Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải to án

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

----------------------------

A. Đặt vấn đề.
1. lý do chọn đề tài.

Trong ch-ơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh
đ-ợc làm quen với ph-ơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của ph-ơng
trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán.
Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại tr-ờng T.H.C.S tôi nhận thấy các
em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán ch-a thật linh hoạt, ch-a biết khai thác
và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thøc ViÐt
cã tÝnh øng dơng rÊt réng r·i trong viƯc giải toán.
Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu vo nghiên cứu đề ti: Một số ứng
dụng của định lý ViÐt trong viƯc gi°i to¸n” víi mong mn gióp cho học sinh
nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng,
năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh.
2. đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu.

Trong đề tài này, tôi chỉ đ-a ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý
Viét trong việc giải một số bài toán th-ờng gặp ở cấp T.H.C.S. Do đó chỉ đề
cập đến một số loại bài toán đó là:
a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số
để bài toán thoả mÃn các yêu cầu đặt ra
b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập ph-ơng trình bậc hai
một ẩn, tìm hệ số của ph-ơng trình bậc hai một ẩn.
c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh.
d) áp dụng định lý Viét giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình.
e) Định lý Viét với bài toán cực trị.

-1-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9

B. nội dung.

Định lý Viét:
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a
x1

x1 .x 2

0) th×:

b

x2

a
c
a

* Hệ quả: (tr-ờng hợp đặc biệt)
a) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a

0) cã a + b + c = 0 thì ph-ơng

trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 =
b) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a

c
a

0) cã a - b + c = 0 th× ph-ơng

trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiƯm kia lµ: x2 =

* NÕu cã hai sè u và v thoả mÃn điều kiện:

u
u .v

v

c
a

S
P

thì u, v là hai nghiệm của ph-ơng trình: x2 Sx + P = 0.
điều kiện để có hai số u, v là: S2 4P

0.

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải

một số dạng toán.

-2-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
I. ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện
của tham số để bài toán thoả mÃn các yêu cầu đặt ra.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của ph-ơng trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ mÃn điều kiện x 12

2

x2

1

Bài giải:
Điều kiện để ph-ơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):
m

0;

'0
' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
'

Với 0

0

m

4.

m

4, theo định lý Viét, các nghiệm x 1; x2 của ph-ơng

trình có liên hệ:
2(m

x1 + x2 =

2)

m

Do đó: 1 = x 12

2

x2

; x1.x2 =

m

3
m

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 =

4(m

2)

m

m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m
m2 - 10m + 16 = 0
m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoả mÃn điều kiện 0
Vậy với m = 2 thì x 12 x 22 = 1

2

-

2

m

2(m

3)

m

4

Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để
ph-ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mÃn

1

1

x1

x2

x1

x2
5

Bài giải:


Ta phải có:

'

x 1 .x

( (m

2))

2

(m

2

0

2

1

1

x1

x2

2m

3)

0 (1)
(2)

x1

x2

(3)

5

-3-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
(1)

' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0

(2)

2

m<

7
6

(3)

m + 2m - 3
x1

x2

0

x1

x1 .x 2

(m - 1)(m + 3)

x2

( x1

5

 Tr-êng hỵp: x1 + x2 = 0

x 2 )( 5

0

x1 .x 2 )

x1 = - x2

m

1; m

-3

0

m = 2 không thoả mÃn điều

kiện (1)
 Tr-êng hỵp: 5 - x1.x2 = 0
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5

x1.x2 = 5
(m - 2)(m + 4) = 0
m

2

m

(loại)
4 (thoả

mÃn

Đ K)

Vậy với m = - 4 ph-ơng trình đà cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả
mÃn
1
x1

x1

1
x

x2
5

2

Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham
số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mÃn
x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài giải:
x1

a) Ta phải có:

2(m

x2

x1

4 x2

m

0
'

(

(m

(2)
(3)

m
3

(m

Từ (1) và (3) tính đ-ợc:
Thay vào (2) đ-ợc

m
4

m

x1 .x 2

(1)

1)

1)

m

x2

m (m

2

3m

2 )( 5 m
9m

(4)

2

8)

2

5m

; x1
m

4)

0

8

3m
4

2m2 - 17m + 8=0

m

Giải ph-ơng trình 2m2 - 17m + 8 = 0 đ-ợc m = 8; m =

1

thoả mÃn điều kiện (4).

2

-4-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Vậy với m = 8 hc m =
m·n x1 + 4x2 = 3.
b) Theo hÖ thøc ViÐt:
x1 + x2 = 2 +
x1 + x2 = 1 2

Thay

m

1
2

thì các nghiệm của ph-ơng trình thoả

2
m

4

(*)

m

= x1 + x2 - 2 vào (*) đ-ợc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)

VËy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai ph-ơng trình sau có ít nhất một
nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0

(1)

x2 + mx + 2 = 0

(2)

Bài giải:

Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 ph-ơng trình khi đó ta có
2

x0

2

x0

2 x0

mx

m

0

2

0

0

Trừ theo từng vế hai ph-ơng trình ta đ-ợc (m - 2)x0 = m - 2
Nếu m = 2 cả hai ph-ơng trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm
Nếu m

2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3

Víi m = - 3:

(1) lµ x2 + 2x – 3 = 0; cã nghiƯm x1 = 1 vµ x2 = - 3

Vµ (2) lµ x2 - 3x + 2 = 0; cã nghiƯp x3 = 1 vµ x4 = 2
Rõ ràng với m = - 3 thì hai ph-ơng trình có nghiệm chung x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho ph-ơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0

(1)

Tìm giá trị của tham số m để ph-ơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
-5-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Bài 2: Cho ph-ơng tr×nh mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để ph-ơng trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai
nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mÃn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 3:
a) Với giá trị nào m thì hai ph-ơng trình sau có ít nhật một nghiệm
chung. Tìm nghiƯm chung ®ã?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0

(1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0

(2)

b) Tìm giá trị của m để nghiệm của ph-ơng trình (1) là nghiệm của
ph-ơng trình (2) và ng-ợc lại.
II. ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập
ph-ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của ph-ơng trình
bậc hai một ẩn số:

1. Các ví dụ:
3

Ví dụ 1: Cho x1 =

1

;

x2 =

2

1
1

3

Lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2
3

Ta có: x1 =

1

;

2

1

3

Nên x1.x2 =

1

1

.

2

x1 + x2 =

1

x2 =

1

3
2

1

=
1

1

3

1

3
3 1

3

1

2

3

1

=

3

3

Vậy ph-ơng trình bậc hai có 2 nghiƯm: x1; x2 lµ x2 Hay 2x2 - 2

3

2

3

+

1

=

3

x+

1

=0

2

x+1=0
-6-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình: x2 + 5x - 1 = 0

(1)

Không giải ph-ơng trình (1), hÃy lập một ph-ơng trình bậc hai có các
nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm ph-ơng trình (1)
Cách giải:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của ph-ơng trình đà cho theo hệ thức viét, ta có:
x1 + x2 = -5;

x1.x2 = - 1

Gäi y1; y2 lµ các nghiệm của ph-ơng trình phải lập, ta có:
y1 + y2 =
y1..y2 =
Ta cã:

4

4

x2
4

x 1 .x 2

4

x2

4

4

4

x1

4

x1

= (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727

= (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1

x 1 .x 2

Vậy ph-ơng trình cần lËp lµ: y2 - 727y + 1 = 0
VÝ dơ 3: Tìm các hệ số p và q của ph-ơng tr×nh: x2 + px + q = 0 sao cho
x1

hai nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mÃn hệ:

3

x1

x
x

5

2

3

35

2

Các giải:
Điều kiÖn

= p2 - 4q

0 (*) ta cã:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. Tõ ®iỊu kiƯn:
x1
3

x1

x
x

5

2

3
2

x1
5 x1

x1

35

x

x1

2

4x 1 x

2

x

2
2

2

2 x1 x 2

x
x

2

25

2
2

2

x1

x1 x 2

p

25
x1 x 2

2

x2

35

35

1

p

4
2

q

q

25
7

Giải hệ này tìm đ-ợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai cặp giá trị này đều thoả mÃn (*)

-7-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
2) Bài tập:

Bài 1: Lập ph-ơng trình bậc hai có 2 nghiệm là

3

+

1

và

2

3

2

Bài 2: Lập ph-ơng trình bậc hai thoả mÃn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và

x1
x1

x2

+
1

x2

=

1

k
k

2

2

7
4

Bài 3: Xác định có số m, n của ph-ơng trình: x2 + mx + n = 0
Sao cho các nghiệm của ph-ơng trình làm m và n.
Iii. ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là
nghiệm của ph-ơng tr×nh x2 + qx + 2 = 0
Chøng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
H-íng dÉn häc sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh
đẳng thức thông th-ờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa
các nghiệm của 2 ph-ơng trình và hệ số của các ph-ơng trình đó. Vì vậy đòi
hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong
quá trình biến ®ỉi vÕ cđa ®¼ng thøc, ®Ĩ suy ra hai vÕ bằng nhau.
Cách giải:
a,b là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + px + 1 = 0
b,c là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý viét ta có:
a
a.b

b

- p
1

và

b

c

b.c

- q
2

Do đó: (b a)(b c) = b2 + ac - 3

(1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3

(2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (®pcm)
-8-

h

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mÃn điều kiện:
a2 + b 2 + c2 = 2

a + b + c = - 2 (1);

(2)
4

Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn

;0

khi biểu diễn

3

trên trục số:
Cách giải:
Bình ph-ơng hai vế của (1) đ-ợc:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nªn: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1
Ta l¹i cã: b + c = - (a + 2), do ®ã b, c là nghiệm của ph-ơng trình:
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
§Ĩ (*) có nghiệm thì ta phải có:
= (a+2)2 - 4(a2+2a+1)
a(3a + 4)

0

-

0

4

a

0

3

Chứng minh t-ơng tự ta đ-ợc: -

4

b

0; -

3

4

c

0

3

2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của ph-ơng trình bËc hai: x 2 + px + 1 = 0.
Gäi c, d là hai nghiệm của ph-ơng trình: y2 + qy + 1 = 0
Chøng minh hÖ thøc: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
Bµi 2: Chøng minh r»ng khi viÕt sè x = ( 3, 2 )200 d-ới dạng thập
phân, ta đ-ợc chữ số liền tr-ớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
iii. áp dụng định lý viét giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình.

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

x

5

x

x

1

-9-

x

5

x

x

1

=6

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
H-ớng dẫn:
ĐKXĐ: {x R
u

Đặt:

x.

5

x

x
5

1
x

x

1

x

x

- 1}
u

?
u.

?

Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x

Đặt:

u

x.
x

5

R

x

- 1}
u

x

x
5

1
x

x

1

x.

(*)
u.

x.

5

x

x

1

5

x

x

1

x

. x

5

x

x

1

5

x

x

1

u
u.

5
6

x2 - 5x + 6 = 0

u, v lµ nghiệm của ph-ơng trình:

= 25 24 = 1
x1 =

5

x2 =

5

1

=3

1

=2

2

2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu:

u

3

thì (*) trở thành:

x2 - 2x + 3 = 0

2

'=13=-2<0
Ph-ơng trình vô nghiệm:
Nếu:

u

2

thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0

3

Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ ph-ơng trình:

a)

x

y
xy

11
31

-10-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
x

b)

xy

y

yx

2

x

2

y

7
12

Bài giải:
a) x,y là nghiệm của ph-ơng trình:

x2 - 11x +31 = 0

=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0
Ph-¬ng trình vô nghiệm
Vậy hệ ph-ơng trình đà cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ:

S

P

S.P

7
12

Khi đó S và P là hai nghiệm của ph-ơng trình: t2 7t + 12 = 0.
Giải ph-ơng trình này đ-ợc t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của ph-ơng trình:

u2 - 4u + 3 = 0
u = 1 vµ u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y = 1)
+ NÕu S = 3 th× P = 4 khi đó x, y là nghiệm của ph-ơng trình:
v2 3v + 4 = 0
Ph-ơng trình này vô nghiệm v×

= 9 - 16 = - 7 < 0

VËy hƯ ®· cho cã hai nghiƯm sè lµ:
(x = 1; y = 3) vµ (x = 3; y =1)
2. Bµi tËp:
Bµi 1: Giải ph-ơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
Bài2: Giải các hệ ph-ơng trình sau:
a)
b)

x
x

2

x
x

4

y
y

9
2

y
y

4
3

4

17

-11-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
V. Định lý viét với bài toán cực trị:

1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của ph-ơng trình:
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
T×m m để

2

2

x1

x2

có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:

Xét:

= 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0

Nên ph-ơng trình đà cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
2

x1

2

x2

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + 5 = (2m -

3

)2 +

2

DÊu “=” x°y ra khi m =

11

11

4

4

3
4

VËy Min(x12 + x22) =

11

khi m =

4

3
4

VÝ dô 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của ph-ơng trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x1x2 - 2x1 - 2x2
Cách giải:
Để ph-ơng trình đà cho cã nghiƯm th×:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)
-5

m

-1

0

(*)

Khi ®ã theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = - m - 1
x1 .x2 =
Do ®ã: A =

m

2

8m

m

2

4m

3

2

7

2

Ta cã: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
(m + 1)(m + 7)

0.
-12-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
2

m

Suy ra: A =

8m

7

=

9

(m

4)

2

2

2

2

9

Dấu b»ng x¶y ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

9

khi m = - 4, giá trị này thoả mÃn điều

2

kiện (*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trÞ lín nhÊt cđa
A=(x4 + 1) (y4 + 1), biÕt x, y

0; x + y = 10

Cách giải:
A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1

Ta cã: x + y = 10

x2 + y2 = 10 - 2xy

x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2
x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2
Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2
Do ®ã A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 40t + 101
a) Tìm giá trị nhỏ nhÊt:
A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45
= (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45
Min(A) = 45

t = 2, khi ®ã xy = 2; x + y =

của ph-ơng trình X2 Tức là x =

45
10 nên x và y là nghiệm

10 X + 2 = 0.

10

2

;y=

10

2

2

hoặc x =

10

2

2

;y=

2

10

2
2

b) Tìm giá trị lín nhÊt:
2

2

Ta cã: 0

xy

x

y
2

=

10

=

2

5

0

2

t

5

(1)

2

ViÕt A d-íi d¹ng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.

-13-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
Do (1) nên t3

125

; 2t

5

t3 + 2t - 40

125

8

nªn A

+ 5 - 40 < 0 còn t

0

8

101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tøc lµ x = 0; y = 10 hoặc x = 10 ;

y=0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của ph-ơng trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
2
Tìm m để x 1

2

x 2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho ph-ơng tr×nh: x2 - m + (m - 2)2 = 0
T×m giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3: Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).
2

Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mÃn 10x1x2 + x 1

2

x2

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
C. Kết luận.
ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi
hỏi ng-ời học phải có tính sáng tạo, có t- duy tốt và kỹ năng vận dụng lý
thuyết một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ng-ời giáo
viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh
hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng

thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em.
Cần th-ờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp
thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.
Nghiên cứu ®Ị t¯i “øng dơng cđa ®Þnh lý ViÐt trong viƯc gii toán
không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp
cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Mặc dù đà rất cố gắng khi
thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ vµ
-14-

h


Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán 9
kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng
nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Ngày 25 - 4 - 2006.

-15-

h