43 phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (579.01 KB, 19 trang )
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài nghiên cứu
Mơn Tốn là một trong những môn khoa học cơ bản trong nhà trường phổ
thông, bởi vì Tốn học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa
học kĩ thuật cũng như ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Học tốt mơn Tốn
sẽ giúp các em phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, phát huy tính tích
cực trong học tập. Là giáo viên dạy Tốn, tơi thấy việc hướng dẫn các em biết
cách giải và thấy được ứng dụng đối với từng loại tốn là rất cần thiết.
Trong chương trình Đại số 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử là
nội dung hết sức quan trọng. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng
dụng rất nhiều trong các bài tốn khác như tính nhanh, tính giá trị của biểu thức,
giải phương trình, rút gọn biểu thức,…Qua việc giảng dạy bộ mơn tốn 8 tơi
thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp khi gặp bài tốn phân tích đa thức
thành nhân tử, đặc biệt đối với học sinh trung bình và học sinh yếu, đối với học
sinh khá giỏi thì bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em thích
thú, say mê học tập. Vậy làm thế nào để các đối tượng học sinh đều thích thú,
say mê học đối với dạng tốn này. Do đó, trong phạm vi đề tài này, tôi đưa ra
các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có kĩ năng thành thạo, có
phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này, từ đó giúp các em biết vận
dụng dạng tốn này để giải các bài tốn khác. Trong chương trình Đại số 8, sách
giáo khoa đưa ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:
+ Đặt nhân tử chung
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm các hạng tử
+ Phối hợp nhiều phương pháp
Trong thực tế có những bài tốn ở dạng này rất phức tạp không thể áp
dụng các phương pháp trên để giải được. Gặp các bài toán như vậy thì các em lại
lúng túng khơng biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải bài tốn.
Do đó, cần thêm các phương pháp khác như: phương pháp tách một hạng tử
thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử, phương pháp đổi
biến, phương pháp đồng nhất hệ số. Đồng thời vận dụng các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử để làm một số dạng bài tập.
Nhằm giúp các em học sinh thấy được sự đa dạng và phong phú về nội
dung của từng dạng toán. Đồng thời giúp các em có một cách nhìn nhận dưới
nhiều góc độ khác nhau của một dạng tốn, từ đó kích thích các em có sự tìm tịi
sáng tạo, khám phá những điều mới lạ, say mê trong học tập, có hứng thú khi
học bộ mơn Tốn nên tơi đã nghiên cứu đề tài “Phân tích đa thức thành nhân
tử và các ứng dụng trong giải toán”.
1/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
2. Mục đích nghiên cứu
Tơi thực hiện đề “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng
trong giải tốn” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; đồng thời
trang bị cho các em học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp học sinh có khả năng tìm ra cách giải
nhanh chóng, chính xác và biết được các ứng dụng của bài tốn phân tích đa
thức thành nhân tử. Thơng qua các bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử rèn
luyện cho học sinh các kĩ năng giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử và phát
huy khả năng suy luận, phán đoán của học sinh, khả năng vận dụng sáng tạo
trong q trình giải bài tập. Hơn nữa cịn giúp học sinh hiểu đúng về mơn học,
có kiến thức vững vàng, có hứng thú say mê học tập, gợi cho học sinh tính độc
lập tìm hiểu, tự nghiên cứu, đam mê môn học.
3. Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu chương trình trong sách giáo khoa Đại số 8, tổng hợp các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng phân tích
đa thức thành nhân tử.
- Phân loại các bài toán, các dạng bài tập theo từng dạng và đưa ra
phương pháp giải cụ thể.
- Từ việc nghiên cứu đề tài, rút ra bài học kinh nghiệm góp phần nâng cao
chất lượng trong giảng dạy mơn Tốn; đồng thời giúp học sinh rèn luyện kĩ năng
về tư duy cũng như rèn luyện kĩ năng tính tốn, vận dụng kiến thức tốn học vào
đời sống và các môn khoa học khác.
4. Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu
- Học sinh lớp 8 năm học 2018 - 2019
5. Thành phần tham gia nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử và các bài tập vận dụng
- Đối tượng là học sinh lớp 8.
6. Phương pháp nghiên cứu.
.
- Phương pháp nêu vấn đề: Nêu vấn đề dưới sự hướng dẫn của giáo viên,
học sinh tự học và thảo luận theo nhóm học tập.
- Phương pháp thực nghiệm: Thực hiện tiết dạy.
- Phương pháp so sánh
- Phương pháp thống kê
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
2/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
7. Kế hoạch nghiên cứu
Thời gian nghiên cứu đề tài từ tháng 10 năm 2018 đến hết tháng 3 năm 2019.
- Đầu tiên tôi nghiên cứu nội dung chương trình trong sách giáo khoa có nội
dung liên quan phân tích đa thức thành nhân tử. Sau đó tôi đọc và nghiên cứu tài
liệu, sách tham khảo để hiểu rõ nội dung cần thể hiện vào bài giảng.
- Hệ thống lại kiến thức lí thuyết theo từng tiết dạy, từng phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, từ đó đưa ra các dạng bài tập và các phương pháp
giải giúp học sinh có khả năng tìm ra cách giải nhanh chóng và chính xác.
- Rút ra những kết luận từ việc nghiên cứu đưa vào áp dụng thực tiễn.
3/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
PHẦN 2. NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI
1. Cơ sở lý luận
Ở trường phổ thơng mơn Tốn là môn học cơ sở, là công cụ để học tốt các
mơn học khác và giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài
toán trong chương trình phổ thơng là một phương tiện đem lại hiệu quả cao và
không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành các kĩ năng vàn biết ứng dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ
chức có hiệu quả việc rèn cho học sinh có kĩ năng giải bài tập tốn có vai trị
quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiến thức quan trọng, lý thú,
phong phú, đa dạng và không đơn giản với hoc sinh THCS. Nội dung này được
đưa vào chương trình Tốn 8, nhưng thật ra các em đã được đề cập đến từ trước
với dạng bài tốn ngược áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng trên tập hợp số. Với lượng thời gian 6 tiết (từ tiết 9 đến tiết 14) song nội
dung này là cơ sở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong các phần: “Rút
gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân thức, giải phương trình,…”
Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh sử dụng thành thạo các
phương pháp, giải bài tốn phân tích đa thức nhân tử một cách chính xác, nhanh
chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên
phải xây dựng cho học sinh kĩ năng quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán và đặc
biệt là kĩ năng giải toán, vận dụng bài toán. Tùy theo từng đối tượng học sinh
mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã
học, đồng thời phải mở rộng thêm cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học
tập bộ môn của học sinh.
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn)
Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương
trình chỉ có 6 tiết, từ tuần 5 đến tuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh
còn rất lúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với học sinh khá giỏi còn
nhiều vấn đề chưa được đề cập đến.
Qua thực tế giảng dạy, tơi nhận thấy tình trạng của học sinh khi giải toán
như sau:
+ Khi gặp một bài toán học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết đi hướng
nào? Khơng biết liên hệ các dữ kiện đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.
+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào từng
dạng tốn khác nhau.
+ Trình bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, logic.
4/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
Tơi đã tìm hiểu ngun nhân khách quan và chủ quan dẫn đến đa số học
sinh chưa có kĩ năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
- Đối với giáo viên: Chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi
mới chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các
phương tiện dạy học mới vào giảng dạy.
- Đối với phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em
mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học. Đa số phụ huynh thường phó
mặc cho nhà trường, khơng kiểm tra việc học ở nhà cũng như việc chuẩn bị bài
trước khi đến lớp.
- Đối với học sinh:
+ Học sinh có ý thức học tập khơng đồng đều, ít tập trung chú ý trong giờ học.
+ Đa số học sinh yếu về kĩ năng tính tốn, quan sát, nhận xét, biến đổi và
thực hành giải toán. Nguyên nhân là do mất kiến thức cơ bản ở các lớp dưới
cộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từ đầu năm học dẫn đến việc
chây lười trong học tập.
+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy
móc, thiếu nhẫn nại khi gặp bài tốn khó.
+ Khơng có thói quen tự học ở nhà, khơng học bài, khơng lam bài trước
khi đến lớp.
Vì vậy làm sao để học sinh u thích mơn Tốn, làm sao để học sinh có kĩ
năng giải bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử, làm sao để khơng cịn học sinh
yếu kém ở bộ môn. Để giải quyết các vấn đề trên, trong q trình giảng dạy tơi đã
đưa ra các phương pháp cơ bản, phương pháp đặc biệt thông qua những bài tập cụ
thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng các phương pháp này khi giải bài tốn phân
tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh.
3. Mô tả, phân tích các giải pháp hoặc cải tiến mới
Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh
chóng thì trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa
thức đã cho thành tích của những đa thức, đơn thức khác; sau đó nắm chắc
những phương pháp cơ bản và phương pháp nâng cao để phân tích, từ đó vận
dụng giải một số bài tốn khác như: tính nhanh, tính giá trị của biểu thức, giải
phương trình, rút gọn biểu thức,…
3.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường.
Đây là các phương pháp được dùng cho các bài tốn phân tích ở mức độ
đơn giản.
a. Phương pháp đặt nhân tử chung
AB
AC
AD
A
B
C
5/19
D
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x 2 3 x
b) 1 2 x 3
Giải
a) x 2 3 x x x 3
b)
12x
3
6x
2
3x
2
3x 4x
2x
6x
2
3x
1
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 5 x 2 x 2 y 1 5 x y x 2 y
b)
x x
y
4x
4y
Giải
2
a)
5x
b)
x x
x
2y
y
15xy x
4x
4y
2y
x x
x
y
2y
4 x
5x
2
y
15xy
x
x
y
x
2y 5x x
3y
4
Nhận xét: Ở hai ví dụ trên việc phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ đơn
giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để làm xuất hiện
nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tới tính chất A
A ).
Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) 1 0 x x y 8 y y x
b)
5x x
2000
x
2000
Giải
a)
10x x
y
8y y
x
10x x
2 x
b)
5x x
2000
x
2000
5x x
y
y
8y x
5x
y
x
y
10x
8y
4y
2000
x
2000
x
2000
5x
1
Lỗi thường gặp của các em học sinh khi giải bài tốn dạng này chính là
không biết đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hướng
dẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện một cách dễ dàng.
Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu, các em học sinh chỉ cần có một chút cố
gắng thì sẽ thực hiện được bài toán; nhưng cũng là phân tích đa thức bằng cách
đặt nhân tử chung thì bài tốn sau đây địi hỏi các em phải có cố gắng nhất định
thì mới thực hiện được.
Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) a b x b a y b a
b)
a
b
c x
2
c
a
b x
Giải
a)
a
b x
b)
a
b
b
c x
2
a y
c
b
a
a
b x
a
a
b x
b
a
c x
6/19
b y
2
a
a
b
b
c x
a
b
x
y
a
b
c x x
1
1
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
Trong ví dụ 4 vừa nêu, trong ý a), học sinh có thể biết đổi dấu ở hạng tử
thứ hai từ b a thành a b để xuất hiện nhân tử chung, đối với hạng tử thứ ba
thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng khơng có nhân tử chung nhưng chỉ cần
hướng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũng bằng nhận
xét tương tự như vậy ta có cách làm tương tự đối với ý b).
b. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, đây là
cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp
này yêu cầu học sinh nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.
A
A
A
A
A
A
A
2
2
2
2AB
B
2AB
B
2
B
3
2
2
B
3
B
3
3
B
A
B
A
B
A
3A B
3A B
3
2
A
3A B
3
2
3A B
2
B
A
B
A
A
B
A
;
2
;
B
B
2
2
3
3
2
B
A
B
3
3
2
A
AB
B
AB
B
2
2
Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
x
2
6x
b) 1
9
27 x
3
c)
x
3
1
x
3
Giải
a)
x
b)
1
c)
x
2
2
6x
27 x
9
3
1
3
x
x
1
3x
1
1
x
3
3
x
3x
2
x
1
9x
2
1
x
2
Trong các ví dụ trên các hằng đẳng thức được sử dụng trong bài tốn phân
tích đa thức thành nhân tử. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại
của các hằng đẳng thức, các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu như các
em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Tuy nhiên trong các ví dụ
sau đây, muốn áp dụng hằng đẳng thức thì các em phải có sự biến đổi thì mới
làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
a)
x
b)
16a
y
2
6 x
y
9
2
49 b
c
7/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
Giải
2
a)
x
b)
16a
2
y
6 x
y
9
x
2
2
49 b
y
2. x
2
3
3
x
y
3
2
2
c
y .3
4a
7 b
c
4a
7b
7c
4a
7b
7c
c. Phương pháp nhóm các hạng tử
Đối với phương pháp này cần lưu ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử
phải chú ý dấu trước dấu ngoặc, đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc. Ngoài ra, đối
với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp.
Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2
a)
x
b)
x
c)
x
d)
2xy
x
2
y
2
y
2xy
2
y
3x
2
z
xy
3z
2
3y
6y
xz
Giải
a)
x
2
x
y
2
y
x
2
y
x
b)
x
2
2xy
y
2
z
2
y
2
x
x
2
x
y
y
x
2xy
c)
x
2
3x
xy
3y
y
2
x
d)
2xy
3z
6y
xz
z
3x
x x
2
y
2
x
y
z
2
x
xy
3
x
y
x
y
z
x
y
z
1
2
y
3y
y x
3
2xy
6y
3z
2y x
3
z x
x
3
x
y
x
3
2y
xz
3
z
Ở ví dụ này, trong ý c ta có thể phân tích bằng cách nhóm khác:
x
2
3x
xy
3y
x
2
x x
xy
y
3x
3 x
3y
y
x
y
x
3
d. Phối hợp nhiều phương pháp
Với nhiều trường hợp ta phải sử dụng phối hợp cả ba phương pháp cơ bản
trên để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2x
2y
y
2
Giải
2x
2y
2x
y
2y
2
2xy
y
2
x
2
2xy
x
2
(Nhóm các hạng tử)
8/19
2xy
x
2
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
(Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức)
2
2 x
y
y
x
2 x
y
x
y
x
y
2
x
y
2
(Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
bc b
c
ca c
a
ab a
b
Phương pháp chung để làm loại toán này khai triển hai trong số ba hạng tử,
còn giữ nguyên hạng tử còn lại để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung. Trong ý a
ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện
nhân tử chung là a b .
Giải
bc b
c
2
b c
bc
2
b c
c b
ca c
2
ca
2
a
c b
a
2
c a
2
2
a
ca
bc
c
b
cb
2
2
b
a
ca
c
b
a
cb
c
a
b
c b
c
a
b
b
2
b
a
ca
(Nhóm các hạng tử)
b
(Đặt nhân tử chung)
b
ab a
b
(Dùng hằng đẳng thức)
(Nhóm các hạng tử)
ab
a c
c
(Khai triển hai hạng tử đầu)
b
ab a
ab a
2
2
b
ab a
2
c
a
2
c a
a
b
c
ab a
ab
(Nhóm các hạng tử)
b
(Đặt nhân tử chung)
(Đặt nhân tử chung)
a
Chú ý: Ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung b c , hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử
chung c a .
Khi phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần
lưu ý các bước sau:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể, từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xét xem đa thức có xuất hiện hằng đẳng thức khơng.
+ Nếu khơng có nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức thì phải nhóm các
hạng tử để là xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh
hoạt phối hợp sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học
để các bước phân tích được rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức khơng thể phân
tích ra được nữa).
9/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
Trên đây là các ví dụ về phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương
pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa. Tuy nhiên với những bài tập
nâng cao dành cho học sinh khá giỏi không chỉ đơn thuần sử dụng các phương
pháp này, mà cần sử dụng thêm một số các phương pháp khác thì mới có thể
nhanh chóng đưa ra lời giải cho bài tốn.
3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác
a. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải
Cách 1: Tách số hạng 7 x thành 4 x 3 x
Ta có:
x
2
7x
12
x
2
4x
x x
Cách 2: Tách số hạng 12 thành
Ta có:
x
2
7x
12
Cách 3: Tách số 12 thành
Ta có:
x
2
7x
12
Cách 4: Tách số hạng
Ta có:
x
2
7x
7x
12
x
4
2
7x
Ta có:
x
2
7x
7x
12
x
3
x
3
x
4
2
4x
x
2
x
3x
4
x
9
7 x
7x
16
28
x
4
x
4
x
4
x
3
2
6x
6x
12
3
7x
3
21
x
3
x
3
7
6x
3
x
9
16
7x
4
và 1 2
x
9
4
28
x
4
x
3
7
3
3
9
x
x
3
8x
8x
2
7 x
x
x
2
x
2
2
2
x
4
12
28
thành
x
2
x
9
3
x
Cách 5: Tách số hạng
21
x
x
7x
9
thành
x
2
12
3 x
21
16
x
3x
x
1
x
x
3
x
x
và 1 2
16
3
16
3
x
4
4
4
2
8x
4
16
x
4
x
1
4
x
x
4
4
x
x
4
3
Qua ví dụ trên ta thấy được có nhiều cách tách hạng tử đối với đa thức
dạng
ax
2
bx
c a
0
- Cách 1: Tách
, nhưng trong đó có hai cách thơng dụng nhất, đó là:
bx
b 1x
b 2x
sao cho
10/19
b 1b 2
ac
.
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
- Cách 2: Tách
c
c1
sao cho
c2
2
ax
bx
tạo thành bình phương
c
của một tổng hoặc hiệu.
Đối với các đa thức có bậc ba trở lên thì tùy theo đặc điểm của các hệ số
mà có cách tách riêng cho phù hợp.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải
x
3
5x
2
3x
9
3
x
2
x
2
x
x
x
1
1
2
6x
6x
x
x
6x
x
3
5x
9x
1
2
3x
9
9
9 x
1
2
2
6x
9
x
1
x
3
b. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp
Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
4
4x
4
y
Giải
4x
4
y
4
4
4x
2
4x y
2
2x
y
2
2x
2
y
4
2
4x y
2
2
2
2
2xy
2xy
2
y
2x
2
2xy
2
y
Trong ví dụ trên ta thêm và bớt cùng một hạng tử
2
4x y
2
để làm xuất hiện
dạng khai triển của bình phương một tổng và ta tiếp tục phân tích bằng cách áp
dụng hằng đẳng thức. Như vậy mục đích của việc thêm bớt cùng một hạng tử để
xuất hiện những nhóm hạng tử sao cho có thể dùng hằng đẳng thức hoặc đặt
nhân tử chung.
Ví dụ 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
b)
x
x
5
10
x
4
x
1
5
1
Giải
a) Thêm bớt
x
5
x
4
x
3
1
ta được:
x
x
b) Thêm bớt
x
10
x
5
x
1
5
x
3
2
x
x
x
4
2
x x
3
x
x
3
1
1
x
x
1
5
x
4
x
2
x
x
1
x
1
3
x
x
2
3
1
x
1
x
1
ta được:
10
x
x
x
x
3
3
x
5
x
3
1
1
x
x
6
x
2
3
2
x
x
3
2
1
1
11/19
x
x
2
x
3
2
x
1
1
x
2
x
3
x
1
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
2
x
2
x
x
1
x x
x
1
x
1
8
x
7
x
x
6
3
x
5
1
4
x
2
x
x
3
x
x
1
1
1
Các đa thức này có dạng tổng quát x m x n 1 trong đó m 3 k 1 ,
3h
2 . Khi tìm cách giảm dần số mũ của lũy thừa ta cần chú ý đến các biểu
n
thức có dạng
x
6
3
1; x
là những biểu thức chia hết cho
1
thức này khi phân tích thành nhân tử đều chứa thừa số
c. Phương pháp đổi biến
Ví dụ 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a)
x
b)
4x
2
2
3x
x
1
y
12 x
x
y
2
z
3x
x
1
2
x
2
x
x
1
1
. Những đa
.
27
2
z
x
y z
2
Giải
a)
Đặt
x
x
2
2
2
3x
1
1
y
3x
y
2
12 y
12 x
y
x
x
2
27
y
2
1,
3x
3x
1
3x
1
27
,ta được
2
3y
y y
Thay
2
9y
3
27
9 y
2
y
3
3y
y
9y
3
y
9
3x
4
x
x
4x
4
27
ta được
3
x
2
3x
1
9
x
x
2
2
x
1
Trong cách giải trên, nhờ cách đổi biến
x
4
y
x
2
3x
x
x
2
10
2
2x
2
3x
x
5x
10
5
ta đã đưa một đa
1
thức bậc 4 đối với x rất phức tạp trở thành một đa thức bậc 2 đối với y rất đơn
giản, nhờ đó phân tích thành nhân tử được dễ dàng.
b) 4 x x y x y z x z y z
2
2
Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm.
4x
x
y
x
y
z
x
z
4 x
Đặt
x
2
xy
xz
4m
Thay
m
x
4x x
2
m
m
xy
y
xy
2
4x
xz
x
x
2
y
z
xy
xz
x
y
x
2
yz
y z
, ta được:
2
yz
xz
x
2
2
y z
y
y z
2
4m
2
2
4 m yz
y z
2
2
2m
yz
, ta được:
z
x
z
2
y z
2
12/19
2x
2
2
2xy
2xz
yz
z
2
2
y z
2
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
d. Phương pháp đồng nhất hệ số (cịn gọi là phương pháp hệ số bất định)
Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành tích của hai đa thức, một đa thức bậc nhất
và một đa thức bậc hai.
x
3
19x
30
Giải
Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết, ta có thể phân tích đa thức trên
thành hai đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài.
Ta có: x 3 1 9 x 3 0 x 3 8 1 9 x 3 8
x
Ta thấy đa thức x 2 2 x
cầu phân tích đa thức x 3
3
8
19x
x
2
x
x
2
x
x
2
x
1 5 cịn
19x
2
2
2
38
2x
4
2x
4
2x
15
19 x
2
19
có thể phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu
3 0 thành tích của hai đa thức, một đa thức bậc
nhất và một đa thức bậc hai nên tích
x
2
x
2
2x
đã thỏa mãn yêu cầu
15
bài toán.
Cách 2: Theo đề bài
3
x
19x
30
x
x
x
3
a
bx
3
x
2
2
bx
cx
b
a x
ax
2
c
2
c
abx
ab x
ac
ac
Hai đa thức trên đồng nhất với nhau nên ta có:
a
b
0
c
ab
ac
Vì
a,c
Với
a
và tích
2,c
Do đó
thì
15
x
3
ac
19
30
nên
30
b
19x
2
30
a,c
1;
2;
3;
5;
6;
1 0;
1 5;
30
thỏa mãn hệ thức trên.
x
2
x
2
2x
15
3.3. Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử
Dạng 1: Tính nhanh
Ví dụ 1: Tính hợp lí
a) 7 5 .2 0 , 9 5 2 .2 0 , 9
b) 8 6 . 1 5 1 5 0 . 1, 4
c) 9 3 . 3 2 1 4 . 1 6
d) 9 8 , 6 . 1 9 9 9 9 0 . 9 , 8 6
Giải
a)
7 5 .2 0 , 9
2
5 .2 0 , 9
20,9. 75
5
2
2 0 , 9 .1 0 0
13/19
2090
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
b)
8 6 .1 5
c)
9 3 .3 2
d)
9 8 , 6 .1 9 9
1 5 0 .1, 4
1 4 .1 6
8 6 .1 5
9 3 .3 2
9 9 0 .9 , 8 6
1 5 .1 4
7 .2 .1 6
15. 86
9 3 .3 2
9 8 , 6 .1 9 9
14
7 .3 2
9 9 .9 8 , 6
1 5 .1 0 0
32. 93
1500
7
98, 6. 199
3 2 .1 0 0
99
3200
9 8 , 6 .1 0 0
9860
Trong ví dụ trên ta phân tích các hạng tử của đa thức để chọn nhân tử chung
thích hợp, sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.
Ví dụ 2: Tính nhanh
a)
c)
35
72
2
2
15
2
b)
1 4 4 .1 6
16
2
12
2
48
97
d)
2
42
3
2
64
52
2
3
83
9 7 .8 3
180
Giải
a)
35
b)
48
2
2
2
15
42
2
35
64
15
52
35
2
15
48
2 0 .5 0
2
48
52
2
52
8
48
2
1 4 4 .1 6
2
16
12
2
8
2 .7 2 .1 6
d)
3
83
3
97
72
16
88
12
83
8
42
4 .1 0 0
97
2
12
88
2
2
16
2
97
42
1 7 .1 0 0
2100
2
72
2
42
3 4 .5 0
2 1 .1 0 0
72
2
52
4 .1 0 0
c)
100
9 7 .8 3
2
88
12
2
12
12
2
7 6 .1 0 0
83
7600
2
9 7 .8 3
9 7 .8 3
180
180
97
2
9 7 .8 3
83
2
97
83
14
2
2
9 7 .8 3
97
2
2 .9 7 .8 3
83
2
196
Trong ví dụ này ta dùng hằng đẳng thức một cách hợp lí để phân tích các
biểu thức đã cho thành tích rồi tính.
Ví dụ 3: Tính nhanh
a) 1 5 . 6 4 2 5 . 1 0 0 3 6 . 1 5 6 0 . 1 0 0
b)
47
2
48
2
25
9 4 .4 8
Giải
a)
1 5 .6 4
2 5 .1 0 0
3 6 .1 5
6 0 .1 0 0
1 5 .6 4
3 6 .1 5
2 5 .1 0 0
15. 64
36
1 5 .1 0 0
1 0 0 .8 5
100. 15
14/19
85
100. 25
1 0 0 .1 0 0
6 0 .1 0 0
60
10000
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
b)
47
2
48
2
25
9 4 .4 8
47
2
2
48
2 .4 7 .4 8
2
47
48
5
95
5 . 95
2
95
5
25
2
5
2
9 0 .1 0 0
9000
Trong ví dụ trên ta thực hiện nhóm các hạng tử một cách thích hợp sau đó
áp dụng các quy tắc tính nhanh.
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức
a) A a b 3 b 3 b tại a 2 0 0 3 và b 1 9 9 7
b)
B
x
5
x
3
2y
x y x
2
2y
x y
2
x
tại
2y
x
và
10
y
5
Giải
Theo cách làm thông thường, các em học sinh sẽ thay ngay giá trị của
biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính tốn rất vất vả mới cho
kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử rồi
mới thay số tính giá trị của biểu thức.
a
b b
3
a) A a b 3 b 3 b
Thay
a
A
b)
Với
và
2003
2003
B
x
x
10
5
1997
3
2y
y
vào biểu thức A, ta được
1997
1997
x
và
b
x y x
5
thì
x
3
6 .2 0 0 0
2
2y
2y
x y
0
2
. Do đó
12000
x
2y
B
x
2y
z
12
x
5
.
0
Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức
2
a)
M
5x
b)
N
16x
10xy
2
y
2
5y
2
4x
105z
tại
y
tại
2
x
1, 3
x
5; y
và
7
y
và
0,8
Giải
a)
M
5x
2
10xy
5y
2
105z
2
5 x
2
2xy
2
y
2
5 x
Thay
x
5; y
7
và
z
12
b)
5 5
N
16x
7
2
1 0 5 .1 2
y
2
4x
105z
2
2
vào biểu thức M, ta được
2
M
y
105z
y
2
5 .1 2
16x
2
1 0 5 .1 2
2
4x
2
1 0 0 .1 2
1
y
4
4x
2
15/19
2
y
y
14400
1
4
2
1
2
2
1
2
3
x y
2
x y
2
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
1
4x
1
y
2
4x
Thay
x
và
1, 3
N
y
2
y
4x
y
1
2
1
vào biểu thức N, ta được:
0,8
4 .1, 3
4x
0,8
4 .1, 3
0,8
1
6 .5 , 4
32, 4
Dạng 3. Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 6: Tìm x, biết:
a) 8 x x 2 0 1 7 2 x 4 0 3 4 0
b)
x
2
1
x
2
2x
4
Giải
a)
8x x
2017
8x x
2x
2017
2 x
2 x
2017
x
4x
2017
4x
1
4034
0
2017
0
1
0
x
2017
0
0
1
x
4
b)
x
2
1
x
x
2
2
x
Vì
x
2
3
x
2
1
x
2
2x
1
x
2
2 x
3
0
2
0,
x
x
2x
2
nên
4
x
4
2
0
2
x
2
0
3
0
x
2
Ví dụ 7: Tìm x, biết:
2
a)
b)
2x
x
2
5
3
5
27
x
2x
3
0
x
9
0
Giải
2
a)
2x
5
2x
5
5
2x
1 0 .4 x
0
2x
x
b)
x
3
2
5
0
2x
5
x
9
0
3x
9
x
5
2x
0
0
27
x
x
3
x
3
2
3
x
16/19
9
0
0
x
2
y
1
2
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải tốn”
x
2
x
3
x
3
x
3 x x
2
x
x
3x
9
2x
x
9
0
0
2
0
3
x
0
x
2
Trong dạng tốn này có thể nhận thấy đây là cách biến đổi đưa về phương
trình tích với các phép biến đổi chính là phân tích một đa thức thành nhân tử, có
thể hướng dẫn các em theo các bước sau:
Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái, vế phải bằng 0.
Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng tích, chẳng hạn A .B 0 ,
từ đó suy ra A 0 hoặc B 0
Bước 3: Lần lượt tìm x từ các đẳng thức A 0 và B 0 rồi kết luận.
Dạng 4: Chứng minh các bài toán số học
Ví dụ 8: Chứng minh:
a)
b)
25
n
n 1
2
25
n
chia hết cho 100 với mọi số tự nhiên n.
n
1
2n n
chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
1
Giải
a) Ta có:
Mà
25
24
b) Ta có:
n
1
25
4 .6 ; 2 5
n
2
n
n
2 5 .2 5
n
2 5 .2 5
1
2n n
n
25
n 1
n
n
25 . 25
n 1
25
1
n n
25
1
n
1
n
2 5 .2 4
n
1 0 0 .6 .2 5 1 0 0
n
2
Vì n 2 ; n 1; n là ba số tự nhiên liên tiếp nên tích của chúng sẽ chia hết cho 6.
Ví dụ 9: Chứng minh:
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
2
a)
3n
b)
100
1
4
chia hết cho 7 với n là số tự nhiên.
2
7n
3
Giải
2
a) Ta có:
3n
1
Vì
1
3n
3 n
4
3n
1
2
3n
1
2
3 n
1
3n
1
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n, nên
1
2
3n
1
4
chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Ta có: 1 0 0
2
7n
3
7
7n
13
7 với n là số tự nhiên.
17/19
7n
7 1
n
13
7n
chia hết cho
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng, được vận dụng nhiều
trong các bài toán. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử được nêu
từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp các em học sinh trung bình, yếu
nắm được các phương pháp cơ bản; có kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và
vận dụng được các phương pháp phân tích thơng thường, biết trình bày bài giải
hợp lí, có hệ thống và logic. Các em hứng thú hơn trong học tập
Các em học sinh khá giỏi hiểu sâu hơn cách phân tích đa thức thành nhân tử,
đặc biệt là các phương pháp phân tích nâng cao; biết phân loại và sử dụng các
phương pháp phù hợp với bài tốn; vận dụng thành thạo kĩ năng biến đổi, phân
tích, linh hoạt biến đổi và vận dụng hằng đẳng thức. Từ đó giúp học sinh phát
triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán
đoán, tổng hợp kiến thức.
Sau khi thực hiện đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng
trong giải tốn”. Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết quả học tốt
hơn, biết vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải các
bài tốn. Tuy nhiên, cịn một số bài tập ứng dụng nữa mà tôi chưa đưa ra trong đề
tài này được. Bởi vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau.
2. Khuyến nghị:
Thông qua việc thực hiện đề tài, bản thân tơi có một số kiến nghị và đề nghị sau:
Đối với giáo viên:
- Cần nghiên cứu kĩ nội dung bài dạy, có biện pháp sư phạm phù hợp với từng
loại bài.
- Phải luôn ln tâm huyết với nghề, khơng ngừng tìm tịi, học hỏi nâng cao
trình độ chun mơn nghiệp vụ.
Đối với nhà trường, tổ chuyên môn:
- Thường xuyên tổ chức các giờ học, chuyên đề có chất lượng cao.
- Những điều kiện cần thiết về cơ sở vật chất phục vụ cho việc giảng dạy.
- Cung cấp đủ tài liệu tham khảo để giáo viên trau dồi chun mơn nghiệp
vụ, tích lũy kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
Hà Nội, ngày 3 tháng 4 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết.
Khơng sao chép nội dung của người khác.
NGƯỜI VIẾT
18/19
“Phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán”
PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.
2.
3.
4.
5.
Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS mơn Tốn - Bộ GD&ĐT
Sách giáo khoa Toán 8 - Bộ GD&ĐT
Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 – Bùi Văn Tuyên
Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 – Vũ Dương Thụy (Chủ biên)
Củng cố và ơn luyện Tốn 8 – Lê Đức Thuận (Chủ biên)
19/19
