Đáp án HSG Toán học lớp 9 huyện Kinh Môn, Hải Dương 2014-2015 - Học Toàn Tập
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (562.61 KB, 4 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
<b> </b>UBND HUYỆN KINH MƠN
<b>PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO </b>
<b>HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 9</b>
Câu Phần Đáp án Điểm
Câu 1
(2đ)
1
(1đ) A=
1 1 1
....
1 2 2 3 48 49
=1 2 2 3 ... 48 49
1 1 1
<sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
=1 49
1
= 49 1 = 6
0,5
0,25
0,25
1
(1đ) <i>x<sub>y x</sub>y</i> = <i><sub>x y</sub>y x</i> . Điều kiện: xy > 0
2
2.
<i>x</i> <i>y</i>
<i>y x</i>
= <i>y x</i><sub>2</sub>2.
<i>x</i> <i>y</i>
x2 = y2 x=y ( do xy > 0)
Khi đó B = x3 + 2013x3 - 2014x3 + 2015 = 2015
0,25
0,25
0,25
0,25
Ta có ( 1) ( 1)( 1)( 2 1)
1
1
1
1
4
1
1
1
5
1 <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> chia hết cho 6
vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp
Ta xét ( 1)( 1)( 2 1)
1
1
1
1
1
5
1 <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
<i>a</i> với các trường hợp sau :
- Nếu 5 5 (5 1)(5 1)
25 2 1
1
5
1
1 <i>k</i><i>a</i> <i>a</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i> <i>k</i>
<i>a</i> chia hết
cho 5.
- Các trường hợp còn lại <i>a</i><sub>1</sub>5<i>k</i>1;<i>a</i><sub>1</sub> 5<i>k</i>2 chứng
minh tương tự ta cũng suy ra được 5 <sub>1</sub>
1 <i>a</i>
<i>a</i> chia hết cho 5
Mà UCLN(5,6) = 1 nên a15 – a1 chia hết cho 30
Chứng minh tương tự :
a25 – a2; ...; a20155 – a2015 chia hết cho 30
Suy ra :
( a15 – a1) + (a25 – a2) + ... + (a20155 – a2015) chia hết cho 30
Suy ra: M – N chia hết cho 30; mà N chia hết cho 30
Suy ra: M chia hết cho 30
0,25
0,25
0.25
0,25
Ta có:
(*)
99
5
4
5
4
)
(
99
4
4
10
100
1
10
100
2
2
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>c</i>
<i>a</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>a</i>
<i>b</i>
<i>c</i>
<i>cba</i>
<i>n</i>
<i>c</i>
<i>b</i>
<i>a</i>
<i>abc</i>
Mặt khác: 100 ≤ n2-1≤ 999 => 101 ≤ n2 ≤ 1000
=> 11 ≤ n ≤ 31( do n <i>Z</i>)(**)
Từ (*)(**) => 4n – 5 = 99 => n = 26. Vậy <i>abc</i>675
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Câu 3
(2đ)
1
(1đ) Đặt
2 <sub>3</sub> <sub>1</sub>
<i>x</i> <i>x</i> = y ( Điều kiện y 0) Thì <i><sub>x</sub></i>2<sub></sub><sub>3</sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>1</sub><sub>=y</sub>2
Phương trình trở thành
y2 + 4= 4y ( y-2)2 =0 y=2 ( Thoả mãn điều kiện y 0)
Với y =2 ta có : <i><sub>x</sub></i>2<sub></sub><sub>3</sub><i><sub>x</sub></i><sub></sub><sub>1</sub><sub>=2</sub><sub></sub><sub>x</sub>2 <sub>-3x +1 =4</sub><sub></sub><sub>x</sub>2 <sub>-3x -3 =0 </sub>
2
3
2
<i>x</i>
<sub></sub>
=
21
4
x-3
2=
21
2
x=3 21
2
Vậy phương trình có hai nghiệm là x=3 21
2
0,25
0,25
0,25
0,25
Đặt <i>A</i> <i>a</i>1 <i>a</i>3(<i>A</i>0) <i>B</i>2 <i>a</i>2(<i>B</i>0); <i>do</i> <i>a</i>0
8
4
)
2
(
4
)
2
)(
1
(
2
4
2
2
2
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>B</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>a</i>
<i>A</i>
Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương (a+1) và (a+2),
Ta có:
4
2
)
3
)(
1
(
2
2
2
)
3
(
)
1
(
)
3
)(
1
(<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
Dấu “ = ’’ khơng xảy ra vì a + 1 ≠ a + 3
4
2
)
3
)(
1
(
2
<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>
A2 < 2a + 4 + 2a + 4 = 4a + 8 = B2
A2 < B2 ; A > 0; B > 0 => A < B
0,25
0,25
0,25
0,25
<b>H</b>
<b>F</b>
<b>E</b>
<b>D</b>
<b>C</b>
<b>B</b>
<b>A</b>
1
Tứ giác AEDF có góc DEA bằng góc EAF bằng góc AFD
bằng 900
Tứ giác AEDF là hình chữ nhật mà có AD là tia phân giác
của góc A nên tứ giác AEDF là hình vng
Xét AED vng cân tại E . ÁP dụng định lý Pitago ta có
AD2=AE2+ED2 => AD2 =2AE2
AE= 2
2
<i>d</i>
Vậy chu vi tứ giác AEDF bằng 2 2<i>d</i>
Diện tích tứ giác AEDF bằng 2
2
<i>d</i>
0,25
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>
2 Ta có SABC = SABD+ SACD
1 .
2 <i>AB AC</i>=
1 1
. .
2<i>AB DE</i>2<i>AC DF</i>
1 .
2<i>b c</i> =
2 2
. .
2 2
<i>d</i> <i>d</i>
<i>c</i> <i>b</i>
bc = . 2 . 2
2 2
<i>d</i> <i>d</i>
<i>c</i> <i>b</i>
2<i>bc</i> = cd + bd
2
<i>d</i>
=1 1
<i>b c</i>
0,25
0,25
0,25
0,25
3 Kẻ BH vng góc với AD tại H
Xét ABH vuông tại H
S
2
<i>A</i>
<i>in</i> =<i>BH</i> <i>BD</i>
<i>AB</i> <i>AB</i>
Theo tính chất đường phân giác tacó:
<i>BD</i>
<i>AB</i>=
<i>CD</i>
<i>AC</i> =
<i>BD CD</i>
<i>AB AC</i>
=
<i>BC</i>
<i>AB AC</i> =
<i>a</i>
<i>b c</i>
=>S
2
<i>A</i>
<i>in</i> <i>a</i>
<i>b c</i>
=>
1
2
<i>b c</i>
<i>A</i> <i>a</i>
<i>Sin</i>
Tương tự: 1 ; 1
2 2
<i>c a</i> <i>a b</i>
<i>B</i> <i>b</i> <i>C</i> <i>c</i>
<i>Sin</i> <i>Sin</i>
=> 1 1 1
2 2 2
<i>c b c a a b</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>a</i> <i>b</i> <i>c</i>
<i>Sin</i> <i>Sin</i> <i>Sin</i>
=> 1 1 1
2 2 2
<i>c b c a a b</i>
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i> <i>a a b b c c</i>
<i>Sin</i> <i>Sin</i> <i>Sin</i>
Áp dụng Cosi ta có : 1 1 1 6
2 2 2
<i>A</i> <i>B</i> <i>C</i>
<i>Sin</i> <i>Sin</i> <i>Sin</i>
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều,
trái giả thiết tam giác ABC vuông
=> 6
2
1
2
1
2
1 <sub></sub> <sub></sub> <sub></sub>
<i>C</i>
<i>Sin</i>
<i>B</i>
<i>Sin</i>
<i>A</i>
<i>Sin</i>
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(1đ) A= 2 2
1 4
1<i>x</i> 4<i>y</i> <i>xy</i> với xy 2
A= 1 <sub>2</sub> 1 <sub>2</sub>
1
1
2
<i>xy</i>
<i>x</i> <i>y</i>
<sub> </sub>
<sub> </sub>
Đặt x= a;
2
<i>y</i><sub>= b </sub>
ab=
2
<i>xy</i>
</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>
2 2
2 2
1 1
= 2
1 1
1 1
2
1 1
= 2
a a+b
a+b 1 1
= 2 = 2 = 2 1=3
ab a+b ab ab
<i>A</i> <i>ab</i>
<i>a</i> <i>b</i>
<i>A</i> <i>ab</i>
<i>ab a</i> <i>ab b</i>
<i>ab</i>
<i>b a b</i>
<i>ab</i> <i>ab</i> <i>ab ab</i>
( Vì 1 <i>ab</i> 2
<i>ab</i> với mọi a.b1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 3 khi xy = 2.
0,25
0,25
0,25
</div>
<!--links-->
