Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý tương giao Cantor trong không gian Metric nón và ứng dụng7

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THẮM

ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHƠNG GIAN
METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ THẮM

ĐỊNH LÝ TƯƠNG GIAO CANTOR TRONG KHƠNG GIAN
METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2018

Lời cam đoan

Tơi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thơng
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018
Người viết luận văn

Phan Thị Thắm
Xác nhận
của trưởng khoa Toán

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Bùi Thế Hùng

i


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết
ơn sâu sắc tới TS. Bùi Thế Hùng, người thầy tận tình hướng dẫn tơi
trong suốt q trình nghiên cứu để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn cùng tồn thể các
thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên đã truyền thụ cho tôi những kiến
thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tơi những ý kiến đóng góp

q báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn
học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, tháng 4 năm 2018
Tác giả

Phan Thị Thắm

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Một số ký hiệu và viết tắt

iv

Mở đầu

1

1 Khơng gian metric nón

3

1.1

Nón trong khơng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian metric nón và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Định lý tương giao Cantor trong khơng gian metric nón và
ứng dụng

21

2.1

Khái niệm c-hội tụ đều trong không gian Banach . . . . . .

21

2.2

Định lý tương giao Cantor trong khơng gian metric nón . .

27

2.3

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

iii

Một số ký hiệu và viết tắt
N∗

tập các số tự nhiên khác không

R

tập các số thực

R+

tập số thực không âm

R−

tập số thực không dương

{xn }n≥1

dãy số

∅

tập rỗng

A := B

A được định nghĩa bằng B

A⊂B

A là tập con của B

A⊂B

A không là tập con của B

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

θ

véctơ gốc trong không gian Banach E

A\B

hiệu của hai tập hợp A và B

B

tích Descartes của hai tập hợp A và B

int A

phần trong tôpô của tập hợp A

✷

kết thúc chứng minh

iv


Mở đầu
Năm 2007, Huang và Zhang [10] lần đầu giới thiệu khơng gian metric nón
bằng cách thay tập số thực R trong định nghĩa metric thơng thường bằng
một nón định hướng trong không gian Banach.
Định nghĩa: Giả sử X là tập khác rỗng và

là quan hệ thứ tự bộ phận

trên khơng gian Banach E sinh bởi nón C xác định bởi: x, y ∈ E; x

y

nếu y − x ∈ C . Ánh xạ d : X × X → E được gọi là metric nón trên X nếu
(d1) θ

d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = θ nếu và chỉ nếu x = y ;

(d2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
(d3) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó (X, d) được gọi là khơng gian metric nón.
Sau đó các tác giả đã chứng minh một số định lý điểm bất động của
ánh xạ co trong khơng gian này với nón chuẩn tắc. Năm 2008, Rezapour
và Hamlbarani [14] đã chứng minh lại các kết quả của Huang và Zhang mà
khơng cần tính chuẩn tắc của nón. Từ sau các cơng trình này đã có khá
nhiều bài báo viết về vấn đề liên quan đến khơng gian này. Ngồi việc nghiên
cứu Ngun lý điểm bất động của ánh xạ co Banach và các mở rộng của
chúng cho các khơng gian metric nón, người ta còn quan tâm đến các vấn
đề sau đây trong lớp không gian này: Nguyên lý thác triển liên tục, Nguyên
lý tương giao Cantor, Nguyên lý Baire về phạm trù, bổ sung đủ và một số
tính chất về tơpơ của khơng gian metric nón. Năm 2011 các tác giả Alnafei,
Radenovic và Shahzad [2] đã chứng minh Định lý tương giao Cantor trong
khơng gian metric nón với nón đa diện có phần trong khác rỗng trong khơng
gian Banach. Sau đó, năm 2016 bằng phương pháp hội tụ theo nón của dãy,
1


Jachymski và Klima [12] đã chứng minh Định lý tương giao Cantor trong
khơng gian metric nón mà khơng cần tính đa diện của nón.
Mục đích của luận văn là giới thiệu lại một số kết quả nghiên cứu của các
tác giả Jachymski và Klima [12] về định lý tương giao Cantor trong khơng
gian metric nón bằng phương pháp hội tụ theo nón của dãy và ứng dụng
vào định lý điểm bất động. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 chúng tơi trình bày một số vấn đề cơ bản về nón, khơng gian
metric nón, sự hội tụ trong khơng gian metric nón và tính chất của lớp khơng
gian này. Ngồi ra, trong chương này chúng tơi cũng trình bày nguyên lý
điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón dưới giả thiết về

tính chuẩn tắc cũng như khơng chuẩn tắc của nón K .
Chương 2 dành cho việc trình bày khái niệm c- hội tụ đều, sự hội tụ
theo nón của dãy trong khơng gian metric nón và mối quan hệ giữa sự hội
tụ theo nghĩa của Huang- Zhang và sự hội tụ theo nón của dãy. Nội dung
chính của chương này là trình bày định lý tương giao Cantor trong khơng
gian metric nón và ứng dụng của nó vào định lý điểm bất động của ánh xạ
co suy rộng với hằng số co là một tốn tử tuyến tính dương với bán kính
phổ nhỏ hơn 1.

2


Chương 1
Khơng gian metric nón
Trong chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm và kết quả về
nón trong khơng gian Banach, khơng gian metric nón và sự hội tụ trong
khơng gian metric nón. Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày một cách chi tiết
định lý điểm bất động của ánh xạ co trong khơng gian metric nón dưới giả
thiết nón chuẩn tắc và nón khơng chuẩn tắc. Một số ví dụ tính tốn mơ tả
cho các kết quả cũng được trình bày. Các khái niệm và kết quả của chương
này được chúng tơi trình bày dựa trên hai bài báo [10] và [14].

1.1

Nón trong khơng gian Banach

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là khơng gian tuyến tính trên trường K với điểm
gốc θ. Hàm . : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X và x = 0 ⇔ x = θ.
(ii) λx = |λ| x với mọi x ∈ X và λ ∈ K.

(iii) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Khi đó cặp (X, . ) được gọi là không gian định chuẩn.
Nhận xét. Mọi không gian định chuẩn là không gian metric với khoảng
cách d(x, y) = x − y . Khoảng cách xác định như trên gọi là khoảng cách
sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian định chuẩn X đầy đủ đối với khoảng cách
3


sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử E là không gian Banach. Tập con K của E được
gọi là nón nếu
(i) K là tập khác rỗng, đóng và K = {θ}.
(ii) ax + by ∈ K với mọi x, y ∈ K và a, b ≥ 0.
(iii) K ∩ (−K) = {θ}.
Ví dụ 1.1.4. Giả sử E := R2 . Đặt

K := {(x, y) ∈ E : x ≥ 0, y ≥ 0}.
Khi đó K là nón trong E.
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử nón K ⊂ E với phần trong khác rỗng, ta định
nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận

trên E sinh bởi nón K như sau

x, y ∈ E : x
Nếu x

y và x = y thì ta viết x ≺ y . Nếu y − x ∈ int K thì ta viết x

Đôi khi ta viết y

x

y nếu y − x ∈ K.

x, y

x và y

x lần lượt thay cho x

y.

y, x ≺ y và

y.

Tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại y ∈ E sao cho x

y

với mọi x ∈ A. Tập con A ⊂ E được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ E
sao cho z

x với mọi x ∈ A. Một véctơ a được gọi là cận trên đúng của

tập A nếu

a với mọi x ∈ A.

(i) a là chặn trên của A, tức là x

(ii) a là chặn trên nhỏ nhất của A, tức là nếu tồn tại b ∈ E sao cho x
với mọi x ∈ A thì a

b

b.

Ta kí hiệu cận trên đúng của tập A là sup A.
Định nghĩa 1.1.6. Cho K là nón trong khơng gian Banach E . Ta nói rằng
(i) K là chuẩn tắc nếu tồn tại hằng số Λ > 0 sao cho

θ

x

y kéo theo x ≤ Λ y .
4


Hằng số Λ > 0 bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn
tắc của K .
(ii) K là nón chính quy nếu mỗi dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên đều
hội tụ. Tức là, nếu {xn }n≥1 là dãy thỏa mãn

x1

x2

...

xn

...

y,

với y ∈ E nào đó, thì tồn tại x ∈ E sao cho

xn − x → 0 khi n → ∞.
Điều này tương đương với nón K là chính quy nếu mỗi dãy đơn điệu giảm
và bị chặn dưới đều hội tụ.
(iii) K là nón đa diện nếu sup{x, y} tồn tại với mọi x, y ∈ E .
(iv) K là nón đa diện mạnh nếu mọi tập con bị chặn trên của E đều có
cận trên đúng.
Mệnh đề 1.1.7. Khơng tồn tại nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc Λ < 1.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là không gian metric nón và K là nón chuẩn tắc
với hằng số chuẩn tắc Λ < 1. Ta chọn 0 < ε < 1 sao cho Λ < 1 − ε. Khi đó

(1 − ε)x

x với mọi x ∈ K\{θ}.

Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc Λ nên

(1 − ε) x ≤ Λ x với mọi x ∈ K\{θ}.
Từ đó suy ra 1 − ε ≤ Λ. Điều này mâu thuẫn với Λ < 1 − ε. Vậy mệnh đề
được chứng minh.
Mệnh đề 1.1.8. Với mỗi k > 1, ln tồn tại nón chuẩn tắc với hằng số

chuẩn tắc Λ > k .
Chứng minh. Giả sử k > 1. Xét không gian véctơ thực

1
E := {f : f (x) = ax + b với mọi x ∈ [1 − , 1] và a, b ∈ R},
k
5


với chuẩn f := sup
x∈[1−

1 |f (x)| và nón
,1]
k

1
K := {f : f (x) = ax + b với mọi x ∈ [1 − , 1] và a ≤ 0, b ≥ 0}.
k
Ta chứng minh K là nón chính quy. Thật vậy, giả sử {fn }n≥1 là một dãy
tăng và bị chặn trên trong E , tức là tồn tại một phần tử g ∈ E sao cho

f1

f2

...

fn

...

g.

1
Ta có thể giả sử fn (x) = an x + bn và g(x) = cx + d với mọi x ∈ [1 − , 1],
k
trong đó an , bn , c, d ∈ R. Khi đó
a1 x + b1

a2 x + b 2

...

an x + b n

...

cx + d,

1
với mọi x ∈ [1 − , 1]. Từ đó suy ra {an }n≥1 và {bn }n≥1 là hai dãy số thực
k
thỏa mãn
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ d, a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ c.
Do đó, {an }n≥1 và {bn }n≥1 hội tụ. Giả sử lim an = a và lim bn = b. Ta
n→∞
n→∞
1
đặt f (x) = ax + b với mọi x ∈ [1 − , 1]. Khi đó f ∈ K và fn → f . Từ đó

k
suy ra K là nón chính quy. Theo Mệnh đề 1.1.7, tồn tại Λ ≥ 1 sao cho

0

g

f kéo theo g ≤ Λ f , với mọi g, f ∈ E.

(1.1)

Bây giờ ta chỉ ra Λ > k . Thật vậy, vì f (x) = −kx + k ∈ K, g(x) = k ∈ K
và f − g ∈ K nên 0

g

f . Từ đó suy ra k = g ≤ Λ f = Λ.

Mặt khác, nếu

1
f (x) = −(k + )x + k và g(x) = k
k
thì

f ∈ K, g ∈ K và f − g ∈ K.
Hơn nữa, ta lại có

g = k và f = 1 −

6

1
1
+ 2.
k k


Điều này kéo theo

g >k f .

(1.2)

Từ (1.1) và (1.2) ta thu được Λ > k .
Mệnh đề 1.1.9. Mọi nón chính quy đều là nón chuẩn tắc.
Chứng minh. Giả sử K là nón chính quy trong E nhưng khơng phải là nón
chuẩn tắc. Khi đó với mỗi n ≥ 1, tồn tại tn , sn ∈ K sao cho

tn − sn ∈ K và n2 tn < sn .
Từ đó suy ra tn = θ với mọi n ≥ 1. Với mỗi n ≥ 1, ta đặt

yn :=

sn
tn
và xn :=
.
tn
tn

Khi đó xn , yn , yn − xn ∈ K và yn = 1, xnn2 > 1 với mọi n ≥ 1. Do chuỗi
1
1
∞
∞
là
hội
tụ
nên
chuỗi
n=1 2 yn hội tụ tuyệt đối trong E . Vì E là
n=1 2
n
n
1
∞
khơng gian Banach nên chuỗi n=1 2 yn hội tụ trong E . Từ K đóng nên
n
tồn tại y ∈ K sao cho
∞
1
y=
y .
2 n
n
n=1
Chú ý rằng

θ

x1

x1 +

1
x2
22

x1 +

1
1
x
+
x3
2
22
32
∞
n=1

và bởi K là nón chính quy nên chuỗi

...

y

1
xn hội tụ. Do đó

n2

1
xn = 0.
n→∞ n2
lim

Điều này mâu thuẫn với

xn
n2

> 1 với mọi n ≥ 1. Vậy K là nón chuẩn

tắc.
Ví dụ sau đây chỉ ra một nón chuẩn tắc nhưng khơng chính quy.

7


:= supx∈[0,1] |f (x)|.

Ví dụ 1.1.10. Giả sử E := CR ([0, 1]) với chuẩn f
Đặt

K := {f ∈ E : f ≥ θ}.
Khi đó K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ = 1. Thật vậy, giả sử f, g ∈ E và

θ

f

g . Khi đó, 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [0, 1]. Từ đó suy ra

f = sup |f (x)| = sup f (x) ≤ sup g(x) = sup |g(x)| = g .
x∈[0,1]

x∈[0,1]

x∈[0,1]

x∈[0,1]

Chứng tỏ K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ = 1.
Bây giờ ta chứng minh K không phải nón chính quy. Thật vậy, xét dãy

{fn }n≥1 trong E cho bởi fn (x) = xn với mọi x ∈ [0, 1] và n ≥ 1. Khi đó
f1

f2

f3

...

θ.

Vậy dãy {fn }n≥1 giảm, bị chặn dưới. Giả sử tồn tại f ∈ E sao cho fn → f .
Từ đó suy ra

lim fn (x) = f (x) với mọi x ∈ [0, 1].

n→∞

Điều này kéo theo

f (x) :=

0, nếu x ∈ [0, 1),
1, nếu x = 1.

Điều này mâu thuẫn với f ∈ E . Do đó dãy {fn }n≥1 khơng hội tụ trong E .
Vậy K khơng phải là nón chính quy.
Mệnh đề 1.1.11. Mọi nón đa diện mạnh chuẩn tắc đều chính quy.
Chứng minh. Giả sử K là nón đa diện mạnh chuẩn tắc với hằng số Λ. Giả
sử {xn }n≥1 là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên, tức là tồn tại y ∈ E sao
cho

x1

x2

...

xn

...

y.

Vì K là nón đa diện nên tồn tại x := supn≥1 xn ∈ E . Ta chứng minh

limn→∞ xn = x. Thật vậy, với > 0 tùy ý, ta chọn c
Theo định nghĩa của x, tồn tại n0 ≥ 1 sao cho

x−c

x n0
8

x.

θ sao cho Λ c ≤ .


Vì {xn }n≥1 là dãy đơn điệu tăng nên

θ

x − xn

x − x n0

c với mọi n ≥ n0 .

Từ tính chuẩn tắc của nón K với hằng số Λ ta suy ra

x − xn ≤ Λ c ≤ với mọi n ≥ n0 .
Điều này chứng tỏ limn→∞ xn = x. Vậy K là chính quy.

1.2

Khơng gian metric nón và sự hội tụ

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là khơng gian Banach với thứ tự sinh bởi nón

K . Ánh xạ d : X × X → E được gọi là metric nón trên X nếu
(i) θ

d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = θ nếu và chỉ nếu x = y .

(ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X .
(iii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Khi đó (X, d) được gọi là khơng gian metric nón.
Nhận xét. Mọi khơng gian metric (X, d) đều là khơng gian metric nón với

E = R, K = R+ . Tuy nhiên một không gian metric nón chưa chắc là khơng
gian metric. Ví dụ sau minh họa cho điều đó.
Ví dụ 1.2.2. Giả sử E := R2 , X := R. Xét nón K trong E xác định bởi

K := {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0}.
Với α > 0 cho trước, xét ánh xạ d : X × X → E được xác định bởi

d(x, y) := (|x − y|, α|x − y|).
Khi đó, (X, d) là một khơng gian metric nón nhưng không là không gian
metric.

9


Định nghĩa 1.2.3. Giả sử (X, d) là không gian metric nón. Giả sử {xn }n≥1
là một dãy trong X và x ∈ X. Ta nói rằng dãy {xn }n≥1 hội tụ tới x nếu với
mỗi c ∈ E, θ

c, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho
d (xn , x)

c với mọi n ≥ n0 .
d

Ta kí hiệu limn→∞ xn = x hoặc xn →
− x.
Mệnh đề 1.2.4. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón và K là nón chuẩn
tắc với hằng số Λ. Giả sử {xn }n≥1 là một dãy trong X. Khi đó dãy {xn }n≥1
hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi lim d(xn , x) = θ.
n→∞

Chứng minh. Giả sử lim xn = x. Với mỗi
n→∞

θ

> 0, ta chọn c ∈ E sao cho

c và Λ c < . Bởi lim xn = x nên tồn tại n0 sao cho
n→∞

d(xn , x)

c với mọi n ≥ n0 .

Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ nên,

d(xn , x) ≤ Λ c < với mọi n ≥ n0 .
Từ đó suy ra lim d(xn , x) = 0. Vậy lim d(xn , x) = θ.
n→∞

n→∞

Ngược lại, giả sử lim d(xn , x) = θ. Lấy c ∈ E, θ
n→∞

c tùy ý. Khi đó tồn tại

δ > 0 sao cho
c − B(θ, δ) ⊂ int K.
Từ lim d(xn , x) = θ, tồn tại n0 sao cho
n→∞

d(xn , x) ∈ B(θ, δ) với mọi n ≥ n0 .
Từ đó suy ra

c − d(xn , x) ∈ int K với mọi n ≥ n0 .
Điều này chứng tỏ d(xn , x)

c với mọi n ≥ n0 . Vậy lim xn = x.
n→∞

Mệnh đề 1.2.5. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón và {xn }n≥1 là dãy
trong X . Nếu {xn }n≥1 hội tụ tới x ∈ X và {xn }n≥1 hội tụ tới y ∈ X thì

x = y.
10


Chứng minh. Với c ∈ E tùy ý, θ

c. Khi đó với mỗi k ≥ 1, tồn tại

n0 (k) ∈ N∗ sao cho
d(xn , x)

c
và d(xn , y)
2k

c
với mọi n ≥ n0 (k).
2k

Từ đó suy ra

d(x, y)

d(xn0 (k) , x) + d(n0 (k), y)

c

.
k

Điều này chứng tỏ

c
− d(x, y) ∈ K với mọi k ≥ 1.
k
Cho k → ∞, bởi tính đóng của K , ta thu được −d(x, y) ∈ K . Từ đó suy ra

d(x, y) ∈ K ∩ (−K) = {θ}. Điều này chứng tỏ d(x, y) = θ. Vậy x = y.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón và {xn }n≥1 là
dãy trong X . Dãy {xn }n≥1 được gọi là dãy Cauchy trong X , nếu với mỗi

c ∈ E, θ

c, tồn tại n0 sao cho d(xn , xm )

c với mọi n, m ≥ n0 .

Định nghĩa 1.2.7. Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ trong nó.
Mệnh đề 1.2.8. Giả sử (X, d) là không gian metric nón và {xn }n≥1 là dãy
trong X . Khi đó dãy {xn }n≥1 là dãy Cauchy nếu lim xn = x.
n→∞

Chứng minh. Giả sử c ∈ E, θ

c tùy ý và lim xn = x. Khi đó tồn tại n0
n→∞

sao cho

d(xn , x)

c
và d(xm , x)
2

c
với mọi n, m ≥ n0 .
2

Từ đó kéo theo

d (xm , xn )

d (xn , x) + d (xm , x)

c với mọi n, m ≥ n0 .

Vậy {xn }n≥1 là dãy Cauchy.
Mệnh đề 1.2.9. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón, K là nón chuẩn
tắc với hằng số Λ và dãy {xn }n≥1 trong X . Khi đó {xn }n≥1 là dãy Cauchy
khi và chỉ khi lim d(xn , xm ) = θ.
n,m→∞

11

Chứng minh. Giả sử {xn }n≥1 là dãy Cauchy trong X . Với mỗi
chọn c ∈ E sao cho θ

> 0, ta

c và Λ c < . Bởi {xn }n≥1 là dãy Cauchy trong

X nên tồn tại n0 sao cho
d(xn , xm ) ≤ c với mọi n, m ≥ n0 .
Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ nên,

d(xn , xm ) ≤ Λ c < với mọi n, m ≥ n0 .
Từ đó suy ra lim

n,m→∞

d(xn , xm ) = 0. Vậy lim d(xn , xm ) = θ.
n,m→∞

Ngược lại, giả sử lim d(xn , xm ) = θ. Lấy c ∈ E, θ
n,m→∞

c tùy ý. Khi đó tồn

tại δ > 0 sao cho

c − B(θ, δ) ⊂ int K.
Từ lim d(xn , xm ) = θ, tồn tại n0 sao cho
n,m→∞

d(xn , xm ) ∈ B(θ, δ) với mọi n, m ≥ n0 .
Từ đó suy ra

c − d(xn , xm ) ∈ int K với mọi n, m ≥ n0 .
Điều này chứng tỏ d(xn , xm )

c với mọi n, m ≥ n0 . Vậy {xn }n≥1 là dãy

Cauchy trong X.
Mệnh đề 1.2.10. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón và K là nón
chuẩn tắc với hằng số Λ. Giả sử {xn }n≥1 , {yn }n≥1 là hai dãy trong X và

lim xn = x, lim yn = y. Khi đó

n→∞

n→∞

lim d(xn , yn ) = d(x, y).

n→∞

Chứng minh. Với mỗi ε > 0, ta chọn c ∈ E sao cho θ

c và c <

Từ lim xn = x, lim yn = y, tồn tại n0 sao cho
n→∞

n→∞

d(xn , x)

c và d(yn , y)

12

c với mọi n ≥ n0 .

ε
4Λ+2 .


Mặt khác, ta có

d(xn , yn )

d(xn , x) + d(x, y) + d(yn , y)
d(x, y) + 2c với mọi n ≥ n0 ,

và

d(x, y)

d(x, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , y)
d(xn , yn ) + 2c với mọi n ≥ n0 .

Từ đó suy ra

0

d(x, y) + 2c − d(xn , yn )

4c với mọi n ≥ n0 .

Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ nên

d(xn , yn ) − d(x, y) ≤ d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) + 2c
≤ (4Λ + 2) c
< ε với mọi n ≥ n0 .
Từ đó suy ra lim d(xn , yn ) − d(x, y) = 0. Vậy lim d(xn , yn ) = d(x, y).
n→∞

n→∞

Ví dụ sau khẳng định giả thiết về tính chuẩn tắc của nón K trong các
Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.9 và Mệnh đề 1.2.10 là khơng bỏ được.
1
Ví dụ 1.2.11. Giả sử E := C[0,1]
với chuẩn

f := f

∞

+ f

∞,

và xét nón K := {f ∈ E : f (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, 1]}. Khi đó K khơng

chuẩn tắc. Thật vậy, với mỗi k ≥ 1, ta đặt f (x) = x và g(x) = x2k với mọi

x ∈ [0, 1]. Khi đó θ

g

f , ở đây θ là gốc E . Vì k f ≤ g nên k khơng

là hằng số chuẩn tắc của nón K . Vậy K khơng chuẩn tắc.
Đặt X := {0, n1 : n ≥ 1} và định nghĩa d : X × X → E bởi

 θ, nếu x = y,
d(x, y) := |fn − fm |, nếu x = y ∈ { n1 , m1 },

fn , nếu x = y ∈ { n1 , 0},
13


trong đó fn (t) =

tn
n

với mọi t ∈ [0, 1], n ≥ 1.

Dễ thấy d là metric nón trên X và (X, d) là khơng gian metric nón. Hơn
nữa ta có

1
IE

d( , 0) = fn
với mọi n ≥ 1,
n
n
ở đây IE ∈ E xác định bởi IE (t) = t với mọi t ∈ [0, 1]. Từ lim

IE
n→∞ n

Mệnh đề 1.4 trong [1], với mỗi e ∈ E, θ

IE
n
Từ đó suy ra d( n1 , 0)

= θ, bởi

e, tồn tại n0 sao cho

e với mọi n ≥ n0 .
1
n
n→∞

e với mọi n ≥ n0 . Vậy lim

= 0.

Mặt khác ta lại có

tn
1
1
d( , 0) − θ = fn − θ = max + max tn−1 = 1 + > 1 với mọi n ≥ 1.
t∈[0,1] n
t∈[0,1]
n
n
Điều này chứng tỏ d( n1 , 0)

θ trong E . Vậy các Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề

1.2.9 và Mệnh đề 1.2.10 không xảy ra.

1.3

Một số định lý điểm bất động

Năm 2007, Huang- Zhang [10] đã chứng minh nguyên lý điểm bất động của
ánh xạ co trong khơng gian metric nón dưới giả thiết về tính chuẩn tắc của
nón K.
Định lý 1.3.1. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón đầy đủ và K là nón
chuẩn tắc với hằng số Λ. Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co
sau

d(T x, T y)

λd(x, y) với mọi x, y ∈ X,

trong đó λ ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x

¯ ∈ X.
Hơn nữa với mỗi x ∈ X, lim T n x = x
¯.
n→∞

Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn }n≥1 ⊂ X bởi công thức

14


xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1. Khi đó ta có
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
λd(xn , xn−1 )
λ2 d(xn−1 , xn−2 )
.
.
.
λn d(x1 , x0 ), với mọi n ≥ 1.
Từ đó suy ra với n > m,

d(xn , xm )

d(xn , xn−1 ) + d(xn−1 , xn−2 ) + ... + d(xm+1 , xm )

(λn−1 + λn−2 + ... + λm )d(x1 , x0 )
λm
d(x1 , x0 ).
1−λ
Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ nên
λm

d(xn , xm ) ≤
Λ d(x1 , x0 ) với mọi n > m.
1−λ
Từ đó suy ra lim d(xn , xm ) = 0. Do đó lim d(xn , xm ) = θ. Vậy
n,m→∞

n,m→∞

{xn }n≥1 là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy đủ, tồn tại x¯ ∈ X sao cho
lim xn = x¯. Mặt khác ta có

n→∞

d(T x¯, x¯)

d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
λd(xn , x¯) + d(xn+1 , x¯).

Vì K là nón chuẩn tắc với hằng số Λ,

d(T x¯, x¯) ≤ Λ(λ d(xn , x¯) + d(xn+1 , x¯) ).
Bởi lim Λ(λ d(xn , x
¯) + d(xn+1 , x¯) ) = 0 nên d(T x¯, x¯)
n→∞

T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất động của T .
Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, y¯)

λd(¯
x, y¯).
15

= 0. Do đó


Suy ra d(¯
x, y¯) = 0. Điều này kéo theo x¯ = y¯. Vậy x¯ là điểm bất động duy
nhất của T.
Nhận xét. Trong trường hợp E = R, C = R+ , Định lý 1.3.1 trở về Nguyên
lý điểm bất động của ánh xạ co Banach cổ điển.
Ví dụ sau đây minh họa cho Định lý 1.3.1.
Ví dụ 1.3.2. Giả sử E := R2 . Ta đặt

K := (x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0 .
Khi đó K là nón chuẩn tắc trong E . Đặt

X := (x, 0) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 ∪ (0, x) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 .
Xét ánh xạ d : X × X → E xác định bởi

4
d((x, 0), (y, 0)) = ( |x − y|, |x − y|),
3
2
d((0, x), (0, y)) = (|x − y|, |x − y|),
3
2
4
d((x, 0), (0, y)) = d((0, y), (x, 0)) = ( x + y, x + y).

3
3
Khi đó (X, d) là khơng gian metric nón đầy đủ.
Xét ánh xạ T : X → X xác định như sau

1
T ((x, 0)) = (0, x) và T ((0, x)) = ( x, 0).
2
Dễ thấy T thỏa mãn điều kiện co với hằng số λ = 43 ∈ [0, 1). Vậy tất cả các
giả thiết của Định lý 1.3.1 được thỏa mãn và T có duy nhất một điểm bất
động (0, 0) ∈ X . Hơn nữa, T không là ánh xạ co theo nghĩa metric thông
thường.
Năm 2008, Sh. Rezapour- R. Hamlbarani [14] đã chứng minh lại kết quả
của Huang- Zhang [10] mà khơng cần đến tính chuẩn tắc của nón K.
Định lý 1.3.3. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón đầy đủ. Giả sử ánh
xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện co sau

d(T x, T y)

λd(x, y) với mọi x, y ∈ X,
16


trong đó λ ∈ [0, 1) là hằng số. Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ ∈ X.
Hơn nữa với mỗi x ∈ X, lim T n x = x
¯.
n→∞

Chứng minh. Với mỗi x0 ∈ X, ta xây dựng dãy {xn }n≥1 ⊂ X bởi công thức

xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1. Chứng minh một cách hoàn toàn tương tự như
Định lý 1.3.1, ta có

d(xn , xm )
Giả sử θ

λm
d(x1 , x0 ) với m > n.
1−λ

c. Từ đó suy ra tồn tại δ > 0 sao cho
c − B(θ, δ) ⊂ K,

ở đây B(θ, δ) := {x ∈ E : x < δ}. Vì

N1 sao cho

λm
1−λ d(x1 , x0 )

→ θ nên tồn tại chỉ số

λm
d(x1 , x0 ) ∈ B(θ, δ) với mọi n ≥ N1 .
1−λ

Từ đó suy ra

λm

d(x1 , x0 ) ∈ c − B(θ, δ) ⊂ K với mọi n ≥ N1 .
c−
1−λ
Điều này chứng tỏ

λm
d(x1 , x0 )
1−λ

c với mọi n > m ≥ N1 .

Từ đó

d(xn , xm )

c với mọi n > m ≥ N1 .

Vậy {xn }n≥1 là dãy Cauchy trong X . Vì X đầy đủ, tồn tại x
¯ ∈ X sao cho

lim xn = x¯. Theo định nghĩa giới hạn trong khơng gian metric nón, với mỗi

n→∞

m ≥ 1, tồn tại số tự nhiên N2 (m) sao cho
d(xn , x¯)

c
với mọi n > N2 (m).
2m

17


Mặt khác ta lại có

d(T x¯, x¯)

d(T xn , T x¯) + d(T xn , x¯)
λd(xn , x¯) + d(xn+1 , x¯)
d(xn , x¯) + d(xn+1 , x¯)
c
c
+
2m 2m
c
=
với mọi n > N2 (m).
m

Từ đó suy ra

d(T x¯, x¯)

c
với mọi m ≥ 1.
m

Điều này kéo theo

c
− d(T x¯, x¯) ∈ K với mọi m ≥ 1.
m
Cho m → ∞, bởi tính đóng của K , ta thu được −d(T x
¯, x¯) ∈ K . Từ đó suy
ra d(T x
¯, x¯) ∈ K ∩ (−K) = {θ}. Điều này chứng tỏ d(T x¯, x¯) = θ. Do đó

T x¯ = x¯. Vậy x¯ là một điểm bất động của T .
Giả sử tồn tại y¯ ∈ X sao cho T y¯ = y¯. Khi đó ta có

d(¯
x, y¯) = d(T x¯, y¯)
λd(¯
x, y¯).
Điều này suy ra −d(¯
x, y¯) ∈ K . Vậy d(¯
x, y¯) = θ. Điều này chứng tỏ x¯ = y¯.
Vậy x
¯ là điểm bất động duy nhất của T.
Định nghĩa 1.3.4. Khơng gian metric nón (X, d) được gọi là compact dãy
nếu mọi dãy {xn }n≥1 ⊂ X đều chứa một dãy con hội tụ trong nó.
Định lý 1.3.5. Giả sử (X, d) là khơng gian metric nón compact dãy và K
là nón chính quy. Giả sử ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều co sau

d(T x, T y) ≺ d(x, y) với mọi x, y ∈ X, x = y.
Khi đó T có điểm bất động duy nhất x
¯ ∈ X.
18

Chứng minh. Vì K là nón chính quy nên K là nón chuẩn tắc. Gọi Λ là hằng
số chuẩn tắc của nón K . Với mỗi x0 ∈ X , ta xây dựng dãy {xn }n≥1 trong

X bởi công thức xn = T n x0 , với mọi n ≥ 1. Ta đặt dn = d(xn , xn+1 ) với
mọi n ≥ 1. Khi đó từ giả thiết ta suy ra

dn+1 = d(xn+1 , xn+2 ) = d(T xn , T xn+1 )

d(xn , xn+1 ) = dn .

Vậy dãy {dn }n≥1 đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi θ. Bởi K là chính quy
nên tồn tại d∗ ∈ E sao cho lim dn = d∗ . Mặt khác, vì X là compact dãy
n→∞

nên tồn tại dãy con {xni }i≥1 của {xn }n≥1 và x
¯ ∈ X sao cho lim xni = x¯.
i→∞

Từ bất đẳng thức

d(T 2 xni , T 2 x¯)

d(xni , x¯), với mọi i ≥ 1,

d(T xni , T x¯)

và do K chuẩn tắc với hằng số Λ nên

d(T 2 xni , T 2 x¯) ≤ Λ d(T xni , T x¯) ≤ Λ2 d(xni , x¯) với mọi i ≥ 1.

Bởi lim d(xni , x
¯) = 0 nên
i→∞

lim d(T 2 xni , T 2 x¯) = lim d(T xni , T x¯) = 0.

i→∞

i→∞

Điều này kéo theo

lim T xni = T x¯ và lim T 2 xni = T 2 x¯.

i→∞

i→∞

Theo Mệnh đề 1.2.10 ta có

lim d(T xni , xni ) = d(T x¯, x¯),

i→∞

lim d(T 2 xni , T xni ) = d(T 2 x¯, T x¯).

i→∞

Vì lim d(T xni , xni ) = lim dni = d∗ nên d∗ = d(T x
¯, x¯). Ta chứng minh

i→∞

i→∞

T x¯ = x¯. Thật vậy, giả sử T x¯ = x¯. Khi đó d∗ = θ và
d∗ = d(T x¯, x¯)

d(T 2 x¯, T x¯)
= lim d(T 2 xni , T xni )
i→∞

= lim dni +1
i→∞
∗

=d .
19