Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 22 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b>a. </b> Tính số đo các góc của <i>ABC</i>.
<b>b. </b> Tính độ dài các đường trung tuyến của <i>ABC</i>.
<b>c. </b> Tính <i>S</i>,<i>R</i>,<i>r</i>.
<b>d. </b> Tính <i>ha</i>,<i>hb</i>,<i>hc</i>
<b>Câu 2. </b> Cho <i>ABC</i> có <i>AB</i>=6, <i>AC</i>=8, góc <i>A</i>=120.
<b>a.</b> Tính diện tích <i>ABC</i>.
<b>b.</b> Tính cạnh <i>BC</i> và bán kính <i>r</i>.
<b>Câu 3. </b> Cho <i>ABC</i> có <i>a</i>=8,<i>b</i>=10,<i>c</i>=13
<b>a) </b><i>ABC</i> có góc tù hay khơng?
<b>b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp </b><i>ABC</i>.
<b>c) Tính diện tích </b><i>ABC</i>.
<b>Câu 4. </b> Cho <i>ABC</i> có các góc <i>A</i> = 60 ,<i>B</i> = 45 , <i>b</i>=2. Tính độ dài cạnh <i>a c</i>, , bán kính đường trịn
ngoại tiếp và diện tích tam giác.
<b>Câu 5. </b> Cho tam giác <i>ABC</i>có <i>AC</i>=7, <i>AB</i>=5, <i>BAC</i>= 60 . Tính <i>BC S</i>, <i>ABC</i>, <i>h Ra</i>, .
<b>Câu 6. </b> Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>mb</i>=4, <i>mc</i>=2, <i>a</i>=3. Tính độ dài các cạnh <i>AB AC</i>, .
<b>Câu 9. Tínhh góc A của </b><i>ABC</i><sub> có các cạnh </sub><i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i><sub> thỏa mãn hệ thức </sub><i>b</i>
<b>Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: </b>
<b>a. </b>
2 2 2
2 2 2
tan A c a b
tan B c b a
+ −
=
+ −
<b>b. </b> 2 2 1 cos C
c (a b) 4S.
sin C
−
= − +
<b> c.</b> 2
S=2R .sin A.sin B.sin C
<b> d.</b> 1 2 2 2
S AB .AC (AB.AC )
2
= −
<b> e.</b>a =b.cosC+c.cos B
f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc
<b>Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR </b>
<b>a.</b> 2 2 2 2 2 2 2
MA +MB +MC =GA +GB +GC +3GM
<b>b.</b> 2 2 2 2 2 2
a b c
4(m +m +m )=3(a +b +c ).
<b>Câu 12. Cho </b><i>ABC</i> có <i>b c</i>+ =2<i>a</i>. Chúng minh rằng
<b> a. </b>sin<i>B</i>+sin<i>C</i>=2sin<i>A</i><b>. </b>
<b> b.</b> 2 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> = <i>h</i> + <i>h</i> <b>. </b>
<b>Câu 13. Cho </b><i>ABC</i> biết <i>A</i>
<b> b.</b>Tính chu vi và diện tích của<i>ABC</i>
<b>Câu 14. Cho </b><i>ABC</i> biết <i>a</i>=40, <i>B</i>= 36 20, <i>C</i> = 73 . Tính <i>A</i> , cạnh <i>b</i>, <i>c</i> của tam giác đó.
<b>Câu 15. Cho </b><i>ABC</i> biết <i>a</i>=42, 4 m, <i>b</i>=36, 6 m, <i>C</i> = 33 10. Tính <i>A</i> , <i>B</i> và cạnh <i>c</i>.
<b>Câu 16. </b> Để lập đường dây cao thế từ vị trí <i>A </i>đến vị trí <i>B </i>, ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí <i>A </i>đến vị trí <i>C </i>dài 10 km rồi nối từ vị trí <i>C </i>thẳng đến vị trí <i>B </i>dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây <i>AC </i>và <i>CB </i>là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ <i>A </i>đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?
<b>Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sơng từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết </b>
87 ,
=
<i>CAB</i> <i>CBA</i>= 62 . Hãy tính khoảng cách <i>AC</i> và <i>BC</i>.
<b>Câu 18. </b>Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>BC</i>=<i>a</i>, <i>A</i>= và hai đường trung tuyến <i>BM CN</i>, vuông góc với nhau.
Tính <i>SABC</i>.
<b>Câu 19. </b>Cho tam giác <i>ABC</i>. Gọi <i>l l l<sub>a</sub></i>, ,<i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> lần lượt là độ dài các đường phân giác góc <i>A B C</i>, , . Chứng
minh rằng
<b>a)</b> 2 cos
2
=
+
<i>a</i>
<i>bc</i> <i>A</i>
<i>l</i>
<i>b c</i> .
<b>b)</b>
cos cos cos
1 1 1
2 <sub>+</sub> 2 <sub>+</sub> 2 <sub>= + +</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
<b>c) </b> 1 + + + +1 1 1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Câu 21. Cho tứ giác </b> <i>ABCD</i> nội tiếp đường trịn có <i>AB</i>=<i>a</i>, <i>BC</i>=<i>b</i>, <i>CD</i>=<i>c</i>, <i>DA</i>=<i>d</i>. Chứng minh
rằng: <i>SABCD</i> =
2
<i>a b c</i> <i>d</i>
<i>p</i>= + + + .
<b>Câu 22. </b> Cho tam giác <i>ABC</i> có ba cạnh là <i>a b c</i>, , chứng minh rằng
2 2 2
cos cos cos
.
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Câu 23. </b> Cho tam giác <i>ABC</i> có ba cạnh là <i>a b c</i>, , và 2
1,
<i>a</i>=<i>x</i> + +<i>x</i> <i>b</i>=2<i>x</i>+1, <i>c</i>=<i>x</i>2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.
<b>Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác </b><i>ABC</i> ta có
<b> a. </b>
2 2 2
cot<i>A</i>+cot<i>B</i>+cot<i>C</i>= <i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>R</i>
<i>abc</i> .
<b> b. </b>sin
− −
= <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>A</i>
<i>bc</i> .
<b>Câu 25. Tam giác </b><i>ABC</i> có tính chất gì khi 1
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>a b c</i>+ − <i>a</i>+ −<i>c b</i> .
<b>Câu 26. Cho tam giác </b> <i>ABC</i>. Gọi <i>R</i>, <i>r</i> lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng : 1
2
<i>r</i>
<i>R</i> .
<b>Câu 27. Cho tam giác </b><i>ABC</i>. Chứng minh rằng:
<b>a. </b>
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+
+
+
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i> .
<b>b. </b><sub>3</sub><i><sub>S</sub></i><sub>2</sub><i><sub>R</sub></i>2
16
+ +
<i>S</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Câu 29. Cho </b><i>ABC</i>. Chứng minh rằng 2 2 2
2 2 2
<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>ab</i>+ <i>bc</i>+ <i>ca</i>
<b>Câu 30. Trong các tam giác </b> <i>ABC</i> có chu vi là 2<i>p</i> khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.
<b>Câu 31. Cho tam giác</b><i>ABC</i>. Chứng minh rằng 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub>
<b>a.</b> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 3.
<i>b c</i>+ −<i>a</i>+<i>c</i>+ −<i>a b</i>+<i>a b c</i>+ −
<b>b.</b> 1 1 1 1.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> +<i>h</i> +<i>h</i> = <i>r</i>
<b>c.</b> <i>b</i><sub>2</sub> <sub>2</sub><i>c</i> <i>a</i><sub>2</sub> 1.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> +<i>h</i> +<i>h</i> <i>r</i>
<b>Câu 33. Cho tam giác </b><i>ABC</i> có 2 2 2
sin <i>B</i>+sin <i>C</i>=2 sin <i>A</i>. Chứng minh rằng <i>A</i> 60 .
<b>Câu 34. Cho tam giác </b><i>ABC</i> có
4 4 4
3 3 3
<i>a</i> +<i>b</i> =<i>c</i> . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.
36
<b>Câu 1.</b> Cho <i>ABC</i> có <i>a</i>=12,<i>b</i>=15,<i>c</i>=13.
<b>a.</b> Tính số đo các góc của <i>ABC</i>.
<b>b.</b> Tính độ dài các đường trung tuyến của <i>ABC</i>.
<b>c.</b> Tính <i>S</i>,<i>R</i>,<i>r</i>.
<b>d.</b> Tính <i>h<sub>a</sub></i>,<i>h<sub>b</sub></i>,<i>h<sub>c</sub></i>
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy </b></i>
<b>a.</b> Áp dụng định lí cosin trong <i>ABC</i> ta có:
2 2 2 2 2 2
15 13 12 25
cos 50 7
2 2.15.13 39
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>A</i> <i>A</i>
<i>bc</i>
+ − + − <sub></sub>
= = = .
2 2 2 2 2 2
12 13 15 11
cos 73 37
2 2.12.13 39
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>B</i> <i>B</i>
<i>ac</i>
+ − + − <sub></sub>
= = = .
2 2 2 2 2 2
12 15 13 5
cos 56 16
2 2.12.15 9
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>C</i> <i>C</i>
<i>ab</i>
+ − + − <sub></sub>
= = = .
<b>b.</b> Xét <i>ABC</i> ta có:
2 2. 2. 15 13 12
161 161
4 4
<i>a</i> <i>a</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>m</i> = + − = + − = <i>m</i> = .
2 2. 2. 12 13 15 401 401
4 4 4 2
<i>b</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>m</i> = + − = + − = <i>m</i> = .
2 2. 2. 12 15 13 569 569
4 4 4 2
<i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>m</i> = + − = + − = <i>m</i> = .
<b>c.</b> Xét <i>ABC</i> ta có:
12 15 13
20
2 2
<i>a b c</i>
<i>p</i>= + + = + + = .
<i>S</i> = <i>p p a</i>− <i>p b</i>− <i>p c</i>− = = (đvdt).
Mà r 20 14 14
20
<i>S</i>
<i>S</i> <i>p</i> <i>r</i>
<i>p</i>
= = = = .
Ta có 12.15.13 117
4R 4S 4.20 14 4 14
<i>abc</i> <i>abc</i>
<i>S</i> = =<i>R</i> = = .
<b>d.</b> Xét <i>ABC</i> ta có:
1 2S 2.20 14 10 14
.
2 <i>a</i> <i>a</i> 12 3
<i>S</i> <i>a h</i> <i>h</i>
<i>a</i>
1 2S 2.20 14 8 14
.
2 <i>b</i> <i>b</i> 15 3
<i>S</i> <i>b h</i> <i>h</i>
<i>b</i>
= = = = .
1 2S 2.20 14 40 14
.
2 <i>c</i> <i>c</i> 13 13
<i>S</i> <i>c h</i> <i>h</i>
<i>c</i>
= = = = .
<b>Câu 2.</b> Cho <i>ABC</i> có <i>AB</i>=6, <i>AC</i>=8, góc <i>A</i>=120.
<b>a.</b> Tính diện tích <i>ABC</i>.
<b>b.</b> Tính cạnh <i>BC</i> và bán kính <i>r</i>.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy </b></i>
<b>a.</b> Xét <i>ABC</i> ta có:
1 1 3
.sin A .6.8. 12 3
2 2 2
<i>S</i> = <i>bc</i> = = (đvdt).
<b>b.</b> Áp dụng định lí cosin trong <i>ABC</i> ta có:
2 2 2 2 2 1
2. . .cos 6 8 2.6.8. 148 148 2 37
2
<i>BC</i> =<i>AB</i> +<i>AC</i> − <i>AB AC</i> <i>A</i>= + − − = <i>BC</i>= = .
Ta có . . . . 6.8. 148 2 111
4R 4S 4.12 3 3
<i>AB AC BC</i> <i>AB AC BC</i>
<i>S</i> = =<i>R</i> = = .
<i><b> </b></i>
<b>Câu 3.</b> Cho <i>ABC</i> có <i>a</i>=8,<i>b</i>=10,<i>c</i>=13
a) <i>ABC</i> có góc tù hay khơng?
b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp <i>ABC</i>.
c) Tính diện tích <i>ABC</i>.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:</b><b>Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. </b></i>
a) Vì <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>nên <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> .
Ta có
2 2 2
0
1
cos 91 47 '
2 32
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>C</i> <i>C</i>
<i>ab</i>
+ −
= = −
Vậy <i>ABC</i> có góc <i>C</i> là góc tù.
b) Gọi <i>R</i> là bán kính đường tròn ngoại tiếp <i>ABC</i>.
Theo định lý sin :
2 2
13 208
2 6,5
sinC 2sinC 2 1 cos <sub>1</sub> 1023
2 1
32
<i>c</i> <i>c</i> <i>c</i>
<i>R</i> <i>R</i>
<i>C</i>
= = = = =
− <sub></sub> <sub></sub>
− −<sub></sub> <sub></sub>
(đvđd)
c) Áp dụng cơng thức Hê - rơng, ta có:
( )( )( )
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>p p</i>−<i>a p b p c</i>− −
Với 31
2 2
<i>a b c</i>
<i>p</i>= + + =
Do đó 31 31 8 31 10 31 13 25575 5 1023 40
2 2 2 2 16 4
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <sub></sub> − <sub></sub> − <sub></sub> − <sub></sub>= =
(đvdt)
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:</b><b>Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. </b></i>
Ta có: <i>C</i> =180 −(<i>A</i>+<i>B</i>)=75
Từ định lí sin: 2
sin
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>R</i>
<i>sinA</i> =<i>sinB</i> = <i>C</i> =
⇒ sin 2sin 60 6
sin 45
<i>b</i> <i>A</i>
<i>a</i>
<i>sinB</i>
= = =
;
sinC 2sin 75
1 3
sin 45
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>sinB</i>
= = = +
2
2
2 2sin 45
<i>b</i>
<i>R</i>
<i>sinB</i>
= = =
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có:
1 1 2 3 3
sin 6 1 3
2 2 2 2
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>ac</i> <i>B</i>= + = + (đvdt).
<i><b>, </b></i>
<b>Câu 5.</b> Cho tam giác <i>ABC</i>có <i>AC</i>=7, <i>AB</i>=5, <i>BAC</i>= 60 . Tính <i>BC S</i>, <i>ABC</i>, <i>h Ra</i>, .
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn </b></i>
2 2 2
2 . .cos
= + −
<i>BC</i> <i>AB</i> <i>AC</i> <i>AB AC</i> <i>BAC</i> =72+52−2.7.5.cos 60 =39<i>BC</i>= 39.
1. . .sin
2
<i>ABC</i> =
<i>S</i> <i>AB AC</i> <i>BAC</i> 1.5.7.sin 60 35 3.
2 4
= =
1. . 2.
2
<i>ABC</i> = <i>a</i> <i>a</i> = <i>ABC</i>
<i>S</i>
<i>S</i> <i>BC h</i> <i>h</i>
<i>BC</i>
35 13
.
26
=
2
sin = = 2sin
<i>BC</i> <i>BC</i>
<i>R</i> <i>R</i>
<i>A</i> <i>A</i> = 13.
<b>Câu 6.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>mb</i>=4,<i>mc</i>=2,<i>a</i>=3. Tính độ dài các cạnh <i>AB AC</i>, .
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn </b></i>
Có <i>AB</i>=<i>c AC</i>, =<i>b</i>
2 2 2 2 2
2 2( ) 2(9 )
16
4 4
+ − + −
= =
<i>b</i>
<i>a</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>m</i> 2 2
2 46
<i>c</i> − =<i>b</i> <sub> (1) </sub>
2 2 2
2 2( )
4
+ −
=
<i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>m</i>
2 2 2
2(3 )
4
4
+ −
= <i>b</i> <i>c</i> 2 2
2 2
<i>b</i> − = −<i>c</i> <sub> (2) </sub>
Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được
2
2
14 14
30 30
= =
<sub></sub>
<sub>=</sub> <sub>=</sub>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>c</i> <i>c</i>
Vậy
14
30
=
<sub>=</sub>
<i>AC</i>
<i>AB</i> .
<i><b> </b></i>
<b>Câu 7.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>AB</i>=3,<i>AC</i>=4 và diện tích <i>S</i> =3 3. Tính cạnh <i>BC</i>.
<i><b>Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi </b></i>
Ta có <i>S</i> =3 3 1 . .sin
2<i>AB AC</i> <i>BAC</i>
=3 3 sin 3
2
<i>BAC</i>
= 60
120
<i>BAC</i>
<i>BAC</i>
<sub>=</sub> <sub></sub>
+ TH1: <i>BAC</i>=60
Theo định lí cơsin trong tam giác, ta có:
2 2
2 . .cos 60
<i>BC</i>= <i>AB</i> +<i>AC</i> − <i>AB AC</i> = 9 16 12+ − = 13.
+ TH2: <i>BAC</i>=120
2 2
2 . .cos120
<i>BC</i>= <i>AB</i> +<i>AC</i> − <i>AB AC</i> = 9 16 12+ + = 37.
Vậy <i>BC</i>= 13 hoặc <i>BC</i>= 37.
<i><b>, </b></i>
<b>Câu 8. </b> Tính bán kính đường trịn nội tiếp <i>ABC</i> biết <i>AB</i> =2,<i>AC</i> =3,<i>BC</i>=4.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui </b></i>
Ta có ,
2
9
2
2
3
4
2 =
+
+
=
+
+
=<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>p</i>
= <i>p</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>p</i> <i>b</i> <i>p</i> <i>c</i>
<i>S</i> .
.
6
15
2
9
:
4
15
3
=
=
=
=
<i>p</i>
<i>S</i>
<i>r</i>
<i>pr</i>
<i>S</i>
<b>Câu 9. </b>Tínhh góc A của <i>ABC</i><sub> có các cạnh </sub><i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i><sub> thỏa mãn hệ thức </sub><i>b</i>
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui </b></i>
Ta có <i>b</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>bc</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>b</i> <i>bc</i> <i>c</i> <i>a</i>
.
60
2
1
cos
cos
2
0
0
2
2
2
2
2
2
=
=
=
=
<b>Câu 10.</b> Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a.
2 2 2
2 2 2
tan A c a b
tan B c b a
+ −
=
+ −
b. c2 (a b)2 4S.1 cos C
sin C
−
= − +
c. 2
S=2R .sin A.sin B.sin C
d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2
2
= −
f.sin A 2 p(p a)(p b)(p c)
bc
= − − − Cho ….
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong. </b></i>
a. VP=2 cos cos 2 sin cos
2 cos cos 2 sin cos
<i>ac</i> <i>B</i> <i>a</i> <i>B</i> <i>R</i> <i>A</i> <i>B</i>
<i>bc</i> <i>A</i>=<i>b</i> <i>A</i> = <i>R</i> <i>B</i> <i>A</i>
tan A
tan B
= = VT
b.VP= 2 2 1 (1 cos C)
a b 2ab 4. ab sin C
2 sin C
−
+ − + = 2 2 2
2 cos
<i>a</i> +<i>b</i> − <i>ab</i> <i>C</i>=<i>c</i> =<i>VT</i>.
c. Ta có 1 sin 1.2 sin .2 sin .sin 2 2.sin sin sin .
2 2
<i>S</i>= <i>ab</i> <i>C</i>= <i>R</i> <i>A R</i> <i>B</i> <i>C</i>= <i>R</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> (Điều phải chứng
minh)
d.S 1 AB .AC2 2 (AB.AC )2
2
= − 1 2 2 2
S AB .AC (AB.AC.cos A)
2
= −
2 2 2
1
S AB .AC (1 cos A)
2
= − S 1AB.AC.sin A
2
= (luôn đúng)Điều phải chứng minh.
e. VP=
2 2 2 2 2 2
b(a b c ) c(a c b )
2ab 2ac
+ − <sub>+</sub> + − <sub>= a = VT . Suy ra điều phải chứng minh </sub>
f. 2 . 2 1. sin sin .
2
<i>VP</i> <i>S</i> <i>bc</i> <i>A</i> <i>A VT</i>
<i>bc</i> <i>bc</i>
= = = = Điều phải chứng minh.
<b>Câu 11. </b>Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR
a.MA2+MB2+MC2 =GA2+GB2+GC2+3GM2
b.4(m<sub>a</sub>2+m2<sub>b</sub>+m )<sub>c</sub>2 =3(a2+b2+c )2 .
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Dung Phuong; Fb: Dung Phuong. </b></i>
a.
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(GA GM) (GB GM) (GC GM) GA GB GC 3GM 2GM(GA GB GC)
GA GB GC 3GM 2GM.0 GA GB GC 3G
VT
M VP
− + − + − = + + + − + +
= + + + − + + +
=
= =
b.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
VT 2b 2c a 2a 2c b 2b 2a c
3(a b c ) VP
= + − + + − + + −
= + + =
<i><b>, </b></i>
<b>Câu 12.</b> Cho <i>ABC</i> có <i>b</i>+ =<i>c</i> 2<i>a</i>. Chúng minh rằng
<b>a. </b>sin<i>B</i>+sin<i>C</i>=2sin<i>A</i><b>. </b>
<b>b.</b> 2 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> = <i>h</i> + <i>h</i> <b>.</b>
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe </b></i>
<b>a. </b>Áp dụng định lí Sin cho <i>ABC</i> ta có: 2
sin sin sin
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>R</i>
<i>A</i> = <i>B</i> = <i>C</i> = .
Suy ra: <i>a</i>=2 .sin<i>R</i> <i>A</i>, <i>b</i>=2 .sin<i>R</i> <i>B</i>, <i>c</i>=2 .sin<i>R</i> <i>C</i>
2
<i>b</i>+ =<i>c</i> <i>a</i> 2 .sin<i>R</i> <i>B</i>+2 .sin<i>R</i> <i>C</i>=2.2 .sin<i>R</i> <i>A</i> sin<i>B</i>+sin<i>C</i>=2sin<i>A</i> (điều phải chứng
minh)
<b>b. </b>Gọi <i>S</i> tính diện tích <i>ABC</i> ta có: 1 . 1 . 1 .
2 <i>a</i> 2 <i>b</i> 2 <i>c</i>
<i>S</i> = <i>a h</i> = <i>b h</i> = <i>c h</i>
Suy ra: 2
<i>a</i>
<i>S</i>
<i>a</i>
<i>h</i>
= , 2
<i>b</i>
<i>S</i>
<i>b</i>
<i>h</i>
= , 2
<i>c</i>
<i>S</i>
<i>c</i>
<i>h</i>
= .
Theo giả thiết ta có:
2
<i>b</i>+ =<i>c</i> <i>a</i> 2 2 2.2
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>S</i> <i>S</i> <i>S</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
+ = 2 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
= + (điều phải chứng minh)
<b>Câu 13.</b> Cho <i>ABC</i> biết <i>A</i>
<b>a. </b>Tính các cạnh và các góc của <i>ABC</i>.
<b>b.</b>Tính chu vi và diện tích của<i>ABC</i>
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:Lê Thị Liên ; Fb:LienLe </b></i>
<b>a. </b>Ta có: <i>AB</i>= −
Suy ra:
2
2
4 3 4 8
<i>AB</i>= − + = ,
2
2
4 3 4 8
<i>AC</i> = + = ,
2
2
8 3 0 8 3
<i>BC</i> = + =
2 2
2 2 2 8 8 8 3
1
cos
2 2.8.8 2
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>A</i>
<i>bc</i>
+ −
+ −
= = = − =<i>A</i> 120
Do <i>AB</i>= <i>AC</i>=8 nên <i>ABC</i> cân tại <i>A</i> suy ra: <i>B</i>= = <i>C</i> 30 .
<b>b.</b> Chu vi <i>ABC</i> bằng <i>AB</i>+<i>AC</i>+<i>BC</i>=16 8 3+ .
Diện tích <i>ABC</i> bằng 1. .sin 1.8.8.sin120 16 3
2 2
<i>S</i> = <i>bc</i> <i>A</i>= = .
<i><b> </b></i>
<b>Câu 14.</b> Cho <i>ABC</i> biết <i>a</i>=40, <i>B</i>= 36 20, <i>C</i> = 73 . Tính <i>A</i> , cạnh <i>b</i>, <i>c</i> của tam giác đó.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả : Trần Luật, FB: Trần Luật </b></i>
Ta có
180
<i>A</i> +<i>B</i> +<i>C</i> = <i>A</i> =180 −
sin 40sin 36 20
25,12
sin sin 70 40
sin 40sin 73
sin sin sin
40, 68
sin sin 70 40
<i>a</i> <i>B</i>
<i>b</i> <i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i><sub>A</sub></i>
<i>a</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>c</i> <i>c</i>
<i>A</i>
<sub>=</sub> <sub>=</sub> <sub></sub>
= = <sub></sub> <sub></sub>
<sub>=</sub> <sub>=</sub> <sub></sub>
.
<b>Câu 15.</b> Cho <i>ABC</i> biết <i>a</i>=42, 4 m, <i>b</i>=36, 6 m, <i>C</i> = 33 10. Tính <i>A</i> , <i>B</i> và cạnh <i>c</i>.
<b>Lời giải </b>
Áp dụng định lý cơsin trong tam giác <i>ABC</i> có <i>c</i>2 =<i>a</i>2+<i>b</i>2−2<i>ab</i>cos<i>C</i>
2 2 2
42, 4 36,6 2.42, 4.36,6.cos33 10
<i>c</i>
= + − 2
539, 28 23, 22
<i>c</i> <i>c</i> .
Ta có sin sin sin 42, 4sin 33 10 87 40
sin sin 23, 22
<i>a</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>C</i>
<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>C</i> <i>c</i>
<sub></sub>
Mặt khác ta lại có
180
<i>A</i> +<i>B</i> +<i>C</i> = <i>B</i> =180 −
<i><b> </b></i>
<i><b> </b></i>
<b>Câu 16. </b> Để lập đường dây cao thế từ vị trí <i>A </i>đến vị trí <i>B </i>, ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải
nối thẳng đường dây từ vị trí <i>A </i>đến vị trí <i>C </i>dài 10 km rồi nối từ vị trí <i>C </i>thẳng đến vị trí <i>B </i>dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây <i>AC </i>và <i>CB </i>là 75. Hỏi so với việc nối thẳng từ <i>A </i>đếnngười ta tốn
thêm bao nhiêu km dây?
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác gi</b><b>ả</b><b>: T</b><b>ạ</b><b> Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa </b></i>
Ta có <i>AC</i>=10,<i>BC</i>=8,<i>ACB</i>=75.
Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC:
2 2 2 2 2
2 . .cos 2 . .cos
= + − = + −
<i>AB</i> <i>BC</i> <i>CA</i> <i>BC CA</i> <i>C</i> <i>AB</i> <i>BC</i> <i>CA</i> <i>BC CA</i> <i>C</i>
2 2
8 10 2.8.10.cos 75 11, 072
= + − <i>km</i>.
Số dây tốn thêm là: 10 8 11, 072+ − 6, 928<i>km</i>.
<b>Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sơng. Biết </b>
87 ,
=
<i>CAB</i> <i>CBA</i>= 62 . Hãy tính khoảng cách <i>AC</i> và <i>BC</i>.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác gi</b><b>ả</b><b>: T</b><b>ạ</b><b> Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa </b></i>
Ta có <i>C</i>=180 − − = 87 62 31 .
500
sin =sin =sin sin 31 =sin 62=sin 87
<i>AB</i> <i>AC</i> <i>BC</i> <i>AC</i> <i>BC</i>
<i>C</i> <i>B</i> <i>A</i>
857,167
969, 472
<sub></sub>
<i>AC</i> <i>m</i>
<i>BC</i> <i>m</i> .
<i><b> </b></i>
<b>Câu 18. </b>Cho tam giác <i>ABC</i> có <i>BC</i>=<i>a</i>, <i>A</i>= và hai đường trung tuyến <i>BM CN</i>, vng góc với
nhau. Tính <i>S<sub>ABC</sub></i>.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giải: Đinh Văn Vang; fb:Tuan Vu </b></i>
Hai đường trung tuyến <i>BM CN</i>, vuông góc với nhau tại trọng tâm <i>G</i> nên ta có
2+ 2 = 2
<i>GB</i> <i>GC</i> <i>BC</i>
2 2
2
2 2
3 3
<sub></sub> <sub></sub> +<sub></sub> <sub></sub> =
<i>BM</i> <i>CN</i> <i>BC</i>
2 2 2 2 2 2
2
4
9 2 4 2 4
+ +
<sub></sub> − + − <sub></sub>=
<i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>c</i>
<i>a</i>
2 2 2
5
+ =
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> .
Mặt khác 2 2 2 2
2 cos 2 cos 4
= + − =
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>bc</i> <i>A</i> <i>bc</i> <i>A</i> <i>a</i> 4 cot<i>S</i> =4<i>a</i>2 =<i>S</i> <i>a</i>2. tan.
Vậy diện tích tam giác <i>ABC</i> là 2<sub>.tan</sub>
<i>ABC</i> =
<i>S</i> <i>a</i> .
<b>Câu 19. </b>Cho tam giác <i>ABC</i>. Gọi <i>l l l<sub>a</sub></i>, ,<i><sub>b</sub></i> <i><sub>c</sub></i> lần lượt là độ dài các đường phân giác góc <i>A B C</i>, , . Chứng
minh rằng
a) 2 cos
2
=
+
<i>a</i>
<i>bc</i> <i>A</i>
<i>l</i>
<i>b c</i> .
b)
cos cos cos
1 1 1
2 <sub>+</sub> 2 <sub>+</sub> 2 <sub>= + +</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
c) 1 + + + +1 1 1 1 1
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> .
<b>Lời giải </b>
a) Ta chứng minh được sin 2 sin cos
2 2
= <i>A</i> <i>A</i>
<i>A</i> .
Mặt khác <i>S</i><sub></sub><i>ABC</i> =<i>S</i><sub></sub><i>ABD</i>+<i>S</i><sub></sub><i>ACD</i>
1 1 1
sin sin sin
2 2 2 2 2
= <i>a</i> + <i>a</i>
<i>A</i> <i>A</i>
<i>bc</i> <i>A</i> <i>l c</i> <i>bl</i>
1 1
.2sin co s sin .
2 2 2 2 2
<i>bc</i> <i>A</i> <i>A</i>= <i>l<sub>a</sub></i> <i>A</i> <i>b c</i>+ 2 co s
2
=
+
<i>a</i>
<i>bc</i> <i>A</i>
<i>l</i>
<i>b c</i>
b )
cos
1 1
2
2 2 2
+
= = +
<i>a</i>
<i>A</i>
<i>b c</i>
<i>l</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>c</i>
Tương tự ta có
cos
1 1
2
2 2
= +
<i>b</i>
<i>B</i>
<i>l</i> <i>a</i> <i>c</i> và
cos
1 1
2
2 2
= +
<i>c</i>
<i>C</i>
<i>l</i> <i>b</i> <i>a</i>
Suy ra
cos cos cos
1 1 1
2 <sub>+</sub> 2 <sub>+</sub> 2 <sub>= + +</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> (dpcm).
c) Ta có
cos cos cos
1 1 1
2 <sub>+</sub> 2 <sub>+</sub> 2 <sub> + +</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>l</i>
Mà
cos cos cos
1 1 1
2 <sub>+</sub> 2 <sub>+</sub> 2 <sub>= + +</sub>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
1 1 1 1 1 1
+
+ + +
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>l</i> <i>l</i> <i>l</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> (đpcm)
<i><b> </b></i>
<b>Bài 20.</b> Cho tam giác <i>ABC</i>. Gọi <i>m<sub>a</sub></i>, <i>m<sub>b</sub></i>, <i>m<sub>c</sub></i> lần lượt là độ dài các đường trung tuyến đi qua <i>A</i>, <i>B</i>, <i>C</i>
,
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>
<i>m</i>= + + . Chứng minh rằng: 4
3
<i>ABC</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>m m m</i>− <i>m m</i>− <i>m m</i>− .
<b>Lời giải </b>
Gọi <i>D</i> là điểm đối xứng của <i>A</i> qua trọng tâm <i>G</i>. <i>P</i> là trung điểm của <i>BC</i>, suy ra tứ giác
<i>GCDB</i> là hình bình hành (do hai đường chéo <i>GD</i> và <i>BC</i> cắt nhau tại trung điểm <i>P</i> của mỗi
đường).
<i>A</i>
<i>B</i> <i>C</i>
Ta có: 2 1
<i>GBD</i> <i>GBP</i> <i>GBC</i> <i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>S</i><sub></sub> =<i>S</i><sub></sub> = <i>S</i><sub></sub> .
Mà <i>GBD</i> có độ dài các cạnh 2
3 <i>b</i>
<i>BG</i>= <i>m</i> , 2
3 <i>a</i>
<i>GD</i>= <i>AG</i>= <i>m</i> , 2
3 <i>c</i>
<i>BD</i>=<i>GC</i>= <i>m</i> .
Nửa chu vi 1 2.
2 3 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 3
<i>p</i>= <i>m</i> +<i>m</i> +<i>m</i> = <i>m</i> .
2
2
3
<i>GBD</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i><sub></sub> <i>m m m</i> <i>m m</i> <i>m m</i>
=<sub> </sub> − − −
( công thức Hê-rông ) .
4
3
3
<i>ABC</i> <i>GBD</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i><sub></sub> <i>S</i><sub></sub> <i>m m m</i> <i>m m</i> <i>m m</i>
= = − − − ( ĐPCM).
<b>Câu 21.</b> Cho tứ giác <i>ABCD</i> nội tiếp đường trịn có <i>AB</i>=<i>a</i>, <i>BC</i>=<i>b</i>, <i>CD</i>=<i>c</i>, <i>DA</i>=<i>d</i>. Chứng minh
rằng: <i>S<sub>ABCD</sub></i> =
2
<i>a b c</i> <i>d</i>
<i>p</i>= + + + .
<b>Lời giải </b>
Do tứ giác <i>ABCD</i> nội tiếp đường tròn nên sin<i>ABC</i>=sin<i>ADC</i>, cos<i>ABC</i>= −cos<i>ADC</i>.
1 1
sin 1 cos
2 2
<i>ABCD</i> <i>ABC</i> <i>ADC</i>
<i>S</i> =<i>S</i> +<i>S</i> = <i>ab dc</i>+ <i>ABC</i>= <i>ab dc</i>+ − <i>ABC</i>.
Trong <i>ABC</i> ta có: <i>AC</i>2 =<i>a</i>2+ −<i>b</i>2 2<i>ab</i>cos<i>ABC</i>.
Trong <i>ADC</i> ta có: <i>AC</i>2 =<i>c</i>2+<i>d</i>2−2<i>cd</i>cos<i>ADC</i>.
2 2 2 2
2 cos 2 cos
<i>a</i> <i>b</i> <i>ab</i> <i>ABC</i> <i>c</i> <i>d</i> <i>cd</i> <i>ADC</i>
+ − = + −
2 2 2 2
cos
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>ABC</i>
<i>ab cd</i>
+ − +
=
Do đó:
2
2 2 2 2
1
1
2 2
<i>ABCD</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>d</i>
<i>S</i> <i>ab dc</i>
<i>ab cd</i>
<sub>+</sub> <sub>−</sub> <sub>+</sub>
= + −
+
.
=
2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
1
4
4 <i>ab cd</i>+ − <i>a</i> +<i>b</i> − <i>c</i> +<i>d</i> .
2 2
4
= <sub></sub> <i>ab cd</i>+ − <i>a</i> +<i>b</i> + <i>c</i> +<i>d</i> <sub> </sub> <i>ab cd</i>+ + <i>a</i> +<i>b</i> − <i>c</i> +<i>d</i> <sub></sub> .
=1
4
<sub>+</sub> <sub>−</sub> <sub>−</sub> <sub>+</sub> <sub>− −</sub>
<i>c</i> <i>d</i> <i>a b</i> <i>a b</i> <i>c d</i> .
2 2 2 2
<i>a b c</i>+ + −<i>d</i> <i>a b c</i>+ − +<i>d</i> <i>a b c</i>− + +<i>d</i> − + + +<i>a b c</i> <i>d</i>
= <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>.
= − − − − với
2
<i>p</i>= + + + ( ĐPCM).
<i><b> </b></i>
<b>Câu 22.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có ba cạnh là <i>a b c</i>, , chứng minh rằng
2 2 2
cos cos cos
.
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
+ + <sub>=</sub> <sub>+</sub> <sub>+</sub>
<b>Lời giải </b>
Ta có:
2 2 2
2 . 2 . 2 .
<i>AB</i> <i>BC</i> <i>CA</i> <i>BA BC</i> <i>CB CA</i> <i>AB AC</i>
+ + = + + .
2 2 2
2 cos 2 cos 2 cos
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>ac</i> <i>B</i> <i>ab</i> <i>C</i> <i>bc</i> <i>A</i>
+ + = + + .
2 2 2
cos cos cos
.
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
+ +
= + +
<b>Câu 23.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có ba cạnh là <i>a b c</i>, , và <i>a</i>=<i>x</i>2+ +<i>x</i> 1, <i>b</i>=2<i>x</i>+1, <i>c</i>=<i>x</i>2−1 chứng minh
rằng tam giác có một góc bằng 120.
<b>Lời giải </b>
Điều kiện , ,<i>a b c</i> là ba cạnh của tam giác khi và chỉ khi:
2
2 2
1 0
2 1 0 1
1 2 1 1
<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
−
+
− + + + +
.
Với <i>x</i>1 thì <i>a</i><i>b</i> và <i>a</i><i>c</i> nên a là cạnh lớn nhất.
Tính
2 2
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2 2 2
2
2 1 1 1
cos
2 2 2 1 1
+ + − − + +
+ −
= =
+ −
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>A</i>
<i>bc</i> <i>x</i> <i>x</i> .
2 <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub> <sub>2</sub>
2
2 1 1 1 1 1
2 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
+ + − + + + − − − −
=
2 <sub>2</sub>
2
2 1 2 2
2 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
+ − + +
=
+ −
2 1 2 1 2
2 2 1 1
<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
+ <sub></sub> + − + <sub></sub>
=
+ −
2
2
1 1
2
2 1
<i>x</i>
<i>x</i>
− −
= = −
− .
120
=<i>A</i> .
<i><b>GV PB: , </b></i>
<b>a.</b>
2 2 2
cot<i>A</i>+cot<i>B</i>+cot<i>C</i>=<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>R</i>
<i>abc</i> .
<b>b. </b>sin
− −
= <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>A</i>
<i>bc</i> .
<b>Lời giải </b>
<i><b>FB: Nguyễn Ngọc Diệp </b></i>
<b>a. </b>Chứng minh:
2 2 2
cot<i>A</i>+cot<i>B</i>+cot<i>C</i>= <i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>R</i>
Theo định lí sin : 2 sin
sin = =2
<i>a</i> <i>a</i>
<i>R</i> <i>A</i>
<i>A</i> <i>R</i> (1)
Theo định lí cosin :
2 2 2
2 2 2
2 .cos cos
2
+ −
= + − =<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>bc</i> <i>A</i> <i>A</i>
<i>bc</i> (2)
Từ (1) và (2)
2 2 2
cos
cot
sin
+ −
<i>A</i>= <i>A</i>= <i>R b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>A</i> <i>abc</i> .
Tương tự:
2 2 2
cot<i>B</i>= <i>R a</i> + −<i>c</i> <i>b</i>
<i>abc</i> ,
cot<i>C</i>= <i>R a</i> +<i>b</i> −<i>c</i>
<i>abc</i> .
Khi đó:
<i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i> <i>abc</i>
<b>b. </b>Chứng minh: sin
2
− −
= <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>A</i>
<i>bc</i> .
Gọi <i>O</i> là tâm đường tròn nội tiếp tam giác <i>ABC</i>. Ta có: ,
2
+ −
= = <i>AB</i> <i>AC</i> <i>BC</i> = −
<i>OE</i> <i>r AE</i> <i>p</i> <i>a</i>.
Tam giác <i>AOE</i> vuông tại <i>E</i> nên: tan
2= = − = − 2
<i>A</i> <i>OE</i> <i>r</i> <i>A</i>
<i>r</i> <i>p a</i>
<i>AE</i> <i>p a</i> .
Mặt khác 1 sin sin cos
2 2 2
<i>ABC</i> = = =
<i>A</i> <i>A</i>
<i>S</i> <i>pr</i> <i>bc</i> <i>A</i> <i>bc</i>
<i><b>C</b></i>
<i><b>B</b></i>
<i><b>A</b></i>
. sin cos tan sin cos sin
2 2 2 2 2 2
= = − = − <sub></sub> <sub></sub>
<i>ABC</i>
<i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i> <i>A</i>
<i>S</i> <i>pr bc</i> <i>p p a</i> <i>bc</i> <i>p p a bc</i> (1)
Công thức Hê rông: <i>S</i><sub></sub><i><sub>ABC</sub></i> = <i>p p a</i>
Từ (1) và (2)
2
sin sin .
2 2
− −
− <sub></sub> <sub></sub> = − − − =
<i>p b</i> <i>p</i> <i>c</i>
<i>A</i> <i>A</i>
<i>p p</i> <i>a bc</i> <i>p p</i> <i>a</i> <i>p b</i> <i>p</i> <i>c</i>
<i>bc</i>
<b>Câu 25.</b> Tam giác <i>ABC</i> có tính chất gì khi 1
4
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>a b c</i>+ − <i>a c b</i>+ − .
<b>Lời giải </b>
Ta có:
2
<i>a b c</i>
<i>p</i>= + +
1
4
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>a b c</i>+ − <i>a c b</i>+ − 4<i>S</i><sub></sub><i><sub>ABC</sub></i> =
4
<i>p p a</i>− <i>p b</i>− <i>p c</i>− = <i>a b c</i>+ − <i>a c b</i>+ −
16
<i>p p</i>−<i>a</i> <i>p b</i>− <i>p c</i>− = <i>a b c</i>+ − <i>a</i>+ −<i>c b</i>
16. .
2 2 2 2
+ + + + + + + +
<sub></sub> − <sub></sub> − <sub></sub> − <sub></sub>= + − + −
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>c</i> <i>b</i>
+ +<i>a b c b c a</i>+ − <i>a</i>+ −<i>c b</i> <i>a b c</i>+ − = <i>a b c</i>+ − <i>a</i>+ −<i>c b</i>
<i>a</i>+ +<i>b</i> <i>c b</i>+ −<i>c</i> <i>a</i> = <i>a</i>+ −<i>b c</i> <i>a</i>+ −<i>c b</i>
<i>b c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>b c</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
+ − = − − + = .
Vậy tam giác <i>ABC</i> vuông tại <i>A</i>.
<i><b> </b></i>
<b>Câu 26.</b> Cho tam giác <i>ABC</i>. Gọi <i>R</i>, <i>r</i> lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
Chứng minh rằng : 1
2
<i>r</i>
<i>R</i> .
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh </b></i>
Ta có <i>r</i> <i>S</i>
<i>p</i>
= ,
2 <sub>4</sub> <sub>4</sub>
4
4
<i>p p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>abc</i> <i>r</i> <i>S</i>
<i>R</i>
<i>S</i> <i>R</i> <i>pabc</i> <i>pabc</i> <i>abc</i>
− − − − − −
= = = = .
Mà
2 2
<i>p a b</i> <i>c</i>
<i>p a</i>− <i>p b</i>− − − = .
2 2
<i>p a c</i> <i>b</i>
<i>p a</i>− <i>p c</i>− − − = ;
2 2
<i>p b c</i> <i>a</i>
<i>p b</i>− <i>p c</i>− − − =
.
8 2
<i>abc</i> <i>r</i>
<i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>R</i>
− − −
Dấu bằng xảy ra khi <i>a</i>= =<i>b</i> <i>c</i>.
<i><b>PB: Fb Bích Ngọc Đặng </b></i>
a.
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+ <sub></sub> <sub>+</sub>
+
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i> .
b. <sub>3</sub><i><sub>S</sub></i> <sub>2</sub><i><sub>R</sub></i>2
c. <i>p</i> <i>p a</i>− + <i>p b</i>− + <i>p c</i>− 3<i>p</i>.
d. 2 1
16
+ +
<i>S</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<b>Lời giải </b>
<i><b> </b></i>
a.
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+
+
+
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
1 sin 1 sin 1
1 cot 1 cot 2
sin sin 2
− + −
+ + + −
+
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
2 2 2 2
2 sin sin <sub>1</sub> <sub>1</sub> <sub>1</sub>
1
sin sin 2 sin sin
− + <sub></sub> <sub></sub>
<sub></sub> + <sub></sub>−
+
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
2 2 2 2
2 1 1 1
1 1
sin sin 2 sin sin
− <sub></sub> + <sub></sub>−
+
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
2 2
1 1
4 sin sin
sin sin
<sub></sub> + <sub></sub> +
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin 2 sin .sin
1 1
sin sin 4
1 1 1 1 <sub>sin</sub> <sub>sin</sub>
2 .
sin sin sin sin
+
<sub></sub> <sub>+</sub> <sub>+</sub> <sub></sub>
<sub></sub> <sub></sub>
+
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>A</i> <i>B</i>
Dấu = xảy ra
2 2
2 2
sin sin
1 1
sin sin
=
<sub></sub> =
=
b. 2
3<i>S</i> 2<i>R</i> sin <i>A</i>+sin <i>B</i>+sin <i>C</i> , áp dụng định lí sin 2
sin =sinB =sinC=
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>R</i>
<i>A</i>
3 3 3
2
3 3 3
3
2
4 8 8 8
<sub></sub> + + <sub></sub>
<i>abc</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>R</i>
<i>R</i> <i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>
3 3 3
3
<i>abc</i><i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> (ln đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số <i>a b c</i>3, 3, 3 được
3
3 3 3 3 3 3
3 . . 3
+ + =
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a b c</i> <i>abc</i>)
Dấu = xảy ra <i>a</i>3 =<i>b</i>3 =<i>c</i>3 = =<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
c. + Ta có
+ Áp dụng bất đẳng thức
− + − + − − + − + − = − + + =
<i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p</i> <i>a b c</i> <i>p</i>
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được
2 2 2
1 1 1 3
− + − + − + + − + − + − =
<i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p</i>
3
<i>p a</i>− + <i>p b</i>− + <i>p c</i>− <i>p</i>
Dấu = xảy ra − = − = − = =<i>p</i> <i>a</i> <i>p b</i> <i>p</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>.
d. Ta có
2
2 = − − − = − − −
<i>S</i> <i>p p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
2 2 2 2
+ + + − − + − + +
= <sub></sub><i>a b c</i><sub></sub><i>a b c</i><sub></sub><i>a b c</i><sub></sub> <i>a b c</i><sub></sub>
16
= <sub></sub> <i>b c</i>+ −<i>a</i> <sub> </sub><i>a</i> − −<i>b c</i> <sub></sub>
1 1 1 1
2 2 2 2 2
16 16 16 16
<sub></sub> <i>b c</i>+ −<i>a</i> <sub></sub><i>a</i> = <i>b</i> + <i>bc c</i>+ −<i>a</i> <i>a</i> <i>b</i> + <i>c</i> −<i>a</i> <i>a</i> = <i>b a</i> + <i>c a</i> −<i>a</i>
1 1
.
16 16
<i>b</i> +<i>a</i> + +<i>c</i> <i>a</i> −<i>a</i> = <i>b</i> + +<i>c</i> <i>a</i>
Dấu = xảy ra
=
<sub></sub> = = =
=
<i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>c</i>
.
<b>Bài 28.</b> Cho <i>ABC</i>. Chứng minh rằng 1
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>a</i> <i>B b</i>+ <i>A</i>
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn </b></i>
Gọi <i>C</i> là điểm đối xứng với <i>C</i> qua đường thẳng <i>AB</i>, <i>H</i>=<i>CC</i><i>AB</i>
Trường hợp 1: Nếu góc <i>B</i> 90 .
Khi đó <i>S<sub>ACBC</sub></i><sub></sub>=2<i>S</i><sub></sub><i><sub>ABC</sub></i>, mà <i>S<sub>ACBC</sub></i><sub>'</sub> =<i>S</i><sub></sub><i><sub>CBC</sub></i><sub></sub>+<i>S</i><sub></sub><i><sub>ACC</sub></i><sub></sub> 1
2 <i>a</i> <i>B b</i>
Suy ra 1
<i>ABC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>a</i> <i>B b</i>+ <i>A</i> .
Trường hợp 2: Nếu góc <i>B</i> 90 .
Khi đó 1
2
<i>ABC</i> <i>ACC</i> <i>C BC</i>
<i>S</i><sub></sub> = <i>S</i><sub></sub> −<i>S</i><sub></sub> <sub></sub>
2 2
1 1 1
sin 2 sin 2
2 2<i>b</i> <i>A</i> 2<i>a</i> <i>CBH</i>
= <sub></sub> − <sub></sub>
2 2
1 1
sin 2 sin 2 B
= + .
<b>Câu 29.</b> Cho <i>ABC</i>. Chứng minh rằng <i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2 2<i>ab</i>+2<i>bc</i>+2<i>ca</i>
<b>Lời giải </b>
Ta có <i>a b</i>− <i>c</i>
Tương tự 2 2 2
2 2
<i>a</i> +<i>c</i> −<i>b</i> <i>ac</i> ;<i>c</i>2+<i>b</i>2−<i>a</i>2 2<i>bc</i>
Cộng các vế của
<i><b>, </b></i>
<b>Câu 30.</b> Trong các tam giác <i>ABC</i> có chu vi là 2<i>p</i> khơng đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương
các cạnh bé nhất.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb: </b></i>
Tam giác <i>ABC</i> với ba cạnh <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> có chu vi là <i>a</i>+ + =<i>b</i> <i>c</i> 2<i>p</i> không đổi.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số
1 + +1 1 <i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>a b c</i>+ +
3
<i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
+ + + +
9
<i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
+ + + + .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số
3 3 3 3 3 3
. . .
<i>a b c</i>+ + <i>a</i> + +<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> + <i>b</i> <i>b</i> + <i>c</i> <i>c</i> =
Suy ra
2 2 2
3 3 3 <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a b c</i>
+ +
+ +
+ +
4
9
<i>a b c</i>
<i>a b c</i>
+ +
+ +
3
1
9 <i>a b c</i>
= + + 8 3
9 <i>p</i>
= .
Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều.
<b>Câu 31.</b> Cho tam giác<i>ABC</i>. Chứng minh rằng 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub> 1<sub>2</sub>
4
<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>r</i> .
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb: </b></i>
Ta có: 2 2
<i>a</i> <i>a</i> − −<i>b c</i>
2 2
1 1
<i>a</i> <i>a</i> <i>b c</i>
− − .
Tương tự:
2 <sub>2</sub>
1 1
<i>b</i> <i><sub>b</sub></i> − −<i><sub>c a</sub></i>
2 2
1 1
<i>c</i> <i>c</i> − −<i>a b</i>
.
Nên ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>a</i> − −<i>b c</i> +<i>b</i> − −<i>c a</i> +<i>c</i> − <i>a b</i>−
= + +
− + + − − + + − − + + −
4 <i>p b</i> <i>p c</i> 4 <i>p c</i> <i>p a</i> 4 <i>p a</i> <i>p b</i>
= + +
− − − − − −
4
<i>p</i>
<i>p</i> <i>a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
=
− − −
2
4
<i>p</i>
<i>p p a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
=
− − −
2
2 2
1
4 4
<i>p</i>
<i>S</i> <i>r</i>
= = .
<i><b> </b></i>
<b>Câu 32.</b> Cho tam giác <i>ABC</i>. Chứng minh rằng:
<b>a.</b> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> 3.
<i>b c a</i>+ − +<i>c</i>+ −<i>a b</i>+<i>a b c</i>+ −
<b>b.</b> 1 1 1 1.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> +<i>h</i> +<i>h</i> = <i>r</i>
<b>c.</b> <i>b</i><sub>2</sub> <sub>2</sub><i>c</i> <i>a</i><sub>2</sub> 1.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> +<i>h</i> +<i>h</i> <i>r</i>
<b>Lời giải</b>
<i><b>Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn </b></i>
<b>a.</b> Ta có:
2
<i>b c a a c b</i>
<i>b c a a c b</i>+ − + − + − + + − =<i>c</i>
2
<i>a c b a b c</i>
<i>a c b a b c</i>+ − + − + − + + − =<i>a</i>
2
<i>a b c b c a</i>
<i>a b c b c a</i>+ − + − + − + + − =<i>b</i>
Nhân theo vế ta có:
+ − + − + −
Ta lại có:
3
3 3.
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>abc</i>
<i>b c a</i>+ − +<i>c</i>+ −<i>a b</i>+<i>a b c</i>+ − <i>b c a</i>+ − <i>c</i>+ −<i>a b</i> <i>a b c</i>+ −
Dấu " "= xảy ra khi <i>a</i>= =<i>b</i> <i>c</i> hay tam giác <i>ABC</i> đều.
<b>b.</b> Ta có: 1 1 1 1 1 .
1 1 1
2
2. . 2. . 2. .
2 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>p</i> <i>a b c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>S</i>
<i>r</i> <i>S</i> <i>S</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>a h</i> <i>b h</i> <i>c h</i>
<i>p</i>
+ +
= = = = + + = + +
<b>c.</b> Ta có:
2
1 2
<i>b</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>a</i>
<i>h</i>
<i>h</i> +<i>h</i> <i>h</i>
2
1 2
<i>c</i>
<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>
<i>h</i>
<i>h</i> +<i>h</i> <i>h</i>
2
1 2
<i>a</i>
<i>c</i> <i>a</i> <i>c</i>
<i>h</i>
<i>h</i> +<i>h</i> <i>h</i>
2 2 2
1 1 1 1
.
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i>
<i>h</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>h</i> <i>r</i>
+ + + + =
Dấu " "= xảy ra khi <i>h<sub>a</sub></i> =<i>h<sub>b</sub></i> =<i>h<sub>c</sub></i> khi đó tam giác <i>ABC</i> đều.
<i><b> </b></i>
<b>Câu 33.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có sin2<i>B</i>+sin2<i>C</i>=2sin2 <i>A</i>. Chứng minh rằng <i>A</i> 60 .
<b>Lời giải</b>
<i><b>Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn </b></i>
Từ giả thiết ta có:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
<i>R</i> + <i>R</i> = <i>R</i>
2 2 2
2
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
+ =
Khi đó:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
cos .
2 2 2 2
<i>b</i> <i>c</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>A</i>
<i>bc</i> <i>bc</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>a</i>
+ −
= = = =
+
Suy ra <i>A</i> 60 .
<i><b>, </b></i>
<b>Câu 34.</b> Cho tam giác <i>ABC</i> có
4 4 4
3 3 3
<i>a</i> +<i>b</i> =<i>c</i> . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù.
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu </b></i>
Ta có
3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4
3 3 3 3 3 <sub>3</sub> 3 3 3 3
<i>a</i> +<i>b</i> =<i>c</i> <i>c</i> =<sub></sub><i>a</i> +<i>b</i> <sub></sub> =<i>a</i> +<i>b</i> + <i>a b</i> <sub></sub><i>a</i> +<i>b</i> <sub></sub>
4 4 4 4 4 4 2 2
2
4 4 <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> 4 4 <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> <sub>3</sub> 4 4 2 2 2 2
3 2 2
<i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>a b</i> <i>a</i> <i>b</i>
+ + <sub></sub> + <sub></sub> + + = + + = +
Suy ra <i>c</i>2 <i>a</i>2+<i>b</i>2 mà
2 2 2
cos 0 90
2
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>C</i> <i>c</i>
<i>ab</i>
+ −
=
Vậy tam giác có một góc tù.
<b>Câu 35.</b> Tam giác <i>ABC</i> có <i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2 =36<i>r</i>2 thì có tính chất gì?
<b>Lời giải </b>
<i><b>Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu </b></i>
2
2 2 2 2
2
36 36<i>S</i> 36 <i>p</i> <i>a</i> <i>p b</i> <i>p c</i>
<i>a</i> <i>b</i> <i>c</i> <i>r</i>
<i>p</i> <i>p</i>
− − −
+ + = = =
36 <i>p b</i> <i>p c</i> <i>p c</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>p b</i>
<i>p</i>
− − − − − −
= (1)
Ta có 2
Tương tự 2
Suy ra
8
<i>p b</i> <i>p c</i> <i>p c</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>p</i> <i>a</i> <i>p b</i> <i><sub>abc</sub></i>
<i>p</i> <i>p</i>
− − − − − −
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: <i>a</i>2 <i>b</i>2 <i>c</i>2 9<i>abc</i>
<i>a b c</i>
+ + + + + +
+ +
Mà 2 2 2
<i>a</i> +<i>b</i> +<i>c</i> <i>ab bc</i>+ +<i>ca</i>
+ + + +
2 2 2 0
<i>a b</i> <i>bc c</i> <i>b c</i> <i>cb b</i> <i>c a</i> <i>ab b</i>
− + + − + + − +
0
<i>a b c</i> <i>b c a</i> <i>c a b</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
− + − + − = = .