Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (502.9 KB, 17 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>A. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG.</b>
* <b>Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng khi chúng có cùng tập nghiệm.</b>
* <b>Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng:</b>
+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi
điều kiện của bất phương trình.
+) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc
âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình.
+) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình.
+) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình
cùng dương.
+) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều.
<b>I. Kỹ thuật lũy thừa hai vế.</b>
<b>1. Phép lũy thừa hai vế:</b>
a) 2<i>k</i>1 <i><sub>f</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>) 2<i>k</i>1<i><sub>g</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>) <i><sub>f</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>) <i><sub>g</sub></i>(<i><sub>x</sub></i>).
b)
)
(
)
(
0
)
(
)
(
)
( 2
2
<i>x</i>
<i>g</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
<i>g</i>
<i>x</i>
<i>g</i>
<i>x</i>
<i>f</i> <i>k</i>
<i>k</i> .
*)
0<sub>2</sub>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>B</i>
<i>A</i> hoặc
0
0
<i>A</i>
<i>B</i>
.
*)
2
0
0
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>A</i> .
*) <i>A</i> <i>B</i> 0 <i>A</i><i>B</i>.
<i>( Đối với các trường hợp cịn lại với dấu </i>,,<i>< các bạn có thể tự suy luận ). </i>
<b>2. Lƣu ý:</b>
<i>Đặc biệt chú ý tới điều kiện của Bài toán. Nếu điều kiện đơn giản có thể kết hợp vào</i>
<i>bất phương trình, cịn điều kiện phức tạp nên để riêng. </i>
<b>Bài 1: Giải các BPT sau: </b>
a) <i>x</i>32<i>x</i>1 ; b) <i>x</i>2 <i>x</i>1 <i>x</i>3
c) 3<i>x</i>2 4<i>x</i>3 ; d) 3<i>x</i>2 <i>x</i>4 <i>x</i>1
Giải:
a)
3
0
4
5
4
3
2
1
1
2
3
0
3
0
1
2
1
2
3
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:
b)
7
8
3
1
0
3
0
1
3
1
2
2
2
2 <sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
<sub></sub> <sub></sub>
;
7
.
<i>Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải. </i>
<b>Bài 2: Giải BPT: </b> <i>x</i>4 1<i>x</i> 12<i>x</i> (1).
* (1)
2 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
0
4
0
2
7
* Vậy tập nghiệm: [-4;0].
<b>Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: </b> 5<i>x</i>1 <i>x</i>1 2<i>x</i>4 (TS (A)_ 2005).
Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10).
<b>II. Kỹ thuật chia điều kiện. </b>
<b>1. Kỹ thuật: </b>
Nếu Bài tốn có điều kiện là <i>x</i><i>D</i> mà <i>D</i><i>D</i><sub>1</sub> <i>D</i><sub>2</sub> ...<i>D<sub>n</sub></i> ta có thể chia Bài tốn theo
n trường hợp của điều kiện:
+) Trường hợp 1: <i>x</i><i>D</i>1, giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm <i>T</i>1.
+) Trường hợp 2: <i>x</i><i>D</i>2, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T2.
……….
+) Trường hợp n: <i>x</i><i>Dn</i>, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm Tn.
Tập nghiệm của bất phương trình là <i>T</i> <i>T</i>1<i>T</i>2 ...<i>Tn</i>.
<b>2. Yêu cầu: </b>
<i>Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo. </i>
<b>3. Ví dụ: </b>
* Điều kiện:
3
4
1
0
<i>x</i>
<i>x</i>
.
* Với <sub>0</sub><sub></sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub>4<sub>3</sub><sub> (i) ta có (1)</sub>
<sub>2</sub>
2
2
2
2
4
3
0
2
2
2
2
4
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
7
9
7
1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(ii)
Kết hợp (i) và (ii) ta có tập nghiệm là <sub></sub>
3
4
;
7
9
1
<i>T</i> .
* Với 1<i>x</i>0 thì (1) ln đúng. Tập nghiệm trong trường hợp này là T<sub>2</sub> = [-1 ;0).
Vậy tập nghiệm của (1) là
4
;
7
9
2
1
<i>T</i> .
<b>Bài tập : </b>
Giải BPT : <i>x</i>2 3<i>x</i>2 <i>x</i>2 4<i>x</i>32 <i>x</i>2 5<i>x</i>4.
Đáp số : <i>x</i>4 hoặc x = 1.
<b>III. Kỹ thuật khai căn. </b>
1) Đƣa biểu thức ra ngoài căn thức :
*
)
0
)
0
(
2
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i>
<i>A</i> .
* <sub>2</sub> ( , 0)
2
<i>E</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>E</i>
<i>A</i>
<i>x</i>
<i>E</i>
<i>y</i>
<i>A</i>
.
* 2<i>n</i> <i>A</i>2<i>n</i> <i>A</i> * 2<i>n</i>1<i>A</i>2<i>n</i>1 <i>A</i>
<b>2) Lƣu ý : </b>
Biến đổi các biểu thức trong căn thức thành hằng đẳng thức.
<b>3) Ví dụ : </b>
Giải BPT :
2
3
1
2
1
2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Giải :
(1)
2
3
1
1
1
1
2
3
1
1
2
1
1
1
2
1 2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
* Với <i>x</i>110<i>x</i>11<i>x</i>2 luôn thỏa mãn bpt (2).
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T1=[2 ;+).
* Với 1 2
1
1
1
0
1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> bpt (2) trở thành :
2
3
2
2
3
1
1
1
1
<i>x</i>
<i>x</i> (luôn đúng).
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T2=[1 ;2).
KL : Tập nghiệm của (1) là T=<i>T</i><sub>1</sub><i>T</i><sub>2</sub>
* <b>Chú ý : </b><i><b>Bài</b> này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế.</i>.
<b>IV. Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa về bất phƣơng trình tích.</b>
<b>1. Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện của bpt ta có :</b>
*
<i>f</i> *
0
)
(
0
)
Các trường hợp còn lại, các bạn tự suy luận.
<b>2. Lƣu ý :</b>
<i>Đây là kỹ thuật giải địi hỏi có tư duy cao, kỹ năng phân tích thành nhân tử thành thạo,</i>
<i>cần phải nhìn ra nhân tử chung nhanh. </i>
Giải BPT : <i>x</i>1
Giải :
Điều kiện : <i>x</i>1(*)
(1) <i>x</i>13<i>x</i>2 <i>x</i>1 <i>x</i>1<i>x</i> <i>x</i>13<i>x</i>3<i>x</i>0
1 2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
0
1
<i>x</i> <i>x</i> (do <i>x</i>13<i>x</i>2 10 khi <i>x</i>1).
0
1
1
1 2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> (vô nghiệm).
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
<b>V. Kỹ thuật nhân chia liên hợp : </b>
<b>1. Biểu thức nhân chia liên hợp: </b>
* (<i>A</i> <i>B</i>)
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
.
* 1 (<i>A</i> <i>B</i>)
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
<i>B</i>
<i>A</i>
.
<b>2. Lƣu ý: </b>
<i>+) Nên nhẩm với một số nghiệm nguyên đơn giản. </i>
<i>+) Chú ý tới các biểu thức nhân chia liên hợp. </i>
<b>3. Ví dụ: </b>
Giải BPT : <i>x</i>2 15 3<i>x</i>2 <i>x</i>2 8
(1)
Giải:
* Ta có (1) <i>x</i>2 15 <i>x</i>2 8 3<i>x</i>2
2
3
7
2
3
8
15
8
15
2
2
2
2
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Từ (2) ta có
3
2
0
2
3<i>x</i> <i>x</i> .
* Mặt khác:
(1) <i>x</i>2 1543<i>x</i>3 <i>x</i>2 83
3
8
1
)
1
(
3
4
15
1
2
2
2
2
0
3
8
1
3
4
15
1
1
2
2
* Lại có : Vì
3
2
<i>x</i> nên
3
8
1
4
15
1
3
8
4
15
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
Vậy (3) <i>x</i>10<i>x</i>1.
KL : BPT (1) có tập nghiệm là T=1;.
* Chú ý : <i>Trong <b>Bài</b> toán này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện </i>
<i>nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x=1 thì hai vể của BPT bằng nhau</i>.
<i>Thường dùng cách giải tương tự cho <b>Bài</b> toán : </i> 2 2 2 2
<i>b</i>
<i>x</i>
<i>d</i>
<i>cx</i>
<i>x</i> <i>. </i>
<b>Bài tập tương tự : Giải BPT : </b> 3<i>x</i>1 6<i>x</i>3<i>x</i>214<i>x</i>80
(Dựa vào ĐH_B_2010).
<b>VI. Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT sau : </b>
1,
2
3
4
4
4
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> . 2, <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2 3 2 1
3
2
.
3, <i>x</i> 2<i>x</i>1 <i>x</i> 2<i>x</i>1 2. 4, 3<i>x</i>4 2<i>x</i>1 3<i>x</i>.
5, (4<i>x</i>1) <i>x</i>2 12<i>x</i>2 2<i>x</i>1. 6,
7,
3
5
3
3
16
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
. 8,
1
2 <i><sub>x</sub></i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
9, 1 1 4 3
2
<i>x</i>
<i>x</i>
11,
2
9
3 2
<i>x</i> <i>x</i>
. 12, 4<i>x</i>1 2<i>x</i>10
13,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 2 14,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3
2
2
2
4 1
1
1
.
<b>B. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ . </b>
<b>I. Một số yêu cầu : </b>
<i>- Dạng này học sinh cần nhớ cách đặt ẩn. Từ đó mở rộng cho <b>Bài</b> tốn tương tự. </i>
<i>- Chú ý tới các điều kiện của ẩn. </i>
<b>II. Một số dạng toán và các Bài toán làm mẫu. </b>
<b>1. Đặt ẩn phụ đƣa về bpt đơn giản hơn : </b>
<b>Bài 1 :Giải BPT : </b> 2 1 3
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(1)
Giải :
* Điều kiện :
1
0
<i>x</i>
<i>x</i>
(*)
* Đặt 1(<i>t</i> 0).
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i> BPT (1) trở thành : 1<sub>2</sub> 2<i>t</i> 32<i>t</i>3 3<i>t</i>2 10(<i>t</i> 0)
<i>t</i>
2
1
0
0
1
2
1 2
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> .
Vậy 1
3
4
2
1
0 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
<b>Bài 2 : Giải BPT : </b> 4
2
1
2
2
1
5 <sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
Giải :
* Điều kiện : x>0.
* Đặt 2
2
1
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i> (theo bất đẳng thức Côsi)
2
2
2
1
2
1
1 2
2 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>t</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i> .
* BPT (2) trở thành : <sub></sub>
2
1
2
2
5 2
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i> kết hợp với <i>t</i> 2 ta được <i>t</i> 2.
* Khi đó
2
2
3
0
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> .
KL :
* Chú ý : <i><b>Bài</b> tốn có thể mở rộng cho dạng</i> : <i>a</i>
<b>2. Đặt ẩn phụ đƣa về bất phƣơng trình lƣợng giác : </b>
Giải BPT :
(1).
Giải :
* Điều kiện : <i>x</i>
* Đặt <i>x</i>cos<i>t</i> với
2
;
0
<i>t</i> . BPT (1) trở thành : sin5<i>t</i> cos5<i>t</i> 1.
Do sin5<i>t</i>sin2<i>t</i> và nên sin5<i>t</i> cos5<i>t</i> sin2<i>t</i>cos2<i>t</i>1 với
2
;
0
<i>t</i> .
* Do đó BPT đã cho có nghiệm là <i>x</i>
3) 2
1 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> . 4) 2<i>x</i>3 <i>x</i>13<i>x</i>2 2<i>x</i>2 5<i>x</i>316.
5) <i>x</i><i>x</i>4 <i>x</i>2 4<i>x</i><i>x</i>22 2. 6) <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1 1
1 .
7) <i>x</i> <i>x</i>2 1 <i>x</i> <i>x</i>2 1 2. 8) <i>x</i> 1<i>x</i>2 <i>x</i> 1<i>x</i>2
9) 2 2 1 3<i>x</i>1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 10) <i>x</i>3 35<i>x</i>3
11) 2 2
2
1
1 <i>x</i> <i>x</i> 12)
3
1
3
2
1
1
1
1
2
3
3
2 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <sub></sub> <sub></sub>
13)
15)
2
2
1
3
1
1
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <sub></sub>
16) <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
17)
4
4
2
1
1
2 <i>x</i> <i>x</i> 18)
16
9
8
12
2
2
4
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>C. PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ. </b>
* <i>Nhớ được cách xét tính đơn điệu của một hàm số, lập bảng biến thiên… </i>
<i>* Nhớ các bất đẳng thức. </i>
<i>* Thường áp dụng cho các <b>Bài</b> tốn đặc thù, phức tạp khơng có thuật tốn cụ thể nhưng </i>
<i>hay có trong các kì thi đại học các năm gần đây. </i>
<b>I. Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: </b>
<b>1) Bất đẳng thức thông dụng: </b>
* Bất đẳng thức Côsi:
Với <i>a</i><sub>1</sub> 0,<i>a</i><sub>2</sub> 0,...,<i>a<sub>n</sub></i> 0 ta có <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
...
...
2
1
2
1 <sub>. </sub>
Dấu “=” xảy ra khi <i>a</i>1 <i>a</i>2 ...<i>an</i>.
* Bất đẳng thức Bunhiacopski :
Với mọi <i>a</i>1,<i>a</i>2,...,<i>an</i>,<i>b</i>1,<i>b</i>2,...,<i>bn</i> ta ln có :
2
2
1
2
2
2
2
1
1<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> ... <i>anbn</i> <i>a</i> <i>a</i> ... <i>an</i> <i>b</i> <i>b</i> ... <i>bn</i>
Dấu « = » xảy ra khi
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
...
2
2
.
<b>2) Ví dụ : </b>
<b>Bài 1 : Giải BPT : </b>
4
2
1
1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(1)
Giải :
* Điều kiện : 1 1
0
1
0
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(*)
* Khi đó ( 1)
16
4
1
2
1
1
4
2
2 <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
16
1
1
0
16
1
2
1
4
2
2
4
2
2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Điều này luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*).
Vậy nghiệm của BPT là <i>x</i>
<b>Bài 2 : Giải BPT : </b>
1
2
1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(2)
(ĐH_A_2010)
Giải:
* Điều kiện: <i>x</i>0 (*).
* Ta có: 2
2
* Dấu bằng xảy ra khi
2
5
3
0
1
1
0
1
1 2 <sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
KL:
<b>III. Kỹ thuật sử dụng tích vơ hƣớng của hai vectơ. </b>
<b>1. Định nghĩa: </b><i>u</i>.<i>v</i> <i>u</i>.<i>v</i>cos(<i>u</i>,<i>v</i>).
a) Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng:
+) Trong hệ tọa độ Oxy, nếu <i>u</i>(<i>x</i>;<i>y</i>),<i>v</i>(<i>x</i>';<i>y</i>') thì <i>u</i>.<i>v</i> <i>x</i>.<i>x</i>'<i>y</i>.<i>y</i>'.
+) Trong hệ tọa độ Oxyz, nếu <i>u</i> (<i>x</i>;<i>y</i>;<i>z</i>),<i>v</i>(<i>x</i>';<i>y</i>';<i>z</i>') thì <i>u</i>.<i>v</i><i>x</i>.<i>x</i>'<i>y</i>.<i>y</i>'<i>z</i>.<i>z</i>'.
b) <i>u</i>.<i>v</i> <i>u</i>.<i>v</i> . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <i>u,v</i> cùng phương.
c) <i>u</i><i>v</i> <i>u</i> <i>v</i> . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <i>u,v</i> cùng hướng.
<b>2) Ví dụ: Ta quay lại Bài thi ĐH_A_2010: </b>
Giải BPT :
1
2
1 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(1)
(ĐH_A_2010)
Giải:
* Điều kiện: <i>x</i>0.
* Do 2( 2 1)
<i>x</i>
<i>x</i> = (2 2 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> >1 nên bất phương trình (1) tương đương với
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 1 2( 2 1) 2( 2 1 (1 ) (2)
Trong mặt phẳng tọa độ lấy <i>a</i>(1<i>x</i>; <i>x</i>), <i>b</i>(1;1). Khi đó:
Vậy (2) trở thành <i>ab</i> <i>a</i>.<i>b</i>. Điều này xảy ra khi <i>a,b</i> cùng hướng tức là tồn tại k>0 sao
cho
2
5
3
1 <sub></sub>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>b</i>
<i>k</i>
<i>a</i> .
<i>Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các <b>Bài</b> toán tương tự trên bằng cách lấy các </i>
<i>vectơ </i>
<i>thích hợp. </i>
<b>IV. Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá. </b>
<b>1. Thuật toán: </b>
<i>Để giải bất phương trình </i> <i>f</i>(<i>x</i>) <i>g</i>(<i>x</i>);<i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>); <i>f</i>(<i>x</i>)<i>g</i>(<i>x</i>);<i>f</i>(<i>x</i>) <i>g</i>(<i>x</i>)<i> ta khảo sát hoặc </i>
<i>căn cứ vào tính chất của các hàm số y = f(x) và y = g(x), đưa ra bảng biến thiên và từ </i>
<i>bảng biến thiên đưa ra kết luận. </i>
<b>2. Lƣu ý: Nếu m là tham số thì y = h(m) là đường thẳng song song hoặc trùng với trục </b>
hồnh.
<b>3. Ví dụ: </b>
<b>Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm: </b>
1
3 2
3 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i> (1)
Giải:
* Điều kiện: <i>x</i>1. Khi đó:
(1)
* Đặt <i>f</i>(<i>x</i>)
1
2
1
2
1
1
3
1
6
3
)
' 2 3 2 <sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
x 1
f(x)
3
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bpt (1) có nghiệm khi <i>a</i>3.
<b>Bài 2: Tìm m để BPT </b>2<i>x</i>2 2<i>mx</i>13 2<i>x</i>3 <i>x</i> (1) nghiệm đúng với
mọi <i>x</i>0.
Giải:
Ta có (1) 2 2 2 13 2 3 2 2 13 2 1(<i>x</i>0)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>mx</i> (1’)
* Đặt
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i> 2 1. Do <i>x</i>0 nên theo BĐT Côsi ta có 2 2 .1 2 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>t</i> .
(<i>Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện của t) </i>
Khi đó (1’) trở thành :
1
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>m</i> (2).
(1) nghiệm đúng với mọi <i>x</i>0 khi và chỉ khi (2) nghiệm đúng với mọi <i>t</i> 2 2.
* Xét hàm số
2
3
2
)
(<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>g</i> có
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>g</i>
4
3
2
1
)
(
' .
4
9
0
3
2
0
)
(
' <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
* Ta có bảng biến thiên :
t
4
2
2
g’(t) +
g(t)
2
2
2
3
2
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm đúng với mọi <i>t</i>2 2 khi <i>m</i>
2
2
2
3
2 .
<b>V. Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu của hàm số trên miền xác định. </b>
<b>1. Thuật toán : </b>
<i>Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của D. </i>
<i>Khi đó ta có : </i> <i>f</i>(<i>u</i>(<i>x</i>)) <i>f</i>(<i>v</i>(<i>x</i>))<i>u</i>(<i>x</i>)<i>v</i>(<i>x</i>).
<i> </i> <i>f</i>(<i>u</i>(<i>x</i>)) <i>f</i>(<i>v</i>(<i>x</i>))<i>u</i>(<i>x</i>)<i>v</i>(<i>x</i>)<i> hoặc u</i>(<i>x</i>)<i>v</i>(<i>x</i>)<i> </i>
<i> (Tương tự cho các dấu </i>,,<i>) </i>
<b>2. Ví dụ : </b>
Giải BPT : <i>x</i>3 <i>x</i>1<i>x</i>3 1<i>x</i> 2<i>x</i>0 (1)
Giải :
* Điều kiện : 1 1
0
1
0
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(*)
* Xét hàm số <i>f</i>(<i>t</i>)<i>t</i>3 <i>t</i>2 2<i>t</i> với <i>t</i> 0 :
Có <i>f</i>'(<i>t</i>)3<i>t</i>22<i>t</i>20<i>t</i> 0 nên <i>f</i>(<i>t</i>) là hàm đồng biến trên
* Mặt khác : (2) <i>f</i>( <i>x</i>1) <i>f</i>( 1<i>x</i>) <i>x</i>1 1<i>x</i>
0
1
1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> kết hợp với điều kiện (*) ta được : 1 <i>x</i>0.
KL :
<b>VI. Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng của hai nghiệm. </b>
Tìm m để BPT sau có nghiệm duy nhất :
<sub>4</sub> 2
1
2
1
2
1 <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i>
(1)
Giải :
* Điều kiện : 0 <i>x</i>1 (*)
* Nhận xét : Nếu <i>x</i>0 là nghiệm của (1) thì (1-<i>x</i>0) cũng là nghiệm của (1). Do đó phương
trình có nghiệm duy nhất thì
2
1 <sub>0</sub> <sub>0</sub>
0 <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> .
Thay
2
1
0
<i>x</i> vào (1) ta được 0 0
2
1
.
2
1
2
2
1
.
2
1
2
2
1 <sub>4</sub> 2 2
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> .
* Với m=0 thì (1) trở thành :
<i><sub>x</sub></i> 1<i><sub>x</sub></i>24 <i><sub>x</sub></i>1<i><sub>x</sub></i>0
2
1
1
0
1
4
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> (thỏa mãn (*)).
Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi m=0.
<b>VII. Một số Bài tập tự luyện : </b>
1,
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 2 1 4 1
2 2 <sub>2</sub> . 2, 1
40
40
100
2
9
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3, <i>x</i>1 2<i>x</i>3 503<i>x</i> 12 4, <i>x</i>2 2<i>x</i> 2<i>x</i>1 3<i>x</i>2 4<i>x</i>1
5, <i>x</i> <i>x</i>1 3<i>x</i> 2 <i>x</i>2 1 6, <i>x</i>2 4<i>x</i>5 <i>x</i>2 10<i>x</i>50 5
7, <i>x</i>2 4<i>x</i> <i>x</i>2 6<i>x</i>11 8, 3<i>x</i> <i>x</i>1 52<i>x</i> 4034<i>x</i>10<i>x</i>2 <i>x</i>3
<b>Bài 2 : Tìm m để BPT sau vô nghiệm : </b>
1
1
1
2
1
1 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> .
(ĐH_B_2004)
<b>Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : </b> 4<i>x</i>2 2<i>x</i>1 4<i>x</i>2 2<i>x</i>12<i>a</i>.
<b>Bài 4 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm : </b>
4 2<i>x</i> 2<i>x</i> 24 6<i>x</i>2 6<i>x</i> <i>m</i>
<b>Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: </b>
4 2
1
2
1
1
3 <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> .
<b>Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi </b><i>x</i>
3