skkn HƯỚNG dẫn học SINH THPT GIẢI bài TOÁN xác SUẤT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI BÀI TỐN XÁC SUẤT.
Người viết: Th.S Đỗ Thị Hồi
Chức vụ: Phó hiệu trưởng
Lĩnh vực: Tốn học
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Nguyễn Siêu

HƯNG YÊN – 3/2014


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

MỤC LỤC
Phần I

Phần II

Phần III

Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài

2

II. Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lý luận của vấn đề

2. Thực trạng của vấn đề
3. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề

2
2
3

Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
1. Biến cố và xác suất của biến cố
2. Các quy tắc tính xác suất
II. Các dạng bài tập minh họa

5
5
5
5

2

3

7

DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố
đối, biến cố giao, biến cố độc lập

7

DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất

8

1. Những bài tốn biến đổi cơng thức xác suất và tính xác
suất trực tiếp
2. Những bài tốn tính xác suất khi biết xác suất của biến cố
liên quan
Bài tập tương tự

16

3. Những bài tốn tính xác suất khi phải xác định các biến cố
và không gian mẫu.

16

8
11

Hiệu quả, kết luận
I. Hiệu quả

27

II. Kết luận
1. Kết luận
2. Những kiến nghị
3. Một số vấn đề cịn bỏ ngỏ
Tài liệu tham khảo

32
32
32
33
34

Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

27

Trang số:1


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một mơn mới và có tính hấp
dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng
rãi trong nhiều nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và
kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các nghành kinh tế. Trong trường phổ
thơng thì địi hỏi học sinh phải biết giải bài tốn xác suất và áp dụng được vào
các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ...
Đối với học sinh phổ thơng chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vào
dạy ở lớp 11 nên việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất là học
sinh rất bỡ ngỡ và thấy khó. Việc giải bài toán xác suất liên quan đến đại số tổ
hợp và những bài tốn liên quan đến cơng thức xác suất là học sinh chưa phân
biệt được và hay bị nhầm lẫn.

Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có
mặt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào
tạo quy định ( đây là một trong các nội dung ở câu số 7 của đề thi ), chính vì thế
nên tơi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các
loại tốn xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và
mới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạng
bài tập trong chương trình phổ thơng.
II. GIẢI QUYẾT VÂN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận của vấn đề
Xuất phát từ những bài tốn trên thực tế đã hình thành nên mơn xác suất
chính vì thế khi bắt đầu dạy lý thuyết cho học sinh tơi cũng dùng các ví dụ cụ
thể và cho học sinh tự làm ví dụ và ghi kết quả sau đó hình thành định nghĩa và
liên hệ với kiến thức trong tập hợp và trong đại số tổ hợp để dần dần hình thành
cơng thức tính xác suất đơn giản.
Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của
xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn
và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:2


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai
thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa.
Trên thực tế đó địi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát
huy tính sáng tạo của học sinh.

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất
đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều
tình huống khác nhau, tơi chọn đề tài:
“ Nâng cao năng lực của học sinh THPT để giải bài toán xác suất ”.
2. Thực trạng của vấn đề.
Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng
thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng
thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá
trình dạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy
cho học sinh hiểu bài khơng chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng.
Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các
khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung
khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài
tập quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc
để giải quyết các tình huống cụ thể.
Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học xác
suất và có cơng cụ giải quyết được một số dạng bài tập mà từ trước đến nay học
sinh cho là khó và đã áp dụng được vào các mơn học liên quan.
3. Mục đích u cầu:
- Giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm về xác suất, liên hệ và áp dụng được
vào các dạng bài tập liên quan.
- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi
đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà
trường và sở phát động.
4. Các biện pháp đã tiến hành giải quyết vấn đề.
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:3

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo,
các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng …
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Nguyễn
Siêu.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một
số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy.

Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:4


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
a. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:
Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động
mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó
khơng dự đốn trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra.
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là khơng gian mẫu
của phép thử, ký hiệu Ω.

b. Xác suất các biến cố:
Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có khơng gian mẫu Ω là một tập hợp
hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với
phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký
hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:
P( A) =

ΩA
Ω

trong đó Ω A và Ω lần lượt là số phần tử của tập ΩA và Ω
- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất
bằng 1.
- Biến cố khơng thể (khơng bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác
xuất bằng 0.
2. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
2.1. Quy tắc cộng xác suất
a. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc
biến cố B xảy ra”, kí hiệu là A ∪ B được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí
hiệu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mơ tả biến cố A ∪ B
và ΩA ∪ ΩB.

Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:5


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử
T. Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra, ký hiệu là
A1 ∪ A 2 ∪ …∪ A k , được gọi là hợp của k biến cố đó.

b. Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B
được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra. Hai
biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.
ΩA ∩ ΩB = ∅
c. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:
P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

(1)

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak đơi một xung khắc thì ta có:
P( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P ( Ak )

(2)

d. Biến cố đối
−

Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là A¸ được gọi là biến cố
đối của A.
−

−

Cho biến cố A xác suất của biến cố đối A¸ là: P( A) = 1 − P ( A)

(3)

2.2. Quy tắc nhân xác suất
a. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B
cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.
Nếu ΩA và ΩB lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp
các kết quả thuận lợi cho AB là ΩA ∩ ΩB .
Một cách tổng quát: Cho k biến cố A1, A2, …, Ak cùng liên quan đến phép thử
T. Biến cố “ tất cả k biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra “, ký hiệu là A1A 2 …A k , được
gọi là giao của k biến cố đó.
b. Biến cố độc lập

Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:6


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B
được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này
không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.
c. Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

P( AB ) = P( A).P( B)

Một cách tổng quát : Cho k biến cố A1, A2, …, Ak độc lập thì ta có:
P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ).P ( A2 )...P ( Ak )

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA
DẠNG 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố
giao, biến cố độc lập
Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài tốn tính xác suất, nếu
khơng phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì học sinh (đặc biệt là học sinh trung bình, yếu)
khơng giải quyết được bài tập, hoặc sẽ bị nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác
suất, do đó tơi nhấn mạnh cho học sinh phân biệt được các loại biến cố bằng
cách nhận biết ở dạng đơn giản trước.
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A1 trường THPT Nguyễn Siêu.
Gọi A là biến cố “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và B là biến cố “ Bạn đó là học
sinh giỏi Văn”.
a. A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay khơng?
b. Biến cố A ∪ B là gì?

Hướng dẫn
a. A và B là hai biến cố khơng xung khắc vì một học sinh có thể vừa học giỏi
Tốn vừa học giỏi Văn.
b. Biến cố A ∪ B là “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn”.
Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ
nhất được số chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai
được số chấm trên mặt con súc sắc là lẻ”.
a. Hai biến cố A và B độc lập hay không ?
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:7


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Hướng dẫn
a. Hai biến cố A và B độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố

A không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố
B
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố” lần gieo thứ nhất được số chẵn
và lần thứ hai được số lẻ”
Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường học
sinh hay dựa vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố. Nhưng
cũng có những bài tốn xác đinh được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác
suất, dưới đây là một ví dụ minh hoạ
2
5

Bài 3: Cho P( A) = ; P( B) =

5
1
; P( AB ) = . Hỏi hai biến cố A và B có:
12
6

a. Xung khắc hay khơng?

b. Độc lập với nhau hay khơng?
Hướng dẫn
a. Vì P( AB ) =

1
≠ 0 nên A và B không xung khắc.
6
2 5 1
= = P( AB)
5 12 6

b. Vì P( A) P( B) = ×

Vậy A và B là hai biến cố độc lập.
Bài tập tương tự: Một chi tiết máy được lấy ngẫu nhiên.Chi tiết loại 1(chi tiết
A);chi tiết loại 2(chi tiết B);chi tiết loại 3(chi tiết C). Hãy mô tả các biến cố sau
đây:
a. A ∪ B

b. A ∪ B

c. ( A.B ) ∪ C

d. A.C

DẠNG 2: Áp dụng các quy tắc tính xác suất
1. Những bài tốn biến đổi cơng thức xác suất và tính xác suất trực tiếp.
Đối với học sinh THPT vì mới được học xác suất nên các em thường ít đọc
sách tham khảo và có nhiều học sinh cho rằng đây là dạng bài tập khó. Trong
khi áp dụng cơng thức thì hay bị nhầm nên thường bỏ khơng làm, thậm chí có

học sinh khơng thuộc cơng thức để áp dụng, nên địi hỏi giáo viên phải có biện
pháp khắc phục tình trạng đó. Nhằm giúp học sinh phân biệt đựơc cơng thức
Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:8


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

áp dụng và cũng thành thạo khi áp dụng tôi đã chia nhỏ, lồng ghép khéo léo
dạng này để học sinh hiểu rõ hơn, chủ động và thành thạo hơn khi áp dụng, tạo
động lực để học sinh có hứng thú học những dạng tiếp theo.
Bài 1: Gieo một con xúc sắc, gọi A là biến cố gieo được mặt có số chấm là chẵn
và B là biến cố gieo được mặt có số chấm là bội số của 2.
Chứng minh rằng: P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P( AB )
Hướng dẫn
Ta có A = { 2, 4, 6 } , B = { 3, 6 }. Do đó A ∪ B = { 2,3, 4,6} và AB = {6}
Nên P( A) =

3 1
2 1
1
= , P( B) = = , P( AB ) =
6 2
6 3
6

Mà P( A ∪ B ) =

4 2
=
6 3
1
2

1 1
3 6

Vậy: P( A) + P( B) − P( AB) = + − =

2
= P( A ∪ B ) . (ĐPCM)
3

Như vậy : Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì cơng thức sau cịn đúng không?
P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P( AB )

Bài 2: Cho hai biến cố bất kỳ A và B. Chứng minh rằng:
P( A) = P( AB) + P( AB )

Hướng dẫn
Ta có A = ( AB) ∪ ( AB ) vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra :của A và B
hoặc là sự xảy ra của A và không xảy ra của B
Mà AB và AB là hai biến cố xung khắc.
Vậy: P( A) = P( AB) + P( AB )
Bài 3: Xét không gian mẫu E và hai biến cố xung khắc A và B biết
P( A) =

3
1
, P ( B ) = . Tính P( AB ); P( A ∪ B ); P ( A); P ( B )
10
2

Hướng dẫn
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên
P( AB ) = 0; P( A ∪ B ) = P( A) + P( B ) =

8 4
=
10 5

Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:9


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Ta có: P( A) = 1 − P ( A) =

7
10

và P( B) = 1 − P ( B ) =

1
2

Bài 4: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất
để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là

trong cùng thời gian trên là

1
và máy dệt B
7

1
. Tính xác suất để người công nhân không phải
2

can thiệp máy nào trong một giờ.
Hướng dẫn
Xác suất để máy dệt A hỏng độc lập với xác suất để máy dệt B hỏng
Ta có P( A ) = 1- P(A) = 1và P( B ) = 1-

1 6
= với A là biến cố máy dệt A không hỏng
7 7

1 4
= với B là biến cố máy dệt B không hỏng.
5 5

Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là

P( A.B )=

6 4 24
. = =0,69
7 5 35

Bài 5: Trong một nhà máy có 3 máy dệt. Trong một ngày, xác suất để máy thứ
nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máy
thứ ba bị sự cố là 0,15. Tính xác suất để trong một ngày mà :
a. Chỉ có một máy bị sự cố
b. Chỉ có hai máy bị sự cố
c. Khơng có máy nào bị sự cố
Hướng dẫn
Cách 1 : Hướng dẫn học sinh làm trực tiếp
a. Xác suất để một và chỉ một máy bị sự cố là:
P1= 0,05 + 0,10 + 0,15 – 2(0,05 × 0,10+0,05 × 0,15 + 0,10 × 0,15) +
+3(0,05 × 0,10 × 0,15) = 0,25
b. Xác suất để chỉ có hai máy bị sự cố là:
P2 = 0,05 × 0,10+0,05 × 0,15 + 0,10 × 0,15 - 3(0,05 × 0,10 × 0,15) = 0,025
Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:10


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

c. Xác suất để khơng có máy nào bị sự cố là:
P3 = 0,95 × 0,90 × 0,85 = 0,727

Cách 2 : Hướng dẫn học sinh làm gián tiếp( Tức là sử dụng các biến cố đối)
2. Những bài tốn tính xác suất khi biết xác suất của biến cố liên quan
Để áp dụng cơng thức tính thì phải u cầu học sinh biết cách sử dụng khái
niệm biến cố và phân biệt mối quan hệ của các biến cố trong bài toán. Khi chưa
phân biệt đựơc thì việc tính tốn sẽ khó khăn, học sinh không thể tiếp cận đến
công thức được. Với suy nghĩ này tôi đã chọn cách dạy phân tích bài tốn để
bước đầu học sinh biết tìm ra các biến cố, tìm mối quan hệ của các biến cố và
tính được xác suất của biến cố theo yêu cầu.
Bài 1: Một lớp học gồm 40 học sinh trong đó có : 15 học sinh giỏi tốn, 10 học
sinh giỏi Lý và 5 học sinh giỏi Toán lẫn Lý. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Hãy
tính xác suất để học sinh đó giỏi tốn hay giỏi lý.
Hướng dẫn
GV: u cầu học sinh chỉ ra các biến cố, mối quan hệ các biến cố là gì?
Từ đó học sinh tự áp dụng cơng thức để tính.
A là biến cố học sinh giỏi toán
B là biến cố học sinh giỏi lý
Ta có: AB là biến cố học sinh giỏi tốn và lý
A ∪ B là biến cố học sinh giỏi toán hay lý
3
1
15
10
5 1
Ta có: P(A)= = 8 ; P(B)= = 4 ; P(AB)= =
40
40
40 8
3 1
1 4 1
Vậy P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 8 + 4 - = =

8 8 2

Bài 2: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại
lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác. Tính xác suất để được lá bài là bích và
lá bài là cơ.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:11


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”
Ta tìm P(AB)
Ta biết A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút lá
bài thứ hai. Do đó P(AB) = P(A).P(B)
Mà P(A) =

1
1
1 1
và P(B) = . Vậy P(AB) =
.
52
52
52 52

Bài 3: Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là

1
.
4

Lớp học có đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học có
đủ ánh sáng
Hướng dẫn
Gọi A, B, C tương ứng là các biến cố “ lớp có 6 bóng đèn sáng ”, “ lớp có 5
bóng đèn sáng ” và “ lớp có 4 bóng đèn sáng ”.
Mỗi bóng có xác suất sáng là

3
. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, ta có:
4
6

P(A) =

5

3
5 3 1
 ÷ ; P(B)= C6  ÷  ÷
4
4 4
4

2

3 1
P(C) = C  ÷  ÷ .
4 4
4
6

Gọi X là biến cố lớp có đủ ánh sáng . Ta có :
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,8305
Bài 4: Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia là 0,2. Tính xác suất để trong 3
lần bắn người xạ thủ bắn trúng bia một lần.
Hướng dẫn
A là biến cố người xạ thủ bắn trúng bia
A là biến cố người xạ thủ khơng bắn trúng bia

Ta có P(A) = 0,4 và P( A ) = 1- 0,4 =0,6
Xác suất để người xạ thủ bắn trúng bia lần 1 và khơng trúng hai lần sau là
P1 = 0,4 × 0,6 × 0,6 = 0,14
Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 2, lần 1 và lần 3 không trúng là P2 = P1
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:12


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Tương tự xạ thủ bắn trúng lần 3, lần 1 và lần 2 không trúng là P3 = P1

Vậy xác suất để trong 3 lần bắn người xạ thủ bắn trúng một lần là
P = 0,14 + 0,14 + 0,14 = 0,42
Bài 5 :Một vận động viên bắn súng, bắn ba viên đạn. Xác suất để trúng ba viên
vòng 10 là 0,008 , xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên
trúng dưới vòng 8 là 0,4. Biết rằng các lần bắn là độc lập với nhau. Tìm xác suất
để viên đạn đạt ít nhất 28 điểm.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “ 1 viên trúng vịng 10”. Khi đó từ giả thiết ta có :
0,008 = (P(A))3 => P(A) = 0,2. (1)
Gọi B là biến cố “ 1 viên trúng vòng 9”. C là biến cố “ 1 viên trúng vòng 8”, D
là biến cố “ 1 viên trúng dưới vòng 8”. Theo giả thiết ta có :
P(C) = 0,15 ; P(D) = 0,4 . (2)
Rõ ràng A, B, C, D là các biến cố đơi một xung khắc với nhau nên ta có :
1= P(A ∪ B ∪ C ∪ D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra P(B) = 1- (0,2 +0,15 + 0,4) = 0,25 (4)
Gọi X là biến cố “vận động viên đạt ít nhất 28 điểm”.
Để đạt được ít nhất 28 điểm thì:
- Hoặc là 2 viên trúng vòng 10, một viên vòng 8. Theo quy tắc cộng và nhân xác
suất điều này xảy ra với xác suất C32 (0,2)2(0,15).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 9 một viên trúng vòng 10. Theo quy tắc cộng và nhân
xác suất điều này xảy ra với xác suất C32 (0,2)(0,25).
- Hoặc 2 viên trúng vòng 10, một viên trúng vòng 9 . Điều này xảy ra với xác
suất:

C32 (0,2)2(0,25).

- Hoặc cả ba viên điều trúng vòng 10 với xác suất theo giả thiết là 0,008. Theo
quy tắc cộng và nhân xác suất của các biến cố xung khắc, ta có:
P(X) = C32 (0,2)2(0,15) + C32 (0,2)(0,25) + C32 (0,2)2(0,25) +0,008 = 0,0935
Vậy vận động viên bắn súng đạt ít nhất 28 điểm với xác suất là 0,0935

Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:13


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Bài 6: Một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cánh phải và 2 động
cơ ở cánh trái. Mỗi động cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1. Còn mỗi
động cơ bên cánh trái là 0,05, các động cơ hoạt động độc lập. Tìm xác suất để
máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau đây.
1. Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất 3 động cơ làm việc.
2. Máy bay chỉ bay được nếu mỗi cánh máy bay có ít nhất một động cơ
làm việc.
Hướng dẫn
1. Xét trường hợp máy bay bay an tồn nếu có ít nhất hai động cơ làm việc.
−
Gọi A là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến bay an tồn”, thì biến cố A là

máy bay bay khơng an tồn, theo quy tắc biến cố đối ta có:
−

P( A ) = 1 – P( A ) (1)
Máy bay khơng an tồn nếu:
- Hoặc là cả 5 động cơ bị hỏng. Theo quy tắc nhân xác suất để điều này xảy ra
với xác suất: (0,1)3(0,05)2.
- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh phải hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng.

Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất :
C31 (0,95)(0,05)(0,1)3.

- Hoặc chỉ có một động cơ ở cánh trái hoạt động còn lại mọi động cơ bị hỏng.
Theo quy tắc cộng và nhân xác suất điều này xảy ra với xác suất :
C21 (0,95)(0,05)(0,1)3

Theo quy tắc cộng xác suất ta có:
−
P( A ) = (0,1)3(0,05)2 + C31 (0,95)(0,05)2(0,1)2 + C21 (0,95)(0,05)(0,1)3

= 0,00016.

(2)

Thay (2) vào (1) ta có:
P(A) = 1 – 0,00016 = 0, 99984.
2. Xét trường hợp máy bay thực hiện chuyến bay an tồn nếu như ở mỗi cánh ít
nhất có một động cơ hoạt động tốt. Gọi B là biến cố “ máy bay thực hiện chuyến
bay an tồn” , thì:
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:14


Sáng kiến kinh nghiệm
−

P( B ) = 1 – P( B ).

Năm học 2013 - 2014

(3)

Máy bay bay không an toàn nếu:
- Hoặc cả ba động cơ bên phải bị hỏng, điều này xảy ra với xác suất là(0,1)3.
- Hoặc cả 2 động cơ bên trái bị hỏng. Điều này xảy ra với xác suất là (0,005)2.
−

Theo quy tắc cộng ta có: P( B ) = (0,1)3+(0,005)2= 0,00035 (4)
Thay (4) vào (3) ta có: P( B ) = 1 – 0,00035 = 0,9965
Bài 7: Một bình đựng 5 bi trắng và 4 bi đỏ. Ta lần lượt lấy một bi 3 lần liên tiếp
theo luật: nếu bi lấy được là đỏ thì trả lại bi này vào bình cịn nếu lấy được bi
trắng thì khơng trả lại bi này vào bình. Gọi E k (1 ≤ k ≤ 3) là biến cố chỉ được bi
trắng trong lần lấy thứ k
a. Tính xác suất của E1.
b. Tính xác suất của E2 và E3. Suy ra xác suất lấy được chỉ một bi trắng trong
3 lần lấy.
Hướng dẫn
a. E1 là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ nhất, do đó lần lấy thứ hai
và lần lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E1) =

5 4 4 5
× × =
9 8 8 36

b. E2 là biến cố chỉ lấy được bi trắng trong lần lấy thứ hai, do đó lần lấy thứ nhất
và lần lấy thứ 3 là bi đỏ
Vậy P(E2) =

4 5 4 10
× × =
9 9 8 81

E3 là biến cố chỉ lấy được bi trắng lần thứ 3, do đó lần thứ nhất và lần thứ 3 là bi
đỏ. Vậy P(E3) =

4 4 5 100
× × =
9 9 9 729

Gọi F là biến cố chỉ lấy đựoc 1 bi trắng trong 3 lần lấy thì
F= E1 ∪ E2 ∪ E3 vơí E1, E2, E3 là ba biến cố đôi một xung khắc
Vậy P(F) = P(E1) + P(E2) + P(E3) =

5 10
100 1165
+ +
=
36 81 729 2916

Nhận xét : Qua các bài tập này ta thấy
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:15


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

-Việc xác định xác suất của các biến cố ( tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng
xác suất biến cố đối.
- Và xác định xác suất của các biến cố trong các trường hợp mà biến cố đó
xảy ra là biến cố hợp và biến cố giao.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của :
a. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
7
(Đáp số:
)
8
3
b. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.” (Đáp số:
)
4
Bài 2: Một khách sạn có 6 phịng đơn. Có 10 khách th phịng, trong đó có 6
nam và 4 nữ. Người quản lí khách sạn chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất
để:
1. Có 4 khách nam và 2 khách nữ.(Đáp số:
2. Có ít nhất 2 khách nữ.(Đáp số:

3
)
7

37
)
42

Bài 3: Một đồn tàu có 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách độc lập với nhau
chọn ngẫu nhiên một toa tàu. Tìm xác suất để mỗi toa có ít nhất 1 hành khách
lên tàu. (Đáp số:

50
)
81

Bài 4: Một người bỏ ngẫu nhiên bốn lá thư vào bốn chiếc phong bì thư đã đề sẵn
địa chỉ. Tìm xác xuất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.

(Đáp số:

5
)
8

3. Những bài tốn tính xác suất khi phải xác định các biến cố và khơng gian
mẫu.
Khi phân tích cơng thức tính xác suất của biến cố thì địi hỏi học sinh tìm
được biến cố để xác định mối quan hệ của biến cố với các giả thiết ở bài tốn
Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:16


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

và nhằm đến mục đích cuối của cơng thức đó là tìm được không gian mẫu và
không gian các kết quả thuận lợi. Ở các dạng trên học sinh chỉ việc đọc kỹ và
hiểu khái niệm là các em đã áp dụng công thức để tính, nhưng trên thực tế các
bài tốn xảy có rất nhiều giả thiết và các mối quan hệ ràng buộc của các biến
cố nhiều hơn nên tôi đưa ra cho học sinh một lớp các bài tốn tính xác suất
nhưng chú trọng tới việc xác định biến cố, không gian mẫu, không gian các kết
quả thuận lợi kết hợp với các bài toán tổ hợp.
Bài 1: Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 phương án trả lời,
nhưng chỉ có 1 phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu
trả lời sai sẽ bị trừ đi 1 điểm. Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa
một câu trả lời. Tìm xác suất để :
1. Học sinh được 13 điểm
2. Học sinh đó bị điểm âm.
Hướng dẫn
1. Gọi x là số câu trả lời đúng, 12 – x là số câu trả lời sai.
Để được 13 điểm ta cần có : 4x – (12 –x) = 13
 x=5.
Bài tốn trở thành : Tìm xác suất để học sinh trả lời 5 câu đúng. Xác suất để
có câu trả lời đúng là

1
4
(và sai là
). Theo quy tắc cộng và nhân xác suất để
5
5

học sinh có được 13 điểm là :
5

1
P = C125  ÷
5

7

4
 ÷
5

2. Anh ta bị điểm âm khi
4x – (12 - x) < 0  x <

12
 x = 0, 1, 2( do x nguyên).
5

Gọi A là biến cố “ trả lời sai toàn bộ ”, B là biến cố “ trả lời đúng 1 câu”, C là
biến cố “ trả lời đúng 2 câu”. Lập luận như phần 1., ta có:
12

4
P(A) =  ÷
5

; P(B) =

11

1 4
C121  ÷  ÷
5  5

; P(C) =

Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

2

10

1
4
C122  ÷  ÷
5  5

Trang số:17


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Gọi X là biến cố “ bị điểm âm”, thì X = A ∪ B ∪ C , trong đó A, B, C là các
biến cố đôi một xung khắc. Theo quy tắc cộng xác suất ta có:
P(X) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,5583.
Bài 2: Một người bước 8 bước. Mỗi bước anh tiến lên phía trước 0,5 m hoặc lùi
lại phía sau 0,5m với xác suất như nhau. Tìm xác xuất để.
1. Anh ta trở lại vạch xuất phát

2. Anh ta cách điểm xuất phát hơn 2m.
Hướng dẫn
Để giải được bài toán này việc xác định các biến cố là quan trong, do đó học
sinh phải xác định mối quan hệ của các giả thiết để tìm ra biến cố, và có những
trường hợp nào xảy ra.
1. Anh ta quay lại điểm xuất phát nếu như trong 8 bước có 4 bước tiến, 4 bước
lùi. Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, xác suất xảy ra trong trường hợp này là:
4

1
P= C  ÷
2
4
8

4

70
1
=
 ÷
256
2

2. Gọi x là số bước tiến lên và 8 – x là số bước lùi lại. Khoảng cách giữa anh say
rượu với điểm xuất phát là
|x – (8 – x ) | = |2x – 8|
x > 6
⇔ x=0;1;7;8
Từ đó theo giả thiết ta có : |2x – 8 | > 4 ⇔ 

x
<
2

(do x là số nguyên)
Vì thế chúng ta áp dụng quy tắc cộng và nhân xác suất, thì xác suất trong trường
hợp này là :
8

7

7

8

9
1
1 1
1 1
1
P = C  ÷ + C87  ÷  ÷+ C81  ÷  ÷ + C80  ÷ =
2
2 2
 2  2
 2  128
8
8

Nhận xét :
Qua các bài toán trên các em đã thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp sử

dụng xác định được các biến cố và các định lý và phép tính xác suất để tìm xác
suất của một biến cố hợp.
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:18


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Bài 3 : 1. Gieo đồng thời hai con xúc sắc. Tính xác suất để :
a. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9.
b. Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau là 2

2. Gieo đồng thời ba con xúc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất
hiện trên ba con là 10.
Hướng dẫn
1. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có hai con xúc sắc, mỗi con
có sáu khả năng xuất hiện nên : Ω = 6.6=36.
a. Gọi A là biến cố” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là 9”.
Khả năng thuận lợi là: (3;6), (4:5), (6:3), (5:4) nên có Ω A = 4.
Từ đó ta có P( A) =

ΩA
4 1
=
=
Ω
36 9

b. Gọi B là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc hơn kém
nhau là 2”. Các khả năng thuận lợi là: (1;3), (2;4),(3;5),(4;6), (3;1), (4;2), (4;2),
(6;4) nên có Ω B = 8
Từ đó ta có P( A) =

ΩB
8 2
=
=
Ω
36 9

2. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có ba con xúc sắc, mỗi con có
sáu khả năng xuất hiện nên : Ω = 6.6.6=216
Gọi C là biến cố ” tổng các chấm xuất hiện trên ba con xúc sắc là 10”. Các
khả năng thuận lợi của C là chính là các tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây: (1;3;6),
(1;4;5),(2;3;5),(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị của các tổ hợp ấy.
Do vậy Ω = 6+6+3+6+3=24.
Để ý rằng (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;3;5) thì mỗi tập có 6 hốn vị, cịn (2;2;6),
(3;3;4) thì mỗi tập có ba hốn vị. Vậy nên: P(C ) =

Ωc
24 1
=
=
Ω
216 9

Nhận xét: Với bài toán trên để xác định được số phần tử của không gian mẫu

và không gian các kết quả thuận lợi thì chung ta phải dùng phương pháp liệt kê.
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:19


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Hạn chế của phương pháp này là không thể giả quyết được các bài toán mà
các biến cố xảy ra nhiều trường hợp, và các bài tốn cho số phần tử của khơng
gian mẫu lớn. Chính vì thế ta sẽ tìm cách đưa về các dạng tốn tìm số phần tử
theo các định nghĩa của đại số tổ hợp.
Bài 4: Trong bình thứ nhất đựng 3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen. Trong bình thứ
hai đựng 4 bi đỏ và 6 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi của bình thứ nhất và
1 viên bi của bình thứ hai. Gọi A là biến cố lấy được 3 viên bi đỏ, B là biến cố
lấy được cả ba viên bi không cùng màu và C là biến cố lấy được bi đỏ từ bình
thứ hai.
a. Tính xác suất của biến cố A.
b. Tính xác suất để lấy được ba viên bi cùng màu
Hướng dẫn
a. Lấy 2 bi từ bình thứ nhất đựng 10 viên bi (3 viên bi đỏ và 7 viên bi đen), và 1
viên bi từ bình thứ hai đựng 10 viên bi ( 4 bi đỏ và 6 viên bi đen). Gọi A là biến
cố lấy được 3 viên bi đỏ. Biến cố A chỉ xảy ra khi ta lấy được 2 bi đỏ từ bình thứ
nhất và 1 bi đỏ từ bình thứ hai
C32
1
Xác suất lấy 2 bi đỏ ở bình thứ nhất là: 2 =
C10 15

Xác suất lấy 1 bi đỏ ở bình thứ hai là:

2
.
5

Vậy xác suất của biến cố A là: P( A) =

1 2 2
× =
15 5 75

b. Gọi E là biến cố lấy được 3 bi cùng màu. Biến cố E xảy ra khi ta lấy được bi
đỏ hay 3 bi đen.
C72
7
Xác suất lấy được 2 bi đen tronng bình thứ nhất là: 2 =
C10 15

Xác suất lấy được 1 bi đen tronng bình thứ hai là:
Do đó xác suất lấy được 3 bi đen là :

3
5

7 3 7
× =
15 5 25

Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:20


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Mà hai biến cố lấy được 3 bi đỏ và 3 bi đen là hai biến cố xung khắc. Vậy
xác suất lấy được 3 bi cùng màu là P( E ) =

2
7 23
+
=
75 25 75

Do B là biến cố được 3 bi không cùng màu chứng tỏ B là biến cố của
biến cố E nên ta có:
P( B) = 1 − P( E ) =

52
.
75

Bài 5: Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi
màu xanh. Lấy ngẫu nhiên một lần ba viên bi. Tính xác suất trong hai trường
hợp sau:
a. Lấy được 3 viên cùng màu xanh.

b. Lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh.
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong đó số 12 viên bi
Khi đó có Ω = C123 = 220.
a. Gọi A là biến cố “ lấy được ba viên bi màu xanh”. Do đó
Ω A = C53 = 10

Vậy P( A) =

ΩA
10
1
=
=
Ω
220 22

b. Gọi B là biến cố “ lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh”
Để lấy được ít nhất 2 viên bi màu xanh ta có hai cách:
- Hoặc lấy ra cả 3 viên bi xanh.
- Hoặc lấy ra 2 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ
Nên Ω B = C53 + C52C71 = 80
Vậy P( B) =

ΩB
4
=
Ω
11

Bài 6: Trong một trăm vé sổ số có 1 vé trúng 100000đồng, 5 vé trúng 50000
đồng và 10 vé trúng 10000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên ba vé.
a. Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 30000 đồng.
b. Tìm xác suất để người mua trúng thưởng 200000 đồng.
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:21


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp tất cả các cách mua 3 vé trong 100 vé. Ta có:
3
Ω = C100

a. Gọi A là biến cố “Người mua trúng thưởng 30000 đồng”.

Để trúng thưởng 30000 đồng thì cả ba vé mua đều trúng thưởng và mỗi vé trúng
3
thưởng là 10000 đồng. Do đó Ω A = C100
.

Khi đó P( A) =

ΩA
2
=

Ω 2695

b. Gọi B là biến cố ” Người mua trúng thưởng 200000 đồng”.
Để trúng thưởng 200000 đồng thì do chỉ có 1 vé mua trúng 100000 thưởng và
2 vé mỗi vé trúng thưởng là 50000 đồng. Nên Ω B = C11C52 = 10.
Từ đó ta có: P( B) =

ΩB
1
=
.
Ω 15620

Bài 7. Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1
bàn dài. Tính xác suất để:
a. Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông.
b. Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau.
c. 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông.
Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp các cách xếp chỗ ngồi cho 10 người
Ω = 10! = 3628800

a. Gọi A là biến cố “đứa bé ở giữa 2 người đàn ơng”
- Chọn vị trí đứa bé: 8 cách
- Chọn 2 người đàn ông ngồi 2 bên đứa bé: C52 = 10 cách
- Hoán vị 2 người đàn ơng đó: 2! = 2 cách.
- Chọn chỗ cho 7 người cịn lại: 7! = 5040
80640

1

=
Có 80640 cách chọn, Ω A = 80640 . Vây ta có: P ( A ) =
10!
45

b. Gọi B là biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau”
Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:22


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

- Chọn vị trí cho 3 nhóm: 3! = 6 cách.
- Hốn vị 5 người đàn ơng: 5! =120 cách.
- Hốn vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
Nên có 172080 cách xếp. Ω B = 17280
P( B) =

17280
1
=
10!
210

c. Gọi C là biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ 5 người đàn ơng”
- Chọn vị trí cho đứa bé: 2 cách

- Hốn vị 5 người đàn ơng: 5! = 120 cách
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
5760

1

=
Nên có 5760 cách xếp, ΩC = 5760 . Vậy P ( C ) =
10! 630

Bài 8: Một sọt cam rất lớn được phân loại theo cách sau: Chọn ngẫu nhiên 20
quả cam làm đại diện. Nếu mà khơng có quả cam nào hỏng thì sọt cam được xếp
loại 1; nếu mà có 1 hoặc 2 quả cam hỏng thì sọt cam được xếp loại 2, còn lại
được xếp loại 3. Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3% . Hãy tính xác suất để:
1. Cam được xếp loại 1 .
2. Cam được xếp loại 2.
3. Cam được xếp loại 3.
Hướng dẫn
Tỉ lệ cam hỏng là 3%, tức là xác suất lấy ra cam hỏng là 0,03; còn xác suất lấy
ra 1 quả cam tốt là 0,97.
1/ Giả thiết sọt cam lớn nhất có nghĩa là phép lấy các quả cam ra là các biến cố
độc lập .
Gọi A là biến cố “ sọt cam xếp loại 1”, theo quy tắc nhân, ta có:
P(A)=(0,97)20.
2/ Gọi B là biến cố “ sọt cam xếp loại 2”
Gọi B1 là biến cố “ trong 20 quả cam lấy ra có 1 quả cam hỏng”
Gọi B2 là biến cố “ trong 20 quả cam lấy ra có 2 quả cam hỏng”
Đỗ Thị Hồi – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:23

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2013 - 2014

Khi đó B= B1 ∪ B2, trong đó B1, B2 là hai biến cố xung khắc. Theo quy tắc cộng
xác suất ta có : P(B) =P(B1)+P(B2). (1)
Trong 20 quả cam lấy ra có 1 quả hỏng, tức là có 1 lần lấy ra cam hỏng và 19 lần
lấy ra cam tốt ; 20 quả cam hỏng có thể lấy ra theo C201 cách . Vậy theo quy tắc
nhân ta có :
P(B1)= C201 (0,03)(0,97)19.

(2)

Tương tự ta có :
P(B2)= C202 (0,03)2(0,97)18.

(3)

Thay (2), (3) vào (1) ta có :
P(B) = C201 (0,03)(0,97)19 + C202 (0,03)2(0,97)18
3/ Gọi C là biến cố “ sọt cam loại 3”, thì C là biến cố đối của biến cố A ∪ B vậy
P(C) = 1- P(A ∪ B) (4)
Do A, B là hai biến cố xung khắc, nên theo quy tắc cộng ta có :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (5)
Thay (5) và (4) ta có:
P(C) = 1 – P(A) – P(B) = 1- (0,97)20 - C201 (0,03)(0,97)19 - C202 (0,03)2(0,97)18
Bài 9: Có 25 quả cầu gồm hai loại đen và trắng được đặt vào hai thùng. Thùng
nào có số quả cầu nhiều hơn thì số quả cầu trắng cũng nhiều hơn. Lấy ngẫu

nhiên mỗi thùng ra một quả cầu. Tìm xác suất để lấy được một quả cầu đen và
một quả cầu trắng. Biết rằng xác suất để lấy được hai quả cùng trắng là 0,48.
Hướng dẫn
Gọi m1 , m2 , t1, t2 , d1, d 2 lần lượt là số quả cầu, số quả cầu trắng, số quả cầu đen trong
hai thùng. Giả sử m1 > m2
Ta có m1 + m2 = 25
Xác suất để lấy mỗi thùng một quả cầu và cả hai cùng màu trắng là 0, 48 nên:
0, 48 =

t1t2
tt
12
⇒ 12 =
m1m2
m1m2 25

⇔ 25t1t2 = 12m1m2 ( *)

Mặt khác m1 + m2 = 25 suy ra m1 , m2 đều là bội của 5.
Đỗ Thị Hoài – THPT Trường THPT Nguyễn Siêu

Trang số:24