Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------------

LƢU THỊ PHƢỢNG

CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA
SIÊU MẠNG GRAPHENE HAI LỚP

Chuyên ngành

: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số

: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Liễn

HÀ NỘI, 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố
trong bất kỳ cơng trình nào.
Tác giả luận văn

Lƣu Thị Phƣợng

i


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, tôi luôn
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện từ gia đình, thầy cơ và bạn bè. Xin
được lưu vào trang đầu tiên của luận văn sự tri ân và lời cảm ơn chân thành nhất.
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn và sự kính trọng tới thầy, GS.TSKH
Nguyễn Văn Liễn, người đã trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này. Thầy
đã tận tình hướng dẫn và tạo cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập và
nghiên cứu khoa học.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn bạn Phạm Công Huy, bạn đã trực tiếp hướng dẫn tơi
phần tính tốn của luận văn và kiểm tra lại các kết quả tính tốn đó.
Tơi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Khoa học
Tự nhiên – Đaị học Quốc Gia Hà Nội, thầy cơ phịng sau đại học,…những người đã
trực tiếp giảng dạy, truyền đạt các kiến thức về vật lý và xác nhận các thủ tục hành

chính trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn bố mẹ, chồng và em trai luôn nhắc nhở động viên
và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tơi có thể học tập.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày

tháng

năm 2015

Tác giả

Lƣu Thị Phƣợng

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................. ii

DANH SÁCH HÌNH VẼ ................................................................................. iv
LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN ...................................................................................... 4
1.1.Cấu trúc vùng năng lượng .................................................................................. 4
1.2.Phương trình Dirac . ........................................................................................... 7
1.3.Giả spinor và Chirality. .................................................................................... 12
1.4. Truyền dẫn ballistic. ........................................................................................ 14
1.4.1.Chui ngầm Klein ........................................................................................ 14
1.4.2 Giới hạn độ dẫn lượng tử ........................................................................... 17

1.5. Hiệu ứng Hall lượng tử khác thường............................................................... 19
1.6. Một số cấu trúc nano graphene........................................................................ 22
1.7. Ứng dụng Graphene. ....................................................................................... 22
CHƢƠNG 2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA GRAPHENEHAI LỚP .. 27
2.1. Cấu trúc tinh thể .............................................................................................. 27
2.2.Cấu trúc vùng năng lượng ................................................................................ 28
2.3. Sự khác biệt giữa graphene đơn lớp và graphene hai lớp ............................... 32
CHƢƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƢỢNG CỦA SIÊU MẠNG
GRAPHENE HAI LỚP: KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN ....................................... 38
3.1. Siêu mạng bán dẫn........................................................................................... 38
3.2. Phương pháp T-ma trận. .................................................................................. 40
3.3. Siêu mạng Graphene hai lớp ........................................................................... 43
3.4.Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp............................ 47
3.4.1. Mơ hình thế điện dạng Kronig- Penney. ................................................... 47
3.4.2. Kết quả và thảo luận: ................................................................................ 50
KẾT LUẬN ............................................................................................................... 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 59

iii


DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene ...................................... 7
Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic. ........ 14
Hình 1.3. Mơ hình chui ngầm Klein .......................................................................... 15
Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thông thường có vùng cấm. ...................... 16
Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn
độ dẫn theo công thức (1.4.43) , các điểm hình trịn và hình vng là số liệu thực

nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008). ..................... 19
Hình 1.6. Hiệu ứng Hall lượng tử cho (a) hệ bán dẫn hai chiều thông thường (b)
graphene đơn lớp, (c) graphene hai lớp, (d) graphene đơn lớp ở nhiệt độ T= 4K,
B=14 T. ...................................................................................................................... 21
Hình 2.1

: Cấu trúc tinh thể Graphene đơn lớp và Graphene hai lớp ..................... 27

Hình 2.2 : Cấu trúc vùng năng lượng của graphene đơn lớp ................................... 33
Hình 2.3. (a) Cấu trúc vùng năng lượng của graphene hai lớp .................................. 34
Hình 2.3 (b): Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp không đối xứng. ..... 34
Hình 2.4.Sự xuất hiện khe vùng khi có điện trường ngồi trong lớp kép graphene. . 36
Hình 3.1.Mơ hình thế điện Kronig- Penney cho graphene hai lớp. ........................... 44
Hình 3.2. Hệ thức tán sắc với 3 siêu mạng khác nhau cho ta thấy mối liên hệ giữa E
với kx, ky. .................................................................................................................... 46
Hình 3.3.Mơ hình siêu mạng điện .............................................................................. 47
Hình 3.4. Cấu trúc vùng của siêu mạng điện Graphene trong khơng gian 3D với: ... 48
Hình 3.5. Vận tốc nhóm phụ thuộc vào góc tới trong trường hợp độ lớn tĩnh điện đặt vào
là khác nhau:   4 (đường chấm gạch),   8 (đường liền đỏ),   18 (đường gạch xanh)50

iv


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn luận văn
Cơng nghệ bán dẫn hiện đại với transistor truyền thống đã phát triển hết sức
mạnh mẽ trong nửa cuối thế kỷ 20. Bằng chứng cho sự phát triển đó chính là định
luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ transistor trên chip điện tử silicon.
Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn mà tại đó các nguyên lý hoạt động
của transistor cổ điển khơng cịn đúng nữa, đó chính là vấn đề mà các nhà vật lý và

cơng nghệ lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước của „bóng bán dẫn‟.
Carbon, nguyên tố cơ bản của sự sống, với những tính chất độc đáo của nó được
kỳ vọng là vật liệu cơ sở cho nền công nghệ trong tương lai. Nhiều người tin rằng,
carbon có thể thay thế silic, công nghệ bán dẫn truyền thống sẽ được thay thế bằng
cơng nghệ nano dựa trên ngun tắc hồn tồn mới. Các cấu trúc nano của nguyên
tố carbon như quả cầu Fullerenes C60 (Fullerenes carbon ball C60 ), ống nano carbon
(carbon nanotube), dải nano carbon ( carbon nanoribbon ), đã và đang được nghiên
cứu sôi nổi trong lĩnh vực vật lý nano, mấy thập kỷ qua. Mà, Graphene có thể xem
là cơ sở cấu thành các cấu trúc đó.
Graphene có nhiều tính chất đặc biệt so với các vật liệu thông thường.
Thứ nhất, ở năng lượng thấp các electron biểu hiện như những hạt tương đối tính
khơng khối lượng, mặc dù vận tốc của nó chỉ khoảng 1/300 lần vận tốc ánh sáng.
Hàm sóng của electron có cấu trúc spinor hai thành phần và hướng của spinor có
liên quan đến hướng của xung lượng là nguyên nhân tính chirality.
Thứ hai, khả năng truyền dẫn đặc biệt tốt của Graphene. Độ linh động của electron
trong Graphene ( tiêu chí để xác định một vật liệu dẫn điện tốt) có thể đạt tới
𝟏𝟎𝟓 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔 cao hơn hẳn so với độ linh động của electron trong silicon ( cỡ
𝟏𝟑𝟓𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔) hay GaAs( cỡ 𝟖𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 /𝑽𝒔). Ngoài ra, graphene là vật liệu dẫn
cực mỏng, trong suốt, rất bền về mặt cơ học, dẫn nhiệt rất tốt. Do đó, Graphene
được kỳ vọng sẽ thay thế cho các vật liệu bán dẫn thông thường trong nhiều ứng
dụng, từ sản xuất bộ vi xử lý tốc độ cao đến cảm biến sinh học.

1


Việc nghiên cứu ứng dụng graphene được bắt đầu bằng nghiên cứu tính chất
electron trong các cấu trúc khác nhau của Graphene : carbon nanoribbon, quantum
dot, p-n junction, hay siêu mạng...Thông thường người ta chế tạo siêu mạng bằng
cách điều chỉnh thế gian cầm đối với electron bằng công nghệ tương tự như công
nghệ hút bám nguyên tử trên một bề mặt Graphene. Ngày nay công nghệ hiện đại

hơn được sử dụng đó là kính hiển vi qt đường ngầm STM để quan sát cấu trúc bề
mặt của vật rắn với độ phân giải lên tới cấp độ nguyên tử, người ta có thể đặt vào và
điều chỉnh tạp chất hợp lý để tạo ra những cấu trúc siêu mạng như ý muốn, với độ
chính xác cực cao. Bên cạnh đó, có một phương pháp đơn giản đã từng làm là tạo ra
những điện áp địa phương ( tức là đặt vào những điện áp không đổi với một chu kỳ
tuần hồn nào đó), do vậy đối với electron thế là tuần hoàn như một siêu mạng.
Ngoài ra, một phương pháp rất độc đáo cũng được sử dụng, đó là ban đầu người ta
tạo một lớp chất nền có hình dạng như một thế siêu mạng muốn tạo thành. Sau đó,
người ta cấy lên trên những bề mặt này những lớp graphene bằng cách này cũng tạo
ra được siêu mạng graphene.
Ngày nay, người ta sử dụng kính hiển vi quét đường ngầm STM để điều chỉnh
tạp chất trong graphene được đặt lên trên một lớp chất tạo nền và có thể đạt được
cấu trúc siêu mạng như mong muốn. Với cơng nghệ này, người ta có thể tạo được
các siêu mạng graphene có chu kỳ nhỏ hơn 5nm. Mơ hình siêu mạng phổ biến hay
được quan tâm nhất là mô hình thế Kronig- Penney ( tức là mơ hình thế gồm các bờ
thế vng góc sắp xếp tuần hồn theo một phương nào đó). Với mơ hình KronigPenny cho siêu mạng điện Bai và Zhang [6] đã khảo sát sự phụ thuộc hệ số truyền
qua vào góc tới và năng lượng tới của hạt, đồng thời đã tính độ dẫn của hệ. Nhóm
của Abedbour cũng đã tính độ dẫn của hệ siêu mạng mất trật tự graphene. Nhóm
của Park đã chỉ ra rằng với mơ hình Kronig- Penney vận tốc nhóm có tính dị hướng
cao do tính chirality. Trong khi vận tốc nhóm theo phương tuần hồn của thế vẫn
khơng đổi( bằng vận tốc Fermi), thì vận tốc nhóm xét theo phương vng góc với
nó nhỏ hơn vận tốc Fermi. Với một siêu mạng graphene sử dụng thế có dạng hàm
sin, Brey và Fertig [10] chỉ ra rằng tính chirality dẫn tới điều đặc biệt là sự xuất hiện
những trạng thái năng lượng khơng trong phương trình Dirac, đây chính là sự xuất
2


hiện thêm của nhiều điểm Dirac nằm đối xứng qua điểm Dirac chính theo phương
xung lượng ngang. Ngồi ra siêu mạng cịn có thể tạo thành bằng các bờ thế từ. Siêu
mạng từ graphene có thể được cấu thành bằng cách áp các thanh sắt từ lên bề mặt

tấm graphene theo một phương nhất định tạo thành một thế tuần hoàn.
Trong luận văn này sử dụng phương pháp Transfer (T) matrix quen thuộc,
chúng tơi bước đầu tìm hiểu cấu trúc năng lượng của siêu mạng graphene hai lớp (
bilayer graphene) với thế tĩnh điện tuần hồn dạng Kronig- Penney. Vì vậy tôi chọn
tên luận văn: “Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp”.
2. Mục tiêu luận văn
Tìm hiểu các tính chất vật lý của graphenevà bước đầu học cách tính tốn cấu trúc
vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn
Luận văn chủ yếu sử dụng lý thuyết bloch kết hợp với phương pháp T-ma trận .
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của luận văn
-Đối tượng nghiên cứu : Graphene hai lớp dưới tác dụng của thế tĩnh điện tuần hoàn
dạng Kronig- Penney.
- Phạm vi nghiên cứu : Cấu trúc vùng năng lượng của siêu mạng Graphene hai lớp.
5. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn chia làm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan các tính chất điện tử của Graphene đơn lớp
Chương 2: Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene hai lớp
Chương 3: Trình bày kết quả và thảo luận về cấu trúc vùng năng lượng của siêu
mạng Graphene 2 lớp với thế điện dạng Kronig - Penney.

3


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN
CÁC TÍNH CHẤT ĐIỆN TỬ CƠ BẢN CỦA GRAPHENE ĐƠN LỚP
Để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của graphene được giới thiệu ở phần mở
đầu, đồng thời làm cơ sở cho những tính tốn và giải thích các hiện tượng vật lý ở
trong siêu mạng graphene sẽ trình bày ở phần tiếp theo, tơi xin giới thiệu một vài
đặc trưng cơ bản nhất của graphene như cấu trúc vùng năng lượng và các tính chất

điện tử.
1.1. Cấu trúc vùng năng lƣợng
Cấu trúc vùng năng lượng của Graphene được tính tốn bằng phương pháp
gần đúng liên kết mạnh và so sánh kết quả nhận được với phương pháp ab- initio.
Hàm sóng của electron trong gần đúng liên kết mạnh được viết dưới dạng:
𝛹𝑗 𝑘, 𝑟 =

𝑀
𝑚 =1 𝛹𝑗 ,𝑚

𝑘 𝜙𝑚 (𝑘, 𝑟)(1.1.1)

𝛹𝑗 ,𝑚 là hệ số khai triển. Có M dãy năng lượng khác nhau và năng lượng của trạng
thái điện tử E của dãy thứ j được tính :
𝐸𝑗 𝑘 = 𝛹𝑗 𝐻 𝛹𝑗 / 𝛹𝑗 𝛹𝑗
Dưới dạng đơn giản nhất, năng lượng 𝐸𝑗 với hệ số khai triển 𝛹𝑗 tạo thành :
𝐻𝛹𝑗 = 𝐸𝑗 𝑆𝛹𝑗
Trong đó: 𝛹𝑗 là vecto cột, 𝛹𝑗𝑇 = (𝛹𝑗 1 , 𝛹𝑗 2 , … , 𝛹𝑗𝑀 )

(1.1.2)

Ma trận tích phân chuyển đổi H và ma trận tích phân chéo S là MxM với các nhân
tố được xác định như sau :
𝐻𝑚 𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝐻 𝜙𝑚′ 𝑆𝑚𝑚 ′ = 𝜙𝑚 𝜙𝑚′

(1.1.3)

Dãy năng lượng 𝐸𝑗 được xác định bởi phương trình giá trị riêng suy rộng
(1.1.2) bằng cách giải phương trình :
𝑑𝑒𝑡 𝐻 − 𝐸𝑗 𝑆 = 0

(1.1.4)

Ở đây „det‟ được gọi là định thức của ma trận.
Các yếu tố ma trận sẽ được tính trực tiếp theo định nghĩa :
𝐻𝐴𝐴 =

1
𝑁

𝑁
𝑖=1

𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 )

4

(1.1.5)


Đặt tham số 𝜖𝐴 = 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) 𝐻 𝜙𝐴 (𝑟 − 𝑅𝐴,𝑖 ) . Đây được coi như phép

tổng của các tham số 𝜖𝐴 . 𝜖𝐴 mang giá trị như nhau trong mỗi ơ đơn vị.
Do đó nguyên tố ma trận có thể có thể được diễn đạt là H AA =.є A Tương tự
như vậy, ma trận chéo H BB đối với orbital ở vị trí B được viết là H BB  є B . Trong
khi với Graphene tinh khiết є A = є B khi hai mạng con giống nhau. Việc tính tốn
những phần tử chéo trong ma trận tích phân chéo S thì phương trình (1.1.4) được
thực hiện theo cách tương tự như đối với ma trận H với nghịch đảo của một orbital
với phần tử đơn vị của nó.
 j (r  R j , i )  j (r  R j , i )  1

Do đó : SBB  S AA  1 .
Phần tử ngồi đường chéo góc H AB của ma trận tích phân chuyển đổi H mô tả khả
năng di chuyển linh hoạt giữa những orbital ở các vị trí A và B. Thay hàm Bloch
𝜙𝑚 𝑘, 𝑟 =

1
𝑁

𝑁
𝑖𝑘 .𝑅𝑚 .𝑖
𝑖=1 𝑒

𝜙𝑚 𝑟 − 𝑅𝑚 ,𝑖 vào ma trận (1.1.3) tạo ra phép toán của

những vị trí tại A và những phép tốn của những vị trí tại B.
Ta giả sử những vị trí phát sinh từ sự linh hoạt giữa các điểm lân cận . Nếu ta xem
xét vị trí A được cho trước sau đó tính tốn khả năng di chuyển đến 3 vị trí gần B
nhất , kí hiệu l= 1, 2, 3:
H AB 

1 N 3 ik .1
 e x A (r  RA,i )  B (r  RA,i  l )
N i 1 l 1

Ở đây, 1 là vị trí của 3 nguyên tử B gần nhất so với nguyên tử A cho trước

1  (0,

a

a a
a a
), 2  ( ,
), 3  (
,
).
2 2 3
2 2 3
3

Phép toán đối với 3 vị trí gần điểm B nhất thì giống hệt điểm A , tham số này được
tính như sau:

 0   A (r  RA,i )  B (r  RA,i  1 )
với  0  0 . Do đó phần tử ma trận được viết lại thành :
H AB   0 . f (k );

5

(1.1.6)


3

f (k )   eik .1

(1.1.7)

l 1

*
Phần tử ma trận ngồi đường chéo góc cịn lại được tính: H BA  H AB
  0 f * (k ).

Hàm f (k ) chỉ sự dịch chuyển của điểm gần nhất ,phương trình (7) được viết :
f (k )  e

ik y a / 3

 2e

 ik y a / 2 3

cos( k x a / 2) (1.1.8)

k  (k x , k y ) là vecto sóng .

Việc tính tốn những phần tử ngồi đường chéo góc của ma trận tích phân
chéo S tương tự như ma trận H. Hàm số s0  A (r  RA,i ) B (r  RB,l mô tả các khả
năng của các phần tử chéo có thể >0 hoặc < 0 giữa các orbital trên những vị trí lân
cận. Khi đó
*
S AB  SBA
 s0 f (k )

Tập hợp các phần tử ma trận , các ma trận tích phân H m và S m của Graphene đơn
lớp được viết như sau :
𝐻𝑚 =

𝜖𝐴

−𝛾0∗ (𝑘)

−𝛾0 𝑓(𝑘)
𝜖𝐵

s0 f (k ) 
 1

Sm  
*
1 
 s0 f (k )

(1.1.9)
(1.1.10)

Năng lượng tương ứng được xác định bằng cách giải phương trình (4) . Ví dụ đối
với Graphene tinh khiết є A = є B =0 , ta có :
Ef 

  0 f (k )
1  s0 f (k )

(1.1.11)

 0  3.033eV , s0  0.129
Ở phương trình (1.1.8) f (k )  0 tại góc của vùng Brillouin, hai trong số chúng
khơng
tương đương nhau.

6


Hình 1.1. Các vecto cơ sở của vùng Brillouin của Graphene
4
Ví dụ : góc K  , K  với vecto sóng K   ( ,0) được kí hiệu trong bảng
3a

1(b). Những vị trí như vậy được gọi là điểm lồi và lõm K và ta sẽ sử dụng chỉ số
lõm   1 để phân biệt những điểm K . Tại những điểm này , các kết quả của
phương trình (15) có cùng mức năng lượng, đánh dấu điểm chéo nhau và năng
lượng vùng cấm bằng 0 giữa vùng hoá trị và vùng dẫn. Ma trận chuyển đổi H m gần
giống với phương trình Dirac- Hamilton ở lân cận của điểm K, mơ tả các hạt khơng
có khối lượng với mối tương quan về độ tán sắc dài. Các điểm này đặc biệt quan
trọng vì mức fermi được đặt gần chúng trong lớp Graphene tinh khiết.
1.2. Phƣơng trình Dirac
a) Phương trình tựa Dirac
Thực tế trong các bài tốn truyền dẫn, ta chỉ quan tâm đến các electron gần bề
mặt Fermi, như thông thường, ta sẽ dùng phương pháp gần đúng khối lượng hiệu
dụng. Kết quả phép gần đúng khối lượng hiệu dụng đối với Graphene chính là
phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.
Sử dụng khai triển K.P tại lân cận điểm K. Bằng cách viết hàm song đầy đủ
(là tích của hàm vỏ và hàm lõi), thay vào phuwogn trìng Schr𝑜dinger, khai triển
và giữ lại hạng bậc nhất của k sẽ thu được phương trình tựa Dirac cho electron
trong Graphene. Việc này đã được DI Vincenzo và Mele thực hiện năm 1984 [9].
Ở đây tơi tóm tắt lập luận ngun văn của các tác giả để rút ra phương tình tựa
Dirac hai chiều.

7

“… Khi khơng có thế tạp, khai triển gần đúng khối lượng hiệu dụng tương
đương với khai triển K.P tại lân cận điểm K . Trong lý thuyết khai triển K.P hàm
song của electron tại vector song k  K  k được cho bởi:

r
r
𝑖
𝑖
𝛹(𝐾, 𝑟) = 𝑓1 (𝐾 )𝑒 k , 1 ( K , r )  f 2 ( K ) 𝑒 k ,
Thế  vào phương trình Schrodinger, giữ lại số hạng cáp một của k và
lấy EF =0 ta đượpc phương trình trị riêng:


K
m

P 11

P 12

P 21

= E (K )

f 1 (K )

f 1 (K )
f 2 (K )

(1.2.12)

f 2 (K )

P 22

Trong đó P ij =   *i (K, r ) p  j(K, r )d r . Có thể chỉ ra bằng lý thuyết nhóm
hoặc trực tiếp từ phương trình gần đúng liên kết mạnh, rằng ma trận của toán tử
xung lượng có dạng:
p

0

e −𝑖 e 𝑦

e +𝑖 e 𝑦

0

(1.2.13)

Trong đó e x , e y là vector đơn vị của mặt phẳng, p la hệ số liên quan đến cấu
trúc vùng của Graphene. Từ đó có ta có thể chéo hóa dễ dàng ma trận trên và thu
được:
E (K ) =±𝑃‫ ׀‬k ‫( ׀‬2.1) với P  (2 / m) p .
Như vậy thực chất của kết quả của phép khai triển K.P là thay thế câu trúc
vùng Graphene bằng hệ thức tán sắc hình nón tại mặt Fermi.
Khi đặt trường ngồi liên hệ, đối xứng tịnh tiến nói chung bị phá vỡ va trạng
thái lượng tử của electron khơng cịn được đặc trưng bởi k . Do đó chúng ta sẽ dùng
đến một sự mở rộng nhỏ của hàm thử:

 ( k , r ) = 𝑑 k f 1 (K ) 𝑒 𝑖 k , r  1 (K, r )+ 𝑑 k
(1.2.14)
8

2

(K ) 𝑒

𝑖 k,

r

2

(K, r )


Đặt hàm thủ vào phương trình Schrodinger ta đi đến phương trình tích phân:

P

f 1 (K )

0

𝐾𝑥 −𝑖𝐾𝑦
0
𝐾𝑥 +𝑖𝐾𝑦

f 2 (K )

 f1 ( K ) 


 =E  f 1 ( K )  ( 1.2.15)

 f (K ) 
 f 2 (K ) 
 2


+ 𝑑 K ‟U( K - K ‟) 





Trong đó : U (q)   dz  ( z )  d qe i q rU (r ) chính là biến đổi Fourier của thế tạp
U( r ) lấy trung bình theo trục Oz. Để rút ra phương trình này chúng ta đã áp dụng
gần đúng tiêu chuẩn của lý thuyết khối lượng hiệu dụng là thế tạp biến thiên chậm
so với khoảng cách đặc trưng của ơ mạng.
Để hồn tất việc rút ra phương trình Dirac ta thực hiện biến đổi Fourier phương
tình trên, kết quả là phương trình tích phân chuyển thành phương trình vi phân:
0
𝑃
𝑖




i
x y



+𝑖
𝑥
y

0

𝐹1 (𝑟)
𝐹 (𝑟)
= 𝐸 − 𝑈(𝑟) ( 1 )
𝐹2 (𝑟)
𝐹2 (𝑟)

(1.2.16)

Và phương trình sóng trong biêủ diễn tọa độ là:
 (r )  𝐹1 (𝑟)  1 (𝐾, 𝑟) + 𝐹2 (𝑟) 2 ( K , r )

(1.2.17)

Phương trình sóng có dạng tích của hàm vỏ (envelope- function) biến đổi
chậm và hàm Bloch như quen thuộc trong vật lý chất rắn….”
Hàm sóng thu được ở trên chính là nghiệm của phương trình tựa Dirac ( sở dĩ
gọi là phương trình tựa Dirac vì trong phương trình vo là vận tốc Fermi, có giá trị
v0 106). Hai trạng thái của electron trên hai mạng thành phần đóng vai trò là thành
phần Spin và tên gọi giả Spin (pseudo-spin)( gọi là giả spin vì chúng khơng liên

quan đến spin thật của electron).
Khi các điểm Dirac bị tách suy biến như đề cập đến trước đây, tức là có
một khe năng lượng nhỏ giữa vùng dẫn và cùng hóa trị, như đã nói việc hiệu
chỉnh phương trình tựa Dirac chỉ đơn giản là thêm vào số hạng khối lượng nghỉ

9


của electron. Kết quả là ta có dạng đầy đủ của phương trình Dirac sẽ được sử
dụng như sau:
HD

=

Trong đó

(1.2.18)

  ( x ,  y )

,

z

là các ma trận Pauli quen thuộc trong cơ

học lượng tử.
Một vấn đề khác cần nói đến là trong Graphene ta có một mặt Fermi sáu
điểm với hai điểm không tương đương K và K‟. Khai triển K.P tại điểm K và K‟
là tương đương nhau, qua một phép biến đổi biểu diên, điểm này có thể biến đổi

thành điểm kia.
b) Lời giải với thế không đổi trên từng đọan
Thông thường trong các bài toán ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác
dụng của thế khơng đổi trên từng đoạn. Khi đó phương trình Dirac sẽ có lời giải giải
tích đơn giản.
Như đã nói ở trên ,phương trình Dirac có dạng:

H D ( x, y) =

(1.2.19)

0 1
0  i
1 0 
,  y  
,  z  

  ( x ,  y ) và  x  
1 0
i 0 
 0  1

 1 
 và thay vào
 2 

Ta viết lại hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor   
phương trình trên ta được:

 2 2 

  m 02  U ( x, y ) 1  E1

  0   i

x

y







 0 (i 1  1 )   m 02  U ( x, y ) 2  E2

x
y









(1.2.20)

Hay



 
1
E  U ( x, y )  m 02 1
  i  2 
 0
 x y 

  i      1 E  U ( x, y )  m 2 
0
2
 x y  1  0









10

(1.2.21)


Đặt   E /  0 ,  0  mv02 /  0 , u( x, y)  U ( x, y) /  0 (2.8)
(thực chất đây là một phép đổi đơn vị), đồng thời rút thế  2 từ phương trình
thứ hai vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có:




 
1

 
  i  1    u ( x, y )   0 1
  i  
 x y    u ( x, y )   0   x y 
(1.2.22)


1

 

  i  1
2 





u
(
x
,
y
)



 x y 
0


Quay trở lại trường hợp riêng của ta: thế u(x,y) khơng đổi dọc theo trục Oy,
khi đó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trục Oy:
ta có phương trình cho

=

:



1




  i  ik y 
  i  ik y  1    u ( x, y )   0 1

 x
   u ( x, y )   0   x


i





2 
   k y  1

  u ( x, y)   0   x



(1.2.23)

Mặt khác ta xét Phương trình trên từng đoạn không đổi của thế trên trục Ox,
khi đó phương trình đơn giản thu về: )
  2
2 
2
2
 2  k y   1  (  u n )   0  1  0
 x


i
 

  
   k y  1
2

  u n   0   x








(1.2.24)

Đặt k n  (  u n ) 2   02  k y2
ta có:

 2 1
 k n2 1  0

x 2

i
 

 2 
   k y  1

  u n   0   x


Phuơng trình cho ta

1

(1.2.25)

đơn giản là phương trình kiểu dao động điều hòa,

nghiệm tổng quát được cho duới dạng:
1  An e ik x  Bn e ik x
n

n

Và do đó:

11

(1.2.26)


2 



1
(k n  ik y ) An e ikn x  (k n  ik y ) Bn e ikn x
  un   0

Trong trường hợp các giá trị ,un,

o



(1.2.27)

là thực, ta có thể đơn giản hóa công thức bằng

cách đặt các tham số mới:

(1.2.28)

Như vậy:
(1.2.29)

2=

Vậy nghiệm đầy đủ là hàm song spinor 2 thành phần:
1=

(1.2.30)

2=

(1.2.31)

1.3. Giả spinor và Chirality
Trong giới hạn liên tục và gần đúng khối lượng hiệu dụng, Hamiltonian cho
electron trong graphene ở lân cận điểm K và K‟:

 0
H k (k )   F 
 k x  ik y


k x  ik y 

   F p   H KT ' (k )
0 

(1.3.32)



Trong đó   ( x ,  y ) là các ma trận Pauli.
Hamilton này có dạng giống với Hamiltonian Dirac hai chiều cho hạt khơng khối
lượng . Do đó hàm sóng của điện tử trong graphene có cấu trúc spinor hai thành
phần, với điểm K
 i  / 2

1  e k 
  , K (k ) 
i  / 2
2   e k 

(1.3.33)

Còn với điểm K‟
i  / 2


1  e k


  , K ' (k ) 
i k / 2 

2  e


12

(1.3.34)


Dấu  tương ứng với năng lượng E   F k cho vùng dẫn và vùng hóa trị và
 k  arctan(

kx
)
ky



Tuy nhiên cần lưu ý   ( x ,  y ) không phải đặc trưng cho spin thật mà nó
chỉ xuất hiện một cách đơn thuần khi tính đến sự đóng góp của hai mạng con nên

 được gọi là giả spin. Hai thành phần trên và dưới của hàm sóng liên quan đến
biên độ xác suất tìm thấy hạt ở một trong hai mạng con tương ứng, do đó hàm sóng
được gọi là các giả spinor.
Một đặc trưng thú vị của graphene đó là hướng của các giả spin có liên quan
tới xung lượng của hạt. Điều này có nghĩa là hàm sóng của các electron trong
graphene ở lân cận điểm Dirac có tính chirality hay helicity (tính chất cho biết hình
chiếu của tốn tử spin dọc theo hướng của xung lượng. Toán tử đặc trưng cho tính

chất này là tốn tử helicity

 p
h  . 
p


(1.3.35)




Theo định nghĩa này thì các trạng thái  K (r ), K ' (r ) cũng là vector riêng của toán tử h



h K (r )   K (r )



h K ' (r )   K ' (r )



Do đó, tốn tử h chỉ có hai trị riêng là  1 , điều này có nghĩa: Trong các
trạng thái riêng của năng lượng ở lân cận điểm Dirac, giả spin thì song song hoặc
đối song với xung lượng. Ở lân cận điểm K,electron có helicity dương và lỗ
trống có helicity âm, dấu helicity ngược lại khi electron electron ở gần K‟. Tính
chất này thể hiện tính đối xứng giữa electron và lỗ trống tương tự như đối xứng liên
hợp điện tích trong điện động lực học lượng tử.

Bản chất chirality của electron trong graphene là nguồn gốc cho hàng loạt các hiện
tượng thú vị thể hiện sự khác biệt so với các electron trong vật liệu thông thường. Ở
đây chúng tôi xin nêu ra hai hiện tượng đặc trưng nhất của tính chirality là chui
ngầm Klein và hiệu ứng Hall lượng tử trong graphene.

13


1.4. Truyền dẫn ballistic

Trong các hệ nano, quãng đường tự do trung bình l e (quãng đường
trung bình electron di chuyển được mà chưa bị va chạm) là một tham số rất
quan trọng. Khi kích thước của hệ L nhỏ hơn l e , electron có thể chuyển động
hết chiều dài của hệ mà moomen động lượng của nó vẫn giữ nguyên. Chuyển
động như vậy gọi là truyền dẫn ballistic, ngược lại được gọi là truyền dẫn
khuếch tán. Với graphene , l e có thể rất lớn (cỡ 1 m ) nên cơ chế ballistic
đóng vai trị quan trọng.
1.4.1. Chui ngầm Klein

Hình 1.2.(a) Cơ chế truyền dẫn khuếch tán và (b) cơ chế truyền dẫn ballistic
Hiện tượng chui ngầm Klein được đề xuất năm 1929 bởi O.Klein dựa
trên phương trình Dirac. Chui ngầm là hiện tượng electron chuyển động vào
miền có bờ thế rất cao so với năng lượng của electron), mà theo quan điểm cơ
học cổ điển lẽ ra phải là miền cấm đối với electron. Trong cơ học lượng tử,
chui ngầm lượng tử là quá trình mà hàm sóng của hạt khơng tương đối tính có
thể lọt vào vùng cấm cổ điển với xác suất truyền qua giảm theo hàm e mũ theo
chiều cao và độ rộng của bờ thế.
Đối với hạt Dirac, xác suất truyền qua phụ thuộc rất yếu vào chiều cao
bờ thế và  1 khi bờ thế cao vơ hạn. Điều này có thể giải thích dựa trên tính
chất của phương trình Dirac là phương trình nhận cả trạng thái năng lượng âm

(electron) và trạng thái năng lượng dương (lỗ trống). Do đó với một bờ thế bất
14


kỳ thì trạng thái bên ngồi bờ thế (electron) và trạng thái bên trong bờ thế (lỗ
trống) được nối với nhau (Hình 1.8). Chiều cao bờ thế càng lớn thì việc nối hai
trạng thái này càng dễ dàng, do đó xác suất càng tăng. Với trường hợp bờ thế
cao vô hạn thì xác suất truyền qua bằng một được gọi là chui ngầm Klein.

Hình 1.3. Mơ hình chui ngầm Klein
Khi nghiên cứu sự phản xạ và truyền qua trong chuyển tiếp p-n và p-n-p,
người ta nhận thấy rằng xác suất chui ngầm của electron trong graphene phụ thuộc
trực tiếp vào góc tới  của electron và hình dạng của bờ thế. Cụ thể nếu bờ thế
dạng bậc thang, xác suất truyền qua có dạng:
Tstep ( )  cos 2 ( )

(1.4.37)

Nếu bờ thế có dạng nghiêng như trong chuyển tiếp p-n được tạo ra bởi thế
tĩnh điện thì dạng của xác suất truyền qua:
Td ( )  exp(  (k F d ) sin 2 ( ))

(1.4.38)

Trong đó d là độ rộng của bờ thế lớp chuyển tiếp.
Từ các công thức (1.3.16) và (1.3.17) ta nhận thấy rằng khi góc tới bờ thế

  0 , hay xung lượng ngang bằng khơng thì xác suất chui ngầm của electron ln
15

bằng một, không phụ thuộc vào độ cao độ rộng cũng như hình dạng của bờ thế. Kết
quả này có được là do tính chất chirality trong graphene. Trên hình 1.8 mơ tả chui
ngầm của điện tử có xung lượng ngang bằng khơng trong graphene qua bờ thế có độ
cao V, độ rộng là D. Hình vẽ mơ tả phổ năng lượng, màu xanh và màu đỏ của các
nhánh năng lượng tương ứng với hai trạng thái giả spin cho hai mạng con A và B.

Một electron với giả spin  , xung lượng k đang ở nhánh máu đỏ, chuyển động tới
gặp bờ thế, năng lượng tới E của electron (đường chấm chấm) nằm trong vùng dẫn
khi ở ngoài bờ thế và vùng hóa trị khi ở bên trong bờ thế. Do tính chất chirality của
hàm sóng, trạng thái electron (𝜎, 𝑘)khi vào bờ thế chuyển thành trạng thái lỗ trống
(σ,-k), cùng ở nhánh màu đỏ (không thể chuyển sang trạng thái ở nhánh màu xanh
vì trạng thái này yêu cầu giả spin phải đổi hướng). Sự liên tục về trạng thái giả spin
dẫn tới xác suất truyến qua bờ thế của electron luôn bằng một mà không phụ thuộc
vào độ cao, độ rộng cũng như hình dạng của bờ thế.

Hình 1.4: Hệ số truyền qua phụ thuộc vào độ rộng bờ thế: đường màu đỏ ứng với
mẫu graphene đơn lớp, đường màu xanh đậm ứng với mẫu graphene hai lớp và
đường màu xanh lá cây ứng với bán dẫn thơng thường có vùng cấm.
Chui ngầm Klein trong graphene do tính chirality của hàm sóng ở lân cận
điểm Dirac , được kiểm chứng thông qua so sánh chui ngầm Klein của ba mẫu: hình
16


1.9 mẫu 1 là graphene đơn lớp xác suất chui ngầm luôn bằng 1; mẫu 2 là graphene 2
lớp, xác suất này giảm theo hàm mũ với độ rộng của bờ thế; và mẫu 3 là bán dẫn
thông thường không có vùng cấm, truyền qua hồn tồn chỉ trong trường hợp có
cộng hưởng (chui ngầm cộng hưởng). Sự khác biệt của 3 vật liệu này ở chỗ:
graphene đơn lớp có tính chirality, khơng có vùng cấm trong phổ năng lượng;
graphene 2 lớp có tính chirality, có xuất hiện vùng cấm; cuối cùng là bán dẫn

thường khơng có vùng cấm và khơng có tính chirality. Tính chirality giữa graphene
đơn lớp và hai lớp cũng khác nhau vì có sự khác nhau về giả spin trong hai mẫu
tương tự như sự khác nhau giữa hạt spin ½ và 1, do đó trong graphene đơn lớp có 2
mạng con cịn graphene 2 lớp thì có 4 mạng con.
Chui ngầm Klein là một trong những hiện tượng quan trọng trong điện động
lực học lượng tử,tuy đã được nghiên cứu lý thuyết khá lâu nhưng vẫn chưa có khả
năng kiểm chứng. Do đó,sự phát hiện chui ngầm Klein trong graphene có một ý
nghĩa quan trọng, mở ra một hướng mới cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý
trong lý thuyết trường lượng tử mà không cần đến máy gia tốc cỡ lớn để gia tốc cho
electron có được vận tốc tương đối tính.
1.4.2. Giới hạn độ dẫn lượng tử
Do chui ngầm Klein nên việc giam cầm electron trong graphene gặp khó
khăn. Vì thế chúng ta quan tâm đến độ dẫn suất giới hạn lượng tử tổng qt. Ở đây
chỉ xét trường hợp khơng có tương tác giữa các electron ở nhiệt độ 0K và khơng có
mất trật tự (nghĩa là xét q trình truyền dẫn qua vùng này là ballistic), khi đó mẫu
đo có độ dẫn suất ballistic. Đối với kim loại thông thường theo phương pháp bán cổ
điển trong trường hợp khơng có tán xạ sẽ khơng có gì cản trở chuyển động của
electron và độ dẫn điện là vô hạn. Nếu mật độ hạt tải bằng khơng thì độ dẫn bằng
khơng. Nhưng đối với graphene thì khơng phải như vậy, nếu xét mơ hình chuyển
tiếp n-p-n trong graphene, ta điều chỉnh điện áp đặt vào vùng giữa để thay đổi vị trí
của mức fecmi tương đối so với điểm dirac khi đó vùng dẫn loại p được điều chỉnh

17


để trở thành vùng dẫn loại n‟ (nghĩa là n-n‟-n). Nghiên cứu về chui ngầm klein cho
cả 2 chuyển tiếp này đều có hệ số truyền qua hữu hạn.
Bằng cách sử dụng phương trình tựa Dirac cho điện tử trong graphene ta đi
tìm độ dẫn suất giới hạn lượng tử của graphene tại điểm Dirac.

h  k  eV ( x) (r)   (r)

(1.4.39)

F

Với V(x<0)=V(x>L)=V  ;V(x)=Vg với 0độ dẫn ballistic tương ứng. Với trường hợp Vg   và tại điểm Dirac Vg    0 thì
xác suất truyền qua sẽ là:
1
Tn 
cosh(qn L)

2

(1.4.40)

Xác suất này hoàn toàn khác so với điện tử khơng tương đối tính thường tn theo
hệ thức tán sắc parabol với một giá trị qn xác định thì Tn  1 .. Trong cơng thức trên
Vg

thì vector sóng ngang qn được xác định từ điều kiện biên

 ( y  0)   x ( y  0)

(1.4.41)
(1.4.42)

 ( y  W )   x ( y  W )
1

2

Khi đó qn  (n  )



.Theo cơng thức Landauer ta có giá trị cho độ dẫn là:

L g s g e 2 

Tn
h n 0



4e 2 

h n 0

1
1 L
cosh 2 ((n  )
)
2



4e 2
h

(1.4.43)

Từ (1.3.22) ta thấy độ dẫn trong vật liệu Graphene phụ thuộc vào tỉ số
giá trị độ dẫn cực tiểu
18

L

;giới hạn


 min 

4e 2
h

(1.4.44)

Hình 1.5. Độ dẫn suất tổng quát phụ thuộc vào tỉ số W/L. Đường liền nét biểu diễn
độ dẫn theo cơng thức (1.4.43) , các điểm hình trịn và hình vng là số liệu thực
nghiệm tương ứng của nhóm Miao( 2007) và nhóm Danneau (2008).
Kết quả này thu được phù hợp với thực nghiệm (Hình 1.5), giải thích nguồn
gốc của độ dẫn suất cực tiểu tổng quát là do sự truyền dẫn lượng tử thông qua các
trạng thái mờ(các trạng thái với vector sóng có dạng ảo ik (ứng với miền cấm trong
cổ điển)).
1.5. Hiệu ứng Hall lƣợng tử khác thƣờng
Đây là một trong những hiện tượng quan trọng,xuất phát từ bản chất Dirac
các kích thích năng lượng thấp của fermion khơng khối lượng trong graphene.
Khi có một từ trường vng góc với mẫu đo,electron và lỗ trống bị cầm tù
trong một mặt phẳng buộc phải chuyển động trên các quỹ đạo cyclotron kín. Sự

lượng tử hóa các quỹ đạo cyclotron dẫn đến sự lượng tử hóa các mức năng lượng
(mức Landau). Mỗi mức Landau có N=BA/  0 trạng thái suy biến (a là diện tích
mẫu đo,  0 là thông lượng từ lượng tử) và hiệu ứng Hall xảy ra khi N có giá trị so

19