đề thi hsg toán 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.54 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

PHỊNG GD-ĐT HỒNG LĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 01

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018

PHẦN THI CÁ NHÂN 
Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức

4 1.3 8 3.5 12 5.7 240 119.121

1 3 3 5 5 7 119 121

S         

    

Câu 2: Tìm a, b biết: 2a5+1=3b −2
7 =

2a+3b −1
6a

Câu 3. Có 6 đơi giày màu trắng và 13 đôi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra
ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà khơng nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đơi cùng màu và đi

được.

Câu 4. Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 2 nhưng khơng chia hết cho 3. Tìm dạng chung của a.
Câu 5. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2017 với S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 6. Giải phương trình 3 x 3 3 x 633, biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho

x a

Câu 7. Tìm x và y biết: x2y2 10 vàxy3

Câu 8. Tìm các số tự nhiên x, y biết x22xy2y2 25

Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết AB = 4cm; AC = 5cm và AM = 
41
2
cm. Tính diện tích ABC.

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 4cm; AC = 6cm. Tính BC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11. (7, 0 điểm)

a) Cho P =





3 1

2 4

x x

x
x x



 

  với x0. Rút gọn biểu thức P và tìm x để

2P
Q =

1-P là số
nguyên

b) Biết 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c . Tìm nghiệm cịn lại của P(x), biết b
và c là các số hữu tỷ.

c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn
1 1

x y  . Chứng minh x y  x1 y1
Câu 12. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng
AB tại K. Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

Câu 13. (4,0 điểm).

a) Tìm x, y biết: . 2 2 2
xy

x y y x

   

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x1 y y  y 1 x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x23xy 2y2 4y5

---

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Họ và tên thí sinh:... Số báo danh:...
Hướng dẫn chấm (Đề: 01)

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, khơng trình bày lời giải.
 -

Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

Đáp số: 
3

11 1
2



= 665 0.5

Câu 2

Đáp số: (a;b) = (
1 2

;
2 3


), (2;3) 0.5

Câu 3 Đáp số: 20. 0.5

Câu 4 Đáp số: a = 6k+2 hoặc 6k+4 (k là số nguyên) 0.5

Câu 5 Đáp số: 1994; 2012 0.5

Câu 6 Đáp số: x3; x6

Cách giải: Đặt ẩn phụ 0.5

Câu 7 Đáp số: (x,y)=(3;1);(1;3);(-1,-3);(-3,-1) 0.5

Câu 8 Đáp số: (x,y)=(5,0);(1,3). 0.5

Câu 9 Đáp số: . SABC 10cm2 0.5

Câu 10

Đáp số:

BC = 2 10 2 (cm)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vng 0.5
Câu 11

a)Ta có: P =









3 1 2 3 1 1 2

2 4

x x

x x x x

x x



       

 

Khi đó

2P 2

Q = 2

1-P 1 P . Để Q là số nguyên khi và chỉ khi 
2

1 P là số
nguyên

1
x


là số nguyên









1 1

n n Z x n Z

n
x

 

     

Vậy để Q là số nguyên thì 2

1
x

n


với n là số nguyên dương tùy ý.

2,0

0,5

0,5
b) Vì 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c nên



1 2



2b



1 2



  c 0



3 b c

 

 b2



2 0



3 b c

 

b 2



    

.
Nếu

3
2 0 2

2
b c
b

b
 

   



Do b, c là các số hữu tỷ nên
3

2
b c
b
 

 là số hữu tỷ, do đó 2 cũng là số 
hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì 2 là số vô tỷ. Vậy

2 0 2 1

b   b  c

Khi đó phương trình đã cho trở thành





2 2 1 0 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

x x

x x x

x x

     

         

   

 

 

Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 1 2

0,5

c) Từ
1 1

1 xy x y

x y     . Ta có

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>



x1 y1



2   x y 2 2



x1

 

y1



  x y 2 2 xy x y  1

2 2 1 1 1

x y x y x y x y

            1,5

Câu 12

1
1

E
F

I

K

D
H

C

B
A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

2 152

9 25 9 16

25
AB

HB cm HC BC HB cm

BC

        

;
+ AH  BH HC.  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên
CD = DB = AD, suy ra CAD C  và A1B .

Vì KH//AD nên K A1, do đó K B , từ đây suy ra tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

. .

AB AC

AB AI AC AK
AK AI

   

Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC
Vì K B nên tam giác HBK cân tại H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH .
Do đó IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50
0,50

c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2. 3 BE BC2. BC

Ta sẽ chứng minh CF BC CH2.  3.

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vng ta có:

2 . 4 2. 2 2. . 2. 3

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ;
Chứng minh tương tự ta cũng có: BE BC BH2.  3

Do đó 3 CF BC2. 3 BE BC2. 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

0,50
Câu 13 a) Ta có: điều kiện x y, 2 . Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:

2 2 2 2

. .

( 2)2 ( 2) 2 2

2 2

2 2 2

y x

x y

x y y x xy

x y y x

   



  

     

Dấu “=” xảy ra:

2 2

4
2 2

x

x y
y

 


    

 


0,25
1,50

0,25
b) Ta có: điều kiện x y, 1, từ x1 y y y1 x x

suy ra x1x x  y1y y

Do đó nếu xy1 thì x1x x y1y y, tương tự nếu

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1 x y  x1x x  y1y y , do đó x = y.

Vì x = y nên S = x23xy 2y2 4y5=2



y1



2 3 3 .
Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 1

0,25
0,25

HẾT 
---PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang. Đề số: 02

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC: 2017 - 2018

PHẦN THI CÁ NHÂN 
Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút

I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)
Câu 1: Tính giá trị biểu thức

4 1.3 8 3.5 12 5.7 160 79.81

1 3 3 5 5 7 79 81

S         

    

Câu 2: Tìm a, b biết:

2 3 3 4 2 3 1

7 9 8

a b a b

a

   

 

Câu 3. Có 7 đơi giày màu trắng và 14 đơi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp. Hỏi phải lấy ra
ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà khơng nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đơi cùng màu và đi
được.

Câu 4. Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 4 nhưng không chia hết cho 3. Tìm dạng chung của a.
Câu 5. Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2019 với S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 6. Giải phương trình 3 x 4 3 x 834, biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho

x a

Câu 7. Tìm x và y biết: x2y2 5 vàxy2

Câu 8. Tìm các số tự nhiên x, y biết 2x22xy y 225

Câu 9. Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC. Biết AB = 5cm; AC = 6cm và AM = 
61
2
cm. Tính diện tích ABC.

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH =6cm; AC = 7cm. Tính BC.
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11. (7, 0 điểm)

a) Cho P =





3 1

2 4

x x

x

x x



 

  với x0. Rút gọn biểu thức P và tìm x để

2P
Q =

1-P là số
nguyên

b) Biết 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c . Tìm nghiệm cịn lại của P(x), biết b
và c là các số hữu tỷ.

c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn
1 1

x y  . Chứng minh x y  x1 y1
Câu 12. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng
AB tại K . Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Tìm x, y biết: . 2 2 2
xy

x y y x

   

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 y y y 2 x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức S = x23xy 2y2 8x35

---

HẾT---Lưu ý: - Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị khơng giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:... Số báo danh:...
Hướng dẫn chấm (Đề: 02)

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, khơng trình bày lời giải.
 -

Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm

Câu 1

Đáp số: 
3

9 1
364
2




Câu 2

Đáp số: (a;b) = (
3 4

;
2 3


), (2;
13

3 )

Câu 3 Đáp số: 22.

Câu 4 Đáp số: a = 12k+4 hoặc 12k+8 (k là số nguyên)
Câu 5 Đáp số: 1995; 2013

Câu 6 Đáp số: x4; x8
Cách giải: Đặt ẩn phụ

Câu 7 Đáp số: (x,y)=(2;1);(1;2);(-1,-2);(-2,-1)
Câu 8 Đáp số: (x,y)=(0,5);(3,1).

Câu 9 Đáp số: . SABC 15cm2

Câu 10

Đáp số:

BC = 58 3 (cm)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Câu 11 a)Ta có:

P =









3 1 2 3 1 1 2

2 4

x x

x x x x

x x


       

 

Khi đó

2P 2

Q = 2

1-P 1 P . Để Q là số nguyên khi và chỉ khi 
2

1 P là số
nguyên

1
x


là số nguyên









1 1

n n Z x n Z

n

x

 

     

Vậy để Q là số nguyên thì 2

1
x

n


với n là số nguyên dương tùy ý.

2,0

0,5

b) Vì 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c nên



1 2



2b



1 2



  c 0



3 b c

 

 b2



2 0



3 b c

 

b 2



    

.
Nếu

3
2 0 2

2
b c
b

b
 

   



Do b, c là các số hữu tỷ nên
3

2
b c
b
 

 là số hữu tỷ, do đó 2 cũng là số 
hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì 2 là số vô tỷ. Vậy

0,5

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2 0 2 1
b   b  c

Khi đó phương trình đã cho trở thành





2 2 1 0 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

x x

x x x

x x

     

         

   

 

 

Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 1 2

0,5

c) Từ
1 1

1 xy x y

x y     . Ta có



x1 y1



2   x y 2 2



x1

 

y1



  x y 2 2 xy x y  1

2 2 1 1 1

x y x y x y x y

           

0,5

1,5

Câu 12

1
1

E
F

I

K

D
H

C

B
A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

2 152

9 25 9 16

25
AB

HB cm HC BC HB cm

BC

        

;
+ AH  BH HC.  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vng tại A, AD là trung tuyến nên
CD = DB = AD, suy ra CAD C  và A1B .

Vì KH//AD nên K A1, do đó K B , từ đây suy ra tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

. .

AB AC

AB AI AC AK
AK AI

   

Vì tam giác ABC vng tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC
Vì K B nên tam giác HBK cân tại H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH .
Do đó IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50
c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2. 3 BE BC2. BC

Ta sẽ chứng minh CF BC CH2.  3.

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 . 4 2. 2 2. . 2. 3

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ;
Chứng minh tương tự ta cũng có: BE BC BH2.  3

Do đó 3 CF BC2. 3 BE BC2. 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

2 2 2 2

. .

( 2)2 ( 2) 2 2

2 2

2 2 2

y x

x y

x y y x xy

x y y x

   



  

     

Dấu “=” xảy ra:

2 2

4
2 2

x

x y
y

 



    

 


0,25

b) Ta có: điều kiện x y, 2, từ x 2 y y  y 2 x x
suy ra x 2x x  y 2y y

Do đó nếu xy2 thì x 2x x y 2y y, tương tự nếu
2 x y  x 2x x y 2y y, do đó x = y.

Vì x = y nên S = x23xy 2y216y35=2



y 4



2 3 3 .
Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 4

0,25
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25

</div>

đề thi hsg toán 9





Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Đáp số:



























 





 













 











Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Đáp số:



























 





 













 







Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về