Một số quá trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hồng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
CĨ BƯỚC NHẢY

DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
_______________________

Hồng Thị Phương Thảo

MỘT SỐ Q TRÌNH NGẪU NHIÊN
CĨ BƯỚC NHẢY
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê tốn học
Mã số: 62460106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TRẦN HÙNG THAO

Hà Nội - 2015

Lời cam đoan
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các
số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai
cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.

Nghiên cứu sinh

Hoàng Thị Phương Thảo


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập nghiên cứu để hồn thành được luận án
Tiến sĩ này tơi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ các thầy cô giáo,
bạn bè đồng nghiệp và gia đình tơi. Người đầu tiên tôi muốn gửi lời cảm
ơn chân thành nhất là PGS. TS Trần Hùng Thao, người Thày đã và
đang hướng dẫn, đào tạo tôi nghiên cứu khoa học rất nhiệt tình. Thày
khơng chỉ giúp tơi ngày càng có thêm niềm say mê nghiên cứu khoa học,
thày cịn cho tơi rất nhiều lời khuyên trong cuộc sống.
Tiếp theo tôi muốn bày tỏ những lời cảm ơn tới các thành viên
trong Bộ mơn Xác suất Thống kê , Khoa Tốn Cơ Tin học đã thường
xuyên giúp tôi, cho tôi những lời khuyên chân thành trong quá trình làm
bản luận án này. Đặc biệt tôi đã được tham gia xê mi na của Bộ môn
Xác suất Thống kê, qua xê mi na tôi đã trau dồi, mở rộng thêm kiến
thức và các thầy trong bộ môn đã luôn cho tôi những lời nhận xét quý
báu trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình.
Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám đốc Đại
học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên,
Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Phịng sau đại học đã tạo những
điều kiện thuận lợi để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tơi hồn thành thủ

tục bảo vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến những người thân trong gia
đình, họ hàng, bạn bè thân thiết, những người đã luôn bên cạnh động
viên giúp đỡ tôi, để tơi hồn thành luận án này.
Hà nội, 01/2015
NCS: Hồng Thị Phương Thảo.


Mục lục
Lời cam đoan

1

Lời cảm ơn

2

Bảng ký hiệu

4

Mở đầu

5

1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1

12

Quá trình điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1

Quá trình điểm một biến . . . . . . . . . . . . . .

13

1.1.2

Quá trình điểm nhiều biến . . . . . . . . . . . .

13

1.1.3

Quá trình Poisson ngẫu nhiên kép hay quá trình
Poisson có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Đặc trưng Wantanabe . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2

Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3

Quá trình Poisson phức hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4

Tích phân ngẫu nhiên đối với q trình có bước nhảy . .

21

1.5

Cơng thức Itơ đối với q trình có bước nhảy . . . . . .

22

1.1.4

1.6

1.5.1

Công thức Itô đối với q trình Poisson tiêu chuẩn 23

1.5.2

Cơng thức Itơ đối với quá trình Poisson phức hợp

23

1.5.3

Trong trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . .

24

Quá trình ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . . . . .

26

1.6.1

26

Chuyển động Brown phân thứ . . . . . . . . . . .
1


1.6.2

Xấp xỉ L2 -semimartingale . . . . . . . . . . . . .

27

1.6.3

Tích phân ngẫu nhiên phân thứ và phương trình
vi phân ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .

28

2 Q trình có bước nhảy và bài tốn rủi ro tín dụng
2.1

Mơ hình có bước nhảy điều khiển bởi một martingale
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Phá sản tại thời điểm t khi cơng ty có một khoản
nợ L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Phá sản khi có n khoản nợ L1 , L2 , ..., Ln . . . . .

34

Mơ hình có bước nhảy điều khiển bởi một chuyển động
Brown và một quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.1

Xác suất phá sản khi cơng ty có một khoản nợ . .

38

2.2.2

Phá sản khi cơng ty có nhiều khoản nợ . . . . . .

39

Mơ hình có bước nhảy điều khiển bởi một chuyển động
Brown và một quá trình Poisson phức hợp . . . . . . . .

42

2.3.1

Cơng ty có một khoản nợ . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.2

Trường hợp cơng ty có nhiều khoản nợ . . . . . .

47

2.1.1

2.1.2
2.2

2.3

3 Q trình có bước nhảy và q trình phân thứ
3.1

Các q trình phân thứ có bước nhảy . . . . . . . . . . .
3.1.1

55
55

Chuyển động Brown phân thứ hình học có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Quá trình Ornstein-Uhlenbeck phân thứ có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Phương trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có bước
nhảy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

Ước lượng độ biến động ngẫu nhiên phân thứ với quan

sát là q trình có bước nhảy . . . . . . . . . . . . . . .

66

3.2.1

67

3.1.2
3.1.3
3.2

30

3.2.2

Xấp xỉ ngẫu nhiên phân thứ . . . . . . . . . . .
Ước lượng Vt ,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

70


3.2.3

Ước lượng Vt ,2 và Vt . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.2.4
3.2.5

Sự hội tụ của Vt tới nghiệm Vt . . . . . . . . . .
Ước lượng độ biến động Vt . . . . . . . . . . . . .

74
75

Danh mục các cơng trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án
78
Tài liệu tham khảo

79

3


Bảng ký hiệu
P- h.c.c
Sự hội hầu chắc chắn
L2 (Ω, F, P ) Tập hợp các lớp tương đương các hàm
bình phương khả tích
.
Γ(α)
N (0, 1)
L2 − lim

Chuẩn trong khơng gian L2 (Ω, F, P )
Hàm Gamma
Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc
Sự hội tụ trong L2

C(S)

Không gian các hàm ngẫu nhiên liên tục
trên không gian S.
Không gian các hàm ngẫu nhiên bị chặn trên S
Phần nguyên của x

C b (S)
[x]

4


Mở đầu
Một q trình có bước nhảy là một q trình ngẫu nhiên mà các
quỹ đạo của nó bị gián đoạn bởi các bước nhảy.
Về mặt lịch sử thì đầu tiên, người ta nghiên cứu các hệ động lực ngẫu
nhiên điều khiển bởi chuyển động Brown mà lời giải là các q trình có
quỹ đạo liên tục. Tuy nhiên trong các ứng dụng thực tế thì nhiều khi các
hệ động lực ấy không phản ánh đúng sự thực những sự kiện quan sát
được. Thay vào đó người ta nhận thấy các q trình có bước nhảy đáp
ứng được tốt hơn sự mơ tả các hiện tượng đó. Chẳng hạn, các q trình
có bước nhảy đóng vai trị hết sức quan trọng trong tất cả các lĩnh vực
tài chính. Đóng góp cho sự phát triển của các mơ hình ngẫu nhiên có
bước nhảy phải kể đến những thành tựu của lý thuyết Semimartingale

và cả năng lực tính tốn hiện đại của cơng nghệ thơng tin.
Q trình có bước nhảy đơn giản nhất là q trình có một bước nhảy.
Gọi T là một thời điểm ngẫu nhiên, thơng thường đó là một thời điểm
dừng ứng với một bộ lọc (Ft , t ≥ 0) nào đó.
Xt = 1{T ≤t} ,

(1)

q trình này có giá trị bằng 0 trước khi một sự kiện nào đó xảy ra tại
thời điểm T và bằng 1 sau đó. Nó cũng mơ tả thời điểm phá sản của
một cơng ty trong việc mơ hình hóa rủi ro tín dụng.
Tiếp theo là các q trình có giá trị nguyên và có cỡ bước nhảy chỉ bằng
1, gọi là q trình đếm (Xt , t ≥ 0). Đó là q trình mơ tả số các biến cố
xảy ra trong khoảng thời gian từ 0 đến t. Quá trình đếm điển hình là quá
trình Poisson (Nt , t ≥ 0), trong đó Nt có phân phối Poisson với tham số
5


λt. Người ta cũng có thể mơ tả q trình đó bằng cách cho khoảng thời
gian giữa hai bước nhảy là biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố mũ
với tham số λ.
Sự mở rộng tiếp theo là các quá trình Poisson phức hợp (Xt , t ≥ 0), tức
là các quá trình với gia số độc lập, dừng và có cỡ bước nhảy khơng phải
là 1 nữa mà là các biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất µ nào đó.
Nt

Yk ,

Xt =

(2)

k=1

trong đó (Y1 , Y2 , ...) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
µ.
Một ứng dụng điển hình của q trình Poisson phức hợp là mô tả tổng
số tiền mà công ty bảo hiểm phải trả cho khách hàng tại thời điểm t,
tại thời điểm ấy số khách hàng đòi trả bảo hiểm là biến ngẫu nhiên có
phân bố Poisson.
Bên cạnh đó người ta cũng chú ý đến quá trình đối trọng của Xt , tức là
quá trình Xt − E[Xt ]. Nếu phân phối µ có kỳ vọng hữu hạn thì vì Xt có
gia số độc lập, dừng nên ta có E[Xt ] = tE[X1 ] và do đó ta có biểu diễn
Xt = (Xt − E[Xt ]) + tE[X1 ].

(3)

Quá trình đối trọng (Xt − E[Xt ]) là một martingale nên tổng của (3) là
tổng của một martingale và một dịch chuyển tuyến tính tE[X1 ].
Biểu diễn (3) ở trên gợi ý đến một định nghĩa tổng quát về quá trình
semimartingale
Xt = X0 + Vt + Mt ,

(4)

trong đó V = (Vt , t ≥ 0) là một q trình thích nghi, càdlàg và có biến
phân hữu hạn, cịn M = (Mt , t ≥ 0) là một martingale địa phương.
Cũng có những q trình khơng phải là semimartingale, một ví dụ quan
trọng đó là q trình chuyển động Brown phân thứ.
Hệ thức (4) nói chung khơng phải là duy nhất, nó sẽ là duy nhất với

6


một q trình V là khả đốn, nếu ta xét các semimartingale đặc biệt,
tức là các semimartingale đã bỏ đi các bước nhảy có giá trị tuyệt đối
lớn hơn 1. Điều đó rút ra từ sự kiện là mỗi một semimartingle với bước
nhảy giới nội là thuộc loại "đặc biệt".
Kí hiệu ∆Xt = Xt − Xt− là bước nhảy của Xt tại thời điểm t thì
Xt −

∆Xs 1|∆Xs |>1
s≤t

là một q trình có bước nhảy giới nội.
Chú ý rằng, mọi martingale địa phương M (với M0 = 0) có một
biểu thức phân tích trực giao duy nhất thành một martingale địa phương
M c với quỹ đạo liên tục và một martingale địa phương với quỹ đạo gián
đoạn M d . Giả sử X0 = 0 thì biểu diễn duy nhất của semimartingale sẽ
là:
X t = Vt + M c + M d +

∆Xs 1(|∆Xs |>1) .
s≤t

Sự phát triển tiếp theo là các q trình Lévy. Đó là các q trình có số
gia độc lập và dừng. Đây chính là sự mở rộng sát sao nhất của các quá
trình Wiener và q trình Poisson với cơng thức Lévy-Khintchine nổi
tiếng:
ϕ (u) : = E [exp (iuXt )]
1

= exp iub − u2 c +
2

eiux − 1 − iux1(|x|≤1) γ (dx) ,

trong đó γ là độ đo Lévy, b và c là các hằng số.
Cơng thức đó hình thành dựa trên một kết quả quan trọng là phân tích
Lévy sau đây đối với một quá trình Lévy (Xt , t ≥ 0):
Xt = Wt +

x (Nt (., dx) − tγ (dx)) + αt

|x|<1

+

∆Xs 1(|∆Xs |≥1) ,
0≤s≤t

7


trong đó Wt là một chuyển động Brown, Nt (ω, dx) = { số các s < t :
∆Xs (ω) ∈ dx} còn NtA = Nt (., dx) là một quá trình Poisson độc lập
A

với Bt , với A là một tập bất kỳ ⊂ R \ {0} và γ(dx) là một độ đo trên
R \ {0} với min 1, x2 γ (dx) < ∞.
Luận án nghiên cứu một số q trình có bước nhảy vốn là lời giải
của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy. Gắn với các q

trình đó là sự mở rộng mơ hình Merton nhằm xác định xác suất phá sản
trong lý thuyết rủi ro tín dụng. Ngồi ra một vấn đề về ước lượng trạng
thái tối ưu của một hệ động lực ngẫu nhiên phân thứ với quan sát là các
quá trình có bước nhảy cũng được khảo sát.
Về mặt ứng dụng của các q trình ngẫu nhiên có bước nhảy trong
tài chính chúng tơi tập trung vào việc phát triển mơ hình Merton đối
với rủi ro tín dụng (Credit Risk).
Năm 1974, Robert Merton là người đầu tiên đưa ra việc mô hình
hóa định lượng rủi ro tín dụng nhằm chỉ ra xác suất phá sản (default
probability) đối với một công ty tín dụng. Vẻ đẹp của mơ hình Merton
nằm ở chỗ xem giá trị tài sản của công ty như là một quyền chọn mua
trên các tài sản của công ty đó và do đó có thể áp dụng phương pháp
định giá quyền chọn Black-Scholes.
Các giả thiết của mơ hình Merton là:
1. Giá trị tài sản của công ty Vt tuân theo phương trình
dVt
= µdt + σdZt ,
Vt
trong đó µ là lợi suất trung bình tức thời, σ là độ biến động, Zt
là quá trình điều khiển diễn biến ngẫu nhiên của Vt , thông thường
được chọn là chuyển động Brown.

2. Các khoản nợ của công ty bao gồm một khoản nợ đơn với mệnh giá
là L phải thanh toán tại một thời điểm T . Sự phát triển sau này có
8


thể đưa ra nhiều khoản nợ phải trả vào các thời điểm khác nhau.

3. Các khoản nợ được xem như là một tài sản phái sinh xây dựng trên

các tài sản của công ty. Sự phá sản xảy ra nếu tại thời điểm đáo
hạn mà VT < L.

4. Khi vỡ nợ xảy ra tài sản của công ty phải được chuyển cho bên chủ
nợ.
Sau khi mơ hình Merton ra đời, nhiều nhà nghiên cứu đã tìm cách
mở rộng và cải tiến theo nhiều cách nhằm phù hợp với thực tế và thích
nghi với những dữ liệu thị trường. Những nghiên cứu đó tập trung theo
các hướng sau đây:
1. Theo phạm vi của mơ hình Merton ngun bản thì sự phá sản chỉ
có thể xảy ra tại thời điểm đáo hạn nợ là T . Mơ hình có thể được
cải tiến bằng cách cho vỡ nợ tại những thời điểm trước T nếu giá
tài sản Vt tại thời điểm t < T khơng vượt qua được một ngưỡng Lt
nào đó. Ở đây có thể áp dụng phương pháp quyền chọn có rào cản
(barrier options). Đi tiên phong trong sự mở rộng theo hướng này
là Black và Cox. Các mơ hình thuộc loại này được gọi là các mơ
hình "Chạm Mốc Đầu tiên" (First Passage Time Models).
2. Một hướng nữa là thay thế lãi suất cố định trong mơ hình Merton
cổ điển bởi mơ hình với lãi suất ngẫu nhiên. Theo hướng này, nhiều
khi còn phải nghiên cứu tương quan giữa quá trình tài sản và quá
trình lãi suất.
3. Việc xem mọi khoản nợ như là một trái phiếu lãi suất-0 (zero coupon
bond) không phải lúc nào cũng thuận tiện. Robert Geske đã nghiên
cứu mơ hình với nhiều khoản nợ có những đặc trưng khác nhau,
9


gọi là mơ hình "Quyền chọn phức hợp Geske" (Geske Compound
Option Model).
4. Một số mơ hình khác có cấu trúc phức tạp hơn bao gồm độ biến

động ngẫu nhiên, khuếch tán có bước nhảy và cả các phương pháp
chuyển tiếp chế độ (như chuyển tiếp trơn, chuyển tiếp Markov,...)
cũng đã được nghiên cứu. Các mơ hình này góp phần giải thích
những quan sát thực tế trên thị trường một cách chính xác hơn
nhưng cũng địi hỏi những phân tích sâu sắc hơn và một số cơng cụ
tốn học phức tạp hơn.
Về phần ứng dụng trong tài chính chúng tơi kết hợp cả 4 hướng trên,
trên cơ sở phân tích lời giải của các phương trình vi phân ngẫu nhiên có
bước nhảy thể hiện giá trị tài sản của một công ty. Đó là các q trình
có dạng sau đây.
1. Q trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một martingale Poisson.
2. Quá trình ngẫu nhiên điều khiển bởi một quá trình khuếch tán có
bước nhảy.
3. Q trình ngẫu nhiên điều khiển bởi chuyển động Brown và một
quá trình Poisson phức hợp.
Gắn với các q trình đó là sự mở rộng mơ hình Merton nhằm xác định
xác suất phá sản trong lý thuyết rủi ro tín dụng.
Trong những trường hợp này các mơ hình có cấu trúc như nhau nhưng
kỹ thuật tính tốn và ước lượng xác suất phá sản thì khác nhau.
Ngồi các q trình ngẫu nhiên được xét trong các mơ hình rủi ro
tín dụng nói trên trong luận án cũng nêu ra khái niệm q trình ngẫu
nhiên phân thứ có bước nhảy. Các quá trình này phản ánh hệ động lực
ngẫu nhiên có trí nhớ và có quỹ đạo gián đoạn tại các bước nhảy. Ngồi
ra với một q trình phân thứ phản ánh nhiều hệ động lực có tác dụng
lâu dài như khủng hoảng kinh tế, chiến tranh, chính sách dài hạn của
10


nhà nước, và nhiều khi ta không quan sát trực tiếp được mà phải thơng
qua một q trình quan sát khác. Do đó luận án cũng nghiên cứu bài

tốn ước lượng trạng thái của độ biến động ngẫu nhiên phân thứ của
một hệ động lực ngẫu nhiên dựa trên các q trình quan sát có bước
nhảy là các q trình điểm. Đó thực chất là bài tốn lọc ngẫu nhiên mà
quá trình hệ thống là một quá trình ngẫu nhiên phân thứ và quá trình
quan sát là một quá trình điểm.
Luận án gồm 3 chương.
Chương 1 nêu những vấn đề chung về các q trình ngẫu nhiên
có bước nhảy như quá trình điểm, quá trình Poisson, quá trình Poisson
phức hợp, cùng các cơng cụ của giải tích ngẫu nhiên đối với q trình có
bước nhảy như tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô. Trong chương này
cũng nêu lên khái niệm q trình ngẫu nhiên phân thứ và một số tính
chất của nó.
Chương 2 dành để trình bày các q trình có bước nhảy áp
dụng vào các bài tốn rủi ro tín dụng. Chúng tơi đã phát triển bài
tốn Merton cổ điển cho các trường hợp mơ hình điều khiển bởi một
martingale Poisson, mơ hình điều khiển bởi các q trình khuếch tán có
bước nhảy, mơ hình điều khiển bởi một chuyển động Brown và một quá
trình Poisson phức hợp.
Trong Chương 3 chúng tơi xây dựng các q trình phân thứ có
bước nhảy và bài tốn ước lượng tối ưu độ biến động của một quá trình
phân thứ dựa trên các quan sát q trình có bước nhảy là các q trình
điểm.

11


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu trình bày những vấn đề về q trình ngẫu
nhiên có bước nhảy tht f (x) = f (x),

t↓0

sự hội tụ này là hội tụ đều trong S với mọi f thuộc khơng gian các
hàm thực liên tục trên S. Q trình quan sát Yt là quá trình Poisson với
cường độ λt ∈ C(S). Toán tử
1
Af = lim (Pt f − f )
t↓0 t
được gọi là toán tử sinh cực vi của nửa nhóm Pt .
Q trình tin mới
t

mt = Yt −

t

πs (λ)ds = Yt −
0

0

σs (λ)
ds.
σs (1)

Ta đã có các kết quả sau đây.
Định lý 3.5. Nếu A là toán tử sinh cực vi của nửa nhóm Pt của q
trình Feller Xt , khi đó lọc tiêu chuẩn πt (f ) = π(f (Xt )) với quá trình
quan sát là quá trình điểm Yt với cường độ λt , thỏa mãn các phương
trình sau với điều kiện πs (λ) = 0 h.c.c.

a,
t

πt (f ) = π0 (f ) +

πs (Af )ds+
0

t

πs−1 (λ)[πs− (f λ) − πs− (f )πs (λ)]dms , f ∈ Cb (S)

+
0

71


b,
t

πs−1 (λ)[πs− (λPt−s f )

πt (f ) = π0 (Pt f ) +
0

− πs− (Pt−s f )πs (λ)]dms , f ∈ Cb (S).
Định lý 3.6. Lọc chưa chuẩn hóa của quá trình Feller với quá trình
quan sát điểm, thỏa mãn các điệu kiện sau.
a,

t

σt (f ) = σ0 (f ) +

t

[σs− (λf ) − σs− (f )]dµs , f ∈ Cb (S)

σs (Af )ds +
0

0

b,
t

[σs− (λs Pt−s f ) − σs− (Pt−s f )]dµs , f ∈ Cb (S).

σt (f ) = σ0 (Pt f ) +
0

Bây giờ ta chứng minh định lý 3.4.
Chứng minh. Chúng ta biết rằng thực tế nghiệm Vt ,1 là một q trình
Ornstein-Uhlenbeck, đó là một q trình Markov và nửa nhóm của nó
được xác định bởi một họ các toán tử (Pt , t ≥ 0) trên các hàm Borel bị
chặn f (xem [38]) là:
(Pt f )(x) =

f [e
R

−bt

( α σ)2
x+
2b

1 − e−2bt y]µ(dy),

trong đó µ là độ đo Gauss chuẩn tắc trên R
1
−y 2
µ(dy) = √ exp (
)dy.
2
2π
Rõ ràng ta thấy rằng lim(Pt f )(x) = f (x) do đó Vt ,1 là một q trình
t↓0

Feller. Do đó cũng theo [38] tốn tử sinh cực vi tương ứng At được cho
bởi
( α σ)2
1
(At f )(x) = lim (Pt f − f )(x) = −bxf (x) +
f (x).
t↓0 t
2b
72

(3.2.9)

Theo định lý 3.5, ước lượng πt (f ) cho quá trình hệ thống Feller từ quá
t
trình quan sát điểm Yt = 0 λs ds + Mt được cho bởi
t

πt (f ) = π0 (f ) +

πs (Af )ds
0

t

πs−1 (λ)[πs (λf ) − πs (f )πs (λ)]dms ,

+
0

t
0 πs (λ)ds,

trong đó mt = Yt −

πt−1 = 0.

Ước lượng trạng thái chưa chuẩn hóa σt (f ) theo định lý 3.6 sẽ là
t

t

σt (f ) = σ0 (f ) +

[σs (λf ) − σs (f )]dµs ,

σs (Af )ds +
0

0

với µt = Yt − t.
Bằng cách thay Af trong những phương trình này bởi biểu thức (3.2.9)
ta có được điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.1. Ta có, khi f là hàm chỉ tiêu, f = I thì
t

Vt

,1

= V0

,1

t

−

bVs ds +
0

Vt

,1

1
ˆ s Vs ,1 ](dYs − λ
ˆ s ds). (3.2.10)
[λs Vs ,1 − λ
ˆ
λs

,1

0
t

,1

:= σt (I) = V0 −

t

,1

bVs ds +
0

3.2.3

˜ s − Vs ,1 ](dYs − ds). (3.2.11)
[λ

0

Ước lượng Vt ,2 và Vt .
Từ (3.2.6) ta thấy rằng
Vt

,2

t

,2

= V0 +

[−bVs ,2 + σαϕˆs ]ds

(3.2.12)

[−bVs ,2 + σαϕ˜s ]ds.

(3.2.13)

0

và
Vt

,2

t

,2

= V0 +
0

Chú ý 3.1. Thực tế các phương trình (3.2.12), (3.2.13) ở trên có nghiệm
hiển như sau:
Vt

,2

,2 −bt

= V0 e

t

e−b(t−s) ϕˆs ds

− σα
0

73


và

Vt

,2

t

,2 −bt

e−b(t−s) ϕ˜s ds.

− σα

= V0 e

0

Từ các phương trình (3.2.10), (3.2.11) và (3.2.12), (3.2.13) ta có
Hệ quả 3.2.
Vt = Vt

,1

+ Vt

,2

t

= V0 −

bVs ds
0

t

+

t

1

σαϕs ds +
0

Vt = Vt

λs

0
,1

+ Vt

,2

ˆ s− Vs ,1 ](dYs − λ
ˆ s ds)
[λs Vs ,1 − λ

(3.2.14)

t

= V0 − b

Vs ds
0

t

+ σα

t

ϕs ds +
0

˜ s− − Vs ,1 ](dYs − ds),
[λ

(3.2.15)

0

trong đó ta giả thiết rằng V0 ,1 + V0 ,2 = V0 và V0 ,1 + V0 ,2 = V0 .
3.2.4

Sự hội tụ của Vt tới nghiệm Vt

Giả thiết rằng Vt và Vt là các nghiệm của (3.2.1) và (3.2.3), ta có

mệnh đề sau
Mệnh đề 3.1. Vt hội tụ đều theo t ∈ [0, T ] tới Vt trong L2 (Ω).
Chứng minh. Ta có
t

Vt − Vt = −b

(Vs − Vs )ds + σ||BtH − BtH, ||

0

vì thế

t

||Vt − Vt || ≤ ||b

(Vs − Vs )ds|| + σ||BtH − BtH, ||.

0

Từ định lý 1.2 trong chương 1 ta có,
t

||Vt − Vt || ≤ b

||Vs − Vs ||ds + σC(α)
0

74

α+ 21

,

(3.2.16)


trong đó ||.|| là chuẩn thơng thường trong L2 (Ω, F, P ).
Áp dụng bổ đề Gronwall cho (3.2.16) ta sẽ thu được kết quả sau
||Vt − Vt || ≤ σC(α)

α+ 21 bt

e .

Và từ đó ta dễ dàng thấy rằng
sup ||Vt − Vt || ≤ σC(α)

α+ 21 bT

e .

(3.2.17)

0≤t≤T

Do vậy ta có Vt −→ Vt đều theo t ∈ [0, T ] trong L2 (Ω, F, P ).
3.2.5

Ước lượng độ biến động Vt

Với các kết quả đã có ở trên chúng ta có thể tìm được ước lượng
cho độ biến động ngẫu nhiên tn theo mơ hình (3.2.1) như trong định
lý sau đây.
Định lý 3.7. Ước lượng trạng thái Vˆt của độ biến động ngẫu nhiên Vt
là giới hạn trong L2 của Vˆt = Vt ,1 + Vt ,2 khi → 0 và sự hội tụ này là
hội tụ đều theo t ∈ [0, T ].
Chứng minh. Theo tính chất của kì vọng có điều kiện ta có
Nếu
2
Vt −→L Vt ∈ L2 khi → 0
thì
2

E(Vt |FtY ) −→L E(Vt |FtY ) khi → 0.
Và đánh giá như trong (3.2.17) ta có sự hội tụ đều như trong định lý.

75


Kết luận và kiến nghị
Kết luận:
Nhằm nghiên cứu một số dạng của các q trình ngẫu nhiên có
bước nhảy, một mặt chúng tơi xét một số q trình vốn là lời giải của
các phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy và ứng dụng để mở
rộng mơ hình Merton về rủi ro tài chính, mặt khác chúng tơi cũng đưa
ra cách xây dựng các q trình có bước nhảy gắn với quá trình phân thứ
và xét các quá trình vi phân ngẫu nhiên phân thứ có bước nhảy, đồng
thời khảo sát bài toán ước lượng trạng thái tối ưu của độ biến động ngẫu

nhiên phân thứ với quan sát là q trình có bước nhảy.
Các kết quả thu được gồm có:
1. Mở rộng mơ hình Merton cổ điển về rủi ro tín dụng thành mơ hình
điều khiển bởi một martingale rời rạc là martingale Poisson hay quá
trình Poisson đối trọng. Tìm được xác suất phá sản cho mơ hình
này trong trường có một hoặc nhiều khoản nợ.
2. Tiếp tục mở rộng Merton cho trường hợp mơ hình được điều khiển
bởi hai nguồn ngẫu nhiên gồm một chuyển động Brown và một quá
trình Poisson. Xác suất phá sản được ước lượng cho hai trường hợp
có một và nhiều khoản nợ phải trả.
3. Mở rộng hơn nữa cho mơ hình điều khiển bởi hai nguồn ngẫu nhiên
là mơ hình được điều khiển bởi một chuyển động Brown và một quá
trình Poisson phức hợp và cũng xác định được xác suất phá sản,
ngồi ra cịn xét các trường hợp riêng ứng với các trường hợp riêng
76


của quá trình Poisson phức hợp.
4. Xây dựng được các q trình ngẫu nhiên phân thứ có bước nhảy
trong các trường hợp tổng quát và xét cả hai trường hợp cụ thể là
quá trình chuyển động Brown hình học phân thứ có bước nhảy và
q trình Ornstein-Ulhenbeck phân thứ có bước nhảy.
5. Xác định được phương trình cho trạng thái tối ưu của độ biến động
ngẫu nhiên của một hệ động lực trên cơ sở quan sát là một quá
trình có bước nhảy tổng qt, đó là q trình điểm ngẫu nhiên.
Một số kiến nghị:
Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu những vấn đề
sau:
1. Mở rộng bài tốn Merton cho một số mơ hình tổng qt hơn.
2. Tính tốn rủi ro phá sản của một tổ chức tài chính dựa trên một dữ

liệu có sẵn: kiểm tra sự phù hợp mơ hình, lập trình các cơng thức...
3. Tìm các ước lượng độ biến động cho một số mơ hình có bước nhảy.

77


Danh mục các cơng trình khoa học
của tác giả liên quan đến luận án
1. . Thao H. T. P. (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value
Jumps Processes", E ast-West J. of Mathematics, 15(2),pp. 101106.

2. Thao H. T. P. (2014), "A Note on Jumps-Fractional Processes",
E ast-West Journal of Math., 16 (1), pp. 14-24.

3. Thao H. T. P. and Thao T. H. (2012), "A Note on A Model of
Merton Type for Valuing Default Risk", Applied Mathematical Sciences, 6(89-92), pp. 4457-4461.

4. Thao H. T. P. and Thao T. H. (2012), "Estimating Fractional
Stochastic Volatility", T he International Journal of Contemporary
Mathematical Sciences, 82(38), pp. 1861 - 1869.

5. Thao H. T. P. and Hoang V. Q. (2015), ”A Merton Model of Credit
Risk with Jumps", J ournal of Statistics Applications & Probability
Letters, 2(2), pp. 1-7.

78


Tài liệu tham khảo
[1] Alòs E., Mazet O., and Nualart D. (2000), "Stochastic calculus with

respect to fractional Brownian motion with Hurst paramenter less
than 21 ”, Stochastic Processes and Their Applications 86(1), pp. 121139.
[2] Berg T. (2010), "From actual to risk-neutral default probabilities:
Merton and Beyond", T he Journal of Credit Risk 6(1), pp. 55-86.
[3] Biagini F., Hu Y., Øksendal B., Sulem A. (2002), "A stochastic
maximum principle for processes driven by a fractional Brownian
motion", Stoch. Proc. Appl. 100, pp. 233-254.
[4] Bielecki T., Jeanblan M. and Rutkowski M. (2009), Credit Risk
Modeling, Center for Study of Insurance and Finance, Osaka
University.

[5] Bystrom H. (2007), "Merton for Dummies: A Flexible Way of Modelling Default Risk", Research Paper Series, 112, Quantitative Finance Research Centre, University of Technology, Sydney.
[6] Carmona P., Coutin L., and Montseny G. (2003), "Stochastic integration with respect to fractional Brownian motion", Ann. Inst. H.
Poincaré Probab. Statist. 39(1), pp. 27-68.
79


[7] Coutin L. (2007), "An Introduction to Stochastic Calculus with Respect to Fractional Brownian motion", Séminaire de Probabilités
XL, Springer-Verlag Berlin Heidelberg pp. 3-65.
[8] Cont R., Tankov P. (2003), Financial Modelling With Jump Processes, Chapman and Hall, CRC Press.
[9] Cyganowski S., Grume L., Kloeden P. E. (2012), "MAPLE for
Jump-Diffusion Stochastic Differential Equations in Finance",
Prepient, Feb. 5.
ă unel A. S. (1999), "Stochastic analysis of
[10] Decreusefond L. and Ustă
the fractional Brownian motion", Potential Anal.,10(2), pp. 177-214.
[11] Duncan T. E., Hu Y., Duncan P. B. (2000), "Stochastic Calculus
for Fractional Brownian Motion", SIAM Control and Optimization
38(2), pp. 582-612.
[12] Feyel D., De la Pradelle A. (1996), "Fractional integrals and Brownian processes", Potential Analysis, 10, pp. 273-288.

[13] Gihman I. I., Skorohod A.V. (1972), Stochastic Differential Equations, Springer.
[14] Giesecke K. and Lisa R. G. (2004), "Forecasting Default in Face of
Uncertainty", T he Journal of Derivatives, Fall, pp. 11-25.
[15] Ito K. (1951), "Multiple Wiener integral", J. Math. Soc. Japan, 3,
pp. 157-169.
[16] Jacques J., Manca, R. (2007), Semi-Markov Risk Models For Finance, Insurance and Reliability, Springer.
[17] Kloeden P. E. and Platen E. (1995), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer.
80