Tài liệu ôn thi vào 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 187 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010

Phần 1: Các loại bài tập về biểu thøc
Bµi 1: Cho biĨu thøc : 







6
5
3
2
a
a
a
a
P
a

2
1

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P<1

Bµi 2: Cho biĨu thøc: P= 


























6
5
2

3
2
2
3
:
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b)Tìm giá trị của a để P<0

Bµi 3: Cho biĨu thøc: P= 

























1
3
2
3
1
:
1
9
8
1
3
1
1
3

1
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P=

5
6

Bµi 4: Cho biĨu thøc P= 























1
2
1
1
:
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a P<1

c) Tìm giá trị của P nếu a 19  8 3

Bµi 5: Cho biĨu thøc: P

=


































a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
.
1
1
:
1
)
1

( 2 3 3

a) Rót gän P

XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

12

)

Bµi 6: Cho biĨu thøc: P = 



























1
2

2
1
2
1
1
:
1
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gọn P

b) Tính giá trị của P khi x .

3 2 2






Bµi 7: Cho biĨu thøc: P= 






















 1 : 1 1

1
1

2
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bµi 8: Cho biĨu thøc: P= 






















a
a
a
a
a
a
a
a
1
1
.
1
1
2 3
3

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. 1 a

Bµi 9: Cho biĨu thøc P= .

1
1
1
1

1
2
:

1 
















x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) So s¸nh P víi 3

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P= 





















a
a
a
a

a
a
a
a
1
1
.
1
1

a) Rót gän P

b) Tìm a để P<7  4 3

Bµi 11: Cho biĨu thøc: P= 

























 3 1

2
2
:
9
3
3
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) Tìm x P<12

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 12: Cho biÓu thøc: P= 




























3
2
2
3
6
9
:
1
9
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P<1

Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 152 113 31 2 2 33










x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P=12
c) Chứng minh P

3
2


Bµi 14: Cho biÓu thøc: P= 2
2
4
4

2
m
x
m
m
x
x
m
x
x





 víi m>0

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn
điều kiện x>1

Bµi 15: Cho biĨu thøc P= 2 1
1
2







a
a
a
a
a
a
a

a) Rót gän P

b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P 
c) Tìm a để P=2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bµi 16: Cho biĨu thøc P=

1
1
1
1
:
1
1
1
1
ab
a
ab
ab
a
ab
a
ab

ab
a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a=2 3 và b=

3
1
1
3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a b 4

Bài 17: Cho biÓu thøc : P=

1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của a thì P=7
c) Với giá trị nào của a thì P>6

Bµi 18: Cho biĨu thøc: P= 





















1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức P=





ab
a
b
b
a
b
a
ab
b
a 




 2 4 .

a) Tìm điều kiện P cú ngha.
b) Rỳt gn P

c) Tính giá trị cđa P khi a=2 3 vµ b= 3

Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= : 2 1
1
1
1
1
2 















 x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P>0 x 1

Bµi 21: Cho biĨu thøc : P= 























1
2
1
:
1
1
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rót gän P

b) TÝnh P khi x=5 2 3

Bµi 22: Cho biĨu thøc P= x x x
x

x 4 2

1
:
2
4
2
42
3
2
1
:
1




















a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P=20

Bµi 23: Cho biĨu thøc : P= xx yy xy xy 



x xy



y xy











 3 3 2

a) Rót gän P

b) Chøng minh P 0

Bµi 24: Cho biĨu thøc P=



































 a ab b

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Rót gän P

b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4

Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= .2 1
1
2
1
1
2
1



















a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a) Rót gän P
b) Cho P=

6
1

 tìm giá trị của a

c) Chứng minh rằng P>

3
2

Bài 26: Cho biÓu thøc: P= 



























3
5

5
3
15
2
25
:
1
25
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

a) Rút gọn P

b) Với giá trị nào của x thì P<1

Bài 27: Cho biÓu thøc P=

 





b
ab
a

b
a
a
b
a
b
b
a
a
a
b
ab
a
a
2
2
2
.
1
:
1
3
3




















a) Rót gän P

b) Tìm những giá trị ngun của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P= 




















 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
a
a

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P>

6
1

Bµi 29: Cho biÓu thøc:

P= 3 3

3
3
:
1
1
2
.
1
1
xy
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x 

























a) Rót gän P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức : P= xyx y x x xxy y  xx

 1
1
.
2
2
2

2
3

a) Rót gän P

b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 v P<0,2
Bi tp rỳt gn

Bài 31 :

1) Đơn giản biÓu thøc : P =

14 6 5  14 6 5

.

2) Cho biÓu thøc : Q =

x 2 x 2 . x 1

x 1

x 2 x 1 x

�   � 



� �

�   �

� �

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Tìm x để

> - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun.

H

íng dÉn :

1. P = 6

2. a) §KX§ : x > 0 ; x

�

1. BiÓu thøc rót gän : Q =

1
2

x

.

b)

> - Q



x > 1.

c) x =

2;3

thì Q

Z

Bài 32 : Cho biÓu thøc P =

x 11  x xx

 

a) Rót gän biĨu thøc sau P.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

12

.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > 0 ; x

�

1. BiÓu thøc rót gän : P =

x
x



1

.

b) Víi x =

12

th× P = - 3 – 2

.

Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A =

11 11





x
x
x

x
x

a) Rót gän biĨu thức sau A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

41

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để

= A.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x

�

0, x

�

1. BiÓu thøc rót gän : A =

1


x
x

.

b) Víi x =

14

th× A = - 1.

c) Víi 0



x < 1 th× A < 0.

d) Víi x > 1 th×

= A.

Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A =

1 1 1 3

a 3 a 3 a

�  �� �

�   ��

� ��

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Xác định a để biểu thức A >

21

.

H

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. BiĨu thøc rót gän : A =

3
2


a

.

b) Víi 0 < a < 1 th× biĨu thøc A >

12.

Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A =

2
2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003.

x 1 x 1 x 1 x

�      � 

�   �

� �

.

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.

2) Rút gọn A.

3) Với x

�

Z ? để A

�

Z ?

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠



1. b) BiÓu thøc rót gän : A =

x 2003x

víi x ≠ 0 ; x ≠



1. c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z

.

Bài 36 : Cho biÓu thøc: A =





2 x 2 x 1
x x 1 x x 1

x 1

x x x x

 

�   �



� �

�   � 

� �

.

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0.

c) Tìm x nguyên để A có giá trị ngun.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

xx11

.

b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.

c) x =

4;9

th× A



Z.

Bµi 37 : Cho biĨu thøc: A =

x 2 x 1 : x 1
2
x x 1 x x 1 1 x

�  � 

 

� �

�     �

� �

a) Rót gän biÓu thøc A.

b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A =

x 2x1

b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > 0



1
2


 x

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

+) A < 2



1
2


 x

x

< 2



2(

x x1

) > 2

 x  x

> 0 đúng

v× theo gt th× x > 0. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 38 : Cho biểu thức: P =

a 3 a 1 4 a 44 a

a 2 a 2

    



 

(a

�

0; a

�

4)

a) Rót gän P.

b) Tính giá trị của P với a = 9.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : a

�

0, a

�

4. BiĨu thøc rót gän : P =

2
4


a

b) Ta thÊy a = 9



§KX§ . Suy ra P = 4

Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N =

1 a a 1 a a

a 1 a 1

�  ��  �

 

� ��

�  ��  �

� ��

1) Rót gän biĨu thøc N.

2) Tìm giá trị của a để N = -2004.

H

íng dÉn :

a) §KX§ : a

�

0, a

�

1. BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .

b) Ta thÊy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.

Bài 40 : Cho biÓu thøc

P x xx 226xx319 2xx1 xx 33














a. Rót gän P.

b. Tính giá trị của P khi

x7 4 3

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính

giá trị nhỏ nhất đó.

H

íng dÉn :

a ) §KX§ : x

�

0, x

�

1. BiĨu thøc rót gän :

3
x

16
x
P






b) Ta thÊy

x7 4 3

 §KX§ . Suy ra

22
3

3
103

P 

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bµi 41 : Cho biĨu thøc

























 1

3
2
2
:
9
3
3
3
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P

a. Rút gọn P. b. Tìm x để

P  21

c. Tỡm

giá trị nhỏ nhÊt cđa P.

H

íng dÉn :

a. ) §KX§ : x

�

0, x

�

9. BiĨu thøc rót gän :

3
x
3
P




b. Víi

0x9

th×

2
1

P 

c. P

min

= -1 khi x = 0

Bµi 42: Cho A=

1 1 4 . 1

1 1

a a

a a a

�   �� �

  

� �� �

�   �� �

� �

víi x>0 ,x

�

1 a. Rót gän A

b. TÝnh A víi a =



4 15 . 10

 

 6 .





4 15



( KQ : A= 4a )

Bµi 43: Cho A=

3 1 : 9 3 2

9 6 2 3

x x x x x

� ��    �

  

� ��

�  ��    �

� ��

víi x

�

0 , x

�

9,

x

�

4 .

a. Rót gän A.

b. x= ? Th× A < 1.

Tìm

x Z�

để

A Z�

(KQ : A=

x32

)

Bµi 44: Cho A =

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

    

   

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. T×m GTLN cđa A.

c. Tìm x để A =

12

d. CMR : A

�23

. (KQ: A =

2 5

x
x





)

Bµi 45: Cho A =

2 1 1

1 1 1

x x

x x x x x

   

   

víi x

�

0 , x

�

1. a . Rót gän A.

b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =

x

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bµi 46: Cho A =

x1 1x x3 1 x 2x 1

   

víi x

�

0 , x

�

1. a . Rót gän A.

b. CMR :

0� �A 1

( KQ : A =

x

x x

)

Bµi 47: Cho A =

5 1 : 25 3 5

25 2 15 5 3

x x x x x

�  ��      �

� ��

�  ��    �

� ��

a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z�

để

A Z�

( KQ : A =

5
3

x

)

Bµi 48: Cho A =

2 9 3 2 1

5 6 2 3

a a a

a a a a

    

   

víi a

�

0 , a

�

9 , a

�

4. a. Rót gän A.

b. Tìm a để A < 1

c. Tìm

a Z�

để

A Z�

( KQ : A =

a
a




)

Bµi 49: Cho A=

7 1 : 2 2 2

4 2 2 2 4

x x x x x

�  ��   �

  

� ��

�   ��    �

� ��

víi x >

0 , x

�

4. a. Rót gän A.

b. So s¸nh A víi

1A

( KQ : A =

6xx9

)

Bµi50: Cho A =





3 3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

�   �  

�  �

�   � 

� �

víi x

�

0 , y

�

0,

x�y

a.Rót gän A.

b.

CMR : A

�

0 ( KQ : A =

xy

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bµi 51 : Cho A =

1 1 1 . 1 1

1 1

x x x x x x

x

x x x x x x x

� �

   �  �   

� �

� �� �

  � ��   �

Víi x >

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =





2 x x 1

x

 

)

Bµi 52 : Cho A =





3 : 2

2 2

x x x

x x

�  ��  �

�  ��  �

� �

�   ��  �

� �

víi x > 0 ,

x

�

4.

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

1 x

)

Bµi 53 : Cho A=

1 1 : 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

�  ��  �

�  ��  �

� ��

víi x > 0 , x

�

1. a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

2 x

)

Bµi 54 : Cho A=

2 1 1 4

: 1

1 1

x x

x x x

x

�  ��  �

 

� �� �

�   ��   �

� �

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z�

để

A Z�

(KQ: A =

x

x

)

Bµi 55: Cho A=

1 2 2 : 1 2
1

1 1 1

x

x x x x x x

�  �� �

 

� �� �

�     ��   �

� �

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z�

để

A Z�

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =

1
1

x
x




)

Bµi 56 : Cho A =

2 3 3 : 2 2 1
9

3 3 3

x x x x

x

x x x

�  ��  �

  

� ��

�    ��  �

� ��

víi x

�

0 , x

�

9

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

b. Tìm x để A < -

12

( KQ : A =

a33

)

Bµi 57 : Cho A =

1 1 8 : 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

�   ��   �

  

� ��

�    ��   �

� ��

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

4
4

x

x

)

c . CMR : A

�1

Bµi 58 : Cho A =

1 1 : 1

1 2 1

x

x x x x x



�  �

�  �  

� �

víi x > 0 , x

�

1. a. Rót gän A (KQ: A =

x
x

)

b.So sánh A với 1

Bài 59 : Cho A =

1 1 8 : 1 3 2
9 1

3 1 3 1 3 1

x x x

x

x x x

�  ��  �

  

� ��

�    ��  �

� ��

Víi

1
0,

x� x�

a. Rót gän A.

b. Tìm x để A =

65

c. Tìm x để A < 1.

( KQ : A =

3 1

x x

x




)

Bµi 60 : Cho A =

2 2 . 2 2 1

1 2 1 2

x x x x

x x x

�   �  



� �

�    �

� �

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0

c. TÝnh A khi x =3+2

d. T×m GTLN cđa A (KQ: A =

x(1 x)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bµi 61 : Cho A =

2 1 : 1
2

1 1 1

x x x

x x x x x

�  � 

 

� �

�     �

� �

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. CMR nÕu x

�

0 , x

�

1 th× A > 0 , (KQ: A =

2
1

x x

)

Bµi 62 : Cho A =

1 4 1 : 2

1 1

x x

x



�  �

�   � 

� �

víi x > 0 , x

�

1,

x

�

4. a. Rót gän

b. Tìm x để A =

12

Bµi 63 : Cho A =

1 2 3 : 3 2

1 1

x x x x

x x

�    �� �

 

� �� �

�   ��   �

� �

víi x

�

0 , x

�

1. a. Rót gän A.

b. TÝnh A khi x= 0,36

c. Tìm

x Z�

để

A Z�

Bµi 64 : Cho A=

1 : 3 2 2

1 2 3 5 6

x x x x

x x x x x

� ��    �

  

� ��

�  ��     �

� ��

víi x

�

0 ,

x

�

9 , x

�

4. a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z� để A Z�

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = 2
1

x
x

)

Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:
Bài 1: Cho phơng trình : m 2x

21

2 2 xm2

a) Giải phơng tr×nh khi m 2 1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x3  2

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :

 4 2 2 2 0





 x mx m

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm cịn lại

b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
c) Tính 2

2
2

1 x

x  theo m
Bµi 3: Cho phơng trình :

2 2 1 4 0





 m x m

x (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chøng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt víi
mäi m

c) Chøng minh biĨu thøc M=x1



1 x2



x2



1 x1



không phụ thuộc vào

Bi 4: Tỡm m phng trỡnh :

a) x2 x2m 1 0 có hai nghiệm dơng phân biệt

b) 4x22xm10 cã hai nghiƯm ©m ph©n biÖt



m21



x2  2m1x2m10 cã hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình : 2  1 2 2 0






 a x a a

x

a) Chøng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với
mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a

2
2

1 x

x  đạt giá trị nhỏ nhất

Bµi 6: Cho b và c là hai số thoả mÃn hệ thức:1121
c
b

CMR Ýt nhÊt mét trong hai phơng trình sau ph¶i cã nghiệm

0
0
2

b
cx
x

c
bx
x

Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một
nghiệm số chung:

42 2 93 22 1236 00((12))
2

x
m

x

x
m
x

Bài 8: Cho phơng tr×nh :

2x2 2mxm2 20

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghim dng
phõn bit

b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm
d-ơng lớn nhất của phd-ơng trình

Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham số m :
x24xm10

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

b) T×m m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả m·n

®iỊu kiƯn

2 10

2
2

1 x

x

Bài 10: Cho phơng trình

2 2 1 2 5 0





 m x m

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) Chứng minh rằng phơng trình ln có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung du . Khi ú hai

nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phơng trình

2 2 1 2 10 0





 m x m

x (víi m lµ tham sè )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2

; hÃy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc

vào m

c) Tìm giá trị của m để 2
2
2
1
2
1

10xx x x t giỏ tr nh nht

Bài 12: Cho phơng trình

 1 2 2 1 0





 x mx m

m víi m là tham số

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm ph©n biƯt m 1

b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm
bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phơng trình

c) T×m một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thc vµo
m

d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:

0
2
5

1
2
2

1

x
x
x
x

Bài 13: A) Cho phơng trình :

x2 mxm10 (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m ; tính

nghiệm kép ( nếu có) của phơng trình và giá trị của m tơng
ứng

b) Đặt 1 2

2
2
2

1 x 6 xx

x

A  

 Chøng minh Am2 8m8

 Tìm m A=8

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng

c) Tìm m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiƯm nµy b»ng hai lần
nghiệm kia

B) Cho phơng tr×nh

x2  2mx2m 10

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.

b) Đặt A= 1 2
2

2
2

1 ) 5

(

2 x x  xx

 CMR A=8m2  18m9

 T×m m sao cho A=27

c)T×m m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm
kia.

Bài 14: Giả sử phơng trình a.x2 bxc0 có 2 nghiệm phân biệt

2
1; x

x .Đặt n n

n x x

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

a) CMR a.Sn2bSn1cSn 0

b) ¸p dơng TÝnh giá trị của : A=

5
5
2
5
1
2
5
1

Bài 15: Cho

f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = 0cã nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m

phơng trình f(x) = 0có 2 nghiệm lớn hơn 2

Bài 16: Cho phơng trình :

x2 2m1xm2 4m50

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt đều dơng

c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá
trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

d) Gäi x1; x2 lµ hai nghiƯm nÕu cã cđa phơng trình . Tính 22
2

1 x

x

theo m

Bài 17: Cho ph¬ng tr×nh x2 4x 380 cã hai nghiƯm lµ
2
1; x

x .

Không giải phơng trình , h·y tÝnh giá trị của biểu thức :

2
3
1
3
2
1
2
2
2
1
2
1
5
5
6
10
6
x
x
x
x
x

x
x
x
M

Bài 18: Cho phơng tr×nh

xx 2m2xm10

a) Giải phơng trình khi m=

2
1

b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m

để :

2
1
2

1(1 2x ) x (1 2x ) m

x

Bài 19: Cho phơng trình

x2mxn 30 (1) (n , m là tham số)

Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

Tỡm m v n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1)

tho¶ m·n hƯ :

7
1
2
2
2
1
2
1
x
x

x
x

Bài 20: Cho phơng trình:

2 2 2 2 5 0





 k x k

x ( k lµ tham sè)

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 18

2
2

1 x

x

Bài 21: Cho phơng trình

2 1 2 4 4 0





 x mx

m (1)

a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bÊt k×

c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :

2 2 3 2 3 0





 m x m m

x

a) CMR phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2thoả mãn

1x1 x2 Bµi tËp vỊ hµm sè bËc nhÊt

µi 23:

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ;
-4).

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và
trục hoành.

H

íng dÉn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :















b

a

b

a

4

2 







1

3 b

a

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1
bằng 13.

µi 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ bằng 3.

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm
số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy.

H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3  m – 2 < 0  m < 2.

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của
hệ pt :













1

2 x

y

x

y

 (x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng
quy cần :

(x;y) = (1;1) lµ nghiƯm cđa pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Víi (x;y) = (1;1)  m =

2
1


2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ

µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị
hàm số y = -2x + 1.

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi
m.

H

íng dÉn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2

 m = -1.

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y =
-2x + 1.

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m =
-3.

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 





2

1

0
0

y

x

Vậy với mọi m thì đồ thị ln đi qua điểm cố định (1;2).

à26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 –

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta cã : víi m



Z th× 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiÖm : x =
- (m + 2) - 2m4-3.

để pt có nghiệm ngun thì 4  2m – 3 .

Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.

VÝ dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y

= 23.

Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23  y = 234-7x = 6 – 2x + x 4 1
V× y



Z  x – 1  4.

Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4

bài tập phần hệ pt
B

ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a) 2x 3y3x 4y 2  5

� b)

x 4y 6
4x 3y 5

 
�

�  

� c)

2x y 3
5 y 4x

 
�
�  

� d)
x y 1

x y 5
 
�
�  
�

e) ��   2x 4 04x 2y  3

� f)

2 5

2
x x y
3 1 1,7
x x y

�  

� 

�
�

�  

� 

�

µi 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2

x my 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham sè m.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của
m để x + y = -1.

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.
B

µi 3 : Cho hệ phơng trình:

x 2y 3 m

2x y 3(m 2)
  
�

�  

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2

đạt giá trị nhỏ nhất.
B

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(a 1)x y a
x (a 1)y 2

  
�

�   

� cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y khơng phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5yx y nhận giá trị
nguyên.

µi 5 : Cho hƯ ph¬ng trình:
x ay 1

(1)
ax y 2

1) Giải hệ (1) khi a = 2.

2) Với giá trị nào của a th× hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
B

ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n

nx my 1
 
�

�  

�

cã nghiƯm lµ



1; 3



4.Vài bài tốn ng dng nh lý Viột
a)Tớnh nhm nghim.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2

= ac

 NÕu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2

= - ac

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và 0 thì phơng tr×nh cã

nghiƯm

x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiƯm x1 ,x2 cđa nó

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có 
nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện

cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

*)
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x
x
x
x
x


 =

p
S
*)
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x 

 =
p
p
S2  2

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*) 2

2
1
2
1
2
1
2
)
)(
(
2
1
1
a
aS
p
a
S
a
x
a
x
a
x
x
a
x
a

x  












(Chó ý : c¸c giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải 
thoả mÃn điều kiện 0)

d)Tỡm iu kiện của tham số để phơng trình bậc hai có 
một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiệm th 2

Cách giải:

Tỡm iu kin phng trỡnh cú nghim x= x1 cho trc cú

hai cách làm

+) Cỏch 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 
nghiệm:

0 (hc / 0


 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá

trÞ cđa

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều
kiện(*)

để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc / 0

) mà ta

thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị

cña tham sè

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào
ph-ơng trình và

giải phơng trình

Chỳ ý : Nu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã

cho mà phơng trình bậc hai này có  < 0 thì kết luận khơng có
giá trị nào của tham số để phơng trình có nghim x1 cho trc.

Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) Cỏch 1: Thay giỏ tr ca tham số tìm đợc vào phơng trình 
rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào cơng thức 
tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

B . Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 =

Gi¶i.
Ta cã / = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ NÕu / > 0  m2 – 9 > 0  m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng

trỡnh ó cho cú 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - m2  9 x2 = m + 1 + m2  9

+ NÕu / = 0  m = 3

- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ NÕu / < 0  -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình cã nghiƯm x = -2

 Víi m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm ph©n
biƯt

x1 = m + 1 - m2  9 x2 = m + 1 + m2  9

 Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Híng dÉn

 Nếu m – 3 = 0  m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng

- 6x – 3 = 0  x = -

2
1

* Nếu m – 3 0  m  3 .Phơng trình đã cho là phơng trình
bậc hai có biệt số / = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu / = 0  9m – 18 = 0  m = 2 .phơng trình có nghiệm

kép

x1 = x2 = - 223

/



a
b

= - 2

- NÕu / > 0  m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1,2 =

3
2
3





m
m

m

- NÕu / < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Với m = 2 phơng trình cã nghiƯm x1 = x2 = -2

Víi m > 2 và m 3 phơng trình có nghiƯm x1,2 = 3 3 2





m
m
m

Víi m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt 
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( 3  5)x - 15 = 0

d) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) =

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 = 1 , x2 =

2
2009


a
c

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

VËy ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = - ac  20417 = - 12

c) x2 + ( 3  5)x - 15 = 0 cã: ac = - 15 < 0 .

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ

thøc Viet ta cã :

x1 + x2 = -( 3  5) = - 3 + 5

x1x2 = - 15 = (- 3) 5

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - 3 , x2= 5

(hc x1 = 5 , x2 = - 3)

d ) x2 –(3 - 2 7)x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ

thøc ViÐt ,ta cã









)

7 3(-2

7

6 -

x

7

2 -

3 x

2
1

Vậy phơng trình có 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2 7

Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhÈm nhanh nhÊt (m
lµ tham sè)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m

+ 4 = 0

Suy ra : x1 = 2

Hc x2 = 3 1


m

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)

* m- 3 = 0  m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0  x = - 1

* m – 3  0  m  3 (*) 











3
2
2
1
2
1
m

m
x
x

Bµi 5: Gäi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 3x – 7 = 0

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = x 1 x2

C= 1 1 1 1

1 


 x

x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là 1 1

x và 1
1

x

Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra

phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 .

Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x 1 x2 = S2  4p  37

+ C = 1 1 1 1

1 


 x

x = 9

1
1

2
)
1
)(
1
(
2
)
(
2
1
2

1 









S
p
S
x
x
x
x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :

S = 1 1 1 1 91

2
1




 x

x (theo c©u a)

p = ( 1)(1 1) 1 1 91

2
1








 x p S

x

VËy 1 1

1 

x vµ 1
1

2 

x lµ nghiệm của hơng trình :

X2 SX + p = 0  X2 +

9
1

X -

9
1

= 0  9X2 + X - 1 = 0

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt
với mọi giá trị cđa k

2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt trái dấu

3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tỡm k : x13 +

x23 > 0

Giải.

1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 -

5
6

k + 59)
= 5(k2 – 2.

5
3

k + 259 + 3625 ) = 5(k - 53) + 365 > 0 với mọi giá
trị của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p <

 - k2 + k – 2 < 0  - ( k2 – 2.

2
1

k + 41 + 47 ) < 0

 -(k -

2
1

)2 -

4
7

< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có
hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k

3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k - 45 )2 +

16
87

]
Do đó x13 + x23 > 0  (k – 1)[(2k - 4

)2 +

16
87

] > 0
 k – 1 > 0 ( v× (2k -

4
5

)2 +

16
87

> 0 víi mäi k)

 k > 1

VËy k > 1 lµ giá trị cần tìm
Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè)

1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2

ph©n biƯt víi mäi m

3. Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Gi¶i

1. Víi m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2

nghiƯm lµ x1 = 1 , x2 = - 9

2. Cã / = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m

+ 5

= m2 + 2.m.

2
1

4
1

4
19

= (m +

2
1

)2 +

4
19

> 0 víi
mäi m

VËy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2
1

)2 +

4
19

]

=> x 1 x2 = 2

4
19
)
2
1

(m 2

4
19
2

 = 19 khi m +

2
1

= 0  m =

-2
1

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2
1

Bµi 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0

(m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2
9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho cú nghim vi mi
m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai
nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm
kia.

Gi¶i:

1) Thay m = - 29 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc

5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho
trở thành;

5x – 5 = 0  x = 1

+ Nếu : m + 2  0 => m  - 2 .Khi đó phơng trình đã cho
là phơng trình bậc hai có biệt số :

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 2( 2)

5
1
2



m
m

= 1

4
2
4
2




m
m

x2 = 2

3
)
2
(
2
)
3
(
2
)
2
(
2
5
1
2










m
m
m
m
m
m

Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phơng trình đã cho cú hai

nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiƯm kia ta sÐt 2
trêng hỵp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2  3 = 23



m
m

giải ra ta đợc m = - 29 (đã
giải ở câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2  1= 3. 23




m
m

 m + 2 = 3m 9 m =

2
11

(thoả mÃn điều kiện m  - 2)

Kiểm tra lại: Thay m = 112 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng
trình :

15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiÖm

x1 = 1 , x2 = 15

= 13 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ

tham sè .

1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.

Giải

1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x = 43
+ NÕu m 0 .LËp biÖt sè /= (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + 4 – m2 + 3m

= - m + 4

 < 0  - m + 4 < 0  m > 4 : (1) v« nghiƯm

 = 0  - m + 4 = 0  m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - 2 422 21

/





m
m
a
b
/

 > 0  - m + 4 > 0  m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

x1 =

m
m
m 2  4

; x2 =

m
m
m 2  4

VËy : m > 4 : ph¬ng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiÖm kÐp x = 21

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

x1 =

m
m

m 2  4 ; x

2 =

m
m

m 2  4

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 43
2. (1) có nghiệm trái dấu 

a
c

< 0 

m
m 3

< 0


















0

3

0

3 m















0

3

0

3 m

Trêng hợp

0

3 m

không thoả mÃn

Trờng hợp

0

3 m

 0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

  0  0 m  4 (*) (ở câu a đã có)

- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0  4m = -9  m = -94
- §èi chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 94 thoả mÃn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiƯn /  0 mµ thay x = 3 vµo

(1) để tìm đợc m = -49 .Sau đó thay m = -49 vào phơng trình
(1) :

-4
9

x2 –

2(-4

- 2)x -

4
9

- 3 = 0  -9x2 +34x – 21 = 0

cã / = 289 – 189 = 100 > 0 =>







9
7
3
2
1
x
x

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Cách 1: Thay m = - 94 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng
trình để tìm đợc x2 = 9

(Nh phần trờn ó lm)

Cách 2: Thay m = -94 vào c«ng thøc tÝnh tỉng 2 nghiƯm:

x1 + x2 = 9

34
4

9
)
2
4
9
(
2
)
2
(
2









m

 x2 = 349 - x1 = 349 - 3 = 97

C¸ch 3: Thay m = - 94 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 = 9

21
4

9
3
4
9
3









m
m

=> x2 = 219 : x1 = 219 : 3 = 97

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham

sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều

kiÖn :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) có nghiÖm kÐp  / = 0  k2 – (2 – 5k) = 0

 k2 + 5k – 2 = 0 ( cã  = 25 + 8 = 33 > 0 )

 k1 =

2
33
5 

 ; k

2 =

2
33

5 


Vậy có 2 giá trị k1 =  5 2 33 hc k2 = 5 2 33 thì phơng

trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.

Cỏch 1: Lp iu kin để phơng trình (1) có nghiệm:

  0  k2 + 5k – 2  0 (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - ab - 2k vµ x1x2

= 2 – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10  2k2 + 5k – 7 = 0

(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 2

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 +

5k – 2

+ k1 = 1 => / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n

+ k2 = - 2

=> /=

8
29
4

8
70
49
2
2
35
4
49








 kh«ng thoả mÃn

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện / 0 .Cách giải là:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 2

(cách
tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Với k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3

+ Víi k2 = - 27 (1) => x2- 7x + 392 = 0 (cã = 49 -78 = - 29 < 0 )

.Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài tËp vỊ pt bËc hai
B

µi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x

1 và x2 là hai

nghiệm của phơng trình. Không giải phơng trình, hÃy tính:
1) x12 + x22

2) x x1 1x x2 2



 







2 2

1 2 1 x 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x x x
x x 1 x x 1

  

   .

µi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.

TÝnh x x1 2x x2 1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

µi 3 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình ln có hai nghiệm
phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai

nghiƯm cđa ph¬ng trình).
B

ài 4 : Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m 5 = 0.

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiƯm ph©n biƯt víi
mäi m.

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của

m để:

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

x2 – 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m = 0.

2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của

m thoả m·n 5x1 + x2 = 4.

Baøi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phơng trình (1).

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.

ài 7 : Cho phơng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham

sè).

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm
nghiệm cịn lại.

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13

+ x23 � 0.

ài 8 : Cho phơng tr×nh:

(m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

1) Giải phơng trình khi m = 1.

2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Bµi 9. Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m phng trỡnh trờn có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn cã nghiƯm x=m2mm11=2m1 1
pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<2 1 1



m <0















0

1

2

0

1

2

1 m













0

1

2

0

1

2 m

=>m<0

VËy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bi53: Tỡm giỏ tr ca m để hệ phơng trình ;
  















2
1

1
1

y
m
x

m
y
x
m

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

a)







x

y
y
x
5
2
1
b)








1
4
4
2
y
x
y
x
c)

12
3
1
1
x
y
x
y

Bài 55: Cho hệ phơng trình :

5
4
2
ay
bx
by
x

a)Giải hệ phơng trình khi a b

b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)

* ( 2 1; 2)

*§Ĩ hƯ có vô số nghiệm

Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:

m
my
x
m
y
mx
6
4
2

Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :

2
Ã
1
y
ax
ay
x

a) Có một nghiệm duy nhất
b) Vô nghiệm

Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:

1
19
2
2
y
xy
x
y
xy
x

Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm:
   

0
1

1
2
1

2 m x y x y

y
x

Bài 60 :GiảI hệ phơng trình:

6
2
4
13
3
2

2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x

Bài 61*: Cho a và b thoả mÃn hệ phơng trình :











0
2
0
3
4
2
2

2
2
2
3
b
b
a
a
b
b
a

.TÝnh a 2 b2

Bµi 61:Cho hệ phơng trình :

a
y
x
a
y
x

a
.
3
)
1
(

a) Giải hệ phơng rình khi a=- 2

b) Xỏc nh giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn
điều kiện x+y>0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2và cắt trục

hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 2+ 2.

c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : y 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y mx 1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và
tiếp xúc với (P)

Bài 64 : Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y2xm

1.Xác định m để hai đờng đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có
hồnh độ x=-1. Tìm hồnh độ điểm cịn lại . Tìm toạ
độ A và B

2.Trong trêng hỵp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân
biệt M và N.

Tỡm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích
của điểm I khi m thay đổi.

Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1)x(m 2)y 2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y x2 tại hai im

phân biệt A và B

b) Tỡm to trung im I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi

Bài 66: Cho (P) y x2

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai
đờng thẳng vng góc với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ
bằng 2

Bài 67: Cho đờng thẳng (d) 3
4
3


 x

y

a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục
toạ độ

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình

m
x 1 

Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :

(d) y(m1)x2 (d') y 3 x 1

a) Song song víi nhau
b) C¾t nhau

c) Vu«ng gãc víi nhau

Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

12
.
)
(

2
)

(

5
2
)
(

3
2
1










x
a
y
d

x
y
d

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng
toạ độ

Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 ln đi qua
một điểm cố định

Bµi 72: Cho (P) 2

2
1

x

y  và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và

b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
Bài 73: Cho hàm số yx 1 x2

a) Vẽ đồ thị hàn số trên

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng
trình x1 x2 m

Bài 74: Cho (P) y x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 75: Cho (P)

x

y  vµ (d) y=x+m

a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A
và B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng
thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') và
đi qua giao điểm của (d') và (P)

Bµi 76: Cho hµm sè y x2 (P) và hàm số y=x+m (d)

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A
vµ B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vng góc với (d) và
tiếp xúc với (P)

c) ThiÕt lËp c«ng thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp
dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A vµ B b»ng

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (d1) y=-2(x+1)

a) §iĨm A cã thc (d1) ? V× sao ?

b) Tìm a để hàm số y a.x2 (P) đi qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vng

gãc víi (d1)

d) Gäi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (
1

d ) vi trc tung . Tìm toạ độ của B và C . Tớnh din tớch tam

giác ABC

Bài 78: Cho (P) 2

4
1
x

y  và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên

(P) có hồnh độ lầm lợt là -2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
 2;4



x sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 79: Cho (P)

x

y và điểm M (1;-2)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc
là m

b) CMR (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay
đổi

c) Gọi x ;A xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
2

B
A
B

Ax x x

x  đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó

d) Gäi A' vµ B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và
S là diện tích tứ giác AA'B'B.

*TÝnh S theo m

*Xác định m để S=4(8 2 2 2)


m m m
Bài 80: Cho hàm số y x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2.
Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp
xúc với (P)

Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) 2

4
1

x
y 

và đờng thẳng (d) y mx 2m 1

a) VÏ (P)

b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp

điểm

c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 82: Cho (P) 2

4
1

x

y và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a) VÏ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biƯt A vµ B

R
m 


b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 83: Cho (P)

x

y  và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1
2
3

) cã
hƯ sè gãc lµ m

a) VÏ (P) vµ viÕt phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)

c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P)

x

y  và đờng thẳng (d) 2
2

 x
y

a) VÏ (P) vµ (d)

b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)

c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp
tuyến của (P) song song với (d)

Bµi 85: Cho (P) y x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2 .
Viết phơng trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc
với (P)

Bµi 86: Cho (P) y 2x2

a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 và điểm B có hồnh độ
x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d)
y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng
trình (( )) 1

2
1




y

mx
d

m
y
x
d

c¾t nhau tại một điểm trên (P) y2x2
Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình

1. chuyn ng

Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một
ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau
tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy
đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng
AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h ,
sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thời gian xi ít hơn thời gian đi
ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết
rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm
một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn
đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h
. Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km
và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính
chiều dài qng đờng ngời đó đã đi.

Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B .
Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau
khi đi đợc 43 quãng đờng AB , xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h
trên qng đờng cịn lại . Tính qng đờng AB biết rằng xe con
đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với
một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng
khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi 3
Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn thời
gian đi là 1 giờ 30 phút.

Bµi 94:Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km
đi ngợc chiều nhau . Sau 1h40 thì gặp nhau . Tính vận tốc riêng
của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca
nô đi ngợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một
ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi
xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giờ họ gặp
nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là
30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với
vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính qng đờng AB biết rằng thời
gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung
bình 30 Km/h , sau đó ngợc từ B về A . Thời gian đi xi ít hơn
thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng cách giữa hai bến A và B
biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là
không đổi .

Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc
trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi cịn 60
Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc
thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ơ tơ đến tỉnh B sớm
hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.

Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến
bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc
24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục
chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến
B cùng một lúc .

Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau
đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm
hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy
gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xi dịng 108 Km
và ngợc dịng 63 Km. Một lần khác , ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ,
xi dịng 81 Km và ngợc dịng 84 Km . Tính vận tốc dịng nớc chảy
và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.

Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi
và về mất 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tèc cđa tÇu khi nớc yên lặng ,

biết rằng vận tốc dòng nớc là 4 Km/h.

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi
hết quãng đờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc
một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ ,
xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa qng đờng cịn lại .
Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .

Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km
trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn
đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải
tăng vận tốc thêm 6 Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.

Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã
định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B
chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng
vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc
của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu.

2. Năng xuất

Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm
xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong cơng
việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là
6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong cơng việc ấy trong bao
lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế

hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt
mức 6000 đơi giầy do đó chẳng những đã hồn thành kế hoạch
đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đơi giầy . Tính số
đơi giầy phải làm theo kế hoạch.

Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần
đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên
chẳng những đã hồn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà cịn vợt mức
kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

đợc 32 mức khốn . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm
xong mức khốn thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?

Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hồn
thành xong cơng việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ
thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt
cơng việc cịn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình thì
sau bao lâu sẽ hồn thành cơng việc.

Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì
xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ
làm đợc 25% cơngviệc . Hỏi mỗi ngời làm cơng việc đó trong mấy
giờ thì xong .

3. ThĨ tÝch

Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã
làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vịi thứ hai
chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng
thì mỗi vịi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Bµi 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và
chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy
đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?

Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa
trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3 .

Sau khi bơm đợc 31 thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với
công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m3 . Do vậy so với quy

định , bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có
nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15
phút rồi khố lại và mở vịi thứ hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ
đ-ợc 51 bể . Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì
mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?

GiảI bài toán bằng c¸ch lËp pt
B

ài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 
300 km . Ơ tơ thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km
nên đến B sớm hơn ô tơ thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
B

ài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau 
khi đi đợc 2/3 qng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên
ng-ời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại.
Do đó ơ tơ đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng
AB.

ài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì 
đầy. Nðu chảy cùng một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II
bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau
bao lâu đầy bể.

ài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất 
định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ .
Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính
qng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .

ài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành
từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô
thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h.
Tính vận tốc của mỗi ôtô?

ài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học
sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây
các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng
nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số
học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.

ài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô
đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ
lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc lúc
đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ơ tơ.

µi 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. NÕu gi¶m chiỊu

rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có
diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của
hình chữ nhật ban đầu.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

ài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng
khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh
hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.

ài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản
phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc
khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu cơng nhân? Biết rằng năng
suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.

ài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ 
đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc
bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc
bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó.
Tìm thể tích của mỗi bình

ài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời 
đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A
với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km

ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó 
ng-ợc từ B trở về A. Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngng-ợc là 40'.
Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi, vận
tốc dòng nớc là 3km/h.

ài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 
1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ.
Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe
đạp

ài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng 
và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số
ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phịng có 400 ghế. Hỏi có
bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

ài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng trịn có đờng kính 
20m , xuất phát cùng một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng

chuyển động ngợc chiều nhau

thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều
nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua. Tính vận tốc của mỗi vật.
B

ài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang 
tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai
tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất

mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm

ài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ơ tơ. Mỗi xe chở 
22 h/s thì cịn thừa 01 h/s. Nếu bớt đi 01 ơtơ thì có thể xếp đều
các h/s trên các ơtơ cịn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ơtơ, bao nhiêu
h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s.

Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian
đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày.
Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản
xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1
ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.

Bµi 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát
tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc
của ca nô lúc dòng nớc yên lặng

Bi 21: Mt i xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có
2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi
đội có bao nhiêu xe?

Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa
điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên
đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ơ
tơ biết qng ng AB di 240km

Bài 23: Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ
55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm
đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng
vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu ®Çy bĨ?

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc
của cả hai tổ sẽ bằng nhau.

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng
đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một.

Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách
nhau 150km, đi ngợc chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc
của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và
vận tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ơ tơ A bằng 2 lần vận
tốc của ô tô B.

Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc
mà mỗi hợp tác xã ó

bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xÃ thứ nhất bán cho
nhà nớc nhiều hơn hai lần số thóc hợp tác xÃ thứ hai bán là 280 tấn

Phần 6 : Hình học

A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:

1,Định nghĩa:

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0
không đổi gọi là đờng trịn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:

* Của một điểm với một đờng tròn :

xÐt (0 ; R ) và điểm M bất kì

v trớ tng i Hệ thức

M n»m ngoµi ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :

xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ
tâm O đến đờng thẳng a )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

a c¾t ( O ; R ) 2 d < R

a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao nhau 0 d > R

* Của hai đờng trịn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt

nhau 2 R – r < d < R- r

Hai đờng trịn tiếp
xúc nhau :

+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :

d = R + r
d = R – r
Haiđờng trịn

khơng giao nhau :
+hai đờng trịn ở
ngồi nhau :

+đờng trịn lớn
đựng đờng tròn
nhỏ :

d > R + r
d < R -r
3 . TiÕp tuyÕn cña đ ờng tròn :

a. Định nghĩa :

ng thng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó
chỉ có một điểm chung với đờng đó .

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một
đờng trịn thì nó vng góc với bán kính đI qua tiếp điểm .

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng trịn cắt nhau tại
một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ
giao điểm đó qua tâm đờng trịn là tia phân giác của góc tạo bởi
hai tiếp tuyến .

c, C¸ch chøng minh :

 Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với
đờng trịn đó .

 Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vng góc với bán kính
của đờng trịn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng trịn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính v dõy cung :

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây
cung ấy ra thành hai phần bằng nhau .

* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung
không đi qua tâm thì vuông góc với d©y cung Êy.

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và
chỉ khi chúng cách đều tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung khơng bằng nhau của một đờng
trịn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tõm hn .

II. Gúc trong ng trũn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn:

- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đờng trịn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* nh lớ 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.

3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc ni tip mt ng trũn l tứ giác có bốn đỉnh nằm trên
một đờng trịn . Đơng trịn đó đợc gọi là đờng trịn ngoại tiếp tứ
giác.

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng
tròn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối
diện dới cùng một góc.

B. Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng trịn đờng
kính AH cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại E và F.

a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.

c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là
trung điểm của BC.

d. CMR: Nếu S ABC = 2. S AEHF thì tam giác ABC vuông cân.

Bi 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân
giác của góc Â cắt (O) tại M. Nối OM cắt BC tại I.

1. Chøng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC.

3. Chøng minh: gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC.

4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh
OH // AH.

5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình
gì?

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chøng minh

MB
OE

2
1

 .

8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn
ngoại tiếp tứ giác OICE.

9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.

10. Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) c¾t BM kÐo dài tại K. Chứng minh
CM là phân giác của góc BCK.

11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.

12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng
minh tam giác BMS cân tại M.

13. 13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC.
14. Chøng minh gãc SBC = gãc NCM.

15. Chøng minh gãc ABF = gãc AON.

16. Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O). Chøng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn tâm O đờng
kính BC cắt AB, AC theo thứ tự tại D, E. Gọi I là giao điểm của BE
và CD.

1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC.
2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE.
3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI.

4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam
giác ABC cắt (O) tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E.

a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM c¾t BC tại I.
Chứng minh I là trung điểm cđa BC.

c. TÝnh b¸n kÝnh cđa (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = 8 cm.

Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M
và N sao cho các cung AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm
của AM và BN, H là giao điểm của AN với BM. CMR:

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

b. PH ┴ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.

c. ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH.

Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chính giữa
của cung nhỏ AB. Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. CMR:
a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.

b. ME . MC = MF . MD.
c. Tø gi¸c CEFD néi tiÕp.

d. Khi AB R 3 thì tam giác OAM đều.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH.
Vẽ đờng trịn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng trịn tâm K
đờng kính CH ct AC ti F.

a. Tứ giác AEHF là hình gì?

b. Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp.
c. Chøng minh AE . AB = AF . AC.

d. Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I).

e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh Ax // EF.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B
vẽ đờng thẳng vng góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp.

b. TÝnh gãc AHE.

c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.

e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển
trên đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ;
AD > CD ). Gọi E là giao điểm của AB và CD, F là giao điểm của
AD và BC. Chứng minh rằng:

a. EF ┴ AC

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

c. Tø gi¸c BDFE néi tiÕp.

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O).
Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp
tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I.

a. Chøng minh IA lµ tiÕp tun cđa (O).

b. Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI.
c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. Tính OI, CI.

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng
phía với AB các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các điểm M, N
theo thứ tự di chuyển trên Ax và By sao cho gãc MON = 900. Gäi I lµ

trung ®iĨm cđa MN. Chøng minh r»ng :
a. AB lµ tiÕp tuyến của (I ; IO).

b. MO là tia phân giác cđa gãc AMN.

c. MN là tiếp tuyến của đờng trịn ng kớnh AB.

d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN
không dổi.

Bi 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp
tuyến chung ngồi của hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ).
Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC tại M.

a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M.

b. Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng trịn đi qua ba điểm O, O’ , M.

d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm
O, O’, M.

Bài 13: Cho (O) và (O’)tiếp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô’ cắt (O)
và (O’) theo thứ tự tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung
ngồi của hai đờng trịn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) . M là giao
điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :

a. Gãc DME lµ gãc vu«ng.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

c. MD . MB = ME . MC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao
BD, CE , M là trung điểm của BC.

a. Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp.

b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.

d. Chøng minh r»ng nÕu gãc BAC = 600 thì tam giác DME là tam

giỏc u.

Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến
AB và AC , cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.

a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.

c. Gọi I là giao điểm của BC vµ DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH.

d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai
điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC
cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N.

a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng.
b. Tứ giác MNDC nội tiếp.

c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này khơng đổi khi C,
D di động.

Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt
phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất
kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đờng tròn tại D, các tia AD
và BC cắt nhau tại E.

a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B.

b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK ┴ AB.

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn
(O ; R).

Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau t¹i T.
a. Chøng minh r»ng OT // AB.

b. Chøng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R.

d. Tính diện tích hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD
theo R.

Bài 19: Hai đờngtrịn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp
xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của
(O) và (O’). DE là dây cung của (O) vng góc với AB tại trung điểm
của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của ng thng DC vi (O) l
F.

a. Tứ giác AEBD là hình gì?

b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.

d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.
e. Chứng minh MF DE

2
1

 vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’).

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy
một điểm B và vẽ đờng trịn tâm O’ đờng kính BC. Gọi M là trung
điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông gúc vi AB, DC ct (O)
ti I.

a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.

c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng và MD = MI.

d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với
(O’).

Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến
AB, AC và cát tuyến AMN của đờng trịn đó. Gọi I là trung điểm
của dây MN.

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính
diện tích hình trịn và độ dài đờng trịn ngoại tiếp tứ giác ABOC
theo bán kính R của (O).

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt
BC tại D, cắt (O) tại E. Tiếp tuyến của đờng tròn tại A cắt đờng
thẳng BC tại M.

a. Chøng minh MA = MD.

b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA
với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng.

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M,
dựng (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng
AD cắt đờng tròn (O) tại S.

a. Chøng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân giác cña gãc
SCB.

b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng
thẳng BA, EM, CD đồng qui.

c. Chứng minh DM là phân giác của góc ADE.

d. Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a. Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng
(O) qua tiếp xúc víi BC t¹i C.

b. Hai đờng trịn (O) và (O’) v trớ tng i no?

Gọi M là trung điểm cđa BC. Chøng minh AM lµ tiÕp tun chung
cđa (O) vµ (O’).

c. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính
của (O) , (O’).

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng
góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠
C). AM cắt OC tại N.

a. Chứng minh rằng tích AM . AN khơng đổi.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H là trực tâm của tam
giác ABC, M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a. Xỏc nh v trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành.
b. Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC.

Chøng minh ba điểm N. H , E thẳng hàng.

c. Xỏc nh v trí của M để NE có độ dài lớn nhất.

Bài 27: Cho (O,R) và (O’,r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đờng
thẳng OO’ cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D . Tiếp tuyến chung ngồi AB
(A(O),B(O') ) cắt địng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của

hai đờng tròn ở M cắt AB ti I.

a. Chứng minh các tam giác OIO và AMB là các tam giác vuông.
b. Chứng minh AB 2 R.r .

c. Tia AM cắt (O) tại A, tia BM cắt (O) tại B. Chứng minh ba
điểm A, O, B và A , O , B thẳng hàng vµ CD2 = BB’2 + AA’2.

d. Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I.
Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R và r.
Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A,
B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyến Cx của (O) cắt tia AB tại I.
Phân giác góc CIA cắt OC tại O’.

a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng
thẳng AB.

b. Gọi D,E theo thứ tự là giao điểm thứ hai cđa CA, CB víi (O’).
Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng .

c. Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp

xúc với AC.

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx
với nửa đờng tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn.
Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B và E ).

a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng.
b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.

c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng :
AC. AE = AD . AF = const .

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD tại K. Chứng
minh rằng:

a. Gãc MAH = gãc MCB.
b. Tam giác ADE cân.
c. Tứ giác AHBK nội tiếp.

Bi 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B.
Ngời ta kẻ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax và By
vng góc với AB. Trên tia Ax lấy một điểm I. Tia Cz vng góc với
tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng trịn đờng kính IC cắt IK tại P.
Chứng minh:

a. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp.
b. AI.BK=AC.CB.

c.  APB vu«ng.

d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho
diện tích hình thang vng ABKI lớn nhất.

Bài 32. Cho (O) và một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp
tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O);
AM<AN). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai
của đờng thẳng CE với (O).

a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng
tròn.

b. Chøng minh gãc AOC=gãc BIC
c. Chøng minh BI//MN.

d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn
nhất.

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên
đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB. Vẽ CE vng góc với AD
(EAD).

a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp.

b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác AHCE.

c. Chøng minh CH là tia phân giác của góc ACE.

d. Tớnh diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và
cung nhỏ AH của đờng trịn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung
BC (cung AB < cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đờng
vng góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.

a. Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

c. Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O).

d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA vµ
cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di
chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với
(O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại
các điểm thứ hai C, D.

a. Chøng minh CD//AB.

b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng
thẳng MN đi qua một điểm K cố định.

c. Chứng minh tích KM.KN cố định.

d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'.
Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có
thể đợc.

Bài 36. Cho một đờng trịn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên
đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD
lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I. Giao
điểm của MD vi CN l K.

a. CM: NKD và MAK cân.

b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD.
c. So sánh các góc CAK với góc DAK.

d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần
và đủ để AK//ND.

Bµi 37. Cho (O1) vµ (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiÕp

tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại

B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E.

a. Chøng minh M là trung điểm BC.
b. Chứng minh O1MO2 vuông.

c. Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Phần 2: Hình học không gian.
A.Lý thuyết:

I. Một số kiến thức cơ bản về hình học khơng gian:
1. Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng:

* a // b  a , b  (P), a vµ b không có điểm chung.
* a cắt b a , b  (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung.

* a và b chéo nhau  a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.
 b. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng a và mặt phẳng (P):

* a // (P)  a vµ (P) không có điểm chung.
* a cắt (P) a và (P) có một điểm chung.
* a (P) a và (P) có vô số điểm chung.

c. Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):

* (P) // (Q)  kh«ng cã ®iĨm chung.

* (P)  (Q) = a  có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến
của hai mặt phẳng).

* (P)  (Q).

2. Mét sè c¸ch chứng minh:

a. Chứng minh hai đ ờng thẳng song song:

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

a vµ b không có điểm chung.
C2: a // c và b // c.

C3 : a b

b

R
Q
a
R
P
Q
P
//
)
(
)
(
)
(
)
(
)
//(
)
(











b.Chøng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng:

)
//(
)
(
//
P
a
P
b
b
a

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

)
//(
)
(
)
//(
),
//(

),
(
,
Q
P
P
b
P
a
aXb
Q
b
a

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông góc:

b
a
P
b
P
a

)
(
)
(

e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

( )
)
(
),
(
,
,
P
a
P
c
P
b
bXc
c
a
b
a

g.Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
( ) ( )
)
(
)
(
Q
P
Q
a
P
a

II. Một số hình không gian:

1. Hình lăng trụ:

Sxq = P . h víi P: chu vi

đáy

V = B . h h :
chiÒu cao

B: diện
tích đáy

1. H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h víi R: b¸n kÝnh

đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu

cao.

2. H×nh chãp :

h
B
V
d
P
Sxq

.
3
1
.
2
1



với d: đờng cao
mặt bên

2. H×nh nãn:

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

d: đờng sinh; h: chiều cao.
3. Hình chóp cụt:

 



B B BB



h
V

d
P
P
Sxq

.
'
.

'
3

.
'
2








3. H×nh nãn cơt:

   



B B BB



h h



R r Rr



V

d
r
R
d

P
P
Sxq

.
3

.
.
'
.
'
3

.
'
2

2
2














4. H×nh cầu:

3
2

3
4
4

R
V

R
S

B. Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm S n»m ngoµi
mp(ABCD). Gäi M, N theo thứ tự là trung điểm của SA, SD. Tứ giác
MNCB là hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G, H theo thứ tự là trung điểm của
AD, CD. LÊy ®iĨm E AB, F  BC sao cho: AE AB CF CB

4
1
;

4
1



 .

a. Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH.

b. Gọi I là giao điểm của EG và (BCD). CMR: F, H, I thẳng hàng.
Bài 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của
mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song
với a.

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.
Một mặt phẳng thứ ba (R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự là các giao
tuyến a và b. CMR:

a. Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui.

b. Nếu a // d thì a, b, d ụi mt song song.

Bài 5: Cho tứ diện S.ABC, điểm D  SA sao cho SD SA,EAB
4

sao
cho BE BA

4
1

 . Gọi M là trung điểm của SC, I là giao điểm của DM

và AC, N là giao điểm của IE vµ BC. CMR:
a. SB // (IDE).

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Một đờng
thẳng d  (ABC) tại A. Trên d lấy điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh BC  SH.

b. Kẻ AI là đờng cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC).
c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. Tính BC, SH rồi

tÝnh Sxq, Stp, V cđa h×nh chãp S . ABC.

Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I  AM sao
cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), trên
d lấy điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh SA = SB = SC.

b. Gọi IH là đờng cao của tam giác SIM. CMR: IH (SBC).

c. Tính Sxq và V của hình chóp S . ABC biÕt AB 3 3cm; SA = 5

cm.

Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iĨm E  SA, F  AB sao cho

BA
BF

SA
SE

3
1
;



 . Gäi G, H theo thứ tự là trung điểm của SC, BC.

CMR:

a. EF // GH.

b. EG, FH, AC đồng qui.

Bµi 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một
đ-ờng thẳng d vuông góc vói mp(ABC) tại B, trên d lấy điểm S sao
cho SA = 10 cm.

a. CMR: SB  AC.
b. TÝnh SB, BC, SC.

c. CM: Tam giác SAC vuông.
d. Tính Stp , V.

Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm. Trên đờng thẳng d
vng góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = 4 cm. CMR:

a. (SAB)  (SAD).
b. SC  BD.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét
đờng cao AA’ = 5 cm, các đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm.

a. Tính AB?

b. Tính Sxq, V của hình lăng trơ ABCD . A’B’C’D’.

c. TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ . ABCD.

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc
BAB’ = 450 . Tớnh S

xq và V.

Bài 13: Hình hộp ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4
cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhật ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD
= 16 cm, AA’ = 25 cm.

a. CM: Các tứ giác ACCA, BDDB là hình chữ nhật.
b. CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA2.

c. Tính Stp , V ?

Bài 15: Cho hình hộp ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ
gãc A’CA = 300. TÝnh S

tp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm
.

a. Tính đờng chéo BD’.

b. TÝnh Stp và V của hình chóp A . ABD.

c. Tính Stp và V của hình chóp A.BCD.

Bi 17: Mt thựng hỡnh trụ có diện tích xung quanh bằng tổng
diện tích hai đáy, đờng cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng
chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO’ của một hình trụ, phần mặt
phẳng bị giới hạn bởi hình trụ ( cịn gọi là thiết diện) là một hình
chữ nhật có diện tích bằng 72 cm2. Tính bán kính đáy, đờng cao

của hình trụ biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa chiều cao.
Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật
có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó.

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = 5 cm, bán kính
đáy OB = 3 cm.

a. TÝnh Sxq của hình nón.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

c. Gọi CD là dây cung của (O; OB)vuông góc với OB. CMR: CD 
(AOB).

Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vịng quanh AB.
Tính bán kính đáy, đờng cao của hình nón tạo thành. Từ đó tính
Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600.

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều
cạnh bằng 4 cm. Tính Sxq và V .

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là
10 cm và 15 cm.

a. TÝnh Sxq cđa h×nh nãn cơt.

b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt ú.

Bài 24: Một hình thang ABCD có góc A và gãc D =900, AB = BC = a

, gãc C = 600. Tính S

tp của hình tạo thành khi quay hình thang

vuông một vòng xung quanh:
a. Cạnh AD.

b. Cạnh DC.

Bài120: Cho hai đờng tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngồi

tại C . Kẻ các đờng kính COA và CO’B. Qua trung điểm M của AB ,

dùng DE  AB.

a) Tø gi¸c ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Ni D với C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba im B , F , E

thẳng hàng

c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G

d) *Xét vị trí của MF đối với đờng tròn tâm O’ , vị trí của AE với

đờng trịn ngoại tiếp tứ giác MCFE

Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx ,
Dy vng góc với CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng trịn , dựng
tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P , cắt Dy tại Q.

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED
b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R2 . CMR

16
25



</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng trịn tâm O và
hình thang vng CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều
và trọn một vòng quanh CD

Bài 122: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính
AOB , COD vng góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE
cắt đờng tròn tại F . Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua
E dựng Ey vng góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx và Ey .

a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?

c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng
nào ?

Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn .
Qua A dựng tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng
tiếp tuyến QB .

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q
chuyển động trên Ax.

c) Hạ BK Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi
và suy ra q tÝch cđa ®iĨm H

Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O .
Các đờng cao AD , BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong
tại F . Vẽ đờng kính BOE .

a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng

c) CMR OI = BH2 và H ; F đối xứng nhau qua AC

Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiÕp xóc trong t¹i A .

Đ-ờng nối tâm cắt đĐ-ờng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua

trung điểm P của BC dựng dây MN vng góc với BC . Nối A với M
cắt đờng tròn O’ tại E .

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc)

b) Chøng minh N , B , E thẳng hàng và OP = R ; OP = R’

c) Xét vị trí của PE với đờng trịn tâm O’

Bài 126: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Lấy B làm tâm
vẽ đờng trịn bán kính OB . Đờng trịn này cắt đờng tròn O tại C và
D

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B
Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt
đ-ờng trịn đó tại hai điểm cố định A và B . Từ một điểm M bất kì
trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với
đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .

a) TÝnh c¸c gãc cđa MPQ biết rằng góc giữa hai tiếp tuyến MP

và MQ là 450 .

b) Gọi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cùng nằm
trên một đờng trịn .

c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn ngoại tiếp  MPQ khi M chạy
trên d

Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác
trong của góc A cắt cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A . CMR Ax đi qua một
điểm c nh

c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài t¹i F . CMR FB . EC = FC . EB

Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), mét cung trßn BC

nằm trong  ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy
điểm M rồi hạ các đờng vng góc MI , MH , MK xuống các cạnh
t-ơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao
điểm của MC , IH.

a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  BC

Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B ˆAC > 900 ) I , K theo thø tù lµ

các trung điểm của AB , AC.Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt
nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai
E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA =R 2 , một

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định
với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh
của hình vng

c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB ,
AC và cung nhỏ BC của (O)

Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C là trung
điểm của cung AB . Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF
lấy điểm E sao cho BE = AF.

a)  AFC vµ  BEC cã quan hƯ víi nhau nh thế nào ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D l giao im ca ng thẳng AC với tiếp tuyến tại B
của nửa đờng tròn . CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài133: Cho đờng trịn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vng
góc với nhau . E là một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E B;E D )

EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.
a) CMR  AMC đồng dạng  ANC .
b) CMR : AM.CN = 2R2

c) Gi¶ sư AM=3MB . TÝnh tØ sè ND

CN

d) Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng trịn tâm (O) đờng kính
AB . Gọi H , I lần lợt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ;
gọi Q là trung điểm của dây MB , K là giao điểm của AM , HI.
a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M
di động trên nửa đờng tròn (O) đờng kính AB

Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc
xOy =600 sao cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .

a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng trịn tâm (O)

đ-ờng kính AB=2R (M A,B). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa
đờng trịn đó . Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng
AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D . Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là
điểm chính giữa cung AB (cung AB khơng chứa C và D ). Dây ID ,
IC cắt AB lần lợt tại M và N .

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng tròn

b) IC và AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau tại F . CMR EF // AB
Bài 138: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC
lấy điểm B (B C) và vẽ đờng trịn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M

là trung điểm của đoạn AB . Qua M kẻ dây cung DE vng góc với
AB , DC cắt đờng trịn (O) ti I .

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI l tip tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC

Bài 139: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một

điểm M di động trên một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng
tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng trịn (O) tại M và tiếp xúc với đờng
kính AB tại N . Đờng tròn này cắt MA , MB lần lợt tại các điểm thứ
hai C , D

a) Chøng minh : CD // AB .

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng
MN luôn đi qua một điểm K cố định.

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 140: Cho một đờng trịn đờng kính AB , các điểm C , D ở
trên đờng tròn sao cho C , D không nằm trên cùng một nửa mặt
phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi các điểm chính giữa các
cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC , AD lần lợt là
H , I ; giao điểm của MD với CN là K

a) CMR: NKD ; MAK c©n

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự
ấy và đờng thẳng (d) vng góc với AC tại A . Vẽ đờng trịn đờng
kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì . Tia CM cắt đờng thẳng d
tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng
tròn tại điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?

Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng trịn và P là
điểm chính giữa của cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và
PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các dây AD và PC kéo dài cắt
nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:

a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc víi PA t¹i A

Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R 2 cố định và

một điểm M di động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba
góc nhọn . Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các
giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ;
S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.

a) CMR : PQ là đờng kính của đờng trịn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax
và trên đó lấy điểm P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp
điểm ) .

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác
OBNP là hình gì ? Tại sao ?

c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với
PM ; J là giao điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng
d) Xác định vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)

Bài 147: Cho đờng trịn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vng
góc nhau . Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) ,
đ-ờng thẳng CM cắt đđ-ờng tròn (O) tại điểm thứ hai N . Đđ-ờng thẳng
vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng tròn (O) ở
điểm P .

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi

d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng
thẳng cố định

Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và
B . Các đờng thẳng AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm
thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần lợt tại các điểm thứ hai E ,
F .

a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A là tâm đờng trịn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng

tròn (O) , (O’)

Bài 149: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R và một điểm
M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) . Đờng thẳng d tiếp
xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại
I . Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằm
trong góc BOM ).

a) CMR c¸c tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM ,
BOM.

b) CMR : CA và DB vng góc với AB
c) CMR : AMB đồng dạng COD

d) CMR : AC.BD = R2

Bài 150: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB và một điểm M
bất kỳ trên đờng tròn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM ,
MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K .

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹ . Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)

c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS
. Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI ln ln tiếp
xúc với một đờng tròn cố định.

Bài 151: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB và hai điểm C ,
D thuộc nửa đờng tròn sao cho cung AC < 900 và COˆD 900. Gọi M

là một điểm trên nửa đờng tròn sao cho C là điểm chính chính
giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt tại E và F .

a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt
các tia OC , OD lần lợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM
nội tiếp đợc.

Bµi 152: Cho ABC (AB = AC ) , mét cung tròn BC nằm bên trong

tam giỏc ABC v tip xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của
cung BC nằm khác phía đối với BC . Trên cung BC lấy một điểm M
rồi kẻ các đờng vng góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC
, CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH
là Q.

a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI2 = MH . MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 
THPT

NghÖ an Năm học 2009
- 2010

Môn thi : Toán

Thi gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

C©u I (3,0 ®iĨm). Cho biĨu thøc A = x x 1 x 1

x 1 x 1

  

  .

1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 94.

3) Tìm tất cả các giá trị của x A < 1.

Câu II (2,5 điểm). Cho phng trình bËc hai, víi tham sè m : 2x2 –

(m + 3)x + m = 0 (1)

1) Gi¶i phương trình (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai
nghiệm x1, x2 thoả mãn

x1 + x2 = 1 2

5
x x

2 .

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

3) Gäi x1, x2 là hai nghiệm của phng trình (1). Tìm giá trÞ

nhá nhÊt cđa biĨu thøc

P = x x1 2 .

Câu III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng 
ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng
nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa
ruộng không thay đổi.

Câu IV (3,0 điểm). Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định
và CD là một đường kính thay đổi khơng trùng với AB. Tiếp tuyến
của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại
E và F.

1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.

2) Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp được đường trßn.

3) Gọi I là tâm đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng
minh rằng tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố nh.

---Hết---Họ và tên thí sinh:... Số báo
danh :.

S Giỏo dc và đào tạo
Hà Nội

Kú thi tun sinh vµo líp 10 THPT
Năm học: 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Ngày thi: 24 tháng 6 năm

2009

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thøc 4 1 1

2 2

x
A

x x x

= + +

- - + , víi x≥0; x≠4
1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
3) Tìm giá trị của x để 1

A=- .

Bµi II (2,5 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng 
trình:

Hai t sn sut cựng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong
3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310
chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may đợc nhiều hơn
tổ thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày đợc bao
nhiêu chiếc áo?

Bµi III (1,0 điểm)

Cho phơng trình (ẩn x): x2- 2(m+1)x m+ 2+ =2 0

1) Giải phơng trình đã cho với m=1.

2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức: x12+x22=10.

Bµi IV (3,5 ®iĨm)

Cho đờng tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngồi đờng
trịn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).

1) Chøng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông
góc với OA vµ OE.OA=R2.

3) Trên cung nhỏ BC của đờng trịn (O; R) lấy điểm K bất kì
(K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O; R) cắt
AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q. Chứng minh tam
giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung
nhỏ BC.

4) Đờng thẳng qua O, vng góc với OA cắt các đờng thẳng
AB, AC theo thứ tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM+QN ≥
MN.

Bµi V (0,5 điểm)

Giải phơng trình:

(

)

2 1 2 1 1 3 2

2 2 1

4 4 2

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

---HÕt---L u ý: Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:...Số báo
danh...

Chữ ký giám thị số 1:... Chữ ký giám thị số 2:
...

S GIO DC V O TO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi TỐN ( chung cho tất cả các thí
sinh)

Thời gian 120 phút (không kể thời gian
giao đề)

Bài 1 (2.0 điểm )

1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa

a) x b) 1

x

2. Trục căn thức ở mẫu

a) 3

2 b)

1
3 1
3. Giải hệ phương trình : 1 0

x
x y

�
�
�
�
�

 
 
Bài 2 (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép

tính

c) Tính diện tích tam giác OAB

Bài 3 (1.0 điểm )

Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x
1 ; x 2

(với m là tham số ) .Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Bài 4 (4.0 điểm )

Cho đường trịn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vng góc với AC
tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C
và D), AE cắt BD tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình trịn (O).

d) Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A ,
vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc
đường trịn (O).

---Hết---SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 19.6.2009

Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)

a) Cho biết A 5 15 và A 5 15. Hãy so sánh: A + B và tích A.B
b) Giải hệ phương trình: 2x 1

3x 2 12

y
y

 
�

�  
�

Bài 2: (2.50 điểm)

Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 ( m là tham số,

m  0)

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ Õy.

b) Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).

c) Gọi A(xA; yA), B(xB;yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). Tìm

các giá trị của m sao cho: yA + yB = 2(xA + xB) – 1.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình
phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều
rộng hình chữ nhật.

Bài 4: (1.50 điểm)

Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA,
MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và
B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của C trên AB, AM, BM.

a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: C E CBA�D  � .

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng
minh: IK//AB.

d) Xác nhận vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính

giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R.

HẾT

---Đề thi này có 01 trang

Giám thị khơng giải thích gì thêm.

SBD: ………Phịng:
………..

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO
TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi: TỐN ( hệ số 1 – mơn Tốn chung)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho 2 1 1

1 1

x x x

P

x

x x x x

  

  



  

a. Rút gọn P

b. Chứng minh P <1/3 với và x#1
Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình:

(1)

a. Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có 2 nghiệm phân biệt.

b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m.
Câu 3: (2,5 điểm)

Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể.
Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vịi thứ hai

chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy
đầy bể trong bao lâu?

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là
1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại
Q.

a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tính tỉ số

Câu 5: (1,0 điểm)

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG TRỊ

Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức A = 4 12
2

1
3
27

9x  x  x với x > 3

a/ Rút gọn biểu thức A.

b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.
Bài 2 (1,5 điểm)

Cho hàm số y = ax + b.

Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hoành tại
điểm có hồnh độ bằng

2
3

.
Bài 3 (1,5 điểm).

Rút gọn biểu thức: P = 


























 1

2
2

1
:

1
1
1

a
a
a

a
a

a với a > 0, a1,a4.

Bài 4 (2 điểm).

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị của m.

b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.

Bài 5 (3,5 điểm).

Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các

đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.
c/ Tính tỉ số BCDE .

d/ Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA
vng góc với DE.

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

Sở GD & ĐT Bến Tre KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT

Đề khảo sát Mơn: Tốn
Thời gian : 120 phút
Bài 1:(4 điểm)

1) Cho hệ phương trình :













1

3

5

2 y

mx

y

mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 1 .
b) Tìm m để x – y = 2 .

2)Tính

1
20 3 45 125

B  

3)Cho biĨu thøc : A= 1 1 : 1 1 1

1- x 1 x 1 x 1 x 1 x

�  ��  �

�  ��  � 

� ��

a) Rót gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị của A khi x = 7 4 3
Bài 2:(4 điểm)

Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Giải phương trình khi m= 0

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1

- 4x2 = 11 .

c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuc vo

m .

d) Với giá trị nào của m thì phng trỡnh cú 2 nghim x1 và x2 cïng

dấu .

Bài 3: (1 điểm)

Hai ơ tơ khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ơ
tơ thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B
sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ơ tơ

Bài 4 :(3 điểm)

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục toạ độ vng
góc.Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (D)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm A
và B có hồnh độ lần lượt là -2 và 1

Bài 5: (8 điểm)

Cho hai đng tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A

và B , qua A vẽ cát tuyến cắt hai ng tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E

và F , ng thẳng EC , DF cắt nhau tại P .
1) Chứng minh r»ng : BE = BF .

2) Mét c¸t tuyÕn qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2)

lần lt tại C,D . Chứng minh tứ giác BEPF , BCPD nội tiếp và
BP vuông góc với EF .

3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đờng tròn khi AB =
R .

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG
TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH 
Câu 1. (1 điểm)

Hăy rút gọn biểu thức:
A = a a 1 a a 1

a a a a

  

  (với a > 0, a  1)

Câu 2. (2 điểm)

Cho hàm số bậc nhất y =

 

1 3 x – 1

a) Hàm số đă cho là đồng biến hay nghịch biến trên R? VV́ sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 3.

Câu 3. (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai:
x2 – 4x + m + 1 = 0

a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Giải phương trình khi m = 0.

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm M, trên
cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP.
Chứng minh rằng:

a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.

Câu 5. (1 điểm)

Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa măn:
2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG
TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH
Câu 1.(1 điểm)

Rút gọn:

A = a a 1 a a 1

a a a a
  

  (a > 0, a ¹ 1)

 

3 3

a 1 a 1 a a 1 a a 1

a a

a a 1 a a 1

     

  

 

= a a 1 a a 1 2 a 2

a a

      

(a > 0, a  1)
Câu 2.(2 điểm)

a) Hàm số y =

 

1 3 x – 1 đồng biến trên R và có hệ số a =

 

1 3 < 0.
b) Khi x = 1 3 thì y =

  

1 3 1 3 1= 1 – 3 – 1 = - 3.

Câu 3.(3 điểm)

a) Phương trình x2 – 4x + m + 1 = 0

Ta có biệt số  ’ = 4 – (m + 1) = 3 – m.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
’ > 0  3 – m > 0  m < 3.

b) Khi m= 0 thì phương trình đă cho trở thành: x2 – 4x + 1 = 0

’ = 4 – 1 = 3 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 2 - 3, x2 = 2 + 3.

Câu 4.(3 điểm)

a) Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp  MNP

B M C

O
1

2
1

1 2

1 1

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Ta có: O là giao điểm ba đường phân giác của ABC nên từ điều kiện giả
thiết suy ra:

OBM = OMN (c.g.c)� OM = ON (1)
OCM = OCP (c.g.c) � OM = OP (2)
Từ (1), (2) suy ra OM = ON = OP.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp MNP.
b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp

Ta có OBM = OMN � M N�1�1, OCM = OCP � P M� �2 2

Mặt khác � � 0 � �

1 2 1 2

P P 180 M M    (kề bù) � � �

1 1

P M � P N� �1 1

VV N N� �1 2= 1800 nên � �

1 2

P N = 1800.

Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.
Câu 5. (1 điểm)

Chứng minh tam giác đều

Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)

VV x, y, z  N* nên từ (1) suy ra y là số chẵn.

Đặt y = 2k (k  N*), thay vào (1):

2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = 0  x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0

 x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = 0 (2)

Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x.

Ta có:  = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =

= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40

Nếu k  2, thì do z  1 suy ra  < 0: phương trình (2) vơ nghiệm.
Do đó k = 1, suy ra y = 2.

Thay k = 1 vào biệt thức :

 = - 8 – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32

Nếu z  3 thì  < 0: phương trình (2) vơ nghiệm.
Do đó z = 1, hoặc 2.

Nêu z = 1 thì  = - 3 – 8 + 32 = 21: khơng chính phương, suy ra phương
trình (2) khơng có nghiệm ngun.

Do đó z = 2.

Thay z = 2, k = 1 vào phương trình (2):

x2 – 2x + (6 + 4 – 10) = 0  x2 – 2x = 0  x(x – 2) = 0  x = 2 (x > 0)

Suy ra x = y = z = 2.

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Phòng GD - ĐT

Trực Ninh Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010
Môn Toán

( Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: Trắc nghiƯm (2 ®iĨm) Hãy viết vào bài làm của mình

phương án trả lời mà em cho là đúng ,

( Chỉ cần viết chữ cái ứng với câu trả 
lời đó) .

Câu 1. Giá trị của biểu thức (3 5)2 bằng

A. 3 5 B. 5 3 C. 2 D. 3 5

Câu 2. Đường thẳng y = mx + 2 song song với đường thẳng y = 3x  2 khi
A. m = 2 B. m = 2 C. m = 3 D. m = 3

Câu 3. x 3 7  khi x bằng

A. 10 B. 52 C. 46 D. 14

Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 là

A. ( 2;  8) B. (3; 12) C. (1; 2) D. (3; 18)
Câu 5. Đường thẳng y = x  2 cắt trục hoành tại điểm có toạ độ là

A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0; 2) D. ( 2; 0)

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có
A. sin B AC

 B. sin B AH

 C. sin B AB

 D. sin B BH

AB


Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Diện tích xung 
quanh của hình trụ đó bằng

A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh

Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính của đường tròn (O), điểm A nằm
trên đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến của (O) tại M và góc MBC = 650.

Số đo của góc MAC bằng

A. 150 B. 250 C. 350 D. 400

Bài 2: (2 điểm)

Cho biểu thức . 22 1
1

2
2
1

2 2  



















 x x

x
x

x
A

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị của x để A = - 2
Bài 3: ( 2 điểm)

Trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng

th¼ng y = 2mx - m2 + m - 1 (d)

a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt?

B O

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi x1; x2

là hồnh độ các giao điểm. Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 -

x1 - x2 t giỏ tr nh nht ?

Bài 4: Hình học ( 3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường trịn đường kính BC
cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông góc với BC.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của
BC.

Tính tỉ số OKBC khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tớnh HC.

Bài 3: ( 1 điểm) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:
y

x
x
y
y

x2 2




 .

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Bài 1 (2,0 điểm)

- HS chọn đúng mỗi câu cho 0,25 điểm.
- Đáp án

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8

A C B D A B C D

Bài 2: 2 điểm . 22 1

1
2

2
1

2 2  

















 x x

x
x

x

A §K

1
, 
o x
x





 







 



 
2
1
.
1
1
1
2
1
2 2
2








 x
x
x
x
x
x
x
 0,5 ®
 







 1





.2
1
1
1
.
2







x
x
x
x
x
x
 0,5®





. 



 x x 0,25®

b) NÕu A = -2 ta cã  x.



x  1



2

đặt ẩn phụ x y( y 0) ta có phương trình -y(y-1)= - 2

0,25®

- y2 + y + 2 = 0 giải phơng trình này có 2 nghiệm y

1= -1 ( Loại )

và y2 = 2 0,25®

2



y x

x VËy x= 4

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Bµi 3: 2 điểm

Câu a: Khi m =1 thì PT đờng thẳng d lµ y = 2x – 1

Toạ độ của giao điểm của (d) và (P) phải là nghiệm của hệ
ph-ương trình







1

2 x

y

x

y

0,25®

Giải hệ phương trình và kết luận toạ độ của giao điểm của (d) và
(P) là (1,1) 0,25đ

C©u b

(d) và (P) cát nhau tại 2 điểm phân biệt

hệ phơng trình

1

2 m

mx

y

x

y

có 2 nghiƯm

0,25®

0
1

2 2

2     

 x mx m m có 2 nghiệm phân biệt

Lập công thức b2 4ac và giải tìm đợc

m

1

0,25®

VËy

m



1

thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

0,25đ
Câu C

Khi đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi x1; x2 lµ

hồnh độ các giao điểm.

VËy x1; x2 lµ nghiƯm cđa PT x2  2mxm2 m10 0,25®

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên …

0,25®

tính đợc nếu m = 1,5 thì A đạt giá trị nh nht

0,25đ

Bài 4: 3 ®iĨm

a) Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường trịn đường kính
BC.

Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC. 0,25®

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

AH vng góc với BC. 0,25®

b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:
chung và

Δ AEC đồng dạng với Δ AFB 0,25®
0,25®
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

mà và (do AEHF nội

tiếp)

0,25®

Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )

0,25®

Vậy mà BC = 2KC nên

0,25®

d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:

(đối đỉnh)

Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

0,25®

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Với x và y đều dương, ta có

x



y



;0

 

x



y



0

0,25®

0
0

)
)(

( 2 3 3 2 2










 x y x y x y x y xy 0,25®

...

 x y

x
y
y
x2 2




 (1) 0,50®

Vậy (1) ln đúng với mọi x0, y0

§Ị thi tuyển sinh
 *Trờng THPT Nguyễn TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)
Cho biểu thức.
A =

1
4
4

2
4
2
2

4
2

      

x
x

1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên
Bài 2.( 3 điểm)

1) Gäi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình.

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm các giá trị của m để: x12+ x22 +3 x1.x2 (x 1 + x2 ) t

giá trị lớn nhất

2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh rằng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 cã hai nghiƯm

h÷u tØ.

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. TÝnh tØ sè

AB
BC

2) Cho hình quạt trịn giới hạn bởi cung trịn và hai bán kính
OA,OB vng góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác
góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng thẳng song song với OB cắt
cung trong ở C. Tính gúc ACD.

Bài 4. ( 1 điểm)

Chng minh bt ng thc:
| a2b2  a2c2|  | b-c|

víi a, b,c là các số thực bất kì.

*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150)
Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) =

1
4
3

1
2

2
2







x
x

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x)
2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0

Bµi 2. ( 2 điểm)

1) cho phơng trình: 0

6
3
)
1
2

(

2 2

x

m
m
x
m

x (1)

a) Giải phơng trình trên khi m = 32

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai
nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 +2 x2 =16

2) Gi¶i phơng trình: 2
2

1
2
1
1

x x

x

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y là hai số thực thoả mÃn x2+4y2 = 1

Chứng minh r»ng: |x-y|

2
5


2) Cho ph©n sè : A=

5
4

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mÃn 1n2004 sao cho A là phân

số cha tối giản

Bi 4( 3 điểm) Cho hai đờng tròn (01) và (02) cắt nhau tại P và

Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đờng trịn tiếp xúc với (01)

t¹i A, tiÕp xóc víi (02 ) t¹i B. TiÕp tun cđa (01) t¹i P cắt (02 ) tại

im th hai D khỏc P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R.
Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng trũn
2)Tam giỏc BPR cõn

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiÕp xóc víi PB vµ RB.

Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D,
Trên AC lấy điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng
khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội tiếp và tâm đờng tròn ngoại
tiếp tam giác ABC bằng bán kớnh ng trũn ngoi tip tam giỏc
ADE

Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM

(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút

)

Câu 1. Cho phơng trình x2 +px +1 = 0 có hai nghiệm phân

biệt a1, a2 và phơng trình x2 +qx +1 = 0 cã hai nghiƯm ph©n

biƯt b1,b2 . Chøng minh: (a1- b1)( a2 - b1)( a1 + b1. b2 +b2) = q2

- p2

Câu 2: cho các sè a, b, c, x, y, z tho¶ m·n
x = by +cz

y = ax +cz

z = ax +by ; víi x + y+z 0

Chøng minh: 2

1
1
1

1
1








a b c

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

b) Cho các số dơng x;y;z thoả m·n x3+y3+z3 =1

Chøng minh: 2

1
1

1 2

2
2







 z

z
y

y
x

x

C©u 4. Chøng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả
mÃn phơng trình: x3-y3 = 1993.

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định
(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)
Câu 1(1đ):

tính giá trÞ biĨu thøc A= 11 11



 b

a víi a=2 3
1

và b= 2 3
1

Câu 2(1.5đ):

Giải pt: x2 4x4x8
Câu 3(3®):

Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có

hồnh độ lần lợt là -1 và 2.

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của
đồ thị (P) sao cho tam giác MAB cú din tớch max.

Câu4(3,5đ):

Cho tam giỏc ABC ni tip ng trịn (O) và có trực tâm H.
Phân giác trong của góc A cắt đờng trịn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak
của tam giác.Chứng minh:

a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC.
b) các góc KAM và MAO bằng nhau.

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1).

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)x(x1 2) (x11)2 201

Bài 2(1) Cho 3 số thực dơng a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chứng

minh rằng a+b> c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức
sau: x+y=a, x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên h gia a,b,c

không phụ thuộc x,y.

Bài 4(1,5) Chứng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)

(n+3)=0 có nghiệm là số hữu tỉ với mäi sè nguyªn n

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc
với MB và đờng trịn tâm Q tiếp xúc với MA ln song song với một
đờng thẳng cố định khi M thay đổi.

Chuyªn tØnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng trình:

4
2

1
2
2

x
x
x
x

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mÃn:
x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ khi a= -1

2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nht

Bi 3:

1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ

nhất của A =2xy +yz+ zx.

2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có 4
nghiệm phân biệt:

x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

1/Tam giác DKI đồng dạng vi tam giỏc BAM.
2/

DH
AC
DK

AB
DI
BC

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2

gäi nghiƯm cđa hệ phơng trình là (x;y).

1/ Tỡm ng thc liờn h giữa x và y khơng phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức 2xx 3yy nhận giá trị
nguyên.

Bµi 3 (3đ)

Cho tam giác ABC (A 900). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía

ngoài tam giác ABC sao cho BC=BD và ABC CBD ; gọi I là trung

điểm của CD; AI cắt BC tại E. Chứng minh:
1.CAI DBI

2. ABE là tam giác cân.
3. AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= 4 4 3 23 119
3

x
x

x
x
x

với

4
1
1

x
x

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

*Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006)
(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150)

Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyªn. Chøng
minh nÕu a +b +c chia hÕt cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1. Gi hƯ víi m= -10.

2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để h cú
nghim duy nht./

Bài 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z tho¶ m·n hƯ thøc 1 236

z
y

x , xÐt biĨu thøc P =

x + y2+ z3

1. Chứng minh P x+2y+3z-3

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh
BC,CA,AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P
(D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP = DB.DC

1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB
ng dng.

2. gọi S và S lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF,
chøng minh: ' 2 2









AD
EF
s

s

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời
hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vng.

 Mỗi đờng thẳng đều chia hình vng thành hai phần có tỷ
số diện tích là 0.5

Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng
thẳng ng quy.

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(toán 9 bảng B thời gian: 150)

Bài 1

a) Rút gọn biểu thức:

P=

y
y
x
x
y

x
y
x
xy

y

x2 2 2 2 2

.
)
(

b)Giải phơng trình:



(5 2 6



x 



(52 6



x 10
Bµi 2

a) Số đo hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm
của phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. Hãy xác định

giá trị của m để số đo đờng cao ứng với cạnh huyền của tam gíac
là 25

b) Tìm Max & Min của biểu thức y=

1
3
4

x
x

Bài 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450.

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

b> chøng minh 2.MN = AB
Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đờng thẳng qua D

khơng cắt hình thoi, nhng cắt các đờng thẳng AB,BC lần lợt tại
E&F. Gọi M là giao của AF & CE. Chứng minh rằng đờng thẳng AD
tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF.

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)
(dành cho mọi đối tợng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P=

x
x
x
x

x

x 1 1 1

1.Rút gọn P

2. Tìm x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là

tham số).

1. Giải bpt với m= 1- 2 2

2. Tìm m để bpt nhận mọi giá trị x >1 là nghiệm.
Bài 3(2đ):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0

vµ parabol (P):y= ax2 (a là tham số dơng).

1. Tỡm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng
minh rằng khi đó A&B nằm bên phải trục tung.

2. Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu

thøc T=

B
A
B

A x x x

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

Bài 4(3đ):

ng trũn tõm O cú dây cung AB cố định và I là điểm chính
giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia
Ax vng góc với đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C.

1. Chøng minh các tam giác AIB & AMC là tam gíac c©n

2. Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một
cung tròn cố định.

3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMC t
Max.

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc
ACB = ,gãc AMB =  . Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90)
Bài 1(3đ): Tính:

1

3
1
1

3
1
.

3
3

1
.
6

b) (63+3.62 + 33) :13

c) 109  901  721  561  421  301  201  121  61 12

Bài 2(3đ):

a) Cho ba cb ac và a+b+c #0, a= 2005. TÝnh b,c.

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc

1#

d

c

d

c

b

a

b

a











ta cã tû lÖ thøc ba dc .

Bài 3(4đ):

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

bài 4(3đ):

V th cỏc hàm số: 2x với x  0

y = x víi x<0
Bài 5(3đ):

Chứng tỏ rằng: A = 75(42004 + 42003 +..+42 +4 +1) +25 lµ sè chia

hết cho 100.
Bài 6(4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt

AC ti D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó
cắt nhau tại I. Chứng minh ID = IE.

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(Toán 9 bảng A- thời gian:150)

Bài 1:

a. Rút gọn biÓu thøc: P =   














y
y
x
x
y
x

y
x
xy

y

x2 2 2 2 2

b. Giải phơng trình: 2

2
2

x
x
x

x

Bài 2:

a. ( nh ở bảng B)

b. Vẽ các đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ
trục toạ độ. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ
các đờng thẳng trên khơng có điểm ngun nào thuộc đờng
thẳng 3x + 5y = 7.

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt
CD tại F, Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD
nội tiếp đợc đờng trịn là: EA.ED + FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE. Đờng
tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.

a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ECF.

b. Gäi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ
giác nội tiếp.

Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ Dơng (2004-2005)
( lớp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 và

x3, x4 là nghiệm của phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị

của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4).

2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng

trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m và n thoả mÃn mn1nm1là số nguyên. chứng

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

Bài 3 (3®):

Cho hai đờng trịn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến

chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C &

D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M

& N. Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P & Q;
các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh:

a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD.
b. Tam giỏc EPQ l tam giỏc cõn.

Bài 4 (2đ):

Giải hệ phơng trình: x+y = 1

x5 + y5 =11

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)
 Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)

Câu 1: (3đ) Cho hƯ pt víi tham sè a: x4y x

y  x a 1
a. gi¶i hƯ pt khi a=-2

b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm
Câu 2(2đ):

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đờng
trịn bán kính 1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng
trịn bán kính r thì r

2
2

 .

C©u 3(2đ):

Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3đ):

Cho tam giỏc ABC vuụng ti C. ng trịn (O) đờng kính CD cắt
AC & BC tại E & F( D là hình chiếu vng góc của C lên AB). Gọi M
là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng
AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đờng thẳng EF và BK là P.

a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng trũn.

b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số ®o gãc cđa tam
gi¸c ABC.

c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của
đoạn CD. Chứng minh rằng CM vng góc với đờng thẳng nối tâm
đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng trịn ngoại tiếp
tam giác MFP.

 TØnh H D ¬ng (150 phút)
Bài 1(2.5đ):

Giải pt: xy x ya x2y2x2yxy2 xy 4b 0víi



573 6 386



57 3 6 386



b= 1712 2  3 2 2  32 2

Bµi 2(2.5đ)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiÖm

chung, đồng thời hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cũng có

nghiƯm chung.

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

Cho hai đờng trịn tâm O1, O2 cắt nhau tại A,B. Đờng thẳng O1A

cắt (O2) tại D, đờng thẳng O2A cắt (O1) tại C.

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N.

Chøng minh r»ng:

1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nm trờn mt ng trũn.

2. BC+BD = MN.
Bài 4(2đ)

Tìm các số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)
Bài 1(6đ):

1. Chứng minh rằng: A =

2
6

48
13

5
3
2

là số nguyên.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
abc = n2 – 1

cba =(n-2)2
Baì 2(6đ)

1. Giải pt: x3 + 2x2 + 2 2x +2 2 =0

2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trªn cung AB
cđa (P) sao cho diƯn tÝch tam giác MAB max.

c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất.
Bài 3(8đ):

1. Cho ng trũn tõm O và dây cung BC không đi qua O. Một
điểm A chuyển động trên đờng tròn (A#B,C). gọi M là trung

điểm đoạn AC, H là chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng
thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đờng tròn cố định.

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút)
Bài 1(2đ):

a) chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)
(p+1) chia hết cho 24

b) tìm nghiệm nguyên dơng của pt: xy 2x 3y +1= 0
Bài 2(2đ):

Cho cỏc s a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thoả mãn điều
kiện a3 + b3 + c3 = 3abc. Tớnh:

b
a

c
a
c

b
c
b

a
c

b
a
b

a

c
a

c
b

Bài 3(2đ)

a) tỡm a để pt: 3 x +2ax = 3a -1 có nghiệm duy nhất.

b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện
)

( x

f 1 với mäi x   1;1. T×m max cđa biĨu thức 4a2 +3b2.
Bài 4 (1,5đ)

Cho gúc xOy v hai im A,B lần lợt nằm trên hai tia Ox,Oy
thoả mãn OA- OB = m (m là độ dài cho trớc). Chứng minh:đờng
thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vng góc với AB
ln đi qua một điểm cố nh

Bài 5(2.5đ):

Cho tam giỏc nhn ABC. Gi ha,hb,hc ln lt là các đờng cao và

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

l-ợt là bán kính của các đờng trịn ngoại tiếp & nội tiếp của tam gíac
ABC. Chứng minh rằngmh mh mh Rr r

c
c
b

b
a

a

Đề số 1:

Bài 1. cho các sè a1,a2,a3…,a2003. BiÕt:

ak =  3
2

1
3
3

k
k





víi mäi k = 1,2,3….2003.
TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+..+a2003

Bµi 2. Cho A = 1- 7 +13 -19 +25 -31 +………
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.

b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị cña A theo n.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 400, đờng cao

AH. C¸c điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao
cho gãc EBA = gãc FBC = 300. Chøng minh r»ng AE = AF.

Bµi 4. Cho sáu số tự nhiên a1, a2 , a3, a4 , a5, a6 tho¶ m·n:

2003 = a1<a2 <a3<a4 <a5<a6.

1) Nếu tính tổng hai số thực bất kì thì đợc bao nhiêu tổng?
2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a6 

2012

Bài 5. Hãy khôi phục lại những chữ số bị xoá( để lại vết tích
của mỗi

chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng.

***



</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

***
§Ị số 2:
Bài 1.

Giải hệ phơng trình

0

3

0

3

2

0

2 z

x

xz

y

z

yz

y

x

xy

Bài 2.

Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a)

Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : S = (2-x)(2-y)
Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800. Trong tam

giác ABC có điểm M sao cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300.

TÝnh gãc BMC
 Bµi 5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). AC cắt BD tại I. (O1),

(O2) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI,

CDI. Một đờng thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O1

),(O2) theo thø tù t¹i Z, T ( Z và T khác I). Chứng minh rằng XZ = YT
Đề số 3:

Bài 1. Cho 3 số chÝnh ph¬ng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12
Bµi 2. Chøng minh r»ng :

3
3
3
3 3

9
4
9
2

9
1
1

2   

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

b
a
b
a
a
c
a
c
c
b
c
b
b
c
a
c
b
a
a
b
c
b
a
c

c
a
b
a
c
b




















)
)(
(
)

)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
2

Bài 4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c
= 9; x,y,z lần lợt là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C.
Chứng minh rng:

z
y
x
1
1
1

>1

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.
Chøng minh r»ng:

1
.

.
.
.
.
.

CB
CA
HB
HA
BA
BC
HA
HC
AC
AB
HC
HB

Đề số 4:
Bài 1.

Biết rằng 654 999...997 1965

9
100



sè
ch
A

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 9
Bµi 2

. Cho 5 số thực dơng sao cho tổng của tất cả các tích từng
cặp hai số trong chúng bằng 2. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong
năm số ú cú tng nh hn 2.

Bài 3.

Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thoả mÃn:
a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Mt ng thng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần
có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng
tâm đờng tròn nội tiếp của tam giácABC nm trờn ng thng d.

Đề số 5

Bài 1

Phân tÝch t ý sè 2005 thµnh tỉng cđa hai sè tự nhiên lớn
hơn 1 rồi xét tích của hai số này. Trong các cách phân tích nói
trên, hÃy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ nhất

Bài 2.

Cho c¸c sè không âm a,b,x,y thoả mÃn các điều kiÖn

1
;

1 2005 2005
2005

2005 b  x y 
a

Chøng minh rằng:a1975.x30 b1975.y30 1
Bài 3.

Giải phơng trình

5
3
2
)
1
2

(
2005
60

40
24

10 x

Bài 4.

Với số nguyên dơng n, kÝ hiƯu

!
1
.

)
1
(

n
n
n

a n

n





 . TÝnh tỉng

2005
2

1 a ... a

a    . Trong đó n! là kí hiu tớch n s nguyờn dng

liên tiếp đầu tiên
Đề số 6:

Bµi 1:

Chøng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng nhau víi sè

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Bµi 2:

Cho ba số dơng a,b,c. chứng minh rằng:

3
3
3

cb
c
ba
b
ac
a
a
c
c
b
b
a

Bài 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2
1

=0
Bµi 4:

Giả sử O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC.
AD,BE,CF là các đờng cao của tam giác đó . Đờng thẳng EF cắt (O)
tại P,Q. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AP2 = AQ2=

2AD.OM
Bµi 5:

Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng
cách từ M tới các cạnh của tam giác t giỏ tr ln nht.

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 - x - 1 = x3 + x + 1

Bài 2:

tìm Max của biểu thức x x3  xx3 víi 0 x 1
Bµi 3:

Giải hệ phơng trình:

2 ( )
3

2 xy y x y

x    

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

a,b,c lần lợt là độ dài của ba cạnh BC,CA,AB. Chứng minh: (a+b)
(a2+b2- c2)= 2a2b

Bài 5:

Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC taị M,
CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng
minh: A,E,F thẳng hàng và AEAE AMAB..ACAN OMOB..OCON

Đề số 8
Bài 1:

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay
đổi các dấu sao (*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số
1,2,3 một cách tuỳ ý thì số đó ln chia hết cho 396.

Bài 2:

Giải hệ phơng trình:

x2 –xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bài 3:

Tìm Max của biểu thøc:
A=

4
3

8003
2

2
6

6006
2004

2
3
2












x
x

x
x
x
x

x

Bµi 4:

Cho a,b,c là cạnh của một tam giác, chứng minh:

3
3
3
3

3 ab c bc a ca b a b c
Bµi 5:

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

Đề số 9:
Bài 1:

Giả sư (a1;a2;a3;…a37),(b1;b2;b3;…b37),(c1;c2;c3;….c37) lµ bé ba sè

nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại các số k,l,n thuộc tập hợp số
{1;2;…37} để các số a= 1/3(ak +al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c=

1/3(ck +cl + cn); đồng thời là các số ngun.

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/ x2  1
Bài 3:

Tìm m để phơng trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên:

1
1

2
3

2 xm m m x 

m

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H là điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD là đờng
phân giác trong của tam giác. Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L
thuộc BC). Chứng minh: BH.CH/(BL.CL)=HD2/LD2

Bµi 5:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O;1). Một đờng thẳng đi qua O
cắt hai cạnh AB và AC lần lợt tại M&N. Ký hiệu SAMN là diện tích tam

giác AMN.

Chứng minh rằng:

8
3
3
3

SAMN

Đề số 10.
Bài 1:

Cho p là số nguyên tố >3.

Chứng minh rằng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 luôn có nghiệm dơng

(x0;y0;z0)

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3. Chứng minh r»ng:

2
3
1

1 2   2  a2 

c
c
b
b
a

Bµi 3:

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

Bµi 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao
cho góc ^PBA=^PCA. Gọi H & K là chân các đờng vng góc hạ từ
P xuống AB & AC; I là trung điểm của BC. Chứng minh: ^HIB
<^KIC.

Bµi 5:

Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (O). gọi D,E,F là các tiếp
điểm của (O) với các cạnh BC,CA,AB. Gọi M là giao điểm của các
đ-ờng thẳng AO,DE; Nlà giao điểm của các đđ-ờng thẳng BO,EF; P là
giao điẻm của Co và DF. Chứng minh các tam giác NAB,MAC,PBC có

cùng diện tích.

Đề số 11:

Bài 1: Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc:

P= a/(a+b) +b/(b+c) + c/(c+a) trong đó a,b,c là các số thực thoả
mãn điều kiện a>=b>=c>0.

Bài 2:

Tồn tại hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

A= .... 20031.2004 20051.2006
4

.
3

1
3
.
2

1004
.
2006

1
...

2005
.
1005

1
2006

.
1004

Chứng minh rằng A/B là số nguyên.
Bài 4:

Cho tam giác đều ABC có điểm M thuộc BC. Gọi E&F là hình
chiếu vng góc của M trên AB&AC; O là trung diểm của EF; Q là
hình chiếu vng góc của A trên đơng thẳng OM. Chúng minh
rằng khi M chuyển động trên BC thì Q ln thuộc một đơng
thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE.
Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

§Ị số 12:
Bài 1:
Cho Sn=

1
1

.
3
1

n
n

S
S

với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Biết S1 =

1, tính S = S1 + S2 + S3 +..+ S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: xy
x
y
y
x

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

x2008 + y2008 =8(xy)

2
2005

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp: A,B,C,D là 48 hòn.
Biết rằng: số bi đỏ và số bi xanh trong hộp A bằng nhau; số bi đỏ
của hộp B gấp hai lần số bi xanh của hộp B; số bi đỏ của hộp C gấp
ba lần số bi xanh của hộp C; số bi đỏ của hộp D gấp sáu lần số bi
xanh của hộp D; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh,

một hộp chứa 3 hòn bi xanh,một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp
chứa 5 hòn bi xanh. Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp.

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức:
a + b + c

2
)
(
2

)
(
2

)

(b c a2003 c a b2003 ab c2003




 với a,b,c là các số dơng.

Đề số 13:

Bài 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005. đặt trớc mỗi số
dấu “trừ” hoặc dấu “cộng” rồi thực hiện phép tính thì đợc tổng
là A. tìm giá trị khơng âm nhỏ nhất mà A có thể nhận đợc.

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

Cho f(x) = ax2 + bx + c tho¶ m·n: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1.

hãy xác định dấu của hệ số a
Bài 3:

Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= 











2
2

1
2

n
n

an víi n = 1,2,3,…..,2004. Chøng minh

r»ng: a1 + a2 + a3 +…+ a2005 < 1.

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. đờng trịn đờng
kính AM và BC cắt nhau tại N ( N # B), gọi L là giao điểm của BN &
CD. Chng minh: ML vuụng gúc vi AC.

Đề số 14:
Bài 1:

Chøng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 kh«ng có nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = 0
x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz = 0
Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A và ^A= 360. Chứng minh: BA/BC là số

vô tỉ
Bài 5:

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

Đề 1

Câu1 : Cho biÓu thøc

A= : (1 2)
1
1
1
1
2
2
2
3
3





















x
x
x
x
x
x
x
x
x

Víi x 2;1

.a, Ruý gän biÓu thøc A

.b , TÝnh giá trị của biểu thức khi cho x= 6 2 2

c. Tìm giá trị của x để A=3
 Câu2.a, Giải hệ phơng trình:















12

3

2

4 )

(3

)

(

y

x

y

x

y

x

b. Giải bất phơng trình:

3
15
2

4
2
2
3





x
x
x
x
x
<0

C©u3. Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m phng trỡnh trờn có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4. Cho nửa đờng trịn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc 
nửa đờng trịn đó Dng hình vng ABCD thuộc nửa mặt phẳng
bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng
tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED

a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?

đáp án
Câu 1: a. Rút gọn A=

x
x2  2

b.Thay x= 6 2 2 vào A ta đợc A=

2
2
6
2
2
4



c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=

2
17
3 

Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Từ đó ta có

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

O
K
F
E
D
C

B
A
*













12

3

2

4 y

x

y

x

(2)

Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2
Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=3, y=2 hc x=0; y=4
b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)

mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x

Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5

Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

 = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m
ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=m2mm11=2 1 1


m

pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1<2m1 1<0















0

1

2

0

1

2

1 m













0

1

2

0

1

2 m

=>m<0

VËy Pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Câu 4:

a. Ta có KEB= 900

mt khác �BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đờng trịn)

do CF kéo dài cắt ED tại D

=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK

hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK.
b. �BCF= �BAF

Mµ � BAF= �BAE=450=> � BCF= 450

Ta cã �BKF= � BEF

Mà � BEF= � BEA=450(EA là đờng chéo của hình vng

ABED)=> BKF=450

Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B

Đề 2

Bài 1: Cho biểu thức: P =







</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

a,Rót gän P

b,Tìm x ngun để P có giá trị ngun.

Bµi 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.

b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn

3
2
3
1 x

x  =50

Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng

phân biệt x1, x2Chứng minh:

a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiệm dơng

phân biệt t1 vµ t2.

b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4

Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm
O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC khơng
chứa điểm A.

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình
hành.

b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua
các đờng thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q

thẳng hàng.

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 1y2 501xy

Đáp án

Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 0;x1

a, Rót gän: P =  

 





1
1
2

:
1

2 2








x
x
x

x
x

x z <=> P =

1
1
)

1
(

2 







x
x
x

x

b. P =

1
2
1
1
1







x
x

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

§Ĩ P nguyên thì
)
(
1
2
1

9
3
2
1
0
0
1
1
4
2
1
1
Loai
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

Vậy với x= 0;4;9 thì P có giá trị nguyên.

Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:







































0

1

2

0

6

0

6

4

1

2

2
1
2

2
1
2
2

m

x

m

x

m

3
2
1
0
)3
)(2
(
0
25



















 m
m
m
m

b. Gi¶i phơng trình: 23 ( 3)3 50

m
m

2
5
1
2
5
1
0
1
50
)
7
3
3
(
5

2
1
2
2
m
m
m
m
m
m

Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của phơng trình: ax2 + bx + c = 0 nên

ax12 + bx1 + c =0. .

Vì x1> 0 => c. 1 . 1 0.

1
2

1   






a
x

b

x Chøng tá 1

x là một nghiệm dơng

của phơng trình: ct2 + bt + a = 0; t
1 =

x Vì x2 là nghiệm của

phơng trình:

ax2 + bx + c = 0 => ax

22 + bx2 + c =0

v× x2> 0 nªn c. 1 . 1 0

2
2
2

a
x
b

x điều này chøng tá 2

x lµ một

nghiệm dơng của phơng trình ct2 + bt + a = 0 ; t
2 =

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

Vậy nếu phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân

biệt x1; x2 thì phơng trình : ct2 + bt + a =0 cũng có hai nghiệm

dơng phân biệt t1 ; t2 . t1 =

x ; t2 = 2
1
x

b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dơng nên

t1+ x1 =

x + x1 2 t2 + x2 = 2
1

x + x2 2

Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4

Bµi 4

a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là

hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam
giác ABC nên

CH AB vµ BHAC => BD AB vµ CD AC.

Do đó: �ABD = 900 và �ACD = 900 .

Vậy AD là đờng kính của đờng trịn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD

của đờng trịn tõm O thỡ

tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên �APB = �ADB
nhng �ADB =�ACB nhng �ADB = �ACB

Do đó: �APB = �ACB Mặt khác:

�AHB + �ACB = 1800 => �APB + �AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên �PAB = �PHB
Mà �PAB = �DAB do đó: �PHB = �DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: �CHQ = �DAC

VËy �PHQ = �PHB + �BHC +� CHQ = �BAC + �BHC = 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy  APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và �PAQ = �2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
H

O
P

C
B

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất
 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

Đề 3

Bài 1: Cho biểu thức:

x



y



xy
x

y
x

y
y

y
x

x
P














1
1
1

)
)

)(
(

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m

®i qua ®iĨm M(-1 ; -2) .

a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại
hai điểm A , B ph©n biƯt

b). Xác định m để A,B nằm v hai phớa ca trc tung.

Bài 3: Giải hệ phơng tr×nh :













27
1
1
1
1

zx
yz
xy

z
y
x

Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm

thuộc đờng tròn (C A;C B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có

chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng trịn (O), gọi M là điểm
chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại
N.

a). Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R.

Bµi 5: Cho x,y,z R tháa m·n :

z
y
x
z
y

x     

1
1

HÃy tính giá trị của biểu thức : M = 43 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10

x10) .

Đáp án

Bi 1: a). iu kiện để P xác định là :;

0
;

1
;

0
;

0    

 y y x y

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

*). Rót gän P:











(1 ) (1 )

1 1

x x y y xy x y

P

x y x y

    

  















( )
1 1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  













x y x y x xy y xy

x y x y

     



  







 











1 1 1 1

1 1

x x y x y x x

x y

     



 





x y y y x

y

  

















1 1 1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

VËy P = x  xy  y.

b). P = 2  x  xy  y.= 2





1 1



1

 



1 1













y
x
y
y
x

Ta cã: 1 + y �1  x �1 1 ۣ�ۣ 0 x 4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vµo ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) tho¶ m·n

Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; 
-2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m – 2

 x2 + mx + m – 2 = 0 (*)

Vì phơng trình (*) có  m2  4m 8 m  22 4 0m nªn

ph-ơng trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) ln
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b). A vµ B n»m về hai phía của trục tung phơng trình : x2 +

mx + m – 2 = 0 cã hai nghiƯm tr¸i dÊu  m – 2 < 0  m < 2.

Bµi 3 :

 















3

27 )

2 (

1

9 xz

yz

xy

z

y

x

z

y

x

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

Q
N
M
O
C
B
A





















2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2
2

81 2 81

81 2 27

2( ) 2 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0
( ) 0
( ) 0

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z x
z x
        

� �
        
� �
          
� �
     
�
�   �
�   �  
� � �� �
�   �
�
�

Thay vµo (1) => x = y = z = 3 .

Ta thÊy x = y = z = 3 thâa mÃn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng
trình có nghiƯm duy nhÊt x = y = z = 3.

Bµi 4:

a). XÐt  ABM vµ NBM .

Ta có: AB là đờng kính của đờng trịn (O)
nên :AMB = NMB = 90o .

M là điểm chính giữa của cung nhá AC
nªn ABM = MBN => BAM = BNM

=> BAN cân đỉnh B.

Tứ giác AMCB nội tiếp

=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB).
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM).
=> Tam giác MCN cân đỉnh M

b). XÐt  MCB vµ  MNQ cã :

MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
� BMC =� MNQ ( v× : �MCB = �MNC ; �MBC = �MQN ).
=>  MCB  MNQ (c.g.c). => BC = NQ .

XÐt tam giác vuông ABQ có AC BQ AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5  1)R

Bµi 5:

Tõ : 1x  1y  1z x  1y  z =>1 1 1 1 0





z
y
x
z

y
x

=>   0








z
y
x
z
z
z
y
x
xy
y
x

 
 
 

  ( ) 0

0
)
(
0
1
1
2
































x
z
z
y
y
x
z
y
x
xyz
xy
z
zy
zx
y
x
z
y
x
z
xy
y

z

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M = 43 + (x + y) (y + z) (z + x).A = 43

§Ị 4

Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 4. Đờng

thẳng d/ đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:

A.y =

2
1

x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y =

2
1

x - 2 ; D.y = - 2x - 4
Hãy chọn câu trả lời đúng.

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng
đầy nớc, nhúng chìm vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nớc
trong bình cịn lại 32 bình. Tỉ số giữa bán kính hình trụ và bán

kính hình cầu là A.2 ; B.3 2 ; C. 3 3; D. mt kt qu khỏc.

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0

2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A

= x + y

Bài 3: 1) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức : (x + a)
(x - 4) - 7

Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định
trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao
cho MBMA = 12

Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB và CD vuụng gúc vi

nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.

a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag
trung ®iĨm cđa MN.

b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.

c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua
hai điểm cố định.

Híng dÉn

Bài 1: 1) Chọn C. Trả lời đúng.

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

M
D

C
B
A

Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)

= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)

= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2

VËy A chia hÕt cho 1 sè chÝnh ph¬ng khác 1 với mọi số nguyên
dơng n.

2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt A2 lín nhÊt.

XÐt A2 = ( x+ y )2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1)

Ta cã:

y
x 

xy

 (Bất đẳng thức Cô si)

=> 1 > 2 xy (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2 xy < 1 + 2 = 2

Max A2 = 2 <=> x = y =

2
1

, max A = 2 <=> x = y =

2
1

Bài3 Câu 1Với mọi x ta có (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
Nên với x = 4 thì - 7 = (4 + b)(4 + c)

Cã 2 trêng hỵp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7
4 + c = - 7 4 + c = - 1
Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)

Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2

Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)

Câu2 (1,5điểm)

Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho:

AD = 41 AB. Ta có D là điểm cố định
Mà MAAB = 12 (gt) do đó MAAD = 21

XÐt tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung)
MAAB = MAAD = 21

Do đó Δ AMB ~ Δ ADM => MDMB = MAAD = 2
=> MD = 2MD (0,25 điểm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC

* Cách dựng điểm M.

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

K
O

D
C

B
A

- Dng D trên tia Ax sao cho AD = 14 AB
M là giao điểm của DC và đờng trịn (A; 21 AB)

Bµi 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC t¹i N

Do MâN = 900 nên MN là ng kớnh

Vậy I là trung điểm của MN
b) KỴ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g)

=> CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân)
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC không đổi

c) Ta cã IA = IB = IM = IN

Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN đi qua hai điểm A, B cố định .

§Ị 5

Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 1 2 2 1 2 2 1 0

x  y  y  z z x
Tính giá trị của biểu thức :A x 2007y2007z2007.

Bµi 2). Cho biĨu thøc :M x25x y 2xy4y2014.

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá
trị nhỏ nhất đó

Bµi 3. Giải hệ phơng trình :

2 2 18

1 . 1 72

x y x y

x x y y

�    
�

�   

�
�

Bài 4. Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp

tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại
A và B lần lợt tại C và D.

a.Chøng minh : AC . BD = R2.

b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ
nhất .

Bµi 5.Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng :

2 2

a b

a b   � a b b a

Bµi 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD2 = AB .

AC - BD . DC.

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Bài 1. Từ giả thiết ta có :

2
2
2

2 1 0
2 1 0
2 1 0

x y
y z
z x
�   
�
  
�
�   
�

Cộng từng vế các đẳng thức ta có :



x22x 1

 

y22y 1

 

z22z 1



0



 



1 1 1 0

x  y  z 

�

1 0
1 0
1 0
x
y
z
 
�
�  
� �
�  
�
1

x  y z

�

 

2007

 

2007

 

2007

2007 2007 2007 1 1 1 3

A x y z        

� VËy : A = -3.

Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :

2 4 4

 

2 2 1





2 2



2007

M  x  x  y  y  xy x  y 



 



2 1 2 1 2007

M  x  y  x y 









2 3





2 1 1 2007

2 4

M �x  y � y 

� � �

� �
Do





1 0

y � vµ









2 1 0

x y

�    ��

� �

� � x y,

2007

M

 �Mmin 2007�x2;y1

Bài 3. Đặt :









1
1

u x x

v y y

� 
�

� 
�

� Ta cã :

18
72
u v
uv
 
�
� 

� � u ; v lµ
nghiƯm cđa phơng trình :

1 2

18 72 0 12; 6

X X   �X  X 

� 12
6
u
v


�
� 
� ;
6
12
u
v

�
� 
�
�









1 12
1 6
x x
y y
�  
�
�
 
�
� ;









1 6
1 12
x x
y y
�  

�
�
 
�
�
Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị.

Bµi 4. a.Ta cã CA = CM; DB = DM

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền
CD nên :

MO2 = CM . MD

�R2 = AC . BD

b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp

� � ;� �

MCO MAO MDO MBO 

�

 

COD AMB g g

�V : V (0,25đ)
Do đó :

. .
. .

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH

V (MH1  AB)

Do MH1 � OM nªn

OM

MH �

� Chu vi VCOD� chu vi VAMB

DÊu = x¶y ra � MH1 = OM � M�O M là điểm chính giữa của
cung AB

Bài 5 (1,5 điểm) Ta cã :

2 2

1 1

0; 0

2 2

a b

�  �� �  ��

� � � �

� � � �  a , b > 0

1 1

0; 0

4 4

a a b b

� � � ( 1) ( 1) 0

4 4

a a  b b

� �  a , b > 0

0
2

a b  a b

Mặt khác a b �2 ab 0
Nh©n tõng vÕ ta cã :



 



1 2





a b ��a b  ��� ab a b

� �



 



2 2

a b

a b   a b b a

� �

Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp VABC

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta có:VABD: VCED (g.g)

. .

BD AD

AB ED BD CD

ED  CD 

� �





. .

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

 

�

 

�

L¹i cã : VABD: VAEC g g

 

.

o
h

b
a

c
b

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

. .

AB AD

AB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

 
� �


Đè 6
Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2  4x4

a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =

4
)
(
2

x
x
f

khi x 2
Câu 2: Giải hệ phơng trình

)3

)(

7 2(

)7

2 )(

3 (

)4

)(

2 (

)2

(

y

x

y

x

y

x

y

x

Câu 3: Cho biểu thứcA =

1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x

với x > 0 vµ x  1
a) Rót gän A

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai 
tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vng góc hạ từ A đến
đ-ờng kớnh BC.

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung ®iĨm E cđa AH
b) Gi¶ sư PO = d. TÝnh AH theo R và d.

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án
Câu 1a) f(x) = x2  4x4 (x 2)2 x 2

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

b) 

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

c) 2( )4 (  2)(22)




x
x
x
x
x
f
A

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 12




x
A

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra 12




x
A
C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2 2 4 8 4

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 2 6 7 21 2 7 6 21 0

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

            
� � � �
� � �
�      �        �  �
� � � �
x -2

y 2

C©u 3 a) Ta cã: A = 






















1
:
1
1
1

1
x
x
x
x
x
x
x
x
=





























1
1
)
1
(
:
1
1
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
=


























1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
1
:
1
1
1







x
x
x
x
x
x = 
1
:
1
2




x
x
x

x =

x
x
x
x 1
1
2 





=
x
x

2

b) A = 3 =>

x
x



2 = 3 => 3x +

x - 2 = 0 => x = 2/3
C©u 4

Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có
EHPB CHCB ; (1)

Mặt khác, do PO // AC (cùng vng góc với AB)
=> �POB = �ACB (hai góc đồng vị)
=>  AHC



 POB

Do đó: AHPB OBCH (2)

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ
trung ®iĨm cđa AH.

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R

-CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

.
)
2
(
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH2  R

 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
d
R
d
.
2.R
4R
)
R
4(d
R
d
.
8R

(2R)
4PB
4R.2R.PB
CB
4.PB
4R.CB.PB

Câu 5 Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Từ đó suy ra m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:




















11
4x
3x
2
1
m
.x
x

2
1
2m
x
x

2
1
2
1
2

1

11
8m

-26
7
7m
4
7
4m

-13
3
8m

-26
7
7m
x

7
4m

-13
x

1
1

Giải phơng trình 11

8m

-26
7
7m
4
7
4m

-13

3   

ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m =
4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:
x1 + x2 = 11

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

C©u 1: Cho P = 2
1
x
x x

 +
1
1
x
x x

  -
1
1
x
x


a/. Rót gän P.

b/. Chøng minh: P < 1

3 với x 0 và x 1.

Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m

lµ tham sè.

a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.

b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho
nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.

C©u 3: a/. Giải phơng trình : 1

x + 2

2 x = 2
b/. Cho a, b, c là các số thực thõa mÃn :

0
0
2 4 2 0

2 7 11 0

a
b

a b c

a b c

�
�
� �
�
�    
�
�    
�

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của Q = 6 a + 7 b + 2006 c.
Câu 4: Cho VABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh
AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp VBCD.
Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .

a/. Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiếp.
b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?

c/. Xỏc định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK l hỡnh
bỡnh hnh.

Đáp án

Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1. (0,25 điểm)
P = 2

1
x
x x

 +

1
1
x
x x

  -
1
( 1)( 1)

x

x x



 

= 3

2
( ) 1

x
x

 +
1
1
x
x x


  -
1
1
x
= 2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

  

( 1)( 1)

x x

x x x



   = 1

x

x x
b/. Víi x � 0 vµ x �1 .Ta cã: P < 1

3 � 1

x

x x <
1
3
� 3 x < x + x + 1 ; ( v× x + x + 1 > 0 )

� x - 2 x + 1 > 0

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Câu 2:a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chØ khi ’ � 0.
� (m - 1)2 – m2 – 3 � 0

� 4 – 2m � 0

� m � 2.

b/. Víi m � 2 th× (1) cã 2 nghiệm.

Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia lµ 3a . Theo
Viet ,ta cã:

3 2 2

.3 3

a a m

a a m

  

�

�  

�

� a= 1
2

m �

3( 1
2

m

)2 = m2 – 3

� m2 + 6m – 15 = 0

� m = 32 6 ( thõa mÃn điều kiện).
Câu 3:

§iỊu kiƯn x � 0 ; 2 – x2 > 0 � x � 0 ; x < 2.

Đặt y = 2 x 2 > 0

Ta cã:

2 2 2 (1)

1 1

2 (2)

x y

�  
�

�

Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = -1
2
* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phơng
trình:

X2 – 2X + 1 = 0 � X = 1 � x = y = 1.

* NÕu xy = -1

2 thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phơng
trình:

X2 + X - 1

2 = 0 � X =

1 3
2

Vì y > 0 nên: y = 1 3

  � x = 1 3
2

Vậy phơng trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 1 3

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành � AB // CK 
 BAC ACK

Mà 1
2

ACK sđEC = 1

2sđBD = DCB
Nên BCD BAC

C
B

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Dng tia Cy sao cho BCy BAC� � .Khi đó, D là giao điểm của �AB và Cy.

Víi gi¶ thiÕt �AB > �BC th× �BCA > BAC� > BDC� .
� D � AB .

Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm.
Đề 8

Câu 1: a) Xác định x



R biu thc :A =

x
x

x
x

1
1
1
2
2
Là
một số tự nhiên

b. Cho biÓu thøc: P = 2 1 22 2






 zx z

z
y
yz
y
x
xy

x

BiÕt x.y.z =
4 , tÝnh P .

Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C
không thẳng hàng.

b. Tính diện tích tam giác ABC.

Câu3 Giải phơng trình: x1 3 2 x 5

Câu 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2. Vẽ

các tiếp tuyến AB, AC với đờng trịn. Một góc xOy = 450 cắt đoạn

th¼ng AB và AC lần lợt tại D và E.
Chứng minh rằng:

a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ).
b. RDER

3
2

đáp án 
Câu 1: a.

A = x x x x x

x
x
x
x
x
x
x

x 1 ( 1 ) 2

)
1
).(
1
(
1

1 2 2

2
2
2
2



















A là số tự nhiên  -2x là số tự nhiên  x = 2k
(trong đó k



Z và k 0 )

b.Điều kiện xác định: x,y,z  0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x,

y, z > 0 vµ xyz 2

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x; thay 2 ở mẫu của hạng
tử thứ 3 bởi xyz ta đợc:

P = 1

2
2
2
(
2

2   












 xy x

xy
x
xy
x
z
z
x
xy
xy
x
xy
x
(1®)

 P 1 v× P > 0

Câu 2:a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên  b = 4; a = 2

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + 4 nên C không
thuộc đờng thẳng AB  A, B, C khơng thẳng hàng.

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc
đ-ờng thẳng AB  A,B,D thẳng hàn

b.Ta cã :

AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20

AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10

BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

 AB2 = AC2 + BC2 ABC vuông tại C

Vy SABC = 1/2AC.BC = 12 10. 10 5 ( đơn vị diện tích )

Câu 3:Đkxđ x1, đặt x1u; 3 2 x v ta có hệ phơng trình:











1

5

3
2

v

u

v

u

Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta đợc: v = 2

 x = 10.

C©u 4

a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R  ABOC là hình

vu«ng (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho
BOD = MOD

MOE = EOC (0.5®)

Chøng minh BOD = MOD

 OMD = OBD = 900

T¬ng tù: OME = 900

 D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng trịn (O).
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R DE < R

Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R  DE >

3
2

R
VËy R > DE >

3
2

Đề 9
Câu 1: Cho hàm số f(x) = 2 4 4



 x
x
a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10

M
A

C
D

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

c) Rót gän A =
4
)
(
2 
x
x
f

)3

)(

7 2(

)7

2 )(

3 (

)4

)(

2 (

)2

(

y

x

y

x

y

x

y

x

Câu 3: Cho biểu thức

A = 






















1

:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x

víi x > 0 vµ x  1
a) Rót gän A

2) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai 
tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vng góc hạ từ A đến
đ-ờng kính BC.

a) Chøng minh r»ng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án
Câu 1

a) f(x) = x2  4x4 (x 2)2 x 2

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

b) 

















8
12
10
2

10
2
10
)
(
x
x
x
x
x
f

c) 2( )4 (  2)(22)




x
x
x
x
x
f
A

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra 12




</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>





























































2 y

-2

x

0

4

21

6

7

2

21

7

6

2

8

4

2 )3

)(7

2(

)7

2)(

3 (

)4

)(2

(

)2

(

y

x

y

x

y

xy

x

y

xy

x

y

xy

x

xy

y

x

y

x

y

x

yx























1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
= 



























1
1
)
1
(
:
1
1
)
1
)(

1
(
)
1
)(
1
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
= 
























1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
1

:
1
1
1






x
x
x
x
x
x
=
1
:
1
2




x
x
x
x

= xx

x
x 1
1
2 




=
x
x

2

b) A = 3 =>

x
x



2 = 3 => 3x +

B H C

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có

CB
CH
PB
EH

 ; (1)

Mặt khác, do PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=>  AHC



 POB

Do đó: AHPB OBCH (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ
trug ®iĨm cđa AH.

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R

-CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

.
)

2
(

2PB
AH.CB
2PB

AH.CB
AH2  R

 AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2
2
2
2
2

2
2

2
2
2

2
2

d
R
d
.
2.R
4R

)
R
4(d

R
d
.
8R

(2R)
4PB

4R.2R.PB
CB

4.PB

4R.CB.PB
AH

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Từ đó suy ra m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:



















11
4x
3x
2
1
m
.x
x

2
1

2m
x
x

2
1
2
1
2
1

11
8m

-26
7

7m
4
7
4m

-13
3
8m

-26
7
7m
x

7
4m

-13
x

1
1

Giải phơng tr×nh 11

8m

-26
7
7m

4
7
4m

-13

3   

ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125
thì phơng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit t

Đề 10
Câu I : Tính giá trị của biểu thức:
A =

5
3

+ 5 7
1

 + 7 9

 + ...+ 97 99

1


B = 35 + 335 + 3335 + ... +

1) X2 -7X -18

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)
3) 1+ a5 + a10

1) Chøng minh : (ab+cd)2  (a2+c2)( b2 +d2)

2) ¸p dơng : cho x+4y = 5 . T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 +

4y2

Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm
của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng
AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM
tại M cắt BD và DC tại P và Q.

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

x
x
x




1

3
4
2

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.

đáp án
Câu 1 :

1) A = 31 5+ 51 7 + 71 9+ ...+ 97 1 99

= 12 ( 5  3+ 7  5+ 9  7+ ...+ 99  97) =

2
1

( 99  3)

2) B = 35 + 335 + 3335 + ... +     

3
99

35
...
3333

sè =

=33 +2 +333+2 +3333+2+...+ 333....33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)

= 198 +

3
1

( 99+999+9999+...+999...99)

198 + 31( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ ....+10100 – 1) = 198 – 33 +

B = 







 

27
10
10101 2

+165

(x-9) (1®)

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3

= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x

+4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7)

3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1

- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2

+a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

Câu 3: 4đ

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

a2b2+2abcd+c2d2  a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>

0  a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>

0  (ad - bc)2 (®pcm )

DÊu = x·y ra khi ad=bc.

2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :

52 = (x+4y)2 = (x. + 4y)  (x2 + y2)( 1 16)=>

x2 + y2 

17
25

=> 4x2 + 4y2 

17
100

dÊu = x·y ra khi x= 175 , y =1720
(2đ)

Câu 4 : 5đ

Ta cã : gãc DMP= gãc AMQ = gãc AIC. Mặt khác góc ADB = góc
BCA=>

MPD đồng dạng với  ICA =>

IA
MP
CI

DM

 => DM.IA=MP.CI hay

DM.IA=MP.IB (1).

Ta cã gãc ADC = gãc CBA,

Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.

Do đó  DMQ đồng dạng với  BIA =>

IA
MQ
BI

DM

 => DM.IA=MQ.IB (2)

Để P xác định thì : x2-4x+3  0 và 1-x >0

Tõ 1-x > 0 => x < 1

Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta cã :

(x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0
Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa.

Víi x < 1 Ta cã :
P =

x
x
x

3
4
2

= x

x
x
x

3
1

)
3
)(
1
(

Đề 11

Câu 1 : a. Rót gän biĨu thøc . 2  2

1
1
1

a
a

A Với a > 0.

b. Tính giá trị cđa tỉng.

2
2
2

2
2

2 100

1
1
...
3

1
2

1
1
2

1
1

1        


B

C©u 2 : Cho pt x2  mxm10

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN cđa bt.





2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
1





x
x
x
x
x
x
P

xy
y

x    

 1
2
1
1
1
1
2
2

Câu 4 Cho đờng tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển
động trên đờng tròn, từM kẻ MH  AB (H  AB). Gọi E và F lần lợt là
hình chiếu vng góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng
vng góc với è cắt dây AB tại D.

1. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố
định khi M thay đổi trên đờng tròn.

2. Chứng minh.

BH
AD
BD
AH
MB
MA
.
2
2

H
 ớng dẫn
Câu 1 a. Bình phơng 2 vế 2 11

a
a
a
a

A (Vì a > 0).

c. áp dụng câu a.

100
9999
100
1
100
1
1
1
1

B
a
a
A

Câu 2 a. : cm 0 m

B (2 đ) ¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã:









1

2
1
2
1

m

x

m

x

2
1
2
2




m
m

P (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.

1
1
2
2
1
1
2
1














m
GTNN
m
GTLN
P

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

b®t

























0
1

1
1

1 2 2 









xy

y
y
x
y
xy
x
x
y
x

  2 1 0




 x y xy đúng vì xy 1
Câu 4: a

- Kẻ thêm đờng phụ.

- Chứng minh MD là đờng kính của (o)
=> ...

Gäi E', F' lÇn lợt là hình chiếu của D trên MA và MB.
Đặt HE = H1

HF = H2

 

1
.
.
.
.
. 2
2
2
1
MB
h
HF
MA
h
HE
BH
AD
BD
AH


HEF


 ∞ DF'E'

HF.h2 HE.h

Thay vào (1) ta có:

BH
AD
BD
AH
MB
MA
.
2
2

Đề 12

Câu 1: Cho biÓu thøc D = 











ab
b
a
ab
b
a

1 : 









ab
ab
b
a
1
2
1

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =

3
2

c) Tìm giá trị lớn nhất của D

Câu 2: Cho phơng trình

3
2

2- mx +

3
2

2 + 4m - 1 = 0 (1)

a) Giải phơng trình (1) víi m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn

2
1
2
1
1

1
x
x
x

x   

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,

)
90
(

ˆ    0

A Chøng minh r»ng AI =

c
b

Cos
bc


2
.

2 

(Cho Sin2 2SinCos )

Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động

trên một nửa đờng tròn sao cho NA NB.Vễ vào trong ng trũn

hình vuông ANMP.

a) Chng minh rng ng thng NP luôn đi qua điểm cố
định Q.

b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh
tứ giác ABMI nội tiếp.

c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố
định.

H·y tính giá trị của:

B = xyz zxy xyzx

Đáp án

Cõu 1: a) - Điều kiện xác định của D là







1

0 ab

b

a

- Rót gän D

D = 











ab
a

b
a
1

2
2

:  



ab
ab
b
a

D =

1
2



a
a

b) a = ( 3 1) 3 1

1
3
2
(
2
3
2

2 2









 a

VËy D = 4 3

2
3
2
1
3
2

3
2
2







</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

c
b
a
I
C
B
A

2

2
1
1

2 a a D

Vậy giá trị của D là 1

Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 0 2 9 0

2
9
2

1 2    2  

 x x x x

10

1

10

1

2
1

x

b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì 0 8m20 m41 (*)

+ Để phơng trình có nghiệm khác 0

























2

3

4

2

3

4

0

1

4

2

1

2
1
2

m

(*)
+



























0

1

0 )1

)(

(

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 xx

x

xx

x























19

4

19

4

0

03

8

0

2 m

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và m4  19

.
2
1 
cSin
AI
SABI 

+ ;
2
.
2
1 
bSin
AI
SAIC 

+ ;

2
1



bcSin
SABC 

AIC
ABI

ABC S S

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

1
2
1
2
1
F
I
Q
P
N
M
B
A
c
b
bcCos
c
b
Sin
bcSin
AI
c
b
AISin
bcSin









2
2
)
(
2
)
(
2






QA QB

� ) ) Suy ra Q cố định
b) Aˆ1 Mˆ1(Aˆ2)

 Tø gi¸c ABMI néi tiÕp

c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

 ABF vuông tại A B 450 AFB450

Lại có P1 450  AFBPˆ1  Tø gi¸c APQF néi
tiÕp

 APˆF AQˆF 900

Ta cã: ˆ ˆ 900 900 1800




APM
F

P
A

 M1,P,F Thẳng hàng

Cõu 5: Bin đổi B = xyz 






 2 2
2
1

1
1
z
y
x =
2
2
. 

xyz
xyz

Đề 13

Bµi 1: Cho biÓu thøc A =

4( 1) 4( 1) 1

. 1

1
4( 1)

x x x x

x
x x
     � �


�  �
� �
 

a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A

Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và
B(3; -4)

a) Viết phơng tình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân
tại M

Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x2 - m2x + m + 1 = 0

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

Bài 4 : Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D  BC) vẽ đờng tròn
tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đờng tròn này
cắt AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng
dạng.

c) AE.AC = µ.AB = AC2

Bµi 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2  x3 + y4.

Chøng minh:

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Đáp án 
Bài 1:

a) Điều kiện x thỏa mÃn

1 0

4( 1) 0
4( 1) 0
4( 1) 0

x

x x

 �
�
�

  �

�
�

  �

�

�   

�



1
1
1
2

x
x
x
x

�
�
� �
�
��
�

� �
�

 x > 1 vµ x  2

KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
b) Rút gọn A

A = ( 1 1)2 (2 1 1)2. 2
1
( 2)

x x x

x
x

     




A = 1 1 1 1. 2

2 1

x x x

x x

     

 

Víi 1 < x < 2 A = 2
1 x
Víi x > 2 A = 2

x
KÕt luËn

Víi 1 < x < 2 th× A = 2
1 x
Víi x > 2 thì A = 2

x
Bài 2:

a) A và B có hồnh độ và tung độ đều khác nhau nên phơng
trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b

A(5; 2)  AB  5a + b = 2
B(3; -4)  AB  3a + b = -4
Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13

b) Giả sử M (x, 0)  xx’ ta có

MA = (x5)2 (0 2)2

MB = (x3)2 (0 4)2

MAB c©n  MA = MB  (x5)2 4 (x3)216

 (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16

x = 1

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Phơng trình có nghiƯm nguyªn khi  = m4 - 4m - 4 lµ sè

chÝnh phơng

Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2 2 nhËn

m  3 th× 2m(m - 2) > 5  2m2 - 4m - 5 > 0

 - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4 
 m4 - 2m + 1 < < m 4

 (m2 - 1)2 < < (m 2)2

không chính phơng

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4:

a) ( 1 )
2

EAD EFD  sdED (0,25)

� � ( 1 � )

FAD FDC  sdFD (0,25)

mµ �EDA FAD � �EFD FDC�  � (0,25)

 EF // BC (2 gãc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên DE DF� �

s®� 1
2

ACD s®(AED DF� � ) = 1

2sđAE� = sđ�ADE
do đó �ACD ADE � và EAD DAC

DADC (g.g)

Tơng tự: sđ � 1 � 1 (� � )

2 2

ADF  sdAF  sd AFD DF = 1( � � ) �

2 sdAFD DE sdABD 

� �

ADF ABD

do đó AFD ~ (g.g
c) Theo trên:

+ AED ~  DB

 AEAD ADAC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD    AD AF

AB  AD

 AD2 = AB.AF (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF

Bài 5 (1đ):

Ta có (y2 - y) + 2  0  2y3  y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4  x2 + y3 do đó

x3 + y3  x2 + y2 (1)

+ Ta cã: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2  0

F
E

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x2 + y2  x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1)  0.(y - 1)(y3 -1)  0

x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1  0

 (x + y) + (x2 + y3)  2 + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x + y  2

Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

x3 + y3  x2 + y2 x + y 2

Đề 14

Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1)

cho A= ( 1
-)

x2- 4(1)

x-1

a/ rót gän biĨu thøc A.

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

x2-(m+5)x-m+6 =0

Cã 2 nghiƯm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iỊu kiƯn sau:

a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b/ 2x1+3x2=13

Câu 3Tìm giá trị của m để hệ phơng trình

mx-y=1

m3x+(m2-1)y =2

v« nghiƯm, v« số nghiệm.

Câu 4: tìm max và min của biểu thøc: x +3x+12

x2+1

Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với nhau

một góc 450. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia

kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q.

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng
trịn.

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

c/ KỴ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính sè ®o gãc MAB biÕt
CPD=CM

h

íng dÉn

Câu 1: a/ Biểu thức A xác định khi x≠2 và x>1

( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2

A= . (
)

(x-2)2 x-1

x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2
= . = =
x-2 x-1 x-1 x-1
b/ Để A nguyên thì x- 1 là ớc dơng cđa 1 vµ 2

* x- 1 =1 thì x=0 loại
* x- 1 =2 th× x=5

vËy víi x = 5 thì A nhận giá trị nguyên bằng 1

Cõu 2: Ta cú x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+10 phng

trìnhcó hai nghiệmphân biƯt khi vµchØ khi m≤-7-4 3 vµ
m≥-7+4 3 (*)

a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hƯ x2-x1=1 (1)

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)
b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

x1+x2 = m+5(2’)

x1x2 =-m+6 (3’)

giải hệ ta đợc m=0 và m= 1 Tho món (*)

Câu 3: *Để hệ vô nghiƯm th× m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2

3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2

m=±1/2

∀m
*HƯv« sè nghiƯm th×: m/m3=-1/(m2-1) =1/2

3m3-m=-m3 m=0

3m2-1= -2 m=±1/2

V« nghiƯm

Khơng có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm.

Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1

gäi y0 là 1 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

1
1

P
M

D C

B
A

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm

*y0=1 suy ra x = 0 y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0

(y0-1)2≤ 9 suy ra -2 ≤ y0 ≤ 4

VËy: ymin=-2 và y max=4

Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình)
Giải

a/ A1 và B1 cùng nhìn đoạn QE dới một góc

450

t giỏc ABEQ nội tiếp đợc.
 �FQE = �ABE =1v.

chøng minh t¬ng tù ta cã �FBE = 1v

 Q, P, C cùng nằm trên đờng trịn đờng kinh
EF.

t¬ng tù ∆ APF cũng vuông cân
AFAB = 2 (2)

tõ (1) vµ (2)  AQP ~ AEF (c.g.c)

AEF
AQP

S

S = ( 2 )2 hay SAEF = 2SAQP

c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ �APD=�CPD
�MCD= �MPD=�APD=�CPD=�CMD

MD=CD  ∆MCD đều  �MPD=600

mµ �MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta có APB=450 vậy

MAB=600-450=150

Đề 15
Bài 1: Cho biÓu thøc M =

x
x
x

x
x













2
3
3

1
2
6
5

9
2

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5

c. Tìm x



Z để M



</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/
= 3

Bµi 3: a. Cho các số x, y, z dơng thoÃ mÃn 1x + 1y + 1z = 4
Chøng ming r»ng: 2x1yz + x21yz + xy12z 1

b. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: B = 2 2 2 2006

x

x  

(víi x 0)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax, Ay sao cho x ˆAy = 450

Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại
F vµ Q

a. Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đờng tròn
b. SAEF = 2 SAPQ

Kẻ đờng trung trực của CD cắt AE tại M. Tính số đo góc MAB biết

D
P

C ˆ = C MD

Bài 5: (1đ)

Cho ba số a, b , c kh¸c 0 tho· m·n: 0

1
1
1




c
b

a ; H·y tÝnh P =

2
2
2 b
ac
a
bc
c
ac


đáp án 
Bài 1:M =

x
x
x
x
x
x
x










2
3
3
1
2
6
5
9
2

a.§K x0;x4;x9 0,5®

Rót gän M =









 







3
2
2
1
2
3
3
9
2










x
x
x
x
x
x
x

Biến đổi ta có kết quả: M =



xx 2



x x2 3



M =













</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

c. M =

3
4
1
3

4
3












x
x

x

Do M



z

nªn x  3lµ íc cđa 4  x  3 nhận các giá trị: -4; -2;

-1; 1; 2; 4
1;4;16;25;49



 x do x4 x1;16;25;49

Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

<--> 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

<--> (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

<--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

<--> (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x +
4y > x + 2y 3

mà 96 = 25. 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc

biĨu diƠn thµnh tÝch 2 thõa số không nhỏ hơn 3 là: 96 = 3.32 =
4.24 = 6. 16 = 8. 12

Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x
+ 6y là số chẳn do đó











24

4

3

6

2 y

x

y

x

HƯ PT này vô nghiệm











16

4

3

6

2 y

x

y

x







1

4 y

x

Hoặc

12

4

3

8

2 y

x

y

x

Hệ PT vô nghiệm

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

3
/

3
/
/
2008
2005

/     

 x x (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3
(2)

Kết hợp (1 và (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ 0

(3)

(3) sảy ra khi và chỉ khi

2007

2006

0/

2007

/

0/

2006

/

y

x

y

x

Bài 3

a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ

b. Víi mäi a, b thuéc R: x, y > 0 ta cã   (*)
2
2

y
x

b
a
y
b
x
a






<-->(a2y + b2x)(x + y)ab2xy

�a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy � a2xy + 2abxy + b2xy

�a2y2 + b2x2 � 2abxy

�a2y2 – 2abxy + b2x2 � 0

�(ay - bx)2 � 0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y

> 0

Dấu (=) xảy ra khi ay = bx hay ax  by
áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 4 4 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

�  � � � � � �  � �  �

� � � � � � � � � �

 �   

       

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 1

4 4 4 4

x y x z x y z

� � � � � � � �

� � � � � � � � � �

� � � � � � � �     

� � �

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154>

T¬ng tù 1 1 1 2 1

2 16

x y z x y z

�   �

� � �

  � �

1 1 1 1 2

2 16

x y z x y z

� �

 

� � �

  � �

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

2 2 2 16 16 16

1 4 4 4 4 1 1 1 1
.4 1

16 16 4

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

� � � � � �
  � �   � �   � �  �
      � � � � � �
� � � �
    
� � �� � ��

� � � �

V× 1 1 1 4

x  y z





2
2
2 2006
0
x x
B x
x
 
 �
Ta cã:
x
x
x
B
x
x
x
B
2006
2006
2006
.
2

2006
2006

2 2 2

2
2







   
2006
2005
2006
2005
2006
2005
2006
2
2
2
2
2









x
x
x
x
x
B

V× (x - 2006)2 � 0 víi mäi x

x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0





2
2

2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x


 �

Bµi 4a. EBQ EAQ)  ) 450 �YEBAQ) néi tiÕp; ˆB = 900 à gãc AQE = 900

à gãcEQF = 900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 à gãc APF = 900 à gãc EPF =

900 . 0,25đ

Các điểm Q, P,C luôn nhìn dới 1góc900 nên 5 điểm E, P, Q, F,

C cùng nằm trên 1 đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ
b. Ta có góc APQ + góc QPE = 1800 (2 góc kề bù)  góc APQ =

</div>
(155)<div class='page_container' data-page=155>

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)
à

2 1 1 2

2
2

APQ

APQ AEE

AEF

S

k S S

S



 



� �

 � � � 

� �

c. gãc CPD = gãc CMD à tø gi¸c MPCD néi tiÕp góc MCD = góc
CPD (cùng chắn cung MD)

Lại cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC)
gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC đều
à góc CMD = 600

à tam gi¸c DMA cân tại D (vì AD = DC = DM)
Và gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750

à gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 
1/c = 0)

à x = -(y + z)

à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x)

= - 3yz .0 = 0

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) =

abc.3/abc = 3

</div>
(156)<div class='page_container' data-page=156>

Đề 16
Bài 1Cho biÓu thøc A = ( 2 3)22 12 2

x
x

x   + (x2)2 8x2

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá
trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm)

Cho cỏc ng thẳng:

y = x-2 (d1)

y = 2x – 4 (d2)

y = mx + (m+2) (d3)

a. Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) luôn đi qua vi mi

giá trị của m.

b. Tỡm m ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy .

Bµi 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a. Chứng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng
trình (1) mà không phụ thuộc vào m.

c. Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 là nghiệm

của phơng trình (1))

Bi 4: Cho ng trũn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay 
đổi vị trí trên cung lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC . Gọi D là
điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và
C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp đờng
thẳng AB với CD; AD và CE.

a. Chøng minh r»ng DE// BC

b. Chøng minh tø gi¸c PACQ néi tiÕp

c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F
Chøng minh hÖ thøc: CE1 = CQ1 + CE1
Bµi 5: Cho các số dơng a, b, c Chứng minh rằng:

1 








a
c

c
c
b

b
b
a

a

đáp án 
Bài 1: - Điều kiện : x 0

a. Rót gän: 6 9 2 4 4

2
2
4







 x x

x
x
x
A

3 2
2





 x

x
x

</div>
(157)<div class='page_container' data-page=157>

- Víi x <0:

x
x
x

A 2 2 3

2  





- Víi 0<x 2:

x
x

A2 3

- Víi x>2 :

x
x
x

A 2 2 3

2 



b. Tìm x nguyên để A nguyên:
A nguyên <=> x2 + 3 x

<=> 3=> xx =  1 ; 3;1;3 

Bµi 2:

a. (d1) : y = mx + (m +2)

<=> m (x+1)+ (2-y) = 0
Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m











0

2

0

1 y

x

=.>









2

1 y

x

Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d3) đi qua

b. Gọi M là giao điểm (d1) và (d2) . Tọa độ M là nghiệm của

hÖ











4

2 x

y

x

y





0

2 y

x

VËy M (2; 0) .

NÕu (d3) ®i qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiệm (d3)

Ta có : 0 = 2m + (m+2) => m=

-3
2

Vậy m = -32 thì (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bµi 3: a. '= m2 –3m + 4 = (m -

2
3

)2 +

4
7

>0 m.

VËy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Theo ViÐt:













3 )1

(2

2
1
2
1

m

x

m

x













6

2

2
1
2
1

m

x

m

x

<=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 không phụ thuộc vào m

a. P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)

= (2m - 25 )2 +  m

4
15
4
15

VËyPmin = 4

</div>
(158)<div class='page_container' data-page=158>

Bài 4: Vẽ hình đúng – viết giả thiết – kết luận 
a. SđCDE = 12Sđ DC = 21 Sđ BD = BCD

=> DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le)
b.  APC =

2
1

s® (AC - DC) =  AQC

=> APQC néi tiÕp (v× APC = AQC

cùng nhìn đoan AC)
c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp

 CPQ =  CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
 CAQ =  CDE (cïng ch¾n cung DC)

Suy ra  CPQ =  CDE => DE// PQ

Ta cã: PQDE = CQCE (v× DE//PQ) (1)

FC
DE

= QCQE (v× DE// BC) (2)
Céng (1) vµ (2) :     1

CQ
CQ
CQ

QE
CE
FC
DE
PQ
DE

=> PQ1  FC1 DE1 (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ

Thay vµo (3) : CQ1 CF1 CE1
Bµi 5:Ta cã: a ba c



 < b a
a

 < a b c
c
a






(1)

c
b
a

b


 < b c
b

 <a b c
a
b






(2)
a cb c



 < c a
c

 < a b c
b
c






(3)
Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

1 < aab + bbc + cca < 2
Đề số 15:

Bài 1:

Biết rằng x, y là các số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x chỉ viết bởi
các chữ số 9 và số y chỉ viết bởi các chữ số 8. HÃy so sánh tổng
các chữ của tích xy và tổng các chữ số của x2.

Bài 2:

Hóy xỏc nh a hệ pt sau có nghiệm duy nhất:
4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

</div>
(159)<div class='page_container' data-page=159>

Bµi 3:

Cho



x x21



y y21



1. tÝnh M = x y21y x21

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC. Các điểm M,N lần lợt thuộc các cạnh
AB, AC sao cho BM = CN. Gọi giao điểm của BN và CM là O. Đờng
thẳng qua O, song song vơí phân giác của ^BAC cắt các đờng
thẳng AB, AC theo thứ tự tại X, Y.

Chøng minh: BX = CA; CY = BA.
Đề số 16:

Bài 1:

Tìm tất cả các số nguyen dơng n sao cho 2n + 153 là bình

ph-ơng của một số nguyên.
Bài 2:

Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mÃn abc =1. HÃy tính Min cđa
biĨu thøc: P =

b
b
a
c
a

a
c
b
c

c
b

a2 2 2 2 2 2 2 2 2

Bài 3:

Chứng minh rằng không có số nào trong hai sè sau: p -1; p +1 lµ
sè chÝnh phơng với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên.

Bài 4:

Cho AB & CD l hai ng kớnh vng góc với nhau của một đờng
trịn (O,R).M là một điểm trên (O). Tìm Max của P =
MA.MB.MC.MD.

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên
đ-ờng trịn. Tìm vị trí điểm m sao cho đđ-ờng thẳng AM cắt (O) tại
C và AM = AC + CB (C#A).

Đề số 17:
Bài 1:

</div>
(160)<div class='page_container' data-page=160>

Bài 2:

Tìm tất cả các số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình:
x+ y + z =6

1x1y1z 2 xyz4
Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3. Chøng minh : f (

2005
2006

) < f(

2004
2005

).
Bµi 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. BO,CO theo thứ

tự cắt AC,AB tại M,N. Dùng c¸c hình bình hành OMEN,OBFC.
Chứng minh rằng A,E,F thẳng hàng và AFAE AMAB..ACAN OMOB.OC.ON

Bµi 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R. Tìm trên nửa đờng
trịn đó (khơng kể hai đầu mút A,B) tất cả những bộ ba điểm C1,

C2, C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, trong đó

d là độ dài của một đoạn thẳng cho trớc. Biện lun.

Đề số 18;
Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 và sè thùc x tho¶ m·n 2006n + 2005n

=xn. Hái x có thể là số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y. Tìm giá trị Max & Min cđa F = x –y .

Bµi 3:
Rót gän:

T =































 







 






 

4
1
2006
...
4
1
4
4
1

4
1
2005
...
4
1
3
4
1
1

4
4

</div>
(161)<div class='page_container' data-page=161>

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE và các cạnh
còn lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA. Chứng minh: hai
tam giác đó bằng nhau.

Bµi 5:

Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Tìm quỹ tích

các điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các đờng thẳng
AB,BC ,CD ,DA bằng 2a.

§Ị thi tun sinh
 *Trêng THPT Ngun TrÃi

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiên)
Thời gian: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)
Cho biểu thức.
A =

1
4
4

2
4
2
2

4
2

2  







       

x
x

1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tìm các số ngun x để biểu thức A là một số nguyên
Bài 2.( 3 điểm)

</div>
(162)<div class='page_container' data-page=162>

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tìm các giá trị của m để: x12+ x22 +3 x1.x2 (x 1 + x2 ) t

giá trị lớn nhất

2) Cho a,b là các số hữu tỉ thoả mÃn: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chứng minh rằng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm

hữu tỉ.

Bài 3. ( 3 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 1800. Tính tØ sè

AB
BC

Bµi 4. ( 1 ®iĨm)

Chứng minh bất đẳng thức:
| a2b2  a2c2|  | b-c|

víi a, b,c lµ các số thực bất kì.

*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150)
Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) =

1
4
3

1
2

2
2







x
x

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x)
2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(-x) < 0

Bµi 2. ( 2 điểm)

1) cho phơng trình: 0

6
3
)

1
2
(

2 2

x

m
m
x
m
x

(1)
a) Giải phơng trình trên khi m = 32

</div>
(163)<div class='page_container' data-page=163>

2) Giải phơng trình: 2
2

1
2
1
1

x x

x

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y là hai sè thùc tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y|

2
5

2) Cho phân số : A=

5
4

n
n

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mÃn 1n2004 sao cho A là phân

số cha tối giản

Bi 4( 3 im) Cho hai ng tròn (01) và (02) cắt nhau tại P và

Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (01)

t¹i A, tiÕp xóc víi (02 ) t¹i B. Tiếp tuyến của (01) tại P cắt (02 ) t¹i

điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R.
Hãy chứng minh rằng:

1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng trịn
2)Tam giác BPR cân

3)§êng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB vµ RB.

Toán 9(150)

Bài 1(5) Cho

1
2
3

2
x
x
x

A :

x
x
x

x
x

3
1
3
1
4

2   2





a) Rót gän A

b) Tìm A để x= 6013
c) Tìm x để A <0
d) Tìm x để A nguyên

</div>
(164)<div class='page_container' data-page=164>

a) Rót gän A

b) Chøng minh A chia hÕt cho 6 víi mäi x,y,z nguyªn

Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng,

Dũng, Cờng ( mỗi ngời bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba
điểm khác nhau là 8,9,10 và thông báo:

a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10
c) Cờng không đạt điểm 9

Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thơng báo
là đúng, hãy cho biết kết qu im bn ca mi ngi.

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lợt
dựng trên AB, AC bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân
ABD tại D, ACE tại E.

a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông
c) Tính diƯn tÝch tø gi¸c BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau
theo b,c

Bµi 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( kh¸c C, D)
Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị
lớn nhất trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)

Toán 9( 120 phút)
 Bài 1(4)

</div>
(165)<div class='page_container' data-page=165>

110
.
100

1
....

12
.
2

1
11
.
1

1
110

.
10

1
...
102
.
2

1
101

.
1

x

Bµi 2(4)

Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giỏ tr ln nht

Bài 3( 4)

Cho phơng trình

2
3
2

3
5
1
3

x
x

ax
x

a

x

a

Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm không nhỏ
hơn 1?

Bài 4(4)

T im O thuộc miền trong của hình thang cân
ABCD( AB=CD) nối các đỉnh của hình thang đợc 4 đoạn thẳng
OA,OB,OC,OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận đợc, có thể
dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ
giác nằm trên một cạnh ca hỡnh thang cõn)

Bài 5(4)

Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b. Gäi Ib,Ic theo thø tù

</div>
(166)<div class='page_container' data-page=166>

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình:
1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

2)x(x1 2) (x11)2 201

Bài 2(1) Cho 3 số thực dơng a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chứng

minh rằng a+b> c+1

không phụ thuộc x,y.

Bài 4(1,5) Chứng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)

(n+3)=0 có nghiệm là số hữu tỉ với mọi sè nguyªn n

Bài 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O và dây AB( AB không đi qua
O). M là điểm trên đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác
nhọn, đờng phân giác của góc MAB và góc MBA cắt đờng tròn
tâm O lần lợt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ

1) Chøng minh rằng MI vuông góc với PQ

</div>
(167)<div class='page_container' data-page=167>

*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng trình:

4
2

2
2

x
x
x
x

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mÃn:
x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ khi a= -1

2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nht
Bi 3:

1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ

nhất của A =2xy +yz+ zx.

2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có 4
nghiệm phân biệt:

x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O) , D là một điểm trên
cung BC khơng chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần lợt là hình chiếu cuả
D trên các đờng thẳng BC,AB,và AC. Đờng thẳng qua D song song
với BC cắt đờng tròn tại N ( N# D); AN cắt BC tại M. Chng minh:

</div>
(168)<div class='page_container' data-page=168>

*Chuyên toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)
Bài 1 (3đ):

1. Giải pt: x1 3x 2x1

2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đờng thẳng y= 2x +1
những điểm M(x;y) thoả mãn điều kin: y2 5y x+6x = 0.

Bài 2(2,5đ):

1. Cho pt: (m+1)x2 – (m-1)x +m+3 = 0 (m lµ tham sè)

tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số
nguyên.

2. Cho ba số x,y,z . Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz.

Chứng minh các phơng trình sau đều có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bài 3(3đ)

Cho tam giác ABC.

1. Gi M l trung im của AC. Cho biết BM = AC. Gọi D là
điểm đối xứng của B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C.
chứng minh: DM vng góc với BE.

2. LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m trong tam giác ABC. Các tia
AO,BO,CO cắt các cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F.
chứng minh:

a) ODAD OEBE OFCF =1

b) 1 1 1 64

OF
CF
OE

BE
OD

AD

Bài 4(0.75đ)

xét các đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c

Q(x)=x2 +x + 2005

</div>
(169)<div class='page_container' data-page=169>

Có hay khơng 2005 điểm phân biệt trên mặt phẳng mà bất
kỳ ba điểm nào trong chúng đều tạo thành một tam giác có góc tù.

§Ị thi tun sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng. (2004-2005)

thời gian :150

Bài 1: (3đ)

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm:
a) A(-1;3), b) B( 2; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị
hàm s y= x+1.

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2

gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).

1/ Tỡm ng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức 2xx 3yy nhận giá tr
nguyờn.

Bài 3 (3đ)

Cho tam giác ABC (A 900). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía

ngoài tam giác ABC sao cho BC=BD vµ ABˆC CBˆD ; gäi I lµ trung

</div>
(170)<div class='page_container' data-page=170>

1.CAˆI DBˆI

2. ABE lµ tam giác cân.
3. AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thøc A= 4 4 3 23 119
3









x
x

x
x
x

víi 41

x
x

x

*Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006)
(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150)
Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng
minh nếu a +b +c chia hÕt cho 4 th× P chia hÕt cho 4.

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1. GiaØ hÖ víi m= -10.

2. Chứng minh khơng tồn tại giá trị của tham số m để hệ có
nghiệm duy nhất./

Bµi 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả mÃn hệ thức 123 6

z
y

x , xÐt biÓu thøc P =

x + y2+ z3

1. Chứng minh P x+2y+3z-3

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 (3®):

</div>
(171)<div class='page_container' data-page=171>

1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB
đồng dạng.

2. gäi S và S lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC & DEF,
chứng minh: ' 2 2

AD
EF
s

s

Bài 5(1đ)

Cho hình vng ABCD và 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời
hai điều kiện:

 Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vng.

 Mỗi đờng thẳng đều chia hình vng thành hai phần có tỷ
số diện tích là 0.5

Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 ng
thng ng quy.

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(toán 9 bảng B thời gian: 150)

Bài 1

a) Rút gọn biểu thức:

P=

y
y
x

x
y

x
y
x
xy

y

x2 2 2 2 2

.
)
(

b)Giải phơng trình:

(5 2 6

x

(52 6

x 10
Bài 2

a) Số đo hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm
của phơng trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. Hãy xác định

</div>
(172)<div class='page_container' data-page=172>

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y=42 13




x
x

Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, có góc C=450.

Đuờng trịn đờng kính AB cắt các cạnh AC & BC lần lợt ở M& N
a> chứng minh MN vng góc với OC

b> chøng minh 2.MN = AB
Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đờng thẳng qua D

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)
(dnh cho mi i tng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biĨu thøc P=

x
x
x
x

x

x 1 1 1










1.Rót gän P

2. T×m x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là
tham sè).

1. Gi¶i bpt víi m= 1- 2 2

</div>
(173)<div class='page_container' data-page=173>

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0

vµ parabol (P):y= ax2 (a là tham số dơng).

1. Tỡm a (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng
minh rằng khi đó A&B nằm bên phải trục tung.

2. Gọi xA&xB là hồnh độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu

thøc T=

B
A
B

A x x x

x  
1
4

Bài 4(3đ):

ng trũn tõm O cú dõy cung AB c định và I là điểm chính
giữa của cung lớn AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia
Ax vng góc với đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C.

1. Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC là tam gíac cân

2. Khi im M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một
cung trịn cố định.

3. Xác định vị trí của điểm M chu vi tam giỏc AMC t
Max.

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyÕn AM, gãc
ACB = ,gãc AMB =  . Chøng minh r»ng: (sin +cos )2= 1+ sin



Thi häc sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)
(Toán 9 bảng A- thêi gian:150’)

Bµi 1:

a. Rót gän biĨu thøc: P =   














y
y
x

x
y

x

y
x
xy

y

x2 2 2 2 2

b. Giải phơng trình: 2

2
2

x
x
x

x

</div>
(174)<div class='page_container' data-page=174>

a. ( đề nh ở bảng B)

b. Vẽ các đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ
trục toạ độ. Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ
các đờng thẳng trên khơng có điểm nguyên nào thuộc đờng
thẳng 3x + 5y = 7.

Bµi 3:

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE. Đờng
tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.

a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ECF.

b. Gọi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ

giác nội tiếp.

Thi học sinh giỏi tỉnh Haỉ Dơng (2004-2005)
( lớp 9, thời gian: 150)
Bài 1(3,5đ):

1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 vµ

x3, x4 lµ nghiƯm của phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị

của biểu thức: ( x1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2-x4).

2. Cho a,b,c là các sè thùc vµ a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng

trình (a2+b2-1)x2 -2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m và n thoả mÃn mn1nm1là số nguyên. chứng

minh rằng: ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m n
Bài 3 (3đ):

Cho hai đờng tròn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến

chung gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C &

</div>
(175)<div class='page_container' data-page=175>

& N. Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng MN tại P & Q;
các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh:

a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD.
b. Tam giác EPQ là tam giác cân.

Bµi 4 (2đ):

Giải hệ phơng trình: x+y = 1

x5 + y5 =11

§Ị thi häc sinh giái líp 9 (năm học 2003-2004)
 Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút)

Câu 1: (3®) Cho hƯ pt víi tham sè a: x4y x

y  x a 1
a. gi¶i hƯ pt khi a=-2

b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm
Câu 2(2đ):

a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả mÃn x=y=z = 1. Tìm
giá trị max của biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đờng
trịn bán kính 1. Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng
trịn bán kính r thì r

2
2

</div>
(176)<div class='page_container' data-page=176>

Câu 3(2đ):

Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3đ):

Cho tam giỏc ABC vuụng tại C. đờng trịn (O) đờng kính CD cắt
AC & BC tại E & F( D là hình chiếu vng góc của C lên AB). Gọi M
là giao điểm thứ hai của đờng thẳng BE với (O), hai đờng thẳng
AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đờng thẳng EF và BK là P.

a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuc mt ng trũn.

b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo góc của tam
giác ABC.

c. gi s ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của
đoạn CD. Chứng minh rằng CM vng góc với đờng thẳng nối tâm
đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác MFP.

TØnh HaØ D ơng (150 phút)
Bài 1(2.5đ):

Giải pt: xy x ya x2y2x2yxy2xy 4b 0

víi
a=



573 6 386



57 3 6 386



b= 1712 2  3 2 2  32 2

Bài 2(2.5đ)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 cã nghiÖm

chung, đồng thời hai pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cng cú

nghiệm chung.

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c).
Bài 3(3đ):

Cho hai ng trũn tõm O1, O2 cắt nhau tại A,B. Đờng thẳng O1A

cắt (O2) tại D, đờng thẳng O2A cắt (O1) tại C.

Qua A kẻ đờng thẳng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N.

Chøng minh r»ng:

</div>
(177)<div class='page_container' data-page=177>

2. BC+BD = MN.
Bài 4(2đ)

Tìm các số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)
Bài 1(6đ):

1. Chứng minh rằng: A =

2
6

48
13
5
3
2

là số nguyên.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:

cba =(n-2)2
abc = n2 1

Baì 2(6đ)

1. Gi¶i pt: x3 + 2x2 + 2 2x +2 2 =0

2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trc to Oxy.

b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB

của (P) sao cho diƯn tÝch tam gi¸c MAB max.

</div>
(178)<div class='page_container' data-page=178>

1. Cho đờng trịn tâm O và dây cung BC khơng đi qua O. Một
điểm A chuyển động trên đờng tròn (A#B,C). gọi M là trung
điểm đoạn AC, H là chân đờng vng góc hạ từ M xuống đờng
thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đờng tròn cố định2. Cho
2 đờng tròn (O,R) và (O’,R’) (R>R’), cắt nhau tại A,B. Tia OA căt (O)
tại D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sỏnh
di cỏc on BC & BE.

Đề số 2:
Bài 1.

Giải hệ phơng trình

0

3

0

3

2

0

2 z

x

xz

y

z

yz

y

x

xy

Bài 2.

Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a)

Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : S = (2-x)(2-y)
Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800. Trong tam

giác ABC có điểm M sao cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300.

TÝnh gãc BMC
 Bµi 5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). AC cắt BD tại I. (O1),

(O2) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI,

CDI. Một đờng thẳng bất kì đi qua I cắt (O) tại X và Y v ct(O1

</div>
(179)<div class='page_container' data-page=179>

Đề số 3:

Bài 1. Cho 3 sè chÝnh ph¬ng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12
Bµi 2. Chøng minh r»ng :

3
3
3
3 3

9
4
9
2
9
1
1

2   

Bµi 3. Cho a b,a c,b c. Chøng minh r»ng:

b
a
b
a
a
c
a
c
c
b
c
b
b
c
a
c
b
a

a
b
c
b
a
c
c
a
b
a
c
b





















)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
2
2
2
2
2
2

Bài 4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c
= 9; x,y,z lần lợt là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C.
Chứng minh rằng:

z
y
x
1
1
1

 >1

Bµi 5. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H.
Chứng minh rằng:

1
.
.
.
.
.
.

CB
CA
HB
HA
BA
BC
HA
HC
AC
AB
HC
HB

Đề số 4:

Bài 1.

BiÕt r»ng 654 999...997 1965

9
100





 

sè
ch
A

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 9
Bµi 2

</div>
(180)<div class='page_container' data-page=180>

Bµi 3.

Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thoả mÃn:
a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0

Bài 5.

Mt ng thng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần
có diện tích bằng nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng
tâm đờng tròn nội tiếp của tam giỏcABC nm trờn ng thng d.

Đề số 5
Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng của hai số tự nhiên lớn
hơn 1 rồi xét tích của hai số này. Trong các cách phân tích nói
trên, hÃy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ nhất

Bài 2.

Cho các số không âm a,b,x,y thoả mÃn các ®iỊu kiƯn

1
;

1 2005 2005
2005

2005 b  x y 
a

Chứng minh rằng:a1975.x30 b1975.y30 1
Bài 3.

Giải phơng trình

3
2
)
1
2
(
2005
60

40
24

10 x

Bài 4.

Với số nguyên d¬ng n, kÝ hiƯu

!
1
.

)
1

( 2

n
n
n

a n

n





</div>
(181)<div class='page_container' data-page=181>

2005
2

1 a ... a

a    . Trong đó n! là kí hiệu tích n số ngun dơng

liªn tiÕp đầu tiên
Đề số 6:

Bài 1:

Chứng minh r»ng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng nhau víi sè

2005.
Bµi 2:

Cho ba số dơng a,b,c. chứng minh rằng:

3
3
3

cb
c
ba
b
ac
a
a
c
c
b
b
a

Bài 3:

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x +

2
1

=0
Bµi 4:

2AD.OM
Bµi 5:

Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng
cách từ M tới các cạnh của tam giác t giỏ tr ln nht.

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng tr×nh: x3 - x - 1 = x3 + x + 1

Bài 2:

tìm Max của biểu thức x x3  xx3 víi 0 x 1
Bµi 3:

Giải hệ phơng trình:

2 ( )
3

2 xy y x y

</div>
(182)<div class='page_container' data-page=182>

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến
kẻ từ đỉnh B và đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh C đồng quy. Gọi
a,b,c lần lợt là độ dài của ba cạnh BC,CA,AB. Chứng minh: (a+b)
(a2+b2- c2)= 2a2b

Bài 5:

Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC taị M,
CO cắt AB tại N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng
minh: A,E,F thẳng hàng và

OC
OB

ON
OM
AC

AB
AN
AM
AE

AE

.
.
.

Đề số 8
Bài 1:

Bài 2:

Giải hệ phơng trình:

x2 –xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bài 3:

Tìm Max của biểu thøc:
A=

8003
2

2
6

6006
2004

2
3
2











x
x

x
x
x
x

x

Bµi 4:

Cho a,b,c là cạnh của một tam giác, chứng minh:

3
3
3
3

</div>
(183)<div class='page_container' data-page=183>

đơng thẳng OM. Chúng minh rằng khi M chuyển động trên BC
thì Q ln thuộc một đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE.
Chứng minh: AD> (1/2)(BC+EF)

Đề số 12:

Bài 1:
Cho Sn=

1
1

.
3
1

n
n

S
S

với n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Biết S1 =

1, tÝnh S = S1 + S2 + S3 +…..+ S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: xy
x
y
y
x




x2008 + y2008 =8(xy)

2
2005

Bµi 3:

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức:
a + b + c

)
(
2

)




 với a,b,c là các số dơng.

</div>
(184)<div class='page_container' data-page=184>

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c tho¶ m·n: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1.

hãy xác định dấu của hệ số a
Bài 3:

Gi¶i pt: (x – 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1= 











2
2

1
2

n
n

an víi n = 1,2,3,…..,2004. Chøng minh

r»ng: a1 + a2 + a3 +…+ a2005 < 1.

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. đờng trịn đờng
kính AM và BC cắt nhau tại N ( N # B), gọi L là giao điểm của BN &
CD. Chứng minh: ML vuụng gúc vi AC.

Đề số 14:
Bài 1:

Chứng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 kh«ng cã nghiƯm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = 0
x- 5y –z – 2z2 =0

</div>
(185)<div class='page_container' data-page=185>

Cho tam giác ABC cân tại A và ^A= 360. Chứng minh: BA/BC là số

vô tỉ
Bài 5:

Cho ng trũn tõm O, đờng kính AB. Trên một nửa đờng trịn
đờng kính AB lấy các điểm C,D sao cho cung AC < cung AD
(D#B). E là điểm bất kỳ trên nửa đờng trịn (O) nhng khơng chứa
C,D ( E#A,B). I,K lần lợt là giao điểm của CE & AD, IO & BE. Chứng
minh: ^ CDK = 900.

§Ị sè 15:
Bài 1:

Bài 2:

Hóy xỏc nh a để hệ pt sau có nghiệm duy nhất:
4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho



x x21



y y21



1. tÝnh M = x y21y x2 1

Bµi 4:

Chứng minh: BX = CA; CY = BA.
Đề số 16:

Bài 1:

Tìm tất cả các số nguyen dơng n sao cho 2n + 153 là bình

ph-ơng của một số nguyên.
Bài 2:

Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mÃn abc =1. H·y tÝnh Min cđa
biĨu thøc: P =

b
b
a
c
a

a
c
b
c

c
b

a2 2 2 2 2 2 2 2 2

</div>
(186)<div class='page_container' data-page=186>

Bµi 3:

Chứng minh rằng không có số nào trong hai số sau: p -1; p +1 là
số chính phơng với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên.

Bài 4:

Cho AB & CD là hai đờng kính vng góc với nhau của một đờng
tròn (O,R).M là một điểm trên (O). Tìm Max của P =
MA.MB.MC.MD.

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên
đ-ờng trịn. Tìm vị trí điểm m sao cho đđ-ờng thẳng AM cắt (O) tại
C và AM = AC + CB (C#A).

Đề số 17:
Bài 1:

Chứng minh rằng số d trong phép chia một số nguyên tố cho 30
là 1 hoặc số nguyên tố.

Bài 2:

Tìm tất cả các số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình:
x+ y + z =6

1x1y1z 2 xyz4
Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3. Chøng minh : f (

2005
2006

) < f(20042005).
Bài 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. BO,CO theo thứ
tự cắt AC,AB t¹i M,N. Dùng các hình bình hành OMEN,OBFC.
Chứng minh rằng A,E,F thẳng hàng và AFAE AMAB..ACAN OMOB.OC.ON

Bµi 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R. Tìm trên nửa đờng
trịn đó (khơng kể hai đầu mút A,B) tất cả những bộ ba điểm C1,

C2, C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 + AC3 = BC3 + AC1 = d, trong ú

</div>
(187)<div class='page_container' data-page=187>

Đề số 18;
Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 và số thực x thoả mÃn 2006n + 2005n

=xn. Hái x cã thĨ lµ sè nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y. Tìm giá trị Max & Min của F = x –y .

Bµi 3:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE và các cạnh
còn lại thoả mãn điều kiện: BC + FD = EF + CA. Chứng minh: hai

tam giác đó bằng nhau.

Bµi 4:

</div>


<a href=' />

Tài liệu ôn thi vào 10

<b>ôn tập vào lớp 10 năm học 2009-2010</b>

<b>=</b>

a) Rót gän P

XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

)















<b>Bài 31 : </b>

1) Đơn giản biÓu thøc : P =

.

2) Cho biÓu thøc : Q =

b) Tìm x để

> - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun.

<b>H</b>

<b> íng dÉn :</b>

<b>1. P = 6</b>

2. a) §KX§ : x > 0 ; x

<sub> 1. BiÓu thøc rót gän : Q = </sub>

.

b)

> - Q

x > 1.

c) x =

thì Q

<b>Bài 32 : Cho biÓu thøc P = </b>

a) Rót gän biĨu thøc sau P.

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =

.

<b>H</b>

<b> íng dÉn :</b>

a) §KX§ : x > 0 ; x

<sub> 1. BiÓu thøc rót gän : P = </sub>

.

b) Víi x =

th× P = - 3 – 2

.

<b>Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A = </b>

a) Rót gän biĨu thức sau A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để

= A.

<b>H</b>

<b> íng dÉn :</b>

<b>a) §KX§ : x </b>

0, x

<sub> 1. BiÓu thøc rót gän : A = </sub>

.

<b>b) Víi x = </b>

th× A = - 1.

<b>c) Víi 0 </b>

x < 1 th× A < 0.

<b>d) Víi x > 1 th× </b>

<b> = A.</b>

<b>Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A = </b>

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Xác định a để biểu thức A >

.

<b>H</b>

a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. BiĨu thøc rót gän : A =

.

b) Víi 0 < a < 1 th× biĨu thøc A >

<b>Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A =</b>

.

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.

2) Rút gọn A.

3) Với x

<sub> Z ? để A </sub>

<sub> Z ?</sub>

<b>H</b>

<b> íng dÉn :</b>

a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠