Nghiên cứu ứng xử tĩnh học của thanh cong không gian có cấu trúc xoắn trụ dưới tác dụng tải trọng thẳng đứng

ABSTRACT
THE COMPLEMENTARY FUNCTIONS METHOD FOR
THE ELEMENT STIFNESS MATRIX OF ARBITRARY
SPATIAL BARS OF HELICOIDAL AXES

The statical behaviour of a spatial bar of an elastic and isotropic material
under arbitrary distributed loads having a circular helicoidal axis and crosssection supported elastically by single and/or continuous supports is studied by
the stiffness matrix method based on the complementary funtions approach. By
considering the geometrical compatibility conditions together with the
constitutive equations and equations of equilibrium, a set of 12 first-order
differential equations having variable co-efficients is obtained for spatial
elements of helicoidal axes. The stiffness matrix and the element load vector of
a helicoidal bars with a circular axis and arbitrary cross-section are obtained
taking into consideration both the effects of the axial and shear deformations.
For helicoidal staircases, the significance of both axial and shear deformations in
wide and shallow sections are also investigated. The developed model has been
coded in Matlab 6.5, which has been applied to various example problems
available in the relevant literature, and the results have been compared.


LỜI CẢM ƠN
Xin chân thành cảm ơn PGS TS CHU QUỐC THẮNG đã tận tình hướng
dẫn, động viên tôi thực hiện đề tài này
Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS PHAN NGỌC
CHÂU đã giúp đỡ trong việc chọn hướng đi của đề tài tốt nghiệp
Tôi cũng chân thành cảm ơn về sự chỉ bảo, giúp đỡ, động viên, của các
Thầy, Cô, bạn bè và các đồng nghiệp trong suốt thời gian học tập và thực hiện đề
tài.


TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGHIÊN CỨU ỨNG XỬ TĨNH HỌC THANH CONG KHÔNG
GIAN CÓ CẤU TRÚC XOẮN TRỤ DƯỚI TÁC
DỤNG CỦA TẢI TRỌNG THẲNG ĐỨNG
Ứng xử tónh học của thanh cong không gian có cấu trúc xoắn trụ, chịu tác
dụng tải trọng thẳng đứng của loại vật liệu đồng nhất đẳng hướng, làm việc ở giai
đoạn đàn hồi, được nghiên cứu bỡi phương pháp ma trận độ cứng dựa trên cơ sở
lý thuyết hàm thuần nhất ( Complementary function method : CFM ). Với việc
xem xét độ cong và độ xoắn của kết cấu để thành lập các phương trình tương
thích và phương trình cân bằng, ta thu được hệ gồm 12 phương trình vi phân bậc
nhất ( set of 12 first-order differential equations ). Hệ phương trình này quy định
ứng xử tónh học cho thanh cong không gian bất kỳ. Ma trận độ cứng và vector tải
phần tử xây dựng được có kể đến ảnh hưởng của biến dạng dọc trục ( axial
deformations ) và biến dạng trượt ( shear deformations ). Các đặt trưng hình học
của kết cấu : tiết diện, độ dốc, góc mở trên mặt bằng cũng được khảo sát. Mô
hình xây dựng được lập trình bằng phần mềm MATLAB 6.5với nhiều ví dụ có
liên quan đến việc giải quyết các yêu cầu đặt ra. Các kết quả đã được kiểm tra và
so sánh với phần mềm ứng dụng SAP2000.


MỤC LỤC
Lời cám ơn
Abstract
Tóm tắt luận văn
Lời nói đầu ................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN ......................................................................................... 3
CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN ........................................................ 6
2.1. Giới thiệu chung ................................................................................................ 6
2.2. Các lý thuyết áp dụng liên quan đến việc giải bài toán .................................... 6
2.2.1. Hình học vi phân trong không gian ............................................................ 6

2.2.1.1. Phương trình đường cong trong không gian........................................ 6
2.2.1.2. Phương trình biểu diễn đường đinh ốc trụ tròn xoay .......................... 7
2.2.1.3. Hệ trục tọa độ .................................................................................... 8
2.2.1.4. Các liên hệ hình học vi phân.............................................................. 9
2.2.2. Một số vấn đề về phương pháp tính......................................................... 10
2.2.2.1. Cơ sở lý thuyết về hệ phương trình vi phân ..................................... 11
2.2.2.2. Các phương pháp số giải hệ phương trình vi phân ........................... 12
2.2.3. Bài toán thanh cong trong cơ học vật rắn biến dạng................................ 14
2.2.3.1. Các giả thuyết về vật liệu ................................................................ 14
2.2.3.2. Mô hình dầm Euler – Bernoulli ....................................................... 14
2.2.3.3. Mô hình dầm Timôshencô ............................................................... 15
2.2.3.4. Mô hình thanh cong không gian chịu lực tổng quát ......................... 16
2.2.3.5. Khảo sát mô hình thanh cong theo phương pháp FEM .................... 19
CHƯƠNG 3: THIẾT LẬP CÔNG THỨC
3.1. Xây dựng hệ phương trình vi phân chủ đạo .................................................... 24
3.1.1. Các phương trình tương thích hình học .................................................... 24
3.1.2. Các phương trình cân bằng ...................................................................... 25
3.1.3. Các phương trình liên hệ ......................................................................... 26
3.2. Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân thuần nhất (CFM) ................. 33
3.2.1. Xác định nghiệm thuần nhất .................................................................... 34
3.2.2. Xác định nghiệm không thuần nhất ......................................................... 34
3.2.3. Xác định các hệ số bất định C i ................................................................ 34
CHƯƠNG 4: LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN
4.1. Mô tả giải thuật CFM ...................................................................................... 36
4.2. Các chương trình tính toán được áp dụng nghiên cứu ..................................... 37
4.2.1. Chương trình tính toán áp dụng cho thanh thẳng ..................................... 37
4.2.2. Chương trình tính toán áp dụng cho thanh xoắn trụ ................................. 42
4.2.3. Chương trình tính toán xây dựng ma trận độ cứng ................................... 48
CHƯƠNG 5: VÍ DỤ MINH HỌA
5.1. Khảo sát thanh thẳng chịu tải phân bố đều theo CFM .................................... 57

5.1.1. Bài toán dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố đều .................................. 59


5.1.2. Bài toán dầm siêu tónh hai đầu ngàm chịu tải phân bố đều ..................... 67
5.2. Khảo sát mô hình thanh cong có cấu trúc xoắn trụ ......................................... 71
5.2.1. Khảo sát phần tử mẫu (Sample - element) .............................................. 71
5.2.1.1. Kiểm chứng kết quả từ CFM với SAP2000 ...................................... 71
5.2.1.2. Khảo sát ảnh hưởng của đặc trưng hình học .................................... 72
5.2.1.3. Tính toán một cấu kiện thực tế......................................................... 79
5.3. Xây dựng ma trận độ cứng phần tử thanh cong xoắn trụ ................................. 84
CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN ........................................................................................... 98
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 100


1

LỜI NÓI ĐẦU
Khi nghiên cứu sự làm việc của kết cấu nói chung, cũng như khi thiết kế
các chi tiết máy, các bộ phận chịu lực của công trình cụ thể, người thiết kế cần
phải chọn vật liệu, hình dạng và tính kích thước của từng chi tiết sao cho trong
quá trình sử dụng các bộ phận kết cấu đó có thể chịu được sự tác dụng của ngoại
lực, nhiệt độ… theo yêu cầu mà không bị nứt, vỡ, không được biến dạng lớn (vượt
quá biến dạng cho phép) nhằm bảo đảm điều kiện sử dụng bình thường của kết
cấu tức là bảo đảm độ bền, độ cứng; và luôn luôn giữ được hình dạng cân bằng
ban đầu tức là bảo đảm điều kiện ổn định. Ngoài các yêu cầu đảm bảo kết cấu
hoạt động bình thường như: Độ bền, độ cứng và độ ổn định, người thiết kế cũng
cần phải chú ý đến các yêu cầu kinh tế và gọn nhẹ, nhằm tiết kiệm nguyên vật
liệu, hạ giá thành sản phẩm v.v… Việc tìm ra phương hướng để giải quyết các yêu
cầu trên là nhiệm vụ cơ bản của ngành cơ học vật rắn biến dạng.
Trong các bộ phận chịu lực của công trình, cấu kiện chịu lực thường gặp

có hình dạng đơn giản nhưng không thể thiếu trong khi thiết kế một công trình cụ
thể, mà chúng ta đã quen thuộc trong Sức Bền Vật Liệu là cấu kiện có dạng
thanh. Tùy theo hình dạng của đường trục mà vật thể có dạng thanh được phân
loại thành : thanh thẳng hoặc thanh cong. Khi nghiên cứu sự làm việc của vật thể
có dạng thanh, để đảm bảo các yêu cầu về khả năng chịu lực cũng như các yêu
cầu về kinh tế v.v…, bước lập sơ đồ tính là bước quan trọng bậc nhất trong tất cả
các bước giải quyết bài toán. Bởi vì, tất cả những tính toán cần thiết đều thực
hiện trên sơ đồ tính này. Nếu sơ đồ tính lập không đúng thì dù phương pháp tính
có chính xác đến đâu đi nữa cũng chỉ là vô ích. Việc lập một sơ đồ tính đúng đắn,
phản ánh tốt nhất sự làm việc của một công trình thực là việc làm rất khó. Điều
này đòi hỏi các nhà nghiên cứu và thiết kế phải có kiến thức phong phú về lý
luận cũng như thực tiễn.
Trong nhiều lónh vực kỹ thuật, đặt biệt là trong các ngành : Xây dựng, Cơ
khí, Hàng không, ta thường gặp nhiều mô hình dạng thanh cong không gian có
cấu trúc xoắn trụ ( helicoidal structures ). Tuy thực tế đã ứng dụng khá nhiều
nhưng việc tính toán và phân tích sự làm việc của chúng còn khá đơn giản. Nhìn
chung, khi khảo sát mô hình thanh cong không gian ta thường quen với việc rời
rạc hóa trục cong của kết cấu thành nhiều đoạn thẳng nối lại với nhau, chấp nhận
sự sai khác về mặt hình học theo phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên, với sơ
đồ tính như vậy thì các kết quả tính toán từ mô hình xấp xỉ trên có độ chính xác
như thế nào. Hơn nữa, trong quá trình tính toán, ta thường sử dụng các chương
trình tính toán của nước ngoài và chưa có một sự đảm bảo nào về độ tin cậy của
các kết quả này. Hay nói cách khác, khi khảo sát sự làm việc của thanh cong


2

không gian, việc phân tích về mặt giải tích cũng như việc phân tích dưới dạng số
chưa thật đầy đủ và khả năng áp dụng các kết quả đã có phần nào còn nhiều hạn
chế.

Vì các lý do trên và cũng với mong muốn có một cách nhìn tổng thể về
ứng xử tónh học của mô hình thanh cong ba chiều, tác giả đã nghiên cứu trên mô
hình thật nghóa là có kể đến độ cong và độ xoắn của cấu kiện, với đề tài :”
Nghiên cứu về ứng xử tónh học thanh cong không gian có cấu trúc xoắn trụ dưới
tác dụng của tải trọng thẳng đứng “. Cũng qua việc nghiên cứu này, cung cấp cho
chúng ta một cơ sở để đánh giá về độ tin cậy giữa mô hình chính xác với mô hình
xấp xỉ nghiên cứu trong phương pháp phần tử hữu hạn.
Nội dung luận văn bao gồm sáu chương thuyết minh cộng một phụ lục tính
toán:
- Chương I : TỔNG QUAN
- Chương II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
- Chương III : THIẾT LẬP CÔNG THỨC
- Chương IV : LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN
- Chương V : VÍ DỤ MINH HỌA
- Chương VI : KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ
Mục đích của luận văn này là tính toán các đại lượng đặt trưng cho: Độ
bền, độ cứng của kết cấu, đó là nội lực và chuyển vị ( hay ứng suất và biến dạng )
trên mô hình thật có xét đến độ cong và độ xoắn về mặt hình học của cấu kiện.
Đánh giá độ hợp lý, tin cậy của mô hình nghiên cứu với mô hình xấp xỉ khảo sát
theo phương pháp phần tử hữu hạn ( Sap2000 ). Khảo sát sự ảnh hưởng của các
đại lượng như đặt trưng hình học của tiết diện, dộ cong, độ xoắn v.v… lên sự thay
đổi của nội lực và chuyển vị. Bên cạnh đó, tác giả cũng đã xây dựng chương trình
tính toán trên máy tính với việc áp dụng ngôn ngữ lập trình MatLab khá phổ biến
hiện nay.
Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS TS. Chu
Quốc Thắng cùng các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện và dành
cho tôi sự ưu ái vô cùng quý báu.
Dù đã có nhiều cố gắng, nhưng vì điều kiện thời gian và trình độ bản thân
còn hạn chế nên chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự chỉ bảo của
các Thầy, Cô, các đồng nghiệp có quan tâm đến vấn đề này.

Xin chân thành cám ơn !
Tp Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2003
Phan Thanh Dược


3

CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN
Mô hình thanh cong không gian là một đề tài khá hấp dẫn và lý thú. Thu
hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu ở trong nước và nước ngoài. Một dạng
thanh cong có cấu trúc xoắn trụ được sử dụng khá nhiều trong xây dựng mà ta đã
khá quen thuộc là mô hình cầu thang xoắn ( helicoidal staircases ). Mô hình này
được sử dụng nhiều trong các công trình công cộng, cũng như trong nhà ở vì
chúng có hình dáng kiến trúc đẹp. Tuy nhiên việc thiết kế các loại kết cấu dạng
này không phải là dễ dàng, chỉ một số ít các công trình sử dụng mô hình cầu
thang xoắn nhưng cũng chỉ với kích thước nhỏ. Cầu thang xoắn đầu tiên đã được
xây dựng vào năm 1908 được thiết kế như một cấu kiện chịu xoắn [18]. Các
phương pháp tính toán đã được phát triển bỡi các tác giả khác nhau chỉ ra rằng
đây là một cấu kiện chịu cả uốn lẫn xoắn . …
Từ những thập niên 50 – 60 trở về sau này, đã có nhiều công trình nghiên
cứu cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm về mô hình thang xoắn. Holmes[1], đã đề
nghị phương trình tổng quát và nghiệm giải tích trong trường hợp tải trọng đối
xứng, phân bố đều trên chiều dài trên thanh xoắn trụ, hai đầu ngàm cố định.
Trong mô hình này tác giả dùng phương pháp lực để khảo sát bài toán và đưa ra
các kết luận quan trọng về ảnh hưởng của dạng tiết diện lên nội lực, chuyển vị.
Kết quả thu được có thể nói là chính xác, nhưng tác giả chỉ tập trung khảo sát một
vài trường hợp cụ thể nên tính tổng quát chưa cao. A. S. Arya, et al [9]. Cohen, S.
Jacques [10],Bergaman, Victor [11]…. nghiên cứu mô hình cầu thang xoắn bê
tông cốt thép, chịu tải trọng phân bố đều theo chiều dài bằng thực nghiệm.
Scordelis [2] xác định các phương trình tổng quát cho cầu thang xoắn ốc có chiếu

nghỉ ở giữa với điều kiện biên là ngàm cố định v.v… Có thể nói rằng những
nghiên cứu này là nền tảng cơ sở cho nhiều công trình nghiên cứu tiếp theo của
nhiều tác giả khác.
Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, đã tạo điều kiện giải
quyết nhiều bài toán cụ thể trong từng lónh vực chuyên môn, đi sâu vào những
vấn đề đặc thù; mặt khác, lại mở ra khả năng tổng hợp, nhìn nhận vấn đề từ
những khía cạnh tổng quát hơn, rộng rãi hơn. Các phương pháp số, phương pháp
phần tử hữu hạn ra đời và ngày càng được hoàn thiện hơn nữa về mặt lý thuyết,
cộng với sự phát triển không ngừng của công nghệ máy tính đã tạo ra công cụ
vạn năng giải quyết hàng loạt các bài toán kỹ thuật phức tạp trong nhiều lónh vực
kỹ thuật khác nhau. Xuất phát từ các phương pháp hiện đại trên cụ thể là phương
pháp phần tử hữu hạn ( FEM ), Fardis và nhóm tác giả [3] giới thiệu ma trận độ
cứng mà ảnh hưởng rất nhiều đến độ cứng theo phương ngang của kết cấu qua


4

các thông số: chiều cao tầng, độ dốc, góc mở trên mặt bằng, bề rộng và chiều cao
của tiết diện. Banan và nhóm cộng tác [4] đã thiết lập công thức phần tử hữu hạn
cho dầm cong không gian và vòm theo hướng nghiên cứu thiên về đàn hồi ứng
dụng. Saleep, Chang [12] đã đề nghị công thức xác định ma trận độ cứng cho
thanh cong phẳng theo lý thuyết dầm Timoshenco. Ứng dụng phương pháp phần
tử hữu hạn, tập thể các nhà nghiên cứu Thổ Nhó Kỳ (Turkey) A. Y. Akoz et al
[5]– khảo sát bài toán tổng quát cho thanh ba chiều bằng mô hình hỗn hợp.
Trong phần nghiên cứu này, các đại lượng chưa biết: Nội lực, chuyển vị, biến
dạng là biến của một phiếm hàm I(y), kết quả tìm được theo phương pháp toán tử
vi phân Gâteaux ( Gâteaux differential method) .
Lee [13] biểu diễn ma trận độ cứng phần tử của thanh cong ba chiều bằng
cách kết hợp lần lượt các ma trận độ cứng phần tử theo hai phương: trong mặt
phẳng uốn và thẳng góc với mặt phẳng uốn. Cũng từ mô hình cân bằng, Yamada

và Ezama [7] đã thu được ma trận độ mềm (flexibility matrix) của thanh cong
phẳng chịu tác dụng bởi tải trọng nằm trong mặt phẳng quán tính chính bằng việc
giải hệ phương trình vi phân chủ đạo. Shi và Voyiadjis [8] đã biểu diễn dạng gần
đúng ma trận độ cứng phần tử của kết cấu dạng vòm có kể đến cả biến dạng dọc
trục và biến dạng do lực cắt. Cũng việc xác định ma trận độ cứng phần tử, nhưng
theo hướng khác, Palaninathan và Chandrasekhavan [6] dùng lý thuyết dầm
Timoshenco và lý thuyết biến phân về năng lượng Castigliano dẫn đến biểu thức
ma trận độ cứng phần tử cho thanh cong phẳng. Wang, Merrill [19] cũng đưa ra
công thức xác định ma trận độ cứng phần tử ở dạng tích phân của các phần tử có
dạng cycloidal, elliptical …. Gần đây Haktanir và Kiral [14] nghiên cứu ứng xử
tónh học của kết cấu xoắn trụ bằng phương pháp ma trận chuyển tiếp (transfer
matrix method). Trong phương pháp này, các tác giả cũng đã xây dựng mô hình
cho thanh cong ba chiều, các lý thuyết liên quan cũng như phương pháp giải. Ma
trận độ cứng và ma trận chuyển tiếp phần tử thanh cong dạng xoắn ốc có tiết diện
không đổi thu được dưới dạng số với độ chính xác như mong muốn có kể đến ảnh
hưởng của biến dạng dọc trục và biến dạng do lực cắt gây ra. Mặt dù ẩn số là ít
nhất, nhưng phương pháp này không thích hợp cho việc lập trình tính toán trên
máy tính …
Đa số các bài toán đưa ra đều có một đặc điểm chung là cùng xuất phát từ
một mô hình nghiên cứu, từ đó đưa ra hệ phương trình vi phân cân bằng chủ đạo,
quy định ứng xử tónh học, hay động học của thanh cong ba chiều. Điểm khác
nhau ở đây là việc giải hệ phương trình vi phân này để tìm ma trận độ cứng (hoặc
độ mềm) phần tử theo ý nghóa cơ học. Phần lớn các kết quả tìm ra đều giới hạn ở
mô hình thanh cong phẳng với nghiệm ở dạng giải tích vì số ẩn ít. Với mô hình
thanh cong ba chiều (12 bậc tự do), việc giải hệ 12 phương trình vi phân để tìm


5

nghiệm giải tích là điều không dễ dàng. Tuy nhiên, đây cũng là một hướng

nghiên cứu khá hấp dẫn và thú vị. Do đó giải pháp hiện tại là khảo sát dưới dạng
số hay còn gọi là phương pháp số (numerical methods) là công cụ phát triển khá
mạnh ngày nay. Một số các tác giả khác lại khảo sát bài toán theo phương pháp
năng lượng, dựa trên cơ sở của nguyên lý biến phân của một phiếm hàm…. Hướng
nghiên cứu này khá tổng quát nhưng nhìn chung khá phức tạp và khó áp dụng.
Việc nghiên cứu sự làm việc của kết cấu dạng thanh cong ba chiều ở nước
ta chưa nhiều [18], chỉ giới hạn ở các mô hình đơn giản của sức bền vật liệu hoặc
đàn hồi ứng dụng. Do đó việc phân tích, tính toán, áp dụng các ngôn ngữ lập trình
hiện tại ngày nay để giải quyết bài toán là một việc hết sức cần thiết. Qua việc
nghiên cứu này có thể cho ta thấy rõ hơn ứng xử tổng thể của toàn bộ kết cấu
cũng như việc tính toán khả năng chịu lực và việc phân tích tính ổn định của
chúng một cách dễ dàng.


6

CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN THANH CONG
XOẮN TRỤ KHÔNG GIAN
( HELICOIDAL STRUCTURES )
2.1. Giới thiệu chung:
Như đã trình bày ở phần tổng quan, ứng xử của kết cấu dạng xoắn trụ nói
riêng hay mô hình thanh cong ba chiều nói chung đã được nghiên cứu khá chi
tiết ở dạng giải tích và ở dạng số. Cũng bắt đầu từ việc xuất phát từ mô hình
nghiên cứu chung của nhiều tác giả, xét sự cân bằng của phân tố thanh để đưa ra
hệ phương trình vi phân chủ đạo (Governing equations). Vận dụng ý nghóa cơ học
của ma trận độ cứng, người thực hiện dùng phương pháp hàm thuần nhất
( Complementary function method: CFM ), thiết lập ma trận độ cứng phần tử
dưới dạng số ( numerical forms ). Từ ma trận độ cứng này, các bước tiếp theo
cũng được tiến hành tương tự như trong phương pháp phần tử hữu hạn. Toàn bộ
quá trình tính toán được lập trình hoá bằng ngôn ngữ MatLab 6.5, một ngôn ngữ

lập trình khá mạnh hiện nay. Để thấy rõ ứng xử của kết cấu, các thông số về độ
dốc, bán kính cong, kích thước tiết diện được thay đổi để thấy mức độ ảnh hưởng
của chúng lên nội lực, chuyển vị v.v… Và để chứng minh độ tin cậy của mô hình,
các số liệu tìm ra được so sánh với các phương pháp của nhiều tác giả khác, và so
sánh với phần mềm hiện tại là Sap2000 v.v… Như đã trình bày ở phần mở đầu,
trong các phần mềm ứng dụng phương pháp tính toán phần tử hữu hạn ( FEM ),
cách đơn giản nhất để mô tả thanh cong là xấp xỉ trục cong của thanh thành nhiều
đoạn thẳng nhỏ nối lại với nhau. Để cho phép sai số liên quan tới sự xấp xỉ hình
học và để thu được kết quả gần với kết quả chính xác thì số lượng phần tử phải
tăng lên. Điều này đồng nghóa với sự tiệm cận của đường cong gãy khúc đến
đường cong thật. Về mặt hình học, một cách cảm tính có thể coi rằng kết quả sẽ
dần đến giá trị chính xác. Nhưng xét về phương pháp tính, điều này kéo theo sự
tăng về dữ liệu đầu vào ( input data ), khối lượng tính toán cồng kềnh, tốn thời
gian và có thể vấp phải sai số tích lũy. Nhược điểm chính này khẳng định lại một
điều rằng: phải xuất phát từ cấu trúc hình học thật của thanh, có nghóa là phải đưa
vào các thông số điển hình như độ cong, độ xoắn …
2.2. Các lý thuyết áp dụng liên quan đến việc giải quyết bài toán
2.2.1 Hình học vi phân trong không gian
2.2.1.1 Phương trình đường cong trong không gian:[38]
Mọi đường cong trong không gian đều có thể xem như tốc đồ của
 
một hàm vector OM = r ( t ) theo một cực điểm O nào đó

Thành phần của r ( t ) trên ba trục tọa độ :


7

 x = x(t )


 y = y (t )
 z = z (t )


( 2.1 )

( 2.1 ) coù thể xem là phương trình tham số của đường cong.
Vi phân cung là
( 2.2 )
ds = [ x' (t )]2 + [ y ' (t )]2 + [ z ' (t )]2 dt
Và độ dài cung AB sẽ là:
bo

l AB =

∫

[ x ' ( t )]2 + [ y' ( t )]2 + [z' ( t )]2 dt

( 2.3 )

ao

Trong đó a o , b o là trị số của tham số t ứng với hai mút, a o < b o .
Nếu gọi cung IM = s là hoành độ cong của một điểm M trên đường
cong theo một gốc hoành độ cong I tuỳ ý nào đó thì:
t

IM =

∫

[ x ' ( t )] 2 + [ y' ( t )] 2 + [z' ( t )]2 dt = s(t)

( 2.4 )

to

Trong đó: t o và t là trị số của tham số ứng với I và M
Nếu dùng s ( là tọa độ tự nhiên : generalized coodinate ) là tham số
chạy thay cho t thì ta có phương trình tự hàm của đường cong là:
 x = x( s )

 y = y(s)
 z = z (s)


( 2.5 )

2.2.1.2. Phương trình biểu diễn đường đinh ốc trụ tròn xoay: [38]
z

O
x

M

y

P

Hình 2.1
Hình chiếu vuông góc của điểm M (x,y,z) bất kỳ trên đường cong đều
nằm trên đường tròn tâm O bán kính a. Gọi P là hình chiếu của điểm M ta có
phương trình vector sau:




( 2.6 )
r = OM = OP + PM
Chiếu lên ba trục của hệ tọa độ Oxyz, phương trình ( 2.6 ) được viết
dưới dạng tọa độ như sau:


8

x = a. cos(φ)

 y = a. sin(φ)
z = hφ


Trong đó:

(2.7)

φ : là góc quay trên mặt bằng tính từ trục Ox (gốc)

α : là góc dốc của đường xoắn trụ, tính bằng radian

h : là độ dốc ứng với goá quay đơn vị, tính bằng radian
Liên hệ giữa độ dốc h và góc dốc α theo biểu thức sau:
tan(α) =

dz
h
=
dφ .a a

(2.8)

Từ các thông số hình học đã biết của đường xoắn trụ, ta có các quan hệ
sau:
c=

(2.9 )

a2 + h2
h
sinα =
c
a
cosα =
c

(2.10 )
(2.11)

Thay (2.7), (2.8), (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.2) ta được công thức tính độ dài vi
phân của một cung:

ds = a 2 + h 2 . d ỵ = c dỵ
(2.12)
2.2.1.3 Heọ truùc toùa ủoọ:[36]
k
b
n

t
j

i

Hỡnh 2.2
Treõn hình vẽ ta khảo sát hai hệ trục tọa độ:
* Hệ trục tọa độ di động ( local coordinate system ): gắn trên đường cong
(t,n,b)
Trong đó:

t : là vector tiếp tuyến với đường cong (tangential vector)

n : là vector pháp tuyến với đường cong (normal vector)

b : là vector trùng pháp tuyến với đường cong (binormal vector)
 
( n , b ) : nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường cong tại điểm khảo
sát gọi là mặt phẳng pháp dieän.


9

 

( t , b ): là mặt phẳng trực dọc.
 
là mặt phẳng mật tiếp
( t , n ):
  
t , n , b : lần lượt lập thành một tam diện thuận
  
* Hệ toạ độ cố định : ( i , j , k ) hay còn gọi là hệ toạ độ tổng thể (global
co- ordinate system)
Liên hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau :
 a
 h 
a

 t = −( c . sin φ) i + ( c . cos φ) j + c .k
 


n
=
−
cos
φ
.
i
−
sin
φ

.
j


 h
 a 
h
b = ( sin φ) i − ( cos φ) j + .k

b
c
c

Ta có thể biểu diễn dướ
i dạng ma trận:
  
  T
( t , n, b) = [B]( i , j, k )

Trong đó:

 a
− c sin φ

− cos φ
[B] = 
h
 sin φ
c

a
cos φ
c
− sin φ
h
− cos φ
c

( 2.13 )

( 2.14 )
h
c

0
a

c

( 2.15 )

[B] gọi là ma trận chuyển trục tọa độ
2.2.1.4. Các liên hệ hình học vi phân: [36]
Từ các liên hệ vi phân ta có:
 dr
;
t=
ds

Trong ñoù:


dt

n = ds ;
dt
ds

  
b = t xn





r = x. i + y. j + z.k

( 2.16 )

(2.17)

laø vector xác định vị trí của một điểm trên đường cong
Công thức Frenet – Secret [36]

dt

 ds = χ.n
 
 
 dn

 = −χ t + τb
 ds
 db

 = −τ.n
 ds

χ ,τ : lần lượt là độ cong và độ xoắn của đường xoắn trụ

( 2.18 )


10

χ=

a
h
h
a
; τ= 2 = 2
= 2
2
2
c
a +h
c
a + h2

( 2.19 )

Đối với đường xoắn trụ phải (xoay theo chiều tiến của đinh ốc):
χ > 0, τ > 0 .
Khi s tăng, điểm M chuyển động theo đường cong ( C ), lúc đó:
- Tiếp tuyến quay quanh vị trí tức thời của b với vận tốc góc dương χ (độ
cong của (C) tại M)

- Véc tơ trùng pháp tuyến b (bi-normal vector) quay quanh vị trí tức thời

của t với vận tốc góc τ ( Độ xoắn của đường cong (C) tại M ). τ >0 nếu dạng
đường cong làm nhớ lại đường xoắn ốc thuận.
- Tam diện quay như một vật thể rắn quanh trục tức thời, hướng của trục
đó được xác định bởi vector Darbu. 


( 2.20 )
D = τ. t + χ.b
với vận tốc dương:

( 2.21 ). ( Độ cong toàn phần của đường
D = τ2 + χ2
cong ( C ) tại M )
2.2.2. Một số vấn đề về phương pháp tính:
Nhiều bài toán kỹ thuật thường dẫn đến việc giải quyết một hệ phương
trình vi phân thường ( ODE ) tuyến tính có hệ số thay đổi hoặc không đổi
Hệ phương trình vi phân cấp 1, tuyến tính có dạng chính tắc sau :
 y '1 = f1 (t , y1 , y 2, ........ y n )

 y ' 2 = f 2 (t , y1 , y 2, ........ y n )


 y '3 = f 3 (t , y1 , y 2 , ........ y n )
........................................

 y ' n = f n (t , y1 , y 2 ,......... y n )

( 2.22 )

Trong đó t là biến độc lập và y 1 , y 2 , ……y n là các hàm phải tìm
2.2.2.1. Cơ sở lý thuyết về hệ phương trình vi phân bậc nhất tuyến tính:
Hệ phương trình vi phân bậc nhất tuyến tính có dạng:
 y '1 = a11 (t ) y1 + a12 (t ) y 2 + ........ + a1n (t ) y n + f1 (t )
 y ' = a (t ) y + a (t ) y + ....... + a (t ) y + f (t )
 2
21
1
22
2
2n
2
n

........................................................................
 y ' = a (t ) y + a (t ) y + ....... + a (t ) y + f (t )
1
2
n1
n2
nn
n
n

 n

( 2.23 )


11

Đặt:
 y1 (t ) 
f 1 ( t ) 
a 11 ( t ).............a 1n ( t ) 
 y (t ) 
.


.
 2 




 ; f ( t ) = .
y (t ) = .....  ; A( t ) = .





.... 
.


.




a n1 ( t ).............a nn ( t )
f n ( t )
 y n (t )

( 2.24 )

Ta có thể viết lại ( 2.23 ) dưới dạng ma trận :

{y' ( t )} = [A( t )]{y( t )} + {f ( t )}

( 2.25)
Hệ phương trình ( 2.25 ) là hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
nếu { f (t )} = {0} , hoặc là hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất nếu
{f ( t )} ≠ {0}.
Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm :
Nếu các haøm f 1 (t, y 1 , y 2 , …y n ),…. f n (t, y 1 , y 2 ,…y n ) liên tục trong một miền
nào đó chứa điểm (t 0 , y 10 , y 20 ,... y n0 ) thì tồn tại một nghiệm y 1 = y 1 (t), y 2 = y 2 (t)…..y n
= y n (t) của hệ (23), (25), nghiệm ấy thoả mãn các điều kiện:
y 1 (t 0 ) = y10 , y 2 ( t 0 ) = y 02 ,...., y n ( t ) = y 0n

(2.26)

Trong đó t 0 , y10 , y 20 ,.... y n0 là những số cho trước (initial_value). Nếu ngoài ra các
đạo hàm riêng

∂f i
; i = 1,2,….n; j = 1,2,….n, đều liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất
∂y j

[22], [23]
Nghiệm tổng quát của hệ phương trình không thuần nhất (25) bằng tổng
của nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất tương ứng với một
nghiệm nào đó của phương trình không thuần nhất:
( 2.27 )
y(t) = C m . {U m ( t )}+ {V( t )}
Trong đó:
C m . {U m ( t )} là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất .

{V( t )} là một nghiệm riêng tương ứng của hệ không thuần nhất .
Việc tìm nghiệm tổng quát của hệ ( 2.25 ) dưới dạng giải tích dễ dàng nếu
như số phưưng trình trong hệ là ít. Trái lại, nếu như số phương trình trong hệ là
nhiều (12 phương trình vi phân chẳng hạn) thì việc tìm mghiệm ở dạng giải tích
gặp nhiều khó khăn. Các phương pháp giải chính xác cho ta công thức gọn biểu
thị lời giải của bài toán, rất tiện để nghiên cứu gần đúng định tính các quá trình
hoặc hiện tượng vật lý tương ứng. Nhưng phạm vi những bài toán giải được theo
hướng này rất hẹp, đòi hỏi phải có kiến thức nhất định về toán giải tích, hàm biến
phức, lý thuyết hàm v.v… Khó có thể vận dụng đối với những người làm công taùc


12

kỹ thuật. Nhiều trường hợp khi sử dụng vào kỹ thuật cũng phải tính gần đúng. Do
những hạn chế đã nêu ra ở trên, nên hướng giải gần đúng ngày càng phát triển,
đặc biệt từ khi xuất hiện máy tính điện tử.

Có nhiều phương hướng giải gần đúng phương trình vi phân: cụ thể như
các phương pháp Euler, Runghe – Kutta, Adams,… áp dụng đối với những bài
toán giá trị đầu (intial_value problems). Phương pháp sai phân, sai phân kết hợp
phương pháp lặp v.v… áp dụng cho bài toán biên trị (boundary_value problems).
Trong bài toán giá trị đầu, phương pháp Runghe_Kutta tỏ ra hiệu quả và độ chính
xác khá cao.
2.2.2.2 : Các phương pháp số giải hệ phương trình vi phân
a). Phương pháp Runghe – Kutta :
Phương pháp này đã được Runghe sử dụng vào năm 1894 và được Kutta
khai triển ít năm sau. Đây là một trong những phương pháp rất phổ biến và thích
hợp khi phải tính các đạo hàm cấp cao, phức tạp. Ta có thể dùng phương pháp số
này để giải mọi phương trình vi phân ở mọi bậc. Lý do là ta có thể đưa về hệ
phương trình vi phân cấp 1. Ưu điểm chính của phương pháp này là chỉ cần bước
h đủ nhỏ là độ chính xác như mong muốn có thể đạt được.
Ngoài ra đây là phương pháp bước đơn, để tính y n+1 chỉ cần biết đến (x n ,
y n ); nó phù hợp với chuỗi Taylor ở hp (h là bước nhảy), p được coi là bậc của
phương pháp. Một đặc điểm nữa là trong thuật toán này, ta không cần tính f’(x, y)
mà chỉ cần tính f (x, y)
Trong thực tế, người ta hay dùng công thức Runghe_Kutta bậc 4, 5 vì nó
có độ chính xác cao. Để áp dụng phương pháp Runghe_Kutta, người ta xuất phát
từ giá trị đầu y x0 = y 0 , rồi dùng công thức R-K 4, 5, để tính ra y 1 và sau đó tính ra
y 2 , y 3 ,…y n tại x 1 , x 2 ,…x n
Công thức Runghe_Kutta baäc 4 ( fourth_order R-K ),[22]
y i+1 = y i +
)

1
(k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ).h
6

( 2.28

Trong đó:
k 1 = f (t i , y i )
1
1
2
2
1
1
k 3 = f ( t i + h, y i + k 2 h)
2
2

k 2 = f ( t i + h, y i + k1 h)

k 4 = f (t i + h, y i + k 3 h)
Công thức Runghe-Kutta bậc 5 (fifth_order R-K), [22]
y i+1 = y i +

1
(7 k1 + 32k 3 + 12k 4 + 32k 5 + 7 k 6 ).h
90

( 2.29 )


13

Trong đó:

k 1 = f (t i , y i )
1
h,
4
1
k 3 = f (t i + h,
4
1
k 4 = f (t i + h,
2
3
k 5 = f (t i + h,
4

1
k1 h ) .
4
1
1
y i + k1 h + k 2 h )
8
8
1
y i − k 2 h + k 3 h)
2
3
9
y i + k1 h + k 4 h )
16
16

3
2
12
12
8
k 6 = f (x i + h i y i - k1 h + k 2 h + k 3 h − k 4 h + k 5 h)
7
7
7
7
7

k 2 = f (t i +

yi +

b). Phương pháp hàm thuần nhất

(Complementary_functions method)

:[26]

Trong nhiều bài toán kỹ thuật, thường dẫn đến bài toán biên trị, ví dụ như
bài toán biên trị hai điểm (two_points boundary value problems). Đối với bài
toán biên trị, phương pháp sai phân đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, để áp
dụng phương pháp Runghe_kutta. Ta phải chuyển bài toán biên trị về bài toán
giá trị đầu, đó là cơ sở của phương pháp hàm thuần nhất ( CFM ).
Ta viết lại (25) dưới dạng:
Y’(t) = A(t).Y(t) + F(t)
( 2.30 )

Loại bỏ tác dụng của hàm lực F(t) ta thu được hệ phương trình vi phân
thuần nhất:
U’(t) = A(t).U(t)
( 2.31 )
Giả sử rằng, các điều kiện biên được cho tại điểm đầu và điểm cuối. Ví dụ
như giá trị y i được cho tại điểm t = 0 và t = T chẳng hạn. Hệ phương trình vi phân
thuần nhất (31) được tích phân (n-r) lần từ 0 đến T dùng các điều kiện ban đầu
sau:
i≠r+m
 m U i (0) = 0
( 2.32 )

U
1
i
r
m
=
=
+
 m r+m
Trong đó m U i ( t ) là thành phần thứ i trong lần tích phân thứ m.

Một nghiệm riêng được xác định từ phương trình vi phân không thuần nhất
( 2.30 ). Ta viết lại phương trình ( 2.30 ) dưới dạng:
V(t) = A(t)V(t) + F(t)
( 2.33 )
Hệ phương trình ( 2.33 ) được tích phân một lần từ 0 đến T, dùng các điều
kiện đầu như sau:
i = 1,…, r

v i (0) = y i (0) ,
Vaø
v i (0) =0
i = r+1,…,n
( 2.34 )


14

Nghiệm tổng quát của hệ ( 2.25 ), ( 2.30 ) với các điều kiện biên ( 2.32 ), (
2.33 ) có thể được viết như sau:
y i (t) = C p P U i ( t ) + V i (t)
( 2.35 )
Trong đó: p = 1,…, n-r và i = 1,…, n
Các hệ số C p là (n-r) các hằng số bất định mà có thể được xác định từ n-r
điều kiện biên tại t = T:
y i =(T) = C p P U i ( t ) + Vik (T)
( 2.36 )
với k = 1,…, n – r
Nếu t = 0, từ phương trình ( 2.35 ) và điều kiện ( 2.32 ) ta có thể thấy rằng:
( 2.37 )
C p = y r+ p (0)
Vế phải của biểu thức ( 2.37 ) là các điều kiện biên tónh học chưa xác định
khi 6 phương trình đầu tự động triệt tiêu.
2.2.3. Bài toán thanh cong trong Cơ học Vật rắn Biến dạng :
2.2.3.1. Các giả thuyết về vật liệu:
Việc giải quyết bài toán trong cơ học vật rắn biến dạng nói chung dựa trên
các giả thuyết sau đây:
- Vật liệu có tính đồng nhất và đẳng hướng. Giả thuyết này cho phép ta
nghiên cứu tính chất cơ học của vật thể qua một phân bố vô cùng bé tưởng tượng

tách ra khỏi vật thể đó và khi tính bền chúng ta chỉ xét tại những nơi nguy hiểm
nhất.
- Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke. Biến
dạng tại mọi điểm của vật thể tỷ lệ bậc nhất với ứng suất tại điểm đó. Vật liệu
thỏa mãn giả thuyết này gọi là vật liệu đàn hối tuyến tính.
- Biến dạng của vật thể do các nguyên nhân bên ngoài gây ra rất bé
so với kích thước của chúng. Vì vậy khi vật thể chịu lực, ta có thể xem điểm đặt
của lực không đổi khi vật thể bị biến dạng. Tính chất này cùng với tính chất nói
trên cho phép khẳng định rằng:
- Nếu trên vật thể chịu áp dụng đồng thời nhiều nguyên nhân thì kết
quả là tổng kết quả do từng nguyên nhân tác dụng riêng lẻ gây ra. ( Nguyên
lý cộng tác dụng )
2.2.3.2. Mô hình dầm Euler – Bernoulli:
- Mô hình dầm Euler – Bernoulli thường được dùng khá nhiều trong các
giáo trình Sức Bền Vật Liệu. Mô hình dầm Euler – Bernoulli được xây dựng dựa
trên thừa nhận rằng mặt phẳng vuông góc với trục dầm trước biến dạng vẫn
vuông góc với trục dầm sau khi biến dạng
- Ma trận độ cứng cho thanh thẳng chịu uốn có dạng như sau :


15

12

EJ z 
[k ]e = 3
L 




6L − 12

6L 

4L2 − 6L
2L2 
12 − 6L 

symm

2 
4L 

( 2.38 )

∂v
∂x

v

Hình 2.3 ( Mô hình dầm Euler – Bernoulli )
2.2.3.3. Mô hình dầm Timoshenco do thanh thẳng chịu uốn :
Lý thuyết dầm Timoshenco kể đến biến dạng ngang do ảnh hưởng của lực
cắt. Điều này có nghóa là một tiết diện vuông góc với trục dầm trước biến dạng sẽ
không còn vuông góc với trục dầm sau biến dạng.
Đặt u z và v là dịch chuyển dọc trục và ngang của dầm. Vì biến dạng ngang
do lực cắt, góc xoay của dầm không còn là

dv

nữa. Thay vào đó, góc xoay bằng
dx

dv
− γ với γ là biến dạng ngang do lực cắt gây ra.
dx

Ma trận độ cứng phần tử do dầm Timoshenco là:

[K ]e = [K ]eb + [K ]se

Trong đó:

[K ]

b
e

[K ]se

0
EJ 
=
0
l 
0

4

αGA 2l

=
4l − 4

2l

0
1

0
0

−1

0
2l

0
− 1 
1 
−4

l
− 2l

− 2l
4

l2

− 2l

2

( 2.39 )

2l 

l2 
− 2l

l 2 

( 2.40 )


16

[K ]eb , [K ]se

lần lượt là ma trận độ cứng có kể đến biến dạng do uốn và biến
dạng do uốn và biến dạng do lực cắt gây ra.
Về mặt cơ học, phần tử K ij của ma trận độ cứng [K] biểu thị lực sinh ra ở
nút i do chuyển dịch đơn vị ở nút j khi tất cả các nút khác bị gắn cứng.
2.2.3.4. Mô hình thanh cong không gian chịu lực tổng quát:
Ở phần trên, chúng ta đã xét hai mô hình cơ sở cho thanh chịu uốn phẳng.
Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn còn xét thêm mô hình dầm hỗn hợp và
dầm hybrid, để tăng mức độ chính xác của cacù biến chính ( nội lực, chuyển vị ).
Mô hình thanh thẳng trong không gian cũng đã được khảo sát khá chi tiết. Song ở
đây ta chỉ tập trung khảo sát ứng xử của mô hình thanh cong không gian và
phương hướng lập ma trận độ cứng ( stiffness matrix ).

Trên thanh cong, xét một đoạn thanh tách ra bởi hai mặt cắt (1-1) và (2-2)


cách nhau một khoảng vô cùng bé ds, q là lực phân bố trên thanh. Gọi − T , − M
là vector hợp lực và vector moment thu gọn về trọng tâm từ trường ứng suất phân
bố trên mặt cắt ngang (1-1) thì trị số của chúng trên mặt cắt (2-2) sẽ là:
T + d T , M + d M . Vì đang xét trên đoạn ds là vô cùng bé, do đó các thành phần
nội lực chỉ sai khác với nhau một lượng vi phân d T , d M . Còn thành phần T , M
trên hai mặt cắt sẽ trực đối với nhau.

Hình 2.4 ( mô hình nghiên cứu )
Trong đó : p

( ex )

(ex )

là ngoại lực phân bố tác dụng lên thanh.

là moment phân bố tác dụng lên thanh.
Do phức tạp về mặt hình học nên quan hệ giữa nội lực và ứng suất rất khó
thiết lập. Vì vậy, ứng suất tónh học của thanh cong được giải quyết trên cơ sở
chấp nhận các giả thiết sau đây:
- Trọng tâm của mặt cắt ngang trùng với tâm trượt.
- Hệ trục ( n,b) là hệ trục quán tính chính của mặt cắt ngang.
- Bỏ qua sự vênh của mặt cắt ngang do ảnh hưởng bởi mômen xoắn
m


17

Ta phân tích nội lực lên mặt cắt ngang thành các thành phần trên hệ trục
(t , n, b)





T = Tt . t + Tn .n + Tb .b




M = M t . t + M n .n + M b .b

( 2.41 )

Trong đó:



T t : l à lực dọc trục theo phương tiếp tuyến t
 
T n , T b : là thành phần lực cắt theo hai phương n , b

M t : là thành phần moment xoắn quanh tiếp tuyến t 

M n , M b : là các thành phần moment uốn quanh trục n, b
Từ các giả thiết trên, liên hệ giữa các thành phần nội lực với thành phần
biến dạng tương ứng qua các biểu thức sau:

Tn = Cn γ n Tb = Cb γ b
Tt = Ct γ t
Mt = Dt ωt

M n = D n ωn M b = D b ωb

Trong đó :
C t : độ cứng của thanh chịu lực dọc trục .
C t = E.A
C n , C b : độ cứng khi chịu cắt .
Cn =

GA

αn

;

Cb =

GA

( 2.42 )

( 2.43 )
( 2.44 )

αb

α n , α b : hệ số hiệu chỉnh đến sự phân bố không đều của ứng suất

6
5

tiếp τ trên mặt cắt ngang. Hình chữ nhật: α = . Tiết diện tròn α =
[19].

32
. [33],
27

D t : độ cứng chống xoắn của tiết diện
( 2.45 )
D t = G.J
D n , D b : độ cứng chống uốn của mặt cắt ngang lần lượt theo các trục

 
n, b

D n = E.I n ;

D b = E.I b

( 2.46 )

Các độ cứng trên được biểu diễn theo các đại lượng.
E : mô đun đàn hồi của vật liệu
G : mô đun đàn hồi trượt
A : diện tích của mặt cắt ngang
J : moment quán tính chống xoắn (Torsonal
moment of inertia)

 
I n , I b : moment quán tính theo các trục n, b
γ (γ t , γ n , γ b ) : biến dạng dài và các thành phần theo ba trục tọa độ địa
phương


18

Ω(Ω t , Ω n , Ω b ) goùc xoay mặt cắt ngang và các thành phần theo ba

trục tọa độ địa phương .
ω(ω t , ω n , ω b ) biến dạng góc và các thành phần theo ba trục tọa độ

địa phương
Với mặt cắt ngang hình chữ nhật :


Phương trùng pháp tuyến b

h


Phương pháp tuyến n

b

A = b.h

Hình 2.5

bh 3
In =
12
hb 3
In =
12

( 2.47 )

J có thể được tính theo các công thức sau : [1],[2]
b3h3
J=
3,58(b 2 + h 2 )

hoaëc
hoaëc

bh 3 16
h
h4 
−
3
,
36
(
1
−
)

b

16  3
12b 4 
b3h3
J=
3,33(b 2 + h 2 )

J=

( 2.48 )

Trong caùc công thức trên h là cạnh nhỏ hơn của mặt cắt ngang
Từ mô hình khảo sát, trên cơ sở giả thiết: chuyển vị và biến dạng là bé, ta
có các phương trình tương thích ( Compatibility Equations ) như sau:

 dΩ 
=ω

ds
 
 
 dU + t × Ω
=γ
 ds

( 2.49 )

và các phương trình cân bằng:

 dT
( ex )

+p
=0

 ds


( ex )
 dM 
+
t
×
T
+
m
=
0
 ds

( 2.50 )

Từ các phương trình ( 2.12 ), ( 2.16 ), ( 2.17 ), ( 2.18 ), ( 2.19 ), ( 2.49 ), (
2.50 ) ta viết lại phương trình tương thích và phương trình cân bằng như sau : (
Chứng minh trong chương 3 )


19

C(φ)
 dU t a (φ)
 dφ = c(φ) .U n + C (φ) .Tt

t

 dU n
a (φ)
h (φ)
c(φ)
 dφ = − c(φ) .U t + c(φ) .U b + c(φ)Ω b + C (φ) .T n
n

 dU b
h (φ)
c(φ)
U n − c(φ)Ω n +
Tb
=−

d
c
(
)
C
φ
φ
b

 dΩ t a (φ)
c(φ)
.M t
=
Ωn +


c(φ)
D t (φ)
 dφ
 dΩ
a (φ)
h (φ)
c(φ)
.M n
Ωt +
Ωb +
 n =−
c(φ)
c(φ)
D n (φ)
 dφ
 dΩ
h (φ)
c(φ)
 b =−
.M b
Ωn +
c(φ)
D b (φ)
 dφ

 dTt = a (φ) .T −c(φ).p (φ)
t
 dφ c(φ) n


 dTn = − a (φ) + h (φ) .T − c(φ).p (φ)
b
n
 dφ
c(φ) c(φ)

h (φ )
 dTb
 dφ = − c(φ) Tn − c(φ)p b (φ)

 dM t a (φ)
 dφ = c(φ) .M n − c(φ).m t (φ)

a ( φ)
h (φ)
 dM n
 dφ = c(φ).Tb − c(φ) .M t + c(φ) .M b − c(φ)m n (φ)

 dM b
h (φ)
 d = −c(φ).Tn − c( ) .M n − c(φ).m b (φ)
φ
 φ

( 2.51 )

Nghieäm của ( 2.51 ) cho ta thấy được ứng xử của kết cấu về mặt định tính,
định lượng của các đại lượng đặc trưng cho độ bền, độ cứng và điều kiện ổn định
của kết cấu.
2.2.3.5. Khảo sát mô hình thanh cong theo phương pháp phần tử hữu hạn :

Trong phương pháp phần tử hữu hạn ( FEM ), thiếp lập ma trận độ cứng
phần tử là công việc rất quan trọng trong việc giải quyết bài toán dựa trên mô
hình tương thích ( đại lượng cần tìm là chuyển vị ).
Với mô hình khảo sát trong 2.2.3.4, tải trọng tác dụng lên phần tử chỉ giới


hạn trong trường hợp tải trọng phân bố đều ( m ex , p ex ). Khi tải trọng phân bố trên
toàn bộ chiều dài, ta có thể giải quyết trực tiếp bài toán theo phương pháp hàm
thuần nhất
( CFM ). Những phần tử thuộc dạng này là những phần tử mẫu
( sample_elements ). Trường hợp trên phần tử chịu tác dụng của tải tập trung
hoặc xuầt hiện những gối tực trung gian, trên biểu đồ nội lực hoặc chuyển vị sẽ


20

xuất hiện những điểm gãy khúc hoặc những điểm bất liên tục trên đồ thị. Chỉ
riêng phương pháp hàm thuần nhất thì không thể giải bài toán trong những trường
hợp như vậy. Điều tất yếu ở đây là sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc
hóa kết cấu thành những phần tử mẫu, và các điểm nút là vị trí của tải tập trung.
Trong các bài toán của Cơ học Vật rắn biến dạng được khảo sát bằng
phương pháp phần tử hữu hạn, Ứng xử tónh học của hệ đàn hồi tuyến tính được
quy định bỡi phương trình sau: [14], [16], [5], [27], [28], [29], [30]
( 2.52 )
[K ].{d} = {P}
Trong đó :
[K ] : là ma trận độ cứng của hệ .
{P} : là véc tơ tải của hệ.
{d} : là vec tơ chứa các chuyển vị nút của hệ.
Giải hệ phương trình ( 2.52 ), chuyển vị nút {d}e được thay vào phương

trình sau để xác định nội lực trong từng phần tử :

{p} = [K ]e .{d}e + {f }e

( 2.53 )

[K] e : ma trận độ cứng phần tử
{d }e : vector chuyển vị nút phần tử

{ f }e : nội lực do tải trọng gây ra trên phần tử mẫu

a). Xác định ma trận độ cứng phần tử (element stiffness matrix):[14],
[15], [30]

Hình 2.6
Gọi i là điểm đầu củaphần tử, j là điểm cuối của phần tử, chuyển vị tại hai
đầu thanh là:



{d}Te = U(φ i ), Ω(φ i ), U(φ j ), Ω(φ j )
( 2.54 )

{

và thành phần nội lực tại hai đầu là:

{p}T

{

}

}





= T(φ i ), M (φ i ), T (φ j ), M (φ j )

( 2.55 )