Luận án Tiến sĩ Vật lý: Xây dựng và khảo sát mô hình khối lượng neutrino với đối xứng vị A4 bằng phương pháp nhiễu loạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ
-----------------------------

PHÍ QUANG VĂN

XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MƠ HÌNH
KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A4
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ
-----------------------------

PHÍ QUANG VĂN

XÂY DỰNG VÀ KHẢO SÁT MƠ HÌNH
KHỐI LƯỢNG NEUTRINO VỚI ĐỐI XỨNG VỊ A4

BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN

LUẬN ÁN TIẾN SỸ VẬT LÝ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 62 44 01 03

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Anh Kỳ

Hà Nội – 2017


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc nhất tới thầy Nguyễn Anh
Kỳ, người đã tận tình hướng dẫn, định hướng, dìu dắt, giúp đỡ tôi trên con đường
nghiên cứu khoa học cũng như tác phong làm việc nghiêm túc và không biết mệt
mỏi của Thầy trong thời gian hướng dẫn tôi làm nghiên cứu sinh và hoàn thành
luận án tiến sĩ này.
Luận án cũng khơng thể được hồn thành nếu thiếu sự giúp đỡ nhiệt thành
và phong cách làm việc chuyên nghiệp của TS. Nguyễn Thị Hồng Vân, TS. Đinh
Nguyên Dinh trong việc trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm, cùng những buổi sinh hoạt
nhóm, thảo luận chun mơn dài bất tận, có thể nói tơi đã học được rất nhiều điều
từ đây, với những gì đã nhận được tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới họ.
Môi trường và điều kiện học tập, nghiên cứu rất tốt tại cơ sở đào tạo cũng góp
phần khơng nhỏ trong việc hình thành kỹ năng làm việc và kết quả nghiên cứu
luận án của tôi. Qua đây tôi xin gửi lời cảm ơn đến nơi tôi được đào tạo, nghiên cứu
là Viện Vật lý và Học viên Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam.
Nhân đây, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Kỹ thuật
- Hậu cần CAND cùng các đồng nghiệp nơi tôi công tác đã giúp đỡ, động viên, hỗ
trợ và tạo nhiều điều kiện tốt nhất về công tác cho tơi trong thời gian làm nghiên

cứu sinh và hồn thành luận án này.
Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến chương trình học bổng thuộc Đề án 911, Quỹ phát
triển khoa học và công nghệ Quốc gia (Nafosted) theo đề tài số 103.03-2012.49 và
quỹ học bổng Odon Vallet thuộc Tổ chức Gặp gỡ Việt Nam đã hỗ trợ một phần kinh
phí cho tơi trong thời gian làm nghiên cứu sinh.
Và trên hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới bố mẹ, gia đình nhỏ, anh chị và bạn bè
những người đã hết sức ủng hộ, động viên về mọi mặt để tơi vững tin hồn thành
luận án này.
Hà Nội, Mùa Thu 2016

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan kết quả luận án "Xây dựng và khảo sát mơ hình khối lượng
neutrino với đối xứng vị A4 bằng phương pháp nhiễu loạn" là kết quả nghiên cứu
của bản thân cùng sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn và sự hợp tác của nhóm
nghiên cứu. Kết quả luận án là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các
luận án và cơng trình đã có.
Hà Nội, 26-09-2016

ii


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

Mở đầu

2

1 Mơ hình chuẩn và vấn đề khối lượng neutrino

11

1.1 Mơ hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.1.1 Cấu trúc gauge của mơ hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.2 Phá vỡ đối xứng tự phát. Cơ chế Higgs . . . . . . . . . . . . . .

14

1.1.3 Tương tác Yukawa và khối lượng các fermion . . . . . . . . . .

16

1.1.4 Các dòng tương tác điện yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2 Khối lượng và chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.1 Số hạng khối lượng Dirac và Majorana . . . . . . . . . . . . . .

20

1.2.2 Ma trận trộn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.2.3 Cơ chế cầu bập bênh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.4 Chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1.2.5 Khối lượng neutrino trong một số mở rộng mô hình chuẩn . .

36

(1)

2 Khối lượng và chuyển hố neutrino trong mơ hình A4

2.1 Biểu diễn của nhóm A4 và các mơ hình A4 . . . . . . . . . . . . . . . .
(1)

2.2 Mơ hình chuẩn mở rộng A4

44
45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3 Phần vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.4 Phần lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.5 Khối lượng và trộn neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.6 Pha Dirac vi phạm CP và tham số Jarlskog . . . . . . . . . . . . . . .

62

iii


MỤC LỤC

MỤC LỤC
(10)

3 Khối lượng và chuyển hoá neutrino trong mơ hình A4
(10)

3.1 Mơ hình chuẩn mở rộng A4

68

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

3.2 Phần vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.3 Phần lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.4 Khối lượng và chuyển hoá neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.5 Nhận xét và so sánh sơ lược giữa hai mơ hình . . . . . . . . . . . . . .

87

Kết luận

89

Danh mục các cơng trình đã cơng bố

91

A Chéo hoá ma trận khối lượng neutrino

92

B Biểu diễn của nhóm A4

95

C Biểu thức khai triển nhiễu loạn

101

Tài liệu tham khảo

105

iv


Danh sách hình vẽ
1

Nguồn neutrino mặt trời [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Nguồn neutrino khí quyển (do tia vũ trụ bắn phá hạt nhân ở bầu khí

4

quyển) [13] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1 Đồ thị mô tả dạng thế Higgs [97] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2 Góc trộn neutrino biểu diễn theo góc Euler liên hệ gữa cơ sở trạng
thái riêng và trạng thái khối lượng [109]. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cơ chế cầu bập bênh

25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.4 Khối lượng neutrino hiệu dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5 Cơ chế seesaw I, III (hình trái), seesaw II (hình phải) . . . . . . . . .

28

1.6 Cơ chế seesaw I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.7 Cơ chế seesaw II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.8 Cơ chế seesaw III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

1.9 Các hướng để xây dựng mơ hình vật lý nghiên cứu về neutrino.

37

. . .

2.1 Trường thành phần trong mơ hình chuẩn với đối xứng vị A4 × ZN [109]. 48
2.2 Phân bố của δCP trong trường hợp NO. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.3 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp NO. . . . . . . . . . .

64

2.4 Phân bố của δCP trong trường hợp IO. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.5 Sự phụ thuộc δCP theo sin2 θ13 trong trường hợp IO. . . . . . . . . . . .

64

2.6 Phân bố của JCP trong trường hợp NO và IO. . . . . . . . . . . . . . .

66

3.1 Neutrino hiệu dụng trong cơ chế see-saw I. . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2 Cơ chế see-saw I với đối xứng vị A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3.3 Khối lượng hiệu dụng | mee | là hàm của khối lượng neutrino; đồ thị
(hình trái) thu được bởi (3.72) với θij ∈ 3σ và δ, α21 , α31 ∈ [0, 2π], đồ thị
(hình phải) từ [6]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

82


DANH SÁCH HÌNH VẼ

DANH SÁCH HÌNH VẼ

3.4 JCP là hàm của θ13 (hình trái) và là hàm của δCP (hình phải) với các
góc trộn θij ∈ 3σ và pha δCP ∈ [0, 2π]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

3.5 Phân bố của δCP trong NO (hình trái) và IO (hình phải) với 2 nghiệm
phân biệt tương ứng với màu đỏ và xanh . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

3.6 Sự liên hệ giữa δCP và θ13 trong NO (hình trái) và IO (hình phải), ở
vùng 1σ, 2σ and 3σ tương ứng với màu đỏ, xanh lá cây và xanh da trời. 85
3.7 Phân bố của JCP trong NO và IO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.8 JCP là hàm của θ13 trong NO (hình trái) và IO (phải phải) . . . . . . .

86

B.1 A4 là nhóm đối xứng của hình tứ diện đều. . . . . . . . . . . . . . . . .

95

vi


Danh sách bảng
1.1 Một số nhóm gián đoạn được sử dụng trong việc mở rộng mơ hình
chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.1 Các phiên bản mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 . . . . . . .

47

2.2 Các trường lepton và vô hướng với nhóm biến đổi A4 , Z3 , Z4 . . . . . . .

49

2.3 Dữ liệu thực nghiệm của trường hợp NO và IO [6, 7]. . . . . . . . . . .

61

2.4 Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của

(1)

mơ hình A4 .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

(10)

. . . . . . . . . . . . . . .

69

3.2 Thang khối lượng của mơ hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.1 Mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4

3.3 Giá trị trung bình của δCP và |JCP | trong trường hợp NO và IO của
(10)

mơ hình A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

B.1 Lớp liên hợp của A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

1


Mở đầu
Giới thiệu về neutrino
Neutrino là hạt fermion có spin 1/2, trung hồ điện và có khối lượng rất nhỏ. Nó là
hạt cơ bản rất đặt biệt và khó ghi nhận do tương tác rất yếu với vật chất, chỉ tương
tác thông qua lực yếu và hấp dẫn, nhưng lại là loại hạt có rất nhiều trong vũ trụ.
Neutrino có 3 loại: neutrino electron (νe ), neutrino muon (νµ ) và neutrino tau (ντ ),
mật độ trung bình của neutrino trong vũ trụ là nν ≈ 336 cm−3 , trong thiên hà của
chúng ta mật độ có thể lớn hơn do các phản ứng hạt nhân. Neutrino nguyên thuỷ
được tạo ra từ khoảng 13 tỉ năm trước, thời kỳ đầu sau Vụ nổ lớn (bigbang), thời kỳ
này vũ trụ là nóng, đậm đặc bao gồm các hạt cơ bản và neutrino. Nó được sinh ra từ
nhiều nguồn như: mặt trời, khí quyển trái đất, lị phản ứng hạt nhân, supernova,
bigbang [1–5]...
Kể từ khi được phát hiện, neutrino đóng vai trị rất quan trọng trong vật lý hạt
cơ bản, vật lý thiên văn, vũ trụ học, nó cũng là mảnh ghép trọng yếu trong nhận
thức của chúng ta về vật chất và vũ trụ. Do những tính chất hết sức đặc biệt và
những hiểu biết về nó cịn hạn chế nên các vấn đề về vật lý neutrino và các đối
tượng liên quan luôn là những chủ đề được quan tâm cần phải giải quyết. Hiện nay
chúng ta chỉ mới biết neutrino là hạt có khối lượng rất nhỏ, nhưng chưa biết khối
lượng chính xác của chúng bằng bao nhiêu.
Năm 1967, ba nhà vật lý Sheldon Glashow, Abdus Salam và Steven Weinberg
đề xuất lý thuyết điện yếu. Lý thuyết này mô tả tương tác điện từ, yếu giữa các hạt
cơ bản, khi kể đến tương tác mạnh (cũng được phát triển trong thời gian này), gọi là
mơ hình chuẩn (MHC), và là lý thuyết gauge của đối xứng SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y .
Mơ hình chuẩn đã đem lại những thành công lớn trong vật lý hạt cơ bản: như tiên
đoán sự tồn tại của boson W ± , Z, dịng trung hồ, quark t và c... Tuy nhiên, ngồi
những thành cơng trên MHC cũng cịn những hạn chế chưa thể giải quyết được

như: không thống nhất được tương tác hấp dẫn, khơng giải thích được sự tồn tại

2


Mở đầu

của 3 thế hệ fermion, vấn đề phân bậc khối lượng, bất đối xứng giữa vật chất - phản
vật chất, bản chất của vật chất tối và năng lượng tối..., và vấn đề về khối lượng và
chuyển hoá neutrino.
Trong mơ hình chuẩn, neutrino là hạt có khối lượng bằng không, nhưng thực
nghiệm đã cho thấy khối lượng của neutrino khác khơng. Khối lượng này khơng thể
được giải thích bởi cơ chế sinh khối lượng-cơ chế Higgs trong mơ hình chuẩn được,
do trong mơ hình khơng có neutrino phân cực phải, số lepton bảo tồn và thực
nghiệm khơng tìm được hệ số tương tác Yukawa đủ bé ( 10−12 ) để sinh khối lượng
neutrino. Do vậy cần có cơ chế mới sinh khối lượng neutrino, một trong những cơ
chế đó là cơ chế cầu bập bênh (seesaw), cơ chế này sinh khối lượng neutrino rất bé
(< 0.2eV [6, 7]) do tỉ lệ với bình phương khối lượng neutrino Dirac ∼ 100GeV và tỉ
lệ nghịch khối lượng neutrino Majrorana phân cực phải ∼ 1015 GeV . Đây chính là
một trong những định hướng quan trọng để các nhà vật lý mở rộng mơ hình chuẩn
và cũng là hướng tiếp cận luận án này khi nghiên cứu về khối lượng và chuyển hố
neutrino thơng qua việc mở rộng mơ hình chuẩn.
Lịch sử và phát triển về nhận thức neutrino trải qua nhiều giai đoạn với sự đóng
góp khơng mệt mỏi của cộng đồng vật lý [3, 5, 8–11]. Ý tưởng về neutrino xuất hiện
lần đầu tiên trong giả thuyết của W. Pauli vào năm 1930, và có thể coi đây là dấu
mốc ra đời của vật lý neutrino. Ý tưởng này được biết đến trong nội dung lá thư mở
của W. Pauli gửi đến hội nghị Tubingen, Thuỵ sĩ ngày 4 tháng 9 năm 1930, trong đó
ơng đã giả thuyết sự tồn tại của hạt mới trung hồ có spin 1/2 và được tạo ra cùng
electron trong phân rã β. Từ thí nghiệm của C. D. Ellis và W. A. Wooster về phân
rã β, cho thấy năng lượng trung bình của electron được sinh ra trong phân rã nhỏ

hơn năng lượng giải phóng tồn phần. Do đó, để đảm bảo định luật bảo tồn năng
lượng khơng bị vi phạm thì giả thiết có sự tồn tại hạt trung hồ điện, với khối lượng
bé và có khả năng đâm xuyên lớn (lớn hơn cả photon), hạt này được gọi là neutrino
(theo tiếng Ý neutrino được ghép từ 2 từ: neutral có nghĩa là trung hồ và từ nino
có nghĩa là bé - do E. Fermi gợi ý). Thời điểm này vấn đề neutrino chưa thu hút
được sự quan tâm nhiều của giới vật lý. Nó chỉ thực sự được chú tới sau khi các hạt
neutron, muon, pions, kaons, Λ và những hạt lạ khác được phát hiện, và càng chú
ý hơn sau công trình của B. Pontecorvo (năm 1957) về chuyển hố neutrino [12].
Ý tưởng của B. Pontecorvo đã đề xuất neutino có khối lượng bé và có sự chuyển
0

hố tương tự như chuyển hoá (K 0 , K ) [13, 14]. Sự chuyển hoá cho thấy trạng thái
vị (một số tài liệu gọi là hương - flavor) và trạng thái khối lượng của neutrino là
khác nhau, chúng liên hệ với nhau bởi ma trận trộn. Ma trận trộn này được tham
số hoá bởi 3 góc trộn và 3 pha (1 pha Dirac và 2 pha Majorana) gọi là ma trận trộn

3


Mở đầu

Pontecorvo-Maki- Nakagawa-Sakata có dạng


c12 c13

s12 c13




UP M N S =  −c23 s12 − s13 s23 c12 eiδ

s23 s12 − s13 c23 c12 eiδ

c23 c12 − s13 s23 s12 eiδ
−s23 c12 − s13 c23 s12 eiδ

s13 e−iδ



1

0



s23 c13   0 eiα1 /2

0
0
c23 c13

0
0
eiα2 /2





 , (1)


ở đây, cij = cos θij , sij = sin θij , i, j = 1, 2, 3, δ là pha Dirac và α1 , α2 là pha Majorana
∈ [0, 2π]. Ma trận UP M N S khác với ma trận trộn UCKM của phần quark bởi 2 pha
Majorana, do neutrino có thể là hạt Majrorana (tức đồng nhất với phản hạt của
nó).

Hình 1: Nguồn neutrino mặt trời [13]

Hình 2: Nguồn neutrino khí quyển (do tia vũ trụ bắn phá hạt nhân ở bầu khí quyển) [13]

Hiện nay có rất nhiều thí nghiệm khảo sát sự chuyển hố neutrino như thí
nghiệm Super-Kamiokande, T2K, KamLAND (Nhật Bản), SNO (Canada), RENO
(Hàn Quốc), Double CHOOZ (Pháp), NOνA (Mỹ), Daya Bay (Trung Quốc) từ các
nguồn neutrino mặt trời, khí quyển, (minh hoạ trong hình 1, 2), lị phản ứng hạt
nhân và máy gia tốc. Các thí nghiệm này có thể xác định các đại lượng như góc trộn
4


Mở đầu
θij , pha Dirac vi phạm CP δCP và chênh lệch bình phương khối lượng ∆m2ij . Việc xác
định được các đại lượng trên có ý nghĩa rất lớn không chỉ trong vật lý hạt và vũ trụ
học mà cịn hỗ trợ trong việc xây dựng các mơ hình vật lý hiện tượng luận.

Lý do chọn đề tài
Các thí nghiệm trên đến nay đã xác định được 5 tham số neutrino gồm: 3 góc
trộn θ23 ≈ 41, 40 , θ12 ≈ 33, 70 , θ13 ≈ 8, 80 và 2 chênh lệch bình phương khối lượng
∆m212 = 7, 54.10−5 eV 2 , |∆m2 | = 2, 43.10−3 [6]. Tuy nhiên, vật lý neutrino vẫn còn
những vấn đề thực nghiệm chưa xác định được [3, 8–11] như:

• Neutrino là hạt Dirac hay Majorana?
• Phần lepton có vi phạm CP khơng? Giá trị của pha CP bằng bao nhiêu?
• Đặc trưng phổ khối lượng neutrino là gì? Phổ khối lượng là phân bậc thuận
hay phân bậc ngược?
• Giá trị khối lượng tuyệt đối neutrino bằng bao nhiêu?
• Có tồn tại neutrino trơ/lạ (sterile) không?
Để mô tả các dữ liệu đã được thực nghiệm xác định và giải quyết các thách thức
trên thì cần phải có mơ hình lý thuyết phù hợp, nhưng hiện tại chưa có mơ hình
nào có thể giải quyết trọn vẹn, thuyết phục vấn đề trên. Đây là lý do, các nhà vật
lý cần phát triển mơ hình lý thuyết để giải quyết những thách thức này. Luận cứ
chính cho hầu hết các mơ hình lý thuyết được phát triển hiện nay là mở rộng trên
cơ sở mô hình chuẩn. Đến thời điểm hiện tại, có rất nhiều hướng mở rộng MHC,
trong đó các vấn đề neutrino được nghiên cứu như mơ hình siêu đối xứng [15–19],
lý thuyết thống nhất lớn [20, 21], mơ hình chuẩn đối xứng trái phải [22–24], mơ
hình 3-3-1 [25–40], mơ hình đối xứng gương [41, 42], mơ hình Zee [43–46], mơ hình
Zee-Babu [47–50] và mơ hình đối xứng thế hệ (đối xứng vị hay hương) v.v...
Một trong những hướng trên thu hút được quan tâm hiện nay là mở rộng mơ
hình chuẩn với đối xứng vị. Như chúng ta đã biết trong mô hình chuẩn các thế hệ
hạt quark và lepton biến đổi như nhau dưới đối xứng chuẩn và số thế hệ là bất kỳ
(về lý thuyết). Việc đưa thêm đối xứng vị vào trong mơ hình chuẩn góp phần vào
việc xác định khối lượng của các quark, lepton và cách thức trộn giữa các quark và
lepton một cách hiệu quả và thuận tiện hơn [51].
5


Mở đầu

Đối xứng vị là đối xứng tác dụng trong khơng gian thế hệ và ln được coi có khả
năng bị phá vỡ ở thang năng lượng cao (lớn hơn thang điện yếu) trong các nghiên
cứu về neutrino và chúng giao hốn với nhóm gauge. Do đó, các mơ hình chuẩn mở

rộng có thể thêm vào nhóm đối xứng vị, ví dụ như SU (3)C × SU (2)L × U (1)Y × GF
(gọi tắt là mơ hình đối xứng vị), trong đó GF là nhóm đối xứng vị [51–53].
Nhóm đối xứng vị có thể là nhóm đối xứng liên tục hoặc gián đoạn và có thể
là Abel hay khơng Abel. Tuy nhiên, nhóm đối xứng gián đoạn khơng Abel ln
được xem là sự lựa chọn ưu tiên hơn các nhóm gián đoạn khác khi thêm vào mơ
hình chuẩn mở rộng trong các hướng nghiên cứu về neutrino. Do chúng có ưu điểm
là có hữu hạn biểu diễn bất khả quy và thường được xét với số chiều nhỏ hơn 4
(để chúng có sự đồng nhất với 3 thế hệ trong mơ hình chuẩn), ví dụ với các nhóm
GD = {S3 , S4 , A4 , A5 , T 7, ∆(27), ...} [54–58]. Ngồi ra, trong mơ hình đối xứng vị sẽ
khơng có thêm boson Goldstone hoặc boson gauge phát sinh trái với đối xứng gauge
trong MHC và cịn có thể làm cho việc tính tốn các phần trộn của quark và lepton
được thuận tiện hơn.
Trong các mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị gián đoạn thì mơ hình với đối
xứng vị A4 là được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất vì nó là nhóm nhỏ nhất chứa
biểu diễn bất khả quy 3 chiều và để có thể cho mô tả 3 thế hệ. Ý tưởng này xuất
phát từ các cơng trình thời kỳ đầu xây dựng mơ hình đối xứng vị của G. Altarelli,
F. Feruglio, Ernest Ma, Steve King [59–63] và một số nhà vật lý khác, khi các mơ
hình này đã mơ tả chính xác ma trận trộn dạng tribimaximal (TBM) do HarrisonPerkins-Scott đưa ra trong năm 2002 [64] mà khơng áp đặt lên mơ hình bất kỳ điều
kiện nào và khá phù hợp với thực nghiệm thời kỳ đó. Ma trận TBM có dạng



UT BM =  −

−

2
3

1

3
1
6

1
3

1
6

1
3



0
1
2

−
1
2



.


(2)

Ma trận UT BM chính là ma trận UP M N S khi sin2 θ12 = 1/3, sin2 θ23 = 1/2 và θ13 = 0,
chúng ta có thể thấy rằng UT BM chênh lệch rất bé so với ma trận UP M N S mà thực
nghiệm hiện tại xác định. Ngồi ra mơ hình có đối xứng A4 là một trong mơ hình
mở rộng khá tiết kiệm về số lượng các trường bổ sung mở rộng và biểu diễn của A4
là khá phù hợp với các thế hệ của neutrino. Đây là lý do chính chúng tơi chọn hướng
mở rộng này khi nghiên cứu khối lượng và chuyển hoá neutrino.

6


Mở đầu

Mục tiêu của luận án
Xây dựng và khảo sát mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 , trong đó tính tốn
khối lượng và chuyển hố neutrino bằng phương pháp nhiễu loạn cho các kết quả
phù hợp với thực nghiệm và thu được biểu thức giải tích liên hệ giữa pha Dirac vi
phạm CP δCP với các góc trộn θij . Mơ hình xây dựng có khả năng tiên đoán giá trị
δCP và khối lượng hiệu dung trong phân rã beta kép không neutrino (khối lượng
hiệu dụng) | mee | phù hợp giới hạn thực nghiệm hiện tại.

Vấn đề đặt ra của luận án
Hiện nay có rất nhiều đề xuất phát triển mơ hình đối xứng vị A4 khác nhau để
giải quyết các vấn đề còn tồn tại về khối lượng neutrino, θ13 , δCP và khối lượng hiệu
dung | mee |. Nhưng hầu hết các mô hình đều bộc lộ những hạn chế nhất định chưa
giải quyết được như có mơ hình tính được θ13 nhưng khơng tính được δCP [71, 72]
hoặc ngược lại [73–77], có mơ hình tính được cả θ13 , δCP nhưng khơng tính được khối
lượng [78–81]. Ngồi ra có rất nhiều mơ hình khi xây dựng đã áp đặt các điều kiện
lên giá trị trung bình chân khơng (VEV) của các trường vô hướng theo cách không
rõ nguồn gốc, lý do và thậm chí một số khơng xét đến các tương tác giữa các trường
vô hướng nên không đánh giá được ảnh hưởng VEV của chúng lên mơ hình, khối

lượng và chuyển hố neutrino [82–86].
Do đó, chúng tơi đã xây dựng mơ hình chuẩn mở rộng với đối xứng vị A4 để giải
quyết các vấn đề trên. Mơ hình này có thể khảo sát được một cách đầy đủ tương
tác của các trường vơ hướng, sau đó thơng qua điều kiện thế năng cực tiểu có thể
xác định được VEV của chúng và từ đó đánh giá được những đóng góp, ảnh hưởng
của VEV lên khối lượng neutirno, đồng thời xác định được nguồn gốc của những
đóng góp vào giá trị θ13 , δCP . Cùng với đó mơ hình cũng đã tiên đoán được các giá
trị θ13 , δCP và mi (khối lượng neutrino) phù hợp với dữ liệu thực nghiệm. Hơn nữa
mơ hình mà chúng tơi xây dựng đã đưa ra được biểu thức giải tích liên hệ giữa θij
và δCP . Từ biểu thức này sẽ cho tiên đoán giá trị của δCP khá phù hợp với những dữ
liệu công bố trong [6, 7] khi sử dụng các giá trị thực nghiệm θij .
Tuy nhiên, kết quả trên đạt được lại phụ thuộc vào việc chéo hoá ma trận khối
lượng neutrino Mν . Đây là công việc thực sự khó khăn khơng chỉ với mơ hình của
chúng tơi mà cịn với các mơ hình khác. Khó khăn ở đây là do ma trận Mν phụ
thuộc vào số lượng lớn tham số đầu vào là các hằng số tương tác Yakawa và VEV

7


Mở đầu

khác nhau của các trường vô hướng. Nếu cứ tiến hành chéo hố theo cách thơng
thường thì chúng ta sẽ nhận được biểu thức khối lượng và ma trận trộn neutrino
rất phức tạp gồm nhiều tham số đầu vào chưa biết nên không thể so sánh với số
liệu thực nghiệm được (cụ thể giá trị thực nghiệm gồm 3 góc trộn θij , 2 chênh lệch
bình phương khối lượng, trong khi đó số lượng tham số đầu vào lớn hơn rất nhiều),
do vậy điều này là không khả thi. Để khắc phục khó khăn này, có rất nhiều cách
thức, thủ thuật khác nhau chéo hoá Mν như áp đặt các điều kiện để hạn chế các
tham số đầu vào hay sử dụng bổ đính vơ cùng bé vào khối lượng neutrino, nhưng
nhìn chung chưa có cách nào thực sự hiệu quả và triệt để. Câu hỏi đặt ra là cách

thức và phương pháp của luận án giải quyết vấn đề này như thế nào?

Phương pháp giải quyết
Trong luận án chúng tôi đã sử dụng phương pháp nhiễu loạn [87] để thực hiện việc
chéo hoá ma trận Mν . Phương pháp này cũng được sử dụng trong cơng trình [82],
khi nhóm tác giả áp dụng mơ hình Altarelli-Feruglio [59] trong nghiên cứu của
mình nhưng chỉ tính được θ13 (với sai số rất lớn so với giá trị thực nghiệm), mà lại
áp đặt tuỳ tiện các điều kiện về VEV của các trường vô hướng (do không xét tương
tác giữa các vô hướng nên không đánh giá được VEV) cũng như khơng xét hết các
tương tác Yukawa trong mơ hình. Điều đó dẫn đến kết quả tính tốn thiếu độ tin
cậy, thậm chí có thể sai lệch hồn tồn. Ngồi ra một số tác giả khác cũng dùng
phương pháp nhiễu loạn để tính tốn ma trận UP M N S quanh ma trận UT BM nhưng
khơng xuất phát từ mơ hình vật lý [88, 89] mà chỉ thuần tuý về mặt tính tốn ước
lượng, khơng cho giá trị đại lượng vật lý để so sánh với số liệu thực nghiệm. Do vậy,
các cơng trình này đã bộc lộ những hạn chế không thể giải quyết được.
Độc lập cách thức và kết quả của cơng trình trên, chúng tơi sử dụng phương
pháp nhiễu loạn để tính tốn và thu được biểu thức giải tích liên hệ giữa các góc
trộn θij và pha Dirac vi phạm CP δCP [90–93]. Từ biểu thức giải tích này, với các số
liệu thực nghiệm θij , chúng tôi sử dụng phần mềm ROOT (do Trung tâm hạt nhân
Châu âu-CERN phát triển) và Matlab để vẽ được đồ thị phân bố của δCP , JCP và
đồ thị sự phụ thuộc của δCP vào góc trộn θ13 trong cả hai trường hợp phân bậc khối
lượng thuận và ngược của neutrino. Từ những đồ thị đó, chúng tơi xác định được
các giá trị trung bình của δCP và JCP và thấy khá gần với dữ liệu trong [6, 7]. Việc
xác định được giá trị δCP là rất quan trọng vì nó chứng tỏ được sự khác nhau giữa
xác suất quá trình chuyển hố neutrino P (νl → νl ) và q trình chuyển hố phản
8


Mở đầu
neutirno P (ν l → ν l ) trong chân khơng. Ngồi ra, một điều rất có ý nghĩa nữa đối

với mơ hình chúng tơi xây dựng, là khi tiến hành tính tốn số các đại lượng θ13 , δCP
và mi để kiểm định độ tin cậy của mô hình, chúng cho các kết quả rất gần với số
liệu thực nghiệm, trong [6, 7], với θ13 ≈ 9◦ , δCP = 1.39π và mi cỡ 0.1 eV. Kết quả này
càng khẳng định tính đúng đắn của mơ hình xây dựng và phương pháp tính tốn
mà chúng tơi sử dụng.
Ngồi ra, kết quả luận án thu được cũng không thể thiếu các công cụ về cơ sở lý
thuyết trường lượng tử, vật lý hạt cơ bản, mơ hình chuẩn và lý thuyết nhóm, cụ thể
là nhóm A4 , cùng với đó là các cơng cụ rất hữu dụng khác như phương pháp tính,
phần mềm tính tốn: ROOT [94] (do CERN phát triển trên nền ngơn ngữ lập trình
C++ để phân tích và xử lý số liệu thực nghiệm), Mathematica, Matlab để xử lý số
liệu, vẽ đồ thị và so sánh với giá trị thực nghiệm, đánh giá và phân tích kết quả.

Kết quả nghiên cứu của luận án
Luận án triển khai nghiên cứu hai phiên bản của mơ hình chuẩn mở rộng với đối
xứng vị A4 . Phiên bản thứ nhất, chúng tơi đề xuất mơ hình chuẩn với đối xứng
A4 × Z3 × Z4 để xác định khối lượng và chuyển hố neutrino, trong đó chúng tơi
thu được biểu thức giải tích sự liên hệ giữa các góc trộn θij với δCP , và các giá trị số
θ13 , δCP và tham số Jarlskog JCP rất gần với các số liệu thực nghiệm [91, 92]. Trong
mơ hình có thêm đối xứng Z3 × Z4 với mục đích loại trừ các phần tử tương tác không
mong muốn và đảm bảo khơng phá vỡ cấu trúc khối lượng lepton tích. Với phiên
bản thứ 2 xuất phát từ ý tưởng xây dựng một mơ hình đối xứng A4 chứa neutrino có
khối lượng một cách đơn giản và "tự nhiên" hơn. Trong đó, mơ hình gồm: 4 trường
thành phần lepton của mơ hình chuẩn, 4 trường neutrino và 4 trường vô hướng, mà
từng loại này có số trường bằng với số biểu diễn bất khả quy của nhóm A4 . Nói cách
khác, cả 3 loại trường này trong đó lần lượt có tương ứng với 4 biểu diễn bất khả
quy của A4 là 3, 1, 1 , 1 . Do vậy, một cách "tự nhiên", khối lượng neutrino được sinh
ra trong mơ hình là tổng tồn bộ các q trình seesaw tương ứng với từng trường
neutrino phân cực phải (có cấu trúc gồm tam tuyến và đơn tuyến tương ứng với tất
cả các biểu diễn bất khả quy của A4 ) [93]. Ở đây q trình seesaw thơng thường có
thể coi như là một quá trình hiệu dụng từ các quá trình thành phần ứng với từng

biểu diễn bất khả quy khác nhau của A4 . Cách tiếp cận này khá độc đáo và chưa
được xem xét trong các hướng mở rộng mô hình chuẩn có đối xứng vị từng được
cơng bố. Mơ hình xây dựng cũng cho các kết quả tính tốn về δCP , JCP và | mee |
9


Mở đầu

khá gần với các kết quả với thực nghiệm [6, 7], nhưng có ưu điểm hơn phiên bản 1
là khơng cần đưa vào đối xứng Z3 × Z4 . Một sự khác nhau nữa giữa 2 phiên bản là
tham số (đối tượng) nhiễu loạn khác nhau: trong phiên bản thứ nhất xử lý nhiễu
loạn theo VEV của các trường vơ hướng, cịn trong phiên bản 2 thì nhiễu loạn theo
hệ số tương tác Yukawa và VEV của trường vô hướng đơn tuyến A4 .

Cấu trúc luận án
Với lý do, mục tiêu nghiên cứu, vấn đề, phương pháp và kết quả đạt được của luận
án, chúng tôi đã bố cục luận án thành 5 chương:
Chương Mở đầu: Giới thiệu về neutrino, lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên
cứu luận án đạt được, vấn đề đặt ra của luận án và phương pháp giải quyết
đề. Cuối cùng là giới thiệu sơ lược kết quả đạt được của luận án.
Chương 1: Trình bày tổng quan nội dung mơ hình chuẩn, các vấn đề về khối
lượng và chuyển hoá neutrino để làm cơ sở lý thuyết cho việc nghiên cứu mở
rộng mô hình chuẩn.
(1)

Chương 2: Xây dựng và khảo sát mơ hình A4 để nghiên cứu khối lượng và
chuyển hoá neutrino. Trong mơ hình sử dụng phương pháp nhiễu loạn trung
bình chân khơng của trường vơ hướng để khảo sát và tính tốn các đại lượng
khối lượng, góc trộn neutrino, δCP , JCP , và biểu thức liên hệ giữa δCP với góc
trộn θij .

(10)

Chương 3: Xây dựng và khảo sát mơ hình A4

để nghiên cứu khối lượng và

chuyển hố neutrino. Trong mơ hình sử dụng phương pháp nhiễu loạn đối với
hằng số tương tác Yukawa của các neutrino phân cực phải để khảo sát và tính
tốn các đại lượng khối lượng, góc trộn neutrino, δCP , JCP , | mee |, và biểu thức
liên hệ giữa δCP với góc trộn θij .
Chương Kết luận: Thảo luận kết quả nghiên cứu và định hướng các hướng
nghiên cứu tiếp theo của luận án.

10


Chương 1
Mơ hình chuẩn và vấn đề khối
lượng neutrino
1.1

Mơ hình chuẩn

Mơ hình chuẩn được xây dựng từ những năm 60 và đầu những năm 70 của thể kỉ
trước để mô tả tương tác mạnh, điện từ và yếu. Lý thuyết này đã đạt được rất nhiều
thành cơng (như đã trình bày trong chương mở đầu) khi tiên đoán được sự tồn tại
của các hạt mới như boson vector W ± , Z, các quark c, b, t (quark duyên, đáy, đỉnh),
hạt boson vơ hướng Higgs, dịng trung hồ và những tiên đoán này phù hợp rất tốt
với thực nghiệm. Đặc biệt, năm 2012 thí nghiệm LHC (máy gia tốc va chạm lớn) tại
CERN đã phát hiện và xác định được khối lượng boson Higgs [95, 96], nhưng đến

nay chưa có đủ thơng tin để xác nhận boson Higgs này có phải là boson Higgs trong
mơ hình chuẩn tiên đốn hay không, việc này cần thêm thông tin và thời gian để
xác định kết quả trên.
Một trong những lý do chính cho sự ra đời của mơ hình là các nhà vật lý cố gắng
xây dựng một lý thuyết tái chuẩn hố của tương tác yếu (lý thuyết tương tác dịng
V-A), như trong lý thuyết điện động lực học lượng tử cùng thời kỳ. Từ đây, ba nhà
vật lý Sheldon Glashow, Abdus Salam và Steven Weinberg đã đề xuất lý thuyết tái
chuẩn hoá của tương tác yếu xây dựng trên sự thống nhất tương tác điện từ và yếu
gọi là lý thuyết Glashow - Weinberg - Salam (GWS) hay lý thuyết mơ hình chuẩn
(khi có mơ tả thêm tương tác mạnh). Sau đó, năm 1971, Gerardus’t Hooft cùng với
thầy hướng dẫn nghiên cứu sinh của mình là Martinus Veltman đã chứng minh mơ
hình chuẩn là lý thuyết tái chuẩn hố được, đây cũng được coi góp phần vào thành

11


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

cơng của mơ hình chuẩn.
Mơ hình chuẩn được xây dựng trên 2 bước chính: thứ nhất là bất biến gauge
đối với các trường không khối lượng, và thứ 2 là phá vỡ đối xứng tự phát và cơ chế
Higgs để tạo ra khối lượng của các trường không khối lượng, trừ trường điện từ,
nghĩa là mơ hình coi trước khi phá vỡ đối xứng tự phát các hạt đều khơng có khối
lượng.
Nội dung chương này chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu về bất biến gauge, phá vỡ
đối xứng tự phát, cơ chế Higgs, khối lượng các fermion và các hạt mà mô hình đã
tiên đốn: W ± , Z và Higgs v.v.

1.1.1

Cấu trúc gauge của mơ hình chuẩn

Như đã trình bày ở trên, trước hết chúng tơi sẽ trình bày cấu trúc gauge của mơ
hình chuẩn.
Đầu tiên, chúng ta có thể xét Lagrangian tự do của trường ψ(x)
L0 = ψ(x) iγ λ ∂λ − m ψ(x),

(1.1)

trong đó ψ(x) là lưỡng tuyến của nhóm SU (2). Tiếp theo, chúng ta sẽ xét phép biến
đổi gauge SU (2) định xứ
ψ (x) = U (x)ψ(x),
1

ở đây U (x) = e 2 i τ

θ(x)

(1.2)

, với τ = (τ 1 , τ 2 , τ 3 ) là các ma trận Pauli và θi (x) là các hàm

tuỳ ý của x. Từ đạo hàm ∂λ ψ(x) và phép biến đổi SU (2) vơ cùng bé, thì chúng ta thu
được
1
∂λ ψ(x) = U † (x) ∂λ − i τ ∂λ θ(x) ψ (x).
2

(1.3)

Chúng ta thấy, ψ(x) và ∂λ ψ(x) trong (1.2) và (1.3) không cùng phép biến đổi, do vậy
Lagrangian (1.1) là không bất biến với phép biến đổi (1.2). Để lý thuyết bất biến với
phép biến đổi (1.2), chúng ta có thể giả sử ψ(x) tương tác với trường vector và xét
đạo hàm hiệp biến
Dλ ψ(x) =

1
∂λ + ig τ Aλ (x) ψ(x),
2

ở đây g là hằng số không thứ nguyên và Aiλ (x) là trường vector.

12

(1.4)


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

Từ đây, chúng ta có thể đi xét biến đổi của đạo hàm hiệp biến
Dλ ψ(x) = U † (x)U (x)Dλ U † (x)ψ (x).

(1.5)

Trong biểu thức trên, khi tiến hành tính U (x)Dλ U † (x) chúng ta thu được
U (x)Dλ U † (x) = ∂λ + ig

1
τ Aλ (x) = Dλ ,
2

(1.6)

trong đó
1
Aλ (x) = Aλ (x) − ∂λ θ(x) − θ(x) × Aλ (x).
g

(1.7)

Do đó, từ (1.5) và (1.6) chúng ta có
Dλ ψ(x) = U † (x)Dλ ψ (x).

(1.8)

Đến đây, với (1.2) và (1.8), chúng ta thấy rằng dưới phép biến đổi (1.2) của ψ(x)
và biến đổi gauge (1.7) của trường vector Aλ (x) thì đạo hàm hiệp biến Dλ ψ(x) và
trường ψ(x) có cùng phép biến đối. Do vậy, chúng ta có thể rút ra kết luận, nếu
trong Lagrangian tự do (1.1), thay đạo hàm thường ∂λ bằng đạo hàm hiệp biến Dλ
thì khi đó Lagrangian tự do sẽ trở thành
LI = ψ(x) iγ λ Dλ − m ψ(x),

(1.9)

và nó sẽ bất biến với phép biến đổi gauge định xứ.
Từ (1.9), chúng ta có thể thấy, LI là bằng tổng Lagrangian tự do L0 của trường

ψ(x) và Lagrangian tương tác của trường ψ(x) với trường vector Aλ (x). Do đó, trong
Lagrangian tồn phần cũng phải có Lagrangian tự do của trường vector Aλ (x) và
nó phải bất biến với phép biến đổi (1.7).
Trong trường hợp xét mơ hình điện yếu GWS bất biến với nhóm gauge định xứ
SU (2)L × U (1)Y thì cũng phải thay đạo hàm thường ∂λ ψ(x) bằng đạo hàm hiệp biến
Dλ ψ(x), khi đó Dλ ψ(x) có dạng
Dλ (x) =

1
1
∂λ + ig τ Aλ (x) + ig Y Bλ (x) ψ(x),
2
2

(1.10)

ở đây, Aλ (x) và Bλ (x) là các trường gauge của đối xứng SU (2)L và U (1)Y , g và g là
hằng số tương tác tương ứng. Nhóm đối xứng U (1)Y có tốn tử siêu tích Y và siêu
13


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

tích này liên hệ với điện tích Q bởi cơng thức Gell-Mann - Nishijima [2, 3]
Q = I3 +

Y
.

2

(1.11)

Tóm lại, trong lý thuyết để bất biến gauge định xứ thì phải thay đạo hàm thường
bởi đạo hàm hiệp biến. Ngoài ra, chúng ta thấy trong lý thuyết số hạng khối lượng
của trường vector Aλ (x) không bất biến với phép biến đổi (1.7), là do đối xứng gauge
định xứ SU (2) bị vi phạm. Trong mơ hình chuẩn, các thành phần ψL (x) = ψR (x)
dưới phép biến đổi SU (2)L , do đó số hạng mψψ = m(ψ L ψR + ψR ψL ) khơng bất biến,
vậy các fermion cũng khơng có khối lượng. Nội dung tiếp sau, chúng tơi sẽ trình
bày cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng gauge.

1.1.2

Phá vỡ đối xứng tự phát. Cơ chế Higgs

Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày bước thứ 2 để xây dựng mơ hình chuẩn đó là
vi phạm đối xứng tự phát, cơ chế Higgs. Mơ hình GWS bất biến với nhóm đối xứng
gauge định xứ SU (2)L ×U (1)Y nên Lagrangian của trường Higgs cũng phải bất biến
với nhóm đối xứng gauge này. Khi đó Lagrangian của trường Higgs có dạng
LS = (Dλ φ)† Dλ φ − V (φ† φ).

(1.12)

trong đó, trường Higgs φ là lưỡng tuyến SU (2)L , và
V (φ† φ) = −µ2h φ† φ + λh (φ† φ)2 ,

(1.13)

với µ2h và λh là các hằng số dương. Từ (1.13) chúng ta dễ dàng tìm cực tiểu của thế

năng, minh hoạ trong hình 1.1, là

V (φ† φ)M in = −

µ4h
4λh


,

tại φ0 = 

0
√v
2




(1.14)

Từ đây, chúng ta có thể tham số hóa lưỡng tuyến vơ hướng với sự dịch chuyển so với
trạng thái chân không như

φ(x) = 

+

ϕ







0
 = √1 eiτ i θi (x) 
,
2
ϕ0
v + H(x)

14

(1.15)


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

ở đây, θi (x) gọi là các boson Goldstone và H(x) là boson Higgs. Mơ hình bất biến với

Hình 1.1: Đồ thị mơ tả dạng thế Higgs [97]

phép biến đổi gauge định xứ
U (x) = e−iτ

i θ i (x)

(1.16)

,

nên chúng ta có phép biến đổi của trường φ

φ = U (x)φ = 



0

(1.17)

√ .
(v + H(x))/ 2

Từ Lagrangian (1.12), chúng ta thu được số hạng Lagrangian Higgs
g2
g2 + g 2
λ
1
(v + H)2 Zλ Z λ − (2vH + H 2 )2 , (1.18)
LH = ∂λ H∂ λ H + (v + H)2 Wλ† W λ +
2
4
8
4
trong đó, W λ là trường boson tích W ± viết như

Wλ =

Aλ1 − iAλ2
√
,
2

(1.19)

Zλ = cos θW Aλ3 − sin θW Bλ ,

(1.20)

Aλ = sin θW Aλ3 + cos θW Bλ ,

(1.21)

với
sin θW =

g
g2

+g

2

, cos θW =

15

g
g2

+g2

,

(1.22)


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

và ở đây θW gọi là góc Weinberg. Từ (1.18) ta viết được Lagrangian khối lượng của
W, Z và H như
1
1
Lm = m2W Wλ† W λ + m2Z Zλ Z λ − m2H H 2 ,
2
2

(1.23)

1
1
m2W = g 2 v 2 , m2Z = (g 2 + g 2 )v 2 , m2H = 2λv 2 = 2µ2 .
4
4

(1.24)

trong đó

Hiện nay, thực nghiệm đã xác định một cách tương đối chính xác với các đại
lượng trên [6, 95–97] là
mW = 80, 385 ± 0, 015GeV,

mZ = 91, 1876 ± 0, 0021GeV,

mH = 125, 15 ± 0, 24GeV.

(1.25)

Tóm lại trong mơ hình sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì boson Goldstone θ bị
các boson gauge ăn mất và các boson vector W ± , Z 0 trở thành trường có khối lượng
cịn trường Aλ khơng có khối lượng.

1.1.3

Tương tác Yukawa và khối lượng các fermion

Tương tác Yukawa trong mơ hình chuẩn là tương tác giữa trường Higgs với các
trường quark và lepton không khối lượng. Sau khi phá vỡ đối xứng tự phát thì các
quark và lepton này trở nên có khối lượng và khối lượng của chúng tỉ lệ với VEV
của trường Higgs. Mơ hình chuẩn gồm 6 quark là u (trên), d (dưới), c (duyên), s
(quark lạ), t (đỉnh) và b (đáy), và 3 lepton tích là e (electron), m (muon) và t (tau) và
3 neutrino tương ứng với 3 lepton tích là νe (neutrino electron), νµ (neutrino muon)
và ντ (neutrino tau). Chúng được phân thành 3 thế hệ và được sắp xếp vào các lưỡng

tuyến và đơn tuyến của nhóm SU (2)L như

QkL = 

Uk
Dk





 , UkR , DkR , (k = 1, 2, 3),

ψlL = 

L

νl
l


 , lR , (l = e, µ, τ ), (1.26)
L

trong đó QkL , ψkL là lưỡng tuyến gồm các thành phần phân cực trái và UkR , DkR , lR
là đơn tuyến phân cực phải của nhóm SU (2)L .
Lagrangian của mơ hình chuẩn
LSM = LF + LG + LS + LY .

16

(1.27)


Mơ hình chuẩn

MHC và vấn đề KL neutrino

Trong đó, LF là Lagrangian phần động năng của các quark và lepton tích có dạng
3

3

3

QkL iγ µ Dµ(q) QkL +

LF =
k=1

U kR iγ µ Dµ(q,l) UkR +
k=1

l=e,µ,τ

(1.28)

1
∂µ + i g YRq,l Bµ .
2

(1.29)

k=1

ψ lL iγ µ Dµ(lep) ψlL +

+

DkR iγ µ Dµ(q,l) DkR

lR Dµ(q,l) lR ,
l=e,µ,τ

với
τ
1
∂µ + ig .Aµ + i g YLq,lep Bµ , Dµ(q,l) =
2
2

Dµ(q,lep) =

LG là Lagrangian tự do của các trường vector Bλ và Aiλ có dạng
1
1
LG = − Bλβ B λβ − Fλβ F λβ ,
4
4

(1.30)

Bλβ = ∂λ Bβ − ∂β Bλ , Fλβ = ∂λ Aβ − ∂β Aλ − g Aλ × Aβ .

(1.31)

với

LS là Lagrangian của trường Higgs có dạng
LS = (Dµ φ)† (Dµ φ) − V (φ† φ).

(1.32)

Và LY là Lagrangian tương tác Yukawa của các quark và lepton tích
(U )

(D)

k,j

(D)

(lep)

Γkj QkL φDjR + Γkj QkL φUjR −

LY = −

Γll

ψ lL φlR + h.c.

(1.33)

l,l =e,µ,τ

(U )

(lep)

ở đây, Γkj , Γkj và Γll

là hằng số tương tác Yukawa; φ = iτ2 φ∗ và nó có siêu tích là

-1. Từ (1.33) và φ, ta có thể viết được số hạng Lagangian khối lượng của các quark
và lepton tích
(D)

L(ql)
mass = −

(U )

DiL Mkj DjR −
k,j

(lep)

U iL Mk,j UjR −
k,j

lL Mll

lR + h.c.

(1.34)

l,l =e,µ,τ

trong đó,
(D)
(D) v
(U )
(U ) v
(lep)
(lep) v
Mkj = Γkj √ , Mkj = Γkj √ , Mll = Γll √
2
2
2

(1.35)

là các ma trận khối lượng tổng quát của các quark.
Sử dụng phép biến đổi bi-unitary trong từng số hạng của (1.34), ta có thể chéo
17