Một số mô hình phân tích chuỗi thời gian và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MƠ HÌNH PHÂN TÍCH
CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TỐN -CƠ- TIN HỌC

ĐẶNG VĂN THOẠI

MỘT SỐ MƠ HÌNH PHÂN TÍCH
CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 60460106

Người hướng dẫn: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2013

LỜI CÁM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của Luận văn em xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người
đã tận tình hướng dẫn để em có thể hồn thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy
cơ giáo trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên,
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã ln ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.


PHẦN MỞ ĐẦU

Nhân loại đã bước sang thập niên thứ hai của thế kỉ 21. Cùng với
sự phát triển không ngừng của các lĩnh vực kinh tế- xã hội, các môn
khoa học cơ bản cũng đã đạt được rất nhiều thành tựu đáng kể. Đặc
biệt là trong lĩnh vực Toán học, rất nhiều kết quả thu được không
những giúp nhân loại giải quyết các bài tốn có tính chất lý thuyết mà
cịn góp phần giải quyết các được bài tốn thực tế của cuộc sống đặt
ra. Trong đó phải kể đến bộ môn Xác suất- Thống kê. Xác suất-Thống
kê hiện nay đang là một trong những ngành Toán học thu hút được
rất nhiều sự quan tâm của không chỉ các nhà khoa học mà cịn có cả
các nhà quản lý, nhà đầu tư...
Dự báo là lĩnh vực ra đời từ rất sớm, gắn liền với cuộc sống thực
tiễn của con người từ xa xưa. Các quan sát trong thực tế thường được
thu thập dưới dạng chuỗi dữ liệu. Từ những chuỗi dữ liệu này người
ta phân tích và rút ra những quy luật của một q trình được mơ tả

thơng qua chuỗi dữ liệu, từ đó có thể đưa ra những dự báo hay những
quyết định đúng đắn, kịp thời. Ví dụ như dự báo thời tiết, dự báo chỉ
số chứng khoán, mức tăng dân số, dự báo nhu cầu sử dụng điện, dự
báo số lượng sinh viên nhập học của một trường đại học...
Các kết quả ứng với từng thời điểm được ghi lại tạo thành một
chuỗi thời gian . Chuỗi thời gian đang được sử dụng như một cơng
cụ hữu hiệu để phân tích trong nhiều lĩnh vực của kinh tế, xã hội
cũng như trong nghiên cứu khoa học. Chính do tầm quan trọng đó
mà nhiều tác giả đã đề xuất những mơ hình khác nhau để phân tích
chuỗi thời gian như là các mơ hình hồi qui, phân tích Furie... Trong đó
mơ hình ARIMA của Box-Jenkins là mơ hình được đánh giá rất cao.


iii

Mơ hình cho kết quả khá tốt trong phân tích dữ liệu. Tuy nhiên, sự
phức tạp của thuật toán đã gây ra những khó khăn trong q trình
phân tích, nhất là khi chuỗi số liệu có những thay đổi phản ánh sự phi
tuyến của mơ hình như chuỗi thời gian tài chính.
Trong khn khổ của Luận văn, tác giả đã trình bày về mơ hình
phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy (ARCH) và một
số mơ hình mở rộng của nó (GARCH, GARCH − M, TGARCH). Sau
đó, các mơ hình này được áp dụng vào việc định giá quyền chọn của
cổ phiếu IBM. Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 6
chương có nội dung tương ứng như sau:
• Chương 1: Những khái niệm ban đầu
• Chương 2: Mơ hình ARCH
• Chương 3: Mơ hình GARCH
• Chương 4: Mơ hình GARCH − M
• Chương 5: Mơ hình TGARCH

• Chương 6: Ứng dụng của các kiểu mơ hình ARCH trong việc

định giá quyền chọn
Trong các chương 2, 3, 4, 5 tác giả lần lượt trình bày về vấn đề: cấu
trúc , tính chất, ước lượng, kiểm định của các mơ hình và cuối cùng
là áp dụng vào ví dụ thực tế. Trong chương 6, tác giả đã áp dụng
các kiểu mơ hình được trình bày trong các chương trước vào định giá
quyền chọn của cổ phiếu IBM và so sánh chúng với giá quyền chọn
bằng mơ hình Black-Scholes. Các ví dụ được trình bày trong luận văn
đều sử dụng phần mềm R để phân tích. Đây là phần mềm hồn tồn
miễn phí nhưng các kết quả thu được lại rất tốt cho việc phân tích và
dự báo. Phần mềm R có thể chạy trên nhiều hệ điều hành, sử dụng
ngơn ngữ lập trình hiện đại và đang được sử dụng rất phổ biến trên
thế giới.


Mục lục
Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Chương 1. Những khái niệm ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Mơ hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1. Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2. Đánh giá về mơ hình ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Lợi suất cổ phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1. Cấu trúc của mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2.2. Moment khơng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.7. Ưu và nhược điểm của mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

iv


v

Chương 3. Mơ hình GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.1. Cấu trúc mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.1. GARCH được biểu diễn như là ARCH (∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.2.3. Moment khơng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2.4. Độ nhọn của mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.4. Kiểm định mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.5. Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.6. Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.7. Ưu điểm và nhược điểm của mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chương 4. Mơ hình GARCH-M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.1. Cấu trúc mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.3. Ước lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.4. Kiểm định mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.5. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.6. Một vài lưu ý khi áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Chương 5. Mơ hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.1. Cấu trúc mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.2.1. Sự biểu diễn hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.2.2. Điều kiện dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.2.3. Moment khơng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

5.2.4. Dáng điệu của đi mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.3. Ước lượng và kiểm định mơ hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.5. Ưu và nhược điểm của mơ hình TGARCH . . . . . . . . . . . . . . .

62


vi

Chương 6. Ứng dụng của các kiểu mơ hình ARCH trong việc định
giá quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1. Hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

6.2. Dữ liệu và phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.3. Kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74


Danh sách hình vẽ
1.1

Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013) . . . 4

1.2

Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn . . 7

1.3

Biểu đồ lợi suất hàng tuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1

Đồ thị ACF của lợi suất hàng tuần (IBM) . . . . . . . . . . . 18

2.2

Đồ thị PACF của bình phương lợi suất . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4

Lợi suất thực tế với 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 20

2.5

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7

Đồ thị QQ-norm của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.9

Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 24

2.10 Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình

phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Đồ thị QQ-std của phần dư tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . 26
2.13 Giá trị dự báo của ARCH trong 10 bước . . . . . . . . . . . 27
2.14 Đồ thị mô phỏng chuỗi lợi suất . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.15 Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vii


viii

3.1

Độ lệch chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2

Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 41

3.3

Đồ thì QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình

phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6

Kết quả dự báo của GARCH trong 10 bước . . . . . . . . . 44

3.7

Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 46

3.8

Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2

Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 52

4.3

Đồ thị QQ-std của phần dư trung bình . . . . . . . . . . . . 52

4.4

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6

Kết quả dự báo GARCH-M trong 10 bước . . . . . . . . . . 54

5.1

Sai số chuẩn có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2

Lợi suất thực tế và 2 đường giới hạn tin cậy . . . . . . . . . 60

5.3

Đồ thị QQ-std của phần dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4

Phần dư và phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5

Các hệ số tương quan của phần dư chuẩn hóa và bình
phương phần dư chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6

Chuỗi lợi suất thực tế và chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . 63

5.7

Phân bố của chuỗi mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Danh sách bảng
6.1

Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $190 bằng các
kiểu mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2

Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $195 bằng các
kiểu mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.3

Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $200 bằng các
kiểu mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4

Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $205 bằng các
kiểu mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.5

Dự báo giá quyền chọn với giá thực thi $210 bằng các
kiểu mơ hình ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.6

Dự báo giá quyền chọn bằng mơ hình Black-Scholes . . . 72

1


Chương 1
Những khái niệm ban đầu
1.1. Quá trình dừng
1.1.1. Quá trình ngẫu nhiên
Cho (Ω, F, P) là khơng xác suất; BR là σ− trường Borel trên R
Định nghĩa 1.1. Một quá trình ngẫu nhiên { X (t); t ∈ R} là một hàm hai
biến xác định trên R × Ω và là hàm đo được đối với σ− trường BR × F
Giả sử X (t), t ∈ T là một q trình (ngẫu nhiên), trong đó T là
tập chỉ số thời gian. Tập chỉ số T có thể là tập thời gian liên tục R =
(−∞; +∞); R+ = [0; +∞) hoặc rời rạc Z = {0; ±1; ±2; ...}
Định nghĩa 1.2. Quá trình X (t), t ∈ R được gọi là một quá trình cấp 2
nếu E| X (t)|2 < ∞; ∀t ∈ R

1.1.2. Hàm trung bình và hàm hiệp phương sai
Định nghĩa 1.3. Hàm trung bình của quá trình ngẫu nhiên X (t) kí hiệu là
m(t) và được tính theo cơng thức m(t) = EX (t).
Hàm hiệp phương sai của q trình ngẫu nhiên kí hiệu là r (s, t) và được
tính theo cơng thức

r (s; t) = Cov [ X (s) ; X (t)] = E [( X (s) − m (s)) ( X (t) − m (t))]
.


3

Định lí 1.1. Hàm hiệp phương sai r (s; t) là đối xứng và xác định không âm,
tức là
1. r (s; t) = r (t; s), ∀s, t ∈ T
n

n

2. ∀n ∈ N, ∀t1 ; t2 ; ...tn ∈ T, ∀b1 , b2 , ...bn ∈ R thì ∑ ∑ bi b j r ti ; t j ≥ 0
i =1 j =1

1.1.3. Quá trình dừng
Định nghĩa 1.4. Giả sử X (t) là quá trình cấp 2. X (t) được gọi là quá trình
dừng nếu hàm trung bình m(t) là hằng số và hàm hiệp phương sai r (s; t) chỉ
phụ thuộc vào s − t hay r (s; s + h) không phụ thuộc và s với mỗi h ∈ R
Nói cách khác q trình X (t), t ∈ R là q trình dừng nếu nó có
cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai với quá trình Y (t) =
X ( t + h ), ∀ h ∈ R
Định nghĩa 1.5. Quá trình X (t), t ∈ R được gọi là quá trình dừng mạnh
(hay dừng theo nghĩa hẹp) nếu với mọi h ∈ R, và với mọi t1 < t2 < .. < tn
thì hàm phân phối đồng thời của { X (t1 + h); X (t2 + h); ...; X (tn + h)} và
của { X (t1 ); X (t2 ); ...; X (tn )} là như nhau.
Điều đó có nghĩa là phân phối hữu hạn chiều không thay đổi khi
ta tịnh tiến bộ chỉ số thời gian (t1 ; t2 ; ..; tn )
Định nghĩa 1.6. Chuỗi thời gian { X (t), t ∈ T } hay X (t), t ∈ T là tập hợp

các giá trị quan sát theo thời gian t, t ∈ T về cùng một đối tượng. Nếu T là
tập rời rạc thì X (t) được gọi là chuỗi thời gian rời rạc. Nếu T là liên tục thì
X (t) được gọi là chuỗi thời gian liên tục.
Định nghĩa 1.7. Chuỗi thời gian X (t) được gọi là dừng nếu X (t) là q
trình dừng.
Ví dụ về chuỗi thời gian


4

Hình 1.1: Giá cổ phiếu IBM hàng tuần (3/1/2000 - 21/10/2013)
(Số liệu được lấy từ )

1.1.4. Hàm tự tương quan và hàm tương quan riêng
Định nghĩa 1.8. Cho { X (t)} là chuỗi thời gian dừng. Hàm tự hiệp phương
sai (ACVF) với độ trễ h của { X (t)} là
r (h) = Cov( X (t); X (t + h))
Hàm tự tương quan ( ACF ) của { X (t)} với độ trễ h là
ρ (h) =

r (h)
r (0)

Hàm tương quan riêng ( PACF ) kí hiệu là ρkk và được tính theo cơng thức
ρkk = Corr (Yt , Yt−k |Yt−1 , Yt−2 , .., Yt−k+1 )


5

1.2. Mơ hình ARMA

1.2.1. Q trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA
Định nghĩa 1.9. Quá trình ngẫu nhiên { Zt ; t ∈ T } được gọi là dãy ồn
trắng, kí hiệu { Zt } ∼ WN 0; σ2 nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
EZt Zs = 0, ∀t = s
EZt = 0; EZt2 = σ2 ; ∀t ∈ T
Định nghĩa 1.10. Quá trình ngẫu nhiên { Xt ; t ∈ T } được gọi là quá trình
tự hồi quy cấp p, kí hiệu Xt ∼ AR ( p) nếu { Xt ; t ∈ Z} thỏa mãn
Xt = a0 + a1 Xt−1 + a2 Xt−2 + ... + a p Xt− p + Zt ; a p = 0
Trong đó { Zt } ∼ W N 0; σ2
Điều kiện để quá trình AR( p) dừng là các nghiệm của phương
p

trình đặc trưng 1 − ∑ ai Li = 0 nằm ngồi vịng trịn đơn vị.
i =1

Định nghĩa 1.11. Quá trình ngẫu nhiên { Xt , t ∈ T } được gọi là quá trình
trung bình trượt cấp q, kí hiệu Xt ∼ MA (q) nếu thỏa mãn
Xt = Zt + b1 Zt−1 + b2 Zt−2 + ... + bq Zt−q
Trong đó { Zt } ∼ W N 0; σ2 ,bi ∈ R, bq = 0
Điều kiện để quá trình MA(q) khả nghịch là các nghiệm của phương
q

trình đặc trưng 1 + ∑ bi Li = 0 nằm ngồi vịng trịn đơn vị.
i =1

Định nghĩa 1.12. { Xt } là một quá trình trung bình trượt tự hồi quy cấp
(p;q), kí hiệu Xt ∼ ARMA( p; q) nếu { Xt } thỏa mãn
Xt − φ1 Xt−1 − φ2 Xt−2 − ... − φ p Xt− p = φ0 + Zt + θ1 Zt−1 + θ2 Zt−2 + ... + θq Zt−q
Trong đó { Zt } ∼ WN 0; σ2
Quá trình ARMA( p, q) dừng khi và chỉ khi các nghiệm của phương

p

trình đặc trưng 1 − ∑ φi Li = 0 nằm ngồi vịng trịn đơn vi.
i =1


6

1.2.2. Đánh giá về mơ hình ARMA
Mơ hình ARMA thu được thành công lớn khi áp dụng cho các
chuỗi thời gian xuất phát từ các lĩnh vực khoa học tự nhiên và kỹ
thuật nhưng thất bại khi áp dụng cho các chuỗi thời gian kinh tế và
tài chính. Nguyên nhân chính là giả thiết về mặt tốn học phương
sai của các chuỗi thời gian tài chính khơng thay đổi theo thời gian là
khơng phù hợp. Vì vậy mơ hình ARMA có thể dự báo được kỳ vọng
nhưng thất bại khi dự báo phương sai của chuỗi thời gian tài chính
như dãy lợi nhuận của một tài sản (cổ phiếu). Đã có nhiều ví dụ thể
hiện rõ sự khơng phù hợp của mơ hình ARMA đối với chuỗi thời gian
tài chính.
Mặc dù mơ hình ARMA tỏ ra khơng phù hợp với chuỗi thời gian
tài chính nhưng những kỹ thuật mà nó cung cấp là một cơ sở rất quan
trọng và mang lại nhiều gợi ý cho các cơng trình nghiên cứu về chuỗi
thời gian sau Box-Jenkins. Chính Box-Jenkins là những người đầu tiên
đưa ra các kỹ thuật lấy sai phân để khử khuynh hướng tất định nhằm
tăng khả năng dừng của một chuỗi thời gian. Với những vận dụng
sáng tạo khái niệm khuynh hướng này, những người nghiên cứu đi
sau Box - Jenkins đã cho ra đời hai lớp mơ hình rất quan trọng đối
với chuỗi thời gian tài chính. Đó là mơ hình cộng tích, Cointegration
(Granger,1981) và mơ hình phương sai có điều kiện thay đổi tự hồi quy
ARCH. Mơ hình ARCH là cống hiến mang tính khai phá của Engle,

nó có thể giải thích sự bất thường của phương sai mà chỉ sử dụng
những thông tin quá khứ của bản thân nhiễu. Mơ hình ARCH và một
số mở rộng của nó sẽ được tác giả lần lượt trình bày trong các chương
tiếp theo của luận văn.

1.3. Lợi suất cổ phiếu
Trong thực tế, có rất nhiều dữ liệu tài chính như chuỗi lợi suất cổ
phiếu được coi như một là chuỗi thời gian . Tuy vậy, việc nắm bắt được
các đặc trưng của chuỗi thời gian tài chính là điều rất khó khăn. Trong


7

mục này tác giả sẽ trình bày một số tính chất đặc trưng của lợi suất và
cố gắng minh họa điều đó bằng những ví dụ.
• Chuỗi lợi suất có phần đi nặng hơn chuỗi có phân phối chuẩn.

So sánh đồ thị mật độ của chuỗi lợi suất với mật độ phân phối
chuẩn có cùng trung bình và phương sai, ta có thể thấy rằng
chuỗi lợi suất có phân bố cao hơn và gầy hơn nhưng có phần
đế rộng hơn so với mật độ phân bố chuẩn.

Hình 1.2: Biểu đồ phân bố lợi suất hàng tuần và phân phối chuẩn

Hình 1.3: Biểu đồ lợi suất hàng tuần


8
• Mặc dù những biến động của tập các giá trị lợi suất ta khơng

quan sát được nhưng chúng có những tính chất đặc trưng là xu
hướng bầy đàn. Tức là lợi suất có thể biến động cao trong những
thời kì này và thấp trong các thời kì khác.
Nhìn vào biểu đồ 1.3 ta thấy, lợi suất hàng tuần của cổ phiếu IBM
cao vào giai đoạn (2000-2003) và (2007-2009)- khi cuộc khủng
hoảng kinh tế bắt đầu. Trong suốt từng thời kì những sự thay
đổi lớn thường được xuất hiện theo sau những sự thay đổi lớn.
Lợi suất IBM tương đối ổn định (ít có sự thay đổi lớn) trong giai
đoạn (2003-2007)
• Những biến động của lợi suất có tính chất địn bẩy. Điều đó có

nghĩa là độ biến động của lợi suất thường xuất hiện để tác động
trở lại sự tăng hay giảm của giá cả.
• Lợi suất biến động theo thời gian theo cơ chế liên tục, tức là ít có

các bước nhảy của độ biến động lợi suất
• Lợi suất khơng phân kì đến vơ vùng, nghĩa là lợi suất biến thiên

trong một miền xác định nào đó. Về mặt tốn học thì lợi suất tài
sản thường là một chuỗi dừng.


Chương 2
Mơ hình ARCH
Các mơ hình kinh tế truyền thống thường giả định rằng phương
sai ở các thời kì dự báo là bất biến. Tuy nhiên, trong thực tế điều này
khơng thật sự đúng đắn. Vì thế Robert Engle đã đề xuất một mơ hình
mới để phù hợp với các q trình có gia số độc lập mà ở đó phương sai
có thể thay đổi theo thời gian nhưng vẫn thỏa mãn phương sai khơng
có điều kiện là hằng số. Mơ hình này được ơng giới thiệu lần đầu tiên

vào năm 1982 [15] và được gọi là mơ hình phương sai có điều kiện của
sai số thay đổi tự hồi quy ( ARCH ).

2.1. Cấu trúc của mơ hình
Cho { Xt } là chuỗi thời gian
Định nghĩa 2.1. Mơ hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi
quy bậc p, kí hiệu ARCH ( p) là mơ hình có dạng
Xt = g( Ft−1 ; b) + at , at = ε t .σt
σt2 = Var ( at | Ft−1 ) = h( at−1 ; ..; at− p ; α)
Trong đó g( Ft−1 ; b) là hàm của Ft−1 và vectơ tham số b; Ft−1 là tập
hợp các thơng tin có được cho tới thời điểm t − 1; p được gọi là bậc
của mơ hình ARCH


10

Var ( at | Ft−1 ) là phương sai của at với điều kiện Ft−1 và là hàm xác
định không âm, phụ thuộc vào thời gian và tham số α
ε t là dãy độc lập cùng phân phối với trung bình = 0, phương sai =1
at được gọi là cú sốc hay phần dư của Xt tại thời điểm t
Định nghĩa 2.2. Mơ hình ARCH được gọi mơ hình tuyến tính bậc p, kí
hiệu ARCH ( p) nếu
p

σt2

= α0 + ∑ αi a2t−i ; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1

(2.1.1)

i =1

Định nghĩa 2.3. Mơ hình ARCH được gọi là mơ hình tuyến tính bậc vơ
cùng, kí hiệu ARCH (∞) nếu
∞

σt2 = α0 + ∑ αi a2t−i ; α0 > 0; αi ≥ 0, ∀i ≥ 1
i =1

Mô hình ARCH ( p) tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong việc
mơ hình hóa chuỗi tài chính vì có khả năng nắm bắt các tính chất của
biến động và thể hiện nó một cách đơn giản .

2.2. Tính chất
2.2.1. Sự biểu diễn tự hồi quy và hiệp phương sai dừng
Giả sử at Ft−1 ∼ N 0; σt2 tức là phân bố của at với điều kiện Ft−1
là phân bố chuẩn có trung bình 0 và phương sai σt2 . Đặt ηt = a2t − σt2 .
Ta có Eηt = 0 và ηt là không tương quan (Tsay, 2005, trang 107). Khi
đó phương trình (2.1.1) có dạng
p

a2t

= α0 + ∑ αi a2t−i + ηt

(2.2.1)

i =1

Như vậy a2t là một quá trình tự hồi quy bậc p ( AR( p)). Tính chất này

rất hữu ích trong việc xác định bậc p phù hợp với mơ hình ARCH cũng


11

giống như việc xác định các giá trị quan trọng khác là trung bình và
phương sai.
Định lí 2.1. Q trình ARCH ( p) có hiệp phương sai dừng nếu và chỉ nếu
p

tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng 1 − ∑ αi zi = 0 nằm ngoài
i =1

đường trịn đơn vị. Khi đó, phương sai (khơng điều kiện) của dãy phần dư at
là
α0
Var ( at ) = E a2t =
p
1 − ∑ αi
i =1

Chứng minh 2.1.
.
Đặt W t = a2t ; a2t−1 ; ..; a2t− p ; b = (α0 ; 0; ...; 0) và


α1 α2 ... α p 0
 1 0 ... 0 0 





A =  0 1 ... 0 0  là ma trận cấp ( p + 1).( p + 1)


 .. .. .. .. .. 
0 0 ... 1 0
Khi đó E (wt | Ft−1 ) = b + Awt−1
Thực hiện một cách liên tiếp ta có:
E (wt | Ft−k ) = b + AE (wt−1 | Ft−k )
= b + A (b + AE (wt−2 | Ft−k ))
= b + Ab + A2 ((b + AE (wt−3 | Ft−k ))
= ...
.

= I + A + A2 + ... + Ak−1 b + Ak wt−k
Biểu thức này độc lập với t nên với mọi giá trị của t ta đều có cùng một
phương sai. Giới hạn của biểu thức E (wt | Ft−k ) khi k tiến ra vô cùng
tồn tại khi và chỉ khi các giá trị riêng của A nằm phía trong đường trịn
đơn vị hay các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ngồi vịng
trịn đơn vị (Anderson (1994) trang 177 [7])


12

Khi đó lim E (wt | Ft−k ) = ( I − A)−1 b. Vì vậy
k→∞

α0

E a2t =

p

1 − ∑ αi
i =1

2.2.2. Moment khơng có điều kiện
Moment của ARCH ( p) có thể tìm được bằng cách sử dụng luật kì
vọng có điều kiện. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên, khi đó
E ( X ) = E ( E ( X |Y ))
Với giả thiết at Ft−1 ∼ N 0; σt2 ta có
E ( at ) = E ( E ( at | Ft−1 )) = 0
Theo chứng minh ở mục 2.2.1 , với mỗi quá trình dừng ARCH ( p) ta
α0
. Những moment bậc cao của at có
có Var ( at ) = E a2t =
p
1 − ∑ αi
i =1

thể khơng tồn tại, và nếu có tồn tại thì cơng thức của chúng là tương
đối phức tạp ngay cả với những q trình có bậc thấp. Engle (1982)
[15] đã chứng minh rằng với mơ hình ARCH (1) moment cấp 2m tồn
m

tại nếu và chỉ nếu α1m ∏ (2j − 1) < 1

(2.2.2).

j =1

Engle cũng đã đưa ra cơng thức tính moment cấp 4 của at là
E a4t =

3α20 (1 + α1 )
(1 − α1 ) 1 − 3α21

Trong Tsay (2005)[24], tác giả đã trình bày một cách chứng minh đơn
giản như sau:
Cho mơ hình ARCH (1) thỏa mãn (2.2.2), ε t ∼ N (0; 1). Ta có
E a4t | Ft−1 = E ε4t σt4 | Ft−1 = σt4 E ε4t | Ft−1 = σt4 E ε4t
2

= 3 α0 + α1 a2t−1 = 3 α20 + 2α0 α1 a2t−1 + α21 a4t−1
(ε t là độc lập cùng phân phối)
Vì vậy,


13

E( a4t ) = E( E a4t | Ft−1 ) = 3E α20 + 2α0 α1 a2t−1 + α21 a4t−1

= 3 α20 + 2α0 α1 E a2t−1 + α21 E a4t−1
= 3 α20 + 2α0 α1 E a2t + α21 E a4t
α
= 3 α20 + 2α0 α1 0 + α21 E a4t
1 − α1
3α20 (1 + α1 )
2 < 1 vì E a4

với
điều
kiện
0
≤
α
Từ đó, E a4t =
t
1
3
(1 − α1 ) 1 − 3α21
xác định dương.
Bằng những biến đổi đại số đơn giản ta tìm được độ nhọn (khơng có
điều kiên) của ARCH (1) là
Kα =

E ( at − E ( at ))4

[Var ( at )]2

3α20 (1 + α1 )
1 − α2 1
(1 − α1 )2
=
=3
>3
.
α20
1 − 3α21
(1 − α1 ) 1 − 3α21

Do đó, at nặng đi hơn phân bố chuẩn. Tính chất này vẫn đúng cho
mơ hình ARCH tổng qt. Các cơng thức cho các mơ hình ARCH bậc
càng cao thì càng phức tạp hơn và sẽ khơng được thảo luận ở đây.

2.3. Ước lượng
Nếu at | F t−1 ∼ N 0; σt2 thì hàm hợp lí của at là
f ( at | Ft−1 ) = √

1
2πσt

e

− a2t
2σt2

Đặt α = α1 ; α2 ; ...; α p ,T là độ dài của chuỗi và
σt2 = α0 + α1 a2t−1 + ... + α p a2t− p
Phương sai có điều kiện σt2 được tính đệ quy. Hàm hợp lí (có điều
kiện) của mơ hình ARCH ( p) là
T

f a p+1 , ..., a T α, a1 , ..., a p =

∏

t = p +1

√

1
2πσt

− a2t
2
e 2σt


14

Lấy logarit cơ số tự nhiên của hàm hợp lí (có điều kiện) của q trình
ARCH ( p) ta thu được
T

l=−

∑

t = p +1

1
1
1
ln (2π ) + ln σt2 +
2
2
2

a2t

σt2

(2.3.1)

Giải phương trình đạo hàm bậc 1 của (2.3.1) cho ta ước lượng hợp lí
cực đại của vectơ tham số α. Engle (1982) [15] đã đưa ra biểu thức
của ma trận thông tin Fisher . Với điều kiện chuẩn các khối ngồi
T
1 ∂σt2 ∂σt2
đường chéo của ma trận thơng tin là ∑ E
. Ở đây α
2σt4 ∂α ∂g
t = p +1
là vectơ tham số của phương sai điều kiện, g = g ( Ft−1 , b) là hàm trung
bình. Theo định nghĩa của Engle (1982)[15], quá trình ARCH ( p) là đối
xứng, tức là mơ hình ước lượng phương sai có điều kiện của những
cú sốc dương (tích cực) và âm (tiêu cực) là như nhau. Với mọi quá
trình ARCH ( p) chính quy và đối xứng thì các khối ngồi đường chéo
bằng 0 (Engle,1982). Điều này có nghĩa là những ước lượng và kiểm
định của α và g ( Ft−1 , b) có thể được tiến hành một cách riêng biệt.
Engle đã đề xuất một quy trình ước lượng của mơ hình ARCH mà ở
đó tham số b của ( Ft−1 , b) là ước lượng ban đầu theo bình phương bé
nhất của phần dư at . Khi đó ước lượng hiệu quả α của α được tìm ra
bằng phương pháp ước lượng hợp lí cực đại ( MLE). Uớc lượng hiệu
quả của b được xây dựng bằng cách sử dụng α . Từ đó ta thu được
một tập hợp mới gồm các số dư của at . Các bước này được lặp đi lặp
lại cho đến khi hội tụ và cho ta các ước lượng hợp lí cực đại của b và α.
Sự ước lượng mơ hình ARCH ( p) được nói ở trên là dựa vào giả
thiết phần dư at có phân phối chuẩn. Tuy nhiên giả thuyết này có thể
khơng đúng và l khơng cịn được biểu diễn như trên. Weiss (1986)[25]

đã chỉ ra rằng, thậm chí khi điều kiện phân phối chuẩn bị vi phạm,
miễn là hai moment đầu tiên được chỉ ra chính xác, việc ước lượng
tham số là phù hợp và tiệm cận chuẩn. Do đó ước lượng các tham số
có thể vẫn thực hiện được bằng cách cực đại l và được gọi là ước lượng
tựa hợp lí cực đại (QMLE) . Đối với phân phối có điều kiện đối xứng,
QMLE là gần chính xác như MLE, nhưng với phân phối khơng đối


15

xứng thì sự khác biệt là tương đối lớn.

2.4. Kiểm định hiệu ứng ARCH
Bollerslev (1994) [12] nhấn mạnh rằng kiểm định hiệu ứng ARCH ( p)
được xây dựng như một kiểm định đi vì các tham số của q trình
ARCH ( p) phải lớn hơn 0 . Một cách thường được sử dụng để kiểm
định hiệu ứng ARCH ( p) là phương pháp kiểm định nhân tử Lagrange
( LM ).
H0 : α1 = α2 = ... = α p = 0
H1 : α21 + α22 + ... + α2p > 0
Theo giả thiết vô hiệu, σt2 = α0 là hằng số. Thống kê ξ, được cho bởi:
Tf0 z z z
f0

−1

f0

z f0

= TR2

Trong đó zt = 1, a2t−1 , .., a2t− p , z = z1 , .., z T và f 0 là véc tơ cột của
a2t
−1 .
α0
R2 là bình phương mối tương quan bội giữa f 0 và z, T là kích thước
mẫu. Theo giả thết, ξ là tiệm cận theo một phân phối χ-bình phương
với p bậc tự do. Engle (1982 ) [15] cho rằng đây là một bài kiểm định
tiệm địa phương mạnh nhất, tương tự như kiểm định khả năng hợp
lí và kiểm định Wald. Ý tưởng của bài kiểm định rất đơn giản, nếu có
hiệu ứng ARCH thì những cú sốc at sẽ dự đốn được (ví như những
cú sốc lớn được theo sau bởi những cú sốc lớn) ngược lại nó sẽ biến
đổi một cách ngẫu nhiên và khơng thể dự đốn được . Nếu chúng ta
có thể mơ hình hóa biến động một cách thích hợp , thì những gì cịn
lại khơng giải thích được trong mơ hình (như là các số dư) sẽ xuất
hiện như một quá trình ngẫu nhiên . Chúng ta có thể sử dụng kiểm
định để kiểm tra hiệu ứng ARCH trước khi cố gắng mơ hình hóa biến
động , và sau đó thực hiện kiểm định lại mơ hình mà ta vừa lắp vào