Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (457.82 KB, 67 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
ĐÀO THỊ THANH
GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
VÀ ÁP DỤNG
Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số:
60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN
Hà Nội – Năm 2014
Mục lục
MỞ ĐẦU
2
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến . . .
4
4
5
9
2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
NHÂN TỔNG QUÁT
2.1 Phương pháp thế liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Các định lý Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Cấu trúc của nhân giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
14
17
21
30
3 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
NHÂN HERMITIAN
3.1 Một số tính chất của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Các giá trị riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các hàm riêng của nhân Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Định lý Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
37
45
52
65
66
1
MỞ ĐẦU
Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các
bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học, · · · . Hai
loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào
đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân
Volterra. Trong luận văn này ta chỉ xét phương trình tích phân Fredholm. Ta sẽ
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và
chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp.
Luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết cho
hai chương sau, bao gồm định nghĩa về phương trình tích phân và phân loại các
dạng phương trình tích phân. Sau đó là một số tính chất và kí hiệu liên quan
đến phương trình tích phân Fredholm loại hai. Thứ ba là định lý Fredholm trong
trường hợp nhân có dạng tách biến.
Chương 2. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân
tổng quát. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân
Fredholm loại hai, đưa ra một số phương pháp giải là phương pháp thế liên tiếp,
phương pháp xấp xỉ liên tiếp và một số ví dụ minh họa. Sau đó ta sẽ kết hợp cả
hai phương pháp này để chứng minh định lý Fredholm trong trường hợp nhân
tổng quát và đi xây dựng tốn tử giải của nó.
Chương 3. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân
Hermitian. Chương này đưa ra khái niệm hạt Hermitian, một số tính chất của
hạt nhân và tốn tử Hermitian. Sau đó chứng minh định lý Hilbert-Schmidt và
đưa ra cơng thức nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân
Hermitian.
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[9].
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắc
của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tơi muốn bày tỏ
lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cơ Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cơ đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao
dạy dỗ trong suốt q trình học tập của tơi tại Nhà trường.
Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan
tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hồn thành tốt nhiệm vụ của
mình.
Hà Nội, tháng 03 năm 2014
Tác giả luận văn
Đào Thị Thanh
3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
Khái niệm phương trình tích phân
Định nghĩa 1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà hàm cần tìm
xuất hiện dưới dấu tích phân.
Xét phương trình tích phân tuyến tính có dạng
b
λϕ(x) −
K(x, t)ϕ(t)dt = f (x),
(1.1)
a
trong đó
• f (x) là hàm cho trước, có giá trị phức và liên tục trên đoạn [a, b];
• K(x, t) là hàm cho trước, liên tục trên [a, b] × [a, b], có giá trị phức và được
gọi là nhân;
• λ là hằng số phức cho trước;
• ϕ(x) là hàm cần tìm, ln được giả thiết là khả tích theo nghĩa Riemann.
Ta có thể phân loại như sau:
1. Nếu hệ số λ = 0 thì ta được phương trình
b
K(x, t)ϕ(t)dt = f (x).
a
Phương trình trên được gọi là phương trình Fredholm loại một.
2. Nếu hệ số λ = 0 thì phương trình trên được gọi là phương trình tích phân
Fredholm loại hai.
Nếu nhân K(x, t) có tính chất K(x, t) ≡ 0 với mọi t > x thì phương trình (1.1)
trở thành:
4
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
3. Nếu λ = 0 thì ta được phương trình
x
λϕ(x) −
K(x, t)ϕ(t)dt = f (x),
a
và gọi là phương trình tích phân Volterra loại hai.
4. Nếu λ = 0 thì ta được phương trình
x
K(x, t)ϕ(t)dt = f (x),
a
và gọi là phương trình tích phân Volterra loại một.
Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét với phương trình Fredholm loại hai.
Bằng phép biến đổi, ta có thể viết phương trình tích phân Fredholm loại hai
dưới dạng
b
ϕ(x) = f (x) + λ
(1.2)
K(x, t)ϕ(t)dt.
a
1.2
Một số kiến thức chuẩn bị
Kí hiệu:
Q[a, b] = [a, b] × [a, b],
C[a, b] = f : [a, b] → C : f liên tục trên [a, b] ,
C (Q[a, b]) = f : Q[a, b] → C : f liên tục trên Q[a, b] ,
R[a, b] là tập hợp các hàm giá trị phức và khả tích trên [a, b],
R2 [a, b] là tập hợp các hàm bình phương khả tích trên [a, b].
Với mỗi f ∈ C[a, b], ta kí hiệu
b
f
1
|f (x)|dx
=
a
và
1/2
b
f
2
|f (x)|2 dx
=
.
a
Với mỗi K(x, t) ∈ C (Q[a, b]), ta kí hiệu
b
K
2
1/2
b
|K(x, t)|2 dxdt
=
a
a
5
.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Cho f và g là hai hàm thuộc C[a, b] thì ta định nghĩa tích vơ hướng
b
f, g =
f (x)g(x)dx.
a
Nếu f, g = 0 thì ta nói f và g trực giao.
Ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
b
b
a
b
|f (x)|2 dx
f (x)g(x)dx ≤
a
|g(x)|2 dx
.
a
Định nghĩa 1.2 (Hệ các hàm trực chuẩn). Tập {ϕn (x)} các hàm thuộc C[a, b]
được gọi là một hệ trực chuẩn nếu
0 nếu n = m,
1 nếu n = m.
ϕn , ϕm =
Định nghĩa 1.3 (Hệ đầy đủ). Cho Φ = {ϕn (x)}∞
n=1 là hệ các hàm trực chuẩn
2
và f ∈ R [a, b]. Nếu f trực giao với mọi phần tử của Φ xảy ra khi và chỉ khi
f 2 = 0 thì hệ Φ được gọi là hệ đầy đủ.
Đặt Φm = {ϕ1 , . . . , ϕm } là tập con hữu hạn của Φ. Nếu f ∈ span{Φm } thì ta
có chuỗi Fourier hội tụ
f (x) = f, ϕ1 ϕ1 (x) + · · · + f, ϕm ϕm (x),
trong đó f, ϕn , n = 1, . . . , m được gọi là là hệ số Fourier thứ n của f (x).
Định nghĩa 1.4 (Sự hội tụ đều). Cho {fn (x)} là dãy các hàm xác định trên
[a, b]. Ta nói dãy {fn (x)} hội tụ đều tới hàm f (x) trên [a, b] nếu với mọi ε > 0,
tồn tại số nguyên N = N (ε) sao cho với mọi n ≥ N thì |fn (x) − f (x)| < ε với mọi
x ∈ [a, b].
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy vô hạn {fn (x)} các hàm xác định trên
[a, b] hội tụ đều nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số nguyên N (ε) sao cho
với mọi n, m ≥ N (ε), |fn (x) − fm (x)| < ε với mọi x ∈ [a, b].
Định lý 1.2. Nếu {fn (x)}∞
n=1 là dãy các hàm khả tích hội tụ đều tới hàm f (x)
trên [a, b], thì f (x) cũng khả tích trên [a,b] và
b
b
f (x)dx = lim
a
n→∞
6
fn (x)dx.
a
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
∞
Từ đó ta suy ra rằng nếu chuỗi
un (x) hội tụ đều đến S(x) trên [a, b] và với
n=1
mỗi n, un (x) khả tích trên [a, b] thì
∞
b
b
S(x)dx =
un (x)dx.
a
n=1
a
Định nghĩa 1.5 (Hội tụ trung bình). Dãy {fn (x)} trong R2 [a, b] được gọi là hội
tụ trung bình tới hàm giới hạn f (x) trong R2 [a, b] nếu
1/2
b
lim fn − f
2
n→∞
2
|f (x) − fn (x)| dx
= lim
n→∞
= 0.
a
Định nghĩa 1.6 (Toán tử Fredholm). Cho K(x, t) là hàm xác định trên Q[a, b]
và khả tích theo từng biến trên [a, b]. Kí hiệu toán tử
K :R2 [a, b] → R2 [a, b]
b
ϕ(t) →
K(x, t)ϕ(t)dt
a
và gọi là toán tử Fredholm tương ứng với hạt nhân K(x, t). Đặt
K1 (x, t) = K(x, t)
b
K2 (x, t) =
K1 (x, s)K(s, t)ds
a
...............
b
Km (x, t) =
Km−1 (x, s)K(s, t)ds.
a
Ta gọi Km (x, t) là nhân lặp thứ m của K(x, t). Từ định nghĩa ta có
b
m
K ϕ=
Km (x, t)ϕ(t)dt,
m = 1, 2, . . . , .
a
Định nghĩa 1.7. Toán tử K được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C ≥ 0 sao
cho
Kϕ
2
≤ C ϕ 2,
∀ϕ ∈ R2 [a, b].
Nếu K bị chặn thì ta đặt
K = sup
Kϕ
ϕ
2
: ϕ ∈ R2 [a, b], ϕ = 0
2
và gọi nó là chuẩn của tốn tử K.
7
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Mệnh đề 1.1. Nếu nhân K(x, t) có K(x, t)
Kϕ
2
2
≤ K
2
2
ϕ 22 ,
2
< ∞ thì
∀ϕ ∈ R2 [a, b].
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2
b
2
| K ϕ(x)| =
K(x, s)ϕ(s)ds
a
b
b
|K(x, s)|2 ds
≤
|ϕ(s)|2 ds
a
.
a
Do vậy
b
Kϕ
2
2
|Kϕ(x)|2 dx
=
a
b
b
≤
|ϕ(s)|2 ds
|K(x, s)| dsdx
a
= K
b
2
a
2
2
ϕ
a
2
2.
Định nghĩa 1.8. Giả sử K là toán tử Fredholm tương ứng với nhân K(x, t). Kí
hiệu K ∗ (x, t) = K(t, x) và toán tử K∗ xác định bởi
b
K∗ : ϕ ∈ R2 [a, b] → (K∗ ϕ)(x) =
K ∗ (x, t)ϕ(t)dt
a
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử K.
Từ định nghĩa ta suy ra:
(i) Với mọi ϕ, ψ thuộc R2 [a, b] thì Kϕ, ψ = ϕ, K∗ ψ .
(ii) Với mọi m ≥ 1 thì (Km )∗ = (K∗ )m .
Định nghĩa 1.9 (Miền). Tập Ω ⊂ C mở, khác rỗng và liên thông được gọi là
một miền trong C.
Định nghĩa 1.10. Cho miền Ω và hàm f : Ω → C.
(i) Hàm f được gọi là hàm giải tích trên Ω nếu f khả vi tại mọi điểm z ∈ Ω .
(ii) Hàm f được gọi là hàm phân hình trên Ω nếu tồn tại tập P ⊂ Ω sao cho:
- P khơng có điểm giới hạn trong Ω;
- f (z) là hàm giải tích trong miền Ω\P ;
- Mọi điểm của P đều là cực điểm của f (z).
Định nghĩa 1.11. Hàm f : C → C được gọi là hàm nguyên nếu f là hàm giải
tích trên toàn mặt phẳng phức C .
8
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.3
Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách
biến
Trong mục này, ta xét phương trình tích phân Fredholm loại hai có dạng
b
ϕ(x) = f (x) + λ
(1.3)
K(x, t)ϕ(t)dt,
a
trong đó K(x, t) là nhân tách biến trên Q[a, b] có dạng
n
(1.4)
ai (x)bi (t),
K(x, t) =
i=1
trong đó ai (x), bi (t) là các hàm thuộc C[a, b]. Thay (1.4) vào phương trình (1.3)
ta thu được
n
b
ϕ(x) = f (x) + λ
ai (x)
bi (t)ϕ(t)dt
.
a
i=1
Khi đó phương trình trên trở thành
n
ϕ(x) = f (x) + λ
ci ai (x),
(1.5)
i=1
b
bi (t)ϕ(t)dt, i = 1, . . . , n. Từ phương trình trên suy ra nghiệm
trong đó ci =
a
ϕ(x) của phương trình (1.3) được xác định nếu như xác định được hệ số ci .
Nhân cả hai vế của phương trình (1.5) với bi (t) rồi lấy tích phân theo biến t trên
[a, b] ta thu được hệ phương trình
n
ci = f i + λ
aij cj ,
i = 1, . . . , n,
j=1
trong đó
b
b
bi (t)f (t)dt,
fi =
aij =
aj (t)bi (t)dt.
a
a
Việc giải phương trình trên tương đương với việc giải một hệ đại số tuyến tính
(I − λA)c = f ,
(1.6)
trong đó I là ma trận đơn vị cấp n × n, A = (aij ) là ma trận cấp n × n với các
phần tử được xác định như trên, f = (f1 , · · · , fn )T và c = (c1 , · · · , cn )T là các hệ
số phải tìm.
9
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Kí hiệu D(λ) = det(I − λA). Việc giải hệ tuyến tính (1.6) phụ thuộc vào giá
trị của D(λ). Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là giá trị chính
quy của nhân. Khi đó hệ tuyến tính trên có nghiệm duy nhất
c = (I − λA)−1 f,
hay
c=
1
adj(I − λA)f,
D(λ)
trong đó adj(I − λA) = (Dji (λ)) là ma trận phụ hợp của ma trận (I − λA). Do
đó mỗi hệ số ci có biểu diễn
1
ci =
D(λ)
n
Dji (λ)fj .
j=1
Thay biểu diễn của ci và fi vào phương trình (1.5) ta được
b
ϕ(x) = f (x) + λ
a
1
D(λ)
n
n
Dji (λ)ai (x)bj (t) f (t)dt.
i=1 j=1
Kí hiệu
n
1
R(x, t; λ) =
D(λ)
n
Dji (λ)ai (x)bj (t)
i=1 j=1
và gọi nó là nhân giải của phương trình tích phân. Khi đó nghiệm ϕ(x) được
xác định bởi công thức
b
ϕ(x) = f (x) + λ
(1.7)
R(x, t; λ)f (t)dt.
a
Đặt
0
a1 (x)
a2 (x)
···
b1 (t) 1 − λa11 −λa12 · · ·
D(x, t; λ) = b2 (t) −λa12 1 − λa11 · · ·
.
..
bn (t)
..
.
..
.
−λan1
−λan2
...
an (x)
−λa1n
−λa2n
..
.
· · · 1 − λann
và D(x, t; λ) = det(D(x, t; λ)). Khi đó
R(x, t; λ) = −
.
10
D(x, t; λ)
.
D(λ)
(1.8)
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trường hợp 2: D(λ) = 0. Trong trường hợp này λ được gọi là giá trị riêng
của nhân. Giả sử λk là một giá trị riêng, nghĩa là D(λk ) = 0.
Xét trường hợp f = 0. Khi đó hệ phương trình (1.5) trở thành
(I − λk A)c = 0.
Vì D(λk ) = 0 nên phương trình trên có pk nghiệm độc lập tuyến tính được biểu
diễn bởi
(j)
c(j) (λk ) =
c1 (λk )
..
.
(j)
cn (λk )
j = 1, . . . , pk .
Thay các giá trị này vào phương trình (1.5) ta thu được các nghiệm
n
(j)
ϕj (x; λk ) = f (x) + λk
ci (λk )ai (x),
j = 1, . . . , pk .
i=1
Nếu f (x) ≡ 0 trên [a, b] thì mỗi hàm
n
(e)
ϕj (x; λk )
(j)
= λk
ci (λk )ai (x)
i=1
là một nghiệm khơng tầm thường của phương trình tích phân thuần nhất
b
ϕ(x) = λk
K(x, t)ϕ(t)dt.
a
Chỉ số trên (e) để kí hiệu rằng nghiệm ϕ(e)
j (x; λ) là hàm riêng của nhân tương
ứng với giá trị riêng λk . Mỗi nghiệm của phương trình thuần nhất sẽ có dạng
pk
(h)
ϕ
(e)
(x; λk ) =
αj ϕj (x; λk ),
j=1
trong đó αj là hằng số tùy ý, chỉ số trên (h) là để kí hiệu rằng ϕ(h) (x; λk ) là
nghiệm tổng qt của phương trình tích phân thuần nhất trên.
Xét trường hợp f = 0. Ta sẽ sử dụng bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Cho B = (bij )n×n và B∗ = (bji )n×n . Khi đó nếu det(B) = 0 thì hệ
khơng thuần nhất Bx = f có nghiệm nếu và chỉ nếu f trực giao với tất cả các
nghiệm của phương trình liên hợp thuần nhất B∗ y = 0.
Từ bổ đề này, ta thấy hệ tuyến tính (I − λk A)c = f có nghiệm nếu và chỉ nếu
f trực giao với tất cả các nghiệm của phương trình
(I − λk A)∗ d = 0.
11
(1.9)
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Vì ma trận (I − λk A) và (I − λk A)∗ có cùng hạng và số khuyết nên phương trình
(1.9) cũng có pk nghiệm độc lập tuyến tính. Lại có
T
(I − λk A)∗ d = (I − λk A∗ )d = (I − λk A )d = 0.
Vì vậy nếu
(j)
(j)
d(j) (λk ) = (d1 (λk ), . . . , dn (λk ))T
là một trong pk nghiệm của hệ (1.9) thì
n
(j)
dm (λk ) − λk
(j)
aim di (λk ) = 0,
với m = 1, . . . , n.
(1.10)
i=1
Mặt khác, xét phương trình tích phân thuần nhất liên hợp với phương trình
(1.3)
b
ψ(x) = λ
K(t, x)ψ(t)dt.
(1.11)
a
n
Vì K(t, x) =
ai (t)bi (x) nên tương tự như trên, phương trình (1.11) có thể được
i=1
viết dưới dạng
n
dm − λ
aim di = 0,
m = 1, . . . , n
(1.12)
i=1
b
trong đó di =
b
ai (t) ψ(t)dt, aim =
a
am (t) bi (t)dt. Từ (1.10) và (1.12) suy ra
a
d(j) (λk ) là nghiệm của (1.3) khi và chỉ khi nó là nghiệm của (1.12) với λ = λk .
Từ đó, ta có kết quả sau:
Định lý 1.1 ( Định lý Fredholm đối với hạt nhân tách biến). Xét phương trình
tích phân Fredholm loại hai
b
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ(t)dt
a
trong đó λ là tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và K(x, t) ∈ C(Q[a, b]) là hạt nhân tách
biến có dạng (1.4). Khi đó:
(i) Nếu λ là giá trị chính quy của nhân thì phương trình có nghiệm duy nhất
biểu diễn dưới dạng
b
ϕ(x) = f (x) + λ
R(x, t; λ)f (t)dt,
a
trong đó R(x, t; λ) được xác định bởi cơng thức (1.8).
12
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
(ii) Nếu λ là giá trị riêng của nhân thì phương trình thuần nhất
b
ϕ(x) = λ
K(x, t)ϕ(t)dt
a
có nghiệm khơng tầm thường. Hơn nữa, phương trình khơng thuần nhất có
nghiệm khi và chỉ khi hàm f (x) trực giao với tất cả các hàm riêng của
phương trình thuần nhất liên kết
b
ψ(x) = λ
K(t, x)ψ(t)dt.
a
13
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
FREDHOLM LOẠI HAI VỚI
NHÂN TỔNG QT
Ở Chương 1, ta đã xét phương trình tích phân Fredholm loại hai với K(x, t)
là nhân tách biến thuộc C(Q[a, b]). Ta đã chứng minh định lý Fredholm về cấu
trúc của các nghiệm của phương trình phụ thuộc vào λ. Trong chương này ta sẽ
nghiên cứu phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tổng quát.
2.1
Phương pháp thế liên tiếp
Định lý 2.1 (Định lý thay thế liên tiếp). Xét phương trình tích phân Fredholm
loại hai
b
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ(t)dt,
(2.1)
a
trong đó λ là một tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và K(x, t) là một nhân thuộc
C(Q[a, b]). Nếu |λ|(b − a) sup |K(x, t)| < 1 thì phương trình có nghiệm duy
(x,t)∈Q[a,b]
nhất được xác định bởi công thức
b
ϕ(x) = f (x) + λ
R(x, t; λ)f (t)dt,
a
trong đó R(x, t, λ) là tốn tử giải được xác định bởi
∞
λm−1 Km (x, t).
R(x, t; λ) =
m=1
Chứng minh. Đặt M =
sup
|K(x, t)|. Giả sử ϕ(x) là một nghiệm của
(x,t)∈Q[a,b]
phương trình (2.1). Khi đó thay biểu thức của ϕ(x) vào ϕ(t) trong vế phải ta
14
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
thu được
b
ϕ(x) = f (x) + λ
b
K(x, t) f (t) + λ
K(t, s)ϕ(s)ds dt
a
a
b
= f (x) + λ
b
K(x, t)f (t)dt + λ
b
2
a
K(x, t)K(t, s)ϕ(s)dsdt.
a
a
Sau khi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân cuối và thay thế biến s
với t, ta thu được
b
b
2
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)f (t)dt + λ
a
K2 (x, t)ϕ(t)dt.
a
Tiếp tục quá trình này n lần, ta sẽ thu được dạng tổng quát
n
b
λm
ϕ(x) = f (x) +
b
Km (x, t)f (t)dt
+ λn+1
a
m=1
Kn+1 (x, t)ϕ(t)dt.
(2.2)
a
Đặt
n
b
λm−1
σn (x) =
Km (x, t)f (t)dt
,
a
m=1
b
ρn (x) = λn+1
Kn+1 (x, t)ϕ(t)dt.
a
Khi đó phương trình (2.2) có thể viết gọn lại là
ϕ(x) = f (x) + λσn (x) + ρn (x).
Ta sẽ chứng minh rằng nếu |λ|M (b − a) < 1 thì dãy σn (x) hội tụ đều đến hàm
liên tục σ(x) trên đoạn [a, b] và dãy ρn (x) hội tụ đều đến 0 trên đoạn [a, b]. Thật
vậy, vì |K(x, t)| ≤ M nên |Km (x, t)| ≤ M m (b − a)m−1 . Do đó
b
Km (x, t)f (t)dt ≤ (|λ|M (b − a))m−1 M f
λm−1
1.
a
Vì |λ|M (b − a) < 1 nên khi n đủ lớn thì ∀m > n, ∀ε > 0, ta có
m
(|λ|M (b − a))k−1 M f
|σm (x) − σn (x)| ≤
k=n+1
≤ (|λ|M (b − a))n
< ε.
15
M f 1
1 − |λ|M (b − a)
1
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
Như vậy, dãy các hàm liên tục σn (x) hội tụ tuyệt đối và đều tới hàm giới hạn
∞
σ(x) =
b
λ
m−1
Km (x, t)f (t)dt
.
a
m=1
Hơn nữa, lấy tích phân từng số hạng ta được
∞
b
b
λm−1 Km (x, t)
σ(x) =
a
f (t)dt =
R(x, t; λ)f (t)dt.
a
m−1
Mặt khác, ta có |ρn (x)| ≤ |λ| M ϕ
trên [a, b] khi n → +∞.
Vậy ϕ(x) = f (x) + λσ(x) hay
n
1 (|λ|M (b − a)) .
Do đó ρn (x) hội tụ đều tới 0
b
ϕ(x) = f (x) + λ
R(x, t; λ)f (t)dt.
a
Ví dụ 2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm sau:
ϕ(x) = cos x +
π/2
1
2
sin x ϕ(t)dt.
0
Lời giải. Trước hết ta thấy
sup | sin x| = 1,
[0, π2 ]
Suy ra
1
λ= ,
2
a = 0,
b=
π
.
2
1 π
π
λ(b − a) sup |K(x, t)| = ( − 0)1 = < 1.
2 2
4
Vì thế ta có thể áp dụng phương pháp thay thế liên tiếp để giải phương trình
này. Thay
1
ϕ(t) = cos t +
2
π/2
sin t ϕ(t1 )dt1
0
vào biểu thức dưới dấu tích phân, ta được
1
ϕ(x) = cos x +
2
= cos x +
1
2
π/2
0
π/2
1
sin x cos t +
2
π/2
sin x cos t dt +
0
1
1
= cos x + sin x +
2
4
sin t ϕ(t1 )dt1 dt
0
1
4
π/2
sin x
0
π/2
sin x sin t ϕ(t1 )dt1 dt
0
π/2
0
sin t ϕ(t1 )dt1 dt.
0
16
π/2
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
π/2
1
Lại thay ϕ(t1 ) = cos t1 +
2
ϕ(x) = cos x +
= cos x +
1
1
sin x +
2
2
sin t1 ϕ(t2 )dt2 , ta được
0
π/2
sin x sin t cos t1 dt1 dt +
0
1
4
π/2
π/2
sin x sin t sin t1 ϕ(t2 )dt2 dt1 dt
0
0
π/2
1
1
1
sin x + sin x + sin x
2
4
8
ϕ(t2 )dt2 .
0
Cứ tiếp tục phương pháp này ta sẽ thu được nghiệm
1 1 1
+ + + ···
2 4 8
ϕ(x) = cos x + sin x
= cos x + sin x.
2.2
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một phương pháp khác để giải quyết phương
trình tích phân Fredholm loại hai. Điểm thuận lợi của phương pháp này là ta sẽ
sử dụng cách chứng minh sự hội tụ khác và thu được một kết quả tốt hơn trong
trường hợp chuỗi tốn tử giải có bán kính hội tụ lớn.
Xét phương trình tích phân Fredholm loại hai
b
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ(t)dt.
(2.3)
a
Đầu tiên ta chọn xấp xỉ bậc không ϕ0 (x) là một hàm giá trị thực, với a ≤ x ≤ b.
Thông thường ta sẽ chọn ϕ0 (x) ∈ {0, 1, x, ex }. Xấp xỉ bậc một ϕ1 (x) của nghiệm
ϕ(x) được xác định như sau
b
ϕ1 (x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ0 (t)dt.
(2.4)
a
Xấp xỉ bậc hai ϕ2 (x) của nghiệm ϕ(x) thu được bằng cách thay thế ϕ(t) trong
phương trình (2.3) bởi ϕ1 (x) ta được
b
ϕ2 (x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ1 (t)dt.
a
Cứ tiếp tục phương pháp này, ta sẽ thu được xấp xỉ bậc n + 1 của nghiệm ϕ(x)
theo công thức truy hồi sau
b
ϕn+1 (x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕn (t)dt
a
17
với n ≥ 0.
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
Thay thế mỗi xấp xỉ ϕj (x) vào trong biểu thức của xấp xỉ tiếp theo ϕj+1 (x) với
j = 0, . . . , n, ta thu được
n
b
m
ϕn+1 (x) =f (x) +
+λ
λ
m=1
b
n+1
Km (x, t)f (t)dt
a
Kn+1 (x, t)ϕ0 (t)dt
a
hay
ϕn+1 (x) = f (x) + λσn (x) + ωn+1 (x),
trong đó
n
b
λm−1
σn (x) =
Km (x, t)f (t)dt
,
a
m=1
b
ωn+1 (x) = λn+1
Kn+1 (x, t)ϕ0 (t)dt.
a
Từ đó dẫn đến định lý sau:
Định lý 2.2 (Định lý xấp xỉ liên tiếp). Xét phương trình tích phân Fredholm
loại hai
b
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ(t)dt,
(2.5)
a
trong đó λ là một tham số phức, f (x) ∈ C[a, b] và cho K(x, t) là một nhân thuộc
C(Q[a, b]). Nếu |λ| K 2 < 1 thì phương trình trên có nghiệm duy nhất và nghiệm
đó được cho bởi cơng thức
b
R(x, t; λ)f (t)dt,
ϕ(x) = f (x) + λ
a
trong đó R(x, t; λ) là toán tử giải được xác định như sau
∞
λm−1 Km (x, t).
R(x, t; λ) =
m=1
Chứng minh. Theo phương pháp xấp xỉ mà ta đã thực hiện ở trên, ta đã có
xấp xỉ bậc n + 1 của nghiệm ϕ(x) được xác định bởi công thức
ϕn+1 (x) = f (x) + λσn (x) + ωn+1 (x).
18
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
Ta sẽ chứng minh rằng nếu |λ| K 2 < 1 thì dãy σn (x) hội tụ đều tới hàm giới
hạn σ(x), còn dãy ωn+1 (x) hội tụ về 0 khi n → ∞. Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz đối với hạt nhân lặp ta được
b
b
|Km (x, t)|2 ≤
|Km−1 (x, s)|2 ds
|K(s, t)|2 ds
a
.
a
Lấy tích phân trên cả hai vế của bất đẳng thức này theo biến t, ta được
b
b
|Km (x, t)|2 dt ≤
a
b
b
|Km−1 (x, s)|2 ds
|K(s, t)|2 dsdt
a
a
.
a
Đặt
b
|Km (x, t)|2 dt.
κm (x) =
a
Ta được
2
2.
κm (x) ≤ κm−1 (x) K
Bằng quy nạp, ta thu được đánh giá
κm (x) ≤ κ1 (x) K
2m−2
.
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz đối với những tích phân trong tổng
σn (x), ta được
2
b
Km (x, t)f (t)dt
b
b
2
≤
|f (t)|2 dt
|Km (x, t)| dt
a
a
a
≤ κm (x) f
≤ κ1 (x) f
2
2
2
2
K
2m−2
.
2
Do đó mỗi số hạng trong tổng σn (x) đều được đánh giá bởi bất đẳng thức
b
λ
m
Km (x, t)f (t)dt ≤
a
κ1 (x) f
K 2
2
(|λ| K 2 )m .
Từ đó ta suy ra rằng nếu như |λ| K 2 < 1 thì chuỗi {σn (x)} hội tụ tuyệt đối
và đều tới hàm giới hạn duy nhất σ(x) trên đoạn [a, b]. Cũng sử dụng đánh giá
tương tự như trên, ta thấy rằng
|ωn+1 (x)| ≤
κ1 (x) ϕ0
K 2
2
(|λ| K 2 )n+1 → 0 khi n → +∞.
19
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
Như vậy từ hai điều trên ta suy ra rằng
ϕ(x) = f (x) + λσ(x).
Chứng minh tính duy nhất nghiệm: Giả sử phương trình (2.5) có hai nghiệm
phân biệt ϕ(x) và ϕ(x). Đặt δ(x) = ϕ(x) − ϕ(x). Khi đó δ(x) thỏa mãn phương
trình tích phân thuần nhất
b
δ(x) = λ
K(x, t)δ(t)dt.
a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
b
2
2
b
2
|δ(x)| ≤ |λ|
|δ(t)|2 dt
|K(x, t)| dt
a
.
a
Lấy tích phân cả hai vế theo biến x suy ra
b
2
1 − |λ|
K
2
2
|δ(x)|2 dx ≤ 0.
a
b
Nhưng vì |λ| K
2
|δ(x)|2 dx = 0, suy ra δ(x) = 0 hay ϕ(x) ≡ ϕ(x).
< 1 cho nên
a
Chứng tỏ phương trình (2.5) có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 2.2. Giải phương trình tích phân sau
1
x10 t10 ϕ(t)dt.
ϕ(x) = 1 + 3
0
Lời giải. Trước hết ta thấy rằng
sup |K(x, t)| = 1,
λ = 3,
a = 0,
b = 1.
[0;1]
Suy ra
|λ|(b − a) sup |K(x, t)| = 3.1.1 > 1.
Do vậy ta không thể áp dụng phương pháp thế liên tiếp để giải phương trình
này được. Tuy nhiên ta kiểm tra thấy rằng
K(x, t)
2
Do đó
|λ| K(x, t)
2
1
=√ .
21
1
= 3. √ < 1.
21
20
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QT
Vì vậy ta có thể áp dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải phương trình này.
Đầu tiên ta đặt xấp xỉ bậc không là ϕ0 (x) = 1. Khi đó xấp xỉ bậc một là
1
x10 t10 ϕ0 (t)dt
ϕ1 (x) = 1 + 3
0
1
x10 t10 dt
=1+3
0
3
= 1 + x10 .
11
Xấp xỉ bậc hai là
1
x10 t10 ϕ1 (t)dt
ϕ2 (x) = 1 + 3
0
1
x10 t10 (1 +
=1+3
0
= 1 + x10
3 10
t )dt
11
3
3
1+
.
11
21
Tương tự, xấp xỉ bậc ba là
1
x10 t10 ϕ2 (t)dt
ϕ3 (x) = 1 + 3
0
1
x10 t10 1 + t10
=1+3
0
= 1 + x10
3
3
1+
11
21
dt
3
3
9
1+
+ 2 .
11
21 21
Cứ tiếp tục phương pháp này ta thu được
ϕ(x) = 1 + x10
3
3
9
27
1+
+ 2 + 3 + ··· .
11
21 21
21
Do đó, nghiệm của phương trình tích phân trên là
3
ϕ(x) = 1 + x
lim
11 n→∞
n
10
k=0
3
21
k
7
= 1 + x10 .
22
2.3
Các định lý Fredholm
Ở Chương 1, ta đã chứng minh các định lý Fredholm đối với phương trình
tích phân Fredholm loại hai
b
ϕ(x) = f (x) + λ
K(x, t)ϕ(t)dt,
a
21
(2.6)
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
với nhân tách biến. Ở 2.2, ta đã chỉ ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải
1
phương trình này nếu như K(x, t) là nhân tổng quát và với |λ| <
. Ở phần
K
2
này, ta sẽ kết hợp cả hai phương pháp này để xây dựng các định lý Fredholm
đối với K(x, t) ∈ C(Q[a, b]) là nhân tổng quát và λ là tham số phức tùy ý.
Trước hết, ta giả sử tham số phức λ thuộc đĩa đóng ρ = {λ : |λ| ≤ ρ}, trong
đó ρ là số cố định và có thể lớn tùy ý. Ta sẽ bắt đầu bằng việc phân tích nhân
K(x, t).
Theo định lý xấp xỉ Weierstrass, nhân K(x, t) có thể phân tích thành tổng
của hai nhân liên tục giá trị phức
(2.7)
K(x, t) = Ksep (x, t) + Kε (x, t),
trong đó Ksep (x, t) là đa thức tách biến có dạng
n
Ksep (x, t) =
ai (x)bi (t),
i=1
trong đó ai (x) và bi (t) là hai hàm thuộc C[a, b]. Còn nhân Kε (x, t) thỏa mãn đánh
giá
b
Kε
2
1/2
b
|Kε (x, t)|2 dxdt
=
a
< ε.
a
1
ε
1
Kε
Chọn ρ = . Khi đó nếu |λ| ≤ ρ thì |λ| <
. Từ sự phân tích này ta có thể
2
viết lại phương trình (2.6) dưới dạng
b
ϕ(x) = f (x) + λ
b
Ksep (x, t)ϕ(t)dt + λ
a
Kε (x, t)ϕ(t)dt.
a
b
Đặt F (x; λ) = f (x) + λ
Ksep (x, t)ϕ(t)dt thì
a
b
ϕ(x) = F (x; λ) + λ
(2.8)
Kε (x, t)ϕ(t)dt.
a
Vì ϕ(t) khả tích nên F (x; λ) liên tục trên [a, b]. Vì λ <
1
Kε
nên theo định lý
2
xấp xỉ liên tiếp, nghiệm ϕ(x) của phương trình (2.8) tồn tại, liên tục trên [a, b]
và được biểu diễn bởi
b
ϕ(x) = F (x; λ) + λ
Rε (x, t; λ)F (t; λ)dt,
a
22
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
trong đó
∞
λm−1 Kεm (x, t)
Rε (x, t; λ) =
(2.9)
m=1
b
và Kεm là nhân lặp của Kε (x, t). Thay F (x; λ) = f (x) + λ
Ksep (x, t)ϕ(t)dt vào
a
vế phải ta được
b
ϕ(x) = fε (x; λ) + λ
Gε (x, t; λ)ϕ(t)dt,
(2.10)
Rε (x, t; λ)f (t)dt,
(2.11)
a
trong đó
b
fε (x; λ) = f (x) + λ
a
và
b
Gε (x, t; λ) = Ksep (x, t) + λ
(2.12)
Rε (x, u; λ)Ksep (u, t)du.
a
Ta thấy rằng Gε (x, t; λ) có dạng tách biến bởi vì
Ksep (x, t) = ai (x)bi (t),
và
b
n
b
Rε (x, u; λ)Ksep (u, t)du =
a
ai (u)bi (t)
Rε (x, u; λ)
a
i=1
n
b
=
Rε (x, u; λ)ai (u)du
bi (t)
a
i=1
n
=
du
Aεi (x; λ)bi (t),
i=1
trong đó
b
Aεi (x; λ) =
Rε (x, u; λ)ai (u)du
a
∞
b
λm−1 Kεm (x, u)
=
a
m=1
∞
b
m−1
=
ai (u)du
λ
Kεm (x, u)ai (u)du
.
a
m=1
Do vậy, Gε (x, t; λ) có thể được biểu diễn thành dạng tách biến như sau
n
Gε (x, t; λ) =
[ai (x) + λAεi (x; λ)] bi (t).
i=1
23
(2.13)
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG
QUÁT
Như vậy, phương trình (2.10) trở thành phương trình tích phân Fredholm loại
hai với nhân tách biến. Ta có thể giải được phương trình này bằng phương pháp
đã được mơ tả ở Chương 1. Tuy nhiên, ở đây có một sự khác biệt đó là nhân
vẫn cịn phụ thuộc vào tham số λ. Ta sẽ giải quyết phương trình (2.10) này như
sau:
Thay biểu diễn của Gε (x, t; λ) trong (2.13) vào phương trình (2.10) ta được
n
ci (λ) [ai (x) + λAεi (x; λ)] ,
ϕ(x) = fε (x; λ) + λ
(2.14)
i=1
trong đó ta đặt
b
ci (λ) =
ϕ(t)bi (t)dt,
i = 1, . . . , n.
a
Giả sử rằng mỗi nghiệm của phương trình (2.10) đều có dạng này. Thế thì ta
cần xác định hệ số ci (λ). Trong phương trình (2.14), ta thay thế x bởi t, đổi chỉ
số của tổng từ i thành j , sau đó nhân cả hai vế của phương trình với bi (t) rồi
lấy tích phân từ a tới b, ta thu được
ϕ(t)bi (t)dt =
a
n
b
b
fε (x; λ)bi (t)dt + λ
a
b
[aj (t) + λAεj (t; λ)]bi (t)dt.
cj (λ)
a
j=1
Đặt
b
fi (λ) =
fε (x; λ)bi (t)dt,
a
b
aij (λ) =
[aj (t) + λAεj (t; λ)]bi (t)dt.
a
Khi đó ta được hệ phương trình
n
ci (λ) = fi (λ) + λ
cj (λ)aij (λ).
(2.15)
j=1
Hay ta cũng có thể viết lại hệ phương trình tuyến tính trên dưới dạng ma trận
như sau
(I − λA(λ)) c(λ) = f(λ).
(2.16)
Đặt
Dρ (λ) = det(I − λA(λ)),
24
