Bai tập ôn Chuyên đề phương trình

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH
I/ Dạng
A B
A B
A B
=
=−

= ⇔

Ví dụ : Giải các phương trình sau
2
) 1 3 2
) 4 3 2 1
a x x
b x x x
− = −
− + = −
) 5 3 2 7c x x+ = −
II/ Dạng
( )
( )
0
0
A B A
A B A
A B
= ≥
− = ≤


= ⇔


(Với A có dạng ax+b)
Ví dụ : Giải các phương trình sau
2
2
) 3 2 2
) 2 3 2
a x x x
b x x x
− + = +
+ = − +
2
) 5 1 1 0c x x− − − =
III/ Dạng
2 2
0
0
≥

≥


= ⇔ ⇔
=

 
=




= −


B
B
A B
A B
A B
A B
(Với B có dạng ax+b)
IV/ Dạng
2 2
=

= ⇒ = ⇒

= −

A B
A B A B
A B
(Với A,B có dạng
2
ax bx c+ +
)
Sau đó thế nghiệm vào phương trình ban đầu
Bài tập

1.
2 3 5x x− = −
2.
3 2 1x x+ = +
3.
2 1 7x x+ = −
4.
2 5 1x x− = +
5.
6 2 3 4x x− = −
6.
3 2 2x x− = −
7.
2 3 1x + =
8.
2 2 1x x− = −
9.
2 1 3x x− = −
10.
2 1 2x x− = +
11.
1 2 1x x− = −
12.
2 2x x− = −
13.
3 5 2 1x x− = +
14.
7 4 3 4x x− = −
15.
2 1x x+ =

16.
3 4 2x x+ = −
17.
3 2 1x x− = −
18.
2 5 3 2x x+ = −
19.
3 2 1x x− = −
20.
2 2 5− = −x x
NC
21.
2
1 1x− =
22.
2
1 1 4x x− = −
23.
2
4 1 2 4x x x+ = + −
24.
2
3 5 2 3x x x− = + −
25.
2 2
2 8 1x x x− + = −
26.
2
5 3 2 5 0x x x+ − − − =
27.

2
5 1 1 0x x− − − =
28.
2 2
3 2 6x x− = −
29.
1 3 1
2 3 1
x x
x x
− − +
=
− +
30.
2
12
2
3
x x
x
x
− −
=
−
31.
2 3 3
2 1
x
x x
−

=
+ −
32.
2 3
2 1 2 1
x x
x x
+ − +
=
− +
ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức
1

V/ Phương trình chứa dấu căn:
1)Dạng:
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

Ví dụ: Giải các phương trình sau
2
) 2 7 4
)2 6 2 5
a x x

b x x x
− + =
− + = −
2
) 3 9 1 2c x x x− + = −
2)Dạng
0 0A vB
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=

Ví dụ : Giải các phương trình sau
2
2
) 4 1 3 5 5
) 8 3 7 5 1
a x x x
b x x x
− = − +
+ + = +
3)Dạng
, 0
2
A B
A B C
A B AB C

≥


+ = ⇔

+ + =


Ví dụ : Giải các phương trình sau
) 1 3 4
) 8 3
a x x
b x x x
+ = − +
+ − = +
2 2
) 4
4
4 2
) 3 2 4 2 1 1
x x
c
d x x x x
− =
− + − + − − =
IV/ Phương pháp đặt ẩn phụ của phương trình chứa dấu căn
Giải các phương trình sau
2 2 2
2 2
2

) 7 2 3 3 19
) 2 3 11 3 4
)4 9 2 7 3 2 1
a x x x x x x
b x x x x
c x x x x x
+ + = + + = + +
+ − + = +
− + + + = − + −
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
) 5 2 3
) 6 12 7 2
) 1 4 1 4 5
d x x x x
e x x x x
g x s x x x
+ − = +
− + = −
+ + − + + − =
Phương trình quy về phương trình bậc hai
I/ Phương trình trùng phương
4 2
0ax bx c+ + =
phương pháp đặt x
2
= t ( t >=0)
ví dụ : Giải các phương trình

4 2
2 2
) 12 0
)(1 )(1 ) 3 0
a x x
b x x
− − =
− + + =
II/ Phương trình dạng
( ) ( ) ( ) ( )
x a x b x c x d k+ + + + =
Với a + b = c + d
Đặt t =
( ) ( )
x a x b+ +

Ví dụ 1: Giải phương trình
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 4 5 112x x x x− − + + =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 2 4 5 112
1 4 2 5 112
3 4 3 10 112
x x x x
x x x x
x x x x
− − + + =

⇔ − + − + =
⇔ + − + − =
ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức
2

Đặt t = x
2
+ 3x ta có phương trình
( ) ( )
' '
4 10 112
14 72 0, 49 72 121 11
7 11 4
7 11 18
t t
t t
t
t
⇔ − − =
⇔ − − = ∆ = + = ⇒ ∆ =
⇒ = − = −
= + =
Với t = -4 ta có phương trình x
2
+ 3x + 4 = 0
7 0∆ = − <
Với t = 18 ta có phương trình x
2
+ 3x – 18 = 0
1 2

9 4.18 81
3 9 3 9
6 3
2 2
x x
∆ = + =
− − − +
⇒ = = − ⇒ = =
Ví dụ 2:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 2 9 20 4
1 2 4 5 4
6 5 6 8 4
x x x x
x x x x
x x x x
− + − + =
⇔ − − − − =
⇔ − + − + =
Ví dụ 3:

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2

1 8 15 9
1 1 3 5 9
4 5 4 3 9
x x x
x x x x
x x x x
− + + =
⇔ − + + + =
⇔ + − + + =
III/ Phương trình dạng:
( ) ( )
2 2 2
x ax c x bx c mx+ + + + =
Chia cả hai vế cho x
2
rồi đặt
x c
t
x
+
=
Ví dụ: giải phương trình

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
) 1 5 1 3

)4 5 6 10 12 3
10
) 1 2 4 8
9
a x x x x x
b x x x x x
c x x x x x
− + − + = −
+ + + + =
− − − − =
VI/ Phương trình dạng:
4 3 2
0;( 0)ax bx cx bx a a+ + ± + = ≠
Đưa về dạng
2
2
1 1
0a x b x c
x x
   
+ + ± + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
t x
x
= ±
Ví dụ : Giải các phương trình
ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức

3

4 3 2
4 3 2
3
3
) 4 5 4 1 0
) 3 2 6 4 0
1 1
) 3
a x x x x
b x x x x
c x x
x x
+ + =
+ + =

+ = +
ữ

V / Daùng khaực
( ) ( )
2
2 2
. . 0m a x bx c n a x bx c p+ + + + + + =
ẹaởt t =
2
.a x bx c+ +
Giaỷi caực phửụng trỡnh sau
( ) ( )

( )
2
2 2
2
2 2
) 3 4 3 3 4 4
) 1 3 3 1 0
a x x x x
b x x x x
+ + + =
+ + =
CHUấN GII V BIN LUN PHNG TRèNH BC HAI
I/ Dng I tỡm iu kin phng trỡnh
2
. 0a x bx c+ + =
cú hai nghim phõn bit,
chng minh phng trỡnh luụn cú nghim:
1) Phng phỏp tớnh
2
4b ac =
nu
0

thỡ phng trỡnh luụn cú hai nghim
phõn bit
2) Cỏc vớ d:
Vớ d 1: Tỡm m phng trỡnh x
2
+ 5x + ( m - 4 ) = 0 cú hai nghim phõn bit
Gii

phng trỡnh cú hai nghim phõn bit thỡ

( )
25 4 4 0
41 4 0
41
4
m
m
m
= >
>
<
Vớ d 2: cho phng trỡnh x
2
-2( m + 1 )x +4m = 0
a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m
b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x
1
v

x
2
tho món iu kin
1 2
2 1
5
2
x x
x x

+ =
Gii
a) Ta cú

( )
( )
2
2
2
1 4 2 1
1 0
m m m m
m
= + = +
=
b) Theo vi ột ta cú
1 2 1 2
x .x 2( 1);x x 4m m= + + =
CH CễNG - gv THPT Trnh Hoi c
4

( )
2
1 2 1 2
1 2
2 1 1 2
2
2
2
2

5 5
2 2
4 2.2( 1) 5
2( 1) 2
4 2.2( 1) 5( 1); 1
4 9 9 0; 81 144 225, 15
x x x x
x x
x x x x
m m
m
m m m m
m m
+ −
+ = ⇔ =
− +
⇔ =
+
⇔ − + = + ≠ −
⇔ − − = ∆ = + = ∆ =
1
9 15 24
3;
8 8
m
+
⇒ = = =
2
9 15 3
8 4

m
− −
= =
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
+ ( 2m – 1 )x – m = 0
a) Chừng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4:Cho phương trình bậc hai x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 3 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x +x 8=
Ví dụ 5: Tìm các giá trò của m để các nghiệm của phương trình
a)
( )

2
2 5 0+ − + + =x m x m
Thoả mãn
2 2
1 2
10x x+ =
b)
2
( 1) 0x mx m− + − =
Thoả mãn
( )
1 2 1 2
2 19 0x x x x+ + − =
Ví dụ 6: Cho phương trình
( )
2
3 2( 2) 0x m x m− + + + =
a) Với giá trò nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn
1 2
2x x=
c) Chứng tỏ rằng A =
( )
1 2 1 2
2 x x x x
+ −
độc lập với m
Ví dụ 7: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x
2
– 2( m – 2)x + m – 1 = 0

a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để
1 2
1 1
5
x x
+ =
c) Tìm hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m
giải
2 4 2 4 4
2 2
4 4 4
m m
S S
m m m
− −
= ⇒ − = − =
− − −
(1)
1 1 3
1 1
4 4 4
m m
P P
m m m
− −

= ⇒ − = − =
− − −

(2)
Lấy (1) chia cho (2) ta có:
( ) ( )
1 2 1 2
2 4
3 2 4 1
1 3
3 4 2 0
3( ) 4 2 0
S
S P
P
S P
x x x x
−
= ⇒ − = −
−
⇒ − − =
⇒ + − − =
ĐỖ CHÍ CƠNG - gv THPT Trịnh Hồi Đức
5