BÀI HỌC TRỰC TUYẾN TUẦN 22 ( 01.02.21) - LỚP 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 20 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

(buổi 1)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

(buổi 1)

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

Cho khoảng K chứa điểm và hàm số xác định trên K hoặc trên .
Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi dần tới nếu:

Với dãy số bất kỳ, và , ta có
Kí hiệu: hay khi .

a. Định nghĩa: (SGK/124)

• Chú ý: Khoảng K viết chung cho các khoảng

hoặc

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Ví dụ 1. Cho hàm số:

Dùng định nghĩa chứng minh rằng:

Giải:

• TXĐ:

• Giả sử là dãy số bất kỳ, và

.

• Ta có:

Vậy

lim

�

(

�

�

)

=

lim

�

−

1 �

�

+

1 =

lim

(

�

�

+

1 ) (

�

�

−

1 )

�

�

+

1 =

lim

(

�

−

1 )

=

−

2 �

(

�

)

=

�

−

1

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

(buổi 1)

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

a. Định nghĩa: (SGK/124)
*Nhận xét:

lim

�→�0

¿

�

0

lim

�→�0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

(buổi 1)

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:

b. Định lý: (SGK/125)

· lim

�→�0

[

�

(

�

)

+�

(

�

)

]

=�+�

· lim

�→�0

[

�

(

�

)

−�

(

�

)

]

=�− �

· lim

�→�0

[

�

(

�

)

.�

(

�

)

]

=�. �

·

lim

�→�0

� ( �)

�( � ) =

�

� (� ≠0)

i) Giả sử và Khi
đó:

lim

�→�0

�

(

�

)

=

�

. ii) Nếu

{

�

(

�

)

≥

0 lim

�→�0

�

(

�

)

=

�

{

lim

�

≥

0

�→�0

√

�

(

�

)

=

√

�

thì
iii)

lim

�→�0

√

�

(

�

)

=

√

�

lim

�→�0

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:

Giải:

lim

�→2

(

√

2 �

+

1 −

�

+

1 )

lim

�→3 2�

+3 �−7

� −5

lim

�→ −3

(

�
2

+3 �+1

)

lim

�→ −4
3

√

� −3

�3 −4 �+10

a)
b)
c)
d)

¿

(

−

3 )

+

3. (

−

3 )

+

1 =

1 ¿

2.3 +

3.3 −

7

3 −

5 =

−

10 ¿

√

2.2 +

1 −

2 +

1 =

2 ¿

√

−

4 −

3 (

−

4 )

−

4. (

−

4 )

+

10 =

√

7

38

�¿ lim

�→ −3

(

�
2

+3 �+1

)

�¿

lim

�→3 2�
2

+3 �−7

�−5

�

¿

lim

�→2

(

√

2 �

+

1 −

�

+

1 )

� ¿

lim

�→−4
3

√

� − 3

�3 − 4 �+10

�

¿

lim

�→√2

¿

�

−

3 ∨

¿

� ¿ lim

�→�2

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau:

�¿ lim

�→ −3

(

�
2

+3 �+1

)

�¿

lim

�→3 2�
2

+3 �−7

�−5

�

¿

lim

�→2

(

√

2 �

+

1 −

�

+

1 )

� ¿

lim

�→−4
3

√

� − 3

�3 − 4 �+10

�

¿

lim

�→√2

¿

�

−

3 ∨

¿

� ¿ lim

�→�2

(

�3sin �−2cos�

)

¿

∨

(

√

2 )

−

3 ∨

¿

∨

−

1 ∨

¿

1 �

¿

lim

�→√2

¿

�

−

3 ∨

¿

Giải:

� ¿ lim

�→�2

(

�3sin �−2cos �

)

¿

(

�

)

sin �

2 −2 cos

�

2 =

�3

8 .1−2.0=

�3

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau:

Giải:



NHÁP nha



(−1)2−1

−1+1 =

0
0

√

5−

√

5−5 =
0
0

lim

�→−1 (� +1) ( � −1)

� +1 ¿�lim→ −1

(

�

−1

)

¿

−

2

�2− �2

=( �+�) ( �− �)

lim

�→5

√

� −

√

(

√

� +

√

)(

√

� −

√

)

�¿

lim

�→5

√

� −

√

5
�−5

�¿

lim

�→−1 �

2−1

�+1

�¿

lim

�→−1 �

2−1

�+1 �¿

lim

�→5

√

� −

√

�−5 �¿

lim

�→1 �
2

+5� −6

�−1 � ¿

lim

�→ −2 �
3

2 �2+3 � − 2

�

−

�

=

(

√

�

)

−

(

√

�

)

¿

(

√

�

+

√

�

) (

√

�

−

√

�

)

lim
� →5 1

√

� +

√

¿

1

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giải:



NHÁP nha



�¿

lim

�→1 �
2

+5� −6

�−1 ¿

lim

�→1 ( �− 1) (�+6)

� −1 ¿ lim�→1

(

�+6

)

¿

7

� ¿

lim

�→ −2 �
3

2 �2+3 � − 2 ¿

lim

�→−2 (�+2)(�

2 −2�

+4 )

2 (� +2 )

(

�− 1

)

lim

�→−2 �

2 −2 �

(

� − 1

)

¿

−

12

5

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→−1 �

2−1

�+1 �¿

lim

�→5

√

� −

√

�−5 �¿

lim

�→1 �
2

+5� −6

�−1 � ¿

lim

�→ −2 �
3

2 �2+3 � − 2

+5.1−6

1−1 =
0
0

• �2

+5 �−6=1.(�−1)(�+6)

� �

+

��

+

�

¿�

(

�−�1

) (

� −�2

)

�3± �3=( �±�)

(

�2∓ ��+ �2

)

�

+

8 =

�

+

2

¿(�+2)

(

�2−2 �+4

)

2 �

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

Giải:

�¿

lim

�→3

�2 −9

�3 −6 �2+11� −6 ¿

lim

�→3 ( �+3) (� −3 )

(� −1) (� −3 ) ( � − 2) ¿

lim

�→3 ( �+3)

(� −1) (� −2)

¿

3

�¿

lim

�→1 �

3 −3 �2

+5� −3

�−1

�¿

lim

�→3 �

2−9

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

�¿

lim

�→1 �

3−3 �2

+5� −3

�−1

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→1 �

3 −3 �2

+5� −3

�−1

Giải:

lim

�→1 ( �− 1) (�

2 −2 �

+3)

�− 1 ¿lim�→1

(

�
2

−2 �+3

)

¿

2

�¿

lim

�→3 �

2−9

�3 −6 �2+11� −6



NHÁP nha



Các nghiệm không đẹp.

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

�¿

lim

�→2 �

− 2

√

7+� −3

Giải:

lim

�→2

(�− 2)

(

√

7+�+3

)

(

√

7+�− 3

) (

√

7+� +3

)

lim

�→2

(�− 2) (

√

7+�+3 )

7+�− 9

lim

�→2

(�− 2) (

√

7+�+3)

�− 2

¿

lim

�→2

(

√

7 +

�

+

3 )

¿

6 

NHÁP nha



( �+ �) ( �−�)=�2−�2

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→2 �

− 2

√

7 +�−3 �¿

lim

�→4

√

�
2

+9−5

�2 −6 �+8 �¿

lim

�→0 1−
3

√

1−�

3 � � ¿

lim

�→4

√

�+5−3

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Giải:

�¿

lim

�→4

√

�
2

+9−5

�2−6 � +8 ¿

lim

�→4

(

√

�
2

+9 −5

) (

√

�2+9+5

)

(� − 4 ) ( � − 2)

(

√

�2+9+5

)

lim

�→4 �
2

+9 − 25

(� − 4) ( �−2)

(

√

�2+9+5

)

lim

�→4 �

2− 16

(� − 4) ( �−2)

(

√

�2+9+5

)

lim

�→4 (� +4 ) ( � − 4 )

(� − 4) ( � −2 )

(

√

�2+9 −5

)

lim

� →4 ( �+ 4 )

(� −2)

(

√

�2+ 9+5

)

¿

2

5 

NHÁP nha



√

42+9−5

42−6.4+8=

0
0

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→2 �

− 2

√

7 +�−3 �¿

lim

�→4

√

�
2

+9−5

�2 −6 �+8 �¿

lim

�→0 1−
3

√

1−�

3 � � ¿

lim

�→4

√

�+5−3

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→2 �

− 2

√

7 +�−3 �¿

lim

�→4

√

�

+9−5

�2 −6 �+8

Giải:

�¿

lim

�→0 1−
3

√

1−�

3 �

�¿

lim

�→0 1−
3

√

1−�

3 �

¿

lim

�→0

(

1 −

√

1 −

�

)

(

1 +

√

1 −

�

+

(

√

1 −

�

)

3 �

(

1 +

√

1 −

�

+

(

√

1 −

�

)

lim

�→0 1 −(1 − � )

3 �

(

√

3 1 − � +

(

√

3 1 − �

)

lim

�→0 �

3 �

(

√

3 1 − � +

(

√

3 1 − �

)

lim

�→0 1

(

√

3 1 − � +

(

√

3 1 − �

)

¿

1

9 

NHÁP nha



( �− �)

(

�2+ ��+�2

)

=�3−�3

( �+ �)

(

�2− ��+�2

)

=�3+�3

� ¿

lim

�→4

√

�+5−3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→2 �

− 2

√

7 +�−3 �¿

lim

�→4

√

�
2

+9−5

�2 −6 �+8

Giải:

�¿

lim

�→0 1−
3

√

1−�

3 � � ¿

lim

�→4

√

�+5−3

√

�−2

� ¿

lim

�→4

√

�+5−3

√

�−2 ¿

lim
�→4

( �+5− 9)

(

√

�+2

)

( �− 4 )

(

√

�+5+3

)

lim

�→4

√

�+2

√

�+5 +3 =

2
3
¿

lim
�→4

( � − 4 )

(

√

�+2

)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Chú ý

Giới hạn hàm số dạng (dạng vô định)



Biểu thức khơng chứa căn: phân tích đa thức thành nhân tử.



Biểu thức chứa căn: nhân lượng liên hiệp.

Rút gọn nhân tử tạo ra dạng

�

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau:

Giải:

lim

�→0
3

√

1+�−1+1−

√

1+�

�

L

=

1

3 −

1

2 =

−

1

6

Từ (*) và (**) suy ra:

�¿

lim

�→2

√

�+7−
3

√

8 �+11

�2 −3 �+2

�¿

lim

�→0
3

√

1+�−

√

1+�

�
�¿

lim

�→0
3

√

1+� −

√

1+�

�

¿

lim

�→0

(

√

1 +

�

−

1 �

+

1 −

√

1 +

�

)

(*)
(**)

L =

�

+

�

=

�

+

�

A B
C
lim

�→0
3

√

1+� − 1

� =

lim

� →0 (1+ �) −1

�

[

(

√

3 1+�

)

√

3 1+ � +1

]

lim

� →0 1

(

√

3 1+ �

)

√

3 1+ � +1

= 1

3
lim

�→0 1 −

√

1+�

� =

lim

�→0 1− (1+� )

�

(

√

1+�

)

lim

�→0 − 1

√

1+� =−

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau:

�¿

lim

�→0

√

1+� −
3

√

1+�

�

HD câu b:

lim

�→2

√

�+7−3+3−
3

√

8�+11

�2−3 �+2

�¿

lim

�→2

√

�+7−
3

√

8 �+11

�2 −3 �+2

�¿

lim

�→2

√

�+7−
3

√

8 �+11

�2−3 �+2

¿

lim

�→2

(

√

�

+

7 −

3 �

−

3 �

+

2 +

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Giao nhiệm vụ



Nắm được định nghĩa và các định lý giới hạn hữu hạn của hàm số

tại một điểm.



Tìm được giới hạn của hàm số tại một điểm bằng định lý. (Ví dụ 2)



Tìm được giới hạn của hàm số dạng vô định . (Ví dụ 3, 4, 5)

0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20></div>

BÀI HỌC TRỰC TUYẾN TUẦN 22 ( 01.02.21) - LỚP 11

<b>§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>

<b>(buổi 1)</b>

<b>§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>

(buổi 1)

<b>A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:</b>

<b>1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:</b>

<sub>.</sub>

lim

<i>�</i>

<sub>(</sub>

<i>�</i>

<sub>)</sub>

=

lim

<i>�</i>

<i>−</i>

1

<i>�</i>

+

1

=

lim

<sub>(</sub>

<i>�</i>

+

1

<sub>) (</sub>

<i>�</i>

<i>−</i>

1

<sub>)</sub>

<i>�</i>

+

1

=

lim

(

<i>�</i>

<i>−</i>

1

)

=

<i>−</i>

2

<i>�</i>

(

<i>�</i>

)

=

<i>�</i>

<i><sub>−</sub></i>

<sub>1</sub>

<b>§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>

(buổi 1)

<b>A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:</b>

<b>1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:</b>

lim

¿

<i>�</i>

lim

<b>§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ </b>

(buổi 1)

<b>A. KIẾN THỨC CẦN NẮM:</b>

<b>1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:</b>

[

(

)

(

)

]

[

(

)

(

)

]

[

(

)