Chuyên đề bồi dưỡng Hình học 8 - tập 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.72 MB, 90 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC

B

ỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TẬP 2

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

HÌNH HỌC – TẬP 2

CHUYÊN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ... 4

CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT ... 4

Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng ... 4

Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng... 5

Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước ... 6

CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET ... 9

Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song ... 9

Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các
đoạn thẳng bằng nhau ... 10

Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song ... 10

CHỦ ĐỀ 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC ... 15

Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng ... 15

Dạng 2. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các
đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song ... 15

CHỦ ĐỀ 4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ... 21

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ... 21

Dạng 2. Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thơng qua các tam giác đồng dạng ... 21

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng ... 21

CHỦ ĐỀ 5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ... 26

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ... 26

Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc
bằng nhau ... 26

CHỦ ĐỀ 6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI ... 29

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ... 29

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc
bằng nhau ... 29

CHỦ ĐỀ 7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA ... 33

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ... 33

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh
hoặc chứng minh các góc bằng nhau ... 33

CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG ... 37

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng ... 37

Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vng để giải tốn ... 37

ƠN TẬP CHUN ĐỀ3... 43

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

ĐỀ SỐ 1 ... 45

ĐỀ SỐ 2 ... 48

CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHĨP ĐỀU ... 51

CHỦ ĐỀ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ... 51

Dạng 1. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng với mặt phẳng và của, hai
mặt phẳng của hình hộp chữ nhật ... 51

Dạng 2. Nhận biết các đỉnh, các cạnh và các mặt của hình hộp chữ nhật ... 52

Dạng 3. Tính độ dài các đoạn thẳng ... 53

Dạng 4. Tính tốn các số liệu liên quan đến cạnh, mặt của hình hộp chữ nhật ... 53

CHỦ ĐỀ 2. THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ... 56

Dạng 1. Nhận biết quan hệ vng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình hộp chữ nhật ... 56

Dạng 2. Tính tốn thể tích và các số liệu liên quan đến cạnh và mặt của hình hộp chữ nhật ... 57

CHỦ ĐỀ 3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG ... 60

Dạng 1. Nhận biết hình lăng trụ đứng ... 60

Dạng 2. Xác định các đỉnh, các cạnh, các mặt và mối quan hệ giữa các cạnh với nhau giữa các mặt với
nhau của hình lăng trụ đứng ... 60

Dạng 3. Tính độ dài các cạnh và các đoạn thẳng khác trong hình lăng trụ đứng ... 61

CHỦ ĐỀ 4. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG ... 63

Dạng 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ đứng ... 63

Dạng 2. Lắp ghép một số lăng trụ đơn giản và tính tốn các dữ liệu của lăng trụ đứng. ... 63

Dạng 3. Một số bài toán thực tế trong cuộc sống liên quan đến lăng trụ đứng ... 64

CHỦ ĐỀ 5. HÌNH CHĨP ĐỂU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỂU ... 68

Dạng 1. Nhận biết các kiến thức cơ bản hình chóp đều ... 68

Dạng 2. Tính độ dài các cạnh, góc của hình chóp đều ... 69

CHỦ ĐỀ 6. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỂU ... 72

Dạng 1. Các bài toán vê diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể hình chóp đều. ... 72

Dạng 2. Các bài tốn cơ bản về mối quan hệ giữa hình lập phương, hình hộp chữ nhật với hình chóp
đều và các bài tốn thực tế. ... 72

ƠN TẬP CHUN ĐỀ 4... 76

Dạng 1. Các bài tốn về diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của ... 76

Dạng 2. Các bài toán thực tế liên quan đến các khối hình ... 76

ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ 4 ... 80

ĐỀ SỐ 1 ... 80

ĐỀ SỐ 2 ... 82

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II ... 84

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4></div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

PHẦN B. HÌNH HỌC 
CHUYÊN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A 'B' và C 'D ' nếu AB A'B'

CD = C 'D' (hoặc

AB CD

A'B' = C 'D' ).

2. Định lý Ta – lét

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì đường thẳng định ra
trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

ABC

∆ : DE BC

(

D AB,E AC∈ ∈

)

AD AE

AB AC

AD AE

DB EC

AB AC

=
=
=

E
D

C
B

Chú ý: Định lý Ta – lét vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt

phần kéo dài của hai cạnh còn lại.

a E

C
B

A E D a

C
B

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức.

1A. Trên tia Ax lấy các điểm B, C, D theo thứ tự đó sao cho: AB 2cm,BC 4cm= = và CD 8cm= .
a) Tính các tỉ số AB

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

1B. Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB 3

BC = 5 và

BC 5

CD = 6.
a) Tính tỉ số AB

CD.

b) Cho biết AD 28cm= . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD.

2A. Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AD AE

AB = AC .
a) Chứng minh AD AE

BD = EC .

b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm= = và AE 4cm= . Tính AC.

2B. Cho hình vẽ bên:

Biết BD CE
AB = AC

a) Chứng minh AD AE
AB = AC

b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và
AC 4cm= . Tính EC.

E
D

C
B

Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1. Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét .

Bước 2. Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng
cần tính.

3A. Cho tam giác ACE có AC 11cm.= Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC 6cm= . Lấy điểm D trên
cạnh AE sao cho DB EC . Giả sử AE ED 25,5cm+ = . Hãy tính:

a) Tỉ số DE;
AE

b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD.

3B. Cho tam giác ABC có AB 11cm.= Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AD 4cm.= Lấy điểm E trên
cạnh AC sao cho DE BC . Giả sử EC AE 1,5cm− = . Hãy tính:

a) Tỉ số AE;
EC

b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC.

4A. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD 3

BC = 4, điểm E trên đoạn AD sao cho

AE 1

AD =3.
Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số AK

KC .

4B. Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho DG 1DC.

= Gọi E là giao điểm của AG
và BD. Tính tỉ số DE

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét.

Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh được hệ thức đề
bài yêu cầu.

5A. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Một đường thẳng song song với AB cắt các cạnh bên

AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh ED BF 1.
AD BC+ =

5B. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh

OA.OD OB.OC.=

6A. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song

song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng
minh CF DK.=

6B. Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tâm. Đường thẳng qua H và vng góc

với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo
thứ tự ở N và D. Chứng minh:

a) NC ND= . b) HI HK.=

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Cho đoạn thẳng AB 42cm= và điểm C thuộc đoạn thẳng đó sao cho CA 2.

CB = 5 Tính độ dài các đoạn
CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB.

8. Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở N.

Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm.= = = Tính độ dài các đoạn AN, NC.

9. Cho xAy, trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho FD EG. Đường
thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H. Chứng minh AE2 =AD.AH.

10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song

với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường thẳng kẻ qua F song song với
BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD AD.CG.=

HƯỚNG DẪN 
1A. a) Ta có 1

AB

BC = và

1
2

BC
CD =

b) Ta có BC2 = AB CD. =16cm2

1B. a) Ta có 1
2

AB
CD =

b) Ta tính được AB=6cm BC, =10cm và CD=12cm

2A.a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có: AD AE

AB = AC

AD AE

AB AD AC AE

⇒ =

− −

AD AF

BD EC

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

b) Ta có AD AE

BD = EC. Thay số ta tính được EC=2cm

Từ đó tìm được AC=6cm

2B.Tương tự 2A

a) HS tự làm b) Tìm được 4
3

EC= cm

3A.a) Theo định lý Ta-lét trong ∆ACE, ta có:
6

DE BC DE

AE = AC ⇒ AE = .

b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:
17

DE AE
AE

+ =

Từ đó tính được AE=16, 5cm DE; =9cm và AD=7, 5cm.
Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách 3. Thay DE=25, 5−AE vào 6
11

DE
AE =

3B.Tương tự 3A. HS tự làm

Đáp số: AE=2cm EC; =3, 5cm và AC=5, 5cm

4A.Kẻ DM / /BK M

(

∈AC

)

Áp dụng định lý Ta-lét trong ∆CBK, ta có:
3

KM BD KM

KC = BC ⇒ KC = (1)

Tương tự với ∆ADM , ta có: 1
2

AK

KM = (2)

Từ (1) và (2), tìm được: 3
8

AK
KC =

4B. Chú ý DC= AB nên 1 1

4 5

DG ED DE

AB = EB = ⇒ DB =

5A. Ta có: ED FC

AD = BC nên 1

ED BF FC BF

AD+BC = BC+BC =

5B.Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OA OB

OC =OD

Từ đó suy ra ĐPCM

6A. Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó:

EF=AD (1)

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Áp dụng định lý Ta-lét trong ∆ABC, ta có: CF AC

EF = AB (2)

Tương tự với ∆AGM và ∆ABC, ta có:

DK MG MG AC

AD = AG = BG = AB (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK

6B. a) Chứng minh được M là trực tâm ∆HNCnên:

MN ⊥HC, từ đó suy ra MN/ /AB hay MN/ /DB. Theo
tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD.
b) Ta có IH/ /DN và HK/ /NCnên chứng minh được

HI HK

DN = NC . Từ đó suy ra HI = HK.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

7. Tính được CA=12cm CB, =30cm CO, =9cm.

8. Tương tự 2A. Tính được AN = 22cm, NC = 16cm.
9.Chứng minh được

AE AD FA
AH AE AG

 

= = 

 

Từ đó suy ra ĐPCM

10.Áp dụng định lý Ta-lét trong các

ADB ABC

∆ ∆ và ∆BCD ta có:

AH AE CF CG

AD = AB =CB =CD

Từ đó ⇒AH CD. =AD CG.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...

CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh
này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại của tam giác.

ABC : D AB,E AC

∆ ∈ ∈

và AD AE

BD = EC
KL DE BC

E
D

C
B

• Hệ quả của định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với
cạnh cịn lại thì tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

(

)

ABC : DE BC
D AB,E AC

∆

∈ ∈



KL AD AE DE

AB = AC = BC

E
D

C
B

• Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và

cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại: AD AE DE
AB =AC = BC .

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác

Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh các đoạn thẳng song song.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1B. Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC 4CM.= Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho

CN 1

AN = 3 Chứng minh MN song song với AB.

Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các 
đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ.

Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính
độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng
nhau.

2A. Cho tam giác ABC có cạnh BC = m. Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E

kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài các đoạn thẳng DM
và EN theo m.

2B. Cho hình thang ABCD

(

AB CD,AB CD <

)

. Gọi trung điểm của đường chéo BD là M. Qua M kẻ
đường thẳng song song với DC cắt AC tại N. Chứng minh:

a) N là trung điểm của AC; b) MN CD AB
2

−
= .

3A. Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự

ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh:
a) AK HA;

BD = DC b)

AF AE AI

.
BF + CE = ID

3B. Cho tứ giác ABCD có B D 90 . = = 0 Gọi M là điểm bất kì trên đường chéo AC. Gọi N và P lần lượt là

hình chiếu của M trên BC và AD. Chứng minh MN MP 1.
AB + CD =

Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Xét các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giác để chứng minh các đường thẳng
song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận và hệ quả của định lý Ta – lét để có được các cặp đoạn
thẳng tỉ lệ).

4A. Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc
AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC.

4B. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F

là giao điểm của CI và AB. Chứng minh EF song song với BC.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác AOB có AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm.= = = Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho
OD 3cm= . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO ở C. Gọi F là giao điểm của AD và BC.
Tính:

a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số FD

FA.

6. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là giao điểm của AD và BC.

OM cắt CD tại N. Chứng minh N là trung điểm của CD.

7. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Qua D kẻ DF vng góc với AB (F thuộc AB); qua E
kẻ EG vng góc với AC. Chứng minh:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

8. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và

BD, F là giao điểm của MB và AC.
a) Chứng minh EF song song với AB.

b) Đường thẳng EF cắt AD, BC lần lượt tại H và N. Chứng minh: HE = EF = FN.

9. (ĐỊnh lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. Chứng minh

nếu AP, BQ, CR đồng quy thì PB QC RA. . 1.
PC QA RB =

HƯỚNG DẪN 
1A.Gọi P là trung điểm của AD. Ta chứng minh được NP và

MP lần lượt là đường trung bình của ∆ABD và ∆ADC nên
suy ra NP//AB và MP//DC. Mặt khác AB//CD nên ta có P,
N, M thẳng hàng ⇒MN/ /AB/ /DC.

1B. Ta có 4 3 1

CM

BC CM BM CM

BM

= ⇒ = ⇒ =

Kết hợp với giả thiết ta có CM CN MN/ /AB

BM = AN ⇒

2A.Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:

DM AD m

DM
BC = AB ⇒ =

2
3

EN AE

EN m

BC = AB ⇒ =

2B.a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với BC Q

(

∈BC

)

.
Chứng minh được Q là trung điểm của BC và NQ//AB suy
ra ĐPCM.

b) Ta có 1 , 1

2 2

MQ= DC NQ= AB
Vậy

DC AB
MN =MQ−NQ= −

3A. a) AK/ /BD AI AK;

ID BD

⇒ = Từ AH / /DC AI AH

ID DC

⇒ =

Do đó AK AH

BD = DC

b) Ta có: AK AH AK AH HK AI (1)

BD DC BD DC BC ID

= = = =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

(2); (3)

AF AH AE AK

BF = BC CE = BC

Từ (1), (2), (3) ta có AE AF AI

CE +BF = ID(ĐPCM)

3B.Ta chứng minh được MN//AB, áp dụng hệ quả định lý

Ta-lét MN MC (1)

AB AC

⇒ =

Tương tự: PM / /DC PM AM (2)

DC AC

⇒ =

Lấy (1) + (2) ta được ĐPCM

4A. Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra AI AM

AB = AK và

AN AK

AI = AC .

Do đó AN AM

AB = AC ⇒ĐPCM.

4B.Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF tại

H và cắt tia BE tại K. Áp dụng kết quả

ý a) 3A. và MB = MC ta chứng minh được AH = AK.
Lại có AH AF AK; AE

BC = FB BC = EC

nên AF AE

FB = EC ⇒ĐPCM.

Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ được chứng minh ở
bài 9 phần BTVN). Do AM, BE, CF đồng quy tại I.

. . 1

MB EC FA
MC EA FB

⇒ =

Mà MB 1

MC =

/ /

FB EC

FE BC
FA EA

⇒ = ⇒

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Từ DC//AB, áp dụng hệ quả định lý Ta-let chứng minh

được: OC = 4cm và DC =6cm.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

1
3

FD DC

FA = AB =

6. Gợi ý: Chứng minh AM MB OM

DN NC ON

 

= = 

  mà AM = MB
⇒ DN = NC ⇒N là trung điểm CD.

7.Tương tự 4A.

8.a) Từ AB//DM và AB//MC chứng minh được AE BF

EM = FM
⇒ EF//AB.

b) HF/ /DC HE EF HE EF (1)

DM MC

⇒ = ⇒ =

Tương tự EF = FN (2). Từ (1) và (2) ⇒ HE = EF = FN
(ĐPCM).

c) Chứng minh được

5 5 5

4 5 4 9

AE AE AE

EM = ⇒ AE+EM = + ⇒ AM =

Mà HE AE

DM = AM ; Từ đó tính được

10
3

HE= cm suy ra HN =
10cm.

9. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR

lần lượt tại N và M.

Ta chứng minh được: QC BC (1);

AQ = AN

(2);

RA AM

BR = BC

(3)

BP AN

CP = AM

Từ (1), (2), (3) suy ra PB QC RA. . 1

PC QA RB= (ĐPCM)

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15></div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

CHỦ ĐỀ 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ 
với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

ABC

∆ , AD là tia phân giác của



(

)

BAC D BC∈

KL DB AB

DC = AC

D C

• Chú ý: Định lý trên vẫn đúng đối với tia phân giác ngoài của tam giác: D'B AB

D'C = AC (với
AB AC≠ ).

D B C

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1:Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết.

1A. Cho tam giác ABC vng tại A, có AB 21cm,AC 28cm.= = Kẻ phân giác trong AD của BAC (với
D BC∈ ). Tính BD, CD.

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác trong AD của BAC (với D BC∈ ), biết

DB 15cm,DC 20cm.= = Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.

Dạng 2. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các 
đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) và định lý
đảo của định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức, từ đó suy ra các đoạn thẳng
bằng nhau hay các đường thẳng song song.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

a) Chứng minh DB EC FA. . 1
DC EA FB = .

b) Khi tam giác ABC cân tại A, chứng minh EF song song với BC.
c) Biết AB 2

AC = 3, tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

2B. Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF giao nhau tại I. Chứng minh:

a) DI BC

DA = Chu vi ABC∆ ; b)

DI EI FI

1.
DA EB FC+ + =

3A. Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD của BAC (với D BC∈ ). Từ trung điểm M của

BC, kẻ một đường thẳng song song với AD, cắt AC tại F và cắt tia đối của tia AB tại E. Chứng minh BE =
CF.

3B. Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của A và D cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh: MN song song với AD.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

4. Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF. Biết BC 36cm,= CA 30cm,= AB 18cm.=

Tính độ dài các đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB.

5. Cho tam giác ABC, BC 10cm,CA 6cm,AB 8cm.= = = Đường phân giác của B và C cắt cạnh AC và
AB lần lượt tại D và E.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AE, EB, AD, DC.
b) Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho BK 40cm.

= Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy.

6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Phân giác của AMB cắt AB ở D, phân giác của góc AMC cắt AC

ở E.

a) Chứng minh DE song song với BC.

b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh I là trung điểm của DE.

7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB 6cm,AC 8cm,= = đường phân giác BD.

a) Tính các độ dài DA, DC.

b) Tia phân giác của C cắt BD ở I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh BIM 90= 0

8. Cho tam giác ABC có BC 15cm,CA 18cm,AB 12cm= = = . Gọi I và G lần lượt là tâm đường tròn nội
tiếp và trọng tâm tam giác ABC.

a) Chứng minh IG song song với BC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng IG.

HƯỚNG DẪN 
1A.Tính được BC = 35cm.

Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có:
3

BD AB
CD = AC =

Suy ra, 3
4

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ta có: BC = BD + CD hay 7
4

BD= CD.
Từ đó tính được CD = 20cm, 3 15

BD= CD= cm

1B. Ta có: BC = BD + CD = 35cm.
Ta chỉ ra được 3

AB= AC

Trong ∆ABC vuông cân tại A, ta có:

2 2 2

BC = AB +AC

2 9 2 2 25 2

16 16

BC = AC +AC = AC
Từ đó tính được

28 , 21

AC= cm AB= AC= cm

2A. a) Cách 1. Sử dụng định lý Xe va đã chứng minh ở Câu
9 Bài 2.

Cách 2. Có thể chứng minh như sau: Xét tam giác ABC,
phân giác AD, ta có: BD AB

CD = AC

Tương tự, ta chứng minh được:
,

CE BC AF CA

AE = BA BF =CB

Vậy DB EC FA. . AB BC CA. . 1

DC EA FB = AC BA CB = .

b) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC
Suy ra, ta có: AE BA AC AF

CE = BC = BC = BF . Vậy theo định lý

Ta-lét đảo, ta có ĐPCM.
c) Dễ thấy 2

DB AB

DC = AC = . Gọi h là chiều cao từ đỉnh A tới

đáy BC, ta có:

2
2

. 3

ABD
ACD

h DB

S DB

h DC

S DC

∆
∆

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

2B. a) Trong tam giác ABD, phân giác BI, ta có: DI DB

AI = AB

Tương tự, ta có: DI DC

AI = AC

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

DI DB DC DB DC BC

AI AB AC AB AC AB AC

= = = =

+ +

Suy ra, DI BC DI BC

AI+DI = AB+AC+BC ⇔ AD =Chu vi ∆ABC

b) Sử dụng kết quả câu a)

3A.  AEF =BAD (góc đồng vị)

 

EFA=DAC (góc so le trong)
Nên ta có ∆AEF cân tại A

Từ đó, ta có: EA = FA

3B.Gọi I là giao điểm của BD và AC.

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có: AB BM

AD = DM

Tương tự, CD CN

AD = AN ;

Mà AB =CD, suy ra BM CN

DM = AN

Từ đó, ta có:

1 1

BM CN BD CA DI AI

DM + = AN + ⇔ DM = AN ⇔ DM = AN

Suy ra ĐPCM.

4.Học sinh tự thực hiện.
5. a) Học sinh tự thực hiện.
b) Ta lập được tỉ số 4

BK BA

CK = =CA; Từ đó ta có AK là phân

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

6. a) Xét tam giác AMB, phân giác MD, có AD AM

BD = BM

Tương tự ta chứng minh được AE AM

CE =CM

Từ đó ta có AE AD

CE = BD

Suy ra DE//BC.

b) Vì DE//BC nên DI AI IE

BM = AM = MC

Mà MB = MC, suy ra DI = IE

7.a) Học sinh tự thực hiện.

b) Từ phần a, ta có: MB = MC = 5cm
Suy ra ∆CID= ∆CIM

Nên  IMC=IDC.

Trong tam giác BIM, có IMC, là góc ngồi nên ta có:

  

IMC=BIM+IBM

Tương tự,   IDC=BAD+ABD

Vậy    0

BIM +IBM =BAD=

8.Gọi M là trung điểm của BC.AD là tia phân giác góc BAC

(D nằm trên BC)
Tính được CD = 9cm.

Trong tam giác ACD, phân giác CI, ta có:
18

2.
9

AI AC

DI =CD = =

Ta chứng minh được AG 2.

MF =

Nên ta suy ra AG AI

MG = DI từ đó có được ĐPCM.

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Vì IG//DM, nên 2 2 1 .

3 3

IG AG

IG DM cm

DM = AM = ⇒ = =

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

CHỦ ĐỀ 4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

- Hai tam giác gọi là đồng dạng với nhau nếu chúng có ba cặp góc bằng nhau đơi một và ba cặp cạnh tương
ứng tỉ lệ.

- Ta có

     

A A';B B';C C '

ABC A'B'C ' AB BC CA

A'B' B'C ' C 'A'

 = = =


∆ ∆ ⇔ 

= =


∽

2. Tính chất

a) Mỗi tam giác đồng dạng với chính tam giác đó (hoặc nói: Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với
nhau).

b) Nếu ∆ABC∽∆A'B'C ' theo tỉ số k thì ∆A'B'C '∽∆ABC theo tỉ số 1.
k
c) Nếu ∆ABC∽∆A 'B'C ' và ∆A 'B'C '∽∆A"B"C" thì ∆ABC∽∆A"B"C".

3. Định lý

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác
mới đồng dạng với tam giác đã cho.

(

)

ABC

DE BC D AB,E AC

∆

∈ ∈



KL ∆ADE∽∆ABC D E

C
B

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa, tính chất hoặc định lý để chứng minh các tam giác đồng dạng.

1A. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD 2AB.= Trên tia đối của tia AC lấy

điểm E sao cho AE 2AC.= Chứng minh ∆ADE∽∆ABC.

1B. Từ điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC, kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt AC ở E và cắt

đường thẳng qua C song song với AB tại F; BF cắt AC ở I. Tìm các cặp tam giác đồng dạng.

Dạng 2. Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, các tính chất của hai tam giác đồng dạng.

2A. Cho tam giác ABC vng tại A có AB 6cm,BC 10cm.= = Kẻ một đường thẳng song song với BC, cắt

các cạnh AB và AC tại E và F. Biết AE 2cm= , tính tỉ số đồng dạng của ∆AEF, ∆ABC và độ dài các
đoạn cạnh AF, EF.

2B. Cho tam giác ABC có AB 5cm,BC 8cm,AC 7cm.= = = Lấy điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
BD 2cm= . Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB lần lượt tại F và E.

a) Chứng minh ∆BDE∽∆DCF.
b) Tính chu vi tứ giác AEDF.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

a) Chứng minh ∆GBF∽∆DCF và ∆GAD∽∆DCF.
b) Tính độ dài đoạn thẳng AG.

c) Chứng minh AG.CF AD.AB.=

3B. Cho tam giác ABC, kẻ Ax song song với BC. Từ trung điểm M của cạnh BC, kẻ một đường thẳng bất

kỳ cắt Ax ở N, cắt AB ở P và cắt AC ở Q. Chứng minh PN QN.
PM = QM

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

4. Cho hai tam giác ABC và A'B'C ' đồng dạng với nhau theo tỉ số k, chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai
tam giác ABC và A'B'C ' cũng bằng k.

5. Cho tam giác ABC có cạnh BC 10cm,CA 14cm,AB 6cm.= = = Tam giác ABC đồng dạng với tam giác

DEF có cạnh nhỏ nhất là 9cm. Tính các cạnh còn lại của tam giác DEF.

6. Cho tam giác ABC có cạnh AB 2cm,BC 3cm,CA 4cm= = = đồng dạng với tam giác MNP. Tính độ

dài các cạnh của tam giác MNP biết chu vi của tam giác MNP là 36cm.

7. Cho hình thang ABCD

(

AB CD

)

có CD 2AB.= Gọi E là trung điểm của DC. Chứng minh ba tam
giác EDA, ABE và CEB đồng dạng với nhau.

8. Cho hình bình hành ABCD, lấy F trên cạnh BC. Tia DF cắt tia AB tại G. Chứng minh AG, CF luôn không

đổi khi F di động trên BC.

9. Cho tam giác ABC, lấy M trên cạnh BC sao cho MB 1.

MC =2 Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt
AB tại D. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại E.

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng.

b) Tính chu vi các tam giác DBM, EMC biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm.

10. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số 2.

5 Tính chu vi mỗi tam giác biết hiệu chu vi

của hai tam giác là 51cm.

11. Hình thang ABCD

(

AB CD

)

có AB 10cm,CD 25cm= = và hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng
minhh rằng ∆AOB∽∆COD và tìm tỉ số đồng dạng.

HƯỚNG DẪN 
1A. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, AE. Từ đó

chứng minh được: ∆AMN ∆ADE (Định lý)

ABC AMN

∆ ∆ (do hai tam giác bằng nhau)
Suy ra ∆ABC∆ADE

1B. Học sinh tự chứng minh: Không kể các tam giác đồng

dạng với chính nó cịn có:
;

DFB CBF ABC ADE

∆ ∆ ∆ ∆ .

Dùng định nghĩa để chứng minh:

; ;

ADE CFE EFI CBI FIC BIA

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

Suy ra ∆ABC∆CFE theo tính chất bắc cầu)

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Suy ra: 2 1
6 3

AF EF AE

AC = BC = AB = =

Vậy hệ số tỉ lệ là 1
3

Có: 1 8 ; 10

3 3 3 3 3

AF EF AC BC

AF cm EF cm

AC = BC = ⇒ = = = =

2B.a) Học sinh tự chứng minh:

; .

BED BAC DFC BAC

∆ ∆ ∆ ∆

Từ đó suy ra ∆BED∆DFC

b) Tương tự ta tính được 5 ; 7

4 4

BE= cm ED= cm
Chu vi hình bình hành AEDF=2AE+2ED=11cm

a) Học sinh tự chứng minh ∆GBF ∆GAD;∆GBF ∆DCF

suy ra ∆GAD∆DCF

b) Do ∆GBF ∆DCF ta có: BG BF

CD =CF thay số và tính

được BG=4cm⇒ AG=10cm

c) GAD DCF GA AD GA CF. CD AD. ;

DC CF

∆ ∆ ⇒ = ⇒ =

Mà AB = CD, suy ra ĐPCM.

PM BM

PBM PAN

PN AN

∆ ∆ ⇒ =

Theo định lý Ta-lét ta có:

QM MC BM
QN = AN = AN

Suy ra ĐPCM.

Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh

6 10 14

AB BC AC

ABC DEF

DE EF DF DE EF DF

∆ ∆ ⇒ = = ⇒ = =

Cạnh nhỏ nhất của ∆DEFphải tỉ lệ với cạnh nhỏ nhất của

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Vậy DE = 9cm và 6 10 14
9 = EF = DF

Suy ra, EF = 15cm, DF = 21cm.
Từ kết quả của bài. Ta có:

9 1
36 4

Chu vi ABC AB BC AC
Chu vi MNP MN NP MP

∆ = = = = =

∆

8 ; 12 ; 16 .

MN cm NP cm MP cm

⇒ = = =

Học sinh sử dụng tính chất các tam giác bằng nhau thì đồng
dạng với nhau để chứng minh

8. Tương tự 3A. Ta có: GA.CF = CD.AD

Mà CD, AD là khơng đổi khi F di chuyển trên BC. Ta được
ĐPCM.

9. a) 1 1; 2

2 3 3

BM BM CM

CM = ⇒ BC = BC = . Suy ra:

BDM BAC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng là 1
3

BM
BC =

MEC BAC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng là 2
3

CM
BC =

BDM MEC

∆ ∆ với tỉ số đồng dạng là 1.
2

BM
CM =

b) Tính được chu vi tam giác BMD là 8cm, chu vi tam giác
MEC là 16cm.

10.Ta gọi chu vi của hai tam giác ABC và MNP lần lượt là

x, y.

Theo giả thiết, ta có: 2

x

y = và y - x = 51.

Từ đó tính được y = 85cm; x = 34cm.

11.Sử dụng định nghĩa để chứng minh ∆AOB∆COD
Tỉ số đồng dạng là 10 2

25 5

AB

CD = =

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26></div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

CHỦ ĐỀ 5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định lý: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

ABC, A'B'C '

AB BC CA

A'B' B'C ' C 'A'

∆ ∆

= =
KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C'
B'

C
B

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta lập tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác
và chứng minh chúng bằng nhau, từ đó ta được ĐPCM.

1A. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không? Tại sao?

a) 4cm, 5cm, 6cm và 8mm, 1cm, 12mm.

b) Tam giác ABC vng tại A, có AB cm,AC 8cm= = và tam giác A'B'C ' vng tại A ', có
A'B' 9cm,B'C' 16 cm.= =

1B. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng khơng? Tại sao?

a) 24cm, 21cm, 27cm và 28dm, 36dm, 32dm.

b) Tam giác ABC và tam giác DEF có AB BC CA
3 = 4 = 5 và

DE FD EF

.
6 = 9 = 8

2A. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC 10cm,AC 8cm= = và tam giác A'B'C ' vuông tại A ' có
B'C ' 5cm,A'C ' 4cm.= =

a) Chứng minh ∆ABC∽∆A 'B'C '.

b) Tính tỉ số chu vi của ∆ABC và ∆A'B'C '.

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác A'B'C ' vng tại A ' có AB BC 2

A'B' = B'C '= . Chứng minh:
a) CA 2

C 'A' = và ∆ABC∽∆A'B'C '.

b) Tỉ số chu vi của ∆ABC và ∆A 'B'C ' bằng 2.

Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minhcác góc 
bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng
dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau.

3A. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C ' . Cho biết AB 6cm,= BC 10cm,AC 14cm= =

và chu vi tam giác A'B'C ' bằng 45cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C '.

3B. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với 4 : 5 : 6 . Cho biết ∆DEF∽∆ABC và cạnh nhỏ nhất

của ∆DEF là 0,8m, hãy tính các cạnh cịn lại của ∆DEF.

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

4B. Cho tam giác ABC có AB 10cm,AC 20cm.= = Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD 5cm.= Chứng
minh ABD ACB = , biết BAC 90 = 0.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác ABC có AB 3cm,BC 5cm= = và BAC 90 = 0. Cho biết tam giác A'B'C ' đồng dạng với
tam giác ABC có cạnh nhỏ nhất là 1,5cm, hãy tính các cạnh cịn lại của tam giác A'B'C '.

6. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng OA, OB, OC.

a) Chứng minh ∆PQR∽∆ABC.

b) Cho biết ∆ABC có chu vi bằng 543cm, hãy tính chu vi ∆PQR.

7. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C ' . Cho biết BC 24,3cm,CA 32,4cm= = và
AB 16,2cm= , hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C 'nếu:

a) AB lớn hơn A 'B' là 10cm; 
b) A 'B' lớn hơn AB là 10cm.

HƯỚNG DẪN 
1A.a) Đổi sang đơn vị mm, ta lập được tỉ số: 40 50 60 5

8 =10 =12 =
Từ đó kết luận hai tam giác đồng dạng.

b) Theo định lý Pytago, tính được BC = 10cm.

Vì 2 5

' ' 3 8 ' '

AB BC

A B = ≠ = B C nên hai tam giác không đồng dạng.

1B.Sắp xếp các cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự tăng dần rồi mới lập tỉ số, ta được hai tam giác đã cho

đồng dạng.

b) Đặt 0 3 , 4 , 5

3 4 5

AB BC CA

k AB k BC k CA k

= = = > ⇒ = = =

Đặt 0 6 , 8 , 9

6 9 8

DE FD EF

t DE t EF t FD t

= = = > ⇒ = = =

Lập tỉ số các cặp cạnh tương ứng, dẫn tới kết luận hai tam giác không đồng dạng.

2A.a) Tính được AB = 6cm, A'B' = 3cm. Từ đó tìm được:

2
' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B = B C =C A = nên ∆ABC∆A B C' ' 'theo tỉ số đồng dạng là 2.

b) Ta có 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

AB BC AC AB BC CA

A B B C A A A B B C C A

+ +

= = = =

+ + , nên tỉ số chu vi của ∆ABC và ∆A B C' ' ' là 2.
2B. a) Ta có

2 2 2 2 2

2 2 4 2 2 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' '

BC AB BC AB AC

B C A B B C A B A C
−

= = = =

− ⇒ĐPCM.

b) HS tự làm.

3A. Ta có: 2

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 3

AB BC AB BC CA

A B B C A B B C C A

+ +

= = =

+ +

Từ đó tính được A'B' = 9cm, B'C' = 15cm, A'C' = 21cm.

3B. Vì ∆DEF ∆ABCnên ∆DEF cũng có độ dài các cạnh tỉ lệ với 4 : 5 : 6.

Giả sử DE < EF < FD ⇒ DE = 0,8m.

Ta có 0, 2

4 4 6

DE = EF = FD =

Từ đó tính được EF = 1m và FD = 1,2m.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

b) Từ phần a ⇒ ABD=BDC ⇒ĐPCM.

5.Tính được AC = 4cm. Sau đó áp dụng cách làm tương tự 3B.
6.a) Chứng minh được 1

PQ QR RP

AB = BC = CA= ⇒ĐPCM.

b) Tính được chu vi ∆PQR là 271,5cm.

7. Ta có 16, 2 24, 3 32, 4
' ' ' ' ' '

A B = B C =C A

a) Tính được A'B' = 6,2cm. Từ đó tính được B'C' = 9,3cm và A'C' = 12,4cm.
b) Tương tự câu a tính được A'B' = 26,2cm, B'C' = 39,3cm và A'C' = 52,4cm.

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

CHỦ ĐỀ 6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp
cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

GT  

ABC, A'B'C '

AB BC

,B B'
A'B' B'C '

∆ ∆

= =
KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C'
B'

C
B

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

Bước 1: Xét hai tam giác, chọn ra hai góc bằng nhau và chứng minh (nếu cần);

Bước 2: Lập tỉ số các cạnh tạo nên mỗi góc đó, rồi chứng minh chúng bằng nhau;

Bước 3: Từ đó, chứng minh hai tam giác đồng dạng.

1A. Cho xOy, trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng

AOB COD

∆ ∽∆ nếu biết một trong các trường hợp sau: 
a) OA OB;

OC = OD b) OA.OD OB.OC.=

1B. Cho xoy, trên Ox lấy các điểm A và C, trên Oy lấy các điểm B và D. Chứng minh rằng

AOD BOC

∆ ∽∆ nếu OA 4cm,OC 15cm,OB 6cm= = = và OD 10cm.=

2A. Cho hình thang ABCD

(

AB CD

)

, biết AB 9cm,BD 12cm,DC 16cm.= = = Chứng minh

ABD BDC.

∆ ∽∆

2B. Cho xoy, trên Ox lấy điểm A sao cho OA 4cm,= trên Oy lấy các điểm B và C sao cho
OB 2cm,OC 8cm.= = Chứng minh rằng ∆AOB∽∆COA.

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc

bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ hai (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng,
từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng cịn lại bằng nhau.

3A. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A đến BD. Lấy điểm E trên DH và

điểm K trên BC sao cho DE CK

DH = CB . Chứng minh:

a) ∆ADE∽∆ACK; b) ∆AEK∽∆ADC;
c) AEK 90 = 0 .

3B. Cho hình thang ABCD biết A D 90 . = = 0 Trên cạnh AD lấy điểm I sao cho AB.DC AI.DI.= Chứng

minh:

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

4A. Cho hình thoi ABCD, A 60 . = 0 Qua C kẻ đường thẳng d bất kì cắt các tia đối của các tia BA, DA theo
thứ tự tại E và F. Gọi I là giao điểm của BF và ED. Chứng minh:

a) EB AD;

BA = DF b) ∆EBD∽∆BDF;

c) BID 120 .= 0

4B. Cho hình bình hành ABCD, A 90 . > 0 Kẻ AH⊥CD tại H, AK⊥BC tại K. Chứng minh:
a) AH DA;

AK = DC b) AKH ACH. =

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho xoy, trên Ox lấy các điểm M và P, trên Oy lấy các điểm N và Q. Chứng minh rằng

OMN OPQ

∆ ∽∆ nếu biết một trong các trường hợp sau: 
a) OM 2cm;ON 1,5cm;OP 4 cm;OQ 3cm;= = = =
b) M là trung điểm của OP, N là trung điểm của OQ.

6. Cho tam giác ABC có AB 12cm,AC 15cm,BC 18cm.= = = Trên cạnh AB, đặt đoạn AM 10cm,= trên
cạnh AC đặt đoạn AN 8cm.= Tính độ dài đoạn MN.

7. Cho xoy, phân giác Ot. Trên Ox lấy các điểm A và C ' sao cho OA 4cm,OC ' 9cm= = , trên Oy lấy các
điểm A ' và C sao cho OA' 12cm,OC 3cm,= = trên tia Ot lấy các điểm B và B' sao cho

OB 6cm,OB' 18cm.= = Chứng minh:

a) ∆OAB∽∆OA'B'; b) AB AC BC .

A'B'= A'C '= B'C '

8. Cho đoạn thẳng AB 13cm,= điểm C trên đoạn thẳng ấy sao cho AC 4cm,= trên đường thẳng vng

góc với AB tại C, lấy điểm D sao cho CD 6cm.= Chứng minh ADB 90 . = 0

9. Cho tam giác ABC có AB 9cm,AC 12cm,BC 7cm.= = = Chứng minh B 2C. = 

HƯỚNG DẪN 
1A. a) Có OA OB

OC =ODnên ta chứng minh được

( . . )

AOB COD c g c

∆ ∆

b) Có OA.OD = OB.OC

OA OB

OC CO

⇒ = ⇒ĐPCM.

1B. Chứng minh được ∆AOD∆BOC c g c( . . )

2A. Ta chứng minh được  ABD=BDC và 3
4

AB BD
BD = DC = .

Từ đó suy ra ∆ABD∆BDC c g c( . . )

2B. Chứng minh được 1

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

và  AOB=COA nên ta có ∆AOB∆COA c g c( . . )

3A.a) Ta chứng minh được DE DH (1)

CK = CB

DA HD DA HD

HDA ADB

DB AD AC BC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = (2) Từ (1) và (2)
suy ra DE DA

CK = AC mà

 

ADE= ACK nên ta có

( )

ADE ACK c g c

∆ ∆ − − .

b) Từ phần a) ta suy ra được AE AD

AK = AC.

Chứng minh được EAK =CAD nên ta có
( . . )

AEK ADC c g c

∆ ∆

c) Có ∆AEK ∆ADC⇒  AEK =ADC=900
a) Theo đề bài ta chỉ ta được AB DI

AI = DC từ đó suy ra

( )

ABI DIC c g c

∆ ∆ − −

b) Chứng minh được  AIB=DCI mà

  0  0

90 90

DIC+DCI = ⇒BIC=
a) Có BC/ /AD BE CE

BA CF

⇒ = ;

Lại có DC/ /AB EC AD

FC DF

⇒ =

Suy ra ĐPCM.

b) Do ABCD là hình thoi có A=600 nên:
AB = BD = DC = CA = AD

Ta có EBD =BDF =1200 và theo câu a) EB AD

BA= DF

hay EB BD EBD BDF c g c( . . )

BD = DF ⇒ ∆ ∆

c) Từ phần b) ta có: BED =DBF từ đó chứng minh được

BDI EDB

∆ ∆ mêm suy ra BID =EBD=1200

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

b) Từ phần a ta có AH AK

BC = BA và chứng minh được

 

HAK = ABC. Từ đó ta có ∆KAH ∆ABC;

Mà ∆ABC∆CDA nên suy ra ∆KAH ∆CDA từ đó chứng

minh được  AKH =ACH

5.HS tự chứng minh

6.Chứng minh được ∆AMN ∆ACB c( − −g c)

Do đó 2

AM MN

AC = CB = ;

Từ đó tính được MN = 12cm.

7.a) Chứng minh được ∆OAB∆OA B c' '( − −g c)

b) Chứng minh được 1

' ' ' ' ' ' 3

AB AC BC

A B = A C = B C =

8.Gợi ý: Tính AD, DB. Sau đó áp dụng định lý Pitago đảo

để chứng minh tam giác ADB vuông tại D. Từ đó quy ra
ĐPCM.

Cách khác: Có 2
3

AC CD

DC = CB = mà

 0

C=
nên CDB +ADC=900 ⇒ĐPCM.

9. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BC =

7cm. Chứng minh được ∆ABC∆ACE c( − −g c)
suy ra BCA =E

Từ đó ta có   ABC=BCE+ =E 2E=2BCA

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

CHỦ ĐỀ 7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

• Định lý: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó
đồng dạng.

   

ABC, A'B'C '
A A',B B'

∆ ∆

= =
KL ∆ABC∽∆A 'B'C '

C'
B'

C
B

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng

Phương pháp giải: Chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau trong hai tam giác để suy ra hai tam giác đồng
dạng.

1A. Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD

tại E. Chứng minh:

a) ∆ABD∽∆ECD; b) ∆ACE cân tại C.

1B. Hình thang ABCD

(

AB CD

)

, có DAB CBD = .Chứng minh ∆ABD∽∆BDC.

2A. Cho ∆ABC có AM là phân giác của BAC M BC

(

∈

)

. Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không
chứa A sao cho BCx 1BAC.

= Gọi N là giao của Cx và tia AM. Chứng minh:

a) BM.MC MN.MA;= b) ∆ABM∽∆ANC;

c) Tam giác BCN cân.

2B. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến d qua A bất kì cắt đường chéo BD tại E và các đường thẳng
BC, CD lần lượt tại F và G. Chứng minh:

a) ∆GCF∽∆GDA; b) ∆GCF∽∆ABF;

c) ∆GDA∽∆ABF và tích số BF.DG ln khơng đổi khi d quay quanh A.

Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh 
hoặc chứng minh các góc bằng nhau

Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng,
từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

3A. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh:

a) AB2 =BH.BC; b) AH2 =BH.HC.

3B. Cho tam giác ABC vuông tại A, Q là điểm trên AC. Gọi D là hình chiếu của Q trên BC và E là giao

điểm của AB và QD. Chứng minh:

a) QA.QC QD.QE;= b) AB.AE AQ.AC.=

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

a) BM AB;

CN = AC b) AM.DN AN.DM.=

4B. Cho tam giác ABC

(

AB AC<

)

, đường phân giác trong AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho

 

ACI BDA.= Chứng minh:

a) ∆ABD∽∆AIC; b) ∆ABD∽∆CID;

c) AD2 =AB.AC DB.DC.−

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác ABC có A 2B = . Đặt AB c,AC b,= = và BC a.= Chứng minh a2 =b2 +bc.

6. Cho tam giác ABC và d là đường thẳng tùy ý qua B. Qua E là điểm bất kì trên AC, vẽ đường thẳng song
song với AB và BC, lần lượt cắt d tại M và N. Gọi D là giao điểm của ME và BC. Đường thẳng NE cắt AB
và MC lần lượt tại F và K. Chứng minh:

a) ∆AFN∽∆MDC; b) AN MK.

7. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Chứng minh:

a) ∆AEF∽∆ABC ;

b) H là giao điểm các đường phân giác của ∆DEF;
c) BH.BE CH.CF BC .+ = 2

HƯỚNG DẪN 
1A. A) Do AB//CE nên BAD =DEC. Chứng minh được

( . )

ABD ECD g g

∆ ∆

b) Chứng minh được CAD =CED

(

=BAD

)

nên ∆ACE cân
tại C.

1B.Chứng minh được ∆ABD∆BDC g g( . )

2A.a) Chứng minh được ∆BAM ∆NCM g g( . )⇒ĐPCM.
b) Từ a, suy ra  ABM =CNM . Từ đó chứng minh được

( . )

ABM ANC g g

∆ ∆

c) Từ a, có BM MN

MA =CM .

Chứng minh được ∆BMN ∆AMC c g c( . . ).Do đó

  1

NBM =CAM = BAC, ta chỉ ra NBM =BCN ⇒ĐPCM.

2B. a) b) HS tự chứng minh.

c) Sử dụng tính chất bắc cầu, ta chỉ ra được ∆GDA∆ABF.
Từ đó suy ra BF.DG = AB.AD, mà AB.AD khơng đổi khi d
quay quanh A ⇒ĐPCM.

a) Chứng minh được 2

( . ) .

AHB CAB g g AB BH BC

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

b) Chứng minh được∆ABC∆AQE g g( . )⇒AB AE. =AQ AC.

c) Chứng minh ∆ABM ∆ACN g g( . ) suy ra AB BM (1)

AC = CN

b) Chứng minh ∆BDM ∆CDN g g( . ), suy ra
(2)

BM DM

CN = DN

Từ (1) và (2) AM DM

AN DN

⇒ = ⇒ĐPCM.

a) HS tự chứng minh.
b) HS tự chứng minh.

c) Từ a, suy ra AB.AC = AD.AI (1)
Từ b, suy ra BD.CD = AD.ID (2)

Từ (1) và (2), ta chứng minh được AD2

= AB.AC- DB.DC
Gợi ý: Kẻ AD là đường phân giác của góc A.

Theo tính chất đường phân giác,

CD AC CD AC

DB = AB ⇒ DB CD+ = AB+AC

(1)

AC BC
CD

AB AC

⇒ =

Chứng minh 2

( . ) . (2)

ABC DAC g g AC BC DC

∆ ∆ ⇒ =

Thay (1) vào (2) được 2 .

. AC BC

AC BC

AB AC
=

+ ⇒ĐPCM.

a) Chứng minh BFED là hình bình hành

, . . (1)

BF ED EF BD BF BD EF ED

⇒ = = ⇒ =

Chứng minh ∆BFN ∆MDB g g( . )⇒NF DM. =BD BF. (2)
Chứng minh ∆AEF ∆ECD g g( . )⇒AF CD. =EF ED. (3)
Từ (1), (2) và (3) NF CD

AF DM

⇒ =

Từ đó chứng minh được ∆AFN ∆MDC c g c( . . )

b) Ta chỉ ra được  FNA=EKC, từ đó suy ra AN//MK

a) Chứng minh được AE AB

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Từ đó chứng minh được ∆AEF ∆ABC c g c( . . )
b) Tương tự câu a, ta có

 

( . )

CED CBA g g CED CBA

∆ ∆ ⇒ =

Từ a, suy ra  AEF =CBA nên CED = AEF. Từ đó chứng

minh được  FEH =DEH , suy ra EH là phân giác của FED
Chứng minh tương tự ta chỉ ra được H là giao điểm các
đường phân giác của ∆DEF

c) Chứng minh được BD.BC = BH.BE (1)
Chứng minh được CD.BC = CH.CF (2)
Từ (1) và (2), ta có BH.BE + CH.CF = BC2

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VNG 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

- Tam giác vng này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vng kia.

- Tam giác vng này có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng của tam giác vuông kia.

2. Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vng của tam giác vng này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vng của
tam giác vng kia thì hai tam giác vng đó đồng dạng.

3. Tỉ số hai đường cao, trung tuyến, phân giác của hai tam giác đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

- Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

4. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng

Phương pháp giải: Có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1:Áp dụng trường hợp đồng dạng của hai tam giác thường vào tam giác vuông
Cách 2: Sử dụng đặc biệt nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.

1A. Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

a) ∆BEH∽∆CDH; b) ∆EHD∽∆BHC.

1B. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Qua điểm M bất kì trên BC, vẽ đường thẳng vng góc với

BC, cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Chứng minh:

a) ∆ABC∽∆MDC; b) ∆EAD∽∆EMB.

2A. Cho hình thang vng ABCD tại A và D, AB 6cm,CD 12cm= = và AD 17cm.= Trên cạnh AD, lấy
E sao cho AE 8cm= . Chứng minh BEC 90 . = 0

2B. Cho tam giác ABC vuông tại A với AC 4cm= và BC 6cm.= Kẻ tia Cx vng góc với BC (tia Cx và
điểm A nằm khác phía so với đường thẳng BC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho BD 9cm.= Chứng minh
BD song song với AC.

Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vng để giải tốn

Phương pháp giải: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông (nếu cần) để chứng minh hai
tam giác đồng dạng, từ đó suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc cặp cạnh tương ứng tỉ lệ, từ đo suy
ra điều cần chứng minh.

3A. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

a) Chứng minh AB2 =BH.BC; b) Chứng minh AH2 =BH.CH;
c) Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung điểm của AH. Chứng minh ∆BAP∽∆ACQ;
d) Chứng minh AP ⊥CQ.

3B. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ H

xuống AB và AC. Chứng minh:

a) AH2 =AM.AB; b) AM.AB AN.AC.=

c) ∆AMN∽∆ACB.

4A. Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE⊥AB tại E, CF⊥AD tại F, BH⊥AC tại H và

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

a) AB AH;

AC = AE b) AD.AF AK.AC;=

c) AD.AF AB.AE AC .+ = 2

4B. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh

BC =BH.BD CH.CE.+

Dạng 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác

Phương pháp giải: Sử dụng định lý tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng
dạng.

5A. Cho hình vng ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và BC và I là giao điểm của DF và

CE. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác CIE và CBE.

5B. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Đường thẳng qua D và song song với AC cắt AB tại E,

đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại F. Cho biết diện tích các tam giác EBD và FDC lần lượt
bằng a2 và b2, hãy tính diện tích tam giác ABC.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

6. Cho hai tam giác ABC cân tại A và A'B'C ' cân tại A '. Cho biết tỉ số hai đường cao BH và B'H' bằng

tỉ số hai cạnh tương ứng AC và A'C ', chứng minh hai tam giác trên đồng dạng.

7. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E. Gọi G là

một điểm trên cạnh BC. Tính diện tích tứ giác ADGE biết diện tích tam giác ABC bằng 16cm ,2 diện tích
tam giác ADE bằng 9cm .2

8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC 20cm,AH 8cm.= = Gọi D là hình chiếu của H trên

AC, E là hình chiếu của H trên AB.

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ADE.

HƯỚNG DẪN 
1A.a) ∆BEH ∆CDH g( −g)

b) Có ∆BEH ∆CDHta suy ra HE HB

HD= HC

Từ đó chứng minh được ∆EHD∆BHC c g c( . . )

1B.HS tự chứng minh
2A.Ta chứng minh được

 

( . . )

ABE DEC c g c AEB ECD

∆ ∆ ⇒ =

Từ đó ta có   0

DEC+AEB= suy ra BEC=900 (ĐPCM)

2B.Ta chứng minh được

 

ABC CBD ACB CBD

∆ ∆ ⇒ =

Từ đó suy ra BD//AC (ĐPCM)

3A. a) Ta chứng minh ∆ABH ∆CBA từ đó suy ra AB2 =
BH.BC (ĐPCM)

b) Tương tự câu a, HS tự chứng minh
c) Từ ∆AHC∆BHA

AH AC
BH AB

⇒ = mà AH AQ

BH = BP

Từ đó suy ra AC AQ

AB = BP . Do đó có ∆BAP∆ACQ c g c( − − )

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Sử dụng kết quả câu b) BAP =MCA. Trong ∆AMC ta
chứng minh được  0

CMA= ⇒CP⊥ AQ (ĐPCM)
3B.HS tự chứng minh.

4A.a) Ta chứng minh AHB AEC g g( . ) AB AH (1)

AC AE

∆ ∆ ⇒ =

b) Tương tự câu a ta chứng minh được AD AK

AC = AF
⇒ AD.AF =AK.AC (2)

b) Từ (1) ta có AB.AE = AC.AH (3)

Lấy (3) + (2) ta được AD.AF + AB.AE = AC2(ĐPCM)

4B. Gợi ý: Gọi AH∩BC=

{ }

K , chứng minh được AK ⊥

BC.

Áp dụng cách làm tương tự 4A suy ra ĐPCM.

5A.Ta chứng minh được ∆CIFvuông tại I. Vẽ BK ⊥ CE.

2
4
CBK
CFI
S BC
CBK CFI
S CF
 
⇒ ∆ ∆ ⇒ =  =
 


Lại có ⇒ ∆CFI ∆BEKnên CBE 5
CIF
S

S =
5B.Đặt SABC = S2. ∆EBD∆ABC

Chứng minh

2 2 2

EBD
ABC

S BD a BD

S BC S BC

   
⇒ =  ⇔ = 
   
(1)
BD a
BC s
⇒ =
Chứng minh:
2
(2)

CDF
CBA

S DC DC b

CDF CBA

S BC BC s

 

⇒ ∆ ∆ ⇒ =  ⇒ =

 



Từ (1) và (2) BD DC a b

(

)

S a b

BC BC s s

⇒ + = + ⇒ = +

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

Theo giả thiết ta có:

' ' ' ' ' '

BH AC AB

B H = A C = A B

Ta chứng minh được ∆BHA∆B H A' ' '⇒ = A A'

⇒Chứng minh được ∆ABC∆A B C c' ' '( − −g c)

9 3

16 4

ADE
ABC

S AE

ADE ABC Do

S AC

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = suy ra AE=3EC

Kẻ AA' ⊥ DE, EE' ⊥ BC
Chứng minh EE ' 1 '
3AA

= nên 1 3 2

GDE ADE

S = S = cm

12
ADGE

S cm

⇒ =

a) Ta chứng minh được: C =AED (vì cùng bằng BAH)
Từ đó suy ra ĐPCM

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

2 2

4
25

ADE
ABC

S DE AH

S BC BC

   

=  =  =

   

Từ đó tính được
SADE = 12,8cm2

a) Chứng minh được ∆AOB∆DOC g g( . )
b) Từ câu a, ta chỉ ra OA OB

OD =OC

Chứng minh∆AOB∆DOC g g( . )
Từ đó suy ra EA.ED = EB.EC
a) HS tự chứng minh

b) HS tự chứng minh

c) Chứng minh được ∆IEB∆IDC g g( . )⇒ĐPCM.
a) Chứng minh được ∆ADI ∆BDA g g( . )⇒ĐPCM.

b) Có 2

( . ) .

ABI DBA g g AB BI BD

∆ ∆ ⇒ = , mà AB = 2AD

⇒ĐPCM.

a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh được AD AN

DC = DP. Từ đó suy ra

( . . )

AND DPC c g c

∆ ∆

c) Chứng minh P là trực tâm ∆DNC

(1)

CP DN

⇒ ⊥ . Chứng minh được tứ giác MNPC là hình
bình hành ⇒MN//PC (2). Từ (1) và (2) ta suy raMN⊥DN

3A. Điều kiện cần: Giả sử A'; B'' C' thẳng hàng. Vẽ AH//BC

(H ∈ A'B'). Theo hệ quả định lý Talet

' ' '

;

' ' ' '

AC HA CB A C

BC A B AB HA

⇒ = =

' ' ' ' '

. . . . 1.

' ' ' ' '

AC BA CB HA BA A C
BC CA AB A B CA HA

⇒ = =

Điều kiện đủ: Có '. '. ' 1 (1)

' ' '

AC BA CB

BC CA AB =

Lấy A'' là giao điểm của B'C' và BC.

Chứng minh như điều kiện cần, ta có

' '' '

. . 1 (2)

' '' '

AC BA CB

BC CA AB =

Từ (1), (2) ' '' ' ''.
' ''

BA BA

A A

CA CA

⇒ = ⇒ ≡ Vậy A'B'C' thẳng
hàng.

3B.Điều kiện cần: Giả sử AA', BB', CC' đồng quy tại M.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BB' tại E, cắt
CC' tại D. Theo hệ quả định lý Talet có

;

' ' ' ' '

AE MA DA MA BA AE

BA =MA CA = MA ⇒CA = DA

Tương tự có: ' ; '

' '

AC DA CB BC

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

' ' '

. . . . 1

' ' '

BA AC CB AE DA BC
CA BC AB DA BC AE

⇒ = =

Điều kiện đủ: Giả sử

' ' '
. . 1.
' ' '

AC BA CB

BC CA AB = Gọi BB'∩CC'=

{ }

M và AM∩BC=

{ }

A1

Vè đường thẳng qua A và song song với BC cắt BB', CC' lần
lượt tại E, D. Chứng minh như trên ta có:

1
1

' '

. . 1 ' ', ', '

' '

BA

AC CB

A A AA BB CC

BC CA AB = ⇒ ≡ ⇒ đồng quy tại

4A. a) MN là đường trung bình / / ; 1

ABC MN AB MN AB

∆ ⇒

Ta chứng minh được

( )

. AH AB 2

AHB MON g g

OM MN

∆ ∆ ⇒ = =

b) Có HAG =OMG và OM GM

AH = GA (cùng

1
2

= )
Từ đó suy ra ∆HAG∆OMG c g c( . . )

c) Từ câu b GH 2; AGH OGM
GO

⇒ = =

Từ đó chứng minh được   0

180

OGM +HGM = . Vậy H, G, O

thẳng hàng.

4B.Gọi AG∩PF =

{ }

H ,CG∩PE Q

{ }

Chứng minh được

1
(1)
2

HF GJ

HP =CG = . Mà (2)

MF HF

ME = HP

Từ (1), (2) có: 1 1

2 3

MF

MF EF

ME = ⇒ =

Tương tự có 1
3

MN = EF
Vậy MF=MN=NE

5.Ta chứng minh được AQ AC

AP = AB

Từ đó suy ra ∆APQ∆ABX c g c( . . )

 AQP ACB PQ/ /BC

⇒ = ⇒

6.a) Tính được BD= 2(cm) (Định lý Pytago)

b) Ta có 2

DB DE
DC DB

 

= = 

 . Từ đó ta chứng minh được

( . . )

BDE CDB c g c

∆ ∆

c) Từ b, ta chỉ ra  DCB=DBE

     0

DEB DCB DEB DBE ADB

⇒ + = + = =

7.a) HS tự chứng minh

b) Chứng minh được AD2 = AB.DC. Từ đó suy ra AD =

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

c) HS tự chứng minh.
d) Ta chứng minh được

4 16

9 81

OAB
OCD
S
S

∆
∆

 
=  =

 

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

ƠN TẬP CHUN ĐỀ3 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài 1 đến Bài 8 của chương này.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

1A. Cho tứ giác ABCD có BAC BDC = , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.

a) Chứng minh ∆AOB∽∆DOC.
b) Chứng minh ∆AOD∽∆BOC.

c) Hai đường thẳng AD và BC giao nhau tại E. Chứng minh EA.ED EB.EC.=

1B. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm E và D sao cho AE AD 1.

AC = AB = 3
a) Chứng minh ∆ABD∽∆ACE.

b) Chứng minh ∆ADE∽∆ABC.

c) Giả sử I BD= ∩EC. Chứng minh ID.IB IE.IC.=

2A. Cho hình chữ nhật ABCD, AB 2BC.= Kẻ AI vng góc với BD tại I và AI cắt DC tại E. Chứng minh:

a) AD2 =DI.DB; b) BI 4DI;=
c) DC 4DE.=

2B. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ DE vng góc với AC tại E. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,

AE và DE. Chứng minh:
a) AD AE;

DC = DE b) ∆AND∽∆DPC;

c) ND ⊥NM.

3A. Cho tam giác ABC. Lấy ba điểm A',B',C' lần lượt trên ba đường thẳng BC, AC và AB. Chứng minh

điều kiện cần và đủ để ba điểm A',B',C' thẳng hàng là AC ' BA' CB'. . 1

BC ' CA' AB'= . (Định lý Menelaus).

3B. Cho tam giác ABC. Lấy ba điểm A',B',C' lần lượt trên ba đường thẳng BC, AC và AB. Chứng minh

điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA',BB',CC ' đồng quy là AC ' BA' CB'. . 1

BC ' CA' AB'= . (Định lý Ceva).

4A. Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi O là giao điểm các
đường trung trực của tam giác, G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) ∆OMN∽∆HAB. Từ đó suy ra AH 2OM;=
b) ∆HAG∽∆OMG;

c) Ba điểm H,G,O thẳng hàng và GH 2GO.=

4B. Cho tam giác ABC, hai trung tuyến AK và CJ cắt nhau tại G. Từ một điểm P bất kì trên AC, vẽ các

đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CJ

(

E BC,F AB∈ ∈

)

. Các trung tuyến AK, CJ cắt
đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M và N. Chứng minh FM MN NE= = .

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao BE và CF. Gọi P là chân đường vng góc kẻ từ E đến

AB, Q là là chân đường vng góc kẻ từ F đến AC. Chứng minh PQ song song với BC.

6. Cho tam giác ABC vuông tại A, Ab 1cm,AC 3cm.= = Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho

AD DE EC.= =
a)Tính độ dài BD.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

7. Cho hình thang vng ABCD

(

A D 90 = = 0

)

có hai đường chéo vng góc với nhau tại O,
AB 4cm,CD 9cm.= =

a) Chứng minh ∆AOB∽∆DAB.
b) Tính độ dài AD.

c) Chứng minh OA.OD OB.OC= .
d) Tính tỉ số OAB

OCD

S
.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3

Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút

ĐỀ SỐ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2,5 ĐIỂM)

Bài 1. (1điểm) Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.

1. Cho tam giác ABC có D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho DE BC và CE 4cm,=
AC 6cm,BC 7,5cm.= = Khi đó độ dài DE bằng:

A. 8cm;

5 B.

16
cm;

5 C. 2,5cm D. 5cm

2. Cho ∆ABC có AB 4cm,BC 5cm,AC 6cm; MNP= = = ∆ có MN 2cm,NP 3cm,= = MP 2,5cm.=
Cách viết nào sau đây đúng quy ước về đỉnh:

A. ∆ABC∽∆MNP; B. ∆ABC∽∆MPN;
C. ∆ABC∽∆NPM; D. ∆ABC∽∆NMP.

3. Cho ∆ABC∽∆A'B'C 'theo tỉ số đồng dạng 2. Gọi AM và A'M ' lần lượt là các đường trung tuyến của
tam giác này. Khi đó tỉ số AM

A'M ' bằng:
A. 2; B. 1;

2 C.

4 D. 4.

4. Cho ∆ABC∽∆MNP và AB 1,SMNP 25cm2

MN =5 = . Tính SABC :

A. 1cm2 B. 5cm2 C. 125cm2 D. 625cm2.

Bài 2. (1,5 điểm)Cho hình vẽ bên (Hình 1)

Điền nội dung thích hợp vào chỗ chấm (...)
a. IF ...;

IH =...
b. Nếu HI ...

HG =... thì FG IJ;
c. Nếu FG IJ thì IF = ...

diê

Hình 1
H

I
F

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Bài 1. (2,5 điểm) Một cột cờ thẳng đứng có

bóng in xuống mặt đất dài 18m

(

AC 18m=

)

,
cùng thời điểm đó, một cọc sắt DB cao 2m
vuông góc với mặt đất là 3m

(

CB 3m=

)

. Tính
chiều cao cột cờ.

C B A

Bài 2. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Vẽ đường cao AH

(

H BC .∈

)

Lấy điểm D

đối xứng với B qua H.

a) Chứng minh ∆ABC∽∆HBA;

b) Qua C dựng đường thẳng vng góc với tia AD cắt AD ở E. Chứng minh AH.CD CE.AD;=
c) Chứng minh ∆HDE∽∆ADC;

d) Cho AB 6cm,AC 8cm.= = Tính diện tích tam giác DEC;
e) AH cắt CE tại F. Chứng minh tứ giác ABFD là hình thoi.

HƯỚNG DẪN 
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM

Bài 1

Câu 1. C Câu 3. A
Câu 2. D Câu 4. A

Bài 2.Nội dùng cần điền vào chỗ chấm (...)

a) GF

GH b)

HJ

HF c) IJ.

PHẦN II. TỰ LUẬN 
Bài 1. Ta có BD BC

AE = AC (Hệ quả định lý Talet)

Từ đó tính được 2.18 12( )
3

AE= = m . Vậy chiều cao cột cờ là (12m)

Bài 2.a) Chứng minh được ∆ABC∆HBA g g( . )

b) Chứng minh được ∆AHD∆CED g( −g)⇒AH CD. =CE AD.
c) Từ ý b, ta có AD CD

HD = DE

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

d) Ta có 1 . 24( 2)
2

BAC

S∆ = AB AC= cm
Tìm được BC = 10cm, BH = 3,6cm

⇒ BD = 7,2cm, DC = 2,8cm.
Ta có ∆DEC∆BAC g g

( )

1176
625

DEC

DEC
BAC

S DC

S

S BC

∆

∆
∆

 

⇒ =  ⇒ =

 

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

ĐỀ SỐ 2

Bài 1.(2,0 điểm)

Cho hình vẽ bên (Hình 1)

Biết MN 1,5cm,CB 6m,= = BN 6m.=
Tính độ dài cạnh AB.

Hình 1
N

B
A

Bài 2. (3,0 điểm)

Cho hình vẽ bên (Hình 2)

Biết AB 4cm,AC 6cm,BC 5cm,= = =
phân giác AD và BE AC.

Tính độ dài BD;BE.

Hình 2

E
D

C
B

Bài 3.(5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

1) Chứng minh AE.AC AF.AB= và ∆AEF∽∆ABC.

2) Qua B kẻ đường thẳng song song với CF cắt tia AH tại M. AH cắt BC tại D. Chứng minh

BD =AD.DM.

3) Cho ACB 45 = 0 và kẻ AK vng góc với EF tại K. Tính tỉ số AFH

AKE

S
S .
4) Chứng minh: AB.AC BE.CF AE.AF= + .

HƯỚNG DẪN 
Bài 1. Đặt AB = x (m) ⇒ AN = x - 6(m)

Theo hệ quả định lý Talet ta có AN MN

AB = BC

Từ đó tính được AB = 8(m)

Bài 2.Theo tính chất tia phân giác và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

BD DC BD DC BC

AB AC AB AC AB AC

= = =

+ +

Từ BE//AC nên chứng minh được ∆ABE cân tại B ⇒ BE = 4cm.

Bài 3.1) Chứng minh được ∆AEB∆AFC g g( . )nên suy ra AE.AC=AF.AB
Từ đó chứng minh được ∆AEF ∆ABC c g c( . . )

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

BD AD DM

⇒ =

3) Chứng minh được ∆AFH ∆AKE g( −g)
Suy ra
2
A FH
AKE
S AH
S AE
∆
∆
 
⇒ =  
 

Bài cho ABC=450 ⇒EAH =450

AEH

→ ∆ vuông cân ở E

AE HE

→ =

Suy ra AH2 = AE2+HE2 =2AE2
Vậy A FH 2

AKE
S
S

∆
∆
⇒ = .

4) Ta có ∆AEB∆HEC g( −g)
Suy ra AE AB.HE

HC

= và BE AB.CE

HC

Ta có ∆AFC∆HEC g g( . )
.HE

AF AC
HC

⇒ = và CF AC.CE

HC

Từ đó ta có AE AF. AB AC. .HE22

HC

= và

2
2

. . .CE

BE CF AB AC
HC

2 2

. . . . HE CE .

AE AF BE CF AB AC AB AC

HC

 + 

⇒ + =  =

  (ĐPCM)

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51></div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHĨP ĐỀU

CHỦ ĐỀ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Cho hai đường thẳng a và b trong khơng gian.

- Ta nói a v à b song songnếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng và khơng có điểm chung.

- Ta nói a v à b cắt nhaunếu chúng cùng thuộc một mặt phẳng và có chỉ một điểm chung.

- Ta nói a và btrùng nhau nếu chúng có ít nhất hai điểm chung phân biệt.

- Ta nói a và bchéo nhau nếu khơng tồn tại bất cứ một mặt phẳng nào chứa cả a và b.

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng avà mặt phang (P). Ta nói a song songvới (P) nếu akhơng có điểm chung với mặt phẳng
(P).

3. Hai mặt phẳng song song

Ta nói hai mặt phẳng song song với nhau nếu trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau và cùng

song song với mặt phẳng kia.

Lưu ý.Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung Ithì chúng có một đường thẳng chung a (ađi qua I). Khi
đó ta nói hai mặt phẳng đã cho cắt nhau theo giao tuyến a.

4. Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhậtlà hình có 6 mặt đều là các hình chữ nhật.

•Hình hộp chữ nhật có 8 đỉnh: A; B; A'.

° Hình hộp chữ nhật có 6 mặt: ABCD; BCCB’;...

• Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh: AD; D'C'; CD;...

• Hai mặt khơng có cạnh chung gọi là hai mặt đối diện.Nếu coi hai mặt đối diện là mặt đáythì các mặt cịn

lại gọi là mặt bên.

• Hình hộp chữ nhậtcó tâ't cả các mặt là hình vng thì gọi là hình lập phương.

5. Các cơng thức tính diện tích

Xét hình hộp chữ nhật có chiều cao h,đáy có chiều dài là a,yà chiều rộng là b.
a) Diện tích xung quanhcủa hình hộp chữ nhật bằng chu vi đáy nhân chiều cao:

Sxq =2(a + b)h.

b) Diện tích tồn phầncủa hình hộp chữ nhật bằng diện tích xung quang cộng diện tích hai đáy:

Stp = 2 (a + b)h + 2ab.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng với mặt phẳng và của, hai

mặt phẳng của hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng các kiên thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyếtđể nhận biết.

1A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BC'D' như hình vẽ.

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

c) Nêu vị trí tương đối của (ABB'A') với (BDD'B')và (CDD'C')? Giải thích ?

1B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ trên.

a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng AB' và C'D; B'D' và AD; AC và A'C.

b) BC’ song song với (ADD'A') khơng? Vì sao? Chứng minh (BCC'B') song song với (ADD'A').
c) AC' và CA'có cắt nhau khơng? Vì sao?

d) Hai mặt phẳng (ACC'A') và (BDD'B') có cắt nhau khơng? Nếu cắt thì cắt theo đường thẳng chung nào?

Dạng 2. Nhận biết các đỉnh, các cạnh và các mặt của hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để nhận biết.

2A.Cho hình hộp chữ nhật MNEF.PQGH như hình vẽ.

a) Kể tên 5 đỉnh và 4 mặt của hình hộp chữ nhật.
b) Kể tên tất cả các cạnh của hình hộp chữ nhật.

2B.Cho hình hộp chữ nhật MNEF.PQGH như hình vẽ trên.

a) Kể tên tất cả các mặt đối diện của hình hộp chữ nhật.

b) Nếu coi MPHF và NQGE là hai mặt đáy, hãy kể ten tất cả các mặt bên của hình hộp chữ nhật.

3A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ như hình vẽ. K là trung điểm BM, H thuộc PC.

a) Kể tên các mặt phẳng chứa cạnh QD.
b) Điểm K có thuộc (ABNM) khơng? Vìsao?
c) BM có cắt được KN khơng?

3B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ như hình vẽ. K là trung điểm BM, H thuộc PC.

a) AN có đi qua K khơng? Vì sao?
b) Kể tên các mặt phang chửa điểm H.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

Dạng 3. Tính độ dài các đoạn thẳng

Phương pháp giải:Đưa các dữ liệu của cạnh, góc về trong cùng một mặt phẳng, sử dụng các cơng thức hình
phẳng để tính.

4A.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi o là giao điểm của AC và BD.

a) Tứ giác ABNM là hình gì? Vì sao?
b) Cho SCDQP = 100 cm2. Tính OB.

4B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ có BC = 4 cm, BP= 5 cm.

a) Kể tên tất cả các cạnh bằng CD? Giải thích.
b) Tính BN.

Dạng 4. Tính toán các số liệu liên quan đến cạnh, mặt của hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Đưa các dữ liệu của cạnh, góc về trong cùng một mặt phẳng và sử dụng các cơng thức đã
biết trong hình học phẳng để tính.

5A.Cho một căn phịng có dạng hình hộp chữ nhật. Biết chiều dài, chiều rộng căn phòng lần lượt là 3m và

2m và mặt bên chứa cạnh 3m có đường chéo dài 5m.
a) Tính diện tích mặt sàn căn phịng.

b) Tính diện tích xung quanh căn phịng.

5B.Cho một căn phịng có dạng hình hộp chữ nhật. Chiều dài và chiều rộng căn phòng lần lượt là 4m và

3m. Mặt bên chứa cạnh 3m có đường chéo dài 5m.

a) Để lát gạch nền căn phịng cần ít nhất bao nhiêu viên gạch hoa hình vng, biết một viên gạch có số đo
20cm.

b) Tính diện tích tồn phần của căn phịng.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ. Cắt hình hộp theo mặt cắt MNPQ với M là trung

điểm của AB và (MNPQ) song song (AA'D'D).

a) Chứng minh NQ// (BCC'B')

b) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng AN và BD; PB' và MN.

c) Cho AA' = 50cm và ND' = DM = 50 2cm. Khi đó AMND.A'QPD' là hình gì?

d) Tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

7.Một phịng học hình hộp chữ nhật có chiều dài 10m, chiều rộng 5 m và chiều cao 4 ra. Người ta định sơn

bốn bức tường căn phịng, biết giá cơng tiền sơn là 25.000 đồng cho mỗi ra2

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

8*.Một gia đình bác nơng dân dự định xây một hầm biogas (là hầm xử lý chất thải chăn nuôi để tạo ra khí

ga phục vụ sản xuất và sinh hoạt của hộ gia đình) có dạng hình hộp chữ nhật có tổng chiều dài và hai lần
chiều rộng đáy bằng 6m. Hỏi phải xây hầm biogas có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích
mặt đáy lớn nhất?

HƯỚNG DẪN 
Bài 1A. a) BB' và A'D' chéo nhau, CD và B'C' chéo nhau.
b) AB song song với CD (hoặc A'B')

c) (ABB'A') cắt (BDD'B') theo giao tuyến BB', (ABB'A')//
(CDD'C') vì AB và AA' song song với (CDD'C').

1B.Tương tự 1A

a) AB' và C'D song song, B'D' và AD chéo nhau, AC và
A'C' song song.

b) BC' song song với (ADD'A').
c) AC' và CA' cắt nhau tại C.

d) (ACC'A') và (BDD'B') cắt nhau theo giao tuyến OO' (O và
O' lần lượt là giao của AC, BD và A'C', B'D')

2A. a) Tên 5 đỉnh: M, N, F, E, P

Tên 4 mặt: MNEF, MNQP, PQGH, NEGQ.

Lưu ý: HS có thể liệt kê tên các đỉnh, các mặt khác.

b) Tên các cạnh: MN, NE, EF, FM, PQ, QG, GH, HP, MP,
FH, NQ, EG.

2B.Tương tự 2A.

a) MNEF và PQGH; MFHP và NEGQ; MNQP và FEGH.
b) MNEF, PQGH, MNQP và FEGH.

3A. a) (AMQD) và (DQPC)

b) K∈BM và BM ⊂

(

ABNM

)

nên K ∈(ABNM).
c) BM và KN cắt nhau tại K.

3B. Tương tự 3A.

a) AN có đi qua K
b) (BNPC) và (CPQD)

c) Đường DH có cắt được đường PQ.

4A. a) Tứ giác ABNM là hình chữ nhật có tất cả các cạnh

bằng nhau, nên ABNM là hình vng.

b) Vì CDQP là hình vng nên cạnh CD = 10cm.
Từ đó tìm được OB=5 2cm.

4B.Tương tự 4A

a) AB, MN và PQ
b) BN = 3cm.

5A.a) Diện tích mặt sàn là 3.2 = 6m2

b) Chiều cao căn phịng là 4m.

Từ đó tìm được diện tích xung quanh của căn phịng là 40m2

5B.Tương tự 5A

a) 300 viên gạch
b) 80m2

6) a) NQ//DA'// (BCC'B')

b) AN và BD cắt nhau, PB' và MN chéo nhau.
c) AMND.A'QPD' là hình lập phương

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

7. Diện tích cần sơn là 115,44m2. Từ đó tính được chi phí

tiền cơng là 2.886.000đồng.

8*. Gọi chiều dài và chiều rộng căn hầm lần lượt là a và b

(m) (ĐK: a > b > 0). Theo đề bài: a + 2b = 6.
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

1 ( 2 ) 9
( .2 )

2 4 2

a b

ab= a b ≤ + =

Dấu "=" xảy ra 2 3 ( )

2 6 1, 5

a b a

TM

a b b

= =

 

⇔ ⇔

+ = =

 

Vậy diện tích mặt đáy lớn nhất bằng 9 2

2m khi chiều dài hầm
là 3m, chiều rộng hầm là 1,5m.

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

CHỦ ĐỀ 2. THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Đường thẳng a gọi là vng góc với mặt phẳng (P) nếu a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P).
Lưu ý: Nếu a ⊥(P) thì a vng góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

2. Hai mặt phẳng vng góc

Hai mặt phẳng gọi là vng góc với nhau nếu trong mặt phẳng này tồn tại một đường thẳng vng góc vói
mặt phẳng cịn lại.

3. Thể tích của hình hộp chữ nhật

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng diện tích đáy nhân chiều cao:

V = abh

trong đó a, b, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Hệ quả:Với hình lập phưong thì 3

V =a trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Nhận biết quan hệ vng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Dùng các kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để nhận biết.

1A. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH như hình vẽ.

a) Kể tên các đường thẳng được vẽ trên hình và vng góc vói BF.
b) Kể tên ba cặp mặt phẳng vng góc với nhau.

c) AC có vng góc với DH khơng? Vì sao?

d) Chứng minh tam giác AEG vng tại E. Từ đó chứng minh 2 2 2

AG= AE +EF +EH (AG được gọi là

đường chéo hình hộp chữ nhật).

1B.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' như hình vẽ.

a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng BC' và A'D'; DD' và AB; AA’ và A’C'.

b) Chứng minh A'C' vuông góc với (BB'D'). Từ đó chứng minh A'C' vng góc BD'.

c) Chứng minh 1

(

2 2

)

' ' ' ' '

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

Dạng 2. Tính tốn thể tích và các số liệu liên quan đến cạnh và mặt của hình hộp chữ nhật

Phương pháp giải:Đưa các dữ liệu của cạnh, góc về trong cùng một mặt phẳng và sử dụng các cơng thức đã
biết trong hình học phẳng để tính.

2A. Cho biết một bể bơi tiêu chuẩn có chiều dài 50 m, chiều rộng 25 m và cao 2,3 m. Người ta bơm nước

vào bể sao cho nước cách mép bể 0,5 m.
a) Tính thể tích nước trong bể.

b) Tính thể tích phần bể không chứa nước.

2B.Một hồ cá cảnh mini có dạng hình hộp chữ nhật với chiều cao 5 dm, chiều rộng 3 dm và chiều dài 4 dm.

Người ta đổ vào hồ cá 50 dm3nước.

a) Hỏi chiều cao của khối nước trong bể là bao nhiêu dm?
b) Tính thể tích phần hồ cá khơng chứa nước.

3A.Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có chiều cao 8 cm, chiều rộng 6 cm và chiều dài 24cm. Nguời ta

định đặt một cái que dài 27 cm vào trong hộp.

a) Hỏi toàn bộ cái que có ở trong hộp khơng? Vì sao?

b) Giữ nguyên chiều cao và chiều rộng của hộp. Nếu muốn đặt cái que lọt đúng theo một cạnh của đáy hộp
thì phải tăng chiều dài hộp ít nhất bao nhiêu cm? (Biết số đo các chiều là số nguyên). Tính diện tích tồn
phần của hộp khi đó.

3B.Một hình lập phương có cạnh bằng 1. Người ta tăng độ dài của mỗi cạnh của nó thêm 20%.

a) Diện tích tồn phần của nó tăng bao nhiêu phần trăm?
b) Thể tích của nó tăng bao nhiêu phần trăm?

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

4.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần luợt là trung điểm BD và B'D'

a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng MN và BD; MNvà CC'; AC và A'D'.
b) Chứng minh MN ⊥ (A'B'C'D').

c) Biết AA' = 20 cm,AB = 30 cm,AD = 40 cm. Tính B'D'; B'M.
d) Tính thể tích hình hộp.

5.Một cái thùng có dạng hình hộp chữ nhật, cao 1m, dài 50cm và rộng 50cm. Các bác thợ xây đổ một lượng

nước bằng 50% thể tích của thùng rồi thả vào đó 50 viên gạch hình hộp chữ nhật, mỗi viên có các kích
thước cao, dài, rộng lần lượt là 10cm, 20cm, 15cm. Hỏi nước trong thùng có bị tràn ra ngồi khơng? Vì sao?
(Việc ngâm gạch trong nước đê khi xây nhà gạch không hút nước từ phần "vữa" để không gây hiện tượng
nứt tường).

6*.Trong các hình hộp chữ nhật có độ dài đường chéo bằng d, hãy tìm hình hộp chữ nhật có diện tích tồn

phần lớn nhất.

HƯỚNG DẪN 
1A. a) Các đường thẳng vng góc với BF là: AB, BC, CD,

DA, AC, EF, FG, GH, HE và FH.

b) (ABCD) và (BCGF), (CDHG) và (EFGH), (ADHE) và
(ABCD)

Lưu ý: HS có thể liệt kê tên các cặp mặt phẳng khác.
c) AC⊥DH vì DH ⊥(ABCD)

d) Ta có AE⊥(EFGH) nên AE⊥EG. Từ đó, theo định lý

Pitago, ta được:

2 2 2 2 2 2

AG =AE +EG =AE +EF +EH

1B.Tương tự 1A

a) HS tự làm

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

2A. a) Nước trong bể tạo thành một hình hộp chữ nhật có

chiều dài 50m, chiều rộng 25m và chiều cao 1,8m.
Từ đó ta tính được thể tích nước trong bể V1 = 2250m3.

b) Cách 1: Phần bể không chứa nước tạo thành một hình hộp
chữ nhật có chiều dài 50m, chiều rộng 25m và chiều cao

0,5m. Từ đó tính được V2 = 625m3.

Cách 2: Thể tích của cả bể là V = 2872m3. Từ đó V
2 =

625m3.

2B.Tương tự 2A

a) 25

6 dm b)10dm

3A. a) Độ dài đường chéo chiếc hộp là

2 2 2

8 +6 +24 =26cm

Từ đó khơng thể đặt cái que ở hẳn trong hộp.

b) Chiều dài mới của hộp là 27cm. Từ đó ta tính được diện
tích tồn phần của chiếc hộp là: Stp = 852cm2

3B. a) 44% b) 72,8%

4.a) Ta có MN cắt BD tại M.

MN//CC', AC và A'D' chéo nhau.
b) MN ⊥ A'C' và B'D'

c) B'S' = 50cm, B'M = 5 41cm
d) V =24000cm3

5. Vì Vthùng = 250000cm3 và Vgạch= 150000cm3nên nước bị

tràn ra ngồi.

6*.Gọi các kích thước của hình hộp lần lượt là a, b, c (a, b, c

> 0)

Theo đề bài ta có a2

+ b2 + c2= d2
Diện tích tồn phần của hình hộp là:

2 2 2 2

2 2 2 2( ) 2

tp

S = ab+ bc+ ca≤ a +b +c = d
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c.

Vậy hình hộp có diện tích tồn phần lớn nhất là hình lập
phương.

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60></div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

CHỦ ĐỀ 3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứnglà hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy.

2. Các khái niệm liên quan

Trong hình lăng trụ đúng ở hình bên:
- Các đỉnh là A, B, C, D, A', B', C' và D'.
- Các mặt đáy là ABCD và A'B'C'D'.

- Các mặt bên là ADD'A', DCCD',CBB'C' và BAA'B'.

- Các cạnh bên là AA', BB', CC' và DU.

Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng vng góc với hai đáy và được gọi là chiều caohình lăng trụ đứng.

3. Chú ý

- Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác gọi là lăng trụ đứng tam giác. Tương tự, nếu đáy là tứ giác gọi là

lăng trụ đứng tứ giác, nêu đáy là ngũ giác thì gọi là lăng trụ đứng ngũ giác, ...

- Hình hộp chữ nhật và hình lập phương đều là các hình lăng trụ đứng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN 
Dạng 1. Nhận biết hình lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Để nhận biết một hình có phải là hình lăng trụ đứng hay khơng, ta làm như sau:
- Xem hình đó có phải là hình lăng trụ hay không.

- Xem các cạnh bên của hình có vng góc với mặt đáy hay khơng. Từ đó áp dụng khái niệm hình lăng trụ
đứng để đi đến kết luận.

1A.Trong các hình sau, đâu là hình lăng trụ đứng? Vì sao?

1B. Trong các hình sau, hình nào là hình lăng trụ đứng? Vì sao?

Dạng 2. Xác định các đỉnh, các cạnh, các mặt và mối quan hệ giữa các cạnh với nhau giữa các mặt với 
nhau của hình lăng trụ đứng

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

- Các khái niệm về đỉnh, cạnh và mặt của hình lăng trụ đứng.

- Vị trí tưong đối của hai đường thẳng và vị trí tương đối của hai mặt phẳng trong khơng gian.

2A. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'.

a) Hãy kể tên các đỉnh, các cạnh, các mặt đáy và mặt bên của hình lăng trụ đứng.
b) Nêu vị trí tương đối của AB và CC'; AC và A'B'; (ABB'A') và (BCC'B').

2B.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C.Dựng hình bình hành ABDC và A'C'D'B'.

a) Xét hình lăng trụ đứng ABDC.A'B'D'C'

i) Có bao nhiêu đỉnh, bao nhiêu cạnh, bao nhiêu mặt?
ii) Có là hình hộp chữ nhật khơng? Vì sao?

b) Trong các cặp mặt phẳng (ADD'A') và (BCC'B'); (ACC'A') và (BDD'B'); (BCC'B') và (ABDC);cặp mặt

phẳng nào vng góc với nhau? Vì sao?

Dạng 3. Tính độ dài các cạnh và các đoạn thẳng khác trong hình lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Đưa các dữ liệu về cạnh và góc về cùng một mặt phẳng và sử dụng các kiến thức của
hình học phẳng để tính tốn.

3A.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.MNPQcó đường cao bằng 7 cm; đáy MNPQlà hình chữ nhật tâm o và

độ dài các cạnh AB = 3 cm, AC = 5 cm. Hãy tính:
a) Độ dài các đoạn thẳng AP và AO;

b) Tổng diện tích hai mặt đáy của hình lăng trụ đứng.

3B.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy là các tam giác vuông cân tại A và A’, có BC = 3 2cm và

AB' = 5 cm. Tính:

a) Chiều cao của hình lăng trụ;

b) Diện tích của mặt bên ABB'A'và tổng diện tích của hai mặt đáy.

III. BÀI TẬP VỂ NHÀ

4.Một hình lăng trụ đứng có đáv là đa giác ncạnh. Hãy tính:

a) Số đỉnh của hình lăng trụ;
b) Số cạnh của hình lăng trụ;

c) Số mặt của hình lăng trụ.

5.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D'có hai đáy là các hình vng tâm O và tâm O', AB = 5 cm và AC ’
= 15 cm.

a) Hình lăng trụ đứng đã cho có phải hình lập phương khơng? Vì sao?
b) Chứng minh đường thẳng OO'vng góc vói mặt phẳng (ABCD).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ACC'A') và (BDD'B’).

d) Tính chiều cao của hình lăng trụ đứng.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

1A. Các hình a, b và e là các hình lăng trụ đứng. HS tự giải

thích.

1B.Tương tự 1A. Các hình a và d là các hình lăng trụ đứng.
2A. a) Ta có:

- Các đỉnh: A, B, C, A', B' và C'
- Các cạnh bên: AA', BB' và CC'.

- Các cạnh đáy: AB, BC, CA, A'B', B'C' và C'A'.
- Các mặt đáy: ABC và A'B'C'

- Các mặt bên: ABB'A', BCC'B' và CAA'C'

b) AB và CC' chéo nhau, AC và A'B' chéo nhau. Các mặt
phẳng (ABB'A') và (BCC'B') cắt nhau theo giao tuyến BB'.

2B.Tương tự 2A

a) (i) Có 8 đỉnh, 12 cạnh và 6 mặt.

(ii) Hình lăng trụ đứng ABDC.A'B'D'C' khơng là hình hộp
chữ nhật vì các đáy khơng phải là hình chữ nhật.

b) (BCC'B') ⊥ (ABDC)

3A.a) Tính được AP= 74cm và 221
2

AO= cm

b) Ta tính được AD = 4cm, từ đó tính được tổng diện tích hai
mặt đáy là 24cm2

3B.Tương tự 3A.

a) Chiều cao lăng trụ là 4cm.
b) SABB'A'=12cm2 và S2đáy = 9cm2.

4.a) Số đỉnh là 2n b) Cố cạnh là 3n

c) Số mặt là (n + 2)

5.a) Khơng vì AA' ≠ AB.

b) HS tự chứng minh.
c) Giao tuyến là OO'.
d) Chiều cao là 5 7cm

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

CHỦ ĐỀ 4. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Diện tích xung quanh Sxq =2 .p h

Trong đó p là nửa chu vi đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

2. Diện tích tồn phần bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích 2 đáy.

3. Thể tích của hình lăng trụ đứng V = S.h

Trong đó Slà diện tích đáy và hlà chiều cao hình lăng trụ đứng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích lăng trụ đứng

Phương pháp giải: Dùng các kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết để tính các u cầu bài tốn.

1A.Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'có đáy là các tam giác vng tại B và B', AA' = 5 cm, AB = 
2 cm, AC = 6 cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
b) Tính diện tích tồn phần lăng trụ.
c) Tính thể tích lăng trụ.

1B. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D’có đáy là hình thoi cạnh 3 cm, ABC= 60°và chiều cao bằng 5

cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
b) Tính diện tích tồn phần lăng trụ.
c) Tính thể tích lăng trụ.

Dạng 2. Lắp ghép một số lăng trụ đơn giản và tính tốn các dữ liệu của lăng trụ đứng.

Phương pháp giải: Nhận biết khối hình truớc và sau khi lắp ghép, từ đó vận dụng các kiến thức đã học để xử
lý yêu cầu bài toán.

2A.Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'như hình vẽ a,có đáy là tam giác ABCvuông cân tại B và AC = 
5 cm, BB' = 7 cm.

a) Tính diện tích tồn phần của lăng trụ ABC.A’B'C'.

b) Ghép 2 hình lăng trụ đứng có cùng kích thước như lăng trụ đứng ABC.A'B'C' (như hình b).Tính thể tích

của hình lăng trụ đứng mới được tạo thành.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

a) Tính diện tích tồn phần lăng trụ (làm trịn đến chữ sơ' hàng phần trăm).

b) Người ta ghép thêm một hình lăng trụ đứng tam giác MNP.M'N'P' vào hình lăng trụ 1 để được một lăng

trụ đứng tam giác (như ở hình 2). Tính thể tích hình lăng trụ đứng sau khi ghép biết tam giác MNP vuông tại
N và MN = 5 cm,MP = 5 2cm, MM' = 8 cm.

Dạng 3. Một số bài toán thực tế trong cuộc sống liên quan đến lăng trụ đứng

3A.Một cuốn lịch để bàn có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Biết cuốn lịch có chiều cao bằng 30 cm,đáy

là tam giác cân có cạnh bên 17cmvà cạnh đáy bằng 8cm.Tính diện tích tồn phần và thể tích của cuốn lịch.

3B.Một gia đình xây bể chứa nước hình lăng trụ đứng, phần trong lịng bể có đáy là hình vng cạnh 1,5 m,

chiều cao bể là 1 m. Sau đó họ dùng các viên gạch men kích thước 20x30 cm, dày 1 cm để Ốp xung quanh

thành bể và đáy bể. Hỏi gia đình đó cần ít nhất bao nhiêu viên gạch ốp và sau khi ốp bể chứa được khoảng
bao nhiêu lít nước?

III. BÀI TẬP VỂ NHÀ

4.Một hộp quà hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 10 cm, chiều cao lăng trụ bằng

12 cm.

a) Người ta dùng giấy bọc kín hộp quà, hỏi diện tích giấy cần dùng ít nhất là bao nhiêu?
b) Thể tích hộp đựng quà là bao nhiêu?

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

* Cách 1: Gị thành hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật dài 70 cm,rộng 30 cm (hình a);

* Cách 2: Gị thành 2 hình lăng trụ đứng bằng nhau, mỗi lăng trụ đứng có đáy là hình vng cạnh 25cm

(hình b).

Hỏi thể tích thùng ở cách 1 và tổng thể tích các thùng ở cách 2 có bằng nhau khơng? Vì sao?

HƯỚNG DẪN

1A. a) Ta có: BC2 = AC2− AB2⇒BC=4 2 (cm)

Diện tích xung quanh:

Axq = (AB + AC + BC). AA' = 40 + 20 2 (cm2)

b) Ta có:

Diện tích đáy: 2

4 2 ( )
ABC

S∆ = cm
Diện tích tồn phần lăng trụ:

2 40 28 2 ( )

tp xq ABC

S = S + S∆ = + cm

c) Thể tích lăng trụ

. ' 20 2 ( )
ABC

V =S∆ AA = cm

1B.Tương tự 1A

a) Sxq = 60

( )

cm2

b) BD cắt AC tại O. Ta có 3 3( )
2

BO= cm
Diện tích tồn phần lăng trụ là:

60 9 3 ( )
tp

S = + cm

c) Thể tích lăng trụ: 45 3 3

( )
2

V = cm

2A. a) Ta có: 2 2 2 5 2( )
2

AC = AB ⇒AB= cm

Diện tích đáy 25 2

( )
4

ABC

S∆ = cm

Diện tích xung quanh lăng trụ: 2

35 35 2 ( )
xq

S = + cm
Diện tích tồn phần 95 70 2 2

2 ( )

2
tp xq ABC

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

3
' ' '

175

2 2 . ' ( )

ABCA B C ABC

V = V = S∆ BB = cm

2B. a) Kẻ DH vng góc BC (H thuộc BC). Ta tính được

5 2 ( )

DC = cm

Diện tích xung quanh hình lăng trụ:

160 40 2 ( )

xq

S = + cm

Diện tích tồn phần của lăng trụ:

235 40 2 291, 57 ( )

tp

S = + ≈ cm

b) Cách 1: Tính gián tiếp
Thể tích hình lăng trụ tạo thành

' ' ' ' ' ' ' 400 ( )

ABCDA B C D MNPM N P

V =V +V = cm

Cách 2: Tính trực tiếp

' ' ' . ' 400 ( )

MBCM B C MBC

V =V =S∆ MM = cm

3A.Diện tích đáy của cuốn lịch là: 2

4 273 ( )

S= cm
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ là: 2

1260 ( )
xq

S = cm
Diện tích tồn phần của hình lăng trụ là:

1260 8 273 ( )

tp

S = + cm

Thể tích của cuốn lịch là:

. 4 273.30 120 273 ( )

V =S h= = cm

3B.Diện tích cần ốp gạch là 82500cm2 và diện tích của mỗi

viên gạch là 600cm2. Từ đó tìm được số viên gạch cần ít

nhất để ốp thành bể là 137,5 viên.

Thể tích của mỗi viên gạch là 0,0006m3và thể tích của bể là

2,25m3.

Từ đó tính được thể tích phần bể trống sau khi lát gạch là
2,1675m3

Vậy thể tích nước có thể chứa của bể là 2167,5l.

4.a) Diện tích đáy S∆ABC =25 3 (cm2)
Diện tích xung quanh hộp quà: 2

360 ( )
xq

S = cm
Diện tích giấy cần dùng ít nhất là:

360 50 3 ( )

S = + cm
b) Thể tích hộp đựng quà là:

300 3 ( )

V = cm

5.Thể tích thùng tạo ra ở cách 1 là: V1 =50.70.30 = 105000

(cm3).

Thể tích hai thùng tạo ra ở cách 2 bằng nhau, thể tích mỗi
thùng là: V2 = 50.25.25 = 31250 (cm3)

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68></div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

CHỦ ĐỀ 5. HÌNH CHĨP ĐỂU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỂU 
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Khái niệm hình chóp: Hình chóp có dạng như hình vẽ:

Trong đó:

- SAB; SBC; SCD; SAD được gọi là các mặt bên. 
- ABCD được gọi là mặt đáy.

- SA; SB; SC; SD được gọi là các cạnh bên.

- Các cạnh bên cắt nhau tại Sđược gọi là đỉnh hình chóp.

- Đường cao của hình chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh của hình chóp và vng góc với mặt phẳng đáy.

- Hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác, đáy là tứ giác gọi là hình chóp tứ giác, ...

2.Hình chóp đều: là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân có chung đỉnh là đỉnh

hình chóp.

Tính chất của hình chóp đều:

Chân đường cao của hình chóp đều trùng vói tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy.
* Chú ý:Đường cao kẻ từ đỉnh S của mỗi mặt bên gọi là trung đoạn của hình chóp đều.

3. Hình chóp cụt đều:

Cắt hình chóp đều S.ABCD bằng 1 mặt phẳng (P) song song với mặt đáy, phần hình nằm giữa (P) và mặt

phang đáy gọi là hình chóp cụt đều.

Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là 1 hình thang cân.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Nhận biết các kiến thức cơ bản hình chóp đều

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

1A.Cho hình chóp đều S.ABCDcó đường cao SO.

a) Xác định vị trí chân đường cao O của hình chóp.
b) Kể tên các cạnh bên và mặt bên của hình chóp.

1B.Cho hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE.

a) Hình chóp có bao nhiêu cạnh và bao nhiêu đỉnh?
b) Hình chóp có bao nhiêu mặt là các tam giác cân?

c) Trong (SDE) kẻ đường SMvới M là trung điểm DE.Hỏi SMlà đường gì của tam giác SDEvà là đường gì

cùa hình chóp đều?

Dạng 2. Tính độ dài các cạnh, góc của hình chóp đều

Phương pháp giải:Sử dụng các kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyếtvà kiến thức đã học để tính các
yếu tố của hình chóp đều.

2A.Cho hình chóp đều S.ABCDcó độ dài đường chéo của mặt đáy bằng 6 cmvà cạnh bên bằng 5 cm.

a) Tính chiều cao hình chóp đều.
b) Tính diện tích tam giác SCD.

2B.Cho hình chóp đều S.ABCDcó cạnh đáy bằng 4 cmvà cạnh bên bằng 33cm. Cắt hình chóp bởi mặt

phẳng (P) song song với mặt phẳng đáy và cách đáy một khoảng 2 cm.

a) Tính chiều cao của hình chóp đều phần chứa đỉnh S sau khi cắt hình chóp đều S.ABCDbởi (P).

b) Tính diện tích một mặt bên hình chóp cụt đều.

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

3. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
a) Hình chóp đều S.ABCDcó đáy là hình bình hành.

b) Hình chóp đều S.ABCDcó đáy là hình thoi, chân đường cao hình chóp là giao điểm của 2 đường chéo

hình thoi.

c) Hình chóp đều S.ABCDcó đáy là hình vng, chân đường cao hình chóp là giao điểm của 2 đường chéo

hình vng.

d) Hình chóp đều S.ABCDcó đáy là hình vng, các mặt bên là các tam giác đều chung đỉnh S.

4.Kim tự tháp Kê-ốp (Kheops) ở Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều. Biết chiều cao kim tự

tháp là 137m,cạnh đáy dài 231 m.Tính cạnh bên và diện tích một mặt bên của kim tự tháp.

HƯỚNG DẪN 
1A. a) Chân đường cao O của hình chóp là giao điểm hai

đường chéo AC và BD của đáy hình vng ABCD.
b) Các cạnh bên của hình chóp là: SA, SB, SC, SD.
Các mặt bên của hình chóp là: SAB, SAD, SDC, SBC.
c) Hình chóp có S là đỉnh của hình chóp và đáy có 4 đỉnh là
A, B, C, D.

1B.a) Có 10 cạnh có 6 đỉnh.

b) Có 5 mặt là các tam giác cân.

c) SM là đường cao của tam giác SDE đồng thời là trung
đoạn của hình chóp.

2A. a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta tính được BO

= 3 (cm)

Tam giác vng SBO có: SO2 =SB2−BO2
Từ đó tính được SO = 4 (cm)

b) Gọi M là trung điểm của DC. Ta có: DC2

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Trong tam giác vng AMC ta có:

2 2 2

20, 5 ( )

SM =SC −CM ⇒SM = cm
Diện tích tam giác SCD là:

1 3 41

. . ( )

2 3

SCD

S∆ = SM CD= cm

2B. a) Gọi O là tâm của đáy ABCD, M là giao điểm của SO
và mặt phẳng (P). Ta có: OM = 2(cm).

Ta tính được OB=2 2 (cm)rồi suy ra SO = 5 (cm)

Từ đó chiều cao cần tìm là: SM = SO - OM 3 (cm)

b) Gọi I là trung điểm của BC. E, F, J lần lượt là giao điểm
của SB, SC, SI với mặt phẳng (p).

Có: 2 2

29 ( )

SI = SB −IB = cm
Sử dụng định lý Ta-let, ta tính được:

3 29

( ), 2, 4 ( )
5

SJ = cm EF= cm
Diện tích mặt bên của hình chóp cụt là:

32 29
( )
25

EFBC SBC SEF

S =S∆ −S∆ = cm

3.Phát biểu c) đúng.

4. Kim tự tháp S.ABCD (như hình vẽ). Gọi M là trung điểm

của CD và O là giao điểm của AC và BD.

2 2 231 2

2 ( )

CD = OC ⇒OC= m
Cạnh bên: SC= 45449, 5 ( )m
Tính được SM = 32109, 25 ( )m
Diện tích mặt bên của kim tự tháp là:

. 428345422, 3 20696, 507 ( )
2

SCD

S∆ = SM CD= ≈ m

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72></div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

CHỦ ĐỀ 6. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỂU 
I.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Diện tích xung quanh của hình chóp đều Sxq = p d.

Trong đó plà nửa chu vi đáy và dlà độ dài trung đoạn của hình chóp đều.

2. Diện tích tồn phần của hình chóp đều bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.

3. Thể tích của hình chóp đều 1 .
3

V = S h

Trong đó S và hlần lượt là diện tích mặt đáy và chiều cao hình chóp đều.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1. Các bài tốn vê diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể hình chóp đều.

Phương pháp giải: Dùng các kiến thức nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết và các kiến thức đã học để giải
quyết các yêu cầu của bài tốn.

1A.Cho hình chóp đều S.ABC,có tất cả các cạnh bằng nhau và đều bằng 4 cm.

a) Xác định vị trí chân đường cao Hcủa hình chóp S.ABCvà tính độ dài đoạn SH.

b) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
c) Tính diện tích tồn phần của hình chóp.
d) Tính thể tích hình chóp.

1B.Cho hình chóp đều S.ABCDcó cạnh bên bằng 5 dm,đường cao bằng 4 dm.

a) Tính diện tích tồn phần hình chóp.

b) Tính thể tích hình chóp.

Dạng 2. Các bài tốn cơ bản về mối quan hệ giữa hình lập phương, hình hộp chữ nhật với hình chóp 
đều và các bài tốn thực tế.

Phương pháp giải: Vẽ hình, nhận dạng hình chóp đều cùng các dữ kiện và tính các yêu cầu bài tốn.

2A.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.Gọi O là tâm của mặt đáy ABCD.

a) Chứng minh O.A'B'C'D'là hình chóp tứ giác đều.

b) Gọi thể tích hình chóp đều O.A'B’C'D' là V'và thể tích hình lập phương là V.Tính tỉ số V'

V

2B.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'cạnh a.Gọi S là tâm A'B'C'D'.Gọi M, N, P, Qlần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh S.MNPQlà hình chóp tứ giác đều.

b) Gọi thể tích hình chóp S.MNPQ là V'và thể tích hình lập phương là V. Tính tỉ số V'

V .

3A.Trong đợt kỉ niệm ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cắm trại cho khôi lớp 8.

Lớp 8A dự định dựng một trại có dạng hình chóp đều S.ABCDvới bốn cạnh sử dụng bốn cọc tre cùng đặt

nghiêng so với mặt đất một góc cố định và một cọc tre trụ chính giữa trại cao 2,5 m. Biết thời gian để một

học sinh đi dọc theo một cạnh của trại với vận tốc 0,5 m/s là 6s.
a) Tính diện tích vải bạt dùng để phủ kín xung quanh trại.
b) Tính thể tích của trại.

3B. Kim tự tháp Louver được xây dựng ngay lối vào của bảo tàng Louvre tại thủ đơ Paris nước Pháp. Kim

tự tháp có dạng hình chóp đều S.ABCDvới chiều cao và chiều dài cạnh bên của kim tự tháp lần lượt là 21m

và 34m.Tính thể tích của kim tự tháp.

III. BÀI TẬP VỂ NHÀ

4. Cho hình chóp đều S.ABCđường cao SO = 7 cmđường cao trong tam giác ABCbằng 3 cm.

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

5. Kim tự tháp Kê-ơp (Kheops) ở Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều. Biết chiều cao kim tự

tháp là 137m,cạnh đáy dài 231m.Tính diện tích xung quanh và thể tích của kim tự tháp.

6. Một hơm, bạn An đánh rơi một mơ hình kim tự tháp có dạng là hình chóp tứ giác đều vào một hộp đựng

đầy nước dạng hình hộp chữ nhật. Biết hình hộp chữ nhật có kích thước đáy là 7x5 cm và chiều cao là 10

cm; cịn hình chóp đều có chiều cao là 5 cmvà cạnh đáy dài 6 cm. Hỏi khi vớt mơ hình ra, lượng nước còn

lại trong hộp là bao nhiêu?

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

BÀI 6. DIỆN TÍCH XUNG QUANH 
VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU 
1A. a) Chân đường cao H của hình chóp S.ABC trùng với

trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi M là trung điểm của BC
Tam giác ABC có

2 2

2 3 ( )

AM = AB −BM = cm

4 3
( )
3

AH cm

⇒ =

2 2 32

( )
3

SH SA AH cm

⇒ = − =

b) Tam giác SAM cân ở M nên SM = AM =2 3 (cm)
Diện tích xung quanh của hình chóp: 2

12 3 ( )

xq

S = cm

c) Diện tích tồn phần của hình chóp: 2

16 3 ( )

tp

S = cm

d) Thể tích của hình chóp 1 16 2 3

. ( )

3 ABC 3

V = S∆ SH = cm

1B.a) Gọi O là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm của

cạnh CD. Ta tính được: OD=3(dm)

3 2 ( ), 20, 5 ( )

CD= dm SM = dm

Từ đó quy ra diện tích tồn phần của hình chóp là:

18 6 41 ( )

tp

S = + dm

b) Thể tích của hình chóp là: 3

24 ( )

V = dm

2A. a) Bốn tam giác OAA', OBB', OCC', ODD' là các tam

giác vuông bằng nhau nên suy ra OA' = OB' = OC' = OD'.
Hình chóp O.A'B'C'D' là hình chóp đều vì có các mặt bên là
tam giác cân và đáy là đa giác đều.

b) Thể tích của của hình chóp O.A'B'C'D' là: 1 3 3

' ( )

V = a cm

Thể tích hình lập phương: 3 3

( )

V =a cm
Vậy ' 1

V
V =

2B.Tương tự 2A.

a) Hình chóp S.MNPQ là hình chóp đều vì các mặt bên là
tam giác cân và đáy MNPQ là đa giác đều.

b) ' 1
6

V

V = . Chú ý SABCD =2SMNPQ

3A. Trại có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD (như hình

vẽ)

a) Độ dài cạnh của trại là: CD = 3(m). Gọi O là tâm của đáy
và M là trung điểm của cạnh đáy CD.

Ta có: SM2 =SO2+OM2. Từ đó tính được 34( )
2

SM = m
Từ đó quy ra diện tích vải bạt cần phủ: 2

3 34 ( )
xq

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

b) Thể tích của trại là: 3

7, 5 ( )

V = m

3B.Tương tự 3A

Độ dài cạnh đáy của kim tự tháp là: 3

1430 (m )
Thể tích của kim tự tháp là: 10010 (m3

)

4.a) Gọi H là trung điểm của BC

Trung đoạn 2 2

5 2 ( )

SH = OH +SO = cm
Tam giác AHC có

2 2

AC
AC =AH +  

  . Từ đó tìm được
2 3 ( )

AC= cm

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

15 6 3 3 ( )

tp

S = + cm

b) Thể tích của hình chóp 1 3

. . 7 3 ( )

3 ABC

V = S∆ SO= cm

5.Kim tự tháp có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

Gọi M là trung điểm của cạnh CD; O là tâm của đáy ABCD.
Tính được: 124437( )

SM = m

Diện tích xung quanh của kim tự tháp là:

231 124437 ( )

xq

S = m

Thể tích của kim tự tháp:
V = 2436819 (m3)

6.Thể tích lượng nước cịn lại trong hộp bằng hiệu giữa thể

tích của hình hộp chữ nhật và thể tích của hình chóp đều.
Vậy thể tích lượng cịn lại là: 290 (cm3

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

ƠN TẬP CHUYÊN ĐỀ 4 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Xem phần Tóm tắt lý thuyếttừ Bài 1 đến Bài 6.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Các bài tốn về diện tích xung quanh, diện tích tồn phần và thể tích của

Phương pháp giải:Sử dụng các cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích của hình
hộp, hình chóp, hình lăng trụ, ... để tính.

1A. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có BD' = 10cm, AB = 5cm, AC = 8 cm. Hãy tính:
a) Diện tích tồn phần hình hộp;

b) Luợng nuớc cần để đổ đầy hộp.

1B.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCDlà hình vng, chiều cao AA' = a và A CA' = 45°.
Hãy tính:

a) Diện tích tồn phần hình hộp theo a;

b) Thể tích hình hộp theo a.

2A.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC' =13 cm.

Hãy tính:

a) Diện tích xung quanh lăng trụ;
b) Thể tích hình lăng trụ.

2B. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo có độ dài bằng 10cm và 24 cm,chiều cao

lăng trụ bằng 20 cm. Hãy tính:
a) Diện tích tồn phần hình lăng trụ;
b) Thể tích hình lăng trụ.

3A.Cho hình chóp đều S.ABCDcó đường cao bằng 12cmvà trung đoạn bằng 13cm. Hãy tính:
a) Độ dài cạnh đáy hình chóp;

b) Diện tích xung quanh hình chóp;
c) Thể tích hình chóp.

3B.Cho hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'.Gọi M, Ntheo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, B’C. Cho
biết AB = 4 cm, A'B' = 8 cm và MN = 4 cm.

a) Tính diện tích tồn phần hình chóp cụt.
b) Tính chiều cao hình chóp cụt.

c) Lắp một hình chóp đều có độ dài đáy bằng đúng độ dài đáy nhỏ hình chóp cụt. Cho biết cạnh bên hình
chóp đều bằng 2 5cm,hãy tính thể tích của hình chóp đều mói sau khi lắp ghép.

Dạng 2. Các bài toán thực tế liên quan đến các khối hình

Phương pháp giải:Nhận dạng, vẽ hình và tính các u cầu bài tốn dựa vào các khơi hình co bản đã biết.

4A. Một thầy giáo miền núi có ý tưởng xây dựng bể bơi di động dạng hình hộp chữ nhật cho các học sinh

nghèo tiểu học bằng cách xây dựng một khung bằng sắt có chiều dài đáy là 10m, diện tích đáy 50 m2,chiều

cao khung sắt là 1m.Sau đó phủ kín xung quanh và đáy bằng bạt dày.

a) Tính diện tích bạt cần dùng để làm bê bơi di động.

b) Môi lần cho học sinh tập bơi, cần phải đổ lượng nước vào sao cho cách mép trên bể bơi di động 30cm,

biết số tiền cho 1m3nước là 5000 đồng. Hỏi thầy giáo cần bỏ ra bao nhiêu tiền để trả cho mỗi lần.

4B.Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng đặt nằm ngang. Đáy của hình lăng trụ (tức hai đầu hổi của lều)

có hình dạng là các tam giác cân, cạnh đáy của các tam giác cân này tiếp giáp mặt đâ't và có độ dài 3 m,
chiều cao tương ứng dài 2m.Chiều cao lăng trụ (tức chiều dài của lều trại) bằng 4m.

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. Một hình lập phương có cạnh bằng 6 cmđược tạo bởi 216 hình lập phương nhỏ cạnh 1cm. Người ta sơn

tất cả 6 mặt của hình lập phương lớn. Tính số lượng các hình lập phương cạnh 1cm mà:
a) Được sơn đúng ba mặt;

b) Được sơn đúng hai mặt;
c) Được sơn đúng một mặt.

6. Lăng trụ đứng ABC.A'B'C'có đáy là tam giác đều, M là trung điểm BC,biết AA’ = AM = 2cm.

a) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
b) Tính thể tích lăng trụ.

7. Cho hình chóp lục giác đều có cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 4cm.

a) Tính diện tích xung quanh hình chóp.
b) Tính thể tích hình chóp.

8*.Một hình chóp tứ giác đều và một hình hộp chữ nhật có cùng chiều cao bằng 3cm. Đáy hình hộp chữ

nhật là hình vng. Cho biết thể tích và diện tích xung quanh của hai hình bằng nhau, hãy tính thể tích của
hình chóp tứ giác đều và hình hộp chữ nhật đã cho.

HƯỚNG DẪN 
1A. a. Ta có BC= AC2−AB2 = 39 (cm)

2 2

DD '= BD' −BD =6 (cm)

Tìm được diện tích đáy là: 2

5 39 ( )
ABCD

S = cm
Diện tích xung quanh hình hộp là:

2 60 22 39 ( )

tp xq ABCD

S =S + S = + cm

b) Tính được thể tích hình hộp là:

30 39 187, 35 ( )

V = ≈ cm

Từ đó lượng nước cần để đổ đầy hộp là khoảng 0,18735l.

1B.Tương tự 1A

a) Tìm được ; 2

a
AC=a AB=
Từ đó tính được

(

)

1 2 2

tp

S = + a
b) Thể tích hình hộp là: 3

a
V =

2A.a) Sử dụng định lý Pitago ta có:

2 2 2

5 ( )

BC = AC +AB ⇒BC= cm

2 2 2

' ' ' 12 ( )

BC =BC +CC ⇒CC = cm

Từ đó tìm được diện tích xung quanh Sxq = 144 (cm2)

b) Thể tích hình lăng trụ là: 3

'. ABC 72 ( )

V =CC S∆ = cm

2B.a) Tính được BC = 13cm.

Diện tích xung quanh lăng trụ là: 2

1040 ( )
xq

S = cm
Vậy diện tích tồn phần lăng trụ: 2

1280 ( )
tp

S = cm

b) Thể tích hình lăng trụ là: 3

2400 ( )

V = cm

3A.a) Gọi M là trung điểm CD và O là tâm đáy ABCD.

Sử dụng định lí Pitago, có 2 2

5 ( )

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

b) Diện tích xung quanh hình chóp là: 2

260 ( )

xq

S = cm
c) Thể tích hình chóp là: 1 3

. . 400 ( )
3 ABCD

V = S h= cm

3B. a) Tính diện tích xung quanh Sxq=4.SBCB C' '=96 (cm2)

Vậy diện tích tồn phần là: 2

176 ( )
tp

S = cm .
b) Gọi O, O' là tâm đáy ABCD và A'B'C'D'.
Hạ MH ⊥O N H' ( ∈O N' )

Tìm được: OO'=MH =2 3 (cm)

c) Gọi hình chóp thêm vào là S.ABCD (hình vẽ)
Tính được SO'=4 3 (cm)

Vậy thể tích hình chóp mới SA'B'C'D' là:

3
' ' ' '

256 3
( )
3

SA B C D

V = cm

4A.a) Ta có chiều rộng của đáy là 5m. Diện tích xung quanh

của bể bơi là: 2

30 ( )
xq

S = m
Vậy diện tích bạt cần dùng là:

50 80 ( )
xq

S =S + = m

b) Thể tích nước chứa trong bể bơi là:
V = 0,7.50 = 35 (m3)

Suy ra số tiền cần chi trả là: T = 175000 (đồng)

4B.a) Tính được diện tích bạt phủ 2 mái lều: 20 (m2)
b) Thể tích của leeud trại là: V = 12 (m3

)

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ

5. a) 8 hình b) 48 hình c) 96 hình

6.a) Tính được 4 3( )
3

AB= cm

Từ đó tìm được diện tích xung quanh lăng trụ:

8 3 ( )
xq

S = cm

b) Tính được 4 3 2

( )
3

ABC

S∆ = cm
Vậy thể tích lăng trụ là: 8 3 3

( )
3

V = cm

7.a) Gọi M là trung điểm EF. Ta tính được: SM = 15 (cm)
Suy ra diện tích xung quanh hình chóp: 2

6 15 ( )
xq

S = cm
b) ta có: OE = 2 (cm) và tính được SO=2 3 (cm)

Tìm được diện tích đáy: 2

6. 6 3 ( )
ABCDEF OFE

S = S∆ = cm
Từ đó tìm đượcthể tích hình chóp: V = 12 (cm3

8*.Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp và hình hộp lần lượt

là a, b. Ta có thể tích hình chóp là V = a2

.
Thể tích hình hộp chữ nhật là V=3b2

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

Tính được: 9 2
4

a
SM = +

Ta có đẳng thức: 2 9 2 12 (2)
4

a

a + = b

Bình phương 2 vế phương trình (2) và kết hợp với (1), ta có:

(

)

2 2

36+a a =48a . Suy ra: a=2 3 (cm)
Vậy thể tích hình chóp cần tìm là V = 12 (cm3

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ 4

Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút

ĐỀ SỐ 1

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.

Câu 1.Cho hình chóp đều S.ABCD.Xét các khẳng định sau:

i) Đáy ABCD là hình vuông;
ii) SA = SB = SC = SD;

iii) Hình chóp có bốn mặt;

iv) SO vng góc vói mặt đáy, với O là trung điểm AB.

Số khẳng định sai là:

A. 1; B. 2; C. 3; D. 4.

Câu 2.Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 4 cm.Độ dài trung đoạn hình chóp là:

A. 2 cm; B. 3

2 cm; C. 2 3cm; D. 12 cm.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'.Mặt phẳng chứa cả cạnh ACvà cạnh AC' là:
A. (A'C'CA); B. (ABB'A'); C. (CDD'C); D. (BCC'B').

Câu 4. Chọn câu trả lời đúng nhất. Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng là:

A. Các đoạn thẳng không bằng nhau;

B. Các đoạn thẳng song song và bằng nhau;
C. Các đoạn thẳng vng góc với hai mặt đáy;

D. Các đoạn thẳng song song, bằng nhau và vng góc vói hai mặt đáy.

Câu 5.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = 5cm, AC = 13cm, BC = 12cmvà đường cao AA’ = 8cm.

Diện tích tồn phần của lăng trụ là:

A. 220 cm2; B. 180 cm2; C. 270 cm2; D. 300 cm2.

Câu 6.Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 25 cm, 34 cm và 62 cm. Đường chéo hình hộp có sơ' đo là:

A. 60cm; B. 75cm; C. 85cm; D. 80cm.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Bài 1. (4,0 điểm)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó đường cao bằng 8cm, trung đoạn bằng 10 cm. Hãy
tính:

a) Độ dài cạnh đáy hình chóp;
b) Diện tích xung quanh hình chóp;
c) Thể tích hình chóp.

Bài 2. (3,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC = 5cm. Hãy tính:
a) Độ dài cạnh hình lập phương;

b) Độ dài đường chéo hình lập phương;
c) Thể tích hình lập phương.

HƯỚNG DẪN 
ĐỀ SỐ 1 
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3ĐIỂM)

Câu 1. B Câu 4. D
Câu 2. C Câu 5. D
Câu 3. A Câu 6. B

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

Bài 1.a) Gọi M là trung điểm CD và O là tâm đáy ABCD.

Ta có: OM = SM2−SO2 =6 (cm)
Suy ra cạnh đáy AD = 12 (cm)

b) Diện tích xung quanh hình chóp:

( )

240

xq

S = cm

c) Thể tích hình chóp là: 1 3

. . 384 ( )
3 ABCD

V = S h= cm

Bài 2. a) Ta có AC2 = 2AB2
Từ đó suy ra 5 2( )

AB= cm
b) Ta có AC'2 = 2AB2
Từ đó suy ra ' 5 6 ( )

AC = cm

Vậy độ dài đường chéo hình lập phương là 5 6 .
2 cm
c) Thể tích hình lập phương là: 125 2 3

( )
4

V = cm

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

ĐỀ SỐ 2

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3 ĐIÊM)

Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng.

Câu 1.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Số mặt, số đỉnh, số cạnh của hình lập phương lần lượt là:

A. 4, 8,12; B. 6, 8, 12; C. 6,12, 8; D. 8, 6,12.

Câu 2.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Số mặt cùa hình hộp chữ nhật song song với A'B' là:

A. 1; B. 2; C. 3; D. 4.

Câu 3.Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Mặt phẳng chứa BC và BC' là
A. (A'C'CA); B. (ABB'A'); C. (CDD'C); D.(BCC'B').

Câu 4.Hình lăng trụ đứng tam giác có các mặt bên là :

A. Hình bình hành; B. Hình chữ nhật;
C. Tam giác đều; D. Hình vng.

Câu 5.Thể tích hình chóp đều bằng 126cm3, chiều cao của nó là 6 cm. Diện tích đáy hình chóp là:

A. 45 cm2; B.60 cm2; C. 52 cm2; D.63 cm2.

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A'B’CD' có diện tích hình chữ nhật ACCA' là 25 cm2. Diện tích tồn
phần hình lập phương là:

A. 150cm2; B.120cm2; C. 75V2 cm2; D. Tất cả các câu đều sai.

PHẦN II. TỰ LUẬN (7 ĐIỂM)

Bài 1. (4,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B'C có đáy là tam giác vuông cân tại A, chiều cao lăng trụ bằng

9 cm. Diện tích đáy bằng 8 cm2. Hãy tính:
a) Độ dài BC;

b) Diện tích tồn phần lăng trụ;
c) Thể tích lăng trụ.

Bài 2. (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCDcó cạnh đáy bằng 16 cm, đường cao so = 6 cm. Hãy
tính:

a) Độ dài trung đoạn hình chóp;
b) Thể tích hình chóp.

HƯỚNG DẪN 
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (3ĐIỂM)

Câu 1. B Câu 4. B
Câu 2. B Câu 5. D
Câu 3. D Câu 6. C

PHẦN II. TỰ LUẬN (7ĐIỂM) 
Bài 1.a) Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có

1
.

2 4

ABC

BC
S∆ = AM BC=
Suy ra: BC=4 2 (cm)

b) Tìm được AB = 4

( )

cm

Từ đó tính được diện tích tồn phần lăng trụ:

88 36 2 ( )
tp

S = + cm

c) Thể tích lăng trụ là: 3

72 ( )

V = cm

Bài 2. a) Gọi M là trung điểm cạnh CD. Tìm được

8 ( )

OM = cm

Sử dụng định lý Pitago, ta có: 2 2

10 ( )

SM = SO +OM = cm
b) Thể tích hình chóp:

( )

512

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84></div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

Thời gian làm bài cho mỗi đề là 90 phút

ĐỀ SỐ 1

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:
a)

(

)(

)

3 1 8

1 3 1 3

x

x x x x

− + =

− − − −

b) 2x− =1 3x−9

2) Giải bất phưong trình 2 1

4 6

x− < x+

và minh họa tập nghiệm trên trục số.

Bài 2. (2,5 điểm)Cho các biểu thức:

2
2

3 3 4 9

3 3 9

x x x

A

x x x

− +

= + +

+ − − và

3
2 6

B
x
=

+ với x≠ ±3

1) Tính giá trị của B khi x=3
2) Rút gọn biểu thức C A

B

3) Tìm x nguyên để c nhận giá trị nguyên.

Bài 3. (2,0 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình:

Một tổ sản xuất dự định hoàn thành kế hoạch trong 20 ngày với năng suất định trước. Do tăng năng suất
thêm 10 sản phẩm mỗi ngày nên tổ đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian dự định 2 ngày và còn làm
vượt mức kế hoạch 100 sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ dự định làm theo kế hoạch.

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vng góc vói BC tại H. Gọi E và F lần

lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh AH2 - AE.AB.

b) Chứng minh ∆AFE∆ABC;

c) Lấy M đối xứng với A qua E, tia MHcắt cạnh ACtại N. Chứng minh  ABH = ANH và EF//HN.
d) Gọi O là trung điểm của BC; AOgiao với HNtại K.Cho biết ACB= °30 , hãy tính tỉ số KAN

HCA
A
S
Bài 5. (0,5 điểm) Cho a > 0, b > 0 va a + b = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 4

Q a b ab

ab

= + + −

HƯỚNG DẪN 
Bài 1.ĐK: x≠1, x≠3.

a) Biến đổi PT về dạng 2

x − x =

Từ đó tìm được x = 0

(

TM

)

hoặc x = 1

(

KTM

)

b) Cách 1. Xét hai trường hợp:

- Với 1
2

x≥ , ta có 2 1 x − = 3 9x − ⇔x = 8

(

TM

)

.
- Với 1

x< , ta có −2 1 x + = 3 9x − ⇔x = 2

(

KTM

)

.
Cách 2. Ta có PT

(

)

3 9 0

2 1 3 9

x
x x
− ≥

⇔  − = ± +


Từ đó ta cũng tìm được x=8
c) Tìm được x<8

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Bài 2. 1) Thay x=3 vào B tính được 1
4

B=
b) Biến đổi được 2

x
C

x
=

−

3) Ta có 2 6
3

C

x
= +

− . (ĐK: x≠3,x≠ −3)

Để C nguyên thì x− ∈3 Ư(6) hay x− ∈ ± ± ± ±3

{

1; 2; 3; 6

}

. Tìm được x∈

{

0;1; 2; 4;5; 6;9

}

Bài 3.Gọi số sản phẩm tổ dự định làm theo kế hoạch là x (sản phẩm, x>0;x∈N*).
Thiết lập được PT: 10 .18 100

x

 +  = +

 

 

Từ đó tìm được x = 800 (sản phẩm)

Bài 4.1) Gợi ý: Dựa vào các tam giác đồng dạng.

2) Gọi I là giao điểm của AH và EF
Tam giác AEI cân ⇒ AEF =EAH;
Mà EAH = ACB nên  AEF = ACB
Từ đó suy ra ∆AFE∆ABC;

3) ta có EI là đường trung bình ∆AHM ⇒EF/ /HN

 ANH AFE

⇒ = (hai góc ở vị trí so le trong).
Mặt khác  ABC= AFE vì ∆AFE∆ABC

Vậy  AbH = ANH

4) Ta có tam giác AOC cân ⇒OAC =ACO=30 (1)0
Lại có  0

HAN = và  ANH =HAN (cùng bằng AFI )

 0

(

 

)

180 90

AKN KAN KNA hay AK HN

⇒ = − + = ⊥

AHN

∆ đều và N là trung điểm của AC.

2 .

AHC AHN

S∆ S AK HN

⇒ = =

Tưd đó tìm được 1. 1

2 4

KAN
HCA

S KN

S = HN =
Bài 5. Biến đổi được Q 1 4ab 4

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

Mà

2 4

a b
ab≤ +  =

  nên Q≥16

Tính được min 16 1
2

Q = ⇔ = =a b

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

ĐỀ SỐ 2

Bài 1. (1,5 điểm)

1) Giải các phương trình sau:
a) 2 1 2 3 ;

5 5

x

x x x x
+

− =

− b) x− =2 2x−1

2) Giải bất phương trình 2 1 2

3 2 3

x
x

−
≤

+ và minh họa tập nghiệm trên trục số.
Bài 2 (2,5điểm) Cho biểu thức:

2 3 2

1 2

1 :

1 1 1

x x

A

x x x x x

   

= +   − 

+  − + − − 

  với x≠1.

1) Rút gọn A.

2) Tính giá trị của A tại 1

x= −

3) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

Bài 3 (2,0điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5m. Nếu giảm chiều rộng đi 4m và giảm
chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 180m2. Tính chu vi ban đầu của mảnh đất.

Bài 4. (3,5điểm) Cho hình vng ABCD, lấy điểm E là trung điểm của AB. Qua D kẻ đường thẳng vng

góc với Ce tại I cắt BC tại F.
1) Chứng minh ∆CIF∆CBE.
2) Chứng minh 2

IC =IF ID.
3) Chứng minh tam giác ADI cân

4) Gọi K là trung điểm của DC, AK cắt DF tại H.Tính diện tích tứ giác KHCI biết AB = 6cm.

Bài 5.(0,5điểm) Cho x> y y, >1 và x+ =y 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

1 1
x y
P

x y
=
− − .
HƯỚNG DẪN

Bài 1.1) a) ĐK:x≠0 và x≠5

Biến đổi PT đã cho về dạng x+ −1 2(x− =5) 3x
Từ đó tìm được 11( )

x= TM

b) Sử dụng phương pháp chia khoảng hoặc phương pháp biến đổi tương đương, tìm được x=1

2) Ta có 7 0

3(3 2)
BPT
x
−
⇔ ≤
+

Từ đó tìm được 2
3

x> −

Minh họa tập nghiệm trên trục số như sau:

Bài 2.1) Rút gọn được

2
2 1
1
x
A
x
+
=
−

2) Thay 1
2

x= − vào A tính được A= −1
3) Ta có 2( 1) 3

A x

x

= + +

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

Bài 3.Gọi chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là x (mét), (x > 4).

Thiết lập được PT: x (x + 5) - (x - 4) x = 180.
Giải ra ta được x = 20.

Từ đó tìm được chu vi ban đầu là 90m.

Bài 4.1) HS tự làm.

2) Từ IFC =ICD (cùng phụ với góc ICF) và   0

CIF =CID=

( ) IC IF .

IFC ICD g g IC IF ID

ID IC

⇒ ∆ ∆ − ⇒ = ⇒ =

3) Gọi K là trung điểm của DC⇒AECK là hình bình hành ⇒AK CE . Từ đó suy ra HD = HI và

AK ⊥DI.

Ta có ∆AHD= ∆AHI c g c( . . )⇒ AD=AI hay tam giác ADI cân.
4) Tứ giác KHIC là hình thang vng có diện tích là:

(

)

HK IC IH

S= +

Ta có KD=KC=3cm

2 2

3 5

AK DA DK cm

⇒ = + =

Xét ∆DAK ∆HDK g g( . )nên 2 . 3 5
5

DK = AK HK⇒HK = cm

Do tính chất đường trung bình ta có: 2 6 5
5

CI = HK = cm và HI =HD= DK2−HK2

6 5
5

HI cm

⇒ = . Từ đó suy ra 27 2

S = cm .

Cách khác: Áp dụng kết quả câu 5 bài ƠN TẬP CHƯƠNG ta có:

1 3 3 1 27

. .6.3

5 5 5 2 5

DHK FIC CFD KHIC CFD

S =S = S ⇒S = S = = cm

Câu 5.Biến đổi được: 1 2
2

P

xy
= +

− . Mà

x y
xy≤  + 

  nên P≥9.

Tìm được min

3
9

P = ⇔ = =x y

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90></div>

Chuyên đề bồi dưỡng Hình học 8 - tập 2



<b>Sưu tầm </b>

<b>CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC </b>

<b>B</b>

<b>ỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TẬP 2 </b>

<b>HÌNH HỌC – TẬP 2 </b>

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{ }

(

)

{ }

{ }

( )

{ }

{ }

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{