Sáng kiến kinh nghiệm 1 số phương trình quy về bậc 2

tr-ờng đại học s- phạm hà nội
Khoa toán
-----------***----------

Đề tài
Một số ph-ơng trình quy về
ph-ơng trình bậc hai

Giáo viên h-ớng dẫn:
Ng-ời thực hiện:

hảii d-ơng, năm 2006


Lời nói đầu
Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của ch-ơng trình là một nhiệm vụ
quan trọng của mỗi ng-ời giáo viên đứng lớp. Tuy nhiên, việc bồi d-ỡng cho
học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải đ-ợc tiến hành
th-ờng xuyên ở trong các nhà tr-ờng phổ thông trung học cơ sở. Việc bồi
d-ỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng
cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một
cách hợp logíc tìm ra đ-ợc lối giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí
thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán.
Đối với môn toán lớp 9, phần phương trình bậc hai, phương trình
quy về phương trình bậc hai l phần kiến thức trọng tâm, l phần kiến thức
th-ờng xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi và thi vào
trung học phổ thông. Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắc chắn mảng
kiến thức ny, đặc biệt l học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thật đầy đủ về
ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai. Sau khi nghiên cứu khá nhiều ti
liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đà đ-a ra các bài toán
rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn, nằm trong

nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạy của giáo
viên và của học sinh.
Tr-ớc tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn
đưa ra một hệ thống kiến thức nói về phương trình quy về phương trình bËc
hai” víi mét mong ­íc l¯ l¯m t¯i liƯu «n tập, nhm tạo điều kiện thuận lợi
hơn cho ng-ời dạy và ng-ời học trong việc bồi d-ỡng học sinh khá giỏi.
Một số ph-ơng trình đưa về phương trình bậc hai l một hệ thống
kiến thức có đặc thù riêng, đ-ợc tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau. Nói về
cách giải của một số loại ph-ơng trình đ-a đ-ợc về ph-ơng trình bậc hai.nh-:
Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu; ph-ơng trình bậc ba; ph-ơng trình bậc bốn;
ph-ơng trình vô tỷ Với mỗi loại ph-ơng trình sau khi trình bày cách giải
đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét và
những l-u ý nhằm giúp ng-ời đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiên cứu.
Do thời gian hạn hẹp cũng nh- kinh nghiệm bản thân còn hạn chế,
trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, rất mong sự chỉ bảo tận tình của thầy cô và các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin trân thành cảm ¬n!


Phần I: Những vấn đề chung
A. Mục tiêu nhiệm vụ của đề tài

Đề tài có nhiệm vụ nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiến thức cơ
bản nhất, chung nhất về các dạng ph-ơng trình đ-a về ph-ơng trình bậc hai
nhằm:
+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để båi d-ìng häc sinh giái
+ Gióp cho häc sinh cã một cái nhìn thật đầy đủ về ph-ơng trình đ-a
đ-ợc về ph-ơng trình bậc hai, từ đó có những thao tác t- duy nhanh nhạy,
sáng tạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng ph-ơng trình này.
+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử.

B. Đối t-ợng nghiên cứu

Nghiên cứu về các dạng ph-ơng trình, các cách giải ph-ơng trình nói
chung và ph-ơng trình bậc hai nói riêng.
Nghiên cứu các ph-ơng pháp dạy học toán ở tr-ờng THCS.
Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa đại số 9, các tài liệu tham khảo và
các chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi toán.
Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, qua học hỏi đồng nghiệp.
Phần 2: Nội dung
A cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Toán học là một môn khoa học trìu t-ợng, đóng vai trò quan trọng
trong đời sống con ng-ời, trong việc nghiên cứu khoa học. Khi học toán các
em sẽ nắm bắt đ-ợc nhiều ph-ơng pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng
tính toán, phân tích tổng hợp, giải quyết đ-ợc nhiều bài toán thực trong cuộc
sống.
Việc bồi d-ỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhà
tr-ờng THCS. Để là học sinh giỏi, các em cần đ-ợc rèn luyện, phát triển tduy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức.


Sự phân hoá đối t-ợng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất
rõ. số học sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ t-ơng đối lớn, do đó nhu
cầu đ-ợc nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn.
Căn cứ vào thực tế dạy học ta thấy, phần kiến thức về ph-ơng trình và
ph-ơng trình đ-a về ph-ơng trình bậc hai ở ch-ơng trình THCS ch-a đ-ợc đề
cập đến nhiều. Đội ngũ giáo viên ch-a đ-ợc chuẩn bị chu đáo để bắt tay vào
dạ bồi d-ỡng cho học sinh khá giỏi, do đó đòi hỏi ng-ời giáo viên phải tự biên
soạn, s-u tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình. chính vì thế nội dung bồi
d-ỡng phần kiến thức này ch-a có sự thống nhất, gây không ít khó khăn cho
ng-ời học và ng-ời dạy .

Nghiên cứu sách giáo khoa và ch-ơng trình hiện hành ta thấy: SGK đại
số 9 đà đ-a ra cho học sinh một số laọi ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc
hai nh-: ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu, ph-ơng trình vô tỷ, ph-ơng trình trùng
ph-ơng, đ-a vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại này chỉ
dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn với các em
học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thì ch-a đủ,
vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em về mảng kiến
thức phương trình quy về phương trình bậc hai.
B. Một số kiến thức và kỹ năng cần thiết khi học về giải ph-ơng
trình:

Khi học về giải ph-ơng trình học sinh cần nắm đ-ợc một số kiến thức
và kỹ năng sau:
+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng,
trừ, nhân, chia)
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ
+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử
+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số
+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của
ph-ơng trình, tập xác định của một biểu thứcc
+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức.
+ Kỹ năng giải và biện luận ph-ơng trình bậc hai nmột ẩn, ph-ơng
trình chứa ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)
C Ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai
I. Nhắc lại về ph-ơng trình bậc hai một ẩn số


1. Định nghĩa:
+ Ph-ơng trình bậc hai một ẩn số là ph-ơng trình có dạng tổng quát:
ax2+bx+c=0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a 0)

+ Nghiệm của một ph-ơng trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà
khi thay vào vế trái của ph-ơng trình ta đ-ợc giá trị của hai vế bằng 0.
2. Giải và biện luận hệ ph-ơng trình bậc hai
*) Khi nghiên cứu về nghiệm số của ph-ơng trình bậc hai ax2+bx+c=0
(a 0) ta cần quan tâm tới biệt số của ph-ơng trình:
=b2 - 4ac
+ Nếu <0: Ph-ơng trình bậc hai vô nghiệm.
+ Nếu =0: Ph-ơng trình bậc hai có nghiệm kép:
x1=x2=
+ Nếu

b
2a

>0: Ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt
x1,2=

b
2a

Khi b chẵn, hay b=2b(b
) khi đó ta có:

2
=b - ac

+ Nếu <0: ph-ơng trình vô nghiệm
+ Nếu =0: ph-ơng trình có nghiệm kép
+ Nếu >0: ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt
Chú ý: Nếu a và c trái dấu (tức a.c<0) thì ph-ơng trình bậc hai có dạng phân

biệt và trái dấu nhau (vì >0).
*) Đối với một số ph-ơng trình bậc hai đơn giản (với hệ số nguyên)
trong tr-ờng hợp ph-ơng trình có nghiệm ( >=0) ta có thể dùng định lý Viet
để nhẩm nghiệm của ph-ơng trình.
Định lý Vi-et
Nếu ph-ơng trình ax2+bx+c=0 (a 0) có nghiệm số x1;x2 ( 0)
thì:
x1+x2=
x1.x2=

b
a

c
a

Tr-ờng hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì ph-ơng trình có nghiệm là: x1=1; x2=

c
a


+ Nếu a-b+c=0 thì ph-ơng trình có nghiệm là: x1=-1; x2=-

c
a

*)Nhờ định lý Viet ta có thể khảo sát về tính chất các nghiệm của ph-ơng
trình bậc hai

+ Ph-ơng trình bậc hai có cùng dấu khi:
0
hay
b2-4ac 0
c

x1.x2>0

0

a

+ Ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm d-ơng khi
0
hay
b2- 4ac 0
c

x1.x2>0

0

a

b

x1+x2>0

0

a

+ Ph-ơng trình có hai nghiệm cùng âm khi:
0
hay
b2- 4ac 0
c

x1.x2>0

0

a

b

x1+x2<0

0

a

+ Ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi:

c

0

a

+ Ph-ơng trình có hai nghiệm đối nhau khi:
c

x1.x2<0
x1+x2=0

0

a
b

hay

0

a

+ Ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu nh-ng nghiệm số d-ơng có trị
tuyệt đối lớn hơn khi:
c

0

a
b

0

a

+ Ph-ơng trình có hai nghiệm trái dấu nh-ng nghiệm số âm có trị tuyệt
đối lớn hơn khi:
c

0

a
b
a

0


*) Nhờ định lý Viet, ta có thể tính đ-ợc tổng (hoặc hiệu) các luỹ thừa
bậc n hai nghiệm của ph-ơng trình: x x (Với n Z )
n

n

1

2

Ví dụ:
Ph-ơng trình bËc hai ax2+bx+c=0 cã hai nghiƯm x1;x2 th×:
x
x

2
1

4
1

2

x2

( x1

4

x2 )

2

x2

2

( x1

2

x2 )

2 x1 x 2
2

b

(

)

2

2.

a

2 ( x1 x 2 )

(

c

b

2

a
b

2

2 ac

2 ac
a

)

2

2(

a

c

2

)

2

a

II. Ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc hai:

Trong tr-ờng phổ thông ta th-ờng gặp một số dạng ph-ơng trình quy về
ph-ơng trình bậc hai sau:
1. Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu
Ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu là những ph-ơng trình có ẩn số nằm ở mẫu
thức của ph-ơng trình.
a) Cách giải:
+ Tìm tập xác định của ph-ơng trình
+ Quy đồng, khử mẫu
+ Biến đổi ph-ơng trình, đ-a ph-ơng trình về dạng ax2+bx+c=0

+ Giải ph-ơng trình dạng ax2+bx+c=0
+ Nhận định kết quả và trả lời (loại bỏ những giá trị của ẩn vừa tìm
đ-ợc không thuộc tập xác định của ph-ơng trình).
b) ví dụ :
Ví dụ 1:
a

Giải và biện luận theo a và b ph-ơng trình:
x

Điều kiện để (1) có hai nghiệm phân biệt:
Giải
Điều kiện: x a , x b :
Ta cã: (1)
2(x
a )( x b )
a(x
a) b(x
2x
2x

(a

2

2

2

3(a

b)x

a

3(a

b)x

(a

b)

b

2

b)

2 ab

2

2

Ph-¬ng trình có hai nghiệm phân biệt là
x1
x2

*

a

b

a

b
2

x1

a

b

0

0

b
b

b)

0

x

2

a

(1)


x1

*

b
x2

x2

a

0

a

b

a
b

Vậy với a

b; a

0, b

0

4
2x

3

3x

2

thì (1) có hai nghiệm phân biệt

1
8x

12

x

2

4
4

2x

2

1

7x

2x

6

0
3

Phân tích mẫu thành nhân tử ta có:
4

(**)
(x

2 )( x

TXĐ:

x-2

1
2 )( 2 x

3)

(x

2 )( x

0

x+2

x

2)

(x

2 )( 2 x

1
3)

2x

0
3

2

3

x

0

4

2

2x+3 0
MÉu thøc chung: (x-2)(x+2)(2x+3)
Khử mẫu ta có: 4-(2x+3)-4(x-2)+(x-2)(x+2)
4
x

2x
2

6x

3

4x
5

8

x

2

4

0

0

Giải ph-ơng trình : x2-6x+5=0 ta đ-ợc 2 nghiệm: x1=1, x2=5
Đối chiếu với TXĐ ta thÊy x1 = 1 vµ x2 = 5 lµ 2 nghiệm của pt (**)
c. Nhận xét:
+ Loại ph-ơng trình chứa ẩn ở mẫu là loại th-ờng gặp ở tr-ờng phổ
thông.
+ Khi giải loại này cần l-u ý: Cần so sánh các giá trị tìm đ-ợc của ẩn
với TXĐ tr-ớc khi kết luận về nghiệm của ph-ơng trình.
2. Ph-ơng trình bậc ba
Ph-ơng trình bậc ba (một ẩn số) là ph-ơng trình có dạng tổng quát:
ax3+bx2+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số, a,b,c,d là các hệ số: a 0
a) Cách giải
Để giải một ph-ơng trình bậc ba ( đối với học sinh THCS) ta th-ờng
phải biến đổi đ-a về ph-ơng trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc
nhất với một nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0. Muốn vậy HS cần có kỹ
năng phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
2x3+7x2+7x+2=0 (*)


Giải
(*)

(2x3+2)+(7x2+7x)=0
2(x3+1)+7x(x+1)=0
2(x+1)(x2-x+1)+7x(x+1)=0
(x+1)(2x2+5x+2=0
x+1=0

(1)

2x2+5x+2=0

(2)

Ph-ơng trình (1) cho nghiệm x=-1
Ph-ơng trình (2) cho nghiệm x=-2 và x=-

1
2

Vậy ph-ơng trình (8) có nghiệm S= - 1 ;

2;

1
2

Ví dụ 2:
Cho ph-ơng trình x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b)=0
(1)
Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của ph-ơng trình đà cho.
Giải:
(1) Có tổng các hệ số bằng 0 nên có nghiệm x1=1. Do đó (1) có thể viết:
(x-1)(x2-2ax+a2-b)=0.
Xét ph-ơng trình bậc hai:
x2-2ax+a2-b=0
(2)

=b
* NÕu b<0
(2) v« nghiƯm
(1) cã nghiƯm duy nhÊt x=1
* NÕu b=0
(2) cã nghiÖm kÐp: x=a
(1) cã hai nghiÖm: x=1;x=a
* NÕu b>0
(2) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:
(1) Cã ba nghiƯm ph©n biệt: x=1; x=a+ ; x=a- ;
c. Nhận xét:
Giải ph-ơng trình bËc ba ë THCS ta chđ u dïng phÐp ph©n tích đa
thức thành nhân tử để đ-a ph-ơng trình về dạng ph-ơng trình tích. Khi đó, ta
có một hệ thống hai ph-ơng trình bao gồm một ph-ơng trình bậc nhất và một
ph-ơng trình bậc hai.
+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của ph-ơng trình bậc ba:
ax3+bx2+cx+d=0


Nếu a+b+c+d=0 thì trong các nghiệm của ph-ơng trình ban đầu
sẽ có nghiệm là x=1.
Nếu a-b+c-d=0 thì trong các nghiệm của ph-ơng trình ban đầu sẽ
có một nghiệm là:x=-1.
Khi biết tr-ớc một nghiệm, ta chia vế trái của ph-ơng trình cho đa thức
x-1 hoặc x+1 để phân tích vế trái của ph-ơng trình thành nhân tử.
+ Với ph-ơng trình bậc ba có các hệ số nguyên, nếu có nghiệm nguyên
thì nghiệm nguyên đó phải là -ớc số của hạng tử tự do d (Theo định lý về sự
tồn tại nghiệm nguyên của ph-ơng trình với hệ số nguyên).
3. Những ph-ơng trình bậc cao quy đ-ợc về ph-ơng trình bậc hai

3-1 Ph-ơng trình trùng ph-ơng
Ph-ơng trình trùng ph-ơng là ph-ơng trình có dạng: ax4+bx2+c=0.
Trong đó: x là ẩn số, a;b;c;d là các hệ số; a 0
Cách giải
Với loại ph-ơng trình này khi giải ta th-ờng dùng phép đặt ẩn phụ
x2=t 0. Từ đó ta có một ph-ơng trình bậc hai trung gian: at 2+bt+c=0, giải
ph-ơng trình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x2=t (Nếu những giá trị
của t tìm đ-ợc thoả mÃn t 0), ta sẽ tìm đ-ợc nghiệm số của ph-ơng trình ban
đầu.
Ví dụ 1:
Giải ph-ơng trình: x4 x2 6 = 0 (**)
Giải:
Đặt x2=t 0 ph-ơng trình (**) trở thành:
t2 t 6 = 0
Giải ph-ơng trình t2-t-6=0 ta đ-ợc t1=-2;t2=3
+ Với t=-2(loại vì t<0)
+ Với t=3 x
3
Vậy ph-ơng trình (**) có hai nghiệm: S = - 3 ; 3
Ví dụ 2:
Giải ph-ơng trình
x4-2(m-1)x2-(m-3)=0
(***)
Với giá trị nào của tham biến m thì ph-ơng trình trên
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có 3 nghiệm ph©n biƯt.


c) Có hai nghiệm
d) vô nghiệm.

Giải:
Đặt x2=t 0 khi đó ph-ơng trình (***) đ-ợc quy về một ph-ơng trình bậc hai:
t2-2(m-1)t-(m-3)=0
(****)

=(m-1)2+(m-3)=m2-m-2
a) Để (***) có 4 nghiệm phân biệt thì ph-ơng trình (***) phải có 2 nghiêm
d-ơng phân biệt t-ơng đ-ơng với:

>0
m2-m-2>0
x1+x2>0
hay m-1>0
x1x2>0
m-3<0
(m+1)(m-2)>0
m>1
m<3

m-2>0
m>1
m<3

(do m>1)

m>2
m>1
do đó 2m<3
Khi 2

vậy ph-ơng trình (***) có 4 nghiệm phân biệt (Là hai cặp số đối nhau và khác
nhau).
b) Ph-ơng trình (***) có 3 nghiệm khi ph-ơng trình (****) có nghiệm x=0 và
nghiệm số thứ hai là số thực d-ơng.
Do vậy, tr-ớc hết ph-ơng trình (***) có dạng:
ax4 + bx2 = 0
(c=0)
Do đó m-3=0 m=3.
Với m=3 thì ph-ơng trình (***) trở thành
x4- 4x2 = 0 x2(x2-4)=0
Ph-ơng trình (***) có nghiệm: x1=2; x2=-2 và một nghệm kép x3 = 0
c) Điều kiện để ph-ơng trình (***) có hai nghiệm:
*) Hoặc ph-ơng trình (****) có nghiệm kép d-ơng.


*) Hoặc ph-ơng trình (****) có 2 nghiệm phân biệt nh-ng chỉ có một
nghiệm d-ơng, nghệm còn lại là âm.
d) ph-ơng trình (***) vô nghiệm khi:
*) ph-ơng trình (****) vô nghiệm.
*) Hoặc ph-ơng trình (****) có hai nghiệm âm.
Nh- vậy: Ph-ơng trình (****) vô nghệm khi <0
hay m2 - m - 2 < 0 (m+1)(m-2)<0
LËp b¶ng xÐt dÊu cđa tÝch (m+1)(m-2)
Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng
biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y=ax+b (a 0)
Ta thấy nghiệm của bất ph-ơng trình (m+1)(m-2)<0 là -1Vậy ph-ơng trình (****) vô nghiệm khi
-1Ph-ơng trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi
m2-m-2 0

0
'

c

hay

0

-(m-3)>0

a
b

2(m-1)<0

0

a

Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất ph-ơng trình m2-m-2
m 1; m 2

0

cho nghiệm

Bảng xét dấu:
m
m+1

m-2
(m+1)(m-2)

+

-1
0
1
0

+
-

2
1
0
0

m 1
m 2
m<3
m<1
Kết hợp với điều kiện này ta đ-ợc: m -1
Vậy ph-ơng trình (****) có hai nghiệm cùng âm khi m -1
*) Tóm lại: Ph-ơng trình (***) vô nghiệm khi -1 d) Nhận xét:
Nghiên cứu về số nghiệm của ph-ơng trình trùng ph-ơng:

+
+

+

Vậy hệ t-ơng đ-ơng với

-1.


ax4+bx2+c=0
(a 0 ) ta có nhận xét
+ Ph-ơng trình vô nghiệm khi:
*) Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm: ( <0)
*) Hoặc ph-ơng trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm
sảy ra khi:
0
c

0

a
b

0

a

+ Ph-ơng trình trùng ph-ơng có hai nghiệm khi:
*) Ph-ơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép d-ơng
Xảy ra khi:
0
b

0

2a

*) Hoặc ph-ơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, trong đó có nghiệm
d-ơng, một nghiệm âm. Điều này xảy ra khi

c

0

a

+ Ph-ơng trình có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép x=0)
Xảy ra khi at2+bt+c=0 cã hai nghiƯm t1=0;t2=
Mn vËy ta ph¶i cã:

b

0

a

c=0
b

0

a

Khi đó nghiệm của ph-ơng trình trùng ph-ơng là: x=0; x=

b
a

+ Ph-ơng trình có 4 nghiệm đơn (phân biệt) khi ph-ơng trình bậc hai
trung gian có hai nghiệm d-ơng phân biệt. Khi đó nghiệm của ph-ơng trình
trùng ph-ơng là hai cặp số đối nhau, khác nhau.
+ Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t=0 (xảy ra khi
b=c=0) thì ph-ơng trình có nghiệm x=0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau).
+ Khi nói đến nghiệm số của ph-ơng trình trùng ph-ơng là số lẻ thì
trong đó phải có nghiệm số kép.
3-2. Ph-ơng trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c
(Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số)
a) Cách giải:
Ta biến đổi t = x +

a

b
2

tức là:

x+a=t+

a

b

2


x+b=t-

a

b
2

Ph-ơng trình đà cho trở thành
2

a

4

2t +12

4

b

t

2

2

a

2

b

c

0

2

(Đây là ph-ơng trình trùng ph-ơng ẩn t- Ta đà biết cách giải)
b) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình: x 3
(*)
x
5
2
4

4

Giải:
Đặt t=

3

5

t

x

4

2

Khi đó: x + 3 = t - 1
x+5=t+1
Ph-ơng trình (*) có dạng: (t-1)4+(t+1)4=2
2t
t

4

12 t

4

6t

2

2

2

2

0

Ph-ơng trình t4 + 6t2 = 0 có nghiÖm kÐp t = 0
Ta cã x + 4 = t
x+4=0
x=-4
Vậy ph-ơng trình (*) có nghiệm kép x = - 4
Ví dụ 2:
Giải ph-ơng trình: (x + 6)4+ (x - 4)4= 82 (**)
===============================
Giải
Đặt t=x+

6

4

x

1

2

x+6=t+5
x4=t5
Ph-ơng trình (**) có dạng: (t+5)4 + (t-5)4=82
2t4 + 300t2 + 1250 = 82
t4 + 150t2 + 584 = 0
(***)
Giải ph-ơng trình (***)
Đặt t2 = v 0 Thay vào ph-ơng trình (***) ta có:

v2 + 150v + 584 = 0


'

5625
'

584

5041

5041
71

Ta có v1 = - 75+71=-4
Không thoả mÃn điều kiện v 0
v2 =-75 -71 =-146
Không thoả mÃn điều kiện v 0
Vậy ph-ơng trình (***) vô nghiệm
ph-ơng trình (**) vô nghiệm.
c) Nhận xét:
Bằng phép đổi biến t=x+

a

b

ta đ-a đ-ợc ph-ơng trình

2

(x+a)4+(x+b)4=c về một ph-ơng trình trùng ph-ơng (trung gian) có dạng tổng
quát:
t4+Bt2+C=0
Qua phép biến đổi t2=X (với x 0 ) Ta đ-a đ-ợc ph-ơng trình về một ph-ơng
trình bậc hai trung gian:
X2 + BX + C=0
Số nghiệm của ph-ơng trình (x+a)4+(x+b)4=c phụ thuộc vào số nghiệm
của ph-ơng trình bậc hai trung gian X2+BX +C=0
*) Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm thì
ph-ơng trình trùng ph-ơng t4 +Bt +C=0 vô nghiệm và do đó ph-ơng trình đầu
vô nghiệm.
*) Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X 0 thì ph-ơng
trình đầu có nghiệm:
x=t0-

a

b
2

ở đó

t0=
t0 = -

X

0

X

0

L-u ý rằng số nghiệm của ph-ơng trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm
của ph-ơng trình trùng ph-ơng và do đó phụ thuộc vào số nghiệm của ph-ơng
trình bậc hai trung gian.
Nh- vậy: Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian X2+BX+C=0
+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì ph-ơng trình đầu vô
nghiệm.
+ Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm d-ơng, một
nghiệm âm thì ph-ơng trình đầu có hai nghiệm phân biệt.


+ Nếu ph-ơng trình bậc trung gian có cả hai nghiệm d-ơng (phân biệt)
thì ph-ơng trình đầu có 4 nghiệm phân biệt.
+ Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm d-ơng và một
nghiệm bằng 0 thì ph-ơng trình dầu có 3 nghiệm
+ nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép d-ơng thì
ph-ơng trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt.
4.3 Ph-ơng trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m.

Trong đó 4 hƯ sè a; b; c; d chia lµm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng
nhau, chẳng hạn: a+d=b+c
a) Cách giải:
Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)
Khai triển tích đó đ-a về ph-ơng trình dạng:
x2+(a+d)x+ad
Do a+d=b+c nên ta đặt x2+(a+d)x+k=t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).

Khi đó, ta sẽ đ-a đ-ợc ph-ơng trình về dạng:
At2+Bt +C =0
(A=1)
Giải ph-ơng trình này ta tìm đ-ợc nghiệm của t (khi ph-ơng trình có
nghiệm). Giải tiếp ph-ơng trình: x2+(a+d)x+ad=t ta sẽ có kết luận về nghiệm
của ph-ơng trình ban đầu.
Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đ-ơng nhiên
ph-ơng trình ban đầu vô nghiệm.
b)Ví dụ:
Giải ph-ơng trình:
(x+4)(x+5)(x+8)=4
(1)
Giải:
Nhận xét: Ta thấy 4+8=5+7=12
Ta biến đổi ph-ơng trình
(1)
(x

4 )( x

(x

2

8)

12 x

(x

5 )( x

32 )( x

2

7)

12 x

4

35 )

4

(*)

Đặt x2+12x+32=t
x2+12x+35=t+3
Thay vào (*) ta có: t(t+3)=4
hay t2+3t-4=0 (2)
Ph-ơng trình (2) có nghiệm t1=1; t2=-4
(V× a+b+c=0)
+ Víi t=1 Ta cã x2+12x+32=1 hay x2+12x+31=0
x1=-6+ 5 ;
x2=- 6- 5 ;
5
'

+ Với t=-4 Ta có x2+12x+32=-4
hay x2+12x+36=0
Ph-ơng trình có nghiệm kép
x3,4=-6
0
Vậy ph-ơng trình ban đầu cho ta các nghiệm: S = 6 5 ; 6 5
'

6

Ví dụ 2:
Giải ph-ơng trình:
(x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19
(3)
Giải:
Ta thấy 1+4=7-2=5
Ta biến đổi ph-ơng trình (3) ta đ-ợc:
(x

1 )( x

(x

2

4) (x

5x

7 )( x

4 )( x

2

2)

5x

19

14 )

(*)

19

Đặt x2+5x-14=t
x2+5x+4=t+18
Thay vào ph-ơng trình (*) có: t(18+t)=19
t2+18-19=0
Do 1+19-19=0 nên t1=1; t2=-19
+) Với t=1 thay vµo x2+5x-14=t
Ta cã x2+5x-15=0
Ta cã
5
60
58
58

2

VËy x1=

5

85

5

x1=

2

85
2

+) Víi t=-19 Thay vào x2+5x-14=t
ta có x2+5x-14=-19
x

2

5x

Ta có

5

0

25

20
5

Vậy x3=

5

5

5

5

x3=

2

5
2

Vậy ph-ơng trình(3) có 4 nghiệm đơn:
S=

5

85
2

;

5

85
2

;

5

5
2

;

5

5
2

c) Nhận xét:
Với loại ph-ơng trình có dạng trên, nếu khai triển vế trái đ-ợc ph-ơng
trình bậc 4 đầy ®đ
ta sÏ khã gi¶i bëi THCS ch-a häc. B»ng viƯc nhóm hợp
lý 2 đôi hệ số, khai triển biến đổi trong mỗi nhóm ta sẽ đ-a đ-ợc về ph-ơng
trình bậc hai trung gian.

+ Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm ph-ơng trình ban
đầu vô nghiệm.
+ Khi giải ph-ơng trình bậc hai trung gian (ẩn t) sau khi giải tìm đ-ợc
giá trị ta trả biến và giải ph-ơng trình bậc hai theo ẩn x, thì nghiệm của
ph-ơng trình này (nếu có) là nghiệm của ph-ơng trình đầu.
3-4. Ph-ơng trình đối xứng

Dạng tổng quát: ax4 + bx3 + cx2 +dx+e=0

(I)
2

Trong đó x là ẩn số,a;b;c;d;e là hệ số; a
Khi

e

hay

1

e=a

thì d=

0

và

e

b

a

d

với e 0

thì ph-ơng trình (I) có dạng:

b

a

ax4 + bx3 + cx2 bx +a=0
+ Vì e 0 nên x=0 không phải là nghiệm của ph-ơng trình (I) chia cả
hai vế của ph-ơng trình (I) cho x2 ta đ-ợc ph-ơng trình t-ơng đ-ơng
ax2+bx+c+

d

e

x

Nhóm

e

2

ax

x

Hay

a

x

(II)

0

2

x

x+

c

d

d
b x

2

x

t

x

d

2

2

2

b x
e

2

c

ax

t

2

0

bx

bx

Nên

0

x

e

2

ax

Đổi biến:

d
bx

2

2

2.

2

d

t

2

(do

b

d
b

2

2

e

)

a

2d
b

Ta có ph-ơng trình:

a

t

2

2d
bt

c

0

b

Ta đ-ợc ph-ơng trình trung gian: at2+bt+c=0
Giải ph-ơng trình at2+bt+c=0 tìm đ-ợc nghiệm (sau trả biến và giải
ph-ơng trình

x+

d

t

) Sau đó ta biện luận về nghiệm của ph-ơng trình

bx

(I)
c) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình
2x4+3x3-16x2+3x+2=0 (*)

Giải:
Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của ph-ơng trình (*) nên chia cả hai
vế cho x2 ta đ-ợc ph-ơng trình t-ơng đ-ơng:


3

2x3+3x-16+

2

x

Suy ra

2 x

x

1

2

x
1

Đặt x

0

2

1
3 x

2

16

thì

t

1

2

x

x

x

2
2t

Giải ph-ơng trình:

2t
3

t1

13

2

2

3t

4

1

t

2

2

3t

2

3t

20

0

16

0

0
3

13

2 ,5

4

(x

4

2

20
t2

4

+) Với t=-4 ta có x+

t

2

Ph-ơng trình (*) trở thành

Ta đ-ợc

(**)

0

x

0

)

x

x

2

4x

1

0

Giải ph-ơng trình x
Ta đ-ợc:
x1=-2+

+)Với

t

2 ,5

2

4x

1

0

x2=-2-

3;

ta có

1

x

3;

(Thoả mÃn x

2 ,5

(x

0

0

)

)

x

x

2

2 ,5 x

1

0

Giải ph-ơng trình
Ta đ-ợc:

2

x

2 ,5 x

2 ,5

x3

1,5

1

0

;

2 ,5

x4

2

1,5

;

(Thoả mÃn x

2

Vậy ph-ơng trình (*) cã 4 nghiƯm:
s

2

3; 2

3 ;0 ,5 ; 2

VÝ dơ 2: Giải ph-ơng trình:
2x4-12x3+74x2-105x+50=0
(***)
Giải:
Vì x=0 không là nghiệm của ph-ơng trình
Chia 2 vế của ph-ơng trình
(***) cho x2 ta đ-ợc
2x

2

2x

21 x

2

2

50

x

x

x

0

2

105
21 x

2

74

0

x

25
x

Đặt

105

50
x

2 x

74

5
21

2

x

74

0

x
5

t

thì

x

25

2

x

x

Ph-ơng trình (****) trở thành:
2t

t

2

2 (t
2

2

2

21 t

10

10 )
54

21 t
0

74

0

0

)


Giải ph-ơng trình: 2t2-21t+54+0 ta đ-ợc: t1=6;
+) Với t=6 ta có

x+

5

(x

6

0

t2=4,5

)

x

x

Giải ph-ơng trình

x

2

2

6x

6x

5

5

Với t=4,5 Ta có x+

0

ta có: x1=1;

0
5

(x

4 ,5

0

x2=5 thoả mÃn (x

0

)

)

x

x

Giải ph-ơng trình x

2

4 ,5 x

2

4 ,5 x

5

0

5

0

ta có: x3=2;x42,5

(thoả mÃn x

0

)

Vậy ph-ơng trình (***) có 4 nghiệm:
S= 1 ; 5 ; 2 ; 2 , 5
c) NhËn xét:
+ Giải ph-ơng trình đối xứng: bằng phép biến đổi t-ơng đ-ơng và đổi
biến đ-a về ph-ơng trình bậc hai trung gian. Giải rồi trả biến tìm nghiệm của
ph-ơng trình đối xứng ban đầu.
+ về số nghiệm của ph-ơng trình đối xứng:
- Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm
ph-ơng trình đầu vô
nghiệm.
- Nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 nh-ng các ph-ơng trình
x

d
bx

t1

;

d

x

bx

t2

vo nghiệm

ph-ơng trình đầu

cũng vô nghiệm.
- Nếu các ph-ơng trình

x

d
bx

t1

;

x

d
bx

t2

có bao nhiêu nghiệm thì

ph-ơng trình đầu có bấy nhiêu nghiệm.
3-5. Ph-ơng trình dạng: a f x

2

bf

x

c

0 (1)

(Trong đó a 0 ; f(x) là đa thức của biến x, x là ẩn của ph-ơng trình)
a) Cách giải:
- Tìm tập xác định cảu ph-ơng trình bằng phép đổi biến f(x)=t
- Đ-a ph-ơng trình về dạng: at2+bt+c=0
(2)
- Nếu ph-ơng trình (2) có nghiệm t=t0, ta giải tiếp ph-ơng trình
f(x)=t0
(*)
- Nghiệm của ph-ơng trình (*) thoả mÃn điều kiện)
là nghiệm của
ph-ơng trình đà cho.
Ví dụ 1:
Giải ph-ơng tr×nh: x6-9x3+8=0
(*)


Giải: Đặt x3=y: (*) trở thành y2-9y+8=0 với nghiệm số y1=1 và y2=8. Từ đó
ta có hai ph-ơng trình: x3=1 vµ x3=8
Suy ra (*) cã hai nghiƯm x1=1; x2=2.
VÝ dơ 2: Giải ph-ơng trình:
x4+6x3+5x2-12x+3=0

(*)
Giải:
TXĐ: x R
Buến đổi vế trái:
x4+6x3+5x2-12x+3=0
= x4+6x3+9x2-12x+3
= (x2+3x)2-4(x2+3x)+3
Ph-ơng trình (*) trở thành: (x2+3x)2-4(x2+3x)+3=0
Đặt x2+3x=t
Thay vào (x2+3x)2-4(x2+3x)+3=0
Ta có ph-ơng trình bậc hai trung gian: t2-4t+3=0
Do 1-4+3=0
t1=1; t2=3
Trả biến:
+) Với t=1 thì x2+3x=1
x2+3x-1=0
3

Giải ra ta đ-ợc: x1,2=
+) Với t=3 thì x2 +3x=3

13
2

x2+3x-3=0
3

Giải ra ta đ-ợc: x3,4=

21

2

Vậy ph-ơng trình (*) có 4 nghiệm (vì đều thoả mÃn điều kiện)
3

S=

13

3

;

2

13

3

;

2

21

3

;

21

2

2

Ví dụ 3: Giải ph-ơng trình:
2

2

1
x

1
1

x

13
2

(**)

36

Giải:
TXĐ:

x

x

1;

2

Thêm vào 2 vế của (**) biểu thức:

1

2.
x

1

.
1 x

2

Ta đ-ợc ph-ơng trình t-ơng đ-ơng:
2

2

1
x

1
1

x

1

2.
2

x

.
1 x

1

13
2

36

1

2.
x

.
1 x

1
2

2

1

Hay
x

1
1

x

13
2

2

36

(x

1 )( x

2)

2

1

(x

2

1 )( x

2)

(x

1 )( x

1

Đặt ẩn phụ:
(x

13
2)

(***)

0

36

t

1 )( x

2)

Thay vào ph-ơng trình (***) ta có

t

2

13

2t

0

36

36 t

Giải ph-ơng trình:
Ta ®-ỵc

t1=

+) Víi t=

13

36 t

2

72 t

t2=

;

6

13

2

39 x

32

13

0

0

6

1
(x

72 t

1

ta cã

6

13 x

13

2

13

1 )( x

2)

6

0

Ph-ơng trình này vô nghiệm.
+) Với

1

1

ta có

t
6

x

x

2

3x

4

1

1
x

2

6

0

Giải ph-ơng trình
x
3x
4
0

Ta đ-ợc x1=1; x2=-4 (thuộc TXĐ)
Vậy ph-ơng trình (**) có 2 nghiệm: S = 1; -4
3-6 Vài ph-ơng trình bậc cao khác:
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:
x5 + 2x4 5x3-10x2+4x+8=0 (*)
Giải:
Đây là ph-ơng trình bậc 5, ta biến đổi đ-a về dạng ph-ơng trình tích
Dễ thấy ph-ơng trình (*) có nghiệm x=-1.
Chia vế trái của ph-ơng trình (*) cho x+1, ta đ-ợc:
(x+1)(x4+x3-6x2-4x+8)=0
(**)
4
3
2
Đa thức f(x) = x +x -6x +8 cã nghiƯm x=1 (v× f(1) =0).
Ta chia tiÕp f(x) cho x-1. Khi đó, ph-ơng trình (**) có dạng:
(x+1)(x-1)( x3-2x2-4x-8)=0
Hay (x+1)(x-1)(x+2)(x2-4)=0
x+1=0
x=-1
x-1=0
x=1
2


x+2=0
x=-2
x2-4=0
x= 2

Vậy ph-ơng trình (*) có tập nghiệm là:
S = -1;
1;
-2; 2
Ví dụ 2:
Giải ph-ơng trình
x4+4x3+3x2+2x-1=0
(*)
Ta nhóm các số hạng lại thì đ-ợc:
(x4+4x3+4x2)-(x2-2x+1)=0
(x2+2x)2-(x-1)2=0
(x2+x+1)(x2+3x-1)=0
x2+x+1=0 (1)
x2+3x-1=0 (2)
ph-ơng trình (1) vô nghiệm
ph-ơng trình (2) cã hai nghiƯm
x1,2=

3

13
2

VËy (*) cã hai nghiƯm:
x1,2=

3

13
2

VÝ dơ 3:
Gi¶i ph-ơng trình: x4-4x3-10x2+37x-14=0
Giải:
Giả sử phân tích vế trái của ph-ơng trình thành (x2+px+q)(x2+rx+s)
Trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên ch-a xác định. Ta có:
x4-4x3-10x2+37x-14=(x2+px+q)(x2+rx+s)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng
nhất thức ta có hệ ph-ơng trình sau:
p + r= - 4
s + q + pr= - 10
ps + qr= 37
qs = - 14
Giải hệ ph-ơng trình trên với nghiệm nguyên ta đ-ợc:
p=-5; q=2; r=1; s=-7
Do đó ph-ơng trình đà cho trë thµnh:
(x2-5x+2)(x2+x-7)=0


Ta chỉ còn phải giải hai ph-ơng trình sau:
x2-5x+2=0; x2+x-7=0 và
đ-ợc tập nghiệm là:

S=

5

17

1

;

2

29
2

b) Nhận xét:
Qua các ví dụ ta có cách giải các ph-ơng trình bậc cao trên:
+ Biến đổi về dạng tích, vế phải bằng 0
+ Phân tích thành nhân tử đ-a ph-ơng trình về hệ thống ph-ơng trình
bậc nhất và bậc hai (đà biết cáhc giải)
+ Số nghiệm của ph-ơngt rình bậc nhất, bậc hai là nghiệm của ph-ơng
trình ban đầu).
4.1 Ph-ơng trình vô tỷ:
Dạng th-ờng gặp: *) a f ( x ) M
*) af(x)+b g ( x ) c
(M là hằng số hoặc đa thức)
a) Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:
x= x 7 1
(1)
Giải:
Điều kiện: x 7 :
(1) x+1= x
Bình ph-ơng hai vế (2) ta đ-ợc: (x+1)2=
x
x

2

2

2x
x

1
6

x

7
x

(2)
7

2

7

0

Giải ph-ơng trình x x 6 0 ta có x1=-3; x2=2
Thay x=-3 vào ph-ơng trình (1) ta thấy không thoả mÃn.
Thay x=2 vào ph-ơng trình (1) ta thấy thoả mÃn.
Vậy nghiệm của ph-ơng trình (1) là x=2.
Ví dụ 2: Giải ph-ơng trình
2x+ x 3 16

(2)
Giải:
Điều kiện: x 3
Đặt
(*) t 3 x
x 3
t
t 0
2

2


2t2+6+t=16
t 0

(2)

2t2 + t - 10 = 0
t

t1=2

Thay gia trÞ của t vào (*) ta có:
x

3

5

t2=

0

(loại)

2

t

0

x

3

2

4

x=7
(Thoả mÃn điều kiện)
Vậy nghiệm của ph-ơng trình (2) là x=7
b) Nhận xét:
+ Khi giải ph-ơng trình vô tỷ ta cần chủ ý tìm TXĐ của ph-ơng trình
+ Tiến hành giải (3 cách)
Cô lập căn thức, rồi bình ph-ơng hai vế để khử căn bậc hai
(hai vế của ph-ơng trình không âm)
Sử dụng định nghĩa căn thức bậc n (n chẵn)
f(x)= g ( x )

(1)
f (x)
g (x)
2k

2k

g(x) 0
(2)
Dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ:
+ Nhận định số nghiệm của ph-ơng trình:
Ph-ơng trình vô nghiệm nếu ph-ơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm
Ph-ơng trình vô nghiệm nếu nghiệm của ph-ơng trình bậc hai trung
gian không thoả mÃn điều kiện của ph-ơng trình đầu.
Ph-ơng trình có nghiệm nếu nghiệm của ph-ơng trình bậc hai trung
gian thuộc TXĐ của ph-ơng trình đầu.
5.Một số ph-ơng trình đặc biệt
Ví dụ:
Ví dụ 1: giải ph-ơng trình:
(x2+3x-4)3+(2x2-5x+3)3=(3x2-2x-1)3
Ta thấy (x2+3x-4)+(2x2-5x+3)=(3x2-2x-1)
T- đó đặt a=x2+3x-4; b=2x2-5x+3 thì ph-ơng trình đà cho có dạng
a3+b3=(a+b)3
mà (a+b)3=a3+3ab(a+b)+b3
suy ra 3ab(a+b)=0 từ đó suy ra:
- Hoặc
a=x2+3x-4=0
(có hai nghiệm là 1 vµ -4)