skkn dạy GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số TRONG kỳ THI THPTQG

DẠY GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG KỲ THI THPTQG

NỘI DUNG
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
2. CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
3. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP
ĐỘ
4. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN
VẬN DỤNG CAO


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1) Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D .

• Số

M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x)  M với

mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  M .
f ( x)
Kí hiệu : M  Max
D

• Số

m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu f ( x )  m với

mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f ( x0 )  m .

f ( x)
Kí hiệu: m  Min
D

2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số y  f ( x) trên miền D :
Bước 1: Tính f '( x ) . Tìm các điểm trên miền D mà tại đó f '( x )  0 hoặc f '( x )
không xác định.
Bước 2: Lập bảng biến thiên
f ( x), Max f ( x )
Bước 3: Từ bảng biến thiên suy ra Min
D
D

3) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  :
Bước 1: Tính đạo hàm f '( x ) .
Bước 2: Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên đoạn  a; b  mà tại đó f '( x )  0 hoặc f '( x )
khơng xác định.
Bước 3: Tính các giá trị f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)
Bước 4: Kết luận
min f ( x)  m  min  f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)
 a ;b 

max f ( x )  M  max  f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (b)
 a ;b 

Lưu ý:

f ( x) và max f ( x ) có thể khơng tồn tại.
• Trên khoảng  a; b  thì min
 a ;b 

 a ;b 

•

Nếu hàm số xác định và liên tục trên đoạn  a; b  thì sẽ đạt GTLN và
GTNN trên đoạn  a; b 


B. BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1(NB): Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Khẳng định
nào sau đây đúng?
x



y’



2

0





0





3

y
1

1



A.Giá trị lớn nhất của hàm số là 3 .
B.Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x  2
C.Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 .
D.Hàm số khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2(NB): Hàm số nào sau đây khơng có GTLN và GTNN trên đoạn  3;1
A. y   x 3  1
C. y 

B. y  x 4  x 2  2

2x  1
x

D. y  x  3

Ví dụ 3(TH): GTNN và GTLN của hàm số f ( x)  2x 3  12x 2  18x  10 trên đoạn  0; 4 là
A. 10 và 2

C. 10 và 8

B. 1 và 3

D. 1 và 8

Hướng dẫn giải:
 x  1  0; 4

Cách 1: f '( x)  6x 2  24x  18 , f '( x)  0  

 x  3  0; 4

f (0  10 , f (1)  2, f (3)  10, f (4)  2

Vậy GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn  0; 4 là 10 và 2 . Chọn A
Cách 2: (Tư duy truy hồi)
Nếu có a là giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của hàm số f ( x ) trên miền D thì
điều kiện cần là phương trình f ( x)  a có nghiệm thuộc tập D .


Phương trình f ( x)  10  2x 3  12x 2  18x  10  10  x  0, x  3  0, 4 .
Vậy 10 là GTNN
Phương trình f ( x)  8  2x 3  12x 2  18x  10  8  x  4, 4   0, 4 .
Vậy 8 khơng là GTLN. Suy ra đáp án A.


1

Ví dụ 4(TH): Giá trị của x để hàm số f ( x)   x 4  2x 2  3 đạt GTLN trên  2;  là:

2

B. 1

A. 2

C. 0

D.

1
2

Hướng dẫn giải:

1

 x  0   2; 2 




1
Cách 1: f '( x)  4x 3  4x  0   x  1  2; 
2



1


 x  1  2; 
2


1
41
f (0)  3, f ( 1)  2, f ( 2)  11, f ( )  
2
16

Vậy hàm số đạt GTLN tại x  1 . Chọn đáp án B
Cách 2: (Tư duy truy hồi)
calc

Dùng máy tính Casio nhập hàm  X 4  2 X 2  3 
Ta gắn X bởi các giá trị mà đáp án cho , chọn đáp án tương ứng với X có
GTLN
X  2  11

X  1  2

X  0  3

X

1
41

2
16

Chọn đáp án B với x  1
Ví dụ 5(VD): Giá trị nào của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x) 
trên đoạn  0;1 bằng 2 ?
A. m  1; m  2

B. m  1; m  2

C. m  1; m  2

D. m  1; m  2

Hướng dẫn giải:

x  m2  m
x 1


Cách 1: f '( x) 

1  m  m2

 x  1

2

 0 m .Vậy f ( x ) đồng biến trên đoạn  0;1 với mọi m .

f ( x )  f (0)   m 2  m .
Suy ra min

0;1
 

Do đó yêu cầu bài toán

  m 2  m  2  m  1; m  2 .Chọn B

Cách 2: (Tư duy loại trừ)
Thay m  1 ta có f ( x) 

x2
3
 f '( x ) 
 0  min f ( x )  f (0)  2 .
2
x 1
 x  1

Vậy loại C,D
Thay m  2 ta có f ( x) 

x6
7
 f '( x ) 
 0  min f ( x)  f (0)  6 .
2
x 1
 x  1

Vậy loại A. Chọn B

e
Ví dụ 6(VD): Giá trị nào của x để hàm số y   
 
A. x  1

2.3x 9 x

đạt giá trị nhỏ nhất

B. x  3

D. x  0

C.Khơng có x

Hướng dẫn giải:
Nếu khơng có đáp án C ta có thể làm theo tư duy truy hồi như cách 2 của VD2
Nhưng do có đáp án C nên phải giải cụ thể.

e
Đặt 3  t (t  0)  y   
 
x

e
Do  
 

2 t t 2

 0 , ln

x
y’

e



2t t 2

e
.Tính y '   2  2t   
 

 0 ,nên có BBT như sau:



1

0



0

y

Vậy hàm số đạt GTNN tại t  1  x  0 .Chọn D



2 t t 2

ln

e




Ví dụ 7(VD): Xét các số thực a , b thỏa mãn a  b  1 .Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu
a
 

2
2
thức P  log a  a   3logb   .
b
b

A. Pmin  19

B. Pmin  13

C. Pmin  14

D. Pmin  15

Hướng dẫn giải:
Biến đổi P 

4

1  log a b 

2

 3  log b a  1 

4

1  log a b 

2

 1

 3
 1
 log a b 

Đặt t  log a b ,do a  b  1 nên 0  t  1
Xét hàm f (t ) 

4

1  t 

2

3
1
  3 trên  0;1 , tìm được GTNN là f    15 .
t
 3

Chọn D
Ví dụ 8(VDC): Một cơng ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy
là hình vng sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích tồn
phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là:
A. 2 3 2dm

B. 2dm

C. 4dm

D. 2 2dm

Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh đáy là x , chiều cao là h  x, h  0  .
2
Ta có V  8  x h  8  h 

8
.
x2

Diện tích tồn phần của khối hộp là: Stp  2x 2  4xh  2x 2 
f '( x )  4x 

32
 f ( x)
x

32
, f '( x )  0  x  2
x2

Lập bảng biến thiên ta có Stp nhỏ nhất khi x  2 .Chọn B
Chú ý: Có thể dùng bất đẳng thức Cơsi cho 3 số 2x 2 ,

16 16
,
x x

Ví dụ 9(VDC): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho ba mặt phẳng
( P ) : x  2 y  z  1  0, (Q ) : x  2 y  z  8  0, ( R ) : x  2 y  z  4  0 . Một đường

thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng ( P ) , (Q ), ( R) lần lượt tại A, B, C .


Đặt T 

AB 2 144

. Tìm GTNN của T .
4

AC

A. min T  54 3 2

B. min T  108

C. min T  72 3 3

D. min T  96

Hướng dẫn giải:
AB d   P  ,  Q  
Ta có ( P ) / /(Q ) / /( R ) nên

3
AC

d  P  ,  R 

Khi đó :
Cách 1: T 

AB 2 144 AB 2 144.3



.
4
AC
4

AB

Đặt AB  x, x  0 ta được T 
Tính f '( x) 

x 2 432

 f ( x) , x  0
4
x

x3  864
 0  x  63 4
2x 2

Lập bảng biến thiên ta có: min f ( x)  f ( 3 4)  54 3 2 . Chọn A
x 0

Cách 2: Ta có thể dùng BĐT Côsi như sau:
AB 2 144 AB 2 72 72
AB 2 72.72
3
T




3
 54 3 2
2

4
AC
4
AC AC
AC
4
AB 2 72
AB 2 72.3



 AB  6 3 2
4
AC
4
AB

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy MinT  54 3 2 . Chọn A.
Ví dụ 8(VDC): Cho số phức z có mơđun z  1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức
P  1  z  3 1  z là:

A. 3 10

B. 2 10

C. 6

D. 4 2

Hướng dẫn giải:
Gọi z  x  yi , ( x, y  R ) , do z  1  x 2  y 2  1
Ta có :
P

 x  1

2

 y2  3

 x  1

2

 y2

 x  y  2x  1  3 x  y  2x  1  2x  2  3 2  2x
2

2

2

2

.

Xét hàm số f ( x)  2x  2  3 2  2x , x   1;1
Có f '( x) 

1
3
4

0 x
5
2x  2
2x

 4
Khi đó Pmax  f     2 10 .Chọn B
 5

Ví dụ 10(VDC): Một cái hồ hình chữ nhật rộng 50m và dài 200m . Vận động viên
Nguyễn Thị Ánh Viên tập luyện bơi phối hợp với chạy như sau: Bơi từ vị trí điểm
A thẳng đến điểm M, rồi chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm N và bơi từ vị
trí điểm N thẳng về đích là điểm D. Hỏi Ánh Viên nên chọn vị trí điểm M cách
điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm trịn đến chữ số hàng đơn vị) để đến đích nhanh
nhất biết rằng vận tốc bơi là 1, 6 m / s và vận tốc chạy là 4,8 m / s .
A. 35m

B. 71m

C. 53m

A

D. 100m

200m

D

N

C

50m
B

M

Hướng dẫn giải: Đặt BM  x  0  x  200   AM  x 2  502 ,
thời gian bơi từ A đến M là: t AM 
Đặt MN  y (0  y  200)  tMN 

x 2  502
1, 6

y
,
4,8

CN  200   x  y   ND  50   200  x  y  , t ND 
2

Tổng thời gian từ A về D : tAD 

Dùng BĐT:

a 2  b2  c 2  d 2 

2

x 2  502 

50 2   200  x  y 

 200  x  y 
1, 6

2

1, 6
2

 50 2



2
2
 a  c    b  d  (*) dấu = khi

y
4,8

ad  bc

 t AD 

 200  y 

2

 1002

1, 6

 f '( y ) 
1, 6



y
 f ( y ) , y   0; 200 
4,8

 y  200 
2
 y  200   1002



1
 0  y  200  25 2
4,8

Dấu = ở (*) khi 50.x  50  200  x  y   x  100 

y 25 2

2
2

252
 502  53 .Chọn C
Khi đó AM 
2

Chú ý: Nếu đặt AM  x thì BM tính theo căn nên NC cũng tính theo căn
và tính ND sẽ phức tạp hơn nhiều.

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM THEO 4 CẤP ĐỘ
PHẦN NHẬN BIẾT
Câu 1: Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  a; b ,khẳng định nào sau đây
đúng?
A. Trên đoạn  a; b , hàm số đạt GTLN tại x  b
B. Trên đoạn  a; b  , hàm số đạt GTNN tại x  a
C. Trên đoạn  a; b  , hàm số có GTLN và có GTNN
D. Nếu f ( x)  m với x   a; b ( m là hằng số) thì trên đoạn  a; b hàm số có giá
trị nhỏ nhất bằng m .
Câu 2: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  1;3 và có bảng biến thiên như sau:

x

 1

y'

2


0

2

3


5

y
 2


Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 1
B. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 2
C. GTLN của hàm số trên  1;3 bằng 3
D. GTNN của hàm số trên  1;3 bằng 2
Câu 3: Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng:


x
y'



1





0

2
y
1

1

A. GTLN của hàm số bằng 2 .
B. GTNN của hàm số bằng 1 .
C. GTNN của hàm số là 1
D. GTLN của hàm số là 1.
Câu 4: Hàm số nào sau đây khơng có GTLN và GTNN trên đoạn  2; 2
A. y  x3  2
C. y 

x 1
x 1

B. y  x 4  x 2
D. y   x  1

Câu 5: Trong các hàm số sau đây ,hàm số nào có GTNN trên tập xác định.
A. y  x3  3x 2  6

B. y  x 4  3x 2  6

2x  1
C. y 
x 1

x 2  3x  5
D. y 
x 1

Câu 6: GTLN,GTNN của hàm số y  sin x  cos x là:
A. GTLN bằng 2 , GTNN bằng 0

B. GTLN bằng 2 ,GTNN bằng 2

B. GTLN bằng 2 ,GTNN bằng  2

D. GTLNbằng 1 , GTNN bằng 1


PHẦN THÔNG HIỂU
Câu 1: GTLN của hàm số y  x3  3x  2 trên đoạn  0; 2 là:
A. 2

C. 1

B. 0

2x  1
trên đoạn  0; 2 bằng :
x 1

Câu 2: GTNN của hàm số y 
A. 1

D. 4

C. 1

B. 0

D. Kết quả khác

Câu 3: Hàm số y  2 x 4  4x 2  1 .Gọi M , m lần lượt là GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn

 1;3

.Tìm M  m

A. 128

B. 122

C. 120

D. 126

x2  3
Câu 4: GTNN của hàm số y 
trên đoạn  2; 4 là:
x 1

B. 2

A. 6

C. 3

D.

19
3

x  m2
Câu 5: GTLN của hàm số y 
trên đoạn  0;1 là:
x 1
1  m2
A.
2

1  m2
B.
2

C.  m 2

D. m 2

Câu 6: GTLN của hàm số y   x 2  2x  8 bằng :
A. 3

B. 3

Câu 7: Cho hàm số y  2 x
A. m 

2

 2x

C. 2

. GTLN M và GTNN m của hàm số trên đoạn  2; 2 là:

1
, M 1
256

C. m  1, M  2
Câu 8: GTLN của hàm số y 
A. 5

B. m 

1
, M 2

256

D. m 

1
, M 1
512

4
là:
x 2
2

B. 2

Câu 9: GTNN của hàm số y  x 
A. 1  2 2

D. 0

B. 2 2

C. 3

D. 10

2
trên khoảng 1;   là:
x 1

C. 1  2

D. 1  2 2


Câu 10:Tìm GTLN M và GTNN m của hàm số y  x.e  x trên nữa khoảng  0;  
1
e

A. M  , m  
C. M 

1
e

B. m 

1
, không tồn tại m
e

1
, không tồn tại M
2

1
e

D. M  , m  0

Câu 11: Cho hàm số y  2x  3 9  x 2 . GTNN của hàm số bằng
A. 6

B. 9

C. 9

D. 0

Câu 12: GTNN của hàm số y  2x  ln 1  2x  trên đoạn  1;0 bằng :
A. 2  ln 3

C. 1

B. 0

D. 2  ln 3

Câu 13: Hàm số y  sin x 1  cos x  đạt GTLN trên  0;   khi x bằng bao nhiêu?
A.

3 3
4

B. 

C. 0

D.


3

PHẦN VẬN DỤNG
Câu1 : Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện y  0 và x 2  x  y  6 . Gọi
M , m lần lượt là GTLN,GTNN của biểu thức P  xy  5x  2 y  27 . Tổng M  m bằng:

A. 52

B. 59

C. 58

D. 43

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y   x3  3x 2  m có GTNN trên đoạn  1;1
bằng 0 ?
A. m  0

B. m  2

Câu 3:Tìm m để hàm số y 
A. m  26

C. m  4

mx  4
đạt GTLN bằng 5 trên đoạn  2; 6 :
xm

B. m  

4
5

C. m  34

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 
A. m  0

D. m  6

B. m  2

D. m 

mx
đạt GTLN tại x  1 trên đoạn  2; 2
x2  1

C. m  0

D. m  2

Câu 5: Giá trị nào của m để hàm số y   x  m  4  x 2 đạt GTLN là 3 3
A. 2

B. 1

6

7

C. 1

D. 2


Câu 6: Tìm a để GTNN của hàm số f ( x)  2x 
A. 1

B.

1
2

a
trên khoảng  0;3 bằng
x

C.

1
3

2 là:

1
4

D.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(1;1;1), B (2;1; 1), C (0; 4; 6) .Điểm M di
  

động trên trục hoành Ox . Tọa độ M để P  MA  MB  MC đạt GTNN là:
A. M (1; 2; 2)

B. M (1; 0; 0)

C. M (0;1; 0)

D. M ( 1; 0; 0)

Câu 8: Sau khi phát hiện một dịch bênh các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể
từ ngày phát hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ x là f ( x)  45x 2  x3 với x  1, 2,3,..., 25
Nếu ta coi f như một hàm số xác định trên đoạn  0; 25 thì f '( x ) được xem là tốc độ truyền
bệnh ( người/ngày) tại thời điểm x .Hãy xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.
A. 5

B. 14

C. 16

D. 15

4
3

Câu 9: GTNN của hàm số y   sin 3 x  2 sin x trên đoạn  0;   là:
A.

2
3

B.

2 2
3

C. 0

1
2

D.

Câu 10: Tìm GTLN của hàm số y  cos 2x  4 cos x  1 ?
A. 5

B. 6

2
Câu 11:GTNN của biểu thức P  log x 

A. 4

B.

5
2

C. 4

D. 7

1
là:
log 2 x  2

C. 0

D.

7
2

Câu 12: Cho các số thực a , b thỏa mãn a  1, b  1 . Tìm GTNN của biểu thức
P

A. Pmin  36

27
2
 2.log ab a  log ab b   4 log a ab
2

B. Pmin  24

C. Pmin  32

D. Pmin  48

Câu 13: GTLN của hàm số f ( x)  x  2  x  2 2x  x 2 trên đoạn  0; 2 là:
A. 4

B. 2

C.

2

D. 0

Câu 14: GTLN của hàm số y  x3  3x 2 trên đoạn  2; 4 là:
A. 16

B. 4

C. 2

D. 20


Câu 15: Cho biểu thức P 
A. 3

B.

x 2  xy  y 2
2

2
2
2 với x  y  0 . Giá trị nhỏ nhất của P bằng:
x  xy  y

1
3

C. 1

D. 4

Câu 16: Cho x 2  xy  y 2  2 .GTNN của P  x 2  xy  y 2 bằng:
A.

2
3

B.

1
6

C.

1
2

D. 2

Câu 17: Một vật chuyển động theo qui luật s (t )  6t 2  2t 3 với t (giây ) là khoảng thời gian
tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời
gian đó . Hỏi trong khoảng 6 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật
là bao nhiêu?
A. 6 m / s

C. 3 m / s

B. 4m / s

D. 5m / s

PHẦN VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Cho  Cm  là đồ thị hàm số y  x3  3mx  1 với m   ;0  là tham số thực. Gọi d là
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của  Cm  . Tìm số các giả trị của m để đường thẳng d cắt
đường tròn tâm I  1;0  bán kính R  3 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam
giác IAB đạt giá trị lớn nhất .
A. 1

C. 3

B. 2

D. 0

Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn z  3  i  z  1  i  2 5 .Gọi m, M lần lượt là giá trị
nhỏ nhất,giá trị lớn nhất của z  i . Tính P  M  m
A. P  3  5

B. P  3 

3
5

C. P 

8
5

D. P  14

Câu 3: Một công ty vận tải thu vé 50000 đồng mỗi khách hàng 1 tháng. Hiện mỗi tháng cơng
ty có 10000 khách hàng. Họ dự định tăng giá vé nhưng nếu giá vé tăng 10000 đồng thì
số khách hàng sẽ giảm 500 người. Hỏi công ty nên tăng giá vé là bao nhiêu để doanh
thu hàng tháng là lớn nhất.
A. 80000 đồng

B. 75000 đồng

C. 100000 đồng

D. 90000 đồng


Câu 4: Trong lĩnh vực thủy lợi , mương được gọi là cái dạng “thủy động học” nếu với tiết
diện ngang Tn của mương có diện tích xác định , độ dài đường biên giới  của Tn nhỏ
nhất . Cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “thủy động học”. Giả sử
mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng
200 m 2 . Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “thủy động

học”

A. x  20, y  10 ( m)

B. x  40, y  5 ( m)

C. x  25, y  8 ( m)

D. x  50, y  4 (m)

Câu 5: Từ nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể
tích 1dm3 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mơ hình sau: hình hộp chữ nhật có
đáy là hình vng hoặc hình trụ . Hỏi thiết kế theo mơ hình nào sẽ tiết kiệm nguyên
vật liệu nhất.
A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy .
B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy.
C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.
D. Hình trụ và đường cao bằng đường kính đáy.
Câu 6: Một xà lan bơi ngược dịng sơng để vượt qua một khoảng cách 30 km . Vận tốc dòng
nước là 6 km / h .Nếu vận tốc của xà lan khi nước đứng yên là v ( km / h) thì lượng dầu
tiêu hao của xà lan trong t giờ được cho bởi công thức E (v)  c.v 3 .t trong đó c là một
hằng số , E được tính bằng lít.Tìm vận tốc của xà lan khi nước đứng yên để lượng
dầu tiêu hao là nhỏ nhất.
A. v  18

B. v  12

C. v  24

D. v  9

Câu 7: Khối nón đỉnh O chiều cao h . Một
khối nón khác có đỉnh là tâm I của đáy
và đáy là một thiết diện song song với
đáy của hình nón đã cho . Để thể tích của
khối nón đỉnh I lớn nhất thì chiều cao
của khối nón này bằng bao nhiêu?
h
2

B.

h 3
3

2h
3

D.

h
3

A.
C.

Câu 8: Khi cắt mặt cầu S (O, R ) bởi một mặt kính ,ta được hai nửa mặt cầu và hình trịn lớn
của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa
mặt cầu S (O, R ) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu ,còn đường

tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R  1 ,tính bán kỉnh đáy
r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S (O, R ) để khối trụ có thể tích lớn

nhất.
A. r 

3
6
,h 
2
2

B. r 

6
3
,h 
2
2

C. r 

6
3
,h 
3
3

D. r 

3
6
,h 
3
3

Câu 9: Xét các hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  AB  BC  a . Giá trị lớn nhất của thể tích
hình chóp S . ABC bằng:
a3
A.
12

a3
B.
8

Câu 10: Một đường dây điện được nối từ một
nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C .
Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là
1km . Khoảng cách từ B đến A là 4 km .

Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất
5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000

USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao
nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi
đến C là tốn kém ít nhất.

a3
C.

4

3 3a 3
D.
4


A. 2,5 km

B. 4, 75 km

C. 3, 25km

D. 3, 75 km

Câu 11: Cho nửa đường trịn đường kính AB  2R và điểm C thay đổi trên nửa đường trịn
đó , đặt góc CAB   và gọi H là hình chiếu vng góc của C lên AB . Tìm  sao
cho thể tích vật thể trịn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá
trị lớn nhất.
A.   60 0

C.   arctan

B.   450

1
2

Câu 12: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x 4  y 4 
của biểu thức P  x 2 y 2 

A. MaxP  5

D.   300
2
 3xy  3 .Tìm GTLN
xy

16
x2  y2  2

B. MaxP 

67
12

C. MaxP 

20
3

D. MaxP  8

D.HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN VẬN DỤNG CAO:
Câu 1: Cách giải :
Ta có: y '  3x 2  3m , khi m  0 thì y '  0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số có
hai điểm cực trị.
Đường thẳng qua hai điểm cực trị là ( d ); 2mx  y  1  0 , đường thẳng này luôn qua
điểm cố định M  0;1 .
Ta có IM  2  R nên M nằm trong đường trịn.
1

2
2
2
Lại có ; S IAB  d  I , AB  . AB  d R  d  d 9  d
2

trong đó d  d  I , AB  , 0  d  IM  2
Xét hàm số f (d )  d 9  d 2 với d  0; 2  ta được Max f (d )  f  2 
 0; 2 




Dấu bằng xảy ra khi d  2  d  I ; d   2 

2 m  1
4m  1
2

 2  4m 2  4m  1  0  m  

Chọn A
Câu 2: Gọi A  3;1 , B 1;3 và M  x; y  là điểm biểu diễn số phức z
Vì AB  2 5 nên z  3  i  z  1  i  2 5  MA  MB  AB
Vậy quĩ tích điểm M là đoạn AB .
Viết phương trình đường AB được x  2 y  5  0 .
Tức là M  x; y  thỏa mãn x  2 y  5 và x   3;1 , y  1;3
Khi đó z  i  x 2   y  1  5 y 2  22 y  26
2

Xét hàm số f ( y )  5 y 2  22 y  26 , y  1;3 ta tìm được
min f ( y )  f (

11 9
)  , max f ( y )  f (1)  9
5
5

Vậy z  i max  3, z  i min 

3
. Chọn B
5

Chú ý: Ta có thể giải bài này theo phương pháp hình học
Gọi C (0;1) là điểm biểu diễn số phức i ,khi đó z  i  CM
Nên z  i min  CM min  d (C , AB) , z  i max  CM max  max CA, CB
Câu 3: Phương pháp:
Gọi số tiền giá vé sau khi tăng lên là x đồng.
Thiết lập biểu thức tính doanh thu hàng tháng theo x.
Tìm GTLN của biểu thức đó
Cách giải:
-Vé tăng lên 10000 đồng – Số người giảm 500 người
Suy ra : vé tăng 1 đồng - Số người giảm
Vé tăng x-50000 đồng – Số người giảm

500
người
10000

500
x  50000
 x  50000  
10000
20

Khi đó số khách hàng mỗi tháng là 10000 

x  50000 250000  x

20
20

1
2


Doanh thu hàng tháng là :
250000  x 1
1  x  250000  x 
1
2
x

x  250000  x  
 125000 
20
20
20
4

20
2

Dấu “=” xảy ra  250000  x  x  x  125000
Vậy giá vé cần tăng lên là 75000 đồng.

Chọn B

Chú ý: Chỉ cần tìm đến :Doang thu hàng tháng

1
x  250000  x  là học sinh có
20

thể dùng MTBT kiểm tra xem kết quả nào làm doanh thu lớn nhất.
Câu 4: Cách giải:
Mương dẫn nước đã có tiết diện ngang là 200m 2
Khi đó để mương có dạng “ thủy động học” thì cần  nhỏ nhất .
Ta có xy  200,   x  2 y    x  2.
Xét hàm số f ( x)  x 

200
400
 x
x
x

400
400
với x>0. Ta có f '( x)  1  2  0  x  20

x
x

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x=20 .Khi đó y=10.
Chọn A
Câu 5: Phương pháp :
Đối với các bài tốn liên quan đến diện tích của khối trịn xoay như thế này ,
cần áp dụng các công thức tính diện tích của từng khối một cách chính xác
rồi đem so sánh.
Cách giải:
Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh bao bì phải nhỏ nhất
Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng dm , diện tích tính bằng dm 2
-Xét mơ hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao h.
Khi đó : a 2 h  1 và diện tích tồn phần S  2a 2  4ah
Đến đây có thể thế h 

1
vào S rồi dùng đạo hàm S’ (a>0) để tìm GTNN của S
a2

Hoặc có thể dùng BĐT Cơsi cho 3 số 2a 2 , 2ah, 2ah được:
S  3 3 2a 2 2ah.2ah  6 .Dấu “=” xảy ra khi a=h


-Xét mơ hình hình trụ có đáy là hình trịn bán kính r và chiều cao h.
Ta có  r 2 h  1 và diện tích tồn phần bằng S  2 r 2  2 rh
Cũng giống mô hình trên ta có thể làm bằng 2 cách
S  2 r 2  2 rh  3 3 2 r 2 . rh. rh  5, 536 .Dấu “=” khi h=2r

Dùng Cơsi được

Vậy mơ hình hình trụ là tơt nhất. Hơn nữa ta cịn thấy trong mơ hình hình hộp
thì hình lập phương là tiết kiệm nhất, trong mơ hình hình trụ thì hình trụ có
chiều cao bằng đường kính đáy là tiết kiệm nhất. Chọn D
Câu 6: Phương pháp:
Vận tốc khi bơi ngược dòng= Vận tốc khi nước đứng n – Vận tốc dịng nước
Áp dụng cơng thức : v 

s
t

Cách giải:
Vận tốc xà lan khi bơi ngược dòng là: vn  v  6 (km / h)
Thời gian bơi ngược để vượt khoảng cách 30 km là: t 

S
30

vn v  6

Lượng dầu tiêu hao là trong thời gian đó là:
E (v)  c.v3 .t  c.v3 .

3
30
30
 c  v  6   3  3 .
v6
v6

Áp dụng Côsi :
 v  6   3  3  3  v  6  .3.3
30
 E (v)  c.3  v  6  .3.3.
 810c
v6
3

Dấu “=” xảy ra khi : v  6  3  v  9 . Chọn đáp án D.
Chú ý : Có thể dùng đạo hàm để tìm GTNN của f (v)  c.v3 .

30
với v  6
v6

Câu 7: Phương pháp:
-Gọi thể tích ,bán kính đáy của khối nón đỉnh O lần lượt là : V , r
Gọi thể tích ,bán kính đáy, chiều cao của khối nón đỉnh I lần lượt là : V1 , r1 , h1
1
3

-Khi đó V   r 2 h
-Gọi

h1
r
 n  1  1  n  r1  1  n  r
h
r

1
3

1
3

1
3

-Khi đó : V1   r1h1   1  n  r 2 .n.h   r 2 h. 1  n  n  V .1  n  n  V . f (n)
2

2

- Để V1 max  f (n) max
Cách giải:
-Xét f (n)  n3  2n 2  n  f '(n)  3n 2  4n  1 (Đk: 0 n  1(loai )
f '(n)  0  
1
 n  (t / m )
3


1
3

Khi n   h1 

h
.Chọn đáp án D
3

Câu 8:
Cách giải:
Ta có h 2  r 2  R 2 (0  h  R  1)  r 2  1  h2
Thể tích của khối trụ là:
VT   r 2 h   1  h 2  h  f (h)  f '(h)   1  3h 2   0  h 

-Lập BBT ta có VT đạt GTLN khi
h

3
6
r 
. Chọn đáp án C
3
3

Câu 9:
Cách giải:
-Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AC ,AB.
H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Ta có BM  AC , HN  AB . Vì SA  SB  SC
nên SH   ABC 
- Đặt AM  x  0. Ta có
ABM  HBN 
 NH 

NH
BN

AM BM
xa

AM .BN

BM
2 a2  x2

- Vì SAB đều nên đường cao SN 

a 3
2

2


 SH  SN 2  NH 2 
3a 2
x2a2
1 3a 2  4x 2


a
4 4  a2  x2  2
a2  x2

- Khi đó

1
1 2
1 3a 2  4x 2
V  BM . AM .SH 
a  x 2 .x. a
3
3
2
a2  x2
1
 a.x 3a 2  4x 2
6

- Đến đây có thể dùng đạo hàm , xong dùng
Côsi cho 2 số nhanh hơn:
2x 3a 2  4x 2 
V 

4x 2  3a 2  4x 2 3a 2

2
2

1 3a 2 a3
a.

12
2
8

3
a .
8

Dấu “=” xảy ra  4x 2  3a 2  4x 2  x 
Chọn B
Câu 10:
Cách giải:
-Đặt SC  a, SA  b .
Ta có: SC 2  BC 2  BS2  a 2  1   4  b 

2

- Chi phí là: 5a  3b .
- Để chi phí ít nhất thì 5a  3b nhỏ nhất và
điều kiện là điểm S thuộc AB (vì nếu S
nằm ngồi AB thì chi phí sẽ cao hơn)
- Đặt y  5a  3b  5 1   4  b   3b
2

(Đk: 0  b  4 )
y'

5.2  b  4 
2 1 4  b

2

3 

5 b  4  3 1   4  b 
1 4  b

2

2


y '  0  5 b  4  3 1   4  b   0
2

 3 1   4  b   5  4  b  ...
2

b  3, 25 (t / m)

b  4, 75 ( Loai )

- Lập bảng biến thiên ta có:

-Từ BBT ta thấy y đạt GTNN khi b  3, 25
Chọn đáp án C
Câu 11:
Cách giải:

C

- Ta có:
AC  AB.cos   2R.cos 
CH  AC.sin   2 R.cos  .sin 

α

AH  AC.cos   2R.cos 2 

- Thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi
quay ACH quanh trục AB là:
V

1
8
AH . .CH 2  R 3 .cos 4  .sin 2 
3
3

- Đặt t  cos 2  (0  t  1)
8
 V  R 3t 2 1  t 
3

- Tìm GTLN của V có thể dùng đạo hàm
hoặc Côsi

A

H

B

8
V  R 3t.t.  2  2t 
3
3

8  t  t  2  2t  64R 3
 R3 
 
3 
3
81


2
3

Dấu “=” xảy ra khi t     arctan

1
2

Chọn đáp án C
Câu 12:
Phương pháp:
- Sử dụng bất đẳng thức Côsi, Bunhia-copxki.. vào đánh giá
-

Sử dụng phương pháp hàm số : Khảo sát hàm số trên một đoạn.

Cách giải:

- Có : x 4  y 4 

2
2
 3xy  3  x 4  y 4   3 xy  3  0
xy
xy

- Theo BĐT Côsi: x 4  y 4  2  xy 

2

2
2
2
3
2
 3 xy  3  2  xy    3xy  3  2  xy   3  xy   3xy  2  0
xy
xy
16
8
P  x2 y2  2
 x2 y 2 
2
x  y 2
xy  1

 0  x4  y 4 

- Đặt xy  t (t  0) , ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(t )  t 2 

8
,với điều
t 1

1
2

kiện 2t 3  3t 2  3t  2  0   t  2
- Có P '(t )  2t 

 t  1

2t  t  1  8
2

8
2



 t  1

2

; P '(t )  0  2t  t  1  8  0  t  1
2

t  2

20

 MaxP (t )  . Dấu “=” xảy ra khi  xy  t  x  y  2 . Chọn đáp án C
3
x  y
