Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.21 MB, 154 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ôn tập vào lớp 10 năm häc 2009-2010

Phần 1: Các loại bài tập về biĨu thøc
Bµi 1: Cho biĨu thøc : P=√a+2

√a+3−

a+√a −6+¿

1
2 −√a

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P<1
Bài 2: Cho biểu thức: P=

(

1 − √x

√x +1

)

(

√x +3

√x − 2+

√x +2

3−√x+

√x+2
x −5√x+6

)

a) Rót gän P

b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P=

(

√x −1

3√x − 1−

1
3√x+1+

8√x

9 x −1

)

(

1−

3√x −2

3√x +1

)

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P= 6

Bµi 4: Cho biĨu thøc P=

(

1+ √a

a+1

)

(

1
√a −1−

2√a

a√a+√a −a −1

)

a) Rót gän P

b) Tỡm giỏ tr ca a P<1

c) Tìm giá trị cđa P nÕu a=19− 8√3

Bµi 5: Cho biĨu thøc: P

=

1− a¿2
¿

√a¿
¿

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

12

)

Bµi 6: Cho biĨu thøc: P =

(

√x +1

√2 x +1+

√2 x +√x

√2 x − 1 −1

)

(

1+
√x+1

√2 x+1−

√2 x+√x

√2 x −1

)

a) Rót gän P

b) Tính giá trị của P khi x 1

2.(3+22)

Bài 7: Cho biÓu thøc: P=

(

2√x

x√x+√x − x − 1−

√x −1

)

(

√x
x +1

)

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0

Bµi 8: Cho biÓu thøc: P=

(

2 a+1

√

a3 −

√a
a+√a+1

)

(

√

a3
1+√a −√a

)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. √1− a

Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1:

(

x +2

x√x −1+

√x +1
x +√x +1−

√x+1
x −1

)

a) Rót gän P
b) So s¸nh P víi 3

Bµi 10: Cho biĨu thøc : P=

(

1− a√a

1−√a +√a

)

(

1+a√a

1+√a −√a

)

a) Rót gän P

b) Tìm a để P< 7 − 4√3

Bµi 11: Cho biÓu thøc: P=

(

2√x

√x +3+

√x

√x −3−

3 x +3

x − 9

)

(

2√x −2

√x −3 − 1

)

a) Rút gọn P
b) Tỡm x P< 1

c) Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa P

Bµi 12: Cho biĨu thøc: P=

(

x −3√x

x − 9 −1

)

(

9− x

x+√x − 6−

√x − 3

2−√x−

√x − 2

√x +3

)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P<1

Bµi 13: Cho biĨu thøc : P= 15√x −11

x +2√x −3+

3√x −2

1−√x −

2√x +3

√x+3

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P= 1

c) Chøng minh P 2

Bµi 14: Cho biĨu thøc: P= 2√x

√x +m+

√x

√x − m−
m2

4 x − 4 m2 víi m>0

a) Rót gän P

b) Tính x theo m để P=0.

c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức P= a

+√a

a−√a+1−

2 a+√a

√a +1

a) Rót gän P

b) Biết a>1 Hãy so sánh P với P 
c) Tìm a để P=2

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biÓu thøc P=

(

√a+1

√ab+1+

√ab+√a

√ab− 1 −1

)

(

√a+1

√ab+1−

√ab+√a

√ab − 1 +1

)

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P nếu a= 23 và b= 3 1

1+3

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu a+b=4

Bài 17: Cho biÓu thøc : P= a√a− 1

a −√a −

a√a+1

a+√a +

(

√a −

1
√a

)

(

√a+1

√a− 1+

√a −1

√a+1

)

a) Rót gän P

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c) Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P=

(

√a

2 −
1
2√a

)

(

√√a −1a+1−

√a+1

√a −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của a để P<0
c) Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức P= (√a−√b)

+4√ab
√a+√b .

a√b − b√a

√ab

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P

c) Tính giá trị của P khi a= 23 và b= √3

Bµi 20: Cho biĨu thøc : P=

(

x +2

x√x −1+

√x
x +√x +1+

1
1−√x

)

√x −1

a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x 1

Bµi 21: Cho biĨu thøc : P=

(

2√x +x

x√x −1−

√x −1

)

(

1 −

√x +2

x+√x +1

)

a) Rót gän P

b) TÝnh √P khi x= 5+2√3

Bµi 22: Cho biÓu thøc P= 1:

(

1
2+√x+

3 x
2
4 − x−

2
4 −2√x

)

1
4 − 2√x

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=

(

x − y

√x −√y+

√

x3−

√

y3
y − x

)

(√x −√y)2+√xy

√x +√y

a) Rót gän P

b) Chøng minh P 0

Bµi 24: Cho biĨu thøc P=

(

√a+√b+

3√ab

a√a+b√b

)

[

(

1
√a −√b−

3√ab

a√a− b√b

)

a− b
a+√ab+b

]

a) Rót gän P

b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4

Bµi 25: Cho biĨu thøc: P= 1+

(

2 a+√a −1
1 − a −

2 a√a −√a+a

1 −a√a

)

a −√a

2√a −1

a) Rót gọn P
b) Cho P= 6

1+6 tìm giá trị của a

c) Chøng minh r»ng P> 2

Bµi 26: Cho biĨu thøc: P=

(

x −5√x

x −25 −1

)

(

25 − x

x+2√x −15−

√x +3

√x +5+

√x −5

√x −3

)

a) Rót gän P

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Bµi 27: Cho biĨu thøc P=

(

3√a

a+√ab+b−

3 a

a√a −b√b+

1
√a −√b

)

(a −1) .(√a−√b)
2 a+2√ab+2 b

a) Rót gän P

b) Tìm những giá trị ngun của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P=

(

√a− 1−

1
√a

)

(

√a+1

√a − 2−

√a+2

√a −1

)

a) Rót gän P

b) Tìm giá trị của a để P> 1

Bµi 29: Cho biĨu thøc:
P=

[

(

√x+

√y

)

√x+√y+

x+

y

]

√

x3+y√x +x√y +

√

y3

√

x3y +

√

xy3

a) Rót gän P

b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 30: Cho biểu thức : P=

√

x

√xy −2 y−

2 x

x +√x −2√xy −2√y.

1− x
1−√x

a) Rót gän P

b) Tìm tất cả các số ngun dơng x để y=625 và P<0,2

Bµi tËp rót gọn

Bài 31 :

1) Đơn giản biểu thức : P =

14 6 5  14 6 5

.

2) Cho biÓu thøc : Q =

x 2 x 2 x 1

.
x 1

x 2 x 1 x

    



 

    

 

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm x để

| Q |

> - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun.

H

íng dÉn

:

1. P = 6

2. a) §KX§ : x > 0 ; x



1. BiÓu thøc rót gän : Q =

2
x −1

.

b)

| Q |

> - Q

⇔

x > 1.

c) x =

{2;3}

thì Q

Bài 32 : Cho biĨu thøc P =

1 x

x1 x x

a) Rót gọn biểu thức sau P.

b) Tính giá trị của biểu thøc P khi x =

1
2

.

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : x > 0 ; x



1. BiĨu thøc rót gän : P =

x+1

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Víi x =

th× P = - 3 – 2

√2

.

Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A =

x√x +1

x − 1 −
x −1

√x +1

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

14

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để

| A |

= A.

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : x



0, x



1. BiĨu thøc rót gän : A =

√x

√x − 1

.

b) Víi x =

14

th× A = - 1.

c) Víi 0

x < 1 th× A < 0.

d) Víi x > 1 th×

| A |

= A.

Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A =

1 1 3

a 3 a 3 a

   

 

   

 

   

a) Rót gän biĨu thøc sau A.

b) Xác định a để biểu thức A >

12

.

H

íng dÉn

:

a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thøc rót gän : A =

√a+3

.

b) Víi 0 < a < 1 th× biĨu thøc A >

12 .

Bµi 35 : Cho biÓu thøc: A =

2
2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.

x 1 x 1 x 1 x

      

 

 

  

 

.

1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.

2) Rút gọn A.

3) Với x



Z ? để A



Z ?

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠

±

1.

b) BiĨu thøc rót gän : A =

x +2003

x

víi x ≠ 0 ; x ≠

±

1. c) x = - 2003 ; 2003 th× A



Z

.

Bµi 36 : Cho biĨu thøc: A =





2 x 2 x 1
x x 1 x x 1

x 1

x x x x

 

   



 

    

 

.

a) Rót gän A.

b) Tìm x để A < 0.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

√x+1

√x − 1

.

b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0.

c) x =

{4 ;9}

thì A

Bài 37 : Cho biÓu thøc: A =

x 2 x 1 x 1

:
2

x x 1 x x 1 1 x

   

 

 

     

 

a) Rót gän biĨu thøc A.

b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiĨu thøc rót gän : A =

x +√2x+1

b) Ta xÐt hai trêng hỵp :

+) A > 0

⇔ 2

x +√x+1

> 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)

+) A < 2

⇔ 2

x +√x+1

< 2

⇔

2(

x+√x +1

) > 2

⇔ x+√x

> 0 đúng vì

theo gt th× x > 0. (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).

Bài 38 : Cho biểu thức: P =

a 3 a 1 4 a 4

4 a

a 2 a 2

  

 



 

(a



0; a

4)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị cđa P víi a = 9.

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : a



0, a



4. BiĨu thøc rót gän : P =

√a − 2

b) Ta thÊy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4

Bài 39 : Cho biÓu thøc: N =

a a a a

1 1

a 1 a 1

     

 

   

     

   

1) Rót gän biĨu thøc N.

2) Tìm giá trị của a để N = -2004.

H

íng dÉn

:

a) §KX§ : a



0, a



1. BiĨu thøc rót gän : N = 1 – a .

b) Ta thÊy a = - 2004

§KX§ . Suy ra N = 2005.

Bµi 40 : Cho biĨu thøc

P=x√x+26√x −19
x +2√x − 3 −

2√x

√x − 1+

√x −3

√x +3

a. Rót gän P.

b. Tính giá trị của P khi

x=7 4√3

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

đó.

H

íng dÉn

:

a ) §KX§ : x



0, x



1. BiĨu thøc rót gän :

P=x+16

√x+3

b) Ta thÊy

x=7 − 4√3

§KX§ . Suy ra

P=103+3√3

c) P

min

=4 khi x=4.

Bµi 41 : Cho biĨu thøc

P=

(

2√x

√x +3+

√x

√x +3−

3 x+3

x −9

)

(

2√x −2

√x −3 − 1

)

a. Rút gọn P. b. Tìm x để

P<−1

c. Tìm giá trị nhỏ

nhất của P.

H

íng dÉn

:

a. ) §KX§ : x



0, x



9. BiĨu thøc rót gän :

P= − 3

√x+3

b. Víi

0 ≤ x <9

th×

P<−1

c. P

min

= -1 khi x = 0

Bµi 42: Cho A=

1 1 1

4 .

1 1

a a

a a a

     

  

   

     

 

víi x>0 ,x



1

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi a =



4 15 . 10

 

 6 .





4 15



( KQ : A= 4a )

Bµi 43: Cho A=

3 9 3 2

1 :

9 6 2 3

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x



0 , x



9, x



4 .

a. Rót gän A.

b. x= ? Thì A < 1.

c. Tìm

x Z

để

A Z

(KQ : A=

3
2

x 

)

Bµi 44: Cho A =

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  

 

   

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. Tìm GTLN của A.

c. Tìm x để A =

1
2

d. CMR : A

2
3


. (KQ: A =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bµi 45: Cho A =

2 1 1

1 1 1

x x

x x x x x

 

   

víi x



0 , x



1.

a . Rót gän A.

b. T×m GTLN cña A . ( KQ : A =

x
x x

)

Bµi 46: Cho A =

1 3 2

1 1 1

x  x x x x

víi x



0 , x



1.

a . Rót gän A.

b. CMR :

0 A 1

( KQ : A =

x
x x

)

Bµi 47: Cho A =

5 25 3 5

1 :

25 2 15 5 3

x x x x x

       

  

   

        

   

a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z

để

A Z

( KQ : A =

5
3

x 

)

Bµi 48: Cho A =

2 9 3 2 1

5 6 2 3

a a a

a a a a

  

 

   

víi a



0 , a



9 , a



4.

a. Rút gọn A.

b. Tìm a để A < 1

c. Tìm

a Z

để

A Z

( KQ : A =

1
3
a
a



)

Bµi 49: Cho A=

7 1 2 2 2

4 2 2 2 4

x x x x x

       

  

   

        

   

víi x > 0 , x



4.

a. Rót gän A.

b. So s¸nh A víi

A

( KQ : A =

9
6
x
x


)

Bµi50: Cho A =





3 3

: x y xy

x y

x y

y x

x y x y

     

  

    

 

víi x



0 , y



0,

xy

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

b. CMR : A



0 ( KQ : A =

xy

x xyy

)

Bµi 51 : Cho A =

1 1 1 1 1

1 1

x x x x x x

x

x x x x x x x

 

     

      

       

Víi x > 0 , x



1. a. Rót gän A.

b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =





2 x x 1

x

 

)

Bµi 52 : Cho A =





4 3 2

2 2

x x x

x x
   
 
     
 
      

 

víi x > 0 , x



4.

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

1 x

)

Bµi 53 : Cho A=

1 1 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

   

  

   

   

   

víi x > 0 , x



1.

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

3
2 x

)

Bµi 54 : Cho A=

2 1 1 4

: 1

1 1

x x

x x x

x
     
 
   
      


 

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z

để

A Z

(KQ: A =

x

x 

)

Bµi 55: Cho A=

1 2 2 1 2

1 1 1

x

x x x x x x

    

 

   

         

 

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z

để

A Z

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =

1
1
x
x



)

Bµi 56 : Cho A =

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

víi x



0 , x



9

. a. Rút gọn A.

b. Tìm x để A <

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

( KQ : A =

3
3
a



)

Bµi 57 : Cho A =

1 1 8 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

   

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A

b. TÝnh A víi x =

6 2 5

(KQ: A =

x
x 

)

c . CMR : A

1

Bµi 58 : Cho A =

1 1 1

1 2 1

x

x x x x x



 



 

   

 

víi x > 0 , x



1.

a. Rót gän A (KQ: A =

x
x

)

b.So sánh A với 1

Bài 59 : Cho A =

1 1 8 3 2

: 1
9 1

3 1 3 1 3 1

x x x

x

x x x

     

  

   

       

   

Víi

1
0,

x x

a. Rút gọn A.

b. Tìm x để A =

6
5

c. Tìm x để A < 1.

( KQ : A =

3 1

x x

x




)

Bµi 60 : Cho A =

2 2 2 1

1 2 1 2

x x x x

x x x

     



 

    

 

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0

c. TÝnh A khi x =3+2

d. T×m GTLN cđa A (KQ: A =

x(1 x)

)

Bµi 61 : Cho A =

2 1 1

:
2

1 1 1

x x x

x x x x x

   

 

 

     

 

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. CMR nÕu x



0 , x



1 th× A > 0 , (KQ: A =

2
1

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bµi 62 : Cho A =

4 1 2

1 :

1 1

x x

x



 

 

 

 



 

víi x > 0 , x



1, x



4.

a. Rót gän

b. Tìm x để A =

1
2

Bµi 63 : Cho A =

1 2 3 3 2

1 1

x x x x

x x

       

 

   

     

 

víi x



0 , x



1.

a. Rót gän A.

b. TÝnh A khi x= 0,36

c. Tìm

x Z

để

A Z

Bµi 64 : Cho A=

3 2 2

1 :

1 2 3 5 6

x x x x

x x x x x

      

  

   

        

   

víi x



0 , x



9 ,

x



4.

a. Rót gän A.

b. Tìm

x Z để A Z

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =

2
1

x
x

)

Phần 2: Các bài tập về hệ ph ơng trình bậc 2:

Bài 1: Cho phơng trình : m2 x (2 1)2=2 x +m2

a) Giải phơng tr×nh khi m=√2+1

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 −√2

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
Bài 2: Cho phơng trình :

(m− 4 ) x2− 2 mx+m− 2=0 (x lµ Èn )

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√2 .Tìm nghiệm cịn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt

c) TÝnh x12+x22 theo m

Bài 3: Cho phơng trình :

x2−2 (m+1) x +m −4=0 (x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phơng trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M= x1(1 − x2)+x2(1 − x1) không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình :

a) x2− x +2 (m− 1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt

b) 4 x2

+2 x+m−1=0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt

c) (m2

+1)x2−2 (m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiệm trái dấu

Bài 5: Cho phơng trình : x2( a− 1) x −a2

+a −2=0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12+x22 đạt giá

trÞ nhá nhất

Bài 6: Cho b và c là hai số thoả m·n hƯ thøc: 1

b+

c=

1
2

CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng trình sau phải có nghiệm x

+bx +c=0

x2+cx +b=0

Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung:
2 x

−(3 m+2) x+12=0(1)

4 x2−(9 m −2) x +36=0(2)

Bµi 8: Cho phơng trình :

2 x2−2 mx+m2− 2=0

a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt

b) Gi¶ sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của
ph-ơng trình

Bài 9: Cho phơng trình bËc hai tham sè m :
x2

+4 x +m+1=0

a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

b) T×m m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiƯn

x12+x22=10

Bµi 10: Cho phơng trình

x2−2 (m− 1) x +2 m− 5=0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mäi m

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu
gì ?

Bµi 11: Cho phơng trình

x2−2 (m+1) x +2 m+ 10=0 (với m là tham số )

a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình

b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 ; hÃy tìm một hệ
thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vµo m

c) Tìm giá trị của m để 10 x1x2+x12+x22 t giỏ tr nh nht

Bài 12: Cho phơng tr×nh

(m− 1) x2− 2 mx+m+1=0 víi m lµ tham sè

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m≠ 1

b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiêm của phơng trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:
x1

x2

+x2

x1

+5
2=0

Bài 13: A) Cho phơng trình :

x2− mx+m− 1=0 (m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình cã nghiƯm x1; x2 víi mäi m ; tính nghiệm kép ( nếu

có) của phơng trình và giá trị của m tơng ứng
b) Đặt A=x12+x22 6 x1x2

 Chøng minh A=m2

−8 m+8
 Tìm m để A=8

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng

c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

x2−2 mx+2 m 1=0

a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
b) Đặt A= 2(x12+x22)− 5 x1x2

 CMR A= 8 m2−18 m+9

 T×m m sao cho A=27

c)T×m m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Gi¶ sư phơng trình a . x2

+bx+c=0 cã 2 nghiÖm phân biệt x1; x2 .Đặt

Sn=x1n+x2n (n nguyên dơng)

a) CMR a . Sn+2+bSn+1+cSn=0

b) ¸p dơng TÝnh gi¸ trÞ cđa : A=

(

1+√5

)

(

1−√5
2

)

Bµi 15: Cho

f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1

a) CMR phơng trình f(x) = 0có nghiệm với mọi m

b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0

có 2 nghiệm lớn hơn 2
Bài 16: Cho phơng tr×nh :

x2−2 (m+1) x +m2− 4 m+5=0

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng

c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng
nhau và trái dấu nhau

d) Gäi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x1
2

+x22 theo m
Bài 17: Cho phơng trình x2 4 x

3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2 . Không giải

ph-ơng trình , hÃy tính giá trị của biểu thức : M =6 x1

+10 x1x2+6 x22

5 x1x2
3

+5 x1
3

x2

Bài 18: Cho phơng trình

xx− 2 (m+2) x+ m+1=0

a) Giải phơng trình khi m= 1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :
x1(1 2 x2)+x2(1 2 x1)=m2

Bài 19: Cho phơng trình
x2

+mx+n −3=0 (1) (n , m lµ tham sè)

 Cho n=0 . CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

Tỡm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ :

{

x1 x2=1

x12 x
2
2=7

Bài 20: Cho phơng tr×nh:

x2−2 (k −2 ) x − 2 k − 5=0 ( k là tham số)

a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho

x1

+x22=18

Bài 21: Cho phơng trình

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì

c) Tỡm giỏ tr của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
Bài 22:Cho phơng trình :

x2(2 m 3) x+m23 m=0

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Xỏc nh m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1<x1<x2<6 Bài tập về
hàm số bậc nhất

µi 23 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hồnh.

H

íng dÉn :

1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.

Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :

2=a+b

− 4=−a+b
¿{

⇔
a=3
b=−1

¿{

Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1
bằng 1

3 .

µi 2 4 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3.

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x
– 1 đồng quy.

H

íng dÉn :

1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.

2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y
= 0

Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 34 .

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :

¿
y=− x+2
y=2 x − 1

¿{

⇔ (x;y) = (1;1).

Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.

Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = − 1

2 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ;

Đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ
B

µi 25 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.

H

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + 3 ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 ⇔

x0=1

y0=2

¿{

Vậy với mọi m thì đồ thị ln đi qua điểm cố định (1;2).

µ26 : Cho hai ®iĨm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song

với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).

Ta cã : víi m Z th× 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiệm : x = (m + 2)

-4
2 m - 3 .

để pt có nghiệm ngun thì 4 ⋮ 2m – 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.

Gi¶i :

a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x

4 = 6 – 2x +

x − 1
4

Vì y Z ⇒ x – 1 ⋮ 4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4

bài tập phần hệ pt
B

ài 1 : Giải hệ phơng trình:

2x 3y 5
3x 4y 2



 b)

x 4y 6
4x 3y 5

 




 

 c)

2x y 3
5 y 4x
 




 

 d)

x y 1
x y 5
 


 


e)

2x 4 0
4x 2y 3

 




 

 f)

2 5

2
x x y

3 1

1, 7
x x y

 
 


  

 
 
B

µi 2 : Cho hệ phơng trình :

mx y 2
x my 1

1) Giải hệ phơng trình theo tham sè m.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

µi 3 : Cho hệ phơng trình:

x 2y 3 m
2x y 3(m 2)

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

µi 4 : Cho hệ phơng trình:

(a 1)x y a
x (a 1)y 2

  




  

 cã nghiƯm duy nhÊt lµ (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5.

3) Tìm các giá trị nguyên của a biu thc

2x 5y
x y

nhận giá trị nguyên.

ài 5 : Cho hệ phơng trình:

x ay 1
(1)
ax y 2

 




 


1) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiÖm duy nhÊt.

ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình

mx y n
nx my 1

 




 



cã nghiÖm lµ



1; 3



4.Vài bài tốn ứng dụng định lý Viột
a)Tớnh nhm nghim.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

 NÕu a + b + c = 0 thì phơng trình cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = c
a

 NÕu a – b + c = 0 th× phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - c
a

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ Δ≥ 0 thì phơng trình có nghiệm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó

Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm lµ : x2 – S x + p = 0

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều

kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

*) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*) 1

x1
+ 1

x2

=x1+x2

x1x2

= S

p

*) x1

x2+
x2

x1=

x12+x22

x1x2 =

S2−2 p

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*) 1

x1−a
+ 1

x2−a

= x1+x2−2 a
(x1− a)( x2a)=

S 2a
p aS+a2

(Chú ý : các giá trị cđa tham sè rót ra tõ ®iỊu kiƯn cho tríc phải thoả mÃn điều kiện

0 )

d)Tỡm iu kin ca tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho

trớc .Tìm nghiệm thứ 2

Cách gi¶i:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
Δ≥ 0 (hoặc Δ❑

≥ 0 ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận

+) C¸ch 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 ) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình

bậc hai này có Δ < 0 thì kết luận khơng có giá trị nào của tham số để phơng trình
có nghiệm x1 cho trớc.

 Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm

+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình 
(nh cách 2 trình bầy ở trên)

+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào cơng thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm 
đợc nghiệm thứ 2

+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ đó 
tìm đợc nghiệm thứ 2

B . Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 2(m + 1) +2m+10 = 0

Gi¶i.

Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ Nếu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có

2 nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m + 1 -

√

m2−9 x2 = m + 1 +

√

m2−9

+ NÕu Δ❑ = 0 ⇔ m = ± 3

- Víi m =3 th× phơng trình có nghiệm là x1.2 = 4

- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < 0 ⇔ -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

Kết kuận:

Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2

 Víi m < - 3 hc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 -

√

m2−9 x2 = m + 1 +

m29

Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Hớng dẫn

Nu m 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x – 3 = 0 ⇔ x = - 1

* Nếu m – 3 0 ⇔ m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt

số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 m = 2 .phơng trình cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑

a =

2 −3 = - 2

- NÕu Δ❑ > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biÖt

x1,2 = m± 3√m −2
m −3

- NÕu Δ❑ < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = - 1

Với m = 2 phơng trình cã nghiƯm x1 = x2 = -2

Víi m > 2 và m 3 phơng trình có nghiƯm x1,2 = m± 3√m −2

m −3

Víi m < 2 phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + ( √3−√5 )x - √15 = 0

d) x2 –(3 - 2 √7 )x - 6 √7 = 0

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0

Vậy phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = 1 , x2 = c
a=

− 2009

b) 17x2 + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 = -1 ,

x2 = - c

a=−

204

17 = - 12

c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = 0 cã: ac = - √15 < 0 .

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :

x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5

x1x2 = - √15 = (- √3 ) 5

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x1 = - √3 , x2= √5

(hc x1 = √5 , x2 = - √3 )

d ) x2 –(3 - 2

√7 )x - 6 √7 = 0 cã : ac = - 6 √7 < 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có

x1 + x2= 3 - 2√7

x1 x2 = - 6√7= 3(-2√7)

¿{

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2 √7

Bµi 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m lµ tham sè)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0

Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0

Suy ra : x1 = 2

Hc x2 = m+1

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)

* m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1

* m – 3 0 ⇔ m 3 (*)

⇔
x1=−1

¿
x2=2 m− 2

m −3
¿
¿
¿
¿
¿

Bµi 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x2 – 3x – 7 = 0

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = |x1− x2|

C= x 1

1−1
+ 1

x2− 1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là 1

x11

và 1

x21
Giải ;

Phơng trình bâc hai x2 3x 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có

hai nghiệm phân biÖt x1 , x2 .

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| =

√

S2− 4 p=√37

+ C = 1

x1−1+

x2− 1 =

(x1+x2)−2

(x1−1)(x2− 1)=

S −2
p − S +1=−

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + 3 (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã :
S = x 1

1−1
+ 1

x2− 1=−

9 (theo c©u a)

p = 1

(x1−1)(x2− 1)

= 1

p − S +1=−

1
9

VËy x 1

1−1

vµ x 1

2−1

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 + 1

9 X -
1

9 = 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0

Bµi 6 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè)

1. Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0

Gi¶i.

1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:

Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - 6

5 k +
9
5 )

= 5(k2 – 2. 3

5 k +
9
25 +

25 ) = 5(k -
3
5 ) +

5 > 0 với mọi giá trị

của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0

⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2. 1

2 k +
1
4 +

4 ) < 0

⇔ -(k - 1

2 )2 -
7

4 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm

phân biệt trái dấu với mọi k

3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

V× phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viÐt ta cã
x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)

= (k – 1)[(2k - 5

4 )2 +
87
16 ]

Do đó x13 + x23 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k - 5

4 )2 +
87

16 ] > 0

⇔ k – 1 > 0 ( v× (2k - 5

4 )2 +
87

16 > 0 víi mäi k)

⇔ k > 1
VËy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1. Giải phơng trình (1) với m = -5

2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn cã hai nghiƯm x1 , x2 ph©n biƯt víi mäi

3. Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm ca phng trỡnh

(1) nói trong phần 2.)

Giải

1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiƯm lµ x
1 =

1 , x2 = - 9

2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5

= m2 + 2.m. 1

2 +
1
4 +

4 = (m +
1
2 )2 +

4 > 0 với mọi m

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

3. Vì phơng trình có nghiƯm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã:
x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + 1

2 )2 +
19

4 ]

=> |x1− x2| = 2 m+

1
2¿

2
+19

√¿

√

4 = √19 khi m +

2 = 0 ⇔ m =
-1

Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ nhất bằng √19 khi m = - 1

Bµi 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = - 9

2) Chứng minh rằng phơng trình ó cho cú nghim vi mi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt
và nghiệm này gấp ba lần nghiƯm kia.

Gi¶i:

1) Thay m = - 9

2 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc

5x2 - 20 x + 15 = 0

phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3

2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0 ⇔ x = 1

+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình
bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 2 m− 1+5

2(m+2) =

2 m+4

2 m+4=1 x2 =

2 m− 1− 5

2(m+2) =

2(m− 3)

2(m+2)=

m− 3

m+2
Tóm lại phơng trình đã cho ln có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để
nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Trêng hỵp 1 : 3x1 = x2 ⇔ 3 = m−3

m+2 giải ra ta đợc m = -

2 (đã giải ở câu 1)

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= 3. m−3

m+2 ⇔ m + 2 = 3m 9 m =

11
2

(thoả mÃn điều kiƯn m - 2)
KiĨm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :

15x2 20x + 5 = 0 phơng trình nµy cã hai nghiƯm

x1 = 1 , x2 = 5

15 =
1

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .

1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta cã : 4x – 3 = 0 ⇔ x = 3

+ NÕu m 0 .LËp biÖt sè Δ❑

= (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + 4 – m2 + 3m

= - m + 4

Δ❑

< 0 ⇔ - m + 4 < 0 ⇔ m > 4 : (1) v« nghiƯm

Δ❑ = 0 ⇔ - m + 4 = 0 ⇔ m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp

x1 = x2 = - b

❑

a =

m−2

m =

4 − 2
2 =

1
2

Δ❑ > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) cã 2 nghiƯm ph©n biƯt

x1 = m−2 −√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4

m

VËy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm

m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x = 1

0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m−2 −√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4
m

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 3

2. (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ c

a < 0 ⇔

m−3

m < 0

⇔

¿m− 3>0
m<0
¿
¿

¿
m −3<0
¿
m>0
¿
¿
¿
¿
¿
⇔
¿m>3
m<0
¿
¿
¿
m<3
¿
m>0
¿
¿
¿
¿
¿
Trêng hỵp

m>3
m<0
{

không thoả mÃn

Trờng hợp

m<3
m>0
{

⇔ 0 < m < 3

3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

Δ❑ 0 ⇔ 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 ⇔ 4m = -9 m = - 9

- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = - 9

4 thoả m·n

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện Δ❑ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc

m = - 9

4 .Sau đó thay m =
-9

4 vào phơng trình (1) :

- 9

4 x2 –
2(-9

4 - 2)x -
9

4 - 3 = 0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = 0

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > 0 =>

x1=3

¿
x2=

7
9

¿
¿
¿
¿

VËy víi m = - 9

4 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = - 9

4 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2

= 7

9 (Nh phần trên đã làm)

C¸ch 2: Thay m = - 9

4 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 =

2(m−2)

m =

2(−9
4−2)

−9

=34
9

 x2 = 34

9 - x1 = 34

9 - 3 =
7
9

C¸ch 3: Thay m = - 9

4 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 = m−3

m =

−9

4− 3

−9

4
=21

9 => x2 =
21

9 : x1 =

9 : 3 =
7
9

Bài 10: Cho phơng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

Giải.

1.Phơng trình (1) có nghiệm kép ⇔ Δ❑ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0 
⇔ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã Δ = 25 + 8 = 33 > 0 )

 k1 = − 5 −√33

2 ; k2 =

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Vậy có 2 giá trị k1 = 5 −√33

2 hc k2 =

− 5+√33

2 thì phơng trình (1) Có

nghiệm kép.
2.Có 2 cách gi¶i.

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

Δ❑

0 ⇔ k2 + 5k – 2 0 (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0

(Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => Δ❑ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n

+ k2 = - 7

2 => Δ

❑ = 49

4 −
35

2 −2=

49 −70 −8

4 =−

8 kh«ng thoả mÃn

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện 0 .Cách giải là:

T iu kin x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 7

2 (cách tìm nh trên)

Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3

+ Víi k2 = - 7

2 (1) => x2- 7x +
39

2 = 0 (cã Δ = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình

vô nghiệm

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

Bài tập về pt bậc hai

µi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x

1 vµ x2 là hai nghiệm của phơng

trình. Không giải phơng tr×nh, h·y tÝnh:
1) x12 + x22

2) x1 x1 x2 x2













2 2

1 2 1 x 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

x x x x x x

x x 1 x x 1

  

  

.
B

µi 2 : Cho phơng trình: 2x2 5x + 1 = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x

1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

ài 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghim ca phng

trình).
B

ài 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.

1) Chứng minh rằng phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

µi 5 : Cho phơng trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m = 0.

2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mÃn 5x1 + x2

= 4.

Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

1) Giải phơng trình (1).

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.

µi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0.

µi 8 : Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)

1) Giải phơng trình khi m = 1.

2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

Bµi 9. Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m phng trỡnh trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi

mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1

2 m−1 =
1
2 m− 1

pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1< 1

2 m− 1 <0

2 m− 1+1>0
2 m−1<0

¿{

2 m

2 m− 1>0
2 m− 1<0

¿{

=>m<0

VËy Pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

Phần 3: Hệ ph ơng trình:

Bi53: Tỡm giá trị của m để hệ phơng trình ;

{

(m+1) x − y=m +1

x+(m−1 ) y=2

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất
Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị

{

|x|+1= y

2 y −5=x b)

{

x −|y|=2

x

y

4=1

{

|y +1|=x −1

y =3 x −12

Bµi 55: Cho hệ phơng trình :

{

2 x+by= 4

bx ay= 5

a)Giải hệ phơng trình khi a=|b|

b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm :
* (1;-2)

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

*Để hệ có vô số nghiệm

Bài 56:Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:

{

mx − y=2 m

4 x my=6+m

Bài 57: Với giá trị nào của a thì hệ phơng trình :

{

x +ay=1

ax ·+ y=2

a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt
b) Vô nghiệm

Bài 58 :Giải hệ phơng trình sau:

{

x2+xy+ y2=19

x − xy + y=− 1

Bài 59*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm:

{

|x − 1|+|y −2|=1

(x − y)2+m(x − y −1)− x + y=0

Bµi 60 :GiảI hệ phơng trình:

{

2 x

− xy+3 y2=13

x2− 4 xy −2 y2=−6

Bµi 61*: Cho a và b thoả mÃn hệ phơng trình :

{

a

+2 b2− 4 b+3=0

a2+a2b2− 2b=0 .Tính a

2
+b2

Bài 61:Cho hệ phơng trình :

{

(a+1) x − y =3

a . x+ y=a

a) Giải hệ phơng rình khi a=- √2

b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0

Phần 4: Hàm số và đồ thị

¿
¿

¿ Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d)

Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)

b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- √2 và cắt trục hồnh tại điểm có
hồnh độ bằng 2+ √2 .

c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1
Bài 63: Cho hàm số : y=2 x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y=mx− 1 theo m

d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P)
Bài 64 : Cho (P) y=x2 và đờng thẳng (d) y=2 x+m

1.Xác định m để hai đờng đó :

a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm

b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hồnh độ x=-1.
Tìm hồnh độ điểm cịn lại . Tìm toạ độ A và B

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi
m thay đổi.

Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2

a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m

c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 66: Cho (P) y=− x2

a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vng

góc với nhau và tiếp xúc với (P)

b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng √2
Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y=3

4x − 3

a) VÏ (d)

b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)

Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d)

a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d)

b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình |x − 1|=m

Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng :

(d) y=(m− 1) x+2 (d') y=3 x − 1

a) Song song với nhau
b) Cắt nhau

c) Vuông góc với nhau

Bi 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng :

(d1)y=2 x − 5
(d2)y =x+2
(d3)y=a . x −12

đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 ln đi qua một điểm cố định
Bài 72: Cho (P) y=1

2x
2

và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng
(d) đI qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2|

a) Vẽ đồ thị hàn số trên

b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

|x − 1|+|x +2|=m

Bài 74: Cho (P) y=x2 và đờng thẳng (d) y=2x+m

a) VÏ (P)

b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 75: Cho (P) y=−x

4 vµ (d) y=x+m

a) VÏ (P)

b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại
điẻm có tung độ bằng -4

d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vng góc với (d') và đi qua giao điểm của
(d') và (P)

Bµi 76: Cho hµm sè y=x2 (P) và hàm số y=x+m (d)

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng: Tìm m sao
cho khoảng cách giữa hai điểm A và B b»ng 3√2

Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y=-2(x+1)
a) Điểm A có thuộc ( d1 ) ? Vì sao ?

b) Tìm a để hàm số y=a. x2 (P) đi qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d2 ) đi qua A và vng góc với ( d1 )

d) Gäi A vµ B là giao điểm của (P) và ( d2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trơc

tung . Tìm toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC

Bài 78: Cho (P) y=1

4x
2

và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hồnh độ
lầm lợt là -2 và 4

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x∈[− 2; 4] sao cho tam
giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bµi 79: Cho (P) y=x

4 và điểm M (1;-2)

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) ln cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi

c) Gọi xA;xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x2AxB+xAx2B đạt

giá trị nhỏ nhất và tớnh giỏ tr ú

d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ
giác AA'B'B.

*TÝnh S theo m

*Xác định m để S= 4 (8+m2

√

m2+m+2)

Bµi 80: Cho hµm sè y=x2 (P)

a) VÏ (P)

b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng
trình đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=−1

4x
2

và đờng thẳng (d) y=mx− 2m −1

a) VÏ (P)

b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định

Bµi 82: Cho (P) y=−1

4x
2

và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số
góc m.

a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B ∀ m∈ R
b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất

Bµi 83: Cho (P) y=x

4 và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
3

2;1 ) cã hƯ sè gãc lµ m

a) Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiÕp xóc (P)

c) T×m m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 84: Cho (P) y=x

4 và đờng thẳng (d) y=−

x

2+2

a) VÏ (P) vµ (d)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song
với (d)

Bµi 85: Cho (P) y=x2

a) VÏ (P)

b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình
đờng thẳng AB

c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 86: Cho (P) y=2 x2

a) VÏ (P)

b) Trên (P) lấy điểm A có hồnh độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các
giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với
AB

Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình (d1)x + y=m

(d2)mx+ y=1

cắt nhau tại một điểm trên (P) y= 2 x2

Phần 5: Giải toán bằng cách lập ph ơng trình

1. chuyn ng

Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B
và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2
giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng
trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi

Bài 89: Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến
A mất tất cả 4 giờ . Tính vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng ,biết rằng qng sơng AB
dài 30 km và vận tốc dịng nớc là 4 km/h.

Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc
từ B trở về A .Thời gian xi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút . Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h

Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng
và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng
là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km
và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng
ngời đó đã đi.

Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận
tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc 3

4 quãng đờng AB ,

xe con tăng vận tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết
rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.

Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định

. Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc
lớn hơn vận tốc lúc đi 3 Km/h . Tính vận tốc lúc đi , biết rằng thời gian về nhiều hơn
thời gian đi là 1 giờ 30 phút.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A
với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h
. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu Km ?

Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian,
một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu khơng có gì thay
đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB ,
ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km .
Tính quãng đờng AB

Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến
B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính
quãng đờng AB biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút.

Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó
ngợc từ B về A . Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngợc là 40 phút . Tính khoảng
cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca
nô là không đổi .

Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40
Km/h . Lúc đầu ơ tơ đi với vận tốc đó , khi cịn 60 Km nữa thì đợc một nửa qng
đ-ờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên qng đđ-ờng cịn lại . Do đó ơ tô
đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB.

Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I
chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II

dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài qng đờng sông AB biết rằng
hai ca nô đến B cùng một lúc .

Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút ,
một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe ,
biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.

Bài 102: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ , xi dịng 108 Km và ngợc dịng
63 Km. Một lần khác , ca nơ đó cũng chạy trong 7 giờ, xi dịng 81 Km và ngợc
dịng 84 Km . Tính vận tốc dịng nớc chảy và vận tốc riêng ( thực ) của ca nô.

Bài103: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 Km , cả đi và về mất 8 giê
20 phót . TÝnh vËn tèc cđa tÇu khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc dòng nớc lµ 4
Km/h.

Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một
chiếc ca nơ chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến
A 20 Km. Hỏi vận tốc của thuyền , biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đờng dài
120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên
để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa qng đ ờng cịn lại .
Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi cịn cách
B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc
đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính
vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc u.

2. Năng xuất

Bài 108: Hai đội cơng nhân cùng làm một cơng việc thì làm xong trong 4 giờ .
Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong cơng việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian
ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong cơng việc ấy trong
bao lâu?

Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày .
Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đơi giầy do đó chẳng những
đã hồn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đơi giầy .
Tính số đơi giầy phải làm theo kế hoạch.

Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá ,
nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hồn thành kế hoạch sớm 1
tuần mà cịn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định

Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó
đ-ợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc
đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lợng bằng
nhau.

Bài 112: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán . Nếu làm chung trong
4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hồn thành đợc 2

3 mc khoỏn . Nu mi t lm

riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao lâu ?

Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hồn thành xong cơng việc
đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc

khác , tổ thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại trong 10 giờ . Hỏi tổ thứ hai làm một mình
thì sau bao lâu sẽ hồn thành cơng việc.

Bài 114: Hai ngời thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời
thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% cơngviệc . Hỏi mỗi
ngời làm cơng việc đó trong mấy giờ thì xong .

3. ThÓ tÝch

Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể
trong 5 giờ 50 phút . Nếu chảy riêng thì vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ
nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?

Bài 116: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1
giờ 48 phút . Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1
giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?

Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian
quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc 1

3 thÓ tÝch bÓ chøa ,

máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m3 . Do vậy so với

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

Bài 118: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa khơng có nớc thì sau 1 giờ
30 phút sẽ đầy bể . Nếu mở vịi thứ nhất trong 15 phút rồi khố lại và mở vòi thứ hai
chảy tiếp trong 20 phút thỡ s c 1

5 bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ

đầy bể ?

Bài 119: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể chứa không có nớc thì sau 2 giờ 55
phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2

giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu ?

GiảI bài toán bằng cách lập pt

i 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ơ tơ thứ 
nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ
. Tính vận tốc mỗi xe ơ tơ .

ài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 
qng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ
10 km trên qng đờng cịn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính
quãng đờng AB.

ài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng 
một thời gian nh nhau thì lợng nớc của vịi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc.
Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể.

ài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy 
với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến
sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .

ài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B.
Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất
đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

ài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã
trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ
trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số
học sinh nam và số học sinh nữ của tổ.

ài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B,
nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết
vận tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ơ tơ.

µi 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều

di thờm 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật
ban đầu. Tính chu vi của hình chữ nhật ban đầu.

ài 8 : Một ca nơ xi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách nhau 24 km, cùng
lúc đó cũng từ A một bè nứa trơi với vận tốc dịng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay
lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của
ca nơ.

ài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc
đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B tr ớc xe
thứ hai 12 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

ài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm
việc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm
nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu cơng nhân? Biết rằng
năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm
thể tích của mỗi bình

ài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 
10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ

thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km

ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. 
Thời gian đi xi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết
vận tốc ca nơ khơng đổi, vận tốc dịng nớc là 3km/h.

ài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe 
máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc
xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

ài 14 : Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi 
hàng bằng nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong
phịng có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

ài 15 : Hai ngời thợ cùng làm một cơng việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ 
nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% cơng việc. Hỏi mỗi ngời
làm một mình cơng việc đó trong mấy giời thì xong?.

ài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng trịn có đờng kính 20m , xuất phát cùng 
một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau

thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây
lại gặp nhua. Tính vận tốc của mỗi vật.

ài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt
15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem
trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm

ài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ơ tơ. Mỗi xe chở 22 h/s thì cịn thừa
01 h/s. Nếu bớt đi 01 ơtơ thì có thể xếp đều các h/s trên các ơtơ cịn lại. Hỏi lúc đầu
có bao nhiêu ơtơ, bao nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s.

Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự
định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm
thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế
hoạch trớc 1 ngày

Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.

Bài 20: Một ca nơ xi dịng 42km rồi ngợc dịng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ.
Biết vận tốc của dịng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nơ lúc dịng nớc n lặng
Bài 21: Một đội xe cần chun chở 120 tấn hàng. Hơm làm việc có 2 xe phải điều đi
nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?

Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô
thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai

100phút. Tính vận tốc của mỗi ơ tơ biết qng đờng AB dài 240km

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.

Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng
nhau.

Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi
số cây của tổ một.

Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc
chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ơ tơ, biết rằng nếu vận tốc của ô tô
A tăng thêm 5km/h và vận tốc ơ tơ B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần
vận tốc của ô tô B.

Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc m mi hp tỏc
xó ó

bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xÃ thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều
hơn hai lần số thóc hợp tác xÃ thứ hai bán là 280 tấn

Phần 6 : Hình học

A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:

1,Định nghÜa:

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 khơng đổi gọi là
đờng trịn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)

2, Vị trí t ơng đối:

* Của một điểm với một ng trũn :

xét (0 ; R ) và điểm M bất kì

v trớ tng i H thc

M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc

( O ; R) OM = R

M n»m trong ( O ; R ) OM < R

* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :

xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a
)

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a tiÕp xóc ( O ; R ) 1 d = R
a vµ ( O ; R ) kh«ng

giao nhau 0 d > R

* Của hai đờng trịn :

xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ )

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức

Hai đờng tròn cắt nhau 2 R – r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc

nhau :

+ tiÕp xóc ngoµi :
+ tiÕp xóc trong :

d = R + r
d = R – r
Haiđờng tròn khơng

giao nhau :

+hai đờng trịn ở ngồi
nhau :

+đờng trịn lớn đựng
đ-ờng tròn nhỏ :

d > R + r

d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :

a. Định nghĩa :

ng thng d c gi là tiếp tuyến của một đờng trịn nếu nó chỉ có một điểm chung
với đờng đó .

b, TÝnh chÊt :

+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng trịn thì nó vng
góc với bán kính đI qua tiếp điểm .

+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao
điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng trịn là tia
phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến .

c, C¸ch chøng minh :

 Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng trịn đó .
 Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vng góc với bán kính của đờng trịn đó
tại một điểm và điểm ú thuc ng trũn .

4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai
phần bằng nhau .

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :

* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách
đều tâm .

* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng trịn, dây cung lớn
hơn khi và chỉ khi nó gần tõm hn .

II. Gúc trong ng trũn:

1, Các loại góc trong đ ờng tròn :

- Góc ở tâm
- Góc nội tiÕp

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đờng trịn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:

* nh lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

a, Cung lín hơn căng dây lớn hơn

b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

T giỏc ni tip một đờng trịn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng trịn . Đơng
trịn đó đợc gọi là đờng trịn ngoại tiếp tứ giác.

b, C¸ch chøng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một
góc.

B. Bµi tËp:

Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng trịn đờng kính AH cắt các

c¹nh AB, AC lần lợt tại E và F.

a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.

c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm
của BC.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của gúc ct

(O) tại M. Nối OM cắt BC tại I.
1. Chứng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < gãc AMC.

3. Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + góc ACB = góc BMC.

4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?

6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.

7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc víi NC. Chøng minh OE=1
2MB .

8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
OICE.

9. Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp.

10.Tõ C vÏ tiÕp tun cđa (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của
góc BCK.

11. So sánh các góc KMC và KCB víi gãc A.

12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS
cân tại M.

13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC.
14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM.

15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON.

16.Tõ A kỴ AF // BC, F thuéc (O). Chøng minh BF = CA.

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng trịn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC

theo thø tù t¹i D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC.

2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE.
3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI.

4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều.

Bµi 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đờng cao AH của tam giác ABC cắt (O)

tại D , AO kéo dài cắt (O) tại E.

a. Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

b. Gọi M là điểm chình giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh I là trung
điểm của BC.

c. Tính bán kính của (O) biết BC = 24 cm vµ IM = 8 cm.

Bài 5: Trên nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung

AM, MN, NB bằng nhau. Gọi P là giao điểm của AM và BN, H là giao điểm của AN
với BM. CMR:

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

b. PH ┴ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng.
c. ON là tiếp tuyến của đờng trịn đơnngf kính PH.

Bµi 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R. Gọi M là điểm chÝnh gi÷a cđa cung nhá AB.

Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB tại E và F. CMR:
a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng.

b. ME . MC = MF . MD.
c. Tø gi¸c CEFD néi tiÕp.

d. Khi AB=R√3 thì tam giác OAM đều.

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn

tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng trịn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F.
a. Tứ giác AEHF là hình gì?

b. Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp.
c. Chøng minh AE . AB = AF . AC.

d. Chømg minh EF lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (I).

e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax //
EF.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng

vng góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E.
a. Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp.

b. TÝnh gãc AHE.

c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng.
d. Chứng minh AD = AE.

e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào?

Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E

lµ giao ®iĨm cđa AB vµ CD, F lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC. Chøng minh r»ng:
a. EF ┴ AC

b. DA . DF = DC . DE
c. Tø gi¸c BDFE néi tiÕp.

Bài 10: Cho đờng trịn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA

( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I.
a. Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O).

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Bài 11: Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của AB. Vẽ về cùng phía với AB các

tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Các ®iĨm M, N theo thø tù di chun trªn Ax vµ
By sao cho gãc MON = 900. Gäi I lµ trung điểm của MN. Chứng minh rằng :

a. AB là tiếp tuyến của (I ; IO).

b. MO là tia phân gi¸c cđa gãc AMN.

c. MN là tiếp tuyến của đờng trũn ng kớnh AB.

d. Khi các điểm M, N di chuyển trên Ax, By thì tích AM. BN không dổi.

Bài 12: Cho (O;R) và (O; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gäi BC lµ tiÕp tun chung ngoµi

của hai đờng trịn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng
tròn tại A cắt BC tại M.

a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng trịn tâm M.

b. Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên?
c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M.

d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M.

Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xúcngoài tại A. Đờng thẳng Ô cắt (O) và (O) theo thø tù

tạu B và C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc
(O); E thuộc (O’)) . M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :

a. Góc DME là góc vuông.

b. MA l tip tuyn chung của hai đờng tròn.
c. MD . MB = ME . MC.

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M l

trung điểm của BC.

a. Chứng minh tứ giác BCDE néi tiÕp.

b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng .
c. Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) . Chứng minh Ax // DE.

d. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác u.

Bài 15: Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát

tuyến ADE. Gọi H là trung điểm của DE.
a. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.

b. Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA.

c. Gọi I là giao điểm cđa BC vµ DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH.

d. BH cắt (O) tại K . Chứng minh AE // CK.

Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

b. Tø gi¸c MNDC néi tiÕp.

c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động.

Bài 17: Xét nửa đờng trịn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phng b AB cha na

đ-ờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đ đ-ờng
tròn tại D, các tia AD và BC cắt nhau tại E.

a. Chứng minh tam giác ABE cân tại B.

b. Các dây AC và BD cắt nhau tại K. Chứng minh EK AB.
c. Tia BD cắt tia Ax tại F. Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi.

Bi 18: Cho na lc giỏc u ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R).

Hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại T.
a. Chøng minh r»ng OT // AB.

b. Chøng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.
c. Tính chu vi và diƯn tÝch tam gi¸c TBD theo R.

d. TÝnh diƯn tÝch hình giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD theo R.

Bài 19: Hai đờngtrịn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau

tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của
(O) vng góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng
thẳng DC với (O’) là F.

a. Tø gi¸c AEBD là hình gì?

b. Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng.
c. Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp.

d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui.
e. Chứng minh MF=1

2DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’).

Bài 20: Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B v v

đ-ờng tròn tâm O đđ-ờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE
vuông góc với AB, DC cắt (O) tại I.

a.Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao?
b.Chứng minh BI // AD.

c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng vµ MD = MI.

d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’).

Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát

tuyến AMN của đờng trịn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN.
a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng trũn.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt (O)

ti E. Tip tuyn ca ng trũn tại A cắt đờng thẳng BC tại M.
a. Chứng minh MA = MD.

b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng
minh E, O, F thẳng hàng.

Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng

kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. CA là tia phân giác của góc SCB.

b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD
đồng qui.

c. Chøng minh DM lµ phân giác của góc ADE.

d. Chng minh M l tõm đờng trịn nội tiếp tam giác ADE.

Bµi 24: Cho tam giác ABC vuông tại A.

a. Nêu cách dựng (O) qua A và tiếp xúc với BC tại B. Nêu cách dựng (O) qua tiếp
xúc với BC tại C.

b. Hai đờng trịn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào?

Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
c. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’).

Bài 25: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, bán kính OC vng góc với AB. Gọi M

là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N.
a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi.

b. Vẽ CD ┴ AM . Chứng minh các tứ giác MNOB và AODC nội tiếp.
c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D.

Bµi 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm của tam giác ABC, M là

một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a. Xỏc nh v trớ ca M để tứ giác BHCM là hình bình hành.

b. Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba
điểm N. H , E thẳng hàng.

c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất.

Bµi 27: Cho (O,R) và (O,r) tiếp xúc ngoài tại M ( R > r ). Đờng thẳng OO cắt (O) tại

C, ct (O’) tại D . Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A∈(O), B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng
OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của hai đờng trịn ở M cắt AB tại I.

a. Chøng minh c¸c tam giác OIO và AMB là các tam giác vuông.
b. Chøng minh AB=2√R . r .

c. Tia AM cắt (O) tại A, tia BM cắt (O) tại B. Chứng minh ba điểm A, O, B và
A , O , B thẳng hàng và CD2 = BB2 + AA2.

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Bài 28: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng

tròn . Tiếp tuyến Cx của (O) cắt tia AB tại I. Phân giác góc CIA cắt OC tại O’.
a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB.

b. Gäi D,E theo thứ tự là giao điểm thứ hai của CA, CB với (O). Chứng minh D, O,
E thẳng hàng .

c. Tỡm vị trí của C sao cho đờng trịn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC.

Bài 29: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C

và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và

F ( F nằm giữa B và E ).

a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng.
b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.

c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng :
AC. AE = AD . AF = const .

Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vÏ mét

đờng thẳng vng góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB.
Tia AF cắt tia BD tại K. Chứng minh rằng:

a. Gãc MAH = gãc MCB.
b. Tam gi¸c ADE cân.
c. Tứ giác AHBK nội tiếp.

Bài 31. Cho đoạn thẳng AB và C là một điểm nằm giữa A và B. Ng ời ta kẻ trên cùng

mt na mt phng bờ AB hai tia Ax và By vng góc với AB. Trên tia Ax lấy một
điểm I. Tia Cz vuông góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng trịn đờng kính IC cắt
IK tại P. Chứng minh:

a. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp.
b. AI.BK=AC.CB.

c.  APB vu«ng.

d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
vng ABKI lớn nhất.

Bµi 32. Cho (O) vµ một điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát

tuyn AMN vi (O). (B, C, M, N cùng thuộc (O); AM<AN). Gọi E là trung điểm của
dây MN, I là giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O).

a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn.
b. Chứng minh góc AOC=góc BIC

c. Chøng minh BI//MN.

d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất.

Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC

lÊy D sao cho HD=HB. VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD).
a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp.

b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE.
c. Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE.

d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của
đờng trịn nói trên biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB <

cung AC). D là điểm thuộc bán kính OC. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC ở E,
cắt tia BA ở F.

a. Chứng minh tứ giác ADCF néi tiÕp.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

d. TÝnh diƯn tÝch h×nh giíi hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC cña
(O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 35. Cho đờng trịn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyn trờn na

đ-ờng tròn. Ngời ta vẽ đđ-ờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N.
Đờng tròn này cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai C, D.

a. Chøng minh CD//AB.

b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một
điểm K cố định.

c. Chứng minh tích KM.KN cố định.

d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của
M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc.

Bài 36. Cho một đờng trịn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng trịn sao cho C,

D khơng nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm
chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N. Giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là
H, I. Giao điểm của MD với CN là K.

a. CM: NKD và MAK cân.

b. CM: t giỏc MCKH ni tip đợc. Suy ra KH//AD.
c. So sánh các góc CAK với góc DAK.

d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND.

Bµi 37. Cho (O1) vµ (O2) tiÕp xóc ngoµi với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax.

Mt đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ cỏc

ng kớnh BO1D, CO2E.

a. Chứng minh M là trung điểm BC.
b. Chøng minh O1MO2 vu«ng.

c. Chøng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng.

d. Gi I l trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác
IO1O2 tiếp xúc với d.

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

A.Lý thuyết:
 I. Một số kiến thức cơ bản về hình học khơng gian:
1. Các vị trí t ơng đối:

a.Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng :

* a // b  a , b  (P), a và b không có điểm chung.
* a cắt b  a , b  (P), a vµ b cã mét ®iĨm chung.

* a và b chéo nhau  a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.
 b. Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng a và mặt phẳng ( P):

* a // (P)  a và (P) khơng có điểm chung.
* a cắt (P)  a và (P) có một điểm chung.

* a  (P)  a và (P) có vơ số điểm chung.
c. Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):

* (P) // (Q)  không có điểm chung.

* (P) (Q) = a  có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt
phẳng).

* (P)  (Q).

2. Mét sè c¸ch chøng minh:

a. Chøng minh hai đ ờng thẳng song song :

C1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng.

a và b không có điểm chung.
C2: a // c vµ b // c.

C3 :

(P) //(Q)
(P)∩(R)=a
(Q)∩(R)=b

}

⇒a // b

b.Chứng minh đ ờng thẳng song song với mặt phẳng :

a // b

b(P)

}

a // (P)

c.Chứng minh hai mặt phẳng song song:

a , b(Q),aXb

a // (P), b //(P)

}

(P)// (Q)

d.Chứng minh hai đ ờng thẳng vuông góc:

a(P)

b(P)

}

a b

e.Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:

a b , a ⊥ c

bXc , b⊂(P), c⊂(P)

}

⇒ a ⊥(P)

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

a(P)

a(Q)

}

(P)(Q)

II. Một số hình không gian:
1. Hình lăng trụ :

Sxq = P . h với P: chu vi đáy

V = B . h h : chiều cao
B: diện tích đáy

1. H×nh trơ:

Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy

V = B.h = R2.h h: chiỊu cao.

2. H×nh chãp :

Sxq=1
2P . d

V =1

3B . h

với d: đờng cao mặt bên

2. H×nh nãn :

Sxq=1

2P . d=πR . l

V =1

3B . h=
1

3πR

. h

d: đờng sinh; h: chiều cao.
3. Hình chóp cụt :

Sxq=1

2(P+ P '). d

V =1

3(B+B '+√B. B').h

3. H×nh nãn cơt :

Sxq=12(P+P '). d=π(R+r)d

V =1

3(B+ B '+√B. B').h=

π . h

3 (R

+r2+R . r)

4. H×nh cầu:

S=4 R2
V =4

3R

B. Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABCD). Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của SA, SD. Tứ giác MNCB là hình gì?

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G, H theo thứ tự là trung điểm của AD, CD. LÊy ®iĨm
E AB, F  BC sao cho: AE=1

4AB; CF=
1
4CB .

a. Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH.

b. Gọi I là giao điểm của EG và (BCD). CMR: F, H, I thẳng hàng.

Bi 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của mp(Q) mà (P) và
(Q) cắt nhau thì giao tuyến của chúng song song với a.

Bµi 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Một mặt phẳng thứ ba
(R) cắt (P) , (Q) theo thứ tự là các giao tuyến a và b. CMR:

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iĨm D  SA sao cho SD=1

4SA, E∈ AB sao cho
BE=1

4BA . Gäi M lµ trung ®iĨm cđa SC, I lµ giao ®iĨm cđa DM vµ AC, N là giao

điểm của IE và BC. CMR:
a. SB // (IDE).

b. N là trung điểm của BC.

Bi 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Một đờng thẳng d  (ABC) tại
A. Trên d lấy điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh BC  SH.

b. Kẻ AI là đờng cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC).

c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cđa

h×nh chãp S . ABC.

Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I  AM sao cho IA = 2.IM .
Qua I vẽ đờng thẳng d vng góc với mp(ABC), trên d lấy điểm S bất kỳ.

a. Chøng minh SA = SB = SC.

b. Gọi IH là đờng cao của tam giác SIM. CMR: IH  (SBC).

c. TÝnh Sxq vµ V cđa h×nh chãp S . ABC biÕt AB=3√3 cm ; SA = 5 cm.

Bµi 8: Cho tø diƯn S . ABC. §iĨm E  SA, F  AB sao cho SE=1

3SA ;BF=
1

3BA .

Gäi G, H theo thø tự là trung điểm của SC, BC. CMR:
a. EF // GH.

b. EG, FH, AC ng qui.

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một đ ờng thẳng d
vuông góc vói mp(ABC) tại B, trên d lấy điểm S sao cho SA = 10 cm.

a. CMR: SB  AC.
b. TÝnh SB, BC, SC.

c. CM: Tam giác SAC vuông.
d. Tính Stp , V.

Bài 10: Cho hình vng ABCD cạnh 3 cm. Trên đờng thẳng d vuông góc với
mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = 4 cm. CMR:

a. (SAB)  (SAD).
b. SC BD.

c. Các tam giác SBC và SDC vuông.
d. Tính Sxq , V của hình chóp S . ABCD.

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đờng cao AA’ =
5 cm, các đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm.

a. TÝnh AB?

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

c. TÝnh Sxq, V cđa h×nh chãp B’ . ABCD.

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 450 .

TÝnh Sxq vµ V.

Bµi 13: Hình hộp chữ nhật ABCD . ABCD có AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13
cm. Tính Sxq và V ?

Bài 14: Cho hình hộp chữ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ =
25 cm.

a. CM: C¸c tø gi¸c ACCA, BDDB là hình chữ nhật.
b. CM: AC2 = AB2 + AD2 + AA’2.

c. TÝnh Stp , V ?

Bµi 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD . ABCDcó AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300.

TÝnh Stp vµ V ?

Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm .
a. Tính đờng chộo BD.

b. Tính Stp và V của hình chóp A . ABD.

c. Tính Stp và V của hình chóp A.BCD.

Bi 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đờng
cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3

= 1 lÝt ).

Bài 18: Một mặt phẳng qua trục OO của một hình trụ, phần mặt phẳng bị giới hạn bởi
hình trụ ( còn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhËt cã diƯn tÝch b»ng 72 cm2. TÝnh

bán kính đáy, đờng cao của hình trụ biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa chiều cao.
Bài 19: Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chiều dài 4 cm,
chiều rộng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó.

Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm.
a. Tính Sxq của hình nón.

b. TÝnh V của hình nón.

c. Gọi CD là dây cung của (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD  (AOB).

Bài 21: Cho tam giác ABC vng tại A quay một vịng quanh AB. Tính bán kính đáy,
đờng cao của hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6

cm, gãc ACB = 600.

Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính
Sxq và V .

Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm.
a. Tính Sxq của hình nón cụt.

b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt đó.

Bµi 24: Một hình thang ABCD có góc A và góc D =900, AB = BC = a , gãc C = 600.

Tính Stp của hình tạo thành khi quay hình thang vuông một vòng xung quanh:

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Bài120: Cho hai đờng trịn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài tại C . Kẻ cỏc ng

kính COA và COB. Qua trung điểm M của AB , dựng DE AB.

a) Tứ giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?

b) Ni D vi C cắt đờng tròn tâm O’ tại F . CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng

c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O’ tại G . CMR EC đi qua G

d) *Xét vị trí của MF đối với đờng trịn tâm O’ , vị trí của AE với đờng trịn ngoại

tiÕp tø gi¸c MCFE

Bài 121: Cho nửa đờng trịn đờng kính COD = 2R . Dựng Cx , Dy vng góc với
CD . Từ điểm E bất kì trên nửa đờng trịn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx tại P
, cắt Dy tại Q.

a) Chứng minh  POQ vuông ;  POQ đồng dạng với  CED
b) Tính tích CP.DQ theo R

c) Khi PC= R

2 . CMR

ΔPOQ

ΔCED=

25
16

d) Tính thể tích của hình giới hạn bởi nửa đờng trịn tâm O và hình thang vuông
CPQD khi chúng cùng quay theo một chiều và trọn một vòng quanh CD

Bài 122: Cho đờng trịn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vng góc
với nhau. Lấy điểm E bất kì trên OA , nối CE cắt đờng trịn tại F . Qua F dựng tiếp
tuyến Fx với đờng trịn , qua E dựng Ey vng góc với OA . Gọi I là giao điểm của Fx
và Ey .

a) Chứng minh I,F,E,O cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Tứ giác CEIO là hình gì ?

c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đờng nào ?

Bài 123: Cho đờng tròn tâm O và một điểm A trên đờng tròn . Qua A dựng tiếp
tuyến Ax . Trên Ax lấy một điểm Q bất kì , dựng tiếp tuyến QB .

a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc

b) Gọi E là trung điểm của QO , tìm quỹ tích của E khi Q chuyển động trên Ax.
c) Hạ BK  Ax , BK cắt QO tại H . CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy ra quỹ

tÝch cđa ®iĨm H

Bài 124: Cho  ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O . Các đờng cao AD ,
BK cắt nhau tại H , BK kéo dài cắt đờng trong tại F . Vẽ đờng kính BOE .

a) Tø giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?

b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI = BH

2 và H ; F đối xứng nhau qua AC

Bµi 125: Cho (O,R) vµ (O’,R’ ) (víi R>R’ ) tiếp xúc trong tại A . Đờng nối tâm

ct ng tròn O’ và đờng tròn O tại B và C . Qua trung điểm P của BC dựng dây MN

vuông góc với BC . Nối A với M cắt đờng tròn O’ tại E .

a) So sánh  AMO với  NMC ( - đọc là góc)
b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng và O’P = R ; OP = R’

c) Xét vị trí của PE với đờng trịn tâm O’

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

a) Tứ giác ODBC là hình gì ? Tại sao ?
b) CMR OC  AD ; OD  AC

c) CMR trực tâm của tam giác CDB nằm trên đờng tròn tâm B

Bài 127: Cho đờng tròn tâm O và một đờng thẳng d cắt đờng trịn đó tại hai điểm
cố định A và B . Từ một điểm M bất kì trên đờng thẳng d nằm ngoài đoạn AB ngời ta
kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn là MP và MQ ( P, Q là các tiếp điểm ) .

a) TÝnh c¸c gãc cđa ΔMPQ biÕt r»ng gãc gi÷a hai tiÕp tuyÕn MP vµ MQ lµ 45

❑0 .

b) Gäi I là trung điểm AB . CMR 5 điểm M , P , Q , O , I cïng n»m trên một đ ờng
tròn .

c) Tỡm qu tớch tõm ng tròn ngoại tiếp  MPQ khi M chạy trên d

Bài 128: Cho  ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác trong của góc A cắt
cạnh BC tại E và cắt đờng tròn tại M .

a) CMR OM  BC

b) Dựng tia phân giác ngồi Ax của góc A . CMR Ax đi qua một điểm cố định
c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F . CMR FB . EC = FC . EB

Bµi 129: Cho  ABC ( AB = AC ,  A < 900 ), mét cung trßn BC n»m trong

ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đ ờng
vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi P là giao
điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH.

a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác  HMK

c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ  BC

Bµi 130: Cho  ABC ( AC > AB ; B ^A C > 900 ) I , K theo thứ tự là các trung ®iĨm

của AB , AC.Các đờng trịn đờng kính AB , AC cắt nhau tại điểm thứ hai D ; tia BA
cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.

a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy

Bài 131: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R√2 , một đờng thẳng (d)
quay quanh A cắt (O) tại M , N ; gọi I là trung điểm của đoạn MN .

a) CMR OI  MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm
giới hạn B , C thuộc (O)

b) Tính theo R độ dài AB , AC . Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vng
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC

cña (O)

Bài132: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R , C là trung điểm của cung AB .
Trên cung AC lấy điểm F bất kì . Trên dây BF lấy điểm E sao cho BE = AF.

a)  AFC vµ  BEC cã quan hƯ víi nhau nh thÕ nµo ? Tại sao ?
b) CMR FEC vuông cân

c) Gi D là giao điểm của đờng thẳng AC với tiếp tuyến tại B của nửa đờng tròn .
CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc

Bài133: Cho đờng trịn (O;R) và hai đờng kính AB , CD vng góc với nhau . E là
một điểm bất kì trên cung nhỏ BD ( E ≠ B ; E ≠ D ) EC cắt AB ở M , EA cắt CD ở N.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

c) Gi¶ sư AM=3MB . TÝnh tØ sè

CN
ND

¿❑

❑

d) Bài 134: Một điểm M nằm trên đờng tròn tâm (O) đờng kính AB . Gọi H , I lần
lợt là hai điểm chính giữa các cungAM , MB ; gọi Q là trung điểm của dây MB ,
K là giao điểm của AM , HI.

a) Tính độ lớn góc HKM

b) Vẽ IP  AM tại P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O)

c) Dựng hình bình hành APQR . Tìm tập hợp các điểm R khi M di động trên nửa
đ-ờng tròn (O) đđ-ờng kính AB

Bài 135: Gọi O là trung điểm cạnh BC của  ABC đều . Vẽ góc xOy =600 sao cho

tia Ox, Oy c¾t cạnh AB , AC lần lợt tại M, N .

a) CMR  OBM đồng dạng  NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN .

b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các gãc BMN, MNC .

c) CMR đờng thẳng MN ln tiếp xúc với một đờng trịn cố định , khi góc xOy quay
xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC
Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đờng trịn tâm (O) đờng kính AB=2R (

M ≠ A , B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đờng trịn đó . Đờng Mz cắt Ax ,
By lần lợt tại N và P . Đờng thẳng AM cắt By tại C và đờng thẳng BM cắt Ax tại D .
Chứng minh :

a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn và NP = AN + BP
b) N và P lần lợt là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC
c) AD.BC = 4R2

d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ nhất

Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tâm (O) và I là điểm chính giữa
cung AB (cung AB khơng chứa C và D ). Dây ID , IC cắt AB lần lợt tại M và N .

a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp trong đờng trịn

b) IC vµ AD cắt nhau tại E ; ID và BC cắt nhau t¹i F . CMR EF // AB

Bài 138: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B ( B ≠ C
) và vẽ đờng trịn tâm (O’) đờng kính BC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Qua M

kẻ dây cung DE vng góc với AB , DC cắt đờng tròn (O’) tại I .

a) Tø giác ADBE là hình gì ? Tại sao ?
b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng

c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC

Bài 139: Cho đờng trịn tâm (O) đờng kính AB = 2R và một điểm M di động trên
một nửa đờng tròn . Ngời ta vẽ một đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) tại
M và tiếp xúc với đờng kính AB tại N . Đờng trịn này cắt MA , MB lần lợt tại các
điểm thứ hai C , D

a) Chøng minh : CD // AB .

b) Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN luôn đi qua
một điểm K cố định.

c) CMR : KM.KN không đổi

Bài 140: Cho một đờng trịn đờng kính AB , các điểm C , D ở trên đờng trịn sao
cho C , D khơng nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC. Gọi
các điểm chính giữa các cung AC , AD lần lợt là M , N ; giao điểm của MN với AC ,
AD lần lợt là H , I ; giao điểm của MD với CN là K

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc . Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK

Bài 141: Cho ba điểm A , B , C trên một đờng thẳng theo thứ tự ấy và đờng thẳng
(d) vng góc với AC tại A . Vẽ đờng trịn đờng kính BC và trên đó lấy điểm M bất
kì . Tia CM cắt đờng thẳng d tại D ; tia AM cắt đờng tròn tại điểm thứ hai N ; tia DB
cắt đờng tròn tại điểm thứ hai P.

a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc

b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí của M
c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?

Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đờng trịn và P là điểm chính giữa của
cung AB không chứa C và D . Hai dây PC và PD lần lợt cắt dây AB tại E và F . Các
dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I ; các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K . CMR:

a) Góc CID bằng góc CKD
b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
c) IK // AB

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA t¹i A

Bài 145: Cho (O;R) trên đó có một dây AB = R √2 cố định và một điểm M di
động trên cung lớn AB sao cho tam giác MAB có ba góc nhọn . Gọi H là trực tâm của
tam giác MAB ; P , Q lần lợt là các giao điểm thứ hai của các đờng thẳng AH , BH với
đờng tròn (O) ; S là giao điểm của các đờng thẳng PB , QA.

a) CMR : PQ là đờng kính của đờng trịn (O)
b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ?

c) Chứng minh độ dài SH không đổi

Bài 146: Cho đờng trịn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm
P sao cho AP > R . Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm ) .

a) CMR : BM // OP

b) Đờngthẳng vuông gócvới AB tại O cắt tia BM tại N . Tứ giác OBNP là hình
gì ? Tại sao ?

c) Gọi K là giao điểm của AN với OP ; I là giao điểm của ON với PM ; J là giao
điểm của PN với OM . CMR : K , I , J thẳng hàng

d) Xỏc nh vị trí của P sao cho K nằm trên đờng tròn (O)

Bài 147: Cho đờng trịn (O;R) , hai đờng kính AB và CD vng góc nhau . Trong
đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng trịn (O) tại
điểm thứ hai N . Đờng thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đờng
tròn (O) ở điểm P .

a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc
b) Tứ giác CMPO là hình gì ? Tại sao ?
c) CMR : CM.CN không đổi

d) CMR : khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđờng thẳng cố định
Bài 148: Cho hai đờng tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Các đờng thẳng
AO , AO’ cắt đờng tròn (O) lần lợt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đờng tròn (O’) lần
lợt tại các điểm thứ hai E , F .

a) CMR: B , F , C thẳng hàng
b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc

c) Chứng minh A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE

d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đờng tròn (O) , (O’)

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

đ-ờng trung trực của đoạn AB tại I . Đđ-ờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đđ-ờng thẳng d tại C
và D ( D nằm trong góc BOM ).

a) CMR các tia OC , OD là các tia phân gi¸c cđa c¸c gãc AOM , BOM.
b) CMR : CA và DB vuông góc với AB

c) CMR : Δ AMB đồng dạng ΔCOD

d) CMR : AC.BD = R2

Bài 150: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB và một điểm M bất kỳ trên đờng
trịn . Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lợt là H , I . Cãc dây AM và
HI cắt nhau tại K .

a) Chứng minh góc HKM có độ lớn khơng đổi

b) H¹ ΙΡ⊥ ΑΜ . Chøng minh IP lµ tiÕp tun cđa (O;R)

c) Gọi Q là trung điểm của dây MB . Vẽ hình bình hành APQS . Chứng minh S
thuộc đờng trịn (O;R)

d) CMR kkhi M di động thì thì đờng thẳng HI ln ln tiếp xúc với một đờng
trịn cố định.

Bài 151: Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB và hai điểm C , D thuộc nửa đờng
tròn sao cho cung AC < 900 và

C ^O D=900 . Gọi M là một điểm trên nửa đờng trịn
sao cho C là điểm chính chính giữa cung AM . Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt
tại E và F .

a) Tứ giác OEMF là hình gì ? Tại sao ?

b) CMR : D là điểm chính giữa của cung MB.

c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt các tia OC , OD lần
lợt tại I , K . CMR các tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc.

Bài 152: Cho Δ ABC (AB = AC ) , một cung tròn BC nằm bên trong tam giác ABC
và tiếp xúc với AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với
BC . Trên cung BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vng góc MI , MH , MK xuống
các cạnh tơng ứng BC , CA , AB . Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của
CM , IH là Q.

a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc .
b) CMR : MI2 = MH . MK

c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc . Suy ra PQ MI
d) CMR nếu KI = KB thì IH = IC

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

Trêng THCS §ång Têng

Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10

THPT

NghÖ an Năm học 2009 - 2010

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Môn thi : Toán

Thi gian: 120 phỳt (khụng k thi gian giao )

Câu I (3,0 điểm). Cho biểu thức A =

x x 1 x 1

x 1 x 1

 



  .

1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

9
4.

3) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.

C©u II (2,5 ®iĨm). Cho phương trình bËc hai, víi tham sè m : 2x2 – (m + 3)x + m =

0 (1)

1) Gi¶i phương trình (1) khi m = 2.

2) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả

m·n

x1 + x2 =

1 2

5 x x

2 .

3) Gäi x1, x2 là hai nghiệm của phng trình (1). Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu

thøc

P = x x1 2 .

C©u III (1,5 điểm). Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài

45m. Tớnh din tớch thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng
3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.

Câu IV (3,0 điểm). Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một

đường kính thay đổi khơng trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt

các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F.

1) Chøng minh r»ng BE.BF = 4R2.

2) Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp được đường trßn.

3) Gọi I là tâm đường tròn tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng
tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Sở Giáo dục và đào tạo

Hµ Nội Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPTNăm học: 2009 - 2010

Môn thi: Toán

Ngày thi: 24 tháng 6 năm 2009
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thøc

1 1

4 2 2

x
A

x x x

= + +

- - + , víi x≥0; x≠4

1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25.
3) Tìm giá tr ca x

1
3

A

=-.

Bài II (2,5 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:

Hai tổ sản suất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ
thứ nhất may đợc nhiều hơn tổ thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày
-c bao nhiờu chic ỏo?

Bài III (1,0 điểm)

Cho phng trỡnh (ẩn x): x2- 2(m+1)x m+ 2+ =2 0
1) Giải phơng trình đã cho với m=1.

2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả

m·n hÖ thøc:

2 2
1 2 10

x +x = .

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đờng tròn (O; R) và A là một điểm nằm bên ngồi đờng trịn. Kẻ các tiếp
tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp im).

1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và
OE.OA=R2.

3) Trờn cung nh BC của đờng trịn (O; R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C).
Tiếp tuyến tại K của đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P
và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi khi K chuyển động
trên cung nhỏ BC.

4) Đờng thẳng qua O, vng góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ
tự tại các điểm M, N. Chứng minh PM+QN ≥ MN.

Bài V (0,5 điểm)

Giải phơng trình:

(

)

2 1 2 1 1 3 2

2 2 1

4 4 2

x - + x + + =x x + +x x+

---HÕt---L

u ý : Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:...Số báo
danh...

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Chữ ký giám thị số 1:... Chữ ký giám thị số 2: ...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi TỐN ( chung cho tất cả các thí
sinh)

Thời gian 120 phút (không kể thời gian
giao đề)

Bài 1 (2.0 điểm )

1. Tìm x để mỗi biểu thức sau có nghĩa

a) x b)

1
1

x 
2. Trục căn thức ở mẫu

2 b)

1
3 1

3. Giải hệ phương trình :

1 0
3
x

x y






 
 
Bài 2 (3.0 điểm )

Cho hàm số y = x2 và y = x + 2

a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép

tính

c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 3 (1.0 điểm )

Cho phương trình x2 – 2mx + m 2 – m + 3 có hai nghiệm x
1 ; x 2

(với m là tham số ) .Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4 (4.0 điểm )

Cho đường trịn tâm (O) ,đường kính AC .Vẽ dây BD vng góc với AC

tại K ( K nằm giữa A và O).Lấy điểm E trên cung nhỏ CD ( E không trùng C
và D), AE cắt BD tại H.

a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AD2 = AH . AE.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi của hình trịn (O).

d) Cho góc BCD bằng α . Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A ,
vẽ tam giác MBC cân tại M .Tính góc MBC theo α để M thuộc

đường tròn (O).

---Hết---SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

KHÁNH HỊA NĂM HỌC 2009 – 2010

Mơn: TỐN

ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 19.6.2009

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2.00 điểm) (Khơng dùng máy tính cầm tay)

a) Cho biết A  5 15 và A  5 15. Hãy so sánh: A + B và tích A.B

b) Giải hệ phương trình:

2x 1

3x 2 12

y
y

 




 



Bài 2: (2.50 điểm)

Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2 ( m là tham số,

m  0)

a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng toạ độ Õy.

b) Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d).

c) Gọi A(xA; yA), B(xB;yB) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). Tìm

các giá trị của m sao cho: yA + yB = 2(xA + xB) – 1.

Bài 3: (1.50 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình
phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều
rộng hình chữ nhật.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Cho đường trịn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA,
MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và
B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của C trên AB, AM, BM.

a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: C E CBAD  .

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng
minh: IK//AB.

d) Xác nhận vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ nhất. Tính

giá trị nhỏ nhất đó khi OM = 2R.

HẾT

---Đề thi này có 01 trang

Giám thị khơng giải thích gì thêm.

SBD: ………Phịng:
………..

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO

TẠO TỈNH BÌNH ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
NĂM HỌC 2009-2010

Mơn thi: TỐN ( hệ số 1 – mơn Tốn chung)
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho

2 1 1

1 1

x x x

P

x

x x x x

  

  



  

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

b. Chứng minh P <1/3 với và x#1

Bài 2: (2,0 điểm)

Cho phương trình:

(1)

a. Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có 2 nghiệm phân biệt.

b. Gọi là 2 nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

c. Tìm hệ thức giữa và không phụ thuộc vào m.

Câu 3: (2,5 điểm)

Hai vịi nước cùng chảy vào 1 cái bể khơng có nước trong 6 giờ thì đầy bể.
Nếu để riêng vịi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vịi thứ hai
chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2/5 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vịi chảy
đầy bể trong bao lâu?

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là
1 điểm trên đoạn CI (M khác C và I). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD tại P và cắt DC tại
Q.

a. Chứng minh DM . AI = MP . IB
b. Tính tỉ số

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
QUẢNG TRỊ

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Bài 1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức A = √9 x −27+√x −3 −1

2√4 x −12 với x > 3

a/ Rút gọn biểu thức A.

b/ Tìm x sao cho A có giá trị bằng 7.

Bài 2 (1,5 điểm)

Cho hàm số y = ax + b.

Tìm a, b biết đồ thị của hàm số đi qua điểm (2, -1) và cắt trục hồnh tại
điểm có hồnh độ bằng 32 .

Bài 3 (1,5 điểm).

Rút gọn biểu thức: P =

(

√a− 1−

1
√a

)

(

√a+1

√a − 2−

√a+2

√a −1

)

với a > 0, a 1 , a≠ 4 .

Bài 4 (2 điểm).

Cho phương trình bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)

a/ Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với
mọi giá trị của m.

b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1).

Tìm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2.

Bài 5 (3,5 điểm).

Cho tam giác ABC có góc A bằng 600, các góc B, C nhọn. vẽ các

đường cao BD và CE của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của BD và CE.
a/ Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp.

b/ Chứng minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.
c/ Tính tỉ số DEBC .

d/ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh OA
vng góc với DE.

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Sở GD & ĐT Bến Tre KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Đề khảo sát Mơn: Tốn

Thời gian : 120 phút

Baøi 1:(4 điểm)

1) Cho hệ phương trình :

¿
−2 mx+ y =5

mx+3 y=1

¿{

a) Giải hệ phương trình khi m = 1 .
b) Tìm m để x – y = 2 .

2)Tính

20 3 45 125

B   

3)Cho biĨu thøc :

1 1 1 1 1

A= :

1- x 1 x 1 x 1 x 1 x

   

  

   

   

   

a) Rút gọn biểu thức A .

b) Tính giá trị cđa A khi x = 7 4 3

Bài 2:(4 điểm)

Cho phương trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0

a) Giải phương trình khi m= 0

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11 .

c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 khụng ph thuc vo m .

d) Với giá trị nào của m thì phng trỡnh cú 2 nghim x1 vµ x2 cïng dấu .

Bài 3: (1 điểm)

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ơ tơ thứ nhất mỗi
giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính
vận tốc mỗi xe ơ tơ

Bài 4 :(3 điểm)

Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và y= 2x+3 có đồ thị là (D)

a) Vẽ (P) và (D) trên cùng hệ trục toạ độ vng góc.Xác định toạ độ giao điểm
của (P) và (D)

b) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm A và B có hồnh độ lần
lượt l -2 v 1

Baứi 5: (8 ủieồm)

Cho hai đng tròn (O1) và (O2) có bán kính bằng R cắt nhau tại A và B , qua A vẽ

cát tuyến cắt hai ng tròn (O1) và (O2) thứ tự tại E và F , ng thẳng EC , DF cắt

nhau tại P .

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

2) Một cát tuyến qua A và vuông góc với AB cắt (O1) và (O2) lần lt tại C,D .

Chng minh t giác BEPF , BCPD nội tiếp và BP vng góc với EF .
3) Tính diện tích phần giao nhau của hai đờng tròn khi AB = R .

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG
TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH 
Câu 1. (1 điểm)

Hăy rút gọn biểu thức:

A =

a a 1 a a 1

a a a a

 



  (với a > 0, a ¹ 1)

Câu 2. (2 điểm)

Cho hàm số bậc nhất y =



1 3



x – 1

a) Hàm số đă cho là đồng biến hay nghịch biến trên R? V́ sao?
b) Tính giá trị của y khi x = 1 3.

Câu 3. (3 điểm)

Cho phương trình bậc hai:
x2 – 4x + m + 1 = 0

a) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Giải phương trình khi m = 0.

Câu 4. (3 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lấy điểm M, trên
cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN và CM = CP.
Chứng minh rằng:

a) O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.

Câu 5. (1 điểm)

Cho một tam giác có số đo ba cạnh là x, y, z nguyên thỏa măn:
2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63></div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MƠN TỐN CHUNG
TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN BÌNH ĐỊNH

Câu 1.(1 điểm)

Rút gọn:

A =

a a 1 a a 1

a a a a

 



  (a > 0, a ¹ 1)

 





 





3 3

a 1 a 1 a a 1 a a 1

a a

a a 1 a a 1

     

  

 

a a 1 a a 1 2 a 2

a a

    

 

(a > 0, a ¹ 1)

Câu 2.(2 điểm)

a) Hàm số y =



1 3



x – 1 đồng biến trên R và có hệ số a =



1 3



< 0.
b) Khi x = 1 3 thì y =



1 3 1

 

 3



1= 1 – 3 – 1 = - 3.

Câu 3.(3 điểm)

a) Phương trình x2 – 4x + m + 1 = 0

Ta có biệt số D’ = 4 – (m + 1) = 3 – m.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:
D’ > 0 Û 3 – m > 0 Û m < 3.

b) Khi m= 0 thì phương trình đă cho trở thành: x2 – 4x + 1 = 0

D’ = 4 – 1 = 3 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = 2 - 3, x2 = 2 + 3.

Câu 4.(3 điểm) A

B M C

1
2

2
1

1 2

1 1

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

a) Chứng minh O là tâm đường trịn ngoại tiếp DMNP

Ta có: O là giao điểm ba đường phân giác của DABC nên từ điều kiện giả
thiết suy ra:

DOBM = DOMN (c.g.c) OM = ON (1)

DOCM = DOCP (c.g.c)  OM = OP (2)

Từ (1), (2) suy ra OM = ON = OP.

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp DMNP.

b) Chứng minh tứ giác ANOP nội tiếp

Ta có DOBM = DOMN  M N 11, DOCM = DOCP  P M2 2

Mặt khác P P 180 M M12 0 1 2 (kề bù)  P M1 1  P N11

V́ N N12 = 1800 nên P N12= 1800.

Vây tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn.

Câu 5. (1 điểm)

Chứng minh tam giác đều

Ta có: 2x2 + 3y2 + 2z2 – 4xy + 2xz – 20 = 0 (1)

V́ x, y, z Ỵ N* nên từ (1) suy ra y là số chẵn.

Đặt y = 2k (k Ỵ N*), thay vào (1):

2x2 + 12k2 + 2z2 – 8xk + 2xz – 20 = 0 Û x2 + 6k2 + z2 – 4xk + xz – 10 = 0

Û x2 – x(4k – z) + (6k2 + z2 – 10) = 0 (2)

Xem (2) là phương trình bậc hai theo ẩn x.

Ta có: D = (4k – z)2 – 4(6k2 + z2 – 10) = 16k2 – 8kz + z2 – 24k2 – 4z2 + 40 =

= - 8k2 – 8kz – 3z2 + 40

Nếu k ³ 2, thì do z ³ 1 suy ra D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm.
Do đó k = 1, suy ra y = 2.

Thay k = 1 vào biệt thức D:

D = - 8 – 8z – 3z2 + 40 = - 3z2 – 8z + 32

Nếu z ³ 3 thì D < 0: phương trình (2) vơ nghiệm.
Do đó z = 1, hoặc 2.

Nêu z = 1 thì D = - 3 – 8 + 32 = 21: khơng chính phương, suy ra phương
trình (2) khơng có nghiệm ngun.

Do đó z = 2.

Thay z = 2, k = 1 vào phương trình (2):

x2 – 2x + (6 + 4 – 10) = 0 Û x2 – 2x = 0 Û x(x – 2) = 0 Û x = 2 (x > 0)

Suy ra x = y = z = 2.

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Phòng GD - ĐT Trực

Ninh Đề thi thử tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010Môn Toán

( Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: Trắc nghiƯm (2 ®iĨm) Hãy viết vào bài làm của mình phương án trả lời

mà em cho là đúng ,

( Chỉ cần viết chữ cái ứng với câu trả lời đó) .

Câu 1. Giá trị của biểu thức (3 5)2 bằng

A. 3 5 B. 5 3 C. 2 D. 3 5

Câu 2. Đường thẳng y = mx + 2 song song với đường thẳng y = 3x  2 khi

A. m =  2 B. m = 2 C. m = 3 D. m =  3

Câu 3. x 3 7  khi x bằng

A. 10 B. 52 C. 46 D. 14

Câu 4. Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2 là

A. ( 2;  8) B. (3; 12) C. ( 1;  2) D. (3; 18)

Câu 5. Đường thẳng y = x  2 cắt trục hoành tại điểm có toạ độ là

A. (2; 0) B. (0; 2) C. (0;  2) D. ( 2; 0)

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Ta có

AC
sin B

AB


AH
sin B

AB


AB
sin B

BC


BH
sin B

AB


Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Diện tích xung

quanh của hình trụ đó bằng

A. r2h B. 2r2h C. 2rh D. rh

Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC là đường kính của đường trịn (O), điểm A nằm

trên đường thẳng BC, AM là tiếp tuyến của (O) tại M và góc MBC = 650.

Số đo của góc MAC bằng

A. 150 B. 250 C. 350 D. 400

Bài 2: (2 điểm)

Cho biểu thøc A=

(

√x −2
x −1 −

√x+2
x +2√x +1

)

x2− 2 x +1

a) Rót gän A

b) Tìm giá trị của x để A = - 2

Bài 3: ( 2 điểm)

Trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng thẳng y = 2mx -

m2 + m - 1 (d)

a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)?
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt?

c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hồnh độ các giao

điểm. Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 t giỏ tr nh nht ?

Bài 4: Hình học ( 3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường trịn đường kính BC
cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC tại D.

B O

C
M

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vng góc với BC.
b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và K là trung điểm của
BC.

Tính tỉ số OKBC khi tứ giác BHOC nội tiếp.

d) Cho HF = 3 cm, HB = 4 cm, CE = 8 cm và HC > HE. Tớnh HC.

Bài 3: ( 1 điểm) Cho các số thực dương x; y. Chứng minh rằng:

x2
y+

y2

x ≥ x+ y .

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN

Bài 1 (2,0 điểm)

- HS chọn đúng mỗi câu cho 0,25 điểm.

- Đáp án

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8

A C B D A B C D

Bài 2: 2 điểm A=

(

√x −1x −2− √x+2

x +2√x +1

)

x2− 2 x +1

2 §K x ≥ o , x ≠ 1

¿(√x −2) (√x +1)−(√x +2) (√x −1)

(√x+1)2(√x − 1) .

( x −1)2

2 0,5 ®

¿− 2√x .(x − 1)(√x +1) (√x −1)

(x −1)(√x+1). 2 0,5®
¿−√x .(√x −1) 0,25®
b) NÕu A = -2 ta cã −√x .(√x −1)=−2

đặt ẩn phụ √x= y ( y ≥0) ta có phương trình -y(y-1)= - 2

0,25®

- y2 + y + 2 = 0 giải phơng trình này có 2 nghiệm y

1= -1 ( Loại ) vµ y2 = 2

0,25®

√x= y⇒√x=2 VËy x= 4

0,25đ

Bài 3: 2 điểm

Câu a: Khi m =1 thì PT đờng thẳng d lµ y = 2x – 1

Toạ độ của giao điểm của (d) và (P) phải là nghiệm của hệ phương trình

¿
y =x2
y=2 x − 1

¿{

0,25®

Giải hệ phương trình và kết luận toạ độ của giao điểm của (d) và (P) là (1,1)

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

Câu b

(d) và (P) cát nhau tại 2 điểm phân biệt

hệ phơng trình

y =x2

y=2 mx m2+m 1

{

có 2 nghiƯm 0,25®

⇒ x2

− 2 mx+m2− m+1=0 cã 2 nghiệm phân biệt
Lập công thức =b2 4 ac và giải tìm đợc m

1 0,25®

VËy m

1 thì (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt 0,25đ

Câu C

Khi ng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. Gọi x1; x2 là hồnh độ các giao

®iĨm.

VËy x1; x2 lµ nghiƯm cđa PT x2−2 mx+m2−m+1=0 0,25®

A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2)

Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên … 0,25đ
tính đợc nếu m = 1,5 thì A đạt giá trị nhỏ nhất 0,25đ

Bµi 4: 3 ®iĨm

a) Ta có E, F lần lượt là giao điểm của AB, AC với đường trịn đường kính

BC.

Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC. 0,25®

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

BF, CE là hai đường cao của ΔABC. 0,25® 
H là trực tâm của Δ ABC.

AH vuông góc với BC. 0,25®
b) Xét Δ AEC và Δ AFB có:

chung và

Δ AEC đồng dạng với Δ AFB 0,25®
 0,25®
c) Khi BHOC nội tiếp ta có:

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

tiếp)

0,25®

Ta có: K là trung điểm của BC, O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân tại O (OB = OC )

0,25®

Vậy mà BC = 2KC nên

0,25®

d) Xét Δ EHB và Δ FHC có:

(đối đỉnh)

Δ EHB đồng dạng với Δ FHC

0,25®

HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12

Bài 5 (1 đ)

Vi x và y đều dương, ta có 0 ;( x − y )x + y2

≥ 0 0,25® 
x − y¿2≥ 0⇒ x3+y3− x2 y − xy2≥ 0

⇒(x+ y)¿ 0,25®

...

⇒ x2

y+
y2

x ≥ x+ y (1) 0,50®

Vậy (1) luôn đúng với mọi x>0 , y >0

§Ị thi tun sinh

*Trêng THPT Ngun Tr·i

( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho các lớp chuyên tự nhiªn)

Thêi gian: 150 phót

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Cho biĨu thøc.

A =

(

√

x +2 − 4√x −2+

√

x +2+4√x − 2)

√

x42−

x+1

1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tìm các số ngun x để biểu thc A l mt s nguyờn

Bài 2.( 3 điểm)

1) Gọi x ❑1 vµ x ❑2 lµ hai nghiƯm của phơng trình.

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tỡm cỏc giỏ tr của m để: x ❑1 2+ x ❑

2 2 +3 x ❑1 .x ❑2 (x

¿ ¿❑

+ x ❑2 )
đạt giá tr ln nht

2) Cho a,b là các số hữu tỉ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chøng minh r»ng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài 3. ( 3 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800. TÝnh tØ sè BC

AB .

2) Cho hình quạt trịn giới hạn bởi cung trịn và hai bán kính OA,OB vng góc
với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đờng
thẳng song song với OB cắt cung trong ở C. Tính góc ACD.

Bµi 4. ( 1 ®iĨm)

Chứng minh bất đẳng thức:
|

√

a2

+b2−

√

a2+c2 | | b-c|

với a, b,c là các số thực bất kì.

*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )

Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 2 x −

√

x
2−1
3 x2− 4 x +1

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x)
2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thỡ P(x).P(-x) < 0

Bài 2. ( 2 điểm)

1) cho phơng tr×nh: x

−2(2 m+ 1) x+ 3 m2+6 m

x − 2 =0 (1)

a) Giải phơng trình trên khi m = 2

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 và x ❑2

tho¶ m·n x ❑1 +2 x 2 =16
2) Giải phơng trình:

2 x

1+x+

1
2+

1
2 x=2

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y là hai số thực tho¶ m·n x2+4y2 = 1

Chøng minh r»ng: |x-y| √5

2) Cho phân số : A= n2+4

n+5

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mÃn 1 n 2004 sao cho A là phân số cha tối
giản

Bi 4( 3 im) Cho hai đờng tròn (0 ❑1 ) và (0 ❑2 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp

tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) tại A, tiếp xúc với (0

❑2 ) tại B. Tiếp tuyến của (0 ❑1 ) tại P cắt (0 ❑2 ) tại điểm thứ hai D khác P, đờng

thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng:
1)Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng trũn

2)Tam giác BPR cân

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.

Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trên AB lấy D, Trªn AC lÊy

điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội
tiếp và tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng trịn ngoại tiếp
tam giác ADE

Trêng Trần Đại Nghĩa - TP HCM

(năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút
)

Câu 1. Cho phơng trình x2 +px +1 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt a ❑

1 , a 2 và

phơng trình x2 +qx +1 = 0 cã hai nghiƯm ph©n biƯt b ❑

1 ,b ❑2 . Chøng minh: (a

❑1 - b ❑1 )( a ❑2 - b ❑1 )( a ❑1 + b ❑1 . b ❑2 +b ❑2 ) = q2 - p2

Câu 2: cho các số a, b, c, x, y, z tho¶ m·n

x = by +cz
y = ax +cz

z = ax +by ; víi x + y+z 0

Chứng minh: 1

1+a+
1
1+b+

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Câu 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= 0

b) Cho các số dơng x;y;z tho¶ m·n x3+y3+z3 =1

Chøng minh: x
2

√

1 − x2+

y2

√

1− y2+

z2

1 z2 2

Câu 4. Chứng minh rằng không thể có các số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình:

x3-y3 = 1993.

Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định

(năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150)

Câu 1(1đ):

tính giá trị biểu thức A= 1

a+1+

b+1 với a=

2+3 và b=

1
2+3

Câu 2(1.5đ):

Giải pt:

x2 4 x+4+x =8
Câu 3(3đ):

Cho hm s y=x2 cú thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt là

-1 vµ 2.

a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho
tam giỏc MAB cú din tớch max.

Câu4(3,5đ):

Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng trịn (O) và có trực tâm H. Phân giác trong của
góc A cắt đờng trịn (O) tại M. Kẻ đờng cao Ak của tam giác.Chứng minh:

a) đờng thẳng OM đi qu trung điểm N của BC.
b) các góc KAM và MAO bằng nhau.

c) AH=2NO.

C©u 5 (1đ):

tính tổng:

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình:

1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

x 12

x (x 2)

Bài 2(1) Cho 3 số thực dơng a,b,c và ab>c; a3+b3=c3+1. Chøng minh r»ng a+b>

c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: x+y=a,

x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c khơng phụ thuộc x,y.

Bµi 4(1,5) Chøng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm

là số hữu tỉ víi mäi sè nguyªn n

Bài 5(2,5) Cho đờng trịn tâm O và dây AB( AB không đi qua O). M là điểm

trên đờng tròn sao cho tam giác AMB là tam giác nhọn, đờng phân giác của góc MAB
và góc MBA cắt đờng trịn tâm O lần lợt tại P và Q. Gọi I là giao điểm của AP và BQ

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng gãc víi PQ

2) Chứng minh tiếp tuyến chung của đờng tròn tâm P tiếp xúc với MB và đờng
tròn tâm Q tiếp xúc với MA luôn song song với một đờng thẳng c nh khi M thay
i.

Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng trình:

5x + 5

2x=2 x +

1
2 x+4

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ khi a= -1

2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

Bµi 3:

1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =2xy

+yz+ zx.

2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) , D là một điểm trên cung BC không
chứa đỉnh A. Gọi I,K và H lần lợt là hình chiếu cuả D trên các đờng thẳng BC,AB,và
AC. Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng tròn tại N ( N# D); AN cắt BC tại
M. Chứng minh:

1/Tam giác DKI đồng dạng với tam giác BAM.

2/ BC

DI =
AB
DK +

AC
DH

Bài 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2

gäi nghiƯm cđa hƯ phơng trình là (x;y).

1/ Tỡm ng thc liờn h gia x và y khơng phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức 2 x 3 y

x+ y nhận giá trị nguyên.

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Cho tam gi¸c ABC ( ^A=900 ). Tõ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác

ABC sao cho BC=BD vµ A ^B C=C ^B D ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại
E. Chứng minh:

1. C ^A I=D ^B I

2. ABE là tam giác cân.
3. AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biÓu thøc A= x

−4 x3−3 x +9
x4❑

❑+3 x

+11 với

x
x2+x+1=

1
4

*Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006)

(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150)

Bài 1: (2đ)

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh nếu a +b
+c chia hÕt cho 4 th× P chia hÕt cho 4.

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1. GiaØ hÖ víi m= -10.

2. Chứng minh khơng tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất./

Bµi 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z thoả mÃn hệ thức 1

x+

y+

z=6 , xÐt biÓu thøc P = x + y2+ z3

1. Chứng minh P x+2y+3z-3
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho
AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy ®iĨm P (D n»m gi÷a A&P) sao cho DA.DP
= DB.DC

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

2. gọi S và S lần lợt là diƯn tÝch cđa hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:

s '
s

(

EF
2 AD

)

Bài 5(1đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 đờng thẳng thoả mãn đồng thời hai điều kiện:
 Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vng.

 Mỗi đờng thẳng đều chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5
Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy.

Đề thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(toán 9 bảng B thời gian: 150)

Bài 1

a) Rút gọn biểu thức:

x y2

xy +

b)Giải phơng trình:

5 26
()

x

5+26

()

x

Bài 2

a) Số đo hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm của phơng trình
bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. Hãy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ứng

víi c¹nh hun cđa tam gíac là 2

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

b) Tìm Max & Min cđa biĨu thøc y= 4 x +3

x2+1

Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, có góc C=450. ung trũn ng kớnh

AB cắt các cạnh AC & BC lần lợt ở M& N
a> chứng minh MN vuông gãc víi OC
b> chøng minh √2 .MN = AB

Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,

nhng cắt các đờng thẳng AB,BC lần lợt tại E&F. Gọi M là giao của AF & CE. Chứng
minh rằng đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF.

*Trờng Chu Văn An & HN – AMSTERDAM ( 2005-2006)
(dành cho mọi i tng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P= x√x −1

x −√x −

x√x +1
x +√x +

x +1

√x

1.Rót gän P

2. Tìm x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số).

1. Giải bpt víi m= 1- 2 √2

2. Tìm m để bpt nhn mi giỏ tr x >1 l nghim.

Bài 3(2đ):

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0 và parabol

(P):y= ax2 (a là tham số dơng).

1. Tỡm a (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng minh rằng khi đó A&B
nằm bên phải trục tung.

2. Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức T=

xA+xB

+ 1

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

Đờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa của cung lớn
AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI
tại H và cắt tia BM tại C.

1. Chứng minh các tam giác AIB & AMC là tam gÝac c©n

2. Khi điểm M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung tròn cố định.
3. Xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giỏc AMC t Max.

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyến AM, gãc ACB = α

,gãc AMB = β . Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin

Hồ Chí Minh năm học 2004-2005, lớp 7 (thời gian:90 )

Bài 1(3đ): Tính:

[

(

1
3

)

3.

(

1

)

]

−

(

− 1

3 −1

)

b) (63+3.62 + 33) :13

c) 9

10 −
1
90−

1
72−

1
56−

1
42−

1
30

1
20

1
12

1
6

1
2

Bài 2(3đ):

a) Cho a

b=
b
c=

c

a và a+b+c #0, a= 2005. TÝnh b,c.

b) Chøng minh r»ng tõ tû lÖ thøc
a+b
a− b=

c+ d
c −d

ta cã tû lÖ thøc a

b=
c

d .

Bài 3(4đ):

di ba cnh ca tam giỏc tỉ lệ vớ 2;3;4. Ba chiểu cao tơng ứng với ba cnh ú t
l vi ba s no?

bài 4(3đ):

V thị các hàm số: 2x với x 0
y = x vi x<0

Bài 5(3đ):

Chứng tá r»ng: A = 75(42004 + 42003 +..+42 +4 +1) +25 là số chia hết cho 100.

Bài 6(4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Thi học sinh giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(Toán 9 bảng A- thời gian:150)

Bài 1:

a. Rút gọn biểu thức: P =

√

x2y2

xy +

√

( x − y )2

x − y .

(

√

x2

x −

√

y2

y

)

b. Gi¶i phơng trình: 2+x

2+x+

2 x

2

2 x=2

Bµi 2:

a. ( đề nh ở bảng B)

b. Vẽ các đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ. Chứng
minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đờng thẳng trên khơng có điểm
nguyên nào thuộc đờng thẳng 3x + 5y = 7.

Bµi 3:

Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E & AB cắt CD tại F, Chứng
minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn là: EA.ED +
FA.FB = EF2.

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE. Đờng tròn tâm O nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Thi häc sinh giái tØnh H D¬ng (2004-2005)

( líp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm của

phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x

1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2

-x4).

2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2

-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m và n thoả mÃn m+1

n +

n+1

m là số nguyên. chứng minh rằng:

ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m=n

Bài 3 (3đ):

Cho hai ng trũn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của hai

đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với

CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M & N. Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng

MN tại P & Q; các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh:
a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD.

b. Tam gi¸c EPQ là tam giác cân.

Bài 4 (2đ):

Giải hệ phơng tr×nh: x+y = 1
x5 + y5 =11

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt với tham sè a: x+4∨ y∨¿∨x∨¿

¿y∨+¿x − a∨¿1

a. gi¶i hƯ pt khi a=-2

b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có đúng hai nghiệm

C©u 2(2đ):

a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả mÃn x=y=z = 1. Tìm giá trị max của
biểu thức: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính 1.
Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trịn bán kính r thỡ r 2

2 .

Câu 3(2đ):

Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3đ):

Cho tam giác ABC vng tại C. đờng trịn (O) đờng kính CD cắt AC & BC tại E &
F( D là hình chiếu vng góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đ ờng
thẳng BE với (O), hai đờng thẳng AC, MF cắt nhau tạiK, giao điểm của đờng thẳng
EF và BK là P.

a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng trịn.

b. gi¶ sư ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số đo góc của tam gi¸c ABC.

c. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng
minh rằng CM vng góc với đờng thẳng nối tâm đơng tròn ngoại tiếp tam giác MEO
với tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP.

 TØnh HaØ D ¬ng (150 phút)
Bài 1(2.5đ):

Giải pt: |xy x y +a|+|x2y2

+x2y + xy2+xy − 4 b|=0 víi

a= (√57+3√6+√38+6) (57 36 38+6)

17 122+

3 22+

3+22

Bài 2(2.5đ)

Hai phng trỡnh: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai

pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cịng cã nghiƯm chung.

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c).

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Cho hai đờng tròn tâm O1, O2 cắt nhau tại A,B. ng thng O1A ct (O2) ti D,

đ-ờng thẳng O2A cắt (O1) tại C.

Qua A k ng thng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N. Chứng minh

r»ng:

1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm trên một đờng trũn.

2. BC+BD = MN.
Bài 4(2đ)

Tìm các số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)
Bài 1(6đ):

1. Chứng minh rằng: A = 2

5

13+48

6+2 là số nguyên.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 ch÷ sè abc sao cho:
abc = n2 – 1

cba =(n-2)2

Baì 2(6đ)

1. Giải pt: x3 + 2x2 + 2

√2 x +2 √2 =0

2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trc to Oxy.

b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho
diện tích tam giác MAB max.

c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất.

Bài 3(8đ):

1. Cho ng trịn tâm O và dây cung BC khơng đi qua O. Một điểm A chuyển
động trên đờng tròn (A#B,C). gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đờng vng
góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đờng tròn cố định.

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

* Tỉnh Phú Thọ (150 phút)

Bài 1(2đ):

a) chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1) chia hết cho
24

b) tìm nghiệm nguyên dơng của pt: xy 2x 3y +1= 0

Bài 2(2đ):

Cho cỏc số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau, thoả mãn điều kiện a3 + b3 +

c3 = 3abc. TÝnh:

(

b −c

a +

c − a

b +

a − b
c

)(

a
b − c+

b
c − a+

c
a− b

)

Bài 3(2đ)

a) tỡm a pt: 3 |x| +2ax = 3a -1 có nghiệm duy nhất.

b) cho tam thøc bËc hai f(x)=ax2 +bx+ c thoả mÃn điều kiện |f (x)| 1 víi

mäi x [−1 ;1] . Tìm max của biểu thức 4a2 +3b2.

Bài 4 (1,5®)

Cho góc xOy và hai điểm A,B lần lợt nằm trên hai tia Ox,Oy thoả mãn OA- OB
= m (m là độ dài cho trớc). Chứng minh:đờng thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác
ABO và vng góc với AB luụn i qua mt im c nh

Bài 5(2.5đ):

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi ha,hb,hc lần lợt là các đờng cao và ma,mb,mc là các

đờng trung tuyến của các cạnh BC,CA,AB; R&r lần lợt là bán kính của các đờng trịn
ngoại tiếp & nội tiếp của tam gíac ABC. Chứng minh rng ma

ha

+mb

hb

+mc

hc

R+r

r .

Đề số 1:

Bài 1. cho các sè a1,a2,a3…,a2003. BiÕt:

ak = 3 k

2+3 k +1

(k 2+k )3 víi mäi k = 1,2,3….2003.

TÝnh tỉng:a1 + a2 + a3+..+a2003

Bµi 2. Cho A = 1- 7 +13 -19 +25 -31 +………

a) BiÕt A cã 40 sè hạng. Tính giá trị của A.
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n.

Bi 3. Cho tam giác ABC cân tại A, góc BAC = 400, đờng cao AH. Các điểm E, F

theo thø tù thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA = gãc FBC = 300. Chøng

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

Bµi 4. Cho sáu số tự nhiên a ❑1 , a ❑2 , a ❑3 , a ❑4 , a ❑5 , a ❑6 tho¶

m·n:

2003 = a ❑1 <a ❑2 <a ❑3 <a ❑4 <a ❑5 <a ❑6 .

1) Nếu tính tổng hai số thực bất kì thì đợc bao nhiêu tổng?

2) BiÕt r»ng tÊt cả các tổng trên là khác nhau. Chứng minh a ❑6 2012

Bài 5. Hãy khôi phục lại những chữ số bị xố( để lại vết tích của mỗi

chữ số là một dấu * ) để phép toán đúng.

***

***2
****
***

Đề số 2:
Bài 1.

Giải hệ phơng trình

xy +2 x+ y=0
yz +2 z +3 y=0
xz +3 x+z =0

¿{ {

Bµi 2.

Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a)

Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =

(2-x)(2-y)

Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) víi gãc ACB = 800. Trong tam giác ABC có

điểm M sao cho góc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300. TÝnh gãc BMC

Bµi 5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). AC cắt BD tại I. (O ❑1 ),(O ❑2 )

theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đờng thẳng bất
kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z và T

kh¸c I). Chøng minh r»ng XZ = YT

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

Bµi 1. Cho 3 sè chÝnh ph¬ng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12

Bµi 2. Chøng minh r»ng :
3

√

√2 −1=

√

3 1
9−

√

2
9+

√

4
9

Bµi 3. Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c . Chøng minh r»ng:

b2− c2

(a+b)(a+c )+

c2− a2

(b+c )(b+a)+

a2− b2

(c +a)(c +b)=

b − c
b +c+

c − a
c +a+

a − b
a+b

Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c = 9; x,y,z lần lợt

l dài các phân giác trong của các góc A,B,C. Chứng minh rng:

x+

y+

z >1

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC, trực t©m H.

Chøng minh r»ng:
HB . HC

AB . AC+

HC . HA
BC. BA +

HA . HB
CA . CB =1

Đề số 4:
Bài 1.

Biết rằng A=654 ì999 . .. 997

100 chữ số9

+1965

Chứng minh rằng A chia hÕt cho 9

Bµi 2

. Cho 5 số thực dơng sao cho tổng của tất cả các tích từng cặp hai số trong chúng
bằng 2. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong năm số đó có tổng nhỏ hn 2.

Bài 3.

Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thoả mÃn:
a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

Giải phơng trình x4+16x+8=0

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Một đờng thẳng d chia tam giác ABC cho trớc thành hai phần có diện tích bằng
nhau và chu vi bằng nhau. Chứng minh rằng tâm đờng tròn nội tiếp của tam giácABC
nằm trên đờng thẳng d.

§Ị số 5
Bài 1

Phân tích tuỳ ý số 2005 thành tổng của hai số tự nhiên lớn hơn 1 rồi xét tích của
hai số này. Trong các cách phân tích nói trên, hÃy chỉ ra cách mà tích số có giá trị nhỏ
nhất

Bài 2.

Cho các số không âm a,b,x,y thoả mÃn các ®iỊu kiƯn

a2005+b2005≤ 1; x2005+y2005≤ 1

Chøng minh r»ng: a1975

. x30+b1975. y301

Bài 3.

Giải phơng trình

10+24 +40+60=2005(2 x 1)+2+3+5

Bài 4.

Với số nguyên dơng n, kí hiệu 1

n

.n
2

+n+1

n !
an=¿

. TÝnh tỉng

a1+a2+. . .. .+a2005 . Trong đó n! là kí hiệu tích n số nguyên dơng liên tip u

tiên

Đề số 6:
Bài 1:

Chứng minh rằng số 20052 +22005 nguyên tố cùng nhau với số 2005.

Bài 2:

Cho ba sè d¬ng a,b,c. chøng minh r»ng:
a3

b +
b3

c +
c3

a aac +bba+ccb

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

giải phơng trình: x4 + x3+ x2+x + 1

2 =0

Bài 4:

Giả sử O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. AD,BE,CF là các đờng
cao của tam giác đó . Đờng thẳng EF cắt (O) tại P,Q. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng AP2 = AQ2= 2AD.OM

Bµi 5:

Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M tới các
cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nhất.

§Ị số 7:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - 1 = x3 + x + 1

Bµi 2:

t×m Max cđa biĨu thøc

√

x − x3

√

x+ x3 với 0 x 1

Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

x 2+xy+ y 2=√3

2 (x+ y )

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

cho tam giác ABC có đờng cao kẻ từ đỉnh A, đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh B và
đ-ờng phân giác trong kẻ từ đỉnh C đồng quy. Gọi a,b,c lần lợt là độ dài của ba cạnh
BC,CA,AB. Chứng minh: (a+b)(a2+b2- c2)= 2a2b

Bµi 5:

Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC taị M, CO cắt AB tại
N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng minh: A,E,F thẳng hàng và

AE
AE=

AM . AN
AB . AC =

OM .ON
OB . OC

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

Cho số 155*701*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay đổi các dấu sao
(*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ý thì s ú luụn chia
ht cho 396.

Bài 2:

Giải hệ phơng tr×nh:

x2 –xy +y2 =3

z2 +yz +1 =0

Bµi 3:

T×m Max cđa biĨu thøc:

A= 2004 x

+6006 x +6

√

x3− 2 x2+x − 2− 8003

x2+3 x −4

Bài 4:

Cho a,b,c là cạnh của một tam gi¸c, chøng minh:

√a+b − c+√3b +c − a+√3c +a b 3a+3b+3c

Bài 5:

cho tam giác ABC. Đờng tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh AB,BC theo thứ tự tại P,
Q. Phân giác trong của góc A cắt tia PQ tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với
CE.

Đề số 9:
Bài 1:

Giả sử (a1;a2;a3;a37),(b1;b2;b3;b37),(c1;c2;c3;.c37) là bé ba sè nguyªn bÊt kú.

Chứng minh rằng tồn tại các số k,l,n thuộc tập hợp số {1;2;…37} để các số a= 1/3(ak

+al + an); b=1/3(bk + bl+ bn); c= 1/3(ck +cl + cn); đồng thời là các số nguyên.

Bµi 2:

Tìm a để phơng trình (ẩn x) sau có nghiệm: x=(a-x)/

√

x2

−1

Bµi 3:

Tìm m để phơng trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên:

m2|x +m|+m3+|m2x +1|=1
Bµi 4:

Cho tam giác ABC, H là điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD là đờng phân giác trong
của tam giác. Dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC). Chứng minh: BH.CH/
(BL.CL)=HD2/LD2

Bµi 5:

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Chøng minh r»ng: √3

3 SAMN
33

Đề số 10.
Bài 1:

Cho p là số nguyên tố >3.

Chøng minh r»ng pt: x2 + y2 + z2 = 4p2 +1 luôn có nghiệm dơng (x

0;y0;z0)

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c thoả mÃn a+b+c =3. Chứng minh rằng:

a

1+b2+

b

1+c2+

c

1+a2
3
2

Bài 3:

Giải pt:

√

3 x2

−7 x+3−

√

x2−2=

√

3 x2− 5 x −1 −

√

x2−3 x +4

Bµi 4:

Cho tam giấcBC (AB<AC) và P là điểm nằm trong tam giác sao cho góc
^PBA=^PCA. Gọi H & K là chân các đờng vng góc hạ từ P xuống AB & AC; I là
trung điểm của BC. Chứng minh: ^HIB <^KIC.

Bµi 5:

Cho tam giác ABC khơng cân, ngoại tiếp (O). gọi D,E,F là các tiếp điểm của (O)
với các cạnh BC,CA,AB. Gọi M là giao điểm của các đờng thẳng AO,DE; Nlà giao
điểm của các đờng thẳng BO,EF; P là giao điẻm của Co và DF. Chứng minh cỏc tam
giỏc NAB,MAC,PBC cú cựng din tớch.

Đề số 11:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Bài 2:

Tồn tại hay không số nguyên thoả mÃn : n3 + 2003n = 20052005+1?

Bài 3:

Đặt:
A= 1

2 . 3+
1

3 . 4+. .. .+

1
2003 .2004+

1
2005 .2006

B= 1

1004 . 2006+
1

1005 .2005+.. .+
1
2006 .1004

Chøng minh r»ng A/B lµ sè nguyên.

Bài 4:

Cho tam giỏc u ABC cú im M thuộc BC. Gọi E&F là hình chiếu vng góc
của M trên AB&AC; O là trung diểm của EF; Q là hình chiếu vng góc của A trên
đ-ơng thẳng OM. Chúng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q ln thuộc một
đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE. Chng minh:
AD> (1/2)(BC+EF)

Đề số 12:

Bài 1:

Cho Sn= √

3+Sn− 1

1 −√3 . Sn −1

víi n lµ số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Biết S1 = 1, tÝnh S = S1

+ S2 + S3 +…..+ S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: x

√y+
y

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

x2008 + y2008 =8(xy)

❑

2005
2

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp: A,B,C,D là 48 hòn. Biết rằng: số bi đỏ
và số bi xanh trong hộp A bằng nhau; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh của

hộp B; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp C; số bi đỏ của hộp D gấp
sáu lần số bi xanh của hộp D; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hịn bi xanh, một
hộp chứa 3 hòn bi xanh,một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp chứa 5 hịn bi xanh.
Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp.

Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức:
a + b + c (b+c)a

2003

2 +

(c +a)b2003

2 +

(a+b)c2003

2 với a,b,c là các số dơng.

Đề số 13:
Bài 1:

Cho 2005 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2005. đặt trớc mỗi số dấu “trừ” hoặc dấu
“cộng” rồi thực hiện phép tính thì đợc tổng là A. tìm giá trị khơng âm nhỏ nhất mà A
có thể nhận đợc.

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1. hãy xỏc nh du

của hệ số a

Bài 3:

Giải pt: (x 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

Cho a1=1/2; an+1=

(

2n − 1

2 n=2

)

an víi n = 1,2,3,…..,2004. Chøng minh r»ng: a1 + a2 +

a3 +…+ a2005 < 1.

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. đờng trịn đờng kính AM và BC cắt
nhau tại N ( N # B), gọi L là giao điểm của BN & CD. Chứng minh: ML vng góc
với AC.

Đề số 14:
Bài 1:

Chứng minh rằng pt x2 2y = 2005 không có nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = 0
x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz = 0

Bài 4:

Cho tam giác ABC cân tại A và ^A= 360. Chứng minh: BA/BC là số vô tỉ

Bài 5:

Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB. Trên một nửa đờng trịn đờng kính AB lấy
các điểm C,D sao cho cung AC < cung AD (D#B). E là điểm bất kỳ trên nửa đờng
tròn (O) nhng không chứa C,D ( E#A,B). I,K lần lợt là giao điểm của CE & AD, IO &
BE. Chứng minh: ^ CDK = 900.

Đề 1

Câu1 : Cho biÓu thøc

1− x2

¿2
¿
x¿

(

xx − 13−1+x

)(

x3

x +1 − x

)

:¿

Víi x √2 ;1

.a, Ruý gän biÓu thøc A

.b , Tính giá trị của biểu thøc khi cho x=

√

6+2√2

c. Tìm giỏ tr ca x A=3

Câu2.a, Giải hệ phơng trình:

x − y¿2+3 (x − y)=4
¿

2 x +3 y=12

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

b. Giải bất phơng tr×nh:
x

3−4 x2−2 x − 15

x2+x+3 <0

C©u3. Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m phng trỡnh trờn có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

Câu 4. Cho nửa đờng trịn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng trịn đó

D-ng hình vD-ng ABCD thuộc nửa mặt phẳD-ng bờ AB, khôD-ng chứa đỉnh C. Gọi Flà giao
điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED

a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?

đáp án

C©u 1: a. Rót gän A= x2−2

x

b.Thay x=

√

6+2√2 vào A ta đợc A= 4 +2√2

√

6+2√2

c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= 3 ±√17

Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Từ đó ta có

x − y¿2+3 (x − y)=4
¿

2 x +3 y=12

¿
¿
¿

<=>

¿
x − y=1

2 x +3 y=12

¿{

(1)

¿
x − y=− 4

2 x +3 y=12

¿{

(2)

Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2
Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4

Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4
b) Ta cã x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3)

mµ x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 víi mäi x

Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5

Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
 Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1

2 m−1 =
1

2 m− 1

pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0)=> -1< 1

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

O
K

F
E

C
B

2 m− 1+1>0
2 m−1<0

¿{

2 m
2 m− 1>0
2 m− 1<0

¿{

=>m<0

VËy Pt cã nghiƯm trong kho¶ng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

Câu 4:

a. Ta có KEB= 900

mt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn nữa đờng trịn)

do CF kéo dài cắt ED tại D

=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK

hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK.
b. BCF= BAF

Mµ  BAF= BAE=450=>  BCF= 450

Ta cã BKF=  BEF

Mà  BEF=  BEA=450(EA là đờng chéo của hình vng ABED)=> BKF=450

Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B

Đề 2
Bài 1: Cho biểu thức: P =

(

x√x −1

x −√x −

x√x+1
x +√x

)

(

2(x − 2√x +1)

x − 1

)

a,Rót gän P

b,Tìm x ngun để P cú giỏ tr nguyờn.

Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*)

a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm.

b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn

|

x13− x23

|

=50

Bài 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x

1, x2Chứng

minh:

a,Phơng tr×nh ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiệm dơng phân biệt t

1 và t2.

b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4

Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O . H là trực tâm

cđa tam gi¸c. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A.

a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.

b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB
và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.

c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.

Bµi 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 1

x2
+y2+

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

Đáp án

Bài 1: (2 ®iĨm). §K: x 0 ; x ≠ 1
a, Rót gän: P = 2 x (x −1)

x ( x −1) :

2( √x −1❑z)

x −1 <=> P =

√x −1¿2
¿
¿

√x −1
¿

b. P = x+1

x 1=1+

2
x 1

Để P nguyên thì

x −1=1⇒√x=2⇒ x=4
√x −1=− 1⇒√x=0⇒ x=0

√x −1=2⇒√x=3⇒ x=9
√x −1=−2⇒√x=−1(Loai)

VËy víi x= {0 ;4 ; 9} thì P có giá trị nguyên.

Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:

=(2 m+1 )2 4(m2

+m 6)≥ 0

x1x2=m2+m−6 >0

x1+x2=2 m+1<0

¿{ {

⇔
Δ=25>0

(m− 2)(m+3)>0

m<−1

⇔ m<− 3
¿{ {

b. Giải phơng trình: m+3

(m 2)3=50

¿m1=− 1+√5
2

m2=− 1−√5
2

¿
⇔

|

5 (3 m2+3 m+7)

|

=50⇔ m2

+m−1=0

⇔ {

Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của phơng trình: ax2 + bx + c = 0 nên ax12 + bx1 + c =0. .

V× x1> 0 => c.

(

1
x1

)

2
+b . 1

x1

+a=0. Chøng tỏ x1

là một nghiệm dơng của phơng

trình: ct2 + bt + a = 0; t
1 =

x1 Vì x2 là nghiệm của phơng tr×nh:

ax2 + bx + c = 0 => ax

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

vì x2> 0 nên c.

(

x2

)

+b .

(

x2

)

+a=0 điều này chứng tỏ x1

là một nghiệm dơng của

phơng trình ct2 + bt + a = 0 ; t
2 =

x2

VËy nÕu phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x

1; x2 thì phơng

trình : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiệm dơng phân biệt t

1 ; t2 . t1 =

x1 ; t2 =

x2

b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dơng nên

t1+ x1 =

x1

+ x1 2 t2 + x2 =

x2

+ x2 2

Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4

Bµi 4

a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành .

Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên

CH AB và BH AC => BD AB và CD AC .
Do đó: ABD = 900 và ACD = 900 .

Vậy AD là đờng kính của đờng trịn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
ca ng trũn tõm O thỡ

tứ giác BHCD là hình bình hành.

b) Vỡ P i xng vi D qua AB nên APB = ADB

nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB

Do đó: APB = ACB Mặt khác: 
AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB

Mà PAB = DAB do đó: PHB = DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC

VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800

Ba điểm P; H; Q thẳng hàng

c). Ta thấy Δ APQ là tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD và PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ

đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất
 D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng trịn tâm O

O
P

C
B

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

Đề 3

Bài 1: Cho biÓu thøc:

√x+√y

P= x

(√x +√y)(1 −√y )−

y

¿(√x+1)¿−

(√x +1)(1 −√y)

a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ;

-2) .

a). Chøng minh r»ng víi mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B
phân biệt

b). Xỏc nh m để A,B nằm về hai phía của trục tung.

Bµi 3: Giải hệ phơng trình :

x + y +z=9

1
x+
1

y+
1
z=1

xy +yz+zx =27

¿{ {

Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn

(C ≠ A ;C ≠ B) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với

đ-ờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia
AM cắt BC tại N.

a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R.

Bµi 5: Cho x , y , z∈ R tháa m·n : 1

x+
1
y+
1
z=
1

x + y +z

H·y tính giá trị của biểu thức : M = 3

4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) .

Đáp án

Bi 1: a). iu kin P xác định là :; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠1 ; x+ y ≠ 0 .

*). Rót gän P:







 



(1 ) (1 )

1 1

x x y y xy x y

P

x y x y

    

  











 



( )
1 1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  



 





 



x y x y x xy y xy

x y x y

     



  











 





 



1 1 1 1

1 1

x x y x y x x

x y

     



</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

Q
N
M
O
C
B
A





x y y y x

y
  





 











1 1 1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

VËy P = √x+√xy −√y .

b). P = 2 ⇔ √x+√xy −√y . = 2
⇔√x(1+√y)−(√y +1)=1

⇔(√x −1) (1+√y)=1

Ta cã: 1 + y 1  x  1 1  0 x 4  x = 0; 1; 2; 3 ; 4

Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mÃn

Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng tr×nh

đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x2 = mx + m – 2

⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*)

Vì phơng trình (*) có =m2 4 m+8=(m 2)2+4 >0 m nên phơng trình (*) luôn có

hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b). A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có

hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.

Bµi 3 :

x + y +z=9(1)

1
x+
1
y+
1
z=1(2)

xy +yz+ xz=27(3)

¿{ {

§KX§ : x ≠ 0 , y ≠ 0 , z≠ 0 .





















2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

81 2 81

81 2 27

2( ) 2 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z x
z x
          
          
            
      
    
 

        
  
  


Thay vµo (1) => x = y = z = 3 .

Ta thÊy x = y = z = 3 thõa mÃn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng tr×nh cã nghiƯm duy
nhÊt x = y = z = 3.

Bµi 4:

a). XÐt Δ ABM vµ ΔNBM .

Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90o .

M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM = MBN => BAM = BNM
=> ΔBAN cân đỉnh B.

Tø gi¸c AMCB néi tiÕp

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

=> Tam giác MCN cân đỉnh M
b). Xét ΔMCB và ΔMNQ có :

MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)

 BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).

=> ΔMCB= ΔMNQ (c . g . c). => BC = NQ .

Xét tam giác vuông ABQ có AC⊥ BQ ⇒ AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ)

=> AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =

(√5− 1) R

Bµi 5:

Tõ : 1

x+

y+

z=

x + y +z =>

x+

y+

z−

x+ y +z=0

=> x + y

xy +

x + y +z− z
z ( x+ y+ z)=0
⇒( z+ y)

(

xy+
1

z ( x+ y +z )

)

=0
⇒ ( x+ y)

(

zx +zy +z2+xy

xyz (x+ y+ z)

)

⇒( x+ y )( y +z)(z+x)=0

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).=

y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - ... + z8)

z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5)

VËy M = 3

4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =
3
4

§Ị 4

Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 4. Đờng thẳng d/ đối xứng vi

đ-ờng thẳng d qua đđ-ờng thẳng y = x lµ:
A.y = 1

2 x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y =
1

2 x - 2 ; D.y = - 2x - 4

Hãy chọn câu trả lời đúng.

2) Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm
vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nớc trong bình cịn lại 2

3 bình. Tỉ số giữa bán

kính hình trụ và bán kính hình cầu là A.2 ; B. 3

2 ; C. 3

√3 ; D. mét kÕt qu¶ khác.

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0

2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = √x + y

Bài 3: 1) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho ®a thøc : (x + a)(x - 4) - 7

Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao

cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao cho MA

MB =
1
2

Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB và CD vng gúc vi nhau, ly im I bt

kỳ trên đoan CD.

a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung ®iĨm cđa
MN.

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

M
D

C
B

c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố
định.

Híng dÉn

Bài 1: 1) Chọn C. Trả lời đúng.

2) Chän D. KÕt qu¶ khác: Đáp số là: 1

Bµi 2 : 1)A = (n + 1)4 + n4 + 1 = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)

= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1)

= (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2

VËy A chia hết cho 1 số chính phơng khác 1 với mọi số nguyên dơng n.

2) Do A > 0 nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.

XÐt A2 = (

√x + √y )2 = x + y + 2

√xy = 1 + 2 √xy (1)
Ta cã: x + y

2 √xy (Bất đẳng thức Cô si)

=> 1 > 2 √xy (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = 1 + 2

√xy < 1 + 2 = 2
Max A2 = 2 <=> x = y = 1

2 , max A = 2 <=> x = y =
1
2

Bài3 Câu 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)

Nªn víi x = 4 th× - 7 = (4 + b)(4 + c)

Cã 2 trêng hỵp: 4 + b = 1 vµ 4 + b = 7
4 + c = - 7 4 + c = - 1
Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta cã (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)

Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a = 2

Ta cã (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)

C©u2 (1,5điểm)

Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho:
AD = 1

4 AB. Ta có D là điểm cố định

Mµ MA

AB =
1

2 (gt) do đó
AD
MA =

1
2

XÐt tam gi¸c AMB và tam giác ADM có MâB (chung)
MA

AB =
AD
MA =

1
2

Do đó Δ AMB ~ Δ ADM => MB

MD =
MA

AD = 2

=> MD = 2MD (0,25 ®iĨm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

DÊu "=" x¶y ra <=> M thuéc đoạn thẳng DC
Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC
* Cách dựng điểm M.

- Dng ng trịn tâm A bán kính 1

2 AB

- Dùng D trªn tia Ax sao cho AD = 1

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

K
O
N
M
I

D
C
B
A

M là giao điểm của DC và đờng trịn (A; 1

2 AB)

Bµi 4: a) Dùng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N

Do MâN = 900 nên MN là đờng kính

Vậy I là trung điểm của MN
b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)Δ Δ
=> CN = MK = MD (vì ΔMKD vuông cân)
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC không đổi

c) Ta cã IA = IB = IM = IN

Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN đi qua hai điểm A, B cố định .

§Ị 5

Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 1 2 2 1 2 2 1 0

x  y y z z x

Tính giá trị của biểu thøc :A x 2007y2007z2007.

Bµi 2). Cho biĨu thøc :M x2 5x y 2xy 4y2014.

Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá tr nh nht ú

Bài 3. Giải hệ phơng trình :



 



2 2 18

1 . 1 72

x y x y

x x y y

    


  



Bài 4. Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ

trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D.

a.Chứng minh : AC . BD = R2.

b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .

Bµi 5.Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh r»ng :





2 2 2

a b

a b    a b b a

Bài 6).Cho tam giác ABC có phân gi¸c AD. Chøng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC.

Hớng dẫn giải

Bài 1. Từ giả thiết ta cã :

2 1 0

2 1 0
2 1 0

x y
y z
z x
   

  


  


Cộng từng vế các đẳng thức ta có :



 



2 2 1 2 2 1 2 2 1 0

x  x  y  y  z  z 



x 1





y 1





z 1



2 0

      

1 0
1 0
1 0
x
y
z

 


   
  

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>





2007





2007





2007

2007 2007 2007 1 1 1 3

A x y z

          

VËy : A = -3.

Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :

2 4 4

 

2 2 1





2 2



2007

M  x  x  y  y  xy x  y 











 



2007

M  x  y  x y 













1 3

2 1 1 2007

2 4

M  x y  y

        

 





1 0

y  

vµ









2
1

2 1 0

x y

 

   

 

  x y,

2007

M

   Mmin 2007 x2;y1

Bài 3. Đặt :



1
1

u x x

v y y

  




 



 Ta cã :

18
72
u v
uv
 




 u ; v là nghiệm của phơng

trình :

1 2

18 72 0 12; 6

X  X    X  X 


12
6
u
v




 ; 
6
12
u
v




 










1 12
1 6

x x
y y
  


 

 ;









1 6
1 12
x x
y y
  


 



Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị.

Bµi 4 . a.Ta cã CA = CM; DB = DM

Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC OD

Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :

MO2 = CM . MD

 R2 = AC . BD

b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp

  ; 

MCO MAO MDO MBO

  





COD AMB g g

  

(0,25®)

Do đó : 1

. .
. .

Chu vi COD OM

Chu vi AMB MH



 (MH

1  AB)

Do MH1  OM nªn 1

OM

MH 

 Chu vi COD  chu vi AMB

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

DÊu = x¶y ra  MH1 = OM  MO M là điểm chính giữa của cung AB

Bài 5 (1,5 ®iĨm) Ta cã :

2 2
1 1
0; 0
2 2
a b
   
   
   

     a , b > 0

1 1

0; 0

4 4

a a b b

      

1 1

( ) ( ) 0

4 4

a a b b

      

 a , b > 0
1

0
2

a b a b

     

Mặt khác a b 2 ab 0

Nh©n tõng vÕ ta cã :



 







1
2
2

a b  a b    ab a b

 









2 2

a b

a b  a b b a

    

Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tip ABC

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta cã:ABDCED (g.g)

. .

BD AD

AB ED BD CD

ED CD
   





2
. .
. .

AD AE AD BD CD

AD AD AE BD CD

  

  

L¹i cã : ABDAEC g g





. .

AB AD

AB AC AE AD

AE AC

AD AB AC BD CD

   

  

Đè 6
Câu 1: Cho hàm số f(x) =

√

x2− 4 x+4

a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A = f (x)

x2−4 khi x  ± 2

C©u 2: Giải hệ phơng trình

x ( y 2)=(x +2)( y −4 )

(x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3)

¿{

C©u 3: Cho biÓu thøcA =

(

x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1

)

(

√x +

√x

√x −1

)

víi x > 0 vµ x  1

a) Rót gän A

c
b

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.

Gọi H là chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC.

a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R v d.

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0

Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án

C©u 1a) f(x) =

x − 2¿2
¿
¿

√

x2− 4 x+4=√¿

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

f (x)=10⇔
x −2=10

¿
x −2=−10

x=12

¿
x=−8

¿
¿
¿
⇔¿

¿
¿
¿

c) A= f (x)

x2− 4=

|x − 2|

(x − 2)(x +2)

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A= 1
x +2

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra A=− 1
x +2

C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2 2 4 8 4

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 2 6 7 21 2 7 6 21 0

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

           

   

  

   

              

   

x -2

y 2

C©u 3 a) Ta cã: A =

(

x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1

)

(

√x +

√x

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

(

(√x+1)(x −√x+1)

(√x −1)(√x+1) −
x − 1

√x − 1

)

(

√x (√x − 1)

√x − 1 +

√x

√x −1

)

(

x −√x −1√x +1−
x −1

√x −1

)

(

x −√x+√x

√x −1

)

x −√x+1− x +1

√x − 1 :

x

√x −1 =

−√x +2

√x − 1 :
x

√x −1 =
−√x +2

√x − 1 ⋅

√x − 1

x =

2 −√x
x

b) A = 3 => 2 −√x

x = 3 => 3x + √x - 2 = 0 => x = 2/3

C©u 4

Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có
EH

PB =
CH

CB ; (1)

Mặt khác, do PO // AC (cùng vng góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)

=>  AHC ∞  POB
Do đó: AH

PB =
CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kÕt hỵp (1) vµ (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của
AH.

b) Xột tam giỏc vuụng BAC, ng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

AH2=(2 R −AH . CB

2PB )

AH . CB

2PB .

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2R¿2

4PB2
+¿

¿
⇔ AH=4R . CB. PB

4 . PB2+CB2=

4R . 2R . PB

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Từ đó suy ra m  1,5 (1)

B H C

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:

x1+x2=−2m −1
2
x1. x2=m− 1

2
3x1− 4x2=11

⇔
¿{ {

x1=13-4m
7
x1=7m7

26-8m

313-4m
7 4
7m 7
26-8m=11
{ {

Giải phơng trình 313-4m
7 −4

7m− 7

26-8m=11

ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình
đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11

Đề 7

Câu 1: Cho P =

2
1
x
x x

 + 
1

1
x
x x

  - 
1
1
x
x



a/. Rót gän P.

b/. Chøng minh: P <

3 víi x 0 và x 1.

Câu 2: Cho phơng tr×nh : x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3 = 0 ( 1 ) ; m lµ tham sè.

a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.

b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bng ba ln
nghim kia.

Câu 3: a/. Giải phơng tr×nh :

x + 2

2 x = 2

b/. Cho a, b, c là các số thực thõa mÃn :

0
0

2 4 2 0

2 7 11 0

a
b

a b c

a b c



 


  

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của Q = 6 a + 7 b + 2006 c.

Câu 4: Cho ABC cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không
trùng với A, B). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp BCD. Tiếp tuyến của (O) tại C và D

c¾t nhau ë K .

a/. Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiÕp.
b/. Tø gi¸c ABCK là hình gì? Vì sao?

c/. Xỏc nh v trớ điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hnh.

Đáp án

Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1. (0,25 ®iĨm)

P =
2
1
x
x x

 + 
1
1
x
x x


  - 
1

( 1)( 1)

x

x x



</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

= 3

2
( ) 1

x
x

 + 
1
1
x
x x

  - 
1
1
x 

2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

  

= ( 1)( 1)

x x

x x x



   = 1

x
x x

b/. Víi x  0 vµ x 1 .Ta cã: P <

3  1

x

x x < 
1
3
 3 x < x + x + 1 ; ( v× x + x + 1 > 0 )

 x - 2 x + 1 > 0

 ( x - 1)2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1)

Câu 2:a/. Phơng trình (1) cã nghiƯm khi vµ chØ khi ’  0.
 (m - 1)2 – m2 – 3  0

 4 – 2m  0

 m  2.

b/. Víi m  2 th× (1) cã 2 nghiƯm.

Gäi mét nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta cã:

3 2 2

.3 3

a a m

a a m

  




 



 a= 
1
2
m 
 3(
1
2
m 

)2 = m2 – 3

 m2 + 6m – 15 = 0

 m = 32 6 ( thõa mÃn điều kiện).

Câu 3:

§iỊu kiƯn x  0 ; 2 – x2 > 0  x  0 ; x < 2.

Đặt y = 2 x 2 > 0

Ta cã:

2 2 2 (1)
1 1
2 (2)
x y
x y
  


 



Tõ (2) cã : x + y = 2xy. Thay vµo (1) cã : xy = 1 hc xy =

-1
2

* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:
X2 – 2X + 1 = 0  X = 1  x = y = 1.

* NÕu xy =

-1

2 thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

X2 + X -

2 = 0  X =

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

V× y > 0 nªn: y =

1 3

2
 

 x =

1 3

Vậy phơng trình có hai nghiƯm: x1 = 1 ; x2 =

1 3

2
 

Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành  AB // CK 
 BACACK

Mà

ACK

sđEC =

2sđBD = DCB

Nên BCD BAC

Dng tia Cy sao cho BCy BAC  .Khi đó, D là giao điểm của AB và Cy.
Với giả thiết AB > BC thì BCA > BAC > BDC.

 D  AB .

Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm.

§Ị 8

Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A =

√

x2+1 − x − 1

√

x2+1− x Là một số tự

nhiên

b. Cho biểu thức: P = √x

√xy+√x +2+

√y

√yz +√y+1+

2√z

√zx+2√z +2 BiÕt x.y.z = 4 , tính

P .

Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a. Chøng minh 3 ®iĨm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.

Câu3 Giải phơng trình: x 1 3

2 x=5

Cõu 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R √2 . Vẽ các tiếp tuyến

AB, AC với đờng trịn. Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lợt tại D và

Chøng minh r»ng:

a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ).
b. 2

3R<DE<R

đáp án 
Câu 1: a.

A =

√

x2+1 − x −

√

x

2+1+x

(

√

x2+1 − x ).(

√

x2+1+x )

√

x2+1 x (

x2+1+x )= 2 x

A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = k

(trong đó k Z và k 0 )

b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 v

xyz=2

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thø 2 víi √x ; thay 2 ë mÉu cđa h¹ng tư thø 3 bëi

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

P =

x+2+xy

z

x

xy+x +2+

xy
xy +x+2+

2z

(1đ)

P=1 vì P > 0

Câu 2: a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = 2
Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4.

Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng thẳng AB
⇒ A, B, C không thẳng hàng.

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒

A,B,D thẳng hàn
b.Ta có :

AB2 = (-2 0)2 + (0 – 4)2 =20

AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10

BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ABC vuông tại C

Vậy SABC = 1/2AC.BC = 1

210 .√10=5 ( đơn vị diện tích )

Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√2 − x=v3 ta có hệ phơng trình:

¿
u − v=5
u2+v3=1

¿{

Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta đợc: v = 2

⇒ x = 10.

C©u 4

a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R ⇒ ABOC là hình
vng (0.5)

Kẻ bán kính OM sao cho
BOD = MOD ⇒

MOE = EOC (0.5®)
Chøng minh BOD = MOD

⇒ OMD = OBD = 900

T¬ng tù: OME = 900

⇒ D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng trịn (O).
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R
Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC

Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE > 2

3 R

VËy R > DE > 2

3 R

§Ị 9
Câu 1: Cho hàm số f(x) =

x2

4 x+4

a) TÝnh f(-1); f(5)

M
A

C
D

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A = f (x)

x2−4 khi x  ± 2

x ( y 2)=(x +2)( y 4 )

(x − 3)(2 y +7)=(2 x −7)( y+3)

¿{

A =

(

x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1

)

(

√x +

√x

√x −1

)

víi x > 0 vµ x  1

a) Rót gän A

2) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.

Gọi H là chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH

b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa

m·n: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án

C©u 1

a) f(x) =

x − 2¿2
¿
¿

√

x2− 4 x+4=√¿

Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3

f (x)=10⇔
x −2=10

¿
x −2=−10

¿
x=12

¿
x=−8

¿
¿
¿
⇔¿

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

c) A= f (x)
x2− 4=

|x − 2|

(x − 2)(x +2)

Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A= 1
x +2

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra A=− 1
x +2

C©u 2

x ( y −2)=(x+2)( y − 4)

(x −3)(2 y+7)=(2 x − 7)( y +3)

¿
⇔

xy −2 x=xy+2 y − 4 x −8

2 xy − 6 y +7 x −21=2 xy − 7 y +6 x −21

¿
⇔
x − y=− 4

x + y=0

⇔

¿x=-2

y =2
¿
¿{

(

x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1

)

(

√x +

√x

√x −1

)

(

(√x+1)(x −√x+1)

(√x −1)(√x+1) −
x − 1

√x − 1

)

(

√x (√x − 1)

√x − 1 +

√x

√x −1

)

(

x −√x +1

√x −1 −
x −1

√x −1

)

(

x −√x+√x

√x −1

)

= x −√x+1− x +1

√x − 1 :

x

√x −1

= −√x +2

√x − 1 :
x

√x −1 =

−√x +2

√x − 1 ⋅

√x − 1

x =

2 −√x
x

b) A = 3 => 2 −√x

x = 3 => 3x + √x - 2 = 0 => x = 2/3

C©u 4

B H C

E
A
P

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có

EH
PB =

CB ; (1)

Mặt khác, do PO // AC (cùng vu«ng gãc víi AB)

=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=>  AHC ∞  POB

Do đó: AH

PB =
CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E lµ trug ®iĨm cđa

AH.

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) vµ do AH = 2EH ta cã

AH2=(2 R −AH . CB

2PB )

AH . CB

2PB .

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB
⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB

2R¿2

4PB2+¿

¿
⇔ AH=4R . CB. PB

4 . PB2+CB2=

4R . 2R . PB

Câu 5 (1đ)

Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0

<=> (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0

Từ đó suy ra m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

x1+x2=−2m −1
2
x1. x2=m− 1

3x1− 4x2=11

⇔
¿{ {

x1=13-4m
7
x1=7m7

26-8m
313-4m

7 4

7m 7
26-8m=11

{ {

Giải phơng trình 313-4m
7 −4

7m− 7

26-8m=11

ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã
cho cú hai nghim phõn bit t

Đề 10
Câu I : Tính giá trị của biểu thức:

A = 1

3+5 +
1
√5+√7 +

√7+√9 + ...+

1
√97 +√99

B = 35 + 335 + 3335 + ... + 3333 .. .. . 35

99số 3
Câu II :Phân tích thành nhân tử :

1) X2 -7X -18

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4)

3) 1+ a5 + a10

1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)

2) ¸p dơng : cho x+4y = 5 . T×m GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2

Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I l trung im ca BC, M l mt

điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đờng thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của
đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q.

a) Chứng minh DM.AI= MP.IB
b) Tính tØ sè : MP

C©u 5:

Cho P =

√

x

− 4 x +3

√1− x

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.

đáp án
Câu 1 :

1) A = 1

√3+√5 +
1
√5+√7 +

√7+√9 + ...+

1
√97 +√99

= 1

2 ( √5−❑√3 + √7−√5 + √9 −√7 + ...+ √99 −√97 ) =
1

2 ( √99 −√3

)

2) B = 35 + 335 + 3335 + ... + 3333 .. .. . 35

⏟

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

=33 +2 +333+2 +3333+2+...+ 333....33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+...+333...33)

= 198 + 1

3 ( 99+999+9999+...+999...99)

198 + 1

3 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ ....+10100 – 1) = 198 – 33 +

B =

(

10101−102

)

+165

2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3

= (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2

= [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7)

3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1

- (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1)

-a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1)

Câu 3: 4đ

1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>

a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=>

0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=>

0 (ad - bc)2 (®pcm )

DÊu = x·y ra khi ad=bc.

2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :

52 = (x+4y)2 = (x. + 4y) (x2 + y2) (1+16) =>

x2 + y2 25

17 => 4x2 + 4y2

100

17 dÊu = x·y ra khi x=
5

17 , y =
20

17 (2đ)

Câu 4 : 5đ

Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác gãc ADB = gãc BCA=>

Δ MPD đồng dạng với Δ ICA => DM

CI =
MP

IA => DM.IA=MP.CI hay

DM.IA=MP.IB (1).

Ta cã gãc ADC = gãc CBA,

Gãc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - gãc AIM = gãc BIA.

Do đó Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>

DM
BI =

IA => DM.IA=MQ.IB (2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra MP

MQ = 1

C©u 5

Để P xác định thì : x2-4x+3 0 và 1-x >0

Tõ 1-x > 0 => x < 1

Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta cã :

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

VËy víi x < 1 th× biĨu thøc cã nghÜa.
Víi x < 1 Ta cã :

P =

√

x

2− 4 x +3
√1− x =

√

(x −1)(x 3)

1 x =3 x

Đề 11

Câu 1 : a. Rót gän biĨu thøc . A=

√

1+1

a2+

( a+1)2 Víi a > 0.
b. Tính giá trị của tổng. B=

√

1+1

12+
1
22+

√

1
22+

32+.. .+

√

1+
1
992+

1
1002

a. Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ m .

b. Gäi x1, x2 là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.

P= 2 x1x2+3

x12+x

22+2(x1x2+1)

1
1+x2+

1
1+ y2≥

2
1+xy

Câu 4 Cho đờng tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đờng tròn,

từM kẻ MH  AB (H  AB). Gọi E và F lần lợt là hình chiếu vng góc của H trên
MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng vng góc với è cắt dây AB tại D.

1. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi
trên đờng trịn.

2. Chøng minh.

MA2
MB2 =

AH
BD .

AD
BH

H

a (a+1) (Vì a > 0).

c. áp dụng câu a.

A=1+1

a−

a+1
¿⇒ B=100 − 1

100=
9999
100

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

x1+x2=m

x1x2=m− 1

¿{

⇒ P=2 m+1

m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.

⇒−1

2≤ P≤ 1

⇒GTLN=−1

2⇔m=− 2

GTNN=1⇔m=1

Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta đợc.

b®t ⇔ x ( y − x )
(1+x2)(1+xy )+

y ( x − y )

(1+ y2)(1+xy )≥ 0

⇔( x − y )2

(xy − 1)≥ 0 đúng vì xy ≥1

- Kẻ thêm đờng phụ.

- Chứng minh MD là đờng kớnh ca (o)
=> ...

Gọi E', F' lần lợt là hình chiếu của D trên MA và MB.
Đặt HE = H1

HF = H2

⇒AH

BD .
AD

BH =

HE . h1. MA2

HF. h2. MB2 (1)

⇔ Δ HEF ∞ ΔDF'E'

⇒HF .h2=HE. h

Thay vào (1) ta có: MA

2
MB2 =

AH
BD .

AD
BH

Đề 12

[

√a+√b

1 −√ab+

√a+√b

1+√ab

]

[

a+b+2 ab

1 −ab

]

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D

b) Tính giá trị của D với a = 2

2 −√3

c) T×m giá trị lớn nhất của D

Câu 2: Cho phơng trình 2

2 −√3 x

2- mx + 2

2 −√3 m

2 + 4m - 1 = 0 (1)

a) Gi¶i phơng trình (1) với m = -1

o
E'

E
A

F
F'

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thỗ mãn x1

1
+ 1

x2=x1+x2

Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, ^A=α(α=900
)

Chøng minh r»ng AI = 2 bc . Cos

α

b+c

(Cho Sin2 α=2 Sinα Cos α )

Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng

tròn sao cho N A ≤ N B . Vễ vào trong đờng trịn hình vng ANMP.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.

b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội
tiếp.

c) Chứng minh đờng thẳng MP ln đi qua một điểm cố định.

HÃy tính giá trị của:
B = xy

z +

y +

xyz

x

Đáp án

Cõu 1: a) - Điều kiện xác định của D là

¿
a ≥ 0
b ≥ 0

ab ≠ 1

¿{ {

- Rót gän D
D =

[

2√a+2 b√a

1− ab

]

[

a+b+ab

1− ab

]

D = 2√a

a+1

b) a =

2+√3

√3+1¿2⇒√a=√3+1
2¿

2
2+√3=¿

VËy D =

2+2√3
2

2√3+1

=2√3 −2
4 −√3

c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có

2√a≤ a+1 D 1

Vậy giá trị của D là 1

Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1

2x
2

+x 9

2=0 x
2

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

c
b
a
I
C
B
A

2

2

x1=1 10

x2= 1+10

{

b) Để phơng trình 1 cã 2 nghiƯm th× Δ≥ 0⇔− 8 m+2 ≥ 0 m 1

4 (*)

+ Để phơng trình có nghiệm khác 0

¿m1≠ − 4 −3√2
m2≠ − 4+3√2

¿
⇔ 1

2m
2

+4 m−1 ≠ 0

⇒

{

(*)

x1+

x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2− 1)=0⇔

x1+x2=0

x1x2− 1=0
¿{

⇔

2 m=0

m2+8 m−3=0

⇔

¿m=0

m=−4 −√19

m=− 4+√19

¿{

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và m=− 4 −√19

+ SΔ ABI=1

2AI . cSin

α

2;

+ SΔ AIC=

2AI . bSin

α

2;

+ SΔ ABC=1

2bcSin α ;

SΔ ABC=SΔ ABI+SΔ AIC

⇒ bcSin α=AISinα

2(b+c )

⇒ AI=bcSin α

Sinα
2(b+c )

2 bcCosα
2

b+c

QA QB

    Suy ra Q cố định

b) ^A

1= ^M1(¿^A2)

 Tø gi¸c ABMI néi tiÕp

c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Tam gi¸c ABF cã: AQ = QB = QF

 Δ ABF vuông tại A B=45^ 0 A ^F B=450

Lại cã Pˆ1 450  AFBPˆ1  Tø gi¸c APQF néi tiÕp 
 A ^P F= A ^Q F=900

Ta cã: A ^P F +A ^P M=900

+900=1800
M1,P,F Thẳng hàng

Cõu 5: Biến đổi B = xyz

(

x2+

y2+

z2

)

= ⋯=xyz.

2
xyz=2

§Ị 13

Bµi 1: Cho biĨu thøc A = 2

4( 1) 4( 1) 1

. 1

1
4( 1)

x x x x

x

x x

      



 



 

 

a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A

Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)

a) Viết phơng tình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M

Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:

x2 - m2x + m + 1 = 0

cã nghiƯm nguyªn.

Bài 4 : Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D  BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D

đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đờng tròn này cắt AB và AC lần lợt tại E và F. Chứng
minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = à.AB = AC2

Bµi 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mÃn điều kiÖn x2 + y2  x3 + y4. Chøng minh:

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

Đáp án 
Bài 1:

a) Điều kiện x tháa m·n

1 0

4( 1) 0
4( 1) 0
4( 1) 0

x
x x
x x
x x
 


  


  


  
  
1
1
1
2
x
x
x
x









 

  x > 1 vµ x  2

KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2

b) Rót gän A

A =

2 2

( 1 1) ( 1 1) 2

.
1
( 2)

x x x

x

x
     


A =

1 1 1 1 2

2 1

x x x

x x

     

 

Víi 1 < x < 2 A =

2
1 x

Víi x > 2 A =

2
1

x 

KÕt luËn

Víi 1 < x < 2 th× A =

2
1 x

Víi x > 2 thì A =

2
1

x

Bài 2:

a) A v B có hồnh độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng thẳng AB có

d¹ng y = ax + b

A(5; 2)  AB  5a + b = 2
B(3; -4)  AB  3a + b = -4
Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13

b) Gi¶ sö M (x, 0)  xx’ ta cã

MA = (x  5)2 (0 2)2
MB = (x  3)2 (04)2

 x = 1

KÕt luËn: Điểm cần tìm: M(1; 0)

Bài 3:

Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m4 - 4m - 4 là số chính phơng

Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 th× = 4 = 2 2 nhËn

m  3 th× 2m(m - 2) > 5  2m2 - 4m - 5 > 0

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

 m4 - 2m + 1 < < m 4

 (m2 - 1)2 < < (m 2)2

 kh«ng chính phơng

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Bài 4:

  ( 1  )

EADEFD  sd ED

(0,25)

  ( 1  )

FADFDC  sd FD

(0,25)

mµ EDA FAD  EFD FDC (0,25)

 EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)

b) AD là phân giác góc BAC nên DE DF

sđ

ACD

sđ(AED DF ) =

2s®AE = s®ADE

do đó ACDADE và EAD DAC

 DADC (g.g)
Tơng tự: sđ

1 1 ( )

2 2

ADF sd AF  sd AFD DF

  

( )

2 sd AFD DE sd ABD  ADFABD

do đó AFD ~ (g.g

c) Theo trªn:

+ AED ~  DB


AE AD

AD AC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD   

AD AF

AB AD

 AD2 = AB.AF (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF

Bài 5 (1đ):

Ta có (y2 - y) + 2  0  2y3  y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3)

mà x3 + y4  x2 + y3 do đó

x3 + y3  x2 + y2 (1)

+ Ta cã: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2  0

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x2 + y2  x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1)  0. (y - 1)(y3 -1)  0

x3 - x2 - x + 1 + y4 - y - y3 + 1  0

 (x + y) + (x2 + y3)  2 + (x3 + y4)

mµ x2 + y3  x3 + y4

 x + y  2
Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

x3 + y3  x2 + y2  x + y 2

F
E

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

Đề 14

Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1

cho A= ( 1 - )
x2- 4(x-1) x-1

a/ rót gän biĨu thøc A.

b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình

x2-(m+5)x-m+6 =0

Cã 2 nghiƯm x1 vµ x2 tho· m·n mét trong 2 ®iỊu kiƯn sau:

a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b/ 2x1+3x2=13

Câu 3Tìm giá trị của m để hệ phơng trình

mx-y=1

m3x+(m2-1)y =2

vô nghiệm, vô số nghiệm.

Câu 4: tìm max và min cđa biĨu thøc: x 2 +3x+1

x2+1

Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 450. Một

tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đờng
chéo BD tại Q.

a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Chng minh rng: SAEF=2SAQP

c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM

h

íng dÉn

Câu 1: a/ Biểu thức A xác định khi x 2 và x>1≠

( x-1 -1)2+ ( x-1 +1)2 x-2

A= . ( )
(x-2)2 x-1

x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2
= . = =
x-2 x-1 x-1 x-1
b/ Để A nguyên thì x- 1 là ớc dơng của 1 và 2

* x- 1 =1 thì x=0 loại

* x- 1 =2 th× x=5

vậy với x = 5 thì A nhận giá trị nguyªn b»ng 1

Câu 2: Ta có x = (m+5)∆ 2-4(-m+6) = m2+14m+1 0 để ph≥ ơng trìnhcó hai nghiệmphân

biƯt khi vµchØ khi m -7≤ -4 3 vµ m -7+4 3 (*) ≥
a/ Gi¶ sư x2>x1 ta cã hÖ x2-x1=1 (1)

x1+x2=m+5 (2)

x1x2 =-m+6 (3)

Giải hệ tađợc m=0 và m=-14 thoã mãn (*)
b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’)

x1+x2 = m+5(2’)

x1x2 =-m+6 (3’)

giải hệ ta đợc m=0 và m= 1 Tho món (*)

Câu 3: *Để hệ vô nghiệm th× m/m3=-1/(m2-1) 1/2≠

3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1 -2 3m≠ 2≠-1 m=±1/2 m= 1/2±

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

3m3-m=-m3 m=0

3m2-1= -2 m= 1/2±

V« nghiƯm

Khơng có giá trị nào của m để hệ vô số nghiệm.

Câu 4: Hàm số xác định với x∀ (vì x2+1 0) x 2+3x+1

gọi y0 là 1 giá trịcủa hàmphơng trình: y0=

x2+1

(y0-1)x2-6x+y0-1 =0 cã nghiÖm

*y0=1 suy ra x = 0 y0 1; ’=9-(y≠ ∆ 0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy ra

-2 ≤ y0 ≤ 4

VËy: ymin=-2 và y max=4

Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình)
Giải

a/ A1 và B1 cùng nhìn đoạn QE dới một góc 450

t giỏc ABEQ nội tiếp đợc.
 FQE = ABE =1v.

chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v

 Q, P, C cùng nằm trên đờng tròn đờng kinh EF.
b/ Từ câu a suy ra AQE vuông cân. ∆



AE

AQ = 2 (1)

t¬ng tù APF còng vuông cân

AF

AB = 2 (2)

tõ (1) vµ (2)  AQP ~ AEF (c.g.c)

AEF
AQP

S
S

= ( 2 )2 hay S

AEF = 2SAQP

c/ §Ĩ thÊy CPMD néi tiÕp, MC=MD vµ APD=CPD

MCD= MPD=APD=CPD=CMD

MD=CD  ∆MCD đều  MPD=600

mµ MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta cã APB=450 vËy MAB=600-450=150

Đề 15
Bài 1: Cho biểu thøc M = 2√x − 9

x −5√x+6+

2√x +1

√x − 3+

√x +3

2 −√x

a. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5

c. Tìm x Z để M Z.

bài 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoÃ mÃn phơng trình

3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = 3

Bài 3: a. Cho các số x, y, z d¬ng tho· m·n 1

x +

y +

z = 4

1
1

P
M

D C

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

Chøng ming r»ng: 1

2 x + y +z +

x +2 y +z +

x + y +2 z 1

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc: B = x

−2 x+2006

x2 (víi x 0 )
Bµi 4: Cho hình vuông ABCD. Kẻ tia Ax, Ay sao cho x ^A y = 45 ❑0

Tia Ax cắt CB và BD lần lợt tại E và P, tia Ay cắt CD và BD lần lợt tại F và Q
a. Chứng minh 5 điểm E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đờng tròn

b. S Δ AEF = 2 S Δ APQ

Kẻ đờng trung trực của CD cắt AE tại M. Tính số đo góc MAB biết C ^P D =

C ^M D

Bµi 5: (1®)

Cho ba sè a, b , c kh¸c 0 tho· m·n:

a+

b+

c=0
¿

; H·y tÝnh P = ac

c2+
bc

a2+
ac

b2
đáp án

Bµi 1:M = 2√x − 9

x −5√x+6+

2√x +1

√x − 3+

√x +3

2 −√x

a.§K x ≥ 0 ; x ≠ 4 ;x ≠ 9 0,5®

Rót gän M = 2√x − 9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x − 2)

(√x −2) (√x −3)

Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x − 2

(√x −2) (√x −3) M =

(√x+1)(√x − 2)

(√x −3) (√x − 2)⇔ M=
√x +1

√x −3

b .. M = 5⇔√x −1

√x − 3=5

⇒√x +1=5(√x − 3)

⇔√x +1=5√x − 15

⇔16=4√x

⇒√x=16

4 =4⇒ x=16

c. M = √x+1

√x − 3=

√x −3+4

√x −3 =1+

4
√x −3

Do M z nên x 3 là ớc của 4 x 3 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;
4

⇒ x∈{1; 4 ;16 ;25 ;49} do x ≠ 4⇒ x∈{1;16 ;25 ;49}

Bµi 2 a. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

<--> 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

<--> (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96

<--> 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng và 3x + 4y > x + 2y 3
mà 96 = 25. 3 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu din thnh

tích 2 thừa số không nhỏ hơn 3 lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 6. 16 = 8. 12

Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn
do đó

¿
x +2 y=6

3 x+4 y=24

¿{

HÖ PT này vô nghiệm

x +2 y=6

3 x+4 y=16

¿{

⇒
x=4
y=1
¿{

¿
x +2 y =8

3 x+4 y=12

¿{

HƯ PT v« nghiƯm

VËy cÊp sè x, y nguyên dơng cần tìm là (x, y) = (4, 1)
b. ta cã /A/ = /-A/ A∀ A

Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/

❑/x −2005+2008 − x /❑/3 /❑3 (1)

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = 3 (2)
Kết hợp (1 và (2) ta có / x - 2006/ + / y - 2007/ 0 (3)

(3) sảy ra khi và chỉ khi

x 2006 /❑0

y − 2007/❑0

⇔
¿x=2006

y=2007
¿{

Bµi 3

a. Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ
b. Với mọi a, b thuộc R: x, y > 0 ta có a

x +
b2

y≥

(a+b )2

x + y (∗)

<-->(a2y + b2x)(x + y) (a+b )2xy

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy

 a2y2 + b2x2  2abxy

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

 (ay - bx)2  0 (**) bất đẳng thức (**) đúng với mọi a, b, và x,y > 0

DÊu (=) x¶y ra khi ay = bx hay

a b

x y

áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 4 4 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

         
  
         
         
    
       

2 2 2 2

1 1 1 1

1 2 1 1

4 4 4 4

x y x z x y z

       
         
       
        
 
T¬ng tù

1 1 1 2 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

1 1 1 1 2

2 16

x y z x y z

 

    

   

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2

2 2 2 16 16 16

1 4 4 4 4 1 1 1 1

.4 1

16 16 4

x y z x y z x y z x y z x y z x y z

x y z x y z

     
              
           
   
         
   
V×

1 1 1
4

x yz 





2
2
2 2006
0
x x
B x

x
 
 

Ta cã: B=x

2−2 x+2006

x2 ⇔ B=

2006 x2−2 . 2006 x +20062

2006 x

⇔ B=( x − 2006)

2+2005 x2

x2 ⇔

(x −2006 )2+2005

2006 x2 +

2005
2006

V× (x - 2006)2  0 víi mäi x

x2 > 0 víi mäi x kh¸c 0





2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x



</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

Bµi 4a. EBQ EAQ 450  EBAQ



 

 néi tiÕp; ˆB = 900 à gãc AQE = 900 à gãcEQF =

900

T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900 à gãc APF = 900 à gãc EPF = 900 …… 0,25®.

Các điểm Q, P,C luôn nhìn dới 1góc900 nên 5 điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên

1 đờng trịn đờng kính EF ………0,25đ

b. Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE

Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

2 1 1 2

2
2

APQ

APQ AEE
AEF

S

k S S

S



 



 

     

 

c. gãc CPD = gãc CMD à tø gi¸c MPCD néi tiÕp góc MCD = góc CPD (cùng
chắn cung MD)

Lại cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cña AC)
gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD à tam giác MDC đều à góc CMD =
600

à tam giác DMA cân tại D (vì AD = DC = DM)

Vµ gãc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : 2 = 750

à gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = 0 (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z)

à x3 + y3 + z3 – 3 xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz .0 = 0

Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = 0 à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = 3

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

Đề 16
Bài 1Cho biÓu thøc A =

x2−3¿2+12 x2
¿
¿
¿

√¿

+ x+2¿

2−8 x2

√¿

a. Rót gän biĨu thøc A

b. Tìm những giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A cũng có giá trị nguyên.

Bài 2: (2 ®iÓm)

Cho các đờng thẳng:

y = x-2 (d1)

y = 2x – 4 (d2)

y = mx + (m+2) (d3)

a. Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) luôn đi qua với mọi giá trị của m.

b. Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy .

Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a. Chøng minh phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình (1) mà không phụ
thuộc vào m.

c. Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 là nghiệm của phơng trình

(1))

Bi 4: Cho đờng tròn (o) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi vị trí trên cung

lớn BC sao cho AC>AB và AC > BC . Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các
tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lợt là giao điểm của các cặp
đờng thẳng AB với CD; AD và CE.

a. Chøng minh r»ng DE// BC

b. Chøng minh tø gi¸c PACQ nội tiếp

c. Gọi giao điểm của các dây AD và BC lµ F
Chøng minh hƯ thøc: 1

CE =
1

CQ +
1
CE

Bµi 5: Cho các số dơng a, b, c Chøng minh r»ng: 1< a

a+b+
b
b+c+

c
c +a<2

đáp án 
Bài 1: - Điều kiện : x 0

a. Rót gän: A=

√

x

4+6 x2
+9

x2 +

√

x
2

− 4 x +4

¿x

2
+3

|x| +|x − 2|

- Víi x <0: A=−2 x

+2 x −3

x

- Víi 0<x 2: A=2 x+3

x

- Víi x>2 : A=2 x2−2 x+3

x

b. Tìm x nguyên để A nguyên:
A nguyên <=> x2 + 3 ⋮|x|

<=> 3=> x ⋮|x| = {−1 ;−3 ;1 ;3 }

Bµi 2:

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

<=> m (x+1)+ (2-y) = 0
Để hàm số luôn qua điểm cố định với mọi m

¿
x+1=0

2− y=0

¿{

=.>

¿
x=−1

y =2
¿{

Vậy N(-1; 2) là điểm cố định mà (d3) đi qua

b. Gọi M là giao điểm (d1) và (d2) . Tọa độ M là nghiệm của hệ
¿

y =x −2
y=2 x − 4

¿{

¿
x=2
y=0

¿{

VËy M (2; 0) .

Nếu (d3) đi qua M(2,0) thì M(2,0) là nghiÖm (d3)

Ta cã : 0 = 2m + (m+2) => m= - 2

VËy m = - 2

3 thì (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bµi 3: a. Δ' = m2 –3m + 4 = (m - 3

2 )2 +
7

4 >0 m.

b. Theo ViÐt:

x1+x2=2(m−1)

x1x2=m− 3

¿{

x1+x2=2m −2

2 x1x2=2m −6

¿{

<=> x1+ x2 – 2x1x2 4 = 0 không phụ thuộc vào m

a. P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)

= (2m - 5

2 )2 +
15

4 ≥
15

4 ∀ m

VËyPmin =

15
4

víi m =

5
4

Bài 4: Vẽ hình đúng – viết giả thiết – kết luận

a. S® ∠ CDE = 1

2 S® DC =
1

2 S® BD = ∠BCD

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

b. ∠ APC = 1

2 s® (AC - DC) = ∠ AQC

=> APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = AQC
cùng nhìn đoan AC)

c.Tø gi¸c APQC néi tiÕp

∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ)
∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC)
Suy ra ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ
Ta cã: DE

PQ =
CE

CQ (v× DE//PQ) (1)
DE

FC =
QE

QC (v× DE// BC) (2)

Céng (1) vµ (2) : DE

PQ+
DE
FC =

CE+QE

CQ =

CQ
CQ=1

=> 1

PQ+
1
FC=

DE (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy ra PQ = CQ
Thay vµo (3) : 1

CQ+
1
CF=

Bµi 5:Ta cã: a

a+b+c <
a

b+a <

a+c

a+b+c (1)

b

a+b+c <
b

b+c <

b+a

a+b+c (2)

c

a+b+c <
c

c+a <

c +b

a+b+c (3)

Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :
1 < a

a+b +

b

b+c +
c

c+a < 2

Đề số 15:
Bài 1:

Biết rằng x, y là các số tự nhiên có 2005 chữ số.Số x chỉ viết bởi các chữ số 9 và số
y chỉ viết bởi các chữ số 8. HÃy so sánh tổng các chữ của tích xy và tổng các chữ số
của x2.

Bài 2:

Hóy xỏc nh a h pt sau có nghiệm duy nhất:
4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho (x +

√

x2

+1)(y +

√

y2+1)=1 . tÝnh M = x

√

y2+1+ y

√

x2+1

Bµi 4:

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

Chøng minh: BX = CA; CY = BA.

§Ị sè 16:
Bài 1:

Tìm tất cả các số nguyen dơng n sao cho 2n + 153 là bình phơng của một số

nguyên.

Bài 2:

Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mÃn abc =1. H·y tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =

a2+b2−c2

c +

b2+c2a2

a +

c2+a2 b2

b

Bài 3:

Chứng minh rằng không có số nào trong hai sè sau: p -1; p +1 lµ sè chính phơng

với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên.

Bài 4:

Cho AB & CD l hai ng kớnh vng góc với nhau của một đờng trịn (O,R).M là
một điểm trên (O). Tìm Max của P = MA.MB.MC.MD.

Bµi 5:

Trong mặt phẳng cho (O) và hai điểm A,B cố định nằm trên đờng trịn. Tìm vị trí
điểm m sao cho đờng thẳng AM cắt (O) tại C và AM = AC + CB (C#A).

Đề số 17:
Bài 1:

Chứng minh rằng số d trong phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 là 1 hoặc số
nguyên tố.

Bài 2:

Tìm tất cả các số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng tr×nh:
x+ y + z =6

x+

y+

z=2 −

4
xyz

Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3. Chøng minh : f ( 2006

2005 ) < f(
2005
2004 ).

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. BO,CO theo thứ tự cắt AC,AB tại
M,N. Dựng các hình bình hành OMEN,OBFC. Chứng minh rằng A,E,F thẳng hàng và

AE
AF=

AM . AN
AB . AC =

OM .ON
OB . OC

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R. Tìm trên nửa đờng trịn đó (khơng kể
hai đầu mút A,B) tất cả những bộ ba điểm C1, C2, C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 +

AC3 = BC3 + AC1 = d, trong đó d là độ dài của một đoạn thẳng cho trớc. Biện luận.

§Ị số 18;
Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 và số thùc x tho¶ m·n 2006n + 2005n =xn. Hái x có thể là

số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y. Tìm giá trị Max & Min của F = x –y .

Bµi 3:

Rót gän:

T =

(

14
+1

)(

3
4

)

. ..

(

2005
4

+1
4

)

(

24+1
4

)(

4
+1

)

. . .

(

2006
4

+1
4

)

Bµi 4:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE và các cạnh còn lại thoả mãn
điều kiện: BC + FD = EF + CA. Chứng minh: hai tam giác đó bằng nhau.

Bµi 5:

Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh bằng a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho
tổng các khoảng cách từ M tới các đờng thẳng AB,BC ,CD ,DA bằng 2a.

§Ị thi tun sinh

*Trêng THPT Ngun Tr·i

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

Thời gian: 150 phút

Bài 1. (3 điểm)

Cho biểu thức.

A =

(

√

x +2 − 4√x −2+

√

x +2+4√x − 2)

√

x2−

x+1
1) Rót gän biĨu thøc A.

2) Tìm các số ngun x để biu thc A l mt s nguyờn

Bài 2.( 3 điểm)

1) Gäi x ❑1 vµ x ❑2 lµ hai nghiệm của phơng trình.

x2 -(2m-3)x +1-m = 0

Tỡm cỏc giỏ trị của m để: x ❑1 2+ x ❑

2 2 +3 x ❑1 .x ❑2 (x

¿ ¿❑

+ x ❑2 )

đạt giỏ tr ln nht

2) Cho a,b là các số hữu tØ tho¶ m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003

Chøng minh rằng phơng trình: x2 +2x+ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ.

Bài 3. ( 3 điểm)

1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800. TÝnh tØ sè BC

AB .

Bµi 4. ( 1 ®iĨm)

Chứng minh bất đẳng thức:

√

a2

+b2−

√

a2+c2 | | b-c|

víi a, b,c lµ các số thực bất kì.

*Trờng năng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150 )

Bài 1. ( 2 điểm) cho biểu thức: P(x) = 2 x −

√

x
2−1

3 x2− 4 x +1

1) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x)
2) Chứng minh rằng nếu x > 1 thỡ P(x).P(-x) < 0

Bài 2. ( 2 điểm)

1) cho phơng trình: x

2(2 m+1) x+3 m2+6 m

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

a) Giải phơng trình trên khi m = 2

b) Tỡm tất cả các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x ❑1 và x ❑2

tho¶ mÃn x 1 +2 x 2 =16

2) Giải phơng trình:

2 x

1+x+

1
2+

1
2 x=2

Bài 3 (2 điểm)

1) Cho x,y là hai số thực thoả mÃn x2+4y2 = 1

Chứng minh r»ng: |x-y| √5

2
+4

n+5

Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mÃn 1 n 2004 sao cho A là phân số cha tèi
gi¶n

Bài 4( 3 điểm) Cho hai đờng trịn (0 ❑1 ) và (0 ❑2 ) cắt nhau tại P và Q. Tiếp

tuyến chung gần P hơn của hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ❑1 ) tại A, tiếp xúc với (0

❑2 ) tại B. Tiếp tuyến của (0 ❑1 ) tại P cắt (0 ❑2 ) tại điểm thứ hai D khác P, đờng

thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy chứng minh rằng:
1)Bốn điểm A, B, Q,R cựng thuc mt ng trũn

2)Tam giác BPR cân

3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.

Bài 5. (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB. Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy

điểm E sao cho DB = BC = CE. Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đờng tròn nội
tiếp và tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bán kính đờng trũn ngoi tip
tam giỏc ADE

Toán 9(150)

Bài 1(5) Cho A=

(

x+2

3 x +
2

x+1− 3

)

: 2 − 4 xx +1 −

3 x+1 − x2
3 x

a) Rót gän A

b) Tìm A để x= 6013
c) Tìm x để A <0
d) Tìm x để A ngun

Bµi 2.(3) Cho A=(x+y+z)3 -x3-y3-z3

a) Rót gän A

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

Bài 3.( 4) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cờng ( mỗi ngời

bắn một viên), ngời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8,9,10 và thông báo:
a) Hùng đạt điểm 10

b) Dũng không đạt điểm 10
c) Cờng không đạt điểm 9

Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thơng báo là đúng, hãy cho
biết kết quả im bn ca mi ngi.

Bài 4(5) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= c,AC=b. Lần lợt dựng trên AB, AC

bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E.
a) Chứng minh rằng các điểm E, A, D thẳng hàng

b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông
c) Tính diƯn tÝch tø gi¸c BDEC

d) Đờng thẳng EDcắt đờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b,c

Bµi 5(3) Cho tứ giác ABCD,M là một điểm trên CD( kh¸c C, D)

Chøng minh r»ng MA + MB < Max {CA+CB; DA+DB}( Là giá trị lớn nhất
trong 2 giá trị CA+CB;DA+DB)

Toán 9( 120 phút)
 Bài 1(4)

Giải phơng trình:

(

1. 1011 +
1

2. 102+. . .. ..+
1

10 . 110

)

x=
1
1 . 11+

2 .12+.. . .+
1
100. 110

Bµi 2(4)

Tìm x để hàm số y= x/(x+2004)2 có giá trị lớn nhất

Bµi 3( 4)

Cho phơng trình

a+3
x +1

5 3 a

x 2 =

ax+3

x2 x 2

Với giá trị nào của a thì phơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1?

Bài 4(4)

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

nhận đợc, có thể dựng đợc một tứ giác nội tiếp hình thang này( mỗi đỉnh của tứ giác
nằm trên một cạnh của hình thang cân)

Bµi 5(4)

Cho tam giác ABC có AB= c, BC=a,CA=b. Gọi I ❑b ,I ❑c theo thứ tự là độ
dài cảu các đờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rng nu b>c thỡ I b

c

Đề thi vào chuyên 10( Hải Dơng)

thời gian: 150

Bài 1(3) Giải phơng trình:

1) |x2+2x-3|+|x2-3x+2|=27

x 12

x (x 2)

Bài 2(1) Cho 3 số thực dơng a,b,c vµ ab>c; a3+b3=c3+1. Chøng minh r»ng a+b>

c+1

Bài 3(2) Cho a,b,c,x,y là các số thực thoả mãn các đẳng thức sau: x+y=a,

x3+y3=b3,x5+y5=c5. Tìm đẳng thức liên hệ giữa a,b,c khơng phụ thuộc x,y.

Bµi 4(1,5) Chứng minh rằng phơng trình (n+1)x2+2x-n(n+2)(n+3)=0 có nghiệm

là số hữu tỉ với mọi số nguyên n

Bi 5(2,5) Cho ng trịn tâm O và dây AB( AB khơng đi qua O). M là điểm

1) Chøng minh r»ng MI vu«ng góc với PQ

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

*Chuyên tỉnh Bà Địa Vũng Tàu. (2004-2005)

thời gian:150 phút

Bài 1:

1/iải phơng trình:

5x + 5

2x=2 x +

1
2 x+4

2/chứng minh không tồn tại các số nguyên x,y,z thoả mÃn:
x3+y3+z3 =x +y+z+2005

Bài 2:

Cho hệ phơng trình:

x2 +xy = a(y – 1)

y2 +xy = a(x-1)

1/ gi¶i hƯ khi a= -1

2/ tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

Bµi 3:

1/ cho x,y,z là 3 số thực thoả mÃn x2+ y2+z2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A =2xy

+yz+ zx.

2/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x4 – 2x3 +2(m+1)x2 –(2m+1)x +m(m+1) =0

Bµi 4:

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

2/ BC

DI =

AB
DK +

AC
DH

*Chuyªn toán- tin tỉnh Thái Bình (2005-2006,150 phút)
Bài 1 (3đ):

1. Giải pt: √x+1 −√3 x=2 x −1

2. Trong hệ trục toạ độ Oxy hãy tìm trên đờng thẳng y= 2x +1 những điểm
M(x;y) thoả mãn điều kiện: y2 – 5y

√x +6x = 0.

Bài 2(2,5đ):

1. Cho pt: (m+1)x2 (m-1)x +m+3 = 0 (m lµ tham sè)

tìm tất cả các giá trị của m dể pt có nghiệm đều là những số nguyên.

2. Cho ba số x,y,z . Đặt a= x +y +z, b= xy +yz + zx, c= xyz. Chứng minh các ph
-ơng trình sau đều có nghiệm:

t2 + 2at +3b =0; at2 – 2bt + 3c =0

Bµi 3(3đ)

Cho tam giác ABC.

1. Gi M l trung im ca AC. Cho biết BM = AC. Gọi D là điểm đối xứng của
B qua A, E là điểm đối xứng của M qua C. chứng minh: DM vng góc với BE.

2. LÊy mét ®iĨm O bÊt kú n»m trong tam giác ABC. Các tia AO,BO,CO cắt các
cạnh BC,CA,AB theo thứ tự tại các điểm D,E,F. chứng minh:

a) OD

AD +
OE
BE+

OF
CF =1

(

1+AD
OD

)(

BE
OE

)(

CF
OF

)

64

Bài 4(0.75đ)

xét các đa thức P(x)= x3+ ax2 +bx +c

Q(x)=x2 +x + 2005

Biết phơng trình P(x)=0 có 3 nghiệm phân biệt, còn pt P(Q(x)) =0 vô nghiệm.
Chứng minh rằng P(2005)>1/64

Bài 5 (0,75đ)

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Hải Dơng. (2004-2005)

thời gian :150

Bài 1: (3đ)

Trong h trục toạ độ Oxy, cho hàm số y= (m+2)x2 (*)

1/ tìm m để đồ thị hàm số (*) đi qua điểm:

a) A(-1;3), b) B( √2 ; -1), c) C(1/2; 5)

2/ thay m=0. Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị (*) với đồ thị hàm số y= x+1.

Bµi 2: (3đ)

Cho hệ phơng trình:

(m-1)x + y = m
x + (m-1)y =2

gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x;y).

1/ Tỡm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
2/ Tìm giá trị của m thoả mãn 2x2 -7y =1

3/ Tìm các giá trị của m để biểu thức 2 x − 3 y

x+ y nhận giá trị nguyên.

Bài 3 (3đ)

Cho tam giác ABC ( ^A=900 ). Từ B dựng đoạn thẳng BD về phía ngoài tam giác

ABC sao cho BC=BD và A ^B C=C ^B D ; gọi I là trung điểm của CD; AI cắt BC tại
E. Chứng minh:

1. C ^A I=D ^B I

2. ABE là tam giác cân.
3. AB.CD = BC.AE

Bài 4: (1đ)

tính giá trị biểu thức A= x

54 x33 x +9

x4

+3 x

2+11 với

x
x2+x+1=

1
4

*Trờng Chu Văn An và HN AMSTERDAM(2005 2006)

(dành cho chuyên Toán và chuyên Tin; thời gian :150)

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) abc với a,b,c là các số nguyªn. Chøng minh nÕu a +b
+c chia hÕt cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2(2đ)

Cho hệ phơng trình:

(x+y)4 +13 = 6x2y2 + m

xy(x2+y2)=m

1. Gi hƯ víi m= -10.

2. Chứng minh không tồn tại giá trị của tham số m để h cú nghim duy nht./

Bài 3 (2đ):

Ba số dơng x, y,z tho¶ m·n hƯ thøc 1

x+

y+

z=6 , xÐt biĨu thøc P = x + y2+ z3

1. Chøng minh P x+2y+3z-3
2.Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 4 (3đ):

Cho tam giác ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho
AEDF là tứ giác nội tiếp. Trên tia AD lấy điểm P (D nằm giữa A&P) sao cho DA.DP
= DB.DC

1. chứng minh tứ giác ABPC nội tiếp và 2 tam giác DEF, PCB đồng dạng.

2. gọi S và S lần lợt là diện tích của hai tam gi¸c ABC & DEF, chøng minh:

s '
s ≤

(

EF
2 AD

)

Bài 5(1đ)

Cho hỡnh vuụng ABCD v 2005 ng thng tho mãn đồng thời hai điều kiện:
 Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vng.

 Mỗi đờng thẳng đều chia hình vng thành hai phần có tỷ số diện tích là 0.5
Chứng minh trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy.

§Ị thi HS giỏi TP Hải Phòng (2004-2005)

(toán 9 bảng B thêi gian: 150’)

Bµi 1

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

x − y¿2
¿
¿

√¿

√

x y2
xy +

b)Giải phơng trình:

5 26
()

x

5+26
()

x

Bài 2

a) S o hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm của phơng trình
bậc hai: (m-2)x2 -2(m-1)x +m =0. Hãy xác định giá trị của m để số đo đờng cao ng

với cạnh huyền của tam gíac là 2

b) T×m Max & Min cđa biĨu thøc y= 4 x +3

x2+1

Bµi 3

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O, cú gúc C=450. ung trũn ng kớnh

AB cắt các cạnh AC & BC lần lợt ở M& N
a> chứng minh MN vu«ng gãc víi OC
b> chøng minh √2 .MN = AB

Bµi 4:

Cho hình thoi ABCD có góc B= 600. Một đờng thẳng qua D khơng cắt hình thoi,

nhng cắt các đờng thẳng AB,BC lần lợt tại E&F. Gọi M là giao của AF & CE. Chứng
minh rằng đờng thẳng AD tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDF.

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

(dành cho mọi đối tợng , thi gian: 150)

Bài 1(2đ): Cho biểu thức P= xx 1

x −√x −

x√x +1
x +√x +

x +1

√x

1.Rót gän P

2. T×m x biết P= 9/2

Bài 2(2đ): Cho bất phơng trình: 3(m-1)x +1 > 2m+x (m là tham số).

1. Giải bpt với m= 1- 2 √2

2. Tìm m để bpt nhận mọi giỏ tr x >1 l nghim.

Bài 3(2đ):

Trong mt phng to độ Oxy cho đờng thẳng (d):2x – y –a2 = 0 và parabol

(P):y= ax2 (a lµ tham sè d¬ng).

1. Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A&B. Chứng minh rằng khi đó A&B
nằm bên phải trục tung.

2. Gọi xA&xB là hoành độ của A&B, tìm giá trị Min của biểu thức T=

xA+xB+
1

xA+xB

Bài 4(3đ):

ng trũn tõm O cú dõy cung AB c định và I là điểm chính giữa của cung lớn

AB. Lấy điểm M bất kỳ trên cung lớn AB, dựng tia Ax vng góc với đờng thẳng MI
tại H và cắt tia BM tại C.

1. Chøng minh c¸c tam gi¸c AIB & AMC là tam gíac cân

2. Khi im M di động, chứng minh điểm C di chuyển trên một cung trịn cố định.
3. Xác định vị trí của điểm M chu vi tam giỏc AMC t Max.

Bài 5(1đ):

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC vµ trung tuyÕn AM, gãc ACB = α
,gãc AMB = β . Chøng minh r»ng: (sin α +cos α )2= 1+ sin β

Thi häc sinh giái TP Hải Phòng (2004-2005)

(Toán 9 bảng A- thời gian:150)

Bài 1:

a. Rót gän biĨu thøc: P =

√

x2y2

xy +

√

( x − y )2

x − y .

(

√

x2
x −

√

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

b. Giải phơng trình: 2+x

2+x+

2 x

2

2 x=2

Bµi 2:

a. ( đề nh ở bảng B)

b. Vẽ các đờng thẳng x=6, x=42, y=2, y=17 trên cùng một hệ trục toạ độ. Chứng
minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bơỉ các đờng thẳng trên khơng có điểm
ngun nào thuộc đờng thẳng 3x + 5y = 7.

Bµi 3:

Bµi 4:

Cho tam giác ABC cân ở A, AB =(2/3).BC, đờng cao AE. Đờng tròn tâm O nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F.

a. chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ECF.
b. Gọi M là giao điểm của BF với (O). Chứng minh: BMOC là tứ giác nội tiếp.

Thi häc sinh giái tØnh HaØ D¬ng (2004-2005)

( lớp 9, thời gian: 150)

Bài 1(3,5đ):

1. Gọi x1, x2 la nghiệm của phơng trình x2 + 2004x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm của

phơng trình x2 + 2005 x +1 =0. Tính giá trị của biểu thức: ( x

1+x3)(x2+x3)(x1-x4)(x2

-x4).

2. Cho a,b,c là các số thực và a2 + b2 < 1. Chứng minh:phơng trình (a2+b2-1)x2

-2(ac + bd -1)x +c2+d2 -1 =0 luôn có nghiệm.

Bài 2 (1,5đ):

Cho hai số tự nhiên m và n thoả mÃn m+1

n +

n+1

m là số nguyên. chứng minh rằng:

ớc chung lớn nhất của m và n không lớn hơn m=n

Bài 3 (3đ):

Cho hai ng trũn (O1), (O2) cắt nhau tại A & B. Tiếp tuyến chung gần B của hai

đ-ờng tròn lần lợt tiếp xúc với (O1), (O2) tại C & D. Qua A kẻ đờng thẳng song song với

CD, lần lợt cắt (O1), (O2) tại M & N. Các đờng thẳng BC,BD lần lợt cắt đờng thẳng

MN tại P & Q; các đòng thẳng CM, DN cắt nhau tại E. Chứng minh:
a Đờng thẳng AE vng góc với đờng thẳng CD.

b. Tam giác EPQ là tam giác cân.

Bài 4 (2đ):

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

x5 + y5 =11

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (năm học 2003-2004)

Tỉnh Vĩnh Phúc (150phút )

Câu 1: (3đ) Cho hệ pt víi tham sè a: x+4∨ y∨¿∨x∨¿

¿y∨+¿x − a∨¿1

a. gi¶i hƯ pt khi a=-2

b. tìm các giá trị của tham số a để hệ pt có ỳng hai nghim

Câu 2(2đ):

a. cho x,y,z là các số thực không âm thoả mÃn x=y=z = 1. Tìm giá trị max cđa
biĨu thøc: A= -z2+z(y+1) +xy

b.Cho tứ giác ABCD (cạnh AB,CD có cùng độ dài) nội tiếp đờng trịn bán kính 1.
Chứng minh: nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đờng trũn bỏn kớnh r thỡ r 2

2 .

Câu 3(2đ):

Tim tất cả các số nguyên dơng n sao cho phơng trình:
499(1997n +1) = x2 +x có nghiệm nguyên.

Câu 4 (3®):

a. chứng minh bốn điểm B,M,F,P cùng thuộc một đờng trũn.

b. giả sử ba điểm D,M,P thẳng hàng. tính số ®o gãc cđa tam gi¸c ABC.

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

TØnh H D ơng (150 phút)
Bài 1(2.5đ):

Giải pt: |xy x − y +a|+|x2y2+x2y + xy2+xy − 4 b|=0 víi

a= (√57+3√6+√38+6) (√57 −3√6 −√38+6)

√

17− 12√2+

√

3 −2√2+

√

3+2√2

Bµi 2(2.5®)

Hai phơng trình: x2+ (a-1)x +1 =0; x2 + x + c =0 có nghiệm chung, đồng thời hai

pt: x2 + x +a -1= 0; x2 +cx +b +1 =0 cũng có nghiệm chung.

Tính giá trị biểu thức (2004a)/ (b +c).

Bài 3(3đ):

Cho hai ng trũn tõm O1, O2 ct nhau tại A,B. Đờng thẳng O1A cắt (O2) tại D,

®-êng thẳng O2A cắt (O1) tại C.

Qua A k ng thng song song với CD căt (O1) tại M và (O2) tại N. Chứng minh

r»ng:

1. Năm điểm B,C,D,O1,O2 nằm trên một ng trũn.

2. BC+BD = MN.
Bài 4(2đ)

Tìm các số thực x, y thoả mÃn x2 +y2 = 3 và x+y là số nguyên.

Tỉnh Bình Thuận (150 phút)
Bài 1(6đ):

1. Chứng minh rằng: A = 2

5

13+48

6+2 là số nguyên.

2. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho:
cba =(n-2)2

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Baì 2(6đ)

1. Giải pt: x3 + 2x2 + 2 2 x +2 √2 =0

2. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đờng thẳng (d): y= (1/2)x +2.

a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

b) Gäi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB cđa (P) sao cho
diƯn tÝch tam gi¸c MAB max.

c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất.

Bài 3(8đ):

1. Cho ng trũn tõm O v dõy cung BC không đi qua O. Một điểm A chuyển
động trên đờng tròn (A#B,C). gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đờng vng
góc hạ từ M xuống đờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đờng tròn cố
định2. Cho 2 đờng tròn (O,R) và (O’,R’) (R>R’), cắt nhau tại A,B. Tia OA căt (O) tại
D; tia BD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC &
BE.

§Ị sè 2:
Bài 1.

Giải hệ phơng trình

xy +2 x+ y=0
yz +2 z +3 y=0
xz +3 x+z =0

{ {

Bài 2.

Tìm tất cả các số nguyên dơng a,b sao cho ab = 3(b-a)

Bài 3. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S =

(2-x)(2-y)

Bài 4.

Cho tam giác cân ABC( AC =AB) với góc ACB = 800. Trong tam giác ABC có

điểm M sao cho gãc MAB = 100 vµ gãc MBA = 300. TÝnh gãc BMC

Bµi 5.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O). AC cắt BD tại I. (O ❑1 ),(O ❑2 )
theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp của các tam giác ABI, CDI. Một đờng thẳng bất
kì đi qua I cắt (O) tại X và Y và cắt(O ❑1 ),(O ❑2 ) theo thứ tự tại Z, T ( Z v T

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

Đề số 3:

Bài 1. Cho 3 sè chÝnh ph¬ng A, B, C.

Chøng tá r»ng ( A- B)(B-C)(C-A) chia hÕt cho 12

Bµi 2. Chøng minh r»ng :
3

√

√2 −1=

√

3 1
9−

√

2
9+

√

4
9

Bµi 3. Cho a ≠ −b , a ≠ c ,b ≠ − c . Chøng minh r»ng:

b2− c2

(a+b)(a+c )+

c2− a2

(b+c )(b+a)+

a2− b2

(c +a)(c +b)=

b − c
b +c+

c − a
c +a+

a − b
a+b

Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b, AB = c, và a+b+c = 9; x,y,z lần lỵt

là độ dài các phân giác trong của các góc A,B,C. Chng minh rng:

x+

y+

z >1

Chøng minh r»ng:
HB . HC

AB . AC+

HC . HA
BC. BA +

HA . HB

CA . CB =1 Đề số 4:

Bài 1.

Biết rằng A=654 ì999 . .. 997

100 chữ sè9

+1965

Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 9

Bµi 2

. Cho 5 số thực dơng sao cho tổng của tất cả các tích từng cặp hai số trong chúng
bằng 2. Chứng minh rằng tồn tại bốn trong năm số đó cú tng nh hn 2.

Bài 3.

Tồn tại hay không các số nguyên a,b,c thoả mÃn:
a(b-c)(b+c-a)2+c(a-b)(a+b-c)2=1

Bài 4.

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

Bµi 5.

Đề số 5
Bài 1

Bài 2.

Cho các số không âm a,b,x,y thoả mÃn các ®iỊu kiƯn
a2005

+b2005≤ 1; x2005+y2005≤ 1

Chøng minh r»ng: a1975. x30+b1975. y301

Bài 3.

Giải phơng trình

10+24 +40+60=2005(2 x 1)+2+3+5

Bài 4.

Với số nguyên dơng n, kí hiệu −1¿

n

.n
2

+n+1

n !
an=¿

. TÝnh tæng

a1+a2+. . .. .+a2005 . Trong đó n! là kí hiệu tích n số ngun dng liờn tip u

tiên

Đề số 6:
Bài 1:

Chứng minh rằng sè 20052 +22005 nguyªn tè cïng nhau víi sè 2005.

Bài 2:

Cho ba số dơng a,b,c. chứng minh rằng:

a3

b +
b3

c +
c3

a ≥ a√ac+b√ba+c√cb

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

gi¶i phơng trình: x4 + x3+ x2+x + 1

2 =0

Bµi 4:

Giả sử O là tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. AD,BE,CF là các đờng
cao của tam giác đó . Đờng thẳng EF cắt (O) tại P,Q. Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng AP2 = AQ2= 2AD.OM

Bµi 5:

Xác định M nằm trong tam giác ABC sao cho tích các khoảng cách từ M tới các
cạnh của tam giác đạt giá trị lớn nht.

Đề số 7:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 - x - 1 = x3 + x + 1

Bµi 2:

t×m Max cđa biĨu thøc

√

x − x3

√

x+ x3 với 0 x 1

Bài 3:

Giải hệ phơng trình:

x 2+xy+ y 2=√3

2 (x+ y )

x2004+y2004 = 22005

Bµi 4:

Bài 5:

Cho tam giác ABC. Điểm O nằm trong tam giác. BO cắt AC taị M, CO cắt AB tại
N. Dựng các hình bình hành OMEN và OBFC. Chứng minh: A,E,F thẳng hàng và

AE
AE=

AM . AN
AB . AC =

OM .ON
OB . OC

Đề số 8
Bài 1:

Cho s 155*701*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay đổi các dấu sao

(*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ý thỡ s ú luụn chia
ht cho 396.

Bài 2:

Giải hệ phơng trình:

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

z2 +yz +1 =0

Bài 3:

Tìm Max của biểu thức:
A= 2004 x

+6006 x +6

√

x3− 2 x2+x − 2− 8003

x2+3 x −4

Bµi 4:

Cho a,b,c là cạnh của một tam giác, chứng minh:

a+b c+√3b +c − a+√3c +a − b ≤√3a+√3b+√3c

Bài 5:

cho tam giác ABC. Đờng tròn tâm O tiếp xúc với các cạnh AB,BC theo thứ tự tại P,
Q. Phân giác trong của góc A cắt tia PQ tại E. Chứng minh rằng AE vuông góc với
CE.

ng thng OM. Chúng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì Q ln thuộc
một đơng thẳng cố định

Bµi 5:

Cho lục giác nội tiếp đờng trịn ABCDEF có AB = AF; DC= DE. Chng minh:
AD> (1/2)(BC+EF)

Đề số 12:
Bài 1:

Cho Sn= √

3+Sn− 1

1 −√3 . Sn −1 víi n là số tự nhiên không nhỏ hơn 2. Biết S1 = 1, tÝnh S = S1

+ S2 + S3 +..+ S2004 + S2005

Bài 2:

Giải hệ phơng trình: x

√y+
y

√x=xy

x2008 + y2008 =8(xy)

❑

2005
2

Bµi 3:

Tổng số bi đỏ và số bi xanh trong bốn hộp: A,B,C,D là 48 hòn. Biết rằng: số bi đỏ
và số bi xanh trong hộp A bằng nhau; số bi đỏ của hộp B gấp hai lần số bi xanh của
hộp B; số bi đỏ của hộp C gấp ba lần số bi xanh của hộp C; số bi đỏ của hộp D gấp
sáu lần số bi xanh của hộp D; trong bốn hộp này có một hộp chứa 2 hòn bi xanh, một
hộp chứa 3 hòn bi xanh,một hộp chứa 4 hòn bi xanh, một hộp chứa 5 hịn bi xanh.
Tìm số bi đỏ và số bi xanh trong mỗi hộp.

Bµi 4:

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151>

a + b + c (b+c)a

2003

2 +

(c +a)b2003

2 +

(a+b)c2003

2 với a,b,c là các số dơng.

Đề số 13:
Bài 1:

Bµi 2:

Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn: f(-3) <-10; f(-1) > 0; f(1) < -1. hãy xác định du

của hệ số a

Bài 3:

Giải pt: (x 2005)6 + (x- 2006)8 = 1

Bµi 4:

Cho a1=1/2; an+1=

(

2n − 1

2 n=2

)

an víi n = 1,2,3,…..,2004. Chøng minh r»ng: a1 + a2 +

a3 +…+ a2005 < 1.

Bµi 5:

Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M thuộc BC. đờng trịn đờng kính AM và BC cắt
nhau tại N ( N # B), gọi L là giao điểm của BN & CD. Chng minh: ML vuụng gúc
vi AC.

Đề số 14:
Bài 1:

Chứng minh r»ng pt x2 – 2y = 2005 kh«ng cã nghiệm nguyên.

Bài 2:

Giải pt: 48x(x +1)(x3 -4) = (x4 + 8x +12)2

Bài 3:

Giải hệ pt: 3x – y -5z -2yz = 0
x- 5y –z – 2z2 =0

x +9y -3z + 2xz = 0

Bµi 4:

</div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

Bµi 5:

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AB. Trên một nửa đờng trịn đờng kính AB lấy
các điểm C,D sao cho cung AC < cung AD (D#B). E là điểm bất kỳ trên nửa đờng
trịn (O) nhng khơng chứa C,D ( E#A,B). I,K lần lợt là giao điểm của CE & AD, IO &
BE. Chng minh: ^ CDK = 900.

Đề số 15:
Bài 1:

Bài 2:

Hóy xỏc nh a h pt sau có nghiệm duy nhất:
4xy – 2x + 2y + 4z29x+y) =4a + 3

x2 + y2 + z2 +x –y = a

Bµi 3:

Cho (x +

√

x2

+1)(y +

√

y2+1)=1 . tÝnh M = x

√

y2+1+ y

√

x2+1

Bµi 4:

Cho tam giác ABC, AB < AC. Các điểm M,N lần lợt thuộc các cạnh AB, AC sao
cho BM = CN. Gọi giao điểm của BN và CM là O. Đờng thẳng qua O, song song vơí
phân giác của ^BAC cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại X, Y.

Chøng minh: BX = CA; CY = BA.

Đề số 16:
Bài 1:

Tìm tất cả các số nguyen dơng n sao cho 2n + 153 là bình phơng của một số

nguyên.

Bài 2:

Cho a,b,c là các số thực dơng thoả mÃn abc =1. H·y tÝnh Min cđa biĨu thøc: P =

a2+b2−c2

c +

b2+c2−a2

a +

c2+a2− b2

b

Bài 3:

Chứng minh rằng không có số nào trong hai số sau: p -1; p +1 là số chính phơng
với p là tích của 2005 số nguyên tố đầu tiên.

Bài 4:

Cho AB & CD là hai đờng kính vng góc với nhau của một đờng tròn (O,R).M là
một điểm trên (O). Tìm Max của P = MA.MB.MC.MD.

Bµi 5:

</div>
(153)<div class='page_container' data-page=153>

Đề số 17:
Bài 1:

Chứng minh rằng số d trong phÐp chia mét sè nguyªn tè cho 30 là 1 hoặc số
nguyên tố.

Bài 2:

Tìm tất cả các số thực dơng x,y,z thoả mÃn hệ phơng trình:
x+ y + z =6

x+

y+

z=2 −

4
xyz

Bµi 3:

Cho f(x) = x3 - 3x2 + 3x +3. Chøng minh : f ( 2006

2005 ) < f(
2005
2004 ).

Bài 4:

Cho tam giác ABC, ®iĨm O n»m trong tam gi¸c. BO,CO theo thø tù cắt AC,AB tại
M,N. Dựng các hình bình hành OMEN,OBFC. Chứng minh rằng A,E,F thẳng hàng và

AE
AF=

AM . AN
AB . AC =

OM .ON
OB . OC

Bµi 5:

Cho nửa đờng trịn đờng kính AB =c =2R. Tìm trên nửa đờng trịn đó (khơng kể
hai đầu mút A,B) tất cả những bộ ba điểm C1, C2, C3 sao cho BC1 + AC2 = BC2 +

AC3 = BC3 + AC1 = d, trong đó d là độ dài của một đoạn thng cho trc. Bin lun.

Đề số 18;
Bài 1:

Cho số nguyên n > 2005 và số thực x thoả mÃn 2006n + 2005n =xn. Hỏi x có thể là

số nguyên không?

Bài 2:

Biết rằng: x2 + y2 = x =y. Tìm giá trị Max & Min của F = x y .

Bài 3:

Giả sử hai tam giác ABC,DEF có ^C =^F, AB = DE và các cạnh còn lại thoả mãn
điều kiện: BC + FD = EF + CA. Chứng minh: hai tam giác đó bằng nhau.

Bµi 4:

</div>
(154)<div class='page_container' data-page=154></div>

Tài liệu ôn thi vào 10 môn Toán

<b> ôn tập vào lớp 10 năm häc 2009-2010</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>=</b>

a) Rót gän P

b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M=a.(P-

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

√

)

(

<sub>√</sub>

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

√

√

)

(

)

[

(

)

]

(

)

(

)