Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần đoạn thẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.5 MB, 57 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>



Sưu tầm

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

PHẦN: HÌNH HỌC
Chương I. ĐOẠN THẲNG

§ 1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng

Kiến thức cơ bản:

1. Vị trí của điểm và đường thẳng (h.1)

- Điểm A thuộc đường thẳng a, kí hiệu A a∈
- Điểm B khơng thuộc đường thẳng a, kí hiệu

B∉a.

2. Ba điểm thẳng hàng khi chúng có cùng thuộc một
đường thẳng. Ba điểm không thẳng hàng khi chúng
không cùng thuộc bất kì đường thẳng nào.

3. Trong ba điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ
một điểm nằm giữa hai điểm cịn lại. Trong hình 2,
điểm M nằm giữa hai điểm A và B

Nâng cao

1. Nếu có một điểm nằm giữa hai điểm khác thì ba điểm đó thẳng hàng.

2. Quan hệ ba điểm thẳng hàng còn được mở rộng thành nhiểu

(

4, 5,...

)

điểm thẳng hàng.

Thí dụ 1:

Trên đường thẳng a lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Lấy điểm M ∉a. Hãy gọi tên:
a) Tất cả các bộ 3 điểm không thẳng hàng;

b) Tất cả các bộ 3 điểm thẳng hàng;
c) Tất cả các điểm nằm giữa điểm khác.
Giải (h.3)

a) Các bộ ba điểm không thẳng hàng là:

(

M A B, ,

)

;

(

M A C, ,

)

;

(

M A D, ,

)

;

(

M B C, ,

)

;

(

M B D, ,

)

;

(

M C D, ,

)

b) Các bộ ba điểm thẳng hàng là:

(

A B C, ,

)

;

(

A B D, ,

)

;

(

A C D, ,

)

;

(

B C D, ,

)

c) B nằm giữa A và C; B nằm giữa A và D; C nằm giữa A và D; C nằm giữaB và D.

Nhận xét:

a

Hình 3
M

C

B D

A

Hình 2

M D

A
a

Hình 1
B

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Có bao nhiêu bộ 3 điểm thẳng hàng thì có bấy nhiêu trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm
khác.

Thí dụ 2:

Vẽ 4 điểm M, N, P, Q thẳng hàng sao cho đồng thời thỏa mãn 4 điều kiện sau:
M không nằm giữa N và P (1)

N không nằm giữa M và P (2)
P không nằm giữa N và Q (3)
Q không nằm giữa N và P (4)
Bằng lập luận hãy chứng tỏ rằng:
a) Điểm P nằm giữa M và N
b) Điểm N nằm giữa P và Q.
Giải: (h.4)

a) Xét 3 điểm thẳng hàng M , N, P thì:

M khơng nằm giữa N và P (1) và N không nằm giữa M và P (2) vậy P nằm giữa M và

N.

b) P không nằm giữa N và Q (3) và Q không nằm giữa N và P (4) vậy N nằm giữa P và
Q.

BÀI TẬP

1. Trong hình 5 có hai đường thẳng m và n và ba điểm chưa đặt tên. Hãy điền các chữ A,
B, C vào đúng vị trí của nó biết:

a) Điểm A khơng thuộc đường thẳng m và
cũng không thuộc đường thẳng n;

b) Điểm B không thuộc đường thẳng m;
c) điểm C không thuộc đường thẳng n.
2. Vẽ các đường thẳng p và các điểm A, B trên

p.

a) Nêu cách vẽ điểm C thẳng hàng với 2
điểm A, B;

b) Nêu cách vẽ điểm D không thẳng hàng với 2 điểm A, B.

3. Hãy vẽ 5 điểm C, D, E, F, G không thẳng hàng nhưng ba điểm C, D, E, thằng; ba
điểm E, F, G thẳng hàng.

4. Vẽ theo các cách diễn đạt sau:

n

m

Hình 5

Hình 4
P

N Q

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

a) Điểm I nằm giữa hai điểm A và B; điểm B nằm giữa I và K;

b) Hai điểm O, P không nằm cùng phía đối với Q; hai điểm O và R nằm khác
phía đối với Q nhưng P khơng nằm giữa O và R.

5. Cho ba điểm A, B, C; mỗi điểm A, B đều khơng nằm giữa hai điểm cịn lại. Hãy nêu
điều kiện để:

a) C nằm giữa A và B;

b) C không nằm giữa A và B.

6. Trái đất quay quanh Mặt Trời: Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất. Mặt Trời chiếu
sáng tới Trái Đất và Mặt Trăng. Khi ba thiên thể này thẳng hàng thì xảy ra nhật thực
hoặc nguyệt thực (là hiện tượng mặt trời hoặc mặt trăng đang sáng bỗng nhiên bị che lấp
và tối đi). Hỏi:

a) Khi xảy ra nhật thực thì Mặt Trăng ở vị trí nào?
b) Khi xảy ra nguyệt thực thì Trái Đất ở vị trí
nào?

7. Xem hình 6 rồi cho biết: Có bao nhiêu trường hợp
một điểm nằm giữa hai điểm khác?

8. Theo hình 6, ta có thể trồng được 9 cây thành 8
hàng, mỗi hàng 3 cây. Hãy vẽ sơ đồ trồng 9 câu
thành:

a) 9 hàng, mỗi hàng 3 cây;
b) 10 hàng, mỗi hàng 3 cây.

§ 2. Đường thẳng đi qua hai điểm 
Kiến thức cơ bản:

1. Có một đường thẳng và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm A và B (h.7).
2. Ba cách đặt tên đường thẳng:

- Dùng một chữ cái in thường, ví dụ a
- Dùng hai chữ cái in thường, ví dụ xy
- Dùng hai chữ cái in hoa, ví dụ AB
3. Vị trí của hai đường thẳng phân biệt:

- Hoặc khơng có điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng song song. Ví dụ hai đường
thẳng a, b trong hình 8.

Hình 7

A B

O

Hình 6

F
E

N
M

C
A

B

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Hoặc chỉ có một điểm chung nào (gọi là hai đường thẳng cắt nhau). Ví dụ hai
đường thẳng m và n trong hình 9.

Nâng cao:

1. Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng nhau ta chỉ cần chứng tỏ
chúng có 2 điểm chung.

2. Ba (hay nhiều) đường thẳng cùng đi qua một điểm gọi là ba (hay nhiều) đường
thẳng đồng quy. Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta có thể xác định
giao điểm của hai đường thẳng nào đó rồi chứng minh các đường thẳng còn lại nếu
đều đi qua giao điểm này.

Thí dụ 3:

Cho trước 12 điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng, Vẽ các đường thẳng

đi qua các cặp điểm.

a) Hỏi vẽ được bao nhiêu đường thẳng?

b) Nếu thay 12 điểm bằng n điểm (n∈; n≥2) thì vẽ được bao nhiêu đường
thẳng?

Giải:

a) Chọn một trong số 12 điểm đã cho rồi nối điểm đó với 11 điểm cịn lại ta được 11
đường thẳng. Làm như vậy với tất cả 12 điểm ta được 11.12 đường thẳng. Nhưng
như thế thì mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần (vì đường thẳng AB với đường
thẳng BA chỉ là một) do đó thực sự chỉ có 11.12 66

2 = (đường thẳng).

b) Cũng lập luận như trên, với n điểm thì số đường thẳng vẽ được là

(

)

2
n n−

Nhận xét:

- Với n là số điểm cho trước thì cơng thức

(

)

2
n n−

giúp ta tính được số đường
thẳng đi qua tất cả các cặp điểm.

a
b

Hình 8

n
m

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

- Ngược lại, với n là số đường thẳng cho trước (đơi một cắt nhau và khơng có ba
đường thẳng nào đồng quy) thì cơng thức

(

)

2
n n−

giúp ta tính được số giao điểm
của tất cả các cặp đường thẳng.

Thí dụ 4:

Cho 4 điểm A, B, C, D trong đó ba điểm A, B, C, thẳng hàng, ba điểm B, C,
Dthẳng hàng. Chứng tỏ rằng 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng.

Giải:

Ba điểm A, B, C, thẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.
Ba điểm B, C, Dthẳng hàng nên chúng cùng nằm trên một đường thẳng.

Hai đường thẳng này có hai điểm chung là B và C nên chúng phải trùng nhau, suy
ra 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng.

BÀI TẬP

9. Cho trước hai điểm A và B.

a) Hãy vẽ đường thẳng m đi qua A và B

b) Hãy vẽ đường thẳng n đi qua A nhưng không đi qua B

c) Hãy vẽ đường thẳng p khơng có điểm chung nào với đường thẳng m.

10. Cho trước 4 điểm A, B, C, D trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Tìm M sao
cho ba điểm M , A, B thẳng hàng; ba điểm M, C, D thẳng hàng.

11. Cho trước 6 điểm. Vẽ các đường thẳng đi qua các cặp điểm.

a) Nếu trong 6 điểm đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu
đường thẳng?

b) Nếu trong 6 điểm đó có đúng 3 điểm thẳng hàng thì sẽ vẽ được bao nhiêu đường
thẳng?

12. Giải bóng đá vơ địch quốc gia hạng chun nghiệp có 12 đội tham gia đấu vịng trịn hai
lượt đi và về. Tính tổng số trận đấu.

13. Cho trước một số điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng
đi qua các cặp điểm. Biết tổng số đường thẳng vẽ được là 36. Tính số điểm cho trước.
14. Có một số con đường (thẳng), chúng cắt nhau đơi một và khơng có ba đường nào đồng

quy. Các con đường đó cắt nhau tạo thành 300 ngã tư. Hỏi có tất cả bao nhiêu con

đường?

15. Cho 11 đường thẳng đôi một cắt nhau.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b) Nếu trong 11 đường thẳng đó có đúng 5 đường thẳng đồng quy thì có tất cả bao
nhiêu giao điểm của chúng?

16. Cho ba đường thẳng m, a, b đồng quy tại O; ba đường thẳng n, a, b cũng đồng quy.
a) Chứng minh rằng cả 4 đường thẳng m, n, a, b đồng quy tại O

b) Vẽ thêm hai đường thẳng c, d không đi qua O. Hỏi 6 đường thẳng m, n, a, b,
c, d có nhiều nhất là bao nhiêu giao điểm?

17. Cho trước n điểm trong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng đi
qua các cặp điểm. Tìm n biết rằng nếu có thêm 1 điểm (khơng thẳng hàng với bất kì 2
điểm nào trong số n điểm đã cho) thì số đường thẳng vẽ được tăng thêm là 8.

§ 3. Tia

Kiến thức cơ bản:

1. Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng bị chia ra bởi điểm O được gọi là
một tia gốc O.

2. Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng được gọi là hai tia đối nhau.

Nhận xét:

Mỗi điểm trên đường thẳng là gốc
chung nhau của hai tia đối nhau.

Trong hình 10, hai tia Ox, Oy đối
nhau.

3. Điểm M thuộc tia Ox

(

M ≠O

)

thì hai tia OM , Ox trùng nhau.
(h.11).

Nâng cao:

Quan hệ giữa một điểm nằm giữa hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau:
Xét 3 điểm A, O, B thẳng hàng.

1. Nếu hai tia OA, OB đối nhau thì
gốc O nằm giữa A và B.

2. Ngược lại, Nếu O nằm giữa A và
B thì:

- Hai tia OA, OB đối nhau

- Hai tia AO, AB trùng nhau: hai tia BO, BA trùng nhau.

Thí dụ 5:

Hình 11

x
M

O

y

Hình 10

x O

Hình 12
O

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B; điểm M nằm giữa hai điểm A và O; điểm
N nằm giữa hai điểm B và O.

a) Nêu tên các tia trùng nhau gốc O.

b) Chứng tỏ rằng điểm O nằm giữa hai điểm M , N.
Giải: (h.13)

a) Điểm M nằm giữa hai điểm A và O nên hai tia OA, OM trùng nhau (1)
Điểm N nằm giữa hai điểm B và

O nên hai tia OB, ON trùng nhau
(2)

b) Điểm O nằm giữa hai điểm A và
B nên hai tia OA, OB đối nhau (3).

Từ (1); (2); (3) suy ra hai tia OM , ON đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm
M và N.

Nhận xét:

1. Để chứng minh điểm O nằm giữa hai điểm M và N ta dùng phương pháp xét
các tia gốc O.

2. Thí dụ 5 cho ta một dấu hiệu nhận biết
một điểm nằm giữa hai điểm khác.

BÀI TẬP

18. Xem hình 14 rồi cho biết:

a) Những tia nào chung gốc O?
b) Hai tia nào đối nhau?

c) Hai tia nào trùng nhau?

19. Cho đường thẳng xy. Lấy điểm O∉xy; điểm
A∈xy và điểm B trên tia Ay (B khác A)

a) Kể tên các tia đối nhau, các tia trùng nhau;
b) Kể tên hai tia khơng có điểm chung;

c) Gọi M là một điểm di động trên xy. Xác định vị trí của M để cho tia Ot đi qua

M không cắt hai tia Ax, By.

20. Vẽ hai đường thẳng mn và xy cắt nhau tại O.
a) Kể tên các tia đối nhau;

b) Trên tia Ox lấy điểm P, trên tia Om lấy điểm E (P và E khác O). Hãy tìm vị
trí của Q để điểm O nằm giữa P và Q; tìm vị trí của F để hai tia OE, OF trùng
nhau.

Hình 13
O

M N

A B

z

y
x

Hình 14
O

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

21. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy,
điểm M nằm giữa O và A. Giải thích vì sao:

a) Hai tia OA, OB đối nhau?

b) Điểm O nằm giữa hai điểm M và B?

22. Cho 4 điểm A, B, C và O. Biết hai tia OA, OB đối nhau; hai tia OA,OC trùng nhau.
a) Giải thích vì sao 4 điểm A, B, C, O thẳng hàng.

b) Nếu điểm A nằm giữa C và O thì điểm A có nằm giữa hai điểm B và C khơng?

Vì sao?

23. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B; điểm I nằm giữa hai điểm O và B. Giải thích
vì sao:

a) O nằm giữa A và I?
b) I nằm giữa A và B?

§ 4. Đoạn thẳng. Độ dài đường thẳng. Cộng độ dài hai đường thẳng

Kiến thức cơ bản:

1. Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa hai
điểm A và B (h.15)

2. Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dương.
3. AB=CD ⇔ AB và CD có cùng

độ dài;

AB<CD ⇔ AB ngắn hơn CD;
AB>CD ⇔ AB dài hơn CD.

4. Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì
AM +MB= AB.

Ngược lại, nếu AM +MB=AB thì điểm M nằm giữa
hai điểm A và B (h.16).

Nâng cao :

1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên :

Nếu AM +MB≠ AB thì điểm M khơng nằm giữa A và B.
2. Cộng liên tiếp (h.17)

Hình 16

B
M

Hình 15

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Nếu điểm M nằm giữa hai điểmA và B; điểm N
nằm giữa M và B.

ThìAM +MN +NB= AB .

Thí dụ 6 :

Cho điểmM nằm giữa hai điểm A và B. Giải thích vì sao AM < AB;MB< AB.
Giải : (h.18)

Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên
AM +MB= AB

Do AM >0 ; BM >0 nên AM < AB; BM < AB .

Thí dụ 7 :

Cho ba điểmM ,O ,N thẳng hàng. Điểm N không nằm giữa hai điểm MvàO .
Cho biết MN =3cm ;ON =1cm , hãy so sánh OM với ON .

Giải : (h.19)

Nếu điểm M nằm giữa hai điểm O và N thì
OM +MN =ON .

Thay số : OM + =3 1 (vơ lí) Vậy điểmM khơng
nằm giữa giữa O và N.

ĐiểmN không nằm giữaM và O (đề bài)
Suy ra điểm O nằm giữa hai điểm M vàN.

Ta có :MO ON+ =MN ;MO+ =1 3 ; MO=2 (cm).
Do đó OM >ON (vì 2>1 ).

Nhận xét :

Trong cách giải của ví dụ này, để tìm ra điểm Onằm giữa hai điểm M và N ta đã dùng
phương pháp loại trừ. Trong ba điểmM , O, N thẳng hàng có một và chỉ một điểm nằm giữa
hai diểm khác. Điểm N khơng nằm giữa hai điểm cịn lại (đề bài). Điểm M khơng nằm giữa
hai điểm cịn lại (tìm ra được nhờ phương pháp phản chứng).

Vậy điểm Ophải nằm giữa hai điểm còn lại.
BÀI TẬP

24. Cho 5 điểm A, B, C, D, Etrong đó khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đoạn
thẳng đi qua các cặp điểm. Hỏi vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng, là nhưng đoạn thẳng nào ?
Kết quả trên có thay đổi nếu cả 5 điểm A, B, C, D, E thẳng hàng ?

Hình 17

B
N

M
A

Hình 18

B
M

Hình 19

N
O

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

25. Cho trước n điểm (n∈ ; n≥2) Vẽ các đoạn thẳng đi qua các cặp điểm được tất cả 28
đoạn thẳng. Tìm n .

26. Vẽ 5 đoạn thẳng đôi một cắt nhau sao cho tổng số giao điểm là 10. GIải thích vì sao số

giao điểm không thể quá 10 ?

27. Xem hình 20 rồi cho biết
a) Hình này có mấy tia ?

b) Hình này có mấy đoạn thẳng ?

c) Những cặp đoạn thẳng nào không cắt nhau ?

d) Vì sao có thể khẳng định tia Ox khơng cắt đoạn thẳng BC ?

28. Cho hai tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy hai điểm B và C sao cho Bnằm giữa
Ovà C Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA>OC .

a) So sánh OA với OB .
b) So sánh OA OB− với OB.

29. Trên đường thẳng a lấy 4 điểm E, F, G, Htheo thứ tự đó. Giả sử EH =7cm ;
2

EF = cm ;FG=3cm

a) So sánh FG với GH.

b) Tìm những cặp đoạn thẳng bằng nhau.

30. Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E, trên tia đối của tia BA lấy điểm
F sao cho AE <BF. Hãy so sánh AF với BE.

31. Cho ba điểm A, B, C.

a) Giả sử AB=2cm; BC=3cm; CA=5cm, hãy chứng tỏ A, B, Cthẳng hàng.

b) Giả sử AB=2cm; BC=3cm; CA=4cm, hãy chứng tỏ A, B, Ckhông thẳng hàng.
32. Cho đoạn thẳng AB. Lấy điểm O nằm giữa A và B, Lấy điểm I nằm giữa Ovà B.

a) Giả sử AB=5cm; AO=2cm; BI =2cm, Tính OI .

b) Giả sử AO =a; BI =b, tìm điều kiện của a và b để AI =OB.

Hình 20
x'

x O

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

§5. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài

Kiến thức cơ bản:

1. Trên tia Ox bao giờ cũng vẽ được một và
chỉ một điểm M sao cho OM =a (đơn vị dài)
(h.21).

2. Trên tia Ox, OM =a, ON =bnếu 0< <a b
thì điểm M nằm giữa hai điểm O và N
(h.22).

Nâng cao:

Trên toa Ox có ba điểm M, N, P; OM =a; ON =b; OP=cnếu 0< <a bthì điểm N nằm
giữa hai điểm M và P (h.23) (xem ví dụ 9).

Thí dụ 8 :

Trên tia Ox lấy điểm P và Q sao cho OP=3cm; PQ =2cm. Tính OQ.
Giải : (h.24a, b)

Ta xét hai trường hợp :

a) Trường hợp Q nằm trên tia đối của tia
PO (h.24a) lúc đó P nằm giữa hai điểm
O và Q, suy ra

3 2 5

OQ=OP+PQ= + = (cm).

b) Trường hợp Q nằm trên tia PO (h.24b)
Vì PQ<PO(2<3) nên Q nằm giữa P và

O do đó PQ QO+ =PO

Suy ra OQ=OP−PQ= − =3 2 1 (cm).

Nhận xét :

Trên tia Ox lấy P sao cho OP = 3cm, điểm Plà điểm duy nhất, cịn điểm Qthì khơng duy
nhất. Tại sao như vậy ?

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Điểm Qkhông duy nhất trên tia Ox vì điểm Qkhơng cạc gốc Ocủa tia Ox một khoảng 2cm
mà cách P một khoảng PQ=2cm; điểm Pchỉ là một điểm thuộc tia Ox chứ Pkhơng phải là
gốc của tia Ox.

Thí dụ 9 :

Gọi M , N, P là ba điểm trên tia Ox ; OM =a; ON =b; OP=c; Giải thích vì sao nếu
a< <b cthì điểm N nằm giữa hai điểm M và P.

Giải: (h.25)

Hai điểm M, Nthuộc tia Ox mà

( )

OM <ON a<b nên điểm M nằm
giữa hai điểm Ovà Nsuy ra hai tia

NM , NO trùng nhau (1)

Hai điểm Nvà Pthuộc tia Ox mà

( )

ON <OP b<c nên điểm Nnằm
giữa hai điểm Ovà P, suy ra hai tia

NO và NPđối nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tia NM , NPđối nhau, do đó điểm Nnằm giữa hai điểm Mvà P.
BÀI TẬP

33. Gọi M , N, Plà ba điểm trên tia Ox sao cho OM =2cm, ON =3cm, OP=5cm. So sánh
MNvà NP.

34. Gọi A và Blà hai điểm trên tia Ox sao cho OA=4cm; OB=6cm. Trên tia BAlấy điểm
Csao cho BC =3cm. So sánh ABvới AC.

35. Cho Avà Blà hai điểm trên tia Ox sao cho OA=a cm( )vớia>0 ; AB=2cm.Tính OB.
36. Vẽ đoạn thẳng AB=5cm. Lấy hai điểm Evà Fnằm giữa Avà Bsao cho AE+BF =7cm
.

a) Chứng tỏ rằng điểm Enằm giữa hai điểm Bvà F.
b) Tính EF.

37. Vẽ hai tia chung gốc Ox, Oy. Trên tia Ox lấy hai điểm Avà B (điểm Anằm giữa Ovà
B). Trên tia Oy lấy hai điểm Mvà Nsao cho OM =OA; ON =OB.

a) Chứng tỏ rằng điểm Mnằm giữa Ovà N;
b) So sánh ABvới MN.

38*. Trên đoạn thẳng ABlấy hai điểm Ovà Isao cho OA OB< vàAI >IB .

Hỏi trong các bộ ba điểm A, O, Ivà B, O, Iđiểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại ?
Hình 25

x
P
N

M
O

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

§6. Trung điểm của đoạn thẳng

Kiến thức cơ bản :

1. Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm giữa hai đầu đoạn thẳng và cách đều hai đầu
đọa thẳng đó (h.26).

2. Nếu M là trung điểm của đoạn
thẳng ABthì:

2
AB
MA=MB= .

Nâng cao :

1. Nếu Mnằm giữa hai đầu đoạn thẳng ABvà

2
AB

AM = thì M là trung điểm của AB.
(Xem thí dụ 11).

2. Mỗi đoạn thẳng đều có một trung điểm duy nhất.

Thí dụ 10 :

Cho đoạn thẳng AB=a . Điểm O nằm giữa A và B Gọi Mvà Nthứ tự là trung điểm của
OA và OB. Tính MN.

Giải. (h.27)

M là trung điểm của OA nên M nằm
giữa A và O;

2
AO
OM = .

N là trung điểm của OB nên N nằm
giữa O và B;

2
OB
ON = .

Vì có O nằm giữa A và B (đề bài) nên

O nằm giữa M và N (xem ví dụ 5).

Vậy

2 2 2 2

AO OB AO OB AB

MN =OM +ON = + = + = hay

2
a
MN = .

Nhận xét:

Độ dài MN là một số không đổi, nó phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên đoạn thẳng AB.
Ta ln có

2
AB
MN = .

Thí dụ 11:

Cho điểm M nằm giữa hai đầu đoạn thẳng AB và

2
AB

AM = . Giải thích vì sao M là trung
điểm của AB.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải. (h.28)

Điểm M nằm giữa A và B

( )

1
Nên AM +MB= AB

MB= AB−AM

2 2

AB AB
MB= AB− =

Do đó AM =MB.

( )

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra M là trung điểm của
AB.

BÀI TẬP

39. Cho ba điểm , ,M N O sao cho OM =2cm; ON =2cmvà MN =4cm. Vì sao có thể khẳng
định O là trung điểm của đoạn MN.

40. Trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA=3cm, OM =4,5cm. Trên tia Ax lấy
điểm B sao cho M là trung điểm của AB. Hỏi điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng

OB khơng? Vì sao?

41. Trên đường thẳng a lấy 6 điểm M N O P Q R, , , , , theo thứ tự đó. Biết rằng
MN =NO=OP=PQ= =QR. Tìm những điểm là trung điểm của đoạn thẳng.

42. Cho đoạn thẳng AB=6cm. Lấy hai điểm ,C D thuộc đoạn thẳng AB sao cho
2

AC =BD= cm. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Giải thích tại sao M cũng là trung điểm của CD.

b) Tìm trên hình vẽ những điểm khác cũng là trung điểm của đoạn thẳng.

43. Trên tia Ax lấy hai điểm O và B sao cho AO=2cm; AB=5cm. Gọi I là trung điểm
của OB. Tính AI.

44.Trên đường thẳng xy lấy một điểm O và hai điểm ,M N sao cho OM =2cm; ON =3cm.
Vẽ các điểm A và B trên đường thẳng xy sao cho M là trung điểm của OA; N là trung
điểm của OB. Tính độ dài AB.

45*. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. Lấy điểm O thuộc tia đối của tia BA (O
khác B). Hãy so sánh OM với trung bình cộng của hai đoạn thẳng OA OB, .

46*. Cho đoạn thẳng AB=2100

( )

cm . Gọi M1 là trung điểm của đoạn thẳng AB; gọi M2 là
trung điểm của đoạn thẳng M B1 ; gọi M3 là trung điểm của đoạn thẳng M B2 ,..., gọi M100 là

trung điểm của đoạn thẳng M B99 . Tính độ dài của đoạn thẳng M M1 100.

Hình 28

B
M

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

§7. Ơn tập chương I

Thí dụ 12.

Cho 4 điểm , , ,A B M N sao cho hai tia MA MN, đối nhau; hai tia NM NB, đối nhau và
AM =a; BN =b

(

a<b

)

a) Bốn điểm , , ,A B M N có thẳng hàng
khơng? Vì sao?

b) So sánh AN với BM.
Giải. (h.29)

a) Hai tia MA MN, đối nhau nên M
nằm giữa A

và N; Ba điểm , ,A M N cùng nằm trên một đường thẳng

( )

1 .

Hai tia NM NB, đối nhau nên điểm N nằm giữa M và N và ba điểm , ,B M N cùng nằm
trên cùng một đường thẳng.

( )

Hai đường thẳng

( )

1 và

( )

2 có hai điểm chung là M và N nên chúng trùng nhau do đó
bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng.

b) AN = AM +MN = +a MN

( )

1
BM =BN +MN = +b MN

( )

2
Vì a<b nên từ

( )

3 và

( )

4 suy ra AN <BM .

Nhận xét:

Để chứng minh bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng ta đã chứng minh bốn điểm này nằm
trên hai đường thẳng rồi chứng minh hai đường thẳng đó trùng nhau do chúng có hai
điểm chung.

BÀI TẬP

47. Xem hình 30 rồi cho biết:
a) Hình đó có mấy tia?

b)Hình đó có mấy đoạn thẳng?

c) Độ dài của đoạn thẳng AB là bao nhiêu
biết O là trung điểm của AB và OB=a?
48. Gọi O là một điểm của đoạn thẳng

AB= cm. Xác định vị trí điểm O để:
a) Tổng AB+BO đạt giá trị nhỏ nhất;
b)Tổng AB+BO=2BO;

c) Tổng AB+BO=3BO.

49. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB và C là một điểm của đoạn thẳng đó. Cho biết

( )

AB= cm và AC=a cm

( )

(

0< ≤a 6

)

. Tính khoảng cách CM .
Hình 29

M B

b
a

Hình 30

B
O

C z

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

50.Cho đoạn thẳng CD=5cm. Trên đoạn thẳng này lấy hai điểm I và K sao cho CI =1cm;
3

DK = cm.

a) Điểm K có phải là trung điểm của đoạn thẳng CD không?
b) Chứng tỏ rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng CK.

51*.Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi ,M N thứ là trung điểm của
,

OA OB.

a) Chứng tỏ rằng OA OB< .

b) Trong ba điểm , ,O M N điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại ?

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Chương II. GĨC

§1. Nửa mặt phẳng 
Kiến thức cơ bản

1. Hình gồm đường thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là
một nửa mặt phẳng bờ a.

Nhận xét:

Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ
chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau.

Trong hình 31, nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A và
nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm M là hai nửa mặt phẳng
đối nhau bờ a.

2. Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nếu tia Oz cắt đoạn
thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và B

(A Ox∈ ; B∈Oy; A và B khác 0) (xem hình 32).
Nhận xét:

Nếu hai tia , yOx O đối nhau thì mọi tia Oz khác Ox Oy, đều

nằm giữa hai tia ,Ox Oy.

Nâng cao:
Trên hình 33:

− Hai điểm ,A B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a
thì đoạn thẳng AB không cắt a.

− Hai điểm A và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ a thì đoạn thẳng AC cắt a tại điểm nằm giữa A
và C.

Thí dụ 13.

Cho tia Ot nằm giữa hai tia Oa Ob, không đối nhau; tia

Om nằm giữa hai tia Oa Ot, ; tia On nằm giữa hai tia

Ob Ot. Giải thích vì sao tia Ot nằm giữa hai tia Om On, .
Giải. (h.34)

x
B

Hình 32
O

Hình 33

B
A

C
a

Hình 31
a

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Lấy điểm A trên tia Oa, điểm B trên tia
Ob(A và B khác O). Tia Ot nằm giữa
hai tia Oa Ob, nên cắt đoạn thẳng AB tại
điểm T nằm giữa A và B. Tương tự, tia

Om cắt đoạn thẳng AT tại điểm M nằm
giữa A và T ; tia On cắt đoạn thẳng BT
tại điểm N nằm giữa B và T . Từ đó suy
ra T nằm giữa hai điểm M và N, do đó
tia Ot nằm giữa hai tia Om On, .

Nhận xét .

− Nếu hai tia Oa Ob, đối nhau thì kết luận trên vẫn đúng.

− Thí dụ 13 cho ta một dấu hiệu nhận biết một tia nằm giữa hai tia khác.
BÀI TẬP

52. Cho bốn điểm , , ,A B C D không nằm trên đường thẳng a. Biết đoạn thẳng AB không cắt
a, đoạn thẳng BC cắt a, đoạn thẳng CD không cắt a. Hỏi đoạn thẳng AD có cắt đường
thẳng a khơng?

53. Năm bạn , , , ,A B C D E có nhà ở hai bên đường cao tốc. A đến nhà B; B đến nhà C; C
đến nhà D; D đến nhà E đều phải đi qua đường cao tốc. Hỏi những bạn nào đến nhà nhau
không đi qua đường cao tốc?

54.Cho đường thẳng m và năm điểm , , , ,A B C D E không thuộc m.

a) Chứng tỏ rằng trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng m, có một mặt
phẳng chứa ít nhất 3 điểm.

b) Cứ qua hai điểm vẽ một đoạn thẳng. Hỏi nhiều nhất có mấy đoạn thẳng cắt m?

55. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ t t' ta vẽ hai tia Ox và Oy

(

O∈t t'

)

. Chứng tỏ rằng
hoặc tia Ot hoặc tia Ot' nằm giữa hai tia Ox và Oy.

56. Trên một nửa mặt phẳng bờ a lấy điểm A, trên nửa mặt phẳng đối lấy hai điểm B và C

(

A B C, , ∉a

)

. Gọi M và N thứ tự là giao điểm của AB và AC với đường thẳng a.
a) Chứng tỏ rằng tia BN nằm giữa hai tia BA, BC; tia CM nằm giữa hai tia CA CB, .
b) Giải thích tại sao hai đoạn thẳng BN và CM cắt nhau.

Hình 34

t n

b
a

B
N

T
M

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

§2. Góc. Số đo góc. Cộng số đo hai góc

Kiến thức cơ bản:

1. Góc là hình gồm hai tia chung gốc (h.35a)

Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau (h.35b)

2. Mỗi góc có một số đo dương. Số đo của góc bẹt là 180° .
Sơ đo của mỗi góc khơng vượt q 180°.

3.  A= ⇔B A và B có cùng số đo
 

A< ⇔B số đo A <số đo B
 

A> ⇔B số đo A >số đo B

4. 0° <góc nhọn <góc vng <góc tù <góc bẹt.

( )

90°

(

180°

)

5. Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và
hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau
có bờ là cạnh chung.

6. A phụ vớiB ⇔ + = ° A B 90

A bù với B ⇔ + = A B 180°

Hai góc vừa kề, vừa bù gọi là hai góc kề bù.

Hai góc kề bù có tổng bằng 180° và hai cạnh ngoài là hai tia đối nhau.
7. Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì   xOy+yOz =xOz.

Ngược lại nếu   xOy+yOz =xOzthì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz. (h.36)
Nâng cao:

1. Mệnh đề sau tương đương với tính chất trên:

x O y

Hình 35b

x
y

O

Hình 35a

z

x
y

O

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Nếu   xOy+ yOz ≠ xOz thì tia Oy khơng nằm giữa
hai tia Ox và Oz.

2. Cộng liên tiếp (h.37)

Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz; tia Ot nằm giữa
hai tia Oy và Oz thì xOy   + yOt+tOz=xOz.

3. Hai góc AOB và AOC là hai góc kề.
Tia OA’ là tia đối của tia OA (h.38).

- Nếu  AOB+AOC <180° thì tia OA
nằm giữa hai tia OB, OC.

- Nếu  AOB+AOC <180° thì tia OA’
nằm giữa hai tia OB, OC.

Thí dụ 14:

Cho tia OM nằm trong góc AOB. giải thích vì sao

   AOM < AOB BOM; < AOB.

Giải: (h.39)

Vì tia OM nằm giữa hai tia OA, OB nên   AOM +BOM = AOB.
Do AOM >0;BOM >0nên    AOM < AOB BOM; < AOB.

Thí dụ 15:

Cho hai góc kề AOB và AOC, mỗi góc đều là góc tù
Giải thích vì sao  AOB+BOC =360 .°

Giải: (h.40)

Vẽ tia OA’ là tia đối của tia OA. Vì mỗi góc AOB, AOC đều là góc tù nên
 AOB+BOC >180°

Do đó tia OA’ nằm giữa hai tia OB, OC
Suy ra BOC  =BOA'+A OC'

Ta có:  AOB+BOA' 180= °(kề bù)

t
z

x
y

O

Hình 37

A'

B

A
C
O

Hình 38

M
B

A
O

Hình 39

A'

B

A

C

O

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

 A OC' +COA=180°(kề bù).

Xét tổng AOB   +BOC+COA= AOB+

(

BOA '+A OC'

)

+COA
=

(

AOB+ +BOA'

)

(

 A OC' +COA

)

=180° +180° =360°

Nhận xét:

Ba tia OA, OB, OC trong thí dụ trên tạo thành ba góc
khơng có điểm trong chung là AOB, BOC, COA, tổng
của 3 góc này bằng 360°.

Tổng quát: Cho n tia gốc O là Ox Ox1, 2,...,Oxn tạo thành

n góc phân biệt x Ox x Ox1 2, 2 3,...,x Ox x Oxn−1 n, n 1 sao cho

bất kỳ hai góc nào cũng khơng có điểm trong chung thế thì:

   

1 2 2 3 ... n 1 n n 1 360

x Ox +x Ox + +x Ox− +x Ox = ° (h.41)
BÀI TẬP

57. Vẽ 5 tia chung gốc Oa, Ob, Oc, Od, Ot trong đó hai tia Oa, Ob đối nhau.
a) Trong hình có bao nhiêu góc ? Là những góc nào ?

b) Kể tên các cặp góc kề bù.

58.Cho trước 4 tia chung gốc O. Vẽ thêm 3 tia gốc O. Hỏi đã tăng thêm bao nhiêu góc đỉnh O
?

59. Vẽ 3 đường thẳng đồng quy tại O.

a) Chúng tạo thành bao nhiêu góc ? trong số đó có bao nhiêu góc bẹt.
b) Thay 3 bởi n thì có bao nhiêu góc được tạo thành ?

60. Vẽ n tia chung gốc, chúng tạo thành 28 góc. Tìm n.

61. Vẽ góc xOy khác góc bẹt. Lấy A trên tia Ox, lấy B trên tia Oy (A và B khác O). Hãy lấy
một điểm C sao cho góc BOC kề bù với góc BOA.

a) Trong ba điểm A, O, C điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
b) Vẽ các tia BA, BC. Hỏi điểm O nằm trong góc nào ?

c) Kể tên các cặp góc kề bù đỉnh B.

O

xn-1

xn

x1

x2

x3

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

62. Cho góc AOB và tia OM bất kỳ. Xác định vị trí của tia OM để:
a)   AOB+AOM = AOB

b)   AOB+AOM > AOB
c)   AOM +MOB=AOB.

63. Cho hai góc kề bù AOC và BOC trong đó BOC là góc nhọn. Vẽ tia ON nằm giữa hai tia
OB, OC. Hãy so sánh hai góc AOC và BON.

64.Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Vẽ tia Om. Vẽ tiếp tia On nằm giữa hai tia Om, Ox. Giải
thích vì sao trong 3 góc xOn, nOm, mOy ít nhất có một góc lớn hơn hoặc bằng 60°.

65. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho OA = 2cm; OB = 5cm. Từ một điểm C ở ngoài
đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các tia CO, CA, CB. Giả sử OCB=110 ;° OCA= °30 . Tính số đo
góc ACB.

66.Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Vẽ các tia Oa, Ob thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau
bờ là đường thẳng xy, cho biết  1

aOy= bOy . Tính số đo của góc aOy để cho aOx=3bOx.
67. Cho ba tia chung gốc OA, OB, OC tạo thành ba góc khơng có điểm trong chung, biết

AOB=110 ;° BOC =120 .° Trong ba tia đã cho, tia nào nằm giữa hai tia còn lại.

68. Cho hai góc kề AOB và BOC có tổng bằng m°. Tính số đo của góc AOC.

§3. Vẽ góc cho biết số đo

Kiến thức cơ bản:

1. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, bao giờ cũng vẽ được một và chỉ
một tia Oy sao cho xOy=m(độ).

2. Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, có

 ;

xOy= °m xOz= °n ; nếu m<n thì tia Oy nằm giữa
hai tia Ox, Oz (h.42)

Nâng cao:

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có

O x

y
z

Hình 42

t

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

 ; ;

xOy = °m xOz= °n xOt = °p ; nếu m< <n p thì
tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot (h.43)

Thí dụ 16:

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox, vẽ ba tia
Oy, Oz, Ot sao cho xOy= °a

(

0< ≤a 130 ;

)

xOz = ° + °a 20 ;xOt = ° + °a 50 .

So sánh góc yOz và zOt.
Giải: (h.44)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có

 

(

20

)

xOy<xOz a° < ° + °a nên tia Oy nằm giữa
hai tia Ox, Oz do đó:  yOz= xOz−xOy= ° + ° − °a 20 a

 20 .

yOz = °

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia Ox; có  xOy<xOt a

(

° + ° < ° + °20 a 50

)

nên tia Oz
nằm giữa hai tia Ox, Ot do đó:zOt  =xOt−xOz= ° + ° − ° + ° = °

(

a 50

) (

a 20

)

Vậy  yOz<zOt

(

20° < °30 .

)

Nhận xét:

- Vì mỗi góc có một số đo dương, không vượt quá 180° nên phải có điều kiện
0< <a 130.

- Số đo của các góc yOz; zOt khơng phụ thuộc vào giá trị của a mà chỉ phụ thuộc vào giá
trị của các góc xOz, xOt hơn góc xOy bao nhiêu độ.

BÀI TẬP

69. Cho góc bẹt xOy. Vẽ hai tia Om, On trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy sao cho

 120 ; .

xOm= ° xOn= °a Tìm giá trị của a để tia Om nằm giữa hai tia Oy, On.

70. Trên mặt phẳng, cho tia Ox. Vẽ hai tia Oy, Ot sao cho xOy=100 ;° xOt =150° . Tính số đo
góc yOt.

a°
t

O x

y
z

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

71. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

 70 ; 30 .

xOy= ° yOz= ° Tính xOz.

72. Cho góc AOB và hai tia OM, ON nằm trong góc đó sao cho   AOM +BON < AOB.
a) Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?

b) Giả sử AOM = °40 ;BON = °50 ;MON = °30 . Tính góc AOB.

73. Cho góc AOB. Ở trong góc đó vẽ hai tia OM, ON. Sao cho  AOM <BOM và
 AON >BON. Trong ba tia OA, OM, ON tia nào nằm giữa hai tia còn lại ?

74. Trên nửa mặt phẳng cho trước có bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho

 40 ; 130 .

xOy= ° xOz= ° Vẽ tia Ot sao cho hai tia Ot, Ox thuộc cùng một nửa mặt phẳng với bờ
chứa tia Oz. Cho biết zOt= °60 . So sánh ba góc  xOy yOt; và zOt.

§4. Tia phân giác của một góc

Kiến thức cơ bản:

1. Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh
của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau (h.45)
2. Nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì

  .

xOy

xOz =zOy=

Nâng cao:

1. Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy và  

xOy

xOz = thì tia Oz là tia phân giác của góc xOy.
2. Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc gọi là đường phân giác của góc đó. Mỗi góc có
một đường phân giác duy nhất.

Thí dụ 17:

Cho góc aOb và tia Ot nằm giữa Oa, Ob. Các tia Om, On thứ tự là tia phân giác của các góc
aOt và bOt. Chứng tỏ rằng  

aOb
mOn=
Giải: (h.46)

m
t

n
b

hình 45
O

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Tia Om là tia phân giác của góc aOt nên tia Om nằm
giữa hai tia Oa, Ot và  

aOt

mOt=

Tia On là tia phân giác của góc bOt nên tia On nằm
giữa hai tia Ob, Ot và  .

bOt
tOn=

Vì có tia Ot nằm giữa hai tia Oa, Ob (đề bài) nên tia Ot nằm giữa hai tia Om, On (xem thí dụ
13).

Vậy        .

2 2 2 2

aOt bOt aOt bOt aOb

mOn=mOt+tOn= + = + =

Nhận xét: Số đo của góc mOn khơng phụ thuộc vào vị trí của tia Ot trong góc aOb.
Ta ln ln có  .

aOb
mOn=
BÀI TẬP

75. Cho hai góc kề bù AOT và BOT. Gọi OM và ON thứ tự là tia phân giác của hai góc đó.
Tính MON.

76. Cho hai góc kề bù AOT và BOT. Vẽ tia phân giác OD của góc BOT. Biết góc BOT lớn
hơn góc AOT là 20° . Tính góc AOD.

77. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ ba tia Oy, Oz, Ot sao cho xOy= °50 ; xOz= °75 ;

 100

xOt = °. Xác định xem tia nào là tia phân giác của một góc.

78. Cho hai góc kề DOE và DOF, mỗi góc bằng 150° . Hỏi tia OD có phải là tia phân giác của
góc EOF khơng ?

79. Cho ba tia OA, OB, OC tạo thành ba góc bằng nhau và khơng có điểm trong chung là

AOB, BOC và COA. Vì sao có thể khẳng định tia đối của mỗi tia nói trên là tia phân giác của
góc tạo bở hai tia cịn lại ?

80. Cho hai góc kề bù là xOz và yOz trong đó xOz = °50 . Trên nửa mặt phẳng bờ xy có chứa
tia Oz ta vẽ tia Ot. Giả sử yOt = °a . Xác định giá trị của a để Oz là tia phân giác của góc xOt.
81. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA ta vẽ các tia OB, OC sao cho AOB= °50 ;

 150

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

b) Tia OB có phải là tia phân giác của góc MON khơng ?

82. Cho góc AOB và tia phân giác Ox của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB và bờ là
đường thẳng OA ta vẽ Oy sao cho  AOy> AOB.

Chứng tỏ rằng:

a) Tia OB nằm giữa hai tia Ox, Oy

b)   .

AOy BOy

xOy = +

83. Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox ta vẽ các tia Ox Ox Ox1, 2, 3,...,Oxn sao cho:

 

2 1

3 1

2
3
...

n

xOx xOx
xOx xOx

xOx nxOx

=
=

Tìm số n nhỏ nhất sao cho trong các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 10 góc.

§5. Đường trịn

Kiến thức cơ bản:

1. Đường trịn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu
(O,R).

Hình trịn là hình gồm các điểm nằm trên đường trịn và các điểm nằm bên trong đường trịn
đó.

2. Hai điểm C, D của một đường tròn chia đường tròn
thành hai cung. Đoạn thẳng nối hai mút của cung là
dây cung. Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

Trên hình 47, đoạn thẳng CD gọi là dây cung; đoạn thẳng
AB gọi là đường kính.

Nâng cao:

Giao điểm của hai đường trịn:

Hai đường trịn phân biệt có thể có hai điểm chung, một điểm chung duy nhất hoặc khơng có
điểm chung nào. (sẽ học kỹ ở lớp 9).

O

A B

D
C

Hình 47

1,5
3

2

B
A

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Thí dụ 18:

Cho đoạn thẳng AB = 3cm. Hãy nói cách
vẽ một điểm C vừa cách A là 2cm, vừa
cách B là 1,5cm.

Giải: (h.48)

Vẽ đường tròn (A; 2cm) và đường tròn
(B; 1,5cm) chúng cắt nhau tại C.

Rõ ràng C cách A là 2cm và C cách B là
1,5cm.

Nhận xét:

Vì hai đường trịn (A; 2cm) và (B; 1,5cm) cắt nhau tại hai điểm nên ta có hai điểm C và C’

thỏa mãn đầu bài.

BÀI TẬP

84. Một con trâu được buộc vào một chiếc cọc cắm trên bãi cỏ. Dây thừng giữ trâu dài 3m.
Hỏi con trâu đó ăn được cỏ trong phạm vi nào ?

85.Trên đường tròn (O) lấy 5 điểm A, B, C, D, E. Nối mỗi cặp điểm ta được một dây cung.
a) Hỏi vẽ được bao nhiêu dây cung ?

b) Hỏi trên đường tròn trên có bao nhiêu cung.

86. Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Vẽ đường tròn (O; 3cm) cắt Ox, Oy thứ tự tại A và
B. Vẽ đường tròn (O; 2cm) cắt tia Ox, Oy thứ tự tại C và D. Vẽ đường tròn (D; BD) cắt BO tại
M và cắt đường tròn (O; 2cm) tại N.

a) So sánh AC và BD.

b) Chứng tỏ M là trung điểm Của OD.
c) So sánh tổng ON + ND với OB.

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

§6. Tam giác

Kiến thức cơ bản:

1. Tam giác ABC là hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA
khi ba điểm A, B, C không thẳng hàng (h.49).

2. Cạnh và góc của tam giác
- Ba cạnh : AB, BC, CA

- Ba góc:   A B C; ; .
Nâng cao:

Nếu một đường thẳng không đi qua các đỉnh của một tam giác và cắt một cạnh của tam giác
ấy thì nó cắt một và chỉ một trong hai cạnh còn lại (xem bài 92)

Thí dụ 19:

a) Vẽ tam giác ABC biết BC = 5cm; AB = 3cm; AC = 4cm.

b) Lấy điểm O ở trong tam giác ABC nói trên. Vẽ tia AO cắt AC tại H, tia BO cắt AC tại I,
tia CO cắt tia AB tại K. Trong hình đó có bao nhiêu tam giác.

Giải: (h.50)

a) Vẽ đoạn thẳng BC = 5cm
Vẽ cung tròn (B; 3cm)
Vẽ cung tròn (C; 4cm)

Lấy giao điểm A của hai cung trên.

Vẽ các đoạn thẳng AB, AC ta được ∆ABC.

b) Có 6 tam giác “ đơn” là AOK; BOK; COH và COI.
Có 3 tam giác “ ghép đơi” là: AOB; BOC; COA.

Có 6 tam giác “ ghép ba” là: ABH; BCI; CAK;ABI; BCK’ CAH.
Có 1 tam giác “ ghép sáu” là: ABC.

C

B

A

Hình 49

H

I
K

O

C
B

A

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Vậy trong hình có tất cả 6 3 6 1 16+ + + = tam giác
 Nhận xét:

Với 16 hình tam giác trong hình 50, khi đếm ta có thể bỏ sót hoặc trùng lặp. Vì vậy cần phải
phân loại theo một dấu hiệu nào đó. Trong cách giải trên,ta đã phân loại theo dấu hiệu “ đơn”,
“ đôi”, “ ba”,…

Với mỗi trường hợp, ta cũng nên xét theo một trình tự nào đó.
Bài tập

88. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Viết tên các tam giác có ba đỉnh là 3 trong 5 số điểm nói trên
trong các trường hợp.

a) Khơng có ba điểm nào thẳng hàng

b) Có 3 điểm A, B, C thẳng hàng và 3 điểm A, D, E thẳng hàng.
89. Xem hình 51 rồi cho biết trong hình này có bao nhiêu
tam giác, là những tam giác nào?

Hình 51

90. Vẽ tam giác ABC rồi lấy điểm M nằm trong tam giác.
Tia AM cắt đường thẳng BC tại điểm N.

a) Giải thích vì sao điểm N nằm giữa hai điểm B và C; điểm
M nằm giữa hai điểm A và N.

b) Vẽ hai đoạn thẳng MB và MC. Kể tên các tam giác có
trong hình vẽ.

91. a) Vẽ tam giác ABC biết BC =3,5 cm AB; =2cm AC; =3cm.

b) Vẽ tiếp tam giác ADE biết D thuộc tia đối của tia AB và AD =1cm; E thuộc tia đối của tia
AC và AE=1,5 cm.

c) Hai tia BE và CD cắt nhau tại O. Dùng compa để kiểm tra xem E và D có phải là trung
điểm của OB và OC khơng?

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

§7 Ơn tập

Thí dụ 20:

Hai góc xOy và xOz bù nhau nhưng không kề nhau và  xOy< xOz; gọi tia Ot là tia đối của tia
Oz. Tia Ox có phải là tia phân giác của yOt khơng? Vì sao?

Giải: ( Hình 52) 
Hai góc xOy và xOz khơng kề nhau nên hai

tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có
bờ chứa tia Ox.

Vì  xOy<xOz nên tia Oy nằm giữa hai tia
Ox và Ox, suy ra

  

zOy<zOx< zOt, do đó tia Ox nằm giữa hai
tia Oy và Ot. ( 1)

Ta có: xOy +xOz =1800( đề bài)

  0

180

xOt+xOz = ( kề bù)

Suy ra  xOt=xOy( 2) ( vì cùng bù với xOz).
Từ (1) và ( 2) suy ra tia Ox là tia phân giác
của góc yOt.

Nhận xét:

Trong cách giải của thí dụ trên, để chứng tỏ hai góc xOy và xOt bằng nhau ta đã nói cùng bù
với 1 góc thứ 3 là góc xOz.

Tương tự, hai góc cùng phụ với một góc thứ ba; cùng bằng nửa góc thứ ba, cùng gấp đơi góc
thứ 3… thì hai góc đó bằng nhau.

Bài tập 
93.

Trong hình 53,cho biết  0

AOC= ; tia OD nằm
giữa hai tia OB và OC.

a) Kể tên góc vng, góc nhọn và góc tù.

b) Nếu 2 góc BOD và COD khơng bằng nhau,
chứng tỏ rằng trong hai góc đó có một góc nhỏ
hơn 0

45 .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

94. Gọi M và N là hai điểm nằm khác phía đối với đường thẳng xy. Đoạn thẳng MN cắt xy tại
O. Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA=2 cm.

a) Giả sử MAx =NAx=1300. Chứng tỏ rằng tia Ay là tia phân giác của góc MAN. Tính góc
MAN.

b) Trên tia Oy lấy điểm B, giả sử MBN =1000, MBO =400. Tính OBN.
c) Muốn cho điểm O là trung điểm của AB thì OB phải có độ dài là bao nhiêu?

95. Gọi tia Oz là tia phân giác của góc bẹt xOy. Vẽ hai góc nhọn kề nhau là zOm và zOn sao
cho hai tia Om, On cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz và zOm =zOn.

a) Tia Oz có phải là tia phân giác của góc mOn khơng? Vì sao?

b) Vẽ tia Ot là tia đối của tia On. Vì sao có thể khẳng định tia Ox là tia phân giác của góc mOt.
96. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vẽ điểm N nằm giữa M và B.

Cho biết MN = a ( cm); NB= b ( cm)

b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử AOB=100 ;0 AOM =60 ;0 MON =200.
Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của MOB khơng? Vì sao?

97. Cho ba tia phân biệt, chung gốc là Ox, Oy và Ot. Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy
khơng nếu:

a) xOt =750 và xOy=450
b) xOt =750 và tOy =1100
c) xOt =900 và tOy =900

98. Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm
giữa A và B. Biết AB=5 cm AM; =3cm BN; =1cm.

Chứng tỏ rằng:

a) Bốn điểm A, B, M,N thằng hàng

b) Điểm N là điểm trung điểm của đoạn thằng MB.

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

ĐÁP ÁN 
PHẦN HÌNH HỌC 
CHƯƠNG I: ĐOẠN THẲNG 
Câu 1: Xem hình 54.

Câu 2: Xem hình 55.

a) Vẽ điểm C∈p và C không trùng với điểm A hoặc B.
b) Vẽ điểm D∉p.

Câu 3: Có thể vẽ như các hình 56 và 57

Câu 4:

a) Xem hình 58a b) Xem hình 58b

Câu 5:

a) Ba điểm , ,A B C thẳng hàng;

b) Ba điểm , ,A B C không thẳng hàng.
Câu 6:

n
m

Hình 54

A

B
C

Hình 55
D

A B C

p

Hình 56
G

D
E

F

C

Hình 57
C

G
E

F

D

Hình 58a
K
B

A I

Hình 58b
R
Q

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

a) Mặt Trăng nằm giữa Mặt Trời và Trái Đất;
b) Trái Đất nằm giữa Mặt Trời và Mặt Trăng.

Câu 7:Có 8 trường hợp một điểm nằm giữa hai điểm khác đó là:
M nằm giữa A, B ; N nằm giữa C, D
E nằm giữa A, D ; F nằm giữa B, C
O nằm giữa M, N ; O nằm giữa E, F
O nằm giữa A, C ; O nằm giữa B, D
Câu 8:

a) Có thể vẽ như hình 59
b) Có thể vẽ như hình 60

Câu 9: Xem hình 61

Câu 10: (h.62)
Hình 59

Hình 61
p

n
m

A B

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Vẽ các đường thẳng AB CD; chúng cắt nhau tại M, điểm M là điểm cần tìm.
Nếu hai đường thẳng AB và CD khơng cắt nhau thì khơng tìm được điểm M
Câu 11:

a) 6.5 15

2 = (đường thẳng)

b) Nếu không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng vẽ được là 15.

Bây giờ xét đến ba điểm thẳng hàng, qua chúng chỉ có một đường thẳng. Nếu ba điểm này
khơng thẳng hàng thì có 3 đường thẳng.

Số đường thẳng giảm đi là 3 1 2− = . Vậy có tất cả 15 2 13− = (đường thẳng).
Câu 12:

(

)

.2 12.11.2 132

2 2

n n−

= = (trận đấu)

Câu 13:

Gọi số điểm cho trước là n

(

)

36;
2

n n−

= n n

(

− =1

)

72=9.8; n=9 .

Câu 14: Coi mỗi ngã tư là giao điểm của hai đường thẳng. Gọi số con đường là n, ta có

(

)

300;
2

n n−

= n n

(

− =1

)

600=25.24 suy ra n=25 .
Câu 15:

a) 11.10 55

2 = (giao điểm)

b) Nếu khơng có ba đường thẳng nào đồng quy thì số giao điểm là 55.

Bây giờ xét đến 5 đường thẳng không đồng quy mà cắt nhau đơi một thì số giao

Hình 62

A

B

D
M

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

điểm là 5.4 10

2 = (giao điểm).

Số giao điểm giảm đi là 10 1 9− = . Vậy có tất cả 55 9 46− = (giao điểm).
Câu 16:

a) Ba đường thẳng , ,m a b đồng quy tạiO . Vậy O là điểm chung của hai đường thẳng a và b
.

Ba đường thẳng , ,n a b đồng quy tại một điểm giả sử đó là điểm 'O . Vậy 'O là điểm chung
của hai đường thẳng a và b .

Hai đường thẳng phân biệt a và b mà có điểm chung thì chỉ có một điểm chung duy nhất nên
O và O' trùng nhau, từ đó suy ra 4 đường thẳng , , ,m n a b đồng quy tại O .

b) Đáp số: 10 giao điểm (xem hình 63)

Câu 17: Nếu vẽ thêm một điểm thì qua điểm này và mỗi điểm trong số n điểm đã cho ta vẽ
thêm được 1 đường thẳng. Vì tổng số đường thẳng tăng thêm là 8 nên n=8 .

Câu 18: (h.14)

a) Ba tia Ox Oy Oz, , chung gốc O
b) Ox và Oy đối nhau

c) OH và Oz trùng nhau
Câu 19: (h.64)

Hình 63

b
a

n
m

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

a) Các tia đối nhau là Ax và Ay ; Bx và By , các ta trùng nhau là AB và Ay , BA và Bx
b) Hai tia Ax và By khơng có điểm chung

c) M nằm giữa A và B
Câu 20: (h.65)

a) Hai tia đối nhau là Om và On, Oxvà Oy.

b) Q thuộc tia Oy(Q khác O). Fthuộc tia Om (Fkhác 0).

Câu 21: (h.66)

a) Điểm O nằm trên đường thẳng xy nên hai tia Ox và Oyđối nhau (1)

Điểm A thuộc tia Ox, điểm Bthuộc tia Oynên hai tia OA Ox, trùng nhau; hai tia OB Oy,
trùng nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tia OA OB, đối nhau (3)

b) Điểm M nằm giữa hai điểm O vàA nên hai tia OM ,OA trùng nhau (4).

Hình 64
t

y
x

A B

O

M

Hình 65
y

n
m

F O

P

E

Q

Hình 66

y
x

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Từ (3) và (4) suy ra hai tia OM OB, đối nhau do đó điểm O nằm giữa hai điểm M và B
Câu 22: (h.67)

a) Hai tia OA OB, đối nhau nên ba điểm , ,O A B thuộc cùng một đường thẳng.
Hai tia OA OC, trùng nhau nên ba điểm , ,O A C thuộc cùng một đường thẳng.

Hai đường thẳng này có 2 điểm chung là O và A nên chúng trùng nhau, suy ra 4 điểm
, , ,

A B C O thẳng hàng.

b) Hai tia OA OB, đối nhau nên điểm O nằm giữa A vàB suy ra hai tia AO AB, trùng nhau
(1).

Điểm A nằm giữa O và C, nên hai tia AO AC, đối nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tia AB AC, đối nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm B và C.
Câu 23: (h.68)

a) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B suy ra hai tia OA OB, đối nhau (1).
Điểm I nằm giữa hai điểm O và B suy ra hai tia OI OB, trùng nhau (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai tia OA OI, đối nhau, do đó điểm O nằm giữa hai điểm A và I.
b) Điểm I nằm giữa hai điểm O và B, suy ra hai tia OI IB, đối nhau (3).

Điểm O nằm giữa hai điểm A và I suy ra hai tia IO IA, trùng nhau (4)

Từ (3) và (4) suy ra hai tia ,IA IB đối nhau do đó điểm I nằm giữa hai điểm A và B.
Câu 24: (h.69)

Có 5.4 10

2 = đoạn thẳng là:

C B

Hình 67

A O

A B

Hình 68

O I

A

E

D C

B

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

- AB AC AD AE, , ,
- BC BD BE, ,
- CD CE,
- DE

Nếu cả 5 điểm , , , ,A B C D E thẳng hàng thì kết quả trên vẫn khơng thay đổi.

Câu 25:

(

)

28
2

n n−

= ; n n

(

− =1

)

56=5.8 ; n=8.
Câu 26:

Có thể vẽ như hình 70. Mỗi đoạn thẳng có số giao điểm với 4
đoạn thẳng còn lại nhiều nhất chỉ là 4. Vậy với 5 đoạn thẳng
thì số giao điểm nhiều nhất là 5.4=20. Nhưng mỗi giao điểm
đã được tính hai lần do đó số giao điểm nhiều nhất chỉ có

5.4
10

2 = , suy ra số giao điểm không thể quá 10.

Câu 27: (h.20)

a) Có 12 tia là tia Ax Ay Bx By Cx Cy Dx Dy Ox Oy Ox Oy; ; ; ; '; '; '; '; ; ; '; '.
b) Có 8 đoạn thẳng là OA OB OC OD AD BC AB CD, , , , , , , .

c) Những cặp đoạn thẳng không cắt nhau là: AD và BC, AD và OB, AD và OC, BC và
OA, BC và OD.

d) Tia Oy cắt đoạn thẳng BC tại điểm B. Vậy tia Ox là tia đối của tia Oy không cắt đoạn
thẳng BC.

Câu 28: (h.71)

a) Vì B nằm giữa O và C nên OB<OC
mà OC <OA nên OB<OA hay OA>OB.
b) Vì OB>0 nên OA OB− <OA.

Câu 29: (h.72)

a) Điểm F nằm giữa E và G nên
EG=EF+FG, EG= + =2 3 5 (cm)

2 cm
a

7 cm

3 cm
Hình 72

E F G H

Hình 70

O

A

B

Hình 71

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Điểm G nằm giữa E và H nên EG+GH =EH . Thay số tính được GH =2cm
Vậy FG>GH(3>2).

b) FG>GH =2cm EG; =FH =5cm.
Câu 30: (h.73)

Điểm B nằm giữa A vàF nên AF = AB+BF (1)

Điểm A nằm giữa E và B nên BE =BA+AE (2) mà AE<BF nên từ (1) và (2) suy ra
AF >BE.

Câu 31:

a) Vì AB+BC = AC(2 3+ =5) nên điểm B nằm giữa hai điểm A và C suy ra , ,A B C thẳng
hàng.

b) Vì AB+BC ≠ AC(2 3+ ≠ 4) nên điểm B không nằm giữa hai điểm A và C.
Vì BC+CA≠BA(3 4+ ≠ 2) nên điểm C khơng nằm giữa hai điểm B và A.

Vì BA+AC ≠BC(2+ ≠4 3) nên điểm A không nằm giữa hai điểm B và C.
Vậy trong ba điểm , ,A B C khơng có điểm nào nằm giữa hai điểm cịn lại từ đó suy

ra ba điểm , ,A B C khơng thẳng hàng vì nếu , ,A B C thẳng hàng thì phải có một
điểm nằm giữa hai điểm còn lại.

Câu 32: (h.74)

a) Dùng cách cộng liên tiếp ta được AO OI+ +IB= AB. Thay số được OI =1cm

b) Điểm O nằm giữa A và B; điểm I nằm giữa O và B nên điểm O nằm giữa A và I
(xem bài 23)

Suy ra AI = AO OI+ (1)
BO=BI +OI (2)

Từ (1) và (2) suy ra
.

AI =BO⇔ AO=BI ⇔ =a b
Câu 33:Hướng dẫn

E F

Hình 73

A B

2 cm
2 cm

5 cm

Hình 74

A O I B

x
6 cm

Hình 75
3
4

O

C

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Điểm M nằm giữa O và N, từ đó tính được MN =1cm

Điểm N nằm giữa O và P, từ đó tính được NP =2 suy ra MN <NP.
Câu 34: (h.75)

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA<OB(4<6) nên điểm A nằm giữa O và B, suy ra
;

AB=OB−OA AB= − =6 4 2 (cm)

Hai điểm A vàC trên tia BA mà BA<BC(2<3) nên điểm A nằm giữa hai điểm B và C
Suy ra AC =BC−BA= − =3 2 1(cm)

Vậy AB> AC(2 1)> .

Câu 35: a) Trường hợp điểm B nằm trên tia đối
của tia AO (h.76a)

Lúc này A nằm giữa O và B nên
2

OB=OA+AB= +a (cm)

b) Trường hợp điểm B nằm trên tia AO.
- Nếu a>2 (h.76.b) thì điểm B nằm giữa

A và O, suy ra OB=OA−AB= −a 2
(cm).

- Nếu a=2 thì điểm B trùng với O;
khoảng cách giữa hai điểm O và Bbằng 0.
- Nếu a<2 thì O nằm giữa A và B.

Trường hợp này khơng xảy ra vì O là gốc của tia Ox, khơng thể nằm giữa hai điểm của tia
Ox.

Tóm lại, bài tốn có 3 đáp số:
2;

OB= +a OB= −a 2

Hoặc khoảng cách giữa O và B bằng 0.

Câu 36: (h.77)

a) Điểm E nằm giữa hai điểm A và B nên
5

AE+BE =AB= (cm) ) nên
7

AE+FE+EB= (cm);

(

AE+EB

)

+FE =7(cm)

Hình 76b

x
a

O A

B 2

a

Hình 76a
2 cm

x

O A B

Hình 77

B
5

F E

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

5(cm)+FE=7(cm) suy ra FE =2(cm).
Câu 37: (h.78)

a) Điểm A nằm giữa O và B nên OA<OB mà
;

OM =OA ON =OB nên OM <ON suy ra điểm
M nằm giữa hai điểm O và N.

b) Ta có OB=OA+AB (1)

ON =OM +MN (2) Vì OB=ON OA; =OM nên
từ (1) và (2) suy ra AB=MN.

Câu 38: (h.79)

Điểm O nằm giữa A và B nên
AO OB+ =AB Vì AO<OB nên 2AO< AB
Hay

2
AB
AO< (1)

Điểm I nằm giữa A và B nên AI +IB= AB.
Vì IA>IB nên 2AI > AB hay

2
AB
AI > (2)

Từ (1) và (2) suy ra AO< AI, do đó O nằm giữa A và I .
Lập luận tương tự ta được I nằm giữa B và O.

Câu 39: Ta thấy MO ON+ =MN (vì 2+2=4). Vậy điểm O nằm giữa hai điểm M và N (1)
Mặt khác OM =ON (2) nên từ (1) và (2) suy ra O là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 40: (h.80)

Hai điểm A và M thuộc tia Ox mà

M
(3 4,5)

OA<OM < nên điểm A nằm giữa O và
suy ra AM =OM −OA AM; =4,5 3 1,5(− = cm).
Điểm M là trung điểm của AB nên

2 2.1,5 3( )

AB= AM = = cm . Vậy

( 3 )
AB=AO = cm (1)

Điểm A nằm giữa hai điểm O và M nên hai tia AO và AM đối nhau (2)
Điểm M nằm giữa hai điểm A và B nên hai tia AM và AB trùng nhau (3)

Hình 79

B

O

I

A

x

4,5 cm

Hình 80

3 cm

O A M B

Hình 78

O M

A

N

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Từ

( )

2 và

( )

3 suy ra hai tia AO và AB đối nhau do đó điểm A nằm giữa hai điểm O và
B

( )

Từ

( )

1 và

( )

4 suy ra A là trung điểm của OB.
41.

(

h.81

)

− N là trung điểm của MO

− O là trung điểm của NP và MQ
− P là trung điểm của OQ và NR
- Q là trung điểm của PR

42.

(

h.82

)

a) M là trung điểm của AB nên M nằm giữa A và B; 1 3
2

MA=MB= AB= cm.
Trên tia AB có AC< AM

(

2<3

)

nên C nằm giữa A và M

Trên tia BA có BD<BM

(

2<3

)

nên D
nằm giữa B và M. từ đó suy ra M nằm giữa
hai điểm C và D.

( )

Ta có MC = AM −AC = − =3 2 1

( )

cm

( )

3 2 1
MD=MB−BD= − = cm

Vậy MC =MD

( )

2 Hình 82

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra M là trung điểm của CD

b) Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng AD; điểm D là trung điểm của đoạn thẳng
CB.

43.

(

h.83

)

O nằm giữa A và B nên OB=3cm suy ra
1,5

OI = cm

Điểm O nằm giữa A và B; điểm I nằm giữa O
và B suy ra O nằm giữa A và I (xem bài 23)
Vậy AI=AO+OI=2+1,5=3,5

( )

cm

hình 83
44.Trường hợp M và N nằm trên hai tia đối nhau gốc O thì AB=10cm

Trường hợp M và N cùng nằm trên một tia gốc O thì AB=2cm
45. (h.84)

M là trung điểm của AB nên M nằm giữa A và B, MA=MB

( )

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Hai tia BM BA, trùng nhau; hai tia
,

BO BA đối nhau suy ra hai điểm
,

BM BO đối nhau, do đó B nằm giữa hai

điểm M và O. Vậy OM =OB=BM

( )

Hai tia MA MB, đối nhau , hai tia MB MO, trùng nhau suy ra hai tia MA MO, đối nhau
do đó M nằm giữa A và O. Vậy OM =OA MA−

( )

3 .

Từ

( ) ( ) ( )

1 , 2 , 3 suy ra 2OM =OA OB+ hay

2
OA OB

OM = +

46. (h.85)
Có
100
1
2
2 2
AB
M B= =

100
2
3 3
2
2 2
M B

M B= =

….
100
100 100
2
1
2

M B= =

Vì BM100 <BM1

(

1<299

)

nên điểm M100 nằm giữa hai điểm B và M1.

Do đó 99

( )

1 100 1 100 2 1

M M =M B−M B= − cm
47.

a) Có 8 tia là Ax; Ay; Az; Bx; By; Bz; Ox; Oy; Oz
b) Có 6 đoạn thẳng là CA; CO; CB; AO;AB;OB.
c) AB=2a

48.a) tổng AB+BO đạt GTNN là 4 cm khi điểm O trùng với điểm B
b) AB OB+ =2BO⇔ AB=BO⇔O trùng A.

c) AB+BO=3BO⇔ AB=2BO⇔O là trung điểm của AB
49.

(

h.86

)

M là trung điểm của AB nên
1

3
2

AM = AB= cm
Nếu a<3 thì CM = −3 a

Nếu a=3 thì khoảng cách giữa hai điểm C và M bằng 0
Nếu 3< <a 6 thì CNM = −a 3

Tóm lại: với mọi trường hợp thì khoảng cách CM = −a 3
50.

(

h.87

)

a) Điểm K nằm giữa C và D nên

( )

5 3 2

CK =CD−DK = − = cm .

Hình 84

Hình 85

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Vậy KC <KD do đó K khơng phải là trung điểm của CD.

b) Hai điểm I và K nằm trên tia CD mà CI <CK

(

1<2

)

nên điểm I nằm giữa hai điểm
C và K. mặt khác 1

CI = CK nên I là trung điểm của CK
51.

(

h.88

)

a) Hai tia OA, AB đối nhau nên điểm A nằm
giữa hai điểm O và B, suy ra OA<OB.

b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB nên ;

2 2

OA OB

OM = ON = vì
OA<OB nên OM <ON

Hai điểm M và N thuộc tia OB mà OM <ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O và
N.

c) Ta có OM +MN =ON suy ra MN =ON −OM hay .

2 2

OA OB AB

MN = − =

Vì AB có độ dài khơng đổi nên MN có độ dài khơng đổi

Hình 87

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Chương II. GÓC 
52.

(

h.89

)

Đoạn thẳng AB không cắt a, vậy hai điểm A,B
nằm cùng phía đối với đường thẳng a, chẳng
hạn cùng nằm trên nửa mặt phẳng

( )

I

Đoạn thẳng BC cắt a nên B thuộc nửa mặt
phẳng

( )

I thì C thuộc nửa mặt phẳng

( )

II
Đoạn thẳng CD không cắt a nên C và D cùng
thuộc nửa mặt phẳng

( )

II

Hai điểm A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối
nhau bờ a nên đoạn thẳng AD cắt a.

53. Ba bạn A, C, E đến nhà nhau
không phải qua đường cao tốc.

hai bạn B,D đến nhà nhau cũng không
phải qua đường cao tốc.

54. a) Theo nguyên lý Dirricle, có 5 điểm mà chỉ thuộc
hai nửa mặt phẳng đối nhau nên phải có một mặt
phẳng chứa ít nhất ba điểm

b)- Nếu cả 5 điểm thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì khơng có đoạn thẳng nào cắt m.
- Nếu có 4 điểm thuộc một nửa mặt phẳng, còn một điểm thuộc nửa mặt phẳng đối thì

có 4 đoạn thẳng cắt m.

- Nếu có 3 điểm thuộc một nửa mặt phẳng, còn hai điểm thuộc nửa mặt phẳng đối thì
có 6 đoạn thẳng cắt m

(

h.90

)

. Vậy nhiều nhất là có 6 đoạn thẳng cắt m.

55.

(

h.91 ,a b

)

Lấy điểm A∈Ox B; ∈Oy. Vì A và B nằm khác phía đối với đường thẳng 't t nên đoạn
thẳng AB cắt 't t tại điểm M nằm giữa A và B. Do đó, có ít nhất một trong hai tia

; '

Ot Ot cắt đoạn thẳng AB tại M. Điều đó chứng tỏ hoặc tia Ot hoặc tia 'Ot nằm giữa
hai tia Ox;Oy

Hình 89

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Hình 91a Hình 91b 
56.

(

h.92

)

Điểm N nằm giữa A và C nên tia BN nằm giữa hai
tia BA, BC.

Điểm M nằm giữa A và B nên tia CM nằm giữa
hai tia CA; CB

Tia BN nằm giữa hai tia BA, BC do đó tia BN phải
cắt đoạn thẳng CM tại một điểm nằm giữa C và
M

Tương tự, tia CM cắt đoạn thẳng BN tại một

điểm nằm giữa B và N, suy ra hai đoạn thẳng BN
và CM cắt nhau.

57. a) Số góc có là 5.4 10

2 = (góc). Đó là các góc



aOb, aOc, aOd,aOt; bOc,bOd,bOt; cOd,cOt; dOt

b) Có 3 cặp góc kề bù là: aOc và bOc; aOd và bOd; aOt và bOt.
58. Số góc tăng thêm là: 7.6 4.3 21 6 15

2 − 2 = − = (góc)
59.

a) Ba đường thẳng đồng quy tại O tạo thành 6 tia gốc O
Số góc tạo thành là: 6.5 15

2 = (góc) trong đó có 3 góc bẹt.

b) Nếu có n đường thẳng đồng quy tại O thì tạo thành 2n tia gốc O. Số góc đươc tạo
thành là: 2

(

2 1

)

. 2

(

)

2
n n

n n

−

= − (góc)

60.

(

)

28;

(

)

56 8.7; 8
2

n n

n n n

−

= − = = =

61.

(

h.93

)

a) Hai góc BOC và BOA hề bù nên hai tia OC và OA đối nhau do đó điểm O nằm
giữa hai điểm A và C.

b) Tia BO nằm giữa hai tia BA và BC nên điểm O
nằm trong góc ABC.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

c) Các cặp góc kề bù đỉnh B là: ABO và ABy; CBO và CBy.
 
62.

a) Nếu tia OM trùng với tia OA, ta coi AOM là “góc khơng” lúc đó   AOB+AOM = AOB
b) Nếu tia OM nằm khơng trùng với tia OA thì AOM >0, lúc đó   AOB+AOM > AOB
c) Tia OM nằm giữa hia tia OA, OB hoặc tia OM trùng với tia OA hoặc trùng với tia OB

thì   AOM +MOB>AOB
63.

(

h.94

)

Hai góc AOC và BOC kề bù, mà BOC là góc
nhọn nên AOC là góc tù

Vậy BOC <AOC

( )

Tia ON nằm giữa hai tia OB, OC nên

 

( )

2

BON <BOC

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra  BON < AOC
64.

(

h.95

)

Ta có  xOm+mOy=1800 (kề bù) mà tia On nằm
giữa hai tia Ox, Om nên   xOm=xOn+nOm

Do đó:    0

180
xOn+nOm+mOy=

Nếu mỗi góc   xOn nOm mOy, , đều nhỏ hơn 60 thì 0
tổng của chúng nhỏ hơn 180 0

Từ đó suy ra trong 3 góc   xOn nOm mOy, , ít nhất có một góc lớn hơn hoặc bằng 60 . 0

65.

(

h.96

)

Hai điểm A và B trên tia Ox mà OA<OB

(

2<5

)

nên
A nằm giữa O và B suy ra tia CA nằm giữa hai tia CO
và CB.

Vậy   ACB=OCB OCA− =1100−300 =800
66.

(

h.97

)

Hai góc aOx và aOy kề bù; bOx và bOy kề bù nên

 0 

180

aOx= −aOy, bOx =1800−bOy.

Đặt  0

aOy =m , theo đề bài ta có:

(

)

180− =m 3 180−2m

Hình 93

Hình 94

Hình 95

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Giải ra được m=720

67.

(

h.98

)

Ba góc   AOB BOC COA, , khơng có điểm trong chung nên

   0

360
AOB+BOC+COA=

Suy ra: COA =3600−

(

1100+1200

)

=1300

Ta có   AOB+BOC≠ AOC

(

1100+1200 ≠1300

)

Nên tia OB không nằm giữa hai tia OA, OC. Tóm lại,
trong ba tia đã cho, khơng có tia nào nằm giữa hai tia cịn
lại.

68.Nếu m≤1800 thì AOC=m0

Nếu m>1800 thì AOC =3600−m0
69.

(

h.99

)

Hai góc xOm và yOm kề bù nên

 0  0 0 0

180 180 120 60

yOm= −xOm= − = .

Tia OM nằm giữa hai tia Oy và On

  



120 120

yOm yOn yOn

xOn a

⇔ < ⇔ >

⇔ < ⇔ <

70.Nếu hai tia Oy Ot, cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox thì  0

50
yOt = .

Nếu hai tia Oy Ot, thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox thì

 0

(

0 0

)

360 100 150 110

yOt = − + =

71.Hướng dẫn: Xét hai trườn hợp vị trí của tia Oz.
Đáp số 0

100 hoặc 40 . 0
72.

(

h.100

)

a) Tia ONnằm giữa hai tia OA OB, nên

  AON+BON = AOB.

Mà   AOM +BON < AOB (đề bài)
Suy ra  AOM < AON

Do đó tia OM nằm giữa hai tia OA, ON.
b) AOB=400+300+500 =1200

73.

(

h.100

)

Tia OM nằm giữa hai tia OA, OB

Hình 97

Hình 98

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

nên   AOM +BOM = AOB
Vì  AOM <BOM

nên 2 AOM < AOB;  
2
AOB
AOM <

( )

1
Tia ON nằm giữa hai tia OA, OB
nên   AON+BON = AOB

Vì  AON >BON nên 2   ;
2
AOB
AON > AOB AON >

( )

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra  AOM < AON suy ra tia OM nằm giữa hia tia OA, ON.
74.

(

h.101

)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chứa tia
Oxcó  xOy< xOz

(

400 <1300

)

nên tia Oy
nằm giữa hai tia ,Ox Oz suy ra:

   0 0 0

130 40 90
yOz =xOz−xOy= − =

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oz, có

 

zOt <zOy

(

600 <900

)

nên tia Ot nằm giữa
hai tia Oz, Oy suy ra

   0 0 0

90 60 30
yOt =zOy−zOt= − =

Vậy   yOt<xOy< zOt

(

300 <400 <600

)

.
75.

(

h.102

)

Vì hai góc AOT và BOT kề bù nên tia OT
nằm giữa hai tia OA OB, và

   0

180
AOT+BOT = AOB=

Các tia OM, ON thứ tự là các tia phân giác của các
góc AOT và BOT nên  

2
AOB

MON = (xem thí dụ 
17)

 0

90
MON =
76.

(

h.103

)

Ta có BOT +AOT =1800 (kề bù)
Mà BOT −AOT =200

Nên BOT =

(

1800+200

)

: 2=1000

Hình 100

Hình 101

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Tia OD là phân giác của góc BOT nên 

0
0

100
50
2

BOD= =

Suy ra AOD=1800−500 =130
77.

(

h.104

)

Trên nửa mặt phẳng cho trước bờ chua tia Ox, có

  

(

0 0 0

)

50 75 100

xOy< xOz<xOt < < nên tia Oy nằm
giữa hai tia Ox Ot,

( )

1 đồng thời tia Oy nằm giữa hai
tia Ox,Oz tia Oz nằm giữa hai tia , Ox Ot đồng thời
Oz nằm giữa hai tia Oy Ot,

( )

Ta có   yOt =xOt−xOy =1000−500 =50

Vậy xOy = yOt kết hợp với

( )

1 suy ra tia Oy là tia
phân giác của góc xOt

Ta có   

  

0 0 0

75 50 25
100 75 25
zOy xOz xOy

zOt xOt xOz

= − = − =

Vậy  zOy=zOt, kết hợp với

( )

2 suy ra Oz là phân giác của góc yOt.
78.Tia OD khơng nằm giữa hai tia OE, OF nên tia OD

không phải là tia phân giác của góc EOF
79.

(

h.105

)

Ba góc   AOB BOC COA, , khơng có điểm chung
trong nên   AOB+BOC+COA=3600

Suy ra   AOB=BOC=COA=1200

Hai góc kề AOB và AOC có tổng lớn hơn 180 0
nên tia OA' là tia đối của tia OA nằm giữa hai tia

,
OB OC.

Ta có  A OB' = A OC' (cùng bù với hai góc bằng nhau)
Suy ra tia OA' là tia phân giác của góc .

Chứng minh tương tự ta được tia đối của tia OB là tia phân giác của góc AOC ; tia đối
của tia OC là tia phân giác của góc AOB.

80.

(

h.106

)

Hai góc xOt và yOt kề bù
nên xOt =1800−a0

Muốn cho tia Oz là phân giác của góc xOt thì

  0

2. 100
xOt = xOz=

Vậy 1800−a0 =100 ,0 suy ra a=800

Hình 103

Hình 104

Hình 105

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

81.

(

h.107

)

a)   

0
0
50
25
2 2
AOB

BOM = AOM = = =

  1500 0

2 2

AOC

AON = = =

Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA, có

 

(

0 0

)

25 75

AOM < AON < nên tia OM nằm
giữa hai tia OA ON, .

Suy ra MON  = AON−AOM =750−250 =500

b) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có   AOM < AOB< AON

(

250 <500 <750

)

nên
tia OB nằm giữa hai tia OM và ON

ta có:  

0 50

2 2

MON

BOM =  = 

  nên tia OB là phân giác của góc MON.

82.

(

h.108

)

a) Tia Oxlà tia phân giác của góc AOB suy ra

 

AOx< AOB mà  AOB< AOy (đề bài) nên

  

AOx< AOB< AOy

Suy ra tia OB nằm giữa hai tia Oxvà Oy

( )

1
Đồng thời tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

( )

2
b) Từ

( )

1 suy ra   xOy =xOB+BOy

Từ

( )

2 suy ra xOy  = AOy−AOx

Do đó 2  xOy= AOy+BOy (vì  AOx =BOx)
hay   

2
AOy BOy

xOy = +

83.

(

h.109

)

n= ; lúc đó tia Ox10 là tia phân giác chung của 10 góc:

   

20; 1 19; 2 18,...., 9 10

xOx x Ox x Ox x Ox

84.Con trâu ăn được cỏ trong một hình trịn có tâm là chiếc cọc và bán kính 3m.
85.

a) Số dây cung là 5.4 10

2 = (dây cung)

b) Số cung trên đường tròn là 10.2 20= cung

Hình 107

Hình 108

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

86.

(

h.110

)

a) Điểm C nằm giữa hai điểm O và A( bạn
đọc tự giải thích)

Suy ra AC =OA OC− = − =3 2 1

( )

cm
Tương tự BD=1cm. Vậy AC =BD
b) Vì DB=1cm nên DM =1cm. Điểm M

nằm giữa D và O (bạn đọc tự giải
thích)mà 1

DM = DO nên M là trung
điểm của OD.

c) ON+ND=OD+DB=OB

87.Gọi C là điểm bất kì trong số 97 điểm còn lại.

Ba điểm , ,A B C lập thành một nhóm. Theo đề bài, trong mỗi nhóm ba điểm bất kì bao
giờ cũng có thể chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Ta suy ra:

Vì AB>1 nên hoặc AC<1C nằm trong

( )

A;1 hoặc BC<1,C nằm trong

( )

B;1

Như vậy, 97 điểm còn lại , hoặc nằm trong

( )

A;1 hoặc nằm trong

( )

B;1 . Theo nguyên
lí Điricle phải có một đường trịn chứa ít nhất là 49 điểm, thêm điểm A hoặc B nữa nên
phải có một đường trịn chứa ít nhất là 50 điểm trong số các điểm đã cho.

88.

a) Có 10 tam giác là: ABC, ABD, ABE, ACE, ACD, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
b) Chỉ còn 8 tam giác (bớt đi tam giác ABC và

ADE)

89.

(

h.51

)

có 8 tam giác là BOE, COD,BOC, ABD,
ACE, BEC, BDC, ABC.

90.

(

h.111

)

a) Tia AM nằm giữa hai tia AB AC, nên điểm N
nằm giữa hai tia hai điểm B và C.

Tia BM nằm giữa hai tia BA và BC nên điểm M
nằm giữa hai điểm A và N

b) Có 8 tam giác trong hình (bạn đọc tự viết ra)

91. a,b xem hình 112

c) E là trung điểm của OB; D là trung điểm của OC.

Hình 111 
Hình 110

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

92.

(

h.113 ,113a b

)

Đường thẳng a là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau. Hai điểm A và B nằm trên
hai nửa mặt phẳng đối nhau đó.

Xét điểm C

- Nếu C và A nằm khác phía đối với a thì C và B cùng phía đối với a

(

H.113a

)

do đó
đường thẳng a cắt cạnh AC và không cắt cạnh BC.

- Nếu C và A nằm cùng phía đối với a thì C và B nằm khác phía đối với a

(

H.113b

)

do đó đường thẳng a khơng cắt cạnh AC mà cắt cạnh BC.

Hình 113a Hình 113b

93.

a) Các góc  AOC BOC; vuông; BOD COD ; nhọn; AOD tù.
b) Vì tia OD nằm giữa hai tia OB OC, nên

   0

90
BOD+COD=BOC =

Do BOD và COD là hai góc khơng bằng nhau nên một trong hai góc đó phải nhỏ hơn

45
94.

(

h.114

)

a)  MAx+MAy=1800 (kề bù)
Suy ra MAy =1800 −1300 =500

Tương tự:  0

50
NAy=
Vậy MAy =NAy

Mặt khác tia Ay nằm giữa hai tia AM AN,
nên tia Ay là tia phân giác của MAN.

 0 0 0

50 50 100

MAN = + =

b) Tia Bx nằm giữa hai tia BM và BN nên

  

OBN =MBN −MBO

 0 0 0

100 40 60

OBN = − =

c) Điểm O nằm giữa hai điểm A và B; muốn cho O là trung điểm của AB thì
OA=OB. Vì OA=2cm nên OB=2cm

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

95.

(

h.115

)

a) Có  zOm= zOn

( )

1 (đề bài)



zOm và zOn là hai góc nhọn nên

  0

180
zOm+zOn<

Suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Om On,

( )

Từ

( )

1 và

( )

2 suy ra tia Oz là tia phân
giác của góc mOn.

b) Dễ thấy  xOn= yOn (cùng phụ với hai
góc bằng nhau)

 

xOt = yOn (cùng bù với góc yOt)
Suy ra xOm = yOt

( )

Ta chứng minh được xOn là góc tù, do đó  xOm<xOn

Vậy tia Om nằm giữa hai tia ,Ox On suy ra nOm  <nOx<nOt nên tia Ox nằm giữa

hai tia Om Ot,

( )

4 . Từ

( )

3 và

( )

4 suy ra tia Ox là tia phan giác của hóc mOt.
96.

(

h.116

)

a) AB=2

(

a+b

)

b) Tính được NOB=200

Từ đó suy ra tia ON là tia phân giác của
góc MOB.

97.

a) Giả sử tia Ot nằm giữa hai tia Ox,Oy
Ta có   xOt+tOy =xOy. Thay số được



0 0

75 +tOy =45

Điều này vơ lí nên tia Ot không nằm giữa hai tia Ox,Oy
b) Giả sử tia Ot nằm giữa hai tia Ox,Oy. Ta có:

  

xOt+tOy=xOy. Thay số ta đươc 0 0 

75 +110 = xOy

Hay xOy=1850 điều này vô lí nên tia Ot khơng nằm giữa hai tia Ox,Oy

c) Nếu hai tia ,Ox Oy thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot thì hai tia Ox,Oy
trùng nhau, trái đề bài. Vậy hai tia ,Ox Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa
tia Ot

Ta có  xOt+tOy=900+900 =1800 nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy.
98.

(

h.117

)

Hình 115

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

a) Bốn điểm , , ,A B M N thẳng hàng vì chúng
cùng nằm trên đường thẳng MN

b) Ta tính được BM =2cm

Hai điểm N, M trên tia BA mà

(

1 2

)

BN <BM < nên điểm N nằm giữa B
và M.

Dễ thấy NB=NM suy ra N là trung điểm
của đoạn MB.

c) Đường tròn tâm N đi qua B nên có bán kính 1cm
Đường trịn tâm A đi qua N nên có bán kính 4cm
Chu vi ∆CAN =CA+AN+NB= + + =4 4 1 9

( )

cm

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

MỤC LỤC

PH

ẦN: HÌNH HỌC

... 1

Chương I. ĐOẠN THẲNG

... 1

§ 1. Điểm. Đường thẳng. Ba điểm thẳng hàng ... 1

§ 2. Đường thẳng đi qua hai điểm ... 3

§ 3. Tia…... ... 6

§ 4. Đoạn thẳng. Độ dài đường thẳng. Cộng độ dài hai đường thẳng ... 8

§5. Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài ... 11

§6. Trung điểm của đoạn thẳng ... 13

§7. Ơn tập chương I ... 15

Chương II. GĨC

... 17

§1. Nửa mặt phẳng ... 17

§2. Góc. Số đo góc. Cộng số đo hai góc ... 19

§3. Vẽ góc cho biết số đo ... 22

§4. Tia phân giác của một góc ... 24

§5. Đường trịn ………26

§6. Tam giác …..………..28

</div>

Chuyên đề nâng cao lớp 6 phần đoạn thẳng



<b>Sưu tầm</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

<b>Chương II. GĨC </b>

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>(</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(