20 45 80 125

a) Chứng minh rằng quãng đờng vật rơi tỷ lệ với bình phơng thời gian t
ơng ứng, tính hệ số tỷ lệ đó.

b) Viết cơng thức biểu thị quãng đờng vật rơi theo thời gian.
* Lời giải:

a) Dùa vào bảng trên ta có:

12=5 ;

22=5 ;

33=5 ;

42=5 ;
125

52 =5

VËy S

t2=

5
12=

20
22=

45
32=

80
42=

125
52 =5

Do đó hệ số tỷ lệ là 5.

b) Công thức biểu thị quãng đờng vật rơi theo thời gian là:

S

t2 = 5 hay S = 5t2

Bài 2: (Bài 1 – Sách đại 9 – Ngơ Hữu Dũng – NXB Giáo dục 1989).
Một hình trịn có diện tích S = 3,14R2 với R là bỏn kớnh.

a) Khi R tăng 2 lần thì S tăng thêm hay giảm mấy lần.
Khi R giảm 3 lần thì S tăng hay giảm mấy lần.

b) Khi S tăng 4 lần thì R tăng hay giảm mấy lần.
Khi S giảm 10 lần thì R tăng hay giảm mấy lần.
Gọi R = a th× S1 = 3,14 . a2

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

S2 = 3,14 . (2a)2 = 3,14 . 4a2 = 4 . 3,14a2

=> S2 = 4 . S1 . VËy diện tích tăng 4 lần.

Nếu R giảm 3 lần thì R3 = 1

3 R1=

1
3. a

S3 = 3,14 .

(

3a

)

9.3 , 14 a

=1
9. S1

Vậy S giảm đi 9 lần.

b) Nếu S tăng lên 4 lần tức là S4 = 4 . S1 th×

3,14 . R42 = 4 . 3,14 . R12 => R42 = 4. R12 = (2R1)2

=> R4 = 2R1. Vậy bán kính tăng 2 lần.

Tơng tự, nếu S giảm 16 lần thì bán kính tăng 2 lần.

Túm lại: Bài toán đã xác định mối tơng quan tỷ lệ giữa độ dài bán kính
và diện tích. Độ tăng của bán kính thì độ tăng của diện tích bằng bình phơng
độ tăng của bán kính và ngợc lại.

VIII. D¹ng toán có nội dung vật lý hoá học.

Bài 1: (Bµi 5 - §¹i sè 8 – NguyÔn Duy ThuËn – NXB Gi¸o dơc
1995).

200g dung dịch chứa 50gam muối cần pha thêm bao nhiêu gam nớc để
đợc một dung dịch chứa 15% muối.

* Lêi gi¶i:

Gọi x là lợng nớc cần pha thêm vào dung dịch đã cho (x > 0, g) khi đó

lợng dung dịch nớc là 200 + x. Nồng độ dung dịch là 50

200+x . Theo bài ra ta

có phơng trình:

200+x =
10
100

<=> 5000 = 2000 + 10x
<=> x = 3000 (tho¶ m·n)

Vậy phải thêm 300g nớc vào dung dch ó cho.

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Bài 2: (Ôn luyện thi tèt nghiƯp THCS – Së GD H¶i Hng 1996).

Dùng hai lợng nhiệt, mỗi lợng bằng 168KJ để đun nóng hai khối nớc
kém nhau 1 kg thì khối nớc nhỏ lớn hơn khối nớc lớn 200C. Tính xem khối n

ớc nhỏ đợc đun nóng thêm mấy độ.
* Hớng dẫn học sinh:

Cần cho học sinh hiểu kỹ về kiến thức vật lý đã học. ở đây cần sử dụng
cơng thức tính nhiệt Q = Cm (t2 – t1)

Trong đó: t2 – t1 là nhiệt độ đợc tăng thêm.

=> m= Q

C(t2− t1)

Vì cần nhớ: nhiệt dung riêng của nớc là C = 4,2KJ/kg độ.
* Lời giải:

Giả sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm x độ, x > 0. Nh vậy khối lợng
của khối nớc nhỏ là:

m= Q

C(t2− t1)

=168
4,2 xkg

Vì khối nớc đợc đun nóng kém hơn khối nớc nhỏ là 20C nên khối lợng

cđa khèi níc lín lµ: 168

4,2(x − 2)kg .

Theo bài ra ta có phơng trình:

168
4,2 x+1=

168
4,2(x 2)

Gii ra ta đợc x1 = 10, x2 – 8 (loại)

VËy khói nớc nhỏ đun nóng hơn 100C

Kết luận chơng

Trờn õy là 8 dạng tốn thờng gặp ở chơng trình trung học cơ sở (lớp 8
và lớp 9). Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và cịn có thể chia
thành các dạng nhỏ trong mỗi dạng. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào
lời văn để phân loại, nhng đều chung nhau ở việc các bớc giải cơ bản của các
bài tốn đó đều là những bớc cơ bản của “Giải bài tốn bằng cách lập phơng
trình và h phng trỡnh.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

việc xây dựng phơng trình theo 3 cách.

- Bài toán đa về phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
- Bài toán đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn.
- Bài toán đa về phơng trình bËc hai 1 Èn.

Đó là các loại phơng trình (hệ phơng trình) các em đã đợc học và làm
quen với cách giải ở THCS.

Những ví dụ ở trên tơi khơng có ý thiên về hớng dẫn cách giải các ph
ơng trình (hệ phơng trình) mà chủ yếu gợi ý giúp các em xây dựng đợc phơng
trình cơ bản. Để khi gặp các dạng toán nh trên các em biết cách lm.

Chơng IV: Phần thực nghiệm

Bài soạn

Luyện tập giải bài toán bằng cách lập phơng trình (tiết 1)

1. Mc ớch yêu cầu;

- Giúp cho học sinh nắm vững 6 yêu cầu về giải một bài toán đợc cụ thể
hoá bằng quy tắc: Giải bài tốn bằng cách lập phơng trình theo 3 bớc và 7 giai
đoạn của dạng toán trên.

- Rèn luyện kỹ năng biểu diễn các số liệu đã biết từ dạng văn thành các
biểu thức đại số và xây dựng đợc phơng trình.

2. Chn bÞ:

- Giáo viên: Bài soạn, bảng phụ hình vẽ sơ đồ bài tốn

- Học sinh: Học kỹ các bớc chuẩn bị các bài tập. Bài 2, 8, 10, 11 trang
81 – sách đại số 8.

3. Các bớc lên lớp.
* ổn định tổ chức.
* Kiểm tra:

Nêu quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng trình và các giai đoạn cụ
thể để giải dạng tốn đó.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Khi kiểm tra bài cũ giáo viên hệ
thống lại 7 giai đoạn để giải bài tốn
bằng cách lập phơng trình

Giáo viên gọi học sinh lên bảng, dựa
vào các bớc giải để học sinh tự xây
dựng các bớc giải.

Giáo viên treo bảng phụ đã vẽ trớc
và giải thích cho học sinh, ta biểu
diễn vận tốc của anh Đại và anh Tự
bằng sơ đồ đoạn thẳng.

- Hãy nêu những yếu tố đã biết?
Những yếu tố cần tìm? Chúng liên
hệ với nhau nh thế nào?

- Theo sơ đồ hãy chọn cách đặt ẩn?
Đơn vị và điều kin ca n?

- HÃy tính vận tốc của an Đại?

- VËn tèc cña anh Tù gi¶m đi
1km/h? còn lại.

- Vi tng 1km/h c l?

- S cña anh Tù sau 3h víi vËn tốc
mới?

- S của anh Đại sau 3h với vận tốc
mới?

Da vào mối liên hệ đề bài ra ta tìm
phơng trình.

1. Nội dung:

Nhắc lại 7 giai đoạn giải bài toán
bằng cách lập phơng trình.

2. áp dụng:
Bài 2- 77

Anh Đại, Anh Tự khởi hành cùng 1

lúc VĐại = 1

5 VTự

VĐại + 1km/h, VTù – 1km/h thì
sau 3h STự dài hơn SĐại là 3km.
Tính V thực mỗi anh?

a) Giai on 1: Minh ho vn tc ca
anh Tự, anh Đại bằng hình vẽ và các
đại lợng có liờn quan.

VĐại

VTự x

b) Mi quan h gia vn tc, quóng
ng và thời gian.

- Gäi vËn tèc thùc cña anh Tù là x
(x>0, km/h)

- Thì vận tốc của anh Đại là 4/5x
- Khi vËn tèc cña anh Tù giảm đi
1km/h thì vận tốc mới là (x - 1)
- Khi vận tốc anh Đại tăng lên 1km/h
thì vËn tèc míi lµ (4/5x+1)

- Qng đờng anh Tự sau 3h là
3(x-1)km/h.

- Quãng đờng anh Đại sau 3 h là
3(4/5x + 1)km.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

- Cả lớp giải phơng trình

- KiÓm tra x = 15 cã phï hợp với
điều kiện không?

x = 15 núi iu gỡ? T ú tỡm Vi?

Trả lời bài toán

- Ngoài cách giải trên em nào còn có
cách giải khác?

- Cú thể chọn ẩn khác đợc không?
Chọn vận tốc của anh Đại là ẩn
- Có thể chọn ẩn khác? Nh thế có
mối liên hệ?

- Ta phải tìm thêm mối liên hệ mà
bài tốn đã cho cha sử dụng?

3(x – 1) = 3 + 3 4

5x+1¿ (*)

d) Giải phơng trình (*)
<=> 15x 12x = 45
<=> 3x = 45 <=> x = 15

e) KiÓm tra x = 15 tho¶ m·n điều
kiện bài toán và phơng trình (*).
g) Vận tèc thùc cña anh Tù lµ
15km/h.

VËn tốc của anh Đại lµ

5.15=12 km/h

* Cđng cè:

Nhắc lại mối quan hệ giữa các bớc dẫn đến lập phơng trình của bài toán
trên và áp dụng gợi ý một số bài tốn khác có nội dung tơng tự.

* Híng dÉn vỊ nhµ:
Bµi 8, 10, 11 – 81

Hớng dẫn bài 11- 81. Đờng rộng từ A -> B ngắn hơn đợng bộ l 10km.
Ca nụ i A -> B ht 3h20

Ô tô đi A -> B hết 2h

VCanô nhỏ hơn Vôtô 17km/h. tính Vca nô?

- Đổi 3h20 = ? h(3 1

3h )

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

- Scanô đi 31

3h là ?

- Sôtô đi 2h là?

- Xây dựng phơng trình.
* Rút kinh nghiƯm giê d¹y.

Học sinh nắm đợc 7 giai đoạn, chú ý uốn nắn học sinh đặt điều kiện và
đơn vị, phát huy hết năng lực học sinh...

4. NhËn xÐt cña nhóm dự giờ.

Bài soạn: Luyện tập (tiết 2)

Gii bi toỏn bằng cách lập phơng trình
1. Mục đích u cầu

TiÕp tơc rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách lập phơng trình theo 7
giai đoạn.

Phát huy khả năng sáng tạo của học sinh trong quá trình t duy với dạng
toán phức tạp hơn.

Hc sinh tỡm c cỏch gii hay hn v phõn bit c dng toỏn.
2. Chun b:

Giáo viên: Dùng bảng phụ

Học sinh: Chuẩn bị bài 1, 2, 3 80
3. Các bớc lên lớp.

* n nh t chc.

* Kiểm tra bài cũ (kết hợp với giảng)
* Bài giảng

Giỏo viên
cho học sinh
đọc kỹ đầu
bài, ghi tóm
tắt lờn bng,

Bài 1 80 - Đại số 8

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

nêu hớng suy
nghĩ tìm cách
giải.

- Tìm phân
số nghĩa là
tìm gì?

(mẫu, tử).
- Theo em
chọn ẩn số là
gì? (mẫu hay
tử)

- Sau khi
chọn hÃy tìm
tử số sau khi
tăng?

- Sau khi
tăng mẫu?
- Dựa vào
quan hệ lập
phơng trình.

* Hớng dẫn giải:

- Cú thể chọn tử số là x
- Có thể chọn mẫu số là x
- Tử số sau khi tăng là x + 2
- Mẫu số sau khi tăng là x + 5
- Dựa vào đề bài ta có bảng

C¸ch Qu¸ trình Tử số Mẫu số Phơng trình

xây dựng

1 Cha tăng

ĐÃ tăng

x(x 0)
x + 2

x + 3
x + 5

x +2
x +5=

1
2

(*)

2 Cha tăng

ĐÃ tăng

x - 3
x - 1

x 0

x + 2

x −1
x+2=

1
2

(**)

Gäi häc sinh lªn bảng giải phơng
trình, ë díi líp t×m và so sánh kết
quả.

- Nhận xét cách giải phơng trình?
- Xem xét điều kiện?

- Kết luận.

Giải phơng trình (*) ta có:
2x + 4 = x + 5

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

- Yêu cầu học sinh tìm lời giải khác.
- Gọi học sinh đọc tóm tắt nội dung
bài tốn.

- Một số có 2 chữ số đợc biểu din
nh th no?

- Nêu cách chän Èn sè? §iỊu kiƯn

cđa Èn sè?

- Tìm chữ số hàng đơn vị.

- Viết số có 2 chữ số thành tổng đại
ssó qua các hàng chia theo cách đặt
lập số?

- Khi viết chữ số 1 vào giữa 2 số ta
đợc số nào?

- BiĨu diƠn sè míi theo cÊu t¹o sè?
- So sánh số mới và số cũ có gì liên
quan?

- Viết phơng trình.
- Giải phơng trình.

- Kiểm tra điều kiện và kÕt luËn.

Vậy phân số đã cho là 1/4.
Bài 14- 81

Cho 1 số có 2 chữ số, chữ số hàng
chục bằng nửa chữ số hàng đơn vị.
Nếu đặt chữ số 1 xen vào giữa hai
chữ số đó ta đợc 1 số lớn hơn số đã
cho là 370. Tìm số đã cho?

* Lời giải:

- Gọi chữ số hàng chục là x(x  N,
1;2  9)

Thì chữ số hàng đơn vị là a.
Ta có a = 2x

Vậy chữ số đã cho là xa

xa = 10x + a

12 = 10x + 2x
xa = 12 x

- Khi viết số 1 xen vào giữa ta đợc số
mới là x 1 a .

x 1 a = 100x + 10 + a

= 100x + 10 + 2x
= 102x + 10

- Theo bài ra ta có phơng trình:
102x + 10 = 12x + 370

<=> 90x = 360
x = 4 (thoả mãn)
Vậy số đã cho là 48.

* Cñng cè: