Nghiên cứu sai lầm phổ biến của học sinh trung học phổ thông trong chứng minh hình học

...

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH
THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

PHẠM VĂN HOÀNG

NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH
THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS CAO THỊ HÀ

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chƣa đƣợc công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Phạm Văn Hoàng

i


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Cao Thị Hà, ngƣời đã tận
tình hƣớng dẫn tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu để hồn thành luận văn.
Tơi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, các cô giáo trong Tổ bộ môn
Phƣơng pháp giảng dạy bộ mơn Tốn Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên; Ban
Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm
– Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình
học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp
trƣờng THPT Cầu Xe- huyện Tứ Kỳ- tỉnh Hải Dƣơng đã giúp đỡ, tạo điều kiện
thuận lợi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực nghiệm.
Dù đã rất cố gắng, song luận văn cũng khơng tránh khỏi khỏi những hạn chế
và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Phạm Văn Hoàng

ii


MỤC LỤC
Trang
TRANG PHỤ BÌA
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ii
MỤC LỤC ................................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................................ iv
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ..............................................................................................3
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 5
1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập.....5
1.2. Năng lực chứng minh hình học ...........................................................................6
1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh ...................................6
1.2.2. Cơ sở lôgic trong chứng minh hình học ............................................................8
1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học .....................................12
1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán ...................................................13
1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học............................................14
1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi ...............................................................14
1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo ..............................................................14
1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải tốn hình học ..........15
1.5.1. Điều tra từ giáo viên ........................................................................................15
1.5.2. Điều tra từ học sinh .........................................................................................15
1.6. Kết luận chƣơng 1 ..............................................................................................47
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG
TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG
CHỨNG MINH HÌNH HỌC. ................................................................................ 48

2.1. Biện pháp 1: GV cung cấp cho HS các kiến thức đầy đủ, chính xác. ...............48
2.2. Biện pháp 2: GV tập luyện cho HS vẽ hình đúng. ............................................55

iii


2.3. Biện pháp 3: GV tập luyện cho HS tìm hiểu đúng luận đề, luận cứ, luận chứng
trong các bài tốn có lời giải. ....................................................................................61
Kết luận chƣơng 2 ................................................................................................... 80
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................................. 81
3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ..................................................................81
3.2. Nôi dung thực nghiệm. ......................................................................................81
3.3. Tổ chức thực nghiệm. ........................................................................................82
3.3.1. Đối tƣợng thực nghiệm: ..................................................................................82
3.3.2. Tiến trình thực nghiệm ....................................................................................84
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm ..........................................................................85
3.4.1. Phân tích định tính ..........................................................................................85
3.4.2. Phân tích định lƣợng .......................................................................................86
3.5. Kết luận chung về thực nghiệm .........................................................................89
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 91
PHỤ LỤC

iv


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN
Viết tắt

STT

Viết đầy đủ

1

DH

Dạy học

2

Đccm

Điều cần chứng minh

3

GV

Giáo viên

4

HS

Học sinh

5

PP

Phƣơng Pháp

6

PT

Phƣơng trình

7

SGK

Sách giáo khoa

8

THPT

Trung học phổ thông

9

VTCP

Véctơ chỉ phƣơng

10

VTPT

Véctơ pháp tuyến

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học giữ một vị trí quan trọng trong cuộc sống, Tốn học khơng chỉ có
những ứng dụng to lớn trong cuộc sống mà nó cịn giúp chúng ta việc rèn luyện PP
suy nghĩ, PP suy luận, PP học tập, PP giải quyết các vấn đề, ngồi ra nó cịn giúp
chúng ta rèn luyện trí thơng minh sáng tạo. Tốn học cịn giúp chúng ta rèn luyện
nhiều đức tính quý báu khác nhƣ: cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt
khó, u thích sự chính xác, ham chuộng chân lý.
Các nhà giáo dạy Tốn chính là các huấn luyện viên trong mơn “thể thao trí tuệ”
này, cơng việc dạy Tốn của chúng ta nhằm rèn luyện cho HS tƣ duy Toán học cùng
những phẩm chất của con ngƣời lao động mới để các em vững vàng trở thành những
chủ nhân tƣơng lai của đất nƣớc.
Ở trƣờng phổ thơng DH Tốn là dạy hoạt động Tốn học. Đối với HS có thể
xem giải Tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động Tốn học. Các bài Tốn ở trƣờng
phổ thơng là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và khơng thể thay thế đƣợc trong việc
giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng
toán học vào cuộc sống. Dạy học giải Toán mang trong mình các chức năng: giáo
dƣỡng, giáo dục, phát triển và kiểm tra. Vì vậy, hoạt động giải Tốn là điều kiện để
thực hiện tốt các mục đích DH Tốn. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc DH giải Tốn
có vai trị quyết định đối với chất lƣợng DH Tốn.
Trong chƣơng trình mơn Tốn ở trƣờng THPT, nội dung Hình học chiếm một
phần rất quan trọng, việc DH Hình học khơng chỉ cung cấp cho ngƣời học những kiến
thức về các đối tƣợng hình học và các quan hệ giữa chúng mà nó cịn rèn luyện năng
lực tƣ duy lơgic, phẩm chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề và khả

năng vận dụng các kiến thức Hình học vào thực tiễn cuộc sống cho HS.
Tuy nhiên thực tiễn DH cho thấy, hầu hết HS khẳng định Tốn học, đặc biệt là
nội dung Hình học là mơn học khó và trừu tƣợng. Một trong các biểu hiện của sự khó
khăn đó là HS thƣờng mắc phải những sai lầm trong q trình giải tốn, HS khơng tự
tin khi giải tốn mà khơng có sự trợ giúp của thầy giáo hoặc bạn học dẫn đến HS ngại
khi học Hình học. Đã có nhiều hƣớng nghiên cứu để nâng cao chất lƣợng DH Toán ở

1


trƣờng phổ thông nhƣ: tổ chức các hoạt động DH để gây đƣợc hứng thú cho HS trong
quá trình DH, phát triển tƣ duy cho HS trong DH Toán, phát hiện những sai lầm của
HS trong DH ... Việc nghiên cứu những sai lầm phổ biến của HS trong quá trình DH
Tốn ở trƣờng phổ thơng đã có nhiều tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm, các
nghiên cứu trên đều tập trung vào 2 hƣớng chính [15]:
- Hƣớng thứ nhất: Tìm hiểu sai lầm của HS, tìm hiểu nguyên nhân và đề xuất
các biện pháp để giúp HS sửa chữa các sai lầm đó. Đại diện cho hƣớng nghiên cứu
này là A.A Stoliar khi nói về việc xử lí với các sai lầm của HS trong quá trình DH đã
nói: “Khơng được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của học sinh”.
- Hƣớng thứ hai: Tìm hiểu các sai lầm, khó khăn của HS trƣớc khi lĩnh hội
kiến thức mới và thiết kế các tình huống học tập để HS vƣợt qua sai lầm, khó khăn
này và hình thành tri thức mới. Các đại diện cho hƣớng nghiên cứu này đó là các nhà
nghiên cứu quá trình DH theo quan điểm kiến tạo, hoặc một trong các đại diện tiêu
biểu khác đó chính là G. Polya, ơng nói “Con người phải biết học ở những sai lầm và
những thiếu sót của mình ”; B.V.Gờn hedencơ đã nêu ra 5 phẩm chất của tƣ duy
Tốn học thì đã có tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh sai lầm khi giải Toán:
+ Năng lực nhìn thấy đƣợc tính khơng rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các
mắt xích cần thiết của chứng minh.
+ Có thói quen lý giải lơgic một cách đầy đủ.
+ Sự chính xác của suy luận.

Nhiều tác giả trong nƣớc đã có những nghiên cứu về những sai lầm phổ biến
của HS trong q trình dạy học Tốn ở trƣờng phổ thông nhƣ: Nguyễn Vĩnh Cận- Lê
Thống Nhất- Phan Thanh Quang trong cuốn “Sai lầm phổ biến khi giải Toán”; Trần
Phƣơng- Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Những sai lầm phổ biến trong giải tốn phổ
thơng”; Trần Phƣơng -Nguyễn Đức Tấn trong cuốn “Sai lầm thƣờng gặp và các sáng
tạo khi giải tốn”;

n dạng và phân

tích những sai lầm mà HS có thể mắc phải trong q trình DH Tốn, tuy nhiên phạm
vi nghiên cứu của các tác giả trên đều dàn trải trong tồn bộ chƣơng trình mơn Tốn

2


ở trƣờng phổ thông chứ chƣa tập trung vào nghiên cứu, phân tích những sai lầm mà
HS mắc phải trong học tập Hình học, đặc biệt là trong chứng minh hình học.
Với những kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn ở trƣờng THPT và năng lực
chuyên môn của bản thân cùng với các nhận thức nhƣ trên, chúng tôi chọn đề tài
nghiên cứu luận văn là : “NGHIÊN CỨU SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH
THPT TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải tốn hình học từ đó
đề xuất một số biện pháp sƣ phạm để phịng tránh và sửa chữa các sai lầm này, qua
đó rèn luyện năng lực giải tốn hình học cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng
mơn Tốn ở các trƣờng THPT.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu tìm hiểu đƣợc nguyên nhân dẫn đến các sai lầm phổ biến của HS trong
quá trình giải tốn hình học và có thể đề xuất đƣợc các biện pháp sƣ phạm phù hợp
giúp HS phát hiện, sửa chữa và tránh đƣợc những sai lầm này thì góp phần rèn luyện

năng lực giải tốn hình học cho HS.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thống kê các sai lầm của HS thơng qua phân tích khoảng 200 lời giải các bài
tốn thuộc nội dung chứng minh hình học của HS THPT.
- Phân tích các nguyên nhân sai lầm của HS khi giải tốn hình học dựa trên các
kết quả thống kê ở trên;
- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm giúp HS phát hiện, sửa chữa và hạn chế dần
những sai lầm khi giải tốn hình học;
- Thực nghiệm sƣ phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện
pháp sƣ phạm đã đề xuất.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về cơ chế tâm lí học và giáo dục học dẫn đến sai lầm của
HS trong q trình học Tốn;
- Nghiên cứu thực tiễn: Nghiên cứu trên mẫu gồm khoảng 200 lời giải của
hoc sinh THPT về nội dung chứng minh Hình học để thống kê được những sai

3


lầm phổ biến của HS khi học nội dung này, từ đó tìm ra được ngun nhân dẫn
đến những sai lầm này của HS.
- Thực nghiệm sƣ phạm: trực tiếp giảng dạy thực nghiệm ở khối 10; 12 trƣờng
THPT Cầu Xe – Tứ Kỳ - Hải Dƣơng trong năm học 2016- 2017.
6. Đóng góp của luận văn
- Hệ thống hóa đƣợc một số sai lầm phổ biến của HS trong chứng minh hình học.
-

THPT.
- Hình thành cho ngƣời học sự tự tin trong học tập Tốn.
7. Cấu trúc luận văn

Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, bảng biểu, phụ lục
thì luận văn gồm 3 chƣơng:
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƢ PHẠM ĐỂ SỬA CHỮA, PHÒNG
TRÁNH CÁC SAI LẦM PHỔ BIẾN CỦA HỌC SINH THPT TRONG CHỨNG
MINH HÌNH HỌC
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

4


Chƣơng 1.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ chế tâm lí học trong việc hình thành sai lầm của HS trong quá trình học tập
Sự phát triển tâm lý của mỗi con ngƣời là một quá trình mà con ngƣời đó lĩnh
hội nền văn hóa xã hội lồi ngƣời và sự phát triển này là kết quả hoạt động của chính
cá nhân ngƣời đó với những đối tƣợng do loài ngƣời tạo ra. Theo Lê Văn Hồng “Bản
chất của sự phát triển tâm lý trẻ em không phải là sự tăng hoặc giảm về số lƣợng, mà
là một quá trình biến đổi về chất lƣợng tâm lý. Sự thay đổi về lƣợng của các chức
năng tâm lý dẫn đến sự thay đổi về chất và đƣa đến sự hình thành cái mới một cách
nhẩy vọt [11, tr.16]”. Việc nghiên cứu về sự phát triển tâm lí của HS trong q trình
DH là vấn đề vơ cùng lớn và phức tạp, tuy nhiên trong sự phát triển chung về mặt tâm
lí của HS có sự phát triển của tƣ duy. Do vậy, trong khuôn khổ luận văn này chúng
tôi chỉ xin đề cập đến một số yếu tố tâm lí dẫn đến sai lầm trong tƣ duy của HS.
Theo Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của
sự vật hiện tƣợng trong hiện thực khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết [24, tr.106]”.
Trong q trình DH ngƣời GV luôn coi trọng sự phát triển tƣ duy cho HS, hơn nữa để
kích thích HS học tập, phát triển tƣ duy thì ngƣời GV thƣờng đƣa các em vào tình
huống có vấn đề rồi tổ chức cho HS độc lập- sáng tạo giải quyết vấn đề đó. Cũng theo

Nguyễn Quang Uẩn “Tƣ duy thƣờng bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận
thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của
mối liên hệ trực tiếp giữa tƣ duy với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những khái quát
hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong q trình tƣ duy
[24, tr.110]”. Đứng trƣớc một bài toán, từ nhận thức cảm tính của mình, HS phán
đốn, suy luận, tổng hợp rồi đƣa ra lời giải hoặc kết quả của mình cho bài tốn, trên
cơ sở đó HS tự tạo ra những bài tốn tƣơng tự hoặc đặc biệt hóa bài tốn hoặc trừu
tƣợng hóa và khái qt hóa bài tốn. Nhƣ vậy, nếu HS chưa đủ kiến thức hoặc nhận
thức không đúng, không đầy đủ về bản chất- nội dung bài toán tức là nhận thức cảm

5


tính sai từ đó dẫn đến suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp, nhƣ thế bài toán
giải sai hoặc giải bài tốn chƣa triệt để cịn thiếu trƣờng hợp.
Theo Lê Văn Hồng “Học sinh càng trƣởng thành, kinh nghiệm cuộc sống ngày
càng phong phú, các em càng ý thức đƣợc rằng mình đang đứng trƣớc ngƣỡng cửa
của cuộc đời [11, tr.63]”. Do vậy, thái độ có ý thức của các em đối với học tập ngày
càng phát triển. Sự học tập của các em có tính lựa chọn mơn học hơn, nó gắn liền với
khuynh hƣớng nghề nghiệp và địi hỏi tính năng động, độc lập, muốn nắm đƣợc
chƣơng trình mình u thích một cách sâu sắc, nhưng lại thường sao nhãng các nội
dung khác hoặc môn học khác.
Tƣ duy của mỗi ngƣời đƣợc hình thành và phát triển trong q trình hoạt động
nhận thức tích cực của bản thân ngƣời đó. Ở lứa tuổi THPT, HS có khả năng tƣ duy
lý luận, tƣ duy trừu tƣợng một cách độc lập sáng tạo trong những đối tƣợng đã đƣợc
học ở trƣờng . Tƣ duy của các em có chặt chẽ hơn, có căn cứ và nhất quán hơn. Đồng
thời tính phê phán của tƣ duy cũng phát triển. Những đặc điểm trên tạo điều kiện cho
HS thực hiện các thao tác tƣ duy toán học phức tạp, phân tích nội dung cơ bản của
khái niệm trừu tƣợng và nắm đƣợc mối quan hệ nhân quả trong tự nhiên và trong xã
hội. Đó là cơ sở để hình thành thế giới quan. Tuy nhiên, hiện nay một số HS THPT

đạt đƣợc mức độ đặc trƣng cho lứa tuổi trên còn chƣa nhiều. Nhiều HS “đánh giá cao
nhân cách của mình- tỏ ra tự cao, coi thƣờng ngƣời khác [11, tr.68]”. Nhiều khi các
em chƣa chú ý phát huy hết năng lực độc lập suy nghĩ của bản thân, còn kết luận vội
vàng theo cảm tính và kết quả dẫn tới những sai sót, sai lầm đáng tiếc. Việc dẫn đến
sai lầm đáng tiếc đó, HS lại khơng biết và cứ cho mình là đúng, khơng kiểm tra -soi
xét lại.
1.2. Năng lực chứng minh hình học
1.2.1. Khái niệm chứng minh- cấu trúc của phép chứng minh
Chứng minh Toán học là q trình suy luận nhằm xác lập một phán đốn là
đúng bằng cách dùng các phán đoán khác đã đƣợc xác lập là đúng và dựa vào các quy
tắc suy luận. Theo Nguyễn Bá Kim “Trong Toán học, một chứng minh là một cách
trình bày thuyết phục (sử dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực

6


đó) rằng một phát biểu tốn học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy
diễn, chứ khơng phải là tranh luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm [12]”. Có
nghĩa là, một chứng minh phải biểu diễn cho thấy một phát biểu là đúng với mọi
trƣờng hợp, khơng có ngoại lệ. Một mệnh đề chƣa đƣợc chứng minh nhƣng đƣợc
chấp nhận đúng đƣợc gọi là một phỏng đoán. Một mệnh đề đã đƣợc chứng minh
thƣờng đƣợc gọi là định lý, một khi định lý đã đƣợc chứng minh, nó có thể đƣợc
dùng làm nền tảng để chứng minh các mệnh đề khác. Một định lý cũng có thể đƣợc
gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó đƣợc dự định dùng làm bƣớc đệm để chứng minh một
định lý khác.
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim [12, tr.366] thì “Chứng minh một mệnh đề T là
tìm ra một dãy hữu hạn A1 , A2 ,..., An thỏa mãn các điều kiện sau:
+ Mỗi Ai (i

1, 2,..., n ) của dãy đó là một tiên đề, hoặc định nghĩa, hoặc suy

ra từ một số trong các A1 , A2 ,..., Ai

1

nhờ những quy tắc kết luận lơgic;

+ An chính là mệnh đề T.
Nhƣ vậy có thể hiểu: Chứng minh tốn học là q trình suy luận hợp lơgic xuất
phát từ các tiền đề đã biết là đúng (các tiền đề có thể là các tiên đề, các định nghĩa,
các định lí đã đƣợc chứng minh và các giả thiết của mệnh đề đang cần chứng minh)
và nhờ các quy tắc kết luận lôgic để dẫn đến một kết luận đúng. Do vậy, cấu trúc của
một phép chứng minh toán học bao gồm 3 bộ phận (luận đề, luận cứ, luận chứng). Cụ
thể nhƣ sau:
+) Luận đề: Nó trả lời cho câu hỏi: “Chứng minh cái gì?”. Nhƣ vậy ta có thể
hiểu luận đề chính là kết luận của mệnh đề.
+) Luận cứ: Là những tiên đề, định nghĩa, định lý đã biết, giả thiết (của mệnh
đề cần chứng minh) đƣợc đƣa ra làm tiền đề cho mỗi suy luận. Nó trả lời cho câu
hỏi: “Chứng minh dựa vào cái gì ?”.
+) Luận chứng: Là những quy tắc suy luận lơgíc đƣợc sử dụng trong chứng
minh. Nó trả lời cho câu hỏi: “chứng minh bằng cách nào, theo những qui tắc suy
luận nào?”.

7


1.2.2. Cơ sở lơgic trong chứng minh hình học
1.2.2.1. Suy luận và suy luận hợp lôgic
Theo Chu Cẩm Thơ: “Suy luận hay suy lí là một hình thức cơ bản của tƣ duy
đang nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra những phán đoán

mới. Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy
luận, cách thức rút ra kết luận từ tiền đề gọi là lập luận [21, tr 50]”. Nhƣ vậy, suy luận
là quá trình suy nghĩ, liên hệ, kết nối, để từ một hay nhiều phán đốn đã có rồi rút ra
phán đốn mới, bao hàm một tri thức mới.
Hình thức biểu diễn suy luận: Mỗi suy luận đƣợc biểu diễn dƣới dạng một mệnh
đề kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề. Nếu gọi

X i ,(i 1, k ; k

*

) là các tiền đề đã biết và Y là tiền đề mới (kết luận của suy luận)

thì ta có kí hiệu:

X1
X2
Kí hiệu: X1

X2

....

Xk

.
X . X ... X
Y hay .
hay 1 2 k
Y

.
Xk
Y

Suy luận hợp lôgic: Nếu suy luận X 1

X2

...

Xk

Y là hằng đúng thì ta có

suy luận hợp lơgic hay hệ quả lơgic. Mệnh đề hằng đúng biểu thị một quy luật lôgic.
Theo các tác giả Trần Nguyên An và Nguyễn Văn Hoàng [1, tr.77] thì bảng giá
trị chân lí xác định phép tốn hội, phép toán tuyển, phép toán kéo theo, phép toán
mệnh đề tƣơng đƣơng nhƣ sau:
+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán hội (trong thực tế ta thƣờng dùng liên
từ “và” để chỉ phép toán hội) là:
a
0
0
1
1

b
0
1
0

1

a

b
0
0
0
1

8


+ Bảng giá trị chân lí xác định phép tốn tuyển (trong thực tế ta thƣờng dùng
liên từ “hoặc” để chỉ phép tốn tuyển) là:
a

b

a

b

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán kéo theo (trong thực tế ta thƣờng dùng
liên từ “suy ra” để chỉ phép toán kéo theo) là:
a

b

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

a

b

+ Bảng giá trị chân lí xác định phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng (trong thực tế ta
thƣờng dùng liên từ “khi và chỉ khi” để chỉ phép toán mệnh đề tƣơng đƣơng) là:
a

b

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

a

b

Điều kiện cần và để suy luận đạt tới kết quả đúng là phải xuất phát từ những tiền
đề đúng và quá trình suy luận phải đúng.
Suy luận là q trình tƣ duy có quy luật, quy tắc nhất định. Muốn suy luận đúng
thì phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy.
* Các quy tắc suy luận trong toán học: Ta thƣờng phân biệt 2 hình thức suy

luận: đó là suy diễn (suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp) và quy nạp. Trong phân
mơn hình học thì ta thƣờng vận dụng suy diễn trực tiếp và suy diễn gián tiếp:

9


- Suy diễn trực tiếp (suy luận trực tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ một tiền
đề rồi rút ra kết luận ngay.
- Suy diễn gián tiếp (suy luận gián tiếp): là loại suy diễn xuất phát từ hai hay
nhiều tiền đề rồi mới rút ra kết luận hoặc vận dụng PP chứng minh phản chứng.
Tam đoạn luận là phép suy luận gián tiếp, trong đó kết luận đƣợc rút ra từ hai
tiền đề. Các dạng chính của phép tam đoạn luận: Tam đoạn luận khẳng định, Tam
đoạn luận giả định, Tam đoạn luận lựa chọn và Tam đoạn luận có điều kiện. Trong
chứng minh hình học ở phổ thơng thì ta thƣờng vận dụng phép Tam đoạn luận
khẳng định.
+ Tam đoạn luận khẳng định (xác định): Nếu các tiền đề là các phán đốn xác
định thì có phép tam đoạn luận xác định

X

Y,X
Y

hay (X (X

+ Tam đoạn luận giả định: có cấu trúc hình thức phủ định là :

Y ))
(X

Y.
Y )Y

X

.

Thí dụ: Nếu M là trung điểm của đoạn AB thì MA MB 0
mà : IC ID

0

Điểm I không phải là trung điểm của đoạn CD
+ Tam đoạn luận lựa chọn: Nếu một tiền đề là phán đoán lựa chọn (tuyển của
một số phán đoán, mệnh đề sơ cấp) thì có phép tam đoạn luận lựa chọn.

X

+) Phép tam đoạn luận có điều kiện (bắc cầu) :

Z,Z Y
.
X Y

Tóm lại ta có những suy luận hợp lơgic và khơng hợp lơgic
Những suy luận có dạng sau là suy luận hợp lôgic:

(X

Y ),X (X Y )Y (X Z )(Z

;
;
Y
X Y
X

Y)

.

Những suy luận có dạng sau khơng hợp lơgic:
(X

Y )Y
X

;

(X

Y)X
Y

;

(X

Y )(Z
X

10

Y)Z

.


1.2.2.2. Các bước thực hiện một bài toán chứng minh hình học
Chúng tơi quan niệm rằng các bƣớc thực hiện một bài tốn chứng minh hình
học tn theo quy trình bốn bƣớc nhƣ sau:
a) Bước 1: Tìm hiểu bài tốn
Để hiểu rõ đề tốn trong một bài tốn Hình học thì ngƣời học cần:
- Phải nắm rõ luận đề và luận cứ của bài toán (giả thiết của bài toán mới chỉ là
một phần luận cứ của bài toán);
- Dựa vào bài tốn đã cho, vẽ hình mơ tả nội dung bài tốn. Hình vẽ sẽ giúp ta
hiểu đƣợc đề tốn một cách cụ thể và rõ ràng hơn. Hình vẽ cịn tác dụng gợi ý cho
việc tìm ra các giải pháp, cách giải và phát triển trí tƣởng tƣợng không gian. Nếu cần
thiết ta phải vẽ thêm đƣờng phụ cho bài tốn. Khi vẽ hình cho bài tốn cần lƣu ý:
+ Hình vẽ phải mang tính tổng qt, khơng nên vẽ hình trong trƣờng hợp đặc
biệt, vì nhƣ thế dễ gây ngộ nhận;
+ Nên thể hiện những điều đã cho và những điều cần tìm trên hình vẽ (nếu có thể);
+ Để làm nổi bật các đƣờng, các hình, trong hình vẽ có sử dụng nét đậm, nét
nhạt với màu sắc khác nhau, nét liền hay nét đứt;
+ Dựa vào hình vẽ, ghi giả thiết (một phần của luận cứ) và hình vẽ thể hiện luận
đề của bài tốn.
b) Bước 2: Tìm tịi lời giải cho bài tốn
Sau khi làm rõ luận đề, luận cứ của bài tốn thì ta nên “phân tích ngƣợc” để tìm ra
mối liên hệ giữa luận đề với luận cứ, trên cơ sở đó tìm ra lời giải cho bài tốn.
Để tìm ra đƣợc hƣớng giải cho bài tốn thì ngồi việc “phân tích ngƣợc” nhƣ
trên ta nghĩ đến những bài tốn có liên quan (những bài toán này đã biết cách giải).

Nghĩ đến những bài tốn liên quan để tìm cách sử dụng kết quả hay PP giải các bài
tốn đó.
c) Bước 3: Trình bày lời giải bài tốn
Q trình tìm tịi lời giải là q trình phân tích cịn q trình trình bày bài giải là
quá trình tổng hợp các kết quả đã phân tích.
Trong q trình tổng hợp các kết quả phân tích để trình bày lời giải thì ta cần
lƣu ý:

11


+ Cần sắp xếp các công việc phải làm theo một trình tự thích hợp, phải trình bày
lời giải một cách chính xác, mạch lạc, gọn gàng. Trình tự trình bày bài tốn có thể
khác với trình tự tìm tịi lời giải;
+ Phải sử dụng những quy tắc suy luận hợp lơgíc, nghĩa là biết mình phải vận
dụng quy tắc suy luận nào?.
d) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Sau khi giải xong bài toán ta cần thực hiện:
+ Kiểm tra lại kết quả và tồn bộ q trình giải toán (kiểm chứng lại kết quả
chứng minh);
+ Suy nghĩ xem có lời giải, hƣớng giải khác khơng?. Tìm ra lời giải hay nhất
cho bài tốn;
+ Suy nghĩ xem có thể vận dụng kết quả chứng minh này để vận dụng chứng
minh một bài tốn khác hay khơng?;
+ Từ những kết quả thu đƣợc tìm cách đề xuất những bài tốn khác tƣơng tự,
hoặc mở rộng bài toán hoặc lật ngƣợc vấn đề.
1.2.3. Một số biểu hiện của năng lực chứng minh hình học
Hình học là một phân mơn của Tốn học, nó nghiên cứu hình dạng, kích thƣớc
và vị trí của các hình trong khơng gian. Ở trƣờng phổ thơng, việc dạy hình học cung
cấp cho HS những kiến thức về các đối tƣợng hình học và mối quan hệ giữa chúng.

Ngồi ra việc dạy hình học cịn giúp HS rèn luyện, phát triển năng lực tƣ duy, phẩm
chất trí tuệ, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
Để tìm lời giải cho một bài tốn đặc biệt là bài tốn hình học thì ngƣời làm tốn
phải biết phân tích bài tốn (giả thiết cho những gì? Ta cần chứng minh điều gì? Mối
quan hệ giữa giả thiết với kết luận?). Chứng minh (tìm lời giải) nhƣ thế nào?. Trên cơ
sở phân tích đó, ngƣời làm tốn phải biết tổng hợp, trừu tƣợng hóa, khái quát hóa và
vận dụng linh hoạt các kiến thức, PP giải phù hợp để từ giả thiết suy ra đƣợc kết luận
(giải quyết xong bài tốn).
Nhƣ vậy qua nghiên cứu về cơ sở lơgic của phép chứng minh toán học, các
bƣớc để thực hiện một bài tốn chứng minh hình học, chúng tơi cho rằng một số biểu
hiện sau đây là thành tố của năng lực chứng minh hình học của HS:

12


+ Đọc, viết các kí hiệu tốn học một cách chính xác, sử dụng đúng các cơng
thức, các phép tốn;
+ Xác định rõ luận đề, luận cứ và biết phân tích ngƣợc để tìm ra mối quan hệ
giữa chúng, từ đó tìm ra lời giải cho bài tốn;
+ Nắm vững quy tắc suy luận trong chứng minh hình học;
+ Khả năng kết nối tri thức (tổng hợp kiến thức).
1.3. Quan niệm về sai lầm của HS trong giải toán
Theo từ điển Tiếng Việt thì: “Sai lầm là trái với yêu cầu khách quan hoặc trái
với lẽ phải, đẫn đến hậu quả khơng hay”. “Sai sót là khuyết điểm khơng lớn, do sơ
suất”. “Phổ biến là có tính chất chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện
tƣợng, sự vật [16, tr.844]”.
Do vậy, theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải tốn hình là
làm trái với yêu cầu bài toán hoặc vận dụng không đúng luận cứ (khái niệm, định
nghĩa, tiên đề, định lý) hoặc suy luận sai, vận dụng không đúng quy tắc suy luận….
Dẫn tới giải sai bài tốn, khơng đạt đƣợc yêu cầu giải toán mà những điều này xuất

hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS.
Trong giảng dạy ở bất kỳ khối nào, lớp nào cũng có những sai sót, sai lầm đáng
tiếc của HS. Mức độ sai sót tùy thuộc vào trình độ của đối tƣợng HS lớp đó. Có
những sai sót cơ bản, thậm chí là rất cơ bản, nhƣng có những sai sót khơng dễ gì phát
hiện đƣợc. Nhận diện rõ những sai sót, sai lầm của HS, giáo viên cần tìm ra nguyên
nhân của sai lầm đó để có hƣớng khắc phục và điều chỉnh hợp lý để giúp HS tránh
những sai sót và có hiệu quả làm bài cao hơn.
Trong Tốn học: Với mỗi bài tốn có thể có nhiều cách giải, nhƣng dù giải theo
cách nào thì chỉ có một kết quả đúng, có những cách giải sai nhƣng vẫn cho kết quả
đúng, có những cách giải thiếu trƣờng hợp nhƣng vẫn cho kết quả đúng, đƣơng nhiên
những cách giải cho kết quả sai là cách giải khơng đúng. Chính vì vậy, mỗi giáo viên
khi giảng dạy cần rèn cho HS tính cẩn thận, trình bày bài lơgic, chặt chẽ để giúp HS
tránh những sai sót, khi phát hiện HS có sai sót thì giáo viên cần chỉnh sửa ngay cho
HS và nhắc các HS khác tránh những sai lầm tƣơng tự.

13


1.4. Cơ sở sai lầm của HS từ một số lý thuyết dạy học
1.4.1. Quan điểm DH trong thuyết hành vi
Theo Nguyễn Văn Cƣờng [2, tr.25]: “Thuyết hành vi cho rằng học tập là một
quá trình đơn giản mà trong đó những mối liên hệ phức tạp sẽ làm cho dễ hiểu và rõ
ràng thông qua các bƣớc học tập nhỏ đƣợc sắp xếp một cách hợp lí”. “Các quá trình
học tập phức tạp đƣợc chia thành một chuỗi các bƣớc học tập đơn giản, trong đó bao
gồm các hành vi cụ thể với trình tự đƣợc quy định sẵn. Những hành vi phức tạp đƣợc
xây dựng thông qua sự kết hợp các bƣớc học tập đơn giản [2, tr.27]”.
Nhƣ vậy, để dạy học theo thuyết hành vi thì GV phải tìm mọi cách để tránh sai
lầm bằng con đƣờng lĩnh hội kiến thức đi từ đơn giản dần đến phức tạp, nếu lỡ sai
lầm xuất hiện thì dạy ơn lại hay cung cấp kiến thức bổ trợ đến khi nào HS có câu trả
lời đúng.

Nhƣ vậy, để truyền tải một đơn vị kiến thức theo thuyết hành vi thì GV phải tìm
mọi cách để phân chia thành các bƣớc 1, bƣớc 2, … Trong bƣớc 1 lại đƣợc phân chia
thành các bƣớc 1.1, bƣớc 1.2, … Việc phân chia này dừng lại khi nó là một đơn vị
kiến thức đã biết. Từ đó dẫn tới việc học máy móc, dập khn, theo thói quen và q
trình nhận thức khơng đƣợc chú ý.
1.4.2. Quan điểm DH trong thuyết kiến tạo
Theo Nguyễn Văn Cƣờng [2, tr.31]: “Tƣ tƣởng nền tảng cơ bản của thuyết kiến
tạo là đặt vai trò của chủ thể nhận thức lên vị trí hàng đầu của quá trình nhận thức.
Theo thuyết kiến tạo, mỗi ngƣời học là một q trình kiến tạo tích cực, tự phản ánh
thế giới theo kinh nghiệm riêng của mình. Những gì người học lĩnh hội, phụ thuộc
rất nhiều vào kiến thức và kinh nghiệm đã có và vào tình huống cụ thể ”. Nhƣ vậy,
nếu HS chưa đủ kiến thức, kinh nghiệm để giải quyết một bài tốn thì dẫn đến sai lầm
khi giải quyết nó hoặc suy luận- tổng hợp sai hoặc thiếu trƣờng hợp.
Trong hoạt động DH ở trƣờng phổ thông, GV lƣờng trƣớc đƣợc các sai lầm mà
HS thƣờng mắc phải và truyền tải đƣợc các nội dung này cho HS thì góp phần phát
huy tính tích cực nhận thức của HS.

14


1.5. Thực trạng những sai lầm của học sinh THPT trong giải tốn hình học
1.5.1. Điều tra từ giáo viên
Để tìm hiểu rõ hơn về sai lầm phổ biến của HS khi giải tốn hình học, chúng tơi
đã tiến hành hỏi ý kiến của đồng nghiệp qua phiếu điều tra. Đối tƣợng đƣợc điều tra
là 7 giáo viên đang giảng dạy toán khối 10 và 12 tại trƣờng THPT Cầu Xe (huyện Tứ
Kỳ - tỉnh Hải Dƣơng). Sau đây là số liệu thống kê chúng tôi thu đƣợc.
Bảng 1.1: Kết quả điều tra nguyên nhân sai lầm của HS khi giải tốn hình học.
Ngun nhân gây sai lầm

STT

% ý kiến đồng ý

1

Ghi chép khơng cẩn thận, tính tốn nhầm.

57,1

2

Khơng hiểu về các khái niệm, định lý.

71,4

3

Nhớ sai cơng thức, tính chất.

71,4

4

Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, khi kết luận khơng

57,1

kết hợp với điều kiện.
5

Xét thiếu trƣờng hợp

71,4

6

Biểu diễn hình sai

42,9

7

Suy luận không lôgic.

71,4

8

Diễn đạt kém.

57,1

Nhƣ vậy kết quả điều tra cho thấy HS còn mắc nhiều sai lầm khi giải tốn hình
học và mọi HS đều có thể mắc sai lầm khi giải Toán.
1.5.2. Điều tra từ học sinh
Trong q trình giảng dạy (mơn Hình học) và kiểm tra thƣờng xuyên và chu kỳ
ở các lớp khối 10, khối 12 thì HS cịn mắc một số sai lầm phổ biến nhƣ: sai lầm khi
ghi chép, tính tốn; sai lầm khi vận dụng định nghĩa, công thức, định lý hoặc nhớ sai
cơng thức, tính chất; sai do biểu diễn hình không đúng; sai lầm do không nắm vững
bản chất vấn đề, không lường hết các trường hợp.

15


*) Một số hình ảnh minh họa

Hình 1.1: Sai lầm do ghi chép và tính tốn.

Hình 1.2: Sai lầm về luận cứ khơng đúng (với ABCD là hình vng cạnh a)

16


Hình 1.3: Sai lầm về luận cứ (đƣờng nằm ở mặt ngồi lại vẽ nét đứt đoạn)

Hình 1.4: Sai lầm về luận cứ (sai cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến
một đƣờng thẳng, sai công thức xác định góc A).

17


Hình 1.5: Sai lầm về luận chứng khơng hợp lơgic (thiếu điều kiện tồn tại PT
đƣờng thẳng trong hệ Oxy)

Hình 1.6: Sai lầm về luận chứng không hợp lôgic, sai lầm do tính tốn, sai lầm
do khơng nắm vững các trƣờng hợp riêng của PT mặt phẳng

18