Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.95 MB, 51 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
1 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 1. </b> Cho ba số thực dương thỏa mãn 1 1 1 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
2 1
1 1 1
<i>y</i>
<i>x</i> <i>z</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Lời giải: </b>
Ta có <i>A B C</i>, , (0; ), <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> thì tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>A</i>
Theo giả thiết
2
<i>A</i>
<i>x</i> , tan
2
<i>B</i>
<i>y</i> , tan
2
<i>C</i>
<i>z</i> với <i>A B C</i>, , (0; ), <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
Ta có <i>P</i>sin<i>A</i>sin<i>B</i>cos<i>C</i> 2 cos cos 2 cos2 1
2 2 2
<i>C</i> <i>A</i><i>B</i> <i>C</i>
2 2
1 1 3
2(cos cos ) 1 cos
2 2 2 2 2 2
<i>C</i> <i>A</i><i>B</i> <i>A</i><i>B</i>
Vậy max 3
2
<i>P</i> Khi
2
3
6
<i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i>
2 2 3
tan
12 2 3
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i>
<b>Bài 2. </b> Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn <i>abc</i>1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i>
<i>ab</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>bc</i> <i>ac</i> <i>ac</i>
.
<b>Lời giải: </b>
2
2 2
1 4 4 1
2 1 2 1 1
( 2)(2 1) 9
( )(2 ) ( 2 ) ( )
a
<i>a</i>
<i>ab</i> <i>ab</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
đáp số : Min 1
3
<i>S</i> . Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1
<b>Bài 3. </b> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3
2
( )( )( )
<i>x y</i>
<i>x</i> <i>yz y</i> <i>zx z</i> <i>xy</i>
, trong đó x, y, z là các số dương
thỏa mãn: <i>x</i> <i>y</i> 1 <i>z</i> .
<b>Lời giải: </b>
Ta có : <i>x</i><i>yz</i> <i>z</i> <i>y</i> 1 <i>yz</i>
1 1 1
<i>y</i><i>zx</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>zx</i> <i>x</i> <i>z</i>
1 1 1
<i>z</i><i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
3 3 3 3
3 3 2 3 3 2
x y x y
P = =
(x+1) (y+1) (z-1) (x+1) (y+1) (x+ y)
Theo CơSi ta có :
2
3
x x x
+ +1 3
2 2 4 ;
2
3
y y y
+ +1 3
2 2 4 ;
2
2 DAYHOCTOAN.VN
Vậy
3 3
2 2
x y 4
P
27 27 <sub>729</sub>
( x )( y )4 xy
4 4
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi <i>x</i> <i>y</i> 2; <i>z</i>5. Vậy MaxP = 4
729
<b>Bài 4. </b> Cho 3 số dương a, b, c thoả 3.
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> CMR: <i>B</i> 1 1<sub>3</sub> 1 1<sub>3</sub> 1 1<sub>3</sub> 729
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Lời giải: </b>
Ta có: B 1 1<sub>3</sub> 1<sub>3</sub> 1<sub>3</sub> <sub>3</sub>1<sub>3</sub> <sub>3 3</sub>1 <sub>3 3</sub>1 <sub>3</sub>1<sub>3 3</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a c</i> <i>b c</i> <i>a b c</i>
B 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1
1 3 3
= 1 3 1 3 <sub>2 2 2</sub>
=
3
1 1
<i>abc</i>
<sub></sub>
Mặt khác: <sub></sub> <sub></sub>
3
ab 1
8
c a b c
3
3
3
1
1 9 729
1
8
<i>B</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy 1 1<sub>3</sub> 1 1<sub>3</sub> 1 1<sub>3</sub> 729
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài 5. </b> Cho
CMR:
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Lời giải: </b>
)
(
2
)
(
2
)
)(
(
)
(
1
1
2
2 <i><sub>x</sub></i> <i><sub>z</sub></i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>yz</i>
<i>xyz</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>xyz</i>
<i>x</i>
Tương tự VT
)
(
2
)
(
2
1
1
;
)
(
2
)
(
2
1
1
2
2 <i><sub>y</sub></i> <i><sub>z</sub></i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 3<sub> </sub>
<b>Bài 6. </b> Cho <i>ABC</i> nhọn thoả mãn hệ thức: tan<sub>3</sub> tan<sub>3</sub> tan<sub>3</sub> 1
tan tan tan
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <b>. </b>Chứng minh tam giác ABC đều.
<b>Lời giải: </b>
Do tam giác ABC nhọn nên <i>tanA</i> 0 ,<i>tanB</i> 0 , <i>tanC</i> 0 . Viết lại bất đẳng thức :
3 3 3
cot cot cot
1
cot cot cot
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
3
2
cot
cot .cot 2 cot
cot
<i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>B</i>
<i>A</i>
3
2
cot
cot .cot 2 cot
cot
<i>C</i>
<i>B</i> <i>C</i> <i>C</i>
<i>B</i>
3
2
cot
cot .cot 2 cot
cot
<i>A</i>
<i>C</i> <i>A</i> <i>A</i>
3 DAYHOCTOAN.VN
Suy ra<b> : </b>
3 3 3
2 2 2
cot cot cot
2( cot cot cot ) 1
cot cot cot
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
vì <i>cotAcotB</i> <i>cotBcotC</i> <i>cotCcotA</i> 1
Ta lại có 2 2 2
cot <i>A</i>cot <i>B</i>cot <i>C</i>cotAcotB cotBcotC cotCcotA 1
Từ đó suy ra :
3 3 3
cot cot cot
1
cot cot cot
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<b>Bài 7. </b> Cho <i>ABC</i> thỏa mãn
12
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
2 2 2 2
<i>A</i><sub></sub> <i>B</i><sub></sub> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
. Chứng minh <i>ABC cân. </i>
<b>Lời giải: </b>
Ta có 12
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
2 2 2 2
<i>A</i><sub></sub> <i>B</i><sub></sub> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
(1)
15
2
B
Theo bất đăng thức cô si ta có :
12
2
A
sin
1
2
A
sin
8
2
A
sin
8
3
2
A
sin
1
2
A
sin
8
2
12
2
A
sin
1
2
A
sin
16
2
.
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi
3
A
2
1
2
Tương tự ta cũng có. 12
2
B
sin
1
2
B
sin
16
2
; 12
2
C
sin
1
2
C
sin
16
2
36
2
B
sin
1
2
B
sin
1
2
A
sin
1
2
C
sin
2
Mặt khác ta có
2
B
A
cos
4
B
A
sin
2
3
2
1
4
B
A
sin
2
2
3
4
B
2 <sub></sub>
<sub></sub>
Do đó:
2
3
2
C
sin (4). Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi
3
<i>B</i>
<i>A</i>
Từ (3) và (4) ta có:
2
14
.
3
36
2
C
sin
2
B
sin
2
4 DAYHOCTOAN.VN
Như vậy tam giác ABC đều.
<b>Bài 8. </b> Với ; ;<i>x y z</i>0 thoả mãn: <i>x</i>4 <i>y</i>4<i>z</i>4 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: <i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> 2<i>z</i>
<b>Lời giải: </b>
Ta có: với <i>a</i>0. Áp dụng BĐT Bunhiakopsky
2
2 1 1 2 2 2 2
. 2 1 ax 4
a
<i>P</i> <i>a x</i> <i>a y</i> <i>z</i> <i>ay</i> <i>z</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
4 2 2 4 4 4
1 2 16
<i>P</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
4<sub>3</sub> 2 <sub>1</sub> <sub>2</sub> <sub>16</sub>
<i>P</i> <i>a</i>
<i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Dấu "=" xảy ra 2 2 2
2 2 2 2
2 4
4
4
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>ax</i> <i>z</i> <i>a x</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>az</i>
<i>a</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
3 2 2 2 2
16
<i>a x z</i> <i>x z</i>
<i><sub>a</sub></i> 3<sub>16</sub><sub> </sub>
Vậy dấu "=" xảy ra khi 4 3 4
4 4 4
16
3
<i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
3
4 4
3 3
3 3
; 2.
2 16 2 16
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Do đó
2
3
4
max <sub>3</sub>
2
3 1 8 4 16
16
<i>P</i> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 9. </b> Cho các số dương , ,<i>a b c</i> thỏa mãn điều kiện <i>abc</i>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2 2 2 2
<i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i>
<i>P</i>
<i>a b</i> <i>a c</i> <i>b a</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>c b</i>
<b>Lời giải: </b>
2 2 2
( ) ( ) ( )
<i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i>
<i>P</i>
<i>a b c</i> <i>b a</i> <i>c</i> <i>c a b</i>
2 2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a b</i>
<i>bc</i> <i>ac</i> <i>ab</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> 2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
Đặt <i>x</i> 1
<i>a</i>
, <i>y</i> 1
<i>b</i>
, <i>z</i> 1
<i>c</i>
. Do <i>abc</i> 1 <i>xyz</i>1 và , ,<i>a b c</i> dương suy ra <i>x y z</i>, , dương.
Ta có
2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>P</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có
2
4
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i>
<i>y</i> <i>z</i>
,
2
4
<i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i> <i>x</i>
,
2
4
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i>
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
3
3 3
2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>P</i> <i>xyz</i>
Dấu “=” xảy ra khi <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1 hay <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1. Vậy min
3
2
5 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 10. </b> Cho 3 số dơng <i>a b c</i>, , thoả mãn : 3
4
<i>a b c</i> . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 3
1 1 1
3 3 3
<i>P</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<b>Lời giải: </b>
áp dụng BĐT Cơsi cho 3 số dương ta có
3
1 1 1 3
3 . 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1 1 1 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
(*)
áp dụng (*) ta có
3 3 3
1 1 1
3 3 3
<i>P</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
3 3 3
9
3 3 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có
3<sub>(</sub> <sub>3 ).1.1</sub> 3 1 1 1<sub>(</sub> <sub>3</sub> <sub>2)</sub>
3 3
<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
3<sub>(</sub> <sub>3 ).1.1</sub> 3 1 1 1<sub>(</sub> <sub>3</sub> <sub>2)</sub>
3 3
<i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i>
3<sub>(</sub> <sub>3 ).1.1</sub> 3 1 1 1<sub>(</sub> <sub>3</sub> <sub>2)</sub>
3 3
<i>c</i> <i>a</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i>
3 3 3 1
3 3 3 [4( ) 6] 3
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
3
<i>P</i>
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
4
3 3 3
<i>a b c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
1
4
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Vậy minP = 3
<b>Bài 11. </b> Cho các số dương , ,<i>a b c</i> thoả mãn <i>a b c</i> 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
3
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Lời giải: </b>
<b>: </b>
Bất đẳng thức trên tương đương với:
2 2 2
1 1 1
1 1 1 3 3 3
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
Hay
2 2 2
2 2 2
1 . 1 . 1 .
3
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
.
Bây giờ ta dùng bất đẳng thức AM – GM cho các mẫu thức:
2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
6 DAYHOCTOAN.VN
3
3
2
<i>ab bc</i> <i>ca</i>
Vì
2
3
3
<i>a b c</i>
<i>ab bc ca</i>
<b>Bài 12. </b> Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác đều là
2 2 2 1
2
2 2 2 4 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A B</i> <i>B C</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> (*)
<b>Lời giải: </b>
2 2 2
(*) 4 4 4 8
2 2 2 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A B</i> <i>B C</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i>
2 cos cos cos 1
2 2 2
<i>A B</i> <i>B C</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i>
8sin sin sin
2 2 2 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A B</i> <i>B C</i> <i>C</i> <i>A</i>
<i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i>
(Nhân 2 vế với 8
2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>cos</i> <i>cos</i> <i>cos</i> )
8sin .sin .sin<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> sin<i>A</i> sin<i>B</i> sin<i>B</i> sin<i>C</i> sin<i>C</i> sin<i>A</i>
sin<i>A</i> sin<i>B</i> sin<i>C</i>
(áp dụng BĐT Côsi)
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
(ĐPCM).
<b>Bài 13. </b> Chứng minh rằng nếu <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> là ba số dương tuỳ ý thì với mọi tam giác <i>ABC</i>, ta đều có:
<b>a) </b>1cos 1cos 1cos
2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i> <i>xz</i> <i>xy</i> .
<b>b) Tam giác </b><i>ABC</i> có đặc điểm gì nếu thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2
2
<i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> .
<b>Lời giải </b>
<b>a) </b>1cos 1cos 1cos
2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i> <i>xz</i> <i>xy</i> .
Bất đẳng thức tương đương với:
2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos 0
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>yz</i> <i>A</i> <i>xz</i> <i>B</i> <i>xy</i> <i>C</i>
2 2 2 2 2 2 2
cos sin cos sin 2 cos 2 cos 2 cos 0
<i>x</i> <i>B</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>z</i> <i>yz</i> <i>A</i> <i>xz</i> <i>B</i> <i>xy</i> <i>A B</i>
2 2 2 2 2 2 2 2
2
cos cos 2 cos cos sin sin 2 sin sin
2 cos cos 0
<i>x</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A</i> <i>xy</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>x</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A</i> <i>xy</i> <i>A</i> <i>B</i>
<i>z</i> <i>z y</i> <i>A</i> <i>x</i> <i>B</i>
.
cos cos sin sin 0
<i>x</i> <i>B</i> <i>A z</i> <i>x</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A</i>
(luôn đúng).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hệ sau đây thoả mãn:
cos cos 0
sin sin 0
<i>x</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A z</i>
<i>x</i> <i>B</i> <i>y</i> <i>A</i>
<sub></sub> <sub></sub>
sin
cos cos
sin
sin sin
<i>x</i> <i>B</i>
<i>x</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>z</i>
<i>A</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
sin sin
sin sin
<i>x</i> <i>A B</i> <i>z</i> <i>A</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>A</i> <i>B</i>
sin sin
sin sin
<i>x</i> <i>C</i> <i>z</i> <i>A</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>A</i> <i>B</i>
sin sin sin
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
7 DAYHOCTOAN.VN
Tức là tam giác <i>ABC</i> đồng dạng với tam giác có ba cạnh là <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i>.
<b>b) Tam giác </b><i>ABC</i> có đặc điểm gì nếu thoả mãn điều kiện: cos cos cos 2
2
<i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> .
Áp dụng phần a với <i>x</i> <i>y</i> 1, <i>z</i> 2.
Nhận thấy 2
2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>yz</i> <i>zx</i> <i>xy</i> . Theo kết quả câu a thì <i>ABC</i> đồng dạng với tam giác có ba
cạnh là 1, 1, 2. Nghĩa là tam giác <i>ABC</i> vuông cân tại <i>C</i>.
<b>Bài 14. </b> Cho ba số dương <i>a</i><sub>, </sub><i>b</i><sub>, </sub><i>c</i><sub> thoả mãn </sub><i>abc</i>1<sub>. Chứng minh rằng: </sub>
1 1 1
1
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> .
<b>Lời giải </b>
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>
3 3 3
1 1
<i>a b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i>
3
<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>abc</i>
3
<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
1
<i>abc</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
Tương tự 3
3 3 3
1
1
<i>a</i>
<i>b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> ,
3
3 3 3
1
1
<i>b</i>
<i>c a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
Vậy 1 1 1 1
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> .
Đẳng thức xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1.
<b>Bài 15. </b> Cho <i>ABC</i> không tù. Chứng minh rằng: tan tan tan tan .tan .tan 10 3
2 2 2 2 2 2 9
<i>A</i><sub></sub> <i>B</i><sub></sub> <i>C</i><sub></sub> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <sub></sub>
. Dấu
bằng xảy ra khi nào?
<b>Lời giải </b>
Đặt tan
2
<i>A</i>
<i>x</i> , tan
2
<i>B</i>
<i>y</i> , tan
2
<i>C</i>
<i>z</i>
, , 0;1
1
3
<i>x y z</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub>
.
Áp dụng BĐT Cơsi cho ba só không âm 1<i>x</i>, 1<i>y</i>, 1<i>z</i> ta được:
1 1 1
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
3<sub>1</sub>
3<sub>2</sub> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>z</sub></i> <i><sub>xyz</sub></i>
.
3
3
3 10 3
2 1 2 1
3 3 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> (ĐPCM).
Dấu bằng xảy ra khi 3
3
<b>Bài 16. </b> Cho các số thực dương <i>x</i>, <i>y</i>, <i>z</i> thoả mãn <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>. Chứng minh rằng:
2 2 2
3 1 1 1
<i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
8 DAYHOCTOAN.VN
Ta có <i>xyz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 2 <i>xy</i><i>z</i>
2
2 0
<i>z</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>z</i>
<i>xy</i> 1 1 <i>z</i>2
<i>z</i>
(ta loại trường
hợp
2
1 1 <i>z z</i>
<i>xy</i> vì ,<i>x y</i>0).
Với
2
1 1 <i>z</i>
<i>xy</i>
<i>z</i>
, ta có:
2
2
1 1
2 2 . <i>z</i> 2 1 1
<i>z x</i> <i>y</i> <i>z xy</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>z</i>
.
Nên <i>z x</i>
Tương tự, ta có
<i>x z</i><i>y</i> <i>x</i> , <i>y x</i>
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 2 2 2
3 1 1 1
<i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> (ĐPCM)
<b>Bài 17. </b> Tính các góc của tam giác <i>ABC</i>, biết các cạnh <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> và các góc <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> thoả mãn hệ thức:
4
2 3 3
sin sin sin
2 2 2 8
<i>p p</i> <i>a</i> <i>bc</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<sub></sub>
với <i>p</i> là nửa chu vi tam giác <i>ABC</i>.
<b>Lời giải: </b>
4<i>p p a</i> <i>bc</i>
1
cos 1
2
<i>A</i>
2 1
cos
2 4
<i>A</i>
2 3
sin
2 4
<i>A</i>
sin 3
2 2
<i>A</i>
.
1
sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>B C</i> <i>B C</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1
sin 1 cos
2 2 2
<i>A</i> <i>B C</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
1 1 1
sin
8 2 2 2
<i>A</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
1 1 3 1 2 3 3
8 2 2 2 8
<sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
.
Dấu bằng xảy ra khi
3
sin
2 2
cos 1
2
<i>A</i>
<i>B C</i>
<sub></sub>
2
3
6
<i>A</i>
<i>B</i> <i>C</i>
.
<b>Bài 18. </b> Cho , ,<i>a b c</i>0 thoả 21<i>ab</i>2<i>bc</i>8<i>ca</i>12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>P</i> 1 2 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>x</i> 1
<i>a</i>
, <i>y</i> 2
<i>b</i>
, <i>z</i> 3
<i>c</i>
. Điều kiện bài toán trở thành , , 0
2 2 4 7
<i>x y z</i>
<i>xyz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Bài toán quy về tìm giá trị nhỏ nhất của <i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>.
Từ 2<i>xyz</i>2<i>x</i>4<i>y</i>7<i>z</i> <i>z</i>
2 7
2 4
2 7
<i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i>
<i>xy</i>
<sub> </sub>
<sub></sub>
.
Khi đó
14
2
2 4 11 7
2 7 2 2 2 7
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i><sub>x</sub></i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>xy</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>xy</i>
2
11 7
2 1
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
9 DAYHOCTOAN.VN
Dễ dàng chứng minh được: <sub>2</sub>
7
2
<i>x</i>
<i>x</i>
.
7
3
11 3 9 3 9 11
2 .
2 2 2 2 2
<i>x</i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
.
Vậy min 15
2
<i>P</i> khi 1
3
<i>a</i> , 4
5
<i>b</i> , 3
2
<i>c</i> .
Dễ dàng CM được <sub>2</sub>
7
3
7
2 1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
.
<b>Bài 19. </b> Cho hai số <i>x</i>, <i>y</i> thoả <i>x</i>24<i>y</i>2 4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
4 3 2
<i>M</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> .
<b>Lời giải </b>
Từ
2
2 2 2
4 4 1
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <sub> </sub> <i>y</i>
.
Đặt sin
2
<i>x</i> <sub></sub>
, <i>y</i>cos.
2 2
16sin 6 sin cos 2 cos 3sin 2 7 cos 2 9
<i>M</i> .
Áp dụng BĐT Bunhiacopki ta có <i>M</i> đạt giá trị lớn nhất là 9 58 và giá trị nhỏ nhất là 9 58.
Cách 2:
2 2
2 2
4 4 3 2
4
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
<i>M</i>
<i>x</i> <i>y</i>
sử dụng điều kiện có nghiệm của phương tình bậc hai, ta có kết
quả trên.
<b>Bài 20. </b> Cho , ,<i>a b c</i>0 và <i>ab bc ca</i> 1. Chứng minh rằng:
2 2 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2 2 1 1 1
1 1 1 <sub>1</sub> <sub>1</sub> <sub>1</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> .
<b>Lời giải </b>
Từ điều kiện đầu bài, ta đặt tan
2
<i>A</i>
<i>a</i> , tan
2
<i>B</i>
<i>b</i> , tan
2
<i>C</i>
<i>c</i> và <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i> là ba góc trong một tam
giác.
Từ <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2 2
2 2 2 1 1 1
1 1 1 <sub>1</sub> <sub>1</sub> <sub>1</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>a</sub></i> <sub></sub> <i><sub>b</sub></i> <sub></sub> <i><sub>c</sub></i> <sub></sub>
sin sin sin cos cos cos
2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
Mặt khác ta có: sin sin 2 sin cos 2 sin 2 cos
2 2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> ,
sin sin 2 cos
2
<i>A</i>
<i>B</i> <i>C</i> , sin sin 2 cos
2
<i>B</i>
<i>C</i> <i>A</i> .
Cộng các bất đẳng thức trên, ta chứng minh được
2
10 DAYHOCTOAN.VN
<b>Lời giải </b>
Ta có:
2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
3 <i>C</i> 2
0 cos 1
2
<i>C</i>
.
cos 2<i>A</i>cos 2<i>B</i>2 cos <i>A B</i> cos <i>A B</i> 2 cos<i>C</i>cos <i>A B</i> 2 cos<i>C</i>(do cos<i>C</i>0 và
cos <i>A B</i> 1)
Dấu bằng xảy ra khi <i>A</i><i>B</i> hoặc
2
<i>C</i> .
Từ đó
4 2 cos 1 2 2 cos 1 1 2 cos
<i>P</i> <i>C</i> <sub></sub> <i>C</i> <sub></sub> <i>C</i>
8cos2<i>C</i>
4 2 2
16 cos <i>C</i> 8cos <i>c</i> 1 1 2 cos<i>C</i> 4 4 cos <i>C</i> 1 1 2 cos<i>C</i> 4 4
.
Dấu bằng xảy ra khi
3
<i>C</i> .
Vậy <i>P</i> đạt giá trị nhỏ nhất khi
3
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> .
<b>Bài 22. </b> Cho ba số dương <i>a</i> , <i>b</i>, <i>c</i> thoả mãn <i>ab</i> 1 <i>c a b</i>
2 2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>P</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>a</i>tan, <i>b</i>tan , <i>c</i> tan với , 0;
2
<sub></sub> <sub></sub>
, 2;0
<sub></sub> <sub></sub>
.
Từ giả thiết, ta có:
1 tan .tan 1 tan tan tan
<i>ab</i> <i>c a b</i>
1 tan tan
tan 1 tan . tan
tan 2 tan
<sub></sub> <sub></sub>
.
Đặt <i>a</i>tan, <i>b</i>tan, <i>c</i> tan với , 0; , ;0
2 2
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
2 <i>k</i>
, vì
2
nên
2
.
Mà <i>P</i>tan .cos 2tan .cos 2tan .cos 2 1
2
1
2 sin cos 2 sin cos cos cos 1
2
<i>P</i>
cos cos 5
cos 1
2 4 4
<i>P</i> <sub></sub> <sub></sub>
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
cos 1
cos
cos 0
2
1
cos
2
5
12
3
.
2 3
<i>a</i> <i>b</i>
11 DAYHOCTOAN.VN
Vậy GTLN của <i>P</i> là 5
4 khi <i>a</i> <i>b</i> 2 3, <i>c</i> 3.
<b>Bài 23. </b> cho , ,<i>x y z</i> 0. Chứng minh rằng
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>P</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
.
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>a</i> <i>y</i> <i>z</i>, <i>b</i> <i>z</i> <i>x</i>, <i>c</i> <i>x</i> <i>y</i>.
Khi đó <i>a</i>, <i>b</i> , <i>c</i> là ba cạnh của tam giác <i>ABC</i>.
Ta có:
2
2
4 4
<i>b c a c a b</i> <i>c</i> <i>a b</i>
<i>xy</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
2 2 2
1 1 1
cos
4 2 2 2
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>C</i>
<i>ab</i>
.
Tương tự
<i>A</i>
<i>x</i><i>y</i> <i>x</i><i>z</i> ,
1 1
cos
2 2
<i>zx</i>
<i>B</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>y</i><i>x</i> .
Suy ra cos cos 3cos 7
2 2
<i>P</i> <sub></sub> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i><sub></sub>
.
Ta có cos cos 3cos 2 cos cos 3cos
2 2 2 2
<i>A C</i> <i>A C</i>
<i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>B</i>
2
3
2sin cos 1 2sin
2 2 2 2
<i>B</i> <i>A C</i> <i>B</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2 3
3sin 2 sin
2 2 2
<i>B</i> <i>B</i>
2
2 11 11
3 sin
2 3 6 6
<i>B</i>
<sub></sub> <sub></sub>
.
Suy ra 7 11 5
2 6 3
<i>P</i> .
Dấu bằng xảy ra khi
2 4
sin
2 3 3
<i>B</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<i>A</i> <i>C</i> <i>a</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
.
<b>Bài 24.</b> <b><sub>Câu 1. </sub></b> <sub>Cho </sub> , , 0
6
<i>a b c</i>
<i>a b c</i>
Tìm GTNN của
2 1 2 1 2 1
<i>S</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b c</i> <i>a c</i> <i>a b</i>
<b>Bài giải: </b>
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có:
2 1 2 2 2 1
( ) (4 1 ) 4
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b c</i> <i>b c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2 1 2 2 2 1
( ) (4 1 ) 4
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
2 1 2 2 2 1
( ) (4 1 ) 4
<i>c</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta đợc: <i>S</i>. 17 4(<i>a b c</i>) ( 1 1 1 )
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>a c</i>
3
3
4( )
. .
<i>a b c</i>
<i>a b b c</i> <i>c a</i>
( theo bất đẳng thức Côsi)
9
4(<i>a b c</i>)
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>a c</i>
12 DAYHOCTOAN.VN
2 2 2
9
4( )
(1 1 1 ) ( ) ( ) ( )
<i>a b c</i>
<i>a b</i> <i>a c</i> <i>b c</i>
9
4( )
6( )
<i>a b c</i>
<i>a b c</i>
31 9 9
( )
8 8 2 6( ) 2 6( )
<i>a b c</i>
<i>a b c</i>
<i>a b c</i> <i>a b c</i>
2
31 3 93 9 51
.6 3.
8 2 4 2
51
2 17
<i>S</i>
3 17
2
.
Vậy ưMin 3 17
2
<i>S</i> khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 2.
<b>Bài 25. </b> <b>Câu 2. </b> Chứng minh rằng tam giác <i>ABC</i> đều nếu thoả mãn:
2
9
tan tan tan
2 2 2 4
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>R</i>
<i>S</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Trong đó <i>S</i>, <i>R</i> lần lượt là diện tích và bán kính đường trịn ngoại tiếp <i>ABC</i> .
Ta có 1 sin
2
<i>S</i> <i>ab</i> <i>C</i> 2 sin sin sin<i>R</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> thế vào đẳng thức đã cho ta được:
tan tan tan 8 sin si
( ) <i>R</i> <i>A</i> n<i>B</i>sin<i>C</i> 9<i>R</i>
2 2 2 9
4 sin sin sin 4 sin sin sin 4 sin sin sin
2 2 2 4
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i>
2 sin sin cos sin sin cos sin sin cos
4
<i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>C</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
Theo BĐT Côsi: 2 2 2
sin s
sin <i>A</i>sin <i>B</i>sin <i>C</i> <i>A</i> in<i>B</i>sin<i>B</i>sin<i>C</i>sin<i>A</i>sin<i>C</i>
Nên
2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin
4
<i>VT</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> (*)
Dấu đẳng thức xảy ra khi <i>ABC</i> đều.
Chứng minh BĐT (*):
Ta có sin2 sin2 sin2 1 cos 2 1 cos 2 sin2
2 2
<i>A</i> <i>B</i>
<i>M</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>C</i>
1 cos <i>A B</i> cos <i>A B</i> 1 cos <i>C</i>
2
2 cos <i>C</i> cos<i>C</i>cos <i>A B</i>
Xét
4 <i>C</i> o <i>C</i>cos <i>B</i>
<i>M</i> <i>A</i>
1 1
cos cos sin 0
2 4
<i>C</i> <i>A B</i> <i>A B</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Dấu đẳng thức xảy ra khi <i>ABC</i> đều. Suy ra điều phải chứng minh.
<b>Bài 26. </b> <b>Câu 3. </b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>A</i>2 11 2 <i>y</i>4 <i>x</i> <i>y</i> 5<b>, </b>với x, y là các số thực
thoả mãn 2 2
– 2 – 6 6 0
13 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài giải: </b>
Ta thấy 2 2 <sub>– 2 – 6</sub> <sub>6 0</sub>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> là phương trình của đường trịn
2 11 2 4 5
<i>A</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> =2( 11 2 <i>y</i>+ 4<i>x</i>4<i>y</i>20)
=2( (<i>x</i>2<i>y</i>22<i>x</i>6<i>y</i> 6) (11 2 ) <i>y</i> + (<i>x</i>2<i>y</i>22<i>x</i>6<i>y</i> 6) (4<i>x</i>4<i>y</i>20)) = = 2(
2 2
(<i>x</i>1) (<i>y</i>4) + 2 2
(<i>x</i>1) (<i>y</i>5) )2
<i>P</i> nằm bên ngoài
( )
vµ cïng h-íng
<i>o</i>
<i>NM<sub>o</sub></i> <i>NP</i>
<i>M</i> <i>C</i>
toạ độ của điểm <i>Mo</i> là nghiệm của hệ
2 2
- 2 - 6 6 0
1 4
0
2 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
1
5
5
<i>x</i>
<i>y</i>
1 23
;
5 5
<i>o</i>
<i>M</i> <sub></sub> <sub></sub>
.
Với mọi <i>M x y</i>
<i>o</i>
<i>M</i>
<sub></sub> <sub></sub>
=
Vậy min
1
5
23
5
<i>x</i>
<i>y</i>
.
<b>Bài 27. </b> <b>Câu 4. </b> Cho các số thực <i>a b c</i>, , 1, <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 4. Tìm phần nguyên của
1 1 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>B</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
(Phần nguyên của số thực <i>x</i> là số ngun lớn nhất khơng vượt q<i>x</i>, và
được kí hiệu là
<b>Bài giải: </b>
Từ giả thiết suy ra 1<i>a b c</i>, , 2
Nh vậy
2
<i>a</i>
<i>a</i>
≤ 3
2 . Tương tự
1
2
<i>b</i>
<i>b</i>
≤ 3
2 ,
1
2
<i>c</i>
<i>c</i>
≤ 3
2.
Do đó ta có 1 1 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>B</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
≤ 9 5
2 (1).
Theo BĐT <b>Cauchy</b> ta có 1
2
<i>a</i>
<i>a</i>
≥ 2. .1
2
<i>a</i>
<i>a</i>= 2.
Tơng tự 1
2
<i>b</i>
<i>b</i>
≥ 2, và 1
2
<i>c</i>
<i>c</i>
≥ 2.
Suy ra B = 1 1 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub> </sub>
14 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 28. </b> <b>Câu 5. </b> Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: <i>f x y z</i>
trên miền
<i>D</i> <i>x y z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Bài giải: </b>
<i>f x y z</i> <i>x</i> 1 <i>y</i> 2 <i>z</i> 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp số ta có: <i>x</i> 1 <i>x</i> 1.1
<i>x</i> <i>x</i>
1
2
2 2. 2
. 2
<i>y</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i>
1
2 2
; 3 3. 3
3
<i>z</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i>
<sub></sub> 1
2 3
Cộng vế vế các bất đẳng thức ta đợc <i>f x y z</i>
2 2 3
Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i>2,<i>y</i>4,<i>z</i>6
Do đó max <i>f x y z</i>
2 2 3 với
4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
2
1 2 11 3
11
1
<i>x</i> <i>y</i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>xy</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Ta có:
2
1 1 3
11
1
<i>P</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> .
Đặt: <i>t</i> <i>x</i> 1 0
<i>y</i>
.
Ta có:
2
2 3 1 3 1 3 1 47
11 12 2 12 .
2 4 4 4
<i>P</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Đẳng thức xảy ra khi 1
2
<i>t</i> . Giải hệ:
17
4
1 1
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
được: 1
4
<i>x</i> và<i>y</i>4.
Vậy: Min 47
4
<i>P</i> <b> </b>đạt được khi 1
4
<i>x</i> và <i>y</i>4.
<b>Bài 30. </b> <b>Câu 7. </b> Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
2 2
2 2
3
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
<b>Bài giải: </b>
•<i>y</i>0 thì <i>P</i>1.
2
2
3 1
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>P</i>
<i>t</i> <i>t</i>
với
<i>x</i>
<i>t</i>
15 DAYHOCTOAN.VN
Gọi <i>P</i> là một giá trị bất kỳ của nó khi đó phương trình sau ẩn <i>t</i> phải có nghiệm.
1 3 1
<i>P t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>P t</i> <i>P t</i> <i>P</i>
có nghiệm
Hay 1 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
(3 ) 4(1 ) 0 (*)
<i>P</i>
<i>P</i> <i>P</i>
(*) 3<i>P</i>2 – 6<i>P</i>13 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của <i>P</i>
<b>Bài 31. </b> <b>Câu 8. </b> Cho , ,<i>a b c</i> là ba số thực dương.Chứng minh rằng: <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 2
<i>b c</i> <i>a c</i> <i>b a</i>
<b>Bài giải: </b>
2
( )
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>b c</i> <i>a b c</i> <i>a b c</i>
2
( )
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>a c</i> <i>b a c</i> <i>a b c</i>
2
( )
<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>b a</i> <i>c b a</i> <i>a b c</i>
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có điều phải chứng minh
<b>Bài 32. </b> <b>Câu 9. </b> Tìm GTNN của 2 2 2 2
6 12 45 10 16 89
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> .
<b>Bài giải: </b>
2 2 2 2
6 12 45 10 16 89
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
Biến đổi;
3 6 5 8
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
Trong mặt phẳng toạ độ với hệ <i>Oxy</i> ta gọi là đường thẳng có phương trình:<i>x</i>2<i>y</i> 4 0và các
điểm <i>M x y</i>
Bài tốn trở thành tìm toạ độ điểm <i>M</i> thuộc sao cho tổng <i>MA</i><i>MB</i> đạt giá trị nhỏ nhất.
Rõ ràng ,<i>A B</i> nằm về cùng một phía với .
Ta tìm được điểm <i>A</i>
Với <i>M</i> thuộc ta có:<i>MA</i><i>MB</i><i>MA</i><i>MB</i><i>A B</i> (không đổi)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,<i>A M B</i> , thẳng hàng hay <i>M</i> chính là giao điểm của với đường
thẳng <i>A B</i>
Tìm được PT đường thẳng <i>A B</i> là <i>x</i>– 5 0 .
Giải hệ PT: 5 0
2 4 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
5
9
2
<i>x</i>
<i>y</i>
<sub></sub>
Kết kuận:<i>MinP</i>6
5
9
2
<i>x</i>
<i>y</i>
16 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 33. </b> <b>Câu 10. </b> Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> Tìm GTLN của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
1 1 1
5 2 2 5 2 2 5 2 2
<i>T</i>
<i>a</i> <i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>bc</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>ac</i> <i>a</i>
<b>Bài giải: </b>
Ta có:
•
2 2 2 2 2
1 1
5<i>a</i> 2<i>ab</i> 2<i>b</i> 3<i>a</i> 2<i>a</i> 2<i>ab</i> 2<i>b</i>
2
1
3<i>a</i> 6<i>ab</i>
2
1
3<i>a</i> 6<i>ab</i> 2 3 4 2 3 4 2
1 1 1
3<i>a</i> 3<i>ab</i> 3<i>ab</i> <sub>9</sub> <i><sub>a b</sub></i> <sub>3</sub> <i><sub>a b</sub></i>
3 4 2 3 2 3 2 3 2
1 1
3 <i>a b</i> 3 <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
3 2 3 2 3 2
1 1 1 1
. .
3 <i><sub>a</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i>
1 1. 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub>
3 3 <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2 2 2
3 4 2
1 1 1 1 1
3 3
3 <i>a b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
3 3 3 3 6 3 6 3
<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Suy ra: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2
1 1 1 1 1 1
6 3 6 3
5<i>a</i> 2<i>ab</i> 2<i>b</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Tương tự ta có: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2
1 1 1 1 1 1
6 3 6 3
5<i>b</i> 2<i>bc</i> 2<i>c</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2
1 1 1 1 1 1
6 3 6 3
5<i>c</i> 2<i>ac</i> 2<i>a</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
3 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 3 1 1 1
6 3 6 3 2 3 2 3 3
<i>T</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy 1
3
<i>T</i>
<i>Max</i> khi và chỉ khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 3.
<b>Bài 34. </b> <b>Câu 11. </b> Cho <i>x y z</i>, , là các số thực dương thỏa mãn <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>.Chứng minh rằng:
2
2 2
1 1
1 1 <i>x</i> <i>y</i> 1 1 <i>z</i>
<i>xyz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
(I)
<b>Bài giải: </b>
Giả thiết suy ra: 1 1 1 1
<i>xy</i> <i>yz</i><i>zx</i> .
Ta có:
2
2
1 <i>x</i> 1 1 1 1 1 1 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 2 1 1
2 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Dấu ""xảy ra <i>y</i> <i>z</i>
17 DAYHOCTOAN.VN
2
2 2
1 1
1 1 <i>x</i> <i>y</i> 1 1 <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
3 1 1 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Dấu ""xảy ra <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Ta chứng minh:3 1 1 1 <i>xyz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
2 2
3 <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>xyz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
0
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
(Điều này lng đúng).
Dấu bằng có khi và chỉ khi <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>.
Vậy
<b>Bài 35. </b> <b>Câu 12. </b> Cho <i>x y z</i>, , là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: <i>x</i>2<i>y</i>2<i>z</i>2 2011. Tìm giá trị nhỏ nhất
của <i>P</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<b>Bài giải: </b>
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
<i>x y</i> <i>x z</i> <i>z y</i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
=
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2.2011
<i>x y</i> <i>x z</i> <i>z y</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
Ta có,theo BĐT Cosi:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
<i>x y</i> <i>x z</i> <i>z y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>x</i> .
Nên <i>P</i>2 3.2011 <i>P</i> 3.2011.
Vậy GTLN của P bằng 3.2011 đạt đợc khi 2011
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Bài 36. </b> <b>[0D4-4]</b> Cho <i>a,b,c</i> là các số dương thỏa mãn:<i>ab bc ca</i> 3<i>. </i>Chứng minh rằng :
<i>2</i> <i>2</i> <i>2</i>
<i>1</i> <i>1</i> <i>1</i> <i>1</i>
<i>+</i> <i>+</i>
<i>1+ a</i> <i>b+ c</i> <i>1+b</i> <i>c + a</i> <i>1+ c</i> <i>a +b</i> <i>abc</i>.
<b>Lời giải </b>
Từ giả thiết <i><sub>3 = ab+bc+ca</sub></i><i><sub>3 a b c</sub>3</i> <i>2</i> <i>2 2</i> <i>3</i> <i><sub>a b c</sub>2</i> <i>2</i> <i>2</i> <i><sub>1</sub></i>
<i>abc 1</i>
.
Nên ta có :
2 2
1 1 1 1
1<i>a</i> <i>b c</i> <i>abc</i><i>a</i> <i>b c</i> <i>a ab bc ca</i> 3<i>a</i>.
Tương tự:
<i>2</i>
<i>1</i> <i>1</i>
<i>1+b</i> <i>c + a</i> <i>3b</i>; <i>2</i>
<i>1</i> <i>1</i>
<i>1+ c</i> <i>a +b</i> <i>3c</i>.
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
<i>ab bc ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i> <i>b a c</i> <i>c b a</i>
Dấu bằng xảy ra a b c 1.<b> </b>
<b>Bài 37. </b> <b>[0D4-4]</b> G Cho ba số thực không âm <i>a b c</i>, , thỏa mãn điều kiện: <i>a b c</i> 1. Tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức <i>F</i><i>ab bc ca</i> 2<i>abc</i>.
18 DAYHOCTOAN.VN
Điều kiện: <i>x</i> 2.
Từ giả thiết, chỉ ra được a; b;c
Ta có <sub>ab bc ca</sub> <sub>3 (abc)</sub>3 2 <sub>3 (abc)</sub>3 3 <sub>3abc</sub><sub>2abc</sub><sub>, suy ra </sub><i><sub>F</sub></i><sub>0</sub><sub>. </sub>
Dấu bằng có xảy ra, chẳng hạn tại <i>a</i> <i>b</i> 0; <i>c</i>1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của <i>F</i>là 0 đạt được khi <i>a</i> <i>b</i> 0; <i>c</i>1 và các hoán vị.
Khơng mất tính tổng qt giải sử a b c a 0; 1
3
<sub></sub> <sub></sub>.
Ta có: ab bc ca 2abc a b c
.
a 1 a 1 a 1 2a
4
.
1 1
1 a 2a a 1 1 2a a 1
4 4
<sub></sub> <sub></sub>.
3
1 1 2a a a 7
1
4 3 27
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Vậy giá trị lớn nhất của <i>P</i> là 7
27 đạt được khi:
1
a b c
3
.
<b>Bài 38. </b> <b> [0D4-4]</b> Cho <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i><sub> là các số thực khác </sub>0.Chứn minh rằng: <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>6</b>. Dấu
đẳng thức xảy ra khi nào?
<b>Lời giải </b>
2
2 2 1 0
<i>t</i> <i>t</i> <i>mx m</i>
( ) ( ) ( )
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> .
Do <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i> khác0 nên <i>a</i><b>2</b>, <i>b</i>2,<i>c</i>2 là các số dương.Á dụng bất đẳng thức cauchy ta có: <i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<i>a b</i>
<i>b a</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>, <i>a</i> <i>c</i>
<i>c</i> <i>a</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<i>a c</i>
<i>c a</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>, <i>b</i> <i>c</i>
<i>c</i> <i>b</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<i>b c</i>
<i>c b</i>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>.
Vậy <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>6</b>.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i><b>2</b> <i>b</i><b>2</b> <i>c</i><b>2</b>
.
<b>Bài 39. </b> <b>[2D1-4]</b> Chứng minh:
1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> .
<b>Lời giải </b>
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp 3 số:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
) ( 1)( ) (2 1)( )
19 DAYHOCTOAN.VN
Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp 3 số:
)
d
c
x
)(
1
x
2
(
)
d
( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(<i>x</i> <i>ax b</i> ) (<i>x</i> <i>cx</i><i>d</i>) (2<i>x</i> 1)(<i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> ) (2 <i>x</i> 1)(<i>x</i> <i>c</i> <i>d</i> )
)
d
c
b
a
x
2
)(
1
x
2
( 2 2 2 2 2 2
.
2
2
2
2
)
1
x
2
(
)
1
x
2
)(
1
x
2
(
( Vì <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>c</i>2 <i>d</i>2 1).
Vậy:
2 1
<i>x</i> <i>ax b</i> <i>x</i> <i>cx</i><i>d</i> <i>x</i> .
Đẳng thức xảy ra
2 1 1
<i>x</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>a</i> <i>c</i> <i>bx</i><i>dx</i>.
<b>Bài 40. </b> <b> [0D4-4]</b> Cho a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,..a<sub>10</sub> là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
1 2 10
10 1 2 9
...
...
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>P</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
.
<b>Lời giải </b>
Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 10 1 10 2 10 9 10
1 1 1
... ...
9 9 9
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> .
Áp dụng BĐT cauchy ta có: 2 <sub>1</sub> <sub>10</sub>
10
2
1 a a
3
2
a
9
1
a .
2<sub>2</sub> <sub>10</sub>2 a<sub>2</sub>a<sub>10</sub>
3
2
a
9
1
a .
...
2 2
9 10 9 10
1 2
9 3
<i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> .
<sub>1</sub>2 <sub>2</sub>2 <sub>10</sub>2 a<sub>10</sub>
2
a
...
a .
<b>Bài 41. </b> <b>[0D4-4]</b> Chứng minh rằng: 1 1 2; , 1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i><sub>n</sub></i> <i><sub>n</sub></i>
<i>n</i> <i>n</i>
.
<b>Lời giải </b>
Từ điều kiện <i>n</i> , <i>n</i>1 ta có: <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
1 0
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
.
Áp dụng BĐT cauchy cho <i>n</i> số dương: 1 ;1;1;...;1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
ta có:
1 1 .1.1...1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i><sub>n</sub></i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
20 DAYHOCTOAN.VN
1
1 1 ... 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
ta có:
1 1 .1.1...1
<i>n</i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i><sub>n</sub></i> <i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1
1 1 ... 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 <i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
<sub></sub> <sub></sub>
1 2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
Từ
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n
n
1
n
2
n
n
n
n
n
.
Đẳng thức khơng thể xảy ra vì <i>n</i> , <i>n</i>1 ta có:
n
n
1
1
n
n
1
n
n
.
Vậy: 2
n
n
1
n
n
1 n
n
n
n
.
<b>Bài 42. </b> <b>[0D4-4]</b> Cho <i>a<sub>i</sub></i>,<i>b<sub>i</sub></i> ,
a)Chứng minh rằng:
3
3
2
2
1
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 a a b b b a b a b a b
a
b) Giả sử <i>a a</i><sub>1 2</sub><i>a a</i><sub>2</sub> <sub>3</sub><i>a a</i><sub>3 1</sub>4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 4
1 2 3
<i>P</i><i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> .
<b>Lời giải </b>
a) TH1: Nếu <i>a</i>1<i>a</i>2 <i>a</i>30 hoặc <i>b</i>1 <i>b</i>2 <i>b</i>3 0 thì BĐT đúng.
TH2: Nếu 2 2 2
1 2 3 0
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> .
Xét hàm số:
1 2 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3
<i>f x</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>x</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>a b x</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> .
2 2 2
1 2 3 0
0
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub>
mà 2 2 2
1 2 3 0
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> luôn đúng 0
1 2 3
<i>a</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> .
b) Áp dụng BĐT
2 2 2
4 4 4 4 4 4
1 2 3 . 2 3 1 1 2 2 3 3 1
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <sub></sub> <i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> <sub></sub>
1 2 2 3 3 1 . 1 1 1 1 2 2 3 3 1 4
<i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i> .
1 2 2 3 3 1
16
.
3
<i>a a</i> <i>a a</i> <i>a a</i>
Thay
2
2
4 4 4
1 2 3
16
3
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
.
16
3
21 DAYHOCTOAN.VN
Vậy giá trị nhỏ nhất của <i>P</i> là: 16
3
<i>P</i> khi <sub>1</sub> <sub>2</sub> <sub>3</sub> 2
3
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> .
<b>Bài 43. </b> <b>[0D4-4]</b> Cho <i>x y z</i>, , không âm thỏa mãn: <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i><i>xyz</i>4. Chứng minh rằng:
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>.
<b>Lời giải </b>
Ta có: xyyzzxxyz4 xyyzzx4xyz
Từ điều kiện đề bày thì , ,<i>x y z</i> khơng đồng thời bằng khơng, hơn nữa chỉ có tối đa một số bằng
khơng. Khơng mất tính tổng qt giả sử rằng: ,<i>x y</i>0.
Từ
xy
y
xy
4
z
.
Khi đó:
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
.
i) Nếu
Đẳng thức xảy ra
ii) Nếu (1x)(1y)0. Ta có:
2 1 1
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> (1 <i>x</i>)2 (1 <i>y</i>)22(1<i>x</i>)(1<i>y</i>)4(1<i>x</i>)(1<i>y</i>)<sub>. </sub>
Nhưng do: 0
xy
y
x
xy
4
z
và ,<i>x y</i> 0 4 <i>xy</i>0 4 <i>xy</i>
<b>Bài 44. </b> <b>Bài 27.</b> Cho các số thực <i>a b c d</i>, , , thoả mãn 4<i>a</i>2<i>b</i>2 2và<i>c d</i> 4 . Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức <i>P</i>2<i>ac bd cd</i> .
<b>Bài giải: </b>
Ta có
2
2
2 4 1
4
<i>c</i>
<i>ac</i> <i>a</i>
2
2
2
4
<i>d</i>
<i>bd</i> <i>b</i>
2
3
8 2
<i>c d</i> <i>cd</i>
<i>cd</i>
Cộng vế
2 2
2 2 2 2 3
2 4 4 8
4 4 2 8 8
<i>c d</i> <i>c d</i>
<i>c</i> <i>d</i> <i>cd</i>
<i>P</i> <i>ac bd</i> <i>cd</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
8 ; ; ; ;1; 2; 2
2
<i>P</i> <i>a b c d</i> <sub></sub>
. Vậy giá trị lớp nhất của <i>P</i>bằng 8.
<b>Bài 45. </b> <b>Bài 31. </b> Cho <i>a b c</i>, , là ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng
2 2 2
22 DAYHOCTOAN.VN
Trước hết ta chứng minh 2 2
(<i>b c</i> ) <i>a</i>
Tương tự: 2 2 2 2
(<i>a c</i> ) <i>b</i> , (<i>b a</i> ) <i>c</i>
Từ đó suy ra:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
<b>Bài 46. </b> <b>Bài 33</b>. Cho , ,<i>x y z</i>là 3 số dương thỏa mãn điều kiện
<b>Bài giải: </b>
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Ta có, theo BĐT Cơsi:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
<b>Bài 47. </b> <b>Bài 34. </b> Cho <i>x y z</i>, , là 3 số thực thỏa mãn :<i>x</i><b>2</b> <i>xy</i> <b>4</b><i>y</i><b>2</b> <b>3</b><i>yz</i> <i>z</i><b>2</b> <b>3 2</b>. Chứng minh
rằng <i>x</i> <b>5</b><i>y</i> <i>z</i> <b>13</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b> . Dấu " " xảy ra khi nào?
<b>Bài giải: </b>
Ta có: <i>x</i><b>2</b> <i>xy</i> <b>4</b><i>y</i><b>2</b> <b>3</b><i>yz</i> <i>z</i><b>2</b> (<i>x</i> <b>1</b><i>y</i>)<b>2</b> (<b>3</b><i>y</i> <i>z</i>)<b>2</b> <b>3</b><i>y</i><b>2</b> <b>3 2</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> .
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có:
(<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>) (<i>x</i> <i>y</i>) ( <i>y</i> <i>z</i>) <i>y</i>
<b>2</b>
<b>2</b>
<b>5</b> <b>1</b> <b>3</b> <b>1</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> <b>2</b> (<i>x</i> <i>y</i>) ( <i>y</i> <i>z</i>) ( <i>y</i>)
<b>2</b>
<b>1</b> <b>3</b> <b>1</b> <b>3</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>6</b> <b>2</b>
( <b>2</b> <b>2</b> ( <b>1</b> ) ) (<b>2</b> <i>x</i> <b>1</b><i>y</i>)<b>2</b> (<b>3</b><i>y</i> <i>z</i>)<b>2</b> <b>3</b><i>y</i><b>2</b>
<b>1</b> <b>1</b>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>
<b>6</b>
(<i>x</i> <b>5</b><i>y</i> <i>z</i>)<b>2</b> <b>13</b> <b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>5</b> <b>13</b>
<b>2</b>
23 DAYHOCTOAN.VN
Dấu " " xảy ra khi
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>yz</i> <i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>2</b> <b>2</b> <b>2</b>
<b>4</b> <b>3</b> <b>3 2</b>
<b>3</b>
<b>1</b> <b>3</b>
<b>2</b>
<b>2</b> <b>2</b>
<b>1</b>
<b>1</b> <b>1</b>
<b>6</b>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<b>5</b> <b>2 2</b>
<b>2</b> <b>13</b>
<b>2 2</b>
<b>13</b>
<b>3</b> <b>2 2</b>
<b>2</b> <b>13</b>
.
<b>Bài 48. </b> <b>Bài 38. </b> <b> </b>Cho , ,<i>x y z</i>0, <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1 . Tìm <i>MaxP</i> ,
2 2 2 2 2 2
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>P</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<b>Bài giải: </b>
1 1
2
2 2 9 1 1 2 9 2
<i>cyc</i> <i>cyc</i> <i>cyc</i>
<i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i> <i>xy</i>
<i>P</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
3 ( ) 1
3
<i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>
2 9
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i>
Nên 1 2 (2 2 2 ) 1
9 3 9 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>P</i> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 49. </b> <b>Bài 39. </b> <b> </b>Chứng minh:
3 4 2 2 3 4 4 2 3 9
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>xz</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<b>Bài giải: </b>
Áp dụng BĐT :
9
1
1
1
1
9
1
1
1
)
( <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
24 DAYHOCTOAN.VN
Tương tự 9( )(3)
2
81
2
3
2
4 <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>xz</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>xz</i>
Từ (1);(2);(3) ta có
9
27
)
(
2
27
)
(
9
)
(
2
27
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>zx</i>
<i>yz</i>
<i>xy</i>
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>Q</i>
Vì
3
1
<i>z</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>zx</i>
<i>yz</i>
<i>xy</i>
<b>Cách 2: </b>
Áp dụng
2 2 2 2
(a b c) a b c
A B C A B C
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
với , ,<i>a b c</i> không âm và <i>A B</i>, dương. Dấu " " xảy ra khi
a b c
A B C ta có:
Tương tự ta có:
Dấu " " xảy ra khi x y z
Lại có 3(<i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>)(<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>)2
2
(ĐPCM) Dấu " " <sub>xảy ra khi </sub> x y z
<b>Cách 3: </b>
25 DAYHOCTOAN.VN
Ta có:
1 1 1 9
x y z x y z x 2y 3x 4y 2z
2xy xy 9xy
x y z x 2y 3x 4y 2z
Tương tự:
2
9xy 9yz 9zx xy yz zx xy yz zx
2
3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y x y z x 2y y 2z z 2x
x y z xy yz zx 2 xy yz zx
2 x y z
3 x y z x 2y y 2z z 2x 3 x 2y y 2z z 2x
Ta chỉ cần chứng minh:
Thật vậy:
9 x 2y
Tương tự:
Suy ra
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z.
<b>Bài 50. </b> <b>Bài 42. </b> <b> </b>Chứng minh bất đẳng thức :
2
2
2
2
3
2
3
2
3
1
1
1
2
2
<i>x</i> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
biết , ,<i>x y z</i>
là các số thực dương
<b>Bài giải: </b>
Ta có: 1 1 (1)
2
1
2 2 2
2
3
2
3
<i><sub>x</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
1 1 (2)
2
1
2 2 2
2
3
<i>z</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>y</i>
<i>y</i>
; 1 1 (3)
2
1
2 2 2
2
3
<i>x</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>z</i>
<i>z</i>
Cộng với vế của (1);(2);(3) ta được đpcm.
<b>Bài 51. </b> <b>Bài 44. </b> Cho <i>x</i> và <i>y</i>là hai số dương thỏa mãn
thức:
2010 <i>y</i> 2010 <i>x</i> 2010( 1 1 ) ( )(1)
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i>
26 DAYHOCTOAN.VN
Theo BĐT Cơ si ta có
<i>y</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i>
4
1
1
. Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i> <i>y</i>(2)
TheoBĐT Bunhiacốpski ta có( <i>x</i> <i>y</i> )2 2(<i>x</i> <i>y</i>)2.20104020 <i>x</i> <i>y</i> 4020(3)
Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i> <i>y</i>
Từ (1);(2) và (3) ta suy ra 2010.4 4020 4020
4020
<i>P</i> . Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i> <i>y</i>
Vậy <i>P</i> đạt GTNN là 4020 khi<i>x</i> <i>y</i> 1005.
<b>Bài 52. </b> <b>Bài 45. </b> Cho , ,<i>x y z</i> là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz. Chứng minh rằng:
2
2 <sub>1</sub> <sub>1</sub> 2
1 1 1 1
(1)
<i>y</i>
<i>x</i> <i>z</i>
<i>xyz</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài giải: </b>
Giả thiết suy ra: 1 1 1 1
xyyzzx .
Ta Có:
2
2
1 x 1 1 1 1 1 1 1 1
x x xy yz zx x y x z
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 2 1 1
;" " y z
2 x y z
<sub></sub> <sub></sub>
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được:
2
2 2
1 1
1 1 1 1
<i>y</i>
<i>x</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
1 1 1
3 ;" " x y z
x y z
<sub> </sub> <sub> </sub>
Ta sẽ CM:3 1 1 1 xyz
x y z
<sub> </sub> <sub></sub>
2 2
3 xy yz zx xyz x y z
Dấu bằng có khi và chỉ khi , ,<i>x y z</i>Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 3
<b>Bài 53. </b> <b>Bài 49. </b> <b> </b>Cho , ,<i>a b c</i>là các số dương thỏa mãn : <i>ab bc ca</i> 3 . Chứng minh rằng :
2 2 2
<b>Bài giải: </b>
Từ giả thiết 3 2 2 2
3<b>ab bc ca</b> 3 <b>a b c</b> <b>abc</b>1
Nên ta có :
2 2
1 1 1 1
1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a
Tương tự
2 2
1 1 1 1
;
27 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 54. </b> <b>Bài 51. </b> <b> </b>Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện :
<b>Bài giải: </b>
Với ,<i>x y</i>0, ta có :<i>x</i>3<i>y</i>3<i>xy x</i>( <i>y</i>) .Từ đó :
3
3
Mà
Vậy : <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub>
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i>2<i>b</i>3<i>c</i>1,khi đó
<b>Bài 55. </b> Cho <i>a</i> và <i>b</i> là hai số thực dương, <i>m</i> là số tự nhiên. Chứng minh: 1
1 1 2
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<b> </b>
<b>Bài giải: </b>
0, 0
<i>a</i> <i>b</i> nên 1 <i>b</i> 0,1 <i>a</i> 0
<i>a</i> <i>b</i>
Áp dụng bđt Cosi: 1
1 1 2 4 2
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
Nên 1 1 2 1 1
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Hay: 1 1 2 2
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>
Áp dụng bđt Cosi cho 2 số <i>b</i> 0,<i>a</i> 0
<i>a</i> <i>b</i> : Ta có: 2
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<b>Bài 56.</b> <sub>Cho hai số </sub><i><sub>x y</sub></i><sub>,</sub> <sub> thoả mãn </sub> 2 2
4<i>x</i> <i>y</i> 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của <i>M</i> <i>x</i>23<i>xy</i>2<i>y</i>2
<b>Bài giải: </b>
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2
4( - 3 2 ) 4 -12 8
4 4
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
<i>M</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
+ <i>y</i>0 thì <i>M</i> 1
+ <i>y</i>0 thì
2
2
4 -12 8
, ( ) (*)
<i>t</i> <i>t</i> <i>x</i>
<i>M</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>y</i>
Gọi <i>M</i> là một giá trị bất kỳ của nó thì
12
28 DAYHOCTOAN.VN
*, <i>M</i> 1 để
<i>D</i> <i>M</i> <i>M</i> <i>M</i> 9 85 9; 85
2 2
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy giá trị nhỏ nhất của 9 85
2
<i>M</i>
<b>Bài 57. </b> Cho <i>x y</i>, thỏa mãn: <i>x</i>2<i>y</i>2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: <i>P</i> 2<i>x</i>2<i>xy</i> 2<i>y</i>2
<b>Bài giải: </b>
<i><b>Cách 1:</b></i> Ta xét 2 trường hợp:
TH1:<i>y</i> 0 <i>x</i>2 1. Khi đó <i>P</i> 2
TH2: <i>y</i>0 khi đó ta có thể đặt <i>x</i><i>k y</i>.
ĐK bài toán trở thành 2 2
(<i>k</i> 1)<i>y</i> 1 và <i>P</i>( 2<i>k</i> <i>k</i> 2)<i>y</i>2
Do đó
2 2 2
2
2 2 2
( 2 2) 2 2
( 2) ( 2) 0
1 ( 1) 1
<i>P</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>y</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>P</i> <i>P</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>P</i>
<i>k</i> <i>y</i> <i>k</i>
(*)
Để (*) có nghiệm thì 0 hay 1 4.( 2)( 2) 0 9 2 0
4
<i>P</i> <i>P</i> <i>P</i>
suy ra 3
2
<i>P</i>
Khi 3
2
<i>P</i> thay vào (*) được <i>k</i> 1
3 2 2
Suy ra
2
2
2
2
1 1 (3 2 2)
1 1 18 12 2
1
3 2 2
<i>y</i>
<i>k</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
Nếu <i>y</i> 3 2 2
18 12 2
thì
1
18 12 2
<i>x</i>
Nếu <i>y</i> 2 2 3
18 12 2
thì
1
18 12 2
<i>x</i>
Vậy ax
3
2
<i>m</i>
<i>P</i> với <i>x y</i>; nhận các giá trị như trên.
<i><b>Cách 2:</b></i> Áp dụng BĐT <i>ab</i><i>a</i>2<i>b</i>2 ta được
2 2
2 2 2 1 . . 2 2 1 .
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
2 2
2 2
2 2 2 1 . 2 2 1 . 3
2 2
2 2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
29 DAYHOCTOAN.VN
Trong mặt phẳng tọa độ chọn <i>u</i> và <i>v</i> sao cho
2 2
3
.( )
2
<i>P</i> <i>u</i> <i>v</i>
<i>u</i> <i>v</i> <i>x</i> <i>y</i>
Khi chọn xong rồi thì ta có ngay BĐT: <i>u</i> <i>v</i> <i>u v</i>
Từ đó tìm được GTLN của <i>P</i> rồi xét điều kiện xảy ra dấu “=” <i>u</i> <i>v</i>
<b>Bài 58. </b> Cho các số <i>x y z t</i>; ; ; và <i>x</i>4;<i>y</i>6;<i>z</i>7;<i>t</i>8. Tìm giá trị lớn nhất của
<i>A</i> 1
<b>Bài giải: </b>
Từ gt ta có <i>A</i> <i>t</i> 8 <i>z</i> 7 <i>y</i> 6 <i>x</i> 4
<i>t</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
= 8 8 7 7 6 6 4 4
8 7 6 4
<i>y</i>
<i>t</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 1 1 1
2 8 2 7 2 6 2 4 2 8 2 7 2 6 2 4
<i>t</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>x</i>
Vậy GTLN của <i>A</i> là MaxA= 1 1 1 1
2 82 7 2 6 2 4 khi
4 4
6 6
7 7
8 8
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>z</i>
<i>t</i>
<sub> </sub>
hay
8; 12 14; 16
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>t</i>
<b>Bài 59. </b> Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5
8
<i>x</i>
<i>A</i>
<i>x</i>
Với <i>x</i>
<b>Bài giải: </b>
5 3 8 3 1
8 8
2 2
8 8 8
<i>x</i> <i>x</i>
<i>A</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
- Áp dụng Cosi 8 3 6
2 8
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
. Đẳng thức xảy ra khi:
8 3
2 8
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i>14.
- Với 14 1 8 1 6
2 2
<i>x</i> <i>x</i> Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i>14.
Vậy: 3 6
2
<i>A</i> Đẳng thức xảy ra khi <i>x</i>14.
<b>Bài 60. </b> Cho các số dương <i>a b c</i>; ; thỏa mãn điều kiện <i>a b c</i> 3. Chứng minh: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<b>Bài giải: </b>
Ta có:
2 2
2 2
1 1 2 2
<i>a</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
.
30 DAYHOCTOAN.VN
<sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3
1 1 1 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
(Do <i>a b c</i> 3 nên dễ có: <i>ab bc ca</i> 3).
Đẳng thức xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1.
<b>Bài 61. </b> CMR với mọi tam giác <i>ABC</i> bất kì ta có:
1) sin2 <i>A</i>sin2<i>B</i>sin2<i>C</i> 2 2 cos .cos .cos<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
2) 1 sin 1 sin 1 sin 2 cos cos cos
4 4 4
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài giải: </b>
1) 1 cos 2 1 cos 2 2 2
sin 2 cos( ).cos( ) cos
2 2
<i>A</i> <i>B</i>
<i>VT</i> <i>C</i> <i>A</i><i>B</i> <i>A</i><i>B</i> <i>C</i>
2 cos<i>C</i> cos(<i>A B</i>) cos<i>C</i> 2 cos<i>C</i> cos(<i>A B</i>) cos(<i>A B</i>)
2 2cos .cos .cos<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
2)Áp dụng BĐT Bunhia ta có:
1 sin 1 sin 2(2 sin sin ) 2(2 2sin cos )
2 2
<i>A B</i> <i>A B</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
2 1 cos 2 2 cos , (1)
2 4
<i>C</i> <i>C</i>
1 sin 1 sin 2 2 cos , (2) 1 sin 1 sin 2 2 cos , (3)
4 4
<i>A</i> <i>B</i>
<i>B</i> <i>C</i> <i>C</i> <i>A</i>
Cộng theo vế ba BĐT trên suy ra điều phải chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi tam giác <i>ABC</i> đều.
<b>Bài 62. </b> Cho đường tròn có bán kính cố định bằng <i>R</i><sub>0</sub>, tam giác <i>ABC</i> nội tiếp đờng trịn đó. Gọi <i>m m m<sub>a</sub></i>, <i><sub>b</sub></i>, <i><sub>c</sub></i>
lần lợt là độ dài đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh <i>A B C</i>, , của tam giác <i>ABC</i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài giải: </b>
Áp dụng định lí Sin ta có :
0
Mặt khác:
2 2 2
2
<i>a</i> <i>a</i>
Theo BĐT Côsi:
<i>a</i> <i>a</i>
2
2 2 2
Tơng tự:
2
2 2 2
2
2 2 2
Thay vào
0
0
31 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 63. </b> Cho <i>x y z</i>, , là các số thực dương thỏa mãn <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3. Chứng minh bất đẳng thức:
2 2 2
3 3 3 1
8 8 8
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Theo bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có:
2 2
3 2 ( 2) ( 2 4) 6
8 ( 2)( 2 4)
2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2 2
2
3
2
6
8
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Tương tự, ta cũng có: 2 <sub>2</sub> 2 2 <sub>2</sub> 2
3 3
2 2
;
6 6
8 8
<i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>z</i>
.
Từ đó suy ra:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 3 3
2 2 2
6 6 6
8 8 8
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
. (1)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2( )
6 6 6 ( ) 18
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
(2)
Ta chứng minh:
2
2 2 2
2( )
1 3
( ) 18
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Thật vậy, ta có:
<i>x</i>2<i>y</i>2 <i>z</i>2 (<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>) 18
2 18
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
12 0
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Nên
Mặt khác, do <i>x, y, z</i> là các số dương nên ta có: <i>x</i>2<i>y</i>2<i>z</i>2 <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>,
3( )
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>
Mà <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3 nên bất đẳng thức (3) đúng.
Từ (1), (2) và (3), ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1.
<b>Bài 64. </b> Tìm GTLN của
1 . 3 , 1;3
<i>y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài giải: </b>
Ta có :72<i>y</i>(3<i>x</i>3) (6 2 )2 <i>x</i> 3
Áp dụng Côsi :<sub>(3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3) (3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>3) (6 2 ) (6 2 ) (6 2 )</sub><i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i> <sub>5 72</sub>5 <i><sub>y</sub></i>
13 13
5 5
3 3
min
8.5 8.5
<i>y</i> <i>y</i>
khi 3
5
<i>x</i>
<b>Bài 65. </b> Cho <i>a b c</i>, , là các số dương thỏa mãn <i>a b c</i> 1. Chứng minh rằng:
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> 3
<i>ab c</i> <i>bc a</i> <i>ca b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
32 DAYHOCTOAN.VN
Biến đổi 1 1
1 (1 )(1 )
<i>a b</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>ab c</i> <i>ab</i> <i>b a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Từ đó 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
<i>c</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>VT</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
Do <i>a b c</i>, , dương và <i>a b c</i> 1 nên <i>a b c</i>, , thuộc khoảng
3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
<i>c</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>VT</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
3 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài 66. </b> Cho các số thực
2 2
<b>Bài giải: </b>
Đặt 2 2
3
<i>P</i><i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> và <i>Q</i><i>x</i>2<i>xy</i><i>y</i>2.
Khi đó 0 <i>Q</i> 3
Nếu <i>y</i>0 thì 0 <i>Q</i> <i>x</i>2 3 và khi đó 4 3 3 0 <i>Q</i> <i>x</i>2 3 4 3 3 bất đẳng thức cần chứng
minh đúng
Nếu <i>y</i>0 thì
2 2
2 2
3
.<i>P</i> .<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
<i>P</i> <i>Q</i> <i>Q</i>
<i>Q</i> <i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
Chia cả tử và mẫu cho 2
0
<i>y</i> và đặt <i>x</i> <i>t</i>
<i>y</i> thì
2
2
3
.
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>P</i> <i>Q</i>
<i>t</i> <i>t</i>
+ Để ý rằng 0 <i>Q</i> 3, nên cần chứng minh:
2
2
3
3 1 3
<i>R</i>
<i>t</i> <i>t</i>
Ta có
2
2
2
3
1 1 3 0
1
<i>t</i> <i>t</i>
<i>R</i> <i>R</i> <i>t</i> <i>R</i> <i>t</i> <i>R</i>
<i>t</i> <i>t</i>
+ Với <i>R</i>1, do
3 3
<i>R</i>
và <i>R</i>1
<b>Bài 67. </b> Chứng minh rằng với mọi <i>ABC</i> nhọn ta luôn có tan .tan .tan<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>1.
<b>Hướng dẫn giải</b>
Vì <i>ABC</i> nhọn nên tan , tan , tan<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>0
tan tan
0
tan
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<sub></sub>
nên
tan tan
tan . tan 1 1
tan
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A B</i>
.
33 DAYHOCTOAN.VN
Từ ba bất đẳng thức vừa kể trên suy ra 2 2 2
tan <i>A</i>. tan <i>B</i>. tan <i>C</i>1
<b>Bài 68. </b> Cho các số thực dương <i>x y z</i>, , thỏa mãn điều kiện <i>x</i>5<i>y</i>5<i>z</i>5 3.
Chứng minh rằng
5 5 5
2 4 2 4 2 2
5 7 3
2 3 4 2 14 6 2 19 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i><i>x</i> <i>y</i> .
<b>Hướng dẫn giải</b>
Ta có
5 5
2
2
2 3 2
2 3 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>y</i>
<i>y</i> <i>y</i>
(1). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>y</i>1.
Xét hàm số 4 2
( ) 4 2 14
<i>f z</i> <i>z</i> <i>z</i><i>x</i> <i>x</i> ( với <i>x</i> là tham số) trên
( ) 4 4; ( ) 0 1
<i>f z</i> <i>z</i> <i>f z</i> <i>z</i>
Bảng biến thiên của hàm số <i>f z</i>
Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 1 2 11 10
<i>f z</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>z</i>1,<i>x</i>1<i>. </i>
Khi đó
5 5 5
4 2
5 5
4 2 14 10 2
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
<i>z</i> <i>x</i> <i>z</i> <i>x</i> (2).
Xét hàm số 4 2 2
( ) 6 2 19
<i>g x</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i><i>x</i> <i>y</i> ( với <i>y</i> là tham số) trên
( ) 4 2 6; ( ) 0 1
<i>g x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>g x</i> <i>x</i>
Bảng biến thiên của hàm số <i>g x</i>
Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 1 2 15 14
<i>g x</i> <i>g</i> <i>y</i> <i>y</i> . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>x</i>1<i>, y</i>1<i>. </i>
Khi đó
5 5 5
4 2 2
7 7
6 2 19 14 2
<i>z</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i><i>x</i> <i>y</i> (3).
34 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 69. </b> Cho <i>a b c</i>, , 0. Chứng minh rằng 2<i>abc</i>
Trong ba số <i>a</i>1,<i>b</i>1,<i>c</i>1 ln tồn tại hai số có tích khơng âm (ngun lý Dirchlet). Khơng mất
tính tổng qt, giả sử
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
1 1 1 1 2 2 1 2
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b c</i> .
Do đó 1
2 1 1 1 2 1 2
2
<i>abc</i> <sub></sub> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <sub></sub><i>abc</i> <i>a</i> <i>b c</i>
Mà <i>abc</i> 2
Suy ra 2 1
<i>abc</i> <sub></sub> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <sub></sub> <i>a b c</i> chính là (1).
Dấu “=” khi và chỉ khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1 hoặc 0, 1 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> và các hoán vị.
<b>Bài 70. </b> Cho các số thực không âm <i>a b c</i>, , thỏa mãn <i>a b c</i> 1. Chứng minh rằng 3 5 5
4
<i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i> .
<b>Hướng dẫn giải</b>
Theo giả thiết ta có
1 0 0 1
1 0 0 1
<i>c</i> <i>a b</i> <i>a b</i>
<i>a c</i> <i>b</i> <i>b</i>
Khi đó
3 5 3 2 3 1 2 1 (
3 2
<i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i> <i>ab</i> <i>c a b</i> <i>bc</i> <i>ab</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>b</i> <i>a b</i>
<i>a b</i> <i>a b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>ab</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Xét hàm <i>f x</i>
4
<i>f x</i> <i>x</i>
Theo chứng minh trên <i>a b</i>
4 4
<i>f a</i><i>b</i> <i>f b</i> <i>ab</i> .
Suy ra 3 5 3.1 2.1 5
4 4 4
<i>ab</i> <i>ac</i> <i>bc</i>
Dấu đẳng thức xảy ra khi 0; 1
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 71. </b> Cho <i>x y z</i>, , là các số thực dương thỏa mãn . .<i>x y z</i> 3. Tìm GTNN của biểu thức:
9 9 9 9 9 9
3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 6
2<i>x</i> <i>y</i> 2<i>y</i> <i>z</i> 2<i>z</i> <i>x</i>
<i>P</i>
<i>x y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x z</i> <i>z</i> <i>x</i>
.
<b>Hướng dẫn giải</b>
35 DAYHOCTOAN.VN
9 9
3
3 3 6 6
2<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i>
<i>x y</i> <i>y</i> <i>x</i>
<b>. </b>Từ đó ta có:
9 9 9 9 9 9
3 3 3
3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 6
2 2 2
3 3 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>P</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>x y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>z y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i><b>. </b></i>
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
<b>Bài 72. </b> Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
<i>a b</i> <i>c</i> <i>b c</i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 1 1 4
1 1 1
1 1 1
<i>P</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
<b>Hướng dẫn giải</b>
Từ điều kiện rút ra
2 2
<i>a b</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i>
.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
1 2 4
1 1 1 1 1
1
<i>P</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i>
Và
2
2
2
2
1
1 1 2
1 1 2 2
4 4
<i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>b c</i>
<i>a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
.
Suy ra:
3 2
3
2 6 1
, 0
1
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>P</i> <i>f a a</i>
<i>a</i>
.
Có
2 5 1 1
' 0
5
1
<i>a</i>
<i>f</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i>
.
Lập bảng biến thiên rút ra được: 91
108
<i>P</i> , xảy ra khi 1, 5
5
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 73. </b> Cho <i>x y z</i>, , là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn:
2 2 2
1
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>zx</i><i>z</i> <i>xy</i>
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>P</i> <sub>2</sub> <i>x</i> <sub>2</sub> <i>y</i> <sub>2</sub> <i>z</i>
<i>x</i> <i>yz</i> <i>y</i> <i>zx</i> <i>z</i> <i>xy</i>
Vì , ,<i>x y z</i>0, áp dụng BĐT Cơsi ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
2 2 2
1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1
4 4
1 1 1 1
2 2 2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>P</i>
<i>yz</i> <i>zx</i> <i>xy</i>
<i>x yz</i> <i>y zx</i> <i>z xy</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>yz</i> <i>zx</i> <i>xy</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>xyz</i> <i>xyz</i> <i>xyz</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
36 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 74. </b> Cho các số không âm <i>a b c</i>, , thỏa mãn <i>a b c</i> 2. Chứng minh rằng<b>:</b>
2
3 3 3
4 4 4
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<b>Lời giải </b>
Áp dụng BĐT Cauchy Shwars ta có
2
3 3 3
4 4 4
=2
3 3 3
4 4 4
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>VT</i> <i>a b c</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Mặt khác 3 3
3 4 3 4 3 4 3
4
<i>cylic</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>bc</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
3
4 3 4 3 4 3
=
4
= 1
2
<i>bc ca</i> <i>ab</i>
<i>bc</i> <i>a</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>ab</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<i>bc ca</i> <i>ab</i>
<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i> <i>abc</i>
<i>bc ca</i> <i>ab</i>
<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i> <i>abc a b c</i>
Tư đó suy ra
3 1 2
3 3 3
4 4 4
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
Dấu bằng xẩy ra khi
hoặc
2 + –
<i>F</i> <i>x</i><i>y z</i> <i>xyz</i>.
<b>Bài giải: </b>
Do vai trò <i>x y z</i>, , bình đẳng giả sử <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 2
3
<i>z</i>
.
Ta có <i>F</i> 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
<sub></sub>2
2 <i>x</i> <i>y</i> 2 <i>xy z</i> 8 4<i>xy</i> <i>x y</i> <i>x</i> 2<i>xy</i> <i>y</i> <i>z</i>
37 DAYHOCTOAN.VN
2 2 2
2 <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> 9 <i>z</i> 6 nên 3 <i>t</i> 3, từ đó bất đẳng thức (1) trở thành:
8 4 9 2
<i>F</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>F</i> 2<i>t</i>3 <i>t</i>2 20<i>t</i>72
Xét hàm số
2 20 72
<i>f t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> với <i>t</i>
3 2
2<i>t</i> <i>t</i> 20<i>t</i> 28 0
2 2 3 14 0
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
2 2 7 0
<i>t</i> <i>t</i>
.
Do <i>t</i>
Dấu ‘=” của bđt (1) xảy ra
2 2 2
2 2
0
9
<i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub>
. Xét hệ: 2 2 2
2 2
0
9
2
<i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>xy</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Vậy gtln của <i>F</i>10 đạt được
3 3
2 5
3 3
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> >
36 2 104 5
81
<b>Bài giải: </b>
3 3 3 3 2 3
1 1 1 1 4 4
4
3<i>xy</i><i>x</i> <i>y</i> 3<i>xy x</i><i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> 3<i>xy x</i><i>y</i> <i>y</i> <i><sub>x</sub></i><i><sub>y</sub></i> (1)
Mặt khác,
2
1 1 1 4
4 1
4 9 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
3 3
2 5
3 3
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
3 3
4 9 2 5
9 2 5 5 1 1 4 5 36 2 104 5
9<i>xy</i> 3 <i>x</i> <i>y</i> 3<i>xy</i> 81 3 81
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 77. </b> Cho <i>a b c</i>, , là các số thực dương. Chứng minh rằng 2<i>a</i> 2<i>b</i> 2<i>c</i> 3
<i>a</i><i>b</i><i>b</i><i>c</i><i>c</i><i>a</i>
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>x</i> <i>b</i>, <i>y</i> <i>c</i>, <i>z</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
, ta có <i>x y z</i>, , 0 và <i>xyz</i>1.
Bất đẳng thức đã cho trở thành: 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 3
38 DAYHOCTOAN.VN
Giả sử <i>xy</i> 1 <i>z</i> 1
* Ta chứng minh đẳng thức sau: 1 <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub> 2
1 2<i>x</i> <i>y</i> 1<i>xy</i> 2 1<i>x</i> 1<i>y</i>
Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
2 4
1 <i>x</i> 1 <i>y</i> 1 <i>x</i> 1 <i>y</i> 1 <i>x</i> 1 <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Theo bất đẳng thức (1) suy ra: 4 1 <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub> 8 8
1 1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Suy ra 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 2
1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
Mặt khác, ta lại có 2 <sub>2</sub> 2
1<i>z</i> 1<i>z</i>
Suy ra 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 2 2
1 1 1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>z</i>
Do vậy, ta sẽ chứng minh : 2 2 2 3
1 1
<i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i>
Thật vậy, ta có: 2 2 2 3 2 2 1
1 1
<i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i>
Dấu “=” xảy ra khi <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1.
<b>Bài 78. </b> Cho các <b>số</b> thực không âm <i>a b c</i>, , thỏa mãn 2 2 2
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> . Chứng minh rằng
1 1 1 9
2<i>ab</i>2<i>bc</i>2<i>ca</i> 4
<b>Lời giải </b>
Bất đẳng thức tương đương với
2 2 2 9 3
1 1 1 3
2 2 2 2 2 2 2 2
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2a 2a 2a
2 2 2a ( )
<i>ab</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i>
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( ) 1
2 ( ) ( ) 2
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> (Sử dụng BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy-Schwarz)
Tương tự ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
;
2 2 2 2
<i>bc</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>bc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
39 DAYHOCTOAN.VN
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có đpcm, chỉ ra dấu "=" khi 2.
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài 79. </b> Cho ba số dương <i>a, b, c</i>. Chứng minh rằng:
4 4 4
1 1 1 25
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
. (1)
<b>Lời giải </b>
Không giảm tổng quát, giả sử c là số lớn nhất trong ba số <i>a, b, c</i>.
Đặt <i>S</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c R</i>, <i>ab</i><i>bc</i><i>ca P</i>, <i>abc</i>.
3 2
3 2
3
3
(1) ( 3 )( 3 )( 3 ) 25( )( )( )
3 ( ) 9 ( ) 27
25[ ( ) ( ) ]
4 9 27 25( )
4 13 0.(2)
<i>S</i> <i>a S</i> <i>b S</i> <i>c</i> <i>S</i> <i>a S</i> <i>b S</i> <i>c</i>
<i>S</i> <i>S a b c</i> <i>S ab bc ca</i> <i>abc</i>
<i>S</i> <i>S a b c</i> <i>S ab bc ca</i> <i>abc</i>
<i>S</i> <i>SR</i> <i>P</i> <i>SR</i> <i>P</i>
<i>S</i> <i>SR</i> <i>P</i>
Ta chứng minh (2) đúng. Thật vậy,
3
2
2
2
2
(2) ( ) 4( )( ) 13
=( )[( ) -4( )] 13
= ( )[( ) -4 ] 13
=( )( ) -4 ( ) 13
( )( ) (9 4 4
<i>VT</i> <i>a b c</i> <i>a b c ab bc ca</i>
<i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>ab</i> <i>abc</i>
<i>a b c a b c</i> <i>ab a b c</i> <i>abc</i>
<i>a b c a b c</i> <i>ab c</i> <i>a</i>
) 0
(do 9 4 4 0).
<i>b</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Vậy ta có điều phải chứng minh.
<b>Bài 80. </b> Cho ba số thực dương <i>a, b, c</i> chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
2 2 2
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
<b>Lời giải </b>
Bất đẳng thức tương đương với
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3
2 2 2
<i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
Ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )
2 ( ) ( )
<i>b c</i> <i>b c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>. </b>
Tương tự với hai BẤT ĐẲNG THỨC còn lại suy ra đpcm.
<b>Bài 81. </b> Cho <i>a b c</i>; ; 0 thỏa mãn <i>a b c abc</i> 4. Chứng minh rằng
2
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c</i>
<i>b c</i> <i>a c</i> <i>a b</i>
<b>Lời giải </b>
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxki ta được
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>T</i>
<i>c b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a b c</i> <i>b a</i> <i>c</i> <i>c a b</i>
40 DAYHOCTOAN.VN
Lại có
2
<i>a b c</i> <i>a b c</i>
<i>T</i>
<i>ab bc</i> <i>ac</i>
(*)
Ta sẽ chứng minh <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i> (1)
Đặt ; ; ( 2)
4
<i>S</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>S</i> <i>ab</i><i>P</i> <i>P</i>
Từ giả thiết suy ra 4
1
<i>S</i>
<i>c</i>
<i>P</i>
<i>S</i> 4.
Vậy
1 1
<i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i>
<i>S</i> <i>P</i> <i>P P</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>P</i> <i>P</i>
(2)
Nếu <i>P</i> 1 <i>S</i> 0 <i>VT</i> 0 <i>VP</i>.
Nếu <i>P</i> 1 <i>S</i> 0. Ta có
2 2
1 1
4 4
<i>S</i> <i>S</i>
<i>P P</i> <i>S</i> <sub></sub> <i>S</i><sub></sub>
(vì
2
Suy ra
2
2 2
1 2 2
16
<i>S</i>
<i>P P</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> (vì <i>S</i> 4).
Vậy: <i>a b c</i> <i>ab bc ac</i> . Từ (*) suy ra
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>T</i> .
<b>Bài 82. </b> Cho <i>a b c</i>, , là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2
10
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>b c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a b b c c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Lời giải </b>
Biến đổi bất đẳng thức như sau
2
10 2
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
2 2
3 3
2 10 2
<i>a</i> <i>a</i> <i>bc</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
<sub></sub>
2
3
2 5 0
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>a</i> <i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
2
3 2
2 0
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>a</i> <i>abc a</i> <i>b c</i>
<i>b c</i>
2
2 0
2 2
0
<i>a</i> <i>a b</i> <i>a c</i>
<i>a a b</i> <i>a c</i>
<i>b c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a a b</i> <i>a c</i>
<i>b c</i>
Theo bất đẳng thức Schur thì bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức ban đầu được chứng
minh.
<b>Bài 83. </b> Cho , ,<i>x y z</i>0 và <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1. Chứng minh rằng:
2 2
2 2 1
41 DAYHOCTOAN.VN
<b>Lời giải </b>
Cần chứng minh
2 2
2 2
2 2
1
2 2
<i>xy</i> <i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i>
<i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i>
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 4 2
2 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
Cần chứng minh:
2
2 2
2 0
<i>z</i> <i>xy</i> <i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>z xy</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
(Đúng)
Đẳng thức xảy ra
1
2
0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i>
.
<b>Bài 84. </b> Cho 3 số thực không âm <i>x y</i>, , z thỏa mãn 2 2 2
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> . Chứng minh rằng:
2 2 2
(<i>x</i><i>y y</i>)( <i>z z</i>)( <i>x</i>) 4<i>xyz xy</i>( <i>yz</i><i>zx</i> 2) 4<i>xyz x</i>( <i>y</i> <i>z</i> )
<b>Lời giải </b>
Ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Xét biểu thức 2 2 2
( ) <i><sub>z</sub></i> ( ) <i><sub>x</sub></i> ( ) <i><sub>y</sub></i>
<i>S</i> <i>x</i><i>y S</i> <i>y</i><i>z S</i> <i>x</i> <i>z S</i>
Nếu <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> và <i>S Sy</i>; <i>y</i><i>S Sz</i>; <i>y</i><i>Sx</i> 0 thì <i>S</i>0
Chứng minh
2 2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) 2( )(y z) 0
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>z</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>S</i> <i>x</i> <i>y S</i> <i>y</i> <i>z S</i> <i>x</i> <i>z S</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>S</i>
Chứng minh
Nếu . .<i>x y z</i>0 Bất đẳng thức luôn đúng
Nếu . .<i>x y z</i>0. Ta có
2 2 2
( )( )( ) 4 ( 2) 4 ( )
( )( )( )
2 2
4
<i>x</i> <i>y y</i> <i>z z</i> <i>x</i> <i>xyz xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>xyz x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>x</i> <i>y y</i> <i>z z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>xyz</i>
( )( )( )
2 2 0
4
<i>x</i> <i>y y</i> <i>z z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>xyz</i>
(1)
Ta có
2 2 2
( )(y )( ) ( ) ( ) ( )
2
4 4
<i>x</i> <i>y</i> <i>z z</i> <i>x</i> <i>x y</i> <i>z</i> <i>y z</i> <i>x</i> <i>z x</i> <i>y</i>
<i>xyz</i> <i>xyz</i>
42 DAYHOCTOAN.VN
2 2 2
2 2 2
1
2(1 ) ( ) ( ) ( )
2
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Do đó (1) 2 1 1 2 1 1 2 1 1
( ) ( ) ( ) 0
4 2 4 2 4 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Đặt 1 1 ; 1 1 ; 1 1
4 2 4 2 4 2
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>xz</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Giả sử 1 1 0
4 2
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>S</i>
<i>xz</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Mà <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
1 1 1 1 4
+ =
4 2 4 2 4
2 (x 2 ) 4 2
(y )( ) 4 2
= 0
4 2 4 2
<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<i>xz</i> <i>yz</i> <i>xyz</i>
<i>yz</i> <i>yz</i> <i>xyz</i>
<i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>xyz</i> <i>xyz</i>
Tương tự S<i>y</i><i>Sz</i> 0
Áp dụng bổ đề suy ra điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi 2
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
<b>Bài 85. </b> Cho <i>a b c</i>, , là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>P</i>
<i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
3 3 3
<b>Bài giải: </b>
Ta có: <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <sub></sub>
3
3 3
2 2
<i>c</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
3 3
3 3
4
Do đó
<i>c</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
3 <sub>3</sub>
3 3
4 (1). Đẳng thức xảy ra <i>a</i> <i>b</i>.
Tương tự ta có:
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
3 <sub>3</sub>
3 3
4 (2),
<i>b</i> <i>b</i>
<i>c a</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
3 <sub>3</sub>
3 3
4 (3).
Từ (1), (2), (3) ta có
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>P</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>b</b>
3 3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
4 3
2
<i>P</i>
9 3 3 3
2 2 8
Đẳng thức xảy ra <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Vậy <i>MinP</i>3
43 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 86. </b> Cho các số dương <i>a b c</i>, , thỏa mãn <i>a b c</i> 2 <i>abc</i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của<i>S</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
1 1 1.
<b>Bài giải: </b>
Chú ý rằng <i>a b c</i> 2 <i>abc</i> nên suy ra (<i>a</i>1)(<i>b</i>1)(<i>c</i> 1) (<i>a</i>1)(<i>b</i> 1) (<i>b</i> 1)(<i>c</i> 1) (<i>c</i> 1)(<i>a</i>1).
Do vậy ta thu được
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 1 1 1 1 1
1 2
1 1 1
1 1 1 <sub>1</sub> <sub>1</sub> <sub>1</sub> .
Áp dụng bất đẳng thức <i>Cauchy-Schwarz</i> ta được
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
1 1 1 1 1 1 9
1 1 1
1 1 1 <sub>2</sub>
1 1 1
.
Từ hai điều trên ta suy ra
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
1 1 1 3
2.
Vậy <i>S</i> nhỏ nhất bằng 3
2, dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> và là nghiệm của <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
3 <sub>3</sub> <sub>2 0</sub> <sub>2</sub>
.
<b>Bài 87. </b> Cho <i>x y z</i>, , là các số thực dương thỏa mãn <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3<i>xyz</i>. Chứng minh
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i>
2 2 2
2 2 2
3
1
2
1 1 1
<b>Bài giải: </b>
Ta có thể viết lại giả thiết <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3<i>xyz</i>thành
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
1 1 1
3
Đặt <i>a</i> ,<i>b</i> ,<i>c</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
1 1 1. Ta có <i>a b c</i> 3
Thay vào (1), ta cần chứng minh <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
2 2 2
3
1 1 1 2
Thật vậy <i>a</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>ab</i> <i>a</i> <i>ab</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
2 2
2 2
1 1 2 2
Làm tương tự và cộng lại ta có
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
2 2 2
1
1 1 1 2
Ta có bất đẳng thức quen thuộc
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
2
2 2 2
1
1 1 1 6
Sử dụng giả thiết <i>a b c</i> 3 ta suy ra
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
2 2 2
3
1 1 1 2
44 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 88. </b> Cho các số thực dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thỏa mãn <i>a b c</i> 1. Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2 8
<i>ab bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Bài giải: </b>
Đặt <i>t</i><i>ab bc ca</i> , suy ra
1
0
3 3
<i>a b c</i>
<i>t</i>
Áp dụng điều kiện <i>a b c</i> 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2 8 2
2
<i>t</i>
<i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>
<i>t</i> <i>abc a b c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2 8 1 2
2
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i> <i>abc</i>
Do <i>abc</i>0 nên ta có đánh giá: <sub>2</sub> <sub>2</sub> 1
2
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>abc</i> <i>t</i> <i>t</i>.
Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh 1 8 1 2
<i>t</i> .
Thật vậy
16<i>t</i> 8<i>t</i> 1 0
4<i>t</i> 1 0
. Điều này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
0
1
4
<i>a b c</i>
<i>abc</i>
<i>t</i> <i>ab bc ca</i>
<sub></sub>
Khi đó <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> là nghiệm phương trình 3 2 1 0
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Do đó
2 2
<i>a b c</i> <sub></sub>
hoặc các hoán vị.
<b>Bài 89. </b> Cho <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>ab b</i> <i>bc c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Ta có
2 2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i><sub>a</sub></i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>ab b</i> <i>bc c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
Đặt <i>x</i> <i>a</i>
<i>b</i>
, <i>y</i> <i>b</i>
<i>c</i>
, <i>z</i> <i>c</i>
<i>a</i>
45 DAYHOCTOAN.VN
Ta có
2
2
1 1 1
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
2 <sub>6</sub>
3 3 3 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>z</sub></i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub> </sub>
Suy ra
2 2 2
3
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>S</i>
<i>S</i>
<i>ab b</i> <i>bc c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
Ta có 3 3 6 2 3 3 3
2 2 2 2 2
<i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub><sub></sub>
Suy ra
3 3
3 2
<i>S</i>
<i>S</i>
. Bất đẳng thức được chứng
minh.
Dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
<b>Bài 90. </b> Cho các số thực , , ,<i>a b c d</i> thỏa mãn :<i>a</i>2<i>b</i>2 <i>c</i>2 <i>d</i>2 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức: 2 2 1
2
<i>E</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> .
<b>Bài giải: </b>
2 2 1 2 2 2 2 2 2
2
<i>E</i><i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
<i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
2 2 2 1 2 1
2
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>c</i>
2 1 2 1
2 <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i> 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2 2
2 2 2 2
;
8 8
2 1
2 2 2 2
;
8 8
1
<i>a</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
hoặc
2 2 2 2
;
8 8
2 2 2 2
;
8 8
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
2 2 1 2 2 2 2 2 2
2
<i>E</i><i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
<i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
2 2 2 1 2 1
2
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>c</i>
46 DAYHOCTOAN.VN
1 2 1 2
2 <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i> 2
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2 2
2 1
1
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
, hoặc
2 2 2 2
;
8 8
2 2 2 2
;
8 8
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Bài 91. </b> Cho các số thực không âm , ,<i>a b c</i> thoả mãn <i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2 2. Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
<b>Bài giải: </b>
Do tính đối xứng của bất đẳng thức nên không mất tổng quát giả sử <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 0.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 3 3 3 3 3
3 2 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i><i>a</i> <i>b</i> <i>ab ab</i>
Và
2 2 2 2 2 4 2
<i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
Từ
Hay
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
Dấu đẳng thức xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> 1;<i>c</i>0
Tóm lại :
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
Dấu đẳng thức khi <i>a</i> <i>b</i> 1;<i>c</i>0 và các hoán vị.
<b>Bài 92. </b> Cho các số thực dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thỏa mãn 2 2 2
4.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i> Chứng minh bất đẳng thức
1 1 1
3
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Ta có <i>a</i>2<i>b</i>2 <i>c</i>2
2 2 2 2 2 2
6
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Thật vậy, vì 2 2 2
2<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ca</i> nên ta có :
2 2 2
2 2
2<i>ab</i> 2 2<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i>
<i>a b</i> <i>a b</i>
<sub></sub>
2 1 2
<i>a b</i> <i>c</i> <i>a c b</i> <i>c</i> <i>a c b</i>
<i>a b</i> <i>a b</i>
Suy ra
2 2
2 2
1 <i>c</i> <i>a</i> <i>c b</i> 1
<i>ab</i>
<i>a b</i> <i>a b</i>
.
Tương tự ta có
2 2
2 2
1 <i>a b c</i> <i>a</i> 2
<i>bc</i>
<i>b c</i> <i>b c</i>
<sub> </sub>
,
2 2
2 2
1 <i>a b b c</i> 3
<i>ca</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub> </sub>
47 DAYHOCTOAN.VN
Cộng các BĐT
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 <i>c</i> <i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>a</i> <i>b c</i> <i>a b</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a b</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có
2 2 2 3
<i>c</i> <i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>a</i> <i>b c</i> <i>a b</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i>
. Suy ra
điều phải chứng minh.
Dấu "" xảy ra khi và chỉ khi 3
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 93. </b> Chứng tỏ rằng tổng 2014<sub>2</sub> 2014<sub>2</sub> ... 2014<sub>2</sub> ... 2014<sub>2</sub>
2013 1 2013 2 2013 2013 2013
<i>A</i>
<i>n</i>
(2013 số hạng)
không phải là số nguyên dương.
<b>Bài giải: </b>
Trước hết ta giải bài toán tổng quát:
“Chứng minh rằng tổng (<i>n</i> số hạng, <i>n</i>1) <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub> 1 ... <sub>2</sub> 1
1 2
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>A</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(<i>n</i> số hạng) không phải là số
nguyên dương”.
Ta có <i>A</i> <i>n</i> <sub>2</sub>1 <i>n</i> <sub>2</sub>1 ... <i>n</i> <sub>2</sub>1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(<i>n</i> số hạng) <i>n</i> <sub>2</sub>1.<i>n</i> 1 1 2.
<i>n</i> <i>n</i>
Mặt khác <i>A</i> <i>n</i><sub>2</sub> 1 <i>n</i><sub>2</sub> 1 ... <i>n</i><sub>2</sub> 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(<i>n</i> số hạng) 2
1
. 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Do đó 1 <i>A</i> 2.
Vậy <i>A</i> không phải là số nguyên dương.
Với <i>n</i>2013 thì ta có bài tốn đã cho.
<b>Bài 94. </b> Cho , ,<i>a b c</i> là các số thực dương thỏa mãn: <i>a b c</i> 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
<i>P</i>
<i>abc</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Ta có: <i>P</i> <i>a</i> 1 <i>b</i> 1 <i>c</i> 1 <i>abc</i> 1 1 1 1 1
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Vì <i>a b c</i> 1 nên từ BĐT CauChy cho 3 số dương ta có: 1 3 1
3 3 27
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>abc</i> <i>abc</i>
.
Do đó: 1 27 1
27 27
<i>abc</i> <i>abc</i>
<i>abc</i>
<i>abc</i> <i>abc</i>
.
Suy ra: 1 27 1 730
27 27
<i>abc</i>
<i>abc</i>
.
Mặt khác ta lại có:
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
48 DAYHOCTOAN.VN
Từ đó suy ra:
2
730 10
9 1
27 3
<i>P</i>
.
Vậy
2
10
min
3
<i>P</i>
1
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
.
<b>Bài 95. </b> Tìm giá trị lớn nhất của số thực <i>k</i> sao cho bất đẳng thức sau :
2. 1 <i>d</i> 1 <i>a</i> 1 <i>b</i> <i>k ab bc cd</i> <i>ac bd</i> <i>da</i> 2
đúng với mọi số thực <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i> thay đổi
tùy ý.
<b>Bài giải: </b>
Điều kiện cần. Bất đẳng thức đúng với bộ <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 3 thay vào BĐT ta được
4.2.8<i>k</i> 6.3 2 <i>k</i> 4
Điều kiện đủ. Ta chứng minh BĐT đúng với <i>k</i>4
, , ,
2 1 1 1 4 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab ac</i> <i>ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
, , ,
1 1 1 2 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>ac</i> <i>ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
Ta có
, , ,
1 1 1 2 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab ac</i> <i>ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
Dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 3
Vậy giá trị lớn nhất của <i>k</i> bằng <i>d</i>. Khi đó BĐT luôn đúng với mọi số thực <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>, <i>d</i> thay đổi tùy ý
<b>Bài 96. </b> Giả sử <i>x</i>, <i>y</i> là các số thực dương thỏa mãn <i>x</i> <i>y</i> 1. Chứng minh rằng:
3 3
2 5
3 3
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> >
36 2 104 5
81
<b>Bài giải: </b>
3 3 3 3 2 3
1 1 1 1 4 4
4
3<i>xy</i><i>x</i> <i>y</i> 3<i>xy x</i><i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> 3<i>xy x</i><i>y</i> <i>y</i> <i><sub>x</sub></i><i><sub>y</sub></i>
2
1 1 1 4
4 1
4 9 9
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
Từ
3 3
2 5
3 3
<i>xy</i> <i>x</i> <i>y</i>
3 3
4 9 2 5
9 2 5 5 1 1 4 5 36 2 104 5
9<i>xy</i> 3 <i>x</i> <i>y</i> 3<i>xy</i> 81 3 81
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 97. </b> Cho <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> là các số thực dương. Chứng minh rằng 2<i>a</i> 2<i>b</i> 2<i>c</i> 3
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
49 DAYHOCTOAN.VN
Đặt <i>x</i> <i>b</i>
<i>a</i>
, <i>y</i> <i>c</i>
<i>b</i>
, <i>z</i> <i>a</i>
<i>c</i>
, ta có: , , <i>x y z</i>0 và <i>xyz</i>1.
Bất đẳng thức đã cho trở thành: 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 3
1<i>x</i> 1<i>y</i> 1<i>z</i>
Giả sử <i>xy</i> 1 <i>z</i> 1.
* Ta chứng minh đẳng thức sau: 1 <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub> 2
1 2<i>x</i> <i>y</i> 1<i>xy</i> 2 1<i>x</i> 1<i>y</i>
Ta có: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 1 1
2 4
1 <i>x</i> 1 <i>y</i> 1 <i>x</i> 1 <i>y</i> 1 <i>x</i> 1 <i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Theo bất đẳng thức
1 1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Suy ra 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 2
1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
.
Mặt khác, ta lại có 2 <sub>2</sub> 2
1<i>z</i> 1<i>z</i>
Suy ra 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub> 2 2 2
1 1 1 1 1
<i>z</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>z</i>
.
Do vậy, ta sẽ chứng minh : 2 2 2 3
1 1
<i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i>
.
Thật vậy, ta có: 2 2 2 3 2 2 1
1 1
<i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i> <i>z</i>
<i>z</i> <i>z</i>
.
50 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 98. </b> Cho các số thực không âm <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> thỏa mãn
<b>Bài giải: </b>
BĐT tương đương với
2 2 2 9
1 1 1 3
2 <i>ab</i> 2 <i>bc</i> 2 <i>ca</i> 2
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
3
2 2 2 2
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
2
2 2 2
<i>ab</i> <i>ab</i>
<i>ab</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i>
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
( )
<i>ab</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i>
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( ) 1
2 ( ) ( ) 2
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> (Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz)
Tương tự ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
;
2 2 2 2
<i>bc</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>bc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm, chỉ ra dấu "" khi 2
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 99. </b> Cho ba số dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>. Chứng minh rằng 4<i>a</i> 1 4<i>b</i> 1 4<i>c</i> 1 25
<i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài giải: </b>
Không giảm tổng quát, giả sử <i>c</i> là số lớn nhất trong ba số <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i>.
Đặt <i>S</i> <i>a b c</i>, <i>R</i><i>ab bc ca</i> , <i>P</i><i>abc</i>.
3 2 3 2
3 9 27 25
<i>S</i> <i>S</i> <i>a b c</i> <i>S ab bc ca</i> <i>abc</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>a b c</i> <i>S ab bc ca</i> <i>abc</i>
<sub></sub> <sub></sub>
3
4<i>S</i> 9<i>SR</i> 27<i>P</i> 25 <i>SR</i> <i>P</i>
3
4 13 0
<i>S</i> <i>SR</i> <i>P</i>
VT 2 <i>a b c</i> 4 <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i> 13
4 13
<i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>ab</i> <i>abc</i>
<sub></sub> <sub></sub>
4 13
<i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>ab a b c</i> <i>abc</i>
9 4 4 0
<i>a b c</i> <i>a b c</i> <i>ab</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
<b>Bài 100. </b> Cho ba số thực dương <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 0
2 2 2
<i>a</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>ca</i> <i>c</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
.
<b>Bài giải: </b>
BĐT tương đương với
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3
2 2 2
<i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i>
51 DAYHOCTOAN.VN
Ta có
2 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
2 2 2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 2 2 2 2
2
<i>b c</i> <i>b c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>a</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> .
Tương tự với hai BĐT còn lại suy ra đpcm
<b>Bài 101. </b> Cho , , <i>a b c</i>0 thỏa mãn <i>a b c abc</i> 4. Chứng minh rằng
2
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c</i>
<i>b c</i> <i>a c</i> <i>a b</i> .
<b>Bài giải: </b>
Áp dụng BĐT Bunhiakopxki ta được
2
<i>a b c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>T</i>
<i>b c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>a b c</i> <i>b a</i> <i>c</i> <i>c a b</i>
Lại có
2
<i>a b c</i> <i>a b c</i>
<i>T</i>
<i>ab bc</i> <i>ac</i>
Ta sẽ chứng minh <i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>
2
4
<i>S</i>
<i>p</i>
.
Từ giả thiết suy ra 4
1
<i>S</i>
<i>c</i>
<i>P</i>
<i>S</i> 4.
Vậy
1 1
<i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i>
<i>S</i> <i>P</i>
<i>P</i> <i>P</i>
2
1 2
<i>P P</i> <i>S</i> <i>S</i>
Nếu <i>P</i> 1 <i>S</i> 0VT 0 VP.
Nếu<i>P</i> 1 <i>S</i> 0. Ta có
2 2
1 1
4 4
<i>S</i> <i>S</i>
<i>P P</i> <i>S</i> <sub></sub> <i>S</i><sub></sub>
(vì
2
4
<i>S</i>
<i>P</i> ).
Suy ra
2
2 2
1 2 2
16
<i>S</i>
<i>P P</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>S</i> (vì <i>S</i>4).
Vậy:<i>a b c</i> <i>ab bc ac</i> . Từ