Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.33 MB, 57 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
1 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 102.</b> Cho , ,<i>a b c</i><sub> là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: </sub>
2 2 2
10
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>b c</i> <i>a c</i> <i>a b</i> <i>a b b c c a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Lời giải </b>
Biến đổi bất đẳng thức như sau:
2
10 2
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
2 2
3 3
2 10 2
<i>a</i> <i>a</i> <i>bc</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
2
3
2 5 0
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>a</i> <i>abc</i> <i>a b</i>
<i>b c</i>
2
3 2
2 0
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>a</i> <i>abc a</i> <i>b c</i>
<i>b c</i>
2
2 0
<i>a</i> <i>a b a c</i>
<i>a a b a c</i>
<i>b c</i>
0
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a a b</i> <i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i>
Theo bất đẳng thức Schur thì bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức ban đầu được chứng
minh.
<b>Bài 103.</b> Cho , ,<i>x y z</i> 0 và <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1. Chứng minh rằng: 2 2
2 2 1
<i>xy</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>xy</i>
<b>Lời giải </b>
Cần chứng minh:
2 2
2 2
1
<i>xy</i> <i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i>
2 2
<i>x</i> <i>z</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i>
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2<i>x</i>22<i>y</i>2 2
2 2
2 0
<i>z</i> <i>xy</i> <i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>z xy</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
(Đúng)
Đẳng thức xảy ra
1
2
0
<b>Bài 104.</b> Cho 3 số thực không âm , , z<i>x y</i> thỏa mãn 2 2 2
2
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> . Chứng minh rằng:
(<i>x</i><i>y y</i>)( <i>z z</i>)( <i>x</i>) 4<i>xyz xy</i>( <i>yz</i><i>zx</i> 2) 4<i>xyz x</i>( 2<i>y</i>2<i>z</i>2)
<b>Lời giải </b>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
2 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bổ đề:</b> Xét biểu thức <i>S</i> (<i>x</i> <i>y S</i>)2 <i><sub>z</sub></i> (<i>y</i> <i>z S</i>)2 <i><sub>x</sub></i> (<i>x</i> <i>z S</i>)2 <i><sub>y</sub></i>
Nếu <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> và <i>S S<sub>y</sub></i>; <i><sub>y</sub></i><i>S S<sub>z</sub></i>; <i><sub>y</sub></i><i>S<sub>x</sub></i> 0 thì <i>S</i>0
Chứng minh
2 2 2
( ) <i><sub>z</sub></i> ( ) <i><sub>x</sub></i> ( ) <i><sub>y</sub></i>
<i>S</i> <i>x</i> <i>y S</i> <i>y</i> <i>z S</i> <i>x</i> <i>z S</i>
2 2
(<i>S<sub>z</sub></i> <i>S<sub>y</sub></i>)(<i>x</i> <i>y</i>) (<i>S<sub>y</sub></i> <i>S<sub>x</sub></i>)(<i>y</i> <i>z</i>) 2(<i>x</i> <i>y</i>)(y z)<i>S<sub>y</sub></i> 0
Chứng minh
Nếu . .<i>x y z</i>0 Bất đẳng thức luôn đúng
Nếu . .<i>x y z</i>0. Ta có
2 2 2
(<i>x</i><i>y y</i>)( <i>z z</i>)( <i>x</i>) 4<i>xyz xy</i>( <i>yz</i><i>zx</i> 2) 4<i>xyz x</i>( <i>y</i> <i>z</i> )
( )( )( )
2 2
4
<i>x</i> <i>y y</i> <i>z z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>xyz</i>
( )( )( )
2 2 0
4
<i>x</i> <i>y y</i> <i>z z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>xyz</i>
(1)
Ta có
2 2 2
( )(y )( ) ( ) ( ) ( )
2
4 4
<i>x</i> <i>y</i> <i>z z</i> <i>x</i> <i>x y</i> <i>z</i> <i>y z</i> <i>x</i> <i>z x</i> <i>y</i>
<i>xyz</i> <i>xyz</i>
<sub> </sub>
2 2 2
2 2 2
1
2(1 ) ( ) ( ) ( )
2
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Do đó (1) 2 1 1 2 1 1 2 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
4 2 4 2 4 2
<i>x</i> <i>y</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i>
Đặt ( 1 1); ( 1 1); ( 1 1)
4 2 4 2 4 2
<i>z</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>xy</i> <i>yz</i> <i>xz</i>
Giả sử ( 1 1) 0
4 2
<i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>S</i>
<i>xz</i>
Mà + 1 1 1 1 = 4
4 2 4 2 4
<i>y</i> <i>x</i>
<i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<i>xz</i> <i>yz</i> <i>xyz</i>
2
2 2 2
2 (x 2 ) 4 2
(y )( ) 4 2
= 0
4 2 4 2
<i>yz</i> <i>yz</i> <i>xyz</i>
<i>z x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xyz</i>
<i>xyz</i> <i>xyz</i>
<sub></sub> <sub></sub>
.
Tương tự S<i><sub>y</sub></i><i>S<sub>z</sub></i> 0.
Áp dụng bổ đề suy ra điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi 2
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
<b>Bài 105.</b> Cho , ,<i>a b c</i> là các số thực dương. Chứng minh rằng:
3(a2<i>ab b</i> 2)(<i>b</i>2<i>bc c</i> 2)(<i>c</i>2<i>ca</i><i>a</i>2)<i>abc a</i>( 3 <i>b</i>3 <i>c</i>3)
<b>Lời giải </b>
Nhận xét:
4 4
2 2 2 4 4 4 4 4 2 2
2(a ) ( )
2
<i>a</i> <i>b</i>
<i>ab b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>ab b</i>
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
4 4 4 4 4 4
3 3 3
3. ( )( )( ) ( )
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>abc a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
3 DAYHOCTOAN.VN
9 <i>a</i> <i>b</i> (<i>b</i> <i>c</i> )(<i>c</i> <i>a</i> ) 8a <i>b c a</i>( <i>b</i> <i>c</i> )
Trước tiên ta chứng minh
<b> Bổ đề 1:</b> Cho , ,<i>x y z</i> là các số thực dương ta có:
9(<i>x</i><i>y</i>)(y<i>z</i>)(z<i>x</i>)8(<i>x</i> <i>y</i> <i>z xy</i>)( <i>yz</i><i>zx</i>)
Chứng minh:
9(<i>x</i><i>y</i>)(y<i>z</i>)(z<i>x</i>)8(<i>x</i> <i>y</i> <i>z xy</i>)( <i>yz</i><i>zx</i>)
2 2 2 2 2 2
6
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i>xyz</i>
( luôn đúng theo AM- GM)
Bổ đề 2: : Cho , ,<i>x y z</i> là các số thực ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2
( )
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> <i>x y</i> <i>xyz x</i> <i>y</i> <i>z</i>
2 2 2 2 2 2 2 2
( )
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> <i>x y</i> <i>xyz x</i> <i>y</i> <i>z</i>
2 2 2
(<i>xy</i> <i>yz</i>) (<i>yz</i> <i>zx</i>) (<i>zx</i> <i>xy</i>) 0
( luôn đúng )
Áp dụng vào bài toán
Ta có:
2 2 2 4 4 4 2 2 2
9 ( )( ) 8( )( )
8 ( )( )
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<i>a b c a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
Mà (<i>a</i>4<i>b</i>4<i>c</i>4)(<i>a</i>2<i>b</i>2<i>c</i>2)(<i>a</i>3 <i>b</i>3 <i>c</i>3 2) ( bất đẳng thức C-S)
Suy ra 9
Vậy 2 2 2 2 2 2 3 3 3
3(a <i>ab b</i> )(<i>b</i> <i>bc c</i> )(<i>c</i> <i>ca</i><i>a</i> )<i>abc a</i>( <i>b</i> <i>c</i> )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Bài 106.</b> Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>P</i>
<i>b c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Lời giải </b>
Ta có:
3
3 3
2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
3 <sub>3</sub>
3 3
4
<i>c</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Do đó
3 <sub>3</sub>
3 3
4
<i>c</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
(1). Đẳng thức xảy ra <i>a</i> <i>b</i>.
Tương tự ta có:
3 <sub>3</sub>
3 3
4
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b c</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
(2),
3 <sub>3</sub>
3 3
4
<i>b</i> <i>b</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub>
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có
3 3 3
3 3 3 3 3 3
4<i>P</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
3
2 <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub> <sub></sub>
9 3
3
2 2
3
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
4 DAYHOCTOAN.VN
Vậy 3
8
<i>MinP</i> .
<b>Bài 107.</b> Cho các số dương , ,<i>a b c</i> thỏa mãn <i>a b c</i> 2 <i>abc</i>. Tìm giá trị nhỏ nhất của <i>S</i> 1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
.
<b>Lời giải </b>
Chú ý rằng <i>a b c</i> 2 <i>abc</i>nên suy ra:
(<i>a</i>1)(<i>b</i>1)(<i>c</i> 1) (<i>a</i>1)(<i>b</i> 1) (<i>b</i> 1)(<i>c</i> 1) (<i>c</i> 1)(<i>a</i>1).
Do vậy ta thu được 1 1 1 1 1 1 1 2
1 1 1
1 1 1 <sub>1</sub> <sub>1</sub> <sub>1</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
1 1 1 1 1 1 9
1 1 1
1 1 1 <sub>2</sub>
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Từ hai điều trên ta suy ra 1 1 1 3
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
Vậy S nhỏ nhất bằng 3
2 , dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> và là nghiệm của:
3
3 2 0 2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 108.</b> Cho , ,<i>x y z</i> là các số thực dương thỏa mãn <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3<i>xyz</i>. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
3
( 1) ( 1) ( 1) 2
<i>y</i> <i>z</i> <i>x</i>
<i>x y</i> <i>y z</i> <i>z x</i> (1)
<b>Lời giải </b>
Ta có thể viết lại giả thiết <i>xy</i><i>yz</i><i>zx</i>3<i>xyz</i> thành 1 1 1 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
Đặt <i>a</i> 1
<i>x</i>
; <i>b</i> 1
<i>y</i>
; <i>c</i> 1
<i>z</i>
. Ta có <i>a b c</i> 3.
Thay vào (1), ta cần chứng minh: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> 3
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
.
Thật vậy <sub>2</sub> 2<sub>2</sub> 2
1 1 2 2
<i>a</i> <i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
.
Làm tương tự và cộng lại ta có: <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> ( ) 1( )
1 1 1 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c</i> <i>ab bc ca</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
Ta có bất đẳng thức quen thuộc: 2
(<i>a b c</i> ) 3(<i>ab bc ca</i> ).
Do đó: 2
2 2 2
1 3
( ) ( )
1 1 1 6 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c</i> <i>a b c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
. (vì <i>a b c</i> 3)
Dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 1 hay <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> 1.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
5 DAYHOCTOAN.VN
2 2 2
2 2 2 2 2 2 8( )
<i>ab bc ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Lời giải </b>
Đặt <i>t</i><i>ab bc ca</i> , suy ra
3
( ) 1
0
3 3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>t</i>
.
Áp dụng điều kiện: <i>a b c</i> 1, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2
2 8[( ) 2( )]
2 ( )
<i>t</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i>
<i>t</i> <i>abc a</i> <i>b</i> <i>c</i>
2 8(1 2 )
2
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i> <i>abc</i>
Do <i>abc</i>0 nên ta có đánh giá: <sub>2</sub> <sub>2</sub> 1
2
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>abc</i> <i>t</i> <i>t</i>.
Để kết thúc bài toán ta sẽ chứng minh 1 8(1 2 )<i>t</i>
<i>t</i> (*)
Thật vậy (*) 16<i>t</i>2 8<i>t</i> 1 0 (4<i>t</i>1)20.Điều này luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1
0
1
4
<i>a b c</i>
<i>abc</i>
<i>t</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i>
.
Khi đó , ,<i>a b c</i> là nghiệm phương trình 3 2 1 0.
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Do đó
2 2
<i>a b c</i> <sub></sub>
hoặc các hoán vị.
<b>Bài 110.</b> Cho , ,<i>a b c</i> là các số thực dương. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>ab b</i> <i>bc c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
.
<b>Lời giải </b>
Ta có
2 2 2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> <i><sub>a</sub></i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>ab b</i> <i>bc</i> <i>c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
Đặt <i>x</i> <i>a</i>,<i>y</i> <i>b</i>,<i>z</i> <i>c</i> <i>xyz</i> 1.
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
Ta có
2
2
1 1 1
1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
6 DAYHOCTOAN.VN
2 <sub>6</sub>
3 3 3 3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>xy</i> <i>yz</i> <i>zx</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>y</sub></i> <i><sub>z</sub></i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<sub> </sub>
Suy ra
2 2 2
3
3 6
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>S</i>
<i>S</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>
<i>S</i>
<i>ab b</i> <i>bc c</i> <i>ca</i> <i>a</i>
Ta có 3 3 6 2 3 3 3
2 2 2 2 2
<i>S</i> <i>S</i>
<i>S</i>
<i>S</i> <i>S</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Suy ra
3 3
3 2
<i>S</i>
<i>S</i>
<sub></sub>
.
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
<b>Bài 111.</b> Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn : 2 2 2 2
1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức: 2 2 1
( )( )
2
<i>E</i><i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> .
<b>Bài giải: </b>
2 2 1
2
<i>E</i><i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i>2 <i>c</i>2 <sub></sub>
2 2 2 2
2 2 2 1 2 1
2
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>c</i>
2 1 2 1
2 <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i> 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2 2
2 2
8
2 2
8
2 1
2 2
8
1
2 2
8
<i>a</i>
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>d</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
hoặc
2 2
8
2 2
8
2 2
8
2 2
8
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
2 2 1
2
<i>E</i><i>a</i> <i>c</i> <i>a</i><i>c b</i><i>d</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
<i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
2 2 2 1 2 1
2
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>c</i>
1 2 1 2
2 <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i> 2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
7 DAYHOCTOAN.VN
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2 2 2
2 2
8
2 2
8
2 1
2 2
8
1
2 2
8
<i>a</i>
<i>a</i> <i>c</i>
<i>b</i>
<i>b</i> <i>d</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>d</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
hoặc
2 2
8
2 2
8
2 2
8
2 2
8
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>d</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<b>Bài 112.</b> Cho các số thực không âm <i>a b c</i>, , thoả mãn 2 2 2
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> . Chứng minh bất đẳng thức
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
<b>Bài giải: </b>
Do tính đối xứng của bất đẳng thức nên không mất tổng quát, giả sử <i>a b c</i> 0.
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có 3 3 3 3 3
3 2 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i><i>a</i> <i>b</i> <i>ab ab</i>
Và
2 2 2 2 2 4 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i> <i>ab</i> <i>ab</i>
Từ
3 8 8 ; ;
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i> <i>a b c</i> <i>a b</i> <i>max a b b c c a</i>
Hay
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
Dấu “=” xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> 1 <i>c</i> 0
Tóm lại:
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
8 ; ;
3 <i>max a b b c c a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>a b c</i>
Dấu “=” khi <i>a</i> <i>b</i> 1 <i>c</i> 0 và các hoán vị.
<b>Bài 113.</b> Cho các số thực dương <i>a b c</i>, , thỏa mãn 2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> Chứng minh bất đẳng thức
1 1 1
3.
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài giải: </b>
Ta có: 2 2 2
4 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc</i> <i>ca</i> .
Ta chứng minh:
2 2 2 2 2 2
6
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>c</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Thật vậy, vì 2 2 2
2<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab</i><i>bc</i><i>ca</i> nên ta có:
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
<i>a b</i> <i>c</i> <i>a c b</i> <i>c</i> <i>a c b</i>
<i>ab</i> <i>ab a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab bc ca</i>
<i>a b</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>a b</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
Suy ra
2 2
1 <i>c a c b</i> (1)
<i>ab</i>
<i>a b</i> <i>a b</i>
<sub> </sub>
.
Tương tự ta có
2 2 2 2
1 <i>a b c a</i> (2), 1 <i>a b b c</i> (3)
<i>bc</i> <i>ca</i>
<i>b c</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>c a</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
8 DAYHOCTOAN.VN
Cộng các BĐT (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2 2 2 2
3 <i>c a b c</i> <i>a b c a</i> <i>b c a b</i>
<i>ab</i> <i>bc</i> <i>ca</i>
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i> <i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
<i>a b</i> <i>b c</i> <i>c a</i>
.
Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 3
3
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Bài 114.</b> Chứng tỏ rằng tổng 2014<sub>2</sub> 2014<sub>2</sub> ... 2014<sub>2</sub> ... 2014<sub>2</sub>
2013 1 2013 2 2013 2013 2013
<i>A</i>
<i>n</i>
(2013 số hạng)
không phải là số nguyên dương.
<b>Bài giải: </b>
Trước hết ta giải bài toán tổng quát:
“Chứng minh rằng tổng <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub> 1 ... <sub>2</sub> 1
1 2
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
<i>A</i>
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(n số hạng, <i>n</i>1) khơng phải là số
ngun dương”.
Ta có <i>A</i> <i>n</i> <sub>2</sub>1 <i>n</i> <sub>2</sub>1 ... <i>n</i> <sub>2</sub>1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(n số hạng) <i>n</i> <sub>2</sub>1.<i>n</i> 1 1 2.
<i>n</i> <i>n</i>
Mặt khác <i>A</i> <i>n</i><sub>2</sub> 1 <i>n</i><sub>2</sub> 1 ... <i>n</i><sub>2</sub> 1
<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>
(n số hạng) 2
1
. 1
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i> <i>n</i>
Do đó 1 <i>A</i> 2.
Vậy A khơng phải là số nguyên dương.
Với <i>n</i>2013 thì ta có bài tốn đã cho.
<b>Bài 115.</b> Cho <i>a b c</i>, , là các số thực dương thỏa mãn: <i>a b c</i> 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(<i>ab</i> 1)(<i>bc</i> 1)(<i>ca</i> 1)
<i>P</i>
<i>abc</i>
.
<b>Bài giải: </b>
Ta có: <i>P</i> <i>a</i> 1 <i>b</i> 1 <i>c</i> 1 <i>abc</i> 1 1 1 1 1
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Vì <i>a b c</i> 1 nên từ BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 1 3 1
3 3 27
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>abc</i> <i>abc</i>
Do đó: 1 27 1 (27 )(1 27 ) 0
27 27
<i>abc</i> <i>abc</i>
<i>abc</i>
<i>abc</i> <i>abc</i>
Suy ra: 1 27 1 730
27 27
<i>abc</i>
<i>abc</i>
Mặt khác ta lại có:
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Từ đó suy ra:
2
730 10
9 1
27 3
<i>P</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
9 DAYHOCTOAN.VN
Vậy
2
10
min
3
<i>P</i>
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1
3
<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i> .
<b>Bài 116.</b> Tìm giá trị lớn nhất của số thực <i>k</i> sao cho bất đẳng thức sau:2
2 1<i>b</i> 1<i>c</i> 1<i>d</i> 2 1<i>c</i> 1<i>d</i> 1<i>a</i> 2
<i>k ab bc cd</i> <i>ac bd</i> <i>da</i>
đúng với mọi số thực <i>a b c d</i>, , , thay đổi tùy ý.
<b>Bài giải: </b>
Điều kiện cần: Bất đẳng thức đúng với bộ <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 3
thay vào BĐT ta được 4.2.8<i>k</i>
Điều kiện đủ: Ta chứng minh BĐT đúng với <i>k</i>4
2 1<i>a</i> 1<i>b</i> 1<i>c</i> 2
2 1 <i>d</i> 1 <i>a</i> 1 <i>b</i>
, , ,
2 1 1 1 4 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab ac ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
, , ,
1 1 1 2 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab ac ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
Ta có:
2 1<i>a</i> 1<i>b</i> 1<i>c</i> 2
2 1 <i>d</i> 1 <i>a</i> 1 <i>b</i>
, , ,
1 1 1 2 2
<i>a b c d</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ab ac ad</i> <i>bc bd</i> <i>cd</i>
Dấu “=” xảy ra khi <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i> 3
Vậy giá trị lớn nhất của <i>k</i> bằng 4. Khi đó BĐT ln đúng với mọi số thực <i>a b c d</i>, , , thay đổi tùy ý
<b>Bài 117.</b> Giải bất phương trình: 5 2x 1 5 4
2x 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Bài giải: </b>
ĐK: <i>x</i>0
4x
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt 1 , 2
2
<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i>
<i>x</i>
1 2
1
4
<i>x</i> <i>t</i>
<i>x</i>
5 2 0
<i>t</i> <i>t</i> 2
2
nhận loại
<i>t</i> <i>t</i>
1 2 4 1 0 2 0 2
2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
10 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 118.</b> Giải bất phương trình:
<b>Bài giải: </b>
1 <i>x</i> 6<i>x</i>8 <i>x</i> 9<i>x</i>8 4<i>x</i>
<i>x</i>0:
<i>x</i>0:
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Đặt <i>x</i> 8 <i>t</i>
<i>x</i>
, <i>t</i> 4 2 *
15 50 0 5 10
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
So với điều kiện
<i>x</i>
Vậy
<b>Bài 119.</b> Giải phương trình: <i>x</i> <i>x</i>2 1 <i>x</i> <i>x</i>2 1 2 1
<b>Bài giải: </b>
ĐK: <i>x</i>1
Nhận xét: 2 2
1. 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt 2
1
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> ,
<i>t</i>
1 <i>x</i> <i>x</i> 1 1 <i>x</i> 1
<b>Bài 1.</b> Giải bất phương trình: <sub>2 3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub> <i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub> <sub>3</sub>4
<b>Bài giải: </b>
TXĐ: [ ;2 )
3
<i>D</i>
Trên <i>D</i>: <i>x</i> 2 0, ta chia 2 vế cho <i>x</i> 2 0
2 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Đặt 4 3 2<sub>;</sub> <sub>0</sub>
2
<i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i>
2 3 1 0 0
2
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> hoặc <i>t</i>1
Với <sub>0</sub> 1 4 3 2 1 2 34
2 2 2 3 47
<i>x</i>
<i>t</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Với <sub>1</sub> 4 3 2 <sub>1</sub> <sub>2</sub>
2
<i>x</i>
<i>t</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Vậy tập nghiệm của
<i>T</i> <sub></sub> <sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
11 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 120.</b> Giải bất phương trình:
2
1 1
0 1
4 3 <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài giải: </b>
ĐK:
2
4 3 0
1 2; 2 3
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
1
2 4
4 3 <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Nếu 1 <i>x</i> 2 thì <i>x</i>2 4<i>x</i> 3 0 2<i>x</i>4, bất phương trình nghiệm đúng với mọi : 1<i>x</i> <i>x</i> 2
Nếu 2 <i>x</i> 3 thì
2
2 4 0
4 3 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 4<i>x</i>3 2 2
4<i>x</i> 16<i>x</i> 16 <i>x</i> 4<i>x</i> 3
2
5<i>x</i> 20<i>x</i> 19 0
5 5
2 2
5 5
<i>x</i> <i>x</i>
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 2 5 3
5 <i>x</i>
Vậy tập nghiệm của
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 121.</b> Giải bất phương trình: 2
<b>Bài giải: </b>
2
2 0
3
2 6 1 2
1 2 6 1 2 <sub>3</sub> <sub>7</sub>
2 0
2
2 6 1 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
Vậy tập nghiệm của
<b>Bài 122.</b> Giải bất phương trình:
3 4 9 (1)
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <b>. </b>
<b>Lời giải</b>
Ta có:
(1) <i>x</i>3 <i>x</i> 4 <i>x</i> 3 0 (2)
TH1: <i>x</i> 3 0 <i>x</i> 3
2 2 2 5
(2) 4 3 4 ( 3)
6
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Kết hợp với <i>x</i>3 ta được <i>x</i>3 (*)
TH2: <i>x</i> 3 0 <i>x</i> 3(2) <i>x</i>2 4 <i>x</i> 3 (3)
+) Nếu <i>x</i> 3 0 <i>x</i> 3 thì (3) thỏa mãn với <i>x</i> 3 (4)
+) Nếu 2 2 5
3 0 3 (3) 4 ( 3)
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
12 DAYHOCTOAN.VN
5
3 (5)
6
<i>x</i>
Từ (4) và (5) ta có 5 (**)
6
<i>x</i> Từ (*) và (**) ta có nghiệm của bất phương trình là:
5
6
<i>x</i> hoặc <i>x</i>3.
<b>Bài 123.</b> Giải bất phương trình: 2 4 2
6(<i>x</i> 3<i>x</i> 1) <i>x</i> <i>x</i> 1 0 (<i>x</i><i>R</i>).
<b>Lời giải </b>
Ta có : 4 2 4 2 2 2
1 0, 1 ( 1) ( 1)
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <sub></sub> <i>x</i> <i>x</i><sub> </sub> <i>x</i> <i>x</i><sub></sub>
BPT 2 2 2 2
6 2( <i>x</i> <i>x</i> 1) (<i>x</i> <i>x</i> 1) 6(<i>x</i> <i>x</i> 1)(<i>x</i> <i>x</i> 1) 0
<sub></sub> <sub></sub>
2 2
2 2
1 6( 1)
12 6 0
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
.
Đặt 6(<sub>2</sub>2 1) ( 0)
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i>
.
BPT trở thành: 2 3
2 6 0 0
2
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
2
2
2
6( 1) 9 11 21 11 21
5 11 5 0 ;
1 4 10 10
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 124.</b> Giải bất phương trình: 2
6 2 2(2 ) 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> .
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 1.
2
<i>x</i> Đặt <i>t</i> 2<i>x</i>1 (<i>t</i>0) thì 2<i>x</i> <i>t</i>2 1.
Khi đó ta có: 2 2 2
6 2 2(2 ) 0 2 4 3( 1) 2 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x t</i> <i>x</i> <i>tx</i> <i>t</i> <i>t</i>
2 2
(<i>x t</i>) (2<i>t</i> 1) 0 (<i>x</i> 3<i>t</i> 1)(<i>x t</i> 1) 0
1
<i>x</i> <i>t</i>
(do 3 1 0; 1; 0
2
<i>x</i> <i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> ).
Với <i>x</i> 1 <i>t</i>, ta có: 1 2 1 <sub>2</sub> 1 2 2.
2 1 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là <i>S</i> [2 2;).
<b>Bài 125.</b> Cho hê ̣ bát phương trình:
2
2
1 0
2( 1) 4 1 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
<b>a)</b> Giải hê ̣ với m = 0.
<b>b)</b> Xác định m để hệ bất phương trình trên có nghiệm.
<b>Lời giải </b>
<b>a)</b> Khi <i>m</i>0 hê ̣ trở thành
2
2
1 0
2 1 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
2
1;1
1 0
( 1) 0 <i>x</i> <i>R</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
13 DAYHOCTOAN.VN
<b>b)</b>
2
2
1 0 (1)
2( 1) 4 1 0 (2)
<i>x</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
Giải (1) ta được <i>x</i>[-1;1] Xét (2): ' <i>m</i>22<i>m</i>
<b>TH 1:</b> ' 0 <i>m</i>[0;2] .
Khi đó bất phương trình (2) có tập nghiệm là hệ bất phương trình có nghiệm.
<b>TH 2:</b> ' 0 <i>m</i> ( ; 0)(2;) (*)
Ta có 2 2
1 1 2 , 2 1 2
<i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
Hệ bất phương trình có nghiệm khi 1
2
1 (3)
1 (4)
<i>x</i>
<i>x</i>
+) Giải (3) ta được 2
3
<i>m</i> . Kết hợp (*) [ 2; 0) (2; ).
3
<i>m</i>
+) Giải (4) ta được <i>m =</i> 0 (loại) KL: Vậy hệ bất phương trình có nghiệm khi 2
3
<i>m</i> .
<b>Bài 126.</b> Giải bát phương trình:
2<i>x</i> 5<i>x</i>7 <i>x</i> 2 0
<b>TH 1:</b> Với <i>x</i>2 khi đó
1
1 2 5 7 0 <sub>7</sub>
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
. Do x > 2 nên 7
2
2
<i>S</i> <sub></sub>
.
<b>Bài 127.</b> Giải bất phương trình 3
3 <i>x</i> 1 <i>x</i>2 <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Đkxđ: <i>x</i>2. Đặt <i>t</i> <i>x</i>2,<i>t</i>0 suy ra <i>x</i> <i>t</i>2 2, thay vào bất phương trình ta được:
3 2 2
1 <i>t</i> 1 <i>t</i> 1 <i>t</i> 1 <i>t</i> 3 2 2
3 2
4 3 0 1 3 0
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t t</i> <i>t</i>
3 2 3 11
0 1 <sub>0</sub> <sub>2</sub> <sub>1</sub> 2 3
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i><sub>x</sub></i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> .
Kết hợp với Đkxđ ta được tập nghiệm là <i>S</i>
<b>Bài 128.</b> Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :
2
4 3 2
2 0
4 4 10 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
.
<b>Lời giải </b>
Hệ đã cho có thể viết thành dạng :
2 2 2
2 0 2 0
4 4 10 0 2 10 0
<i>x x</i> <i>m</i> <i>x x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
14 DAYHOCTOAN.VN
Ta có hệ có nghiệm <i>x</i>0 thì cũng có nghiệm 2<i>x</i>0. vậy hệ có nghiệm duy nhất
0 0 0
2<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 1. Khi <i>x</i><sub>0</sub> 1, ta có 1 0 1
9 0
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
. Với <i>m</i>1 hệ đã cho trở thành :
2
4 3 2
2 1 0
4 4 9 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2
2 2
2
2
1
( 1) 0
1
2 3 2 3 0
2 9 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
.
<b>Bài 129.</b> Giải bất phương trình: <sub>4</sub> 1 1<sub>2</sub> 0
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
.
<b>Lời giải </b>
<b>TH 1:</b> <i>x</i> 1. Bất phương trình trở thành: <sub>4</sub> <sub>2</sub> 0 2
2 0
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub></sub> .
Đối chiếu điều kiện, suy ra 1 <i>x</i> 0 <i>x</i> 2.
<b>TH 2:</b> <i>x</i> 1. Bất phương trình trở thành <sub>4</sub> 2<sub>2</sub> 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
.
Đối chiếu với điều kiện, suy ra <i>x</i>
Vậy nghiệm của bất phương trình là: <i>S</i>
<b>Bài 130.</b> Tìm <i>m</i> để bất phương trình sau vơ nghiệm: (<i>m</i>24<i>m</i>5)<i>x</i>22(<i>m</i>1)<i>x</i> 2 0.
<b>Lời giải </b>
<b>TH1:</b> 2
0 4 5 0 1 5
<i>a</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> .
Với <i>m</i>1, bpt trở thành: 2 0 vơ nghiệm . Do đó: <i>m</i>1 (nhận)
Với <i>m</i> 5, bpt trở thành: 12 2 0 1
6
<i>x</i> <i>x</i> , do đó bpt có nghiệm <i>m</i> 5 (loại).
<b>TH2:</b> 0 1
5
<i>m</i>
<i>a</i>
<i>m</i>
<sub> </sub>
.
YCBT
2
2 2
2
0 4 5 0
4 5 2 1 2 0,
0 10 11 0
<i>a</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
11 1
<i>m</i> <i>m</i>
. Vậy giá trị <i>m</i> cần tìm là: <i>m</i>
<b>Bài 131.</b> Tìm tất cả các giá trị của <i>m</i> sao cho bất phương trình
<b>Lời giải </b>
Bất phương trình đã cho vơ nghiệm khi và chỉ khi
1 2 2 2 2 0
<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>
<b>TH1:</b> Nếu <i>m</i>1 thì 6 4 0, 2,
3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> vơ lí.
<b>TH2: </b> Nếu <i>m</i>1 thì
1 0 <sub>1</sub>
4 6 0
' 2 1 2 2 0
<i>m</i> <i><sub>m</sub></i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub>
1
2 10
2 10
2 10
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub> </sub>
.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
15 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 132.</b> Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
10
3
8 1 3 1
2 2 3 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
<b>Lời giải </b>
Ta có: 10 3
8 1 3 1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1
8
<i>x</i> .
Ta thấy <i>x</i>0 không phải là nghiệm của bpt
8 1 3 1 10
10
3 3
8 1 3 1
8 1 3 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
3
2 8 1 3 1 3 19 1
313 274 39 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Kết hợp với điều kiện: <i>x</i> 1.
Ta có:
2 2 3 4
<i>m</i> <i>x</i><i>m</i> <i>x</i>
3 2 2 4
<i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
+) <i>m</i>2, bpt
1
<i>x</i>
<i>m</i>
Hệ bpt có nghiệm.
+) <i>m</i>
1
<i>x</i>
<i>m</i>
Hệ bpt có nghiệm khi 2 1
1 <i>m</i>
<i>m</i> .
Kết luận: <i>m</i>
<b>Bài 133.</b> Tìm tất cả các giá trị của tham số <i>m</i> để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
2
2
2
4 2 2
4
5
2
8 16 16 32 16 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub>
.
<b>Lời giải </b>
2
2
2
4
5 1
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
.
2, 1 5 0
2 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
2
2
2 2
2
1
2
4. 5 0
2 2
5
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
Từ đó ta tìm được : <i>x</i>2 hoặc 2 <i>x</i> 1
Giả sử <i>x</i><sub>0</sub>là một nghiệm của PT : <i>x</i>48<i>x</i>216<i>mx</i>16<i>m</i>232<i>m</i>160 (2)
Khi đó PT : 4 2 2
0 8 0 16 0 16 32 16 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i> phải có nghiệm <i>m</i>
Suy ra PT : 2
0 0 0
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
16 DAYHOCTOAN.VN
' 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
64 <i>x</i> 2 16 <i>x</i> 8<i>x</i> 16 0 16<i>x</i> <i>x</i> 2 <i>x</i> 2<i>x</i> 8 0 0 <i>x</i> 2
Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0 .
Do đó hệ (1) ,(2) có nghiệm khi PT (2) có nghiệm <i>x</i>2.
Thay <i>x</i>2vào (2) ta được : <i>m</i>24<i>m</i> 4 0 <i>m</i> 2.
Vậy <i>m</i> 2thì hệ PT đã cho có nghiệm.
<b>Bài 134.</b> Giải bất phương trình:
2
2
3 5
<i>x</i>
<i>x</i>
.
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 2
4 0 2
<i>x</i> <i>x</i> (*)
Ta có:
2
2
3 5
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2
2
3 5
4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(1)
TH1: Với <i>x</i> 2. Bất phương trình vơ nghiệm (Do vế trái âm).
TH 2: Với <i>x</i>2. Bình phương hai vế bpt
2 2 4 2
2
2 <sub>2</sub> 2 <sub>2</sub>
4 4
45 4. 45 2
4 <sub>4</sub> 4 <sub>4</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt: 2
2 , 0
4
<i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i>
. Khi đó bpt
2
2
4 2
2
2
4 45 0 5 ( 0)
2 5
20
5 25 100 0
5
4 5
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
Vậy nghiệm của bất phương trình là: <i>S</i>
<b>Bài 135.</b> Giải bất phương trình: <i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5
Nếu: <i>x</i> 3 <i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 4<i>x</i> 4 <i>x</i> 1.
Kết hợp đk <i>x</i> 3.
Nếu: 3 <i>x</i> 2 thì bpt trở thành: <i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 2<i>x</i> 2 <i>x</i> 1
Kết hợp với đk 3 <i>x</i> 1.
Nếu <i>x</i>2 thì bpt trở thành: <i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 2<i>x</i> 6 <i>x</i> 3
Kết hợp với đk <i>x</i> 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: <i>T</i>
<b>Bài 136.</b> Giải bất phương trình: <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> 2
5
6
2
2
2
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 1 <i>x</i> 5
Theo BĐT Cauchy ta có :
2
5
1
5
1
6
2 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Nên: 0 <i>x</i>26<i>x</i>52 Suy ra: 1
5
6
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
Vậy (1) 1 2 (2)
5
6
2
1
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
17 DAYHOCTOAN.VN
Mặt khác : <i>x</i>2 12<i>x</i>
với <i>x</i>1 và 1 0
5
6
2
2
<i>x</i> <i>x</i>
Do đó (2) luôn nghiệm đúng
Vậy (1) luôn nghiệm đúng với 1 <i>x</i> 5
<b>Bài 137.</b> Giải bất phương trình:
<b>Lời giải </b>
* Điều kiện:
2
2
2
3 2 0
4 3 0
5 4 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1
4
<i>x</i>
<i>x</i>
.
* Bất phương trình tương đương (<i>x</i>1)(<i>x</i> 2) (<i>x</i>1)(<i>x</i> 3) 2 (<i>x</i>1)(<i>x</i>4) (1)
TH1: Nếu
(1) (1<i>x</i>)(2<i>x</i>) (1<i>x</i>)(3<i>x</i>)2 (1<i>x</i>)(4<i>x</i>)
1<i>x</i> 2 <i>x</i> 1<i>x</i> 3 <i>x</i> 2 1<i>x</i> 4<i>x</i>
1<i>x</i>( 2 <i>x</i> 3 <i>x</i> 2 4<i>x</i>)0 (2)
+ Với <i>x</i>1 thoả mãn (2) nên <i>x</i>1 là một nghiệm của bất phương trình.
+ Với
(2) 2 <i>x</i> 3 <i>x</i> 2 4 <i>x</i> 0 2 <i>x</i> 3 <i>x</i> 2 4<i>x</i>
( 2 <i>x</i> 3<i>x</i>)24(4<i>x</i>) 2 2<i>x</i> 3 <i>x</i> 11 2<i>x</i>
4(2<i>x</i>)(3<i>x</i>)(11 2 ) <i>x</i> 2 (Vì
<i>x</i> không thoả mãn
TH2: Nếu
(1) <i>x</i>1 <i>x</i> 2 <i>x</i>1 <i>x</i> 3 2 <i>x</i>1 <i>x</i>4
<i>x</i>1( <i>x</i> 2 <i>x</i> 3 2 <i>x</i>4)0
<i>x</i> 2 <i>x</i> 3 2 <i>x</i> 4 0 ( Vì
2
<i>x</i>
hiển nhiên thoả mãn (3) vì <i>VP</i> 0 <i>VT</i>
+ Nếu 11
2
<i>x</i> ta có:
(3) 4(<i>x</i>2)(<i>x</i> 3) (2<i>x</i>11)2
97
24
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
18 DAYHOCTOAN.VN
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: <i>S</i>
2
1 1
0
2 4
4 3 <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
(1)
<b>Lời giải </b>
* Điều kiện:
2
Nếu
4 3 0 2 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x:
2
2
2<i>x</i> 4 <i>x</i> 4<i>x</i> 3
2 2
4 16 16 4 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 2
5 20 19 0
<i>x</i> <i>x</i> 2 5; 2 5
5 5
<i>x</i> <i>x</i>
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 2 5 3
5 <i>x</i>
Tập nghiệm của bất phương trình đó cho:
<b>Bài 139.</b> Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 2
12
)
1
(
)
1
(
<i>t</i> 1, bài toán quy về tìm Điều kiệnđể bất phương trình 2
3
1
2
2
2
<i>m</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
đúng với mọi <i>t</i>
Vì mẫu xác định với mọi <i>t</i> nên <i>m</i> 3<i>t</i> <i>t</i><i>m</i>0,<i>t</i>
12
1
0 2
Do đó bất phương trình tương đương với : 2<i>t</i>2 <i>t</i>16<i>t</i>2 2<i>t</i>2<i>m</i>,<i>t</i>
<i>t</i>
<i>m</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
4 2 3 2 1 0,
916(2<i>m</i>1)0
32
25
<i>m</i>
<b>Bài 140.</b> Giải bất phương trình:
<b>Lời giải</b>
* Điều kiện: 2
8 12 0 2 6
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
* Nếu
2
2 2
8 12 4 40 100
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
19 DAYHOCTOAN.VN
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có:
Tập nghiệm của bất phương trình đó cho:
<b>Bài 141.</b> Giải bất phương trình
+ Điều kiện: 8 (2.1)
3
<i>x</i>
11
3
2
11
3
2
5
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
<sub> </sub>
<sub></sub>
(2,2)
+Kết luận: Kết hợp (2.1) và (2.2) bất phương trình có nghiệm:
<b>Bài 142.</b> Giải bất phương trình<b>: </b> 2 1 2 2 7
2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
* Điều kiện: <i>x</i>1.
Đặt <i>t</i> <i>x</i> 2 <i>x</i>1 Suy ra:
2
2 2 2 7
2 1 2 2 2 4
2 2
<i>t</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Khi đó bất phương trình trở thành: 2
2 8 0 2 4
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
- Với <i>t</i> 2 suy ra: <i>x</i> 2 <i>x</i> 1 2 <i>x</i> 2 2 <i>x</i>1
6 4 2 1 7 4 2 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
(đúng <i>x</i> 1)
- Với <i>t</i>4 suy ra: <i>x</i> 2 <i>x</i> 1 4 <i>x</i> 2 <i>x</i> 1 4
2 15 8 1 13 8 1 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
(đúng <i>x</i> 1)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là <sub></sub>1;
<b>Bài 143.</b> Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm là : 2 2
(<i>x</i> <i>x</i> 1)(<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>)0
<b>Lời giải </b>
Đặt 2
1
<i>t</i><i>x</i> <i>x</i> suy ra
2
1 5 5
2 4 4
<i>t</i><sub></sub><i>x</i> <sub></sub>
.
Khi đó bất phương trình đó cho trở thành:
1 0 ( 1) 0
<i>t t</i> <i>m</i> <i>t</i> <i>m</i> <i>t</i> (1)
Để bất phương trình đó cho có tập nghiệm là thì (1) phải có tập nghiệm là 5;
4
Xét 2
( ) ( 1).
<i>f t</i> <i>t</i> <i>m</i> <i>t</i> . Ta có 2 trường hợp:
- <i>TH</i><sub>1</sub>: ( 1) 5 3
2 4 2
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
. Khi đó ta có bảng biến thiên <i>f t</i>( ) trên 5;
4
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
20 DAYHOCTOAN.VN
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để <i>f t</i>( )0 với 5;
4
<i>t</i>
<sub></sub>
thì:
5
0
4
<i>f</i> <sub></sub> <sub></sub>
hay
2
5 5 5 1
.( 1) 0 1
4 4 <i>m</i> <i>m</i> 4 <i>m</i> 4
Kết hợp với Điều kiện trên ta thấy khơng có <i>m</i> thỏa mãn
- <i>TH</i><sub>2</sub>: ( 1) 5 3
2 4 2
<i>m</i>
<i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
Khi đó ta có bảng biến thiên <i>f t</i>( ) trên 5;
4
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để <i>f t</i>( )0 với 5;
4
<i>t</i>
<sub></sub> <sub></sub>
thì:
( 1)
0
2
<i>m</i>
<i>f</i> <sub></sub> <sub></sub>
Hay
2 2
2
( 1) ( 1)
0 ( 1) 0 1
4 2
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>
(thỏa mãn Điều kiện)
Vậy Điều kiện để bất phương trình đó cho có tập nghiệm là là <i>m</i> 1
<b>Bài 144.</b> Giải bất phương trình <sub>2 3</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub> <i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub> <sub>3 (3</sub>4 <i><sub>x</sub></i><sub>2)(</sub><i><sub>x</sub></i><sub>2)</sub>
<b>Lời giải </b>
* Tập xác định: 2;
3
<i>D</i><sub></sub>
* Trên D thì <i>x</i> 2 0 , Chia 2 vế của (1) cho <i>x</i>2 ta được <sub>2</sub> 3 2 <sub>1 3</sub>4 3 2
2 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Đặt 4 3 2 <sub>0</sub>
2
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>x</i>
.
bất phương trình <sub>2 – 3 1 0</sub>2
<i>t</i> <i>t</i> 0 1
2
<i>t</i>
hoặc <i>t</i>1
* Với 0 1
2
<i>t</i>
thì 4 3 2 1
2 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
2 34
3 <i>x</i> 47
* Với <i>t</i>1 thì 4 3 2 <sub>1</sub> <sub>2</sub>
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
21 DAYHOCTOAN.VN
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) 2 34;
3 47
<i>T</i> <sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 145.</b> Giải bất phương trình <i>x</i>2 3<i>x</i>2 <i>x</i>2 6<i>x</i>5 2<i>x</i>2 9<i>x</i>7.
<b>Lời giải </b>
* Điều kiện:<i>x</i>
- Với <i>x</i> 1 Bất phương trình tương đương
5
2
1
7
2
5
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Bất phương trình vơ nghiệm.
- Với <i>x</i> 5:Bất phương trình tương đương: <i>x</i>5 <i>x</i>2 2<i>x</i>7 <i>x</i>5.
Vậy bất phương trình có 2 nghiệm: <i>x</i> 1; <i>x</i> 5
<b>Bài 146.</b> Giải bất phương trình :
2
2
3 2
4 0
3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<b>Lời giải </b>
Bất phương trình tương đương <sub></sub> <sub></sub>
2
2
3 2
4 0
3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
* Xét TH1: <sub> </sub>
<sub></sub>
2 <sub>0</sub>
4 0
4
3 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
* Xét TH2:
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
<sub> </sub>
<sub></sub>
2
2
4 0
0 4
4
3 2
1 2 3
0
3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Vậy tập nghiệm của BPT là <i>x</i>
<b>Bài 147.</b> Cho bất phương trình:
2 2
9 4 7
1
9 9
<i>m</i> <i>mx</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
b) Tìm m để bất phương trình
<b>Lời giải: </b>
TXĐ:<i>D</i>
+) <i>x</i>0 khơng là nghiệm của phương trình
1 2
9 9
1 1
<i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Đặt
9
, 6
<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i>
<i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
22 DAYHOCTOAN.VN
+) Với <i>m</i>28:
30 225 0 15
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>( 1 điểm) </i>
+) Bpt có hai nghiệm: <i>x</i>15 189 và <i>x</i>15 189 <i>( 2 điểm) </i>
( ) ( 2) 8 1 0
<i>f t</i> <i>t</i> <i>m</i> <i>t</i> <i>m</i>
+) Để
14
<i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>( 1 điểm) </i>
+) KL:Bpt có nghiệm ; 49
<i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 148.</b> Giải bất phương trình: <i>x</i>26<i>x</i> 2 2(2<i>x</i>) 2<i>x</i>1
<b>Lời giải: </b>
Điều kiện: 1
2
<i>x</i> .
Bpt 2
2 2 1 2 1 4(2 1) 4 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2 1 2 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2 2 1 2 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
( do 2 vế dương)
2<i>x</i> 1 2<i>x</i> 1
1 <sub>2</sub>
2 1 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> 2 2
Đối chiếu đk ta có nghiệm của bất phương trình là:<i>x</i> 2 2
<b>Bài 149.</b> Giải bất phương trình:
2 2
7<i>x</i> 7<i>x</i> 9 <i>x</i> <i>x</i> 6 2 2<i>x</i>1
<b>Lời giải: </b>
ĐK: <i>x</i>3 . Bpt tương đương:
2
7<i>x</i> 7<i>x</i> 9 <i>x</i> 2 <i>x</i> 3 2 2<i>x</i> 1
<sub></sub> <sub></sub>
2
6<i>x</i> 14<i>x</i> 7 4 2<i>x</i> 1 <i>x</i> 3 . <i>x</i> 2
3 2<i>x</i> 5<i>x</i> 3 4 2<i>x</i> 5<i>x</i> 3. <i>x</i> 2 (<i>x</i> 2) 0
2 2
2 5 3 2 5 3
3. 4 1 0
2 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
2
18 46 29 0
2 6 5 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
23 DAYHOCTOAN.VN
23 1051
18
18
3 19 3 19
2 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 150.</b> Với giá trị nào của <i>m</i> thì bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi <i>x</i> :
2
6<i>x</i> 4<i>x</i> 5 2<i>x</i>4<i>mx</i>1
<b>Lời giải: </b>
Vì 6<i>x</i>24<i>x</i> 5 0 với mọi <i>x</i> nên:
2
(1 ) 1 0
4 2(1 ) 3 0
<i>x</i> <i>m x</i>
<i>x</i> <i>m x</i>
Vậy,
2 2
1
2 2
2
(1 ) 4 2 3 0
(1 ) 12 2 11 0
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<b>Bài 151.</b> Giải bất phương trình:
3 2 4 5
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải: </b>
Nếu <i>x</i> 3thì phương trình trở thành : <i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 4<i>x</i> 4 <i>x</i> 1
kết hợp điều kiện <i>x</i> 3.
Nếu 3 <i>x</i> 2thì phương trình trờ thành :<i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 2<i>x</i> 2 <i>x</i> 1
kết hợp điều kiện 3 <i>x</i> 1.
Nếu<i>x</i>2thì phương trình trở thành :<i>x</i> 3 2<i>x</i> 4 <i>x</i> 5 2<i>x</i> 6 <i>x</i> 3
kết hợp điều kiện <i>x</i> 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : <i>T</i>
<b>Lời giải: </b>
Điều kiện : 2 <i>x</i> 2.
Bất phương trình : 2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
24 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 153.</b> Giải bất phương trình 9 9 <i>x</i> <i>x</i> 9.
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải: </b>
Điều kiện :
9
9 0.
3.
9
0.
3 0.
0.
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub> </sub>
Nếu 3 <i>x</i> 0.Thì <i>x</i> <i>x</i> 9 0 9 9
<i>x</i> <i>x</i>
suy ra bất phương trình vơ nghiệm.
Nếu <i>x</i> 3 <i>x</i> <i>x</i> 9 0.
<i>x</i>
Nên bất phương trình tương đương với
2 2
9 9 9 9
9 <i>x</i> 2<i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> 9 2<i>x x</i> <i>x</i> 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
.
Mà
2
2
2
3.
3.
9 0 <sub>1</sub> <sub>37</sub>
.
9 .
2
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Vậy tập nghiệm là :
<sub></sub> <sub></sub>
<i>S</i>
<b>Bài 154.</b> a) Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn
2
2
3 1 0
3 1 1
<i>m x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
b) Giải bất phương trình: 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub>
(2 )<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> (1 <i>m</i> )<i>x</i> <i>x</i> (1 <i>m</i> )<i>x</i> <i>x</i> với 0 <i>m</i> 1 .
<b>Lời giải: </b>
a) Với
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt 2 5
3 1 1;
4
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>
. Ta có bất phương trình: 2
2 2
0
1
<i>mt</i> <i>m</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
Xét ( ) <sub>2</sub>2 , 1;5
<i>f t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub> </sub>
2 2
4 2 5
( ) 0 1;
( ) 4
<i>t</i>
<i>f t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
25 DAYHOCTOAN.VN
<i>t</i> 1 5
4
( )
<i>f t</i>
( )
<i>f t</i>
2
32
45
Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn
45
<i>m</i> .
b) Vì (<i>m</i>21)<i>x</i>2 4<i>x</i> 6 0 <i>x</i>; <i>m</i>
Ta có
2
2 4 6 <sub>2</sub> 4 6
2 2
2 1
1
1 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
(1)
Đặt tan 0;
2 2
<i>t</i>
<i>m</i> <i>t</i> <sub></sub>
. Bất phương trình (1) có dạng:
2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub>
(sin )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (cos )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> 1 (2)
Vì 2
2
2
( 2) 2 2
( 2) 2 2
( 2) 2 2
(sin ) sin
(cos ) cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
Khi đó 2 2
4 6 4 6 2 2
(sin )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (cos )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (sin )<i>t</i> (cos )<i>t</i> 1 <i>t</i>
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi <i>x</i>.
<b>Bài 155.</b> Giải bất phương trình 2<i>x</i>4
12 8
2 2 . 1
9 16
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Lời giải:</b>
Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( với <i>x</i>
2
6 4 2(6 4)
2 4 2 2 9 16
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
( 0,5đ )
3<i>x</i> 2 9<i>x</i> 16 2 2<i>x</i> 4 2 2 <i>x</i> 0
<sub></sub> <sub></sub>
3<i>x</i> 2 9<i>x</i> 8<i>x</i> 32 16 8 2<i>x</i> 0
3<i>x</i> 2 <i>x</i> 2 8 2<i>x</i> 8 <i>x</i> 2 8 2<i>x</i> 0
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
26 DAYHOCTOAN.VN
Do 8<i>x</i>2 82<i>x</i>2 0 nên
2
2
3
4 2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
Tập nghiệm của bất phương trình 2;2 4 2; 2 .
3 3
<i>T</i> <sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<b>Bài 156.</b> Tìm các giá trị của tham số <i>a</i> để bất phương trình <sub>2</sub> 1 1
4 3
<i>x</i>
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
được nghiệm đúng với
mọi <i>x</i>.
<b>Lời giải:</b>
Trước hết cần 2
4 3 0.
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i> Với mọi<i>x</i>.
'
0
1
4 ( 3) 0
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a a</i>
<sub></sub>
hoặc <i>a</i>4. ( 0,5 điểm )
Nếu <i>a</i> 1 thì <i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 0.Với <i>x</i>.
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với <i>x</i>.
2
1 4 3
<i>x</i> <i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
thỏa mãn với<i>x</i>.
2
5 4 0
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
thỏa mãn với<i>x</i>.
25 4<i>a a</i> 4 0
( vì <i>a</i> 1 )
2 4 41
4 16 25 0 .
2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
do ( <i>a</i> 1 ). (1,0 điểm)
Nếu <i>a</i>4 thì <i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 0. Với<i>x</i>.
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với <i>x</i>.
2
1 4 3
<i>x</i> <i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
thỏa mãn với <i>x</i>.
2
5 4 0
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
thỏa mãn với <i>x</i>.
25 4<i>a a</i> 4 0
( vì
2 4 41
4 16 25 0
2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
( do <i>a</i>4 )
Kết luận : ;4 41 4 41;
2 2
<i>a</i> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<b>Bài 157.</b> Tìm m để hệ
2
2 2 0
7 7 0
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
có nghiệm.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
27 DAYHOCTOAN.VN
2
2
2 2 0 (1)
7 7 0 (2)
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
1 <i>m</i> 2 0
và <sub>2</sub>
7
<i>m</i>
<i>m</i>
và <i>m</i>0thì tập nghiệm của (1) là <i>D</i>1
và tập nghiệm của (2) là <i>D</i><sub>2</sub> nên hệ phương
trình vơ nghiệm.
Với <i>m</i>0 tập nghiệm <i>D</i>1
<b>Bài 158.</b> Tìm <i>m</i> để bất phương trình: <i>mx</i>2<i>mx</i> <i>m</i> 2 0 có nghiệm <i>x</i>
Gián tiếp loại bỏ
2
2
1 2 1; 2
1
<i>m x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Xét ( ) <sub>2</sub> 2 ,
<i>g x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
, 2 2
2(2 1)
'( ) 0
( 1)
<i>x</i>
<i>g x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
hàm số nghịch biến trong khoảng
1;2
2
( )
7
<i>m</i> <i>Min g x</i>
Vậy 2
7
<i>m</i> thì bất phương trình có nghiệm <i>x</i>
<b>Bài 159.</b> Tìm <i>m</i> để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn
2
2
3 1 0
3 1
<i>m x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Với
1; 2 3 1 1
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt 2 5
3 1 1
4
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t</i> . Ta có bất phương trình: 2 0 <sub>2</sub>2
1
<i>mt</i> <i>m</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
Xét <i>f x</i>( ) <sub>2</sub>2
<i>t</i> <i>t</i>
với
5
1;
4
<i>t</i>
, 2 2
4 2 5
'( ) 0; 1;
( ) 4
<i>t</i>
<i>f t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub> </sub>
Ta có bảng sau:
Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn
<b>Bài 160.</b> Tìm tất cả các giá trị <i>m</i> để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn
1 5
4
'
<i>f</i> <i>t</i>
<i>f t</i> 2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
28 DAYHOCTOAN.VN
(<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> 1
<b>Lời giải </b>
Ta có (<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> 1 (<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> (<i>x</i>1)2 <i>m x</i>( 1) <i>x</i>21 (1)
+ Nếu <i>x</i>1 Phương trình (1) vô nghiệm
+ Nếu <i>x</i>(1; 2] :
2
1
(1)
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
.
Xét hàm số
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2] ta có:
2
2
2 1
'( ) 0
( 1)
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2] .
Vậy
1;2 ( ) (2) 5
<i>Min f x</i> <i>f</i> . Do đó trong TH này bất phương trình có nghiệm <i>m</i> 5.
+) Nếu <i>x</i>[-2;1):
2
1
(1)
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
.
Xét hàm số
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) ta có:
2
2
1 2
2 1
'( ) 0
( 1) <sub>1</sub> <sub>2</sub>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub> </sub> .
Bảng biến thiên của
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) :
<i>x</i> 2 1 2 1
<i>f x</i>'( ) <sub>+</sub> <sub>0</sub> -
2 2 2
( )<i>f x</i>
Vậy trong TH này bất phương trình có nghiệm <i>m</i> 2 2 2
Tóm lại bất phương trình đã cho có nghiệm <i>m</i> ( ; 2 2 2][5;+ ) .
<b>Bài 161.</b> Giải bất phương trình:
3 2
3 2 2 6 0 ( )
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> .
<b>Lời giải </b>
Điều kiện xác định: <i>x</i> 2.
Đặt <i>y</i> <i>x</i>2, điều kiện <i>y</i>0.
Bất phương trình trở thành: 3 2 3
3 2 0
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
2 0
2 0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub> </sub>
Với <i>x</i> <i>y</i> thì 2 0 <sub>2</sub> 2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
Với x + 2y ≥ 0 thì
2
0
0
2 2
2 2 3 0
4( 2)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
2 2 3
<i>x</i>
.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
29 DAYHOCTOAN.VN
3 2 2 2
3
5 17 7 2 4 2 7
3 2 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>mx</i>
<b>Lời giải </b>
Bất phương trình 3 2
5 17 7 2 4 2 7
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2 2 2 2 7 2 7 2 7 2 7
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Xét hàm số 3 2
( )
<i>f t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>, f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng
2 2 7
<i>f x</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> 2 2<i>x</i>27
1 <i>x</i> 3
Hệ bất phương trình có nghiệm 3
3 2 0
<i>x</i> <i>mx</i>
có nghiệm <i>x</i>
2 2
3m <i>x</i> <i>g x</i>
<i>x</i>
có nghiệm <i>x</i>
3<i>m</i> <i>Maxg x</i>
Hàm số
<i>g x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
là hàm số nghịch biến trên
(1) 3
<i>Maxg x</i> <i>g</i>
Vậy <i>m</i> 1
<b>Bài 163.</b> Giải bất phương trình: 5<i>x</i>261<i>x</i> 4<i>x</i>2
<b>Lời giải </b>
BPT 2
2 2
4 2 0
5 61 0
5 61 (4 2)
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
4 2 0
(5 61) 0
11 45 4 0
<i>x</i>
<i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
1
;
2
61
; 0;
5
1
; 4;
11
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
1
0; (4; )
11
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 164.</b> Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
2
2
2
4 2 2
4
5
( 2)
8 16 16 32 16 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub>
<b>Lời giải </b>
* Giải BPT:
2
2
2
4
5 (1)
( 2)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
. Với <i>x</i> 2, (1) tương đương với
2
2
2 2 2 2
2
1
2 4 2
5 0 4. 5 0
2 2 2 2
5
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub><sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
30 DAYHOCTOAN.VN
Từ đó tìm ra <i>x</i>2 hoặc 2 <i>x</i> 1.
* Giả sử <i>x</i>0 là một nghiệm của PT:
4 2 2
8 16 16 32 16 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i> (2)
Khi đú PT: 4 2 2
0 8 0 16 0 16 32 16 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i> phải có nghiệm m
Suy ra PT: 2 4 2
0 0 0
16<i>m</i> 16(<i>x</i> 2)<i>m</i><i>x</i> 8<i>x</i> 160 phải có nghiệm m. Do đó
2 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' 64(<i>x</i> 2) 16(<i>x</i> 8<i>x</i> 16) 0 16 (<i>x x</i> 2)(<i>x</i> 2<i>x</i> 8) 0 0 <i>x</i> 2
Như vậy nếu (2) có nghiệm thì nghiệm lớn nhất là 2 và nghiệm nhỏ nhất là 0.
Do đó hệ phương trình có nghiệm khi PT (2) có nghiệm <i>x</i>2.
Thay <i>x</i>2 vào (2) ta được: <i>m</i>24<i>m</i> 4 0 <i>m</i> 2
Vậy với <i>m</i> 2 thì hệ phương trình có nghiệm.
<b>Bài 165.</b> Giải bất phương trình: ( <i>x</i> 3 <i>x</i>1)(1 <i>x</i>22<i>x</i>3)4
<b>Lời giải </b>
Điều kiện x 1 .
Nhân hai vế của bpt với <i>x</i> 3 <i>x</i>1, ta được:
4. 1 <i>x</i> 2x-3 4. <i>x</i> 3 <i>x</i> 1 1 <i>x</i> 2x-3 <i>x</i> 3 <i>x</i>1
2 2 2 2 x -2
2x-2 2 2x-3 2x+2 2 2x-3 - 4 0
x 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
Kết hợp với điều kiện x1 ta được <i>x</i>2.
<b>Bài 1.</b> Giải bất phương trình: 5 5 2( 1 2)
4
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Điều kiện <i>x</i>0
Đặt 1 2
2
<i>t</i> <i>x</i>
<i>x</i>
. Ta có bất phương trình :
2
2<i>t</i> 5<i>t</i> 2 0
1
2
2
<i>t</i>
<i>t</i>
. Kết hợp điều kiện ta được <i>t</i>2
Ta có : 1 2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
3
0
2
3
2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Bài 166.</b> Tìm <i>m</i>để bất phương trình sau: <i>m</i>( <i>x</i>22<i>x</i> 2 1) <i>x</i>(2<i>x</i>)0 có nghiệm thuộc <sub></sub>0;1 3<sub></sub>
<b>Lời giải </b>
2
2
( 2)
( 2 2 1) (2 ) 0
2 2 1
<i>x x</i>
<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Xét hàm số
2
( 2)
, 0;1 3
2 2 1
<i>x x</i>
<i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
31 DAYHOCTOAN.VN
2 2
2
2
2
( 1)
2( 1) 2 2 1 ( 2 )
2 2
'
2 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2 2
2 <sub>2</sub>
2
1 2 4 2 2)
. 0 1
2 2
2 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1 2
(0) 0, (1) , (1 3)
2 3
<i>y</i> <i>y</i> <i>y</i>
Vậy để bất phương trình sau : 2
( 2 2 1) (2 ) 0
<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> có nghiệm thuộc 0;1<sub></sub> 3<sub></sub> thì 2
3
a. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn
2
2
2
3 1 0
3 1 1
<i>m x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
.
b. Giải bất phương trình: 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> <sub>2</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub>
(2 )<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> (1 <i>m</i> )<i>x</i> <i>x</i> (1 <i>m</i> )<i>x</i> <i>x</i> với 0 <i>m</i> 1
Với
1; 2 3 1 1
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Đặt 2 5
3 1 1;
4
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>
Ta có bất phương trình: 2 0 <sub>2</sub>2
1
<i>mt</i> <i>m</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
Xét ( ) <sub>2</sub>2 1;5
4
<i>f t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub> </sub>
2 2
4 2 5
'( ) 0 1;
( ) 4
<i>t</i>
<i>f t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<sub> </sub>
Bảng biến thiên
Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn
Ta có 2 2
2
4 6 4 6
2 2
2 1
( ) ( ) 1
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub> <sub></sub>
(1)
Đặt tan 0;
2 2
<i>t</i>
<i>m</i> <i>t</i> <sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
32 DAYHOCTOAN.VN
2 2
4 6 4 6
(sin )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (cos )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> 1 (2)
Vì 2
2
2
( 2) 2 2
( 2) 2 2
( 2) 2 2
(sin ) sin
(cos ) cos
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
Khi đó 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> 2 <sub>4</sub> <sub>6</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
(sin )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (cos )<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> (sin )<i>t</i> (cos )<i>t</i> 1 <i>t</i>
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi x.
<b>Bài 168.</b> <b>Bài 2. Bài 2: </b>(4 Điểm )
( Toán bồi dưỡng học sinh: nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải )
b) Giải bất phương trình
2
12 8
2 4 2 2
9 16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
b) Giải bất phương trình
2
12 8
2 4 2 2 (1)
9 16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
Nhân biểu thức liên hợp vế trái ta có ( Với <i>x</i>
6 4 2(6 4)
>
2 4 2 2 9 16
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
(0,5đ)
2
2 2
2 2
(3 2) 9 16 2( 2 4 2 2 >0
(3 2)(9 8 32 16 8 2 0
(3 2)( 2 8 2 )(8 2 8 2 >0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
(0,5đ)
Do 8 <i>x</i> 2 8 2 <i>x</i>2 >0 nên (2) (3<i>x</i>2)(<i>x</i>2 8 2 <i>x</i>2)0
2
2
3
4 2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
Tập nghiệm của bất phương trình 2;2 4 2; 2
3 3
<i>T</i> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub> (1đ)
<b>Bài 169.</b> <b>Bài 3. Bài 2:</b> Tìm các giá trị của tham số a để bất phương trình :
2
1
1
4 3
<i>x</i>
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
<sub></sub>
Đợc nghiệm đúng với mọi x .
Bài 2 (3 điểm )
Trước hết cần <i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 0với mọi x
'
0
4 ( 3) 0
<i>a</i>
<i>a a</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)
+ Nếu a < -1 thì 2
4 3 0
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i> với<i>x</i>
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với <i>x</i>
2
1 4 3
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
33 DAYHOCTOAN.VN
<b> </b><i>ax</i>2 5<i>x</i> <i>a</i> 4 0 thỏa mãn với <i>x</i>.
25 4 ( <i>a a</i> 4) 0 (vì a < -1) (1,0 điểm)
2 4 41
4 16 25 0
2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
(do a < - 1)
+ Nếu a > 4 thì 2
4 3 0
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i> với <i>x</i>.
Bất phương trình đã cho thỏa mãn với <i>x</i>.
2
1 4 3
<i>x</i> <i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i> thỏa mãn với <i>x</i>. <b> </b><i>ax</i>25<i>x</i> <i>a</i> 4 0 thỏa mãn với <i>x</i> (1,0 điểm)
25 4 ( <i>a a</i> 4) 0(vì a = 4 > 0) 4 2 16 25 0 4 41
2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> (do a > 4)
Kết luận: ;4 41 4 41;
2 2
<i>a</i> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
(0,5 điểm)
<b>Bài 170.</b> <b>Bài 4. Bài 2 </b><i>(4 điểm) </i>
1. Tìm m để hệ
2
2
( 2) 2 0
( 7) 7 0
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>m</i>
có nghiệm.
2
2
x -(m+2)x+2m<0 (1)
x +(m+7)x+7m<0 (2)
2
1 (<i>m</i> 2) 0
và <sub>2</sub> (<i>m</i>7)2 0 m = 2 hoặc m = 7 thì hệ phương trình vơ nghiệm.
Với 2
7
<i>m</i>
<i>m</i>
và <i>m</i>0 thì tập nghiệm của (1) là <i>D</i>1 <i>R</i>
và tập nghiệm của (2) là <i>D</i><sub>2</sub> <i>R</i> nên hệ phương
trình vơ nghiệm.
Với m < 0 tập nghiệm D1= (m; 2) và tập nghiệm D2= (-7; -m)
hệ phương trình ln có nghiệm.
Hệ phương trình ln có nghiệm với m < 0
<i><b>Bài 3</b></i>. ( 2 điểm)
<b>Bài 171.</b> Tìm m để bất phương trình: <i>mx</i>2<i>mx</i> <i>m</i> 2 0cónghiệm <i>x</i>(1; 2)
Gián tiếp loại bỏ 2
( ) 2 0
<i>f x</i> <i>mx</i> <i>mx</i> <i>m</i> , <i>x</i> (1; 2)
( 2 1) 2 <sub>2</sub> 2
1
<i>m x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> (1; 2)
1
<i>g x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
g(x) = <i>x</i> (1; 2)
2
2
2(2 1)
( ) 0
1
<i>x</i>
<i>g x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
hàm số nghịch biến trong khoảng (1; 2)
1;2
2
( )
7
<i>m</i><i>Min g x</i>
Vậy m > 2
7 thì bất phương trình có nghiệm <i>x</i> (1; 2).
<b>Bài 172.</b> Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn
2
2
2
3 1 0
3 1
<i>m x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
34 DAYHOCTOAN.VN
<b>1.( 2 điểm):</b> Với
4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> (0,25 điểm)
Đặt 2 5
3 1 1
4
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t</i> (0,25 điểm)
Ta có bất phương trình: 2 0 <sub>2</sub>2
1
<i>mt</i> <i>m</i>
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
(0,25 điểm)
Xét <i>f x</i>( ) <sub>2</sub>2
<i>t</i> <i>t</i>
với
5
1;
4
<i>t</i>
(0,25 điểm)
'
2
2
4 2
( ) <i>t</i> 0
<i>f t</i>
<i>t</i> <i>t</i>
5
1;
4
<i>t</i>
<sub></sub> <sub></sub> (0,25 điểm)
Ta có bảng sau:
Vậy để bất phương trình có nghiệm chứa đoạn
<i>m</i> . (0,25 điểm)
<i><b>Câu 3:</b></i> (4 điểm)
<b>Bài 173.</b> Bài 6. b) Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x.
1 2cos <i>x</i> 1 sin 2<i>x</i> 2<i>m</i> 1
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi nó liên tục tại x = 0.
0 0
lim ( ) lim ( ) (0) 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i> <i>f x</i> <i>f</i> <i>b</i>
Ta lại có:
3 3
0
1 cos
'(0 ) lim
3
<i>x</i>
<i>a x</i> <i>x</i> <i>a</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
Và
0
ln(1 2 )
'(0 ) lim 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>f</i>
<i>x</i>
a = 6.
Vậy hàm số có đạo hàm tại x = 0 khi a = 6 và b = 1
Bài 7. (<i>x</i>24 ) 2<i>x</i> <i>x</i>23<i>x</i> 2 0
BPT
2
2
2
2 3 2 0
4 0
2 3 2 0
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
1
; 2
2
( ; 0] [4; )
1
( ; ) (2; )
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
35 DAYHOCTOAN.VN
2
<b>Câu 1</b>: (6 điểm)
<b>Bài 174.</b> Bài 8. Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn
<b>Câu 1.a) </b>
<b>Câu 1.b) </b>
Ta có (<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> 1 (<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> (<i>x</i>1)2 <i>m x</i>( 1) <i>x</i>21(1)
+) Nếu x=1 (1) Vô nghiệm
+) Nếu x (1; 2] :
2
1
(1)
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
. Xét hs
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2] ta có:
2
'
2
2 1
( ) 0
( 1)
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2]. Vậy 1;2
( ) (2) 5
<i>x</i>
<i>Min f x</i> <i>f</i>
Do đó trong TH này BPT có nghiệm <i>m</i> 5.
+) Nếu x [-2;1) :
2
1
(1)
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
. Xét hs
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) ta có:
2
'
2
1 2
2 1
( ) 0
( 1) <sub>1</sub> <sub>2</sub>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> <sub> </sub> . BBT của
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) :
Vậy trong TH này BPT có nghiệm <i>m</i> 2 2 2
Tóm lại BPT đã cho có nghiệm <i>m</i> ( ; 2 2 2][5;+ ) .
<b>Bài 175.</b> Bài 9. 2. Giải bất phương trình:
3 2
3 2 2 6 0 ( )
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> .
Điều kiện xác định: <i>x</i> 2.
Đặt <i>y</i> <i>x</i>2, điều kiện <i>y</i>0
Bất phương trình trở thành: 3 2 3
3 2 0
<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i>
2 0
2 0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub> </sub>
Với <i>x</i> <i>y</i>thì 2 0 <sub>2</sub> 2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
Với <i>x</i>2<i>y</i>0thì
2
0
0
0
2 2
2 2 3 0
4( 2)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
2 2 3
<i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
36 DAYHOCTOAN.VN
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là <i>T</i> <sub></sub>2 2 3;
<b>Lời giải </b>
2 2 2 2 7 2 7 2 7 2 7
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Xét hàm số 3 2
( )
<i>f t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>, f(t) là hàm số đồng biến trên khoảng
Phương trình trên có dạng
2 2 7
<i>f x</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> 2 2<i>x</i>27
1 <i>x</i> 3
Hệ bất phương trình có nghiệm 3
3 2 0
<i>x</i> <i>mx</i>
có nghiệm <i>x</i>
3<i>m</i> <i>x</i> <i>g x</i>
<i>x</i>
có nghiệm <i>x</i>
1;3
3<i>m</i> <i>Maxg x</i>
Hàm số
<i>g x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
là hàm số nghịch biến trên
(1) 3
<i>Maxg x</i> <i>g</i>
Vậy <i>m</i> 1
<b>Bài 177.</b> <b>Bài 2: </b>Giải bất phương trình: 5<i>x</i>261<i>x</i> 4<i>x</i>2 (1)
<b>Lời giải </b>
BPT (1) 2
2 2
4 2 0
5 61 0
5 61 (4 2)
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2
4 2 0
(5 61) 0
11 45 4 0
<i>x</i>
<i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
1
;
2
61
; 0;
5
1
; 4;
11
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
1
0; (4; )
11
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 178.</b> <b>Bài 3: </b>(3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
2
2
2
4 2 2
4
5
( 2)
8 16 16 32 16 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i>
<sub></sub>
<b>Lời giải </b>
Giải BPT:
2
2
2
5 (1)
( 2)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
37 DAYHOCTOAN.VN
2
2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
1
2 4 2
5 0 4. 5 0
2 2 2 2
5
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
Từ đó tìm ra <i>x</i>2 hoặc 2 <i>x</i> 1.
* Giả sử <i>x</i>0 là một nghiệm của PT:
4 2 2
8 16 16 32 16 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i>
Khi đó PT: 4 2 2
0 8 0 16 0 16 32 16 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i> phải có nghiệm <i>m</i>
Suy ra PT: 2 4 2
0 0 0
16<i>m</i> 16(<i>x</i> 2)<i>m</i><i>x</i> 8<i>x</i> 160 phải có nghiệm <i>m</i>. Do đó
2 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' 64(<i>x</i> 2) 16(<i>x</i> 8<i>x</i> 16) 0 16 (<i>x x</i> 2)(<i>x</i> 2<i>x</i> 8) 0 0 <i>x</i> 2
Như vậy
nếu
Do đó hệ
Thay <i>x</i>2 vào
Vậy với <i>m</i> 2 thì hệ
<b>Bài 179.</b> <b>Bài 4: </b>Giải bất phương trình: ( <i>x</i> 3 <i>x</i>1)(1 <i>x</i>22<i>x</i>3)4
<b>Lời giải </b>
3 1 1 2x-3 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Điều kiện x 1 .
Nhân hai vế của bpt với <i>x</i> 3 <i>x</i>1, ta được
2 2 2 2 x -2
2x-2 2 2x-3 2x+2 2 2x-3 - 4 0
x 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Kết hợp với điều kiện x 1 ta được <i>x</i>2.
<b>Bài 180.</b> <b>Bài 5: </b>Giải bất phương trình: 5 5 2( 1 2)
4
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
5 1
5 2( 2)
4
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(điều kiện<i>x</i>0 )
5<i>t</i> 2 <i>t</i> 1 2
(Với 1 2
2
<i>t</i> <i>x</i>
<i>x</i>
)
2 1
2 5 2 0
2
<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>
(loại).
Giải 1 2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
0 3 2 3 2
2 2
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài 181.</b> <b>Bài 6: </b>Tìm <i>m</i> để bất phương trình <i>m</i>( <i>x</i>22<i>x</i> 2 1) <i>x</i>(2<i>x</i>)0 có nghiệm thuộc đoạn
0;1 3
<sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
38 DAYHOCTOAN.VN
2
2
( 2)
( 2 2 1) (2 ) 0
2 2 1
<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2
( 2)
XÐt y= trªn 0;1 3
2 2 1
<i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
2 2
2
2
2
( 1)
2( 1) 2 2 1 ( 2 )
2 2
'
2 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>y</i>
<i>x</i> <i>x</i>
2 2
2 <sub>2</sub>
2
1 2 4 2 2)
. 0 1
2 2
2 2 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
(0) 0
<i>y</i> <b>, </b> (1) 1
2
<i>y</i> <b>, </b> (1 3) 2
3
<i>y</i>
Vậy 2
( 2 2 1) (2 ) 0
<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> có nghiệm thuộc <sub></sub>0;1 3<sub></sub> thì 2
3
<i>m</i>
<b>Bài 182.</b> <b>Bài 7: </b><sub>Tìm </sub><i>m</i> để hệ bất phương trình
2
2 4 3
6 5 9
4 16
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i>
có nghiệm thuộc .
<b>Lời giải </b>
Với <i>x</i>
2 4
2
2 2
4 16 4 16
1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
.
Xét hàm số 2
2
4 16
( ) 1
<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
, đặt
4
<i>t</i> <i>x</i>
<i>x</i>
do suy ta
Hàm số <i>f x</i>( )trở thành hàm -
-Dễ tìm được GTNN của hàm - - trên là 24.
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi .
<b>Bài 183.</b> <b>Bài 8: </b>Giải bất phương trình sau trên tập số thực <i>x</i> 7 <i>x</i>22<i>x</i> 3 4<i>x</i>2.
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 1.
2
<i>x</i> Bất phương trình đã cho
2 2 7 4 2
2 3 7 4 2 0 2 3 0
7 4 2
3 3 3
1 3 0 3 1 0 *
7 4 2 7 4 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Ta có hàm số
7 4 2
<i>f x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
liên tục trên
1
;
2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
39 DAYHOCTOAN.VN
và
1 2
1
2 7 4 2
' 1 3. 0
2
7 4 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>f x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
đồng biến trên
1
;
2
Do đó
2 2 15 2
<i>f x</i> <i>f</i> <sub> </sub> <i>x</i>
Từ đó bpt (*) <i>x</i> 3 0 <i>x</i> 3.
Kết luận: Tập nghiệm của bpt đã cho là 1;3 .
2
<b>Bài 184.</b> <b>Bài 9: </b>Giải bất phương trình 2 3 <i>x</i>2<i>x</i>. <i>x</i> 2 2(<i>x</i>23 )<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Giải bất phương trình: 2 2
2 3 <i>x</i> <i>x</i>. <i>x</i> 2 2(<i>x</i> 3 )<i>x</i>
Điều kiện: <i>x</i>2. Phương trình có dạng 3 <i>x x</i>( 1)(<i>x</i> 2) 2<i>x</i>26<i>x</i>2
3 <i>x x</i>( 1)(<i>x</i> 2) 2 (<i>x x</i> 2) 2(<i>x</i> 1)
3 ( 2) 2 ( 2) 2
1 1
<i>x x</i> <i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Đặt ( 2) 0
1
<i>x x</i>
<i>t</i>
<i>x</i>
ta được bất phương trình
2
2<i>t</i> 3<i>t</i> 2 0
1
2
2
2
<i>t</i>
<i>t</i>
<i>t</i>
( do<i>t</i>0)
Với ( 2) 2
2 2 6 4 0
1
<i>x x</i>
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
3 13
3 13
3 13
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
(do <i>x</i>2) Vậy
bất phương trình có nghiệm <i>x</i> 3 13
<b>Bài 185.</b> <b>Bài 10: </b>Giải bất phương trình:
2 4 2
6(<i>x</i> 3<i>x</i> 1) <i>x</i> <i>x</i> 1 0 (<i>x</i> ).
<b>Lời giải </b>
Tập xác định: .
BPT6 2(
2 2
2 2
1 6( 1)
12. 6 0
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
(vì
2
1 0,
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>)
Đặt:
2
2
6( 1)
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i>
(t > 0), ta được
2
2<i>t</i> <i>t</i> 6 0 0 3
2
<i>t</i>
.
BPT đã cho tương đương với
2
2
2
6( 1) 9 11 21 11 21
5 11 5 0 ; .
1 4 10 10
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 186.</b> <b>Bài 11: </b>Giải bất phương trình
2
35
12
1
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Điều kiện <i>x</i> 1
0
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
40 DAYHOCTOAN.VN
Ta chỉ xét <i>x</i> 1 0 1 1
<i>x</i>
Đặt 1 cos
<i>x</i>
2
1 1 35
(1)
cos 1 12
cos . 1
cos
<sub></sub>
1 1 35
cos sin 12
12(sin cos ) 35sin .cos
2
144 288sin .cos 1225(sin .cos )
(1)
Đặt <i>t</i>sin .cos
(1)1225.<i>t</i>2288.<i>t</i>1440
12
0
35
<i>t</i>
suy ra 0 cos 3 4 cos
5 5
Vậy 1 5 5
4 3
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài 187.</b> 1. Giải bất phương trình: 2 2
3 2 2 3 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2. Tìm m để phương trình:
2 2 1 2 0
<i>m</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> (2) có nghiệm <i>x</i><sub></sub>0;1 3<sub></sub>
<b>Lời giải </b>
1.BPT có tập nghiệm <i>S</i>
2.Đặt 2
2 2 0
<i>t</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>t</i>
YcbtBPT
2
2
1
<i>t</i>
<i>m</i>
<i>t</i>
có nghiệm
1; 2 max 2
3
<i>t</i>
<i>t</i> <sub></sub> <i>g t</i> <i>g</i> Vậy 2
<i>m</i>
<b>Bài 188.</b> Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ sau có nghiệm thực:
2
2
2
4 2 2
4
5
2
8 16 16 32 16 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i> <i>m</i>
<b>Lời giải </b>
* Giải BPT:
2
2
2
4
5 (1)
( 2)
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
Với <i>x</i> 2 ,
2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
1
2 4 4 2
1 5 0 5 0
2 2 2 2
5
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
41 DAYHOCTOAN.VN
Từ đó tìm ra<i>x</i>2 hoặc 2 <i>x</i> 1
* Giả sử <i>x</i><sub>0</sub> là một nghiệm của PT <i>x</i>48<i>x</i>216<i>mx</i>16<i>m</i>232<i>m</i>160 (2)
Khi đó PT <i><sub>x</sub></i>4<sub>8</sub><i><sub>x</sub></i>2<sub>16</sub><i><sub>mx</sub></i><sub>16</sub><i><sub>m</sub></i>2<sub>32</sub><i><sub>m</sub></i><sub>16</sub><sub>0</sub><sub> phải có nghiệm </sub><i><sub>m</sub></i><sub>. Do đó </sub>
2 4 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
' 64(<i>x</i> 2) 16(<i>x</i> 8<i>x</i> 16) 0 16 (<i>x x</i> 2)(<i>x</i> 2<i>x</i> 8) 0 0 <i>x</i> 2
Như vậy nếu
Thay <i>x</i>2 vào
<b>Bài 189.</b> Giải và biện luận phương trình: 4<i>x</i> 1 2
<b>Lời giải </b>
Điều kiện 2
1
4 3 1 0 <sub>1</sub>
4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
PT 4 1
1 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i> <i>x</i>
Đặt 4 1
1
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>x</i>
1 2 1 0
<i>t</i> <i>m</i> <i>t</i> <i>m</i> . Giải ra ta được 2
1
<i>t</i>
<i>t</i> <i>m</i>
Nghiệm<i>t</i> <i>m</i> 1 thỏa mãn điều kiện nên<i>m</i>1,<i>m</i>3 .
Theo cách đặt ta tính được
2
2
2 2
2 3
<i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
Kết luận 1
3
<i>m</i>
<i>m</i>
PT vô nghiệm
1
3
<i>m</i>
<i>m</i>
PT có nghiệm duy nhất
2 2
2 3
<i>m</i> <i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i> <i>m</i>
<b>Bài 190.</b> Giải bất phương trình: 5<i>x</i>261<i>x</i> 4<i>x</i>2 (1)
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
42 DAYHOCTOAN.VN
BPT (1)
2
2 2 2
1
;
2
4 2 0 4 2 0
61
5 61 0 (5 61) 0 ; 0;
5
5 61 (4 2) 11 45 4 0
1
; 4;
11
1
0; (4; )
11
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 191.</b> Tìm tất cả các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm thuộc đoạn
<b>Lời giải </b>
Ta có (<i>m</i>2)<i>x</i><i>m</i> <i>x</i> 1 (<i>m</i>2)<i>x</i> <i>m</i> (<i>x</i>1)2 <i>m x</i>( 1) <i>x</i>2 1(1)
+) Nếu<i>x</i>1. PT
+) Nếu <i>x</i>(1; 2] :
2
1
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
.
Xét hàm số
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2] ta có:
2
2
2 1
( ) 0
( 1)
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên (1; 2].
Vậy
1;2
min ( ) (2) 5
<i>x</i>
<i>f x</i> <i>f</i>
. Do đó trong TH này BPT có nghiệm <i>m</i> 5.
+) Nếu <i>x</i>[-2;1):
2
1
(1)
1
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
.
Xét hàm số
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) ta có:
2
2
1 2
2 1
( ) 0
( 1) 1 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
BBT của
2
1
( )
1
<i>x</i>
<i>f x</i>
<i>x</i>
trên [-2;1) :
<i>x</i> 2 1 2<sub> 1 </sub>
<i>f x</i>( ) <sub></sub> <sub>0</sub> <sub> </sub>
22 2
( )
<i>f x</i>
Vậy trong TH này BPT có nghiệm <i>m</i> 2 2 2
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
43 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 192.</b> Giải bất phương trình: 6(<i>x</i>23<i>x</i> 1) <i>x</i>4<i>x</i>2 1 0
<b>Lời giải </b>
Tập xác định: .
BPT
6 2(<i>x</i> <i>x</i> 1) (<i>x</i> <i>x</i> 1) 6(<i>x</i> <i>x</i> 1)(<i>x</i> <i>x</i> 1) 0
2 2
2 2
1 6( 1)
12. 6 0
1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
(vì
2
1 0,
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>)
Đặt:
2
2
6( 1)
0
1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>t</i> <i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i>
, ta được
2
2<i>t</i> <i>t</i> 6 0 0 3
2
<i>t</i>
.
2
2
2
6( 1) 9 11 21 11 21
5 11 5 0 ; .
1 4 10 10
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Bài 193.</b> Giải bất phương trình:
12 8
2 4 2 2 1
9 16
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 2 4 0 2 2
2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
2 2
2
2 2
2 6 4
6 4
1 3 2 9 8 32 16 8 2 0
2 4 2 2 9 16
3 2 2 8 2 8 2 8 2 0
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Do 8 <i>x</i> 2 8 2 <i>x</i>2 0nên
2
2
3
3 2 2 8 2 0
4 2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub>
Tập nghiệm của BPT là: 2;2 4 2; 2
3 3
<i>T</i> <sub></sub> <sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub> <sub></sub>
<b>Bài 194.</b> Tìm các giá trị của tham số <i>a</i> để BPT <sub>2</sub> 1 1
4 3
<i>x</i>
<i>ax</i> <i>x</i> <i>a</i>
nghiệm đúng với mọi <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Trước hết cần 2 0 1
4 3 0
4 ( 3) 4
<i>a</i> <i>a</i>
<i>ax</i> <i>x a</i> <i>x</i>
<i>a a</i> <i>a</i>
<sub></sub> <sub></sub>
+, Nếu <i>a</i> 1 thì<i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 0 <i>x</i> . BPT đã cho thỏa mãn<i>x</i>
BPT <i>x</i> 1 <i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 <i>x</i> <i>ax</i>25<i>x</i> <i>a</i> 4 0 <i>x</i>
25 4 ( 4) 0 1 4 16 25 0 1
2
<i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
+, Nếu <i>a</i>4 thì <i>ax</i>24<i>x</i> <i>a</i> 3 0 <i>x</i>. BPT đã cho thỏa mãn<i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
44 DAYHOCTOAN.VN
25 4 ( 4) 0 4 4 16 25 0 4
2
<i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
Kết luận: <sub></sub>
;
2
41
4
2
41
4
;
<i>a</i>
<b>Bài 195.</b> Giải bất phương trình: 2 5 <i>x</i>3<i>x</i>2 2<i>x</i>2 3<i>x</i> <i>x</i> 2 5 <i>x</i>3<i>x</i>2 4<i>x</i>23<i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Điều kiện xác định: 2 1
3
<i>x</i>
2 2 2 2
2
2
2 5 3 2 2 3 2 5 3 4 3 2 5 3 2 1 2 3 0
2 5 3 2 0 1
1 2 3 0 2
2 5 3 2 0 3
1 2 3 0 4
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>I</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>II</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
+Xét hệ
Khi 1 <i>x</i> 0thì ( )<i>f x</i> 1
Khi 0 1
3
<i>x</i>
ta có
1
3 3
3 1
0 3 3 3 0 2 3 2. . 3 1
3
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
nên <i>f x</i>( ) 1 2 3<i>x</i> <i>x</i> 0
Do đó nghiệm của hệ
3
<i>x</i>
+Xét hệ
Vậy BPT đã cho có nghiệm 1 1
3
<i>x</i>
<b>Bài 196.</b> Giải bất phương trình:
<b>Lời giải </b>
Điều kiện xác định: <i>x</i> 2
Đặt<i>y</i> <i>x</i>2 , điều kiện<i>y</i>0 . Bất phương trình trở thành:<i>x</i>33<i>xy</i>22<i>y</i>30
2 0
2
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>o</i>
<sub> </sub>
Với <i>x</i> <i>y</i> thì 2 0 <sub>2</sub> 2
2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
Với <i>x</i>2<i>y</i>0 thì
0
0
0
2 2 2 2 3
2 2 3 0
4 2
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub><sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
45 DAYHOCTOAN.VN
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là <i>T</i> <sub></sub>2 2 3;
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: <i>x</i>
Đặt <i>t</i> 1 <i>x</i> 3<i>x</i> . Khảo sát để tìm được <i>t</i>2; 2 2<sub></sub>
2
2 4
2
<i>t</i> <i>t</i>
<i>m</i>
<sub></sub>
có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2;2 2
min ( )<i>f t</i> <i>m</i>
với
2
2 4
( )
2
<i>t</i> <i>t</i>
<i>f t</i>
Tìm được
2;2 2
min ( )<i>f t</i> 2 2 2
Vậy BPT đã cho có nghiệm khi và chỉ khi <i>m</i>2 22
<b>Bài 198.</b> Tìm <i>m</i> để bất phương trình sau có nghiệm thực thuộc đoạn
2 3 2
3 4 3 <i>x</i> 2 <i>x</i> 4<i>x</i> 4 <i>m</i>.
<b>Lời giải </b>
Hàm số 2 3 2
( ) 3 4 3 2 4 4
<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> liên tục trên
2 4 3 2 4 4 4 3 4 4
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Trên
2 3 2
9 3 8
0, 1;1
4 3 4 4
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
).
Ta có <i>f</i>
[ 1;1]
max ( ) 2 2
<i>x</i> <i>f x</i> <i>m</i>
<b>Bài 199.</b> Giải bất phương trình : 2
3<i>x</i> 2 3<i>x</i> 2 5<i>x</i> 2<i>x</i>1 .
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: 2
3
<i>x</i>
3<i>x</i> 2 3<i>x</i> 2 5<i>x</i> 2<i>x</i>1 3<i>x</i>25<i>x</i> 2 3<i>x</i> 2 2<i>x</i> 1 0
1 3 2 0
3 2 2 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1
1 3 2 0
3 2 2 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<i>x</i> 1(
Vì 3 2 1 0, 2
3
3 2 2 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
).
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm: [1;).
<b>Bài 200.</b> Giải bất phương trình sau trên tập số thực <i>x</i> 7 <i>x</i>22<i>x</i> 3 4<i>x</i>2.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
46 DAYHOCTOAN.VN
Điều kiện: 1
2
<i>x</i> .
Bất phương trình đã cho
2 2 7 4 2
2 3 7 4 2 0 2 3 0
7 4 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
1 3 0 3 1 0 *
7 4 2 7 4 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Ta có hàm số
7 4 2
<i>f x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
liên tục trên
1
;
2
và
1 2
1
2 7 4 2
1 3. 0;
2
7 4 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f x</i>
;
2
Do đó
2 2 15 2
<i>f x</i> <i>f</i> <sub> </sub> <i>x</i>
.
Từ đó bpt
Kết luận: Tập nghiệm của bpt đã cho là 1;3
2
.
<b>Bài 201.</b> Giải bất phương trình : <i>x</i>291 <i>x</i> 2 <i>x</i>2
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: <i>x</i>2.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
2
9 3
( 3)( 3) 0
2 1
91 10
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
3 3 0
2 1
91 10
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Ta có
2
3 1
3 0; 2
2 1
91 10
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
.
Do đó
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 2 <i>x</i> 3.
<b>Bài 202.</b> Tìm <i>m</i> để hệ sau có nghiệm:
2 2 2
3 1 1 0
( 2) 4 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x x</i>
<sub> </sub>
.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
47 DAYHOCTOAN.VN
Xét
2 2 2
3 1 1 0 1
( 2) 4 1 2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>m</i> <i>x x</i>
1 3<i>x</i> 1 <i>x</i> 1 3<i>x</i> 1 <i>x</i> 2<i>x</i> 1 <i>x</i> <i>x</i> 0 0 <i>x</i> 1( do 1
3
<i>x</i> ).
Hệ có nghiệm bpt
Ta có (2)<i>x x</i>2( 2 4) 4 <i>m</i> <i>x x</i>2 4 1
Đặt 2
4
<i>t</i><i>x x</i> , do <i>x</i>
Ta có bpt: <i>t</i>2 4 <i>m</i> <i>t</i> 1 <i>t</i>2 <i>t</i>
0; 5
3
<i>Max f t</i> <i>m</i>
Với <i>f t</i>
<i>f</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>f</i> <i>t</i> <i>t</i>
Có :
2 4
<i>f</i> <i>f</i> <sub> </sub> <i>f</i>
0; 5
max <i>f t</i> 5 5
.
Khi đó ta có : 5 5
<b>Bài 203.</b> Xác định tất cả các giá trị của tham số <i>m</i> để bất phương trình sau có nghiệm:
3 <sub>3</sub> 2 <sub>1</sub> <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
ĐK: <i>x</i>1
BPT
3 1 1
<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> trên <i>D</i>
Khi đó bài tốn trở thành: “ tìm <i>m</i>để bpt <i>f x</i>
Ta có:
3 2
3
2 3 3 1
1 3 6 0, 1
2 <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Lại do hàm số <i>f x</i>
min 1 3
<i>x D</i> <i>f x</i> <i>f</i>
.
Nhận thấy: bpt <i>f x</i>
<i>m</i> <i>f x</i> <i>m</i>
.
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
48 DAYHOCTOAN.VN
<b>Bài 204.</b> Giải bất phương trình: 2<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 7 2 <i>x</i>27<i>x</i>35
<b>Lời giải </b>
Xét hàm số
2 7 2 7
<i>f x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Điều kiện : 0 0 0
7 0 7
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
Có
2
2 2 7
1 1
2 0;
2 2 7 <sub>2</sub> <sub>7</sub>
<i>x</i>
<i>f</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i><sub>x</sub></i> <i><sub>x</sub></i>
<sub></sub> x 0
Nên hàm <i>f x</i>
2
2
29
35
12
<i>f</i> <sub></sub> <sub></sub>
.
Vì
2
29
35
12
<i>f x</i> <i>x</i>
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
2
29
0;
12
<i>T</i> <sub> </sub>
.
<b>Bài 205.</b> Giải bất phương trình: 5<i>x</i>261<i>x</i>4<i>x</i>2 1
<b>Lời giải </b>
BPT
2
2
2
4 2 0
5 61 0
5 61 4 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub>
<sub></sub>
2
4 2 0
5 61 0
11 45 4 0
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub>
1
;
2
61
; 0;
5
1
; 4;
11
<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>
<sub> </sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
1
0; 4;
11
<i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<b>Bài 206.</b> Giải bất phương trình:
2 2
2
6 3 2 5 3
0
3 2 10
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<b>Lời giải </b>
Điều kiện: <i>x</i>3.
Khi đó ta có:
3 6 9 9 9 2 18 2 20 2 10
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
3 2 10 3 2 10 0
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
49 DAYHOCTOAN.VN
Bất phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
6 3 2 5 3 0 6 3 2 5 3
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
2 2 2
6 3 2 5 3 6 6 2
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
6 <i>x</i> <i>x</i> 6 <i>x x</i> 2 <i>x</i> 2 <i>x</i> 34<i>x</i> 108 0
2 17 181
34 108 0
17 181
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
KL: <i>S</i><sub></sub>3;17 181<sub> </sub> 17 181;
<b>Lời giải </b>
Xét phương trình 3 3 3
2 1 3 4 *
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
* <i>x</i> 3 <i>x</i> 2<i>x</i>1 <i>x</i> 2<i>x</i> 1 2<i>x</i> 1 3<i>x</i>4
3 <i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub> <i><sub>x</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>x</sub></i> <sub>1</sub> <sub>1 **</sub>
Xét phương trình hệ quả bằng cách thế
3 <sub>2</sub> <sub>1</sub> <sub>3</sub> <sub>4</sub> <sub>1</sub> <sub>2</sub> <sub>1 3</sub> <sub>4</sub> <sub>1</sub> <sub>6</sub> <sub>11</sub> <sub>4</sub> <sub>1</sub> <sub>0</sub> <sub>1;</sub> 1
6
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Thử lại ta có 1
6
<i>x</i> là nghiệm của phương trình
<b>Lời giải </b>
Xét
2
2
1; 3
4 3 0 1
; 1 3;
1
2
; 1
2 3 1 0
2
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> .
2 2
4 3 2 3 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
Với <i>x</i> 3 <i>x</i> 1 0, nên bpt
2<i>x</i> 1 2 <i>x</i> 1 2<i>x</i> 1
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
50 DAYHOCTOAN.VN
Với x 1
2
, nên bpt 3 <i>x</i> 1 2 <i>x</i> 1 <i>x</i> 2
2
<i>x</i> .
<b>Bài 209.</b> Giải bất phương trình :3 <i>x</i>3 1 2<i>x</i>23<i>x</i>1.
<b>Lời giải </b>
Điều kiện:<i>x</i>1.
3 2 2 2
3 <i>x</i> 1 2<i>x</i> 3<i>x</i> 1 3 <i>x</i>1. <i>x</i> <i>x</i> 1 <i>x</i> 1 2 <i>x</i> <i>x</i> 1
Chia hai vế cho 2
1
<i>x</i> <i>x</i> , ta được bất phương trình tương đương
2 2
1 1
3 2
1 1
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub> <sub></sub>
Đặt <sub>2</sub> 1
1
<i>x</i>
<i>t</i>
<i>x</i> <i>x</i>
,<i>t</i>0, ta được bất phương trình:
2
3<i>t</i> <i>t</i> 2 <i>t</i> 1 hoặc <i>t</i>2
+ Với <i>t</i>1, ta có:
2 2
2
1
1 1 1 2
1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub> </sub>
( luôn đúng ).
+ Với <i>t</i>2, ta có: <sub>2</sub> 1 2 1 4
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub> </sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub> </sub>
(vơ nghiệm ).
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm <i>x</i>1.
<b>Bài 210.</b> Giải bất phương trình:
2
12 8
2 4 2 2
16 9
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub>
Điều kiện : 2 <i>x</i> 2.
Bất phương trình được viết lại như sau:
2 6 4 6 4
2 4 2 2
16 9
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<sub></sub>
6<i>x</i> 4 2 2<i>x</i> 4 4 2 <i>x</i> 16 9<i>x</i> 0 2
<sub></sub> <sub></sub>
Vì: <sub></sub>2 2<i>x</i> 4 4 2 <i>x</i> 16 9 <i>x</i>2<sub></sub>0 3
6<i>x</i>4 9<i>x</i> 8<i>x</i>32 16 8 2 <i>x</i> 0
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
51 DAYHOCTOAN.VN
Vì: 2 <i>x</i> 2nên <i>x</i>2 8 2 <i>x</i>2 8 0.
Do đó
2
2
2
2
3
2 8 2
2
2
3
2 8 2
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub>
4 2
2
3
2
2
3
<i>x</i>
<i>x</i>
.
<b>Bài 211. Trong mặt phẳng tọa độ </b><i>Oxy</i>, cho đường tròn
<b>Lời giải </b>
<i>d I d</i> hay
2 2
3
5
<i>A B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
.
Giải ta có:
1
; 2
2
1
<i>A</i> <i>A</i>
<i>B</i>
<sub></sub>
.
Kết quả:
<i>d</i> <i>x</i> <i>y</i> ; 2<i>x</i> <i>y</i> 2 0.
<b>Bài 212. Viết phương trình đường trịn đi qua </b> <i>A</i>
1: 3 2 0
<i>d</i> <i>x</i> <i>y</i> và <i>d</i><sub>2</sub>:<i>x</i>3<i>y</i>180.
<b>Lời giải</b>
Giải phương trình đường trịn có dạng:
2 2 2 2
2 2 0 0
<i>x</i> <i>y</i> <i>ax</i> <i>by</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> , tâm <i>I a b</i>
1 2
2
1 2
3 2 3 18
(1)
( , ( )) ( , ( )) <sub>10</sub> <sub>10</sub>
( , ( )) 3 2
( 4) 2 (2)
10
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>d I d</i> <i>d I d</i>
<i>d I d</i> <i>IA</i> <i>a</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<sub></sub>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub> <sub> </sub>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
52 DAYHOCTOAN.VN
Thay vào
3
10 (3 12) 2 <sub>23</sub>
5
<i>b</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>b</i>
.
Với b = 3a =1, c = 0, ta được phương trình
5 5 5 , ta được phương trình
2 2 58 46 224
: 0
5 5 5
<i>C</i> <i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>y</i> .
<b>Bài 213. Trong mặt phẳng tọa độ </b><i>Oxy</i>, tứ giác <i>ABCD</i> nội tiếp đường trịn đường kính<i>BD</i>. Gọi <i>H</i>, <i>K</i>
lần lượt là hình chiếu của <i>A</i> trên <i>BD</i> và <i>CD</i>. Biết <i>A</i>
<i>C</i> thuộc đường thẳng <i>d</i><sub>1</sub>:<i>x</i> <i>y</i> 2 0, điểm <i>B</i> thuộc đường thẳng <i>d</i><sub>2</sub>:<i>x</i>2<i>y</i> 2 0 và điểm <i>K</i> có hịanh
độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm , , <i>B C D</i>.
<b>Lời giải</b>
+) Gọi <i>E</i><i>AC</i><i>HK</i>.
Tứ giác <i>AHKD</i> nội tiếp <i>HAD</i><i>HKC</i>.
Tứ giác <i>ABCD</i> nội tiếp<i>ABC</i> <i>ACD</i>.
Tam giác <i>ABD</i> vuông tại <i>A</i> <i>ABD</i><i>HAD</i>.
Vậy <i>HKC</i><i>ACD</i> hay tam giác <i>ECK</i> cân tại <i>E</i>.
Vì tam giác <i>ACK</i> vng tại <i>K</i> nên <i>E</i> là trung điểm của<i>AC</i>.
+) Ta có: <sub>1</sub>
2 2
<i>c</i> <i>c</i>
<i>C</i> <i>d</i> <i>C c</i> <i>c</i> <i>E</i> <sub></sub>
.
Vì <i>E</i><i>HK</i> nên tìm được <i>c</i> 4 <i>C</i>
E
K
H
B <sub>D</sub>
A
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
53 DAYHOCTOAN.VN
+)<i>K</i><i>HK</i>: 3<i>x</i>4<i>y</i> 4 0 nên gọi <i>K</i>
+) Ta có: 2
1
5
. 0 25 50 9 0
9
5
<i>t</i>
<i>AK</i> <i>CK</i> <i>AK CK</i> <i>t</i> <i>t</i>
<i>t</i>
.
Vì hồnh độ điểm <i>K</i> nhỏ hơn 1 nên tam giác <i>SHC</i> vuông tại <i>H</i> nên 4; 2
5 5
<i>K</i><sub></sub> <sub></sub>
.
+) <i>BC</i> có phương trình : 2<i>x</i> <i>y</i> 100.
+) <i>B</i><i>BC</i><i>d</i>2 <i>B</i>
+) Lập được phương trình <i>AD x</i>: 2<i>y</i> 8 0.
+) Lập được phương trình <i>CD x</i>: 2<i>y</i>0.
+) Tìm được <i>D</i>
Vậy <i>B</i>
<b>Bài 214. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ </b><i>Oxy</i>, cho hình thang <i>ABCD</i> có <i>B</i>
<b>Lời giải </b>
Qua <i>A</i> kẻ đường thẳng vuông góc với<i>BE</i>, cắt <i>BE</i> và <i>BD</i> lần lượt tại <i>I</i> và<i>H</i>.
Gọi <i>J</i> là giao điểm của <i>BD</i> với <i>CE</i>.
Khi đó ta có:
2
. . .
<i>EH EB</i><i>EA EB</i><i>EI EB</i><i>EA</i> và <i>EH EC</i>. <i>ED EC</i>. <i>EJ EC</i>. <i>ED</i>2 <i>EA</i>2.
. . ( ) 0
<i>EH EB</i> <i>EH EC</i> <i>EH EB</i> <i>EC</i> <i>EH</i> <i>BC</i>
.
<i><b>y</b></i><b>=0</b>
<i><b>I</b></i>
<i><b>J</b></i>
<i><b>H</b></i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>E</b></i>
<i><b>B</b></i><b>(2;4)</b>
<i><b>D</b></i>
<i><b>A</b></i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
54 DAYHOCTOAN.VN
Suy ra <i>H</i> là trực tâm của <i>EBC</i> suy ra ,<i>A H C</i>, thẳng hàng. Do đó: <i>BE</i><i>AC</i>.
Đường thẳng <i>BE</i> qua <i>B</i>
Gọi <i>A a</i>
2 4 0 (1)
<i>BA</i><i>EA</i> <i>a</i> <i>b</i>
6 2 1 2 4 0 2
<i>FE</i><i>BD</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i>
Thay
1 7 20 4 0 1
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>
(do <i>b</i> nguyên)
(Ta chứng minh được phương trình 3 2
7 20 4 0
<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> có nghiệm duy nhất trên khoảng
Khi đó (4;0), (0; 2)<i>A</i> <i>D</i> , đường thẳng <i>CD</i> có phương trình 2<i>x</i> <i>y</i> 2 0
cắt <i>Ox</i> tại<i>C</i>
<b>Bài 215. </b>Trong mặt phẳng tọa độ <i>Oxy</i>, cho hình bình hành<i>ABCD</i> có ( 5; 2)<i>A</i> . <i>M</i>( 1; 2) là điểm nằm
bên trong hình bình hành sao cho <i>MDC</i><i>MBC</i> và <i>MB</i><i>MC</i>. Tìm tọa độ điểm <i>D</i> biết tan 1
2
<i>DAM</i> .
<b>Lời giải </b>
Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành<i>MABE</i>.
Dễ thấy <i>MECD cũng là hình bình hành nên MEC</i><i>MDC</i>.
Mà <i>MDC</i><i>MBC</i> suy ra <i>MEC</i><i>MBC</i> hay tứ giác<i>BECM</i> nội tiếp.
Suy ra: <i>BMC</i><i>BEC</i>180<i>o</i> <i>BEC</i>180<i>o</i>90<i>o</i> 90 .<i>o</i>
Ta có: <i>AMD</i> <i>BEC c c c</i>( . . )<i>AMB</i><i>BEC</i> 90<i>o</i> hay <i>AMD</i> vuông tại
E
M
D C
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
55 DAYHOCTOAN.VN
Vì tan 1 1
2 2
<i>DM</i>
<i>DAM</i> <i>DM</i> <i>MA</i>
<i>MA</i>
.
Ta có <i>MA</i>4 2<i>MD</i>2 2<i>AD</i>2 <i>MA</i>2<i>MD</i>2 40.
Giả sử <i>D x y</i>
Ta có
2 2 2
2 2 2
40 ( 5) ( 2) 40
8 ( 1) ( 2) 8
<i>AD</i> <i>x</i> <i>y</i>
<i>MD</i> <i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
.
Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm:
<b>Bài 216. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ</b><i>Oxy</i>, cho hình vng <i>ABCD</i>. Điểm <i>M</i> thuộc đoạn <i>AC</i> sao cho
3 ,
<i>AC</i> <i>AM</i> điểm <i>N</i> thuộc tia đối của tia <i>AB</i> sao cho <i>AB</i>3<i>AN</i>, đường trịn
có phương trình 2 2
8 6 0.
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i> Tìm tọa độ điểm <i>D</i> và phương trình <i>AB</i> biết <i>M</i><i>d x</i>: <i>y</i> 6 0,
<b>Lời giải </b>
+ Gọi <i>E</i> là hình chiếu của <i>M</i> lên <i>AB</i><i>ME BC</i>// .
+ Gọi <i>F</i> <i>AC</i><i>BD</i>, do 3 AF 3
2
<i>AC</i> <i>AM</i> <i>AM</i> và <i>BF</i> <i>DF</i> nên <i>M</i> là trọng tâm <i>ABD</i> và
+ <i>MBN</i> và <i>MBD</i> cân tại <i>M</i> nên: <i>MB</i> <i>MD</i><i>MN</i>
2 90<i>o</i> 2
<i>DMN</i> <i>ABD</i>
Từ
<i>M</i> <i>d</i> <i>C</i>
<b>F</b>
<b>E</b> <b>M</b>
<b>K</b>
<b>N</b>
<b>D</b>
<b>C</b>
<b>B</b>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
56 DAYHOCTOAN.VN
2 2
3, 3
8 6 0
7, 1 ( )
6 0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>ktm</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub> </sub> <sub> </sub>
<sub></sub>
.
Gọi <i>I</i> là trung điểm
Do <i>MDN</i> vuông cân tại <i>M</i> <i>DN</i><i>MI</i> <i>DN x</i>: 3 y 4 0.
+ Tọa độ điểm
2 2
1, 1
8 6 0
7, 1
3 4 0
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub> </sub> <sub></sub>
<i>D</i>(7;1), <i>N</i>(1; 1) .
+ Gọi <i>K</i> là trung điểm <i>AB</i> 2. 4 2( 3) (1; 4)
2 2( 3)
<i>k</i>
<i>k</i>
<i>x</i>
<i>DM</i> <i>MK</i> <i>K</i>
<i>y</i>
<sub> </sub>
.
+ <i>AB</i><sub> đi qua </sub><i>K</i>
<b>Bài 217. Cho tam giác </b><i>ABC</i> vuông cân tại<i>A</i>, có trọng tâm<i>G</i>. Gọi ,<i>E H</i> lần lượt là trung điểm của các
cạnh <i>AB BC</i>, và <i>D</i>là điểm đối xứng với <i>H</i> qua ,<i>A I</i> là giao điểm của đường thẳng <i>AB</i> và đường thẳng
<i>CD</i>. Biết điểm <i>D</i>
<b>Lời giải </b>
Gọi <i>K</i> là trung điểm của<i>BI</i>. Suy ra <i>HK CD</i>// <i>A</i> là trung điểm của<i>KI</i> , 1 ;
2
<i>HK</i> <i>DI</i> <i>IC</i>
<i>F</i>
<i>K</i>
<i>E</i>
<i>G</i>
<i>I</i>
<i>D</i>
<i>C</i>
<i>B</i>
<i><b>DAYHOCTOAN.VN </b></i>
57 DAYHOCTOAN.VN
1
//
2
<i>AK</i> <i>BK</i> <i>GK AC</i><i>GK</i> <i>AB</i>
<i>C I B</i>. <i>CGI</i> 2<i>IBC</i>90<i>o</i>, 1 //
2
<i>ID</i> <i>IC</i><i>DE IG</i>.
Phương trình đường thẳng <i>DE</i>: 2<i>x</i> <i>y</i> 1 0 <i>E</i>
7
2 7 0 3 7 7
;
6 3 7 0 7 3 3
3
<i>x</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>G</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y</i>
<sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub> </sub> <sub></sub> <sub></sub>
<sub> </sub>
<i>C</i>
.
1; 1 1; 5
2
<i>DG</i> <i>AG</i> <i>A</i> <i>B</i> .