Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL 2r và một ứng dụng vào giải phương trình hàm

.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN QUYNH

NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R)
VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN QUYNH

NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R)
VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Lời cảm ơn

ii

Mở đầu

1

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . .

8

2

3

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)

11

2.1

Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) . . . . . . . . . .

11

2.2

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) . . . . . . . . . .

16

Ứng dụng vào phương trình hàm

22

3.1

Phương trình hàm và nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính

22

3.2

Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.1

Phương trình liên kết với các nhóm xyclic Cn . . . .

27

3.2.2

Phương trình liên kết với các nhóm Diheral Dn . . .

35

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Đồn Trung
Cường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Tốn - Tin, Phịng
Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán
K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp
đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên
cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
ln khuyến khích, động viên tác giả trong suốt q trình học tập và làm luận
văn.
Thái Nguyên, 2015

Vũ Văn Quynh
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


1

Mở đầu

Phương trình hàm là một dạng tốn hay và quan trọng trong các kì thi học
sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan
đến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luận
văn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phân
tuyến tính có bậc hữu hạn.
Ta bắt đầu bằng một ví dụ:
Ví dụ. (Putnam 1971) Tìm tất cả các hàm f : R\{0, 1} → R sao cho


x−1
 = 1 + x, ∀x ∈ R\{0, 1}.
f (x) + f 
x
Để giải phương trình hàm này, ta xét ánh xạ g : R\{0, 1} → R\{0, 1} được
xác định bởi g(x) =

x−1
. Khi đó
x
g(x) − 1

2

g (x) = g(g(x)) =
3

2

g (x) = g(g (x)) =

g(x)
−

=

1
x−1 −
1
− x−1

1

x−1
x −
x−1
x

=−

1

=−

1
;
x−1

−x
−1

= x.

Gọi id là ánh xạ đồng nhất của R\{0, 1} thì G = {id, g, g 2 } cùng với phép
hợp thành các ánh xạ là một nhóm xyclic cấp 3. Kí hiệuf1 = f, f2 = f ◦
g, f3 = f ◦ g 2 , ta có
f1 (x) + f2 (x) = 1 + x với mọi x ∈ R\{0, 1}.


2
Thay x bằng g(x) và g 2 (x), ta có hai phương trình sau:
f (g(x)) + f (g 2 (x)) = 1 + g(x), hayf2 (x) + f3 (x) = 1 + f (x);
f (g 2 (x)) + f (x) = 1 + g 2 (x), hayf3 (x) + f1 (x) = 1 + g 2 (x).
Vậy ta có một hệ phương trình tuyến tính theo ba ẩn f1 , f2 , f3 là



f1 + f2 = 1 + x






x−1
f2 + f3 = 1 +
x





−1



 f3 + f1 = 1 +
x−1
Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1 (x) =

x3 − x2 − 1

x3 − x2 − 1

hay f (x) =
.
2x(x − 1)
2x(x − 1)
Hàm số này thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, do vậy nó là nghiệm mong
muốn.
Tổng quát, cho D ⊆ R là một miền và g1 , . . . , gn : D → D là các hàm số
liên tục sao cho G = {id, g1 , . . . , gn } cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một nhóm hữu hạn. Cho các hàm a0 , a1 , . . . , an , b : D → R. Chúng ta quan
tâm đến phương trình hàm sau
a0 f + a1 f ◦ g1 + · · · + an f ◦ gn = b.

(1)

Để tìm được hàm f thỏa mãn phương trình này, ta thay x bởi id, g1 (x), g2 (x),
. . . , gn (x). Khi đó, ta sẽ có được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn là
f, f ◦ g1 , f ◦ g2 , . . . , f ◦ gn . Khi đó ta có thể giải hệ này, bằng các phương
pháp tiêu chuẩn của đại số tuyến tính như phương pháp Cramer.

Trong lời giải của phương trình (1) cấu trúc nhóm của tập hợp các phép
biến đổi g1 (x), . . . , gn (x) là yếu tố quyết định. Trong phạm vi luận văn này
chúng ta chỉ quan tâm phương trình hàm (1) cho bởi các nhóm hữu hạn gồm


3
các phép biến đổi phân tuyến tính. Các nhóm này đều đẳng cấu với một nhóm
con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), vì vậy để mơ tả rõ phương trình hàm (1),
chúng tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm
tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R).
Các kết quả và thông tin trong luận văn được viết dựa vào bản thảo
bài báo "Functional equations and finite groups substitutions" của Mihály
Bessenyei, American Mathematical Monthly 2010, và bài báo "Finite subgroups of PGL(2, R) and functional equations" của Đoàn Trung Cường.
Luận văn được chia thành ba chương với nội dung chính như sau:
Chương 1: Chương này trình bày một số kiến thức về nhóm và ma trận
cần thiết cho các tính tốn về nhóm PGL(2, R) trong chương sau.
Chương 2: Nhóm con hữu hạn của PGL(2, R). Trong chương này chúng
tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R).
Kết quả chính của chương này là Mệnh đề 2.1.1 và Định lý 2.2.3 khẳng định
rằng các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) hoặc là nhóm xyclic Cn
hoặc là nhóm nhị diện Dn . Hơn nữa các phần tử sinh của các nhóm này cũng
được mô tả khá cụ thể.
Chương 3: Ứng dụng vào phương trình hàm. Từ các kết quả trong chương
2, chúng tơi xây dựng các phương trình hàm cụ thể gắn với các nhóm con của
nhóm PGL(2, R). Các ví dụ này có thể được dùng như bài tập cho học sinh
phổ thông thuộc diện khá, giỏi.
Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015
Vũ Văn Quynh

4

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này giới thiệu kiến thức về nhóm là cơ sở áp dụng cho các chương
sau. Nội dung bao gồm các định nghĩa, tính chất về nhóm, nhóm xyclic, nhóm
Diheral, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, cùng các kiến thức về ma trận, điều
kiện để ma trận là chéo hóa được.
Các kiến thức này sẽ được áp dụng vào việc hỗ trợ xác định các nhóm con
hữu hạn của nhóm PGL(2, R) ở Chương 2.

1.1

Nhóm

Mục này giới thiệu các kiến thức cơ bản về nhóm như đã nêu ở trên.
Định nghĩa 1.1.1. Cho G = ∅ với phép tốn ”.” : G × G → G thỏa mãn các
tính chất
(i) Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ G;
(ii) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ G thỏa mãn a.e = e.a = a, ∀a ∈ G;
(iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a.b = b.a = e, kí hiệu
b = a−1 .
Khi đó, G với phép tốn ”.” lập thành một nhóm, ta kí hiệu là (G, .) hay
ngắn gọn G. Nhóm (G, .) được gọi là nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) nếu
a.b = b.a, ∀a, b ∈ G.


5

Chú ý 1.1.2. Cho (G, .) là một nhóm, khi đó
(i) Phần tử đơn vị là duy nhất.
(ii) ∀a ∈ G phần tử nghịch đảo của a là duy nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (G, .) là một nhóm, H = ∅, H ⊆ G là một nhóm
con của G nếu (H, .) cũng là một nhóm.
Mệnh đề 1.1.4. Giả sử (G, .) là một nhóm, H = ∅, H ⊆ G. Các mệnh đề sau
là tương đương:
(i) (H, .) là nhóm con của nhóm (G, .)
(ii) ∀a, b ∈ H : a.b ∈ H, a−1 ∈ H
(iii) ∀a, b ∈ H, a.b−1 ∈ H
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G. Nếu am = e,
với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vơ hạn. Trái lại thì số nguyên dương m nhỏ
nhất sao cho am = e được gọi là cấp của a, kí hiệu là ord(a).
Kí hiệu |G| là số phần tử của G. Nếu G có hữu hạn phần tử thì ta nói G
có cấp |G| hữu hạn hay G là nhóm hữu hạn. Nếu G có vơ hạn phần tử thì ta
nói G có cấp vơ hạn hay nhóm G là vơ hạn. Trong phần tiếp theo ta xét một
số nhóm đặc biệt như nhóm xyclic, Diheral, nhóm đối xứng,...
Định nghĩa 1.1.6. G là một nhóm xyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ G sao
cho với mọi phần tử b ∈ G, có một biểu diễn am = b với m ∈ Z nào đó. Khi
đó a được gọi là phần tử sinh của G. Kí hiệu G = a .
Giả sử G = a là một nhóm xyclic hữu hạn có cấp n. Khi đó |G| = n =
ord(a) và G = {e, a, a2 , ..., an−1 }, ta kí hiệu nhóm này là Cn .
Với nhóm xyclic G = a ta có |G| =ord(a). Do đó cấp của G là số tự
nhiên n nhỏ nhất sao cho an = e.


6
Xét đa giác đều n cạnh Pn với n ≥ 3. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung
quanh tâm của Pn một góc theo chiều kim đồng hồ bằng

2π
n,

cịn b là phép đối

xứng qua một đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của Pn .
Mệnh đề 1.1.7. Tất cả các phép đối xứng của Pn (tức là phép biến đổi đẳng
cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được liệt kê như sau
e, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b.
Chúng lập thành một nhóm, kí hiệu là Dn và gọi là nhóm Diheral cấp 2n. Ta
có
Dn = a, b| an = e, b2 = e, (ab)2 = e .
Giả sử T là một tập hợp nào đó, ta dễ dàng kiểm tra lại rằng tập S(T ) tất
cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một
nhóm, với các phần tử đơn vị của S(T ) là ánh xạ đồng nhất idT trên T , phần
tử nghịch đảo của α ∈ S(T ) là ánh xạ ngược α−1 .
Định nghĩa 1.1.8. Nhóm S(T ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập T . Mỗi
phần tử của S(T ) được gọi là một phép thế trên T .
Đặc biệt, nếu T = {1, 2, . . . , n} thì S(T ) được kí hiệu là Sn và gọi là
nhóm đối xứng trên n phần tử.
Ta có
(i) Sn là một nhóm hữu hạn và |Sn | = n! = 1.2 . . . n.
(ii) D3 ∼
= S3 .
(iii) n = 3 thì Dn

Sn (do chúng có số phần tử khác nhau).

Xét nhóm đối xứng Sn . Với n ≥ 2, ta đặt ∆n =
1≤i

(j − i) ∈ Z. Xét

tác động của α ∈ Sn trên ±∆n , được định nghĩa như sau:

(α(j) − α(i)), α(−∆n ) = −α(∆n )

α(∆n ) =
1≤i

7
vì mỗi α ∈ Sn là một song ánh trên {1, 2, . . . , n} nên mỗi nhân tử của ∆n
xuất hiện trong α(∆n ) đúng một lần với dấu ±1. Do đó α(∆n ) = ±∆n .
α(∆n )

∈ {−1, +1}. Nếu
∆n
sgn(α) = 1 ta nói α là một phép thế chẵn. Ngược lại, nếu sgn(α) = −1 ta
Ta kí hiệu dấu của phép thế α là sgn(α) =

nói α là một phép thế lẻ. Dễ thấy tích của hai phép thế chẵn là phép thế chẵn,
do đó nghịch đảo của phép thế chẵn là phép thế chẵn.
Định nghĩa 1.1.9. Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập {1, 2, . . . , n}
được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử với n ≥ 2.
Bây giờ ta xét một số nhóm ma trận. Trước hết, gọi GL(n, R) là tập các
ma trận vuông cấp n khả nghịch. Vì tích hai ma trận khả nghịch là khả nghịch
nên GL(n, R) với phép nhân ma trận là một nhóm và được gọi là nhóm tuyến
tính tổng quát trên R. Trong nhóm GL(2, R), gọi I2 là ma trận đơn vị cấp 2,
xét tập

Z(2, R) = {λI2 ∈ GL(2, R) : λ ∈ R, λ = 0}.
Dễ kiểm tra được rằng Z(2, R) là một nhóm con chuẩn tắc của GL(2, R).
Định nghĩa 1.1.10. Nhóm thương GL(2, R)/Z(2, R) được gọi là nhóm tuyến
tính xạ ảnh và ký hiệu là PGL(2, R).
Như vậy một phần tử của PGL(2, R) có dạng A={λA : λ ∈ R∗ } trong
đó A ∈ SL(2, R). Bằng cách xét

√ 1 .A
det A

ta có thể giả sử | det A| = 1. Cũng

chú ý là A = −A.
Trong nhóm GL(2, R), xét tập SL(2, R) gồm các ma trận có định thức
bằng 1. Với hai ma trận A, B ∈ SL(2, R), ta có det(AB) = det(A) det(B) =
1 và det(A−1 ) = 1 nên SL(2, R) là một nhóm con của GL(2, R). Ta gọi đó
là nhóm tuyến tính đặc biệt trên R. Nhóm này có một nhóm con chuẩn tắc là
ZS(2, R) = {I2 , −I2 } = SL(2, R) ∩ Z(2, R).


8
Nhóm thương PSL(2, R) := SL(2, R)/ ZS(2, R) do đó là một nhóm con của
nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R).

1.2

Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận

Mục này giới thiệu khái niệm về đa thức đặc trưng, điều kiện để một ma
trận là chéo hóa được. Ta luôn xét K là một trường.

Giả sử f là một tự đồng cấu của K- không gian véctơ V . Nếu có véctơ
α = 0 và vơ hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị
riêng của f còn α là một véctơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ.
Giả sử f có ma trận là A trong một cơ sở nào đó e1 , e2 , . . . , en của V . Khi
đó, đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K là PA (X) = det(A − XEn )
được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Vô hướng λ ∈ K là một giá trị
riêng của tự đồng cấu f : V → V khi và chỉ khi λ là một nghiệm của đa
thức đặc trưng PA (X) của f .
Một ma trận A là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận đường
chéo B, nghĩa là có một ma trận D sao cho A = D−1 BD
Mệnh đề 1.2.1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông cấp n đồng dạng với
ma trận đường chéo là ma trận đó có n véctơ riêng độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận khả nghịch


t . . . t1n
 11

 .. . .

.
.
T = .
. . 


tn1 . . . tnn




λ ... 0
 1

 .. . .

.
−1
.
sao cho T AT = D, với D =  .
. .  , tương đương


0 . . . λn


9


λt λt
 1 11 2 12

 λ1 t21 λ2 t22
AT = T D = 
 ..
..
 .
.

λ1 tn1 λ2 tn2

. . . λn t1n





. . . λn t2n 

..  .
...
. 

. . . λn tnn

Gọi uj là véctơ cột thứ j của T , từ AT = T D suy ra
Auj = λj uj ∀j = 1, . . . , n.
Vì T khơng suy biến nên các véctơ cột là khác khơng và độc lập tuyến
tính. Suy ra uj là các véctơ riêng của A. Vậy A có đủ n véctơ riêng u1 , . . . , un
độc lập tuyến tính.
Ngược lại, giả sử A có n véctơ riêng độc lập tuyến tính u1 , . . . , un tương
ứng với các giá trị riêng λ1 , . . . , λn . Giả sử uj = (t1j , t2j , . . . , tnj )t , j = 1, n.
Đặt




t . . . t1n
 11


 .. . .

.
T = .
. ..  .


tn1 . . . tnn
Vì AuJ = λj uj (j = 1, n) nên ta có


λ t λ t . . . λn t1n
 1 11 2 12



 λ1 t21 λ2 t22 . . . λn t2n 

AT = 
 ..
..
.
.
..
.. 
 .

.



λ1 tn1 λ2 tn2 . . . λn tnn



t t . . . t1n 
 11 12
 λ ... 0
1



 t21 t22 . . . t2n  


.
.
.


.
.
.
= .
.

 = T D.
.
.

.. . . . ..



 ..

.
.

 0 . . . λn
tn1 tn2 . . . tnn


10
Vì u1 , u2 , . . . , un độc lập tuyến tính nên det T = 0, suy ra tồn tại T −1 sao cho
T −1 AT = D. Suy ra A chéo hóa được.
Hệ quả 1.2.2. Nếu ma trận A cấp n có đủ n giá trị riêng phân biệt thì A chéo
hóa được.
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi ma trận A, đa thức f (x) = 0 có bậc nhỏ nhất thỏa
mãn f(A)=0 được gọi là đa thức tối tiểu của A.
Mệnh đề 1.2.4. (i) Đa thức tối tiểu ln tồn tại. Đa thức tối tiểu có hệ số cao
nhất bằng 1 là duy nhất và được kí hiệu là

A (x).

(ii) Cho đa thức f(x). Khi đó f(A)=0 khi và chỉ khi

A (x)|

f(x).

11

Chương 2

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)
Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con hữu hạn
của nhóm PGL(2, R). Trước hết chúng tơi mơ tả các phần tử có cấp hữu hạn
của nhóm này. Dựa trên kết quả về nhóm con của nhóm PGL(2, C), chúng
tơi sẽ phân loại các nhóm con hữu hạn của PGL(2, R) thành nhóm xyclic và
nhóm Diheral.
Nội dung của chương bao gồm việc xác định nhóm con xyclic hữu hạn,
và nhóm con hữu hạn Diheral của nhóm PGL(2, R).
Kết quả của chương này sẽ là cơ sở để xây dựng các lớp phương trình hàm
ở chương 3, và là một phần nội dung chính của luận văn.

2.1

Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R)

Mục này sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R).
Xét phép biến đổi phân tuyến tính g(x) =
và ad − bc = 0. Bằng cách chia a, b, c, d cho

ax + b

trong đó a, b, c, d ∈ R
cx + d
|ad − bc|, chúng ta có thể giả

thiết |ad − bc| = 1. Khi đó g được xác định bởi một phần tử của nhóm tuyến

tính xạ ảnh


γ=

a b



 ∈ PGL(2, R).
c d

Nhóm PGL(2, R) tác động lên không gian xạ ảnh P1 (R) = R ∪ {∞} thông


12
qua
ax + b
γ(x) =

với mọi x ∈ P1 (R) và γ ∈ PGL(2, R).

cx + d
Do vậy g chính xác là tác động của ma trận γ lên P1 (R). Do đó g có cấp hữu
hạn khi và chỉ khi γ có cấp hữu hạn.
Trong mục này, ta sẽ đi mơ tả tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của
PGL(2, R). Giả sử γ ∈ GL(2, R) sao cho | det γ| = 1, và γ ∈ PGL(2, R)
thỏa mãn γ n = 1. Điều này tương đương với γ n = ±I2 .
Các ma trận γ như vậy được mô tả như sau
Mệnh đề 2.1.1. Các phần tử có cấp hữu hạn trong PGL(2, R) có dạng γ với

(i) γ =I2(trường
hợp này γ có cấp 1);
1 0
 (trường hợp này γ có cấp 2);
(ii) γ ∼ 
0 −1


m
ε
0
 , với ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của đơn vị
(iii) γ ∼ 
−m
0 ε
n
và 0 ≤ m < n (trường hợp này γ có cấp (n,m)
, n ≥ 1).
Chứng minh. Xét γ như một ma trận phức. Vì γ 2n = I2 nên đa thức tối tiểu
của γ là ước của đa thức x2n − 1. Đặc biệt, trên C, γ chéo hóa được thành ma
trận đường chéo, vì đa thức x2n − 1 có 2n nghiệm phức phân biệt theo Hệ quả
1.2.1. Do γ thỏa mãn phương trình đa thức λ2n − 1 = 0 nên các giá trị riêng
của γ là các căn bậc 2n của đơn vị, nghĩa là


εm1 0


γ∼
m2

0 ε
trong đó ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của 1. Ta chọn ε = cos
do đó
m

ε = cos

mπ
n

mπ
+ i sin

n

và 0 ≤ m < 2n.

π

π
+ i sin ,
n
n


13
Ta có
±1 = εm1 εm2 = em1 +m2 = det γ = ad − bc ∈ R
và
εm1 + εm2 = trace(A) = a + d ∈ R.

Điều kiện
εm1 +m2 ∈ R suy ra m1 + m2 ∈ {0, n, 2n, 3n}.
Vì
εm1 +m2 = cos

(m1 + m2 )π
n

+ i sin

(m1 + m2 )π
n

∈R

khi đó
i sin

(m1 + m2 )π

Với ε = cos

n
π

∈ R (0 ≤ m1 , m2 < 2n, 0 ≤ m1 + m2 < 4n.

π

chúng ta có 4 trường hợp:

n
n
(i) m1 + m2 = 0. Khi đó m1 = m2 = 0 và γ = I2 .
+ i sin

(ii) m1 + m2 = n. Ta có εm2 = εn−m1 = −ε−m1 , do εn = cos
nπ
i sin

n

nπ
n

+

= cos π = −1. Do đó
trace(A) = εm1 + εm2 = εn − ε−m1 = 2i sin

Điều kiện εm1 + εm2 ∈ R dẫn đến sin


m

 ε 1 = cos 0 + i sin 0

m1 π
n

m1 π

n


= 0, suy ra 

.
m1 = 0

hay

m1 = n




m

 εm1 = 1
 ε 2 = cos 0 + i sin 0
dẫn tới
, hoặc
nπ
nπ
nπ
nπ
m



2



ε = −1
 εm2 = cos
 εm1 = cos
+ i sin
+ i sin
n
n
n
n



 εm2 = 1
1 0

dẫn tới
. Trong trường hợp này γ ∼ 
 εm1 = −1
0 −1


14
Do vậy a + d = 0 và a2 = 1 − bc.
Ta thấy đây là trường hợp duy nhất det γ = −1, nói riêng trường hợp này
chỉ xảy ra khi n = 2, còn trong các trường hợp khác ta có γ ∈ PSL(2, R).
(iii) m1 + m2 = 2n suy ra m2 = 2n − m1 . Ta có ad − bc = 1 và
m1 π
εm1 + εm2 = εm1 + ε2n−m1 = εm1 + ε−m1 = 2 cos

∈ R (vì ε2n =
 n

m
2nπ
2nπ
ε 1 0
 hay ma trận chéo hóa

cos
+ i sin
= 1). Vì vậy γ ∼
−m1
n
n
0 ε


εm1 0
 với 0 ≤ m1 < n.

của A là
−m1
0 ε
Điều này tương đương với det γ = 1 và a + d = 2 cos

m1 π

.
n

(iv) m1 + m2 = 3n. Vì m2 < 2n nên m1 = 3n − m2 > n. Ta có
3πn
εm2 = ε3n−m1 = −ε−m1 (do ε3n = cos
+ i sin 3πn = −1), dẫn tới
n
m1 π
m1
m2
m1
−m1
ε +ε = ε −ε
= 2i sin
. Như vậy εm1 + εm2 ∈ R tương đương
n
m1 π
với sin
= 0, hay n | m1 nhưng do n < m1 < 2n, trường hợp này không
n
thể xảy ra.
Chú ý 2.1.2.
Như vậy trong các trường hợp trên, chỉ trường hợp n = 2 có ma trận γ
khơng nằm trong PSL(2, R) các trường hợp còn lại đều suy ra γ ∈ PSL(2, R).
Định lý dưới đây sẽ tổng kết tất cả các kết quả trên.
Định lí 2.1.3. Cho g(x) =

ax + b

là một phép biến đổi phân tuyến tính với
cx + d
a, b, c, d ∈ R, |ad − bc| = 1. Khi đó có một số n>0 sao cho g n = id nếu và

chỉ nếu g thỏa mãn một trong các tính chất sau đây:
(i) g(x) = x, ∀x (γ = I2 );


15
(ii) g(x) = −x, ∀x (γ = −I2 );
(iii) ad − bc = 1 và a + d = 2 cos

mπ
n

với m ∈ Z, 0 ≤ m < n.

Trong trường hợp n nhỏ, ta sẽ đưa ra công thức cụ thể của các ánh xạ phân
tuyến tính có bậc n, nghĩa là với n cho trước, ta tìm những ma trận γ sao cho
n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn γ n = ±I2 .
Nếu n = 1 thì γ = ±I2 . 
Nếu n = 2 thì γ ∼ B2 := 

1

0





 hoặc γ ∼ 

i

0


.

0 −i
0 −1
> 2 theo phân tích ở trên ma trận chéo hóa của γ có dạng B =
 Nếu n 
εm 0

, với 0 < m < 2n.
−m
0 ε
Bằng cách lập luận tương tự như trên, khơng có ma trận thực C nào thỏa
mãn C n ∼ B2 . Điều kiện để bậc xoắn của γ bằng n là (m, n) = 1.
Ta có một số trường hợp cụ thể:
a) n = 2. Ta có a + d = 0 suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính bậc 2
có dạng
ax + b
g(x) =

cx − a

với |a2 + bc| = 1.

b) n = 3. Khi đó m = 1, 2 và a + d = ±1, suy ra các phép biến đổi phân
tuyến tính có dạng
ax + b

g(x) =

và g(x) =

cx + 1 − a
ax + b
cx − 1 − a

với a(1 − a) − bc = 1.

với a(−1 − a) − bc = 1.

√
c) n = 4. Ta có m = 1, 3, do đó a + d = ± 2, suy ra các phép biến đổi
phân tuyến tính có dạng


16
ax + b
√
√
g(x) =
với a( 2 − a) − bc = 1.
cx + 2 − a
ax + b
√
√
với a(− 2 − a) − bc = 1.
và g(x) =
cx − 2 − a

d) n = 5. Ta có m = 1, 2, 3, 4, do đó a + d nhận một trong các giá trị
√ 1
√ 1
√
√
1
1
(1
+
(−1
+
(1
−
(1
+
5),
5),
5),
−
5), suy ra các phép biến đổi
2
2
2
2
phân tuyến tính có dạng
g(x) =

ax + b
√
1

√
với
a[
(1
+
5) − a] − bc = 1.
2
cx + 21 (1 + 5) − a

g(x) =

ax + b
√
1
√
với
a[
(−1
+
5) − a] − bc = 1.
2
cx + 21 (−1 + 5) − a

g(x) =

ax + b
√
1
√
với

a[
(1
−
5) − a] − bc = 1.
2
cx + 21 (1 − 5) − a

g(x) =

ax + b
√
1
√
với
a[−
(1
−
5) − a] − bc = 1.
2
cx − 12 (1 − 5) − a

2.2

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)

Ở phần trước chúng ta đã tính phần tử sinh của tất cả các nhóm con xyclic
hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát,
đó là các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Chúng ta sẽ mơ tả cấu
trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), từ đó cũng chỉ
ra cách xác định các nhóm con Diheral của nhóm PGL(2, R). Trong thực tế,

chỉ có vài cấu trúc nhóm có thể là nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh
PGL(2, R). Điều này là hệ quả của bao hàm thức PGL(2, R) ⊂ PGL(2, C)
và kết quả sau.
Định lí 2.2.1. Cho G là một nhóm con hữu hạn của PGL(2, C). Khi đó G có
một trong các cấu trúc nhóm sau:


17
(i) Nhóm xyclic G

(Z/nZ) ( kí hiệu Cn ), n ∈ N;

(ii) Nhóm Nhị diện Dn (bậc 2n), n ∈ N;
(iii) Nhóm thay phiên An với n = 4, 5;
(iv) Nhóm đối xứng S4 .
Chứng minh của Định lý 2.2.1 có thể xem trong quyển sách của Dolgachev
[3, Chapter 1], ở đó định lý được chứng minh thơng qua phương pháp đếm
bằng hai cách. Một chứng minh khác tổng quát hơn thông qua các dạng bậc
hai thuộc về Beauville [1, Prop .1.1]. Nhóm tuyến tính xạ ảnh trên R ít cấu
trúc nhóm con hơn trên C.
Định lí 2.2.2. Cho G là một nhóm con hữu hạn của PGL(2, R). Khi đó G là
một nhóm xyclic hữu hạn Cn hoặc là một nhóm Nhị diện Dn .
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.2.1 ta sẽ chứng minh rằng A4 , S4 , A5 khơng
đẳng cấu với một nhóm con hữu hạn nào của PGL(2, R). Do A4 là nhóm con
của S4 và A5 nên để chứng minh điều đó ta chỉ cần chứng minh khẳng định
cho A4 .
Ta giả sử rằng A4 là đẳng cấu với một nhóm con của PGL(2, R). Như
một nhóm của các hốn vị chẵn, A4 được sinh từ hai phần tử g = (123) và
h = (12)(34).
Ta có


 ord(g) = 3 vì g 2 = (123)(123) = (132), g 3 = (132)(123) = id
 ord(h) = 2 vì h2 = ((12)(34))((12)(34)) = (132)(123) = id .
Hơn nữa gh = (243) có cấp 3 vì (gh)2 = (243)(243) = (234) và (gh)3 =
(243)(234) = id.
Bây giờ ta sử dụng cùng kí hiệu g, h để biểu thị các phần tử tương ứng
trong PGL(2, R) và sẽ chỉ ra ord(gh) = 3 không xảy ra trong PGL(2, R). Vì


18
g, h là các lớp tương đương của các ma trận cấp 2 × 2 nên ta cũng dùng g, h
để ký hiệu các ma trận trong các lớp này có định thức thỏa mãn | det(g)| =
| det(h)| = 1.
mπ
∈ R với
Vì ord(g) = 3, bằng Định lý 2.1.3, ta có trace(g) = 2 cos
3


x y
, với det g = xt − yz = 1. Hơn
m ∈ {1, 2} và det(g) = 1. Đặt g = 
z t
nữa, trace(g) = x + t = cos

2mπ

nên x + t = ±1, suy ra t = ±1 − x. Do
3
det(g) = 1 nên y = 0 và xt − yz = 1, từ đó suy ra z = x(±1−x)−1

và
y

g=



x
x(±1−x)−1
y

với λ = trace(g) = 2 cos


y
λ 1
∼
,
−1 0
±1 − x

mπ



. Điều này cùng với lập luận ngay sau Định lý
3
2.1.3 cho phép chúng ta có thể giả sử rằng





a b
λ 1

 và h = 
g=
c −a
−1 0
 



aλ + c bλ − a
λ 1
a b

=
, nên trace(gh) =
Vì gh = 
−a
−b
−1 0
c −a
aλ + c − b. Đặt λ = trace(gh) thì chúng ta có
b = λa + c − λ .


19
Do det h = 1, hay −a2 − bc = 1, nên a2 + bc + 1 = 0. Từ đó suy ra

0 = a2 + (λa + c − λ )c + 1
= a2 + λac + c2 − cλ + 1
λ2 c2

2

λ 2 c2

c2

+
− cλ + 1 +
= a + λac +
4
4
2

2 
2
λc
λc
c2
= a +  + 
− 1 +
2
2
2
>0
(ở đây ta có |λ| = |λ | = 1 ⇒ λ2 = λ 2 = 1). Mâu thuẫn.

Vậy g, h không tồn tại, hay A4 không đẳng cấu với một nhóm con nào của
PGL(2, R).
Bây giờ ta chứng tỏ rằng PGL(2, R) nhận nhóm xyclic Cn và nhóm Diheral Dn là nhóm con hữu hạn. Việc xây dựng nhóm con xyclic hữu hạn Cn
đã trình bày ở tiết trước (Định lý 2.1.3). Bây giờ ta sẽ xây dựng phần cịn lại
là các nhóm Diheral Dn .
Định lí 2.2.3. Cho G ⊂ PGL(2, R) là một nhóm con. Khi đó G ∼
= Dn với
một số n > 0 nếu và chỉ nếu G liên hợp với nhóm con của PGL(2, R) sinh ra
bởi

g=

λ

1

−1 0





 và h = 

trong đó λ = εm + ε−m = 2 cos

mπ

a

b

b − λa −a


,

, (m, n) = 1, sao cho a2 − λab + b2 = 1.

n
Hệ quả là PGL(2, R) chứa nhóm Nhị diện Dn , như một nhóm con với mọi
n>0.


20
Chứng minh. Ta có G ∼
= Dn nếu và chỉ nếu G sinh bởi 2 phần tử g, h ∈
PGL(2, R) với ord(g) = n, ord(h) = 2 và ord(gh) = 2. Nếu n > 2 thì từ
Định lí 2.1.3, ta có


h∼

ε



−m

0

0

m

ε



với mỗi (m, n) = 1. Xét n = 2. Nếu

g, h ∼ 

1



0

0 −1



thấy rằng det(h) = det(g) = −1 thì det(gh) = 1. Thay g bởi gh nếu cần, ta
có thể giả thiết rằng

h∼

−m

0

0

m

ε

ε


.

trong đó ε = i với trường hợp này. Tổng quát, sử dụng Định lý 2.1.3 ta có
thể giả thiết

g=

λ

1

−1 0




(cũng xem từ chứng minh của Định lý 2.2.2). Hơn nữa, ta có thể viết



a b
 trong đó a, b, c ∈ R, a2 + bc = ±1.
h=
c −a
Khi đó




 

λ 1
a b
aλ + c bλ − a

=

gh = 
−1 0
c −a
−a
−b


2
(aλ + c) − a(λb − a) (λb − a)(λa + c − b)

Suy ra (gh)2 = 
2
2

−a(λa + c − b)
a − λab + b
Nếu (gh)2 = ±I2 thì a(λa + c − b) = 0. Giả sử a = 0. Ta có


2
c λb(c − b)
 = ±I2 .
(gh)2 = 
2
0
b


21
Do vậy c = b. Giả thiết a2 + bc = ±1, điều này suy ra rằng b = c = 1 và


0 1
.
h=
1 0
Nếu a = 0 thì c = −λa + b. Do vậy


2
2
a + b − abλ
0
.

(gh)2 = 
2
2
0
a − abλ + b
Suy ra (gh)2 = (a2 + b2 − abλ)I2 . Chú ý rằng a2 + bc = a2 − λab + b2 > 0
(do |λ| < 2). Do đó det h = 1 và


a
b
 trong đó a2 − λab + b2 = 1.
h=
−λa + b −a

Chú ý 2.2.4. Cho g và h là 2 phần tử sinh của Dn ở trên, đó là ord(g) = n
và ord(h) = 2. Khi đó gh ∈ G với ord(gh) = 2 và det(gh) = −1. Rõ ràng
gh, g cũng là phần tử sinh của Dn . Do đó, ta cũng có thể chọn một tập các
phần tử sinh của Dn chứa g, h với

g∼h∼

1

0

0 −1


.