Hai mặt phẳng song song 2 tiết

Bài 4.
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Giáo viên: Trần Công Trường


Kiểm tra bài cũ

-Nêu vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
a
a





A

-Nêu các phương pháp chứng minh a// mp()
C1: Định nghĩa
( ),
( )
C 2: CM a a // b, b ⊂α

C 3: pp ph¶n chøng

a
α


§4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (Q), Chúng có những vị
trí tương đối nào?
a) (P) và (Q) trùng nhau. Kí hiệu (P) (Q)
b) (P) và (Q) cắt nhau theo một giao tuyến d. Kí hiệu (P)  = d
(Q)

≡

c) (P) và (Q) khơng có điểm chung. Ta nói (P) song song với (Q), Kí
hiệu (P)//(Q) hoặc (Q)//(P).
Hãy nêu khái niệm
hai mặt phẳng song
song?

P

Q


Đ4 : hai mặt phẳng song song
I) Định nghĩa:
-Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm
chung
Ký hiệu:() // () hoặc () // ()
-Nếu () không song song với () thì chúng cắt nhau theo mét
giao tun hc trïng nhau, ký hiƯu : (α ) ∩ ( β ) = a hc (α ) ≡ ( β )
β

β

α
α
β

α


Câu hỏi:
Cho ()//(); d nằm trong (). Hỏi d và () có điểm chung
không?

Tr li
Nu cú im A d  (β),
thì d  (β)  φ nên (α)  (β)  φ
(trái với gt (α)  (β) ).

d

α
A

β


II. Tính chất
1. Định lí 1
(α ) ⊃ a, b 

a b = I  ⇒ (α ) //( β )
a, b //( β ) 



a
P

Chứng minh

+ (α ) ⊃ a, a//( β ) ⇒ (α ) ≠ ( β )
+ Giả sử (α)∩(β)=c

 a, b / /( β )

 (α ) ⊃ a, b ⇒ a, b / / c ⇒ a / / b (trái gt)
 (α ) ∩ ( β ) = c
Vậy (α)//(β)


Q
c

b


Ví dụ 1:

-Cho hình chóp S.ABC , M,N,P lần lượt là trung
điểm của SA, SB, SC
S

a) CMR : mp(MNP) // mp(ABC)

b) I ∈ NP : 2NI = IP , CMR:MI//mp(ABC)

P

M
N

I
C

A
B

E


2. Định lí 2

 A ∈ (β )
A ∉ (α ) ⇒ ∃!( β ) : 
( β ) //(α )

a. Hệ quả 1

d ⊂ ( β )
d //(α ) ⇒ ∃!( β ) : 
( β ) //(α )

b. Hệ quả 2

c. Hệ quả 3

(α ) ≠ ( β )

(α ) //(γ ) ⇒ (α ) //( β )
( β ) //(γ )


A ∉ (α ), A ∈ d, d// (α ) ⇒ d ⊂ ( β ) : ( β )// (α )


+ VÝ dơ 2
Cho tứ diện SABC có SA=SB=SC. Gọi Sx, Sy, Sz lần
lượt là phân giác ngồi các góc S trong 3 tam giác
SBC, SCA, SAB. Chứng minh:
a)(Sx,Sy)//(ABC)
b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng


LG
a)Trong (SBC): Sx là
tia phân giác ngồi
của góc S trong
tam giác cân SBC
nên Sx // BC. Suy
ra Sx // (ABC) (1)

x
S

y
z

A

C

Tương tự: Sy, Sz // (ABC) (2)
(1), (2)

(Sx,Sy) // (ABC)

B

b) Sx, Sy, Sz //(ABC) nên Sx, Sy, Sz cùng nằm
trên mp song song với (ABC) nên chúng đồng
phẳng


3. Định lí 3
(α ) //( β )
(γ ) ( β ) = b
⇒

(γ ) (α ) = a a // b

Chứng minh
+ Vì (γ) chứa a, a // (α)
nên (γ) ≡ (β)
+ Giả sử (γ)//(β): qua a có

2 mp(α),(γ) cùng song
song với (β) (vơ lí)
+ Vậy (γ)∩(β)=b

a

α

b
β

+ a ⊂ b ⊂(β)
(α),
Mà (α) // (β) nên a∩b=Ø; a,b ⊂ Vậy a//b
(γ).


Hệ quả: Hai mp song song chắn trên 2 cát tuyến song
song những đoạn thẳng bằng nhau
Chứng minh
+ a // b nên (β) =(a,b)
(α ) //( β )

(γ ) (α ) = AA'
(γ ) ( β ) = BB'

⇒ AA' //BB'

Mà AB//A’B’ nên tứ giác
AA’B’B là hình bình hành

Vậy AB=A’B’

b

a

B
α

A
B'

β

A'


4. Định lí Ta-lét trong khơng gian
Định lí 2:
Ba mặt phẳng đơi một
song song chắn trên
hai cát tuyến bất kì
các đoạn thẳng tương
ứng tỉ lệ

a
A
B

C

a’
A’

B’

C’


Thales sống trong khoảng thời gian
từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh
ra ở thành phố Miletos, một thành phố
cổ trên bờ biển gần cửa sơng
Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).
Ơng đã du lịch nhiều nơi, do đó đã
tiếp thu được các thành tựu của
Babilon và Ai Cập. Phát minh quan
trọng nhất của Talét là tỷ lệ thức. Dựa
vào công thức ấy ơng đã tính tốn
được chiều cao của Kim Tự Tháp
bằng cách đo bóng của nó.
Talét cịn là một nhà thiên văn học. Ơng đã tính trước được
ngày nhật thực, năm 585 TCN, ông tuyên bố với mọi người
đến ngày 28-5-558 sẽ có nhật thực, quả nhiên đúng như vậy.
Tuy nhiên, ơng đã nhận thức sai về trái đất vì ơng cho rằng
trái đất nổi trên nước, vịm trời hình bán cầu úp trên mặt đất.


5. Hình lăng trụ và hình hộp.
a) Định nghĩa hình lăng trụ(sgk)

-Mặt bên: các hình bình
A5
A4
A1
hành A1A2A’2A’1,
A2
A3
P
A2A3A’3A’2,…
-Mặt đáy: hai đa giác
A’
5
A1A2…An, A’1A’2…
A’
1
A’
4
A’n.
A’
3
A’
P’
2
- Cạnh đáy: là các
cạnh của hai đa giác
-đáy bên: là các đoạn thẳng A1A’1, A2A’2, …
Cạnh
- Các đỉnh của hai đáy gọi là đỉnh của lăng trụ.

Lăng trụ tam giác

Lăng trụ tứ giác

Lăng trụ ngũ giác


b) Hình hộp

Định nghĩa: (sgk)

- Hai mặt đối diện: Là hai mặt
song song với nhau của hình
hộp.

C

B
A

D

- Hai đỉnh đối diện: là hai đỉnh không cùng nằm
trên một mặt nào của hình hộp.

B’

O

A’

C’
D’

- Đường chéo: là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện.

- Hai cạnh đối diện: Là hai cạnh song song nhưng khơng nằm trên
bất kì một mặt nào của hình hộp.

-Tâm: là giao điểm của các đường chéo.


6. Hình chóp cụt.
a) Định nghĩa: (sgk)
- Đáy lớn: là đáy của hình chóp
- Mặt bên: các tứ giác A’1A’2A2A1; A’2A’3A3A2, ...

- Đáy nhỏ: là thiết diện
của hình chóp khi cắt bởi
mặt phẳng (P)
- Cạnh bên: các đoạn thẳng A1A’1; A2A’2, …

s


6. Hình chóp cụt.
b) Tính chất
- Hai đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ
số các cạnh tương ứng bằng nhau.

- Các mặt bên là những
hình thang.
- Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.


Bài tập 1:
Các mệnh đề sau đúng hay sai?
đúng
a) Hình hộp là một hình lăng trụ
b) Hình lăng trụ có tất cả các cạnh song song. sai
c) Hình lăng trụ có tất cả các mặt bên bằng nhau.

d) Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.

sai

đúng

e) Hình hộp có các mặt đối diện bằng nhau.
đúng


Bài tập 1. Trong mặt phẳng ( α ) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D
lần lượt vẽ 4 đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (
. Trên a, b và cα lượt lấy 3 điểm A’, B’ và C’ tuỳ ý
lần

)

a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mp (A’B’C’)

b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.
a) b / / a

⇒ (b, BC ) / / (a, AD )

 BC / / AD

Mà (A’B’C’) ∩ (b, BC) = B’C’ ⇒ (A’B’C’) ∩ AD) = d’ và giao tuyến d’
(a,
qua A’ song song với B’C’. Vì vậy qua A’ ta có thể dựng đường thẳng d’//B’C’ cắt
∩
d tại điểm D’ sao cho A’D’//B’C’. Dễ thấy : D’ = d (A’B’C’)
b) Ta có : A’D’//B’C’. (1)
a

Mặt khác : (a, b) // (c, d) mà
(A’B’C’D’) ∩(a, b) = A’B’
(A’B’C’D’)

∩(a, b) = C’D’

Suy ra A’B’ // C’D’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác
A’B’C’D’ là hình bình hành

c

b
B’

C’
d
D’

A’
C

B
A

D