Áp dụng phương pháp lấy mẫu lặp để đánh giá xác suất rủi ro trong bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------------------------------

NGUYỄN TRUNG PHÚ

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU
LẶP ĐỂ ĐÁNH GIÁ XÁC SUẤT RỦI RO
TRONG BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ

Hà Nội - 2008


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-----------------------

NGUYỄN TRUNG PHÚ

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU LẶP
ĐỂ ĐÁNH GIÁ XÁC SUẤT RỦI RO
TRONG BẢO HIỂM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. BÙI KHỞI ĐÀM

Hà Nội - 2008


Luận văn thạc sĩ

1

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới PGS.TS Bùi Khởi Đàm vì
tất cả những gì thầy đã chỉ bảo động viên giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực
hiện đồ án này. Những điều thầy chỉ bảo không những giúp tơi trong q trình
làm đồ án mà cả trong cuộc sống, trong công tác.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn Tin ứng dụng đã hết
lịng truyền thụ kiến thức và kinh nghiệm của mình cho chúng tôi trong suốt
những năm qua.
Cuối cùng tôi cũng xin cảm ơn tới tất cả các bạn trong nhóm đồ án đã góp
ý, xây dựng ý kiến cho mình để đồ án hồn thành tốt hơn.

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

2

Mục lục
Lời giới thiệu .......................................................................................................... 3
Chương 1 Q trình bồi thường ............................................................................ 5

1.1 Mơ hình .................................................................................................................. 5
1.2 Các đặc trưng của mơ hình phân phối mũ. .......................................................... 11

Chương 2 Q trình số lần bồi thường................................................................ 17
2.1. Mơ hình ............................................................................................................... 17
2.2. Các tính chất của q trình Poisson .................................................................... 21

Chương 3 Quá trình bồi thường tổng thể và quá trình ........................................ 44
rủi ro trong tái bảo hiểm ....................................................................................... 44
3.1 Mơ hình q trình bồi thường tổng thể ................................................................ 44
3.2 Mơ hình của q trình rủi ro trong tái bảo hiểm .................................................. 51

Chương 4 Quá trình dự trữ và vấn đề phá sản .................................................... 52
4.1 Mơ hình ................................................................................................................ 52
4.2 Bất đẳng thức Kolmogorov cho supermartingale dương..................................... 57
4.3 Bất đẳng thức Lundberg ...................................................................................... 61

Chương 5 Đánh giá xác suất rủi ro phi tham số ................................................. 64
5.1 Giới thiệu ............................................................................................................. 64
5.2 Phương pháp đánh giá ......................................................................................... 66
5.3 Chứng minh ......................................................................................................... 68
5.4 Mô phỏng số ........................................................................................................ 71

Kết luận ................................................................................................................ 73
Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 74
Phụ lục .................................................................................................................. 75

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008

Luận văn thạc sĩ

3

Lời giới thiệu
Lý thuyết xác suất thống kê toán học là một ngành toán học ra đời khoảng
thế kỷ XVII. Đối tượng nghiên cứu của xác suất thống kê là các hiện tượng ngẫu
nhiên, các quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế. Khác với
một số mơn tốn học trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê được xây dựng dựa
trên các công cụ tốn học hiện đại như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, ... nhưng
lại gắn liền với các bài toán thực tế cuộc sống, trong tự nhiên và xã hội.
Ngày nay các mơ hình xác suất thống kê đã thực sự được áp dụng rộng rãi
trong tất cả các lĩnh vực của cuộc sống hàng ngày cũng như trong khoa học,
trong đó lý thuyết rủi ro là một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết
xác suất. Do vai trò lớn trong thực tế nên lý thuyết rủi ro là một mảng mà mọi
người nghiên cứu về ứng dụng đều phải quan tâm.
Lý thuyết rủi ro tập trung vào việc xác định xem khi nào thì xảy ra sự phá
sản và xác suất của sự kiện đó là bao nhiêu đồng thời nó cũng đề cập đến vấn đề
dự phòng và tái bảo hiểm. Chúng ta giả sử rằng trong một doanh nghiệp bảo
hiểm thì một trong những khía cạnh được quan tâm nhất là làm cách nào để
doanh nghiệp ln phát triển và do đó họ quan tâm đến việc xác định ở một thời
điểm bất kỳ thì xác suất phá sản là bao nhiêu. Trong đồ án này người đọc có thể
tìm hiểu các kiến thức tổng quan nhất về lý thuyết rủi ro từ những khái niệm như
quá trình bồi thường, quá trình số lần bồi thường và sau đó là mơ hình dự trữ và
vấn đề phá sản.

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

4

Đồ án được chia làm 5 chương.
Chương 1: Đây là chương trình bày về quá trình bồi thường. Chúng ta sẽ
tìm hiểu mơ hình thực tế của lý thuyết rủi ro trong các công ty bảo hiểm. Ngồi
ra, trong chương 1 chúng ta tìm hiểu sâu hơn về các đặc tính của phân phối mũ.
Chương 2 : Giới thiệu về quá trình số lần bồi thường, chúng ta tiếp tục đi
tìm hiểu một trong hai khái niệm quan trọng của lý thuyết rủi ro.
Chương 3: Chương này tiếp tục đi sâu hơn về tổng số các quá trình bồi
thường và chúng ta tìm hiểu mơ hình rủi ro và tái bảo hiểm .
Chương 4: Chúng ta nghiên cứu mơ hình dự trữ và vấn đề phá sản. Đây là
chương giúp chúng ta hiểu kỹ hơn về mô hình rủi ro.
Chương 5: Đề cập đến việc ước lượng xác suất rủi ro của một mơ hình cụ
thể. Trong chương này chúng ta tìm hiểu phương pháp xác định xác suất phá sản
ở một thời điểm xác định và cách ước lượng nó.

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


THESIS SUMMARY
Thesis:

Applying methods sample reuse to evaluate the probability of
risk insurance.

Supervisor: Associate Professor.PhD. Bui Khoi Dam
Student: Nguyen Trung Phu
Probability theory is a statistics department of mathematical study of
the phenomenon of random and applications of it. Today the mathematical

model in theoretical probability statistics are applied widely in many fields of
life, especially the model was applied in the financial system. Defining the
exact risks of this system has great role in the national economy.
The content of the projects presented on the concept of risk theory
from the basic concept as claim arrival process and claim number process to
the aggregate claims process and the reserve process and the ruin problem.
This is part of the heart of theoretical risk because the research model we
learned from the new information need to know about the system as a time in
any of the probability of bankruptcy is how much. The end of the projects
mentioned more methods to assess probability of a bankruptcy system at the
same time giving the estimated probability of bankruptcy.
Key words : Risk theory, claim arrival process, claim number process,
aggregate claims process, the reserve process and the ruin problem


TÓM TẮT
Tên đề tài: Áp dụng phương pháp lấy mẫu lặp để đánh giá xác suất rủi ro
trong bảo hiểm.
GVHD: PGS.TS. Bùi Khởi Đàm
Học viên: Nguyễn Trung Phú
Lý thuyết xác suất thống kê là một bộ phận của toán học nghiên cứu
các hiện tượng ngẫu nhiên và ứng dụng của nó. Ngày nay các mơ hình tốn
học trong lý thuyết xác suất thống kê đang được áp dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực cuộc sống, đặc biệt là các mô hình được áp dụng trong hệ thống tài
chính. Việc xác định chính xác rủi ro của hệ thống này có vai trò to lớn trong
hệ thống kinh tế quốc dân.
Nội dung của đồ án trình bày về các khái niệm trong lý thuyết rủi ro
(risk theory) từ những khái niệm cơ bản nhất như quá trình bồi thường (claim
arrival process) và quá trình số lần bồi thường (claim number process) cho
đến quá trình bồi thường tổng thể(aggregate claims process) và quá trình dự

trữ và vấn đề phá sản (the reserve process and the ruin problem). Đây là phần
trọng tâm của lý thuyết rủi ro vì qua việc nghiên cứu mơ hình chúng ta mới
rút ra được những thơng tin cần biết về hệ thống như ở một thời điểm bất kỳ
thì xác suất phá sản là bao nhiêu. Phần cuối của đồ án đề cập chi tiết đến
phương pháp đánh giá xác suất phá sản của một hệ thống đồng thời đưa ra
cách ước lượng xác suất phá sản.
Từ khoá: lý thuyết rủi ro, quá trình bồi thường, quá trình số lần bồi
thường, tổng số các quá trình bồi thường, quá trình dự trữ và vấn đề phá sản.


Luận văn thạc sĩ

5

Chương 1
Quá trình bồi thường
Để đánh giá xác suất rủi ro trong hệ thống công ty bảo hiểm chúng ta sẽ
nghiên cứu theo trình tự thời gian. Chúng ta sẽ bắt đầu từ các quá trình sau.
Quá trình bồi thường
Quá trình số lần bồi thường
Quá trình bồi thường tổng thể.
Quá trình dự trữ.
Trước tiên chúng ta nghiên cứu quá trình bồi thường và quá trình số lần
bồi thường một cách riêng rẽ vì chúng chính phần trọng tâm của vấn đề.
Trong chương này chúng ta nghiên cứu quá trình bồi thường. Giai đoạn
đầu chúng ta quan tâm đến các khái niệm tổng quát. Phần tiếp theo chúng ta đi
sâu nghiên cứu phân phối mũ với hệ thống khơng nhớ trong khoảng (0, ∞) .

1.1 Mơ hình
Chúng ta quan tâm đến độ rủi ro của các danh mục đầu tư, đó là những

danh mục đã được bảo hiểm của các công ty bảo hiểm. Những rủi ro tạo ra những
q trình bồi thường và trả phí bảo hiểm cho người bảo hiểm do cơng ty bảo hiểm
thanh tốn. Danh mục đầu tư có thể bao gồm một chỉ một hoặc có thể bao gồm
nhiều rủi ro.
Chúng ta giả sử rằng các công ty bảo hiểm chủ yếu quan tâm đến tồn bộ đến
danh mục đầu tư. Đó là cân bằng giữa tiền thu được do bán bảo hiểm và phí bảo
hiểm cho tất cả những trường hợp đền bù bảo hiểm. (Tất nhiên, tiền thu được do

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

6

bán bảo hiểm thặng dư nhiều hơn so với phí tổn bảo hiểm đó là điều tốt). Trong
trường hợp nơi nào danh mục đầu tư bao gồm nhiều trường hợp rủi ro, thì cơng ty
bảo hiểm khơng quan tâm những loại rủi ro nào trong danh mục đầu tư là nguyên
nhân của một trường hợp thanh toán cụ thể. Đó là cái nhìn bao qt về lý thuyết rủi
ro.
Chúng ta giả sử xa hơn rằng những quá trình bồi thường với danh mục đầu tư
khi xảy ra là biến ngẫu nhiên trong một khoảng thời gian vô tận nhưng bắt đầu từ
thời điểm 0 và chúng thoả mãn.
+ Khơng có q trình bồi thường xảy ra ở thời điểm 0.
+ Khơng có hai q trình bồi thường xảy ra đồng thời.
Với giả sử khơng có hai q trình bồi thường cùng xảy ra ở một thời điểm
cũng khơng làm mất tính tổng qt của mơ hình. Thực ra nó sẽ khơng xảy ra nếu
danh mục đầu tư là một danh mục nhỏ.
Khi chúng ta giả sử rằng khơng có hai q trình bồi thường xảy ra đồng thời
thì nó cũng khơng thay đổi nhiều lắm quan điểm về mơ hình rủi ro của chúng ta vì

khi đó chúng ta quan tâm đến chuỗi sự kiện bồi thường (như trong tai nạn xe hơi
chẳng hạn) thay cho một sự kiện bồi thường. Số sự kiện bồi thường trong chuỗi sự
kiện bồi thường được gọi là kích thước của của chuỗi sự kiện này. Phần này được
chúng ta thảo luận trong chương 3.
Bây giờ chúng ta chuyển ý tưởng trong phần trên thành các cơng thức trong
mơ hình xác suất.
Định nghĩa quá trình bồi thường
Một chuỗi các biến ngẫu nhiên {Tn } với n ∈ N 0 được gọi là quá trình bồi
thường nếu tồn tại một tập Ω T ∈ F đối với mọi ω ∈ Ω \ Ω T

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

7

+ T0 (ω ) = 0
+

Tn −1 (ω ) < Tn (ω ) với mọi n ∈ N

Thì chúng ta có Tn (ω ) > 0 với mọi n ∈ N và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T . Tập Ω T được
gọi là tập null ngoại lệ (exceptional null set) của quá trình bồi thường {Tn } với
n ∈ N0 .

Đối với quá trình bồi thường {Tn } với n ∈ N 0 chúng ta định nghĩa
Wn = Tn − Tn −1

(1.1.1)

Do có giả thiết Tn −1 (ω ) < Tn (ω ) cho nên ta có Wn ln dương với mọi n ∈ N và
với mọi ω ∈ Ω \ Ω T . Do đó
E[Wn ] > 0

(1.1.2)

Và với mọi n thì chúng ta có thể biểu diễn cơng thức tính Tn qua các giá trị
Wn như sau
n

Tn = ∑ Wk

(1.1.3)

k =1

Chuỗi các {Wn } với n ∈ N được gọi là quá trình chờ bồi thường được bao
gồm bởi quá trình thanh toán tiền {Tn }với n ∈ N 0 .
Chú giải
Tn là thời điểm xảy ra q trình thanh tốn tiền lần thứ n.
Wn là khoảng thời gian giữa hai lần thanh toán tiền thứ (n-1) và lần thứ n.

Như đã đề cập ở phần trước của chương thì {Tn }với n ∈ N 0 được gọi là quá
trình bồi thường và {Wn } với n ∈ N gọi là quá trình chờ bồi thường được bao gồm
bởi quá trình bồi thường {Tn }với n ∈ N 0 và không mất tính tổng quát chúng ta giả sử
rằng tập null ngoại lệ của quá trình bồi thường là một tập rỗng.
Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008

Luận văn thạc sĩ

8

n

Theo công thức Wn = Tn − Tn −1 và Tn = ∑ Wk với n ∈ N thì chúng ta hồn tồn
k =1

thấy rằng đây là hai q trình có tác động lẫn nhau. Sau đây chúng ta cùng đi tìm
hiểu các tính chất của chúng.
1.1.1. Bổ đề
Chúng ta có đẳng thức
σ ({Tk }) = σ ({Wk })

với k ∈ {0,1,2.....n} (1.1.4)

Đẳng thức trên đúng với mọi n ∈ N .
Xa hơn thì với n ∈ N thì Tn và Wn biểu thị nó là một véctơ ngẫu nhiên từ
Ω → R n với các toạ độ Ti và Wi là các giá trị riêng biệt. Chúng ta gọi M n là ma trận

vng có kích thước n được định nghĩa như sau.
mij = 1 nếu i ≥ j
mij = 0 khi i〈 j

Thì ma trận M n thoả mãn điều kiện det M n =1 và chúng ta có các đẳng thức
Tn = M n oWn và Wn = M n−1oTn .

1.1.2 Bổ đề
Với mọi n ∈ N thì các phân phối của Tn và Wn thoả mãn

PTn = ( PWn ) M n và PWn = ( PTn ) M −1
n

(1.1.5)

Giả sử rằng trong mơ hình của chúng ta khơng bao gồm việc có khả năng vô
hạn các sự kiện bồi thường trong một khoảng thời gian hữu hạn tức là

{Sup n∈N Tn < ∞}
Đây chính là q trình bùng nổ(explosion).

Nguyễn Trung Phú Tốn công nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

9

1.1.3 Bổ đề
Nếu Sup n∈N E[Tn ] < ∞ thì xác suất của quá trình bùng nổ ln bằng một.
Điều đó là hiển nhiên theo lý thuyết hội tụ đều.
1.1.4 Hệ quả
∞

Nếu

∑ E[W
n =1

n

] < ∞ thì xác suất của q trình bùng nổ ln bằng một.

Khi nghiên cứu mơ hình bảo hiểm trong kinh doanh, một trong những quyết
định quan trọng là xác suất của quá trình bùng nổ có bằng 0 hay khác 0 và quyết
định đó đương nhiên tập trung vào phân phối của quá trình bồi thường.
Với n ∈ N thì đồ thị Tn được định nghĩa bởi ánh xạ
Un : Ω → Ω× R
U n (ω ) = (ω , Tn (ω ) )

Với mỗi U n là một tập đo được trong F − F ⊗ B(R) với đọ đo µ được định
nghĩa như sau.
µ : F ⊗ B( R) → [0, ∞)
∞

µ[C ] = ∑ PU [C ]
n =1

n

Và µ được gọi là độ đo trong quá trình bồi thường {Tn } với n ∈ N 0 .
1.1.5 Bổ đề
Chúng ta cú ng thc.






à[ A ì B] = ∑ χ{Tn ∈ B}dP

A  n =1

với ∀A ∈ F và B ∈ B(R) .
Chứng minh:

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008



(1.1.6)


Luận văn thạc sĩ

10

Từ U n−1 ( A × B) = A ∩ {Tn ∈ B} chúng ta có
∞

µ[ A × B] = ∑ PU [ A × B]
n =1

n

∞

= ∑ P[ A ∩ {Tn ∈ B}]
n =1
∞

=

∑ ∫ χ {T

n

n =1 A



∈ B}dP

∞



= ∫  ∑ χ {Tn ∈ B}dP
A

 n =1



Ta có điều phải chứng minh. Kết quả này sẽ liên kết với việc đo bồi thường
trong quá trình số lần bồi thường ở chương 2.
Hầu hết các kết quả trong phần này tập trung vào các phân phối mà chúng ta
nghiên cứu là các phân phối liên tục và theo độ đo Lebesgue. Chúng được gọi là mơ
hình liên tục theo thời gian. Trong các trường hợp dưới đây, khơng làm mất tính
tổng qt thì chúng ta giả sử trong các mơ hình thì q trình bồi thường ln có các
giá trị ngun dương và trong trường hợp này chúng ta gọi nó là mơ hình rời rạc.

Mơ hình rời rạc thi thoảng vẫn được coi là xấp xỉ của mơ hình liên tục nếu đơn vị
thời gian nhỏ nhưng chúng ta sẽ thấy các tính chất của mơ hình rời rạc khác với
mơ hình liên tục theo thời gian hay nói một cách khác mơ hình rời rạc là mơ hình
đơn giản nhất của trong các mơ hình nếu danh mục đầu tư là nhỏ.
Một trong những chủ đề khác liên quan đến mơ hình là bảo hiểm nhân thọ.
Trong trường hợp đơn giản nhất chúng ta quan tâm đến biến ngẫu nhiên đơn Tn
thoả mãn P[Tn > 0] = 1 với giải thích là thời gian chết của từng phần bảo hiểm riêng
lẻ được gọi là bảo hiểm nhân thọ giản đơn. Tổng quát hơn chúng ta quan tâm đến
chuỗi biến ngẫu nhiên không vô hạn Tn mà thỏa mãn P[{T0 = 0}] = 1 và

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

{

11

}

P Tn −1 < Tn = 1 với mọi n là số tự nhiên và Tn được gọi là thời gian không tồn tại của

phần tử thứ n thì đó là đặc tả mơ hình bảo hiểm nhân thọ tổng qt.

1.2 Các đặc trưng của mơ hình phân phối mũ.

Một trong những vấn đề tinh tế trong mơ hình xác suất là sự chọn lựa phân

phối biến số ngẫu nhiên trong mơ hình. Một cách xác thực hơn, đó là tập hợp phân

phối của tất cả những biến ngẫu nhiên bất kì cần phải được xác định. Để thực hiện
sự lựa chọn thích hợp này, chúng ta cần biết các phân phối và các đặc tính của
chúng.
Trong mơ hình trình bầy ở đây rất phù hợp cho quá trình chờ bồi thường.
Vấn đề này được giảm bớt nếu chúng ta coi khoảng thời gian giữa hai lần bồi
thường được cho là độc lập, nhưng thậm chí trong trường hợp đó sự lựa chọn thích
hợp phân phối thích hợp cho q trình chờ bồi thường đơn là khơng thật rõ ràng.
Trong những gì dưới đây chúng ta sẽ xem xét phân phối mũ với các tính chất đơn
giản giúp quyết định nên hay không nên trong kinh doanh bảo hiểm cụ thể chúng ta
xấp xỉ quá trình chờ bồi thường với phân phối mũ.
Trong phần này chúng ta quan tâm đến biến ngẫu nhiên W và được gọi là thời
gian chờ.
Nếu W có phân phối mũ với tham số là α thì hàm tồn tại(survival function)
được định nghĩa như sau
R → [0,1]

w  P[{W > w}]

với phân phối của W thoả mãn P[{W > w}] = e −αw với mọi w là các số thực
dương.

Nguyễn Trung Phú Toán công nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

12

Theo đó
P[W > s + t ] = P[W > s ]P[W > t ]

sẽ tương đương với
P[W > s + t | W > s ] = P[W > t ]

với mọi số thực dương s,t
Đẳng thức thứ nhất chính là thời gian tồn tại trong mơ hình mũ cịn trong
đẳng thức thứ hai nghĩa là thời gian chờ nhiều hơn s thời gian khơng có tác dụng
trong thời gian chờ cịn lại. Vì vậy người ta nói phân phối mũ khơng nhớ(qn q
khứ).
Trước khi cơng thức hố các tính chất của phân phối khơng nhớ chúng ta giả
sử W là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tham số là α và hai giá trị s,t đều là
các số thực dương.
Phân phối Q : B(R ) → [0,1] được gọi là phân phối không nhớ trên S ∈ B(R ) nếu nó
thoả mãn.
+ Q [{0}] = 1
+ Q[{s + t , ∞}] = Q[{s, ∞}]Q[{t , ∞}]

với mọi s, t ∈ S
Phần tiếp theo chúng ta tìm hiểu một số tính chất của phân phối không nhớ.
1.2.1 Định lý
Nếu Q : B(R ) → [0,1] là phân phối không nhớ trên S ∈ B(R ) . Nếu 0 ∈ S thì Q thoả
mãn hoặc Q [{0}] = 1 hoặc Q [(0, ∞ )] = 1

Chứng minh
Giả sử Q [(0, ∞ )] < 1 từ 0 ∈ S chúng ta có

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

13

Q[(0, ∞)] = Q[(0, ∞)]Q[(0, ∞)]
= Q[(0, ∞)]2

Do đó
Q [(0, ∞ )] = 0

và

Q [(t , ∞ )] = Q [(t , ∞ )].Q [(0, ∞ )] = 0 với mọi t ∈ S

Chúng ta định nghĩa t := inf S và chọn trong chuỗi {t n }n∈N ⊆ S với t là các giá
trị giảm theo t. Chúng ta có
Q [(t , ∞ )] = sup n∈N Q [(t n , ∞ )] =0

Từ Q [S ] = 1 chúng ta sẽ có
Q [(− ∞, t )] = 0

Do đó chúng ta có
Q [{t}] = 1

Kể từ đây Q [{ t} ∩ S ] = 1 và t ∈ S
Cuối cùng từ 0 ∈ S thì hoặc t < 0 hoặc t = 0 . Nhưng khi t < 0 trong khoảng
t ∈ (2t , ∞ ) chúng ta có

Q[{t}] ≤ Q[(2t , ∞)]
= Q[(t , ∞)]Q[(t , ∞)]

= Q[(t , ∞)]2

Điều này là không thể. Do đó chúng ta có t = 0 thì Q [{0}] = 1
Dưới đây là các kết quả của phân phối mũ.
1.2.2 Định lý
Với phân phối Q : B(R ) → [0,1] thì các phát biểu sau đây là tương đương.

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

14

a) Q là không nhớ trên (0, ∞ )
b) Q = Exp(α ) với α ∈ (0, ∞ )
Trong trường hợp này α = − logQ[(1, ∞ )]
Chứng minh
Chú ý rằng Q = Exp(α ) nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn
Q [(t , ∞ )] = e −αt

với t ∈ [0, ∞ )
Giả sử chúng ta có điều kiện a). Chúng ta có đẳng thức
Q [(1, ∞ )] = Q [(1, ∞ )] n

và
Q [(1, ∞ )] = Q [(1 / n, ∞ )] n

với n ∈ N
Theo cách đó Q [(1, ∞ )] = 1 là khơng thể bởi vì

0 = Q[φ ]

= inf n∈N Q[(n, ∞ )]
= inf n∈N Q[(1, ∞ )]

n

và Q [(1, ∞ )] = 0 là khơng thể bởi vì
1 = Q[φ ]
= sup n∈N Q[(n, ∞ )]

= sup n∈N Q[(1, ∞ )]

n

Do đó chúng ta có
Q [(1, ∞ )] ∈ (0,1)

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

15

Theo định nghĩa α := − log Q [(1, ∞ )] và do α ∈ (0, ∞ ) chúng ta có
Q [(1, ∞ )] = e −α

Cùng với các kết quả
Q [(m / n, ∞ )] = Q [(1, ∞ )]

m/n

( )

= e −α
= e −α

m/n

m/n

Với mọi m, n∈ N
Q [(t , ∞ )] = e −α t

với mọi t ∈ (0, ∞ ) ∩ Q . Cuối cùng với mỗi t ∈ [0, ∞ ) chúng ta có thể chọn
một chuỗi {t n }n∈N ⊆ (0, ∞ ) ∩ Q với giá trị của t giảm và chúng ta có
Q [(t , ∞ )] = sup n∈N Q [(t , ∞ )]
= sup n∈N e −α t
= e −α t

Bởi vì Q = Exp(α ) do đó từ a) ta có b)
Chiều ngược lại từ b) ra a) là hiển nhiên
1.2.3. Hệ quả
Cho một phân phối Q : B(R ) → [0,1] , các kết quả sau đây là tương đương
(a) Q là phân phối không nhớ trên R+
(b) Hoặc là Q = δ 0 hoặc Q = Exp(α ) với mỗi α ∈ (0, ∞ ) .
Chứng minh
Phần kiểm tra được thực hiện ngay trong định lý 1.2.1 và 1.2.2

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

16

1.2.4 Hệ quả
Khơng có một phân phối không nhớ nào trong R
Nếu Q : B(R ) → [0,1] là phân phối khơng nhớ trong R thì hoặc Q = δ 0 hoặc Q là
phân phối mũ với tham số α . Theo định lý 1.2.1và bổ đề 1.2.3 hay một cách khác
khơng có phân phối khơng nhớ trên R.

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

17

Chương 2
Quá trình số lần bồi thường
Trong chương trước chúng ta đã hình thành nên mơ hình chung khi xảy ra
của các sự kiện đòi bồi thường trong ngành kinh doanh bảo hiểm và chúng ta cần
nghiên cứu quá trình bồi thường chi tiết hơn nữa.
Trong chương này chúng ta bắt đầu từng bước đẩy mạnh hơn việc giới
thiệu quá trình số lần bồi thường. Quá trình Poisson sẽ được nghiên cứu ở trong
chương này.
Đầu tiên chúng tơi giới thiệu tổng quan về q trình số lần bồi thường và
chỉ ra rằng quá trình số lần bồi thường và quá trình bồi thường chúng quyết định

lẫn nhau (phần 2.1). Cuối cùng chúng ta chứng minh kết quả chính của chương
này – tính chất của q trình Poisson.

2.1. Mơ hình
Một tập hợp các biến ngẫu {N t }t ∈R là q trình số lần bồi thường nếu như
+

có tồn tại 1 tập hợp null Ω N ∈ F , với mọi ω ∈ Ω \ Ω N thoả mãn.
+ N 0 (ω ) = 0
+

N t (ω ) ∈ N 0 ∪ {∞} với mọi t ∈ (0, ∞)

+

N t (ω ) = inf s∈(t ,∞ ) N s (ω ) với mọi t ∈ R+

+

Sup s∈[ 0,∞ ) N s (ω ) ≤ N t (ω ) ≤ Sup s∈[ 0,t ) N s (ω ) + 1 với mọi t ∈ R+

+

Supt∈R+ N t (ω ) = ∞

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

18

Một tập hợp null Ω N được coi là tập hợp null ngoại lệ của quá trình số lần
bồi thường {N t }t∈R .
+

Giải thích
N t là số vụ bồi thường trong khoảng (0, t].

Khi ta vẽ trên đồ thị thì phần lớn các đường của {N t }t∈R bắt đầu từ 0, liên
+

tục về bên phải, có bước nhẩy tại điểm gián đoạn, và tăng tới vơ tận.
2.1.1 Định lý
(a) Cho {Tn }n∈N

là một q trình bồi thường. Với mọi t ∈ R+ và ω ∈ Ω

0

xác định được:
∞

N t (ω ) := ∑ χ {Tn ≤t } (ω ).

(2.1.1)

n =1

và sau đó {N t }t∈R là quá trình số lần bồi thường mà Ω N = Ω T và:

+

T n (ω ) = inf {t ∈ R+ | N t (ω ) = n}

(2.1.2)

với mọi n ∈ N 0 và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T
(b) Cho {Tn }n∈N là một quá trình bồi thường. Với mọi n ∈ N 0 và ω ∈ Ω
0

T n (ω ) = inf {t ∈ R+ | N t (ω ) = n}

(2.1.3)

Thì {Tn }n∈N được gọi là quá trình số lần bồi thường với Ω T = Ω N chúng ta
0

định nghĩa
∞

N t (ω ) := ∑ χ {Tn ≤t } (ω ).
n =1

với với mọi n ∈ N 0 và với mọi ω ∈ Ω \ Ω T
Việc chứng minh định lý 2.1.1 là điều dễ dàng

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008

(2.1.4)

Luận văn thạc sĩ

19

Với phần còn lại của chương này, cho {N t }t∈R là một quá trình số lần bồi
+

thường, cho {Tn }n∈N là quá trình bồi thường gây ra bởi quá trình số lần bồi
0

thường, và cho {Wn }n∈N là quá trình chờ bồi thường tạo ra bởi tiến trình bồi
thường. Chúng ta giả định rằng tập null ngoại lệ là tập rỗng.
Vì giả định rằng tập hợp null ngoại lệ là tập hợp rỗng, chúng ta có 2 tính
đồng nhất hữu ích mà đơn giản, nó chỉ ra rằng các sự kiện chắc chắc được xác
định bởi q trình số lần bồi thường và được mơ tả là sự kiện được xác định bởi
quá trình bồi thường, và ngược lại.
2.1.2 Bổ đề Chúng ta có các đẳng thức:
(a) {N t ≥ n} = {Tn ≤ t}

(2.1.5)

(b) {N t = n} = {Tn ≤ t} \ {Tn+1 ≤ t} = {Tn ≤ t  Tn+1 }

(2.1.6)

với mọi n ∈ N 0 và ω ∈ Ω \ Ω T
Kết quả trên đây biểu diễn theo một cách thức đặc biệt súc tích, thực tế là
q trình số lần bồi thường và quá trình bồi thường đến chứa đựng các thơng tin
giống nhau.

2.1.3 Bổ đề: Ta có đẳng thức

(

) (

σ {Tn }t∈R = σ {Tn }n∈N
+

0

)

(2.1.7)

Như sự thảo luận ở phần trên chúng ta thấy sự kiện nổ là nhóm các quá
trình số lần bồi thường.
2.1.4 Bổ đề
Xác suất của sự kiện nổ thoả mãn:

[

]

P[{sup n∈N Tn < ∞}] = P[ t∈N {N t = ∞}] = P  t∈(0,∞ ) {N t = ∞} (2.1.8)

Chứng minh

Nguyễn Trung Phú Toán công nghệ 2006-2008

Luận văn thạc sĩ

20

Từ họ các tập hợp {{N t = ∞}}t∈(0,∞ )

là một họ tăng, chúng ta có:

 t∈(0,∞ ) {N t = ∞} =  t∈N {N t = ∞}

Do bổ đề 2.1.2, ta có:
 t∈(0,∞ ) {N t = ∞} =  t∈N {N t = ∞}

=  t∈N  n∈N {N t ≥ n}
=  t∈N  n∈N {Tn ≤ t}
=  t∈N {sup n∈N Tn ≤ t}
= {sup n∈N Tn < ∞}
2.1.5 Hệ quả
Giả định rằng q trình số lần bồi thường có kỳ vọng là hữu hạn thì xác
suất để xảy ra quá trình nổ bằng 0.
Chứng minh
Nhờ giả định chúng ta có E[ N t ] < ∞ Vì thế P[{N t = ∞}] = 0 với mọi
t ∈ (0, ∞) . Sự khẳng định xuất phát từ bổ đề 2.1.4.

Việc thảo luận về quá trình số lần bồi thường sẽ được mở rộng ra qua
thuộc tính của số gia – số gia được định nghĩa như sau:
Với mỗi s, t ∈ R+ do s ≤ t, số gia của quá trình số vụ bồi thường {N t }t∈R

+

Trên khoảng ( s, t ] được xác định là:
N t − N s :=

∞

∑ χ {s < T
n =1

n

≤ t} .

Nếu N 0 = 0 và Tn > 0 với mọi n là số nguyên dương; điều này phù hợp với
định nghĩa của N t ; hơn nữa chúng ta có.

Nguyễn Trung Phú Tốn công nghệ 2006-2008


Luận văn thạc sĩ

21

N t (ω ) = ( N t − N s )(ω ) + N s (ω )

Đièu này đúng ngay cả khi N s (ω ) là vơ hạn.
2.1.6 Bổ đề Ta có đẳng thức
µ [A × (s, t ]] = ∫ (N t − N s )dP
A

(2.1.9)

với mọi A ∈ F và s, t ∈ R+ s ≤ t:
Chứng minh
Nhờ bổ đề 1.1.5 và định nghĩa của N t − N s đẳng thức trên được chứng
minh.
Trong mơ hình rời rạc thời gian, chúng ta có N t = N t + h với mọi t ∈ N 0 và
h ∈ [0,1) do đó nếu trong trường hợp tập hợp các chữ số của tiền trình số lần bồi

thường {N t }t∈R là giảm cho tới N0; chúng ta sẽ chuyển sang tập hợp {N t }t∈N là
+

0

quá trình số lần bồi thường với {Tn }n∈N .
0

2.2. Các tính chất của q trình Poisson
Q trình số lần bồi thường {N t }t∈R có
+

- Số gia độc lập với mọi m ∈ N và t 0 , t1 ,......t m ∈ R+ mà 0 = t 0 < t1 < t 2 .... < t m
thì họ các số gia {N t + h − N t
j

j −1 + h

} j∈{1, 2.....m} cũng là độc lập

- Số gia dừng với mọi m ∈ N và t 0 , t1 ,....t m , h ∈ R+ mà 0 = t 0 < t1 < t 2 .... < t m thì

tập hợp các số gia {N t + h − N t
j

j −1 + h

} j∈{1, 2.....m} cũng có cùng phân phối xác suất.

- Một tiến trình Poisson với tham số α ∈ (0, ∞) nếu nó có số gia độc lập
dừng mà PN = P(αt ) với mọi t ∈ (0, ∞)
t

Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008