Đề thi thử THPT quốc gia

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ - PHẦN 3</b>

<b>3. Định hướng khái quát giải một lớp bài toán</b>:

<b>a. Đặt vấn đề</b>:

 Trước hết ta quan sát các bài tốn sau: Giải các phương trình
+) <i>x</i>2- 5= 5- <i>x</i>

+) 2<i>x</i>2- 6<i>x</i>- 1= 4<i>x</i>+5

+) 2<i>x</i>2 4<i>x</i> 2 3<i>x</i> 2<i>x</i>1

+) 2     2

12 ( 3) 10

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

+) 4<i>x</i>6 (<i>x</i> 1) 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6
+) 9<i>x</i>25 (<i>x</i> 1) 2<i>x</i>25<i>x</i> 5.
 Nhận dạng phương trình:

Ta thấy có sự khác nhau ở trong căn, ở ngồi căn và biểu thức trước căn. Các phương trình có dạng:





2 _' 2 _' _'

<i>Ax</i> <i>Bx C</i>  <i>mx n</i> <i>A x</i> <i>B x C</i>

với A. A' không đồng thời bằng 0.

 Phương pháp chung nhất để giải các phương trình trên là bình phương đưa về phương trình đa thức
bậc 4.

Tuy nhiên việc giải phương trình bậc 4 là được nhưng cũng khơng đơn giản chút nào mà cịn khá dài.
Đơi khi phải hỗ trợ máy tính Casio, nếu khơng thì việc giải rất vất vả, nhất là phương trình vơ nghiệm!
Ưu điểm là: chúng ta chủ động trong việc giải phương trình, dù khó khăn cực nhọc và có hy vọng rất lớn
để giải thành cơng.

 Nếu khơng đưa về phương trình bậc 4 thì chúng ta tìm cách giải như:

Đặt ẩn phụ hồn tồn hay khơng hồn tồn, chuyển về hệ phương trình, nhân liên hợp trục căn kết hợp
nhẩm nghiệm các loại ... thành thử thiếu định hướng chung, phải loay hoay và xoay các kiểu mới làm
được bài. Tuy nói như vậy nhưng khơng phải đặt ẩn phụ là đặt được ngay, chuyển về hệ là chuyển được
ngay, nhân liên hợp trục căn được ngay, ...Như thế có nghĩa là phải nắm giữ được "các dạng con" hay là
các nhánh khác nhau thì mới giải tốt được, nếu khơng chúng ta cứ mị từ dạng này sang dạng khác. Nói
cách khác: <i>chúng ta bị các dạng phương trình chi phối, rơi vào thế bị động trong giải tốn</i>.

 Chính vì vậy chúng ta đặt ra là: có định hướng giải chung cho tất cả 6 phương trình trên đồng thời
khắc phục được các nhược điểm nào đó, hay nói cách khác: Phương pháp chúng ta đưa ra phải thỏa mãn
các yêu cầu:

+ Dễ hiểu hay tương đối dễ hiểu
+ Không quá cồng kềnh

+ Dễ áp dụng hay tương đối dễ áp dụng.

+ Có thể khơng cần sử dụng máy tính Casio. Đây chính là điều nói lên: Bạn sử dụng Casio quen rồi, nếu
thiếu cơng cụ này thì dễ bị lúng túng. Đặc biệt là nghiệm vô tỉ!

Phương pháp chúng ta đưa ra phức tạp và cồng kềnh khó nhớ, khó hiểu, khó áp dụng thì cũng khơng
mang lại ý nghĩa thực tế bao nhiêu.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

khơng cịn đáng ngại. <i>Nắm thế chủ động trong giải toán</i>!. Dưới đây ta xét cách giải một vài ví dụ sau đó
khái qt cách giải.

<b>b. Các ví dụ giải tốn:</b>

 <b> Ví dụ 1:</b> Giải phương trình: 3<i>x</i>23<i>x</i>2 (<i>x</i>6) 3<i>x</i>2 2<i>x</i> 3 (1).

<b>Hướng phân tích:</b>

(Nhận xét: nhắc lại 1 tí mà không làm theo cách trừ cả hai vế với 5(x + 6) và trục căn vế phải).
Làm nháp: ta chuyển vế thành 3<i>x</i>23<i>x</i>2 ( <i>x</i>6) 3<i>x</i>2 2<i>x</i> 30_(*).

Mục tiêu của ta là:

 

* 



<i>ax b</i>  <i>u cx d</i>

 

  <i>u</i>



0 (**). Bây giờ ta lại đi phân tích ngược trở về
(nhân phá ngoặc nhưng không cần phá rời ra - Tách phần đa thức và căn):



_**





<i>_{ax b cx d}</i>

 



₃<i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₃



<i>_{a c x b d}</i>



<i>_u</i> ₀

      _    _ 

(***).

Cân bằng các hệ số từ (***) và (*) ta có hai hệ sau:

1 6; 3 2

&

3 3 2 3

<i>a c</i> <i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

     

 

 

    

  _.

Ta chọn a = -1, c = 0 và hệ sau có nghiệm <i>b</i>1,<i>d</i> 5.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

 

₁



<i>_x</i> ₁ ₃<i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₃

 

₅ ₃<i>_x</i>2 ₂<i>_x</i> ₃



₀

          

.
+ TH1: Với    <i>x</i> 1 0 <i>x</i>1

Ta có phương trình <i>x</i> 1 3<i>x</i>2 2<i>x</i> 3 2<i>x</i>2 4<i>x</i> 4 0  <i>x</i> 1 3_{(Thỏa mãn).}

+ TH2:

2 2 1 85

5 3 2 3 3 2 28 0

3

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

        

.

<b>Kết luận</b>: nghiệm phương trình là


 1 3 , 1 85

3

<i>x</i> <i>x</i>

 <b> Ví dụ 2:</b> Giải phương trình: <i>x</i>2- 5= 5- <i>x</i> (2).

<b>Hướng phân tích:</b>

Làm nháp: ta chuyển vế thành - <i>x</i>2+ +5 5- <i>x</i> =0 (*).

Mục tiêu là:

 

* 



<i>ax b</i>  <i>u cx d</i>

 

  <i>u</i>



0 (**). Bây giờ ta phân tích ngược trở về:



**







<i>ax b cx d</i>

 





 5 <i>x</i>_



<i>a c x b d</i>



  _ <i>u</i> 0

(***).

Cân bằng các hệ số từ (***) và (*) ta có hai hệ sau:

0 1; 5 5

&

1 1 0

<i>a c</i> <i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

     

 

 

   

  _.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Hướng dẫn giải:</b>

 

2 



<i>x</i> 5 <i>x</i>

 

<i>x</i> 1 5 <i>x</i>



0
.
+ TH1: Với <i>x</i>0_{. Ta có phương trình :} <i>x</i> 5 <i>x</i>

2 _{5 0} 1 21

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>  

     

(loại nghiệm dương).

+ TH2: Với    <i>x</i> 1 0 <i>x</i>1_{. Ta có phương trình:}<i>x</i>1 5 <i>x</i>

2 _{4 0} 1 17

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 

     

(loại nghiệm âm).

<b>Kết luận</b>: phương trình có hai nghiệm là

  

 1 21, 1 17

2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<b></b>

<b> PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NGƯỢC:</b>

<i> Để giải phương trình: </i>





2 _' 2 _' _'

<i>Ax</i> <i>Bx C</i>  <i>mx n</i> <i>A x</i> <i>B x C</i>

<i> ta thực hiện theo phương pháp</i>
<i>phân tích ngược như sau:</i>

<i> Chuyển vế : </i>





2 _' 2 _' _{' 0}

<i>Ax</i> <i>Bx C</i>  <i>mx n</i> <i>A x</i> <i>B x C</i> 

<i>Hoặc </i> <i>Ax</i>2 <i>Bx C</i> 



<i>mx n</i>



<i>A x</i>' 2<i>B x C</i>'  ' 0
<i>Khi đó phân tích nhân tử dạng: </i>



<i>ax b</i>  <i>u cx d</i>

 

  <i>u</i>



0<i>.</i>

<i> Làm nháp nhân phá ngoặc và cân bằng hệ số. Đảm bảo hệ số có nghiệm.</i>
 <b> Ví dụ 3:</b> Giải phương trình: 4<i>x</i>6 (<i>x</i> 1) 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6.

<b>Hướng phân tích:</b>

Làm nháp: chuyển vế thành 4<i>x</i> 6 ( <i>x</i> 1) 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6 0_(*).

Mục tiêu là:

 

* 



<i>ax b</i>  <i>u cx d</i>

 

  <i>u</i>



0 (**). Bây giờ ta phân tích ngược trở về:



_**





<i>_{ax b cx d}</i>

 



₆<i>_x</i>2 <i>_x</i> ₆



<i>_{a c x b d}</i>



<i>_u</i> ₀

      _    _ 

(***).

Cân bằng các hệ số từ (***) và (*) ta có hai hệ sau:

1 1; 6 6

&

6 0 1 4

<i>a c</i> <i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

     

 

 

    

  _.

Ta chọn a = 3, c = -2 và hệ sau có nghiệm <i>b</i>0,<i>d</i> 1.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

 

* 



3<i>x</i> 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6

 

2<i>x</i> 1 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6



0

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

+ TH1: Với 3<i>x</i>0_{.Ta có phương trình :}9<i>x</i>2 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6 3<i>x</i>2  <i>x</i> 6 0_{(vô nghiệm)}

+ TH2: Với 2 <i>x</i>  1 0 <i>x</i>1/ 2_{. Ta có phương trình:}2<i>x</i> 1 6<i>x</i>2 <i>x</i> 6

2 7

2 5 7 0

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

     

(Thỏa mãn) (loại nghiệm -1).

<b>Kết luận</b>: phương trình có một nghiệm là  
7
2
<i>x</i>

<b>Nhận xét</b>:

<i>Cách nhẩm của chúng ta mặc dù chưa được "ngon lành" và hơi chậm khi làm nháp, nhưng ưu điểm là </i>
<i>rèn luyện tư duy, ít ra cũng có hướng để mị, ngồi ra lời giải tương đối ngắn gọn. Hơn nữa khơng q </i>

<i>khó cũng như khơng quá lệ thuộc máy tính Casio, chủ động trong giải tốn dạng này</i>.

 <b> Ví dụ 4:</b> Giải phương trình:

2

6<i>x</i>+ +9 (2<i>x</i>+1) 15<i>x</i> + + =<i>x</i> 9 0_.

<b>Hướng phân tích:</b>

Làm nháp: Ta cần:

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëêé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + úùû =0
Ta có:

2 1; 9 9

&

15 0 1 6

<i>a c</i> <i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

     

 

 

    

  _{suy ra hệ có nghiệm:}<i>a</i>5,<i>c</i>3,<i>b</i>0,<i>d</i> 1_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>



 



2 2 2

6<i>x</i> 9 (2<i>x</i>1) 15<i>x</i>  <i>x</i> 9 0  5<i>x</i> 15<i>x</i>  <i>x</i> 9 3<i>x</i> 1 15<i>x</i>  <i>x</i> 9 0

.

+ TH1: 5<i>x</i>0_{, ta có phương trình:}

2 2 9

5 15 9 10 9 0

10

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

         

.

+ TH2:

1

3 1 0

3

<i>x</i> <i>x</i>

    

ta có phương trình: 3<i>x</i> 1 15<i>x</i>2  <i>x</i> 9 6<i>x</i>27<i>x</i>  8 0 <i>x</i> .

<b>Kết luận</b>: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là
9
10
<i>x</i> 

 <b> Ví dụ 5:</b> Giải phương trình: <i>x</i>+11 (= <i>x</i>+3) 2<i>x</i>2+5<i>x</i>- 7(<i>x</i>Ỵ ¡ ).

<b>Hướng phân tích:</b>
2

11 ( 3) 2 5 7 0

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

- - + + + - = _{. Ta cần:}

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> éê_ë

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ùú_û =0
Ta có

1
2

<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï =

-ïỵ _và

3; 7 11

2, 1, 4, 1

5 1

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>d</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = - =

-ï _Þ ₌ _{= -} ₌ ₌

íï + + =

-ïỵ _.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)(

)

2 2 2

11 ( 3) 2 5 7 2 4 2 5 7 1 2 5 7 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2 2

2<i>x</i> 4 2<i>x</i> 5<i>x</i> 7 2<i>x</i> 11<i>x</i> 23 0 <i>x</i>

- - = + - ị + + = ị ẻ ặ_.

+ TH2: - -<i>x</i> 1 0£ Û <i>x</i>³ - 1, ta có:

2 3 41

1 2 5 7

2
<i>x</i>+ = <i>x</i> + <i>x</i>- Þ <i>x</i>=- +

.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có một nghiệm là

3 41
2
<i>x</i>=- +

.

 <b> Ví dụ 6:</b> Giải phương trình: 4<i>x</i>2+19<i>x</i>+ =6 <i>x x</i>2 2- 4<i>x</i>+3.(<i>x</i>Ỵ ¡ ).

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp: - 4<i>x</i>2- 19<i>x</i>- 6+<i>x x</i>2 2- 4<i>x</i>+ =3 0Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> êéë

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + úûù =0
Ta có

1

2 4

<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï + =

-ïỵ _và

0; 3 6

4 19
<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = + =
-ïí

ï + - =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>= - 2, <i>c</i>=3, <i>d</i>=3, <i>b</i>= - 3_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)(

)

2 2 2 2

4<i>x</i> +19<i>x</i>+ =6 <i>x x</i>2 - 4<i>x</i>+ Û -3 2<i>x</i>- 3+ 2<i>x</i> - 4<i>x</i>+3 3<i>x</i>+ +3 2<i>x</i> - 4<i>x</i>+3 =0.

+ TH1:

2
2

2 3 0 3/ 2

4 13
2 16 6 0

2 3 2 4 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - - £ ï ³

-ï ï

ï _Û ï _Þ _{= - +}

í í

ï + = - + ï + + =

ï _ïïỵ

ïỵ _.

+TH2:

2
2

3 3 0 1 ₁₁ ₇₉

7 22 6 0 7

3 3 2 4 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï + £ ï £ - _- 

-ï ï

ï _Û ï _Þ ₌

í í

ï- - = - + ï + + =

ï _ïïỵ

ïỵ _.

<b>Kết luận:</b> Phương trình đã cho có 2 nghiệm là

11 79
4 13,

7

<i>x</i>= - + <i>x</i>= - + ×
 <b> Ví dụ 7:</b> Giải phương trình: <i>x</i>2- <i>x</i>- 12 (= <i>x</i>+3) 10- <i>x</i>2.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp: - <i>x</i>2+ +<i>x</i> 12 (+ <i>x</i>+3) 10- <i>x</i>2 =0 Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëêé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ùúû =0
Ta có

1

1 1

<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï - =

-ïỵ _và

3; 10 12
1

<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = + =
ïí

ï + =

ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=1, <i>c</i>=0, <i>d</i>=1, <i>b</i>=2_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)(

)

2 _{12 (} _{3) 10} 2 ₂ ₁₀ 2 ₁ ₁₀ 2 ₀

<i>x</i> - <i>x</i>- = <i>x</i>+ - <i>x</i> Û <i>x</i>+ + - <i>x</i> + - <i>x</i> =

2

2
2

2 10 3.

2 4 6 0

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìï £
-ïï

Û - - = - Û _íï Û =

-+ - =
ïïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

 <b> Ví dụ 8:</b> [<b>Tốn Học & Tuổi Trẻ số 420</b>]Giải phương trình: 4<i>x</i>2+14<i>x</i>+11 4 6= <i>x</i>+10.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp: - 4<i>x</i>2- 14<i>x</i>- 11 4 6+ <i>x</i>+10=0Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëêé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ùúû =0
Ta có

0
4
<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï =

-ïỵ _và

4; 10 11
6 14
<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = + =
-ïí

ï + + =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=2, <i>c</i>= - 2, <i>d</i>= - 3, <i>b</i>=7_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)(

)

2

4<i>x</i> +14<i>x</i>+11 4 6= <i>x</i>+10Û 2<i>x</i>+ +7 6<i>x</i>+10 - 2<i>x</i>- 3+ 6<i>x</i>+10 =0
(*).

Vì 6<i>x</i>+10 0³ Þ 2<i>x</i>+ >7 0nên

( )

3 13

* 2 3 6 10

4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> - +

Û + = + Þ =

.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có 1 nghiệm là

3 13
4
<i>x</i>=- +

.

<b> Ví dụ </b> 9 <b>:</b> [<b>Tuyển sinh lớp 10 Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014</b>]
Giải phương trình:

(

)

2 2

1 2 2 2 3 2

<i>x</i>+ <i>x</i> - <i>x</i> = <i>x</i> - <i>x</i>

-.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp:

(

)

2 2

2<i>x</i> - 3<i>x</i>- 2- <i>x</i>+1 2<i>x</i> - 2<i>x</i>=0Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> é_ê_ë

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ù_ú_û =0

Ta có

1
2 2
<i>a c</i>

<i>ac</i>

ìï + =
-ïí

ï + =

ïỵ _và

1; 2

2 3

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = - =
-ïí

ï + - =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>= - 1, <i>c</i>=0, <i>d</i>=1, <i>b</i>= - 2_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

<i>_x</i>₊_{1 2}

)

<i>_x</i>2_- ₂<i>_x</i>₌₂<i>_x</i>2_- ₃<i>_x</i>_- ₂_{Û - -}

(

<i>_x</i> ₂₊ ₂<i>_x</i>2_- ₂<i>_x</i>

)(

₁₊ ₂<i>_x</i>2_- ₂<i>_x</i>

)

₌₀
2

2

2 0 2

3 13
6 4 0

2 2 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï + ³ ï ³

-ï ï

ï ï

Û í_ï Û í_ï _- _- ₌ Û = ±

+ =

-ï _ïïỵ

ïỵ _.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có hai nghiệm <i>x</i>= ±3 13.

<b> Ví dụ </b> 10 <b>:</b>Giải phương trình: 4<i>x</i>2- 11<i>x</i>+ =6 (<i>x</i>- 1) 2<i>x</i>2- 6<i>x</i>+6.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp:

(

)

2 2

4<i>x</i> 11<i>x</i> 6 <i>x</i> 1 2<i>x</i> 6<i>x</i> 6 0

- + - + - - + =

Ta cần:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta có

1

2 4

<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï + =

-ïỵ _và

1; 6 6
6 11

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = - + =
-ïí

ï + - =

ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=3, <i>c</i>= - 2, <i>d</i>=3, <i>b</i>= - 4_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)(

)

2 2 2 2

4<i>x</i> - 11<i>x</i>+ =6 (<i>x</i>- 1) 2<i>x</i> - 6<i>x</i>+ Û6 3<i>x</i>- 4+ 2<i>x</i> - 6<i>x</i>+6 - 2<i>x</i>+ +3 2<i>x</i> - 6<i>x</i>+6 =0

+ TH1:

2

2

4

3 4 0 ₉ ₁₁

3 ₇

3 4 2 6 6 ₇ ₁₈ ₁₀ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - £ _{ï £} 

-ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï_- _{+ =} _- ₊ ï

ï ï - + =

ïỵ _ïïỵ _.

+ TH2:

2 ₂

3

2 3 0 ₃ ₃

2 ₂

2 3 2 6 6 ₂ ₆ ₃ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - + £ _{ï £} ₊

ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï _- ₌ _- ₊ ï

ï ï - + =

ïỵ _ïïỵ _.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có 2 nghiệm là:

9 11_, 3 3

7 2

<i>x</i>= - <i>x</i>= +
.
 <b> Ví dụ 11:</b> Giải phương trình: 2<i>x</i>2- 4<i>x</i>+ =2 3 2<i>x x</i>- 1.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp: - 2<i>x</i>2+4<i>x</i>- 2 3 2+ <i>x x</i>- 1=0 Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëêé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ùúû =0
Ta có:

3 0; 1 2

&

2 2 4

<i>a c</i> <i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

ì ì

ï + = ï + = - =

-ï ï

í í

ï = - ï + + =

ï ï

ỵ ỵ _{suy ra hệ vơ nghiệm. Vậy để hệ có nghiệm ta chia}

cả hai vế cho 2:

2 3

1 2 1 2 1 0

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

- + - + - =

và có

3 _0; ₁ ₁

&

2 ₂ ₂

1

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>a c</i>

<i>ad bc</i>
<i>ac</i>

ìï _ì

ï _{+ =} ï + = - =

-ï ï

ïí í

ï ï + + =

ï = - ïỵ
ïïỵ

như thế:

1

2, , 0

2

<i>a</i>= <i>c</i>= - <i>b d</i>= =
.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)

2 1

2 4 2 3 2 1 2 2 1 2 1 0

2

<i>x</i> - <i>x</i>+ = <i>x x</i>- <i>x</i>+ <i>x</i>- ỗổỗ_ỗ- <i>x</i>+ <i>x</i>- ữữử_ữ_ữ=

ỗố ứ _{. Vì}<i>x</i>³ 1₂_{nên suy ra:}

2
1

2 1 8 4 0 4 2 3

2<i>x</i>= <i>x</i>- Þ <i>x</i> - <i>x</i>+ = Þ <i>x</i>= ± _{(Thỏa mãn).}

<b>Kết luận:</b> Phương trình có hai nghiệm: <i>x</i>= ±4 2 3.

<b>Chú ý 1</b>:

+ Tại sao ta không nhân với 2; 3; 4; ... mà ta nhân với

1
2

<i>k</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Lý do ta chia (hay nhân) thêm hằng số để điều chỉnh các tích và tổng '
<i>a c km</i>

<i>ac A</i> <i>kA</i>

 




 

 _và '

<i>b d kn</i>

<i>bd C</i> <i>kC</i>

 




 


Sao cho đảm bảo hệ có nghiệm thỏa mãn <i>ad bc B</i>  '<i>kB</i>_.

Cụ thể 2<i>kx</i>24<i>kx</i> 2<i>k</i>3<i>kx</i> 2<i>x</i>1 0 _với

0, 1 2

2 4

<i>b d</i> <i>bd</i> <i>k</i>

<i>ad bc</i> <i>k</i>

   




  

 _{, nếu}

1
2

<i>k</i> 

thì b = d = 0

+ Nếu phương trình có dạng









2 ₂

0

<i>u</i> <i>x</i>

    

thì khơng thể phân tích thành nhân tử.

<i>Bởi vậy trên đây là định hướng phân tích nhưng khơng tham hy vọng q lớn để bao tồn bộ các bài</i>
<i>tốn nói trên. </i>

 <b> Ví dụ 12:</b> [<b>Olympic 30/04/2013</b>]Giải phương trình: (<i>x</i>+3) - <i>x</i>2- 8<i>x</i>+48= -<i>x</i> 24.

<b>Hướng phân tích:</b>
2

2<i>x</i> 48 (2<i>x</i> 6) <i>x</i> 8<i>x</i> 48 0

- + + + - - + = Û

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> éê_ë

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ùú_û =0
Ta có

2
1 0
<i>a c</i>

<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï - =

ïỵ _và

6; 48 48

8 2

<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = + =
ïí

ï + - =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=1, <i>c</i>=1, <i>d</i>=0, <i>b</i>=6_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

2 2

(<i>x</i>+3) - <i>x</i> - 8<i>x</i>+48= -<i>x</i> 24Û - 2<i>x</i>+48 (2+ <i>x</i>+6) - <i>x</i> - 8<i>x</i>+48=0

(

<i>_x</i>_{+ + -}₆ <i>_x</i>2_- ₈<i>_x</i>₊₄₈

)(

<i>_x</i>_{+ -} <i>_x</i>2_- ₈<i>_x</i>₊₄₈

)

₌₀

+ TH1: <i>x</i>+ £6 0Û <i>x</i>£ - 6, ta có

2 2

6 8 48 2 20 12 0 5 31

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

- - = - - + Þ + - = Þ = - + _.

+ TH2: <i>x</i>£ 0, ta có - <i>x</i>= - <i>x</i>2- 8<i>x</i>+48Þ 2<i>x</i>2+8<i>x</i>- 48= Þ0 <i>x</i>= - -2 2 7.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có 2 nghiệm là <i>x</i>= - -2 2 7, <i>x</i>= - -5 31.

(Ở trên nếu khơng nhân thêm 2 thì a + c = 1, ac = 1 sẽ vô nghiệm! Vậy nếu a = c = 1 thì a + c = 2).

<b> Ví dụ </b> 13 <b>:</b>Giải phương trình:

2 3 2

5 3 (1 3 ) 2 1

2

<i>x</i> + <i>x</i>- = + <i>x</i> <i>x</i>
.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nháp:

2 2

5 3 3 1 3

( ) 2 1 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Ta có

3
2
5
2

2
<i>a c</i>
<i>ac</i>

ìïï +
=-ïïï

íï

ï _{+ =}

ïïïỵ _và

1 3

; 1

2 2

3
4

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìïï + =- - =
-ïïï

íï

ï ₊ ₌

ïïïỵ _{có nghiệm} 1, 1, 1, 1

2 2

<i>a</i>= - <i>c</i>= - <i>d</i>= - <i>b</i>=
.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

PT

2 2 2 2

5 3 3 ₍1 3 _{) 2} ₁ ₀ 1 ₂ ₁ 1 ₁ ₂ ₁ ₀

2<i>x</i> 4<i>x</i> 2 2 2<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> 2 <i>x</i> 2<i>x</i> <i>x</i>

ổ ửổ_ữ ử_ữ

ỗ _ữỗ _ữ

+ - - + - = - + +_ỗ_ỗỗ - _ữ_ữ_ỗ_ỗỗ- - + - _ữ_ữ=

ố ứố ứ

+ TH1:

2
2

1 ₀ 1

1 6

2 2 ₂

4 4 5 0

2 1 2 2 1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï ï

ï_{- + £} ï _£ _{- +}

ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï ï

ï - = - ï - - + =

ï _ïïỵ

ïỵ _.

+ TH2:

2
2

1 _{1 0} ₂

2 2 15
2

7 4 8 0 7

2 2 2 1

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìï _ì

ï_- _- _£ _{ï - £} _±

ï _ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï ï - - =

ï _{+ =} _- ï_ïỵ

ïïỵ _.

<b>Kết luận:</b> Phương trình có 3 nghiệm là

6 1_, 2 2 15

2 7

<i>x</i>= - <i>x</i>= ± ×

<b>Lời bình</b>:

Qua các ví dụ trên ta cũng đã làm chủ được loại toán này, chủ động trong giải toán cho dù thay đổi các
biểu thức trong căn hay ngoài căn, là bậc nhất hay bậc hai.

<b> Ví dụ </b> 14 <b>:</b>Giải phương trình: 5(8<i>x</i>2+11 )<i>x</i> =27(2<i>x</i>+1) 3<i>x</i>- 2 (<i>x</i> ).

<b>Hướng phân tích:</b>

Bài này tổng hai số a + c = 54 khá lớn so với tích nên nhân cả hai vế với 5 và đặt 5 3<i>x</i> 2 <i>u</i>_.

(

)

2

200<i>x</i> +275<i>x</i>- 54<i>x</i>+27 75<i>x</i>- 50=0

Ta cần:

(

<i>ax b cx d</i>+

)(

+

)

+ +<i>u</i> ëêé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + úùû =0

Ta có

54
200
<i>a c</i>
<i>ac</i>

ìï + =
-ïí

ï =

-ïỵ _và

27; 50 0
75 275

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = - - =
ïí

ï + + =

ïỵ _{có nghiệm}<i>a</i>= - 4,<i>c</i>= - 50,<i>d</i>= - 25,<i>b</i>= - 2_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

(

)

2 2

5(8<i>x</i> +11 )<i>x</i> =27(2<i>x</i>+1) 3<i>x</i>- 2Û 200<i>x</i> +275<i>x</i>- 54<i>x</i>+27 75<i>x</i>- 50=0

(

4<i>x</i> 2 75<i>x</i> 50

)(

50<i>x</i> 25 75<i>x</i> 50

)

0

Û - - + - - - + - =

+ TH1:

2
1

4 2 0 ₂₇

2,

2 ₁₆

4 2 75 50 ₁₆ ₅₉ ₅₄ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï- - £ ï _³

-ï ï

ï _Û ï _Û ₌ ₌

í í

ï _{+ =} _- ï

ï ï - + =

ïỵ _ïïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

+ TH2:

2
1
50 25 0

2

10 5 3 2 ₁₀₀ ₉₇ ₂₇ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï
ìï- - £ ï_- _£

ï ï

ï _Û ï

í í

ï + = - ï

ï ï + + =

ïỵ _ïïỵ

(Vơ nghiệm).

<b>Kết luận:</b> Phương trình có 2 nghiệm là

27
2,

16
<i>x</i>= <i>x</i>= ×

<b>Chú ý 2:</b>

Câu hỏi đặt ra là: tại sao ta không nhân với 2; 4; 6; .. mà ta nhân với 5?. Như trên đã nói:
54

40
<i>a c</i>

<i>ac</i> <i>k</i>

 





 _và 2

27;

2 0

<i>d b</i>
<i>bd</i> <i>k</i>

 




 

 _{nên ta chọn k để hai hệ có nghiệm đẹp một tí. Ta có thể hình dung như}
sau tách 54 = 2 + 52 = 4 + 50 = 6 + 48 .. và thử nhân các cặp xem sao?

Hay là

2.52 4.50

...

40 40 40

<i>ac</i>

<i>k</i>   

và 2

<i>bd</i>
<i>k</i> 

mà ta cũng chọn tổng a + c âm?
Như thế ta vừa chọn được a, c, b, d vừa biết cần nhân như thế nào để thử.

<i>Để củng cố ta xét thêm vài ví dụ nhân thêm.</i>
 <b> Ví dụ 15:</b>Giải phương trình:

2 2

15<i>x</i> +12<i>x</i>+12 10(2= <i>x</i>+1) <i>x</i> +3(<i>x</i>Ỵ ¡ )_.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nếu để ngun thì a + c = -20 và ac = 14, tách -20 = -2 + -18 = -4 + -16 ...và tích lại thì bằng 36, 64, ...
khi đó nhân thêm cả hai vế với k và đưa vào căn thì <i>k x</i>2 2+3<i>k</i>2như thế: <i>ac k</i>+ 2=15<i>k</i>thử tích 36
trước: 36+<i>k</i>2=15<i>k</i>Þ <i>k</i>=3. Nên PT Û 45<i>x</i>2+36<i>x</i>+36 (20- <i>x</i>+10) 9<i>x</i>2+27=0.

Ta cần



<i>ax b cx d</i>

 





 <i>u</i> 



<i>a c x b d</i>



   <i>u</i> 0

Nên

20
9 45
<i>a c</i>
<i>ac</i>

 




 

 _và

10; 27 36

36

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

   





 

 _{hệ có nghiệm}<i>a</i>2, <i>c</i>18, <i>d</i> 9, <i>b</i>1_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

PT Û 45<i>x</i>2+36<i>x</i>+36 (20- <i>x</i>+10) 9<i>x</i>2+27=0

(

₂<i>_x</i> ₁ ₉<i>_x</i>2 ₂₇

)(

₁₈<i>_x</i> ₉ ₉<i>_x</i>2 ₂₇

)

₀

Û - - + + - - + + =

+ TH1:

2 ₂

1
2 1 0

2

2 1 9 27 ₅ ₄ ₂₆ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - - £ _{ï ³}

-ï ï

ï _Û ï

í í

ï _{+ =} ₊ ï

ï ï - + =

ïỵ _ïïỵ _{(Vô nghiệm).}

+ TH2:

2 ₂

1

18 9 0 ₁₈ ₁₁₄

2

35

18 9 9 27 ₃₅ ₃₆ ₆ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - - £ _{ï ³ -} _- ₊

ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï _{+ =} ₊ ï

ï ï + + =

ïỵ _ïïỵ

<b>Kết luận</b>: Phương trình có 1 nghiệm là

18 114
35
<i>x</i>=- +

.
 <b> Ví dụ 16:</b>Giải phương trình:

2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Hướng phân tích:</b>

Nếu để ngun thì a + c = -3 và ac = 2 do đó tách -3 = -2 + -1.và tích lại thì bằng 2 (đẹp), tuy nhiên khi
đó b+ d = -3, bd = 4, nhân cả hai vế với k và đưa vào căn thì <i>k x</i>2 2+3<i>k</i>2như thế: <i>bd</i>+3<i>k</i>2=7<i>k</i>thử
tích 2 thì: 2 3+ <i>k</i>2=7<i>k</i>Þ <i>k</i>=2. Nên PT Û 6<i>x</i>2+4<i>x</i>+14 (3- <i>x</i>+3) 4<i>x</i>2+12=0.

Ta cần



<i>ax b cx d</i>

 





 <i>u</i> 



<i>a c x b d</i>



   <i>u</i> 0

Nên

3
4 6
<i>a c</i>
<i>ac</i>

 




 

 _và

3; 12 14

4

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

   




 

 _{hệ có nghiệm}<i>a</i>2, <i>c</i>1, <i>d</i> 1, <i>b</i>2_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

PT Û 6<i>x</i>2+4<i>x</i>+14 (3- <i>x</i>+3) 4<i>x</i>2+12=0

(

₂<i>_x</i> ₂ ₄<i>_x</i>2 ₁₂

)(

<i>_x</i> ₁ ₄<i>_x</i>2 ₁₂

)

₀

Û - - + + - - + + =

+ TH1:

2

2 2 0 1

1
2 1 3

2 2 4 12

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì _ì

ï - - £ ï ³

-ï ï

ï _Û _Û ₌

í í

ï + = + ï + =

ï _ïỵ

ïỵ _.

+ TH2:

2
2

1 0 1

3 2 11 0
1 4 12

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - - £ ï ³

-ï ï

ï _Û ï

í í

ï + = + ï - + =

ï _ïïỵ

ïỵ _{(Vơ nghiệm).}

<b>Kết luận</b>: Phương trình có 1 nghiệm là <i>x</i>1.

 <b> Ví dụ 17:</b>Giải phương trình: 10<i>x</i>2- 9<i>x</i>+ -3 8 2<i>x x</i>2- 3<i>x</i>+ =1 0.

<b>Hướng phân tích:</b>

Nếu để ngun thì a + c = -8 và ac = 8, tách -8 = -2 + -6 = -4 + -4... và tích lại thì bằng 12, 16... , ...
khi đó nhân thêm cả hai vế với k và đưa vào căn 2<i>k x</i>2 2- 3<i>k x k</i>2 + 2như thế: <i>ac</i>+2<i>k</i>2=10<i>k</i>thử tích
ac = 12 thì: 12 2+ <i>k</i>2=10<i>k</i>Þ <i>k</i>=3, nên PT Û 30<i>x</i>2- 27<i>x</i>+ -9 8 18<i>x</i> <i>x</i>2- 27<i>x</i>+ =9 0(*).
Ta cần



<i>ax b cx d</i>

 





 <i>u</i> 



<i>a c x b d</i>



   <i>u</i> 0

Nên

8
18 30
<i>a c</i>

<i>ac</i>
 




 

 _và

0; 9 9

27 27

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

   




  

 _{hệ có nghiệm}<i>a</i>2, <i>c</i>6, <i>d</i> 0, <i>b</i>0_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

PT Û 30<i>x</i>2- 27<i>x</i>+ -9 8 18<i>x</i> <i>x</i>2- 27<i>x</i>+ =9 0

(

₂<i>_x</i> ₁₈<i>_x</i>2 ₂₇<i>_x</i> ₉

)(

₆<i>_x</i> ₁₈<i>_x</i>2 ₂₇<i>_x</i> ₉

)

₀

Û - + - + - + - + =

+ TH1:

2
2

2 0 0 ₃ ₃

,

14 27 9 0 7 2

2 18 27 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - £ ï ³

ï ï

ï _Û ï _Û ₌ ₌

í í

ï = - + ï - + =

ï _ïïỵ

ïỵ _.

+ TH2:

2
2

6 0 0 ₃ ₁₇

18 27 9 0 4

6 18 27 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - £ ï ³ _{- +}

ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï = - + ï + - =

ï _ïïỵ

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Kết luận</b>: Phương trình có 3 nghiệm là

3 3 3 17

, ,

7 2 4

<i>x</i>= <i>x</i>= <i>x</i>=- +
.

<b>Chú ý 3</b>:

<i>Chúng ta cũng có thể xét một vài ví dụ mà sự phân tích thành hệ số vơ tỉ. Các ví dụ này khơng nhiều </i>
<i>nhưng khơng có nghĩa là không làm được, với lưu ý các số p</i>+ <i>q và p</i>- <i>q có tổng bằng 2p và tích</i>
<i>bằng p</i>2- <i>q đều là các số hữu tỉ.</i>

 <b> Ví dụ 18:</b>Giải phương trình: <i>x</i>2+ 6<i>x</i>2+4<i>x</i>= +<i>x</i> 1.

<b>Hướng phân tích:</b>

PT

(

)(

)

2 ₁ ₆ 2 ₄ ₀ ₀

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>ax b</i> <i>u cx d</i> <i>u</i>

Û - - + + = Û + + + + =

.

Ta cần

0 1; 1

&

6 1 4 1

<i>a c</i> <i>b d</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

ì ì

ï + = ï + = =

-ï ï

í í

ï + = ï + + =

-ï ï

ỵ ỵ _{. Do đó:}

5, 5

1 5 1 5

,

2 2

<i>a</i> <i>c</i>

<i>b</i> <i>d</i>

ìï = =
-ïïï

í ₊ 

-ïï = =

ïïỵ _.

+ TH1:

(

)

2 5 1 2 2 3 5

6 4 5 6 4 5 5 5

2 2

<i>x</i> + <i>x</i> = - <i>x</i> - + Þ <i>x</i> + <i>x</i>= <i>x</i> + + + + <i>x</i>

(

)

(

)(

)

2 ₁ ₅ 5 3 ₀ 5 1 1 2

2 2

<i>x</i> <i>x</i> + <i>x</i> + ±

Þ - + - = Þ =

(loại).

+ TH2:

(

)

2 5 1 2 2 3 5

6 4 5 6 4 5 5 5

2 2

<i>x</i> + <i>x</i> =<i>x</i> + - Þ <i>x</i> + <i>x</i>= <i>x</i> + - + - <i>x</i>

(

)

(

)(

)

2 ₁ ₅ 5 3 ₀ 5 1 2 1

2 2

<i>x</i> <i>x</i> - <i>x</i> -

-Þ - - + = Þ =

(Thỏa mãn ).

 <b> Ví dụ 19</b> <b>:</b>Giải phương trình: 2
3

1
1
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

+ =

+ _.

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện: <i>x</i>Ỵ

( )

0;1 . Quy đồng và chuyển vế ta thu được:

(

)

2

3<i>x</i>+ <i>x</i>- 1 <i>x</i> + =1 0
.

Nhân hai vế với 6 ta có:

(

)

(

)(

)

2

18<i>x</i>+ 2<i>x</i>- 2 9<i>x</i> + = Û9 0 <i>ax b</i>+ + <i>u cx d</i>+ + <i>u</i> =0
.

Xét các hệ:

2 2; 9

&

9 18

<i>a c</i> <i>b d</i> <i>bd</i>

<i>ac</i> <i>ad bc</i>

ì ì

ï + = ï + = - =

-ï ï

í í

ï = - ï + =

ï ï

ỵ ỵ _{ta có}

1 10 1 10

&

1 10 1 10

<i>a</i> <i>b</i>

<i>c</i> <i>d</i>

ì ì

ï _{= -} ï _{= - +}

ï ï

ï ï

í í

ï _{= +} ï ₌

-ï ï

ï ï

ỵ ỵ

+ TH1:

(

)

(

)

2

9<i>x</i> + =9 10 1- <i>x</i>- 1 _Þ <i>_x</i>2_-

(

₁_- ₁₀

)

<i>_x</i>_{+ =}₁ ₀

(cả hai nghiệm đều loại).

+ TH2:

(

)

(

)

2

9<i>x</i> + =9 10 1 1+ - <i>x</i> _Þ <i>_x</i>2_-

(

₁₊ ₁₀

)

<i>_x</i>_{+ =}₁ ₀ 1 10 5 2
2

<i>x</i> + -

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Vậy pt có một nghiệm:

(

5 1

)(

2 1

)

2

<i>x</i>= -

-.



<b> MỘT SỐ ỨNG DỤNG</b>

<i>.</i>

<b> Ví dụ </b> 20 <b>:</b>Giải phương trình: 2

30 _1.

2<i>x</i> +7<i>x</i>- 9 9- = +<i>x</i> (<i>x</i>Ỵ ¡ ).

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện: 2<i>x</i>2+7<i>x</i>- 9 9- ¹ 0.

Từ PT suy ra 30 (= <i>x</i>+1)( 2<i>x</i>2+7<i>x</i>- 9 9)- Û - 9<i>x</i>- 39 (+ <i>x</i>+1) 2<i>x</i>2+7<i>x</i>- 9=0 (*).
Ta cần

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëéê

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ûùú =0. Cân bằng hệ số:

Ta có

1
2 0
<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï + =

ïỵ _và

1; 9 39

7 9

<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = - =
-ïí

ï + + =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=2, <i>c</i>= - 1, <i>d</i>= - 5, <i>b</i>=6_.

Như thế

( )

(

)(

)

2 2

* Û 2<i>x</i>+ +6 2<i>x</i> +7<i>x</i>- 9 - -<i>x</i> 5+ 2<i>x</i> +7<i>x</i>- 9 =0

+ TH1:

2
2

2 6 0 3

2 17 45 0

2 6 2 7 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï + £ ï £

-ï ï

ï _Þ ï

í í

ï- - = + - ï + + =

ï _ïïỵ

ïỵ _{(Vơ nghiệm).}

+ TH2:

2
2

5 0 5 ₃ ₁₄₅

3 34 0 2

5 2 7 9

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - - £ ï ³ - _±

ï ï

ï _Þ ï _Þ ₌

í í

ï + = + - ï - - =

ï _ïïỵ

ïỵ _{, (}<i>x</i>¹ 4_).

<b>Kết luận</b>: Phương trình có 2 nghiệm là

3 145
2

<i>x</i>= ± ×

<b> Ví dụ </b> 21 <b>:</b>Giải phương trình: 3<i>x</i>2+2<i>x</i>- 1+ 3<i>x</i>4+<i>x</i>3 =0 (<i>x</i>Ỵ ¡ ).

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện:

4 3

2

3 0 ₁

1

3 2 1 0 3

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ìï + ³

ïï _{Û - £} _£

-íï- - +

ùùợ _hoc0Ê <i>x</i>Ê 13ì

+ Nu

1
0

3
<i>x</i>

Ê Ê ì

thỡ 3<i>x</i>2+2<i>x</i>- 1+ 3<i>x</i>4+<i>x</i>3 = ị0 3<i>x</i>2+2<i>x</i>- 1+<i>x x</i>3 2+ =<i>x</i> 0

(*)

Ta cần

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëéê

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ûùú =0. Cân bằng hệ số:

Ta có

1
3 3
<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï + =

ïỵ _và

0; 1

1 2
<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = =
-ïí

ï + + =

ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=1, <i>c</i>=0, <i>d</i>=1, <i>b</i>= - 1_.

Nên

( )

(

)(

)

2 2

* Û <i>x</i>- 1+ 3<i>x</i> +<i>x</i> 1+ 3<i>x</i> +<i>x</i> =0 ₁ ₃ 2 3 17
4

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> - +

Û - = + Þ =

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

+ Nếu

1
1

3
<i>x</i>
- £ £

thì 3<i>x</i>2+2<i>x</i>- 1+ 3<i>x</i>4+<i>x</i>3 = Þ0 3<i>x</i>2+2<i>x</i>- 1- <i>x x</i>3 2+ =<i>x</i> 0

(**)

Ta cần

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëéê

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ûùú =0. Cân bằng hệ số:

Ta có

1
3 3
<i>a c</i>
<i>ac</i>

ìï + =
-ïí

ï + =

ïỵ _và

0; 1

1 2
<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = =
-ïí

ï + + =

ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>= - 1, <i>c</i>=0, <i>d</i>= - 1, <i>b</i>=1_.

Nên

( )

(

)(

)

2 2

* * Û - + +<i>x</i> 1 3<i>x</i> +<i>x</i> - +1 3<i>x</i> +<i>x</i> =0 ₁ ₃ 2 1 13
6

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

-Þ = + Þ =

.

<b>Kết luận</b>: Phương trình có hai nghiệm

3 17_, 1 13

4 6

<i>x</i>=- + <i>x</i>=
-.
<b> Ví dụ </b> 22 <b>:</b>Giải phương trình sau: <i>x</i>2+3<i>x</i>+ +6 2<i>x</i>2- 1=3<i>x</i>+1.

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện:

2 2 1 1

2 1 0, 2 1 3 1

3 2

<i>x</i> - ³ <i>x</i> - £ <i>x</i>+ Þ - £ <i>x</i>£

hoặc
1
2
<i>x</i>³

.

Ta viết lại phương trình thành: <i>x</i>2+3<i>x</i>+ =6 3<i>x</i>+ -1 2<i>x</i>2- 1. Bình phương 2 vế và thu gọn ta
được phương trình mới: 10<i>x</i>2+3<i>x</i>- 6 (3- <i>x</i>+1) 8<i>x</i>2- 4=0 (*) (đưa 2 vào căn).

Ta cần

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëéê

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ûùú =0. Cân bằng hệ số:
Ta có

3
8 10
<i>a c</i>

<i>ac</i>

ìï + =
-ïí

ï + =

ïỵ _và

1; 4 6
3

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = - - =

-ïí

ï + =

ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>= - 2, <i>c</i>= - 1, <i>d</i>= - 2, <i>b</i>=1_.

Như thế

( )

(

)(

)

2 2

* Û - 2<i>x</i>+ +1 8<i>x</i> - 4 - -<i>x</i> 2+ 8<i>x</i> - 4 =0

+ TH1:

2 ₂

1

2 1 0 ₁ ₆

2 ₂

2 1 8 4 ₄ ₄ ₅ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - + £ _{ï ³} _{- +}

ï ï

ï _Þ ï _Þ ₌

í í

ï _- ₌ _- ï

ï ï + - =

ïỵ _ïïỵ _.

+ TH2:

2
2

2 0 2 _{2 2 15}

7 4 8 0 7

2 8 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - - £ ï ³ - _±

ï ï

ï _Þ ï _Þ ₌

í í

ï + = - ï - - =

ï _ïïỵ

ïỵ _.

<b>Kết luận:</b> Kết hợp điều kiện thì phương trình đã cho có hai nghiệm

1 6_, 2 2 15

2 7

<i>x</i>=- + <i>x</i>= +

.

 <b> Ví dụ 23:</b>Giải phương trình sau: <i>x</i>+ +1 <i>x</i>2- 4<i>x</i>+ =1 3 <i>x</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Điều kiện: <i>x</i>³ 0,<i>x</i>+ £1 3 <i>x</i>. Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình mới:

2 2

2<i>x</i> - 11<i>x</i>+ +2 (<i>x</i>+1) 4<i>x</i> - 16<i>x</i>+ =4 0_{(*). Ta cần}

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> _ë_êé

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + _úù_û =0

. Cân bằng hệ số:

Ta có

1
4 2
<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï + =

ïỵ _và

1; 4 2
16 11
<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

ìï + = + =
ïí

ï + - =

-ïỵ _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>=2, <i>c</i>= - 1, <i>d</i>=2, <i>b</i>= - 1_.

Như thế

( )

(

)(

)

2 2

* Û 2<i>x</i>- 1+ 4<i>x</i> - 16<i>x</i>+4 - + +<i>x</i> 2 4<i>x</i> - 16<i>x</i>+4 =0

+ TH1:

2

1

2 1 0 ₁

2 ₄

1 2 4 16 4 ₁₂ ₃

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i>

ìï

ìï - £ _{ï £}

ï ï

ï _Þ ï _Þ ₌

í í

ï _- ₌ _- ₊ ï

ï ï =

ïỵ _ïïỵ _{(Thỏa mãn điều kiện).}

+ TH2:

2
2

2 0 2

4
3 12 0

2 4 16 4

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - + £ ï ³

ï ï

ï _Þ ï _Þ ₌

í í

ï - = - + ï - =

ï _ïïỵ

ïỵ _{(Thỏa mãn điều kiện).}

<b>Kết luận</b>: Phương trình có hai nghiệm

1_, _4.
4

<i>x</i>= <i>x</i>=

 <b> Ví dụ 24:</b>Giải phương trình sau: 4 <i>x</i>+ -1 1 3= <i>x</i>+2 1- <i>x</i>+ 1- <i>x</i>2.

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện: <i>x</i> £ 1.Viết lại 4 <i>x</i>+ -1 2 1- <i>x</i> =3<i>x</i>+ +1 1- <i>x</i>2. Bình phương 2 vế ta thu được
phương trình mới: 8<i>x</i>2- 6<i>x</i>- 18 (6+ <i>x</i>+18) 1- <i>x</i>2 =0. Nếu để nguyên thì a + c = 6, ac = 9 nên
a = c = 3, tuy nhiên b + d = 18 và 3b + 3d = - 6 (vô nghiệm). Nhân hai vế với - 2 và đưa 4 vào căn để
cân bằng bậc hai , giảm bớt tổng b +d:

2 2

16<i>x</i> 12<i>x</i> 36 (3<i>x</i> 9) 16 16<i>x</i> 0

Û - + + - + - = _{. Ta cần}



<i>ax b cx d</i>

 





 <i>u</i> _



<i>a c x b d</i>



  _ <i>u</i>0
.
Cân bằng hệ số:

Ta có

3

16 16

<i>a c</i>
<i>ac</i>

 




 

 _và

9; 16 36

12

<i>d b</i> <i>bd</i>

<i>ad bc</i>

   




 

 _{. Hệ có nghiệm}<i>a</i>3, <i>c</i>0, <i>d</i> 4, <i>b</i>5_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

Điều kiện: <i>x</i> £ 1;4 1+ ³<i>x</i>

(

1 3+ <i>x</i>

)

. Viết lại: 4 <i>x</i>+ -1 2 1- <i>x</i> =3<i>x</i>+ +1 1- <i>x</i>2.
Bình phương 2 vế ta thu được phương trình:

2 2 2 2

8<i>x</i> - 6<i>x</i>- 18 (6+ <i>x</i>+18) 1- <i>x</i> = Û -0 16<i>x</i> +12<i>x</i>+36 (3- <i>x</i>+9) 16 16- <i>x</i> =0_.

(

₃<i>_x</i> ₅ _{16 16}<i>_x</i>2

)(

₄ _{16 16}<i>_x</i>2

)

₀

Û - - + - - + - =

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Trường hợp 1:

2 ₂

5

3 5 0 ₃

3

5

3 5 16 16 ₂₅ ₃₀ ₉ ₀

<i>x</i> <i>_x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>_x</i> <i>_x</i>

ìï
ìï - - £ _{ï ³}

-ï ï

ï _Û ï _Û ₌

-í í

ï _{+ =} _- ï

ï ï + + =

ïỵ _ïïỵ _{thỏa mãn điều kiện.}

Trường hợp 2: 4= 16 16- <i>x</i>2 Û <i>x</i>=0 (thỏa mãn điều kiện).

<b>Kết luận</b>: Phương trình có hai nghiệm  
3

, 0.
5

<i>x</i> <i>x</i>

 <b> Ví dụ 25:</b>Giải phương trình sau: 2 2<i>x</i>+ +4 4 2- <i>x</i>= 9<i>x</i>2+16.

<b>Hướng phân tích:</b>

Điều kiện: <i>x</i> £ 2. Bình phương 2 vế ta thu được: - 9<i>x</i>2- 8<i>x</i>+32 8 32 8+ - <i>x</i>2 =0.
Ta cần:

(

<i>ax b cx d</i>+

) (

+

)

+ +<i>u</i> ëéê

(

<i>a c x b d u</i>+

)

+ + ûùú =0. Cân bằng hệ số:

0

8 9

<i>a c</i>
<i>ac</i>
ìï + =
ïí

ï - =

-ïỵ _và

8; 32 32
8

<i>d b</i> <i>bd</i>
<i>ad bc</i>

ìï + = + =
ïí

ï + =

-ïỵ _{có nghiệm}<i>a</i>= - 1, <i>c</i>=1, <i>d</i>=8, <i>b</i>=0_.

<b>Hướng dẫn giải:</b>

Điều kiện: <i>x</i> £ 2. Bình phương 2 vế ta thu được: - 9<i>x</i>2- 8<i>x</i>+32 8 32 8+ - <i>x</i>2 =0.

(

<i>_x</i> _{32 8}<i>_x</i>2

)(

<i>_x</i> ₈ _{32 8}<i>_x</i>2

)

₀

Û - + - + + - =

.

Trường hợp 1:

2
2

0 0 _{4 2}

9 32 3

32 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï - £ ï ³

ï ï

ï _Û ï _Û ₌

í í

ï = - ï =

ï _ïïỵ

ïỵ _{thỏa mãn điều kiện.}

Trường hợp 2:

2
2

8 0 8

9 16 32 0
8 32 8

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

ì ì

ï + £ ï £

-ï ï

ï _Û ï

í í

ï- - = - ï + + =

ï _ïïỵ

ïỵ _{(Vơ nghiệm).}

<b>Kết luận</b>: Phương trình có 1 nghiệm

4 2
3
<i>x</i>=

.

<b>Nhận xét</b>:

<i>Với cách làm này nếu kết hợp được máy tính Casio thì việc phân tích thành nhân tử hết sức dễ dàng.</i>
<i>Hy vọng với cách làm này sẽ giúp ích cho học sinh trong giải toán. Ta cũng thấy được một phần ý nghĩa</i>
<i>thơng qua các ví dụ từ 20 đến 25.</i>

Mặt khác chúng ta cũng thấy được "khơng có chìa khóa vạn năng" hay nói cách khác là chúng ta khơng
nên hy vọng có một cơng thức đơn giản mà đi giải các bài tốn khó!

<b>Sau đây là các bài luyện tập</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>Bài 1.</b> Giải phương trình: <i>x</i>2+3<i>x</i>=(3- <i>x</i>) - <i>x</i>2+ +<i>x</i> 4.

<b>Bài 2.</b> Giải phương trình: 8<i>x</i>2+16<i>x</i>- 20= <i>x</i>+15.

<b>Bài 3.</b> Giải phương trình: <i>x</i>2+ -1 (<i>x</i>+1) <i>x</i>2- 2<i>x</i>+ =3 0.

<b>Bài 4.</b> Giải phương trình: <i>x</i>2+9<i>x</i>+ =7 (2<i>x</i>+7) 2<i>x</i>+7.

<b>Bài 5.</b> Giải phương trình: 9<i>x</i>+25 (= <i>x</i>- 1) 2<i>x</i>2+5<i>x</i>- 5.

<b>Bài 6.</b> Giải phương trình:

(

)

2 2

4<i>x</i> - 11<i>x</i>+10= <i>x</i>- 1 2<i>x</i> - 6<i>x</i>+2
.

<b>Bài 7.</b> Giải phương trình: <i>x</i>2- 8<i>x</i>+26 (= <i>x</i>+1) <i>x</i>2- 6<i>x</i>- 6.

<b>Bài 8.</b> Giải phương trình: 4<i>x</i>2+9<i>x</i>+ =1 (4<i>x</i>- 1) 8<i>x</i>2- 3<i>x</i>- 1.

<b>Bài 9.</b> Giải phương trình: 4<i>x</i>2+23<i>x</i>+23 (= <i>x</i>+2) 2<i>x</i>2+6<i>x</i>+12.

<b>Bài 10.</b> Giải phương trình: 16<i>x</i>2- 11<i>x</i>+ =1 (<i>x</i>+4) 4<i>x</i>2+18<i>x</i>- 4.

<b>Bài 11.</b> Giải phương trình: 2<i>x</i>2- 6<i>x</i>- 1= 4<i>x</i>+5.

<b>Bài 12.</b> Giải phương trình: 2<i>x</i>2+2<i>x</i>- 3 (2= <i>x</i>+3) <i>x</i>2+5<i>x</i>+7.

<b>Bài 13.</b> Giải phương trình:

2
3

4 5 2 8 4.

1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

+ + = + +

+

<b>Bài 14.</b> Giải phương trình: <i>x</i>2+4<i>x</i>+ =2 (5<i>x</i>+3) 5<i>x</i>2+6<i>x</i>+2.

<b>Bài 15.</b> Giải phương trình: 5<i>x</i>+ =3 <i>x x</i>2 2+ +<i>x</i> 1.

<b>Bài 16.</b> Giải phương trình: 3<i>x</i>2- 13<i>x</i>+37=8(<i>x</i>- 3) <i>x</i>+2

.

<b>Bài 17.</b> Giải phương trình: 3(<i>x</i>+1) <i>x</i>2+12=9<i>x</i>2+20<i>x</i>- 2

.

<b>Bài 18.</b> Giải phương trình: 7<i>x</i>2+ + =<i>x</i> 2 7<i>x x</i>2+ +<i>x</i> 2

.

<b>Bài 19</b>. Giải phương trình: 5<i>x</i>2+4<i>x</i>- <i>x</i>2- 3<i>x</i>- 18=5 <i>x</i>.

</div>

<!--links-->