Đề thi thử THPT quốc gia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (270.49 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§ Bài 3 : HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. Lý thuyết :

1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.1. Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số y=f x

( )

liên tục tại x0 khi và chỉ khi 0

( )

® =

lim

x x f x f x .

1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số y=f x

( )

liên tục trên khoảng

(

a b;

)

khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng đó.

1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn é ùë ûa b; :Hàm số y=f x

( )

liên tục trên é ùë ûa b; khi nó liên tục trên khoảng

(

a b;

)

và :

( )

-đ
đ

ỡù =

ùùù

ớù =

ùùùợ
lim
lim
x a
x b

f x f a

f x f

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC

2.1. Định lí 1:

Hàm số đa thức liên tục trên ¡ .

Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
2.2. Định lí 2: Giả sử y=f x

( )

, y=g x

( )

liên tục tại điểm x0. Khi đó

Các hàm số y=f x

( )

+g x

( )

, y=f x

( )

- g x

( )

, y=f x g x

( ) ( )

. liên tục tại x0

Hàm số

( )

=f x
y

g x

liên tục tại x0 nếu g x

( )

0 ¹ 0.

2.3.Định lí 3 : Nếu y=f x

( )

liên tục trên é ùë ûa b; . Đặt

( )

é ù é ù

ë û ë û

= =

; ;

min ,

a b a b

m f x M m f x

. Khi đó với mọi CỴ

(

m M;

)

ln tồn tại
ít nhất một số cỴ

(

a b;

)

sao cho f c

( )

=C.

 Hệ quả 1: Nếu f x

( )

0 >0 liên tục trên é ùë ûa b; và f a f

( ) ( )

. <0 thì tồn tại ít nhất một số cỴ

(

a b;

)

sao cho

( )

f c

. Nói cách khác: Nếu y=f x

( )

liên tục trên é ùë ûa b; và f a f

( ) ( )

. <0 thì phương trình f x

( )

=0 có ít
nhất một nghiệm cỴ

(

a b;

)

 Hệ quả 2: Nếu y=f x

( )

liên tục trên é ùë ûa b; và f x

( )

¹ 0, " Ỵx

(

a b;

)

thì f x

( )

khơng đổi dấu trên

(

a b;

)

.
B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Cho hàm số

( )

1 0

2 0

khi
khi

ỡù ạ

ùù
=ớù

=
ùùợ

f x x x

f x

f x x x

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, ta thực hiện các bước sau

● Bước 1: Tính giới hạn 0

( )

® = ® =

lim lim

x x f x x x f x L.
● Bước 2: Tính f x

( )

0 =f x2

( )

0 .

● Bước 3 : Đánh giá hoặc giải phương trình L=f x2

( )

0 , từ đó đưa ra kết luận.

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số :

( )

2 2

khi 2
2

2 2 khi 2
ỡù

-ùù ạ

ù
=ớ

-ùù

ù =

ùợ
x

x

f x x

x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Lời giải :

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ .
Ta có :

( )

(

)(

)

(

)

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

® ® ® ®

- +

-= = = + =

-lim lim lim lim

x x x x

x x

x

f x x

x x . Và f

( )

2 =2 2.

( )

lim 2 2 2

x

f x f

® = = nên hàm số liên tục tại x= 2.

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số

( )

2
2

khi 2
2

2 khi 2
ỡù

-ùù ạ

=ớ

-ùù

ù =

ùợ
x

x

f x x x

x

ti x=2.

Li gii:

Hm số xác định với mọi xỴ ¡ .
Ta có :

( )

(

)(

)

(

)

2
2

2 2 2 2

2 2

4 2

2
2

® ® ® ®

- +

= = = =

-lim lim lim lim

x x x x

x x

f x

x
x x

x x . Và f

( )

2 =2

.

Do : xlim®2f x

( )

=f

( )

2 =2 nên hàm số liên tục tại x=2.
Bài 3 : Xét tính liên tục của hàm số

( )

1 2 3 khi 2
2

1 khi 2

ìï -

-ïï ¹

=í

-ïï =

ïïỵ

x

f x x

x

tại x=2.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ .
Ta có :

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2

2 2

1 2 3 2

2 2 1 2 3 1 2 3

® ® ® ®

-= = = =

- - + - +

-lim lim lim lim

x x x x

x
x

f x

x x x x

.

( )

2 =1
f

.

Do : xlim®2f x

( )

=f

( )

2 =1 nên hàm số liên tục tại x=2.
Bài 4 : Xét tính liên tục của hàm số

( )

1 khi 1
khi 1

ìïï ¹

ïï

=í

-ïï - =

ïïỵ
sin x

x

f x x

x
p

p

tại x=1.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ .
Ta có :

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

® ® ® ® ®

é ù

- + - - ê - ú

= = = = ê- ú

=-- - - êë - úû

sin sin sin

sin

lim lim lim lim lim .

x x x x x

x x x

x
f x

x x x x

p p p p p

p p p

p

( )

=-f p

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

( )

3 2 2 2

khi 1
1

3 khi 1

ìï - +

-ùù ạ

=ớ

-ùù + =

ùùợ

x x x

x

f x x

x m x

tại x=1.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ .

Ta có :

( )

(

)

(

)

(

)

3 2

1 1 1 1

1 2

2 2

2 3

1 1

® ® ® ®

- +

-= = = + =

-lim lim lim lim

x x x x

x x

x x x

f x x

x x .

( )

1 3

f = +m

.

Để f x

 

liên tục tại x= Û + = Û1 3 m 3 m=0.
Vậy với m=0 hàm số liên tục tại x=1.

Bài 6 : Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra

( )

2 1 khi 0
khi 0

ỡùù ạ

ùù
=ớ

ùù =

ùùợ
sin

x x

f x x

m x

ti x=0.

Li gii:

Hm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có

2 1 2

0£ x sin £x

x . Mà

2
0

lim 0

x® x = . Do đó

( )

0 0

1
0

® = ® =

lim lim sin

x f x x x x .

( )

f =m

Để f x

 

liên tục tại x= Û0 limfx®0

( )

x =f

( )

0 Û m=0.

Vậy với m=0 hàm số liên tục tại x=0.

Bài 7: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra

( )

(

)

khi
khi
ỡù +

ù ạ

ùùù

=ớ

-ùù

ù =

ùùợ

cosx
x

f x x

m x

p
p

p

tại x=p.
Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có

( )

(

)

(

)

(

)

2
2

2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 1

2 2

đ đ đ đ đ

ộ ự

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ - ữ ờ ỗ - ữỳ

ỗ ữ ờ ỗ ữỳ

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

+ ờ ỳ

= = = = ờổ ử ỳ=

ữ

- - - ờỗỗ - ữữỳ

ờỗố ÷ø ú

ë û

sin sin

cos
cos

lim lim lim lim lim

x x x x x

x x

x
x

f x

x

x x x

p p p p p

p p

p

p p p

( )

f p m

.
Để f x

( )

liên tục tại

1
2

= Û =

x p m

. Vậy với
1
2
=
m

hàm số liên tục tại x=p.

Bài 8 : Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra

( )

2 2

2 khi 1

1 1

khi 1

ỡù +

ùù + ạ

-ù +

ùù
=ớù

- - +

ùù

=-ùùùợ

x x

mx x

x
f x

x x

x

x tại x=- 1.

Lời giải :

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có

( )

2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

®- ®- ®- ®-

®-ỉ + ửữ +

ỗ ữ

ỗ

= ỗỗ + + ữữữ= + + =- + =-

-ỗố ứ

lim lim lim lim lim

x x x x x

x x x x

f x mx mx m x m

x x

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

( )

1 1 1 1 1 2
1

+ -

-- =

=
-f

Để f x

( )

liên tục tại x=- Û -1 2m- 2=- 2Û m=0.
Vậy với

2 2
2

-=
m

hàm số liên tục tại x=- 1.

Cho hàm số:

( )

1 0

2 0

khi
khi

ìï <

ïï
=íï

³
ïïỵ

f x x x

f x

f x x x

Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0, ta thực hiện các bước sau

● Bước 1: Tính f x

( )

0 =f x2

( )

0 .
● Bước 2 : (Liên tục trái) Tính giới hạn

( )

0 0

1 1

-® = ® =

lim lim

x x f x x x f x L .
Đánh giá hoặc giải phương trình L1=f2

( )

x0 , từ đó đưa ra kết luận.
● Bước 3: (Liên tục phải) Tính giới hạn

( )

0 0

1 2

+ +

® = ® =

lim lim

x x x x

f x f x L

.
Đánh giá hoặc giải phương trình L2=f2

( )

x0 , từ đó đưa ra kết luận.

● Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1=L2, từ đó đưa ra kết luận.

Bài 9: Xét tính liên tục của hàm số :

( )

(

)

khi 5
2 1 3

5 3 khi 5

ìï

-ï >

ïïï

-=í
ïï

ï - + £

ïïỵ
x

x

f x

x x

tại x=5.

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ .
Ta có :

( )

5 =3
f

( )

(

)

5 5

5 3 3

-® ®

é ù

= êê - + =úú

ë û

lim lim

x x

f x x

( )

(

)

(

)

5 5 5 5

5 2 1 3

2 1 9 2

2 1 3

+ + + +

® ® ® ®

- - +

= = = =

-lim lim lim lim

x x x x

x x

f x

x

x .

Do xlim®5- f x

( )

=xlim®5+ f x

( )

=f

( )

5 nên hàm số liên tục tại x=5.
Bài 10: Xét tính liên tục của hàm số :

( )

1 khi 0
1 khi 0

ìï - £

ï
=íï

+ >

ïỵ

cosx x
f x

x x

tại x=0.

V

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có

( )

0 1 cos 0 0

f = - =

( )

(

)

0 0

lim lim 1 cos 1 cos 0 0

x® - f x =x® - - x = - = .

( )

0 0

lim lim 1 0 1 1

x x

f x x

+ +

® = ® + = + = .

Do 0

( )

lim lim

x x

f x f x

-đ ạ ® nên không tồn tại limx®0f x

( )

. Vậy hàm số f x

( )

gián đoạn tại x=0.

Bài 11: Xét tính liên tục của hàm số

( )

khi 0
2

1 1

khi 0
1 1

ìïï + £

ïï
ïï

=íï +

-ï >

ïï +

-ïïỵ

x x

f x
x

x

x tại x=0.

Lời giải :

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có :

( )

0 3

f =

( )

0 0

3 3
lim lim

2 2

xđ - f x xđ - x

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗỗố + ÷÷=
ø

( )

(

)

(

)

(

)

2 3

3 2

3
3

0 0 0 0

1 1 1

1 1 3

lim lim lim lim

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x

x x

x
f x

x x x x

+ + + +

® ® đ đ

ổ ửữ

ỗ + + + + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ + + + +

ỗố ứ

-= = = =

+ - + + + +

Do 0

( )

lim lim

x x

f x f x

- +

® = ® nên hàm số liên tục tại x=0.

Bài 12: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm đã chỉ ra

( )

2 khi 1

2 khi 1
1 khi 1

ìï + <

ïï
ïï

=íï =

ïï + >

ïïỵ

x x x

f x x

mx x

tại x=1.
Lời giải:

Hàm số xác định với mọi xỴ ¡ . Ta có

( )

1 =2

f

( )

(

)

1+ 1+ 1 1

® = ® + = +

lim lim

x f x x mx m .

( )

(

)

1 1

-® = ® + =

lim lim

x x

f x x x

Để f x

( )

liên tục tại 1

( )

1 1 1 2 1

-® ®

= Û lim =lim = Û + = Û =

x x

x f x f x f m m

.
Vậy với m=1 hàm số liên tục tại x=1.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

( )

2 3 2

khi 1
1

khi 1

ỡù - +

ùù ạ

=ớù

-ùù =

ùợ

x x

x

f x x

a x

.
a) Tìm a để hàm số liên tục trái tại điểm x=1.

b) Tìm a để hàm số liên tục phải tại điểm x=1.
c) Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=1.
Lời giải :

Ta có

( )

2 khi 1
khi 1
2 khi 1

- >

= =

- <

ìïï
ïï
íï
ïï
ïỵ

x x

f x a x

x x

a) Để f x

( )

liên tục trái tại x=1 thì xlim®1- f x

( )

tồn tại và xlim®1- f x

( )

=f

( )

1 .

Ta có :

xlim®1- f x

( )

=xlim 2®1-

(

- x

)

=1 và f

( )

1 =a.

Vậy với a=1 hàm số liên tục trái tại x=1.

b) Để f x

 

liên tục phải tại x=1thì xlim®1+ f x

( )

tồn tại và xlim®1+f x

( )

=f

( )

1 .

Ta có

xlim®1+f x

( )

=xlim®1+

(

x- 2

)

=- 1 và f

( )

1 =a.

Vậy với a=- 1 hàm số liên tục ti x=1.

c) Do xlimđ1- f x

( )

ạ xlimđ1+f x

( )

nên hàm số không liên tục tại x=1.

Bài 1: Cho hàm số f x

( )

xác định bởi

( )

2 2 khi 3

khi 1 3
1 2

- - ³

-- < <
+

-ìïï
ïï
íï
ïï
ïỵ

x x x

f x x

x

x .

Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng

(

- 1;+¥

)

.
Lời giải:

● Nếu x>3. Hàm số

( )

2 2

f x =x - x

là hàm đa thức nên liên tục trên

(

3;+¥

)

( )

● Nếu - < <1 x 3. Hàm số

( )

1 2

x
f x

x

+ - . Ta cú

1 2 0

x+ - ạ vi mi xẻ -

(

1; 3

)

.
3

x- và x+ -1 2 đều liên tục trên

(

- 1; 3

)

.

Do đó hàm số f x

( )

liên tục trên

(

- 1; 3

)

( )

● Xét tại x=- 3. Ta có

( )

(

)

(

)

(

)

3 3 3 3

3 1 2
3

lim lim lim lim 1 2 4

3
1 2

x x x x

x x

x

f x x

x
x

- - -

-® ® ® ®

- + +

-= = = + + =

-+ - .

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

( )

(

)

3 3

lim lim 2 4

x® +f x =x® + x - x- = .
Vì 3

( )

lim lim 4

x x

f x f x

- +

® = ® = nên hàm số f x

( )

liên tục tại x=3.

( )

Từ

( )

1 ,

( )

2 và

( )

3 ta kết luận hàm số liên tục trên khoảng

(

- 1;+¥

)

Bài 2. Xác định a để hàm s

( )

2 1

khi 1
1

khi 1

- ạ

=ỡùùùùớ

-=
ùù

ùùợ
x

x

f x x

a x

liên tục trên đoạn é ùë û0 1; .
Lời giải:

Hàm số xác định và liên tục trên éë0 1;

)

.
Xét bên trái x=1. Ta có

( )

1 =

f a

( )

(

)

(

)

1 1 1

1 1 4

- -

-® ® ®

- é ù

= = ê + + ú=

ë û

-lim lim lim

x x x

x

f x x x

x .

Để hàm số liên tục bên trái của 1 khi và chỉ khi xlim®1- f x

( )

=f

( )

1 Û 4=a.

Vậy với a=4 thì hàm số liên tục trên é ùë û0 1; .

Thường hay sử dụng các định lý sau :

1. Định lý: Nếu hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn é ùë ûa b; và f a f

( ) ( )

. <0 thì tồn tại ít nhất một số cỴ

( )

a b; sao cho f c

( )

=0.

2. Hệ quả: Nếu hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn é ùë ûa b; và f a f

( ) ( )

. <0 thì phương trình f x

( )

=0 có ít nhất 1 nghiệm trên
khoảng

( )

a b; .

3. Chú ý.

● Nếu f a f

( ) ( )

. £0 thì phương trình có nghiệm thuộc é ùë ûa b; .

● Nếu f x

( )

liên tục trên é +¥ëa;

)

và

( )

0
đ+Ơ <
. lim

x

f a f x

thì phương trìn f x

( )

=0 có nghiệm thuộc

(

a;+¥

)

● Nếu f x

( )

liên tục trên

(

- ¥ ;bùû v

( )

đ- Ơ

( )

0
<
. lim

x
ff x

thì phương trình f x

( )

=0 có nghiệm thuộc

(

- ¥ ;b

)

.
● Để chứng minh f x

( )

=0 có ít nhất n nghiệm trên é ùë ûa b; , ta chia đoạn é ùë ûa b; thành n đoạn nhỏ rời nhau, rồi chứng

minh trên mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng phương trình

a) x2cosx+xsinx+ =1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(

0;p

)

b) x3+ + =x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn - 1.

c) x4- 3x2+5x- 6=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

( )

1 2; .
Lời giải :

a) Xét hàm số

( )

2 1 0

= cos + sin + =

f x x x x x

trên đoạn é ùë û0;p . Hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn éë0;pùû.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Mặt khác

( )

2 2

0 1 0

1 1 0

ìï = >
ïï

íï = + + = - <

ïïỵ cos sin

f

f p p p p p p

suy ra f

( ) ( )

0 . p <0.

Do đó tồn tại một số cỴ

(

0;p

)

sao cho f c

( )

=0 nghĩa là phương trình x2cosx+xsinx+ =1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng

(

0;p

)

b) Xét hàm số

( )

1 0

= + + =

f x x x

trên đoạn é-ë1 0; ùû. Hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn é-ë1 0; ùû.

Mặt khác

( )

1 1 0
0 1 0
ìï - =- <
ïïí

ï = >
ïïỵ

f
f

suy ra f

( ) ( )

- 1 . 0 <0.

Do đó tồn tại một số cỴ -

(

1; 0

)

sao cho f c

( )

=0 nghĩa là phương trình x3+ + =x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn- 1.

c) Xét hàm số

( )

4 3 2 5 6 0

f x =x - x + x- =

trên đoạn é ùë û1; 2 . Hàm số f x

( )

liên tục trên đoạn é ùë û1; 2 .

Mặt khác

( )

1 3 0
2 32 0

f
f

ìï =- <
ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

1 . 2 <0
.

Do đó tồn tại một số cỴ

( )

1; 2 sao cho f c

( )

=0 nghĩa là phương trình x4- 3x2+5x- 6=0 có ít nhất một nghiệm thuộc
khoảng

( )

1; 2 .

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình

a) x3+mx2- =1 0 ln có một nghiệm dương.

(

)

1 1

- + = +

x mx m

ln có một nghiệm lớn hơn 1.
Lời giải :

a) Xét hàm số

( )

3 2 1

= +

-f x x mx

trên ¡ . Hàm số f x

( )

liên tục trên ¡ .
Ta cú

f

( )

0 =- <1 0.
 đ+Ơ

( )

= +¥
lim

x f x nên tồn tại c>0 để f c

( )

>0.
Suy ra f

( ) ( )

0 .c <0.

Vậy phương trình f x

( )

=0 ln có một nghiệm thuộc khoảng

( )

0;c hay phương trình x3+mx2- =1 0 ln có một nghiệm
dương.

b) Đặt t= x- 1. Điều kiện: t³ 0.

Khi đó phương trình trở thành t3+mt2- =1 0.
Xét hàm số

( )

3 2 1

f tt=mt+

-trên é +¥ë0;

)

. Hàm số f t

( )

liên tục trên é +¥ë0;

)

.
Ta cú f

( )

0 =- <1 0.

( )

lim

tđ+Ơ f t = +¥ nên tồn tại c>0 để f c

( )

>0.
Suy ra f

( ) ( )

0 .c <0.

Do đó phương trình f t

( )

=0 ln có một nghiệm t0 thuộc khoảng

( )

0;c . Khi đó x- 1=t0Û x=t02+ >1 1

Vậy phương trình

(

)

1 1

x- +mx= +m

ln có một nghiệm lớn hon 1.

Bài 3: Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm

a) x5- 3x+ =3 0. b) x4+x3- 3x2+ + =x 1 0.

Lời giải:

a) Xét hàm số

( )

5 3 3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có

( )

2 32 6 9 17 0
0 3 0

f
f

ìï - =- + + =- <

ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 2 . 0 <0

.
Mà

( )

5 3 3

f x =x - x+

là đa thức nên liên tục trên é-ë2 0; ùû.

Vậy phương trình x5- 3x+ =3 0 có ít nhất một nghiệm trên

(

- 2 0;

)

.
b) Xét hàm số

( )

4 3 3 2 1

f x =x +x - x + +x
.

Ta có

( )

1 1 1 3 1 1 3 0
0 1 0

f
f

ìï - = - - - + =- <
ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 1. 0 <0

.
Mà

( )

4 3 3 2 1

f x =x +x - x + +x

là đa thức nên liên tục trên é-ë1 0; ùû

Vậy phương trình x4+x3- 3x2+ + =x 1 0 có ít nhất một nghiệm trên

(

- 1 0;

)

Bài 4: Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm

a)

(

)

(

)

2 2

1- m x+1 +x - x- 3=0

. b)

(

)

2 5 7 5 1 0

m + +m x +x - =

.

c)

(

) (

)(

)

4 3

1 2 1 3 0

m x+ x- - x- x- =

.

Lời giải :

a) Xét hàm số

( )

(

)

(

)

2 2

1 1 3

f x = - m x+ +x - x
-.

Ta có

( )

1 1 0
2 2 0 ,
f

f m m

ìï - =- <

ïï

íï - = + > "

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 2 . - 1 <0
.

Mà

( )

(

)

(

)

2 2

1 1 3

f x = - m x+ +x - x

là đa thức nên liên tục trên éë- 2;- 1ùû.
Vậy phương trình

(

)

(

)

2 2

1- m x+1 +x - x- 3=0

có ít nhất một nghiệm trên

(

- 2;- 1

)

với mọi giá trị của m.

b) Xét hàm số

( )

(

)

2 5 7 5 1

f x = m + +m x +x
-.

Ta có

( )

2 2

0 1 0

1 19

1 5 0

2 4 ,
f

f m m m m

ìï =- <
ïï

ïïí ổ ử

ù = + + =ỗ + ữữ+ > "

ù ỗ ữ

ù ỗỗố ữứ

ùùợ suy ra f

( ) ( )

0 . 1 <0

Mà

( )

(

)

2 5 7 5 1

f x = m + +m x +x

là đa thức nên liên tục trên é ùë û0 1; .

Vậy phương trình

(

)

2 5 7 5 1 0

m + +m x +x - =

có ít nhất một nghiệm trên

( )

0 1; với mọi giá trị của m.

c) Xét hàm số

( )

(

) (

)(

)

4 3

1 2 1 3

f x =m x+ x- - x- x
-.

Ta có

( )

1 16
3 81

f m

ìï

=-ïïí

ï =

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

1 .m3 =-16 81. . 2

● Nếu m=0 thì phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=3.
● Nếu m¹ 0 thì

( ) ( )

1 . 3 16 81. . 0

f m =- <

Mà

( )

(

) (

)(

)

4 3

1 2 1 3

f x =m x+ x- - x- x

là đa thức nên liên tục trên é ùë û1 3; nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm
trên

( )

1; 3 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.

Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c)

1 1

cosx- sinx=m.
Lời giải :

a) Xét hàm số f x

( )

=cosx+mcos2x liên tục trên ¡ .

Ta có

4 4 2 2

3 3 3 2

4 4 2 2

cos cos

f m

p p p

ỡù ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ ữữ= + =

ù ỗố ứ
ùùớ

ù ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ ữ= +

=-ù ỗố ứữ

ùùợ suy ra

3 1

4 4 2 ,

fỗỗỗố ứ ố ứổ ử ổ ửpữữữìmỗỗỗ pữữữ=- < "
.
Vậy phương trình cosx+mcos2x=0 có ớt nht mt nghim trờn

3
4; 4
p p

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứvi mi giỏ tr ca m.

b) Xột hm s f x

( )

=m

(

2cosx- 2

)

- 2sin5x- 1 liên tục trên ¡ .

Ta có

2 1
4

1 2
4

f
f

p
p
ì ổ ử

ù ữ

ù ỗ ữ=

-ù ỗ ữỗ
ù ỗố ứữ
ùùớ

ù ổ ử
ù ỗ- ữữ=

-ù ỗ ữ

ù ỗỗố ữứ

ùùợ suy ra f 4 .m4 0,

p p

ỉ ư ỉ ửữ ữ
ỗ- ữ ỗ ữ< "

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ç ÷

ç ç

è ø è ø .

Vậy phương trình m

(

2cosx- 2

)

=2sin5x+1 có ít nhất một nghim trờn 4 4
;
p p

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố øvới mọi giá trị của m.

c) Điều kiện: x k 2
p
ạ

(

kẻ Â

)

Phng trỡnh ó cho tương đương với sinx- cosx- msin cosx x=0.
Xét hàm số f x

( )

=sinx- cosx- msin cosx x liên tục trên đoạn

0
2
;p

é ù

ê ú

ë û.

Ta có

( )0 1 0
1 0
2

f
f p

ỡù =- <
ùùù ổ ử

ớ ỗ ữ

ù ỗ ữ= >

ù ỗ ữ

ù ố ứ

ùợ suy ra f( )0 m2 1 0,

p
ổ ửữ
ỗ ữ

ìỗ ữỗố ứ=- < "
.

Vy phng trỡnh f x

( )

=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
0

2
;p
ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ cú ngha l phng trỡnh

1 1

cosx- sinx=m ln có ít

nhất một nghiệm thuộc khong
0;

p

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗố ứ
.

Bi 6. Chng minh rng phương trình

a) 4x4+2x2- x- 3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 1 1;

)

.
b) x5- 5x4+4x- =1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

0 5;

)

.
Lời giải:

a) Xét hàm số

( )

4 2

4 2 3

f x = x + x - x

liên tục trên ¡ .

Ta có

( )

1 4
0 3
f

f
ìï - =
ïïí

=-ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 1. 0 =- 12<0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(

- 1 0;

)

Ta có

( )

0 3
1 2
f
f

ìï

=-ïïí

ï =

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

0 . 2 =- <6 0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

( )

0 1; .
Vậy phương trình 4x4+2x2- x- 3=0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 1 1;

)

.
b) Xét hàm số

( )

5 5 4 4 1

f x =x - x + x

liên tục trên ¡ .

Ta có

( )

0 1 0
1 23

2 32
f

f

ỡù =- <
ùùù ổử

ớ ỗ ữ

ù ỗ ữ= >
ù ỗ ữỗ ữ
ù ố ứ

ùợ suy ra

( )

0 0

2
.
f ổửỗ ữ<ỗ ữỗ ữữ

ỗố ứ . Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng 
1
0

2
;

ỉ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Ta có

( )

1 23

0
2 32
1 1 0
f

f
ỡ ổử

ù ữ

ù ỗ ữ= >
ù ỗ ữ
ù ỗ ữỗố ø
íï

ï =- <

ïïỵ suy ra

( )

1 0
2 .

fổửỗ ữỗ ữỗ ữữ <

ỗố ứ . Do ú phng trỡnh cú nghim thuc khong 
1

1
2;
ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ø.

Ta có

( )

1 1 0
5 19 0
f

f

ìï =- <
ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

1 . 5 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

( )

1 5; .
Vậy phương trình x5- 5x4+4x- =1 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

0; 5

)

Bài 7.Chứng minh rằng phương trình

a) 2x2+3x- 4=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 3 1;

)

.
b) x3- 3x2+ =3 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 1 3;

)

.
c) 2x+6 13 - x=3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 7 9;

)

.
Lời giải :

a) Xét hàm số

( )

2 3 4

f x = x + x

liên tục trên

(

- 3 1;

)

Ta có

( )

3 5 0
0 4 0
f

f

ìï - = >
ïïí

ï =- <

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 3 . 0 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(

- 3 0;

)

Ta có

( )

0 4 0
1 1 0
f

f

ìï =- <

ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

0 . 1 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

( )

0 1; .
Vậy phương trình 2x2+3x- 4=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 3 1;

)

b) Xét hàm số

( )

3 3 2 3

f x =x - x +

liên tục trên

(

- 1 3;

)

Ta có

( )

1 1 0
0 3 0
f

f

ìï - =- <
ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

- 1. 0 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(

- 1 0;

)

Ta có

( )

0 3 0
2 1 0
f

f

ìï = >
ïïí

ï =- <

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

0 . 2 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(

0 2;

)

Ta có

( )

2 1 0
3 3 0
f

f

ìï =- <
ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

2 . 3 <0

. Do đó phương trình có nghiệm thuộc khoảng

(

2 3;

)

.
Vậy phương trình x3- 3x2+ =3 0 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 1 3;

)

c) Đặt t= -31 x. Khi đó phương trình trở thành 2tt3- 6 + =1 0.
Xét hàm số

( )

2 6 1

f tt= t - +

liên tục trên ¡ .
Ta có :

f

( )

- 2 =- 3 0; f

( )

=1 1;

( )

=- 3 2;

( )

=5.
Do đó :

● f

( ) ( )

- 2 . 0 =- <3 0. Do đó phương trình có một nghiệm t1Ỵ -

(

2 0;

)

suy ra

1 1 1

x = - t

thuộc

( )

1 9; .
● f

( ) ( )

0 . 1 =- <3 0. Do đó phương trình có một nghiệm t2Ỵ

( )

0 1; suy ra

2 1 2

x = - t

thuộc

( )

0 1; .
● f

( ) ( )

1 . 2 =-15<0. Do đó phương trình có một nghiệm t3Ỵ

( )

1 2; suy ra

3 1 3

x = - t

thuộc

(

- 7 0;

)

.
Vậy phương trình 2x+6 13 - x=3 có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

(

- 7; 9

)

Bài 8. Tìm m để phương trình

(

)

3 3 2 2 2 3 0

x - x + m- x+ -m =

có ba nghiệm phân biệt x1, x2,x3 thỏa mãn x1<- <1 x2<x3

.
Lời giải :

Xét hàm số

( )

(

)

3 3 2 2 2 3

f x =x - x + m- x+ -m

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

● Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho x1<- <1 x2<x3.

Khi đó : f x

( ) (

= x- x1

)(

x- x2

)(

x- x3

)

Ta có f

( ) (

- 1 = - -1 x1

) (

- -1 x2

)(

- -1 x3

)

>0 (do x1<- <1 x2<x3).

Mà f

( )

- 1 =- m- 5, suy ra - m- 5> Û0 m<- 5.
● Điều kiện đủ: Ta cú

xđ- Ơlim f x

( )

=- Ơ nờn tn tại a<- 1 sao cho f a

( )

<0.
▪ Do m<- 5 nên f

( )

- 1 =- m- 5>0.

▪ f

( )

0 = -m 3<0.

( )

lim

xđ+Ơ f x = +Ơ nên tồn tại b>0 sao cho f

( )

>0.
Vậy khi m<- 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9. Chứng minh phương trình x4- x- 3=0 ln có ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện x0>712.

Lời giải :
Xét hàm số

( )

4 3

f x =x - x

liên tục trên ¡ .

Ta có

( )

0 3 0
2 11 0
f

f

ìï =- <

ïïí

ï = >

ïïỵ suy ra f

( ) ( )

0 . 2 <0
.

Do đó phương trình x4- x- 3=0 có ít nhất một nghiệm x0Ỵ

(

0 2;

)

Vì x0 là nghiệm của phương trình nên x40- x0- 3= Û0 x04=x0+3 và x0>0.

Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :

4 8 7 7

0 0 3 2 3 0 0 4 3. 0 0 12 0 12

x =x + ³ x Û x ³ x Û x ³ Û x ³

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: x0=3. Do x0Ỵ

(

0 2;

)

nên đẳng thức khơng xảy ra.

Vậy phương trình: x4- x- 3=0 ln có ít nhất một nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện x0>712.
Bài 10. Chứng minh rằng nếu m<- 3 thì phương trình

(

)

(

)

(

)

2 3 2

3m + -m 1 x + 3m- 2 x + m+1 x- 3=0

có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng

(

- 1 1;

)

Lời giải:

Xét hàm số

( )

(

)

(

)

(

)

2 3 2

3 1 3 2 1 3

f x = m + -m x + m- x + m+ x

liên tục trên é-ë1 1; ùû.

Ta có ●

( )

1

(

3 2 1

)

(

3 2

) (

1

)

3 3 2 5 3 1 2 59 0

6 12 ,
f - =- m + -m + m- - m+ - =- m + -m =- ỗổỗỗm- ữữửữữ- < "m

ỗố ứ .

( )

1

(

3 2 1

)

(

3 2

) (

1

)

3 3 2 5 5 3 5 2 85

6 12

f = m + -m + m- + m+ - = m + m- = ỗổỗỗỗốm+ ữữửữữ

-ứ
.

Theo gi thit, ta cú

5 13
3

6 6
m<- Û m+

<-. Suy ra

2 2

5 169 5 85

3 7

6 36 6 12

m m

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ + ữ> ỗ + ữ- >

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

ố ứ è ø

.
Do đó nếu m<- 3 thì f

( ) ( )

- 1. 1 <0 nên phương trình

(

)

(

)

(

)

2 3 2

3m + -m 1 x + 3m- 2 x + m+1 x- 3=0

có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng

(

- 1 1;

)

Bài 11. Cho a b c, , là các số thực khác 0. Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm
a) ax2+bx+ =c 0 với 2a+3b+6c=0

b) ax2+bx+ =c 0 với

2 1

a b c

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Lời giải:

a) Xét hàm số

( )

f x =ax +bx+c

liên tục trên ¡ .

Ta có

( )

2 4 2 4 3 4 4 6 9 2 3

2 3 6

3 9 3 3 3 2 4 3 12 9 2 3

f c

a b c a b c c c

f a b c a b c

ìï =

ïïï ỉư ỉ ư ổ ử ổ ử

ớ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ

ù ỗ ữ= + + = ỗ + + ữ= ỗ ữ= ỗ + + - ữ

=-ù çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷

ï è ø è ø è ø è ø

ïỵ .

Suy ra

( )

0 2 2 0
3 3

. c

f ổửỗ ữ=-ỗ ữỗ ữữ Ê
ỗố ø

Vậy phương trình ax2+bx+ =c 0 với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệm.
b) Xét hàm số

( )

f x =ax +bx+c

liên tục trên ¡ .

Ta có

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2

2 2 2 1 1

f c

c

m c m

m a b

m m
f

m m m m m

ìï =

ïï

ï ộ ự

-ùù ổ ử + + =

ớ ỗ + ữ ờ ỳ

ù ỗ ữ= ờ + + ỳ +

ù çç ÷÷

ï è + ø + ê + + ú

ï ê + ú

ï ë û

ïỵ .

Suy ra

( )

0 1

(

)

2 2

. m c

f

m m m

æ + ữử

ỗ ữ=- Ê

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ +

ố ứ +

.
Vy phng trỡnh ax2+bx+ =c 0 với

2 1

a b c

m+ +m+ +m= và m>0 ln có nghiệm.
Nhận xét. Câu a) là trường hợp đặc biệt của câu b) với m=1.

Bài 12. Chứng minh rằng nếu 2a+3b+6c=0 thì phương trình atan2x+btanx+ =c 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
4

;
kp p kp

ỉ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

.
Li gii :

Xột phng trỡnh

2 0

tan tan

a x+b x+ =c .

( )

Đặt t=tanx vi x thuc 4
;
kp p kp

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

, suy ra tẻ

( )

0;1 . Khi ú phương trình trở thành : at2+bt+ =c 0

( )

Bài toán trở thành chứng minh phương trình ax2+bx+ =c 0 với 2a+3b+6c=0 ln có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

( )

0 1;

. (Xem Bài 1)

Bài 13. Chứng minh rằng mọi phương trình bậc ba ax3+bx2+cx+ =d 0

(

a¹ 0

)

ln có ít nhất một nghiệm.
Lời giải

Xét hàm số

( )

3 2

f x =ax +bx +cx+d

liên tục trên ¡ .
● Nếu a>0 thì

( )

lim

xđ- Ơ f x =- Ơ nờn tn ti x1<0 f x

( )

1 <0.

( )

lim

xđ+Ơ f x =+Ơ nên tồn tại x2>0 để f x

( )

2 >0.

Suy ra f x

( ) ( )

1 .f x2 <0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(

x x1; 2

)

.
Nu a<0 thỡ

( )

lim

xđ- Ơ f x =+¥ nên tồn tại x1<0 để f x

( )

1 >0.

( )

lim

xđ+Ơ f x =- Ơ nờn tn ti x2>0 để f x

( )

2 <0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 14. Chứng minh rằng mọi phương trình bậc bốn ax4+bx3+cx2+dx+ =e 0 với a e. <0 ln có ít nhất một nghiệm.
Lời giải :

Xét hàm số

( )

4 3 2

f x =ax +bx +cx +dx+e

liên tục trên ¡ .
Từ giả thiết a e. <0, ta giả sử a>0 suy ra e<0.

Ta cú

( )

0 0
f = <e

( )

lim

xđ+Ơ f x = +¥ (do a>0) nên tồn tại x0>0 để f x

( )

0 >0.

Suy ra f

( ) ( )

0 .x 0 <0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

(

0;x0

)

Vậy phương trình bậc bốn ax4+bx3+cx2+dx+ =e 0 với a e. <0 ln có ít nhất một nghiệm.

Bài 15.Cho a b c, , là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

a x b x c- - +b x a x c- - +c x a x b- - =
ln có hai nghiệm phận biệt.

Lời giải :

Do vài trò a b c, , như nhau nên ta giả sử a< <b c.

Xét hàm số f x

( )

=a x b x

(

)(

- c

)

+b x c x a

(

)(

)

+c x a x b

(

)(

)

liên tục trên ¡ .
Ta có fb b c b a

( )

(

)(

)

<0 và hệ số x2 của f x

( )

là a+ + >b c 0.

Do đó phương trình f x

( )

=0 ln có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn x1< <b x2.

Nhận xét. Ở đây ta sử dụng cơ sở lý thuyết: ax2+bx+c có hai nghiệm x1< <a x2 Û a f.

( )

a <0.

C. BÀI TẬP

:

Bài 1 : Xét sự liên tục của các hàm số sau:

1. ( )

2
3

6 8

khi x 2
8

- khi 2
6

x x

x
f x

x

ỡù - +

ùù ạ

ùù

-=ớ
ùù

ù =

ùùợ ti x0=2

.

2. ( )

2 4

khi 2
2

-4 khi 2
x

x

f x x

x
ỡù

-ùù ạ

-ù
=ớ +

ùù

=-ùùợ ti x0=- 2

.

3. ( )

2
2

3 2

khi 1
1

1 khi 1

x x

x

f x x

x

ỡù - +

ùù ạ

=ớ

-ùù

ù =

ùợ ti x0=1

.

4. ( )

1 2 3 khi x 2
2

1 khi x 2
x

f x x

ìï -

-ùù ạ

=ớ

-ùù =

ùùợ ti x0=2

.

5. ( )

khi 0
2

1-1

khi 0
x
f x

x

x
x

ỡù

-ù =

ùù
ùù
=ớù

ùù ạ

ùùùợ ti x0=0

.

9. ( )

3 2

khi 1
3 2

1 khi 1

x x x

x

f x x x

x

ỡù - -

-ùù ạ

=ớ - +

ùù

ù =

ùợ tại x0=1

.

10. ( )

3 2 1

khi 1
1

-3 khi 1

x x x

x

f x x

x

ỡù - -

-ùù ạ

=ớ

-ùù =

ùùợ

tại x0=1

.

11. ( )

1 khi 1
- khi 1
sin x

x

f x x

x
p

p

ỡùù ạ

ùù

=ớ

-ùù =

ùùợ tại x0=1

.

12. ( )

khi 0
1

khi 0

cos
sin

x

x
x

f x

x
ìï

-ùù ạ

ùùù
=ớ
ùù

ù =

ùùùợ ti x0=0

.

13. ( )

khi 0
2

1 1

khi 0
1 1

x
f x

x

x
x

ỡùù =

ùù
ùù

=ớù +

-ù ạ

ùù +

-ùùợ tại x0=0

.

14. ( )

2 khi 0
1

khi 0
cos

sin

x

f x x

x
x

ỡù =

ùùù

=ớ -ù ạ

ùù

ùợ ti x0=0

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

6. ( )

khi 1
2

3 2 4 2

khi 1
3 2

x
f x

x x x

x
x x
ìïï =
ïï
ïï
=íï

- - -
-ïï ¹
ïï - +

ïỵ tạix0=1

7. ( )

2 7 8

khi 8
8

-9 khi 8

x x

x

f x x

x
ìï + 
-ïï ¹
-ï
=í +
ïï =

ïïỵ tạix0=- 8

8. ( )

2
2
khi 2
7 3

6 khi 2
10 16
khi 2
2
x
x
x

f x x

x x
x
x
ìï
-ï >
ïï + 
-ïï
ï
= -íï =
ïï - +
ïï <

ï

-ïỵ tại x0=2

15. ( )

0 khi 0
1-1

khi 0
x

f x x

x
x x
ìï =
ïï
ï
=íï +
¹
ïï
ï

-ỵ tại x0=0

16. ( )

(

)

2 3

1 1

khi 1
2 khi 1

2
khi 1
1
x x
x
x

f x x

x
x
x
ìïï - + 
-ïï >
ïï

ïï
ï
=íï =
ïï 
-ïï <
ïï +

ïïỵ tạix0=1

Bài 2 : Định a để hàm số liên tục tại điểm xo cho trước

( )

(

)

2 2

khi 2
2

1 .x - 3 khi 2

x x

x

f x x

a x

ìï - 
-ùù ạ
ù
=ớ
-ùù + =

ùùợ ti x0=2

( )

4 2

3 2

khi 1
1

a + 2 khi 1

x x

x

f x x

x
ỡù - +

ùù ạ
ù
=ớ 
-ùù
ù =

ùợ tại x0=1

( )

25 khi 4
1 - 9a khi 4

x

f x x

x
ỡù
-ùù ạ
ù
=ớ +
ùù
ù =

ùợ tại x0=4

( )

1 1

khi 0
4

2a + khi 0
2
x x
x
x
f x
x
x
x
ỡù - - +
ùù ạ
ùù
=ớù

-ù =
ùù +

ùợ tại x0=0

( )

2
3

3 2

khi 1
5 4

a.x +1 khi 1
x

x

f x x x

x
ìï + 
-ïï ¹
ï
=í - +
ïï
ï =

ïỵ tại x0=1

( )

(

)

khi 1
4 1

2 + 2a - khi 1
4

x

x
x

f x

a a x

ìï 
-ïï ¹
ïï
-ï
=í
ïï
ï - =

ïïïỵ tại x0=1

( )

3
2

khi 1
5 3 2

x + ax + 2 khi 1
x

x

f x x

x
ìï 
-ùù ạ
ù
=ớ +
-ùù
ù =

ùợ ti x0=1

( )

2 7 8

khi 8
8

a - 2 khi 8

x x

x

f x x

x
ỡù + 
-ùù ạ
-ù
=ớ +
ùù =

ùùợ tại x0=2

( )

3 2 2 2

khi 1
1

-9a - 2 khi 1

x x x

x

f x x

x
ỡù - + 
-ùù ạ
ù
=ớ
-ùù =

ùùợ tại x0=1

10.

( )

3
2

1 2 10

khi 7
2

3a - 12 + x khi 7

x x

x

f x x x

x
ìï + - 
-ùù ạ
ù
=ớ
-ùù
ù =

ùợ ti x0=7

11.

( )

2 2

2
2

10 2 2 4

khi 2
4

-ax +5a khi 2

x x x x

x

f x x

x
ìïï + + - - +
ù ạ
ùù
=ớ 
-ùù
ù =
ùùợ

tại x0=2

12.

( )

(

)

2 7

2011 1 2 2011

khi 0
1-2a khi 0

.

x x

x

f x x

x
ỡù + - 
-ùù
ù ạ
ù
=ớ
ùù
ù =
ùùợ

tại x0=0

13.

( )

3 2
2

5 7

khi 1
1

a - 8 khi 1

x x

x

f x x

x
ỡùù - - +
ù ạ
ù
=ớ 
-ùù
ù =

ùợ tại x0=1

14.

( )

3
4

khi 1
1

9 khi 1
x

x

f x x

x a x

ìï 
-ïï ¹
ï
=í
-ïï
ï - - =

ïỵ tại x0=1

15.

( )

3 1 3 1

khi 0

2 1 1

a + 1 khi 0

x x

x

f x x x

x
ìï - + +
ùù ạ
ù
=ớ + - +
ùù
ù =

ùợ ti x0=0

16.

( )

4 3 1

khi 1
1

3 1 khi 8
x

x

f x x

a a x

ỡù -

-ùù ạ

=ớù

-ùù - + =

ùợ tại x0=1

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình :

1. 3x3+2x- 2=0 có ít nhất một nghiệm. 7. 5 3

4 1 0

+ - + =

x x x có ít nhất hai nghiệm thuộc

(

- 2;1

)

.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2. 2x3- 5x2+ + =x 1 0 có ít nhất hai nghiệm.

3. x3- 2x2+3x- 7=0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2.
4. 4x4+2x2- x- 3=0 có ít nhất hai nghiệm thuộc

(

- 1;1

)

.

5. x4- -x 3=0 có nghiệm x0Ỵ

( )

1; 2 và 
7
0> 12

x

6. x5- -x 2=0 có nghiệm
9
0> 8

x

8.x5+7x4- 8x3- 9x2+11x+ =2 0 có nghiệm .
9. 2x+6. 13 - x=3 có ba nghiệm thuộc

(

- 7; 9

)

.

10. x3+m x. 2- =1 0 ln có một nghiệm dương.

11.4x10- x4- =1 0 có nghiệm 2 nghiệm phân biệt x0 sao cho
0

8
1

<x <

Bài 2 : Cho hàm số

( )

2 5 2
2 2

-=
+

x x

f x

x .Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm cỴ

(

0; 2

)

sao cho f c

( )

=- 0,8

Bài 3 : Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm :

(

) (

)

. - 1 . - 2 +2 - 3=0

m x x x

(

)

2+ +1 . 3+2 - 2=0

m m x x

(

x- 1 .

) (

x- 3

)

- m x.

(

+1 .

) (

x- 2

)

(

) (

)

2 2

. +3 . - 4 +2 + =1 0

m x x x

(

)

3+ . 3- 2. 2+ =3 0

m m x x

6. x5+ -x3 4x+ =1 0

(

) (

)

4+ +2 . 3- 8 +6 + =1 0

m m x x

(

)

2+2 +2011 . 2011+2 - 2=0

m m x x

(

)

2+1 . 3- 2 2. 2- 4 + 2+ =1 0

m x m x x m

10.

(

)

(

)

5 2 4

9 5- m x. - m - 1 .x - =1 0

Bài 4 : Chứng minh rằng phương trình :

(

)

(

)

4 1 . 2 2 3

x +m x- x - =

ln có ít nhất hai nghiệm phân biệt "m.

Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình :

(

)

10 4 1 . 2011 1024 0

x + m + +m x - =

ln có ít nhất một nghiệm dương "m.

Bài 6** : Cho hàm số :

(

)

2 2 4

2 . 3 1 3

y= m x + + m + x - x+m

( m là tham số ) . CMR : pt y¢=0 ln có nghiệm "m.

Bài 7 : Chứng minh rằng các phương trình sau ln có nghiệm :

1. cosx+m cos x. 2 =0

2. m sin x. 6 +3.

(

sinx cos x- 6

)

3. ab x

(

- a x b

)(

)

+bc x b x c

(

)(

)

+ac x c x a

(

)(

)

(

)

(

) (

)

2011 2012

2010 1 1 2 1000 500 0

m + x- x+ + x+ =

(

)

(

)

4m+1 x - m+1 x+ =m 0

6. x3+2ax2+bx+ =c 0

(

x- a x b

)(

) (

+ -x b x c

)(

) (

+ -x c x a

)(

)

(

) (

)

1 3 1 2 2 0

m x- x- + m+ x- m- =

9. m x

(

- 1

)(

x+ +2

)

2x+ =1 0

10.

(

)(

)

(

)

2002

3 1 2001 1 2 2 3 0

m - x - x+ + x+ =

Bài 8 : Cho phương trình :

(

)

2 0 0

ax +bx+ =c a¹

. Chứng minh rằng phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc

( )

0;1
Nếu thỏa điều kiện :

1. 2a+3b+6c=0 2. 12a+15b+20c=0

(

)

0 0

2 1

a b c

m
m+ +m+ +m= " >

Bài 9** : Cho hàm số f : 0;1é ù é ùë û ë û® 0;1 , liên tục . Chứng minh rằng tồn tại một số thực cỴ ë ûé ù0;1 sao cho f c

( )

=c

Bài 10**: Chứng minh rằng phương trình :

( )

. .

α f a β f

f x

α β

+
=

có nghiệm trên é ùë ûa b; với f x

( )

là hàm số liên tục trêné ùë ûa b; và

α β là hai số dương bất kỳ .

Bài 11** : Sử dụng giới hạn đặc biệt 0
1
lim 1

x

e
x

- =

chứng minh rằng hàm số

x

</div>

Đề thi thử THPT quốc gia

<b>§ Bài 3 : HÀM SỐ LIÊN TỤC</b>

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )