4 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN TOÁN VÀ ĐÁP ÁN

4 ĐỀ TUYỂN SINH 10 NĂM HỌC 2009-2010:
THÁI BÌNH, VĨNH PHÚC, YÊN BÁI, HÀ NAM
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn các biểu thức sau:a)
3 13 6
2 3 4 3 3
+ +
+ −
b)
x y y x
x y
xy x y
−
−
+
−
với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y
2. Giải phương trình:
4
x 3
x 2
+ =
+
.

Bài 2. (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình:
( )
m 1 x y 2
mx y m 1

− + =


+ = +


(m là tham số)
1. Giải hệ phương trình khi
m 2=
;
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất
(x;y) thoả mãn: 2 x + y≤ 3 .
Bài 3. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):
( )
y k 1 x 4= − +
(k là tham số) và
parabol (P):
2
y x=
.
1. Khi
k 2= −
, hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);

2. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P)
tại hai điểm phân biệt;
3. Gọi y
1
; y
2
là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k
sao cho:
1 2 1 2
y y y y+ =
.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng
vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H
và K.
1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;
2. Tính
·
CHK
;
3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;
4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh
2 2 2
1 1 1
AD AM AN
= +
.
Bài 5. (0,5 điểm) Giải phương trình:
1 1 1 1
3

x 2x 3 4x 3 5x 6
 
+ = +
 ÷
− − −
 
.
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO
TẠO
THÁI BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Năm học 2009-2010
Hướng dẫn chấm
Môn TOÁN
Ý Nội dung Điểm
Bài 1 2,0 điểm
1.
(1,5đ)
a)
3 13 6
2 3 4 3 3
+ +
+ −
=
( ) ( )
3 2 3 13 4 3
2 3

4 3 16 3
− +
+ +
− −
0,25
=
6 3 3 4 3 2 3− + + +
0,25
= 10 0,25
b)
x y y x
x y
xy x y
−
−
+
−
với x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y
=
( ) ( ) ( )
xy x y x y x y
xy x y
− − +
+
−
0,25
=
x y x y− + +
0,25
=

2 x
0,25
2.
(0,5đ)

4
x 3
x 2
+ =
+
ĐK: x ≠ −2
Quy đồng khử mẫu ta được phương trình:
x
2
+ 2x + 4 = 3(x + 2)
⇔ x
2
− x − 2 = 0
0,25
Do a − b + c = 1 + 1 − 2 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm:
x = −1; x = 2 (thoả mãn)
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = −1; x = 2
0,25
Bài 2 2,0 điểm
Ý Nội dung Điểm
2
1.
(1,0đ)
Khi m = 2 ta có hệ phương trình:
x y 2

2x y 3
+ =


+ =

0,25
⇔
x 1
x y 2
=


+ =

0,25
⇔
x 1
y 1
=


=

0,25
Vậy với m = 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
x 1
y 1
=



=

0,25
2.
(1,0đ)
Ta có hệ:
( )
m 1 x y 2
mx y m 1

− + =


+ = +


⇔
x m 1 2
mx y m 1
= + −


+ = +

0,25
⇔
( )
x m 1
y m m 1 m 1

= −



= − − + +


⇔
2
x m 1
y m 2m 1
= −


= − + +

Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
2
x m 1
y m 2m 1
= −


= − + +

0,25
Khi đó: 2x + y = −m
2
+ 4m − 1
= 3 − (m − 2)

2
≤ 3 đúng ∀m vì (m − 2)
2
≥ 0
Vậy với mọi giá trị của m, hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả
mãn 2x + y ≤ 3.
0,50
Bài 3 2,0 điểm
Ý Nội dung Điểm
1.
Với k = −2 ta có đường thẳng (d): y = −3x + 4
0,25
(1,0đ)
Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
là:
0,25
3
x
2
= −3x + 4
⇔ x
2
+ 3x − 4 = 0
Do a + b + c = 1 + 3 − 4 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = − 4
Với x = 1 có y = 1
Với x = −4 có y = 16
0,25
Vậy khi k = −2 đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm có toạ độ là (1; 1);
(−4; 16)
0,25

2.
(0,5đ)
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x
2
= (k − 1)x + 4
⇔ x
2
− (k − 1)x − 4 = 0
0,25
Ta có ac = −4 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
k.
Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
0,25
3.
(0,5đ)
Với mọi giá trị của k; đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân
biệt có hoành độ x
1
, x
2
thoả mãn:
1 2
1 2
x x k 1
x x 4
+ = −


= −


Khi đó:
2 2
1 1 2 2
y x ; y x= =
0,25
Vậy y
1
+ y
2
= y
1
y
2
⇔
2 2 2 2
1 2 1 2
x x x x+ =
⇔ (x
1
+ x
2
)
2
− 2x
1
x
2
= (x
1

x
2
)
2
⇔ (k

− 1)
2
+ 8 = 16
⇔ (k

− 1)
2
= 8
⇔
k 1 2 2= +
hoặc
k 1 2 2= −

Vậy
k 1 2 2= +
hoặc
k 1 2 2= −
thoả mãn đầu bài.
0,25
Bài 4 3,5 điểm
Ý Nội dung Điểm
1.
(1,0đ)
0,25

4
D
C
K
N
P
A B
M
H
+ Ta có
·
DAB
= 90
o
(ABCD là hình vuông)
·
BHD
= 90
o
(gt)
Nên
·
·
DAB BHD+
= 180
o
⇒ Tứ giác ABHD nội tiếp
0,25
+ Ta có
·

BHD
= 90
o
(gt)
·
BCD
= 90
o
(ABCD là hình vuông)
0,25
Nên H; C cùng thuộc đường tròn đường kính DB
⇒ Tứ giác BHCD nội tiếp
0,25
2.
(1,0đ)
Ta có:
· ·
·
·
o
o
BDC BHC 180
CHK BHC 180

+ =


+ =



⇒
·
·
CHK BDC=
0,5
mà
·
BDC
= 45
o
(tính chất hình vuông ABCD) ⇒
·
CHK
= 45
o
0,5
3.
(1,0đ)
Xét ∆KHD và ∆KCB
Có
·
·
·
o
KHD KCB (90 )
DKB chung

= =





⇒ ∆KHD ∆KCB (g.g)
0,5
⇒
KH KD
KC KB
=
0,25
⇒ KH.KB = KC.KD (đpcm)
0,25
4.
(0,5đ)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng
DC tại P.
Ta có:
·
·
BAM DAP=
(cùng phụ
·
MAD
)
AB = AD (cạnh hình vuông ABCD)
·
·
o
ABM ADP 90= =
Nên ∆BAM = ∆DAP (g.c.g) ⇒ AM = AP
0,25

Trong ∆PAN có:
·
PAN
= 90
o
; AD ⊥ PN
nên
2 2 2
1 1 1
AD AP AN
= +
(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
⇒
2 2 2
1 1 1
AD AM AN
= +
0,25
Bài 5 0,5 điểm
Ý Nội dung Điểm
Ta chứng minh:
1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
(*)

với a > 0; b > 0; c > 0
+ Với a > 0; b > 0 ta có:
( )
a 2 b 3 a 2b+ ≤ +
(1)
+ Do
( )
1 2
a 2 b 9
a b
 
+ + ≥
 ÷
 
nên
1 2 9
a b a 2 b
+ ≥
+
(2)
+ Từ (1) và (2) ta có:
1 2 3 3
a b a 2b
+ ≥
+
(3) (Với a > 0; b> 0; c > 0)
5
0,5đ
0.25đ
+ Áp dụng (3) ta có:

1 1 1 1 1 1
3
a b c a 2b b 2c c 2a
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
với a > 0; b> 0; c > 0
Phương trình
1 1 1 1
3
x 2x 3 4x 3 5x 6
 
+ = +
 ÷
− − −
 
có ĐK:
3
x
2
>
Áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x; b = x; c = 2x - 3 ta có:
1 1 1 1 1 1
3
x x 2x 3 3x 5x 6 4x 3
 
+ + ≥ + +
 ÷

− − −
 
1 1 1 1
3
x 2x 3 5x 6 4x 3
 
⇒ + ≥ +
 ÷
− − −
 
với
3
x
2
>
Dấu “ = ” xảy ra
x 2x 3 x 3⇔ = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
0.25đ
1. Trên đây chỉ là các bước giải và khung điểm bắt buộc cho từng bước, yêu cầu thí sinh
phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới được công nhận cho điểm.
2. Bài 4 phải có hình vẽ đúng và phù hợp với lời giải của bài toán (không cho điểm hình
vẽ).
3. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo khung điểm.
4. Chấm từng phần. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần, không làm tròn
6