Đề thi HSG môn toán lớp 9 và lời giải chi tiết huyện Diên Khánh năm 2020 - 2021

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (190.08 KB, 5 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

UBND HUYỆN DIÊN KHÁNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP 9 
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN

Năm học: 2020 – 2021

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1.

a) Cho biểu thức





a a a

P

a a a



 

  với a0 và a1.
Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a2021 .2

b) Cho biểu thức An33n2 n 3. Chứng minh rằng A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ.
Câu 2.

a) Giải phương trình:

2 2

4 6 8 20

2 4

x x x x

x x

     
 

b) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn xy1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4 2 2 4

x y

M

x y x y

 
 
Câu 3.

Cho đa thức

 

4 3 2

P x x x x axb và

 

Q x x  x
Xác định a b, để P x

 

chia hết cho Q x

 

Câu 4.

Ơng An hỏi ơng Bình: “Bố mẹ ơng năm nay bao nhiêu tuổi?”. Bình trả lời: “Bố tôi hơn mẹ tôi 4 tuoir. Trước đây
khi tổng số tuổi của bố mẹ tôi là 104 thì tuổi của hai anh em chúng tơi là 16 và 14 tuổi. Hiện nay tổng số tuổi của
bố mẹ tôi gấp hai lần tổng số tuổi của hai anh em tơi”. Tính xem năm nay tuổi của bố mẹ ơng Bình là bao nhiêu?
Câu 5.

Cho tam giác ABC vuông tại A AB



AC



, kẻ đường cao AH và AD là tia phân giác của góc BAH D



BH



.
a) Chứng minh rằng

2 2

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH DC BD HC .

c) Gọi M là trung điểm của AB E, là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh CE AD .
Câu 6.

Trong hình vng cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3

điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn hơn 1 .

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1.

a) Cho biểu thức





1
1

a a a

P

a a a



 

  với a0 và a1.

Rút gọn rồi tính giá trị của P tại a20212

b) Cho biểu thức An33n2 n 3. Chứng minh rằng A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ.
Lời giải

a) Ta có:





















1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1

a a a a a a a

P a

a a a a

   

       
   

  

Thay a20212 vào P, ta có: P 20212  1 2020.

Vậy P2020với a2021 .2

b) Ta có: 3 2







3 3 3 1 1 .

An  n   n n n n
Vì n lẻ nên n2k1,



k



. Khi đó, ta có:













2 2 2 2 2 8 1 1

A k k k  k k k
Vì k k



1



k1



là ba số tự nhiên liên tiếp nên k k



1



k1 6.





Suy ra 8k k



1



k1

 

 8 6



hay A48.
Câu 2.

a) Giải phương trình:

2 2

4 6 8 20

2 4

x x x x

x x

   
 
 

b) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn xy1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 2 4

x y

M

x y x y

 
 
Lời giải

a) Điều kiện xác định: x2; x 4. Phương trình đã cho tương đương:





























2 2

2 2 4 4 2 4

2 2 4 2

2 4 2 4

2 4 4 2

2 4

2 4 2 4 4 2

x x

x x x x

x x

x x x x x x

   

        

   

 

   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Phương trình tương đương: 2



x4



4



x2



 x 0 (thỏa điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S{0}.

b) Áp dụng bất đẳng thức 2 2

2 ,

a b  ab ta có

4 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2

1 1 1

2 2 2

x x x

x y x y

x y x y x y x y x y

       

   (vì y0, xy1).)

Tương tự, ta có: 2 4 1

y

x y  ( vì x0, y0 và xy1).

Suy ra 4 2 2 4 1 1 1.

2 2

x y

M

x y x y

    

  Dấu "" xảy ra 1 1.

0, 0

x y

xy x y

x y

 



    
  


Vậy giá trị lớn nhất của M 1 khi x y 1.

Câu 3.

Cho đa thức

 

4 3 2

P x x x x axb và

 

Q x x  x
Xác định a b, để P x

 

chia hết cho Q x

 

Lời giải

Ta có: Q x

 

x2   x 2



x 1



x2 .



Gọi H x

 

là thương của phép chia P x

 

cho Q x

 

, khi đó ta có:

 

4 3





  

1 2

P x x x ax b x x H x
Chọn x1, ta có: a  b 1 hay b  1 a

 

1 .

Chọn x 2, ta có 2a  b 4 2 .

 

Từ (1) và (2) suy ra       2a 1 a 4 3a    3 a 1.
Thay a1 vào (1), ta có b 2

Vậy a1 và b 2.
Câu 4.

Lời giải

Gọi số nằm kề từ “trước đây” đến thời điểm hiện tại là x (năm), điều kiện x0.
Khi đó:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Tổng số tuổi của hai anh em ơng Bình hiện nay là: 16142x2x30 (tuổi)
Theo đề bài, ta có phương trình:





1042x2 2x30 2x44 x 22 (thỏa mãn)
Suy ra tổng số tuổi của bố và mẹ ông Bình hiện nay là:

104 2 22148 (tuổi)
Vì bố ông Bình hơn mẹ ông Bình 4 tuổi nên tuổi của bố ơng Bình là:



1484 : 2



76 (tuổi)
Và tuổi của mẹ ơng Bình là 76 4 72 (tuổi).

Câu 5.

Cho tam giác ABC vuông tại A AB



AC



, kẻ đường cao AH và AD là tia phân giác của góc BAH D



BH



.
a) Chứng minh rằng

2 2

AB AC

BH  CH

b) Chứng minh tam giác ACD cân và DH DC BD HC .

c) Gọi M là trung điểm của AB E, là giao điểm của hai đường thẳng MD và AH. Chứng minh CE AD .
Lời giải

a) Xét HAB và HCA, ta có: AHBCHA900 và ABHCAH (cùng phụ HAB).

Suy ra





2 2 2

2 .

AH BH AB AB BH AB AC

HAB HCA g g

CH AH AC AC CH BH CH

         

Vậy

2 2

AB AC

BH  CH

N

E

M

H

D

B

C

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

b) Ta có: DACDAB90o và ADCDAH900 mà DABDAH (AD là phân giác BAH).
Suy ra DACADC ADC cân tại C.

Xét ABH, ta có AD là tia phân giác (giả thiết), suy ra:

DH AH

DB  AB mà

AH CH

AB  AC vì .

AH AB

CH  AC

Suy ra DH CH CH

DB  AC CDvì ADC cân tại C DH CD BD CH .

c) Dựng N là điểm đối xứng của D qua M. Khi đó tứ giác ADHN là hình bình hành. Suy ra:

DH HE

AN  AE (vì DHAN )

Ta lại có: DH DH

AN  BD (vì AN BD) mà





DH CH

cmt
DB  CD

Suy ra HE CH HE CH

AE  CD  AEEHCDCH hay

HE CH

AH  DH

Xét HCE và HDA, ta có CHEDHA90o

 

gt và HE CH



cmt



AH DH
Suy ra: CEH  HDA c



 g c



 

CEH DAH CE AD

    (vì CEH và DAH so le trong)
Vậy CE AD .

Câu 6.

Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng trong các điểm đã cho có thể tìm được 3
điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn hơn 1 .

Lời giải 
Chia hình vng đã cho thành 16 hình vng con như hình vẽ.

Dễ dàng tính được, cạnh của một hình vng con là 1

4 và diện tích là
1
16.

Gieo 33 điểm đã cho vào hình vng ban đầu, 33 điểm đó sẽ nằm trong 16 hình vng con.
Vì 3316 2 1 nên theo nguyên tắc Dirichlet, tồn tại 3 điểm nằm trong cùng 1 hình vng con.

Khi đó diện tích của tam giác lấy 3 điểm đã cho làm đỉnh sẽ khơng lớn hơn 1

2diện tích hình vng con, tức là

</div>