Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện Kinh Môn, Hải Dương 2017-2018 - Học Toàn Tập

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (675.64 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN KINH MƠN

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018 
MƠN: TỐN - LỚP 9

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 
2.0 
điểm 
1)
0.75
điểm

Với x > 0, y > 0 ta có:

3 3

x + y x + x y + y

1 1 2 1 1

A = + . + + :

x y

x y x + y x y + xy

  

  

  

  0,25









( x + y) x - xy + y + xy x + y

x + y 2 1 1

= . + + :

x y

xy x + y xy(x + y)

 

 

 

= 2 +x + y : ( x + y)(x + y)

xy xy(x y)

   

   

    

    0,25





x + y xy

xy x + y =

x + y
xy

0,25

2)
1.25
điểm

8 + 15 8 - 15

x =

-2 2 0,25

16 + 2 15 16 - 2 15

x =

-4 4

15 +1 15 -1

-2 2 = 1 0,25

3 3

y = 5 + 2 13 + 5- 2 13

 y = 5 + 2 13 + 5 - 2 13 + 3 5 - 2 13 .y 3 3 2





0,25 
 y = 10 - 9y 3  y + 9y -10 = 0 3 

 

y -1 y + y +10 = 0





 y = 1 0,25

A= 2
1

.
1

1  0,25

Câu 2 
2.0 
điểm 
1)
1.0
điểm

Giải phương trình: 2 2x 1 x22x

ĐK: 1
2

x PT 2x 1 2. 2x  1 1 x2 



2x 1 1



2 x2 0,25



2 1 1

 

. 2 1 1



2 1 1 0 2 1 1 (1)

2 1 1 0 2 1 1 (2)

x x x x

       
        
 
       
 
 
0,25

Giải (1): 2 2

1 1

2 1 1 2 2

2 1 ( 1) 4 2 0

2 2

x

x x

x x x

x x x x

x


  
  
       
      
    


2 2
x
  
0,25

Giải (2) 2x   1 x 1vô nghiệm do 1
2

x

Vậy phương trình có 1 nghiệm x 2 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2)
1.0
điểm

Với x, y, z > 0 ta có xy + yz + xz = 1  x2 + xy + yz + xz = 1 + x2

 1 + x2 = (x + y)(x + z)

Tương tự ta có

1 + y2 = (y + x)(y + z); 1 + z2 = (z + x)(z + y)

0,25



x

(1+ y )(1+ z )

2 2 2

= x

(y + x)(y + z)(z + x)(z + y)

= xy + xz

1+ x

(x + y)(x + z)

0,25

2 2

(1+ z )(1+ x )

(z + x)(z + y)(x + y)(x + z)

y

= y

= xy + yz

1+ y

(y + x)(y + z)

2 2

(1+ x )(1+ y )

z

= yz + xz

1+ z

0,25

P = 2(xy + yz + xz) = 2 0,25

Câu 3 
2.0 
điểm

1)
1.0
điểm

0
4
10
2
2
3 2

2  y  xy x y 
x

 [x2 2x(y1)(y1)2] – (4y2 8y4)70 0,25

 (xy1)2 (2y2)2 70

 (3yx1)(yx3)7 0,25

Do x, y nguyên nên ta có: 3yx1 và yx3 là ước của 7

Do đó ta có bảng sau:

3y + x + 1 1 -1 7 -7

y – x + 3 7 -7 1 -1

0,25 
Giải các trường hợp, ta được: (x,y) {(7; -3), (1; -3), (3; 1), (-3 ; 1)} 0,25

1.0
điểm

Ta có

n6 - n 4 + 2n3 + 2n2

= n2. (n4 - n2 + 2n +2)

= n2. [n2(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n2[(n+1)(n3 - n2 + 2)]

= n2(n + 1) . [(n3 + 1) - (n2 - 1)] 0,25

= n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) 0,25

Với nN, n > 1 thì n2 - 2n + 2 = ( n -1)2 + 1 > ( n - 1)2

Và n2 - 2n + 2 = n2 - 2(n - 1) < n2

 (n - 1)2 < n2 - 2n + 2 < n2 0,25

 n2 - 2n + 2 khơng phải số chính phương.

 n2(n + 1)2 . (n2 - 2n + 2) hay n6 - n4 + 2n3 + 2n2 không phải là một số chính

phương.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Câu 4 
3.0 
điểm

Vẽ
hình
:

H

P

Q

K

N

I

C

B

A

D

M

1a)
1.0
điểm

Qua A kẻ đường thẳng vng góc với AM, cắt đường thẳng CD tại I.
Ta có IAD DAM IAM 90· · ·  0và BAM DAM BAD 90· · ·  0

 IAD BAM·  · .

0,25

Xét AID và AMB có IAD BAM· · ; AD = AB và ADI ABM·  ·

 AID = AMB (g-c-g)  AI = AM 0,25

XétAIK vng tại A có AD là đường cao 12 + 1 2 = 12

AI AK AD

0,25 
Mà AD = AB và AI = AM 

2 2

AB AD
AM AK

    
   
   

0,25

1b)

1.0
điểm

b) Gọi BD cắt AN, AM thứ tự tại P và Q. MP cắt NQ tại H. Chứng minh rằng
AH  MN.

Xét DPN và APQ có PDN PAQ· · 450 ; DPN· ·APQ (đ.đ)

 DPN đồng dạng với APQ DP NP
AP PQ
 

Xét APD và QPN ·APD QPN· (đ.đ) và DP NP
AP  PQ
 APD đồng dạng với QPN

· · 450 · 450

PNQ ADP hay ANQ

   

Xét QAN có QAN·  ·ANQ450 QAN vng tại Q NQAM

Chứng minh tương tự ta được MPAN

0,25

0,25 
0,25

Xét AMN có MP  AN và NQ  AM, NQ cắt MP tại H nên H là trực tâm

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

C
A

E
D

Đặt AB = AC = a; (a > 0) , AE = BD = x (0 x a )

1.0
điểm

Ta có AD = AB - BD = a - x

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ADE vuông tại A, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

( ) 2 2

2( -ax+ ) 2

4 2 2 2 2

DE AD AE DE a x x x ax a

a a a a a

DE x x

        

 

       
 

2
2

a
DE

 

Dấu "=" xảy ra khi
2

a

x D E, lần lượt là trung điểm AB, AC.
Vậy DE nhỏ nhất khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC.

0,25 
0,25 
0,25

0,25

Câu 5 
1.0 điểm

Do xyz =1 nên ta có

1 1 1

xy yz zx xy yz zx

M M

x y z xyz x xyz y xyz z

y z x

M

yz xz xy

      

     

   

  

Do x,y, z là các số dương thỏa mãn xyz =1 nên ta đặt

; ; ( 0; 0; 0)

xy ; ; , 1

a b c

x y z ab bc ca

b c a

a b c

yz zx xyz

c a b

     

    

Khi đó

1 1 1 1 1 1

a b c

x y z b c a

M M

a b c

xy yz xz

c a b

ac ab bc

M

ab bc bc ca ac ab

      

     

   

   0,25

Chứng minh bất đẳng thức : Với x,y,z dương ta có



x y z



1 1 1 9

x y z

 

     

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 0,25

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1 1 1

3 (ab bc ca)( )

1 1 1 1 9

3 (2ab 2bc 2ca)( )

2 2

9 3

2 2

ac ab bc

M

ab bc bc ca ac ab
M

ab bc bc ca ca ab
M

  

  

      

  

       

  

   

0,25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

ab bc bc ca ca ab           a b c x y z
Vậy GTNN của M là 3

2 khi và chỉ khi x  y z 1

0,25

Ghi chú:

</div>

Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện Kinh Môn, Hải Dương 2017-2018 - Học Toàn Tập

















 











 



x

(1+ y )(1+ z )

= x

(y + x)(y + z)(z + x)(z + y)

= xy + xz

1+ x

(x + y)(x + z)

(1+ z )(1+ x )

(z + x)(z + y)(x + y)(x + z)

y

= y

= xy + yz

1+ y

(y + x)(y + z)

(1+ x )(1+ y )

z

= yz + xz

1+ z

<i><b>H</b></i>

<i><b>P</b></i>

<i><b>Q</b></i>

<i><b>K</b></i>

<i><b>N</b></i>

<i><b>I</b></i>

<i><b><sub>C</sub></b></i>

<i><b>B</b></i>

<i><b>A</b></i>

<i><b>D</b></i>

<i><b>M</b></i>





Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về