skkn kinh nghiệm xử lý một số dạng tích phân “lạ” trong các đề thi THPT quốc gia

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số : ( do Thường trực Hội đồng ghi). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Tên sáng kiến :
"Kinh nghiệm xử lý một số dạng tích phân “lạ” trong các đề thi THPT quốc gia
2017"
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Tốn học bậc Trung học phổ thơng.
3. Mơ tả bản chất của sáng kiến
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết
Tốn học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và kết
hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc hình thành phương pháp giải từng
dạng toán cho các em học sinh là rất cần cần thiết, đặc biệt là trong việc thi trắc
nghiệm cần sự nhanh lẹ và chính xác.
Tích phân và ứng dụng là một phần quan trọng của mơn Tốn học và nó ln
xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia và tuyển sinh Cao đẳng – Đại học. Để
lĩnh hội kiến thức của chuyên đề này được dễ dàng thì địi hỏi người học phải tư
duy tốt và biết kết hợp giữa tính tốn đại số và các tính chất hình học thuần túy
trong khơng gian. Đối với các bài tốn lạ thì thường gây khó khăn cho học sinh, dễ
sai sót trong q trình tính toán. Tuy nhiên, nếu chúng ta để ý đến một vài tính chất
đặc trưng thì việc giải quyết bài tốn này sẽ dễ dàng hơn, giảm nhẹ đi việc tính tốn.
Vì vậy, trong đề tài này tơi muốn trình bày hệ thống một số kinh nghiệm về cách
giải bài toán tích phân dạng “lạ” trong các đề thi thử và thi THPT quốc gia và có thể
làm tài liệu tham khảo.
 Do thời lượng hạn chế nên trong SGK ít đề cập đến các bài tốn về dạng đồ thị
hình hoặc các hàm số khơng có cơng thức nên các em học sinh ít được tiếp xúc và
luyện tập các dạng này. Vì thế khi gặp các bài tốn “lạ” các em thường hay lúng
túng và gặp khơng ít khó khăn.

1

 Tuy nhiên, những bài toán “lạ” này lại là những bài tốn hay và có phương pháp
giải rất lý thú và thường mang lại những cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ đó
khích lệ được khả năng tìm tòi học hỏi cho các em.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận là sáng kiến
3.2.1. Mục đích của giải pháp

- Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng tốn tích phân và ứng dụng, góp phần
giúp các em giải quyết tốt các bài toán thực tế.

- Giúp các em học sinh nâng cao được tư duy cùng kĩ năng tính tốn và qua đây
tơi cũng hy vọng sẽ cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào
hành trang kiến thức giúp các em bước vào các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT
Quốc gia.

- Qua đề tài này giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho
học sinh.

- Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tốt hơn kiến
thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán.
3.2.2. Một số giải pháp thực hiện
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải tốn thơng qua một (hay
nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên.

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải tốn của học sinh. Trong đó u
cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán cụ thể.
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của
học sinh.
- Trong mỗi bài tốn tích phân đều u cầu học sinh thực hiện phân tích nhận

dạng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán.
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện.
3.2.3. Các biện pháp thực hiện
Cho học sinh nhận xét và chứng minh một số bài tốn tích phân. Từ đó áp
dụng vào bài tốn thực tế.
Một số kết quả thường dùng :

2


1.

f�
(x)dx  f (x)  C
�

2.

f (x)dx  F (x)  C
�

�F�
(x)  f (x)

3. Hàm số y  f (x) là hàm số chẳn trên tập xác định D khi và chỉ khi
�
x �D � x �D
�
�
�f (x)  f (x)

4. Hàm số y  f (x) là hàm số lẻ trên tập xác định D khi và chỉ khi
�
x �D � x �D
�
�
�f (x)   f (x)

3.2.3. Nội dung giải pháp
Dạng 1. Bài tốn tích phân xuất hiện f (x) ở giả thiết yêu cầu tính tích phân chứa
f [k(x)].
Phương pháp : có thể sử dụng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1. Cho hàm số f (x) liên tục trên � thỏa mãn

f (x)  f (x) 

2  2 cos 2x, x ��. Tính I 

3
2

�f (x)dx



A. I  6

B. I  0

3

2

C. I  2

D. I  6

(Trích đề thi minh họa THPT quốc gia 2017 lần 3)
Bài giải

3


Đổi biến t  x ta có

I 

3
2



3
2

3
2

3
2

�f (x)dx  �f (t)(dt)  �f (t)dt  �f (x)dx  K



3
2

3
2



3
2



3
2

Suy ra

I K 

3
2

3
2

3
2

3
2

�f (x)dx  �f (x)dx  �[f (x)  f (x)]dx  � 2  2 cos 2xdx



3
2
3
2



3
2



3
2



3
2


3
� 
�
2
2
� 2
�
 2 �cosx dx  2 �
 �cosxdx  �cosxdx  �
cosxdx �
� 3
�
3


�
�


2
� 2
2
2
�


3

�

�

2
2
2
�
 2  sin x 3  sin x   sin x  � 12
�
�


�
2
2
2 �

Vậy I  6 . Chọn đáp án D.
3
2

� 2  2 cos 2xdx có hàm dưới dấu tích phân chỉ nhận giá trị

Chú ý : Ta để ý


3
2

� 3 3 �
dương, chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm x thuộc �


; �. Do đó ta có thể chọn
� 2 2 �
nhanh được đáp án D.
Hoặc ta có thể dùng Casio để tính tích phân mà khơng cần phải giải cụ thể như trên.

4


4

Ví dụ 2. Cho

2

f (x)dx  16 . Tính I
�

�
f (2x)dx .

0

A. I  32

0

B. I  8

C. I  16

D. I  4

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)
Giải
Đổi biến t  2x ta có
2

14
14
I �
f (2x)dx  �
f (t)dt  �
f (x)dx  8 . Chọn đáp án B.
2
2
0
0
0

� �
Ví dụ 3. Biết hàm số y  f �
x  �là hàm số chẳn trên
� 2�

� �
f (x)  f �
x  � sin x  cosx . Tính I 
� 2�

A. 0

B. 1

C.

1
2


2

f (x)dx
�

�  �
 ; �và
�
� 2 2�

.

0

D. 1

(trích đề thi thử THPT quốc gia Bigschool 2017)
Phân tích : nếu ta đổi biến t  x 



thì bài tốn rơi vào bế tắc - đây là cái bẫy hay
2

� �
của bài toán. Để ý y  f �
x  �là hàm số chẳn trên
� 2�
� �
f�
x  �
� 2�

t  x 

�  �
 ; �nên
�
� 2 2�

�
�  �
�
f�
x  �với x ��
 ; �. Do đó đổi biến đúng phải là
�
2�
� 2 2�



.
2

Giải

5



Đặt t  x  ta có I 
2

�I 


2

�


2

�


2

f (x)dx 
�


2

0

�

�
�
f

t
dt
�
��2 �
�
0

�

f � t�
dt  �
f �  x�
dx  K
�
�2
�
�2
�

0

0

Do đó

I K 




2

f (x)dx 
�

0

2


2

� �
f
x �
dx 
��
�
2

�
0

(sin x  cosx)dx 
�
0


2

�
�
� �
f
(
x
)

f
x

dx
�
�
�
�
�
�
2
�

�
�
0


(sin x  cosx) 02

2

Suy ra I  1 . Chọn B.
Ví dụ 4. Biết rằng F (x) là một nguyên hàm của f (x) thỏa mãn

F (2018) 

2017

�F (x  1)dx  1 . Tính I

1

A. I  2018

B. I  2017



2018

�xf (x)dx .

0

C. I  2019

D. I  2016

Phân tích : sự xuất hiện của F (x  1) gợi ý cho ta đổi biến t  x  1 .
Giải
Đổi biến t  x  1 . Ta có 1 

2017

2018

2018

1

0

0

�F (x  1)dx  �F (t)dt  �F (x)dx

�
��
ux
u 1
�
�

(x)  f (x) nên ta đặt �
��
Vì F �
v  F (x)
v� f (x)
�
�

Do đó

6


I 

2018

2018

0

0

�
�xf (x)dx  �u.vdx

2018
 uv 0



2018

2018

. �  xF (x) 0
�vudx



2018

0

 2018F (2018)  1  2017

�F (x)dx

0

Chọn B.
Chú ý : Khi ta thấy I 

2018

2018

(x)dx
�xf (x)dx  �xF �
0

thì đây là dấu hiệu ta sử dụng

0

tích phân từng phần để tính I
(x) dưới dấu tích phân.
Dạng 2. Bài toán xuất hiện f �
Phương pháp sử dụng kết quả

f�
(x)dx  f (x)  C
�

�
u  g(x)
�
g(x).f �
(x)dx . Ta đặt �
Với I  �
dv  f �
(x)dx
�

Ví dụ 5: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên [1; 2], f (1)  1 và f (2)  2 . Tính
2

I �
f�
(x)dx .

1

A. I  1

B. I  1

C. I  3

D. I 

7
2

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)
(x) dưới dấu tích phân nhắc ta nghĩ đến tích phân
Phân tích : sự xuất hiện của f �
(x)dx phần cịn lại dưới dấu tích phân là u .
từng phần và đặt dv  f �
Giải
�
�
u 1
du  0dx
�
�
��
Đặt �
dv  f �
(x)dx
v  f (x)

�
�
2

2

f�
(x)dx  f (x) 1  f(2)  (1)  1 . Chọn A.
Ta có I  �
1

7


1

(x  1)f �
(x)dx  10 và 2 f(1)  (0)  2 . Tính
Ví dụ 6. Cho hàm số f (x) thỏa mãn �
0

1

I �
f (x)dx .
0

A. I  12

B. I  8

C. I  12

D. I  8

(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)
Giải
�
�
u  x 1
du  dx
�
�
��
Đặt �
dv  f �
(x)dx
v  f (x)
�
�

Ta có
1

1

1

(x  1)f �
(x)dx  (x  1)f (x) 0  �

f (x)dx  2 f(1)  (0)  I  2  I
�
0

� I  8

0

.

Chọn D.
(x) . So sánh các giá trị
Dạng 3. Cho hàm số y  f (x) biết đồ thị của hàm số y  f �
của hàm số.
Phương pháp
Có thể dùng cơng thức tính diện tích hình phẳng để đưa bài tốn so sánh các giá trị
về bài tốn so sánh diện tích hình phẳng.
(x) như hình bên. Đặt
Ví dụ 7. Cho hàm số y  f (x) . Đồ thị của hàm số y  f �
h(x)  2 f (x)  x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. h(4)  h(2)  h(2)
B. h(4)  h(2)  h(2)
C. h(2)  h(4)  h(2)

8


D. h(2)  h(2)  h(4)
(Trích đề thi THPT quốc gia 2017)

Giải
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng
như hình vẽ bên.
Ta có
2

2

�
2S1  2 �
f�
(x)  x �
dx  �
2 f (x)x2 �
�
�
�
�2


2
2
h(x) 2 

h(2)  h(2)  0

� h(2)  h(2) ,(1)
Tương tự
4

4

4

�
2S2  2 �
x  f�
(x)�
dx  �
  h(x) 2  h(2)  h(4)  0
x2  2 f (x)�
�
�
�
�2
2

� h(2)  h(4) ,(2)
Dựa vào đồ thị ta có S1  S2 � h(2)  h(2)  h(2)  h(4) � h(4)  h(2) ,(3)
Từ (1),(2),(3) � h(2)  h(4)  h(2) . Chọn C.
Thủ thuật bác bỏ nhanh
Một mệnh đề đúng với mọi trường hợp thì phải đúng với bất kì trường hợp
riêng nào.

Ví dụ 8. Cho hàm số f (x) thỏa mãn


2

sin x.f (x)dx  f (0)  1

�

. Tính

0

I 


2

cosx.f �
(x)dx
�
0

9


A. I  1

C. I  0

B. I  1

D. I  2

Giải
Lấy hàm số y  f (x)  1 với mọi x thỏa mãn điều kiện của bài toán

I 


2


2

0

0

sin x.f (x)dx  �
sin xdx
. 
�


 cosx 02

1

(x)  0 với mọi x .
Khi đó f �

Do đó I 


2


2

0

0

cosx.f �
(x)dx  �
0dx  0
�

. Chọn đáp án C.

Chú ý: bài tốn này ta có thể giải theo dấu hiệu của dạng 2.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp
Có thể mở rộng SKKN ở các trường học khác trên địa bàn nhằm tăng cường
hiệu quả chất lượng giáo dục theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học và đánh
giá học sinh của Bộ Giáo dục và đào tạo.
Khi áp dụng giải pháp giúp học sinh định hướng tốt hơn, chính xác hơn
hướng giải một bài tốn tích phân dạng lạ, đặc biệt khi ơn luyện thi tốt nghiệp
THPT quốc gia.
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp

- Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều thích thú
học tập, hiểu và vận dụng tốt.
- Qua đó nhận thấy các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tốn về tích
phân.
Năm học 2017 – 2018 tơi áp dụng giải pháp tại lớp 125 trường THPT Nguyễn

Đình Chiểu và lớp đối chứng 127. Lớp thực nghiệm và lớp đối chứng đều có năng
lực học tập trong đợt khảo sát đầu năm là tương đương nhau.

10


Một trong những thuận lợi của chúng tôi trong việc thực hiện giải pháp là các
lớp mà tôi tiến hành thực nghiệm là các lớp đều có thực hiện tăng tiết so với chuẩn
về quỹ thời gian tôi cũng đủ để tiến hành thực nghiệm.
Học sinh đa số biết vận dụng kiến thức để giải bài tích phân và ứng dụng,
tương đối thành thạo khi phát hiện phương pháp giải .
+ Đối với lớp thực nghiệm:
Chúng tơi có những buổi học trao đổi rất nhiều về lý thuyết chương tích phân và
ứng dụng của tích phân cũng như đưa ra phương pháp giải các dạng bài tương ứng.
+ Đối với lớp đối chứng:
Chúng tơi tiến hành ơn tập bình thường, sau khi tiến hành bài kiểm tra với đề
như nhau ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
Kết quả làm bài kiểm tra chuyên đề của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học
sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua Bảng thống kê sau:
Lớp

TN

ĐC

7,0 điểm

5,3 điểm

Tỷ lệ đạt yêu cầu

96,3%

78%

Tỷ lệ điểm kém

3,7%

22%

Tỷ lệ điểm trung bình

32,2%

68%

Tỷ lệ điểm khá

52,9%

10%

Tỷ lệ điểm giỏi

11,2%

0%

Trung bình

Bảng trên cho thấy: điểm trung bình cộng; tỷ lệ đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi
ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng.
PHẦN KẾT LUẬN


Đề tài này giúp bản thân tơi có thêm một tư liệu để giảng dạy và cũng là một

tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo.


Các bài tốn trên tơi chỉ đề xuất cách giải theo quan điểm cá nhân. Tuy

nhiên, các bài tốn này cịn có thể giải theo các cách khác.

11


Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển


Qua bài viết này, tôi hy vọng sẽ hệ thống được cho các em một số bài tốn

nhỏ về chun đề tích phân để giúp các em học sinh thuận tiện hơn khi gặp phải.


Thông qua các tiết dạy theo chuyên đề, tôi mong muốn được triển khai rộng

rãi cho toàn khối 12.
Những kiến nghị, đề xuất



Bài viết của tơi chỉ trình bày theo chủ ý của cá nhân, do đó chắc chắn sẽ cịn

nhiều thiếu xót và chưa thật hồn chỉnh, vì vậy tơi rất mong được sự góp ý của đồng
nghiệp và các em học sinh.
Việc tìm lời giải cho một bài tốn khó là việc làm địi hỏi sự kiên trì và có
những cơng cụ thích hợp khi phân tích bài tốn. Kiến thức về ngun hàm, tích
phân chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình tốn học phổ thơng, và trong
q trình giải loại tốn này thì học sinh có thể gặp khó khăn trong nhiều tình huống.
Do đó những giải pháp của sáng kiến giúp cho các em học sinh có cách nhìn tổng
qt hơn khi giải một bài toán phức tạp.
Bến Tre, ngày 18 tháng 03 năm 2018

12


ĐƠN VỊ . . . . . . . . . . . . . . . .

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

.......................

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài :
Tác giả :
Chức vụ :

Bộ phận công tác :

TỔ CHUYÊN MÔN

HỘI ĐỒNG KHOA HỌC ĐƠN VỊ

Nhận xét :

Nhận xét :

.................................

...................................

.................................

...................................

.................................

...................................

.................................

...................................

.................................

...................................

.................................

...................................

.................................

...................................

.................

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xếp loại : . . . . . . . .

Xếp loại : . . . . . . . . . . . . . .

......

Ngày . . . . tháng . . . . .năm . . . . . .
TỔ TRƯỞNG

Ngày . . . . tháng . . . . .năm . . . . . .
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký ghi rõ họ tên, đóng dấu)

13


14