Bất đẳng thức tích chập và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
---------------------------------------

PHÙNG ĐỨC PHI

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Hà Nội – 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tơi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo. Tôi cũng xin cam đoan rằng luận văn
không trùng lặp với các luận văn đã công bố và các thơng tin trích dẫn trong luận văn
đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Phùng Đức Phi

-1-

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN…………………………………………………….…….…

1

MỤC LỤC……………………………………..………………………………

2

LỜI MỞ ĐẦU…………………………………..……………………………….

4

LỜI CẢM ƠN…………………..…………………………………..…………

7

Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ……………………………………….………

8

1.1. Phép biến đổi Fourier cosine…………………..…………………..

8

1.1.1. Định nghĩa…………………………………………….…………

8

1.1.2. Các ví dụ………………………………………………….……...

8

1.2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier cosine………………...

9

1.3. Ứng dụng……………………………………….………………….

11

1.3.1. Phương trình đạo hàm riêng……………………………………..

11

1.3.1.1. Phương trình truyền nhiệt trên nửa trục………………………..

11

1.3.1.2. Phương trình Laplace trong góc phần tư thứ nhất……………...

15

1.3.1.3. Phương trình Laplace trên nửa dải vô hạn với điều kiện biên…

17

1.3.2. Phương trình vi phân…………………………………………….

18

1.3.3. Tính tích phân………………………….………………………...

19

Kết luận chƣơng 1…………………………..……………….………………….

21

Chƣơng 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY……………………………………..

22

2.1. Định nghĩa……………………………….………………………..

22

2.2. Một số tính chất cơ bản…………………………………….……...

22

2.3. Định lý Wiener – Levy……………………………………………

24

Kết luận chƣơng 2……………………………………...……………………….

25

-2-

Chƣơng 3: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY…….

26

3.1. Một số bất đẳng thức đối với tích chập Fourier……………….…..

26

3.1.1. Bất đẳng thức đối với tích chập Fourier…………………………

26

3.1.2. Bất đẳng thức ngược đối với tích chập Fourier………………….

28

3.2. Một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley … ………….….

29

3.2.1. Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley - Fourier cosine……...

30

3.2.2. Bất đẳng thức kiểu Saitoh……………………………………….

32

3.2.3. Bất đẳng thức ngược đối với tích chập suy rộng Hartley……….

35

3.3. Các ứng dụng………………………….…………………………..

37

3.3.1. Phương trình tích phân của kiểu Toeplitz – Hankel……………..

37

3.3.2. Bài tốn Dirichlet trên góc phần tư thứ nhất…………….………

38

3.3.3. Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt…………….…..

39

3.3.4. Phương trình vi phân thường………………………….………..

40

Kết luận chƣơng 3………………………………….…………..……………….

42

KẾT LUẬN…………………………...…………………….…………………

43

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………….….…………….

44

-3-


MỞ ĐẦU
---o0o--1. Lý do chọn đề tài
Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân đã được các nhà toán học bắt đầu
nghiên cứu từ khoảng thế kỷ 19. Đầu tiên là tích chập đối với phép biến đổi Fourier:
(

)( )



√



(

) ( )



thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:

(

)( )

(

)( )(

)( )

Trong những năm gần đây, một số lớp các phép biến đổi tích phân dạng trên
liên quan đến tích chập Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, Mellin đã
được nghiên cứu. Mặc dù có nhiều ứng dụng trong các bài tốn cơ học, vật lí, kĩ thuật,
thậm chí sinh học và có khá nhiều các cơng trình nghiên cứu về phương trình vi-tích
phân kiểu tích chập trong thời gian gần đây, khơng có nhiều phương trình, hệ phương
trình vi-tích phân có thể giải được nghiệm dưới dạng đóng.
Do những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng trong việc giải các bài
tốn phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các
bài tốn Tốn-lí, ..., việc giải các bài tốn đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới
dạng tích chập, vì vậy, xây dựng các bất đẳng thức tích chập để thuận tiện cho việc
đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được rất nhiều các nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu. Một bất đẳng thức điển hình đối với tích chập phải kể tới là bất đẳng thức
Young đối với tích chập Fourier. Tuy nhiên, trong khơng gian hàm điển hình L2 ( ) ,
bất đẳng thức này không đúng. Trong một loạt các cơng trình của các tác giả Saitoh S.,
Vũ Kim Tuấn, Yamamoto M. đã xây dựng một lớp bất đẳng thức đối với các tích chập
Fourier và tích chập Laplace trong không gian Lp ( ,  ) với hàm trọng  ( x) và đưa ra
một số ứng dụng thú vị. Ưu điểm của các bất đẳng thức này là áp dụng được cho
trường hợp p  2 . Bất đẳng thức tương ứng với tích chập đối với các phép biến đổi

-4-

tích phân khác, cũng như đối với tích chập với hàm trọng, tích chập suy rộng với hàm
trọng vẫn chưa được xây dựng và nghiên cứu.
Vì vậy, nghiên cứu các bất đẳng thức tích chập là cần thiết để thuận tiện cho việc
đánh giá ước lượng nghiệm, đây là hướng nghiên cứu mới được nhiều nhà toán học
quan tâm. Đây là cơ sở để tôi chọn đề tài: “Bất đẳng thức tích chập và ứng dụng”. Cụ
thể, luận văn trình bày các phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hartley, các bất
đẳng thức tích chập Fourier, bất đẳng thức tích chập tích chập suy rộng Hartley –
Fourier cosine và ứng dụng các bất đẳng thức này trong đánh giá nghiệm của các
phương trình tích phân, nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình truyền
nhiệt và một số biến đổi tích phân…
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine và ứng dụng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu phép biến đổi Fourier cosine, Hartley
Nghiên cứu các bất đẳng thức tích chập Fourier, kiểu Fourier, tích chập suy rộng
Hartley và ứng dụng đánh giá nghiệm phương trình vi phân, nghiệm phương trình
truyền nhiệt, một số phương trình tích phân.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Dựa trên lý thuyết các phép biến đổi tích phân, tích chập, các kết quả của giải
tích, giải tích hàm, lý thuyết tốn tử.
5. Bố cục luận văn
Ngồi phần Mở đầu và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung
như sau:
Chƣơng 1: Kiến thức cơ sở.
Nội dung của chương này trình bày kiến thức cơ sở bao gồm các định nghĩa, tính
chất và ứng dụng phép biến đổi Fourier cosine.
Chƣơng 2: Phép biến đổi Hartley.
Chương này trình bày định nghĩa và các tính chất của phép biến đổi Hartley và
định lý Wiener – Levy.

Chƣơng 3: Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley.
-5-


Nội dung chương 3 trình bày các bất đẳng thức đối với tích chập Fourier và bất
đẳng thức tích chập suy rộng Hartley – Fourier cosine và ứng dụng của các bất đẳng
thức trong việc đánh giá nghiệm của một vài phương trình vi phân, phương trình tích
phân và phương trình vi phân đạo hàm riêng.

-6-


LỜI CẢM ƠN
---o0o--Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Nguyễn
Xn Thảo. Qua đây, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, chúc thầy luôn luôn
mạnh khỏe, hạnh phúc và đạt được nhiều thành tựu trong nghiên cứu khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ trong Viện Tốn ứng dụng và Tin học, các
thầy, các anh, các chị trong nhóm Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp qúy báu cho tơi trong q trình hồn
thiện luận văn này.
Do khả năng cịn hạn chế, vì vậy luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót. Tơi
rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ giáo, các bạn và những độc giả quan tâm
tới vấn đề này.
Hà Nội, tháng 01 năm 2018
Học viên

Phùng Đức Phi

-7-

CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trong chương này, trình bày định nghĩa phép biến đổi Fourier cosine, các tích
chất của phép biến đổi Fourier cosine và ứng dụng của phép biến đổi nêu trên. Đây là
phép biến đổi chiếm vị trí quan trọng trong giải tích tốn học là trường hợp riêng của phép
biến đổi Fourier, các kết quả chính của chương này dựa vào tài liệu [1-2], [7-8], [15], [17].
1.1. Phép biến đổi Fourier cosine
1.1.1. Định nghĩa.
Phép biến đổi Fourier cosine (kí hiệu là Fc) của hàm f được định nghĩa như sau:


2
 Fc f  y    f  x  cos xydx, y  0.
0

1.1.2. Các ví dụ.
Ví dụ 1.
Tính:

 F e   y  ; a  0.
 ax

c

Ta có:

F e  y 
 ax

c



2





e

 ax

0



1 2   a iy  x  a iy  x 
cos xydx 
e
e
dx
2  0 

1 2 1
1 
2
a


.


2
2   a  iy a  iy 
 a  y2

Ví dụ 2.
Tính:

 sinat 
 Fc
 y; a > 0 .
t 


Ta có:
0 ; y  a ,


2 sin at
 sin at 
 1  ; y  a,
F
y

cos
ytdt

 c

 

t 
0 t
2 2


 2 ; y  a.
 

-8-


1.2. Một số tính chất của phép biến đổi Fourier cosine
1.2.1. Ta có:

 F f  ax   y   a  F f  ( a ), a > 0.
1

y

c

c

1.2.2. Nếu lim f  x   0 thì ta có:
x 

 F f   x    y  F f  y  
c

c

2



f  0.

d k f ( x)
1.2.3. Nếu lim
 0, k  0;1 thì ta có:
x 
dx

 F f   x   y    y  F f  y  
2

c

1.2.4. Nếu f  L1 (



c

), ( Fc f )  L1 (
f  x 

1.2.5. Nếu f  L1 (





2



f   0.

) , f là hàm liên tục từng khúc thì ta có:
2



  F f  y  cos xydy.
c

0

) và liên tục từng khúc:

Fc  fc  t  a   fc  t  a   y   2  Fc f  y  cosay, a  0,
ở đó:

( ) là thác triển chẵn của hàm f (t) sao cho: f c  t   f  t  .

Chứng minh. Ta có:

Fc  f c  t  a   f c  t  a   y  
2

 a



f c T  cos y T  a  dT 

2

 f  t  a   f c  t  a  cosytdt
 0  c
2



 a

f c T  cos y T  a  dT

 2( Fc f )  y  cosay.

1.2.6. Ta có:

( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fs  f  t  sinβt   
( Fc f )      Fc  f  t  cosβt     Fc  f  t  sinβt   .
1.2.7. Từ đó ta cũng có:

-9-

Fc  f  at  cosβt    

1 
  
F
f


c

2a 
 a


 
   Fc f  

 a

1 

 Fc f  

2a 
 a


    

   Fc f  
 .

 a 

Fc  f  at  sinβt    

1.2.8. Cho f  t  liên tục từng khúc và t 2 n f (t ), t 2 n1 f (t )  L1 (

F

(2 n )
c

F

(2 n 1)
c




 ,


), khi đó ta có:

dk f
f     Fc  1)n t 2 n f  t     , ở đó: lim k  0, k  1, 2n  1.
x  dx

dk f
n 1 2 n 1


f     Fs  1) t f  t     , ở đó: lim k  0, k  1, 2n.
x  dx

Tính chất trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
1.2.9. Cho f là hàm liên tục từng khúc và thuộc

(

) khi đó ta có:

lim  Fc f    0 .

 

1.2.10. Tích chập của hai hàm f , g đối với biến đổi Fourier cosine:
Cho f , g  L

1





 , khi đó ta có:



 f * g L 
Fc

1



 và có đẳng thức nhân tử hóa:



Fc f * g  x    Fc f  x  Fc g  x  , x  0,
Fc

ở đó:

 

1 
f * g  x 
 f t   g  x +t   g  x  t  dt , t  0.
F
2 0
c

Chứng minh. Ta có:




0

 

f * g  x  dx 
Fc

1
2



(| f (t ) g (t  x) |  | f (t ) g (| t  x |) |)dt
00



1  

  | f  t  g  u  dtdu    f  t  g  v  dtdv 
2  0 x
0 x



Từ đó ta có: f * g  L1 
Fc



2
2



 f  t  g u  dtdu 
00

.

Mặt khác ta có:

-10-

2



f . g .


( Fc f )  y  ( Fc g )  y  


2 



 f u  g  v  cos  yu  cos  yv  dudv
00

1 



 f  u  g  v  cosy u  v   cosy u  v  dudv .
00

Đổi biến số v  u  t , v – u  s , ta có:

( Fc f )  y  Fc g  y  




1 



1 

 f u  g t  u  cosytdudt     f u  g u  s  cosysduds
0 u

0u


1  
  f  u   g  u  s   g  s  u   du  cosysds


 0 0


2



( f * g )  s  cosysds  F
0

c

Fc

 f * g   y .
Fc

1.2.11. Đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi Fourier cosine:




  F f  x  ( F g )  x  dx   f  x  g  x  dx , f , g  L2 (
c

c

0



).

0

1.2.12. Cho f  t   H (t ) – H  t  a  , ở đó hàm đơn vị bậc thang ( Heaviside):
1 ; t  0
H t   
0 ; t  0.

Khi đó ta có:

 Fc f  y  

1
sinay.
y

1.2.13 (Định lý Wiener – Levy). Nếu f là phép biến đổi Fourier cosine của hàm f
thuộc L1 





 ,  u 

là hàm giải tích trên miền giá trị của f  x ,   0   0 . Khi đó



 f ( x) là biến đổi Fourier cosine của hàm nào đó thuộc

(

)

1.2.14. Cho hàm f ( x) là hàm chẵn, khi đó  Ff  y    Fc f  y  , y
1.3. Ứng dụng
1.3.1. Phƣơng trình đạo hàm riêng.
1.3.1.1. Phƣơng trình truyền nhiệt trên nửa trục.

-11-

.


u
 2u
 k 2 , với
t
x

Xét phương trình:

,

ở đó k là hằng số dương, với điều kiện ban đầu:

(

)

(1.3.1)
(1.3.2)

và các điều kiện biên:
(

)
(

( )
)

(

( )

)
(

khi
)

(1.3.3)

khi

(1.3.4)

a) Ta giải bài toán (1.3.1), (1.3.2) và (1.3.3):
Phép biến đổi Fourier sine của hàm f được định nghĩa như sau:

2

 Fs f   



 f  x  sin xdx,

  0.

(1.3.5)

0

Tác động biến đổi Fourier sine theo hàm của biến x vào hai vế của (1.3.1), ta có:

dU s
2
 ky 2U s  y, t  
kyf  t  ,
dt

(

)

(1.3.6)

,

(1.3.7)

ở đó:

2
sinyxU  x, t  dx .

U s  y, t  



0

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một (1.3.6) và (1.3.7) ta có nghiệm:
t

 ky dt 
ky dT
2
U s  y, t   e  c  
kyf T  e  dT  .
 0 

2

2

Do (1.3.6), ta được c = 0, vì vậy ta có:

U s  y, t  

2



t

ky  f T  exp  k  t  T  y 2  dT .
0

Sử dụng biến đổi ngược Fourier sine và kết hợp với công thức:



Fs ye  tky

2

 x  2 x2 e



x2
4 kt

 kt 

3
2

.

Ta có:

u  x, t  

2



t

k  f T  Fs  y exp  k  t  T  y 2   ( x)dT
0

-12-

(1.3.8)



 dT
x t
x2
.


f
T
exp





3

4 k 0
 4k  t  T    t  T  2

(1.3.9)

Nếu lấy f (t )  T0  const , thì từ (1.3.8) ta có:

Us k,t  

2 T0
1  exp  kty 2   .

 y

Do đó ta có:

U  x, t  

2T0  sinyx
1  exp  kty 2  dy.



 0 y 

Mặt khác ta có:


e

 y2a2

0

sinyx

 x 
dy  erf   .
y
2
 2a 

Nên ta có:

U  x, t  

2T0   
 x
 erf 

  2 2  2 kt


 x
   T0 erfc 

 2 kt


.


Ở đó hàm sai số erf  x  được xác định như sau:

2

erf  x  
Do đó:

erf  0   0,erf    

2



e


t 2



x

e

t 2

dt .

0

dt  1 và erf   x    erf  x  .

0

Hàm sai số bổ sung erfc  x  được xác định như sau:

erfc  x   1  erf  x  

2



e


t 2

dt.

x

Do đó:
erfc  0  1, erfc     0 và erfc   x   1  erf   x   1  erf  x   2  erfc  x  .

b) Giải bài toán (1.3.1), (1.3.2) và (1.3.4):
Lập luận tương tự như trên với ký hiệu:

U c  y, t  

2



 cos xy u  x, t  dx .
0

-13-


Xét phương trình vi phân dạng:
y(t )  h2 y(t )  F (t ), t  0 .

(1.3.10)

với điều kiện:

y  0   0, lim y  t   0,
t 

F(t) = {
Tác động biến đổi Fourier cosine vào (1.3.9), (1.3.10), ta có:

dU c
2
 ky 2U c   kf  t  .
dt

(

(1.3.11)

)

(1.3.12)

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một (1.3.11) với điều kiện (1.3.12), ta có nghiệm:

2

U c  y, t   

t

y  f T  exp  ky 2 t  T  dT .
 0

Từ đó, sử dụng biến đổi Fourier ngược và sử dụng công thức:
Fc exp  tky 2    x  

 x2 
1
exp  
.
2kt
 4kt 

ta được nghiệm cần tìm là:

u  x, t   

k



t


0

f T 



x2
exp  
 dT .
4
k
t


T
t T





c) Phương trình truyền nhiệt khơng thuần nhất trên nửa trục:
u  2u

 h  x, t  , x  0, t  0.
t x 2

(1.3.13)

với điều kiện:
u  x,0   f  x  ,

u  0, t   g  t .

(1.3.14)

Sử dụng phép biến đổi Fourier sine, lập luận như trên ta nhận được phương trình sau:
dU s
  2U s   g  t   H s  , t  .
dt

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một (1.3.15), ta được nghiệm:

-14-

(1.3.15)


t

U s  , t  e t    g T   H s  , T  e t dT  C.
2

2

0

Sử dụng điều kiện (1.3.14) và biến đổi ngược Fourier sine, ta được nghiệm của bài
toán (1.3.13), (1.3.14) là:

2
u  x, t   U s  , t  sin  xdx.



0

1.3.1.2. Phƣơng trình Laplace trong góc phần tƣ thứ nhất.
Xét bài tốn sau:
uxx  u yy  0,

0  x, y   .

(1.3.16)

với điều kiện biên:
u  0, y   a,

u  x,0   0 .

khi

(1.3.17)

√

(1.3.18)

ở đó a là hằng số. Tác động biến đổi Fourier sine theo hàm của biến x vào (1.3.16),
(1.3.17), ta có:

d 2U s 2
2
 t Us 
ta  0 .
2
dy


(1.3.19)

U s  t ,0   0 .

(1.3.20)

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số là hằng số (1.3.19), ta được:
U s  A.ety ,

Đồng nhất hệ số, ta có: B 

U s*  B.

2 a
.
 t

Từ đó ta có nghiệm tổng quát:

U s  t , y   A.ety 
Từ điều kiện (1.3.18), ta có: A  
Do đó:

U s t, y  

2 a
.
 t

2a
,
 t

2a

1  e  ty .
 t

(1.3.21)

Sử dụng biến đổi Fourier ngược, ta được:
-15-




2a  1
2a   sin tx
1 ty
 ty
u  x, y  
1

e
sin
txdt

dt

e
sin
txdt


0 t

 .
 0 t
  0 x




Đặt:

1
I  y    ety sin txdt , ta có:
0 t


I ( y)   ety sin txdt  
0

Từ đó ta có: I  y   arctan
Mặt khác do: I  0  
Nên ta có: I 


2

ety
x
 y sin tx  x cos tx  |0   2
.
2
2 

x y
x  y2

y
 C.
x

 C.



y
 arctan .
2
x

Cuối cùng ta có nghiệm của phương trình (1.3.16) với các điều kiện (1.3.17), (1.3.18) là:

u  x, y   a 

2a  
y  2a
y
arctan .
  arctan  
 2
x 
x

Ta xét phương trình Laplace khơng thuần nhất trong góc phần tư thứ nhất.

Ta xét bài toán sau:

 2v  2v

 h  x  , x  0, y  0,
x 2 y 2

(1.3.22)

với các điều kiện:
v
|x 0  0, v  x,0   f  x  ,
x

(1.3.23)



h  x  dx  0
0

 r


Đặt: P  x     h  t  dt  dr , ta có:
x 0


P " x   h  x  và P’  0   0 .

Mặt khác ta biết:

 2 Pc    H c   .
Áp dụng biến đổi Fourier cosine vào phương trình (1.3.22) theo hàm của biến x, ta có:
-16-


 2Vc  , y  

d2
V  , g    2 Pc   .
2 c
dy

(1.3.24)

Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai (1.3.24) với hệ số hằng số, ta có nghiệm:

Vc , g   Ce y  Pc   .
ở đó hằng số C xác định từ điều kiện (1.3.23):
V ( x,0)  f ( x),Vc (,0)  Fc () .

Từ đó ta có:

Vc , y    Fc    Pc   e y  Pc   .

(1.3.25)

Sử dụng biến đổi Fourier cosine ngược, ta nhận được nghiệm của phương trình (1.3.22):

v  x, y   P  x  



y
y
f
t

P
t



    
 dt .
2
2
2
2
 0 
x

t

y
x

t


y






1

1.3.1.3. Phƣơng trình Laplace trên nửa dải vơ hạn với điều kiện biên Dirichlet.
Xét phương trình Laplace:
.

(1.3.26)

với các điều kiện biên:
(

)

(

)

, khi

(1.3.27)

(

)

(

)

( )

(1.3.28)

Tác động biến đổi Fourier sine đối với (1.3.26) và (1.3.28) theo hàm của biến x, ta có:

d 2U s
 k 2U s  0
2
dy

(1.3.29)

U s  k , b   0,U s  k ,0   Fs  k  .

(1.3.30)

ở đó:

U s  k , y    Fsu  x, y    k  , Fs  k   ( Fs f  x )  k .
Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số (1.3.28), ta được
nghiệm tổng quát:

U s  k , y   C1e ky  C2eky .

Từ điều kiện (1.3.30), ta có:

-17-


 C1  C2  Fs (k )
  kb
kb
C1e  C2e  0.

(1.3.31)

Giải hệ phương trình (1.3.31), ta được:
C1 

Fs  k 
Fs  k 
ekb , C2  
e kb .
2sinh  kb 
2sinh  kb 

Từ đó ta có:
U s  k , y   Fs  k 

sinh  k  b  y  
sinh(kb)

.

(1.3.32)

Sử dụng biến đổi Fourier sine ngược cho (1.3.30) ta được nghiệm của phương trình
(1.3.26), (1.3.27) và (1.3.28) là:

u  x, y  

sinh  k  b  y 
2
Fs  k 
sin kxdk .

0
sinh(kb)

1.3.2. Phƣơng trình vi phân.
Xét phương trình vi phân:
y(t )  h2 y(t )  F (t ), t  0 .

(1.3.33)

với điều kiện:

y  0   0, lim y  t   0,
t 

với vế phải là hàm gián đoạn có dạng:

F(t) = {

Ta có:

F  t   A 1  H  t  b  .
Từ đó phương trình (1.3.33) được viết lại dưới dạng:
  2 yc  y  0   h 2 yc 

A



sin b,

kết hợp với điều kiện đã cho, giải ra ta được:
yc  

A
A  sin b  sin b 
sin b   2 
 2
.
2
h  
  h2 
   h 
2

Từ đó sử dụng phép biến đổi Fourier cosine ngược và cơng thức đã biết, ta có nghiệm
của phương trình (1.3.33) là:
-18-

 A
 hb
 h 2 1  U  t  b   e cosh(ht )  ,
y t   
  A 1  U  t  b   e  ht sinh(ht )  ,

 h 2 

t b
t b

 A  hb
 h 2  e cosh(ht )  1 , t  b

 A  e  ht sinh(hb)  , t  b
 h 2
1.3.3. Tính tích phân.


x -p
dx; p  0 .
a) Tính tích phân: I   2
2
0 a +x
Ta đặt:
f ( x)  e ax , thì ta có: Fc  k  

2

a
,
 a  k2

g ( x)  x p 1 , thì ta có: Gc  k  

2

2



k  p cos

p
2

Γ p .

Từ đẳng thức Parseval ta có:




F  k  G  k  dk   f  x  g  x  dx .
c

c

0

hay:

2a



cos

p
2

0


Γ  p
kp
1  t p 1
p 1  ax
dk

x
e
dx

e t dt 
.

2
2

p 
a 0
ap
0 k a
0



Γ  p 

Từ đó ta có:
I


2a

p 1

sec(

p
2

).

b) Tính tích phân:


x 2 dx
A 2

.
2
2
2
0  a  x  b  x 
Ta có:

Fs (e ax )( y ) 

2

y
,
 y  a2

Fs (ebx )( y ) 

2

2

y
.
 y  b2
2

Ta biết đẳng thức Parseval đối với tích chập Fourier cosine suy rộng:
-19-


1


g
t
f
t

x

f
t

x
sign
t

x
dt

    
   (Fs f ) t  Fs g t  cos xtdt .
2 0
0

Thay x = 0, ta có:




0

0

( Fs f )  t  ( Fs g )(t )dt   f  t  g  t  dt ,

từ đó ta đặt: f  x  


2

e ax , g  x  


2



e bx , ta có:


A  ( Fs f )  x  ( Fs g )( x)dx   f  t  g  t  dt 
0

0





e
2

  a  b t

dt 

0



2 a  b

c) Tính tích phân:


A
0

x

x 2 dx

 a2 

2

4

.

1
x
thì ta có: f ' ( x)  
.
2
2
2 2
2( x  a )
x

a



Đặt:

f ( x) 

Ta có:

 Ff  y    Fc f  y  

2

 1
2 2a

e a y .

Vận dụng đẳng thức Parseval cho biến đổi Fourier, ta được:




f   x  dx 
2





 | ( Ff )  y  |
'

2

dy 





 | iy( Ff )  y  |

2



Do đó:

A





f   x  dx 
2





 1 





iy  Ff  y  dy
2



  2  ay
2
2 a y
y

e
dy

y e dy 
.
  
5
2 
2  2a  
4a 0
 2a 
2 

-20-

dy .

.


Kết luận Chƣơng 1
Trong chương 1:
 Trình bày phép biến đổi Fourier cosine và một số tính chất cơ bản.
 Ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, ...
Mặc dù phép biến đổi Fourier cosine chỉ là trường hợp riêng của phép biến đổi Fourier
nhưng vẫn khẳng định ưu thế trong các lĩnh vực ứng dụng như: các bài tốn biên,
phương trình đạo hàm riêng, …

-21-

CHƢƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY
Phép biến đổi Hartley có ưu điểm so với phép biến đổi Fourier là biến hàm thực
thành hàm thực, mặc dù xuất hiện sau phép biến đổi Fourier khoảng nửa thế kỷ nhưng
đến nay vẫn thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Trong chương này, ta nhắc
lại các tính chất cơ bản của biến đổi Hartley. Các kết quả chính của chương này dựa
vào tài liệu [1-2], [5].
2.1. Định nghĩa
Phép biến đổi Hartley của hàm f được xác định như sau:

1
 Hf  y  
2



 f  x  cas  xy  dx ,



ở đây: cas  xy   cos  xy   sin  xy  .
Điểm khác biệt của biến đổi Hartley và biến đổi Fourier ở chỗ biến đổi Hartley có
nhân là hàm thực, cịn ở biến đổi Fourier có nhân là hàm biến phức.
2.2. Một số tính chất cơ bản
2.2.1. Tuyến tính. Ta có (H f )(y), (Hg)(y), khi đó với

, ta có:

H  f   g  y     Hf  y     Hg  y  .

2.2.2. Đồng dạng.

1
y
 H  f  kx    y    H  f  x     .
k
k

2.2.3. Hàm trễ.

 Hf  x     y   cos  y  Hf  y   sin  y  Hf   y  .

2.2.4. Biến điệu.

1
 H  f  x  cos  y0 x    y    Hf  y  y0    Hf  y  y0  .
2

2.2.5. Biến đổi tích chập Fourier:
Cho tích chập Fourier:





1
f * g  y 
F
2



 f  x  g  y  x  dx,



Khi đó:

-22-

f , g  L1 ( ).




H f *g
F

  y    Hf  y  Hg  y    Hf   y  Hg  y  
  Hf  y  Hg   y    Hf   y    Hf   y  Hg   y  .

Chứng minh. Thật vậy, ta có:



H f *g
F

 y 

1
2



1
2

1

2

  f * g   x  cas  yx  dx



F





  f  t  g  x  t  dt  cas  yx  dx


 1
 f  t   2






 g  x  t  cas  yx  dx  dt .



Từ đó và từ tính chất 2.2.4. ta có:







1
H f * g  y 
F
2


 f t  cos  yt  Hg  y   sin  yt  Hg   y  dt



1
2



 f  t  cas  yt  Hg  y   cas   yt  Hg  y  dt 





1
2



 f  t  cas  yt  Hg   y   cas   yt  Hg   y  dt



  Hf  y  Hg  y    Hf   y  Hg  y  
  Hf  y  Hg   y    Hf   y  Hg   y  .

2.2.6. Biến đổi đạo hàm: Cho hàm số f khả vi và triệt tiêu tại

, tức là:

lim f  x   0 khi đó ta có:
x 

 Hf ’ x  y 
Chứng minh. Ta có  Hf   x    y  

1

2

  y  Hf   y  .


 cos  yx  f   x  dx 



1
2



 sin  yx  f   x  dx .



Sử dụng cơng thức tích phân từng phần và giả thiết đã cho, ta có:

 Hf   x   y   

y
2



 f  x  cos  yx  dx 



-23-

y
2



 f  x  sin  yx    y  Hf   y  .




2.3. Định lý Wiener – Levy
, là điều kiện cần

( ), sao cho:

và đủ để tồn tại hàm

 Hl  y  
Chứng minh. Đặt: g  x  
Khi đó ta có:

f )( )

(

( ). Khi đó:

Định lý. Cho hàm

 Hf  y  .
1   Hf  y 

1 i
1 i
f  x 
f x .
2
2

( ) khi và chỉ khi

( ).

Mặt khác, vì:

1 i
1 i

f  x 
f x  y  .
2
 2


 Hf  y   F 

Từ đó ta có:  Fg  y    Hf  y  , y  .

Do đó:

(

)( )

nếu và chỉ nếu

(

Levy cho biến đổi Fourier, suy ra tồn tại một hàm

 Fk  y  
Đặt: l  x  
Khi đó:

)( )

. Sử dụng định lý Wiener –
( ) sao cho:

 Fg  y    Hf  y  .
1   Fg  y  1   Hf  y 

1 i
1 i
k  x 
k x .
2
2

( ) nếu và chỉ nếu

( ). Từ đó và từ:

1 i
1 i

f  x 
f x  y ,
2
 2


 Ff  y   H 
ta có:

 Hl  y    Fk  y  ,y 

 Hl  y    Fk  y  

. Do đó ta nhận được:

 Fg  y    Hf  y  .
1   Fg  y  1   Hf  y 

Vậy định lý được chứng minh

-24-